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MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄTHALLE-WITTENBERG

Institut für Physik

Grundpraktikum

Physikpraktikum

für

Naturwissenschaftler

17. Auflage (2018)

´Vorwort

Das Physikpraktikum für Naturwissenschaftler mit einem Umfang von 4 SWS findet jährlich imSommersemester statt. Es ist entsprechend der Studienordnungen Biochemie Bachelor, ChemieBachelor und Lebensmittelchemie Staatsexamen Bestandteil eines großen Moduls “Experimental-physik” im 1. und 2. Fachsemester. Für Studierende dieser Fachrichtungen ist das Praktikum eineStudienleistung; der regelmäßige und erfolgreiche Besuch ist Voraussetzung für denerfolgreichen Abschluss des Moduls, der im Praktikum vermittelte Stoff ist prüfungsrelevant.

Studierende anderer Fachrichtungen (z. B. Biologie, Geowissenschaften, Informatik, Mathe-matik) können das Physikpraktikum für Naturwissenschafter als eigenständiges Modulabsolvieren, soweit freie Praktikumsplätze vorhanden sind. In diesem Fall wird es mit 5 LPbewertet, und Voraussetzung zur Teilnahme ist ein erfolgreich absolviertes Einführungsmodul inExperimentalphysik im Umfang von mindestens 5 LP. Die Modulleistung (Prüfung) ist in derRegel mündlich in Form eines Abschlusskolloquiums.

Nach Einschreibung zum Praktikum sind innerhalb der Vorlesungszeit des Semesters 12Versuche vollständig durchzuführen. Nicht bestandene Versuche können in begrenztem Umfanginnerhalb des Semesters wiederholt werden. Wird das Praktikum nicht innerhalb eines Semesterserfolgreich abgeschlossen, so kann es im folgenden Jahr fortgesetzt werden. Einzelheiten regelndie Studienordnungen.

In den einführenden Kapiteln dieses Heftes finden Sie Hinweise zum Praktikumsablauf und zuden Leistungskontrollen, zur Versuchsführung sowie zur Protokollierung und Auswertung derMessergebnisse. Kontrollfragen und Literaturangaben am Ende jeder Versuchsanleitung sind alsHilfestellung zur Vorbereitung gedacht. Weitere Hinweise finden Sie auch auf der Website desPraktikums.

Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für PhysikPhysikalisches Grundpraktikum

http://www.physik.uni-halle.de/praktika/gp

Herausgeber:Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für Physik, GrundpraktikumTel.: 0345 55-25551, -25550Fax.: 0345 55-27300Mail: [email protected]

Autoren:K.-H. Felgner, W. Fränzel, H. Grätz, J.Leschhorn, M. Stölzer

Praktikumsleiter: Dr. Mathias Stölzer

17. Auflage Halle, März 2018

Inhaltsverzeichnis

EINFÜHRUNG

Laborordnung für das Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Hinweise zum Ablauf des Praktikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Richtlinien für die Protokollführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Fehlerrechnung und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

MECHANIK

M 2 Dichtebestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

M 4 Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

M 9 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

M 13 Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

M 14 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

WÄRMELEHRE

W 10 Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

W 12 Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

W 16 Wärmeleitung von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

W 21 Reales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

W 25 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ELEKTRIZITÄTSLEHRE

E 7 Innenwiderstand von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

E 8 Leitfähigkeit von Elektrolyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

E10 Thermospannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

E 28 Fadenstrahlrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

E 37 Transistor-Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

OPTIK UND ATOMPHYSIK

O 6 Gitterspektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

O 10 Polarimeter und Refraktometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

O 16 Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

O 20 Spektralphotometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

O 22 Röntgenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ANHANG

Kurzanleitung zum Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Hinweise zur Bedienung von Cassy-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Kurzanleitung zur Software ORIGIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Einige Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unschlag

Einführung Laborordnung für das Praktikum

1

Laborordnung für das Praktikum

Allgemeines Verhalten

1 Die Praktikanten haben sich in denPraktikumsräumen so zu verhalten, dassPersonen nicht gefährdet sowie Einrichtungen,Geräte und Versuchsaufbauten nicht be-schädigt werden.

2 Die von den betreuenden Assistenten,vom Praktikumspersonal sowie die in denVersuchsanleitungen gegebenen Hinweise zurHandhabung der Geräte und Versuchsanord-nungen sind unbedingt zu beachten.

3 Störungen und Unregelmäßigkeiten beider Durchführung der Versuche, Beschädi-gungen und Funktionsstörungen an Gerätensowie Unfälle sind sofort zu melden. Es istnicht zulässig, Geräte selbst zu reparieren!

4 Für grob fahrlässig verursachte Schädenan Geräten und Arbeitsmaterialien können diePraktikanten zur Verantwortung gezogenwerden.

5 Den Praktikanten steht jeweils nur dieam Arbeitsplatz befindliche Ausrüstung zurVerfügung. Es ist nicht gestattet, Geräte vonfremden Arbeitsplätzen zu benutzen.

6 Zur Auswertung von Messergebnissenkann jeder freie Computer genutzt werden.Dazu haben sich die Praktikanten mit derVersuchsbezeichnung anzumelden und beiBeendigung der Arbeit wieder abzumelden.

7 Nach Beendigung des Versuches ist derArbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu verlas-sen.

8 Essen und Trinken ist in den Praktikums-räumen nicht erlaubt. Rauchen ist im ge-samten Gebäude untersagt.

9 Die Benutzung von Handys ist in denPraktikumsräumen untersagt!

10 Das Praktikum beginnt pünktlich zu derim Stundenplan angegebenen Zeit. Mehr als15 Minuten nach Praktikumsbeginn könnenkeine Versuche mehr begonnen werden.

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen

11 Der Auf- und Abbau elektrischer Schal-tungen hat stets im spannungslosen Zustandzu erfolgen (Stromversorgungsgeräte aus,Batterien und Steckernetzteile nicht ange-schlossen). Die Schaltungen sollen übersicht-lich aufgebaut werden.

12 Bei elektrischen Messgeräten ist auf dierichtige Polung, auf die Einstellung desrichtigen Messbereiches und die Verwendungder richtigen Messeingänge zu achten. (Über-lastungsgefahr!)

13 Elektrische Schaltungen müssen vor derInbetriebnahme vom zuständigen Betreuerüberprüft werden!

14 Unter Spannung stehende Anlagenmüssen ständig überwacht werden.

15 Spannungsführende Teile dürfen nichtberührt werden. Gefährliche Spannungen(> 42 V) sind in der Regel durch Schutzvor-richtungen vor Berührung gesichert. Es istuntersagt, solche Schutzvorrichtungen außerBetrieb zu setzen!

16 Bei Unfällen ist die Spannung sofortabzuschalten (Notausschalter: gelb-rote Tast-schalter in jedem Raum). Der Unfall mussunverzüglich gemeldet werden.

Arbeiten mit Chemikalien

17 Bei der Arbeit mit Chemikalien ist aufSauberkeit zu achten. Verwenden Sie Trichterzum Umfüllen und Fließpapierunterlagen beimAbwiegen von Chemikalien!

18 Mit dem Versuchszubehör ausgegebeneArbeitsschutzmittel (z. B. Schutzbrille) müs-sen getragen werden!

19 Bei Unfällen oder bei Verschüttengefährlicher Substanzen (z. B. Quecksilber)muss sofort ein Betreuer verständigt werden!Es sind keine eigenständigen Beseitigungs-

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

2

versuche zu unternehmen!

20 Alle Chemikalien befinden sich in Gefä-ßen mit eindeutiger Kennzeichnung desInhaltes. Dies ist besonders zu beachten, wennChemikalien nach der Verwendung in dieAufbewahrungsgefäße zurückgegossenwerden müssen.

21 Nach Beendigung des Versuches sindalle verwendeten Gefäße (außer Vorrats-gefäßen) sorgfältig auszuspülen.

Arbeiten mit radioaktiven Präparaten

22 Im Praktikum wird ausschließlich mitumschlossenen Präparaten unterhalb derFreigrenze laut Strahlenschutzverordnunggearbeitet. Die Strahlenbelastung währendeines Versuches ist 100...1000 mal geringerals bei einer Röntgenaufnahme.

23 Vermeiden Sie trotzdem jede unnötigeBestrahlung. Abstand ist der beste Strahlen-schutz! Halten Sie radioaktive Präparate nichtunnötig in der Hand. Halten Sie während der

Messung einen Abstand von 0,5 m zumPräparat ein.

24 Es ist untersagt, die Präparate aus ihrenAcrylglashüllen zu entfernen.

Brandschutz

25 Bunsenbrenner und elektrische Heizgerä-te sind so aufzustellen, dass sich keine benach-barten Gegenstände entzünden können.Offene Flammen und eingeschaltete Heizgerä-te müssen ständig beaufsichtigt werden!

26 Vorsicht beim Umgang mit brennbarenFlüssigkeiten (z. B. Ethanol)! Sie sind vonoffenen Flammen fernzuhalten.

27 Wird ein Brand bemerkt, so ist diessofort zu melden und es sind nach MöglichkeitLöschmaßnahmen einzuleiten.

28 Jeder Praktikant hat sich über die Lageund Funktionsweise der Handfeuerlöschersowie über die vorhandenen Fluchtwege zuinformieren.

Hinweise zum Ablauf des Praktikums

1 Vorbereitung

Das Versuchsthema ist der Praktikums-Home-page im Internet oder dem Aushang imPraktikum (nur am vorherigen Praktikumstag)zu entnehmen.

Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangabenam Ende jeder Versuchsanleitung) und dasProtokoll vorbereitet (siehe auch „Richtlinienfür die Protokollführung“).

2 Versuchsausgabe

Das benötigte Zubehör wird an der Ausgabegegen Hinterlegung eines Studentenaus-weises pro Versuchsgruppe abgeholt.

3 Kontrolle der Versuchsvorbereitung

Vor Versuchsbeginn kontrolliert der zu-ständige Betreuer die Protokollvorbereitungund führt ein kurzes mündliches Antestatdurch (Gruppengespräch oder multiple-Choice-Test). Bei ungenügender Vorberei-tung (kein Protokoll, keine Kenntnisse und 0Punkte im Antestat) darf der Versuch nichtdurchgeführt werden und muss zu einemspäteren Termin innerhalb der Vorlesungszeitdes laufenden Semesters nachgeholt werden.Hierzu ist ein Termin zu vereinbaren!

4 Versuchsdurchführung

Die Versuche werden in der Regel in Zweier-gruppen durchgeführt, notfalls allein. Jeder

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

3

Student führt ein eigenes Protokoll. DerAblauf gliedert sich wie folgt:

- Selbständiger Aufbau des Versuchs

- Prüfung elektrischer Schaltungen vorInbetriebnahme vom Betreuer

- Durchführung der Messungen und Proto-kollführung (siehe nächstes Kapitel).

- Kontrolle der Messwerte und Kurzunter-schrift des Betreuers.

5 Versuchsauswertung

Die Versuchsauswertung wird, wenn möglich,noch während der Praktikumszeit durch-geführt bzw. begonnen. Sie ist bis zum nächs-ten Praktikumstermin fertigzustellen.Hinweise zur Auswertung geben die „Richt-linien zur Protokollführung“.Es werden Taschenrechner, Lineal, evtl.Kurvenlineal und Millimeterpapier benötigt.Computer können eingesetzt werden undstehen im Praktikum zur Verfügung. Milli-meterpapier und zu manchen Versuchenerforderliche Spezialpapiere können imPraktikum erworben werden.

6 Abschluss des Versuchs

Die Bestätigung der erfolgreichen Versuchs-durchführung erfolgt nach Kontrolle derAuswertung durch die Eintragung von Note,Datum und Langunterschrift des zuständigenBetreuers in das Protokoll, in der Regel zumnächsten Praktikumstermin. Der Betreuerkann einmal eine Nachbesserung der Aus-wertung verlangen.Ist der Versuch nicht spätestens am über-nächsten Praktikumstag abgeschlossen, soverschlechtert sich die Bewertung um eineNote für jede weitere angefangene Woche.

7 Fehlversuche

Für einen erfolgreichen Abschluss müssen Siealle Praktikumstermine wahrnehmen. ZumNachholen versäumter oder nicht bestandener

Versuche werden jedem Studierenden zweizusätzliche Praktikumstermine garantiert. (ein„Nachholtermin” für alle am Semesterende,weitere Termine nach Möglichkeit im laufen-den Semester) In jedem Fall müssen Sie denTermin an der Versuchsausgabe vereinbaren,damit sichergestellt ist, dass der Arbeitsplatzfrei und die Betreuung gewährleistet ist! Zueinem Praktikumstermin kann jeweils nur einVersuch durchgeführt werden.

8 Leistungskontrollen

Das Bestehen eines kurzen Antestates zuBeginn des Praktikums (siehe oben) ist Vor-aussetzung für die Zulassung zum Versuch.

Zu jedem Versuch wird während der Prakti-kumszeit ein benotetes mündliches Testatdurchgeführt, ohne Wiederholmöglichkeit.Für jeden Versuch wird eine Gesamtnotezwischen 1 und 5 gebildet, wobei die Testat-note sowie die Einschätzung der Versuchs-durchführung, der Protokollführung und derAuswertung berücksichtigt werden. Die Note5 bedeutet “nicht bestanden”.

9 Betrugsversuch

Das Vortäuschen einer Versuchsdurchfüh-rung, die Verwendung fremder Protokolle amArbeitsplatz, Fälschen von Messwerten undÄhnliches führen zur Nichtanerkennung desVersuches, im Wiederholungsfall zum Aus-schluss vom Praktikum.

10 Abschluss des Praktikums

Aus den Gesamtnoten der Versuche wird eineAbschlussnote für das Praktikum gebildet.Das Praktikum gilt als erfolgreich absolviert,wenn die geforderte Anzahl Versuche (imNormalfall 12) bestanden wurden.

Wird das Praktikum als eigenständiges Modulabsolviert, so erfolgt die Bewertung durcheine praktische Prüfung (Abschlusskollo-quium) entsprechend der Modulbeschreibung.

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

4

Richtlinien für die Protokollführung

Allgemeines

1 Jeder Student führt während des Versu-ches und unmittelbar ein Protokoll. DasProtokoll enthält - die Versuchsvorbereitung,- das Messprotokoll (alle Messwerte und

Beobachtungen in chronologischer Reihen-folge),

- die Auswertung.

2 Das Protokoll wird handschriftlich mitnicht löschbarem Stift geführt. Bleistift ist nurfür Diagramme und Skizzen zulässig. Fehl-messungen werden mit Angabe des Grundesdurchgestrichen und dürfen nicht unlesbargemacht werden. Fehler sind Teil der Arbeit,das Ausradieren oder Löschen von Messdatenist schlechter wissenschaftlicher Stil!

3 Alle Protokolle des Praktikums sind ineinem gebundenen Heft der Größe A4 oder ineinem Schnellhefter zu führen und zu jederVeranstaltung mitzubringen.

4 Lose Blätter (auch Computerausdrucke)sind mit Name und Datum zu beschriften undin das Protokoll einzufügen.

Vorbereitung zu Hause

5 Jedes Protokoll muss enthalten: - Datum, - Versuchsbezeichnung und Aufgabenstel-

lung (wörtlich), - kurze Beschreibung des Versuches mit

wichtigen Grundlagen, geplanter Durch-führung (z. B. Schaltskizze) und vorgese-hener Auswertung einschließlich der dafürbenötigten Formeln,

- vorbereitete Urlisten (Tabellen) für die Auf-nahme der Messdaten und, soweit sinnvoll,der aus diesen zu berechnenden Daten.

Dieser Teil des Protokolls ist Bestandteil derVersuchsvorbereitung und wird vor Ver-suchsbeginn vom Betreuer kontrolliert.

Protokollführung während des Versuches

6 Es werden alle Versuchsgeräte registriert(Versuchsaufbau).

7 Das Protokoll soll übersichtlich und gutlesbar sein, z.B durch eine klare Gliederungmit Zwischenüberschriften (“Messwerte zuAufgabe 1” oder ähnlich).

8 Alle physikalischen Größen sind voll-ständig mit Zahlenwert und Einheit anzuge-ben. Tabellen müssen eine Überschrift oderLegende besitzen, die Spalten sind mit physi-kalischer Größe und Einheit zu beschriften.

9 Es werden grundsätzlich alle Messdatenvor jeglicher rechnerischer Aufbereitungprotokolliert (Urlisten).

10 Das Messprotokoll ist dann vollständig,wenn nur mit seiner Hilfe auch eine Person,die den Versuch nicht selbst durchgeführt hat,die vollständige Auswertung des Versuchesvornehmen kann!

11 Das Messprotokoll muss vom Betreuermit Datum und Kurzunterschrift abgezeichnetwerden.

Zur Auswertung

12 Alle Rechnungen müssen anhand derFormeln und der Messdaten im Protokollnachvollziehbar sein. Das erreicht man ameinfachsten durch übersichtliche Tabellen.

13 Diagramme werden auf Millimeterpapiermit Lineal bzw. Kurvenlineal gezeichnet odermit dem Computer erstellt. Es sind geeigneteübersichtliche Maßstäbe zu wählen und dieAchsen sind mit Größe und Einheit zu be-schriften. Meist ist eine Legende erforderlich.

14 Zu jedem Versuch gehört eine Fehler-diskussion. Messunsicherheiten (geschätztoder mit statistischen Mitteln berechnet) sindimmer quantitativ anzugeben; bei manchenVersuchen wird eine Fehlerfortflanzungs-rechnung gefordert (siehe nächstes Kapitel).

Einführung Fehlerrechnung und Statistik

5

15 Die Versuchsergebnisse werden in einemverbalen Ergebnissatz zusammengefasst,eingeschätzt (z. B. bezüglich ihrer Mess-genauigkeit) und, wenn möglich, mit Litera-turwerten verglichen.

16 Das komplette Protokoll ist dem verant-wortlichen Betreuer vorzulegen. Durch seineLangunterschrift mit Datum und Note wirdder erfolgreiche Versuchsabschluss bescheinigt.

Fehlerrechnung und Statistik

Jede Messung einer physikalischen Größe istmit mehr oder weniger großen „Messfehlern”behaftet. Misst man eine Größe mehrmals, soweichen die Ergebnisse im Allgemeinensowohl voneinander als auch vom zu be-stimmenden „wahren Wert“ ab. Ziel derAuswertung einer Messung ist das Ermittelndes besten Schätzwertes für den wahren Wert(das Messergebnis) und für die Größe derAbweichung vom wahren Wert (die Messunsi-cherheit). Beide Informationen zusammenbilden das „vollständiges Messergebnis”.

1 Begriffsbestimmungen

Messgröße:Die zu messende physikalische Größe, z.B. Spannung U, Strom I, Masse m

Messwert:Der gemessene Wert einschließlich Ein-heit, z. B. I = 2,0 A; l = 1254 mm

Messergebnis:Das aus mehreren Messwerten berechneteErgebnis, z. B. P = U I = 231 V 2,0 A = 462 W

Messabweichung:Differenz zwischen einem Messwert oderMessergebnis und dem wahren Wert. Derwahre Wert ist eine Idealvorstellung, inder Regel nicht exakt definiert und nichtbekannt. Daher ist auch die Messabwei-chung ist im Allgemeinen unbekannt.

Zufällige (statistische) Messabweichungen:Sie treten unregelmäßig auf; sie schwan-

ken in der Größe und im Vorzeichen.Hervorgerufen werden sie z. B. durchnicht beeinflussbare unsystematischeÄnderungen der Versuchs- und Umge-bungsbedingungen sowie durch Unvoll-kommenheiten beim subjektiven Erfassenvon Messwerten. Durch mehrfachesMessen und Bildung des arithmetischemMittelwertes kann der Einfluss zufälligerMessabweichungen verringert werden.

Systematische Messabweichungen:Sie beeinflussen bei gleichen Versuchs-bedingungen die Messung in der gleichenWeise. Hervorgerufen werden sie z. B.durch Unvollkommenheiten der Mess-geräte, der Maßverkörperungen und derMessverfahren sowie durch systematischeÄnderungen der Versuchsbedingungen.Sie können sich aus einem bekannten undeinem unbekannten Anteil zusammenset-zen. Das Messergebnis ist um bekanntesystematische Messabweichungen zukorrigieren.

ToleranzMaximale Messabweichung. Wird meistvom Hersteller eines Messgerätes in derBedienungsanleitung angegeben. Bezeich-net man die Toleranz eines Messwertes xmit t(x), so liegt der wahre Wert mitGewissheit im Intervall x ± t(x).

(Mess)unsicherheit u:Sie kennzeichnet die Streuung der Werte,die der Messgröße vernünftigerweisezugeordnet werden können. Die Unsi-cherheit u(x) des Messwertes oder Mess-


6

s

x x

n

ii

n

( )

.

2

1

1

(2)

ergebnisses x kann als Schätzung derMessabweichung angesehen werden. Derwahre Wert liegt mit relativ großer Wahr-scheinlichkeit im Intervall x ± u(x). Die Messunsicherheit wird entweder m.H.statistischer Methoden aus den Mess-werten ermittelt (Methode A) oder, wenndies nicht möglich ist, auf der Grundlagealler vorliegenden Informationen zu denMessgeräten und Messverfahren geschätzt(Methode B).Beispiel (für den Messwert l = 1,254 m):u(l) = 0,005 m (absolute Unsicherheit),u(l)/l = 0,4% (relative Unsicherheit)

Vollständiges MessergebnisMessergebnis mit Messunsicherheit. DieUnsicherheit wird mit 1...2 Stellen ange-geben. Mögliche Schreibweisen sind:l = 1,254 m ± 5 mml = (1,254 ± 0,005) ml = 1,254(5) ml = 1,254 m und u(l)/l = 0,4 %

2 Ermittlung von Messunsicherheiten

Zur Abschätzung der Genauigkeit von Mes-sungen dienen verschiedene Informations-quellen, z.B. die Messwertstatistik (Me-thode A), Herstellerangaben und Zertifikatezu den verwendeten Messgeräten, odereinfache Schätzung. Damit die auf verschiede-nen Wegen ermittelten Unsicherheiten quanti-tativ vergleichbar sind, sollen sie grundsätzlichimmer die Bedeutung einer Standardabwei-chung haben. Um das zu betonen, nennt mansie auch Standardunsicherheiten.

2.1 Ermittlungsmethode A

Wird eine Messgröße x n mal gemessen, sostreuen die einzelnen Messwerte xi (i = 1 ... n)aufgrund der zufälligen Messabweichungenum einen Erwartungswert μ. Die Verteilungder Messwerte ist meist näherungsweise eineNormalverteilung (Abb.1). Der beste Schätz-wert für μ ist dann der arithmetische Mittel-wert

Ein Maß für die Streuung der Messwerte istdie Standardabweichung σ. Der aus denMesswerten berechnete beste Schätzwert fürσ ist die experimentelle Standardabweichung

Genügen die Messwerte einer Normalver-

teilung mit dem

2

2

( )

21( )

2

x

x e

Mittelwert µ (siehe Abb.1), so beträgt dieWahrscheinlichkeit, einen Messwert imIntervall μ ± σ anzutreffen, etwa 68 %. Für dasIntervall μ ± 2σ beträgt diese Wahrscheinlich-keit etwa 95 %.

Wenn zufällige Messunsicherheiten dominie-ren, d.h. systematische Unsicherheitsanteilevernachlässigt werden können, ist die Unsi-cherheit eines Einzelmesswertes gleich derStandardabweichung: u(x) = s.Der Mittelwert aus n Einzelmesswerten istxgenauer als ein einzelner Messwert. Man kannsich vorstellen, viele Messreihen der Mess-größe x vom selben Umfang n aufzunehmen.Die Mittelwerte aller dieser Messreihenwerden sich etwas voneinander unterscheiden.Sie sind ebenfalls normalverteilt, das Maß fürihre Streuung ist die Standardabweichung

1

1 .n

i

i

x xn

(1)

(x)

x

Abb. 1: Normalverteilung mit dem Mittelwertμ und der Standardabweichung σ


7

.x

ssn

(3)

2

1

( )

.( 1)

n

i

ix

x x

u x sn n

(4)

des Mittelwertes:

Ist das Messergebnis ein Mittelwert einerxMessreihe mit ausreichend vielen (n 10)Messwerten xi und können dabei die systema-tischen Unsicherheitsanteile gegenüber denzufälligen vernachlässigt werden, so ist dieMessunsicherheit:

Weitere Beispiele, wie Messunsicherheitenm.H. statistischer Methoden als Standard-abweichungen berechnet werden, finden sichin Abschnitt 3 (Regression).

2.2 Ermittlungsmethode B

Wenn die Berechnung einer Standardabwei-chung nicht möglich ist (z.B. weil systemati-sche Unsicherheiten immer in gleicher Weisewirken oder weil nur ein Messwert vorhandenist), wird die Standardunsicherheit auf derBasis aller vorliegenden Informationen ge-schätzt.

2.2.1 Toleranzangaben zu MessgerätenIn Bedienungsanleitungen von Messgerätenfindet man Angaben zu Messtoleranzen odergarantierten Messgenauigkeiten (Beispiele:1,5 % vom Messbereich; 0,5 % vom Mess-wert + 3 Digit). Auf manchen Geräten ist die„Genauigkeitsklasse” angegeben. Das ist diemaximale Messabweichung in % vom End-wert des Messbereichs bzw. vom Wert derMaßverkörperung.Bezeichnet man die Toleranz eines Mess-wertes x mit t(x), so ergibt sich daraus seineStandardunsicherheit entsprechend

Erklärung: Einzige Information ist die Garan-tie, dass die Messabweichung nicht größer istals t(x). Daher ordnet man der Messgröße x

eine Gleichverteilung der Breite 2t zu. Deren

Standardabweichung ist .3t

2.2.2 Unsicherheit von ZählrohrmessungenZählt man zufällige Ereignisse in einemZeitintervall (z.B. bei Messung mit einemGeigerzähler) und werden N Ereignissegezählt, so ist die Messunsicherheit (ohneBerücksichtigung systematischer Einflüsse)

.( )u N NErklärung: siehe Versuch O16

2.2.3 Schätzung der MessunsicherheitBei sehr einfachen Messgeräten liegen oftkeine Angaben zur Messgenauigkeit vor.Dann ist die Standardunsicherheit (nicht diemaximale Messabweichung!) zu schätzen. Siesetzt sich zusammen aus der Ungenauigkeitdes Messgerätes selbst und der Ungenauigkeitbeim Ablesen des Wertes.- Ablesen von Skalen (Lineal, Thermome-

ter,...): u(x) 0,5 Skalenteile- Längenmessungen mit einem Messschieber

(Noniusablesung): u(l) = 1 Skalenteil desNonius

- Messung eines Zeitintervalls mit einerHandstoppuhr: u(t) 0,1 s

2.3 Die Unsicherheit von Messergebnissen(„Fehlerfortpflanzung”)

Es sei y = f(x1, x2, ..., xn) ein Messergebnis,das aus den Messwerten x1, x2, ..., xn mit denUnsicherheiten u1, u2, ..., un zu berechnen ist.Wie groß ist dann die Unsicherheit u(y) desMessergebnisses?

2.3.1 Maximale UnsicherheitEine kleine Änderung Δxi des Messwertes xi

würde im Messergebnis etwa die Änderung

hervorrufen; bezeichneti ii

yy x

x

i

y

x

dabei die partielle Ableitung der Funktiony = f(x1, x2, ..., xn) nach xi. Wenn man alsovoraussetzt, dass die Unsicherheiten derMesswerte im Vergleich zu den Messwertenselbst klein sind, ergibt sich durch Addition

( ) ( ) 3 .u x t x (5)


8

( )y f x a b x (12)

2

2

1

( ) .n

c iii

yu y u

x

(7)

2 2 2 2

1 1 2 2( ) .

cu y c u c u (9)

der Auswirkungen aller Messunsicherheitenauf das Ergebnis die Maximale Unsicherheitdes Messergebnisses:

Gl.(6) kann in einfachen Fällen (wenigeMesswerte) zur groben Abschätzung derUnsicherheit des Ergebnisses dienen.

