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REVISTA Universidad EAFITVol. 41. No. 138. 2005. pp. 84-95

Lgica Bsicacon A rmacin y Negacin Alternas

Manuel Sierra AristizbalMagster en Matemticas. Profesor del Departamento de Ciencias Bsicas de la Universidad EAFIT e investigador del Grupo Lgica

y Computacin de la misma Universidad. msierra@ea t.edu.co

Resumen1El sistema Lgica bsica con a rmacin y negacin alternas incluye, adems de los operadores usuales de a rmacin y negacin, operadores para las nociones de a rmacin y negacin alternas y operadores de incompatibilidad y determinabilidad entre la a rmacin usual y la negacin alterna, entre la negacin usual y la a rmacin alterna y entre los operadores alternos de a rmacin y negacin. El sistema est caracterizado por una semntica de valuaciones tradicional, con la cual se establece la diferencia entre los operadores a rmacin y entre los operadores negacin.

Basic logics with alternate af rmation and denial

AbstractThe basic logics with alternate af rmation and denial includes, besides the usual af rmation and denial operators; other operators for the notions of alternate af rmation and denial, and incompatibility and determination among the usual af rmation and the alternate denial, the usual denial and alternate af rmation, and the alternate af rmation and denial operators. The system is characterized by a traditional valuation semantics, which establishes the difference between the af rmation operators and between the denial operators.

R e c e p c i n : 0 1 d e s e p t i e m b r e d e 2 0 0 4 I A p r o b a c i n : 1 6 d e d i c i e m b r e d e 2 0 0 4

Palabras ClaveA rmacinNegacinIncompatibilidadDeterminabilidad

Key WordsAf rmationDenialIncompatibilityDeterminability

1 Este trabajo forma parte de los resultados obtenidos con el proyecto rboles de forzamiento semntico para sistemas deductivos con operador a rmacin, el cual es nanciado por la Universidad EAFIT.

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EEIntroduccin

SIERRA A., M. | Lgica Bsica con A rmacin y Negacin Alternas

n Inconsistent Formal Systems, se proponen diversos sistemas deduc-tivos, los cuales soportan las incon-sistencias. El operador negacin de

estos sistemas es ms dbil que el operador negacin clsica. Da Costa tambin introduce un operador de buen comportamiento, con el cual se pretende que si una frmula est dbilmente negada y tiene buen comportamiento entonces sta se debe comportar como si estuviera clsicamente negada. Los sistemas son presentados con una sola negacin, la dbil; el buen comportamiento de una frmula es de nido como la negacin dbil de la conjuncin de la frmula con su negacin dbil; la negacin clsica es de nida en trminos de la negacin dbil y el buen comportamiento. En A Taxonomy of C-Systems, se estudia con mayor profundidad el operador de buen comportamiento.

En Lgica Bsica Paraconsistente y Paracompleta y algunas de sus Extensiones, se presenta una jerarqua de sistemas deductivos con dos negaciones (negacin clsica y negacin alterna), un operador de incompatibilidad respecto a la negacin alterna y un operador de determinabilidad respecto a la negacin alterna, y los sistemas son generalizaciones de la Lgica Clsica. La incompatibilidad respecto a la negacin alterna de una frmula, puede ser caracterizada como la negacin clsica de la conjuncin entre la frmula y su negacin alterna; esta caracterizacin hace al operador incompatibilidad esencialmente diferente del operador de buen comportamiento de Da Costa. La determinabilidad respecto a la negacin alterna de una frmula, puede ser caracterizada como la disyuncin de la frmula con su negacin alterna.

En An Introduction to Modal Logic, se presentan diversos sistemas de Lgicas Modales, la mayora de estos sistemas tienen un operador de necesariedad, en cierto sentido este operador es una a rmacin ms fuerte que el operador a rmacin clsica o a rmacin usual. Un operador de imposibilidad es de nido en trminos de los operadores necesariedad y negacin clsica. En

cierto sentido, el operador de imposibilidad es ms fuerte que el operador negacin clsica o negacin usual (la imposibilidad de la frmula A implica la negacin clsica de la frmula A, pero no necesariamente vale la implicacin recproca). Estos sistemas deductivos no son presentados con operadores de buen comportamiento o similares.

En Lgica Bsica con Aceptacin Fuerte, se presentan un operador de a rmacin alterna, un operador de incompatibilidad respecto a la a rmacin alterna y un operador de determinabilidad respecto a la a rmacin alterna. La incompatibilidad respecto a la a rmacin alterna de una frmula puede ser caracterizada como la negacin clsica de la conjuncin entre la negacin de la frmula y su a rmacin alterna. La determinabilidad respecto a la a rmacin alterna de una frmula, puede ser caracterizada como la disyuncin entre la negacin de la frmula y su a rmacin alterna.

En Lgica Bsica con A rmacin Alterna, se caracterizan semnticamente 3 sistemas deductivos, uno bsico con a rmacin alterna y dos subsistemas de l. En uno de estos subsistemas la a rmacin alterna es ms fuerte que la clsica y en el otro la a rmacin alterna es ms dbil.

