FARADAYEVA ROTACIJA V

NANOKOMPOZITNIH MATERIALIH Diplomski seminar na bolonjskem študijskem programu 1. stopnje Fizika

Nejc Roškar

MENTOR: prof. dr. Nataša Vaupotič

Maribor, september 2012

Roškar N.: Faradayeva rotacija v nanokompozitnih materialih

Diplomski seminar, Univerza v Mariboru, fakulteta za naravoslovje in matematiko,

Oddelek za fiziko, 2012

POVZETEK:

V diplomskem seminarju obravnavamo optične lastnosti materialov, ki postanejo optično

aktivni v zunanjem magnetnem polju. Osredotočimo se na nanokompozitni material,

sestavljen iz optično aktivnega gostitelja ter optično aktivne primesi. Izračunamo

efektivni tenzor dielektričnosti za tak material in nato še Verdetovo konstanto.

Ključne besede: Faradayeva rotacija, optična aktivnost, kompozitni materiali, efektivni

dielektrični tenzor, Verdetova konstanta

ABSTRACT:

In this seminar we present optical properties of materials which become optically active

in external magnetic field. We focus on nanocomposite materials, which consist of

optically active host and optically active inclusion. We calculate the efective dielectric

tensor and the Verdet constant for such material.

Key words: Faraday rotation, optical activity, composite materials, effective dielectric

tensor, Verdet constant

Kazalo:

1 UVOD .............................................................................................................................. 4

2 FARADAYEVA ROTACIJA .......................................................................................... 5

3 RAZŠIRJANJE SVETLOBE SKOZI OPTIČNO AKTIVNO SNOV ............................ 7

3.1 Valovna enačba v optično anizotropnih snoveh ..................................................... 12

4 KOMPOZITNI MATERIALI ........................................................................................ 14

4.1 Tenzor dielektričnosti za kompozitni material ....................................................... 15

4.2 Verdetova konstanta................................................................................................ 17

5 ZAKLJUČEK ................................................................................................................ 18

4

1 UVOD

Materiali, pri katerih izmerimo enake vrednosti fizikalnih količin, kadar merimo v

različnih smereh, so izotropni. Kadar so atomi in molekule razporejeni popolnoma

neurejeno (tekočine, plini), so snovi izotropne. Nasprotno pa je pri večini trdnin, saj v

različnih smereh izmerimo različne vrednosti fizikalnih količin. Na primer, pri razširjanju

elektromagnetnega valovanja skozi kristal, je hitrost svetlobe odvisna od smeri razširjanja

in od polarizacije. Temu pravimo anizotropija.

Lastnost snovi, da lahko vrti polarizacijo linearno polarizirane svetlobe, ki se razširja

skozi snov, imenujemo optična aktivnost. Primer takšne snovi je raztopina molekul

sukroze [1], ki nimajo zrcalne simetrije. Skozi optično aktivno snov, se razširjata dve

valovanji: desno ter levo krožno polarizirano. Krožno polarizirani valovanji pa se

razširjata z različnima hitrostma, kar povzroči vrtenje polarizacijske ravnine. Smer

linearne polarizacije na izhodu iz snovi se tako zavrti za določen kot glede na smer

vhodne polarizacije.

Snovi, ki so izotropne, pa lahko postanejo anizotropne v zunanjem magnetnem ali

električnem polju in pa tudi ob mehanski obremenitvi snovi v določeni smeri. Kadar

optično izotropno snov postavimo v zunanje magnetno polje, le-ta postane optično

aktivna in s tem anizotropna. Ta pojav imenujemo inducirana optična aktivnost oz.

Faradayeva rotacija. Faradayeva rotacija je pomembna na področju magnetometrov,

optičnih izolatorjev, itd..

Nas bo posebej zanimala inducirana optična aktivnost v mešanici dveh snovi:

prevladujočega gostitelja ter majhen volumski delež primesi. Takšni mešanici pravimo

nanokompozitni material. Nanokompozitni materiali so optično aktivni v zunanjem

magnetnem polju. Še posebej uporabni so tisti, ki imajo velik odziv na zunanje polje.