2.3.2 UnsicherheitsfortpflanzungsgesetzIm Allgemeinen werden sich die einzelnen Un-sicherheitskomponenten nicht immer addieren,sie können sie sich auch teilweise gegenseitigkompensieren. Die exakte mathematischeBehandlung dieses Problems nach C. F. GAUßergibt das Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz

uc(y) heißt kombinierte Messunsicherheit.Gl.(7) setzt voraus, dass die Messgrößen xi

voneinander statistisch unabhängig sind. Dasist im Grundpraktikum in der Regel der Fall.Daher ist die Messunsicherheit des Ergeb-nisses in den meisten Fällen nach (7), (9) oder(11) zu berechnen.

2.3.3 Besonders einfache FälleOft besitzt die Gleichung y = f(x1, x2, ..., xn)eine sehr einfache Struktur. In bestimmtenFällen lässt sich der Rechenaufwand zurBestimmung von uc(y) nach (7) deutlichverringern. Im eigenen Interesse sollte jederdavon Gebrauch machen.

Fall 1: 1 1 2 2y c x c x (8)

(c1, c2 Konstanten) Durch Einsetzen in (7) ergibt sich

Fall 2: 1 2

n my c x x (10)

(c reelle und n, m ganzzahlige Konstanten)Einsetzen von (10) in (7) ergibt eine einfacheGleichung für die relative kombinierte Unsi-cherheit des Ergebnisses:

Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewe-gung s = a/2 t2 ; Weg s und Zeit t werdengemessen mit einer relativen Messunsicherheitvon jeweils 1 %, die Beschleunigung a ist zuberechnen:

1 2

2

2 2

2

2 22

2 2

( ) ( ) ( )2

1% 2 1% 2, 3%

c

sa s t

t

u a u s u t

a s t

3 Anpassung einer Funktion an eineMessreihe (Regression)

3.1 Lineare Regression

Häufig besteht zwischen verschiedenen Mess-größen x und y ein linearer Zusammenhang

oder es wird ein solcher vermutet.

Beispiel: Bei der thermischen Ausdehnung von Metal-len gilt für die Länge l = l0 + αl0ΔT, α istder lineare thermische Ausdehnungskoeffi-zient, l0 die Länge bei der Temperaturdiffe-renz ΔT=0 (siehe Versuch W1).

Die eigentliche Messaufgabe besteht in derBestimmung der (konstanten) Parameter aund b in Gl. (12). Grundsätzlich könnten aund b durch Messung von zwei Wertepaaren(x, y) bestimmt werden. Meist wird jedocheine ganze Messreihe mit n Wertepaaren(xi, yi) (i = 1 ... n) aufgenommen, um zunächstden linearen Zusammenhang nachzuweisen,ehe a und b ermittelt werden.

11 1

( )n

n in ii

y y yu y u u u

x x x

(6)

2 2

2 21 2

1 2

( )cu y u un m

y x x

(11)


9

2

1

2

1

( , )

( ) min .

n

ii

n

i ii

F a b y

y a bx

(13)

ax y x x y

n x x

ny b x

i i i i i

i i

i i

2

22

1(14a)

b

n x y x y

n x x

i i i i

i i

2

2 (14b)

s

y

n

x

n x xa

i i

i i

2

2 2

22

2

(15a)

s

y

n

n

n x xb

i

i i

2

2

222

. (15b)

Werden die Messwerte grafisch dargestellt, sostreuen die Messpunkte wegen der unver-meidlichen statistischen Messabweichungenum eine ausgleichende Gerade. Die Aufgabebesteht nun darin, die Gerade zu finden, die„am besten“ zu den Messpunkten „passt”(siehe Abb.2). Hierfür gibt es ein auf C. F.GAUß zurückgehendes mathematisches Ver-

fahren, welches man als lineare Regression,Ausgleichsrechnung, Geradenanpassung oderauch (englisch) linear curve fit bezeichnet.Nach der GAUßschen Methode der kleinstenQuadrate (bei der vereinfachend angenommenwird, dass nur die yi fehlerbehaftet sind) ist fürdie am besten angepasste Gerade die Summeder Abweichungsquadrate minimal:

Diese Summe ist eine Funktion der Parametera und b; zur Lösung des Problems sind alsodie partiellen Ableitungen F/a = 0 undF/b = 0 zu setzen. Dies führt zu demErgebnis

wobei alle Summen von i = 1 bis n gehen.Die durch (12) und (14) bestimmte Geradeheißt Regressionsgerade oder Ausgleichs-gerade.Als Messunsicherheiten der Parameter a undb werden die entsprechenden Standardabwei-chungen verwendet (siehe 2.1), sofern diesystematischen Messabweichungen gegenüberden zufälligen vernachlässigbar sind: u(a) = sa und u(b) = sb mit

3.2 Regression mit anderen FunktionenGrundsätzlich kann die GAUßsche Methodeder kleinsten Quadrate (13) nicht nur auf einelineare Funktion (12), sondern auf beliebigeFunktionen mit mehreren Parametern ange-wendet werden. Im Allgemeinen ist diesesProblem jedoch nicht mehr analytisch lösbar,sondern muss mit Hilfe numerischer Metho-den iterativ gelöst werden. Die im Praktikumeingesetzten Computerprogramme Origin undCassyLab bieten diese Möglichkeit. (Stich-worte: non-linear curve fit bzw. Freie An-passung)

Einige nichtlineare Funktionen können “linea-risiert”, d.h. durch Transformation in einelineare Funktion überführt werden (z. B.y = a x

b und y = a ebx durch Logarithmieren).

o u

o u

y yb

x x

xo

xu

yu

yo

yi

x

y

0

y = a + b·x

a

Abb. 2: Lineare Regresion. Δyi = yi(a+ b xi)ist die „Abweichung” eines Messpunktes vonder Geraden.


10

( ) und ( ) .y u y u y y (16)

In solchen Fällen kann die lineare Regressionmit der transformierten Funktion durchgeführtwerden. Dies wird z. B. im Versuch O16(Radioaktivität) benutzt, um die Halbwerts-dicke von Blei für Gammastrahlung desIsotops Co-60 zu ermitteln.

3.3 Praktische Hinweise

Die Formeln (14) und (15) muss man sichnicht einprägen, dafür gibt es Software. Es istausreichend, das Regressionsverfahren grund-sätzlich und die Bedeutung der Parameter a,b, sa und sb zu kennen. Lineare Regression lässt sich auch mit vielenTaschenrechnern durchführen (lesen Sie in derBedienungsanleitung nach). Die Standardab-weichungen sa und sb werden in der Regelnur von Computerprogrammen berechnet. In Programmen und in der Literatur werdendie Begriffe Regression, Ausgleichsrechnung,Anpassung und Fit (englisch) synonym ver-wendet.Wenn keine geeigneten Rechenhilfsmittel zurVerfügung stehen, nimmt man die Anpassunggrafisch (mit Bleistift auf Millimeterpapier)vor, wie in Abb.2 gezeigt. Dabei wird dieRegressionsgerade mit einem durchsichtigenLineal „nach Augenmaß“ eingezeichnet, a und

b werden abgelesen und ihre Unsicherheitengeschätzt.

4 Angabe von Messergebnissen im Prak-tikum

Es ist immer das vollständige Messergebnismit absoluter und relativer Unsicherheit(sofern bekannt) anzugeben:

Dabei ist auf richtiges Runden zu achten:

Die Messunsicherheit, die ja meist auf Schät-zungen und Näherungen beruht, ist auf nur einoder zwei zählende („signifikante”) Ziffern zurunden, wobei in der Regel aufgerundetwerden soll. Das Messergebnis ist mit derselben Genauigkeit (mit der selben AnzahlNachkommastellen) anzugeben wie die Mes-sunsicherheit, wobei mathematisch exaktgerundet werden muss.

Beispiele:

y = (431 ± 5) mm; u(y)/y = 1,2 %

U = (20,00 ± 0,25) V; u(U)/U = 1,3 %

R = 2,15 kΩ ± 0,07 kΩ; u(R)/R = 4 %

Mechanik M 2 Dichtebestimmung

11

.m

V (1)

.A M MF m g V g (2) *

*.W L

* *

**

m m

m m

(7)

L N N Lm g V g m g V g (3)

* 1 /.

1 /L

L N

m m

(5)

1 /.

1 /W

L N

* *m m

(6)

1 /.

1 /L N

N

L

m m

(4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Dichte von drei Probekörpern istnach der Auftriebsmethode zu bestimmen.

1.2 Die Dichte von Ethanol ist mit Hilfeeines Pyknometers zu bestimmen.

1.3 Die Dichten von Ethanol und NaCl-Lösung sind mit der Dichtewaage nach Mohr-Westphal und mit dem Aräometer zu be-stimmen.

2 Grundlagen

Die Dichte ρ eines homogenen Stoffes ist dasVerhältnis seiner Masse m zu seinem Volu-men V :

2.0 AnalysenwaageDie Bestimmung der Masse zählt zu dengenauesten Messverfahren der Physik. Mitden Analysenwaagen im Praktikum lassen sichrelative Genauigkeiten bis zu 10-6 erzielen. Beisolchen Präzisionsmessungen muss der Auf-trieb in Luft berücksichtigt werden.Jeder Körper, der sich in einem Medium(Flüssigkeit oder Gas) befindet, erfährt einenAuftrieb. Die Auftriebskraft FA ist gleich derGewichtskraft des vom Körper verdrängtenMediums (ARCHIMEDESsches Prinzip):

Dabei sind mM und ρM Masse bzw. Dichte desvom Körper verdrängte Mediums, V seinVolumen und g = 9,81 ms-2 die Fallbeschleu-nigung. Bei einer Analysenwaage (Balkenwaage)wirkt der Auftrieb in Luft der Dichte ρL so-wohl auf den zu wiegenden Körper (Masse m,Dichte ρ) als auch auf die Wägestücke (MassemN, Dichte ρN). Im Kräftegleichgewicht ist

bzw. mit V = m/ρ und VN = mN/ρN

Diese Formel für die Korrektur des Luftauf-triebs gilt auch für moderne elektronischeAnalysenwaagen. Hier werden zwar bei derWägung keine Gewichtstücke mehr benutzt,jedoch wird die Anzeige der Waage (ent-spricht mN) mit Hilfe von Normalgewicht-stücken mit der standardisierten Dichte vonρN = 8000 kg/m3 geeicht bzw. justiert.

2.1 Auftriebsmethode Mit Hilfe des Auftriebes lässt sich relativeinfach die Dichte eines Körpers mit unbe-kanntem Volumen V bestimmen. Dazu wirdder Körper mit Hilfe einer Analysenwaage anLuft und in Wasser eingetaucht gewogen.m* bezeichne den Anzeigewert der Waage beiWägung in Luft. Nach (4) ist

Danach wird der Körper völlig unter Wassergetaucht und erneut gewogen, Anzeige m**:

(ρW - Dichte des Wassers).Aus den Gleichungen (5) und (6) folgt:

2.2 PyknometerEin Pyknometer ist ein Gefäß, mit dem einFlüssigkeitsvolumen sehr genau reproduzier-bar ist, da der durch die Krümmung derOberfläche verursachte Volumenfehler wegendes geringen Kapillarquerschnittes sehr klein

Dichtebestimmung M 2


12

Abb.1: Pyknometer

1~ ,

MV (13)

2 1 2* 1 / 1 /

1 / 1 /

L Py L W

L N L N

m m m

(9)

3 1 3* 1 / 1 /

1 / 1 /

L Py L

L N L N

m m m

(10)

Abb.2: Mohr-Westphalsche Waage

1 1* 1 /

1 /

L Py

L N

m m

(8)

3 3

2 2

.m

m

(11)

3 1.

2 1

* *

* * W L L

m m

m m

(12)

ist (Abb.1). So kann man damit über eineMessung der Masse sehr einfach und genaudie Dichte von Flüssigkeiten bestimmen.Dabei erfolgt erst eine Messung mit Luft, umdie Leermasse m1 des Pyknometers zu erhal-ten:

Danach wird die Masse des Pyknometers mitdestilliertem Wasser der Masse m2 und dannseine Masse mit der Messflüssigkeit derMasse m3 bestimmt (m* ist jeweils Anzeigeder Waage):

Wegen des konstanten Pyknometervolumensist außerdem

Mit Hilfe der Gleichungen (8) bis (11) lässtsich ρ berechnen:

2.3 Mohr-Westphalsche WaageDie Mohr-Westphalsche Waage ist eineungleicharmige Hebelwaage. Der rechteHebelarm ist durch Kerben in 10 gleiche Teilegeteilt. Am Ende des Hebelarmes befindet sich

ein Senkkörper mit sehr genau definiertemVolumen. Wird der Senkkörper in eine Flüs-sigkeit getaucht, erfährt er einen Auftrieb, derdurch die Gewichtskraft entsprechend aufge-legter Reiter kompensiert werden kann. Zuroriginal Mohr-Westphalschen Waage (Abb. 2)gehören große, mittlere und kleine Reiter,deren Gewichtskräfte sich wie 100 : 10 : 1verhalten. Die relative Dichte ergibt sich ausder Position der Reiter in den Kerben 1 bis 10.Die moderneren, im Praktikum eingesetztenDichtewaagen verwenden einen in 100 Teileeingeteilten Waagebalken, zwei Reiter imVerhältnis 100 : 1 und ein zusätzliches Anhän-gegewicht. Die Dichte kann direkt an derStellung der Reiter abgelesen werden.

2.4 AräometerMit Hilfe eines Aräometers (Abb. 3) kannebenfalls die Dichte einer Flüssigkeit bestimmtwerden. Schwimmt das Aräometer in derMessflüssigkeit, ist die Gewichtskraft desAräometers FG gleich der Auftriebskraft FA.Nach (2) folgt für die Dichte der Messflüssig-keit

wobei VM das eingetauchte Volumen desAräometers ist. Die Skala, die sich am Aräo-meter befindet, zeigt unmittelbar die denEintauchtiefen entsprechende Dichte an.


13

Abb.3: Aräometer

3 Versuchsaufbau

3.1 Geräte zu Aufgabe 1:1 Analysenwaage mit Dichtebestimmungsein-

richtung (Tauchkorb, Brücke, Becherglas)3 Probekörper1 Pinzette1 Spritzflasche mit H2O dest.

3.2 Geräte zu Aufgabe 2:1 Analysenwaage1 Pyknometer1 Pipette1 Spritzflasche mit H2O dest. 1 Flasche mit Ethanol

3.3 Geräte zu Aufgabe 3:1 Dichtewaage mit Senkkörper1 Senkglas (ca. 130 ml)2 Standzylinder (100 cm3)2 Aräometer2 Flaschen mit Ethanol und NaCl-Lösung1 Thermometer


Sehen Sie sich die Auszüge aus den Geräte-beschreibungen der Analysenwaage mit Dich-tebestimmungs-Set und der Dichtewaage an,die am Arbeitsplatz ausliegen!

4.1 Zur Bestimmung der Dichte festerKörper nach der Auftriebsmethode werden diebeiliegenden Probekörper zunächst in Luftgewogen (Bestimmung von m*). Danach wirddas Becherglas mit Wasser auf die Brückegestellt, der Tauchkorb vorsichtig eingehängt

und die Waage auf Null abgeglichen (mitTariertaste). Jetzt stellt man den Probekörpermit der Pinzette auf den Tauchkorb, so dassder Körper völlig im Wasser eintaucht. DasAblesen der Waage ergibt m**. Dies ist für alleProbekörper durchzuführen.

Hinweise zur Messgenauigkeit:Die Reproduzierbarkeit der Messungen mitdem etwas wackeligem Gestell zur Dichte-bestimmung ist nicht so gut wie mit dernormal ausgestatteten Waage (TechnischeDaten). Bei der Wägung in Wasser könnendurch Luftbläschen und Spritzer größereFehler entstehen. Achten Sie darauf! FührenSie alle Wägungen mindestens 2...3 mal durchund schätzen Sie die Messunsicherheit.Eine systematische Fehlerquelle ist auch derAnstieg des Wasserspiegels beim Eintauchendes Probekörpers. Dadurch entsteht eingeringer zusätzlicher Auftrieb an den Halte-rungen des Tauchkorbes.

4.2 Zur Ermittlung der Flüssigkeitsdichtemüssen der Tauchkorb und die Brücke mitdem Becherglas entfernt werden. Bestimmen Sie die Leermasse des Pykno-meters m*

1, die Masse des Pyknometers mitdestilliertem Wasser m*

2 und die Masse desPyknometers mit der Messflüssigkeit m*

3 .

4.3 Messung Dichtewaage und Aräometer:Zunächst wird die Nullpunktseinstellung derDichtewaage kontrolliert und ggf. nach-justiert. Verfahren Sie hierzu entsprechend derausliegenden Bedienungsanleitung.Für die Bestimmung der Dichte der beidenFlüssigkeiten muss der Senkkörper vollständigin diese eingetaucht sein. Vermeiden SieLuftbläschen sowie die Berührung der Gefäß-wand! Die Waage wird durch Verschieben derReiter abgeglichen. Dabei bleibt für Dichten <1 g/cm3 das Anhängegewicht eingehängt, fürDichten > 1 g/cm3 wird es ausgehängt.Die Temperaturen der Messflüssigkeit sind zumessen.Bei der Dichtebestimmung mit dem Aräo-meter werden die Messflüssigkeiten in dieentsprechenden Standzylinder, in denen sichdie Aräometer befinden, gegossen und die

Mechanik M 4 Oberflächenspannung von Flüssigkeiten

14

Dichten abgelesen.

Die Messflüssigkeiten sind im Anschluss indie richtigen Behälter zurückzufüllen!

5 Auswertung

5.1 Die Dichte der Probekörper ist nach derGleichung (7) zu berechnen. Das Ergebnis istmit Tabellenwerten zu vergleichen. Umwelches Material könnte es sich bei denProbekörpern handeln?Die Dichte des Wassers W für die Raum-temperatur wird einer Tabelle entnommen.Die Dichte von Luft beträgt bei 20°C etwaL = 0.0012 g/cm3.

5.2 Die Dichte der Flüssigkeit ist nachGleichung (12) zu berechnen und mit demErgebnis der anderen Methoden sowie mitdem Tabellenwert zu vergleichen.

5.3 Die Dichten, die nach den zwei Metho-den ermittelt wurden, sind zu vergleichen.

Die Messunsicherheiten der verschiedenen

Methoden zur Bestimmung der Dichte sind zuvergleichen.

6 Literatur

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer, 2014

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Methoden zur Bestimmung derDichte von festen Körpern und Flüssigkeitenkennen Sie?

7.2 Welchen Einfluss hat der Auftrieb inLuft auf Wägungen?

7.3 Erläutern Sie die Messmethode mit demPyknometer! Worauf ist dabei besonders zuachten?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Oberflächenspannung von ver-schiedenen Flüssigkeiten ist mit Hilfe derAbreißmethode zu bestimmen.

1.2 Die Oberflächenspannung ist mit Hilfeder Steighöhe in Kapillaren zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Oberflächenspannung:Jedes einzelne Molekül einer Flüssigkeit wirktinnerhalb eines gewissen kugelförmigenBereiches anziehend auf seine Nachbarmole-küle (Kohäsion). Ein Molekül im Inneren der

Flüssigkeit übt nach allen Seiten gleicheanziehende Kräfte aus und wird von denumgebenden Molekülen ebenfalls gleichmäßigangezogen, so dass die Resultierende dieserKohäsionskräfte gleich Null ist. Befindet sichdas Molekül an der Oberfläche der Flüssig-keit, so werden die Kräfte nicht vollständigdurch die Wechselwirkungskräfte mit demangrenzenden Medium (Adhäsion) kompen-siert (Abb.1). Es ergibt sich eine resultierendeKraft in das Innere der Flüssigkeit. Möchteman jetzt ein Molekül aus dem Inneren an dieOberfläche bringen, muss man die nach innenwirkenden Kräfte überwinden. Ein Molekül ander Oberfläche besitzt deshalb eine höhere

Oberflächenspannung von Flüssigkeiten M 4


15

Abb.1: Kohäsionskräfte und Oberflächen-energie von Flüssigkeitsmolekülen.

W A . (1)

W A r h1 2 . (2)

W m g h r h g h2

2 . (3)

potentielle Energie. Die Energie der Gesamtheit aller in der Oberfläche sitzenden Molekü-le ist der Größe der Oberfläche proportionalund kann als Oberflächenenergie bezeichnetwerden. Will man die Oberfläche um ΔAvergrößern, muss man der Flüssigkeit Energiezuführen, also Arbeit ΔW verrichten:

Dabei ist σ die Oberflächenspannung, einevon der Temperatur abhängige Materialgröße.Die SI-Einheit ist N/m. In der Natur ist jedesSystem bestrebt, den Zustand kleinster poten-tieller Energie zu erreichen. Die Oberflächeeines Flüssigkeitsvolumens wird daher immereinen möglichst kleinen Wert annehmen.Die Oberflächenspannung wirkt sich auf dieTropfenbildung an einer Pipette aus. EinTropfen reißt ab, wenn seine Gewichtskraftdie ihn haltende Kraft überschreitet. Letztereist proportional zur Oberflächenspannung derFlüssigkeit, so dass z.B. eine mittels Pipettedurch Tropfenzählung zu dosierende Sub-stanzmenge für verschiedene Flüssigkeitenzunächst mit anderen Verfahren kalibriertwerden muss. Die Messung der Oberflächenspannung miteinem Stalagmometer nutzt eben diesenEffekt: Es wird die Anzahl der Tropfen ineinem Volumen gezählt; sie ist proportionalzur Oberflächenspannung. Weitere Beispiele für den Einfluss der Ober-flächenspannung sind die Randkrümmung vonFlüssigkeiten in Gefäßen, die Kapillarwirkung,die Wirkung von Waschmitteln und daswasserabweisende Gefieder von Schwimm-

vögeln.

2.2 Kapillarität:An einer Grenzfläche zwischen zwei Medienüben auch die verschiedenartigen MoleküleAnziehungskräfte aufeinander aus. Im Gegen-satz zur Kohäsion bezeichnet man die Anzie-hungskraft zwischen den Molekülen ver-schiedener Stoffe als Adhäsion.Die Oberfläche eines Festkörpers wird voneiner Flüssigkeit benetzt, wenn die Adhäsions-kräfte größer sind als die Kohäsionskräfteinnerhalb der Flüssigkeit. Die Flüssigkeitversucht dann, sich möglichst weit auf derOberfläche auszubreiten. Taucht man eineKapillare mit dem Innendurchmesser 2r ineine benetzende Flüssigkeit (z.B. Glas inWasser), so steigt diese in der Kapillare nachoben (Kapillaraszension im Gegensatz zurKapillardepression bei nicht benetzendenFlüssigkeiten). Das ist folgendermaßen zuerklären:Die Benetzung der Kapillarinnenwand führt zueiner Vergrößerung der freien Flüssigkeits-oberfläche und damit der Oberflächenenergie.Durch das Aufsteigen der Flüssigkeit imInneren der Kapillare wird die Größe derfreien Oberfläche wieder verringert, dafürerhöht sich aber die potentielle Energie. DerGleichgewichtszustand ist der Zustand mini-maler Energie. Die Höhe der Flüssigkeitssäuleim Gleichgewicht kann man deshalb mitfolgender Überlegung berechnen:Steigt die Flüssigkeit um den kleinen BetragΔh, so verringert sich die freie Oberfläche umden Betrag 2πrΔh und damit nach (1) dieOberflächenenergie um

Dabei vergrößert sich die potentielle Energiedurch das Anheben der Flüssigkeit in derKapillare um

(Δm ist der Massenzuwachs und ρ die Dichteder Flüssigkeit in der Kapillare, g = 9,81 m/s2

die Fallbeschleunigung.)Im Energieminimum ist ΔW = ΔW2 ΔW1 = 0,daraus ergibt sich die Steighöhe h zu


16

A r h 2 2 . (5)

W F h . (6)

F

r4. (7)

hr g

2

. (4)

Gl. (4) kann auch mit Hilfe des Gleichgewich-tes aus dem Druck durch die gekrümmteOberfläche und dem Schweredruck derFlüssigkeitssäule hergeleitet werden (sieheLiteraturangaben).

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:Federkraftmesser 50 mNGlasgefäß für SeifenlösungGlasgefäß für andere FlüssigkeitenMessring, mittlerer Radius (14,85 ± 0,05) mmhöhenverstellbarer Tisch2 Kapillaren (Ø ca. 0,6...1,2 mm)Gefäße mit Seifenlösung, Ethanol, ...

3.1 Zur Messung der Oberflächenspannungnach der Abreißmethode wird ein Messringmit dem Durchmesser 2r verwendet, derzunächst völlig in die Flüssigkeit eingetauchtund damit vollständig benetzt wird. Beimlangsamen Herausziehen aus der Flüssigkeitbildet sich am Ring ein zylindrischer Flüssig-keitsfilm mit dem Durchmesser 2r und derHöhe Δh. Da sich der Film sowohl an derInnen- als auch an der Außenfläche desRinges bildet, ergibt sich die Vergrößerungder Flüssigkeitsoberfläche zu:

Die dafür erforderliche Arbeit ist:

Setzt man Gleichung (5) und (6) in (1) ein,erhält man:

Die Kraft F wird mit einem Federkraftmessergemessen.

3.2 Die verwendeten Glaskapillaren dürfennach erstmaliger Verwendung nicht austrock-nen. Deshalb werden sie in destilliertemWasser gelagert. Der Innendurchmesser ist

der Auslage am Arbeitsplatz zu entnehmen.


4.1 Um Verunreinigungen auszuschließen,sollten Messring und Glasgefäß zu Beginnunter heißem Wasser gründlich abgespültwerden.Der trockene Messring (evtl. Tropfen abtup-fen) wird an den Federkraftmesser angehängt.Der Federkraftmesser ist durch Verschiebendes Außenmantels auf Null (oder, falls nichtmöglich, auf einen ganzen Wert, z. B. 10 mN)zu stellen. Das mit der zu untersuchendenFlüssigkeit gefüllte Glasgefäß wird auf denhöhenverstellbaren Tisch gestellt. DurchAnheben der Tischfläche lässt man den Mess-ring vollständig in die Flüssigkeit eintauchen.Zur Messung wird der Tisch langsam undohne Erschütterung abgesenkt und dabei dieAnzeige des Federkraftmessers beobachtet.Beim Abreißen der Verbindung zwischenFlüssigkeit und der Unterkante des Mess-ringes wird die Kraft F abgelesen. Die Mes-sung ist für jede Flüssigkeit 10 mal durch-zuführen. Beim Wechsel der Flüssigkeit sindGefäß und Bügel gründlich abzuspülen.

4.2 Die Kapillaren werden sorgfältig unterfließendem Wasser gespült und dann voll-ständig entleert (schräg halten und das Wassermit feuchtem Papierhandtuch aussaugen).Wenn sie verschmutzt sind, so dass kleineTröpfchen darin zurückbleiben, können sie inder Ausgabe getauscht werden.Zur Messung taucht man die Kapillare in dieMessflüssigkeit. Die Höhe der senkrechtenFlüssigkeitssäule über der äußeren Flüssig-keitsoberfläche wird mit einem Lineal be-stimmt. Die Messung ist mit beiden Kapillarenund mit jeder Flüssigkeit je fünf mal durch-zuführen.

Die Messflüssigkeiten (außer Wasser) sindnach Versuchsende wieder in die Vorrats-behälter zurück zu füllen!

Mechanik M 9 Erzwungene Schwingungen

17

0J C D (1)

2

02 0 (2)

C J

D J

T

/ ( ) ,

/ ,

/ .

2

2

02

0 0

(3)

0 cos( )te t (4)

202 2 2 , / .T (5)

5 Auswertung

5.1 Aus den zehn Messwerten für die Kraftist jeweils der Mittelwert zu bilden und nachGleichung (7) die Oberflächenspannung σ unddie zugehörige Messunsicherheit zu berech-nen. Der mittlere Radius des Messringesbeträgt r = ( 14,85 ± 0.05 ) mm.