En este trabajo se presentan 3 sistemas deductivos. El primer sistema Lgica Bsica con A rmacin y Negacin Alternas extiende los sistemas bsicos presentados en Lgica Bsica con A rmacin Alterna, los operadores de negacin alterna y a rmacin alterna son relacionados con los correspondientes operadores de incompatibilidad y determinabilidad. Los sistemas son caracterizados semnticamente y las pruebas de validez y completitud son presentadas de manera detallada.

1. Sistema LB

El sistema LB, Lgica Bsica con A rmacin y Negacin Alternas, tiene 2 a rmaciones y 2 negaciones. Si A es una frmula entonces, *A o simplemente A es la a rmacin usual de A, la a rmacin de la lgica clsica; +A es una a rmacin alterna de A; A es la negacin usual

REVISTA Universidad EAFIT. Vol. 41. No. 138 | abril, mayo, junio 200586

2 Respecto al sistema LBPco(+) presentado en Lgica bsica con a rmacin alterna, el lenguaje de LB se obtiene a partir del de LBPco(+) agregando los operadores , I+, C+, I* y C*.

3 Si A es una frmula, s un operador mondico, t un operador mondico, entonces: AIst indica que no pueden tenerse las frmulas s(A) y t(A) simultneamente; ACst indica que debe tenerse al menos una de las frmulas s(A) y t(A).

de A, la negacin de la lgica clsica; A es una negacin alterna de A.

De nicin 1. El lenguaje de la Lgica Clsica CL consta de los operadores binarios , , y , y del operador mondico ~, adems del parntesis izquierdo y el parntesis derecho. El lenguaje del sistema LB se obtiene extendiendo el lenguaje de la lgica clsica con los operadores mondicos +, , I+~, C+~, I+, C+, I* y C* (llamados a rmacin alterna, negacin alterna, incompatibilidad entre la a rmacin alterna y la negacin clsica, completez entre la a rmacin alterna y la negacin clsica, incompatibilidad entre la a rmacin alterna y la negacin alterna, completez entre la a rmacin alterna y la negacin alterna, incompatibilidad entre la a rmacin clsica y la negacin alterna, completez entre la a rmacin clsica y la negacin alterna)2.

El conjunto de frmulas de LB es generado por las siguientes reglas y slo por ellas:

R1. Se tiene un conjunto enumerable de frmulas atmicas.

R2. Si A es una frmula, entonces ~(A), (A), +(A), (A)I+~, (A)C+~, (A)I+, (A)C+, (A)I* y (A)C* son frmulas3.

R3. Si A y B son frmulas, entonces (A)(B), (A)(B), (A)(B) y (A)(B) son frmulas.

Al unir al conjunto de las frmulas atmicas, las frmulas de la forma +(A) y (A), se obtienen las frmulas cuasi-atmicas.

De nicin 2. El sistema deductivo para LB es una extensin del clculo proposicional clsico CL, por lo que se toman 2 grupos de axiomas.

Axiomas para el clculo proposicional clsico:

Ax0.1 A(BA)

Ax0.2 (A(BC))((AB)(AC))

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Ax0.3 A(AB)

Ax0.4 B(AB)

Ax0.5 (AC)((BC)((AB)C))

Ax0.6 (AB)A

Ax0.7 (AB)B

Ax0.8 (AB)((AC)(A(BC)))

Ax0.9 ~A(AB)

Ax0.10 A~A

Ax0.11 (AB)(AB)

Ax0.12 (AB)(BA)

Ax0.13 (AB)[(BA)(AB)]

Axiomas para los nuevos operadores4:

AxI+~5. AI+~ (+AA)

AxC+~6. AC+~ (A+A)

AxI+7. AI+ (+A~A)

AxC+8. AC+ (~A+A)

AxI*9. AI* (AA)

AxC*10. AC* (~AA)

Como nica regla de inferencia se tiene el Modus Ponens MP: de A y AB se in ere B, denotado A, AB LB B.


4 Es decir agregando los axiomas AxI+, AxC+, AxI* y AxC* a los axiomas del sistema LBPco(+).

5 AxI+ es el axioma de incompatibilidad entre los operadores a rmacin alterna y negacin clsica.

6 AxC+ es el axioma de completez (determinabilidad) entre los operadores a rmacin alterna y negacin clsica.

7 AxI+ es el axioma de incompatibilidad entre los operadores a rmacin alterna y negacin alterna.

8 AxC+ es el axioma de completez (determinabilidad) entre los operadores a rmacin alterna y negacin alterna.

9 AxI* es el axioma de incompatibilidad entre los operadores a rmacin clsica y negacin alterna.

10 AxC* es el axioma de completez (determinabilidad) entre los operadores a rmacin clsica y negacin alterna.

De nicin 3. Se dice que una frmula A es un teorema de LB (LB-teorema), denotado LB A, si y solamente si A es la ltima frmula de una sucesin nita de frmulas, tal que cada una de ellas es un axioma o se in ere de dos frmulas anteriores utilizando la regla de inferencia MP.

