UNIVERZITET U KRAGUJEVCU MAINSKI FAKULTET Miroslav ivkovi The publishing of this script was financed by Austrian Cooperation through WUS Austria within the CDP+ 057/2004 project This copy is not for sale Objavljivanje ove skripte omogucili su Austrian Cooperation i WUS Austria u okviru projekta CDP+ 057/2004 Besplatan primerak Kragujevac, 2005Supported by the UVOD U NELINEARNU ANALIZU......................................................................................................... 1 1. KINEMATIKA KONTINUUMA............................................................................................................ 3 1.1. KRETANJE, MATERIJALNI I PROSTORNI OPIS ....................................................................... 3 1.2. KOORDINATNI SISTEMI .............................................................................................................. 4 1.3.GRADIJENTDEFORMACIJE,POLARNADEKOMPOZICIJA,DEFORMACIONITENZORI................................................................................................................................................................ 13 1.4GLAVNIPRAVCI,INVARIJANTE,DEVIJATORSKIISFERNIDEOTENZORA. SPEKTRALNA TEOREMA.................................................................................................................. 15 1.5 SAMO ROTIRANI I SAMO IZDUENI PRAVCI, OPERACIJE UNAPRED/UNAZAD.............. 19 1.6. POMERANJA, GRADIJENTI POMERANJA............................................................................... 23 2. TENZORI KONANE DEFORMACIJE.............................................................................................. 25 2.1. RAZLIITE MERE TENZORA KONANE DEFORMACIJE.................................................... 25 2.2. MULTIPLIKATIVNA DEKOMPOZICIJA................................................................................... 28 2.3. PRIRATAJI TENZORA DEFORMACIJE................................................................................... 30 3. TENZORI NAPONA I RAVNOTEA ................................................................................................. 33 3.1. TENZORI NAPONA...................................................................................................................... 33 3.2.HELMHOLZ-OVASLOBODNAENERGIJA,ENERGETSKIKONJUGOVANITENZORI NAPONA I DEFORMACIJE ................................................................................................................ 35 3.3. PRINCIP VIRTUALNOG RADA, INTEGRACIJA KONSTITUTIVNIH RELACIJA................ 44 3.4. INKREMENTALNE JEDNAINE RAVNOTEE KONANOG ELEMENTA......................... 45 4. KONSTITUTIVNE RELACIJE............................................................................................................. 49 4.1 KONSTITUTIVNI TENZORI, GENERALISANI HOOKE-OV ZAKON..................................... 49 4.2 IZOTROPNA HIPERELASTINOST............................................................................................ 50 4.3. IZOTROPNA PLASTINOST METALA..................................................................................... 51 4.4INTEGRACIJANAPONAUSLUAJUKONANIHELASTOPLASTINIHDEFORMACIJA................................................................................................................................................................ 74 5. IZOPARAMETARSKI KONANI ELEMENTI SA INKOMPATIBILNIM POMERANJIMA......... 77 5.1. IZOPARAMETARSKI 3-D KONANI ELEMENT..................................................................... 77 5.2. IZOPARAMETARSKI KONANI ELEMENT LJUSKE............................................................. 82 5.3. IZOPARAMETARSKI KONANI ELEMENT GREDE.............................................................. 89 5.4.ROTIRANJE ORTONORMIRANIH BAZNIH VEKTORA........................................................ 98 5.5 POSTUPAK REAVANJA INKREMENTALNIH JEDNAINA KONANOG ELEMENTA UZ KORIENJE INKOMPATIBILNIH POMERANJA.......................................................................... 99 6. PRIMERI.............................................................................................................................................. 103 LITERATURA......................................................................................................................................... 129 1UVOD U NELINEARNU ANALIZU U razvoju i projektovanju sloenih konstrukcija u oblasti avio i automobilske industrije, brodogradnje i graevinarstva, u duem periodu, metoda konanih elemenata (MKE) doivljava irokuprimenutojedoprineloinjenombrzomrazvoju.NairokuprimenuMKEznatnoje uticaorazvojkompjuterskegrafikeiprogramazaprojektovanjepomouraunara(CAD), inenjersku analizu primenom raunara (CAE) kao i objedinjeni pristup projektovanju, analizi i proizvodnjiuzprimenuraunara(CIM).IduiodpoetnihprimenaustaticiMKEjezatim proirenanareavanjesloenihproblemakonstrukcijakaotosu:geometrijskiimaterijalno nelinearniproblemi,dinamikiproblemiiproblemistabilnostikonstrukcija.Porednavedenih, MKEseuspenokoristiprireavanjuproblemapoljafizikihveliinakaotosuprovoenje toplote, prenos toplote i mase, mehanika fluida, elektrotehnika i druge oblasti. Da bi se pokrilo ovakoirokopoljeprimenebilojeneophodnorazvitipouzdanemetodezareavanjepojedinih problemauoblastiMKE,kaotosuefikasnoreavanjevelikihsistemalinearnihjednaina, reavanjeproblemasopstvenihvrednosti,inkrementalno-iterativnoreavanjesistema nelinearnih jednaina u oblasti geometrijske i materijalne nelinearnosti, kao i reavanja sistema diferencijalnihjednainauoblastidinamike.Poredrazvijanjametodareavanjavelikibroj radovajeposveenrazvojupouzdanihkonanihelemenata.Sarazvojemgrafikihpreipost procesoraposebnapanjaje,posveenaposlednjihgodinarazvojuelemenatajednostavne geometrijekojidajuvisokutanostipouzdanostuprimeni.Poboljanjasupostignutakod ponaanja2-Di3-Delemenatakontinuumakaoikodstrukturalnihelemenataploa,ljuskii greda.Znatnompoboljanjuponaanjakonanihelemenatadoprinelajeprimenahibridnih elemenata kao i elemenata sa meovitom interpolacijom i uz korienje metode inkompatibilnih pomeranja.Pregledrazvojaianalizapublikovanihradovasudatiuzpojedinapoglavljai pojedine oblasti. 2 31. KINEMATIKA KONTINUUMA Mehanikakontinuumajedeomehanikekojiizuavadeformabilnatela(vrstatela,tenostii gasove).Deformabilnatelasurealnatelakodkojihse,uoptemsluaju,rastojanjaizmeuesticatela menjaju.esticailimaterijalnatakaoznaavamalideomaterijalnogkontinuumaelementarne zapreminekojiutokuvremenamoezauzimatirazliitetakeprostora.Takomprostoranazivamo odreeni stalni poloaj (mesto) u prostoru. Mehanika kontinuuma ne izuava realna tela neposredno ve njihove modele, dodeljujui im odreene osobine realnih tela. Osnovu mehanike kontinuuma (neprekidnih sredina) ini pretpostavka o neprekidnosti materije. Poznatojedajestrukturamaterijerealnihtelamolekularneprirode.Mehanikakontinuumaignorie mikroskopskoponaanjepojedinihmolekula,verazmatramakroskopskoponaanjematerijalakao neprekidne sredine. Pod neprekidnom sredinom (telom) podrazumevamo skup estica koje su neprekidno rasporeeneuodreenojzapreminiuprostoruipotpunojeispunjuju.Pretpostavkaoneprekidnosti materijeinimehanikukontinuumateorijompolja,gdesuveliinepoljaneprekidnefunkcijepoloajai vremena.Matematikiaparatmehanikekontinuumajetenzorskiraun,kojioperiesatenzorima (veliine nezavisne od koordinatnih transformacija).Poredneprekidnostiuvodesejodvedodatnepretpostavkeoprirodimaterijala:homogenosti izotropnost. Materijal je homogen ako poseduje iste osobine u svim esticama. Materijal je izotropan ako poseduje iste osobine u svim pravcima.Uovomraduizuavaemokretanjeideformisanjevrstihtelausledmehanikihitermikih optereenja. 1.1. KRETANJE, MATERIJALNI I PROSTORNI OPIS Konfiguracijatela lBunekomtrenutkuvremenalopisanajepoloajimakojetadazauzimaju njegovematerijalnetakeuprostoru,toznaidajesvakamaterijalnatakautomtrenutkupridruena jedinstvenojtakiuogranienojoblasti lBprostora.Ubuduelevigornjiindeksbiekorienza oznaavanjevremenskogtrenutka.Kretanjekontinuuma(tela)moesezamislitikaoneprekidanniz konfiguracija u trodimenzionalnom Euclid-ovom prostoru i vremenu, ili kao prelazak materijalnih taaka izjednekonfiguracijeudruguutokuvremena.Jednamaterijalnatakaprikretanjuzauzimarazliite poloajeuprostoru.Ovokretanjemoebitiopisanonarazliitenaineuzavisnostiodtogakojaje konfiguracijaizabranakaoreferentna.Referentnakonfiguracijajepoznatakonfiguracijauodnosuna koju pratimo dalje kretanje i deformisanje tela u toku vremena. Pri opisivanju kretanja materijalnih taaka najeesekoristetrikonfiguracije.Konfiguracija 0Butrenutkul=0,gdejetelouprirodnom neoptereenominedeformisanomstanju,najeesenazivapoetna.Konfiguracija tB utrenutkul=t nazivasetekua,akonfiguracija t tB+utrenutkul=t+tsusednakonfiguraciji tB .Smatramodasu namsveveliineupoetnojitekuojkonfiguracijipoznateanjihovoodreivanjetrebadaizvrimou susednoj.Najoptijinainiopisakretanjakontinuumakojisebazirajunaklasinojnerelativistikoj mehanici dati su od Larsen-a (1971), Malvern-a (1969): 1) Materijalni opis, 2) Referentni opis (najee se bira poetna konfiguracija kao referentna), 3) Prostorni opis, 4) Relativi opis (tekua konfiguracija kao referentna),5) Konvektivni opis. MaterijalniopiskoristikaonezavisnopromenljivematerijalnutakuPivremet.Posmatra uoavamaterijalnutakuPipratinjenpoloajuprostoruutokuvremenat.Ovokretanjemoebiti 4 izraenojednainom( ) t Pt, = x ,apredstavljapoloaj txkojizauzimamaterijalnatakaPu trenutku t. Referentniopiskoristikaonezavisnopromenljivekoordinate 0xmaterijalnetakePu referentnojkonfiguracijiivremet.Umehanicivrstihtelaobinosezareferentnukonfiguracijubira poetna 0B.Takavreferentniopiskojisledikretanjeuoenihmaterijalnihtaakaupoetnoj konfiguraciji,uprostoruiutokuvremenanazivaseLagrange-ov.Ovokretanjemoebitiizraeno jednainom ( )tt x x = 0, ,gdekoordinate txoznaavajutakuprostorakojuzauzimamaterijalna takaPutrenutkutakojajeureferentnojkonfiguracijizauzimalapoloaj 0x .Koordinate 0xmaterijalnihtaakakojesuodreeneuodnosunakoordinatnisistemkojijevezanzatelozovuse materijalneinemenjajusetokomvremena 0x = const .Koordinate txtaakaprostorakojesu odreeneuodnosunanepokretnikoordinatnisistemzovuseprostorne.Materijalnikoordinatnisistem najeesebiratakodaseupoetnomtrenutkuvremenat=0poklapasaprostornimkojijeobino nepokretan pravougli Descartes-ov koordinatni sistem. ProstorniopisiliEuler-ovkoristikaonezavisnopromenljivekoordinate txtakeprostorai vreme t. Ovim opisom prate se promene fizikih veliina polja (brzina, temperatura i dr.) u toku vremena utakiprostoratconst x = .,krozkojiprolazerazliitematerijalnetaketokom kretanja. Ovo kretanje moebitiizraenojednainom ( )0 1x x =tt , ,gdekoordinate 0xoznaavajumaterijalnutakuu poetnojkonfiguracijikojautrenutkutzauzimapoloaj tx uprostoru.Uproblemimakaotoje neprekidno kretanje (teenje) fluida nema smisla odreivati poetni poloaj pojedinih materijalnih taaka paseprethodnajednainauglavnomnekoristi.Smatramodasunamfizikeveliinepoljaunekom trenutkuvremenapoznateaodreujemonjihovevrednostiposleizvesnogvremenskogperiodauistim takama prostora. Relativniopiskoristikaonezavisnopromenljivetekuekoordinate txmaterijalnetakePu prostoruivremet+t.Ovdejezareferentnukonfiguracijuizabranatekua tB a vremet+t odgovara susednojkonfiguraciji t tB+gdematerijalnatakaPimakoordinate t t +x .Ovokretanjemoebiti izraenojednainom ( )t tttt t+= + x x , ,gdeindekstnafunkcijskomsimbolutistiedaje referentna konfiguracija tB . Ovaj opis moe se smatrati specijalnim sluajem referentnog opisa. Konvektivniopiskoristikrivolinijskikoordinatnisistemvezanzamaterijalnetaketelasa kojimasezajednokreeideformie.Prikretanjusemenjajubaznivektoridokkoordinatematerijalnih taakausvimvremenskimtrenucimaostajunepromenjener const= .,( ) = 1 2 3 , , .Zbogte osobine,ovakvekrivolinijskekoordinatezovusekonvektivneaestosekoristeinazivimaterijalneili Gauss-oveparametarskekoordinate.BatheiKojiusvojimradovimazanormiranekonvektivne koordinater 1koristenazivprirodne.Nekepogodnostikorienjakonvektivnihkoordinatasuu tometosukomponentetenzoradeformacijaisteuodnosunapoetneitekuebaznevektore,a komponente tenzora gradijenata deformacije ine u svakom trenutku jedininu matricu. Umehanicivrstogtelakoristesesvinavedeniopisiosimprostornogkojijepogodnijiza primenu u mehanici fluida. U ovom radu korien je konvektivni opis zajedno sa referentnim i relativnim. 