5.2 Aus den Mittelwerten der gemessenenSteighöhen ist mit Hilfe von Gl. (4) jeweils dieOberflächenspannung zu berechnen. DieDichte von Wasser und Seifenlösung beträgt1,00 g/cm3, die von Ethanol 0,79 g/cm3.

Für beide Teilversuche ist eine Fehlerrechnungdurchzuführen. Vergleichen Sie alle Ergeb-nisse und Messunsicherheiten miteinander!

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2006

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1. de GruyterBerlin NewYork 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Form nimmt ein Wassertropfenan, wenn keinerlei äußere Kräfte auf ihnwirken? Warum? Worauf beruht die „norma-le“ Tropfenform?

7.2 Wovon hängt die Steighöhe einer Flüs-sigkeit in einer Kapillare ab?

7.3 Was ist Benetzung, wovon hängt sie ab?

1 Aufgabenstellung

1.1 An einem Drehpendel sind Schwingungs-dauer und Dämpfungskonstante bei zweiverschiedenen Dämpfungen zu bestimmen.

1.2 Für beide Dämpfungen sind die Am-plituden des Drehpendels in Abhängigkeit vonder Erregerfrequenz des Motors zu ermitteln(Resonanzkurven).

2 Physikalische Grundlagen

2.1 Die Bewegungsgleichung für die ge-dämpfte Schwingung eines Drehpendels(Herleitung und Lösung sind in der untenangegebenen Literatur ausführlich beschrie-ben) lautet:

bzw.

mit

Es bedeuten: φ = Auslenkwinkel; = Win-kelgeschwindigkeit; = Winkelbeschleuni-gung; J = Trägheitsmoment des Drehpen-dels; C = Reibungskonstante; D = Direktions-moment der Feder; δ = Dämpfungskonstante;ω0 = Kreisfrequenz und T0 = Schwingungs-dauer der ungedämpften Schwingung. Eine Lösung der Differentialgleichung (1) ist:

mit

T ist die Schwingungsdauer und ω die Kreis-frequenz der gedämpften Schwingung, φ0 derMaximalwert der Amplitude und t die Zeit.

Erzwungene Schwingungen M 9


18

fT1

. (13)

( )

( )

(( 1) )

n TT

n T T

n T e en T e

(6)

( )ln

(( 1) )

n TT

n T

(7)

2

02 sin( )B t (9)

sin( ) .A t (10)

2

2 2 2 2 2

0

.( ) 4

BA

(11)

Das Verhältnis zweier aufeinander folgenderAmplituden ist konstant:

Der Ausdruck

heißt logarithmisches Dekrement; es charakte-risiert die Dämpfung.

2.2 Ein Drehpendel (siehe Abb. 1) habe dieEigenfrequenz f0 . Ein Motor mit einer ver-änderlichen Drehzahl (Frequenz f ', Kreis-frequenz ω' = 2 π f ') übt auf das Drehpendelein äußeres Drehmoment M = M0sin(ω't)aus und regt es so zum Mitschwingen an. DasPendel vollführt dann erzwungene Schwin-gungen, seine Bewegungsgleichung lautet

bzw.

mit B = M0/J. Nach dem Abklingen eines Ein-schwingvorganges schwingt das Drehpendelmit der Erregerfrequenz f '. Für diesen Fall istdie Lösung der inhomogenen Differentialglei-chung (9)

Für die Amplitude A des Drehpendels gilt

Die Amplitude erreicht ein Maximum bei

man spricht von Resonanz. Bei kleiner Dämp-fung (δ ω) ist also im Resonanzfall dieErregerfrequenz ω' gleich der Eigenfrequenzω0. Die Phasenverschiebung zwischen denSchwingungen des Erregersystems und des er-regten Systems ist im Resonanzfall Δ = 90°.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Drehpendelgerät nach R. W. Pohl- regelbare Spannungsquelle für Motor und

Dämpfungsmagnetspule- Multimeter, analog- Schalter- Stoppuhr- Verbindungsleitungen- Diktiergerät

3.1 Beim Drehpendelgerät nach R. W. Pohl(Abb. 1) ist das Drehpendel, ein massives Radaus Kupfer, über eine Feder und ein Gestängemit dem Motor gekoppelt. Eine Konstant-spannungsquelle liefert die Betriebsspannung(24 Volt) für den Motor; seine Drehzahl(Frequenz f ') wird durch zwei Widerstände(“grob” und “fein”) geregelt. Die Dämpfungdes Drehpendels erfolgt durch Wirbelströme,die mit Hilfe eines Elektromagneten erzeugtwerden. Eine regelbare Gleichspannungs-quelle (ca. 0...5 V) liefert den Spulenstromvon maximal 1 A, der mit dem Multimetergemessen wird.Die Umlaufdauer T' des Motors ist mit einerStoppuhr zu messen; die Frequenz f ' ergibtsich dann aus

0 sin( )J C D M t (8)

2 2 2

0 2 , (12)

Abb.1: Drehpendel nach W. Pohl mit Wirbel-strombremse W und Motor M


19


4.1 Zu Beginn wird die SchwingungsdauerT0 des ungedämpften Pendels durch Messungder Zeit für mindestens 10 Schwingungenmöglichst genau bestimmt.Die regelbare Gleichspannungsquelle (0...5 V)wird über das Multimeter mit der Dämpfungs-magnetspule verbunden, der Spulenstrom wirdzunächst auf 250 mA eingestellt.Die Ruhelage des Zeigers am Drehpendel istauf Null zu bringen. Dann wird das Dreh-pendel aus seiner Ruhelage ausgelenkt undlosgelassen; die aufeinander folgenden Am-plituden A (in Skt) auf einer Seite sind ab-zulesen. Es ist empfehlenswert, die Messwerteauf das Diktiergerät zu sprechen, da dieMessung sehr schnell vonstatten geht.Die Schwingungsdauer T1 ist durch Messungder Zeit für möglichst viele Schwingungen zubestimmen.Die Messung der Amplituden und der Schwin-gungsdauer T2 wird für den Spulenstrom 500mA wiederholt.

4.2 Die Resonanzkurve soll ebenfalls für diebeiden Dämpfungen mit den Spulenströmen250 mA und 500 mA gemessen werden.Die Spannungsquelle ist auf 24 V einzustellenund über einen Schalter mit dem Motor zuverbinden.Zur Aufnahme einer Resonanzkurve wird mitHilfe der Regelwiderstände “grob” und “fein”die Motorfrequenz f ' zwischen 0,1 Hz und 1Hz variiert. Für jede eingestellte Drehzahl istdie Umlaufzeit T' des Motors und die Am-plitude A des Drehpendels zu messen. ZurBestimmung dieser Amplituden muss manwarten, bis die jeweiligen Einschwingvorgängeabgeklungen sind. Die dafür mindestenserforderliche Zeit kann aus den Messungen zu4.1 abgeschätzt werden.In der Nähe der Resonanzfrequenz sollten dieMessungen in kleinen Schritten erfolgen.Für die kleinste und größte Frequenz sowiefür die Resonanzfrequenz werden die jeweili-gen Phasenwinkel Δφ zwischen dem Er-regersystem (Motor) und dem erregten Sys-tem (Drehpendel) abgeschätzt.

5 Auswertung

5.1 Die bei verschiedener Dämpfung gemes-senen Schwingungsdauern und die Frequen-zen des Drehpendels und ihre Messunsi-cherheiten sind anzugeben.Für die Dämpfung mit 250 mA und 500 mAsind die maximalen Auslenkungen A in Ab-hängigkeit von der Zeit t grafisch darzustel-len. Die logarithmischen Dekremente δ·Tund die Dämpfungskonstanten δ sind nach Gl.(7) zu bestimmen.

5.2 Die Amplituden A des Drehpendels sindfür beide Dämpfungen in Abhängigkeit vonder Erregerfrequenz f' des Motors grafischdarzustellen (Resonanzkurven). Die Phasen-winkel Δ zwischen erregtem System (Dreh-pendel) und erregendem System (Motor) fürdie kleinste und die größte Frequenz sowiefür die Resonanzfrequenz sind anzugeben.

5.3 Zusatzaufgaben (für Interessierte):Das logarithmische Dekrement ist aus demAnstieg der Funktion lnA (t) zu ermitteln.Die Konstanten B, ω0 und δ sind durchnichtlineare Regression der Resonanzkurvenmit der Modellgleichung (11) zu bestimmen.

6 Literatur

Wolfgang Schenk: Physikalisches Praktikum.14., überarb. u. erw. Aufl., Springer 2014

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2006

Paul A. Tippler: Physik für Wissenschaftlerund Ingenieure. 7. Aufl. Springer 2015

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Resonanz, Dämpfung, Phasen-verschiebung?

7.2 Wovon hängen Höhe und Breite desResonanzmaximums ab?

7.3 Nennen Sie Beispiele für Resonanzphä-nomene (erwünschte und unerwünschte)!

Mechanik M 13 Dehnung

20

Abb.2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm(schematisch)

1 Verhalten nach Hookeschem Gesetz2 Metall im Bereich (a) elastischer und (b)

plastischer Verformung3 Blutgefäß. (c) Verhalten nach Hooke-

schem Gesetz, (d) VerfestigungAbb.1: Dehnung (Zug) und Scherung

FA

. (1)

l

l0

. (2)

1 Aufgabenstellung

Es ist der Elastizitätsmodul E von zweiMetallen und von Polyamid (Perlon) durchDehnungsmessungen zu bestimmen.


Eine wichtige Eigenschaft von Festkörpern istdie Elastizität. Ein Körper ist elastisch, wenner nach einer durch äußere Kräfte hervor-gerufenen Gestaltsänderung seine ursprüng-liche Gestalt wieder annimmt, sobald dieseKräfte wegfallen.Die elastischen Formänderungen könnendurch Dehnung, Stauchung, Biegung oderDrillung (Torsion) auftreten.Unter (mechanischer) Spannung versteht mandas Verhältnis aus Kraft und der Querschnitts-fläche, an der die Kraft angreift:

Bei Normalspannungen σ steht die Kraft Fsenkrecht auf der Fläche A (Abb.1 links), beiTangentialspannungen τ verläuft sie parallelzur Fläche (Abb.1 rechts). Normalspannungenkönnen als Zug- oder Druckspannungenwirksam werden, Tangentialspannungen alsScher- oder Torsionsspannungen.Die relative Längenänderung Δl/l0 bei Wir-kung einer Zugspannung (vergl. Abb.1) nennt

man Dehnung:

Das elastische Verhalten bei Zug- und Druck-belastungen wird im Spannungs-Dehnungs-Diagramm (Abb.2) dargestellt. Innerhalb des Proportionalitätsbereiches giltdas HOOKEsche Gesetz:

Die elastische Verformung ist der verformen-den mechanischen Spannung proportional.

Feste Körper haben eine Elastizitätsgrenze.Bei Überschreiten dieser Grenze kommt es jenach Material zu unterschiedlichen Abwei-chungen vom HOOKEschen Gesetz. BeiMetallen tritt meist eine irreversible Verfor-mung auf (Plastizität). Bei biologischenMaterialien und bei Polymeren ist bei hohenSpannungen aufgrund des makromolekularenAufbaus oft eine Verfestigung zu beobachten.Das Überschreiten der Zerreißgrenze führtzum Materialbruch.Die meisten Polymere und viele Biomateria-lien (z. B. Muskelfasern) zeigen kein reines

Dehnung M 13

Mechanik M 13 Dehnung

21

1

E. (3)

elastisches sondern sogenanntes viskoelasti-sches Verhalten. Im Materialinneren tretengeschwindigkeitsabhängige Reibungskräfteauf (vergl. Versuch M14: Viskosität). DieDehnung hängt nicht nur von der Spannungsondern auch von der Zeit ab, wobei diemaximale Dehnung bei Wirkung einer kon-stanten Spannung asymptotisch erreicht wird.

Der Elastizitätsmodul E ist eine Material-größe. Im Bereich der Gültigkeit des HOO-KEschen Gesetzes stellt sein Kehrwert denProportionalitätsfaktor zwischen der relativenDehnung Δl/l0 eines Stabes und der anliegen-den mechanischen Spannung F/A dar.Mit (1) und (2) ergibt sich eine allgemeineForm des HOOKEschen Gesetzes zu:

Mit der Längenausdehnung verbunden ist eineVerringerung des Querschnitts, die mit Hilfeder elastischen Materialkonstanten POISSON-sche Querkontraktionszahl beschriebenwerden kann.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Wandhalterung mit Messuhr- Inbusschlüssel für die Messuhr- 2 Metalldrähte und Perlonfaden mit Haken

und Messmarke- Bandmaß- Mikrometerschraube- Massestücke- mit Schaumstoff gefüllter Eimer

Der zu vermessende Draht bzw. Faden kannin die obere Aufhängung der Apparatureingehängt werden. Auf ihm ist eine Mess-marke befestigt, diese wird unter den Fühlerder Messuhr geklemmt. Dazu ist der Fühlervorsichtig von Hand anzuheben. Sollte derMessbereich der Messuhr (0 bis 10 mm) nichtausreichen, so kann sie mittels einer Klemm-schraube in der Höhe verstellt werden. Am unteren Ende des Drahtes ist ein Hakenzum Einhängen der Massestücke angebracht.


Der zu vermessende Metalldraht wird einge-hängt und mit einem Massestück von 500 gvorbelastet. Es ist darauf zu achten, dass derMessbereich ausreicht, gegebenenfalls mussdie Messuhr in ihrer Höhe verstellt werden.Diese Stellung der Messuhr entspricht Δl = 0.Die Anfangslänge l0 wird mit dem Bandmaßbestimmt (freie Drahtlänge von der Klemm-schraube der oberer Aufhängung bis zurKlemmschraube der Messmarke). Der Durch-messer des Drahtes d wird an 5 verschiedenenStellen mit der Mikrometerschraube bestimmt.Nun wird der Draht mit verschiedenen Mas-sestücken (200g bis 2000g in 200g-Schritten)belastet und die zugehörigen Längenänderun-gen Δl gemessen (Δl bezieht sich hierbeiimmer auf die Stellung der Messuhr im vor-belasteten Zustand l0).Der gesamte Messvorgang ist für beideMatalldrähte durchzuführen.

Die Längenänderung des Perlonfadens istwesentlich größer als die der Metalldrähte, siewird nicht mit der Messuhr gemessen sondernan einem Stahllineal abgelesen, welches unterder Messuhr angebracht ist. Der Perlonfadenwird eingehängt und mit 100 g vorbelastet.Sein Durchmesser wird an 5 verschiedenenStellen mit der Mikrometerschraube und dieLänge l0 mit dem Bandmaß bestimmt.

Es kann vorkommen, dass der Perlonfadenreißt! Stellen Sie deshalb den Eimer mitSchaumstoff-Füllung unter die Apparatur,ehe Sie weitere Massestücke anhängen!

Die Position der Messmarke a ist am Stahl-lineal abzulesen. Dieser Wert entspricht Δl=0.Danach wird der Faden schrittweise belastet(400 g bis 2000 g in 400 g-Schritten) und(nach 5 min) die Position a bestimmt. Unmittelbar nach dem Anhängen der Mas-sestücke kann man beobachten, dass dieLänge nicht sofort konstant ist, sondern,immer langsamer werdend, noch etwas an-wächst (Viskoelastizität). Zwischen jederÄnderung der Gewichte und dem Ablesen vona ist deshalb eine Wartezeit von 5 min ein-zuhalten.

Mechanik M 14 Viskosität

22

5 Auswertung

Aus den Mittelwerten der Drahtdurchmessersind die Querschnittsflächen zu berechnen.Im Fall des Perlonfadens sind aus den gemes-senen Werten für a die Längenänderungen Δlzu berechnen.Für jeden Messschritt werden die anliegendeZugspannung σ nach (1) und die Dehnung nach (2) berechnet. Die Kraft in Gleichung (1)ist die Gewichtskraft der Massestücke(g = 9,81 m/s2).Für jedes Material wird die Zugspannung σals Funktion der Dehnung des grafischdargestellt und der Elastizitätsmodul E alsKurvenanstieg aus dem Diagramm ermittelt.Mit Hilfe der ausliegenden Tabelle ist aus denermittelten Werten auf das Material derMetalldrähte zu schließen.Hinweis zur Fehlerrechnung:Die Standardabweichung des Anstieges derFunktion σ(ε) enthält alle zufälligen Abwei-chungen der einzelnen Messpunkte. Systema-tische Messabweichungen und solche, die alle

Messpunkte in gleicher Weise beeinflussen,müssen zusätzlich berücksichtigt werden.

6 Literatur


Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a. 2006

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Was bedeutet elastisches Material-verhalten?

7.2 Was besagt das HOOKEsche Gesetz?Welche Arten der elastischer Verformung gibtes?

7.3 Welche Formen nichtlinearen elastischenVerhaltens können auftreten?

1 Aufgabenstellung

Es ist die Viskosität η von Rhizinusöl alsFunktion der Temperatur mit einem HÖPP-LER-Viskosimeter (Kugelfallmethode) zubestimmen.

2 Grundlagen

Reale Flüssigkeiten und Gase sind durchWechselwirkungskräfte zwischen den Molekü-len innerhalb des Stoffes (Kohäsion) und zuMolekülen anderer Stoffe an Grenzflächenwie z.B. festen Wandungen (Adhäsion) ge-kennzeichnet. Bei idealen Flüssigkeiten undGasen werden solche Kräfte vernachlässigt.Die Kohäsionskräfte bewirken Reibungskräfte

zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit. AlsMaß für diese innere Reibung wird die Visko-sität η („eta”) mit Hilfe des Gedankenexperi-ments in Abb.1 definiert:In einer Flüssigkeit wirke auf die Fläche A imAbstand d von der festen Wand eine kon-stante Scherkraft F. Dann bewegt sich A miteiner von der Reibung abhängigen Geschwin-digkeit v, in der Flüssigkeit stellt sich einlineares Geschwindigkeitsprofil ein. Mandefiniert

Strömt eine benetzende reale Flüssigkeitdurch ein zylindrisches Rohr, so stellt sich imFalle einer laminaren stationären Strömung ein

.F A

v d (1)

Viskosität M 14


23

Abb.2: Laminare Strömung durch ein Rohr

F F FG R A . (4)

3

2

4.

3AF r g (5)

3

1

4.

3GF m g r g (6)

6RF rv (7)

3 3

1 2

4 46

3 3r g rv r g (8)

3

1 2

46 .

3rv r g (9)

2

1 2

2 .9

r gv

(10)

parabolisches Strömungsprofil ein. DurchAdhäsionskräfte haftet die Flüssigkeit amRand und strömt in der Mitte am schnellsten.Zur Modellierung stellt man sich die Strö-mung als ineinander gleitende Zylinder vor,zwischen denen die innere Reibung wirkt.Für ein langes dünnes Rohr wird das proZeiteinheit hindurchfließende Volumen (derVolumenstrom) bei einer gegebenen Druck-differenz Δp zwischen den Enden des Rohresdurch das Gesetz von Hagen und Poisseuillebeschrieben:

(l: Länge, r: Radius des Rohres). Die unge-wöhnlich starke Abhängigkeit vom Radiusergibt sich durch die inhomogene Geschwin-digkeitsverteilung, siehe Abb.2. In Analogie zum OHMschen Gesetz in derElektrik scheibt man Gleichung (2) auch

wobei R = 8ηl/(πr4) Strömungswiderstandgenannt wird. Für Volumenstrom I undDruckdifferenz Δp gelten die KIRCHHOFF-schen Regeln ebenso wie für den elektrischenStrom I und die Spannung U.

Eine Flüssigkeit, bei der die Viskosität nicht

von der Strömung selbst sondern nur von derTemperatur abhängt, nennt man eineNEWTONsche Flüssigkeit. Beispiele für nicht-newtonsche Flüssigkeiten sind Wandfarbe(leicht streichbar, nicht tropfend) und Blut.

Messung der Viskosität:Sinkt ein kugelförmiger Körper (Radius r,Dichte ρ1) in einer viskosen Flüssigkeit (Dich-te ρ2), so wirken die Gewichtskraft FG, dieAuftriebskraft FA und die Reibungskraft FR

und es gilt im stationären Zustand:

Nach ARCHIMEDES ist der Auftrieb gleichdem Gewicht des von der Kugel verdrängtenFlüssigkeitsvolumens:

Für die Gewichtskraft FG gilt:

Da die Reibungskraft FR entsprechend demGesetz von STOKES

proportional zur Geschwindigkeit v der Kugelist, stellt sich nach kurzer beschleunigterBewegung ein stationärer Zustand mit kon-stanter Fallgeschwindigkeit ein (wenn FR = FG

FA erreicht ist). Aus Gl. (4) folgt:

und:

Aus der Fallgeschwindigkeit v einer Kugel ineiner unendlich ausgedehnten ruhendenNEWTONschen Flüssigkeit kann demnach dieViskosität η der Flüssigkeit bestimmt werden.Die Umstellung von Gleichung (9) nach ηliefert:

Abb.1: Zur Definition der Viskosität

4

8

r pVt l

(2)

,pV I

t R

(3)


24

2

1 2

2.

9r

gts

(11)

1 2 .K t (12)

j eE

k TA

~ . (13)

0 eE

k TA

. (14)Ersetzt man die Geschwindigkeit v durch denFallweg s und die Fallzeit t [v = s/t], so erhältman:

Alle unveränderlichen Größen können in einerKonstanten K vereinigt werden, so dass folgt:

In einem HÖPPLER-Viskosimeter fällt dieKugel nicht in einer unendlich ausgedehntenFlüssigkeit, sondern in einer Röhre, derenDurchmesser wenig größer als der Kugel-durchmesser ist. Um eine definierte Abroll-bewegung zu erzielen, wird die Röhre um 10°gegen die Normale geneigt. Beides beeinflusstdie Kugelkonstante K, so dass bei industriellgefertigten Viskosimetern experimentellbestimmte Kugelkonstanten angegebenwerden.

Mikroskopisch lässt sich die Viskosität (wieauch einige andere Eigenschaften) von Flüs-sigkeiten mit Hilfe der Platzwechseltheorieverstehen. Die Teilchen werden durch Bin-dungskräfte an ihrem Platz gehalten undvollführen dort thermische Schwingungen miteiner sich ständig ändernden kinetischenEnergie. Um auf einen benachbarten Platz zugelangen, muss ein Teilchen eine Potential-schwelle überwinden, d. h. seine kinetischeEnergie muss größer als eine gewisse Anre-gungsenergie EA sein. Die Geschwindigkeitder Teilchen genügt der MAXWELL-BOLTZ-MANN-Verteilung, deshalb gilt für die Anzahlder Platzwechselvorgänge j :

Greift eine äußere Kraft an der Flüssigkeit an,so finden Platzwechsel bevorzugt in Richtungdes durch diese Kraft erzeugten Potentialge-fälles statt - die Flüssigkeitsschichten werdengegeneinander verschoben. Je größer j ist,desto schneller ist die Verschiebung. Deshalbgilt näherungsweise für die Viskosität:

Zur Herleitung von (11) siehe GRIMSEHL Bd.IV §132 und §140.Im Gegensatz zu Flüssigkeiten steigt in Gasendie Viskosität mit zunehmender Temperatur

sogar an, es gilt . ~ T

3 Versuchsaufbau

3.0 GeräteHÖPPLER-Viskosimeter2 StoppuhrenThermostat

3.1 Das HÖPPLER-Viskosimeter ist einPräzisionsmessinstrument. Es besteht auseinem drehbar gelagerten geneigten zylindri-schen Fallrohr, das mit der zu untersuchendenFlüssigkeit gefüllt ist. Das Fallrohr wird voneinem Wasserbad umgeben, dessen Tempera-tur durch einen Thermostaten geregelt wird.Am Fallrohr befinden sich ringförmige Mess-marken, der Abstand zwischen der oberstenund der untersten beträgt 100 mm.Das Instrument kann in die Messlage (Ther-mometer oben) oder in die Rücklauflage ge-schwenkt werden und rastet dabei am In-strumentenfuß jeweils definiert in 10°-Positionein. Im Praktikum kann mit ausreichenderGenauigkeit in beiden Richtungen gemessenwerden. Das Fallrohr ist am oberen Ende durch einenHohlstopfen verschlossen, der etwas Luftenthält. Dadurch wird ein zu hoher Druckdurch die Ausdehnung der Messflüssigkeit beiErwärmung vermieden. Bei Änderung derTemperatur und bei Versuchsende soll sichder Stopfen immer oben befinden (Messlage),damit die Luftblase im Stopfen bleibt.Das Viskosimeter wird mit einem Satz von 6Kugeln für verschiedene Viskositätsbereichegeliefert. Im Versuch wird Kugel Nr. 4 ver-wendet. Jedes Viskosimeter hat eine eigenePrüfbescheinigung mit etwas unterschiedli-chen Kugelkonstanten!


25


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegen-den Kurzanleitungen zum Thermostaten undzum Viskosimeter. Schalten Sie zu Beginn aufkeinen Fall die Thermostatheizung ein, dasWasserbad benötigt viel Zeit um wiederabzukühlen!Die Viskosität soll im Temperaturbereich vonRaumtemperatur bis 50°C bestimmt werden(etwa ein Messpunkt aller 5 K).Das Viskosimeter ist m. H. der Libelle hori-zontal auszurichten. Vor der ersten Messungmuss die Kugel einmal die Messstreckedurchlaufen, um die Messflüssigkeit zu durch-mischen.Die Messung der Fallzeiten zwischen deroberen und der unteren Ringmarke wird vonbeiden Studenten durchgeführt. Damit sie sichgegenseitig nicht beeinflussen, startet (stoppt)der erste Student seine Uhr, wenn die Kugelmit ihrer unteren Fläche die obere (untere)Ringebene berührt. Der zweite Studentbeginnt die Messung, wenn die obere Flächeder Kugel die obere Ringebene verlässt.Die Messungen sind bei jeder Temperatur viermal durchzuführen, dabei sind alle 8 Mess-werte (von beiden Studenten) zu protokollie-ren. Falls das Fallen der Kugel durch eine sehrgroße Luftblase behindert wird, ist der zu-ständige Assistent zu verständigen. Sie dürfendas Viskosimeter nicht selbst öffnen!

Man beginnt zweckmäßigerweise bei Raum-temperatur. Der Thermostat ist einzuschalten,die Solltemperatur wird auf einen Wert unterRaumtemperatur gestellt, damit der Thermo-stat nur umwälzt. Falls erforderlich, muss vorder Messung ein Temperaturausgleich zwi-schen Thermostat und Viskosimeter abgewar-tet werden (etwa 10 min). Danach wird die Temperatur schrittweise (inSchritten von etwa 5 K) bis auf 50°C erhöhtund die Fallzeiten werden bestimmt. Nachjedem Erreichen der Solltemperatur amThermostaten muss mindestens noch weitere5 Minuten abgewartet werden ehe mit derMessung begonnen wird, damit auch dieFlüssigkeit im Messzylinder die Temperatur

des umgebenden Wasserbades annimmt.Während dieser Wartezeit soll die Kugeleinmal (ohne Zeitmessung) die Fallstreckedurchlaufen.

5 Auswertung

Berechnen Sie die Mittelwerte und die statisti-schen Unsicherheiten der gemessenen Fall-zeiten, sowie aus den mittleren Fallzeitenjeweils die Viskosität η nach Gleichung (12).Stellen Sie η als Funktion der Temperaturgrafisch dar.

Die Dichte der Kugel ρ1 und der Wert derKonstanten K sind der am Messplatz aus-liegenden Prüfbescheinigung zu entnehmen(Kugel Nr 4).Dichte von Rhizinusöl: ρ2 = 0,96 g cm -3

Stellen Sie ln(η) in Abhängigkeit von 1000/Tgrafisch dar („Arrhenius-Plot”; T in Kelvin).Bestimmen Sie EA entsprechend Gl.(14) ausdem mittels linearer Regression ermitteltenAnstieg der Kurve und diskutieren Sie dasErgebnis. Um die Größenordnung zu beur-teilen, sollte man EA nicht in J sondern besserin eV und in kJ/mol angeben!

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a. 2006

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, SpringerBerlin, 2010

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.IV. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Wodurch unterscheiden sich reale undideale Flüssigkeiten?

