neapibrĖŽtinis ir apibrĖŽtinis integralai ir... · 2011-02-08 · 0 a b x pav.1 pav.1 1....

E.A. MATEMATIKA

1

K A U N O T E C H N I K O S K O L E G I J A

Fundamentaliųjų mokslų katedra

NEAPIBRĖŽTINIS IR APIBRĖŽTINIS INTEGRALAI (savarankiško darbo metodiniai nurodymai, užduotys ir vertinimo sistema)

Studijų programa: Automobilių techninis eksploatavimas Autotransporto elektronika

Dalyko programos apimtis: 8 kreditai Studijų programa:

Elektros energetika Elektros ūkio eksploatavimas Kelių tiesimas Statyba

Dalyko programos apimtis: 6 kreditai Paruošė: dėst. E. Augutienė Suderinta: Fundamentaliųjų mokslų katedros vedėjas dr. R. Palevičius 2007 ______mėn. ____d.

Kaunas, 2007

E.A. MATEMATIKA

2

TURINYS

1. Įvadas……………………………………………………… ……………3 2. Tikslai ir savikontrolės klausimai………………………………..….….4

3. Neapibrėžtinio integralo skaičiavimo pavyzdžiai …………….…….....5

4. Apibrėžtinio integralo skaičiavimo pavyzdžiai..........................................9

5. Apibrėžtinio integralo taikymo pavyzdžiai..............................................11 6. Savarankiško darbo variantai ……………..………………………….…18

7. Savarankiško darbo vertinimas………………………….………………48

8. Literatūra……………………………………………………………...…49

E.A. MATEMATIKA

3

1. ĮVADAS

Ši priemonė yra skirta dieninio skyriaus KTK studentams , studijuojantiems temas Neapibrėžtinis integralas , Apibrėžtinis integralas, Apibrėžtinio integralo taikymai ir atliekantiems individualų savarankišką darbą iš šių temų . Čia yra pateikiamos savarankiško darbo temos su rekomenduojama literatūra ir savikontrolės klausimais. Taip pat yra išspręsti pavyzdžiai su metodiniais nurodymais. Priemonėje yra pateikti 30 individualaus savarankiško darbo variantų. Pabaigoje yra pateikti vertinimo kriterijai. Studentams rekomenduojama pirma išstudijuoti teorijos klausimus, išsiaiškinti išspręstus pavyzdžius, išspręsti uždavinius su pateiktais atsakymais, ir tik tada atlikti individualias užduotis.

E.A. MATEMATIKA

4

2. Dalyko tikslai, vertinami savarankiško darbo užduotyse: Skaičiuoti neapibrėžtinį ir apibrėžtinį integralus ir taikyti juos geometriniuose, fizikiniuose, mechanikos uždaviniuose

Uždaviniai: Mokėti skaičiuoti neapibrėžtinį integralą tiesioginio integravimo, kintamojo pakeitimo ir dalinio integravimo metodais; taikyti apibrėžtinį integralą plotų, tūrių, įvairių fizikinių charakteristikų skaičiavimui.

SAVIKONTROLĖS KLAUSIMAI 1. Kokia f-ja vadinama pirmykšte? 2. Ką vadiname neapibrėžtiniu integralu? 3. Kokia neapibrėžtinio integralo geometrinė prasmė ? 4. Suformuluokite pagrindines neapibrėžtinio integralo savybes. 5. Kaip įsitikinti integralų lentelės formulių teisingumu? 6. Kuo remiasi tiesioginio integravimo metodas? 7. Paaiškinkite kintamojo pakeitimo metodo esmę. 8. Paaiškinkite integravimo dalimis metodo esmę. 9. Kokią sumą vadiname integraline suma? Kaip ji sudaroma? 10. Suformoluokite apibrėžtinio integralo apibrėžimą. 11. Kokia yra apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė, kai 0)( ≥xf ? 12. Suformuluokite pagrindines apibrėžtinio integralo savybes.

13. Kam lygus ∫−

a

a

dxxf )( , kai lyginėxf −)( ir nelyginėxf −)( f-ja?

14. Kokį integralą vadiname integralu su kintamu viršutiniu rėžiu? 15. Parašykite Niutono-Leibnico formulę. 16. Kaip integruojamos f-jos kintamojo pakeitimo ir dalinio integravimo metodais? 17. Kaip apskaičiuoti srities plotą? 18. Parašykite formulę kūno tūriui skaičiuoti, kai žinomas skerspjūvio plotas 19. Parašykite formulę sukinio tūriui skaičiuoti. 20. Parašykite formulę kreivės ilgiui skaičiuoti 21. Apibrėžtinio integralo taikymai fizikoje, mechanikoje. 14. Kaip gaunamos apibrėžtinio integralo apytikslio skaičiavimo formulės 15. kuo skiriasi stačiakampių ir trapecijų apytikslės formulės? Kuri tikslesnė? Kodėl?

E.A. MATEMATIKA

5

3. NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SKAIČIAVIMO PAVYZDŽIAI Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės: 1.Pasatovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą: ∫ ∫= dxxfcdxxcf )()(

2. Integralas nuo f-jų sumos arba skirtumo yra lygus integralų sumai arba skirtumui:

∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫++++====++++ .)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf

Neapibrėžtinių integralų lentelė

1. ∫ += cxdx

2. x dxx

nCn

n

=+

++

∫1

1 ( )n ≠ −1

3. 1

xdx x C= +∫ ln ( )n = −1

4. a dxa

aCx

x

= +∫ ln

5. e dx e Cx x∫ = +

6. cos sinxdx x C= +∫

7. sin cosxdx x C= − +∫

8. 1

2cos xdx tgx C= +∫

9. 1

2sin xdx ctgx C= +∫

10.1

1 2−= +∫

xdx x Carcsin

11.1

1 2+= +∫ x

dx arctgx C

E.A. MATEMATIKA

6

I.Integralai, skaičiuojami tiesioginiu integravimu Šiuo metodu integruojami integralai, kuriems yra pritaikoma

1) integralo tiesiškumo savybė ∫ ∫∫ +=+ dxxgbdxxfadxxbgxaf )()())()(( , o

pointegralinė f-ja elementariai pertvarkoma. (Pav. Nr. 1-4)

2) integralai, kurie skaičiuojami pritaikius integralo invariantiškumo savybę

∫ += .)()( CuFduuf (Pav. Nr. 5- 11)

Uždavinių sprendimo pavyzdžiai 1. Pavyzdys.

.42

34

112

123423)423( 22

111222 CxxxCx

xxdxxdxdxxdxxx ++−=++

+−

+⋅=+−=+−

++

∫ ∫ ∫ ∫

2. Pavyzdys.

.991

3

2.33

3 33

113

2

3

2

3 2CxCxC

xdxxdx

x+=+=+

+−==

+−−

∫∫

3. Pavyzdys.

∫ ∫ ∫ +−=−

−+

=−

−+

.arcsin5

14

1

1

5

1

1

14)

15

1

1

4(

2222Cxarctgxdx

xdx

xdx

xx

4. Pavyzdys.

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ +−=−=−=−

== .cos

1)1

cos

1(

cos

cos1

cos

sin222

2

2

22 Cxtgxdxdx

xdx

xdx

x

xdx

x

xxdxtg

5. Pavyzdys.

∫ ∫ ++=+++

⋅=++=++

.)32(6

1

12

)32(

2

1)32()32(

2

1)32( 3

1222 CxC

xxdxdxx

6. Pavyzdys.

∫ ∫ ∫ ++=+

+=

+

+=

+Cx

x

xd

x

xd

x

xdx)2ln(

2

1

2

)2(

2

1

2

)2(2

1

22

2

2

2

2

2

7. Pavyzdys.

∫ ∫ ∫ +==⋅= .4

sin4)4

(4

cos4)4

1(4

4cos

4cos C

xxd

xxd

xdx

x

E.A. MATEMATIKA

7

8. Pavyzdys.

.)32cos(3

1)32()

3

1()32sin()32sin( Cxxdxdxx +−=−−

⋅−=−∫ ∫

9. Pavyzdys.

∫ ∫ +== .2

sinsinsincossin

2

Cx

xxdxdxx

10 Pavyzdys.

.cossin coscoscos Cexdexdxe xxx +−=−= ∫∫

11.Pavyzdys.