1.2. KOORDINATNI SISTEMI 5OvdeebitikorienipravougliDescartes-oviikonvektivnikoordinatnisistemi.Poloaj materijalnihtaakatelauprostorupratiseuglobalnomnepominompravouglomDescartes-ovom koordinatnomsistemu.Deformisanje(promenuoblika)infinitezimalneokolineproizvoljnematerijalne takejenajjednostavnijepratitiprekopromenebaznihvektorakonvektivnogkoordinatnogsistemakoji semogudefinisatiusvakojmaterijalnojtakiiusvakomvremenskomtrenutku.Naglasimodajeu Metodikonanihelemenata(MKE)neizbenokorienjeGauss-ovihparametarskihkonvektivnih koordinata.IntegracijakonstitutivnihrelacijavriseulokalnompravouglomDescartes-ovom koordinatnom sistemu koji odgovara glavnim materijalnim pravcima u posmatranoj materijalnoj taki. U tekstu koji sledi bie izloene veze izmeu koordinata i baznih vektora navedenih koordinatnih sistema, koje se koriste pri koordinatnim transformacijama tenzora.GlobalneDescartes-ovekoordinate.Poloajmaterijalnihtaakauprostoruubilokom vremenskomtrenutkulpratiseuodnosunaglobalninepokretanDescartes-ovkoordinatnisistemsa koordinatama( )lkl kx x k = = 1 2 3 , ,u ortogonalnoj bazi jedininih vektora( ) i ikkk = = 1 2 3 , ,i ij k jk jkj kj k = == 10(1.2.1) gde jejk Kronecker-ov simbol drugog reda. Bazni vektori nepokretnog Descartes-ovog koordinatnog sistemanemenjajusetokomvremenauodnosunareferentnotelozakojesuvezani,pajezato izostavljen gornji levi indeks. Kako se kod Descartes-ovih koordinata kovarijantni i kontravarijanti bazni vektoriikoordinatepoklapaju,zanjihovooznaavanjekoristiesesputenidesniindeksi.Indeksi Descartes-ovih koordinata pisae se Latininim slovima.Vektor poloaja materijalne take P koja moe dasekreeuprostoru,uproizvoljnomtrenutkuvremena,uodnosunaprethodnodefinisankoordinatni sistem moe se napisati kao l l l lklkx x x x x i i i i = + + =1 1 2 2 3 3(1.2.2) gde, prema Einstein-ovoj konvenciji ponovljeni indeks k oznaava sabiranje. Vektor relativnog poloaja materijalnetakeQizdiferencijalne(infinitezimalne)okolinematerijalnetakeP,uproizvoljnom trenutku vremena, je oblika ( ) () d Q P d xl l lklkx x x i = = (1.2.3) KvadratrastojanjaizmeutaakaPiQdobijaseskalarnimproizvodomvektora(1.2.3),uzkorienje (1.2.1), kao d s d d d xd x d xd x d xd xl l lj kljlk jkljlklklk2= = = = x x i i (1.2.4) Kada se u izrazima koriste krivolinijske koordinate, naznaeno je o kojim se koordinatama radi. Desnidonjiindeksoznaavakovarijantneadesnigornjiindekskontravarijantneveliine.Indeksi krivolinijskih koordinata pisae se Grkim slovima.Konvektivnekoordinate.Uokolinisvakematerijalnetakemoesedefinisatikonvektivni krivolinijskikoordinatnisistemsakontravarijantnimkoordinatama( ) r = 1 2 3 , , ikovarijantnim baznimvektorima( )lg = 1 2 3 , , .Kodkonvektivnogkrivolinijskogkoordinatnogsistema,ijese koordinatne linije kreu i deformiu zajedno sa materijalnim takama za koje su vezane, kontravarijantne koordinate se ne menjaju pa je zato izostavljen gornji levi indeks.Uslov koji mora biti zadovoljen je da seusvakomtrenutkuvremenaglobalneDescartes-ovekoordinatemoguizrazitiprekoneprekidnihi diferencijabilnih funkcija konvektivnih koordinata, kao i inverzno( ) ( )lklkl l lx x r r r k r r x x x = = = = ( , , ) , , ( , , ) , ,1 2 31 2 31 2 3 1 2 3 (1.2.5) Potosu(1.2.5)funkcijetrinezavisnaparametra,njihovidiferencijalnipriratajikoordinata(1.2.3) raunaju se kao 6 d xxrdr J dr drrxd x J d xlklk lklklklklk= = = = (1.2.6) Sistem jednaina (1.2.6) moe se napisati u matrinom obliku { } [ ]{ } { }[ ] { }d d d dl l l lx J r r J x = =1(1.2.7) gdejevektorkolona { } { }1 2 3Tl l l ld dx dx dx = x i{ }{ }d dr dr drTr =1 2 3.Ovdeje [ ]lJ Jacobi-jevatransformacionamatricaizmeuglobalnihDescartes-ovihikontravarijantnih koordinata a [ ]lJ 1 inverzna Jacobi-jeva transformaciona matrica[ ] [ ]ll l ll l ll l lll l ll l ll l lxrxrxrxrxrxrxrxrxrrxrxrxrxrxrxrxrxrxJ J ==1112132122233132331111213212223313233 (1.2.8) Udaljemtekstumnogiizrazibienapisaniumatrinomobliku,dabisenaglasiloznaajnokorienje Jacobi-jevetransformacionematrice(1.2.8)prikoordinatnimtransformacijamaizmeukrivolinijskihi globalnih Descartes-ovih koordinata, kao i izmeu recipronih krivolinijskih koordinata. Iz (1.2.7) dobija se [ ] [ ][ ][ ][ ][ ]l l lklkl l liljijJ JJ JJ J IJ J I = == =1313 (1.2.9) gdeje [ ]I3jedininamatricadimenzije3.Dabi(1-1)preslikavanjeizmeuDescartes-ovihi konvektivnih koordinata (1.2.6) bilo mogue bar u okolini posmatrane materijalne take, potrebno je da determinanta Jacobi-jeve transformacione matrice bude razliita od nule [ ][ ]l llJ = = detdetJJ101(1.2.10) Veze izmeu baznih vektoraik nepokretnog Descartes-ovog koordinatog sistema i kovarijantnih baznih vektora lg krivolinijskog koordinatnog sistema, mogu se dobiti zamenom (1.2.6) u (1.2.3) d d xxrdr drrxd xlklk klk l llklkx i i g g = = = = (1.2.11) odakle sledi da su llklkklk kllkl lkrxrJrxJ gxi i i g g = = = = =(1.2.12) Izrazi (1.2.12) mogu se napisati u matrinom obliku 7{ }{ }[ ]{ }{ }[ ]l l l lg i J i g J = =1 (1.2.13) gdesuvektorivrste{ } { } i i i i =1 2 3a { } { }l l l lg g g g =1 2 3.Oiglednojedasu komponente kovarijantnih baznih vektora elementi Jacobi-jeve matrice (1.2.8)1 [ ]{ } { }lklkkl lTlJxr= = = i g J i g(1.2.14) Kovarijanti bazni vektori lg su tangentni na kontravarijante koordinatne linijer u taki P u kojoj su definisani.KoordinatnelinijeformirajukoordinatnepovrinakojesuutakiPtangentniodgovarajui baznivektori.Naprvukoordinatnupovrr const1= .tangentnisukovarijantnibaznivektori lg2i lg3, na drugur const2= . tangentni su lg3 i lg1 a na treur const3= . tangentni su lg1 i lg2. Prostor koji definiu konvektivne koordinate zove se tangentni prostor. Prethodnodefinisanomkonvektivnomkrivolinijskomkoordinatnomsistemujereciproan krivolinijskikoordinatnisistemsakovarijantnimkoordinatama( )lr = 1 2 3 , , ikontravarijantnim baznim vektorima( )lg = 1 2 3 , , . Kod ovog koordinatnog sistema tokom kretanja mogu se menjati i bazni vektori i koordinate. Funkcije veze izmeu Descartes-ovih i kovarijantnih koordinata( ) ( ) 3 , 2 , 1 ) , , ( 3 , 2 , 1 ) , , (3 2 1 3 2 1= = = = x x x r r k r r r x xl l l l l l l lklkl (1.2.15) nisu poznate, pa se diferencijalni prirataji koordinata d xxrd r J d r d rrxd x J d xlklkll lkl lllklklklk= = = = (1.2.16) nemoguodreditidirektnoparcijalnimizvodimafunkcija(1.2.15).Takoe,nemoguseodreditiveze izmeu baznih vektora, jer u izrazima koji se dobijaju zamenom (1.2.16) u (1.2.3) { }{ }[ ]{ }{ }[ ]lllklklklk klllkl lkl l l lrxrJrxJ gxi i i g gg i J i g J = = = = == =1(1.2.17) nepoznati su parcijalni izvodi. Ovde je vektor vrsta { } { }l l l lg g g g =1 2 3 a [ ]lJJacobi-jeva transformacionamatricaizmeuglobalnihDescartes-ovihikovarijantnihkoordinata.Dovezaizmeu koordinataibaznihvektoraovadvakoordinatnasistemadolaziseposredno,korienjemuslovada kontravarijantibaznivektoripredstavljajurecipronubazuuodnosunaprethodnodefinisane kovarijantne bazne vektore { } { } [ ] [ ][ ]l l lTl lTlg g g g J J I = = =3 (1.2.18) Iz jednakosti izraza (1.2.18)2 i (1.2.9)1 dobija se [ ] [ ]lTl lklklkl lkJ JxrrxJ J = = =1 (1.2.19) OiglednojedasukomponentekontravarijantnihbaznihvektoraelementiinverzneJacobi-jevematrice (1.2.8)2 [ ] { } { }lklklkl lTJrx= = =g i J g i1(1.2.20) 8 Konano, diferencijalni prirataji koordinata (1.2.16) raunaju se kao d xrxd r J d r d rxrd x J d xlklkl lkl llk lklklk= = = = (1.2.21) Sistem jednaina (1.2.21) moe se napisati u matrinom obliku { } [ ] { } { } [ ] { }d d d dl lTl l lTlx J r r J x = = (1.2.22) gdejevektorkolona { } { }d d r d r d rl l l lTr =1 2 3.Vezeizmeubaznihvektoraiknepokretnog Descartes-ovog koordinatog sistema i kontravarijantnih baznih vektora lg krivolinijskog koordinatnog sistema, mogu se dobiti zamenom (1.2.21) u (1.2.3) d d xrxd r d rxrd xlklk klkl l l llk lkx i i g g = = = = (1.2.23) odakle sledi da su lklkklkkllk l lkrxJxrJ g i i i g g = = = =(1.2.24) Izrazi (1.2.24) mogu se napisati u matrinom obliku { }{ }[ ]{ }{ }[ ]l lTl lTg i J i g J = = (1.2.25) Veze izmeu kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata dobijaju se korienjem (1.2.19) drrrd rrxxrd rrxrxd r J J d rd rrrdrrxxrdrxrxrdr J J drlllklklllklkl lklklll llklklklk lklk = = = == = = = (1.2.26) Sistem jednaina (1.2.26) moe se napisati u matrinom obliku { }[ ] [ ] { } { } [ ] [ ]{ } d d d dl lTl l lTlr J J r r J J r = = 1 (1.2.27) Vezeizmeukovarijantnihikontravarijantnihbaznihvektoradobijajuseizjednaavanjem(1.2.11)3i (1.2.23)3 uz korienje (1.2.26) d drrxrxd r d rxrxrdrl l llklkl l l llklkx g g g g = = = = (1.2.28) odakle sledi da su l ll l l l l l l l l l k kk k k k l lk kx x r rJ J J Jr r x x = = = = g g g g g g (1.2.29) Izrazi (1.2.29) mogu se napisati u matrinom obliku { } { }[ ] [ ] { } { }[ ] [ ]l l lTl l l l lTg g J J g g J J = = 1 (1.2.30) Kvadratduinevektorarelativnogpoloaja(1.2.4),izraenprekokrivolinijskihkoordinata, dobija se skalarnim proizvodom (1.2.28) r d r d g r d r d dr dr g dr dr d d s dl l l l l l l l l l l l l= = = = = g g g g x x2(1.2.31) gde su9l l l lklkl l l lklk g J J g J J = = = = g g g g (1.2.32) kovarijantneikontravarijantnekomponentefundamentalnogmetrikogtenzora.Zbogkomutativnosti skalarnog proizvoda metriki tenzor je simetrian. U matrinom obliku (1.2.32) moe se napisati kao [ ] { } { } [ ] [ ] [ ] { } { } [ ] [ ]l lTl lTl l lTl l lTg g g J J g g g J J = = = = 1(1.2.33) Pomoukovarijantnihikontravarijantnihkomponenatametrikogtenzoramogusepremetatiindeksi tenzora razliitog reda. Korienjem (1.2.32) i (1.2.33), prethodno definisane veze izmeu kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata i baznih vektora mogu se napisati kao dr g d r d r g drl l l l = = (1.2.34) { }[ ]{ } { } [ ]{ } d d d dl l l lr g r r g r = = (1.2.35) l l l l l lg g g g g g= =(1.2.36) { } { }[ ] { } { }[ ]l l l l l lg g g g g g = =(1.2.37) Zamenom (1.2.36)2 u (1.2.36)1 dobija se da je [ ][ ][ ]l l l lg g = = g g I3 (1.2.38) Iz(1.2.38)moesezakljuiti,dasematricaijisuelementikomponentekontravarijantnogmetrikog tenzora moe dobiti inverzijom matrice iji su elementi komponente kovarijantnog metrikog tenzora [ ] [ ]l lg g =1 (1.2.39) Komponente metrikog tenzora u Descartes-ovim koordinatama (1.2.1) su elementi jedinine matrice.Lokalne Descartes-ove koordinate. Definisanje