7.2 Wie ist die Viskosität definiert undwelche Messverfahren gibt es dafür?

7.3 Wie beeinflusst innere Reibung dieStrömung in einem Rohr?

Wärmelehre W 10 Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS

26

.L L

MD

M

(2)

g28,97 .

molM D (3)

LA LF V g m g

(4)

38gcmL L

a am g m g m g m g

(5)

3

1.

1 8gcmL

a

L

m m

(6)

1 1

2 2

.M

M

(1)

1 Aufgabenstellung

Die relative Dampfdichte und die Molmassevon Ethanol sind zu bestimmen.


Nach der Formulierung des AVOGADROschenGesetzes 1811 (alle Gase besitzen bei glei-chem p und T die gleiche Teilchenzahl proVolumen) leistete JEAN B. A. DUMAS mit sei-nem Verfahren zur Bestimmung der Dampf-dichte 1826 einen wichtigen Beitrag auf demWeg zum Periodensystem der Elemente(MENDELEJEW 1869). Das Verfahren besitztheute keine praktische Bedeutung mehr,eignet sich aber gut zu Übungszwecken.

Die Dichten zweier idealer Gase verhaltensich wie ihre Molmassen:

Die relative Dampfdichte D eines Gases istdas Verhältnis der Dichte ρ des Gases zurLuftdichte ρL bei gleicher Temperatur undgleichem Druck:

Die Molmasse von Luft beträgt 28,97 g/mol,somit gilt:

Die Molmasse M eines Stoffes kann mit Hilfeder Bestimmung der relativen Dampfdichte Dermittelt werden.Zur Bestimmung der Massen wird eine elek-tronische Analysenwaage verwendet. Bei sehrgenauen Wägungen (wenn eine relativeGenauigkeit besser als 10-3 erwünscht ist)muss die Auftriebskraft berücksichtigt wer-

den, die der zu wägende Körper der Masse mund Dichte ρ in Luft mit der Dichte ρL erfährt.Die Auftriebskraft FA ist gleich der Gewichts-kraft der vom Körper verdrängten Luft:

V = m/ρ: verdrängtes Volumen; g = 9,81 m/s².

Ebenso erfährt das Prüfgewicht bei der Justie-rung der Waage einen Auftrieb. Die Dichtevon Prüfgewichten für Präzisionswagen iststandardisiert und beträgt 8000 kg/m3. Bezeichnet man die Anzeige der Waage mitma , so ist wegen des Kräftegleichgewichts

bzw.

Bei dem Verfahren nach DUMAS zur Be-stimmung der Dampfdichte befindet sich ineinem Glaskolben mit angesetztem Rohrzunächst Luft der Umgebungstemperatur T1.Nun wird eine ausreichende Menge der zuuntersuchenden Substanz (Ethanol) in denKolben gegeben und im Wasserbad erhitzt, bissie restlos verdampft ist. Dabei verdrängt derEthanoldampf die im Kolben verbliebene Luft,so dass am Ende der Kolben vollständig mitEthanoldampf der Temperatur T2 des Wasser-bades gefüllt ist. In diesem Zustand wird derKolben durch Abschmelzen verschlossen,abgekühlt und gewogen. Danach wird derKolben unter luftfreiem Wasser geöffnet.Dabei füllt das einströmende Wasser denKolben fast vollständig; anhand seiner Massekann das Volumen des Kolbens bestimmtwerden.Der Glaskolben habe die Masse mk, die Dichteρk und das innere Volumen V. Mit ihm sind imVerlauf des Experimentes drei Wägungen

Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS W 10


27

22

1

.E E

T

T (13)

2 1 3 2

2

3 1 1

w

E L

L

m m m mT

Dm m T

(14)1 3

1

1 8 gcmL K

k

L

m m

(7)

0 1 0

0 1

L

p T

p T

(15)

2 3

22 3

1

1 8 gcm

1

1 8 gcm

L Kk

L

L EE

L

m m

V

(8)

3 3

3

1

1 8gcm

1

1 8gcm

L Kk

L

L WW

L

m m

V

(9)

2 1 3 2

2

3 1

.

w

E L

L

m m m m

m m

(10)

1 1 2 2

1 2

p V p V

T T

(11)

1 2

1 1 2 2

.p p

T T

(12)

durchzuführen; m1, m2 und m3 bezeichnen dievon der Waage angezeigten Werte:

1. Wägung: offener Kolben mit Luft bei derTemperatur T1:

2. Wägung: verschlossener Kolben mitEthanol, ρE2 = Dichte von Ethanoldampf beider Temperatur T2:

3. Wägung: Kolben mit Wasser gefüllt, ρw =Dichte des Wassers bei T3 (T3T1):

Aus den Gleichungen (7), (8) und (9) folgt:

Da die relative Dampfdichte D das Verhältnisder Dichten bei gleicher Temperatur undgleichem Druck ist, muss die Dichte vonEthanol entsprechend umgerechnet werden.Es gilt (für ideale Gase):

bzw.

Mit T1 der Raumtemperatur, T2 der Tempera-tur des gasförmigen Ethanols und p1 = p2

ergibt sich für die Ethanoldichte ρE bei T1:

Aus Gleichung (10) wird damit:

Die Dichte der Luft für die RaumtemperaturT1 und den Luftdruck p1 berechnet man nach

mit ρ0 = 0,001293 g /cm³: Dichte der Luft beiT0 = 273,15 K (= 0°C) und p0 = 101325 Pa.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Kolben mit Ansatzrohr- Stativ mit Halterung für den Kolben- Bunsenbrenner- Kocher mit Wassertopf- Wasserbehälter mit Thermometer- Pinzette- Fläschchen mit Ethanol (Reinheit 99,5 %)- 2 Waagen (0,1 mg und 0,1 g)

3.1 Für die 1. und 2. Wägung wird eineelektronische Analysenwaage mit einer Ge-nauigkeit von 0,1 mg, für die 3. Wägung(Kolben mit Wasser) eine Waage mit einerGenauigkeit von 100 mg verwendet.Für das Füllen des Kolbens mit Wasser (3.Wägung) steht ein großer, mit Wasser gefüll-ter Behälter zur Verfügung. Es darf keinfrisches Leitungswasser verwendet werden, dadieses noch gelöste Gase enthält.


Arbeitsschutzhinweise:Arbeiten Sie nicht unmittelbar neben deroffenen Flamme mit Ethanol!


28

Nachdem der Kolben in 4.2 aus demWasserbad entnommen wurde, darf ernicht wieder in die Flamme gehaltenwerden! Bei Undichtigkeiten könnte Luftangesaugt werden; Gemische von 3,5…15Vol% Ethanoldampf mit Luft sind ex-plosiv!Während der Arbeit mit dem Brenner istdie Schutzbrille zu tragen!

Das Ansatzrohr des Kolbens wird am offenenEnde mit dem Bunsenbrenner erhitzt und dasRohrende mit der Pinzette zu einer Kapillareausgezogen. Die Kapillare wird an geeigneterStelle mit der Pinzette abgebrochen, optimalist ein Durchmesser von etwa 0,5 mm an derÖffnung. Die Masse des offenen Kolbens (mitLuft) ist zu bestimmen: 1. Wägung (m1).

Zum Einfüllen von etwa 2 ml Ethanol in denKolben wird dieser leicht erwärmt, die Kapil-lare in das Ethanol eingetaucht und dasEthanol durch Abkühlung des Kolbens an-gesaugt. Der Kolben ist nun mit der Halterungin das Wasserbad zu bringen, wobei derkugelförmige Teil des Kolbens völlig unter-tauchen muss. Das Wasser wird mit demKocher bis zum Sieden erwärmt; es muss biszum Abschmelzen der Kapillare weiter sieden.Wenn das Ethanol vollständig verdampft ist(aus der Kapillare strömt nichts mehr aus),wird die Öffnung der Kapillare mit demBunsenbrenner zugeschmolzen.Nach Trocknung und Abkühlung wird dieMasse des geschlossenen Kolbens mit Ethanolbestimmt: 2. Wägung (m2).

Danach bringt man den Kolben in den großen,mit Wasser gefüllten Behälter und bricht dieSpitze unter Wasser ab. Der Kolben füllt sichmit Wasser, wobei das Ansatzrohr immerunter Wasser bleiben muss!

Die Masse des abgetrockneten Kolbens mitWasser ist zu bestimmen: 3. Wägung (m3).Außerdem sind die Werte für die Raum-temperatur T1 , die Wassertemperatur T3 undden Luftdruck p1 zu ermitteln.

5 Auswertung

Die Siedetemperatur des Wassers T2 beimherrschenden Luftdruck p1 und die Dichte desWassers ρw bei der Temperatur T3 sind ausTabellen zu entnehmen. Die relative Dampfdichte D wird mit Hilfe derGleichungen (14) und (15) berechnet und dieMolmasse M wird nach Gleichung (3) er-mittelt.In der Fehlerbetrachtung sollen nicht nur dieUnsicherheiten der Messungen sondern auchalle systematischen Fehlerquellen (Es gibtmehrere!) quantitativ abgeschätzt werden.

6 Literatur

Ilberg: Physikalisches Praktikum. B.G. Teub-ner 1974

7 Kontrollfragen

7.1 Bei der 2. Wägung (nach dem Abschmel-zen) ist zu beobachten, dass sich Flüssigkeitim Kolben befindet. Warum?

7.2 Warum wird zum Füllen des Kolbens vorder 3. Wägung kein (frisches) Leitungswasserbenutzt, sondern abgestandenes Wasser auseinem Behälter?

7.3 Nach dem Füllen bleibt eine kleineGasblase im Kolben. Warum? Schätzen Sieden Fehler ab, der dadurch entsteht!

Wärmelehre W 12 Luftfeuchtigkeit

29

U TT . (1)

Abb.1: Kupfer-Konstantan-Thermoelement

fm

Va

d . (2)

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Kupfer-Konstantan-Thermoelementist zu kalibrieren.

1.2 Die relative Luftfeuchtigkeit ist mit Hilfeeines Taupunkt-Hygrometers zu bestimmen.

1.3 Das RAOULTsche Gesetz (Dampfdruck-erniedrigung in Lösungen) ist qualitativ zubestätigen.


2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempera-turgradienten eine elektrische Potentialdiffe-renz erzeugt (absoluter SEEBECK-Effekt), diejedoch nicht unmittelbar messbar ist. Verein-facht gesehen, verhalten sich die Ladungs-träger im Leiter wie die Teilchen eines idealenGases: Ladungsträger von der wärmeren Seitemit höherer kinetischer Energie diffundierenschneller zur kalten Seite als umgekehrt; aufdiese Weise entsteht auf der kalten Seite einÜberschuss an Ladungsträgern, der durch dieentstehende Potentialdifferenz begrenzt wird.Verbindet man zwei verschiedene Leiter, z. B.Kupfer und Konstantan wie in Abb.1, zueinem Stromkreis und bringt die beidenKontaktstellen auf verschiedene Temperatu-ren T0 und T1, so entstehen in den beidenLeitern unterschiedliche innere Potentiale.

Zwischen den Punkten A und B tritt dieDifferenz der beiden Potentiale auf, diesogenannte Thermospannung UT. Dies wirdals SEEBECK-Effekt bezeichnet.(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungenzwischen verschiedenen Leitern im Strom-kreis, also die Punkte A und B und das Mess-gerät, isotherm sein.) In vielen älteren Lehrbüchern wird die Ther-mospannung falsch als „Kontaktspannung“erklärt. Dies ist nicht richtig! (siehe Litera-turhinweis)

Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ΔT =T1 - T0 :

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie sind preiswert,schnell (kleine Wärmekapazität) und bietenden Vorteil, dass sich die Thermospannungenunmittelbar als Eingangssignale für Computer,Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Luftfeuchtigkeit nennt man den Gehaltder Luft an Wasserdampf. Die absolute Luftfeuchtigkeit fa ist dieWasserdampfmasse md pro Volumen V derLuft:

Die relative Luftfeuchtigkeit fr ist das Ver-hältnis der vorhandenen Wasserdampfmengezur Sättigungsmenge bzw. das Verhältnis desvorhandenen Dampfdruckes pd zum Sätti-gungsdampfdruck pS bei der vorliegendenTemperatur T :

Luftfeuchtigkeit W 12


30

fp

pr

d

S

. (3)

fp T

p T

p

p Tr

d

S

S

S

( )

( )

( )

( ).

(5)

p

p

p p

px

n

n nS

S S L

S

,.2

1 2

(4)

Die relative Luftfeuchtigkeit wird meist inProzent angegeben.In einem geschlossenen Gefäß, in dem sichreines Wasser und darüber Luft befinden,verdampft ein Teil des Wassers, bis der Raumoberhalb der Flüssigkeit mit Wasserdampfgesättigt ist. Es bildet sich im thermodyna-mischen Gleichgewicht der Sättigungsdampf-druck pS aus, der nur von der Art der Flüs-sigkeit (hier Wasser) und von der Temperatur(etwa exponentiell) abhängt. Die relativeLuftfeuchtigkeit beträgt in diesem Fall 100 %.Ist die Flüssigkeit im geschlossenen Gefäßeine wässrige Lösung, so ist der Sättigungs-dampfdruck über der Lösung entsprechenddem RAOULTschen Gesetz um Δp verringert.Diese Dampfdruckerniedrigung ist unabhängigvon der Art des gelösten Stoffes, sie hängt nurvon der Anzahl der gelösten Teilchen ab:

Dabei ist x der Molenbruch des gelöstenStoffes (n2: Menge der gelösten Teilchen, n1:Teilchenmenge des Lösungsmittels), pS ist derSättigungsdampfdruck des reinen Lösungs-mittels und pS,L der der Lösung. Bei derBestimmung von x muss die Dissoziation desgelösten Stoffes berücksichtigt werden. DasRaoultsche Gesetz gilt nur für n2 n1, beihöheren Konzentrationen x ist die beobachteteDampfdruckerniedrigung geringer. Infolge desRaoultschen Gesetzes ist die Luftfeuchtigkeitüber einer Lösung kleiner als 100 %.

Ist bei der Temperatur T die Luftfeuchtigkeitim Raum kleiner als 100 %, so kann man100 %ige Luftfeuchtigkeit erreichen, indemman die Temperatur erniedrigt. Ab einerbestimmten Temperatur τ, dem Taupunkt,kondensiert der Wasserdampf und scheidetsich z. B. auf einer Oberfläche ab. Dies dientzur Messung der Luftfeuchtigkeit mit einemTaupunkthygrometer: Anhand der Tempera-

tur τ kann der zugehörige Sättigungsdampf-druck pS(τ) ermittelt werden, der gleich demDampfdruck pd(T) ist. Die relative Luftfeuch-tigkeit fr ergibt sich dann aus

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Taupunkthygrometer (Alu-Grundkörper

mit Peltierkühler, Metallspiegel, Thermo-element und Lichtschranke, Abdeckhaube)

- Steuergerät für Lichtschranke- Stromversorgungsgerät für Peltierkühler- Kupfer-Konstantan-Thermoelement, eine

Lötstelle in Röhrchen mit Gallium- Becherglas, Isoliergefäß, flache Schale- Flasche mit 3 molarer CaCl2-Lösung- Sensor-Cassy mit μV-BOX

- Computer, CassyLab-Software

3.1 Zur Kalibrierung des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes dienen zweiFixpunkte: der Schmelzpunkt von Wasser undder von Gallium (TS = 29,76 °C). Die Ther-mospannung wird mittels Sensor-Cassy/μV-Box und Computer gemessen.

Eine Kurzanleitung zur Benutzung der Cassy-Lab Software befindet sich im Anhang.

3.2 Das Taupunkthygrometer (Abb.2) besitzteine abkühlbare, spiegelnde Metallfläche(polierter Aluminiumblock), deren Tempera-tur gemessen und deren Bedeckung mitkondensiertem Wasserdampf beobachtetwerden kann. Zur Temperaturerniedrigungdient ein Halbleiterkühlelement (Nutzung desPeltier-Effektes), das mit Hilfe eines Strom-versorgungsgerätes als Konstantstromquellemit 0,1...1 A betrieben wird. Die Temperatur-messung erfolgt mit einem Kupfer-Konstantan-Thermoelement, dessen Mess-stelle sich im Aluminiumblock befindet unddie Vergleichsstelle bei 0°C in einem Eis-


31

Abb.2: Versuchsaufbau zur Be-stimmung der Luftfeuchte

Wasser-Gemisch. Die Thermospannung wirdmit der μV-Box des Sensor-Cassy gemessenund mit Hilfe des Computers registriert.Zur reproduzierbaren Beobachtung derWasserdampf-Kondensation dient eine Reflex-lichtschranke mit Anzeige-LED und Relais-ausgang. Das Relais der Lichtschranke er-möglicht eine einfache Temperaturregelungzum Erreichen des Taupunktes, indem es denKühlerstrom entsprechend der Betauung desSpiegels automatisch ein- und ausschaltet.

3.3 Das Taupunkthygrometer befindet sichzusammen mit einer Schale mit Wasser bzw. 3molarer CaCl2-Lösung unter einer Plastikhau-be.


4.1 Die Schaltung wird entsprechend Abb. 1aufgebaut. Als Spannungsmesser dient dieμV-Box des Sensor-Cassy. Starten Sie dasProgramm CASSYLab-W12 erst, nachdemdas Messgerät mit Strom versorgt ist. AlleEinstellungen im Programm (Messbereich,Messintervall etc.) sind bereits richtig vor-eingestellt. Mit der Taste F9 oder Mausklick

auf wird die Aufzeichnung einer Mess-reihe gestartet und auch wieder beendet.

Das Isoliergefäß wird mit gestoßenem Eis und(nicht zuviel) Wasser gefüllt, das Becherglasmit heißem Wasser. Die Vergleichs-Lötstelledes verwendeten Thermoelements wird in dasEis-Wasser-Gemisch getaucht. Zur Kalibrie-

rung des Kupfer-Konstantan-Thermoelemen-tes wird eine Messreihe gestartet und dasRöhrchen mit Gallium in das heiße Wassergetaucht. Bei einer Temperatur von T1 =29,76°C schmilzt das Gallium, so dass dieSpannungs-Zeit-Kurve einen Haltepunktaufweist, bis das gesamte Gallium geschmol-zen ist. Bringt man danach das Röhrchen indas Becherglas mit dem Eis-Wasser-Gemisch,so zeigt der Spannungsverlauf bei T1 =29,76°C wieder einen Haltepunkt (evtl. erstnach einer Unterkühlung der Galliumschmel-ze). Aus dem Mittelwert der Haltepunktebeim Schmelzen und beim Erstarren desGalliums wird mit (1) der Seebeck-Koeffizientα des Kupfer-Konstantan-Thermoelementesberechnet.

4.2 Die Versuchsanordnung ist entsprechendAbb.2 aufzubauen. Die Vergleichs-Lötstelledes Thermoelements des Taupunkthygro-meters muss sich im Eis-Wasser-Gemischbefinden. Die Thermospannung wird wieunter 4.1 mit Hilfe des Computers registriert.Der Schaltzustand der Lichtschranke wirddurch eine LED signalisiert. Die Komparator-schwelle wird so eingestellt, dass bei nichtbeschlagenem Spiegel gerade noch Reflexionangezeigt wird (LED leuchtet), bei beschlage-nem Spiegel jedoch die LED erlischt. Die Stromversorgung des Kühlers wird ersteinige Zeit nach dem Start einer Messreihe inCassyLab eingeschaltet, um auch die Thermo-spannung bei Raumtemperatur zu registrieren.Ein geeigneter Kühlerstrom (maximal 1 A) istmittels Stromregler einzustellen. Die LED der


32

n nV n M

M1

H2O

CaCl2 CaCl2

H2O

. (7)

m m

V

n M n M

V

CaCl2 H2O

CaCl2 CaCl2 H2O H2O .

(6)

n n2 3 CaCl2 . (8)

Lichtschranke leuchtet. Wenn der Taupunktunterschritten wird, erlischt die LED und derKühlerstrom wird durch das Relais unterbro-chen. Die Temperatur im Taupunkthygro-meter steigt wieder; der Belag auf der Spie-gelfläche verdampft, so dass die LED wiederaufleuchtet und der Kühler automatischwieder eingeschaltet wird. Auf diese Weiseergeben sich „Regelschwingungen“ um dieThermospannung, die dem Taupunkt ent-spricht. Die Regelung funktioniert am besten,wenn der Kühlerstrom so eingestellt wird,dass Abkühl- und Aufheizgeschwindigkeitetwa gleich sind. (Warum?) Es werden etwa10 Regelschwingungen aufgezeichnet. NachBeendigung der Messung ist der Kühlerauszuschalten.Die Thermospannung am Taupunkt kanndurch Mittelwertbildung im Programm Cassy-Lab bestimmt werden.

4.3 Zum Nachweis des Raoultschen Ge-setzes wird neben das Hygrometer eine Schalemit Wasser gestellt, dessen Temperatur gleichder Raumtemperatur ist. Hygrometer undWasserschale werden gemeinsam mit derPlastikhaube abgedeckt. Die Luftfeuchtigkeitunter der Haube wird nun langsam bis aufnahezu 100 % ansteigen. Nach 20…30 minwird die Messung gestartet und der Kühler-strom eingeschaltet (günstig sind hier etwa0,1…0,3 A). Die Thermospannung wirdsolange aufgezeichnet, bis sich der Taupunktnicht mehr ändert (etwa 5 min). Der Versuch wird wiederholt, wobei dieSchale nun mit 3 molarer CaCl2-Lösunggefüllt ist. Die o.g. Wartezeit ist wiedereinzuhalten; die Messkurve wird in das selbeDiagramm geschrieben.Die Thermospannungen am Taupunkt werdendurch Mittelwertbildung im Programm Cassy-Lab bestimmt.

Die CaCl2-Lösung wird nach Versuchsendewieder in die Flasche zurück gefüllt!

5 Auswertung

5.1 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Der Seebeck-Koeffizient α des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes ist nach Gl. (1)zu berechnen.

5.2 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Die Raumtemperatur und der Taupunktsind aus UT zu ermitteln. Die relative Luft-feuchtigkeit fr wird nach (5) berechnet, wobeidie Sättigungsdampfdrücke der beiliegendenTabelle entnommen werden.

5.3 Die Taupunkte und die relativen Luft-feuchtigkeiten über Wasser und 3 molarerCaCl2-Lösung (Dichte: 1,25 g cm-3, Dissozia-tionsgrad 100%) werden wie unter 5.2 er-mittelt. Die durch Dampfdruckerniedrigungnach dem Raoultschen Gesetz zu erwartendeLuftfeuchtigkeit über der CaCl2-Lösung istmit Hilfe Gl. (4) zu berechnen. Die gemesse-nen Luftfeuchtigkeiten sind mit den theore-tisch erwarteten Werten zu vergleichen.

Hilfe zur Berechnung des Molenbruches:mCaCl2 und mH2O sind die Massen, nCaCl2 undnH2O die Stoffmengen und MCaCl2 und MH2O

die Molmassen der CaCl2- und der H2O-Moleküle in V = 1 l Salzlösung. Dann ist dieDichte der Lösung

Daraus ergibt sich die Teilchenmenge desLösungsmittels

Wegen der Dissoziation ist die Menge dergelösten Teilchen

Wärmelehre W 16 Wärmeleitung von Metallen

33

Abb. 1: Stationärer Temperaturgradient

ddQt

(1)

ATx

dd

. (2)

J m

s m KW

K m .2 (3)

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1 Mechanik, Akustik, Wär-me. de Gruyter, Berlin u.a., 2008

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a.. 2006

http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie die Entstehung von Wetter-erscheinungen wie Regen, Nebel, Tau!

7.2 Wie funktioniert ein Thermoelement?

7.3 Bei welcher Temperatur siedet eineSalzlösung (in Wasser)?

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit vonEisen und Messing nach dem stationärenAbsolutverfahren.

1.2 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit vonMessing nach dem stationären Vergleichs-verfahren.

2 Grundlagen

Auf der ungeordneten, thermischen Bewe-gung der Moleküle eines Körpers (BROWN-sche Bewegung) beruhen zwei grundlegendephysikalische Phänomene, die allgemein alsTransportvorgänge bezeichnet werden: dieWärmeleitung und die Diffusion. Während bei der Wärmeleitung thermischeEnergie vom wärmeren zum kälteren Bereichtransportiert wird, handelt es sich bei derDiffusion um einen auf einen Konzentrations-ausgleich gerichteten makroskopischenTeilchenstrom. Beide Prozesse sind mit einerZunahme an Entropie verbunden.Als Wärmestrom

bezeichnet man die pro Zeiteinheit trans-portierte Wärmemenge Q.Besteht in einem Material ein Temperatur-

gradient (in x-Richtung), so fließt durch einenQuerschnitt A der Wärmestrom

Das Minuszeichen in (2) berücksichtigt, dassdie Wärmeleitung entgegengesetzt zumTemperaturgradient erfolgt. Die Materialkon-stante λ heißt Wärmeleitfähigkeit und hat dieSI-Einheit

Wärmeleitung von Metallen W 16


34

Abb.2: Messanordnung zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit

A

T T

x x2 1

2 1

. (4)

T UT 1

(5)

Gleichung (2) ist analog zum 1. FICKschenGesetz der Diffusion (siehe Versuch W25).In Abb.1 sind zwei Wärmereservoire unter-schiedlicher aber fester Temperatur T1 und T2

(T1 > T2) gezeigt, die über einen Stab derLänge Δx = x2 - x1 thermisch miteinanderverbunden sind. Nach einiger Zeit stellt sichein stationäres Temperaturgefälle (T2-T1)/(x2-x1) über die gesamte Stablänge ein, d. h. derTemperaturgradient dT/dx = ΔT/Δx ist orts-unabhängig und der Wärmestrom ist zeitlichkonstant. Damit wird aus (2):

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Anordnung von Metallstäben mit Thermo-

elementen und Heizung (Abb.2)- Stromversorgungsgerät- 2 Vielfachmesser- Nanovoltmeter- Messstellenumschalter- Verbindungsleitungen

- Thermometer

3.1 Den Aufbau der Messanordnung zeigtAbb.2. Mit Hilfe des Heizers wird ein kon-stanter Wärmestrom Φ erzeugt, der durch denEisen- und Messingstab in die große Metall-platte (großes Wärmereservoir) fließt und sofür ein nahezu konstantes Temperaturgefällesorgt. Mit Hilfe der fest eingebauten Kupfer-Konstantan-Thermoelemente werden dieTemperaturdifferenzen ΔT = T2 - T1 ent-sprechend (4) gemessen, Δx ist der Abstandzwischen den Lötstellen der Thermoelemente.Die Temperaturdifferenzen ergeben sich ausden mit einem hochempfindlichen Nanovolt-meter gemessenen Thermospannungen UT

entsprechend

(siehe auch Versuch E10). Der schwachtemperaturabhängige Seebeck-Koeffizient αist einer Grafik zu entnehmen; die mittlereTemperatur der Thermoelemente ist hierfür zuschätzen.


35

U I . (6)

U I x

A T

. (7)

Fe

Fe Fe

Fe

A T

x. (8)

Ms Fe

Fe Fe Ms

Ms Ms Fe

A T x

A T x

. (9)


Die Schaltung nach Abb.2 wird aufgebaut.Die Messungen werden bei zwei verschiede-nen Heizleistungen durchgeführt. Zuerst wirdeine Heizspannung von etwa 10 V eingestellt.Alle 2 Minuten sind die ThermospannungenUT, Fe und UT, Ms der beiden Thermoelementezu protokollieren. Nach Erreichen des statio-nären Zustandes (nach mindestens 30 Minu-ten) sind die Temperatur am Messaufbausowie Strom I und Spannung U am Heizer zumessen.Die Messung wird bei einer Heizspannungvon etwa 20 V wiederholt. Dabei muss wiederder stationäre Zustand abgewartet werden.

5 Auswertung

Für beide Messungen (10 V und 20 V) sinddie Thermospannungen UT, Fe und UT, Ms inAbhängigkeit von der Zeit graphisch dar-zustellen und zu diskutieren.Die Temperaturdifferenzen ΔTFe und ΔTMs imstationären Zustand sind nach Gl. (5) zuermitteln, wobei der Seebeck-Koeffizient αbei der geschätzten mittleren Temperatur desEisen- bzw. des Messingstabes eingesetztwerden muss.

Zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit gibtes bei der gegebenen Versuchsanordnungzwei Möglichkeiten:

5.1 Beim stationären Absolutverfahren gehtman davon aus, dass die elektrisch erzeugteHeizleistung nahezu vollständig durch Wär-meleitung durch den Eisen- und Messingstaban die Grundplatte abgeführt wird:

Damit ergibt sich aus (4):

5.2 Beim stationären Vergleichsverfahrennutzt man die Tatsache, dass der Eisen- undder Messingstab thermisch in Reihe geschaltet

sind. Sie werden im stationären Zustand vomgleichen Wärmestrom durchflossen. Ist dieWärmeleitfähigkeit von Eisen bekannt, soergibt sich der Wärmestrom zu

Setzt man Φ in Gleichung (4) ein, so erhältman

Die Wärmeleitfähigkeiten von Eisen undMessing sind für beide Heizleistungen nachbeiden Verfahren (5.2 nur für Messing) zuberechnen.Die Ergebnisse sind miteinander und mitLiteraturwerten zu vergleichen. Die für beideVerfahren unterschiedlichen systematischenFehler sind abzuschätzen.

Für die Berechnung sind folgende Werte zuverwenden:dFe = dMs = 30 mm (Durchmesser der Stäbe)

ΔxFe = 4,0 cm; ΔxMs = 5,0 cm

λFe = 52,3 W m-1 K-1 (für 5.2).

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1 Mechanik, Akustik, Wär-me. de Gruyter, Berlin u.a., 2008


7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Wärmeleitung? Welche Prozessespielen dabei eine Rolle?

7.2 Welche systematischen Fehler erkennenSie in der Messanordnung?

7.3 Erklären Sie die Funktionsweise einesThermoelements!

Wärmelehre W 21 Reales Gas

36

p V N k T n R T (1)

p V R Tm . (2)

pn a

VV nb n R T

2

2 (3)

pa

VV b R T

mm

2 . (4)

Abb.1: Isothermen eines realen Gases nachVAN DER WAALS (Clapeyron-Diagramm)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Isothermen eines realen Gases(Schwefelhexafluorid SF6) sind für fünfverschiedenen Temperaturen aufzunehmenund der kritische Punkt ist aufzusuchen.

1.2 Aus den Messdaten sind die kritischenDaten pk, Vk und Tk, die Stoffmenge und dievan-der-Waals-Koeffizienten zu ermitteln.

1.3 Aus der Dampfdruckkurve pS(T) ist diespezifische Verdampfungswärme zu be-stimmen.

2 Grundlagen

Im Modell des idealen Gases werden dieGasteilchen als Punktmassen betrachtet, dienur durch ihre Masse und ihre Geschwindig-keit charakterisiert werden. Mit Hilfe derkinetischen Gastheorie findet man in diesemsehr einfachen Modell die Beziehung

zwischen den Zustandsgrößen Druck p,Volumen V und Temperatur T . Dabei bedeuten N : Teilchenanzahl k : Boltzmannkonstante n : Stoffmenge R = NA k : molare Gaskonstante NA : Avogadrokonstante

Führt man das Molvolumen Vm = V / n ein, sovereinfacht sich (1) zu

In vielen Fällen wird das Verhalten realerGase durch (2) recht genau beschrieben. Beigroßen Dichten (d. h. große Drücke oderkleine Temperaturen) gibt es jedoch deutlicheAbweichungen vom “idealen” Verhalten, diedurch das in diesem Fall nicht mehr ver-nachlässigbare Eigenvolumen der Teilchen

und durch die vor allem bei kleinen Abständenmerklichen attraktiven Wechselwirkungenzwischen den Teilchen hervorgerufen werden.Um zu einer für reale Gase besser geeigneteZustandsgleichung zu gelangen, muss man in(1) bzw. (2) entsprechende Korrekturenanbringen. Damit erhält man die Zustandsglei-chung nach VAN DER WAALS

bzw. mit Hilfe des Molvolumens vereinfacht

Die Korrekturen berücksichtigen den Binnen-druck (Kohäsionsdruck) a/Vm

2 sowie das vander Waals'sche Kovolumen b (das vierfacheEigenvolumen der Teilchen, welches für ihreBewegung nicht zur Verfügung steht).Die van-der-Waals-Gleichung beschreibt auchnoch die flüssige Phase zufriedenstellend. DieIsothermen im p-V-Diagramm (Abb.1) sindHyperbeln 2. Grades. Für Temperaturen

Reales Gas W 21


37

a p V b Vk m k m k 313

2, ,, (5)

limV

p V n R T

(6)

Q Tdp

dTV VG Fl (7)

Abb.2: Gerät zur Untersuchung des kriti-schen Punktes

T1 < Tk verläuft eine reale Zustandsänderungim Thermodynamischen Gleichgewicht zwi-schen den Punkten A und B entlang einerGeraden (der “Maxwellgeraden”). Dabeikondensiert das Gas zur flüssigen Phase; in Aist nur Gas, in B nur Flüssigkeit vorhanden.Für T = Tk entartet der Bereich zwischen Aund B zu einem Punkt. Oberhalb Tk, derkritischen Temperatur, findet kein Phasen-übergang mehr statt. Der graue Bereich inAbb.1 kennzeichnet das Koexistenzgebiet vonFlüssigkeit und Gas.

Am kritischen Punkt verschwinden die Unter-schiede in den physikalischen Eigenschaftenzwischen Flüssigkeit und Gas. Aus den kritischen Zustandsgrößen pk, Vk undTk, die experimentell bestimmt werden kön-nen, lassen sich die van-der-Waals-Koeffizien-ten a und b bestimmen. In diesem Punkt sind

1. und 2. Ableitung und Null

p

V

2

2

p

V

(Horizontalwendepunkt). Aus Gl.(4) folgtdamit:

mit Vm,k = Vk / n.Die Stoffmenge n kann mit Hilfe folgenderÜberlegung bestimmt werden: Mit wachsen-der Verdünnung (V ) nähern sich dieEigenschaften des realen Gases denen desidealen Gases immer mehr an. Es gilt also

Trägt man pV über 1/V graphisch auf undextrapoliert nach 1/V = 0 (gleichbedeutendmit V ), so kann man aus (6) die Stoff-menge n berechnen.

Im Bereich der Koexistenz von flüssiger undgasförmiger Phase herrscht (im thermodyna-mischen Gleichgewicht) ein konstanter Druck.Dieser heißt Sättigungsdampfdruck pS; erhängt von der Temperatur (und natürlich vomStoff) ab. Trägt man die bei verschiedenenTemperaturen gemessenen Sättigungsdampf-

drücke über der Temperatur auf, so erhältman die Dampfdruckkurve.Mit der CLAUSIUS-CLAPEYRON-Gleichung

kann aus der Dampfdruckkurve p(T ) und derDifferenz zwischen Gas- und Flüssigkeits-volumen (siehe Abb.1) die Verdampfungs-wärme Q bestimmt werden. Am kritischenPunkt wird VG = VFl , folglich wird die Ver-dampfungswärme dort Null. Für VG VFL istsie dagegen näherungsweise konstant.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Gerät zur Untersuchung des kritischen

Punktes - Umwälzthermostat

3.1 Das Gerät zur Untersuchung des kriti-schen Punktes (Abb.2) besteht aus einer mitQuecksilber gefüllten Kompressionskammermit aufgesetztem Messrohr aus besondersdruckfestem Glas. Das zu untersuchende Gas


38

SF6 wird mit einem Handrad in dieses Rohrhinein komprimiert. Am Messrohr ist eineSkale zur Volumenmessung angebracht, mitder Kompressionskammer verbunden ist einManometer zum Messen des Druckes bismaximal 50 bar = 50 105 Pa.Das Messrohr ist von einer transparentenWasserkammer umgeben, welche die Be-obachtung des Testgases gestattet. Die Tem-peratur des Wassers kann mit Hilfe des Um-wälzthermostaten geregelt und mit einem (inAbb.2 nicht gezeigten) genauen Thermometergemessen werden.

Die kritische Temperatur von SF6 ist 45,6 °C.


Achtung!

Der Maximaldruck von 50 bar darf nichtüberschritten werden. Die Temperaturdarf 60 °C nicht übersteigen.

Nach Beendigung des Versuches ist einVolumen von etwa 4 cm3 einzustellen.

Die Isothermen sollen bei 4 Temperaturenunterhalb und einer oberhalb des kritischenPunktes aufgenommen werden (etwa 24 °C,31 °C, 38 °C, 45 °C und 55 °C). Warten Sienach Erreichen der Solltemperatur noch einigeMinuten, bis das Gas in dem dickwandigenGlasrohr die Temperatur der Umgebungangenommen hat.Beginnen Sie mit der Messung von p und Vbei V = 4 ml und verringern Sie das Volumenanfangs in Schritten von 0,4 ml. Bei V < 2 mlsollte die Schrittweite auf 0,2 ml und in derUmgebung der Punkte A und B (Abb.1) auf0,1 ml oder noch kleinere Werte verringertwerden. Die Messreihen sind bis zu einemDruck von annähernd 50 bar fortzusetzen(letzter Messpunkt: p = 50 bar einstellen undV ablesen).Beobachten Sie die Effekte, die in der Nähedes kritischen Punktes auftreten. Beschreibenund erklären Sie Ihre Beobachtungen. Variie-ren Sie hierzu die Temperatur geringfügig(höchstens ± 1 K) um den kritischen Wert.

Versuchen Sie, durch geschicktes Experimen-tieren die Veränderung bis nahe an das völligeVerschwinden der Phasengrenze zu verfolgen.Folgendes können Sie unter Anderem be-obachten: übersättigten Dampf, kritischeOpaleszenz, Verringerung der Oberflächen-spannung und der Reflektivität der Phasen-grenze.

Die kritischen Werte TK, pK und VK sind zuprotokollieren!

5 Auswertung

5.1 Die Isothermen sind in einem p-V-Diagramm graphisch darzustellen und derkritische Punkt ist einzuzeichnen.

5.2 Für die Bestimmung der Stoffmengetragen Sie in einem zweiten Diagramm für alleMessreihen pV über 1/V auf. Auf der linkenSeite (große Volumina, System ist vollständiggasförmig) verlaufen diese Kurven annäherndlinear. Extrapolieren Sie den linearen Teil derKurven bis 1/V =0 und berechnen Sie aus denWerten von pV an dieser Stelle jeweils dieStoffmenge n nach Gl. (6), sowie derenMittelwert. Die Extrapolation kann von Handmit dem Lineal oder in Origin mittels linearerRegression der geraden Kurventeile erfolgen.Berechnen Sie nach Gl. (5) die van-der-Waals-Koeffizienten a und b.Berechnen Sie die theoretische p-V-Kurveeines idealen Gases der gleichen Stoffmengebei 55 °C im untersuchten Volumenbereich(etwa 0,5...4,5 ml) und zeichnen Sie diesezusätzlich in das Diagramm mit den Mess-kurven aus 5.1 ein.

5.3 Zeichnen Sie die Dampfdruckkurve pS (T)und bestimmen Sie näherungsweise denAnstieg der Kurve in jedem Messpunkt.Berechnen Sie mit Hilfe von Gl.(7) an jederMesstemperatur T < Tk die molare Verdamp-fungswärme Qm = Q/n. Dabei sind die Volu-mina VG und VFl dem p-V-Diagramm zuentnehmen. Die ermittelten Größen T, pS,dp/dT, VGVFl und Qm sind übersichtlich ineiner Tabelle darzustellen.

Wärmelehre W 25 Diffusion

39

J D Acx

d

d. (1)

Diskutieren Sie alle Ergebnisse und verglei-chen Sie, soweit möglich, mit Literaturwerten.

6 Literatur

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a., 2010


7 Kontrollfragen

7.1 Worin unterscheidet sich ein reales vomidealen Gas?

7.2 Welche Phänomene treten in der Nähedes kritischen Punktes auf?

7.3 Wie ist die „kritische Opaleszenz” zuerklären?

1 Aufgabenstellung

Der Diffusionskoeffizient eines unbekanntenSalzes in Wasser soll bestimmt werden.Hierfür ist

1.1 die elektrische Leitfähigkeit zweier Salz-lösungen in Abhängigkeit von der Konzen-tration zu messen (Erstellung von Kalibrier-kurven),

1.2 die Apparatekonstante der Diffusions-zelle zu bestimmen durch Messung der Diffu-sion eines bekanntes Salzes (KCl),

1.3 der gesuchte Diffusionskoeffizient zubestimmen durch Wiederholung der Messungzu 1.2 mit dem unbekannten Salz.

2 Grundlagen

Diffusion ist eine Form des Massetransports inFestkörpern, Flüssigkeiten und Gasen, derdurch die mikroskopische, ungeordneteBewegung der Teilchen (Brownsche Bewe-gung) hervorgerufen wird und so gerichtetist, dass sich ein lokales räumliches Konzen-trationsgefälle (Konzentrationsgradient)ausgleicht. Sie besitzt große Bedeutung in derzellulären und organismischen Physiologie. Ineinem einphasigen System bei konstanter

Temperatur und dem Fehlen äußerer Kräftesorgt die Diffusion für eine gleichmäßigeKonzentration der Komponenten der Phase imgesamten System.Diffusion durch eine semipermeable Wand(permeabel für das Lösungsmittel, nicht aberfür gelöste Stoffe) führt zur Osmose.Um den eindimensionalen Diffusionsvorgangquantitativ zu beschreiben, wird der Diffu-sionsfluss (auch Teilchenstrom) J definiert alsdie Stoffmenge, die netto pro Zeiteinheit inpositive x-Richtung durch eine senkrecht zudieser Richtung angeordnete Fläche A hin-durchtritt. Die Einheit des Diffusionsflusses istmol/s. Bezieht man den Diffusionsfluss auf dieFläche A, so spricht man von dem spezifischenDiffusionsfluss oder der Diffusionsstromdich-te Φ = J/A.Der Diffusionsfluss ist im isothermen Fallproportional zur betrachteten Querschnittsflä-che A und zum Konzentrationsgradientendc/dx (1. FICKsches Gesetz):

Dabei ist D der Diffusionskoeffizient (Einheit:m2 s-1), eine Materialkennzahl für die Be-weglichkeit der Teilchen in der Phase. Dasnegative Vorzeichen in (1) gibt an, dass derTeilchenfluss in Richtung abnehmender

Diffusion W 25


40

Abb.1: Messkammer und Konzentrations-profil

ddcx

c c

sI II

. (2)

dd

cx

c

sI (3)

cJ tVII

. (4)

A

V s (5)

II I( ) .c t c D t (6)

d

d

II

I

c

tc D . (7)

Konzentration verläuft. Der Diffusionskoeffi-zient ist abhängig von der Temperatur, derKonzentration der Komponente und von derArt und Konzentration anderer Komponenten.Er nimmt mit steigender Temperatur (häufigexponentiell) zu.Als einfache Anwendung des 1. FICKschenGesetzes soll die stationäre Diffusion zwi-schen zwei Lösungsräumen untersucht wer-den, die durch eine feinporige Wand derDicke s getrennt sind (Abb.1). Wenn jeder derbeiden Lösungsräume gut durchmischt wird(z.B. durch einen Rührer), kann man in jedemder beiden Räume eine ortsunabhängigeKonzentration annehmen. Das gesamte Kon-zentrationsgefälle erstreckt sich dann über diefeinporige Trennwand, in dieser ist

Da bei der experimentellen Realisierung diebeiden Lösungsräume relativ groß sind unddie Bedingung cI cII während der gesamtenMesszeit erfüllt ist, vereinfacht sich (2) zu

und der Diffusionsfluss J wird entsprechendGl. (1) zeitlich konstant.Die Konzentration cII ergibt sich bei kon-stantem Zustrom von Ionen in denLösungsraum II mit dem Volumen V zu

Fasst man die gerätespezifischen Größen zueiner Apparatekonstanten

zusammen, so ergibt sich aus (4) mit (1), (3)und (5) die Konzentration cII im LösungsraumII als Funktion der Zeit:

Das ist eine lineare Funktion mit dem Anstieg

Misst man cII in Abhängigkeit von der Zeit t,so kann also aus dem Anstieg der Messkurvebei bekannter Apparatekonstante β undKonzentration cI nach (7) der Diffusions-koeffizient D bestimmt werden. Die Apparate-konstante kann ebenso aus der Messung miteiner Substanz mit bekanntem Diffusions-koeffizienten bestimmt werden.

Im 1. FICKschen Gesetz (Gleichung (1)) stehtder Gradient der Stoffmengenkonzentration(Molarität, Einheit mol/l). Da in (6) und (7)die Konzentration auf beiden Seiten derGleichung steht, kann sie dort durch dieMassenkonzentration (Einheit g/l) ersetztwerden. Damit ist es für die Bestimmung desDiffusionskoeffizienten nicht notwendig, dieMolmasse des gelösten Salzes zu kennen. ImWeiteren werden deshalb für alle Konzen-trationsangaben Massenkonzentrationen in g/lverwendet.


41

Abb.2: Messanordnung zur Bestimmung desLeitwertes der Lösung

G cI

U UU

U U Rz i

i

z i

( ) .

1

(8)

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Einzelmesskammer- Doppelmesskammer- 2 Röhrchen (4 ml) für Stammlösungen- Leitfähigkeits-Messsonde mit Stativ- Generator 1 V, 130 Hz- Anschluss-Box mit Umschalter und Mess-

widerstand- Digitalmultimeter- Doppelmagnetrührer mit 2 Rührstäbchen- Pipette 100 μl, Pipettenspitzen- Mikrospatel, Pinzette- Stoppuhr- Laborwaagen 0,0001 g und 0,1 g- Messzylinder 250 ml

3.1 Die Ionenkonzentration der beidenSalzlösungen (Substanz A: KCl, Substanz B:unbekanntes Salz) wird mit Hilfe Messungelektrischen Leitwertes bestimmt.Die Einzelmesskammer besitzt die gleichenMaße wie ein Teil der Doppelmesskammerund dient zur Kalibrierung der Konzentra-tionsmessung, d. h., zur experimentellenBestimmung des Zusammenhangs zwischenLeitwert und Konzentration.Die poröse Wand der Doppelmesskammerwird durch ein Zellulosenitrat-Filter mit0,2 μm Porengröße gebildet. Abb.2 zeigt die Anordnung zur Messung derLeitwert-Konzentrationsabhängigkeit derLösung. In die Messkammer wird eine

Leitfähigkeits-Messsonde, die aus zweiElektroden besteht, eingetaucht.Mit Hilfe eines Voltmeters kann über einenMesswiderstand (R=100Ω; in die Anschluss-box eingebaut) der zwischen den Elektrodenfließende Strom I bestimmt werden. Dieserergibt sich aus der zu messenden Spannung Ui

nach dem Ohmschen Gesetz.Mit Hilfe eines Umschalters kann mit demselben Voltmeter auch die GeneratorspannungUz bestimmt werden. Aus diesen beidenSpannungsmessungen und dem bekanntenWert des Messwiderstandes lässt sich der zurjeweiligen Konzentration gehörende elektri-sche Leitwert der Lösung G(c) berechnen:


Bereiten Sie schon vor Beginn des Prakti-kums die Tabellen für die Aufnahme derMesswerte vor und berechnen Sie dieKonzentrationen der Messlösungen in g/lin den einzelnen Schritten!

Für das Versuchsergebnis sind Sauberkeit derArbeitsgeräte und Reinheit der Lösungen vongroßer Bedeutung. Nach jedem Benutzen sinddeshalb die Messkammern zu reinigen!Zum Einwiegen der Substanzen stehen Waa-gen einer Auflösung von 0,1 mg zur Verfü-gung. Am einfachsten ist es, die Substanzendirekt in die (trockenen!) Glasröhrcheneinzuwiegen. Die Wassermenge von 220 mlkann wahlweise mit einer Waage (0,1 gAuflösung) oder mit einem Messzylinderabgemessen werden.Achten Sie darauf, dass die Magnetrührerimmer funktionieren!

4.1 Messung der Kalibrierkurven:Sowohl für die KCl-Lösung als auch für dieLösung des unbekannten Salzes wird derLeitwert in Abhängigkeit von der Salzkonzen-tration im Konzentrationsbereich von


42

(0…0,5) g/l gemessen. Dazu sind von beiden Stoffen jeweils 3 mleiner Stammlösung der Konzentration 220 g/lherzustellen (Salz in ca. 2,5 ml deionisiertemWasser auflösen, dann mit der Pipette auf3 ml auffüllen). Die Einzelmesskammer ist mit 220 ml deioni-siertem Wasser zu füllen. In 5 Schrittenwerden jeweils 100 μl der KCl-Stammlösungzur Messlösung hinzugegeben. Nach demKonzentrationsausgleich sind jeweils Ui undUz zu messen. Diese Prozedur ist mit demunbekannten Salz zu wiederholen.

Es ist empfehlenswert, die Auswertung zudiesem Teilversuch sofort durchzuführen(siehe 5.1), damit die Kalibrierkurven bereitswährend der Durchführung von 4.2 und 4.3zur Verfügung stehen.

4.2 Bestimmung der Apparatekonstante β:Beide Teile der Doppelmesskammer sind mitje 220 ml deionisiertem Wasser zu füllen. ZumZeitpunkt t = 0 wird durch Zugabe von KCl inKammer I eine Konzentration von 10 g/leingestellt. Der Leitwert in Kammer II ist15 min lang alle 3 min zu messen. Die Pausenzwischen den Messungen sollten Sie nutzenum den Leitwert sofort zu berechnen undanhand der Kalibrierkurve die Konzentrationzu bestimmen (siehe 5.2).

4.3 Messung des Diffusionskoeffizienten derSubstanz B:Die Messung erfolgt analog zu Punkt 4.2. Fürdas Salz mit dem unbekannten Diffusions-koeffizienten wird eine Ausgangskonzen-tration in Kammer I von 20 g/l eingestellt.

5 Auswertung

5.1 Aus den gemessenen Spannungen Ui undUz ist der Leitwert der Lösungen nach Gl. (8)zu berechnen. Für beide Salze ist der Leitwertin Abhängigkeit von der Konzentration

graphisch darzustellen.

5.2 Aus den gemessenen Spannungen Ui undUz ist nach Gl. (8) der Leitwert der Lösung imKammer II zu berechnen. Mit Hilfe der in 5.1erstellten Kalibrierkurven sind aus den Leit-werten die Konzentrationen zu ermitteln. DieKCl-Konzentration in Kammer II ist in Ab-hängigkeit von der Zeit graphisch darzustel-len. Mittels linearer Regression wird derAnstieg der Kurve bestimmt und aus diesemgemäß Gl. (7) die Apparatekonstante βberechnet.

Der Diffusionskoeffizient von KCl beträgtD0 = 1,996 10-9 m² s-1

5.3 Die Konzentration des unbekanntenSalzes in Kammer II ist wie in 5.2 zu ermittelnund in Abhängigkeit von der Zeit graphischdarzustellen. Mittels linearer Regression wirdder Anstieg der Kurve bestimmt und ausdiesem gemäß Gl. (7) der Diffusionskoeffi-zient D berechnet. Dabei ist die mit KClermittelte Apparatekonstante β aus 5.2einzusetzen.

6 Literatur

Adam, G., Läuger, P., Stark, G., Physika-lische Chemie und Biophysik, Springer Berlin,1995

7 Kontrollfragen

7.1 Welcher Zusammenhang besteht zwi-schen der Diffusion und der Wärmeleitung?

7.2 Warum erfolgt die Messung des Leit-wertes der Lösungen mit niederfrequentemWechselstrom?

7.3 Von welchen Größen hängt der Diffu-sionskoeffizient ab?

Elektrizitätslehre E 7 Innenwiderstand von Spannungsquellen

43

Abb.2: Strom-Spannungs-Kennlinie einerSpannungsquelle mit konstantem Innenwider-stand.

Abb.1: Einfacher Stromkreis mit Ersatz-schaltbild einer Spannungsquelle

0 .i LU I R I R (1)

U I RK L . (2)

0 .K iU U I R (3)

IU

R RL i

0. (4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Strom-Spannungs-Kennlinienverschiedener Gleichspannungsquellen sindaufzunehmen.

1.2 Die Innenwiderstände dieser Spannungs-quellen sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Spannung UK an den Klemmen einerrealen Spannungsquelle ist in der Regel nichtkonstant, sondern von der abhängig von derStärke des Stromes I, den die Quelle liefert.(Daneben gibt es natürlich noch weitereEinflussgrößen wie z.B. Temperatur, Lade-zustand des Akkus oder Beleuchtungsstärkeder Solarzelle.) Die Spannung U0 der unbelasteten Span-nungsquelle (I = 0) nennt man Urspannungoder Leerlaufspannung (früher auch elektro-motorische Kraft, EMK). Jede Spannungs-quelle besitzt durch ihren inneren Aufbaueinen Innenwiderstand, den man in vielenFällen näherungsweise als konstant ansehenkann. Abbildung 1 zeigt das Ersatzschaltbildeiner realen Spannungsquelle: eine Reihen-schaltung der idealen Spannungsquelle U0 mitdem Innenwiderstand Ri.Mit dem Maschensatz ( KIRCHHOFFscheGesetze) folgt für den Stromkreis in Abb.1:

Der Spannungsabfall am Lastwiderstand istgleich der Klemmenspannung:

Damit ergibt sich aus (1):

Für den Strom folgt aus (2) und (3):

Aus Gl. (3) ist zu erkennen, dass die Klem-menspannung linear mit der Strombelastungsinkt. Der Strom wird gemäß Gl. (4) durchden veränderlichen Lastwiderstand RL und dieEigenschaften der Spannungsquelle (U0, Ri)bestimmt. Die grafische Darstellung desZusammenhangs zwischen Klemmenspannungund Strom wird als Strom-Spannungs-Kenn-linie bezeichnet. Abbildung 2 zeigt eine solche Kennlinie füreine Spannungsquelle mit konstantem Innen-widerstand. Aus der Darstellung geht hervor,dass bei I = 0 die Klemmenspannung UK gleichder Urspannung U0 ist. Mit abnehmendemLastwiderstand RL steigt der Strom und dieKlemmenspannung sinkt, bis der Spannungs-abfall über Ri den Wert der Urspannung

Innenwiderstand von Spannungsquellen E 7


44

2

0 .g i Li L

UP P P

R R

(8)

1.

1

L L

iG i L

L

P R

RP R R

R

(9)

P U IL K (5)

2

0

2.L L

i L

UP R

R R

(6)

2

02

.i i

i L

UP R

R R

(7)

erreicht hat. Jetzt ist der Lastwiderstand Nullund der Spannungsabfall am InnenwiderstandRi ist gleich der Urspannung U0. Diesen Fallnennt man Kurzschluss. Im Kurzschlussfallwird UK Null und es fließt der maximal mögli-che Strom, der Kurzschlussstrom IK.Derartige Kennlinien weisen zum BeispielBatterien (Primärelemente) und Akkumulato-ren (Sekundärelemente) auf, da sie einenrelativ konstanten Innenwiderstand besitzen.Die Kennlinie einer Solarzelle ist nichtlinear,da sie keinen konstanten Innenwiderstandbesitzt. (Solarzellen sind spezielle Halbleiter-dioden, deren Physik im Rahmen diesesExperiments nicht näher betrachtet wird.)

Zur Messung der Spannung U0 werden dieKlemmen der Spannungsquelle mit einemVoltmeter verbunden (Abb.1: Voltmeter anStelle des Lastwiderstandes). In diesem Fallwird der Lastwiderstand RL durch den Innen-widerstand des Voltmeters gebildet. Die vomVoltmeter angezeigte Spannung UK kannunter Umständen signifikant kleiner sein alsdie zu messende Urspannung U0! Dies mussvor allem bei schwachen Spannungsquellenmit großen Innenwiderständen (z.B. Biopo-tentiale, EKG-Signal) berücksichtigt werden.Wenn die Größenordnung von Ri bekannt ist,kann man meist ein geeignetes Spannungs-messverfahren bzw. Messgerät auswählen, beidem RL Ri ist. Dann gilt IRi UK bzw. UK

U0, d. h. die Urspannung U0 wird nahezuunverfälscht gemessen. Alternativ kann mandie Leerlaufspannung auch mit Hilfe einerKompensationsschaltung unmittelbar bei I = 0messen (siehe Versuch E10).