.4

lnlnln

ln 43

3

Cx

xxddxx

x+==∫ ∫

II. Integralai, skaičiuojami kintamojo pakeitimo metodu Integruojant šiuo metodu, kintamąjį x keičiame naujo kintamojo t funkcija: )(tx φ= , tada

∫ ∫ ′= dtttfdxxf )()(()( ϕφ

12. Pavyzdys.

[ ] CxarctgxxtCarctgttdtt

dt

dtt

dtt

tdt

t

ttdt

t

t

tdtdx

tx

tx

dxx

x

+−+−=−==++=+

+=

=+

+=+−+

=+

=+

=

=

+=

=−

=−

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫∫

)11(21)(2)1

1(2

)1

11(2

1

1)1(2

122

12

,1

,11

2

22

2

2

2

2

22

2

13. Pavyzdys.

[ ]

.4)16(3

2

)43

4(42)44

3

)4((24)4

3(2

)4(2)4(2)4(

22)4(

2

4

4

4

33

222

2

22

2

Cxx

Cx

xCxx

xtCtt

dtdttdttt

tdtt

t

tdtt

tdtdx

tx

tx

x

xdx

+++=

=+−+

⋅+=++−+

=+==+−=

=−=−=−

=−

=

=

−=

=+

=+ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫

E.A. MATEMATIKA

8

14. Pavyzdys.

[ ]

.arcsin)(arcsin

arcsinsin

1)1

sin

1(

sin

sin1

sin

coscos

sin

coscos

sin

sin1

cos

sin1

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Cxxctg

xtCtctgtdtdtt

dtt

dtt

t

dtt

ttdt

t

ttdt

t

t

tdtdx

txdx

x

x

+−−=

===+−−=−=−=−

===−

=

=

==

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫∫∫

II. Integralai, integruojami dalinio integravimo metodu

Dalinio integravimo formulė yra ∫ ∫−= .vduuvudv

Ši formulė taikoma tada, kai pointegralinį reiškinį galima pavaizduoti kaip sandaugą u ir dv taip, kad iš dv radus f-ją v, duotasis integralas susiintegruotų. 14. Pavyzdys

∫∫ ∫++=−=

===

=== .cossinsinsin

sincoscoscos Cxxxxdxxx

xxdxvxdxdv

dxduxuxdxx

15. Pavyzdys

∫ ∫∫ +−=−=⋅−=

==

=== .lnln1

ln1

lnln Cxxxdxxxdxx

xxx

xvdxdv

dxx

duxuxdx

16.Pavyzdys

.)(2)(2

222

22

22

2

2

Cexeexdxexeexedxevdxedv

dxduxu

dxxeexdxxeexedxevdxedv

xdxduxudxex

xxxxxxxxx

xxxx

xxx

x

+−−=−−=

===

===

=−=−=

===

===

∫∫

∫ ∫∫∫

E.A. MATEMATIKA

9

4. APIBRĖŽTINIŲ INTEGRALŲ SKAIČIAVIMO PAVYZDŽIAI

I. Niutono-Leibnico teorema. Jei funkcija )(xf yra tolydi atkarpoje [ ]ba; ir )(xF - kuri nors jos pirmykštė funkcija, tai

).()()( aFbFdxxf

b

a

−=∫

II. Kintamojo pakeitimas apibrėžtiniame integrale

∫ ∫ ′=b

a

dtttfdxxf

β

α

ϕϕ ,)())(()(

kur ),(tx ϕ= ),(αϕ=a )(βϕ=b ; t – naujas kintamasis; βα , - nauji integravimo rėžiai. III. Integravimas dalimis

∫∫ −=b

a

b

a

b

a

vduuvudv .

Uždavinių sprendimo pavyzdžiai

1. Pavyzdys

.3)18(3

1))1(2(

3

1

3332

1

32

1

2 =+=−−== −−∫

xdxx

2. Pavyzdys

.2

925

2

1)23(2)23(

2

12

22)2( 22

3

2

3

2

3

2

32

23

2

=+⋅=−+−=+=+=+ ∫ ∫∫ xx

dxxdxdxx

3 Pavyzdys

.2ln2

1)1ln2(ln)1

2

1(ln

1

1)

11( 2

121

2

1

2

1

12

2

12

=−−−−=−−

=−=− ∫ ∫∫−

− xx

dxx

dxxdxxx

E.A. MATEMATIKA

10

4 Pavyzdys

.1816)18()18(2

233

1

3

23

13

23

1

12

13

3

13)

3

13(

33

81

381

381

3

181

2

381

13

28

1

81

12

1

3

28

1

2

1

3 2

8

1

−=−+−=

=+=⋅+⋅=+−

⋅++

⋅=+=++−+

−

∫∫∫ xxxxxx

dxxdxxdxx

x

5. Pavyzdys

.4)10(4)0cos4

2(cos4

4cos4

44sin4

4sin 2

0

2

0

2

0

=−−=−−=−==∫ ∫ππ

π πxx

dx

dxx

6. Pavyzdys

.2

5ln

3

2)4ln10(ln

3

243ln

3

2

43

)43(

3

12

43

2 20

2

0

2

0

=−=+=++

⋅=+ ∫∫ x

x

xd

x

dx

7. Pavyzdys

.3

8)

3

1

3

812(2

)3

(2)1(2)2(1

.2

.2

3;1

;10;1

121

321

2

1

21

2

22

2

0

3

−=+−−=

=−=−=−−

=

−=

=⇒−=−=

=⇒==−

=− ∫∫∫

−

ttdttdtt

t

t

tdtdx

txtx

txtx

x

xdx

8. Pavyzdys

.124

144

)1

11(

4

1

11

41

1..

1

1;2;

2

10

10

1

02

1

02

21

02

210

21

0

22

−=+−=+−=+

−−=

=+

−+−=

+⋅−⋅=

=+

=

===

∫

∫∫∫

πππππ

π

arctgxxdxx

dxx

xdx

xxxarctgx

xvx

du

xdxdvarctgxu

xarctgxdx

E.A. MATEMATIKA

11

5. APIBRĖŽTINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMO PAVYZDŽIAI

I. Sričių, apribotų duotomis kreivėmis, plotų skaičiavimas

a) Kreivinės trapecijos plotas, kurį riboja kreivė )(xfy = , )0)(( >xf , tiesės ax = , bx = ir

ašies Ox atkarpa [ ]ba; , apskaičiuojamas pagal formulę ( pav 1)

∫=b

a

dxxfS )(

y )(xfy = S 0 a b x

pav.1Pav.1

1. Pavyzdys

Apskaičiuoti srities, apribotos kreive ,22 +−−= xxy ir tiesėmis ;0=y ;1−=x 1=x , plotą.

Sprendimas:

Nagrinėjama parabolė kerta Ox ašį taškuose 2−=x ir .1=x parabolės viršūnės koordinatės yra

)4

9,

2

1(− (pav. 2).

y 1 -2 0 1 x Pav.2 Šios kreivinės trapecijos plotas yra lygus

E.A. MATEMATIKA

12

.3

104

3

22

23)2( 1

11

1

21

1

31

1

2 =+−=+−−=+−−= −−−−∫ x

xxdxxxS

2. Pavyzdys Sritį riboja parabolė 652 +−= xxy ir koordinačių ašys. Rasti šios srities plotą. Sprendimas: Kreivė 652 +−= xxy kerta Ox ašį taškuose 2=x ir 3=x , o Oy ašį taške 6=y (pav. 3). y 6 0 2 3 x Pav. 3 Integravimo rėžiai 0=a ir 2=b . Taigi

.2

1426

2

45

3

86

25

365)65(

2

0

20

20

220

2

0

2

0

32

0

22 =⋅+⋅−=+−=+−=+−= ∫ ∫ ∫∫ xxx

dxxdxdxxdxxxS

3. Pavyzdys

Sritį riboja parabolė 42 +−= xy , tiesė 2

3

2

3+= xy ir Ox ašis. rasti šios srities plotą.

Sprendimas: Braižome sritį, kurią riboja duotos kreivės:

E.A. MATEMATIKA

13

y 4

Pav. 4

Šiuo atveju ieškomos srities plotas S yra dviejų sričių plotų suma: CBDABC SSS += (pav. 4)

Spręsdami sistemą

+−=

+=

4

;2

3

2

3

2xy

xy

surandame 42 +−= xy ir 2

3

2

3+= xy susikirtimo taško koordinates. Gauname )3;1(B .