lokalnih Descartes-ovih koordinatnih sistema, uposmatranojmaterijalnojtakiP,jeneizbenoudvasluaja.Prvi,akopostojiuslovdanema normalnognaponaupravcunekekontravarijantnekoordinateusvakomvremenskomtrenutku,adrugi kada je materijal anizotropan. Uprvomsluajudefiniese,uposmatranojmaterijalnojtakiP,lokalniDescartes-ov koordinatnisistemsakoordinatama( )lkx k = 1 2 3 , , iortogonalnimjedininimbaznimvektorima ( ) ikk = 1 2 3 , , ,takodajejednakoordinatnaravantangentnanakontravarijantnukoordinatnupovr kojudefiniekontravarijantnakoordinata.Praktino,takavkoordinatnisistemsedefiniekodtanke ljuske tako da dve ose lokalnog Descartes-ovog koordinatnog sistema lee u tangentnoj ravni na srednju povrljuske,atreajeupravnananju.Jedanodmoguihnainadefinisanjabaznihvektoraikmoe izgledati ovako lllll ll ll l liggii gi gi i i11131 21 22 3 1= == gde oznaava intenzitet vektora. Diferencijalni prirataji Descartes-ovih koordinata su d xxxd x T d x d xxxd x T d xljljlklkljklklklkljljlkjlj= = = =1(1.2.40) a veze izmeu baznih vektora dobijaju se zamenom (1.2.40) u (1.2.3) i i i ixi ikljljlklj ljkljlljklkljk lkjxxTxxxT = = = = =1 (1.2.41) 10 Ako se izrazi (1.2.41) pomnoe skalarno odgovarajuim baznim vektorima dobijaju se ( ) ( )ljkljlklj klj klkjlkljklj kljTxxTxx= = = = = =i i i i i i i i cos , cos ,1(1.2.42) Koristei komutativnost skalarnog proizvoda koja potie od parnosti (cos) funkcije sledi da je [ ] [ ]lkjljkl lTT T= =11T T(1.2.43) Konano, diferencijalni prirataji Descartes-ovih koordinata (1.2.40) su d xxxd x T d x d xxxd x T d xljljlklkljklklkljlkljljklj= = = = (1.2.44) Sistem jednaina (1.2.44) moe se napisati u matrinom obliku { } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l l lTlx T x x T x = = (1.2.45) gdejevektorkolona { } { }d d x d x d xl l l lTx =1 2 3.Vezeizmeubaznihvektoradobijajuse zamenom (1.2.44) u (1.2.3) d d xxxd x d xxxd xlklk kljlkljljljljljlklkx i i i i = = = = (1.2.46) odakle sledi da su i i i i i ikljljlklj ljklj kljlkk ljkxxTxxT = = = =(1.2.47) Izrazi (1.2.47) mogu se napisati u matrinom obliku { }{ }[ ] { }{ }[ ]i i T i i T = =l l l lT(1.2.48) gde je vektor vrsta { }{ }lll li i i i =1 2 3. Udrugomsluajudefiniese,uposmatranojmaterijalnojtakiP,lokalniDescartes-ov koordinatnisistemsakoordinatama( )lkx k ` , , = 1 2 3 iortogonalnimjedininimbaznimvektorima ( )lkk`, , i = 1 2 3 ,takodasekoordinatneosepoklapajusatriprivilegovanaortogonalnapravca.Smatra sedajerelativnipoloajovoglokalnogkoordinatnogsistemauodnosunaprethodnodefinisanilokalni koordinatni sistem nepromenljiv u toku vremena. Prema (1.2.42)1 elementi matrice transformacije izmeu ova dva lokalna koordinatna sistema su ( )Txxjkljlkljlkljlk= = =``cos`, i i i i(1.2.49) Analognoizrazima(1.2.44)do(1.2.48),vezeizmeukoordinataibaznihvektoralokalnihkoordinatnih sistema su d xxxd x T d x d xxxd x T d xljljlklk jklklkljlklj jklj`` `` ` = = = =(1.2.50) { } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l lTl` ` x T x x T x = = (1.2.51) 11lkljljlklj jkljlkljlklk jkxxTxxT i i i i i i = = = =``` `` (1.2.52) { } { }[ ] { } { }[ ]l l l lTi i T i i T = =` ` (1.2.53) gdejevektorkolona { } { }d d x d x d xl l l lT` ` ` ` x =1 2 3avektorvrsta { }{ }lll l` ` ` `i i i i =1 2 3. Koristeiranijedefinisanematricetransformacije(1.2.42)1i(1.2.49)dobijasematricatransformacije izmeu glavnih materijalnih pravaca i globalnog koordinatnog sistema ( ) [ ] [ ][ ] T T T i i i il lk jlk jlikljiklililjlkljljklT TxxxxxxT = = = = = =,cos (1.2.54) a veze izmeu koordinata i baznih vektora su d xxxd x T d x d xxxd x T d xljljlklkljklklkljlkljljklj``````` = = = =(1.2.55) { } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l l lTl`` `` x T x x T x = = (1.2.56) i i i i i ikljljlklj ljklj kljlkk ljkxxTxxT = = = =``` ` ``` (1.2.57) { }{ }[ ] { }{ }[ ]i i T i i T = =l l l lT` ` ` ` (1.2.58) U Tab. 1.2.1 date su veze izmeu globalnog Descartes-ovog i drugih koordinatnih sistema koji suuovompoglavljudefinisani.Ovevezevaeusvakomvremenskomtrenutkul,odnosnousvakoj konfiguraciji lB. Koristei date izraze mogue je odrediti veze izmeu koordinata i baznih vektora bilo koja dva navedena koordinatna sistema. Takoe, ovi izrazi koriste se pri koordinatnim transformacijama tenzora proizvoljnog reda. 12 Tabela 1.2.1 Veze izmeu globalnog Descartes-ovog i drugih koordinatnih sistema Vektor relativnog poloaja diferencijalne duine u razliitim koordinatnim sistemima d d x dr d r d x d xlklkl l l lmlmlnlnx i g g i i = = = = = ``Globalne Descartes-ove koordinate{ } { }Tl l l lx d x d x d d3 2 1= xi vektori{ } { }3 2 1i i i i =Kontravar. koordinate{ } { }Tdr dr dr d3 2 1= ri kovar. vektori{ } { }3 2 1g g g gl l l l=d xxrdr J dr drrxd x J d xlklk lklklklklk= = = = (1.2.6) { } [ ]{ } { }[ ] { }d d d dl l l lx J r r J x = =1(1.2.7) llklkklk kllkl lkrxrJrxJ gxi i i g g = = = = = (1.2.12) { }{ }[ ]{ }{ }[ ]l l l lg i J i g J = =1 (1.2.13) { } { } { } { }1; ;lTTl l l l l l l l kk k k k lkx rJ Jr x = = = = = = i g J i g g i J g iKovar. koordinate{ } { }Tl l l lr d r d r d d3 2 1= r i kontravar. vektori{ } { }3 2 1g g g gl l l l=d xrxd r J d r d rxrd x J d xlklkl lkl llk lklklk= = = = (1.2.21) { } [ ]{ } { }[ ] { }d d d dl lTlTlx J r r J x = =(1.2.22) lklkklkkllk l lkrxJxrJ g i i i g g = = = = (1.2.24) { }{ }[ ]{ }{ }[ ]l lTl lTg i J i g J = =(1.2.25) Lokalne Descartes koordinate{ } { }Tl l l lx d x d x d d3 2 1 = xi vektori{ } { }3 2 1 i i i il lll=d xxxd x T d x d xxxd x T d xljljlklkljklklkljlkljljklj``````` = = = =(1.2.55) { } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l l lTl`` `` x T x x T x = = (1.2.56) i i i i i ikljljlklj ljklj kljlkkljkxxTxxT = = = =``` ` ```(1.2.57) { }{ }[ ] { }{ }[ ]i i T i i T = =l l l lT` ` ` ` (1.2.58) ( ) [ ] [ ][ ] T T T i i i il lk jlk jlikljiklililjlkljljklT TxxxxxxT = = = = = =,cos (1.2.54) ( ) ( )TxxTxxjkljlkljlkljlkljkljlklj klj k= = = = = =``cos`, cos , i i i i i i i i131.3.GRADIJENTDEFORMACIJE,POLARNADEKOMPOZICIJA, DEFORMACIONI TENZORI Posmatrana materijalna takaP , koja je u poetnom trenutkul = 0u konfiguraciji 0Bimala koordinate 0x,prikretanjuzauzimarazliitetakeprostora.Utekuemvremenskomtrenutkul t =materijalnatakaP ukonfiguraciji tBzauzimatakuprostorasakoordinatama tx .Zbogtogato jednamaterijalnatakanemoezauzimativietaakaprostoraistovremeno,kaoizbogtogatojednu taku prostora ne mogu zauzimati vie materijalnih taaka istovremeno, funkcije kretanja koje povezuju poetne i tekue koordinate predstavljaju (1-1) preslikavanje ( ) ( ) 3 , 2 , 1 ) , , , ( 3 , 2 , 1 ) , , , (3 2 10 0302010= = = = j t x x x x x k t x x x x xt t tj j ktkt (1.3.1) Uodreenomvremenskomtrenutkut const = .,diferencijalnipriratajikoordinata(1.3.1)raunajuse kao dxxxdx Fdx dxxxdx F dxtktkjjtkj j jjtktk t jktk= = = =0000 000 (1.3.2) Parcijalniizvodi 0tkjF sukomponentetenzoragradijentadeformacije 0tF .Indeksisalevestrane oznaavaju vremenske trenutke i to tako da se levi gornji odnosi na prvi desni indeks a levi donji na drugi desni indeks. Izraz (1.3.2) moe se napisati u matrinom obliku{ } [ ]{ } { } [ ]{ }d d d dt tttx F x x F x = =00 0 0(1.3.3) Iz (1.3.3) dobija se [ ][ ][ ][ ][ ][ ]ttt iktkj ijtttjkt ki jiF FF F00 300003 00F F IF F I= == =(1.3.4) odakle sledi da je [ ] [ ] ttt ijtijF F001001F F = = (1.3.5) Zbog(1.3.5)2,parcijalniizvodi t jkF0(1.3.2)2zovuserecipronigradijentideformacijeipredstavljaju komponentetenzorarecipronog(inverznog)gradijentadeformacije.Dabi(1-1)preslikavanjeizmeu poetnih i tekuih koordinata (1.3.1) bilo mogue bar u okolini posmatrane materijalne take, potrebno je da determinanta matrice iji su elementi gradijenti deformacije bude razliita od nule [ ][ ]0 00110t ttF = = detdetFF(1.3.6) KakosuusvakomtrenutkuvremenaglobalneDescartes-ovekoordinateizraeneprekoneprekidnihi diferencijabilnihfunkcija,nepromenljivihkonvektivnihkoordinata(1.2.6),parcijalniizvodiu(1.3.2) raunaju se posrednim diferenciranjem ktjktjktjjktjktjktjktkjtJ JxrrxxxF J JxrrxxxF00 01000 0 0= = = = = =(1.3.7) Pokazanojedasekomponentetenzoragradijentadeformacijekaoikomponentetenzorainverznog gradijenta deformacije raunaju korienjem odgovarajuih Jacobi-jevih transformacionih matrica (1.2.8) [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] 0010101l l l lF J J F J J = = (1.3.8) 14 Zamenom(1.3.2)1u(1.2.3)dobijasevezaizmeuvektorarelativnogpoloajaupoetnoji tekuoj konfiguraciji d d xxxdxxxd dtktk ktkjj ktkjjtx i i i i x F x = = = = 000000(1.3.9) Koristei posredno diferenciranje (1.3.7)1 kao i (1.2.12)1 i (1.2.24)1 sledi 00 00 tktkjj ktkjjtxxxrrxF i i i i g g = = = (1.3.10) Vezaizmeubaznihvektorakrivolinijskihkoordinataudvekonfiguracijedobijaseskalarnim mnoenjem (1.3.10) odgovarajuim recipronim baznim vektorima (1.2.18)1 t t t t t T tg F g g g F F g = = = 00 00 0 (1.3.11) Zamenom(1.3.2)2u(1.2.3)dobijasevezaizmeuvektorarelativnogpoloajautekuojipoetnoj konfiguraciji d dxxxd xxxd dj j jjtktk jjtkkt t t 0 00 001x i i i i x F x = = = = (1.3.12) gdeje 01 tFtenzorrecipronog(inverznog)gradijentadeformacije.Koristeiposrednodiferenciranje (1.3.7)2 sledi 010 00 tjjtkk jjtkktxxxrrxF i i i i g g = = = (1.3.13) Vezaizmeubaznihvektorakrivolinijskihkoordinataudvekonfiguracijedobijaseskalarnim mnoenjem (1.3.13) odgovarajuim recipronim baznim vektorima (1.2.18)1 001 00100g F g g g F F g = = = t t t t t T (1.3.14) Akoseposrednodiferenciranjeu(1.3.10)izvriprekopromenljivihkovarijantnihkoordinata, korienjem (1.2.19)3 dobija se 0000 0000 tktkttjj ktktjjttxrrrrxrxrrxrrrF i i i i g g = = = (1.3.15) Izjednaavanjemizraza(1.3.10)3i(1.3.15)3iskalarnimmnoenjemodgovarajuimrecipronimbaznim vektorima, uz korienje (1.2.32) dobija se { } [ ][ ]{ }tt t trrg g d d00 0 0= = r g g r(1.3.16) Ako se posredno diferenciranje u (1.3.13) izvri preko promenljivih kovarijantnih koordinata sledi 010000000tjjtttkk jjttkkttxrrrrxrxrrxrrrF i i i i g g= = = (1.3.17) Izjednaavanjemizraza(1.3.13)3i(1.3.17)3iskalarnimmnoenjemodgovarajuimrecipronimbaznim vektorima (1.2.18)1, dobija se { } [ ][ ]{ }00 0 0rrg g d dtt t t= = r g g r (1.3.18) 15Polarnadekompozicija.TenzorgradijenatadeformacijeF F =0t,kaoisvakidrugiregularan tenzor drugog reda, moe biti predstavljen u obliku F RU VR F U R R V = = = = 1 1 1 T T (1.3.19) gdesuRortogonalnitenzorrotacije,UdesnisimetrinitenzorizduenjaaVlevisimetrinitenzor izduenja R R U U V V= = =1 T T T (1.3.20)Mogue veze izmeu navedenih tenzora, koje e kasnije biti primenjene, dobijene korienjem (1.3.19) i (1.3.20), su oblika R FU V F R UF F V = = = = 1 1 1 1 T (1.3.21) U R F F R R VR U F R R F R V R = = = = = = T T T T T T 1 1 1 (1.3.22) V FR RF RUR V RF F R RU R = = = = = = T T T T T T 1 1 1(1.3.23) Kvadratitenzoraizduenjamoguseodreditiodgovarajuimmnoenjemtenzoragradijentadeformacije (1.3.19), eliminisanjem tenzora rotacije C F F U C F F U = = = = T T 2 1 1 2(1.3.24) B FF V B F F V = = = = T T 2 1 1 2 (1.3.25) TenzorC poznat je kao Green-ov ili desni Cauchy-Green-ov deformacioni tenzor, aB kao Cauchy-jev ilileviCauchy-Green-ovdeformacionitenzor.DeformacionetenzoreC1iB1nekiautorinazivaju Finger-ovimdeformacionimtenzorima,Sansour(1992).Prema(1.3.20)sledidasutenzoriCiB simetrini. Tenzori izduenja dobijaju se iz (1.3.24) i (1.3.25) kao U C U CV B V B= == = 1 2 1 1 21 2 1 1 2(1.3.26) Stepenovanjesimetrinogtenzoraproizvoljnimizloiocem,vrisetakotoseprvoodredesopstvene vrednostiiglavnipravcitenzora,izvrisestepenovanjeglavnihvrednostiizatimprimenispektralna teorema. 