Uporabimo jih namreč lahko za hitre preklopnike, stikala in modulatorje, ki jim lahko

zvezno spreminjamo lastnosti.

Na področju optičnih lastnosti kompozitnih materialov je bilo narejenih že veliko

raziskav. David Stroud je obravnaval material, v katerem imamo kompozit optično

aktivnega gostitelja in optično neaktivne primesi [2] in pa optično neaktivnega gostitelja

ter optično aktivne primesi [3]. Ukvarjal se je tudi s primerom, ko imamo primesi

različnih oblik ter kadar je primes v večjih koncentracijah [3]. V tem seminarju pa se

bomo ukvarjali z nanokompozitnim materialom optično aktivnega gostitelja in optično

aktivne primesi. Privzeli bomo, da so delci primesi v obliki majhnih kroglic.

V naslednjem poglavju bomo najprej obravnavali Faradayevo rotacijo. Nato bomo opisali

razširjanje svetlobe skozi anizotropno snov (poglavje 3). Izpeljali bomo elemente

tenzorja električne susceptibilnosti za snov, ki v zunanjem magnetnem polju postane

optično aktivna. Sledila bo obravnava valovne enačbe v anizotropnih snoveh in izpeljava

izraza za kot zavrtitve polarizacije pri prehodu svetlobe skozi optično aktivno snov. V

poglavju 4 bomo obravnavali kompozitne materiale in izpeljali efektivni tenzor

5

dielektričnosti za kompozitni material, sestavljen iz optično aktivnega gostitelja in

optično aktivne primesi. Na koncu sledi še izpeljava Verdetove konstante za

nanokompozitni material in izračun spremembe Verdetove konstante zaradi primesi.

2 FARADAYEVA ROTACIJA

Faradayeva rotacija je pojav, ko dielektrična optično izotropna snov v magnetnem polju

postane optično aktivna. Po optično aktivni snovi ali snovi, kjer smo optično aktivnost

inducirali z magnetnim poljem, se razširjata dve lastni valovanji: desno krožno

polarizirano ter levo krožno polarizirano, vsako z drugačno hitrostjo. Predpostavimo, da

je svetloba pred vstopom v snov vertikalno linerano polarizirana. Zaradi različnih hitrosti

levo in desno krožno polariziranih valovanj se po prehodu skozi snov z dolžino L

valovanji seštejeta v linearno polarizirano valovanje, v katerem je polarizacija za kot

zavrtena glede na smer vpadne polarizacije.

Slika 1. V snovi z dolžino L induciramo optično aktivnost z magnetnim poljem z

gostoto B . vhE je električna poljska jakost na vhodu v snov, izhE pa električna poljska

jakost na izhodu iz snovi, zavrtena za kot . Povzeto po [4]

Kot zavrtitve polarizacije je linearno odvisen od komponente gostote magnetnega

polja (B) vzdolž osi razširjanja svetlobe:

,V T LB , (1)

kjer je ,V T Verdetova konstanta, ki je odvisna od valovne dolžine ( ) vpadle

svetlobe, ter temperture (T) snovi. Vrednosti Verdetovih konstant pri različnih pogojih in

za različne snovi, so podane v tabelah 1 – 2.

vhE

B

L

izhE

6

Snov V [rad/Tcm]

Etil benzoat 0,159

Toluen 0,167

Benzilni alkohol 0,173

Heptan 0,085

Cikloheksan 0,100

Metanol 0,066

Etanol 0,075

2 - propanol 0,084

Butanol 0,082

Tabela 1. Verdetove konstante V pri valovni dolžini 410 nm za nekatere organske

spojine. Povzeto po [5]

Snov T [ 0 C] V [rad/Tcm]

Voda 20 0,038

Kremenčevo steklo 18 0,094

Fosfor 33 0,397

Natrijev klorid 16 0,107

Aceton 15 0,033

Ogljikov disulfid 20 0,126

Etilni alkohol 25 0,033

Tabela 2. Verdetove konstante V pri različnih temperaturah T, za različne snovi. Valovna

dolžina vpadle svetlobe je 589,3 nm. Povzeto po [6]

Da je kot zavrtitve pri Faradayevi rotaciji linearno odvisen od gostote magnetnega polja,

so pokazali mnogi eksperimenti. Izkaže se, da je razmerje spremembe kota ter

spremembe magnetnega polja konstantno. Primer je meritev Verdetove konstante za

kremenčevo steklo. V 4 cm dolgem vzorcu se je pri spremembi gostote magnetnega polja

za 0,4 T, kot rotacije spremenil za približno 0,3 rad. Ko razmerje pomnožimo z inverzno

vrednostjo dolžine, dobimo vrednost za Verdetovo konstanto, ki je v okviru napake enaka

teoretični vrednosti [7].