Si es un conjunto de frmulas, se dice que una frmula A es un teorema de LB a partir de (LB-teorema en ), denotado LB A, si y solamente si A es la ltima frmula de una sucesin nita de frmulas, tal que cada una de ellas es un axioma o un elemento de o se in ere de dos frmulas anteriores utilizando la regla de inferencia MP.

Proposicin 1 (Principio de identidad). LB AA

Prueba: Por Ax0.2 se tiene que (A((AA)A))((A(AA))(AA)) y por Ax0.1 se tiene A((AA)A), aplicando MP se in ere (A(AA))(AA), pero de nuevo por Ax0.1 se tiene A(AA), aplicando de nuevo MP se in ere que AA es un teorema de LB.

Proposicin 2 (Teorema de deduccin). Sean A y B frmulas de LB y un conjunto de frmulas de LB. Si {A}LB B entonces LB AB.

Prueba: La demostracin es por induccin sobre el nmero de frmulas de la sucesin que constituye la deduccin de B a partir de {A}. Para el paso base, supngase que esta sucesin tenga un solo miembro. Este miembro debe ser la propia B, as que B es un axioma de LB o B es miembro de {A}.

Caso 1: B es un axioma de LB. Por Ax0.1 se tiene B(AB), y como B es axioma de LB, tambin se tiene B, aplicando MP se in ere AB. As pues, LB AB.

Caso 2: B es un miembro de . Por Ax0.1 se tiene B(AB), y como B es un miembro de , tambin se tiene B, aplicando MP se in ere AB. As pues, LB AB.


Caso 3: B es A. Se sabe por proposicin 1 que AA es un teorema de LB, de manera que la demostracin de AA en LB servir como deduccin de AA a partir de . Por tanto, tambin en este caso se tiene que LB AB. Es to completa el paso base.

Supngase ahora que la deduccin de B a partir de {A} es una sucesin de n miembros, siendo n>1, y que la proposicin se veri ca para todas las frmulas que pueden deducirse de {A}, va una sucesin de menos de n miembros. Ahora hay cuatro casos a conside rar.

Caso 1: B es un axioma de LB. Exactamente igual que en el Caso 1 del paso base, se demuestra que LB AB.

Caso 2: B es un miembro de . Exactamente igual que en el Caso 2 del paso base, LB AB.

Caso 3: B es A. Como en el Caso 3 del paso base.

Caso 4: B se obtiene de dos frmulas anteriores de la demostracin, me diante una aplicacin de MP. Estas dos frmulas tendrn por fuerza las formas C y CB y cada una de ellas puede ciertamente deducirse de {A}, mediante una sucesin de menos de n miembros. Se tiene {A}LBC y {A}LB CB, aplicando la hiptesis de induccin resulta LB AC y LB A(CB). Por Ax0.2 se tiene LB (A(CB))((AC)(AB)), aplicando MP resulta LB (AC)(AB), de nuevo por MP se obtiene LB AB.

As pues, por el principio de induccin matemtica, la proposicin se veri ca cualquiera que sea el nmero de frmulas de la deduccin de B a partir de {A}.

2. Semntica para LB

De nicin 411. Una LB-valuacin v es una funcin que interpreta las frmulas atmicas como elementos del conjunto {0, 1}. La LB-valuacin v

se extiende a una funcin V, que interpreta las frmulas de LB en el conjunto {0, 1}, de la siguiente manera:

Si p es atmica, entonces V(p) = v(p)

V~. V(~A) = 1 V(A) = 0

V. V(AB) = 1 V(A) = 1 y V(B) = 1

V. V(AB) = 0 V(A) = 0 y V(B) = 0

V. V(AB) = 0 V(A) = 1 y V(B) = 0

V. V(AB) = 1 V(A) = V(B)

VI+~. V(AI+~) = 0 V(+A) = 1 y V(A) = 0

VC+~. V(AC+~) = 0 V(+A) = 0 y V(A) = 1

VI+. V(AI+) = 0 V(+A) = 1 y V(A) = 1

VC+. V(AC+) = 0 V(+A) = 0 y V(A) = 0

VI*. V(AI*) = 0 V(A) = 1 y V(A) = 1

VC*. V(AC*) = 0 V(A) = 0 y V(A) = 0

Observar que una LB-valuacin v se extiende a una funcin V, en lo que respecta a las frmulas de la forma +A y A, de manera arbitraria y no hay restricciones. Por esta razn, las LB-valuaciones pueden ser de nidas como funciones v del conjunto de frmulas cuasi-atmicas en {0,1}, y al extender al conjunto de todas las frmulas, se cambia la primera clusula de la de nicin por: si p es cuasi-atmica, entonces V(p) = v(p).

De nicin 5. Se dice que una frmula A es LB-vlida, denotado LB A, si y solamente si para toda LB-valuacin v, V(A) = 1.

Proposicin 3 (LB-validez de los axiomas). Los axiomas de LB son LB-vlidos.

Prueba: La LB-validez de los axiomas clsicos, de AxI+~ y de AxC+~, es presentada en Lgica bsica con a rmacin alterna.