1.4GLAVNIPRAVCI,INVARIJANTE,DEVIJATORSKIISFERNI DEO TENZORA. SPEKTRALNA TEOREMA GlavnipravciproizvoljnogsimetrinogtenzoradrugogredaC,uodnosunaDescartes-ove koordinate,supravciortonormiranihvektora( ) pkk = 1 2 3 , , kojipriunutranjemproizvodusa tenzorom daju kolinearne vektore () () ()( ) C p p = =k k kc k 1 2 3 , , (1.4.1)gdesu( ) c kk= 1 2 3 , , skalari.Indeksisazagradamakoristesekadasepoponovljenimindeksimane vri sabiranje. Ako se (1.4.1) napie u matrinom obliku []()[ ]( )(){ }{ } ( ) C I p 0 = = c kk k1 2 3 , , (1.4.2)dobija se sistem od tri linearne homogene jednaine sa nepoznatim komponentama vektorapk. Ovde je [ ]I jedininamatricadimenzije3.Netrivijalnoreenjejednaina(1.4.2)postojisamoakoje determinanta sistema jednaka nuli 16 [] [ ] ( )det C I = c 0 (1.4.3)Ova jednaina se zove karakteristina jednaina tenzoraC, a u razvijenom obliku glasi c I c I c I3122 30 + = (1.4.4)OvdesuI I I1 2 3, , glavneinvarijantetenzoraC.Reenjakarakteristinejednaine( ) c kk= 1 2 3 , ,zovusesopstvene(karakteristine)vrednosti,avektori( ) pkk = 1 2 3 , , kojinjimaodgovarajuzovuse sopstveni(karakteristini)vektori.Praktinoraunanjesopstvenihvrednostivriseprekodevijatorskog dela tenzora, to je dato u tekstu koji sledi. Glavneinvarijante.Glavneinvarijantetenzorasuveliinekojenezaviseodkoordinatnih transformacija, a raunaju se kao, Miunovi (1990), I C C C1 11 22 33= = + + tr C(1.4.5) ( )( )IC CC CC CC CC CC C222 11 1221 2211 1331 3322 2332 3312= = + + tr tr C C (1.4.6) IC C CC C CC C C311 12 1321 22 2331 32 33= = det C(1.4.7) Kada je tenzor simetrianC Cij ji= , druga i trea invarijanta su oblika I C C C C C C C C C2 11 22 22 33 33 11 122232312= + + (1.4.8) I C C C C C C C C C C C C3 11 22 33 12 23 31 11 23222 31233 1222 = + (1.4.9) Sferni i devijatorski deo tenzora. Simetrini tenzor drugog reda moe se napisati u obliku C C C = +~(1.4.10)gde su sferni deo tenzora C I I = =131 0I (1.4.11) i devijatorski deo tenzora ~C C I = 0 (1.4.12) Ovde suIjedinini tenzor, a ( ) 0 1 11 22 331313= = + + I C C C(1.4.13) srednja vrednost normalnih komponenti tenzora ili normalna oktaedarska veliina tenzora. Ravni koje su podjednakonagnuteuodnosunaglavnepravcesuoktaedarskeravni.Kadasetenzorizraziuglavnim pravcima devijatorska ravan i oktaedarska ravan se poklapaju.Glavne invarijante devijatorskog dela tenzora su 01 = J (1.4.14) 231223212 11 33 33 22 22 1121 2 2~ ~ ~ ~ ~ ~31C C C C C C C C C I I J + + = = (1.4.15) 212 33231 22223 11 31 23 12 33 22 1131 2 1 3 3~ ~ ~2~ ~ ~27231C C C C C C C C C C C C I I I I J + = + = (1.4.16) Glavni pravci devijatoskog dela tenzora, analogno (1.4.2), odreuju se iz sistema jednaina 17[]()[ ]( )(){ }{ } ( )~~, , C I p 0 = = c kk k1 2 3 (1.4.17)Zamenom (1.4.12) u (1.4.17) i uporeivanjem sa (1.4.2) moe se zakljuiti da tenzor i njegov devijatorski deo imaju iste glavne pravce, a sopstvene vrednosti su im povezane relacijom ( ) c c kk k= + = 01 2 3~, , (1.4.18) Karakteristina jednaina devijatorskog dela tenzora, analogno (1.4.4), dobija se kao ~ ~c J c J32 30 + = (1.4.19)Jednaina (1.4.19) reava se smenom, Jari (1988), Billington (1986), Ekmark (1983), ~cos c = 20 (1.4.20) gde su 0 022 222323= = I J(1.4.21)devijatorska(smiuaoktaedarska)veliinatenzorai ugaorotacijeudevijatorskoj(oktaedarskoj) ravni. Zamenom (1.4.20) u (1.4.19) dobija se 4 3 323033cos cos cos = = J(1.4.22) odakle se dobijaju tri reenja za uglove 103 3 2 1 3 113232323= = + = arccos J(1.4.23) Sopstvenevrednostidevijatorskogdelatenzora ~C,odnosnoreenjakarakteristinejednaine(1.4.19), prema (1.4.20) su ( )~cos , , c kk k= = 2 1 2 30 (1.4.24) Konano,sopstvenevrednostitenzoraC,odnosnoreenjakarakteristinejednaine(1.4.4),prema (1.4.18) su ( ) ( ) 3 , 2 , 13212arccos31cos 2~3 300 0 0= ++ = + = k k J c ck k (1.4.25) Sopstvenevrednostisimetrinihtenzorasurealnibrojeviimoguseureditipoveliinic c c1 2 3 . Razliitim sopstvenim vrednostima odgovaraju razliiti meusobno ortogonalni glavni pravci.Svakojsopstvenojvrednosticktrebaodrediti,prema(1.4.2),odgovarajuisopstvenivektor pk []()[ ]( )(){ }() [ ] (){ }{ } ( ) C I p C p 0 = = = c kk k k k1 2 3 , , (1.4.26)Oiglednojedae(1.4.26)bitizadovoljeno,Huntleyidr.(1983),akosezakomponentesopstvenog vektorapkuzmunormiranikofaktorijednebilokojevrstematrice () [ ]Ck,ijikofaktori () () ()C C Ck k k 1 2 3, ,nisu svi jednaki nuli (){ }()()()()()()() () () ()pkkkkkkkTk k k kCCCCCCC C C C = = + + >1 2 31222320 (1.4.27) 18 Pravcisopstvenihvektora(1.4.27)predstavljajuglavnepravcetenzora.Zatosesopstvenevrednosti (1.4.25)zovuglavnevrednostitenzora.Uzavisnostiodtogadalisusopstvenevrednostirazliiteili jednake razlikujemo tri sluaja. a) Ako su sve sopstvene vrednosti razliitec c c1 2 3> > , svakoj sopstvenoj vrednosti odreuje seodgovarajuisopstvenivektorkorienjemizraza(1.4.26)i(1.4.27).Dobijenisopstvenivektorisu meusobnoortogonalnip p p p1 2 3 1 ijedinini () ()p pk k = 1. Ako su sve sopstvene vrednosti istogznaka,tojeuveksluajkodtenzoradeformacija,tenzorgeometrijskipredstavljapovrtroosnog elipsoida,ijeseosesimetrijepoklapajusaglavnimpravcimaapoluprenicisujednakisopstvenim vrednostima tenzora. b)Akosudvesopstvenevrednostijednakeatrearazliitaodnjih,c c c1 2 3> = ili c c c1 2 3= > , samo za sopstvenu vrednost koja je razliita od druge dve, odreuje se sopstveni vektor korienjemizraza(1.4.26)i(1.4.27).Zadrugadvasopstvenavektoramoguseuzetiproizvoljnadva ortonormirana vektora koji lee u ravni koja je upravna na prethodno odreen sopstveni vektor. Ako su svesopstvenevrednostiistogznakaadvemeusobnojednake,tenzorgeometrijskipredstavljapovr obrtnogelipsoida,ijaseoseobrtanjapoklapasajednoznanoodreenimglavnimpravcem,a poluprenik upravan na osu obrtanja je jednak jednakim sopstvenim vrednostima tenzora. c)Akosusvetrisopstvenevrednostijednakec c c1 2 3= = ,svakipravacjeglavni,paseza sopstvene vektore mogu uzeti proizvoljna tri ortonormirana vektora. U ovom sluaju tenzor geometrijski predstavlja sfernu povr iji je poluprenik jednak sopstvenim vrednostima tenzora. Spektralnateorema.SvakisimetriantenzorC,ijesusopstvenevrednostickisopstveni vektoripk odreeni, moe se izraziti spektralnim opisom C p p = =ck k kk 13 (1.4.28) Matrica iji su elementi komponente tenzora (1.4.28) je dijagonalnog oblika []C = ccc1230 00 00 0 (1.4.29) Glavne invarijante tenzora (1.4.5) do (1.4.7), izraene u odnosu na glavne pravce su I c c c1 1 2 3= + +(1.4.30) I cc cc cc2 1 2 2 3 3 1= + +(1.4.31) I c cc3 1 2 3= (1.4.32) AkojesimetrinitenzorCpozitivnodefinitan,I30 > ,korienjemspektralnogopisa(1.4.28) jednostavno se odreuju kvadratni koren tenzoraC1 2 i inverzni tenzorC1 C p p1 2 1 213= =ck k kk (1.4.33) C p p== 1131ckk kk(1.4.34) Pri ovim operacijama ne dolazi do promene glavnih pravaca tenzora. Prethodnoizloenimpostupkom,simetrinideformacionitenzor(1.3.24)i(1.3.25)moguse izrazitiuobliku(1.4.28),azatimprimeniti(1.4.33)i(1.4.34)zaizraunavanjedesnogilevogtenzora izduenja (1.3.26) i njihovih inverznih tenzora 19U C p p U C p p = = = = = = 1 2131 1 2131k k kk kk kk (1.4.35) V B q q V B q q = = = = = = 1 2131 1 2131k k kk kk kk (1.4.36) gde su ( ) k k kc b k = = =1 2 1 21 2 3 , , (1.4.37) glavna izduenja koja predstavljaju izduenja materijalnih dui u glavnim pravcima, a kako ne zavise od rotacije imaju istu vrednost kod oba tenzora. Glavni pravci desnog i levog tenzora izduenja razlikuju se zarotacijuitotakodapkodgovarajunerotiranimkonfiguracijama(poetnaisamoizduena),aqk rotiranimkonfiguracijama(tekuaisamorotirana).Samorotiranakonfiguracijaisamoizduena konfiguracija su definisane u poglavlju 1.5. Prethodne tvrdnje su oigledne ako se deformacioni tenzori (1.3.24) i (1.3.25) izraze preko recipronih baznih vektora krivolinijskih koordinata korienjem (1.3.10) ili (1.5.18) C F F g g g g g g = = = = T t t t t tg g g g g 0 0 0 0 0 0` `(1.4.38) B FF g g g g g g = = = = T t t t t t tg g g g g0 0 0 0 0 ` ` (1.4.39) gdesukomponentetenzoraistedokbaznivektoritenzoraCodgovarajunerotiranimatenzoraB rotiranim konfiguracijama. Tenzor rotacije i tenzor gradijenata deformacije u glavnim pravcima su oblika R q p R p q = = k kTk k (1.4.40) F q p F p q = = == k k kk kk kk 131131 (1.4.41) 1.5SAMOROTIRANIISAMOIZDUENIPRAVCI,OPERACIJE UNAPRED/UNAZAD TenzorgradijentadeformacijeFvripreslikavanjematerijalnihduiizpoetneutekuu konfiguraciju.Topreslikavanjemoesevriti,premapolarnojdekompoziciji(1.3.19),nadvanaina- primenomdvanezavisnatenzora,tenzorakruterotacijeR itenzoraizduenjaU iliV.Prvinain, podrazumeva da se prvo promeni veliina materijalne dui desnim tenzorom izduenjaUa zatim kruto rotira tenzorom rotacijeR . Drugi nain, podrazumeva da se prvo materijalna du kruto rotira tenzorom rotacijeR azatimpromeninjenaveliinalevimtenzoromizduenja V.Materijalnadukojapripada nekomglavnompravcunerotiradodatnoprimenomtenzoraizduenja,takodasamorazlikujemonjen poetniitekuiglavnipravac.Proizvoljnamaterijalnadurotiradodatnoprimenomtenzoraizduenja, takodaporedpoetnogitekuegpravcarazlikujemojodvapravcaitosamorotiraniisamoizdueni pravac.Baznivektorikrivolinijskihkoordinataseuoptemsluajumogusmatratiproizvoljnim orijentisanimmaterijalnimduima.Veze(1.3.11)i(1.3.14),izmeupoetnihitekuihkovarijantnihi kontravarijantnih baznih vektora, preko tenzora gradijenata deformacije su t tg F g g F g = = 0 0 1(1.5.1)t T Ttg F g g F g = = 0 0 (1.5.2) Primenom polarne dekompozicije (1.3.19) u prethodnim izrazima dobijamo t Tt T tg RU g VR g g U R g R V g = = = = 0 0 0 1 1(1.5.3)t Tt T tg RU g V R g g UR g R V g = = = = 1 0 1 0 0(1.5.4)20 Radijasnijegpredstavljanjadvooperacijskogpreslikavanjabaznihvektoraizmeupoetneitekue konfiguracije(1.5.3)i(1.5.4),uvodesenazivitransformacijaunapred(push-forward)zaoperacije preslikavanja baznih vektora od poetne prema tekuoj konfiguraciji i transformacija unazad (pull-back) zaoperacijepreslikavanjabaznihvektoraodtekuepremapoetnojkonfiguraciji.Izvravanjemsamo prveoperacijeu(1.5.3)i(1.5.4),dobijajusedvenovegrupebaznihvektoraito 0 ` gsamorotirani bazni vektori i t ` g samo izdueni bazni vektori, Sansour (1992). Novi bazni vektori definiu se kao t Tt t` ` g U g R g g R g V g = = = = 0 0 0 1(1.5.5)t Tt t` ` g U g R g g R g V g = = = =1 0 0 0 (1.5.6)Samo izdueni kovarijantni bazni vektori t ` g (1.5.5)1, mogu se tumaiti da su dobijeni transformacijom poetnih 0gunapredsaU ilitransformacijomtekuih tgunazadsaRT.Samorotirani kovarijantni bazni vektori 0 ` g (1.5.5)2, mogu se tumaiti da su dobijeni transformacijom poetnih 0g unapredsaR ilitransformacijomtekuih tgunazadsaV1.Njihovirecipronikontravarijantni baznivektori(1.5.6)dobijajuseistimoperacijamarotiranjaainverznimoperacijamaizduenja. Skalarnim mnoenjem baznih vektora samim sobom (1.5.5) i (1.5.6), uz korienje (1.3.20)1, dobijaju se komponente odgovajuih metrikih tenzora t t t t t tg g g g ` ` ` ` ` ` = = = = = = g g g g g g g g0 0 0 0 0 0 (1.5.7)t t t t t tg g g g ` ` ` ` ` ` = = = = = = g g g g g g g g0 0 0 0 0 0(1.5.8)Vidi se da su iste komponente metrikog tenzora za samo rotirane i poetne bazne vektore, kao i za samo izdueneitekuebaznevektore.Zatosemoesmatratidalevigornjiindekspotpunoodreujedalise radiopoetnojilitekuojmetrici.Korienjemizraza(1.5.3)do(1.5.6)mogusepoetniitekuibazni vektori izraziti preko samo rotiranih