Faradayevo rotacijo je dokaj težko zaznati, saj so koti zavrtitve polarizacije zelo majhni.

Potrebujemo kompleksne in zelo natančne naprave (slika 2). Faradayeva rotacija je

uporabna na področju magnetometrov. To so naprave, ki merijo jakost, gostoto in smer

magnetnega polja. Magnetometri se uporabljajo tako v vojaške, kot tudi znanstvene

namene. Uporabljajo jih za analizo premoga, nafte, uporabni so pa tudi v arheološke

namene. Magnetometer ima tem večjo ločljivost, čim večja je Verdetova konstanta

materiala, iz katerega je senzor v magnetometru [3].

7

Slika 2. Primer naprave za merjenje Faradayeve rotacije. Na sliki vidimo izvor svetlobe

(1), polarizator (2), tuljavo, ki je ovita okoli vzorca, s katero ustvarimo magnetno polje

vzdolž le–tega (3) in sprejemnik (4). Povzeto po [8]

Zelo pomembna aplikacija Faradayeve rotacije so optični izolatorji. To so naprave, ki

dopuščajo širjenje svetlobe samo v eno smer. Sestavljeni so iz treh komponent: vhodni

polarizator (vertikalen), rotator ter izhodni polarizator (pod kotom 45 stopinj). Svetloba

vpade na vhodni polarizator, se vertikalno polarizira, potuje skozi rotator, ki polarizacijo

zavrti ravno za 45 stopinj. Svetloba, ki se širi v nasprotni smeri, pa se polarizira pod

kotom 45 stopinj, v rotatorju se ji polarizacija zavrti za dodatnih 45 stopinj. Ko prispe do

vhodnega vertikalnega polarizatorja, je svetloba polarizirana horizontalno, tako da je

polarizator ne prepusti [9].

3 RAZŠIRJANJE SVETLOBE SKOZI OPTIČNO AKTIVNO SNOV

V tem poglavju bomo izpeljali elemente tenzorja električne susceptibilnosti snovi, ki

postane optično aktivna v zunanjem magnetnem polju. Začnemo s polarizacijo P , ki je

linearno povezana z jakostjo električnega polja E na sledeč način:

0P E . (2)

pri čemer je 0 influenčna konstanta, pa električna susceptibilnost, ki je v primeru

izotropne snovi skalar. Električna susceptibilnost je lastnost snovi. Komponente tenzorja

električne susceptibilnosti bomo izpeljali tako, da bomo izhajali iz mikroskopske

obravnave odziva snovi na zunanje polje. Elektrone bomo obravnavali klasično, čeprav

smo na mikroskopski ravni. Na vezan elektron v snovi, skozi katero se razširja

1

2 3

4

8

elektromagnetno valovanje in ki je v zunanjem magnetnem polju z gostoto B , delujeta

Lorentzova elektromagnetna sila LORENTZF ter elastična sila zaradi vezave elektrona na ion

(.ELASTF ). Nihanje je dušeno, vendar bomo dušenje v nadaljevanju zanemarili. Drugi

Newtonov zakon za gibanje elektronov se tako glasi:

.LORENTZ ELASTma F F ,

(3)

kjer je m masa elektrona ter a pospešek. Ob upoštevanju znanih izrazov za Lorentzovo

silo in silo vzmeti, se en. (3) glasi:

ma e E v B kr ,

(4)

kjer je e osnovni naboj, r odmik elektrona od ravnovesne lege, ter v hitrost elektrona.

E je jakost električnega polje, B gostota magnetnega polja ter k elastična konstanta.