Die von einer Spannungsquelle gelieferteelektrische Energie soll der Verbraucher(Widerstand RL) nutzen. Da der Verbraucher-oder Laststrom I aber auch durch die Span-nungsquelle fließt, nimmt diese (über denInnenwiderstand Ri) einen Teil der am ge-samten Umsatz beteiligten Leistung auf. Diean den Verbraucher abgegebene Leistung

kann mit Hilfe der Gleichungen (2) und (4)

umgeformt werden zu:

Analog gilt für die in der Spannungsquelleumgesetzte Leistung:

Die gesamte von der Spannungsquelle gelie-ferte Leistung ist damit:

Für den Wirkungsgrad η, das Verhältnis vonNutzleistung zur Gesamtleistung, folgt:

Nach Gleichung (9) steigt der Wirkungsgradmit wachsendem Verhältnis von RL zu Ri an.Um die Verluste innerhalb der Spannungs-quelle gering zu halten, sollte die BedingungRL Ri eingehalten werden, d.h. es muss inLeerlaufnähe gearbeitet werden. Diese Forde-rung gilt für Batterien und Akkus wegenderen endlicher Kapazität (entnehmbareLadung), die üblicherweise in Ah (Ampere-stunden) angegeben wird und die nicht mit derKapazität eines Kondensators verwechseltwerden sollte.Anders ist die Situation bei Solarzellen, da dieSonne ja ständig Energie nachliefert. Hierbesteht das Ziel darin, der Quelle eine mög-lichst große Leistung zu entnehmen. DerStrom, für den die Leistung PL maximal wird,ergibt sich aus der Bedingung dPL/dI = 0.Aus (5) folgt sich unter der Berücksichtigung,dass UK von I abhängt und mit (2):

Die Nullstelle und somit die maximale Lei-stung ist bei

L K KK L

dP dU dUU I I R

dI dI dI

(10)


45

Abb.3: Versuchsschaltung

Diesen Fall nennt man (Leistungs-)Anpas-sung. Bei linearer Strom-Spannungs-Kennlinie(Ri ist konstant) ergibt sich für den Anpas-sungsfall aus (11) und (3) die einfache Bezie-hung RL = Ri.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:verschiedene Gleichspannungsquellen:

Alkali-Mangan-Batterie, Bleiakku, Solarzellenmodul

verschiedene Lastwiderstände:Schiebewiderstand 140 Ω, Drehwider-stand 5 Ω, 4 Dekadenwiderstände 1/10/100/1000 Ω

2 Digitalmultimeter1 SchalterVerbindungsleitungen

3.1 Schaltungsaufbau:Zur Aufnahme der Strom-Spannungs-Kenn-linie dient die Schaltung nach Abb.3. AlsSpannungsmesser wird ein Messgerät mithohem Eingangswiderstand verwendet, sodass die Spannungsquelle bei geöffnetemSchalter nur mit einem vernachlässigbarkleinem Strom belastet wird.


Achtung!Bleiakkus liefern sehr hohe Ströme. Durcheinen Kurzschluss können Kabel ver-schmelzen! Falsch angeschlossene Mess-geräte können beschädigt werden! LassenSie die Schaltung vor dem Anschließen derSpannungsquellen kontrollieren!

Wenn die Urspannung des Akkus 1,95 Vund die der Batterie 1,4 V ist, dürfen sienicht mehr verwendet werden und müssenausgetauscht werden!

Machen Sie sich zunächst mit der Funktions-weise der zu verwendenden Lastwiderständevertraut. Dazu stehen Ihnen die Multimeterzur Verfügung, mit denen Widerstände direktgemessen werden können.Die ungefähren Leerlaufspannungen U0 desBleiakkus und der Batterie stehen aufgedrucktan den Geräten. Damit diese beiden Span-nungsquellen während der Messung nicht zustark entladen werden, muss der Strombegrenzt werden auf 3 A für den Bleiakku und200 mA für die Batterie. Berechnen Sie ausdiesen Werten die erforderlichen Lastwider-stände RL und entscheiden Sie dann, welcheWiderstände Sie für die Batterie und denAkku verwenden wollen. Bauen Sie die Schaltung gemäß Abb.3 auf.Stellen Sie die veränderlichen Widerständevor Beginn der Messung so ein, dass diegenannten Ströme in keinem Fall überschrittenwerden. Für die Kennlinie des Akkus werden minde-stens 10 etwa äquidistante Messpunktezwischen 0 und 3 A gewählt. Die dazugehöri-gen Klemmenspannungen Uk sowie die Ur-spannung U0 (bei I = 0) sind zu messen.Für die Kennlinie der Batterie werden eben-falls mindestens 10 etwa äquidistante Mess-punkte zwischen 0 und 200 mA gewählt. Diedazugehörigen Klemmenspannungen Uk unddie Urspannung U0 sind zu messen.

Das Solarzellenmodul darf (im Gegensatz zuBatterie und Akku) bis zum Kurzschluss

.L KR dU dI (11)


46

belastet werden. Als Lastwiderstand werdendie vier Dekadenwiderstände (0 … 10000 Ω)verwendet. Das Modul muss während dergesamten Messzeit gleichmäßig beleuchtetwerden, da U0 und Ri von der Beleuchtungs-stärke abhängen! Es ist die gesamte I-U-Kennlinie, d. h. von der Leerlaufspannung biszum Kurzschlussstrom, aufzunehmen. Dabeisollen etwa 20, bezüglich der Stromstärkeetwa äquidistante Punkte gemessen werden.Messen Sie zuerst den Kurzschlussstrom undentscheiden Sie dann, bei welchen Strom-stärken die weiteren Messpunkte liegensollen. Neben der Stromstärke I und derKlemmenspannung Uk sind auch die Werte derzugehörigen Lastwiderstände RL zu protokol-lieren.

5 Auswertung

Für alle Gleichspannungsquellen werden dieStrom-Spannungs-Kennlinien wie in Abb.2grafisch dargestellt.Für die beiden galvanischen Spannungsquellensind die Innenwiderstände aus dem Anstiegder Regressionsgeraden in den grafischenDarstellungen zu ermitteln. Aus dem Schnittpunkt der Geraden mit derOrdinate wird die Urspannung U0 bestimmtund dann aus diesen beiden Werten derKurzschlussstrom berechnet. Vergleichen Siedie so bestimmte Urspannung mit dem gemes-senen Wert! Wie ist die Genauigkeit desberechneten Kurzschlussstromes zu bewerten?Für den Solarzellenmodul werden die Innen-widerstände anhand der Messpunkte nachGleichung (3) und die abgegebene Leistung

PL nach (5) berechnet. Der InnenwiderstandRi, der Lastwiderstand RL sowie die LeistungPL sind in Abhängigkeit vom Strom grafischdarzustellen. Zeichnen Sie alle drei Kurven inein Diagramm (linke y-Achse: Widerstand,rechte y-Achse: Leistung) und diskutieren Siedie Lage des Maximums der Leistungskurve!

Zusatzaufgabe: Berechnen Sie mit Origin dendifferentiellen Innenwiderstand des Solarmo-duls dUK/dI, zeichnen Sie ihn als zusätzlicheKurve in das Diagramm ein und verifizierenSie Gleichung (11)!

6 Literatur


7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie den Unterschied zwischender Klemmenspannung und der Urspannungeiner Spannungsquelle!

7.2 Erläutern Sie das Ersatzschaltbild einerSpannungsquelle!

7.3 Erläutern Sie die Begriffe Leerlauf,Kurzschluss und Anpassung.

7.4 Sie haben die Aufgabe, mit einem Volt-meter die Urspannung einer Spannungsquellemit dem Innenwiderstand Ri = 500 kΩ zubestimmen. Wie groß muss der Innenwider-stand des Messgerätes mindestens sein, damitder Messwert um nicht mehr als 1% vomwahren Wert abweicht?


47

Abb.1: WHEATSTONE-Brückenschaltung

,lRA

(3)

C

C

R

Rx

1

3

4

. (2)

R

R

R

RX

1 3

4

. (1)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Zellenkonstante Κ einer elektrolyti-schen Zelle ist zu bestimmen.

1.2 KCl -Lösungen verschiedener Konzen-tration sind herzustellen und ihre elektrischeLeitfähigkeit σ ist zu bestimmen.

1.3 Die Äquivalentleitfähigkeit Λ der Lösun-gen ist zu berechnen.

2 Grundlagen

2.1 Für eine genaue Widerstandsmessungund für die Bestimmung von kleinen Wider-ständen werden häufig Brückenschaltungenverwendet. Die Grundschaltung jeder Mess-brücke ist die Wheatstone-Brücke (Abb.1). Zwischen den Punkten A und B sowie zwi-schen C und D liegt die Spannung U an. OhneGalvanometer zwischen den Messpunkten Eund F wird das Potential in diesen Punktendurch die Verhältnisse R1 : RX sowie R3 : R4

bestimmt (Spannungsteiler zwischen A und Bsowie zwischen C und D).Besteht zwischen E und F kein Potentialunter-schied, so sagt man, Brücke ist abgeglichen.Über das Galvanometer (ein hochempfindli-ches Amperemeter) wird dann kein Stromfließen. In diesem Fall muss die folgendeBedingung erfüllt sein:

Wenn zwischen E und F ein Potentialunter-schied besteht, so fließt über das Galvano-meter ein Strom. Das Prinzip der Brücken-messung besteht darin, durch Änderung derbekannten Widerstände R1, R3 und R4 denabgeglichenen Zustand der Brücke zu finden.Die Größe des unbekannten Widerstandes RX

lässt sich dann nach (1) berechnen. Soll eine Messbrücke mit Wechselstrombetrieben werden, so ist eine mögliche Pha-senverschiebung zwischen Strom und Span-nung zu berücksichtigen. Für den Brücken-abgleich müssen in diesem Fall Betrag undPhase der Spannung zwischen E und F abge-glichen werden. Zu diesem Zweck wird dieeinfache Wheatstone-Schaltung durch zusätz-liche Kapazitäten ergänzt, siehe Versuchs-schaltung Abb.2.Da die elektrolytische Zelle neben dem Wider-stand Rx auch eine Kapazität Cx besitzt,müssen für den Abgleich der Brücke zweiBedingungen erfüllt sein: der Amplituden-abgleich (1) und der Phasenabgleich

(1) und (2) gelten gleichzeitig, wenn dieBrücke vollständig abgeglichen ist.Die Brückenschaltung in Abb.2 wird alsWien-Brücke bezeichnet. Sie kann nach Gl.(2) auch zur Messung von Kapazitäten einge-setzt werden.

2.2 Der elektrische Widerstand eines Leitersmit der Länge l und dem Querschnitt A ist

er wird neben den geometrischen Größen lund A durch eine Materialkonstante, denspezifischen elektrischen Widerstand ρ,bestimmt. Der Kehrwert des elektrischenWiderstandes G = 1/R heißt elektrischerLeitwert, seine SI-Einheit ist das Siemens: [G]= 1/Ω = S. Analog zu (3) schreibt man

Leitfähigkeit von Elektrolyten E 8


48

Abb.2: Schaltung zur Leitfähigkeitsmessungin Elektrolyten (Wienbrücke).

,AGl

(4)

1 1 .GR K

(5)

cq

(6)

cz nV

m zM Vq

(7)

KRx

. (8)

σ = 1/ρ heißt spezifische elektrische Leit-fähigkeit und hat die Einheit [σ] = S/m. DieAngabe eines Leitwertes ist insbesondere beielektrisch leitenden Flüssigkeiten üblich.

Elektrolyte sind elektrisch leitende Flüssig-keiten, bei denen der Ladungstransport durchIonen erfolgt.Eine elektrolytische Zelle, die mit einemElektrolyten gefüllt ist, hat den elektrischenWiderstand R. Für den elektrischen LeitwertG der Zelle schreibt man

In dieser Gleichung wurden gegenüber Gl. (4)die Größen A und l zur Zellkonstanten Kzusammengefasst. Ihre Einheit ist Κ =1/m.Die Zellkonstante K wird nur vom Aufbau(Größe und Form) der elektrolytischen Zellebestimmt, während die elektrische Leitfähig-keit σ nur von der Art des gelösten Stoffes,seiner Konzentration und von der Temperaturabhängt. Die Leitfähigkeit von Elektrolyten steigt mitder Temperatur (wegen der thermischenBewegung der Teilchen) und mit der Ionen-konzentration an. In stark verdünnten Salzlö-sungen ist die elektrische Leitfähigkeit zurKonzentration proportional.

Die Äquivalentleitfähigkeit Λ ist

wobei cq die Äquivalentkonzentration (Nor-malität eines Elektrolyten) ist:

Dabei bedeuten: m = Masse, V = Volumen,M = Molmasse in g/mol, n = m/M = Stoff-menge (Anzahl der Mole), z = Wertigkeit(Ladungszahl). Die SI-Einheit von Λ istS m2/mol, die von cq ist mol/m3, meist wirdjedoch mol/l verwendet.

Die Äquivalentleitfähigkeit hängt im All-gemeinen sowohl vom Dissoziationsgrad alsauch von der Konzentration ab. Durch elek-trostatische Wechselwirkung behindern sichdie wandernden Ionen gegenseitig. Dahernimmt die Äquivalentleitfähigkeit mit zuneh-mender Konzentration ab. Bei starker Ver-dünnung ( große Abstände zwischen denIonen) ist die Wechselwirkung vernachlässig-bar, die Äquivalentleitfähigkeit vollständigdissoziierter Elektrolyte wird dann von derKonzentration unabhängig.

Zur Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit σ wird der Widerstand Rx der elektrolyti-schen Zelle gemessen. Aus (5) ergibt sich

Die Zellkonstante Κ kann durch Messungeines Elektrolyten bekannter Leitfähigkeit(hier gesättigte NaCl-Lösung) ermitteltwerden.Die Leitfähigkeit von Elektrolyten mussgrundsätzlich mit Wechselstrom gemessenwerden, damit das Messergebnis nicht durchdie Elektrodenpolarisation verfälscht wird.Die Widerstände Rx der gefüllten elektrolyti-schen Zelle werden deshalb mit Hilfe einerWechselstrombrücke (Abb.2) ermittelt.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- elektrolytische Zelle mit Halterung- Generator 1 kHz


49

- Vielfachmesser- Kurbelwiderstand (0,1 % + 0,05 Ω)- Kapazitätsdekaden- 2 Festwiderstände 100 Ω (0,2 %)- Thermometer- Flasche mit NaCl-Lösung- Flasche mit KCl- 3 Messzylinder 100 ml, 25 ml, 10 ml- Becherglas, Trichter, Spatel, Glasstab

3.1 Als Spannungsquelle dient ein Wechsel-spannungs-Generator mit der festen Frequenz1 kHz und einer Spannung von Ueff = 2 V. Fürdie Widerstände R3 und R4 werden zweigleiche Festwiderstände mit je 100 Ω und fürden Widerstand R1 ein Kurbelwiderstandverwendet. Die Kapazität C1 kann zwischen0,1 nF und 10 µF variiert werden. Zur An-zeige des Brückenstromes dient ein empfindli-cher Vielfachmesser mit veränderlichenMessbereichen.


Die Brückenschaltung ist nach Abb.2 auf-zubauen.

4.1 Bestimmung der Zellkonstante: Dieelektrolytische Zelle wird mit der gesättigtenNaCl-Lösung gefüllt, die Temperatur T derLösung ist zu messen. Am Vielfachmesserwird zunächst ein unempfindlicher Mess-bereich (z.B. 100 mA) eingestellt; Generatorund Vielfachmesser sind einzuschalten. Nunwerden der Widerstand R1 und die KapazitätC1 abwechselnd verändert, bis der Brücken-strom ein Minimum erreicht, wobei die Mess-bereiche am Vielfachmesser immer empfindli-cher geschaltet werden. Wenn die Brückeabgeglichen ist, sollte der Brückenstromkleiner als 2 μA sein. Der dazugehörigeWiderstand R1 = Rx (folgt aus (1), wennR3 = R4) ist abzulesen und zu protokollieren.

Achtung! Nach jeder Widerstandsmessungmuss am Vielfachmesser wieder ein un-empfindlicher Messbereich eingestelltwerden, damit beim Wechsel der Elek-trolyte keine Überlastung des Messgerätesauftritt.

4.2 Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit von KCl-Lösungen der Konzentration1N; 0,5N; 0,2N; 0,1N; 0,05N und 0,02N:Zunächst werden 100 ml KCl-Lösung mit derÄquivalentkonzentration cq = 1 mol/l (1Noder 1-normale Lösung) hergestellt. DieMolmasse von KCl beträgt 74,55 g/mol. Dieerforderliche Menge KCl ist abzuwiegen undim Messzylinder in etwa 90 ml deionisiertemWasser aufzulösen (Rühren mit Glasstab).Danach wird die Lösung mit deionisiertemWasser auf 100 ml aufgefüllt.Die elektrolytische Zelle ist mit dieser Lösungzu füllen, der dazugehörige Widerstand wirdwie oben beschrieben gemessen. Die Tempe-ratur der Lösung wird gemessen.Anschließend wird die 1N KCl-Lösung zurweiteren Verwendung in einem Becherglasaufbewahrt; die Reste können nach Abschlussdes Versuches entsorgt werden.Je 100 ml KCl-Lösung der Konzentration0,5N; 0,2N; 0,1N; 0,05N und 0,02N werdendurch Verdünnung eines Teils der 1N KCl-Lösung hergestellt. Der Widerstand und dieTemperatur dieser Lösungen in der elek-trolytischen Zelle werden gemessen. An-schließend sind die Lösungen zu verwerfen.Alle gemessenen Werte sind übersichtlichtabellarisch zu erfassen.

Hinweis:

Es muss sauber gearbeitet werden. Die elek-trolytische Zelle und die Elektroden sind beijedem Umfüllen sorgfältig zu spülen.

Die gesättigte NaCl-Lösung wird nach derMessung in die Vorratsflasche zurückgegos-sen.

5 Auswertung

5.1 Die Zellenkonstante K ist mittels (8) zuberechnen. Die elektrische Leitfähigkeit σ dergesättigten NaCl-Lösung ist anhand dergemessenen Temperatur T einer Tabelle zuentnehmen.

5.2 Die elektrischen Leitfähigkeiten σ der

Elektrizitätslehre E 10 Thermospannung

50

Abb.1: Kupfer-Konstantan-Thermoelement

KCl-Lösungen werden nach Gl. (8), dieÄquivalentleitfähigkeiten Λ nach (6) be-rechnet.

Die Leitfähigkeit und die Äquivalentleitfähig-keit sind in Abhängigkeit von der Äquivalen-konzentration (Normalität) der KCl-Lösunggrafisch darzustellen und zu diskutieren.

Hinweis zur Fehlerrechnung:Die Messunsicherheit muss für jede Konzen-tration getrennt berechnet werden. Um dieKonzentrationsabhängigkeit der Äquivalent-leitfähigkeit von den Messunsicherheitenunterscheiden zu können, sollen letztere alsFehlerbalken zu jedem Punkt in die Grafikeingezeichnet werden.

6 Literatur

Wedler, G. und Freund, H-J.: Lehrbuch derPhysikalischen Chemie. Wiley-VCH, 2012

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a. 2010

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie das Prinzip der Wider-standsmessung mit einer Brückenschaltung!

7.2 Was versteht man unter Amplitude undPhase eines Wechselstromes?

7.3 Wie wird die Äquivalentleitfähigkeitdefiniert, und welche Eigenschaft des gelöstenSalzes wird hierüber charakterisiert?

1 Aufgabenstellung

Der SEEBECK-Koeffizient eines Thermo-elementes ist mit Hilfe einer Kompensations-methode zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempera-turgradienten eine elektrische Potentialdiffe-renz erzeugt (absoluter SEEBECK-Effekt), diejedoch nicht unmittelbar messbar ist. Verein-

facht gesehen, verhalten sich die Ladungs-träger im Leiter wie die Teilchen eines idealenGases: Ladungsträger von der wärmeren Seitemit höherer kinetischer Energie diffundierenschneller zur kalten Seite als umgekehrt; aufdiese Weise entsteht auf der kalten Seite einÜberschuss an Ladungsträgern, der durch dieentstehende Potentialdifferenz begrenzt wird.Verbindet man zwei verschiedene Leiter zueinem Stromkreis (Abb.1) und bringt diebeiden Kontaktstellen auf verschiedene Tem-peraturen T0 und T1, so entstehen in denbeiden Leitern unterschiedliche innere Poten-tiale. Zwischen den Punkten A und B tritt dieDifferenz der beiden Potentiale auf, die so-genannte Thermospannung. Dies wird alsSEEBECK-Effekt bezeichnet.

(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungenzwischen verschiedenen Leitern im Strom-kreis, also die Punkte A und B und das Mess-gerät, isotherm sein.)

Thermospannung E10


51

Abb.2: Kompensationsschaltung

U TT . (1)

1 2

10 1

1 2

.

h

h

U I R I R

RU I R U

R R

(2)

Abb.3: Versuchsaufbau

In vielen älteren Lehrbüchern wird dieThermospannung falsch als „Kontaktspan-nung“ erklärt. Dies ist nicht richtig! (sieheLiteraturhinweis) Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ΔT =T1 - T0 :

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie sind preiswert,schnell (kleine Wärmekapazität) und bietenden Vorteil, dass sich die Thermospannungenunmittelbar als Eingangssignale für Computer,Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Kompensationsschaltung: Die Messungder Urspannung einer Spannungsquelle ist nurmöglich, wenn der Quelle dabei kein Stromentnommen wird (siehe Versuch E 7). Strom-lose Spannungsmessungen lassen sich mitHilfe einer Kompensationsschaltung vorneh-men (Abb.2). Hierzu werden neben der zu messendenSpannungsquelle U0 eine Hilfsspannungs-quelle Uh (genau bekannte Spannung, geringerInnenwiderstand), ein Spannungsteiler (be-stehend aus den Teilwiderständen R1 und R2)und ein Galvanometer (hochempfindlichesAmperemeter, Nullinstrument) benötigt.Wird jetzt durch Veränderung des Verhält-nisses zwischen R1 und R2 erreicht, dass derSpannungsabfall über R1 gleich der SpannungU0 ist, so wird der Spannungsquelle U0 keinStrom entnommen.

Für die beiden Maschen in der Schaltung inAbb.2 gilt in diesem Fall nach der KIRCH-HOFFschen Regel:

Mit Hilfe des Galvanometers kann die Kom-pensationsschaltung genau abgeglichen wer-den; U0 wird dann nach (2) berechnet.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Halterung mit Thermoelement- Heizplatte mit Magnetrührer, Rührstäbchen- Isoliergefäß- kleiner Topf- Digitalthermometer- Stöpselwiderstand (Genauigkeit: 0,1 %)- elektron. Galvanometer (Nullinstrument)- Akkumulator- Digitalmultimeter (Spannungsmesser)- Verbindungsleitungen

3.1 Zur Bestimmung der ThermospannungenUT wird eine Kompensationsschaltung nachAbb.3 verwendet. Die linke Lötstelle desThermoelementes wird mit Hilfe eines Eis-Wasser-Gemisches im Isoliergefäß auf derkonstanten Temperatur T0 = 0C gehalten; dieTemperatur der rechten Lötstelle T1 kanndurch die Erwärmung des Wasserbades (imTopf) verändert werden. Für T1T0 = ΔT 0entsteht eine Thermospannung UT .


52

ddUT

T . (5)

.hh

UI

R (3)

11 1 .h h

RU R I U

R (4)

Die Widerstände R (Gesamtwiderstand) undR1 (ein kleiner Teilwiderstand von R) werdendurch den Präzisions-Stöpselwiderstandgebildet. Dieser besteht aus einer Reihen-schaltung von vielen Einzelwiderständen(0,1 Ω; 0,2 Ω; 0,5 Ω; 1 Ω; ... ; 50 000 Ω).Durch Einstecken von Metallstöpseln kannman jeden Einzelwiderstand kurzschließenund damit den Gesamtwiderstand R ver-ändern. Außerdem kann mit Hilfe zweierAbgriffstöpsel über einem beliebigen, genaudefinierten Teilwiderstand R1 eine Spannungabgegriffen werden.Der Stöpselwiderstand ist an einen Akku mitder (Hilfs-) Spannung Uh angeschlossen, esfließt ein Strom Ih:

Uh wird mit einem genauen Voltmeter gemes-sen. Der Spannungsabfall U1 am WiderstandR1 zwischen den verstellbaren Abgriffspitzen(Abb.3) beträgt

Mit dieser (Gegen-) Spannung U1 kann dieThermospannung UT kompensiert werden: Esist U1 = UT, wenn der vom Galvanometer Gangezeigte Thermostrom IT gleich Null ist.


Achtung! Bevor der Akku an den Stöpsel-widerstand angeschlossen wird, muss dieSchaltung vom Betreuer überprüft werden!Beim Auf- und Abbau des Versuches sowiebeim Messen darf das Galvanometer nichtüberlastet werden! Bauen Sie die Schaltung nach Abb.3 auf. DerGesamtwiderstand R des Stöpselwiderstandesist durch Einstecken von Stöpseln so ein-zurichten, dass der Strom Ih etwa 0,05 mAbeträgt. Dazu ist R mit Hilfe der aufgedruck-ten Akku-Spannung Uh zu berechnen. Das Isoliergefäß ist mit einer Eis-Wasser-Mischung zu füllen, so dass die linke Lötstelle

eine Temperatur von T0 = 0C annimmt. DerTopf ist mit Wasser von ca. 5°C zu füllen(etwas Eis hinzugeben). Die Spannung Uh ist zu messen; Uh und derGesamtwiderstand R sind zu protokollieren!Der Widerstand R1 zwischen den Abgriff-stöpseln wird so gewählt, dass am Galvano-meter G ein negativer Ausschlag entsteht, d.h.U1 > UT. Erwärmt man dann das Wasserbad langsamunter ständigem Rühren, so steigt T1 unddamit die Thermospannung UT. Wenn IT = 0ist (Nulldurchgang am Galvanometer), istUT = U1. In diesem Moment ist die Tempera-tur T1 abzulesen. Danach wird die Gegen-spannung U1 mit Hilfe von R1 wieder erhöht(Linksausschlag am Galvanometer). Die weitere Erwärmung führt erneut zu IT = 0(also UT = U1), wobei beim Nulldurchgang desZeigers am Galvanometer wieder die Tempe-ratur T1 gemessen wird. Dieses Verfahrenwird bis zur Siedetemperatur fortgesetzt. Zur Einstellung der Gegenspannungen U1

empfiehlt es sich, folgende Widerstandswertefür R1 zu wählen: 5Ω, 10Ω, 15Ω, 20Ω, …

5 Auswertung

Für alle Messpunkte wird die Thermospan-nung UT = U1 nach (4) berechnet und inAbhängigkeit von der Temperatur T1 grafischdargestellt. Aus der grafischen Darstellung ist die Ther-mokraft (der Seebeckkoeffizient) α durchlineare Regression zu ermitteln. VergleichenSie das Ergebnis mit Literaturwerten!

Wurden die Messungen sehr sorgfältig durch-geführt, so sollte aus der Grafik zu erkennensein, dass die Thermospannung nicht exaktlinear mit der Temperatur ansteigt. Passen Sieeine Parabel oder einen Polynom höherenGrades an die Messwerte an und berechnenSie den Seebeckkoeffizient als Funktion derTemperatur durch Differenzieren:

Elektrizitätslehre E 28 Fadenstrahlrohr

53

mv eU

22 (1)

F e v B (2)

mv

re v B

2

. (3)

em

U

r B

22 2 . (4)

B N IR

RA

0

2

22

3 2

4

.(5)

Stellen Sie α als Funktion der Temperaturgrafisch dar.

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.2 Elektromagnetismus. deGruyter, Berlin u.a., 2008

http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Wie entsteht eine Thermospannung?