i samo izduenih kao t t t Tg R g V g g U g R g = = = =` ` ` `0 0 1 0(1.5.9)t t t Tg R g V g g U g R g = = = =` ` ` `1 0 0 0 (1.5.10)Izizraza(1.5.5),(1.5.6),(1.5.9)i(1.5.10)dobijajuseizrazizaortogonalnitenzorrotacijeisimetrine tenzore izduenja R g g g g g g g g = = = = 0 0 0 0` ` ` ` t t t t (1.5.11) U g g g g U g g g g = = = = t t t t` ` ` ` 0 0 1 0 0 (1.5.12) V g g g g V g g g g = = = = t t t t 0 0 1 0 0` ` ` `(1.5.13) Vezeizmeusamorotiranihisamoizduenihbaznihvektoraprekotenzoragradijenatadeformacije dobijaju se zamenom odgovarajuih veza iz (1.5.9) i (1.5.10) u (1.5.5) i (1.5.6) t T T t t` ` ` ` ` ` g UR g R V g g RU g V R g = = = = 0 0 0 1 1 (1.5.14) g VR g RU g g V R g R U g 0 0 1 0 1 t t T T t= = = = (1.5.15)odnosno t T Tt` ` ` ` g F g g F g = = 0 0 (1.5.16)t t` ` ` ` g F g g F g = =1 0 0 (1.5.17)Ranijedefinisantenzorgradijenatadeformacijeprekopoetnihitekuihbaznihvektora(1.3.10)i (1.3.13), sada se moe napisati preko samo rotiranih i samo izduenih baznih vektora koristei (1.5.16) i (1.5.17) kao 21F g g g g F g g g g = = = = t t t t 0 0 1 0 0` ` ` ` (1.5.18) Tenzori(1.5.18)i(1.5.11)do(1.5.13)predstavljajudvostrukatenzorskapolja a imaju osobinu da im je matricakomponenatajedinina.Pomouovihtenzoramoesedefinisativieoperacija unapred/unazad kojeprimenjenenadproizvoljnimtenzoromdrugogreda,definisanimukonvektivnimkoordinatama, transformiusamobaznevektoredokkomponenteostajunepromenjene.Ovaosobinaoperacijabie pokazana nad metrikim tenzorima definisanim u odnosu na razliite bazne vektore, a vai i za tenzore sa proizvoljnim komponentama. Metrikitenzorinapisaniudirektnojnotacijiuodnosunakontravarijantneikovarijantne poetne, samo rotirane, samo izduene i tekue bazne vektore su I g g g g g g g g = = = = = = = =0 0 0 0````t t t t (1.5.19) gde su 0 0 0 0 0 0 0 0g g g g g g = = g g (1.5.20) 0 0 0 0 0 0 0 0` ` ` ``` ` ` g g g g g g = = g g (1.5.21) t t t t t t t tg g ` ` ` ``` ` ` g g g g g g = = (1.5.22) t t t t t t t tg g g g g g g g = = (1.5.23) Prema(1.5.7)i(1.5.8),metrikitenzoriuodnosunabaznevektorekojiserazlikujuzakruturotaciju imajuistekomponente,alizbogjasnoezadraeserazliitooznaavanje.Metrikitenzori(1.5.19) mogu se zvati jedinini tenzori jer pri unutranjem proizvodu sa drugim tenzorima ponaaju se neutralno, odnosno ne menjaju rezultat. Korienjem tenzora gradijenata deformacije (1.5.18) mogu se definisati sledee operacije, koje primenjene nad metrikim tenzorima (1.5.20) do (1.5.23) daju ( ) ( ) g g F g F g F g g F g F g Ft t T t t Tg g = = = = 0 0 0*0 1 0 0*(1.5.24) ( ) ( ) g g F g F g F g g F g F g F 0 0 0*0 0 1 0*t t T t t Tg g = = = = (1.5.25) ( ) ( ) g g F g F g F g g F g F g F 0 0 1 * 0 0 * = = = = g gt t T t t T t t (1.5.26) ( ) ( ) g g F g F g F g g F g F g F0 0 1 * 0 0 * = = = = g gt T t t t t T t (1.5.27) Desnidonjioperacijskiindekszvezdakoristisezaoznaavanjeoperacijskihtransformacijaunapred,a desnigornjioperacijskiindekszvezdazaoznaavanjeoperacijskihtransformacijaunazad.Korienjem ortogonalnogtenzorarotacije(1.5.11)mogusedefinisatisledeeoperacijenadmetrikimtenzorima (1.5.20) do (1.5.23)( ) ( ) g g R g R g R g g R g R g R 0 0 0 0 0*0 0 0 0 0* = = = = g gT T (1.5.28) ( ) ( ) g g R g R g R g g R g R g R0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 * = = = = g gT T (1.5.29) ( ) ( )* * t t T t t t t t T t t tg g = = = = R g R g R g g R g R g R g g (1.5.30) ( ) ( ) g g R g R g R g g R g R g R * * t t t t T t t t t t T tg g = = = =(1.5.31) Korienjemsimetrinihtenzoraizduenja(1.5.12)i(1.5.13)mogusedefinisatisledeeoperacijenad metrikim tenzorima (1.5.20) do (1.5.23)( ) ( ) g g U g U g U g g U g U g U 0 0 0*0 1 0 1 0*t t t tg g = = = = (1.5.32) ( ) ( ) g g V g V g V g g V g V g Vt t t tg g = = = = 0 0 0*0 1 0 1 0*(1.5.33) ( ) ( ) g g U g U g U g g U g U g U0 0 1 1 * 0 0 * = = = = g gt t t t t t(1.5.34) 22 ( ) ( ) g g V g V g V g g V g V g V 0 0 1 1 * 0 0 * = = = = g gt t t t t t(1.5.35) Oigledno je da se operacije (1.5.24) do (1.5.35) mogu primeniti nad proizvoljnim tenzorima drugog reda takodasetransformiusamobaznivektoritenzoradokkomponenteostajunepromenjene.Toje posledicainjenicedatenzoritransformacije,(1.5.18)i(1.5.11)do(1.5.13),imajujedininumatricu komponenata.Operacijeizduenja(1.5.32)do(1.5.35),mogusenadruginainizvritisukcesivnom primenom odgovarajuih operacija deformacija i rotacija (1.5.24) do (1.5.31) U R F F R U R F F R*** * * *** * *``= = = = (1.5.36) V F R R F V F R R F* *** * * *** *``= = = = (1.5.37) U F R R F U F R R F* *** * * *** *``= = = = (1.5.38) V R F F R V R F F R*** * * *** * *``= = = = (1.5.39) Ovdejesa oznaenakompozicijafunkcija,( ) ( ) ( )( ) f gx f g x =.Svedefinisaneoperacijeimaju osobinu,akoseistaoperacijaprimeninanekitenzorsukcesivnounapredpaunazadiliobrnuto,dase tenzor ne menja. Koristei ovu osobinu za operaciju rotacije u (1.5.36) do (1.5.39), operacije deformacije (1.5.24)do(1.5.27)moguseizvritinadruginainprekosukcesivneprimeneodgovarajuihoperacija izduenja i rotacija F R U V R F R U V R* * * * * * * * * *= = = =(1.5.40) ``* ** ** * ** **F U R R V F U R R V = = = =(1.5.41) `` *** ***** **F R U V R F R U V R = = = =(1.5.42) F U R R V F U R R V* * * * * * * * * *= = = =(1.5.43) Kakosuoperacije(1.5.24)do(1.5.27)i(1.5.32)do(1.5.35)primenjenenadjedininim tenzorima (1.5.19), dobijeni izrazi na drugi nain definiu deformacione tenzore (1.3.24) i (1.3.25) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )C F g F g U g U gC F g F g U g U g= = = == = = =********``````t tt t0 01 0 0(1.5.44) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )B F g F g V g V gB F g F g V g V g= = = == = = =``````********t tt t0 01 0 0 (1.5.45) Ovakavnainpisanjadoprinosijasnijemtumaenjutenzora.Naprimer,jedanodnainarazumevanja desnogCauchy-Green-ovogdeformacionogtenzoramoebiti,dajedobijenoperacijomdeformisanja unazad(1.5.27)1tekuegmetrikogtenzora(1.5.23)1,takodakomponentemetrikogtenzoraostaju nepromenjeneC gt = atekuikontravarijantnibaznivektoritransformiuseupoetne 0g. Koristei (1.5.7) i (1.5.8), deformacioni tenzori (1.5.44) i (1.5.45) konano se mogu napisati u obliku C g g g g = = t t tg g 0 0 0` ` (1.5.46) C g g g g = = 1 0 0 0g gt t t ` ` (1.5.47) B g g g g = = t t tg g 0 0 0` ` (1.5.48) B g g g g = = 1 0 0 0g gt t t ` ` (1.5.49) Tenzoriizduenja(1.5.12)i(1.5.13),kojipredstavljajudvostrukatenzorskapolja,moguse napisati u odnosu na jedan sistem baznih vektora kao 23U g g g g = = 00 0 0 ttt tg g ` ` (1.5.50) U g g g g = = 100 0 0 t t ttg g ` ` (1.5.51) V g g g g = = 00 0 0 ttt tg g ` ` (1.5.52) V g g g g = = 100 0 0 t t ttg g ` ` (1.5.53) gde su00 0 t t tg = = ` ` g g g g (1.5.54) tt tg0 0 0 = = g g g g ` ` (1.5.55) 1.6. POMERANJA, GRADIJENTI POMERANJA Vektor pomeranja posmatrane materijalne take, iz jedne u drugu konfiguraciju, jednak je razlici njojodgovarajuihvektorapoloajautimkonfiguracijama.UodnosunaglobalniDescartes-ov koordinatni sistem, korienjem (1.2.2), definiu se sledei vektori pomeranja t tktkt tt t t tktkt t t tt t t tkt tkt t t tuuuu x x i x x uu x x i x x uu u u i x x u= = = += = = += + = = ++ ++ + + +0 00 (1.6.1) gdesu tuvektorpoznatogpomeranjaizpoetneutekuukonfiguraciju, tuvektorprirataja pomeranjaiztekueususednukonfiguracijui t t +uvektorkonanogpomeranjaizpoetne konfiguracije u konfiguraciju koja je susedna tekuoj. Tenzorigradijenatadeformacijekojivrepreslikavanjematerijalnihduiizmeupomenutih konfiguracija, definiu se primenom (1.3.10) i (1.3.13) kao 0 0 001001 1t tkt tktitijj tt t tt tkktitit tjjttt txxxxxxxx++++ + + = == =F i i F FF i i F F(1.6.2) gde je tt t +Fprirataj tenzora gradijenata deformacije ( )( )tt t t t tktktktjj tttt t t t tkt tktkt tjj t ttx uxx ux+ + + + +++= =+= += == F F F i i I YF F F i i I Y0 0110 01(1.6.3) Ovde jeIjedinini tenzor, a lY tenzor gradijenata pomeranja l kkljj kkil iuxur Y i i i g = = (1.6.4) gde se levi gornji indeks odnosi na pomeranja a levi donji na koordinate. 24 252. TENZORI KONANE DEFORMACIJE 2.1. RAZLIITE MERE TENZORA KONANE DEFORMACIJE Prideformacijitelarastojanjaizmeunjegovihestica(materijalnihtaaka)se,uoptem sluaju,menjaju.Linijskielement,kojispajadvediferencijalnobliskematerijalnetake,predstavljen vektoromrelativnogpoloajaupoetnoj,samorotiranoj,samodeformisanojitekuojkonfiguraciji, moeseizrazitiuodnosunaranijedefinisanekoordinatnesisteme:globalniDescartes-ov,lokalne Descartes-ove iji su bazni vektori glavni vektori (pravci) i konvektivne krivolinijske sa kovarijantnim i kontravarijantnim baznim vektorima, kao d dx dx dr drk k k k0 0 0 0 0 0x i p g g = = = = (2.1.1) d dx dx dr drk k k k0 0 0 0 0 0` ` ` ` x i q g g = = = = (2.1.2) d d x d x dr drtktk ktkt t t` ` ` ` x i p g g = = = = (2.1.3) d d x d x dr drtktk ktkt t tx i q g g = = = = (2.1.4) Metrikitenzorikojiodgovarajunavedenimkonfiguracijama,koristei(1.5.19)do(1.5.23),moguseu direktnoj notaciji napisati kao I i p q g g g g g g g g = = == = = = = = = =0 0 0 0````t t t t (2.1.5) gde su i i i p p p q q q = = = jk j k jk j k jk j k (2.1.6) Vektorrelativnogpoloajamoesetransformisatiizjednekonfiguracijeudrugukorienjemtenzora gradijenata deformacije, tenzora izduenja i tenzora rotacije, kao d d d dt tx F x x F x = = 0 0 1 (2.1.7) d d d dt T T t` ` ` ` x F x x F x = = 0 0(2.1.8) d d d dt t` ` x U x x U x = = 0 0 1(2.1.9) d d d dt tx V x x V x = = 0 0 1` `(2.1.10) d d d dT 0 0 0 0` ` x R x x R x = =(2.1.11) d d d dt T t t t` ` x R x x R x = = (2.1.12) Kakoseprikrutojrotacijiduinalinijskogelementanemenja,sledidajeintezitetvektorarelativnog poloaja isti u konfiguracijama koje se razlikuju za rotaciju d d ds d d dst t t 0 0 0x x x x = = = = ` ` (2.1.13) Akovektorrelativnogpoloajanijeproizvoljanvektor,veleidunekogglavnogpravca,primenom tenzora izduenja menja se samo njegov intezitet. Ranije definisani tenzori izduenja i Cauchy-Green-ovi deformacionitenzori(1.4.35)i(1.4.36)uodnosunaglavnepravcesudijagonalni.Zatoseuodnosuna glavne pravce razliiti tenzori deformacije mogu jednostavno i jasno definisati.Glavnaizduenja( ) kk = 1 2 3 , , (1.4.37),predstavljajuodnosduinautekuemipoetnom trenutku (2.1.13), linijskog elementa koji lei du glavnog pravca ktkkdsds=0 (2.1.14) 26 Razliitemeredeformacije,kojesunajeeuupotrebi,moguseizrazitiufunkcijiglavnihizduenja, Hill (1968),( )( )km kmkmmm= =11 00 ln (2.1.15) Oznaka() m nalevojstranijednainenijeeksponent,vepokazujekojajevrednostkorienapri izraunavanjuizraza.Zapozitivnevrednostieksponenta( ) m= 1 2 , ,deformacijapredstavljaodnos izduenja linijskog elementa i njegove poetne duine, odnosno deformacija se meri u odnosu na njegovu poetnu duinu ( ) k ktk kkds dsds1001 = = (2.1.16) ()( ) k ktk kkds dsds222 0 20 21212= =(2.1.17) Zanegativnevrednostieksponenta( ) m= 1 2 , ,deformacijapredstavljaodnosizduenjalinijskog elementa i njegove tekue duine, odnosno deformacija se meri u odnosu na njegovu tekuu duinu ( )kktk ktkds dsds= =1011(2.1.18) ( )kktk ktkds dsds= =222 0 2212112(2.1.19) Kadajevrednosteksponenta( ) m= 0 ,priratajdeformacijepredstavljaodnospriratajaizduenja linijskogelementainjegovetekueduine,odnosnodeformacijajejednakaprirodnomlogaritmuod izduenja ( )( )( )ddd sd sd sdsktktkk ktkk 0 00= = = ln ln(2.1.20) Izrazi(2.1.16)do(2.1.20)predstavljajukomponenterazliitihtenzoradeformacijekojisudefinisaniu glavnim pravcima.KoristeitenzoreizduenjaiCauchy-Green-ovetenzoredeformacije(1.4.35)i(1.4.36),kaoi