Enačbo (4) preoblikujemo:

2

2

d dm r e E r B kr

dt dt

.

(5)

Jakost električnega polja niha s frekvenco :

0

i tE E e , (6)

kjer je 0E amplituda jakosti električnega polja, nihanje le-tega pa vsiljuje nihanje

elektronu. Posledično tudi odmik od ravnovesne lege elektrona niha z enako frekvenco:

0

i tr r e , (7)

kjer je 0r amplituda odmika elektronov od ravnovesne lege. Ob upoštevanju nastavkov

(6) in (7) v enačbi (5) dobimo:

2r m k eE i r B . (8)

Iz enačbe (8) lahko izrazimo r , ta pa je povezan s polarizacijo P . Polarizacija je enaka

produktu gostote molekul N (število molekul na volumsko enoto) ter električnega

dipolnega momenta p er :

P Np . (9)

Če iz enačbe (9) izrazimo /r P Ne in ga vstavimo v enačbo (8), dobimo:

9

2 2m k P Ne E i eP B . (10)

Naj bo zunanje magnetno polje v smeri osi z:

(0,0, )B B . (11)

Za jakost električnega polja in polarizacijo predpostavimo, da imata vse tri komponente

različne od nič:

( , , )x y zE E E E , (12)

( , , )x y zP P P P . (13)

Izraze (11) – (13) vstavimo v en. (10) in dobimo sistem treh enačb:

2 2

x x ym k P Ne E i eP B ,

(14)

2 2

y y xm k P Ne E i eP B ,

(15)

2 2

z zm k P Ne E ,

(16)

od koder sledi:

2 22 20 0

0 2 22 2 2 2 2 2 2 2

0 00 0

x x y

C C

Ne NeP E iE

m m

,

(17)

2 22 20 0

0 2 22 2 2 2 2 2 2 2

0 00 0

y y x

C C

Ne NeP E iE

m m

,

(18)

2

2 2

0

1z z

NeP E

m

,

(19)

kjer je 2

0 /k m lastna frekvenca elektronov, C pa ciklotronska frekvenca :

C

eB

m .

(20)

10

Vidimo, da je ciklotronska frekvenca linearno odvisna od gostote magnetnega polja [11].

Pri izrazu za lastno frekvenco sistema nismo upoštevali lokalnega polja.

S primerjavo zveze med polarizacijo in jakostjo električnega polja (en. (2)) ter izrazov

(17) – (19) ugotovimo, da je tenzor susceptibilnosti za optično aktivno snov oblike:

11 12

12 11

33

0

0

0 0

i

i

,

(21)

pri čemer so:

2 22

011 2

2 2 2 20

0 C

Ne

m

.

(22)

2

12 22 2 2 2

00

C

C

Ne

m

.

(23)

2

33 2 2

0 0

1Ne

m

.

(24)

En. (22) do (24) veljajo v primeru, da imamo vezane elektrone. Pri kovini pa elektroni

niso vezani, zato moramo v tem primeru upoštevati 0 0 . Na sliki 3 so narisani grafi

odvisnosti elementov tenzorja susceptibilnosti od krožne frekvence vpadle svetlobe, na

sliki 4 pa graf odvisnosti izvendiagonalnega elementa tenzorja susceptibilnosti od

krožne frekvence vpadle svetlobe pri različnih vrednostih gostote magnetnega polja.

Vidimo, da sta izvendiagonalna elementa v tenzorju susceptibilnosti za optično aktivno

snov odvisna od gostote magnetnega polja, saj je ciklotronska frekvenca odvisna od B

[11]. Dobili smo povezavo med mikroskopskimi ter makroskopskimi količinami, saj

nam v enačbah od (22) do (24) nastopa masa elektrona (ki zaniha ob prehodu svetlobe

skozi kovino) v kovini in elementi tenzorja susceptibilnosti. Če ni magnetnega polja, se

tenzor susceptibilnosti poenostavi v naslednjo obliko (glej enačbe (22) do (24)):

11

22

33

0 0

0 0

0 0

,

(25)

11

pri čemer velja: 11 22 33 .