7.2 Welche Vorteile hat ein Thermoelementverglichen mit anderen Temperaturmess-verfahren?

7.3 Warum verwendet man zur Messung derThermospannung eine Kompensationsschal-tung?

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Ladung e/m des Elektrons istmit Hilfe des Fadenstrahlrohres zu bestimmen.


Unter der spezifischen Ladung eines Elektronsversteht man das Verhältnis der Ladung e desElektrons (Elementarladung) zu seiner Massem. Dieses Verhältnis e/m kann aus der Ablen-kung von Elektronenstrahlen im magnetischenFeld bestimmt werden. Da sich die Elementar-ladung mit Hilfe des MILLIKAN-Versuchesmessen lässt, kann somit die Masse desElektrons bestimmt werden.Im Fadenstrahlrohr geht von der Kathodedurch Glühemission ein Elektronenstrahl(Fadenstrahl) aus. Die Elektronen werden ineinem elektrischen Feld zwischen Kathodeund Anode beschleunigt, so dass sie nach demDurchgang durch ein Loch in der Anode dieGeschwindigkeit v haben. Aus dem Energie-erhaltungssatz folgt:

wobei U die an die Anode angelegte Span-nung ist. Ist die Bewegungsrichtung der

Elektronen senkrecht zur Richtung eineshomogenen Magnetfeldes, das von einemHELMHOLTZ-Spulenpaar erzeugt wird, sowerden die Elektronen durch die LORENZkraft

auf eine Kreisbahn mit dem Radius r abge-lenkt. B ist die magnetische Induktion desFeldes. Die LORENZkraft steht senkrecht zurBewegungsrichtung, so dass zwischen ihr undder Zentrifugalkraft Gleichgewicht besteht:

Aus den Gleichungen (1) und (3) folgt

Unter einem HELMHOLTZ-Spulenpaar verstehtman eine Anordnung von zwei kurzen dün-nen Spulen, deren Abstand etwa gleich ihremRadius ist. Im Inneren ist das Magnetfeldweitgehend homogen. Die Induktion in derMitte zwischen den Spulen beträgt

Dabei bedeuten: μ0 = 4π 10-7 Vs/Am die

Fadenstrahlrohr E 28


54

Abb.1: Elektrische Beschaltung des Faden-strahlrohres. 1: Heizung, 2: Wehneltzylinder,3: Kathode, 4: Anode

BN I

R

8

1250 . (6)

magnetische Feldkonstante (Induktionskon-stante), N die Windungszahl der Spulen, I derStrom durch die Spulen, R der mittlere Radiusder Spulen und A der mittlere Abstand zwi-schen den beiden Spulen.Für A = R wird aus (5)

Die Bahn der Elektronen ist im Fadenstrahl-rohr sichtbar, weil die Röhre eine kleineMenge Neon enthält (ca. 1,3 Pa). Die Elek-tronen stoßen mit den Gasatomen zusammenund regen diese zur Lichtaussendung an.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Fadenstrahlrohr mit Sockel- HELMHOLTZ-Spulenpaar (Windungszahl

N = 124, Drahtstärke d = 1,5 mm, mittlererSpulenradius R 148 mm, mittlerer Ab-stand A 150 mm)

- Röhren-Stromversorgungsgerät

- Stromversorgungsgerät für HELMHOLTZ-Spulen (30 V, 5 A)

- 2 Vielfachmessgeräte- Sicherheits-Messleitungen- Messleitungen- Teslameter mit Hallsonde

3.1 Zwischen den beiden HELMHOLTZ-Spulen befindet sich das Fadenstrahlrohr, dasauf ein Gehäuse mit Fassung aufgesteckt ist.Das Elektrodensystem des Fadenstrahlrohres(siehe Abb.1) besteht aus einer indirektbeheizten Oxidkathode, einem Wehnelt-zylinder zur Abschirmung und Strahlfokussie-rung und einer mit einem Loch versehenenAnode. Über dem Elektrodensystem befindensich in Abständen von jeweils 20 mm Markie-rungen zur genauen Einstellung des Kreis-durchmessers des Elektronenstrahles. Heizspannung (+6…11V), Wehneltspannung(0…-30V) und Anodenspannung (0…+500V)für das Fadenstrahlrohr werden entsprechendAbb.1 dem Röhren-Stromversorgungsgerätentnommen. Die Helmholzspulen werden mit0…5 A Gleichstrom betrieben. Die Hallsondedient zur Messung der Stärke und Homogeni-tät des Magnetfeldes.


Das Fadenstrahlrohr ist teuer, gehen Sievorsichtig damit um! Die Beschleunigunsspannung (max. 500 V,50 mA) ist berührungsgefährlich! Für alleAnschlüsse an das Röhren-Stromversor-gungsgerät sind daher Sicherheitsleitungenzu verwenden!

4.1 In einem Vorversuch sollen zunächst dieStärke des Magnetfeldes in Abhängigkeit vomStrom und seine Homogenität gemessenwerden.Die beiden Magnetspulen werden in Reihe andas Netzgerät 30V/5A angeschlossen. AchtenSie auf gleiche Stromrichtung in den Spulen!Zur Strommessung wird ein Vielfachmesserverwendet, da dieser genauer ist als dieAnzeige des Netzgerätes.


55

B K I . (7)

Messen Sie mit Hilfe der Hallsonde dasMagnetfeld in der Mitte zwischen den Helm-holtzspulen in Abhängigkeit vom Strom fürI = 0…5 A (etwa 10 Messpunkte). DerSensorchip muss dabei genau senkrecht zumMagnetfeld gerichtet sein (nach Augenmaß).Klemmen Sie ein Lineal senkrecht in der Mittezwischen den Spulen fest und messen Sie beiI = 3 A das Magnetfeld im Bereich von etwa12 cm unter bis 12 cm über der Mitte derSpulenanordnung alle 2 cm.Bestimmen Sie außerdem den Abstand A undden Durchmesser 2R beider Helmholtzspulenan wenigstens drei verschiedenen Stellen.(Gl.(5) gilt für Spulen mit vernachlässigbaremQuerschnitt, es ist also von Mitte bis Mitteder Wicklungen zu messen!).

4.2 Das Fadenstrahlrohr wird zwischen dieMagnetspulen gestellt und entsprechendAbb.1 angeschlossen.

Wenn das ältere Fadenstrahlrohr (mit Sockel ausAluminium, nicht isolierend) verwendet wird, dannmuss aus Sicherheitsgründen zusätzlich der grün-gelbe Erdungsanschluss mit dem Schutzleiteran-schluss am 5A-Stromversorgungsgerät verbundenwerden.

Anodenspannung, Spulenstrom und Heiz-spannung sind so einzurichten, dass einkreisförmiger Elektronenstrahl sichtbar wird,der mit Hilfe der Wehneltspannung fokussiertwird. (Der Heizstrom wird durch eine Siche-rung abgeschaltet, wenn der auf dem Röhren-sockel notierte Schwellwert überschrittenwird.)Für die Beschleunigungsspannungen U =150 V, 200, 300 V und 400 V sind jeweils dieKreisdurchmesser 2r = 40 mm, 60 mm,80 mm und 100 mm einzustellen und derzugehörige Magnetstrom ist zu messen.

5 Auswertung

5.1 Aus Gleichung (4) bzw. (5) folgt

Die Konstante K ist aus den gemessenenWerten für R und A zu berechnen.Die Magnetflussdichte B ist in Abhängigkeitvom Strom I grafisch darzustellen. BestimmenSie K als Anstieg der Kurve und vergleichenSie diesen Wert mit dem aus der Spulen-geometrie berechneten Wert.Zeichnen Sie die Ortsabhängigkeit des Mag-netfeldes in radialer Richtung, indem Sie dieGröße B(x)/B(x=0) in Prozent grafisch dar-stellen.

5.2 Für alle Messungen ist die Magnetfluss-dichte B aus dem Spulenstrom zu berechnenund e/m nach Gl. (4) zu bestimmen. Als Ergebnis ist der Mittelwert aus allenEinzelmessungen anzugeben. Diskutieren Siesystematische Fehler in der Messanordnungund führen Sie eine Fehlerrechnung durch!

6 Literatur

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer 2014

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a. 2010

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Kräfte üben elektrische undmagnetische Felder auf die Elektronen aus?

7.2 Wie berechnet man das Magnetfeld einerRingspule?

7.3 Was passiert, wenn man den Restgas-druck in der Röhre ändert?

Elektrizitätslehre E 37 Transistor-Verstärker

56

VU

UA

E

. (1)

Abb.1: Elementarer Verstärker

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Übertragungskennlinie eines elemen-taren Transistorverstärkers ist aufzunehmenund die Spannungsverstärkung im Arbeits-punkt zu berechnen.

1.2 Die Spannungsverstärkung der Grund-schaltung ist in Abhängigkeit von der Fre-quenz zu bestimmen.

1.3 Das Verhalten des Verstärkers beifalschen Arbeitspunkteinstellungen und beiÜbersteuerung ist zu untersuchen.


Jeder elektronische Verstärker besteht auseinem elementaren Verstärker und, je nachAnwendung, aus weiteren zusätzlichen Bau-elementen für die Einstellung des Arbeits-punktes, für die Stabilisierung, für die Gegen-kopplung oder zur Ein- und Auskopplung derSignale.Der elementare Verstärker (Abb.1) bestehtaus einer elektrischen Quelle (Batterie oderNetzteil mit der Betriebsspannung UB) undeinem Spannungsteiler, der sich aus einemkonstanten Widerstand RA (Arbeits- oderLastwiderstand und einem elektrisch steuer-baren Widerstand (Transistor) zusammen-setzt. Der Transistor wird durch die SpannungUE am Eingang E des Verstärkers gesteuert.Die Spannung UA am Ausgang A des Ver-

stärkers ist Teil der Betriebsspannung UB; dieAusgangsleistung des Verstärkers ist Teil derLeistung der elektrischen Quelle.Die Abhängigkeit der Ausgangsspannung UA

von der Eingangsspannung UE (bei konstanterBetriebsspannung) wird durch die Über-tragungskennlinie des elementaren Transistor-verstärker (Abb.2) dargestellt. Im steil abfal-lenden Teil dieser Kennlinie wird der Arbeits-punkt des Verstärkers festgelegt. Nur in derUmgebung dieses Arbeitspunktes ist eineoptimale Spannungsverstärkung möglich.Kleine Änderungen der Eingangsspannungbewirken große Änderungen der Ausgangs-spannung. Die Spannungsverstärkung V istdefiniert als

Die Spannungsverstärkung lässt sich aus demAnstieg der Tangente im Arbeitspunkt er-mitteln.

Der elementare Transistorverstärker kann zueiner R-C-gekoppelten Grundschaltung(Abb.3) erweitert werden. Mit Hilfe einesSpannungsteilers wird eine konstante Gleich-spannung von (0,7 ± 0,1)V an den Eingangdes Verstärkers gelegt, damit der Verstärkerimmer im Arbeitspunkt arbeitet. Der Arbeits-punkt ist dann richtig eingestellt, wenn dieAusgangsspannung ca. 50 % der Betriebs-spannung beträgt.Zur Grundschaltung gehört noch ein Ein

Abb.2: Übertragungskennlinie

Transistor-Verstärker E 37


57

Abb.3: Schaltung des Verstärkers

Abb.4: Frequenzgang eines Verstärkers (f-Achse logarithmisch geteilt)

gangskondensator, der verhindert, dassGleichströme in den Verstärker fließen, dieden Arbeitspunkt verschieben würden.Der Eingangskondensator und die Wider-stände des Spannungsteilers zusammen mitdem Widerstand Re in der Emitterleitung desTransistors bilden einen sogenannten RC-Hochpass, der hohe Frequenzen hindurchlässtund tiefe Frequenzen sperrt. Die Grenz-schichtkapazitäten des Transistors und derArbeitswiderstand RA des Verstärkers wirkenwie ein Tiefpass. Wechselspannungen ver-schiedener Frequenzen werden deshalb unter-schiedlich verstärkt.Die Darstellung der Verstärkung V in Abhän-gigkeit von der Frequenz f (Abb.4) nennt manden Frequenzgang. Die Abszisse (Frequenz-Achse) ist dabei logarithmisch geteilt.Als Grenzfrequenzen (untere Grenzfrequenzfu, obere Grenzfrequenz fo) werden die Fre-quenzen bezeichnet, bei denen die Verstär-kung V auf den Wert Vmax /2 gesunken ist.Als Bandbreite wird die Differenz ( fo - fu )definiert.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Tafel mit aufgebautem Verstärker- Stromversorgungsgerät (stabilisiert)- Oszilloskop (siehe Anhang)- Funktionsgenerator HM8130- 2 Digitalmultimeter- Verbindungsleitungen, BNC-T-Stück

3.1 Der Verstärker entsprechend Abb.3 ist aufeiner Tafel fest aufgebaut.Bei der Aufnahme der Übertragungskennliniewerden die Eingangsspannung UE und dieAusgangsspannung UA (Gleichspannungen)mit den Digitalmultimetern gemessen.

3.2 Bei der Bestimmung der Spannungsver-stärkung der Grundschaltung wird die Ein-gangswechselspannung vom Funktions-generator geliefert. Eingangs- und Ausgangs-spannung werden mit dem Oszilloskop ge-messen. Achtung: Der Funktionsgenerator zeigt dieAmplitude des unbelasteten Ausgangs an; beiAnschluss einer Last ist die Ausgangsspan-nung kleiner als der angezeigte Wert.


4.0 Lesen Sie die Kurzanleitung zum Oszil-loskop im Anhang. Beachten Sie bei allenMessungen mit verschiedenen Geräten dieUnterschiede zwischen Spitze-Spitze-Span-nung USS, Maximalwert Û, sowie EffektivwertUeff einer Wechselspannung!

4.1 Zur Aufnahme der Übertragungskennliniewird die Betriebsspannung (UB = +10 V) wiefolgt angelegt (Abb.2): Plus-Pol der Span-nungsquelle an entsprechende Buchse desVerstärkers (+10 V), Minus-Pol der Span-nungsquelle an Massebuchse ().Der Widerstand Re ist auf Null zu stellen(Linksanschlag). Die Vielfachmesser für dieSpannungsmessungen sind einzubauen.Nun wird die Eingangsspannung UE mit demSpannungsteiler von 0 Volt bis zum Maximal-wert variiert und die dazugehörigen Aus-


58

gangsspannungen UA werden gemessen(mindestens 10 Messpunkte).

4.2. Zur Bestimmung der Spannungsver-stärkung V der Grundschaltung in Abhängig-keit von der Frequenz einer Wechselspannungwird zunächst der Arbeitspunkt des Ver-stärkers eingestellt. (UA = 5 V).Die beiden Vielfachmesser werden aus derSchaltung entfernt, der Funktionsgenerator anden Eingang E und das Oszilloskop an denAusgang A des Verstärkers angeschlossen.Mit Hilfe des BNC-T-Stücks wird der Gene-ratorausgang zusätzlich mit dem 2. Kanal desOszilloskops verbunden. Zur Messung von Eingangs- und Ausgangs-spannung ist ist das Oszilloskop in die Be-triebsart DUAL zu schalten mit UE als Trigger-quelle.Am Generator wird zunächst eine Frequenzvon f = 1 kHz eingestellt. Die Amplitude ist soeinzustellen, dass UE = 40 mV (Spitze-Spitze-Wert USS) ist.Die Ausgangswechselspannung UA (USS) istnun mit dem Oszilloskop zu messen. Die Messung ist bei den folgenden Frequen-zen zu wiederholen, wobei jedesmal UE =40 mV eingestellt werden muss:30 Hz; 100 Hz; 300 Hz; 1 kHz; 3 kHz;10 kHz; 30 kHz; 100 kHz; 300 kHz; 1 MHz;3 MHz; 10 MHz.

4.3 Die Schaltung aus 4.2. wird beibehalten,die Frequenz auf 10 kHz eingestellt. DieEingangskopplung des Oszilloskops sollte aufDC geschaltet sein.

4.3.1 Bei richtiger Arbeitspunkteinstellungwird die Eingangsspannung UE auf USS =400 mV erhöht und die so entstandene Über-steuerung skizziert.

4.3.2 Bei einer Eingangsspannung von USS =40 mV wird der Arbeitspunkt des Verstärkersmit Hilfe des Eingangs-Spannungsteilers aufder Kennlinie nach oben und nach untenverschoben. Die so entstandenen nichtlinearenVerzerrungen werden skizziert.

4.3.3 Bei richtiger Arbeitspunkteinstellung isteine Eingangsspannung von USS = 200 mV zuwählen. Das Bild auf dem Oszilloskop ist soeinzustellen, dass eine Schwingung denBildschirm voll ausfüllt. Durch Veränderungdes Widerstandes Re kann der Einfluss derGegenkopplung auf das Verhalten des Ver-stärkers untersucht werden.

5 Auswertung

5.1 Die Übertragungskennlinie ist grafischdarzustellen. Die Spannungsverstärkung Vwird aus dem Anstieg im Arbeitspunkt (beiUA = 5 V) nach Gl. (1) bestimmt.

5.2 Die Spannungsverstärkung V der Grund-schaltung errechnet sich nach V = UA /UE.Die Verstärkung V ist in Abhängigkeit vonder Frequenz f graphisch darzustellen, wobeidie Abszisse (Frequenzachse ) logarithmischgeteilt wird (vergl. Abb.3) Die untere und dieobere Grenzfrequenz fu und fo sowie dieBandbreite sind zu bestimmen.

5.3 Diskutieren Sie die skizzierten Span-nungsverläufe aus den Untersuchungen in 4.3.

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a., 2006

7 Kontrollfragen

7.1 Wie funktioniert ein Oszilloskop?

7.2 Wie ist ein (Bipolar-)Transistor aufge-baut?

7.3 Erläutern Sie die Begriffe Verstärkung,Übertragungskennlinie, Grenzfrequenz!

7.4 Was sind Maximalwert (Spitzenwert)und Effektivwert einer Wechselspannung?

Optik, Atom- und Kernphysik O 6 Gitterspektrometer

59

Abb.1: Zur Berechnung des Gangunterschie-des gebeugter Lichtstrahlen an einem Gitter

b sin . (1)

k k( ; ; ; ...) .0 1 2 (2)

( )2 12

k (3)

sin .

k

kb

(4)

b

kksin

. (5)

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Gitterspektrometer ist zu justieren.

1.2 Die Wellenlängen der Spektrallinien vonHelium sind zu bestimmen.


Die Beugung ist einer der Effekte, die dieWellennatur des Lichtes belegen. Sie kann mitHilfe des HUYGENS-FRESNELschen Prinzipsbeschrieben werden, wonach jeder Punkt einerWellenfront als Ausgangspunkt einer Elemen-tarwelle (Kugelwelle) aufgefasst wird. Diesichtbare Wellenerscheinung entsteht danndurch Überlagerung (Interferenz) dieserElementarwellen. Trifft eine ebene Lichtwelleauf ein Hindernis, so kann sich danach dieebene Wellenfront nicht mehr vollständigformieren, weil diejenigen Elementarwellenfehlen, die auf die lichtundurchlässigen Berei-che getroffen sind; es entstehen Beugungs-erscheinungen. Abb.1 zeigt dies für ein optisches Gitter(Transmissionsgitter). In ihr bedeuten: a =Spaltbreite, b = Abstand der Spalte (Gitter-konstante), φ = Beugungswinkel.Es wird vereinfachend angenommen, dassjeder Spalt Ausgangspunkt nur einer Elemen-tarwelle ist.

Der Gangunterschied zwischen den Elemen-tarwellen zweier benachbarter Spalte ist

In der Überlagerung der Elementarwellentreten bei Beobachtung aus großer Entfernung(FRAUNHOFERsche Beobachtungsweise) In-tensitätsmaxima (Beugungsmaxima; kon-struktive Interferenz) in den Richtungen φk

auf, für die der Gangunterschied ein ganz-zahliges Vielfaches der Wellenlänge ist:

Intensitätsminima entstehen in den Richtun-gen, in denen der Gangunterschied

beträgt. Hierbei ist k eine Laufzahl, die Beu-gungsordnung. Das ungebeugt durch dasGitter gehende Licht bezeichnet man auch alsnullte Beugungsordnung (k = 0).Aus (1) und (2) folgt für die Beugungsmaxi-ma:

Diese Maxima sind umso intensiver undschärfer, je mehr Elementarwellen an dieserStelle konstruktiv interferieren, d.h., je größerdie Zahl der Gitterspalte ist.Aus Gleichung (4) geht hervor, dass die Lageder Beugungsmaxima von der Wellenlängeabhängt (Dispersion). Rotes Licht wirdstärker gebeugt als blaues, so dass weißesLicht in seine Spektralfarben zerlegt werdenkann.Mit Hilfe der Beugungswinkel φk könnenWellenlängen des Lichtes bestimmt werden:

Die Leistungsfähigkeit eines Spektralappara-

Gitterspektrometer O 6


60

Abb. 2: Prinzip des Gitterspektrometers

A

. (6)

A N k . (7)

tes wird durch sein Auflösungsvermögencharakterisiert:

Dabei ist Δλ die kleinste Wellenlängendiffe-renz, die mit dem Spektralapparat nochgetrennt wahrgenommen werden kann. Ist Ndie Anzahl der Gitterspalte (d.h. nach obigerBetrachtung der Elementarwellen), die zurInterferenz beitragen, so ist

Das theoretische Auflösungsvermögen einesGitters ist folglich proportional zur Beugungs-ordnung und zur Anzahl N der ausgeleuchte-ten Gitterspalte.

Abb.2 zeigt den prinzipiellen Aufbau einesGitterspektrometers. Der von der Lichtquellebeleuchtete Spalt muss sich in der Brennebeneder Kollimatorlinse befinden, damit parallelesLicht das Spaltrohr verlässt und auf das Gittertrift. Die parallelen (d.h. scheinbar aus demUnendlichen kommenden) gebeugten Licht-strahlen werden mit einem Fernrohr beobach-tet oder auch mit einer Sammellinse (Projek-tiv) auf einem Schirm, einer Fotoplatte odereiner CCD-Zeile abgebildet.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Einkreis-Reflex-Goniometer mit Trafo- Gitter im Diarahmen, ca. 140 Str./mm (die

exakte Gitterkonst. steht auf dem Gitter)- Helium-Lampe mit Vorschaltgerät- Hilfsspiegel

3.1 Zur Messung der Beugungswinke φ wirdein Einkreis-Reflex-Goniometer ERG 3verwendet. Es besteht im wesentlichen auseinem Kollimator mit einstellbarem Spalt undKollimatorlinse, einem drehbaren Tisch mitdem Gitter und einem schwenkbaren Fernrohrmit einer Winkelmesseinrichtung, die esgestattet, Winkel mit einer Genauigkeit von 1''(1 Bogenminute) zu messen.Als Lichtquelle dient eine Helium-Lampe, dieüber ein Vorschaltgerät betrieben wird.


Machen Sie sich zuerst mit der Bedienung desGoniometers vertraut. Notieren Sie die Gitter-konstante, die auf dem Gitter steht.

4.1 Justierung des Gitterspektrometers:Ziel der Justierung ist es, das Gitter senkrechtzum Strahlengang auszurichten und mitparallelem Licht zu beleuchten, sowie denSpalt und das Fadenkreuz im Fernrohr scharfzu sehen.

Fernrohr: Revolvereinstellung , Schiebernach rechts. Durch Verschieben des Okularswird das Fadenkreuz scharfgestellt. Danachwird das Fernrohr mittels Autokollimation aufunendlich fokussiert. Hierzu wird das Fern-rohr senkrecht auf den Spiegel in der Git-terhalterung gerichtet und das Fadenkreuz mitHilfe des GAUSSschen Okulars beleuchtet.Das Licht trifft auf den Spiegel und wird vondiesem reflektiert, so dass im Fernrohr dashell beleuchtete Fadenkreuz und sein schwar-zes Spiegelbild beobachtet werden können.Das Spiegelbild ist genau dann scharf, wenndas Fernrohr auf unendlich eingestellt ist.

Kollimator: Zur Justierung des Kollimatorswerden Fernrohrachse und Kollimatorachsezur Übereinstimmung gebracht, indem derSpalt beleuchtet und scharf sowie symme-trisch zum Fadenkreuz abgebildet wird (Spie-gel entfernen!). Die Scharfstellung erfolgtjetzt durch Verschieben des Spaltrohres (nichtam Fernrohr!). Es ist eine optimale Spaltbreite


61

k rechts links .

2(8)

einzustellen: möglichst klein, aber Spalt undFadenkreuz noch gut sichtbar.Das Fernrohr wird arretiert.

Gitter: Um das Gitter senkrecht zur gemein-samen Achse von Fernrohr und Kollimatorauszurichten, wird durch Drehung des Gitter-tisches das Spiegelbild des beleuchtetenFadenkreuzes mir dem Fadenkreuz selbst zurDeckung gebracht. Da das Gitter zu wenigLicht reflektiert, ist der Spiegel an seinerStelle zu verwenden. Falls erforderlich, mussdie Neigung des Tisches mit Hilfe der dreiStellschrauben justiert werden. Der Tisch wird arretiert, die Beleuchtung desGAUSSschen Okulars ausgeschaltet und dasFernrohr entarretiert.

4.2 Zur Messung der Beugungswinkel φk

wird das Fadenkreuz des Fernrohrs nach-einander mit den He-Spektrallinien zur Dec-kung gebracht und die dazugehörigen Winkel-stellungen φ' werden abgelesen.Es werden alle sichtbaren Spektrallinien(mindestens 6) jeweils in der ersten, zweitenund dritten Beugungsordnung vermessen, undzwar sowohl links als auch rechts bezogen aufdie nullte Beugungsordnung. Die Beugungs-winkel ergeben sich dann aus:

5 Auswertung

Die Beugungswinkel φk werden nach Glei-chung (8) und daraus die Wellenlängen mitHilfe von Gleichung (5) berechnet.Die Wellenlänge der Spektrallinien als Funkti-on der Beugungswinkel ist für alle drei Beu-gungsordnungen gemeinsam in einem Dia-gramm grafisch darzustellen.Die Ergebnisse sind mit den Literaturwertenzu vergleichen. Wurden alle Messungen exaktdurchgeführt, dann sollten die Abweichungennicht viel größer als die abgeschätzte Messun-sicherheit sein.

6 Literatur

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, SpringerBerlin, 2010


Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik, Bd. 3, de Gruyter, 2004

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Interferenzerscheinungen tretenam Gitter auf?

7.2 Wie funktioniert ein Gitterspektrometer?

7.3 Wie erklärt sich dessen Auflösungsver-mögen?

7.4 Was ist und wie entsteht Licht?

Optik, Atom- und Kernphysik O 10 Polarimeter und Refraktometer

62

Abb. 1: Lage des elektrischen und magneti-schen Feldstärkevektors für einen Wellenzug

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Konzentration einer wässrigenZuckerlösung (Saccharose) ist mit demPolarimeter zu bestimmen.

1.2.1 Die Brechzahl von Glycerol-Wasser-Gemischen ist in Abhängigkeit von der Kon-zentration mit dem Refraktometer zu be-stimmen.

1.2.2 Von einem vorgegebenen Glycerol-Wasser-Gemisch ist die Konzentration zuermitteln.

2 Grundlagen

Lichtwellen sind elektromagnetische Wellen.Jeder Lichtstrahl besteht dabei aus einerVielzahl einzelner Wellenzüge. Ein solcherWellenzug besteht aus einem elektrischem undeinem damit verkoppelten magnetischemWechselfeld, deren Lage jeweils transversal(senkrecht) zur Ausbreitungsrichtung ist.Elektrische und magnetische Feldstärkeschließen einen Winkel von 90° ein (Abb.1).Besteht ein Lichtstrahl aus natürlichem (un-polarisiertem) Licht, können die elektrischenund magnetischen Felder in beliebige, dabeiaber immer zur Ausbreitungsrichtung trans-

versale Richtungen schwingen. Licht heißtlinear polarisiert, wenn alle elektrischen Feldernur noch in einer transversalen Richtungschwingen. Die zugehörigen magnetischenFelder liegen dann senkrecht dazu auch nurnoch in einer Richtung.Die Richtung der elektrischen Feldstärkevek-toren heißt Schwingungsrichtung oder Polari-sationsrichtung des Lichtes.