LB-validez del AxI+. Si no fuese vlido existira una LB-valuacin v y una frmula A, tal que V(AI+ (+AA)) = 0, y se tendran, segn de nicin de VI+, 2 casos: V(AI+) = 1 y V(+AA) = 0

11 La semntica presentada extiende la semntica del sistema LBPco(+) al incluir las clusulas VI+, VC+, VI* y VC*.

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V(AI+) = 0 y V(+AA) = 1. En el primer caso se tendra que V(AI+) = 1, V(+A) = 1 y V(A) = 1, es decir V(AI+) = 1 y V(AI+) = 0, lo cual es imposible. En el segundo caso se tendra que V(+A) = 1, V(A) = 1 y V(+AA) = 1, lo que quiere decir que V(+AA) = 0 y V(+AA) = 1, lo cual es imposible. Un razonamiento anlogo prueba la LB-validez de AxI*.

LB-validez del AxC+. Si no fuese vlido existira una LB-valuacin v y una frmula A, tal que V(AC+ (A+A)) = 0, y se tendran, segn de nicin de VC+, 2 casos: V(AC+) = 1 y V(A+A) = 0 V(AC+) = 0 y V(A+A) = 1. En el primer caso se tendra que V(AC+) = 1 y V(A) = 0 y V(+A) = 0, es decir V(AC+) = 1 y V(AC+) = 0, lo cual es imposible. En el segundo caso se tendra que V(A) = 0, V(+A) = 0 y V(A+A) = 1, lo que quiere decir que V(A+A) = 0 y V(A+A) = 1, lo cual es imposible. Un razonamiento anlogo prueba la LB-validez de AxC*.

Proposicin 4 (MP preserva LB-validez). Sean A y B frmulas de LB. Si A y AB son LB-vlidas, entonces B tambin es LB-vlida.

Prueba: Similar a la prueba de MP preserva LBPco(+)-validez presentada en Lgica bsica con a rmacin alterna.

Proposicin 5 (Teorema de LB-validez).

Todo LB-teorema es LB-vlido.

Prueba: Similar a la prueba del teorema de LBPco(+)-validez presentada en Lgica bsica con a rmacin alterna.

De nicin 6. Una extensin de LB es un sistema formal, obtenido alterando o am pliando el conjunto de axiomas, de manera que todos los teoremas de LB sigan siendo teoremas. Frecuentemente se dir simplemente: frmulas o frmulas de LB cuando se quiera hacer referencia a las frmulas de una extensin de LB.

De nicin 7. Una extensin de LB es consistente si no existe ninguna frmula A de LB, tal que tanto A como ~A sean teoremas de la extensin.


Si la extensin no es consistente, se dice que es inconsistente.

De nicin 8. Una extensin de LB es trivial si toda frmula es teorema de la extensin.

Proposicin 6 (Consistencia de LB)LB es consistente.

Prueba: Similar a la prueba de consistencia de LBPco(+) presentada en Lgica bsica con a rmacin alterna.

Proposicin 7 (Inconsistencia signi ca trivialidad)Una extensin LB* de LB es consistente, s y slo si no es trivial.

Prueba: Sea LB* consistente. Entonces: para toda frmula A, o bien A no es teorema o bien ~A no es teorema, ya que ambas no pueden serlo al ser LB* consistente. Por lo tanto LB* no es trivial.

Recprocamente, supngase que LB* no es consistente. Se demostrar que no hay frmulas que no sean teoremas de LB*, es decir, que toda frmula es teorema de LB*. Sea A cualquier frmula; LB* no es consistente, as que LB* B y LB* ~B para cierta frmula B. Ahora bien, LB ~B(BA) por Ax0.9. As, LB* ~B(BA) pues LB* es extensin de LB. Aplicando dos veces MP, obtenemos ahora LB* A. As pues, toda frmula es teorema de LB*, como se quera.

Proposicin 8 (Completando con nuevos axiomas)Sea LB* una extensin de LB y sea A una frmula de LB que no sea teorema de LB*. Entonces LB** es tambin consistente, siendo LB** la extensin de LB, obtenida aadiendo ~A como nuevo axioma a LB*.

Prueba: Similar a la prueba de la proposicin 2.8 presentada en Lgica bsica con a rmacin alterna.

De nicin 9. Una extensin de LB es completa si para toda frmula A, o bien A o bien ~A es teorema de la extensin.


Si LBc es una extensin consistente y completa de LB, entonces cualquier otra extensin de LB, en la cual la clase de los teoremas extien da a la clase de los teoremas de LBc, es inconsistente. En efecto, supn gase que A no es teorema de LBc. Entonces ~A es teorema de LBc. As pues, si A es un teorema de otra extensin, tambin lo es ~A, de modo que esta otra extensin no puede ser consistente.

En este punto se probarn algunas reglas derivadas que se requieren para la prueba de la proposicin 26, el teorema de completitud.

Proposicin 9 (Introduccin y eliminacin de la conjuncin).