Slika 3. Odvisnosti elementov tenzorja susceptibilnosti od krožne frekvence v

območju vidne svetlobe: a) 11 , b) 12 , c) 33 . Vrednosti parametrov:

321,2 10N molekul/m 3 , 319,1 10m kg, 191,6 10e C, 16

0 2,3 10 s 1 ,

112,0 10c s 1 , 1,1B T

Slika 4. Odvisnost izvendiagonalnega elementa tenzorja susceptibilnosti 12 od

krožne frekvence vpadle svetlobe pri različnih vrednostih gostote magnetnega polja B

11 12 [ 610 ]

33

[ 1510 s 1 ] [ 1510 s 1 ] [ 1510 s 1 ]

0,9

1,1

1,3

4 8

8

4 8

0,9

1,1

1,3

4 8

12 [ 610 ]

[ 1510 s 1 ]

2

6

10

2 6 10

1 T

TT

0,8 T

0,6 T

0,4 T

0,2 T

a) b) c)

4

12

8

4

8 4

12 12 12

12

12

3.1 VALOVNA ENAČBA V OPTIČNO ANIZOTROPNIH SNOVEH

Razširjanje svetlobe skozi neko snov opisuje valovna enačba, ki jo bomo izpeljali v tem

poglavju. Izhajamo iz Maxwellovih enačb, natančneje iz Faradayevega indukcijskega

zakona ter Amperovega zakona o magnetni napetosti [12]. V prostoru, kjer ni prostih

nabojev in tokov, se glasita:

0

HE

t

,

(26)

0

EH

t

,

(27)

kjer je H jakost magnetnega polja, 0 indukcijska konstanta, magnetna

permeabilnost, pa dielektrični tenzor. Na enačbo (26) iz obeh strani delujemo z

rotorjem:

0

HE

t

.

(28)

Enačbo (27) vstavimo v enačbo (28) in dobimo:

2

0 0 2E E

t

.

(29)

Predpostavimo, da imamo opravka z nemagnetnim materialom ( 1 ), ter da imamo

ravni val, zato velja 0 exp( )E E ik r , kjer je k valovni vektor. Upoštevamo

E ik E , ter /E t i E in en. (29) preoblikujemo v:

2

0 0 0k k E k E , (30)

kjer je valovno število 0 2 /k , pa valovna dolžina elektromagnetnega valovanja v

praznem prostoru. Predpostavimo, da se valovanje razširja v smeri osi z:

(0,0, )k k . (31)

Ob upoštevanju en. (31), iz enačbe (30), ter zveze I , pri čemer je I matrika

identitete, tako dobimo sistem treh enačb:

13

2 2 2

0 0 11 12x x x yk E k E k E i E ,

(32)

2 2 2

0 0 12 11y y x yk E k E k i E E ,

(33)

2 2

0 0 33z zk E k E . (34)

Iz enačbe (34) sledi, da je 0zE . Enačbi (32) in (33) pa imata netrivialno rešitev za xE

in yE , če je determinanta matrike koeficientov enaka 0:

2 2 2 2

0 0 11 0 12

2 2 2 2

0 12 0 0 11

0k k k ik

ik k k k

.

(35)

Determinanta (en.(35)) je enaka 0 pri dveh velikostih valovnega vektorja v snovi:

0 11 121k k . (36)

Če rešitvi za k vstavimo v enačbi (32) in (33), ugotovimo, da sta to valovni števili, ki

ustrezata razširjanju desno ( k ) in levo ( k ) krožno polarizirane svetlobe. Če enačbo (36)

vstavimo nazaj v eno izmed enačb (32) oz. (33), ugotovimo, da mora veljati [11]:

x yE iE . (37)

Sedaj lahko izrazimo kot zavrtitve polarizacije z elementi tenzorja susceptibilnosti.

Linearno polarizirano svetlobo lahko zapišemo kot superpozicijo levo in desno krožno

polarizirane svetlobe:

1 1 11 1

0 2 2i i

.

(38)

Obe krožno polarizirani valovanji pri prehodu skozi snov dolžine L dobita dodatno fazo.