Taigi

∫−

−− =+=+=1

1

11

11

2

.2

3)

2(

2

3)

2

3

2

3( x

xdxxS ABC

3

54

3)4( 2

121

2

1

32 =+−=+−= ∫ x

xdxxSCBD .

Todėl

.6

19

3

5

2

3=+=S

B

A D C

3

E.A. MATEMATIKA

14

b) Kreivinės trapecijos plotas, kurį iš viršaus riboja kreivė )(1 xfy = , iš apačios - )(2 xgy = ,

iš kairės ir dešinės tiesės ax = , bx = ( pav. 5) , apskaičiuojamas pagal formulę

∫ −=b

a

dxxgxfS ))()((

y

)(xfy =

)(xgy =

0 a b x

Pav. 5

4. Pavyzdys

Sritį riboja parabolė 222 +−= xxy ir tiesė 33

2+= xy . Rasti srities plotą.

Sprendimas:

Nubraižome šių kreivių grafikus, ir spręsdami sistemą

+=

+−=

,33

2

;222

xy

xxy

randame kreivių susikirtimo taškų koordinates. Tai taškai )2;0( ir )5;3( (pav. 6) .

Gauname, kad 01 =x , ir 32 =x . Tai šiuo atveju yra integravimo rėžiai.

222 +−= xxy

33

2+= xy

2

0 3 x

Pav. 6

E.A. MATEMATIKA

15

Taigi,

.3

142

6

32

3

8

2

1

3

8

3

1

)13

8())22()3

3

2((

20

20

220

3

3

0

3

0

22

=++−=+⋅+−

=

=++−=+−−+= ∫ ∫

xxx

dxxxdxxxxS

II. Sukinių tūrių skaičiavimas

Kūno, gauto sukant kreivinę trapeciją , ribojamą kreive )(xfy = , tiesėmis ax = , bx = ir

ašies Ox atkarpa [ ]ba; (pav.7), tūris skaičiuojamas pagal formulę

∫=b

a

x dxxfV .)(2π

y

)(xfy =

x

Pav. 7

5. Pavyzdys

Apskaičiuoti kūno, gauto sukant kreivinę trapeciją , ribojamą kreive xy 22 = , tiese 3=x , ir ašimi Ox , tūrį.

Sprendimas:

Nagrinėjamas kūnas pavaizduotas pav. 8.

y

xy 22 =

0 3 x

Pav. 8

E.A. MATEMATIKA

16

Integravimo rėžiai yra 0=a ir .3=b

Gauname,

∫ ===3

0

30

2 .92 πππ xxdxVx

6. Pavyzdys

Apskaičiuoti kūno, gauto sukant kreivinę trapeciją , ribojamą kreive 2xy = ir tiese xy 2= , tūrį.

Sprendimas:

Norėdami rasti integravimo rėžius, sprendžiame sistemą

=

=

.2

;2

xy

xy

Gauname, kad 01 =x ir 22 =x .

y 2xy =

xy 2=

0 2 x

Pav. 9

Taigi,

.2,4)5

1

3

4()4())()2((

2

0

2

0

20

520

342222 ππππ ∫ ∫ =−=−=−= xxdxxxdxxxVx

E.A. MATEMATIKA

17

III. Apibrėžtinio integralo taikymai fizikiniuose ir techniniuose uždaviniuose

a) Jeigu taškas juda kreive ir jo greitis yra žinoma laiko t funkcija )(tv , tai taško nueitas

kelias per laikotarpį [ ]ba; yra

∫=b

a

dttvs )( .

b) Materialus taškas, veikiamas kintamos jėgos )(xf , juda ašimi Ox iš taško ax =

persikelia į tašką bx = .

Kintamo jėgos darbas yra

∫=b

a

dxxFA )(

c) Skysčio slėgio į panardintą į skystį plokštelę jėga yra

∫=b

a

xydxP ρ ,

kur ρ - skysčio tankis, a ir b - plokštelės kraštinių atstumai iki skysčio paviršiaus,

)(xfy = - žinoma funkcija, priklausanti nuo plokštelės formos.

d) Plokščios figūros masės centro koordinatės

∫

∫=

b

a

b

ac

dxy

xydx

x ,

∫

∫=

b

a

b

ac

dxy

dxy

y

2

2

1

7. Pavyzdys

Ištemptos, kad pailgėtų 0,05 m, spyruoklės tamprumo jėga lygi 3 N. Kokį darbą reikia atlikti, norint spyruoklę tiek ištempti?

Sprendimas

Huko dėsnis sako, kad ištempiant spyruoklę, jėga F yra proporcinga jos ilgio pokyčiui, t.y. kxF = , kur k - proporcingumo koeficientas. Gauname 05,03 ⋅= k , iš kur .60=k Taigi,

xF 60= .

Tada )(075,03060 05,00

205,0

0

JxxdxA === ∫ .

E.A. MATEMATIKA

18

6. UŽDUOČIŲ VARIANTAI 1 variantas 1 užduotis Apskaičiuokite integralus:

1. dx

x3 1 2−∫

2. 5

2

dx

x∫

3. dx

x2 1 2( )+∫

4. ( )xx

x dx2 2+ +∫

5. 2 cosxdx∫

6. ( ( ) )1

122

xx dx− +∫

7. sin( ) ( )2 1 2 1x d x+ +∫

8. sin( ) sin( )2 1 2 1x d x+ +∫

9. d x

x

sin

sin∫

10. ( )3 1 10x dx−∫

11. ( ) ( )3 1 3 110x d x− −∫

12. dx

x5 2+∫

13. cos

sin

x

xdx∫

14. dx

x25 4 2+∫

15. cos( )2 3x dx+∫

16. x x dxcos( )2 32 +∫

17. e dxx2∫

18. xe dxx2

∫

19. x

xdx

2

3 52( )+∫

20. e dxx +∫ 2

21. dx

ex+∫ 2

22. x xdx2 cos∫

23. ln( )x dx+∫ 1

24. x

xdx

+∫ 1

25. x

xdx

+

+∫1

1

2 užduotis Nubraižykite brėžinį ir apskaičiuokite gautos srities plotą

a) x y x y y− + + − = =3 1 0 0, , ;

b) .;3 2 xyxxy =−= 3 užduotis Kreivinė trapecija , ribojama oyxxy =−= ;2 2 , sukama apie Ox ašį. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

E.A. MATEMATIKA

18

2 variantas

17. 1 užduotis Apskaičiuokite integralus:

1. 1

2 2cos xdx∫

2. xdx∫

3. ( )1

2x

x dx− +∫

4. ( )xx

x dx5 3+ −∫

5. 51 1

2( )x x

dx∫ +

6. x

xdx

+∫

1

7. x d x+ +∫ 3 3( )

8. d x

x

cos

cos∫

9. d x

x

cos

cos2∫

10. ( ) ( )1 12 2− −∫ x d x

11. e dxx− +∫ 3

12. x x dx( )2 5−∫

13. x x dx2 5−∫

2 užduotis

14. ∫ −( )4 3x dx

15. sin( )2 5x dx+∫

16. x x dxsin 2∫

17. dx

xcos2

2

∫

18. dx

x2 6+∫

19. 2

3 1

dx

x +∫

20. xdx

x2 2+∫

21. dx

x( )+∫ 2 2

22. 3 1x x dxsin( )+∫

23. arctgxdx∫

24. xdx

x +∫ 1

25 xdx

xdx

+∫ 1

Nubraižykite brėžinį ir apskaičiuokite gautos srities plotą

a) y x y x x= + = = − =2 1 0 1 2, , , ;

b) ;222 +−= xxy 3 užduotis Apskaičiuokite jėgos darbą, atliktą suspaudžiant spyruoklę 0,04 m, jeigu žinoma, kad tai pačiai spyruoklei suspausti 1 cm reikia 40 N jėgos

E.A. MATEMATIKA

19

3 variantas 1 užduotis Apskaičiuokite integralus:

1. 4 cosxdx∫

2. ( )xx

dx3 51

− +∫

3. 2dx

x∫

4. dx

x4 1 2−∫

5. ( )x dx+∫ 1 2

6. ( )1

2xx dx+∫

7. cos cosxd x∫

8. ( ) ( )4 3 4 35x d x+ +∫

9. d x

x

( )++∫

2

2

10. e d xx4 5 4 5+ +∫ ( )