metriketenzore(2.1.6)kojiodgovarajuglavnimpravcima,mogusedefinisatirazliititenzori deformacije.Tenzoriijesukomponente(2.1.16)i(2.1.17)definiudeformacijeuodnosunapoetnu metriku koju imajupoetna konfiguracija ( )H U p p p = = =k k kk113 (2.1.21) ( )( )E C p p p = = =12213k k kk (2.1.22) i samo rotirana konfiguracija ( )`H V q q q = = =k k kk113 (2.1.23) 27( )( )`E B q q q = = =12213k k kk (2.1.24) Tenzoriijesukomponente(2.1.18)i(2.1.19)definiudeformacijeuodnosunatekuumetrikukoju imaju samo deformisana konfiguracija ( )`h p U p p = = =1113k k kk(2.1.25) ( )( )` e p C p p = = =121213k k kk(2.1.26) i tekua konfiguracija ( )h q V q q = = =1113k k kk(2.1.27) ( )( )e q B q q = = =121213k k kk(2.1.28) Takoe, spektralnim opisom mogu se definisati tenzori deformacije ije su komponente (2.1.20) ( )( )`lnlnl U p pl V q q= = = = ==k k kkk k kk013013(2.1.29) Kako su konvektivne (kontravarijantne) koordinate konstantne (2.1.1)3 do (2.1.4)3, deformisanje linijskih elemenata, kao vektora relativnog poloaja, moe se izraziti samo preko promene kovarijantnih baznihvektora.Zatojeprirodnodefinisatitenzoredeformacije(2.1.21)do(2.1.28),kaokovarijantne tenzore korienjem (1.5.46)1 do (1.5.53)1 kao i (2.1.5) ( ) ( )E C g g g = = 12120 0 0 0 tg g (2.1.30) ( ) ( )`` ` ` E B g g g = = 12120 0 0 0 tg g (2.1.31) ( ) ( )` ` ` ` e g C g g = = 12121 0 t t t tg g (2.1.32) ( ) ( )e g B g g = = 12121 0 t t t tg g (2.1.33) ( )H U g g g = = 000 0 0 tg g (2.1.34) ( )`` ` ` H V g g g = = 000 0 0 tg g (2.1.35) ( )`` ` ` h g U g g = = t t t t tg g10 (2.1.36) ( )h g V g g = = t t t t tg g10 (2.1.37) Oiglednaprednostovakvognainaizraavanjatenzoradeformacijejeutometosvitenzorikojisu definisaniprekokvadrataduinalinijskihelemenata(2.1.30)do(2.1.33),imajuistekovarijantne komponente u odnosu na etiri razliita kontravarijantna bazna sistema. To znai da su mere deformacije, uokoliniposmatranematerijalnetake,potpunoodreenerazlikomtekuegipoetnogkovarijantnog 28 metrikogtenzorauodnosunabilokojureferentnukonfiguraciju.Tojeposledicainjenicedase kovarijantnibazni sistem deformie se zajedno sa okolinom posmatrane materijalne take, tako da uvek ostaje vezan za iste materijalne estice.Tenzorideformacije(2.1.30)do(2.1.37),moguseizrazitiuodnosunakovarijantnebazne vektore korienjem (1.5.46)2 do (1.5.53)2 kao i (2.1.5), kao ( ) ( )E C g g g = = 12120 t t t tg g`` ` (2.1.38) ( ) ( )`E B g g g = = 12120 t t t tg g (2.1.39) ( ) ( )` e g C g g = = 12120 1 0 0 0g gt (2.1.40) ( ) ( )e g B g g = = 12120 1 0 0 0`` ` g gt (2.1.41) ( )H U g g g = = ttt t tg g`` `0 (2.1.42) ( )`H V g g g = = ttt t tg g0 (2.1.43) ( )`h g U g g = = 0 1 0 0 0 0g gt (2.1.44) ( )h g V g g = = 0 1 0 0 0 0`` ` g gt (2.1.45) Prethodnodefinisanitenzorideformacijeuliteraturisupoznatiposledeimnazivima:E- Green-Lagrange-ov tenzor deformacije, `E - unapred rotirani Green-Lagrange-ov tenzor deformacije,` e-unazadrotiraniAlmansi-jevtenzordeformacije,e -Almansi-jevtenzordeformacije.Tenzori `Ei` enazivajusejoiKarni-Reiner-ovitenzorideformacije.TenzoriH,`H, `h ih obinosenazivaju tenzorima inenjerske deformacije. Uobiajenojeuliteraturi,dasepromenakvadrataduinediferencijalnematerijalnedui,prei posle deformacije, izrazi preko tenzora deformacija (2.1.30) do (2.1.33), kao d s ds d d d d d d d dt t t t t 2 0 2 0 0 0 02 2 2 2 = = = = x E x x E x x e x x e x ``` ` ` `(2.1.46) 2.2. MULTIPLIKATIVNA DEKOMPOZICIJA Usluajuneelastinihmaterijala,smatramodanaponizavisesamoodelastinihdeformacija. Zbogteinjenice,poredpoetneitekuekonfiguracije,smatramodapostojinekazamiljena meukonfiguracija B ,kojasedobijakadasetekuakonfiguracijarastereti.Daljeeserazmatrati sluajkadajeneelastinodeformisanjematerijalaplastino,paesekoristitiindeksp. Meukonfiguracijajeposledicasamoplastinogdeformisanjaiunjojnemaelastinihdeformacijai napona.Praktino,takvukonfiguracijunijeuvekmogueostvaritizbogtogatodobijenopolje deformacijajeuoptemsluajunekompatibilno.Koordinatematerijalnihtaaka x ,kojeodgovaraju meukonfiguraciji,nijemogueodrediti,alisemoeposrednoodredititenzorgradijentaplastine deformacijeFp. Primenom (1.6.2) tenzor gradijenta ukupne deformacije F, moe se dobiti proizvodom tenzora gradijenta plastine deformacijeFp i tenzora gradijenta elastine deformacijeFe 29 F F F F F FF F F F F F= == = e p p eTpTeT Te Tp T1 1 1 (2.2.1) Ovakvo rastavljanje gradijenta deformacije najee se u literaturi naziva multiplikativna dekompozicija, Lee (1969), Lubarda (1995). Na svaki od tenzoraF ,Fp iFe mogua je primena teoreme o polarnoj dekompoziciji (1.3.19). Green-Lagrange-ovitenzorideformacije(2.1.30),kojiodgovarajutenzorimagradijenta deformacijaFe iFp, su ( ) ( )E F F I E F F Ie eTe p pTp= = 1212(2.2.2) gdejeIjedininitenzordrugogreda.Green-Lagrange-ovtenzorukupnedeformacije,kojiodgovara tenzoru gradijenta ukupne deformacije F (2.2.1), dobija se kao ( )E F F I E F E F = = +12Tp pTe p(2.2.3) TenzorukupnedeformacijeE,nijejednakzbirutenzoraelastineEeitenzoraplastinedeformacije Ep,potojezatenzoreEiEpreferentnakonfiguracijapoetna 0B ,dokjetenzorEedefinisanu odnosu na meukonfiguraciju B . U sluaju unapred rotiranog Green-Lagrange-ovog tenzora elastine deformacije (2.1.31), tenzor ukupne deformacije (2.2.3) rauna se kao E E F R E R F = +p pTeTe e p`(2.2.4) Tenzorielastinihiplastinihdeformacijamogusesabiratisamoakosuizraeniuodnosunaistu konfiguraciju,kojamoebitipoetna,tekuailimeukonfuguracija.Tojeposledicainjenicedase tenzorirotacijaR,RpiReuoptemsluajurazlikuju,pasetenzorideformacije(2.2.2)nemogu direktno sabirati u konfiguracijama koje su rotirane u odnosu na prethodno navedene konfiguracije. Almansi-jevi tenzori deformacija (2.1.33), koji odgovaraju tenzorimaFe iFp, su ( ) ( )e I F F e I F Fe e Te p p Tp= = 12121 1(2.2.5) Almansi-jev tenzor ukupne deformacije moe biti izraen, koristei (2.2.1), kao ( )e I F F e F e F = = + 121 1 Te e Tp e (2.2.6) UsluajuunazadrotiranogAlmansi-jevogtenzoraelastinedeformacije(2.1.32),tenzorukupne deformacije (2.2.6) rauna se kao e R e R F e F = + e e eTe Tp e`1(2.2.7) IzmeusvakogprethodnonavedenogLagrange-ovogtenzoradeformacijeEinjemuodgovarajuegAlmansi-jevog tenzora deformacijee, postoji veza preko odgovarajueg tenzora gradijenta deformacije F E F e F e F E F = =T T 1(2.2.8) Koristei (2.2.8) i (2.2.1), izraz (2.2.3) moe se napisati u obliku E E F E F F e F = =p pTe pTe(2.2.9) kojipokazujedaserazlikaLagrange-ovogtenzoraukupneiplastinedeformacijemoeizrazitipreko Almansi-jevog tenzora elastine deformacije. 30 Vano je naglasiti da kod metala plastine deformacije ne izazivaju promenu zapremine, tako da je determinanta tenzora gradijenta plastine deformacije Fpdvdv= = =001 (2.2.10) Zato su determinante tenzora gradijenta ukupnih i elastinih deformacija iste F F F F = = = =e p etdvdv00 (2.2.11) injenica(2.2.10)omoguavadaseintegracijapozapremininepoznatemeukonfiguracije moe vriti po zapremini poznate poetne konfiguracije. 2.3. PRIRATAJI TENZORA DEFORMACIJE Kadasetenzorideformacije,kojiodgovarajuHill-ovojmerideformacijek( ) 2ilik( ) 2 (2.1.15),izrazeukonvektivnimkoordinatama,oiglednojeiz(2.1.30)do(2.1.33)daimajuiste komponente ( ) ( )00 0 01212t t t t t t t tg g+ + + += = g g g g(2.3.1) Koristei (1.2.12)1 i (1.6.1),( )t tt tttr r++= = +gxgu (2.3.2) kovarijantne deformacije (2.3.1) mogu se napisati kao 0 0t t t += + (2.3.3) gde su 0t deformacije izmeu poetne i tekue konfiguracije ( )00 012t t t = g g g g (2.3.4) a prirataj deformacije izmeu tekue i susedne konfiguracije. = + e(2.3.5) Ovde jee linearni deo prirataja deformacije ( )er rtttt t t t t = + = + 1212 ugug u g u g, , (2.3.6) a je nelinearni deo prirataja deformacije (geometriska nelinearnost) ( ) = = 1212 t tt tr ru uu u, ,(2.3.7) Izrazi(2.3.6)i(2.3.7)mogupredstavljatipriratajedeformacijapriiterativnimprocesima,stim to levi gornji indeks t oznaava vrednost u trenutakut t + u iteraciji (i-1), a levi gornji indekstoznaava prirataj u iteraciji (i). 31Kada su prirataji pomeranja mali, moe se zanemariti izraz (2.3.7). Ako su i rotacije male moe sesmatratidasepoetnakonfiguracijanemenja,pase(2.3.6)svodinaizrazzainfinitezimalne deformacijee = + 120 0( ), ,u g u g(2.3.8) Maledeformacije (2.3.8), u odnosu na glavne Descartes-ove koordinate, dobijaju se u poznatom obliku kao euxuxijijji= +12( )(2.3.9) 32 333. TENZORI NAPONA I RAVNOTEA 3.1. TENZORI NAPONA U posmatranoj materijalnoj takiP , vektor "tanog" napona ()tn definie se kao vektor tekue povrinske siledtfpo tekuoj diferencijalnoj povrinidat, gde je jedinini vektor spoljanje normale na tekuu diferencijalnu povrinu tn , ()tfn = ddatt(3.1.1) Posmatranadiferencijalnapovrinamoebitiuteluilinagraninojpovritela.Akojediferencijalna povrina u telu povrinska sila je unutranja sila, a ako je na graninoj povri povrinska sila je spoljanja ili kontaktna sila. Vektor "tanog" napona ()tn, u taki tekue diferencijalne povrine, moe se odrediti, premaCauchy-jevojfundamentalnojteoremi,unutranjimproizvodom"tanog"iliCauchy-jevog simetrinog tenzora naponai vektora normale na tekuu diferencijalnu povrinu tn()t nn = t (3.1.2) Zbog kasnijeg definisanja razliitih tenzora napona koji odgovaraju definisanim tenzorimadeformacije u glavi 2., tenzorske veliine (3.1.2) je neophodnoizraziti u odnosu na ranije definisana etiri tipa baznih vektora. Vektor tekue povrinske sile i jedinini vektor normale na tekuu diferencijalnu povrinu mogu se napisati u odnosu na tekue i samo rotirane bazne vektore kao d df df dt tf g g f = = =0 0`` t tn n n g g n = = = 0 0`` (3.1.3) Kadasekoristenadvuenivektori(3.1.3),smatrasedasutekuivektoriizraeniuodnosunasamo rotirane bazne vektore koji imaju poetnu metriku. Zamenom (3.1.3)2 u (3.1.2) dobija se ()t t tn = = n n (3.1.4) takodaCauchy-jevafundamentalateoremaudrugomoblikupokazujedasevektor"tanog"napona ()tn,utakitekuediferencijalnepovrine,moepredstavitilinearnomfunkcijomvektoranapona,iji sukoeficijentikomponentejedininogvektora tn n =0 `.Vektorinapona(3.1.4),kojidelujuna koordinatne povri kovarijantnih baznih vektora su t ga t a= (3.1.5) t ga a= 0` (3.1.6) Iz (3.1.5) i (3.1.6) direktno se dobija Cauchy-jev tenzor napona u obliku = = t g t gt 0 `(3.1.7) Polazeiodovogizrazamogusedefinisatirazliititenzorinapona.Cauchy-jevtenzornapona(3.1.7) moe se napisati u odnosu na tekue i samo rotirane bazne vektore na sledee naine = = = = tt t t t ttt g g g g g g g g00 0 000 0 0` ` ` `(3.1.8) gdeindeksisalevestranekomponenatatenzoranaponapokazujukojimbaznimvektorima,odnosno kojoj metrici komponente odgovaraju, i to tako to se levi gornji indeks odnosi se na prvi desni indeks a levi donji - na drugi desni. Iz (3.1.8)2 i (3.1.8)3 oigledno je da je 00 tt = (3.1.9) 34 Korienjem (3.1.7) do (3.1.9) dobijaju se vektori napona kao t g g = =tt t t00 ` (3.1.10) t g g = =0 00 0 t t` (3.1.11) Fizikoznaenjerazliitihkomponenatatenzoranaponajejasnoiz(3.1.10)i(3.1.11).Vezeizmeu razliitihkomponenatatenzoranaponamogusedobitiiz(3.1.8)izraavanjemtekuihbaznihvektora preko samo rotiranih korienjem (1.5.54)2 i (1.2.36)2 00 00 00 00 0 = = g g g g g gttt t t t (3.1.12) Cauchy-jev tenzor napona (3.1.8)2 i (3.1.8)3, koji je izraen u odnosu na razliite bazne vektore, moe se napisatiprekoproizvodanovogtenzoranaponailevogsimetrinogtenzoraizduenjaV(1.5.13)1, korienjem (3.1.9) = =` ` V VT(3.1.13) gde