Kompleksna amplituda A po prehodu skozi snov je:

1 11 1

2 2

ik L ik LA e ei i

. (39)

En. (39) preuredimo v:

14

1 11 1

2 2

i i iA e e ei i

, (40)

pri čemer je:

2

Lk k

(41)

in

2

Lk k .

(42)

Amplituda je tako:

cos

sin

iA e

,

(43)

kjer je kot zavrtitve polarizacije pri prehodu svetlobe skozi snov z dolžino L.

Če vstavimo en. (36) v en. (42), dobimo:

011 12 11 121 1

2

k L .

(44)

En. (44) razvijemo za majhne 12 ( 12 111 ):

12 1211 12 11 12

11 11

1 11

,

(45)

kjer smo upoštevali, da sta izvendiagonalna elementa tenzorja dielektričnosti, ter tenzorja

susceptibilnosti, enaka. Kot zavrtitve je tako:

0 12

112

k L

.

(46)

4 KOMPOZITNI MATERIALI

Do sedaj smo obravnavali čiste snovi. Sedaj pa nas zanima mešanica dveh snovi, od

katerih ena prevladuje. Tako imamo kompozitni material sestavljen iz delcev primesi ter

gostitelja. Dosedanja obravnava bi bila vredu, če bi imeli namesto tenzorja

susceptibilnosti oz. dielektričnosti, povsod efektivni tenzor, ki velja za mešanico primesi

15

in gostitelja. Gostitelj je snov, v katero dodamo primes, pri čemer sta lahko oba optično

aktivna, oz. samo eden izmed njiju. V tem diplomskem seminarju se bomo osredotočili

na primer, ko sta optično aktivna tako gostitelj, kot primes, ter izračunali tenzor

dielektričnosti za tak kompozit. Izpeljave se lahko lotimo s pomočjo več različnih

aproksimacij, kot so Maxwell – Garnettova aproksimacija, Rayleighova aproksimacija ter

aproksimacije EMA. Vse tri nam v primeru majhnega volumenskega deleža primesi dajo

enak rezultat za efektivni tenzor.

4.1 TENZOR DIELEKTRIČNOSTI ZA KOMPOZITNI MATERIAL

Maxwell – Garnettova aproksimacija v tenzorski obliki povezuje tenzor dielektričnosti za

gostitelja h ter tenzor dielektričnosti za primes i , na naslednji način:

1 1

2 2ef h ef h i h ef hif

, (47)

kjer je ef efektivni tenzor ter if volumski delež primesi. Kadar je delež primesi zelo

majhen ( 1if ), se Maxwell – Garnettova aproksimacije, prav tako kot tudi

aproksimacije EMA ter Rayleighova aproksimacija, zreducirajo na naslednjo enačbo:

1

3 2ef h h i h i hif

. (48)

V nadaljevanju bomo poiskali izraz za ef za primer, ko oba, gostitelj in primes,

postaneta optično aktivna v zunanjem magnetnem polju. Tenzor dielektričnosti za

optično aktivno primes ima obliko:

11

22

33

0

0

0 0

i

i

i

i

i

i

,

(49)

tenzor dielektričnosti za optično aktivnega gostitelja pa:

11

22

33

0

0

0 0

h

h

h

h

i

i

.

(50)

in sta izvendiagonalna elementa, odvisna od gostote magnetnega polja, in sta

pravzaprav 12 iz en. (21). Čeprav tako gostitelj kot primes v zunanjem polju postaneta

tudi dvolomna, bomo ta pojav zanemarili in privzeli:

16

11 22 33

h h h

h ,

(51)

11 22 33

i i i

i . (52)

En. (49) – (52) vstavimo v enačbo (48), ter s pomočjo računalniškega programa

Mathematica izračunamo izraze za komponente efektivnega tenzorja:

11 12

21 22

33

0

0

0 0

ef ef

ef ef

ef

ef

i

i

.

(53)

Dobimo:

3 2 2 2 2 2

11 22 2 2

2 3 23

2 2

h h i i h ief ef

h i

h i

f

,

(54)

2

12 21 2 2

2 2 23

2 2

h i ief ef

i h

h i

f

,

(55)

33 32

ef i hh i h

h i

f

.