LB AB LB A y LB B

Prueba: Supngase que AB es un teorema de LB, por Ax0.6 y MP se tiene A y por Ax0.7 y MP se tiene B. Ahora supngase que A y B son teoremas de LB, por Ax0.8 se tiene (AA)[(AB)(A(AB))], pero el antecedente es un teorema, por lo que se in ere (AB)(A(AB)); el antecedente de este condicional se obtiene de B utilizando Ax0.1, por lo que se in ere A(AB), y como se tiene A, entonces tambin se tiene AB.

Proposicin 10 (Introduccin dela disyuncin).

LB A LB AB yLB BA.

Prueba: Supngase que A es un teorema de LB, por Ax0.3 y MP se tiene AB y por Ax0.4 y MP se tiene BA.

Proposicin 11 (Silogismo hipottico).

LB AB y LB BC LB AC.

Prueba: Supngase que AB y BC son teoremas de LB, se probar AC utilizando la proposicin 2, teorema de deduccin, por lo que se supone A y se debe probar C. Por MP entre AB y A se tiene B, como adems se tiene BC, se in ere C.

Proposicin 12 (Eliminacin de la disyuncin).

LB AB y LB AC y LB BC LB C.

Prueba: Consecuencia inmediata de Ax0.5.

Proposicin 13 (Dilema constructivo).

LB AB y LB AC y LB BD LB CD.

Prueba: Supngase que AB, AC y BD son teoremas de LB, utilizando Ax0.3 C(CD), Ax0.4 D(CD) y silogismo hipottico con las dos ltimas premisas se tiene A(CD) y B(CD), y por la eliminacin de la disyuncin con la primera premisa se in ere CD.

Proposicin 14 (Silogismo disyuntivo).

LB AB y LB ~A LB B.

Prueba: Supngase que AB y ~A son teoremas de LB; utilizando Ax0.9 ~A(AB), resulta AB, por lo que de Ax0.5 (AB)[(BB)((AB)B)] se in ere (BB)((AB)B); como el antecedente es teorema entonces resulta (AB)B, y por MP con la primera premisa se in ere B.

Proposicin 15 (Demostracin indirecta).

LB AB y LB A~B LB ~A.

LB ~AB y LB ~A~B LB A.

Prueba: Supngase que AB y A~B. Se probar A~A utilizando la proposicin 2, teorema de deduccin, por lo que se supone A y se prueba ~A. Al tener A, AB y A~B se tienen B y ~B; por la introduccin de la disyuncin se tiene BA y por el silogismo disyuntivo se in ere A. Se ha probado entonces A~A, por lo que de Ax0.5 (A~A)[(~A~A)((A~A)~A)] se deduce (~A~A)((A~A)~A), pero ~A~A es un teorema y A~A es Ax0.10, por lo que se in ere ~A. De manera similar se prueba la segunda parte de la proposicin.

Proposicin 16 (Doble negacin).

LB A LB ~~A.

91SIERRA A., M. | Lgica Bsica con A rmacin y Negacin Alternas

Prueba: Consecuencia inmediata de la proposicin 15, demostracin indirecta.

Proposicin 17 (Negacin de la disyuncin). LB ~(AB) LB ~A~B.

Prueba: Supngase que ~(AB) es un teorema de LB, por Ax0.1 y MP se in ere A~(AB), y por Ax0.3 se tiene A(AB). Por la proposicin 15, demostracin indirecta, en estos dos ltimos resultados se in ere ~A. De manera similar se prueba ~B, y nalmente, por la introduccin de la conjuncin, resulta ~A~B.

Supngase ahora que ~A~B es teorema de LB, por eliminacin de la conjuncin tambin lo sern ~A y ~B. Al tener ~B por Ax0.1 se tiene (AB)~B. Se utilizar el teorema de deduccin para probar (AB)B, por lo que se supone AB y se debe probar B. Al suponer AB, y como se tiene ~A, se in ere B por el silogismo disyuntivo. Se tiene entonces que (AB)~B y (AB)B, y por la demostracin indirecta, se concluye ~(AB).

Proposicin 18 (Negacin del condicional). LB ~(AB) LB A~B.

Prueba: Supngase que ~(AB) es un teorema de LB, por Ax0.1 y MP se in ere ~A~(AB), y por Ax0.9 se tiene ~A(AB). Por la proposicin 15, demostracin indirecta, en estos dos ltimos resultados se in ere A. Por Ax0.1 se tiene B(AB) y de Ax0.1 y ~(AB) se obtiene B~(AB); de nuevo por la demostracin indirecta se in ere ~B. Al tener A y ~B se in ere A~B por la introduccin de la conjuncin.

Supngase ahora que A~B es teorema de LB; por la eliminacin de la conjuncin, tambin lo sern A y ~B. Al tener ~B de Ax0.1 se deduce (AB)~B. Al suponer AB se in ere B puesto que se tiene A, y por el teorema de deduccin se ha probado (AB)B. Se tienen as (AB)~B y (AB)B, y por la demostracin indirecta se deduce ~(AB).

Proposicin 19 (Transposicin). LB AB LB ~B~A.