11. e dxx4 5+∫

12. ` ( )4 5 10x dx+∫

13. dx

x +∫ 2

14. 3 2 2x x dx−∫

15. sin 7xdx∫

16. cos( )1−∫ x dx

17. dx

x3 2+∫

18. xdx

x3 52 +∫

19. e xdxx2 2+∫

20. e dxx−∫

21. 4 5x dx+∫

22. x xdxsin 2∫

23. arctgxdx∫

24. xdx

x +∫ 2

25. x

xdx

−

+∫1

2


a) y x y x x2 0 1 3= ≥ = =, , , ;

b) .4

1;2 2 xyxxy =−=

3 užduotis Kūnas juda tiesiai greičiu

./323)( 2 smtttv −−= Raskite jo nueitą kelią per 4-ąją sekundę ir per pirmąsias 4 sekundes Nubraižykite brėžinį ir apskaičiuokite gautos srities plotą

E.A. MATEMATIKA

20


1. dxx 4

3

2∫

2. xdx3∫

3. ( )x

xdx

+∫

1 2

4. 2dx

x∫

5. ctg xdx2

6. 4

3 3 2

dx

x+∫

7. sin sinxd x∫

8. d x

x

sin

sin∫

9. ( ) ( )3 2 3 25x d x+ +∫

10. d x

x

( )4 3

4 3

−−∫

11. sin( )1 2−∫ x dx

12. ( )3 5 5x dx−∫

13. ∫ − 54x

dx

14. ∫ x

dx

6cos2

15. 2

22

xdx

x −∫

16. d

x −∫ 2

17. e dxx3 2+∫

18. dx

e x3 2−∫

19. x dx−∫ 2

20. 4

32

xdx

x −∫

21. dx

x1 4 2−∫

22. x xdxln∫

23. arccosxdx∫

24. xdx

x3+∫

25. 2

1

xdx

x −∫


a) yx

y x x= = = =1

0 1 3, , , ;

b) .2

1;122 −=+−= xyxxy

3 užduotis 80 N jėga spyruoklė ištempiama 2 cm. Pradinis spyruoklės ilgi syra 15 cm. Kokį darbą reikia atlikti ištempiant spyruoklę iki 20 cm?

E.A. MATEMATIKA

21


1. 5 15x dx∫

2. ( )12

5−∫ xdx

3. x x x

xdx

4 2

2

2 3− +∫

4. xdx∫

5. ( )2 4

2x xdx+∫

6. cos2 xdx∫

7. d x

x

ln

ln∫

8. cos( ) ( )4 3 4 3x d x+ +∫

9. e d xx− −∫ 2 2( )

10. ( ) ( )2 3 2 36x d x+ +∫

11. ( )2 3x dx+∫

12. e dxx−∫ 2

13. cos( )4 1x dx+∫

14. sin cosx xdx∫

15. x dx+∫ 4

16. x x dx2 4+∫

17. xdx

x3 2−∫

18. e dx

x

2∫

19. dx

x7 2+∫

20. dx

xsin2

3

∫

21. dx

x1 9 2−∫

22. xdx

x +∫ 2

23. xdx

x1+∫

24.∫ x xdxln

25. 2

1

xdx

x −∫


a) x y y x y− − = − =2 6 0, , ;

b) .;3 xyxy == 3 užduotis Šliuzas yra pilnas vandens. Kokia jėga vanduo slegia jo sienelę, jei jos ilgis yra 20m, o aukštis –5m?

E.A. MATEMATIKA

22


1. xdx4∫

2. ( )2 6

2x xdx+∫

3. ( )x xx

dx2 52

− +∫

4. ( )2 1 2x dx−∫

5. tg xdx2∫

6. e d xx3 1 3 1+ +∫ ( )

7. e d xx3 2 3 2+ +∫ ( )

8. cos( ) ( )x d x− −∫ 2 2

9. d x

x

( )

( )

2 10

2 10

++∫

10. e dxx3 2+∫

11. dx

x2 10+∫

12. cos2xdx∫

13. e dxx−∫ 3

14. xdx

x2 3+∫

15. tgxdx∫

16. e xdxxsin cos∫

17. x x x dx2 2 1 2 2+ − +∫ ( )

18. sin( )1 5−∫ x dx

19. 4

2

dx

x +∫

20. xe dxx2

∫

21. arctgxdx∫

22. x xdxsin 3∫

23. xdx

x1+∫

24. xdx

x1 1+ +∫

25. dx

x x2 +∫

2 užduotis

Nubraižykite brėžinį ir apskaičiuokite gautos srities plotą a) x y y x y− − = = − =2 5 0 2 0, , ;

b) .; 32 xyxy ==

3 užduotis

2. Kreivinė trapecija , ribojama 3,22 == xxy ir Ox ašimi, sukama

apie Ox ašį. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

E.A. MATEMATIKA

23


1. dxx∫ 2cos2

1

2. xdx∫

3. ( )1

2x

x dx− +∫

4. ( )xx

x dx5 3+ −∫

5. 51 1

2( )x x

dx∫ +

6. x

xdx

+∫

1

7. x d x+ +∫ 3 3( )

8. d x

x

cos

cos∫

9. d x

x

cos

cos2∫

10. ( ) ( )1 12 2− −∫ x d x

11. e dxx− +∫ 3

12. x x dx( )2 5−∫

13. x x dx2 5−∫

14. ∫ −( )4 3x dx

15. sin( )2 5x dx+∫

16. x x dxsin 2∫

17. dx

xcos2

2

∫

18. dx

x2 6+∫

19. 2

3 1

dx

x +∫

20. xdx

x2 2+∫

21. dx

x( )+∫ 2 2

22. 3 1x x dxsin( )+∫

23. arctgxdx∫

24. xdx

x +∫ 1

25. ∫+−

x

x xdx

2

1 2( )


a) y x x2 9 4= =, ;

b) .2;1;0;3 ==== xxyxy

3 užduotis Kūnas juda tiesiai greičiu

./312)( 2 smtttv −= Raskite jo nueitą kelią nuo judėjimo pradžios iki pabaigos

E.A. MATEMATIKA

24


1. 4 cosxdx∫

2. ( )xx

dx3 51

− +∫

3. 2dx

x∫

4. dx

x4 1 2−∫

5. ( )x dx+∫ 1 2

6. ( )1

2xx dx+∫

7. cos cosxd x∫

8. ( ) ( )4 3 4 35x d x+ +∫

9. d x

x

( )++∫

2

2

10. e d xx4 5 4 5+ +∫ ( )

11. e dxx4 5+∫

12. ` ( )4 5 10x dx+∫

13. dx

x +∫ 2

14. 3 2 2x x dx−∫

15. sin 7xdx∫

16. cos( )1−∫ x dx

17. dx

x3 2+∫

18. xdx

x3 52 +∫

19. e xdxx2 2+∫

20. e dxx−∫

21. 4 5x dx+∫

22. x xdxsin 2∫

23. arctgxdx∫

24. xdx

x +∫ 2

25. x

xdx

−

+∫1

2


a) y x y x= =2 2, ;

b) .;1;;1

exxoyx

y ====

3 užduotis Kreivinė trapecija , ribojama

2;1;12 ==+= xxxy ir Ox ašimi, sukama apie Ox ašį. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

E.A. MATEMATIKA

25

9 tariantas 1 užduotis Apskaičiuokite integralus:

1. 2

34∫ x dx

2. xdx3∫

3. ( )x

xdx

+∫

1 2

4. 2dx

x∫

5. ctg xdx2

6. 4

3 3 2

dx

x+∫

7. sin sinxd x∫

8. d x

x

sin

sin∫

9. ( ) ( )3 2 3 25x d x+ +∫

10. d x

x

( )4 3

4 3

−−∫

11. sin( )1 2−∫ x dx

12. ( )3 5 5x dx−∫

13. dx

x4 5−∫

14. dx

xcos2 6∫

15. 2

22

xdx

x −∫

16. d

x −∫ 2

17. e dxx3 2+∫

18. dx

e x3 2−∫

19. x dx−∫ 2

20. 4

32

xdx

x −∫

21. dx

x1 4 2−∫

22. x xdxln∫

23. arccosxdx∫

24. xdx

x3+∫

25. 2

1

xdx

x −∫


a) y x y x= = +2 2 8, ;

b) .1;4;1

=== xxyx

y

3 užduotis 2. Alyvos tankis yra 3/900 mkg . Raskite alyvos slėgio į vertikalią sienelę jėgą, jei ta sienelė yra pusapskritimio formos, jos spindulys

mR 5= ir skersmuo sutampa su alyvos paviršiumi.