je` = 00 0 t ` ` g g(3.1.14) Ako se na (3.1.8) primeni operacija rotacije unazad(1.5.31)2 i (1.5.29)2, korienjem (1.5.11) i (3.1.9), dobija se izometriki Cauchy-jev tenzor napona ()` = =R R RT ` = = = = tt t t t t t t ` ` ` ` g g g g g g g g000000 0 0(3.1.15) Primenomodgovarajuihoperacijaunazadiunapred(1.5.24)2do(1.5.35)2nadkovarijantnim baznim vektorima ve definisanih tenzora napona, dobijaju se novi tenzori napona.Transformacijom unazad tenzora napona (3.1.14) operacijom rotacije (1.5.29)2 dobija se () = =R R R` `T= 00 0 t g g(3.1.16) Transformacijom unapred tenzora napona (3.1.14) operacijom deformacije (1.5.25)2 dobija se ()``` `` = =F F F T= 0t t t ` ` g g (3.1.17) Transformacijom unapred tenzora napona (3.1.14) operacijom izduenja (1.5.33)2 dobija se () = =V V V` ` = 0t t t g g (3.1.18) TransformacijomunazadCauchy-jevogtenzoranapona(3.1.8)1operacijomdeformacije(1.5.27)2ili izometrikog Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.15)1 operacijom izduenja (1.5.34)2 dobija se () () = = = = = 1 1 1 1 U U U U F F F T= tt 0 0g g(3.1.19) TransformacijomunazadizometrikogCauchy-jevogtenzoranapona(3.1.15)1operacijomdeformacije (1.5.26)2 ili Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.8)1 operacijom izduenja (1.5.35)2 dobija se () () = = = = = 1 1 1 1V V V V F F F T g g 0 0 =tt(3.1.20) TransformacijomunapredCauchy-jevogtenzoranapona(3.1.8)4operacijomdeformacije(1.5.25)2ili izometrikog Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.15)4 operacijom izduenja (1.5.32)2 dobija se ( ) ( )``` ` ` ` = = = = = F F F U U U UT= 00 t t` ` g g (3.1.21) TransformacijomunapredizometrikogCauchy-jevogtenzoranapona(3.1.15)4operacijomdeformacije (1.5.24)2 ili Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.8)4 operacijom izduenja (1.5.33)2 dobija se () () = = = = = F F F V V V V` `T= 00 t tg g(3.1.22) Kontravarijantnekomponentetenzoranapona tt, 00i 0tuodnosunaetirirazliita sistema baznih vektora definiu deset tenzora napona. Kako je Cauchy-jev tenzor naponasimetrian 35tenzor, svi tenzori napona dobijeni njegovom transformacijom ` , , ` , `isu simetrini. Tenzori napona , ` , ` i uoptemsluajunisusimetrini.Lakosemoepokazati,korienjemranije datih izraza, da se nesimetrini tenzori napona mogu izraziti preko simetrinih tenzora napona kao = =`U U1(3.1.23) ` ` = =V V1(3.1.24) ` ` ` = =U U1 (3.1.25) = =V V1 (3.1.26) Konano, Cauchy-jev tenzor napona moe se izraziti preko drugih tenzora napona kao 1 1 11 = = = = == = = = =V R F V F R V VF F V V F F R RT T TT T T(3.1.27) 3.2.HELMHOLZ-OVASLOBODNAENERGIJA,ENERGETSKI KONJUGOVANI TENZORI NAPONA I DEFORMACIJE Termodinamikakontinuumazasnivasenakalorinojjednainistanja,kojapretpostavljadaje specifinaunutranjaenergija (pojedinicimase)uokoliniesticeP ,odreenapreko termodinamikogstanjakojedefiniunezavisnetermodinamikepromenljivepodstanjaF ijedan skalarni parametar , Malvern (1969), ( ) = F, , P (3.2.1) UsluajudeformabilnogtelatermodinamikepromenljivepodstanjaF sudevetkomponenatatenzora gradijenta deformacije ili komponente ranije definisanih tenzora deformacije, a skalarni parametarje specifinaunutranjaentropija.SpecifinaHelmholz-ovaslobodnaenergija jeonajdeospecifine unutranje energijekoji je slobodan da vri rad pri konstantnoj temperaturi = (3.2.2) SpecifinaHelmholz-ovaslobodnaenergijapredstavljatermodinamikipotencijalzanaponepri izotermikim procesima( ) = const. , a u sluaju Cauchy-jevog napona dobija se, Jari (1988), =t T FF (3.2.3) gde je ttekua gustina. Rad napona, koji se mogu izvesti iz slobodne energije, je potpuno povratan u dvasluajaito:usluajukadajedeformacijaadijabatskaiizentropskaiusluajukadajedeformacija izotermikaaprenoenjetoplotereverzibilno.Samodisipativnideonapona,kojijeovdezanemaren, doprinosipromenientropije.Zanemarivanjemtemperaturskihpromenaidisipativnihprocesanegubise na optosti i ne utie se na rezultat odreivanja energetski konjugovanih tenzora napona i deformacija.Potosesviranijedefinisanitenzorideformacijemoguizrazitiprekotenzoragradijenta deformacije, koristei posredno diferenciranje moe se (3.2.3) napisati u obliku, Sansour (1992), =t T EEFF** tt t tttgEEFF =**00(3.2.4) gdeE* oznaava proizvoljni tenzor deformacije. Sada je potrebno odrediti izvode po tenzoru gradijenta deformacijerazliitihtenzoradeformacija(1.5.46)do(1.5.53),odnosno(2.1.30)do(2.1.37).Pri 36 odreivanjuizvodakorienajesimetrijasvihtenzoradeformacijeiCauchy-jevogtenzoranapona . TenzorrotacijeR(1.5.11)tretiranjekaonezavisnapromenljivakojanezavisidirektnoodtenzora gradijentadeformacijeF .Takoe,korienisuizrazi(1.3.19)do(1.3.25),gdekomponentetenzora rotacije,tenzoraizduenjaitenzoragradijentadeformacijeodgovarajubaznimvektorima(1.5.11)do (1.5.13) i (1.5.18). Odreivanje izvoda tenzora deformacije po tenzoru gradijenta deformacije svodi se na primenu jednog od dva naredna izraza GRADFFFFI I = =

00ttFF=GRADFFFFF F = = 111 1

ttt tFFF F000 0=Cauchy-jevtenzornaponamoesedobitiprimenom(3.2.4)kadasekoristesledeitenzori deformacija: - desni Cauchy-Green-nov deformacioni tenzorC (1.3.24)1 i Green-Lagrange-ov tenzor deformacijeE (2.1.30)( )( ) 000 000 0CFF g FFg F Ftt t ttt t t= = + FCFt t t tt 0 0 02 =T t T tFEF FCF = = 2 (3.2.5) -levi Cauchy-Green-nov deformacioni tenzorB (1.3.25)1 i unapred rotiran Green-Lagrange-ov tenzor deformacije `E (2.1.31)( )( ) ttt ttt tBFF g FFF F g000000 00= = +tt t tttgBB = 2 = = 2t t BBEB`ili( )( ) 000 000000BFV g VFg V R V Rtt t ttt t t````````= = + 0002 VBVt t t tt= VEV VBV2t t= = (3.2.6) -inverznidesniCauchy-Green-novdeformacionitenzorC1(1.3.24)2iunazadrotiranAlmansi-jev tenzor deformacije` e(2.1.32)( )( ) 000 000 0 0 0 0cFF g FFF F F F g Ftttttt t t ttt= = + g FcF gtt tt t tt0002 = 1 112 = = FeF FCFT t T t(3.2.7) -inverznileviCauchy-Green-novdeformacionitenzorB1(1.3.25)2iAlmansi-jevtenzordeformacije e(2.1.33)37( )( )ttt ttt t t t tbFF g FFF g F F F F00 0 000 0 0 0 0 0= = +tt t t ttg bb = 2 = =2111 t tBBBe

ili ( )( ) 000 000 0 0 0 0bFV g VFV V V V g Ftttttt t t ttt`````` ``= = + g VbV gtt tt t tt0 0 02 =1 1 1112 = = VeV VBVt t(3.2.8) - desni tenzor izduenjaU (1.3.22)1 i tenzor inenjerske deformacijeH (2.1.34)( ) 0000ttt tttUFR FFR```= = FUR gttt t t tt 0 0=T t T tFHR FUR = = (3.2.9) - levi tenzor izduenjaV (1.3.23)1 i tenzor inenjerske deformacije `H (2.1.35)( ) 000000ttttVFF RFR` ``= = 00VVgttt t tt= VHVVt t= = (3.2.10) - inverzni desni tenzor izduenjaU1 (1.3.22)2 i tenzor inenjerske deformacije `h(2.1.36) ( )ttttttttUFF RFF R F00000 0```= = 00RUF gtttt t tt= T T t T T tRhF RUF1= = (3.2.11) - inverzni levi tenzor izduenjaV1 (1.3.23)2 i tenzor inenjerske deformacijeh(2.1.37)( )ttttt tVFR FFV F000 000 0```= = 0 0VV gttt t tt= hVVV111 = =t t(3.2.12) Uporeivanjem(3.1.27)sa(3.2.5)do(3.2.12)dobijajuseranijedefinisanitenzorinapona(3.1.19)do (3.1.26) 38 = = 2 t t C E(3.2.13) `` = = 2 t t B E(3.2.14) ` = =21t t C e`(3.2.15) = =21t t B e(3.2.16) Symt t= = U H (3.2.17) Symt t``= = V H (3.2.18) Sym` = =t t U h1` (3.2.19) Sym = =t t V h1 (3.2.20) gdeSym oznaava simetrini deo tenzora napona. Samo se simetrini deo tenzora napona , ` , `i moeizrazitiprekofunkcijeslobodneenergije.Njihovantisimetrinideopredstavljareaktivne naponekojisemoguodreditiizuslovasimetrijetenzoraU ,V,U1iV1,Sansour(1992).Izrazi (3.2.13) do (3.2.20) koriste se za definisanje energetski konjugovanih (dualnih) mera tenzora deformacije itenzoranapona.Izvodfunkcijeslobodneenergijepotenzorudeformacijedajenjegovenergetski konjugovantenzornapona.Prematome,dualnepromenljivesu: iCiliE, ` iBili `E, ` i C1ili` e , iB1ilie , iU iliH, ` iVili `H, ` iU1ili `h , iV1ilih . Oigledno je da Cauchy-jev tenzor napona nema energetski konjugovanu meru konane deformacije. Tenzor gradijenta deformacijeFima dualan tenzor naponaT T F =T=t F (3.2.21) Zadefinisanjeprethodnonavedenihtenzoranaponakorienajeslobodnaenergijapojedinici tekuezapremine t .Akosezadefinisanjetenzoranaponakoristislobodnaenergijapojedinici poetnezapremine 0 ,dobijajusetakozvani"teinski"naponi.Svakiprethodnodefinisantenzor napona pomnoen determinantom tenzora gradijenta deformacijeFF U V = = = =00ttvv daje njemu odgovarajui "teinski" napon = F (3.2.22) 39Zaoznaavanje"teinskih"naponakoristiesenadvuenitenzorinapona.Kadase(3.1.27)pomnoisa Fdobijaju se veze izmeu razliitih "teinskih" napona 11 1 1 T T TT T T = = = = == = = = =R R F F V V F FV V R F V F R V(3.2.23) Uliteraturiseestokoriste"teinski"naponi,anekiodnjihsunazvaniimenimapoznatihautora: - Kirchhoff-ovtenzornapona, ` -unazadrotiraniKirchhoff-ovtenzornapona, -drugiPiola-Kirchhoff-ovtenzornapona, ` -unapredrotiranidrugiPiola-Kirchhoff-ovtenzornapona, -Biot-Lure-ov tenzor napona, `- unapred rotirani Biot-Lure-ov tenzor napona. Tenzor napona `koristi Bell (1995) pri eksperimentalnim merenjima i naziva ga Bell-ov tenzor napona. Simetrini deo tenzora napona ( )SymT = +12 nekiautorinazivajuJaumann-ovtenzornapona,Atluri(1984).Naponu(3.2.21)odgovara"teinski" naponT poznatponazivuprviPiola-Kirchhoff-ovtenzornapona.Ostalimtenzorimanaponadosada nisu dodeljeni posebni nazivi. Zatenzorenaponakojiimajuprethodnonavedeneposebnenazive,uliteraturijedatanjihova fizikainterpretacijapoanalogijisafizikominterpretacijomCauchy-jevogtenzoranapona(3.1.1)i (3.1.2),Atluri(1984).Svaki vektor napona moe se predstavitiodnosom neke diferencijalne povrinske sileponekojorijentisanojdiferencijalnojpovrini.Vektortekuediferencijalnepovrinskesile d dtf f =0 `(3.1.3)1,izraenjeuodnosunakovarijantnebaznevektoreitransformieseprimenom tenzora rotacije, izduenja i gradijenta deformacije kao d d d dd d d dd d d dd d d dt tt T t Tt T tT t tf R f V f F ff R f U f F ff R f V f F ff R f U f F f= = == = == = == = = ` `` `` `` `0 00 00 0 10 0 1 1 (3.2.24) Veza izmeu tekue i poetne orijentisane diferencijalne povrine poznata je u literaturi kao Nanson-ova formula,Ekmark(1983).Tekuadiferencijalnapovrinada dat=0ijijejedininivektornormale tn n =0 ` izraen u odnosu na kontravarijantne bazne vektore (3.1.3)2, transformie sekao t t t t Tt t Tt tt t t tT t t Tt tda da da dada da da dada da da dada da da dan R n F V n F F nn R n F U n F F nn R nFV nFF nn R nFU nFF n= = == = == = == = = ` `` `` `` `1 0 0 0 01 0 0 1 0 00 0 0 00 0 0 01 11 1 (3.2.25) Zamenom (3.1.27) ili (3.2.23) u (3.1.2), i korienjem transformacija (3.2.24) i (3.2.25) dobija se t tttddanFnf= =1(3.2.26) 40 ` ```` t tttddanFnf= =1(3.2.27) F n nf 0 000= = dda(3.2.28) F n nf````` 0 000= = dda(3.2.29) 1 12FnFnf`` ` `` t tttdda= = (3.2.30) 1 12FnFnf t tttdda= = (3.2.31) F n nf 0 00= =ddat`(3.2.32) F n nf```` 0 00= =ddat(3.2.33) t tttddanFnf= =1(3.2.34) ``` t tttddanFnf= =1(3.2.35) F T n T nf0 00= =ddat(3.2.36) Dualnetenzorenaponaideformacijemnogiautoridefiniuuodnosunamaterijalnivremenski izvodfunkcijespecifineslobodneenergije ` ,kojipredstavljabrzinuspecifinogradailispecifinu snagu napona. Materijalni vremenski izvod funkcije slobodne energije ne zavisi od izbora koordinatnog sistemaimoesepokazatidaodravadualnostodgovarajuihtenzoranaponaitenzorabrzina deformacija za koje je prethodno utvreno da su energetski konjugovani, (3.2.13) do (3.2.20), t` = =12 : `: `C E(3.2.37) = =12`: ` `: `` B E(3.2.38) = =121`: ``: `` C e (3.2.39) = =121 : `: ` B e (3.2.40) = = : `: `U H (3.2.41) = =`: ` `: `` V H (3.2.42) 41= =`: ``:`` U