Prueba: Supngase que AB es un teorema de LB, se utilizar el teorema de deduccin para probar ~B~A. Supngase ~B, utilizando Ax0.1 resulta A~B; se tienen as AB y A~B y por la demostracin indirecta se genera ~A. Lo que por teorema de deduccin prueba ~B~A.

El recproco se prueba de manera similar.

Observar que se ha probado tambin el llamado Modus Tollens MT:

LB AB y LB ~B LB ~A.

Proposicin 20 (Equivalencia material).

LB AB LB (AB)(~A~B).

Prueba: Supngase que AB es un teorema de LB; usando Ax0.11 se in ere AB y con Ax0.8 resulta (AA)[(A(AB))], y puesto que AA es teorema, se in ere A(AB). De AB y Ax0.12 se in ere BA y por la transposicin se tiene ~A~B; este resultado con Ax0.8 produce (~A~A)(~A(~A~B)), y al ser ~A~A teorema, se in ere ~A(~A~B). En resumen, se tienen A(AB) y ~A(~A~B), pero A~A es Ax0.10, luego por el dilema constructivo se in ere (AB)(~A~B).

Supngase ahora que AB es teorema de LB, por la eliminacin de la conjuncin se tienen A y B; utilizando Ax0.1 se tienen AB y BA, y utilizando Ax0.13 resulta AB. Por teorema de deduccin se ha probado (AB)(AB).

Supngase ahora que ~A~B es teorema de LB, por la eliminacin de la conjuncin se tienen ~A y ~B, utilizando Ax0.9 se tienen AB y BA, y utilizando Ax0.13 resulta AB. Por teorema de deduccin se ha probado (~A~B)(AB).

Resumiendo se tienen (AB)(AB) y (~A~B) (AB), y utilizando Ax0.5 resulta [(AB) (~A~B)](AB). Esto signi ca que LB (AB) (~A~B) LB AB.

Proposicin 21 (Transposicin enla equivalencia). LB AB LB ~A~B.


Prueba: Supngase que AB es un teorema de LB; usando Ax0.11 y Ax0.12 se in eren AB y BA, utilizando la transposicin del condicional resultan ~A~B y ~B~A, usando Ax0.13 se in ere ~A~B. La recproca se prueba de la misma forma.

Proposicin 22 (Equivalencia externa).

Si J es una extensin consistente y completa de LB, entonces J AB si y solo si J A J B.


Proposicin 23. Si J es una extensin consistente y completa de LB, entonces J AB si y slo si J A oJ B.


Proposicin 24.

Sea LB* una extensin consistente de LB. Entonces existe una extensin consistente y completa de LB*.


Proposicin 25.

Si LB* es una extensin consistente de LB, entonces existe una LB-valuacin en la cual todo teorema de LB* toma el valor 1.

Prueba: Se de ne v sobre frmulas de LB, poniendo: V(A) = 1 si J A, V(A) = 0 si J ~A, siendo J una extensin consistente y completa de LB*, como la dada en la demostracin de la proposicin 24. Ntese que V est de nida so bre todas las frmulas por ser J completa. Ahora bien, V(A) = 1 V(~A) = 0 para toda frmula A, ya que J es consistente, por lo que se satisface la de nicin V~.

Para el caso de los conectivos clsicos, de la incompatibilidad +~ y de la completez +~ se

precede como en la prueba de la proposicin 2.25 de Lgica bsica con a rmacin alterna.

Para el caso de la incompatibilidad +, utilizando la transposicin en la equivalencia, equivalencia externa, negacin del condicional, doble negacin e introduccin y eliminacin de la conjuncin, se tiene que V(AI+) = 0 J ~A

I+ J ~(+A~A) J +A~~A J +AA J +A yJ A V(+A) = 1 y V(A) = 1, por lo que se satisface la de nicin VI+.

Para el caso de la completez +, utilizando la transposicin en la equivalencia, equivalencia externa, negacin del condicional e introduccin y eliminacin de la conjuncin, se tiene que V(AC+) = 0 J ~A

C+ J ~(~+AA) J ~+A~A J ~+A yJ ~A V(+A) = 0 y V(A) = 0, por lo que se satisface la de nicin VC+.

Para el caso de la incompatibilidad * utilizando la transposicin en la equivalencia, la equivalencia externa, la negacin del condicional, la doble negacin y la introduccin y eliminacin de la conjuncin, se tiene que V(AI*) = 0 J ~A

I* J ~(A~A) J A~~A J AA J A yJ A V(A) = 1 y V(A) = 1, por lo que se satisface la de nicin VI*.

Para el caso de la completez *, utilizando la transposicin en la equivalencia, la equivalencia externa, la negacin del condicional y la introduccin y eliminacin de la conjuncin, se tiene que V(AC*) = 0 J ~A

C* J ~(~AA) J ~A~A J ~A yJ ~A V(A) = 0 y V(A) = 0, por lo que se satisface la de nicin VC*.

Se concluye nalmente que v es una LB-valuacin, ya que se satisfacen los requisitos de la de nicin 4.

Sea ahora A un teorema de LB*. Entonces J A, donde J es una exten sin consistente y completa de LB*. Con ello, V(A) = 1.