E.A. MATEMATIKA

26


1. 5 15x dx∫

2. ( )12

5−∫ xdx

3. x x x

xdx

4 2

2

2 3− +∫

4. xdx∫

5. ( )2 4

2x xdx+∫

6. cos2 xdx∫

7. d x

x

ln

ln∫

8. cos( ) ( )4 3 4 3x d x+ +∫

9. e d xx− −∫ 2 2( )

10. ( ) ( )2 3 2 36x d x+ +∫

11. ( )2 3x dx+∫

12. e dxx−∫ 2

13. cos( )4 1x dx+∫

2 užduotis

14. sin cosx xdx∫

15. x dx+∫ 4

16. x x dx2 4+∫

17. xdx

x3 2−∫

18. e dx

x

2∫

19. dx

x7 2+∫

20. dx

xsin2

3

∫

21. dx

x1 9 2−∫

22. xdx

x +∫ 2

23. xdx

x1+∫

24.∫ x xdxln

25. 2

1

xdx

x −∫


a) y x x y x= − + = − +1

32 4 102 , ;

b) .0;1 2 =−= yxy 3 užduotis

2. Kūnas juda tiesiai greičiu

./34)( 2 smtttv +−= Raskite jo judėjimo dėsnį, jeigu žinoma, kad

ms 1= , kai 0=t . Raskite jo nueitą kelią per pirmąsias 5 sekundes.

E.A. MATEMATIKA

27


1. xdx4∫

2. ( )2 6

2x xdx+∫

3. ( )x xx

dx2 52

− +∫

4. ( )2 1 2x dx−∫

5. tg xdx2∫

6. e d xx3 1 3 1+ +∫ ( )

7. e d xx3 2 3 2+ +∫ ( )

8. cos( ) ( )x d x− −∫ 2 2

9. d x

x

( )

( )

2 10

2 10

++∫

10. e dxx3 2+∫

11. dx

x2 10+∫

12. cos2xdx∫

13. e dxx−∫ 3

14. xdx

x2 3+∫

15. tgxdx∫


17. x x x dx2 2 1 2 2+ − +∫ ( )

18. sin( )1 5−∫ x dx

19. 4

2

dx

x +∫

20. xe dxx2

∫

21. arctgxdx∫

22. x xdxsin 3∫

23. xdx

x1+∫

24. xdx

x1 1+ +∫

25. dx

x x2 +∫


a) y x y x= + = +2 1 102 2, ;

b) .; 32 xyxy ==

3 užduotis

Du kūnai pradėjo judėti tuo pačiu momentu ir iš to paties taško greičiais ./)46()( 2

1 smtttv += ir ./)4()( smttv = Po kiek sekundžių atstumas tarp jų bus 250m?

E.A. MATEMATIKA

28


1. ∫ + dxx )23( 16. dxxx∫ + 22

2. ∫ dxex5,0 17. ∫−3 2 7x

xdx

3. ∫ xdxsin1,0 18. ∫ xdxx cossin

4. dxx

x∫

+12

19. ∫ xdxtg 2

5. ( )2

35

xx dx−∫ 20. xe dxx2 1+∫

6. ( )5 3 2 2−∫ x dx 21. ln xdx

x∫

7. sin( ) ( )x d x+ +∫ 1 1 22. x xdx2 ln∫

8. d x

x

ln

ln∫ 23. arcsin xdx∫

9. ( ) ( )2 5 2 53x d x− −∫ 24. dx

x +∫ 2

10. e d xx− −∫ 5 5( ) 25. xdx

x −∫ 1

11. ( )2 5 3x dx−∫

12. e dxx−∫ 5

13. sin( )x dx+∫ 1

14. x x dxsin( )2∫

15. 3 2−∫ xdx

2 užduotis


a) y x y x x= = −2 2, ;

b) .2

1;122 −=+−= xyxxy

3 užduotis

Kreivinė trapecija , ribojama 4;1,1 === xxxy ir Ox ašimi, sukama apie Ox ašį. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

E.A. MATEMATIKA

29


1. 6 7x dx∫ 16. 5 6cos xdx∫

2. (x x dx+ −∫ 5 2)2 17. 2 3

3 22

x

x xdx

++ −∫

3. x

xdx

+∫

5 18. x dx−∫ 4

4. ( )11

2−∫ xdx 19. x x dx2 6−∫

5. ( )xx

dx31

∫ − 20. sinx

dx2∫

6. ( )2

1

12+−∫ x x

dx 21. dx

x1 4 2+∫

7. ( ) ( )2 3 2 3− −∫ x d x 22. x xdx2 sin∫

8. tgxdtgx∫ 23. ln xdx∫

9. sin( (3 2) 3 2)x d x− −∫ 24. x x dx−∫ 4

10. ( ) ( )x d x+ +∫ 10 105 25. x

xdx

+∫ 1

11. sin(3 2)x dx−∫

12. ( )2 3−∫ x dx

13. ∫ +( )x dx10 5

14. e dxx2 3−∫

15. dx

x xln∫

2 užduotis


a) y x y x= =2 2, ;

b) .2;1;0;3 ==== xxyxy 3 užduotis

Raskite sunkio centrą figūros, kurią riboja parabolė xy 42 = , ties4 4=x ir Ox ašis.

E.A. MATEMATIKA

30

14 variantas

1 užduotis Apskaičiuokite integralus:

1. xdx

5∫ 16. 6−∫ xdx

2. ( )1 3−∫ x dx 17. x x dx2 1−∫

3. xdx∫ 18. xdx

x6 23 −∫

4. ( sin )e x dxx +∫ 2 19. tgxdx∫

5. x

xdx

+∫

1 20. ∫ x e dxx3 4

6. ( )2 1

4x xdx+∫ 21.

dx

x2 5+∫

7. sin sinxd x∫ 22. x xdxln∫

8. sin( ) ( )x d x+ +∫ 1 1 23. arctgxdx∫

9. ( (5 2) 5 2)6x d x− −∫ 24. xdx

x1+∫

10. e dxx3 2+∫ 25. xdx

x −∫ 1

11. dx

x2 10+∫

12. cos2xdx∫

13. e dxx−∫ 3

14. sin cosx xdx∫

15. x dx+∫ 4

2 užduotis


a) y x x y x= − + = − +2 8 18 2 18, ;

b) .1;0;4 === xyxy 3 užduotis

Kreivinė trapecija , ribojama 22 ;8 xyxy == , sukama apie Ox ašį. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

E.A. MATEMATIKA

31


1. 2 sin xdx∫

2. dx

x4∫

3. ( )xx

dx2 12

− +

4. ( )x dx2 21−∫

5. 43

dx

x∫

6. (cos

42 1

2xx x

dx+ +∫

7. e dxx3∫

8. x d x− −∫ 1 1( )

9. tgxdtgx∫

10. ( ) ( )x d x+ +∫ 3 315

11. ( )x dx+ 3 15

12. ( )3 1 15x dx+∫

13. e dxx3∫

14. x x dx2 1+∫

15. sin( )1−∫ x dx

16. cos5xdx∫

17. dx

x +∫ 1

18. dx

x3 1−∫

19. xdx

x2 1+∫

20. e xdxx2 1+∫

21. x x dxsin( )1 2−∫

22. x xdxsin 3∫

23. arccosxdx∫

24. x

xdx

−∫ 1

25. x

xdx

−∫ 1


a) y x x y x= − + = −2 2 3 3 1, ;

b) .; 32 xyxy == 3 užduotis

Benzinas yra ritinio formos inde, kurio aukštis mh 5,3= , o spindulys mr 5,1= .