h1(3.2.43) = = : `:`V h1(3.2.44) Specifina snaga napona za Caushy-jev napon dobija se skalarnim proizvodom tenzora napona i tenzora brzine deformacije u obliku t` = : d(3.2.45) Ovde je( )d L L = +12T (3.2.46) tenzorbrzinedeformacijeuodnosunatekuukonfiguraciju,kojipredstavljasimetrinideotenzora gradijenta brzine LxxFF d w = = = +tt``1(3.2.47)Tenzor vrtlonosti ( )w L L = 12T(3.2.48) predstavljaantisimetrinideotenzoragradijentabrzine,w w = T.Korienjem(1.5.18)tenzor gradijenta brzine moe se izraziti kao L g g = t t` (3.2.49) Zamenom (3.2.49) u (3.2.46) dobija se ( )d g g g g g g g g g g = = = + d gt t t t t t t t t t t 1212` ` ` (3.2.50) Unutranjim (skalarnim) proizvodom Caushy-jevog tenzora napona (3.1.8)1 i tenzora brzine deformacije (3.2.50), konano se dobija specifina snaga napona (3.2.45) u komponentalnom obliku t` =12tt tg ` (3.2.51) SpecifinasnaganaponazaunazadrotiranCaushy-jevnapondobijaseskalarnimproizvodom tenzora napona i unazad rotiranog tenzora brzine deformacije u obliku t` =`:` d (3.2.52) Ovde je ( )( )` ` `` ` ` d R d R dR UU U U g g = = = + = T t t tg12121 1 (3.2.53) unazadrotirantenzorbrzinedeformacije.Zamenom(3.1.15)1i(3.2.53)u(3.2.52),dobijaseista specifina snaga napona kao (3.2.51).Moesepokazatidajeispecifinasnagaostalihtenzoranaponajednaka(3.2.51).Svakiod tenzoradeformacija(1.5.46)do(1.5.53)kaoi(2.1.30)do(2.1.45),moguejeizrazitiuodnosuna poetneilisamorotiranekovarijantneilikontravarijantnebaznevektore.Potosepoetnibazni vektori ne menjaju tokom vremena a povezani su sa samo rotiranim baznim vektorima tenzorom rotacije g R g g R g g R g g R g 0 0 0 0 0 0 0 0 T T= = = =(3.2.54) materijalni vremenski izvod samo rotiranih baznih vektora dobija se kao g g R g g g R g 0 0 0 0 0 0 = = = =```` (3.2.55) gde je antisimetrini tenzor T T T = = = R R R R` ` (3.2.56) 42 Materijalniizvoditenzoradeformacijakojisuizraeniuodnosunapoetnebaznevektore(3.2.37), jednaki su izvodima komponenata tenzora ( )````C g gE g g g g= = = tttgD g gDtg 0 000 0 0 01212(3.2.57) Materijalnikorotacioniizvoditenzoradeformacijekojisuizraeniuodnosunasamorotiranebazne vektore (3.2.38), jednaki su unapred rotiranim izvodima (3.2.57) ( )( )()B g g g g g g B B BRR BRR RCR R C g gE R E g g = + + = + += = = = = = t t t TTT T ttg g gDDtgg` ` ` ``` ` `` `` `` ` `` `` ` ` 0 0 0 0 0 00 00 012 (3.2.58) Oigledno je da su skalarni proizvodi tenzora napona (3.1.19) i (3.1.20) sa tenzorima brzina deformacije (3.2.57) i (3.2.58), respektivno, jednaki specifinoj naponskoj snazi (3.2.51). Zadefinisanjetenzoranaponakojijedualanmaterijalnomkorotacionomvremenskomizvodu logaritamskedeformacije(2.1.29),koristiesevezaizmeutenzorabrzinelogaritamskedeformacijei tenzorabrzinedeformacije,Periidr.(1991,1992,1992a),Heiduschke(1995).Tenzorbrzine logaritamske deformacije ``lu odnosu na poetne glavne pravce( ) pkk = 1 2 3 , , , glasi ()() ()( )`..`, ,ln'li ji jijiiiiij j i ijji== = = = 00 01 2 3 gde je ()k0 Hill-ova mera logaritamske deformacije (2.1.15), aij komponente antisimetrinog tenzora rotacije (3.2.61). U prethodnom izrazu ne vri se sabiranje po ponovljenom indeksu, a moe se predstaviti u matrinom obliku kao [ ]```ln lnln`lnln ln`l =113122313122212323112333 (3.2.59) Unazad rotiran tenzor brzine deformacije `d (3.2.53) u odnosu na poetne glavne pravce je ``, ,di ji jijiiij jiij== =1 2 32 43 ili u matrinom obliku [ ]````d = 113 12212 31133 1221221 23322 31131 2332332 22 22 2 (3.2.60) Ovdesu( ) kk = 1 2 3 , , glavnaizduenja(1.4.37),a( ) kk = 1 2 3 , , sukomponenteugaonebrzine kojimrotirajuglavnipravci,gdejeantisimetrinitenzoruodnosunaortonormiranebaznevektore oblika [ ] =0003 23 12 1 (3.2.61) Vezaizmeuunazadrotiranogtenzorabrzinedeformacije `ditenzorabrzinelogaritamskedeformacije ``lu odnosu na poetne glavne pravce, moe se izraziti kao ( )( ) ( )( ) ( ) = = = = ==j iijj ii j j iij0j0ii j j iiiii iii0iijj i l2l23 2 1 j i l l1d .ln., ,..` ili u direktnoj notaciji `` ````` `d l l d = = (3.2.62) gdesu ` i ` kinematikitransformacionitenzori.Tenzori ` i ` suetvrtogreda,simetrinii meusobno inverzni a u odnosu na glavne pravce imaju sledee komponente razliite od nule ( )( )( )` ` `` ` `` ` ` ``ln` ` ` ``ln` ` ` ``ln 1111 2222 3333 1111 2222 33331212 1221 2112 212112121 2 2 11 22323 2332 3223 323223232 3 3 22 31313 1331 3113 313113133 1 1 33 112 2 2 21222 2 2 21222 2 2 2122= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =

(3.2.63) U sluaju jednakih glavnih izduenja j k= , odgovarajue smiue komponente (3.2.63) jednake su jedinici.Zamenom(3.2.62)1u(3.2.52)dobijaseunazadrotiranilogaritamskitenzornapona ` kojije dualan sa brzinom logaritamske deformacije``lu odnosu na poetne glavne pravce44 ()() ()( )( )`` `, ,`ln` iji iii iii j j ii jiji j j ii jij i ji ji j== = = = 11 2 32200 0 ili u direktnoj notaciji ` `` `` ` = =(3.2.64) Tenzorinaponaibrzinadeformacijauodnosunatekueglavnepravce( ) qkk = 1 2 3 , , , dobijaju se rotacijom unapred tenzora napona i brzina deformacije u odnosu na poetne glavne pravce ( )( ) = = = = R R R l R l RlR` `````T T ()( ) = = = = R R R d R d RdR` `` `T T(3.2.65) ijkl iM jN kO lP MNOP ijkl iM jN kO lP MNOPR R R R R R R R = =`` gde su komponente tenzora rotacijeRiJ iJ= , jer se odnose na tekue i poetne glavne pravce (1.4.40). Prirotacijiunaprediliunazadtenzoraizraenihuodnosunaglavnepravce(3.2.65),transformiuse samo bazni vektori dok komponente ostaju neizmenjene.Primenom (3.2.65) na (3.2.62) i (3.2.64) dobija se d l l d = == = (3.2.66) Naosnovu(3.2.45)i(3.2.66)moesezakljuitidajelogaritamskinapon dualansabrzinom logaritamske deformacijel u odnosu na tekue glavne pravce. Transformacioni tenzori ` , ` ,ipostajujedininitenzorietvrtogredakadasusvaglavnaizduenjajednaka,kadasepoetniglavni pravci ne menjaju tokom vremena ili kada se primeni teorija infinitezimalnih deformacija. 3.3.PRINCIPVIRTUALNOGRADA,INTEGRACIJA KONSTITUTIVNIH RELACIJA Varijacionemetodeimajuvelikuuloguprianaliziproblemaumehanicikontinuuma.Osnovni varijacioniprincipjeprincipvirtualnihpomeranja,kojiseestonazivaprincipvirtualnograda.On stvarno ne predstavlja zakon energije, jer je virtualni rad fiktivnog karaktera izraunat za skup moguih silainapona,zakojesepretpostavljadasukonstantniutokuradanaskupukinematikimoguih pomeranja.Takvinaponiipomeranjasunezavisnizarazlikuodnaponaipomeranjapristvarnom kretanjutela,naosnovukojihseodreujutenzorideformacija,akojisupovezanisatenzoromnapona preko konstitutivnih relacija. Principvirtualnogradapredstavljaumehanicideformabilnihtelaalternativninainza odreivanjeravnotenihjednainakretanja.Ovajprincipimaposebanznaajpriizvoenjuravnotenih jednaina konanih elemenata. Pri izvoenju ravnotenih jednaina polazi se od principa virtualnog rada premakomesu,uvremenskomtrenutkul,meusobnojednakiradovi( luA i lsA )unutranjihi spoljanjih sila na moguim virtualnim pomeranjima materijalne takeu lulsA A = (3.3.1) 45Virtualni rad spoljanjih sila je lsl v lvl a laA d v d al l= + f u f u(3.3.2) gdesu l vf i l af vektorizapreminskihipovrinskihsila,a lv i la suzapreminaipovrinatelau trenutku l. Virtualni rad unutranjih sila jednak je, Ekmark (1983) luA =0lvl :0l ld v E=00lv:00 ldv E (3.3.3) gdesu 0li 0lEenergetskikonjugovanitenzorinaponaitenzorideformacija(3.2.37)do(3.2.45),a teinskinaponi 0lsudatiizrazom(3.2.22).Skalarniproizvod 0l:0lEpredstavljavirtualniradu trenutkulpojedinicitekuezapremined vl,a 0l:0lEpredstavljavirtualniradutrenutkulpo jedinici poetne zapreminedv0. 3.4.INKREMENTALNEJEDNAINERAVNOTEEKONANOG ELEMENTA Inkrementalni pristup u reavanju problema podrazumeva viestepeno reavanje koje se obino vezuje za vreme kao parametar, koje u sluaju statike analize predstavlja kvaziparametar. To znai da se reenje dobija na krajevima vremenskih podintervala t t t t t t , , ... , , , ... , 2 + gde jet parametar koji odgovara konanom reenju. Sutina je, dapolazei od poznatih (ve odreenih) veliina u trenutku t mogu se odrediti veliine u trenutkut t + .Dreisepostavkiinkrementalneformulacije,vriseinkrementalnadekompozicijanaponai deformacijauizrazuzat tuA+(3.3.3).Primenominkrementalnedekompozicijetenzornaponau trenutkul t t = + moe se napisati kao 0 0t t t + = + (3.4.1) gdejepriratajtenzoranaponapriprelaskutelaiztekue(l=t)ususednukonfiguraciju ( l t t = + ).Inkrementalnadekompozicijatenzoradeformacija(2.1.30)do(2.1.33),dataje jednainama (2.3.3) do (2.3.7). Varijacija tenzora ukupne deformacije (2.3.3) ( ) 0 0t t t + = + = = +E E E E e (3.4.2) jednakajevarijacijipriratajatenzoradeformacijeE,gdesuelinearnia nelinearnideo priratajatenzoradeformacije.Priratajtenzoranaponadobijasedvostrukimunutranjim proizvodom tangentnog konstitutivnog tenzora i tenzora prirataja deformacijaE = = : : E E(3.4.3) gdesu,usluajuinkompresibilnihneelastinihdeformacija, + =0t t F i=0t t +F . Primenainkrementalnedekompozicijenaravnotenujednainu(3.3.1),svodijenajednainukretanja oblika E+:t tv:E +d vt t ++0tvt t : +d vt t =+t tsA+0tvt t :e +d vt t (3.4.4) ili 46 E:0v:Edvo+00tv : d v0=+t tsA00tv : edv0 (3.4.5) Jednaine(3.4.4)i(3.4.5)sunelinearnepopriratajimapomeranja,aizvedenesubezikakvih zanemarivanja. Ove jednaine se mogu linearizovati pod pretpostavkom da su prirataji pomeranja mali, Bathe (1982), koristei aproksimativne izraze E e i : e e+:t tv:e +d vt t ++0tvt t : +d vt t =+t tsA+0tvt t :e +d vt t (3.4.6) ili e:0v:edvo+00tv : d v0=+t tsA00tv : edv0 (3.4.7) Jednaine (3.4.6) i (3.4.7) predstavljaju aproksimativne (linearizovane) jednaine kretanja po priratajima pomeranja. MetodaKonanihElemenata(MKE),zasnivasenapretpostavcidasetelomoediskretizovati na konane elemente, koje definie konaan broj vorova sa konanim brojem stepeni slobode. Veliina polja u proizvoljnoj taki konanog elementa dobija se interpolacijom veliina polja u vornim takama. Tako se prirataj pomeranja proizvoljne take u konanom elementu tu moe izraziti preko prirataja pomeranja njegovih vornih taaka tU t tu H U = (3.4.8) gde je H vektor interpolacionih funkcija. Primenom (3.4.8) na jednaine kretanja (3.4.6) i (3.4.7) dobija se sistem linearnih jednaina, koji u matrinom obliku izgleda ( )tLtNLt t tstuK K U F F + = + (3.4.9) Jednaina (3.4.9) predstavlja inkrementalnu ravnotenu jednainu konanog elementa, gde su : - linearna matrica krutosti tLtLTt tLt tvtLTt tLvd v dvt tK B C B B C B = = + + 00 (3.4.10) - nelinearna matrica krutostitN LtNLT t tNLt tvtNLT t tNLvd v dvt tK B B B B = = + + 0 000`` (3.4.11) - vektor unutranjih sila u vorovima tutLT t t tvtLT tvd v dvt tF B B = = + + 0 000 (3.4.12) - vektor spoljanjih (zapreminskih i povrinskih) sila u vorovima t tsTt t v t tvaTt t a t tad v d at t t t+ + + + += ++ + F H f H f (3.4.13) Ovdesu: tCkonstitutivnamatrica, tLBmatricalinearnevezepomeranjaideformacije, tNLB matricakojapovezujeizvodepomeranjaipomeranja, 0t`matricanapona, 0tvektornaponaiHa vektor povrinskih interpolacionih funkcija. Matrice veze tLB i tNLB kao i oblik matrice napona 0t` ivektoranapona 0tdatisudetaljnokodsvakogopisanogkonanogelementauglavi5.Linearne konstitutivnematricezaizotropneianizotropnematerijale,zarazliitekonaneelemente,datesuu ivkovi(1989),Bathe(1982).Tangentneelastoplastinekonstitutivnematrice,zaelementeizglave5., date su u glavi 4. kao i u knjizi Koji (1996).47Pri iterativnom reavanju izrazi (3.4.10) do (3.4.13) istog su oblika s tim to