(56)

Člene 11,22

ef , 12,21

ef razvijemo v Taylorjevo vrsto do prvega reda v in , saj sta

izvendiagonalni komponenti tenzorja dielektričnosti veliko manjši od diagonalnih, ter

enačbe preoblikujemo tako, da bo razviden pomen volumskega deleža primesi if :

11,22 32

i hef

h i h

h i

f

,

(57)

2 2 2

12,21 2

2 23 9

22

ef h h i i hi i

h ih i

f f

,

(58)

33 32

h ief

h i h

h i

f

.

(59)

17

V primeru, da primes izvzamemo in imamo samo optično aktivnega gostitelja, ima

efektivni tenzor naslednje elemente: 11,22

ef

h , 12,21

ef , 33

ef

h .

4.2 VERDETOVA KONSTANTA

Poglejmo, kakšno obliko ima Verdetova konstanta za kompozit dveh snovi (v našem

primeru optično aktivnega gostitelja ter optično aktivne primesi). Verdetovo konstanto

lahko izpostavimo ob združitvi enačb (1) ter (46) in dobimo:

0 12

112

ef

ef

kV

B

.

(60)

V primeru, ko so členi dielektričnega tenzorja kompleksni, nam Verdetovo konstanto

predstavlja realni del izraza (60). V enačbo (60) vstavimo izraza (57) in (58) in dobimo:

2 2 2

2 2

0

2 23 9

2 2

23

2

h h i i hi i

h i h i

i hh i h

i h

f fk

VB

f

.

(61)

Enačbo (61) razvijemo do prvega reda v if ter dobimo:

2 2 2

0

2 2

9 2 9

2 2 2 2

h h i i hi i

h h i h i

kV f f

B

.

(62)

V primeru, da izvzamemo primes, ima Verdetova konstanta obliko:

0

2h

kV

B

,

(63)

kar tudi pričakujemo za homogeno snov.

Preverili bomo, kakšna je Verdetova konstanta za kompozit toluena ter delcev zlata.

Verdetova konstanta gostitelja (v našem primeru je to toluen) ima vrednost 16,70 rad/Tm

(tabela 1). Zaradi delcev zlata se bo Verdetova konstanta spremenila za V :

2

2

9

2 2

hi

h h i

V fcB

,

(64)

18

kjer smo upoštevali zvezo 0 /k c , c je svetlobna hitrost. Ob upoštevanju znanih

izrazov za (en. (23)) ter i (en. (24)), dobi en. (64) naslednjo obliko:

3

2 320

22

2

0

1

9

2 12 1

i h

h

h

Ne

mfV

c Ne

m

.

(65)

Pri en. (23) ter (24) smo privzeli, da je produkt 2 2

c zanemarljivo majhen in da velja

0 0 , saj imamo zlate delce primesi. V enačbo (65) vstavimo znane vrednosti konstant

e, m, c ter 0 . Upoštevamo, da ima vpadla svetloba krožno frekvenco 154 10 s 1

(vidna svetloba), delež primesi je 510if , diagonalni element tenzorja dielektričnosti za

toluen 2,4h ter gostota molekul v zlatu 291,2 10N molekul/m 3 . Vrednost

spremembe Verdetove konstante je tako:

32,6 10V rad/Tm . (66)

Z delci primesi smo spremenili optične lastnosti kompozita. Pri magnetnem polju z

gostoto 0,5 T in snovi z dolžino 1 cm, se bo polarizacija zavrtela za (glej en. (1)):

43,7 10 stopinj . (67)

Kljub temu, da imamo zelo majhen delež delcev zlata v gostitelju toluenu, se polarizacija

zaradi teh delcev zavrti za določen kot.