Kokia jėga benzinas slegia sieneles, jeigu benzino tankis ?/900 3mkg=ρ

E.A. MATEMATIKA

32

16 variatas 1 užduotis Apskaičiuokite integralus:

1. ( )1

2x

x dx+∫

2. x dx23∫

3. 2 2( )x x x dx− +∫

4. ( )1

2

2

x xdx+∫

5. tg xdx2∫

6. e d xx+∫ +1 1( )

7. ( ) ( )2 3 2 310x d x+ +∫

8. d x

x

( )

( )

−+ +∫

1

1 1 2

9. cos( ) ( )4 2 4 2x d x+ +∫

10. e dxx2 1+∫

11. ( )2 3 9x dx+∫

12. dx

xdx

1 2 2+∫

13. cos( )4 2x dx+∫

14. xe dxx2 12+∫

15. x x dxcos( )4 22 +∫


17. xdx

x2 2−∫

18. tgxdx∫

19. 3

4 1

dx

x −∫

20. xdx

x2 1+∫

21. x xdxcos∫

22. x xdx2 ln∫

23. x

xdx

−∫

2

24. xdx

x x+∫

25. x

x xdx

++∫

1

2( )


a) x y y x2 2 21+ = =, ; b) x y y x y− − = = − =2 5 0 2 0, , ;

3 užduotis

Raskite sunkio centrą figūros, kurią riboja parabolė 22 xxy −= ir Ox ašis

E.A. MATEMATIKA

33


1. sin xdx

5∫

2. (cos

ex

dxx +∫1

2

3. ( )x x dx+ +∫ 2 2

4. 1

4 2xdx∫

5. 2 1 62 2( )− +∫ x x dx

6. dx

xdx

4 4 2−∫

7. e dex x2 2

∫

8. e dxx2 2∫

9. ( ) ( )5 2 5 217x d x+ +∫

10. d x

x

ln

ln∫

11. xe dxx2

∫

12. ( )4 1 17x dx+∫

13. dx

x1 2−∫

14. 2

12

xdx

x −∫

15. dx

dx x9 4 2+∫

16. sin( )(1−∫ x dx

17. dx

xcos ( )2 3 5+∫

18. 5

2

dx

x+∫

19. cos( )3−∫ x dx

20. e dxx−∫

21. ln ( )2 1x dx+∫

22. 3 1x x dxsin( )+∫

23. x

xdx

2 +∫

24. x

xdx

+∫

1

25. dx

x x( )( )− +∫ 1 1


a) y x y= =2 12 , ;

b) y x y x x2 0 1 3= ≥ = =, , , ; 3 užduotis

2. Raskite figūros, apribotos kreive xy 2= , ašimi Ox ir tiese ,1=x masių centrą.

E.A. MATEMATIKA

34

18 variantas


1. 4

1 2

dx

x+∫

2. 5dx

x∫

3. ( sin cos )4 1 2x x dx+∫

4. (x xx

dx2 1+ −∫

5. ( )2 1x dx+∫

6. ( ) ( )2 1 2 14x d x+ +∫

7. ( )2 1 4x dx+∫

8. d x

x

ln

ln∫

9. sin 3 3xd x∫

10. sin sin3 3xd x∫

11. sin3xdx∫

12. ( )2 1 4x dx+∫

13. dx

x xln∫

14. cos( )2 3x dx−∫

15. x x dxcos( )2 1+∫

16. x e dxx2 3

∫

17. xdx

x1 2+∫

18. dx

x1 9 2+∫

19. x dx

x

2

35 1+∫

20. xdx

x( )2 21+∫

21. e dxx− +∫ 3 2

22. arcsin xdx∫

23. x xdxcos5∫

24. x

x xdx

++∫

1

1( )

25. x

x xdx

+∫

1


a) y x x x= = =2 0 22, , ;

b) y x y x x= = −2 2, ; 3 užduotis

2. Kreivinė trapecija , ribojama

4;1,1 === xxxy ir Ox ašimi, sukama apie Ox ašį. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

E.A. MATEMATIKA

35


1. dx

x3 1 2−∫

2. 5

2

dx

x∫

3. dx

x2 1 2( )+∫

4. ( )xx

x dx2 2+ +∫

5. 2 cosxdx∫

6. ( ( ) )1

122

xx dx− +∫

7. sin( ) ( )2 1 2 1x d x+ +∫

8. sin( ) sin( )2 1 2 1x d x+ +∫

9. d x

x

sin

sin∫

10. ( )3 1 10x dx−∫

11. ( ) ( )3 1 3 110x d x− −∫

12. dx

x5 2+∫

13. cos

sin

x

xdx∫

14. dx

x25 4 2+∫

15. cos( )2 3x dx+∫

16. x x dxcos( )2 32 +∫

17. e dxx2∫

18. xe dxx2

∫

19. x

xdx

2

3 52( )+∫

20. e dxx +∫ 2

21. dx

ex+∫ 2

22. x xdx2 cos∫

23. ln( )x dx+∫ 1

24. x

xdx

+∫ 1

25. x

xdx

+

+∫1

1


a) y x y= − =4 02 , ;

b) .; 32 xyxy ==

3 užduotis Du kūnai pradėjo judėti tuo pačiu momentu ir iš to paties taško greičiais

./)46()( 21 smtttv +=

ir ./)4()( smttv = Po kiek sekundžių atstumas tarp jų bus 250m?

E.A. MATEMATIKA

36


1. 1

2 2cos xdx∫

2. xdx∫

3. ( )1

2x

x dx− +∫

4. ( )xx

x dx5 3+ −∫

5. 51 1

2( )x x

dx∫ +

6. x

xdx

+∫

1

7. x d x+ +∫ 3 3( )

8. d x

x

cos

cos∫

9. d x

x

cos

cos2∫

10. ( ) ( )1 12 2− −∫ x d x

11. e dxx− +∫ 3

12. x x dx( )2 5−∫ 13. x x dx2 5−∫

2 užduotis

14. ∫ −( )4 3x dx

15. sin( )2 5x dx+∫

16. x x dxsin 2∫

17. dx

xcos2

2

∫

18. dx

x2 6+∫

19. 2

3 1

dx

x +∫

20. xdx

x2 2+∫

21. dx

x( )+∫ 2 2

22. 3 1x x dxsin( )+∫

23. arctgxdx∫

24. xdx

x +∫ 1

25. ∫+−

x

x xdx

2

1 2( )

Nubraižykite brėžinį ir apskaičiuokite gautos srities plotą a) x y y x y2 2 1 0+ = = =, , ; b) x y y x y− − = = − =2 5 0 2 0, , ;

3 užduotis

Raskite figūros, aprobotos kreivėmis

xy 202 = ir yx 202 = masių centrą.

E.A. MATEMATIKA

37


1. 4 cosxdx∫

2. ( )xx

dx3 51

− +∫

3. 2dx

x∫

4. dx

x4 1 2−∫

5. ( )x dx+∫ 1 2

6. ( )1

2xx dx+∫

7. cos cosxd x∫

8. ( ) ( )4 3 4 35x d x+ +∫

9. d x

x

( )++∫

2

2

10. e d xx4 5 4 5+ +∫ ( )

11. e dxx4 5+∫

12. ` ( )4 5 10x dx+∫

2 užduotis

13. dx

x +∫ 2

14. 3 2 2x x dx−∫

15. sin 7xdx∫

16. cos( )1−∫ x dx

17. dx

x3 2+∫

18. xdx

x3 52 +∫

19. e xdxx2 2+∫

20. e dxx−∫

21. 4 5x dx+∫

22. x xdxsin 2∫

23. arctgxdx∫

24. xdx

x +∫ 2

25. x

xdx

−

+∫1

2


a) y x y x y= = =3 0, , ;

b) y x y x= =2 2, ; 3 užduotis Pilnas vandens akvariumas yra stačiakampio gretasienio formos; jo parindao kraštinės lygios 0,9 m ir 0,6 m, aukštinė – 0,4 m. Raskite vandens slėgio į akvariumo dugną ir sieneles jėgą.

E.A. MATEMATIKA

38


1. 2

34∫ x dx

2. xdx3∫

3. ( )x

xdx

+∫

1 2

4. 2dx

x∫

5. ctg xdx2

6. 4

3 3 2

dx

x+∫

7. sin sinxd x∫

8. d x

x

sin

sin∫

9. ( ) ( )3 2 3 25x d x+ +∫

10. d x

x

( )4 3

4 3

−−∫

11. sin( )1 2−∫ x dx

12. ( )3 5 5x dx−∫

13. dx

x4 5−∫

14. dx

xcos2 6∫

15. 2

22

xdx

x −∫

16. d

x −∫ 2

17. e dxx3 2+∫

18. dx

e x3 2−∫

19. x dx−∫ 2

20. 4

32

xdx

x −∫

21. dx

x1 4 2−∫

22. x xdxln∫

23. arccosxdx∫

24. xdx

x3+∫

25. 2

1

xdx

x −∫

2 užduotis Nubraižykite brėžinį ir apskaičiuokite gautos srities plotą a) y x y x x= − = = =3 0 1 22 , , , ; b) x y y x y− − = = − =2 5 0 2 0, , ; 3 užduotis Kreivinė trapecija , ribojama

0;3;0;0122 2 ====−+ yxxxy , sukama apie Ox ašį.