Proposicin 26 (El Teorema de Completitud para LB). Sea A una frmula de LB, si A es LB-vlida entonces A es LB-teorema.



Se ha comprobado, con las proposiciones 5 y 26, que los LB-teoremas son las frmulas LB-vlidas y slo ellas. Para toda frmula de LB, se tiene: LB A LB A.

3. Dos extensiones de LB De nicin 10. El sistema LBPo(+) se cons-truye a partir del sistema LB, alterando nicamente el conjunto de axiomas para los nuevos operadores. El sistema LBPo(+) tiene como axiomas para los nuevos operadores:

AxI+~. AI+~ (+AA)

AxC+~. AC+~ (A+A)

AxPI+12. +A~A

AxC+. AC+ (~A+A)

AxI*. AI* (AA)

AxC*. AC* (~AA)

LBo A indica que A es un LBPo(+)-teorema.

De nicin 11. Una LBPo(+)-valuacin, se de ne de manera similar a la LB-valuacin. Slo se cambia VI+ por VPI+: V(+A) = 1 V(A) = 0. LBo A indica que A es LBPo(+)-vlida.

De nicin 12. El sistema LBPc(+) se construye a partir del sistema LB, alterando nicamente el conjunto de axiomas para los nuevos operadores. El sistema LBPc(+) tiene como axiomas para los nuevos operadores:

AxI+~. AI+~ (+AA)

AxC+~. AC+~ (A+A)

AxI+. AC+ (+A~A)

12 AxPI+ recibe el nombre de axioma de peticin de incompatibilidad entre los operadores a rmacin alterna y negacin alterna. Este axioma puede ser cambiado por la pareja de axiomas: AI+ (+AA) y AI+. Esto signi ca que el sistema un LBPo(+) puede ser obtenido a partir de LB, agregando como nuevo axioma AI+.

AxPC+12. ~A+A

AxI*. AI* (AA)

AxC*. AC* (~AA)

LBc A indica que A es un LBPc(+)-teorema.

De nicin 13. Una LBPc(+)-valuacin se de ne de manera similar a la LB-valuacin. Slo se cambia VC+ por VPC+: V(+A) = 0 V(A) = 1. LBc A indica que A es LBPc(+)-vlida.

De nicin 14. El sistema CL* se construye a partir del sistema LB, alterando nicamente el conjunto de axiomas para los nuevos operadores. El sistema CL* tiene como axiomas para los nuevos operadores:

AxPI+~. +AA

AxPC+~. A+A

AxPI+. +A~A

AxPC+. ~A+A

AxPI*. AA

AxPC*. ~AA

Como consecuencias inmediatas se tienen +AA y AA, es decir, los dos tipos de a rmacin coinciden y los dos tipos negacin coinciden. En cierto sentido, CL* es la misma lgica clsica CL con dos notaciones para el operador a rmacin y dos notaciones para el operador negacin.

CL* A indica que A es un CL*-teorema.

De nicin 15. Una CL*-valuacin se de ne de manera similar a la LB-valuacin. Slo se cambian VI+, VC+, VI+, VC+, VI* y VC* por VPIC+~: V(+A) = 1 V(A) = 1 y por VPIC*: V(A) = 1 V(A) = 0. Como consecuencia, se tiene VPIC+: V(+A) = 1 V(A) = 0. CL* A indica que A es CL*-vlida.

De nicin 16. Inicialmente se tiene el clculo proposicional clsico CL, se ampla su lenguaje y se

13 AxPC+ recibe el nombre de axioma de peticin de determinabilidad entre los operadores a rmacin alterna y negacin alterna. Este axioma puede ser cambiado por la pareja de axiomas: AC+ (A+A) y AC+. Esto signi ca que el sistema un LBPc(+) puede ser obtenido a partir de LB agregando como nuevo axioma AC+.


extiende el sistema resultante a LB; posteriormente se extiende LB a LBPc(+,) y a LBPo(+,), y a CL*. Por esta razn los sistemas arriba presentados, diferentes de CL y de CL*, son llamados Sistemas Intermedios.

Observando la prueba de la caracterizacin del sistema LB, se concluye que cada uno de los sistemas intermedios est caracterizado por la respectiva semntica presentada.

Proposicin 27. (Caracterizacin de los sistemas intermedios).

Los sistemas LBPc(+),LBPo(+) y CL* son caracterizados por la respectiva semntica presentada.

4. Jerarquizacin de los Sistemas Intermedios

De nicin 17. Se dice que el sistema Sf es ms fuerte que el sistema Sd, si y solamente si el conjunto de consecuencias de Sf incluye propiamente al conjunto de consecuencias de Sd; es decir, si todo teorema de Sd es tambin teorema de Sf, y adems existe una frmula de LB, la cual es vlida en Sf y no es vlida en Sd. Se dice que Sd es ms dbil que Sf si y solamente si Sf es ms fuerte que Sd.