5 ZAKLJUČEK

Cilj diplomskega seminarja je bil izpeljati obliko Verdetove konstante za kompozitni

material za primer, ko sta tako gostitelj, kot primes optično aktivna. Obravnavali bi lahko

tudi primer, ko imamo optično aktivnega samo gostitelja oz. samo primes. Najprej smo

izpeljali tenzor susceptibilnosti za optično aktivno snov (en. (22) do (24)). Iz

Maxwellovih enačb smo nato izpeljali izraz za kot zavrtitve polarizacije pri prehodu

svetlobe skozi optično aktivno snov (en. (46)). Z uporabo Maxwell – Garnettove

aproksimacije smo izpeljali efektivni tenzor dielektričnosti za kompozitni material,

sestavljen iz optično aktivnega gostitelja in optično aktivne primesi in Verdetovo

konstanto za tak kompozitni material (en. (62)). Izračunali smo spremembo Verdetove

konstante toluena ob dodatku primesi zlata ( 32,6 10V rad/Tm) in nato še

spremembo kota zavrtitve polarizacije v snovi z dolžino 1 cm, če je gostota magnetnega

polja 0,5 T ( 43,7 10 stopinj). Pomembna je ugotovitev, da se Verdetova konstanta

in kot zavrtitve polarizacije spremenita, če v gostitelja dodamo delce primesi.

19

Izpeljavo Verdetove konstante smo opravili s privzetkom, da je delež primesi zelo

majhen. Za še natančnejšo obravnavo primera, bi bilo potrebno obravnavati cel razpon

koncentracij primesi, ampak pri prevelikih vrednostih nanokompozitni material ne bi bil

več prosojen. Obravnavali bi lahko tudi primer, ko so delci primesi v obliki elipsoidov ali

kakšne druge oblike, saj smo v tem seminarju privzeli, da so delci primesi v obliki

kroglic. Potrebno je še poudariti, da smo v našem primeru imeli diamagnetno primes

(zlato). Sprememba Verdetove konstante in kot zasuka linearne polarizacije bi se

povečala za nekaj velikostnih redov v primeru, da bi imeli feromagnetno primes. Ob tem

bi morali upoštevati še notranje magnetno polje delcev primesi in urejanje permanentnih

magnetnih dipolov z zunanjim magnetnim poljem [13].

20

LITERATURA:

[1] THE ROYAL SOCIETY OF CHEMISTRY, 13.The optical activity of sucrose.

Pridobljeno 25.07.2011, iz

http://media.rsc.org/Classic%20Chem%20Demos/CCD-13.pdf

[2] D. Stroud, Theory of intensity-dependent optical activity in dilute composites, J.

Appl. Phys. 66 (6), 2585 (1989).

[3] T. K. Xia, P. M. Hui, D. Stroud, Theory of Faraday rotation in granular magnetic

materials, J. Appl. Phys. 67 (6), 2736 (1990).

[4] Thorlabs, Optical isolator tutorial. Pridobljeno 14.08.2012, iz

http://www.thorlabs.com/NewGroupPage9_PF.cfm?Guide=10&Category_ID=36&Objec

tGroup_ID=6302

[5] K. Isai, M. Suwa, H. Watarai, Pulsed Magnetic Field Faraday Imaging of

Diamagnetic Liquids, Anal. Sci. 25 (1), 1 (2009).

[6] F. G. Smith, T. A. King, D. Wilkins, Optics and Photonics: An introduction, Second

edition (John Wiley & Sons Ltd., Chichester, 2008).

[7] K. R. Sayan, Faraday Effect Rotation for Water and Flint Glass. Pridobljeno

13.08.2012, iz:

http://www3.wooster.edu/physics/jris/Files/kash-webarticle.pdf

[8] Teachspin, Faraday rotation. Pridobljeno 22.07.2011, iz

http://www.teachspin.com/instruments/faraday/index.shtml

[9] FDK, Optical Isolators. Pridobljeno 22.07.2011, iz

http://www.fdk.co.jp/laboratory/hikariai-e.html

[10] Institut für Festkörperelektronik, Paul Drude. Pridobljeno 25.07.2011, iz

http://www.pdi-berlin.de/paul-drude

[11] G. R. Fowles, Introduction to Modern optics (Holt, Rinehart and Winston, Inc.,

United States of America, 1968).

[12] S. B. Palmer, Advanced University Physics, Second Edition (OPA, Luxembourg,

1996).

[13] J. Szczytko, N. Vaupotič, K. Madrak, P. Sznajder, E. Górecka, Faraday rotation as

a tool for determination of the magnetic moment of a ferromagnetic nanoparticle,

poslano v objavo.

21