E.A. MATEMATIKA

39


1. 5 15x dx∫

2. ( )12

5−∫ xdx

3. x x x

xdx

4 2

2

2 3− +∫

4. xdx∫

5. ( )2 4

2x xdx+∫

6. cos2 xdx∫

7. d x

x

ln

ln∫

8. cos( ) ( )4 3 4 3x d x+ +∫

9. e d xx− −∫ 2 2( )

10. ( ) ( )2 3 2 36x d x+ +∫

11. ( )2 3x dx+∫

12. e dxx−∫ 2

13. cos( )4 1x dx+∫

2 užduotis

14. sin cosx xdx∫

15. x dx+∫ 4

16. x x dx2 4+∫

17. xdx

x3 2−∫

18. e dx

x

2∫

19. dx

x7 2+∫

20. dx

xsin2

3

∫

21. dx

x1 9 2−∫

22. xdx

x +∫ 2

23. xdx

x1+∫

24.∫ x xdxln

25. 2

1

xdx

x −∫


a) yx

y x x= = = =1

0 1 3, , , ;

b) ;4

1;2 2 xyxxy =−=

3 užduotis Raskite figūros, aprobotos kreivėmis

xy cos= , ,0=y ,0=x 2

π=x masės

centrą.

E.A. T. matematika

40


1. xdx4∫

2. ( )2 6

2x xdx+∫

3. ( )x xx

dx2 52

− +∫

4. ( )2 1 2x dx−∫

5. tg xdx2∫

6. e d xx3 1 3 1+ +∫ ( )

7. e d xx3 2 3 2+ +∫ ( )

8. cos( ) ( )x d x− −∫ 2 2

9. d x

x

( )

( )

2 10

2 10

++∫

10. e dxx3 2+∫

11. dx

x2 10+∫

12. cos2xdx∫

13. e dxx−∫ 3


a) y x y= =2 9, ; b)

y x x y x= − + = − +2 8 18 2 18, ;

3 užduotis Alyvos tankis yra 3/900 mkg . Raskite alyvos slėgio į vertikalią sienelę jėgą, jei ta sienelė yra pusapskritimio formos, jos spindulys mR 5= ir skersmuo sutampa su alyvos paviršiumi.

14. xdx

x2 3+∫

15. tgxdx∫


17. x x x dx2 2 1 2 2+ − +∫ ( )

18. sin( )1 5−∫ x dx

19. 4

2

dx

x +∫

20. xe dxx2

∫

21. arctgxdx∫

22. x xdxsin 3∫

23. xdx

x1+∫

24. xdx

x1 1+ +∫

25 ∫ xdxx ln

41


1. ∫ + dxx )23( 16. dxxx∫ + 22

2. ∫ dxex5,0 17. ∫−3 2 7x

xdx


4. dxx

x∫

+12

19. ∫ xdxtg 2

5. ( )2

35

xx dx−∫ 20. xe dxx2 1+∫

6. ( )5 3 2 2−∫ x dx 21. ln xdx

x∫

7. sin( ) ( )x d x+ +∫ 1 1 22. x xdx2 ln∫

8. d x

x

ln


9. ( ) ( )2 5 2 53x d x− −∫ 24. dx

x +∫ 2

10. e d xx− −∫ 5 5( ) 25. xdx

x −∫ 1

11. ( )2 5 3x dx−∫

12. e dxx−∫ 5

13. sin( )x dx+∫ 1

14. x x dxsin( )2∫

15. 3 2−∫ xdx

2 užduotis

Nubraižykite brėžinį ir apskaičiuokite gautos srities plotą a) y x y x= =2 2, ;

b) y x x y x= − + = − +1

32 4 102 , ;

3 užduotis Šliuzas yra pilnas vandens. Kokia jėga vanduo slegia jo sienelę, jei jos ilgis yra 20m, o aukštis – 5m?

42

26 variantas


1. 6 7x dx∫ 16. 5 6cos xdx∫

2. (x x dx+ −∫ 5 2)2 17. 2 3

3 22

x

x xdx

++ −∫

3. x

xdx

+∫

5 18. x dx−∫ 4

4. ( )11

2−∫ xdx 19. x x dx2 6−∫

5. ( )xx

dx31

∫ − 20. sinx

dx2∫

6. ( )2

1

12+−∫ x x

dx 21. dx

x1 4 2+∫

7. ( ) ( )2 3 2 3− −∫ x d x 22. x xdx2 sin∫


9. sin( (3 2) 3 2)x d x− −∫ 24. x x dx−∫ 4

10. ( ) ( )x d x+ +∫ 10 105 25. x

xdx

+∫ 1

11. sin(3 2)x dx−∫

12. ( )2 3−∫ x dx

13. ∫ +( )x dx10 5

14. e dxx2 3−∫

15. dx

x xln∫


a) y x x2 9 4= =, ;

b) .2;1;0;3 ==== xxyxy

3 užduotis Kūnas juda tiesiai greičiu ./312)( 2 smtttv −= Raskite jo nueitą kelią nuo judėjimo pradžios iki pabaigos

43

27 variantas


1. xdx

5∫ 16. 6−∫ xdx

2. ( )1 3−∫ x dx 17. x x dx2 1−∫

3. xdx∫ 18. xdx

x6 23 −∫

4. ( sin )e x dxx +∫ 2 19. tgxdx∫

5. x

xdx

+∫

1 20. ∫ x e dxx3 4

6. ( )2 1

4x xdx+∫ 21.

dx

x2 5+∫


8. sin( ) ( )x d x+ +∫ 1 1 23. arctgxdx∫

9. ( (5 2) 5 2)6x d x− −∫ 24. xdx

x1+∫

10. ∫ + +e d xx5 2 5 2( ) 25. x xdx5−∫

11. e dxx5 2+∫

12. sin( )x dx+∫ 1

13. (5 2)6x dx−∫

14. cosxdx

6∫

15. ln xdx

x∫

2 užduotis


a) y x y x x= = −2 2, ;

b) .2

1;122 −=+−= xyxxy

3 užduotis

Kreivinė trapecija , ribojama 4;1,1 === xxxy ir Ox ašimi, sukama apie Ox ašį. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

44


1. 6 7x dx∫ 16. 5 6cos xdx∫

2. (x x dx+ −∫ 5 2)2 17. 2 3

3 22

x

x xdx

++ −∫

3. x

xdx

+∫

5 18. x dx−∫ 4

4. ( )11

2−∫ xdx 19. x x dx2 6−∫

5. ( )xx

dx31

∫ − 20. sinx

dx2∫

6. ( )2

1

12+−∫ x x

dx 21. dx

x1 4 2+∫

7. ( ) ( )2 3 2 3− −∫ x d x 22. x xdx2 sin∫


9. sin( (3 2) 3 2)x d x− −∫ 24. x x dx−∫ 4

10. ( ) ( )x d x+ +∫ 10 105 25. x

xdx

+∫ 1

11. sin(3 2)x dx−∫

12. ( )2 3−∫ x dx

13. ∫ +( )x dx10 5

14. e dxx2 3−∫

15. dx

x xln∫

2 užduotis


a) y x y x= =2 2, ;

b) .2;1;0;3 ==== xxyxy 3 užduotis

Raskite sunkio centrą figūros, kurią riboja parabolė xy 42 = , ties4 4=x ir Ox ašis.