De nicin 18. Se dice que los sistemas S1 y S2 son independientes, si y solamente si ni S1 es ms fuerte que S2, ni S2 es ms fuerte que S1 y los conjuntos de teoremas de S1 y S2 son diferentes, es decir; si existe un teorema de S1 que no es teorema de S2 y existe un teorema de S2 que no es teorema de S1.

Proposicin 28.

LBPo(+,) es ms fuerte que LB.

Prueba: Por la de nicin de los sistemas, todo teorema de LB es teorema de LBPo(+,). Sea v una LB-valuacin y A una frmula atmica tal que: V(A) = 1, V(A) = 1 y V(+A) = 1. Se veri ca que V(AxPI+) = V(+AA) = 0. Por lo tanto AxPI+ no es teorema de LB. Se concluye as que LBPo(+,) es ms fuerte que LB.

Proposicin 29.

LBPc(+,) es ms fuerte que LB.

Prueba: Por la de nicin de los sistemas, todo teorema de LB es teorema de LBPc(+,). Sea v una LB-valuacin y A una frmula atmica tal que: V(A) = 1, V(A) = 0 y V(+A) = 0. Se veri ca que V(AxPC+) = V(~A+A) = 0. Por lo tanto AxPC+ no es teorema de LB. Se concluye as que LBPc(+,) es ms fuerte que LB.

Proposicin 30.

LBPc(+,) es independiente de LBPo(+,).

Prueba: Sea v1 una LB-valuacin y A una frmula atmica tal que: V1(A) = 1, V1(A) = 1 y V1(+A) = 1. Se veri ca que V1(AxPI+) = V1(+AA) = 0 y V1(AxPC+) = V1(~A+A) = 1. Por lo tanto AxPI+ no es teorema de LBPc(+,). Sea v2 una LB-valuacin y A una frmula atmica tal que: V2(A) = 1, V2(A) = 0 y V2(+A) = 0. Se veri ca que V2(AxPC+) = V2(~A+A) = 0 y V2(AxPI+) = V2(+A~A) = 1. Por lo tanto AxPC+ no es teorema de LBPo(+,). Se concluye as que LBPc(+,) y LBPo(+,) son independientes.

Proposicin 31.

CL* es ms fuerte que LBPo(+,).

Prueba: Por la de nicin de los sistemas, todo teorema de LBPo(+,) es teorema de CL*. Sea v una LB-valuacin y A una frmula atmica tal que: V(A) = 1, V(A) = 1 y V(+A) = 1. Se veri ca que V(AxPI+) = V(+AA) = 0 y V(AxPC+) = V(~A+A) = 1. Por lo tanto AxPI+ no es teorema de LBPo(+,). Se concluye as que CL* es ms fuerte que LBPo(+,).

Proposicin 32.

CL* es ms fuerte que LBPc(+,).

Prueba: Por la de nicin de los sistemas, todo teorema de LBPc(+,) es teorema de CL*. Sea v una LB-valuacin y A una frmula atmica tal que: V(A) = 1, V(A) = 0 y V(+A) = 0. Se veri ca que V(AxPC+) = V(~A+A) = 0 y V(AxPI+) = V(+A~A) = 1. Por lo tanto, AxPC+ no es teorema de LBPc(+,). Se concluye as que CL* es ms fuerte que LBPc(+,).


Los ltimos resultados, proposiciones 28 a 32, indican que los axiomas AxPI+ y AxPC+ son independientes de los dems axiomas en los sistemas presentados. La metodologa expuesta para jerarquizar los sistemas puede ser utilizada para estudiar extensiones de LB, en las cuales se requiera por ejemplo una a rmacin alterna fuerte y una negacin alterna dbil. Algunos sistemas pueden ser extendidos haciendo peticiones ms fuertes; por ejemplo, en un sistema con a rmacin fuerte se puede requerir que de la a rmacin fuerte de una conjuncin, se in era la conjuncin de las a rmaciones fuertes de los coyuntos, pero no la recproca.

Los comentarios anteriores sugieren la existencia de una extensa variedad de sistemas, los cuales pueden ser namente articulados.

Caicedo, X. (1990). Elementos de Lgica y Calculabilidad. Universidad de los Andes. Bogot

Carnielli, W. y Marcos, J. (2002). A Taxonomy of C-Systems. En: Paraconsistency - the Logical Way to the Inconsistent. Lecture Notes In Pure and Applied Mathematics. Vol. 228

Da Costa, N. (1993). Inconsistent Formal Systems. Curitiba: UFPR.

Hamilton, A. (1981). Lgica para Matemticos. Madrid: Paraninfo.

Bibliografa

Conclusiones

Hughes, G. y Cresswell, M. (1968) An Introduction to Modal Logic. Londres: Methuen.

Sierra, M. (2005). Lgica Bsica con A rmacin Alterna. En: Revista Ingeniera y Ciencia. Vol. 1, No. 1. Medelln.

________ (2004). Lgica Bsica Paraconsistente y Paracompleta y algunas de sus Extensiones. En: Revista Universidad EAFIT. Vol. 40. No. 133.

_________ (2002). Lgica Bsica con Aceptacin Fuerte. En: Revista Boletn de Matemticas. Vol. IX, No. 1.

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