45


1. ∫ + dxx )23( 16. dxxx∫ + 22

2. ∫ dxex5,0 17. ∫−3 2 7x

xdx


4. dxx

x∫

+12

19. ∫ xdxtg 2

5. ( )2

35

xx dx−∫ 20. xe dxx2 1+∫

6. ( )5 3 2 2−∫ x dx 21. ln xdx

x∫

7. sin( ) ( )x d x+ +∫ 1 1 22. x xdx2 ln∫

8. d x

x

ln


9. ( ) ( )2 5 2 53x d x− −∫ 24. dx

x +∫ 2

10. e d xx− −∫ 5 5( ) 25. xdx

x −∫ 1

11. ( )2 5 3x dx−∫

12. e dxx−∫ 5

13. sin( )x dx+∫ 1


a) y x x y x= − + = −2 2 3 3 1, ;

b) .; 32 xyxy == 3 užduotis

Benzinas yra ritinio formos inde, kurio aukštis mh 5,3= , o spindulys mr 5,1= . Kokia jėga

benzinas slegia sieneles, jeigu benzino tankis ?/900 3mkg=ρ

46

30 variantas 1 užduotis Apskaičiuoti integralus:

1. xdx

5∫ 16. 6−∫ xdx

2. ( )1 3−∫ x dx 17. x x dx2 1−∫

3. xdx∫ 18. xdx

x6 23 −∫

4. ( sin )e x dxx +∫ 2 19. tgxdx∫

5. x

xdx

+∫

1 20. ∫ x e dxx3 4

6. ( )2 1

4x xdx+∫ 21.

dx

x2 5+∫


8. sin( ) ( )x d x+ +∫ 1 1 23. arctgxdx∫

9. ( (5 2) 5 2)6x d x− −∫ 24. xdx

x1+∫

10. e dxx3 2+∫ 25. xdx

x −∫ 1

11. dx

x2 10+∫

12. cos2xdx∫

13. e dxx−∫ 3

14. sin cosx xdx∫

15. x dx+∫ 4


a) yx

y x x= = = =1

0 1 3, , , ;

b) .2

1;122 −=+−= xyxxy

3 užduotis 80 N jėga spyruoklė ištempiama 2 cm. Pradinis spyruoklės ilgi syra 15 cm. Kokį darbą reikia atlikti ištempiant spyruoklę iki 20 cm?

47

7. SAVARANKIŠKO DARBO VERTINIMAS

Studento atlikta užduotis vertinama pagal matematikos dalyko programoje numatytus tikslus 10 balų sistema, vadovaujantis dalyko tikslų pasiekimo lygiais. Savarankišką darbą sudaro 3 praktinės užduotys. Praktinių užduočių vertinimo kriterijai – tinkamo sprendimo metodo parinkimas ir pritaikymas, priimtina sprendimo eiga, rezultatų teisingumas.

Dalyko tikslų pasiekimo lygiai

Praktinių užduočių vertinimo kriterijus – (tinkamo sprendimo metodo

parinkimas ir pritaikymas, priimtina sprendimo eiga, rezultatų teisingumas )

Balai

1-os užduoties 1-25 uždavinys po 2 %

2 užduoties a) ir b) po 15 %

3-os užduotis 20 %

Aukščiausias tikslų pasiekimo lygis

Visa užduotis atlikta; uždavinio sprendimas yra nuoseklus, išsamus, atsakymas teisingas, užduočiai atlikti taikyti adekvatūs teoriniai modeliai ir analizės metodai.



10-9

Vidutinis tikslų pasiekimo lygis

Atlikta daugiau kaip du trečdaliai visos užduoties; uždavinio sprendimas yra nuoseklus, atsakymas teisingas., užduočiai atlikti taikyti adekvatūs teoriniai modeliai ir analizės metodai



8-7

Minimalus būtinasis tikslų pasiekimo lygis

Atlikta ne mažiau kaip pusė visos užduoties; uždavinio sprendimas iš esmės priimtinas, užduotims atlikti taikyti priimtini teoriniai modeliai ir analizės metodai



6-5

Nepatenkinamas tikslų pasiekimų lygis

Neįsisavinta dėstytojo pateikta medžiaga



1-4

Atliktas individualus darbas yra ginamas Savarankiško darbo galutinį įvertinimą sudaro savarankiško darbo įvertinimas (svoris 0,7) ir darbo gynimo įvertinimas (svoris 0,3)

9. LITERATŪRA 1. V. Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. I dalis. Kaunas:Technologija,1997. 2. B.Godvaiša, J.Šinkūnas. Matematika 2.Vilnius:Žiburio leidykla, 1997. 3. S. Janušauskaitė, A. Marčiukaitienė, D. Prašmantienė, N. Ratkienė. Tiesinė algebra ir

matematinė analizė. Kaunas Technologija 1998 4. A.Apynis, E.Stankus. Taikomoji matematika. Vilnius:VVK leidykla,2001. 5. R. Anstupėnienė, M. Ragulskis, I. Tiknevičienė, G. Zaksienė. Integralai ir diferencialinės

lygtys Kaunas Technologija 1999

48

SAVARANKIŠKO DARBO GYNIMO UŽDUOTYS 1 variantas 2 variantas 3 variantas

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫

∫∫

++

−

−

+−

+

−

1

0

2

3

2

2

1

2

0

2

3

4

)1(.10

;23

1.9

;)43(.8

;.7

;cos

sin.6

;.5

;7sin.4

;)cos3

1(.3

;)2(.2

;3.1

dxxe

dxx

dxx

dxx

dxx

x

dxe

xdx

dxxx

e

dxx

dx

x

x

x

∫

∫

∫

∫

∫∫∫

∫

∫∫

+−

−

−

+−

−

−

−

2

1

2

3

22

2

1

3

1

3

2

2

)2sin3

2(.10

;)21(cos

1.9

;)43(.8

;.7

;cossin.6

;.5

;3cos.4

;)sin2

(.3

;)3(.2

;.1

dxxx

x

dxx

dxx

dxx

xdxx

dxe

xdx

dxxx

x

dxx

dxx

x

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫

∫∫

−+

−+

−

+

−+

−

−

1

0

3

2

2

2

1

1

2

2

6

5

2

)5cos3(.10

;.9

;)2(.8

;.7

;25

1.6

;.5

;)12(.4

;)2cos1

(.3

;)3(.2

;3.1

3

dxxx

dxex

dxxx

dxx

dxx

dxe

dxx

dxxx

dxx

xdx

x

x

4 variantas 5 variantas 6 variantas

.)1

16(.10

;53

1.9

;)43(.8

;.7

;cos

sin.6

;.5

;9sin.4

;)cos5(.3

;)3(.2

;sin2.1

1

02

2

3

1

2

1

2

20

2

2

1

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫∫∫∫

+++

−

−

++

−

−

−

dxx

e

dxx

dxxx

dxx

dxx

x

dxe

xdx

dxxe

dxx

xdx

x

x

x

.)

1

12(.10

;.9

;)3(.8

;.7

;)3(2.6

;32

.5

;8cos.4

;)1sin1

(.3

;)53(.2

;2.1

1

0

3

1

52

2

1

2

2

2

2

42

6

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

+++

+

+

−

+−

+

−

−

dxx

x

dxe

dxxx

dxx

dxxx

x

dx

xdx

dxxx

dxx

dxx

x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

+−

−

+

+

++

+

−

+

2

1

4

32

2

1

2

3

1

3

cos1

2

2

2

)2cos2

(.10

;8

2.9

;)2(.8

;.7

;sin.6

;1

2.5

;3sin.4

;)cos

1(.3

;)62(.2

;6.1

dxxx

x

dxx

x

dxxx

dxx

dxxe

dxx

xdx

dxx

xe

dxx

dxx

x

x

49

SAVARANKIŠKO DARBO GYNIMO VERTINIMAS

Savarankiško darbo ginimui pateikiama 10 užduočių. Užduoties vertinimo kriterijus - atsakymo teisingumas.

Dalyko tikslų pasiekimo lygiai

Užduočių vertinimo kriterijus – (atsakymo teisingumas ) Balai

Kiekviena užduotis po 10 % Aukščiausias tikslų pasiekimo lygis

Visa užduotis atlikta; Sprendimas yra nuoseklus, atsakymai teisingai.

10-9

Vidutinis tikslų pasiekimo lygis

Atlikta daugiau kaip du trečdaliai visos užduoties; Sprendimas yra nuoseklus, atsakymai teisingi, su nedideliais netikslumais.

8-7

Minimalus būtinasis tikslų pasiekimo lygis

Atlikta ne mažiau kaip pusė visos užduoties; Sprendimas iš esmės priimtinas, atsakymai teisingi, su nedidelėmis klaidomis ar netikslumais.

6-5

Nepatenkinamas tikslų pasiekimų lygis

Neįsisavinta dėstytojo pateikta medžiaga 1-4

neapibrĖŽtinis ir apibrĖŽtinis integralai ir... · 2011-02-08 · 0 a b x pav.1 pav.1 1....

Documents