2.1 Aus normalem, unpolarisiertem Lichterzeugt man linear polarisiertes Licht durchReflexion an einem durchsichtigen Stoff unterdem BREWSTERschen Winkel, durch Doppel-brechung (NICOLsches Prisma, siehe Litera-turangaben) oder mit Hilfe von Polarisations-filtern auf der Basis dichroitischer Folien.Unter Dichroismus versteht man die Eigen-schaft mancher doppelbrechender Stoffe,einen der beiden senkrecht zueinander linearpolarisierten Teilstrahlen zusätzlich stark zuabsorbieren, während der andere fast un-geschwächt hindurchgeht. Dichroismus lässtsich künstlich erzeugen in Polymerfilmen,deren Makromoleküle parallel ausgerichtetsind (Formdoppelbrechung, siehe VersuchO4). Damit lassen sich preiswerte Polarisa-tionsfilter herstellen, die einen Polarisations-grad von über 99% aufweisen.

Optisch aktive Substanzen sind Stoffe, diebeim Durchgang von linear polarisiertemLicht dessen Schwingungsrichtung drehen.Diese optische Aktivität kann hervorgerufenwerden durch asymmetrische Molekülstruktu-ren (z.B. bei asymmetrischen Kohlenstoff-atomen) oder durch die schraubenförmigeAnordnung von Gitterbausteinen. MancheSubstanzen, von denen zueinander spiegel-bildliche Isomere existieren (chirale Verbin-dungen), gibt es in einer rechtsdrehenden (+)und einer linksdrehenden () Variante. Bei-spiele sind die verschiedenen Zucker undMilchsäure.

Polarimeter und Refraktometer O 10


63

Abb. 2: Strahlengang der Brechung für n2>n1 . links: allgemeiner Fall, rechts:streifender Lichteinfall

nc

c 0 . (2)

k l c . (1)

n n1 2 sin sin . (3)

sin .Gr

n

n 1

2

(4)

Abb. 3: Strahlengang am Abbe-Refrakto-meter

Bei Lösungen von optisch aktiven Substanzenhängt der Drehwinkel von der Art des Stoffes,von der Dicke der durchstrahlten Schicht(Länge l des Polarimeterrohrs), von derKonzentration c und von der Wellenlänge λab. Diese Wellenlängenabhängigkeit nenntman Rotationsdispersion. Blaues Licht wirdstärker gedreht als rotes.Für den Drehwinkel φ gilt:

Die Materialgröße k heißt spezifische Dre-hung oder spezifisches Drehvermögen, siehängt von der Wellenlänge ab.

2.2 Die Brechzahl n eines Stoffes ist definiertals das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit imVakuum c0 zur Lichtgeschwindigkeit c imStoff:

Sie ist abhängig vom Material und von derWellenlänge λ des Lichtes (Dispersion). Ineiner Lösung ist die Brechzahl von der Kon-zentration (d. h. vom Mischungsverhältnis)abhängig. Die Messung der Brechzahl eignetsich deshalb in manchen Fällen für genaue undeinfach durchführbare Konzentrationsmessun-gen. Anwendungen sind z. B. die Bestimmungdes Gesamteiweißgehaltes im Blutserum inder Medizin oder die Bestimmung des Zu-ckergehaltes im Traubensaft in der Winzerei.

Beim Übergang des Lichtes von einem optischdünneren Medium mit der Brechzahl n1 zueinem optisch dichteren Medium mit der

Brechzahl n2 (n2 > n1) werden die Licht-strahlen zum Einfallslot hin gebrochen(Abb.2). Bezeichnet man den Einfallswinkelmit α und den Brechungswinkel mit β, solautet das Brechungsgesetz:

Für den größtmöglichen Einfallswinkelα = 90° (streifender Lichteinfall) ergibt sichein maximaler Brechungswinkel βGr. Den Strahlengang in Abb.2 kann man auchumkehren: vom optisch dichteren Medium(n2) zum optisch dünneren Medium (n1),Einfallswinkel β, Ausfallswinkel α. Für β > βGr

wird kein Licht in das optisch dünnere Medi-um gebrochen, denn das Brechungsgesetz (3)kann nicht erfüllt werden. Statt dessen wirddas Licht an der Grenzfläche vollständigreflektiert. βGr heißt deshalb Grenzwinkel derTotalreflexion. Aus dem Brechungsgesetz ergibt sich:

Bei bekannter Brechzahl n2 (Messprisma desRefraktometers) kann somit durch die Mes-sung des Grenzwinkels βGr die Brechzahl n1

des anderen Mediums (der Messflüssigkeit)bestimmt werden.Zur Messung des Grenzwinkels beleuchtetman die Grenzfläche durch eine Mattscheibemit rauer Oberfläche (siehe Abb.3). DieLichtstrahlen treffen dann unter allen mögli-chen Einfallswinkeln zwischen 0 und 90 aufdie Grenzfläche. Somit können alle Bre-chungswinkel zwischen 0 und βGr auftreten.Wenn man durch ein Fernrohr unter demWinkel βGr auf die Grenzfläche blickt, siehtman eine Hell-Dunkel-Grenze; diese lässt sich


64

Abb. 4: Dreigeteiltes Gesichtsfeld im Polari-meter

leicht ausmessen.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Polarimeter mit Natrium-Spektralleuchte- Polarimeterrohr (Länge 200 mm)- Flasche mit Zuckerlösung- Refraktometer nach ABBE

- 2 Büretten mit Glycerol 83 Vol.% und aquadest.

- diverse Glasgeräte- Fläschchen mit Glycerol-Wasser-Gemisch

unbekannter Konzentration

3.1 Das Polarimeter besteht aus einer mono-chromatischen Lichtquelle (Na-D-Licht,λ = 589,3 nm), einem Polarimeterrohr, einemPolarisator und einem drehbaren Analysatormit Winkelmesseinrichtung. Stehen die Schwingungsrichtungen (Durch-lassrichtungen) von Polarisator und Analysa-tor senkrecht zueinander (gekreuzt), so ist dasGesichtsfeld im Polarimeter dunkel.Bringt man dann zwischen Polarisator undAnalysator das Polarimeterrohr mit derLösung des optisch aktiven Stoffes (Zuckerlö-sung), so wird das Gesichtsfeld aufgehellt, dadie Schwingungsrichtung des linear polarisier-ten Lichtes um den Winkel φ gedreht wurde.Dreht man den Analysator um diesen Winkelφ nach, so ist das Gesichtsfeld wieder dunkel.Auf diese Weise lässt sich der Drehwinkel φmessen.Da die Einstellung des Gesichtsfeldes aufmaximale Dunkelheit oder Helligkeit ohneVergleich sehr ungenau ist, benutzt man imPolarimeter ein dreigeteiltes Gesichtsfeld(siehe Abb.4). Dazu besteht der Polarisator

aus zwei um 10 gegeneinander versetztenPolarisationsfolien (Halbschattenpolarimeter).Während des Messvorganges wird der Dreh-winkel des Analysators so eingestellt, dasssich die drei Teile des Gesichtsfelds nichtunterscheiden (gleiche Resthelligkeit) und dieTrennlinien nahezu verschwinden. Bei einergeringen Drehung in eine Richtung muss dermittlere Teil heller und bei geringer Drehungin die entgegengesetzte Richtung dunkler alsdie äußeren Teile werden.Zur genauen Ablesung des Winkels für denUmschlagpunkt ist die Winkelmesseinrichtungam Analysator mit einem Nonius ausgestattet,mit dessen Hilfe der Winkel auf 0,05 genauabgelesen werden kann.

3.2 Mit dem vorliegenden Refraktometernach ABBE wird die Brechzahl nD (bei Na-D-Licht, 589 nm) unter Verwendung von natür-lichem (weißem) Licht bestimmt. Die beiFlüssigkeiten recht starke Dispersion wirddabei durch ein AMICI-Prismenpaar kompen-siert, welches für Na-D-Licht geradsichtig ist.Andere Refraktometer arbeiten mit mono-chromatischem Licht (früher Natriumdampf-lampe, heute spezielle LEDs). Das Gerätbesteht im wesentlichen aus

- einem Beleuchtungsprisma mit einer rauenOberfläche,

- einem Messprisma, dessen Brechzahl n2

größer sein muss als die Brechzahl n1 derMessflüssigkeit,

- einem schwenkbaren Fernrohr mit Winkel-messeinrichtung, wobei auf der gemäßGleichung (4) kalibrierten Skale Brechzah-len abgelesen werden können,

- einer Einrichtung zur Kompensation bzw.zum Messen der Dispersion.

Der Grenzwinkel der Totalreflexion βGr er-scheint im Fernrohr als Grenzlinie zwischendem hellen und dem dunklen Bereich desSehfeldes.Eine einfache Prüfung der Justierung derRefraktometers kann mit destilliertem Wassererfolgen, dessen Brechzahl ist nD = 1,3330 bei20°C bzw. nD = 1,3325 bei 25°C.


65

m 0 . (5)


4.1 Zu Beginn wird die Na-Spektralleuchteeingeschaltet; nach ca. 5 min erreicht dieLampe ihre maximale Helligkeit.Durch Verdrehen des Okularringes wird dasGesichtsfeld scharfgestellt. Die Nullstellungdes Polarimeters wird bestimmt, indem manohne Polarimeterrohr die Einstellung desGesichtsfeldes wie in 3.1 beschrieben vor-nimmt (Umschlagpunkt einstellen) und dendazugehörigen Winkel φ0 abliest. Die Mes-sung ist 5 mal zu wiederholen.Das Polarimeterrohr soll möglichst blasenfreimit Zuckerlösung gefüllt werden. Dazu hältman das Rohr senkrecht und füllt es voll-ständig. Das Glasfenster (ohne Schraubkappe)wird seitlich über die Öffnung geschoben undüberflüssige Lösung mit Zellstoff entfernt.Danach wird das Rohr (nicht zu fest) zu-geschraubt und in das Polarimeter eingelegt.Eine verbleibende kleine Blase kann in dieVerdickung des Polarimeterrohres gebrachtwerden. Nach dem erneuten Scharfstellen des Ge-sichtsfeldes wird der Analysator nachgedrehtund wieder der Umschlagpunkt eingestellt.Der zugehörige Winkel φm ist abzulesen. Auchdiese Messungen werden 5 mal durchgeführt.Der Drehwinkel φ ergibt sich dann als Diffe-renz der Mittelwerte von φm und φ0:

Nach den Messungen wird die verwendeteZuckerlösung in die Flasche zurückgefüllt unddas Polarimeterrohr mit Wasser ausgespült;das Rohr ist offen zu lassen.

4.2 Das Refraktometer wird so hingestellt,dass sich die beiden Prismen auf der rechtenSeite befinden. Die Lichteintrittsöffnung derSkalenbeleuchtung (links oben) muss aufge-klappt sein.Die Prismen werden auseinander geklappt,das Beleuchtungsprisma mit der rauen Ober-fläche (unten) wird etwa waagerecht einge-richtet. Nun bringt man einen Tropfen derMessflüssigkeit auf das Beleuchtungsprisma,danach wird das Beleuchtungsprisma auf das

Messprisma geklappt und der Riegel ge-schlossen (ohne Kraftaufwand!). Durch Verdrehen der Okulare wird die Skaleim Ablesemikroskop (links) und das Faden-kreuz im Fernrohr (rechts) scharfgestellt.Wenn nötig, kann die Skalenbeleuchtungdurch Einstellen der spiegelnden Klappe (linksoben) verbessert werden. Durch Ausrichtendes Beleuchtungsspiegels erhält man einhelleres Bild im Fernrohr (rechts). Nun wird die Grenzlinie zwischen Hell- undDunkelfeld im Fernrohr aufgesucht. Ein evtl.vorhandener Farbsaum wird durch Verstellender AMICI-Prismen (kleiner Rändelknopfrechts) beseitigt. Die Hell-Dunkel-Gernzewird mit Hilfe des großen Rändelknopfes(links) auf die Mitte des Fadenkreuzes einge-stellt und die dazugehörige Brechzahl wirdabgelesen.

Zuerst ist die Justierung des Refraktometersmit destilliertem Wasser zu überprüfen. Wenndie ermittelte Brechzahl um mehr als einenSkalenteil vom Sollwert abweicht, dann bittenSie den zuständigen Betreuer, das Gerät neuzu justieren.

Es werden die Brechzahlen für folgendeFlüssigkeiten gemessen:

- aqua dest.,

- Glycerol 83 Vol.%,

- 5 Glycerol-Wasser-Gemische: 4:1, 4:2, 4:4, 4:8, 4:16 und

- ein Glycerol-Wasser-Gemisch unbekannterKonzentration.

Für das Gemisch 4:1 nimmt man 4 ml Glyce-rol 83 vol% und 1 ml aqua dest., die weiterenGemische werden durch Verdünnung mitWasser hergestellt.Jede Brechzahl ist 5 mal zu messen (jeweilsNeueinstellung mit großem Rändelknopf). BeiWechsel der Messflüssigkeit und am Endesind die Prismen sorgfältig zu reinigen.

4.3 Die Brechzahl des Glycerol-WasserGemisches unbekannter Zusammensetzung istebenfalls fünf mal zu messen.

Optik, Atom- und Kernphysik O 16 Radioaktivität

66

5 Auswertung

5.1 Die Konzentration c (in g/l) der Zucker-lösung wird nach den Gleichungen (1) und (5)berechnet.Das spezifisches Drehvermögen von Sac-charose (C12H22O11) beträgt bei λ = 589,3 nmk = 66,456 grad ml dm-1 g-1. Die Länge desPolarimeterrohres ist (200 ± 0,2) mm. Es ist eine Fehlerrechnung durchzuführen. DieMessunsicherheit des Drehwinkels ergibt sichaus der Summe der statistischen Unsicherhei-ten von Nullstellung und Drehwinkel.

5.2 Aus den Mischungsverhältnissen werdendie Volumenkonzentrationen (reines Glycerolin Wasser) berechnet. Anschließend sind dieBrechzahlen in Abhängigkeit von der Volu-menkonzentration grafisch darzustellen.Mit Hilfe des Diagramms wird die Konzen-tration des unbekannten Glycerol-Wasser-Gemisches bestimmt. Die Konzentration ist in

Vol.% Glycerol anzugeben.

6 Literatur

Grimsehl, E.: Lehrbuch der Physik. Bd 3,B.G. Teubner, Leipzig 1978

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer 2014

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Licht?

7.2 Wie kann linear polarisiertes Lichterzeugt werden?

7.3 Was ist Brechung, wann tritt Totalrefle-xion auf?

7.4 Welche störenden Effekte kann Dispersi-on im Refraktometer hervorrufen?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Abhängigkeit der Strahlungsintensi-tät vom Abstand zur Strahlenquelle ist zuermitteln.

1.2 Der Schwächungskoeffizient und dieHalbwertsdicke von Blei für die Gamma-strahlung von Co-60 sind zu bestimmen.

1.3 Die Häufigkeitsverteilung der Zähl-rohrimpulse (Zählstatistik) ist zu untersuchen.


Unter Radioaktivität versteht man die Eigen-schaft bestimmter Atomkerne, sich infolgeungünstiger Proton-Neutron-Verhältnissespontan in andere Atomkerne oder Atomker-ne anderen Energieinhalts unter Emission

charakteristischer radioaktiver Strahlungumzuwandeln. Sie kommt natürlich vor, kannaber auch künstlich erzeugt werden (durchBeschuss stabiler Atomkerne). Abhängig vonder Art der Umwandlung entsteht dabeiα-Strahlung (Heliumkerne, bestehend aus 2Protonen und zwei Neutronen),β-Strahlung (Elektronen),β+-Strahlung (Positronen),γ-Strahlung (elektromagnetische Wellen miteiner Quantenenergie über 100 keV),Neutronen und (selten) Protonen.γ-Strahlung entsteht als Folge von Kernre-aktionen, bei denen der Kern in einen ange-regten Zustand gelangt ist. Aus diesem kehrter durch Aussendung von γ-Strahlung wiederin den Grundzustand zurück.

2.1 In einem radioaktiven Präparat ist dieZahl der sich pro Zeiteinheit umwandelnden

Radioaktivität O 16


67

d dN N t (2)

0( ) e tN t N (3)

I I x

0 e . (5)

P nN

np pN

n N n( )

1 (8)

d .dNAt

(1)

I I IP L , (4)

d1 2

2/

ln.

(7)

S Ph C P . (6)

Atomkerne proportional zur Zahl der vorhan-denen Kerne. Die (mittlere) Anzahl derKernumwandlungen pro Sekunde nennt manAktivität A:

Die Einheit heißt Becquerel (1 Bq = 1 s-1). Daalle Atomkerne mit der gleichen Wahrschein-lichkeit zerfallen folgt, dass während desfolgenden Zeitintervalls dt die Zahl der radio-aktiven Kerne um

(λ - Zerfallskonstante) abnehmen wird. Für dieAnzahl N gilt daher das Zerfallsgesetz

mit N0 der Zahl der radioaktiven Atomkernezur Zeit t = 0.

Wenn ein γ-Quant (oder auch ein α- oder β-Teilchen) von einem Strahlungsdetektor wiedem Geiger-Müller-Zählrohr registriert wird,löst es in diesem einen Stromimpuls aus; dieImpulse werden gezählt. Die pro Zeiteinheitregistrierte Impulsanzahl N heißt Impulsrate I,sie ist proportional zur Strahlungsintensität.Außerdem hängt sie von den Eigenschaftendes Zählrohres und unter Umständen auchvon der Energie der Strahlung ab.Die von einem radioaktiven Präparat erzeugteImpulsrate ergibt sich aus der Differenz derImpulsraten, die mit und ohne Präparatgemessen werden:

wobei IP die Messrate und IL den Leerwert(Nulleffektrate) bezeichnet. Der Nulleffektwird durch kosmische und Umgebungs-strahlung sowie durch Detektorstörimpulsebewirkt.

2.2 Beim Durchgang durch Materie wird dieIntensität der Gamma-Strahlung (gemessenals Impulsrate I) in Abhängigkeit von derDicke x des durchstrahlten Stoffes verringert(Schwächungsgesetz):

I0 ist die Intensität der einfallenden und I dieIntensität der austretenden Strahlung. μ heißtSchwächungskoeffizient und hängt vom Stoffund von der Energie der Gamma-Quanten ab.Für die Schwächung sind neben der elasti-schen Streuung (μS) drei Absorptionseffektewesentlich: Der Photoeffekt (μPh), die une-lastische Streuung (Comptoneffekt, μC) undder Paarbildung (μP):

Der Einfluss dieser einzelnen Effekte auf denSchwächungskoeffizienten ist energieabhän-gig, wobei die elastische Streuung und derPhotoeffekt bei niedrigen und der Paarbil-dungseffekt bei den höchsten Energien domi-nieren.Unter der Halbwertsdicke d1/2 eines Stoffesversteht man die Schichtdicke, nach der dieIntensität der Strahlung auf die Hälfte abge-sunken ist. Aus der Gleichung (5) folgt damit

2.3 Der radioaktive Zerfall eines Kerns istein Quantenprozess. Die Vorhersage einesgenauen Zeitpunktes für ein Zerfallsereignisist grundsätzlich nicht möglich, lediglich dieWahrscheinlichkeit des Zerfalls in einemgewissen Zeitraum ist bekannt. Die Anzahlder mit einem Zählrohr pro Zeiteinheit gemes-senen Impulse ist deshalb aus grundlegendenphysikalischen Gründen (und nicht etwawegen der Messunsicherheit der Geräte) eineZufallszahl. Dies merkt man besonders beikleinen Impulsraten bzw. kurzen Messzeiten.Ist N die Anzahl der radioaktiven Kerne und pdie Wahrscheinlichkeit für den Zerfall einesKerns, so ist die Wahrscheinlichkeit für dasAuftreten von n Zerfällen

mit dem Mittelwert µ = N p (auch Erwar-tungswert genannt). Für N und p0, washier in sehr guter Näherung gegeben ist, geht


68

e( )

!

n µµP n

n

(9)

( ) .n u n n (10)

2( )

21( )

2e

n µ

µP nµ

(11)

die Binomialverteilung (8) über in eine POIS-SONverteilung

mit dem Mittelwert µ. (Beachten Sie, dassdieses µ nicht identisch ist mit dem Schwä-chungskoeffizient µ in Abschnitt 2.2!)Die Poissonverteilung hat die wichtige Eigen-schaft, dass ihre Varianz σ2 gleich dem Mittel-wert ist. Hat man eine einmalige Messung vonn zufälligen (Poisson-verteilten) Ereignissen ineiner Zeiteinheit, so ist das Messergebnis n diebestmögliche Schätzung des Mittelwertes derVerteilung, d.h. n µ. Aus diesem Grund giltfür die Standardabweichung des Messergeb-nisses n immer

Die Statistische Messunsicherheit ist etwaWurzel aus dem Messwert.

Für große n kann außerdem die POISSON-verteilung durch eine GAUßverteilung

angenähert werden.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Radioaktives Präparat Co-60 (γ-Strahler

1,17 MeV und 1,33 MeV; A = 74 kBq 2010;t1/2 = 5,27 a)

- Geiger-Müller-Zählrohr- Digitalzähler- PC mit Software “Digitalzähler”- verschieden dicke Absorberplatten aus Blei

3.1 Co-60 ist ein γ-Strahler, der früher in derMedizin für die Telekobalttherapie verwendetwurde. Co-60 entsteht durch Neutronen-Einfang aus Co-59 und hat eine Halbwertszeitvon 5,27 Jahren. Das radioaktive Präparatbefindet sich in einer Bohrung in einemAcrylglasblock, der auf einem beweglichenSchlitten befestigt ist.

Zur Messung der Strahlungsintensität (Im-pulsrate) dient ein selbstlöschendes Geiger-Müller-Zählrohr. Das Zählrohr besitzt ein ca.15 µm dünnes Glimmerfenster, wodurch esaußer für γ- auch für β-Strahlung empfindlichist. Die Impulse werden von einem elektro-nischen Zähler registriert, der gleichzeitig dieBetriebsspannung für das Zählrohr liefert. Präparat und Zählrohr sind auf Schlittenmontiert, die auf einer Schiene mit cm-Skalein definiertem Abstand zueinander angeordnetwerden können. Der Abstand r zwischenPräparat und Zählrohrmitte ist 10 mm größerals der zwischen den Schlitten. Um z.B. r = 40mm einzustellen, muss der Abstand zwischenden Schlitten 3 cm betragen. Absorberplatten verschiedener Dicke könnenauf einen weiteren Schlitten gestellt werden,der zwischen Präparat und Zählrohr auf dieSchiene gesetzt wird.


Die Co-60 - Quelle ist ein umschlossenesPräparat mit einer Aktivität unterhalb derFreigrenze laut Strahlenschutzverordnung.Die Strahlenbelastung (effektive Dosis) beider Durchführung des Versuches liegt in derGrößenordnung von 1 µSv, das entspricht0,1% der Dosis bei einer medizinischenRöntgenaufnahme.

4.1 Für das Zählrohr ist eine Betriebsspan-nung von 480 V einzustellen. Die Messzeitbeträgt 60 s. Alle Messungen werden jeweils

Strahlenschutz

Entsprechend der Strahlenschutzver-ordnung ist jede Bestrahlung, auch un-terhalb der zulässigen Grenzwerte, zuminimieren. Abstand ist der beste Strah-lenschutz! Deshalb: Halten Sie das Präpa-rat nicht unnötig in der Hand. Halten Siebeim Experimentieren einen Abstand vonetwa 0,5 m zum Präparat ein.


69

ln ln

lg lg lg .

I I x

I I x

0

0

oder

e

fünf mal durchgeführt.Zu Beginn ist der Nulleffekt IL durch Messungohne radioaktives Präparat zu bestimmen.Zur Ermittlung der Abhängigkeit der Impuls-rate vom Abstand r wird das Präparat in denAbständen 40; 50; 70; 100; 140; 190 und 250mm zum Zählrohr positioniert und die zu-gehörigen Impulsraten werden bestimmt.

4.2 Zur Bestimmung des Schwächungs-koeffizienten μ für Blei wird das Präparat ineinem Abstand von 70 mm vom Zählrohrpositioniert und zwischen ihnen die Absor-berhalterung eingesetzt. Bleiplatten ver-schiedener Dicken x werden in den Strahlen-gang gebracht und die dazugehörigen Impuls-raten gemessen. Die Messungen sind für x =1; 2; 5; 10; 20; 30 mm je fünfmal durch-zuführen. Die Messung für x = 0 wurde bereitsin 4.1 durchgeführt.

Zusatzaufgabe: Platzieren Sie die 1 mm dickeBleiplatte einmal dicht vor dem Zählrohr undeinmal dicht vor dem Präparat. DiskutierenSie den Unterschied in den Messergebnissen!

4.3 Die Messung der Häufigkeitsverteilungder Impulsrate kann weitgehend unbeauf-sichtigt z.B. während des Testatgesprächesoder während der Auswertung anderer Ver-suchsteile am PC erfolgen.Die Software zum Digitalzähler gleicht demProgramm CassyLab; Bedienhinweise hierzubefinden sich im Anhang.Das Präparat wird in 10 cm Abstand vomZählrohr platziert, der Digitalzähler aufRatenmessung mit einer Torzeit von 1 sgestellt und das Programm “Digitalzähler”gestartet. Die Messung wird entweder amZählgerät oder im Programm gestartet undmindestens 10 Minuten lang aufgezeichnet.Eine zweite Messreihe ist mit einem Präpara-teabstand von 5 cm aufzunehmen.

5 Auswertung

Aus den jeweils fünf Einzelmessungen in 4.1und 4.2 wird der Mittelwert gebildet. AlleWerte für die Impulsraten werden durch

Abzug des Nulleffektes korrigiert.

5.1 Zur Bestimmung des Abstandsgesetzes I= I(r) werden die Impulsraten in Abhängig-keit vom Abstand r doppelt logarithmischdargestellt. Aus dem Anstieg ist der Exponentdes Abstandsgesetzes zu bestimmen. Verglei-chen Sie diesen mit dem theoretischen Wert!

5.2 Zur Bestimmung des Schwächungs-koeffizienten μ für Blei werden die Impuls-raten in Abhängigkeit von den Absorberdi-cken x graphisch dargestellt. Es ist einehalblogarithmische Darstellung zu wählen(Zählrate logarithmisch als Ordinate, Dickelinear als Abszisse). Alternativ kann ln(I)berechnet und linear dargestellt werden.Aus (5) erhält man durch Logarithmieren:

Der Schwächungskoeffizient μ ergibt sichfolglich aus dem Anstieg der Kurve. Die Halbwertsdicke von Blei ist nach Gl. (7)zu berechnen.

5.3 Für beide Messreihen sind jeweils Mittel-wert und Standardabweichung σ zu be-nrechnen. Die Häufigkeitsverteilungen derMesswerte der Impulsrate (Histogramme)sind graphisch als Balkendiagramme dar-zustellen. An die Histogramme ist einePoisson- und eine Normalverteilung an-zupassen und als Kurven in die Diagrammeeinzuzeichnen.Diese Aufgaben lassen sich am einfachsten imProgramm “Digitalzähler” lösen, suchen Siehierzu im Kontextmenü der Histogrammdar-stellung den Menüpunkt “Anpassung”.Die Ergebnisse sind zu diskutieren und die

Vorhersage ist zu prüfen. n

6 Literaturangaben


Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a., 2010

Optik, Atom- und Kernphysik O 20 Spektralphotometer

70

I I e d

0

, (2)

I I e n c d 0

. (4)

TII

0

. (1)

EI

Ic dn n ln 0 . (5)

EI

Ic d lg .0 (6)

n c . (3)

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist der Unterschied zwischenRöntgen- und γ-Strahlung?

7.2 Was versteht man unter den Begriffen„Halbwertsdicke“ und „Halbwertszeit“?

7.3 Nach welchem Gesetz nimmt die Strah-lungsintensität mit der Entfernung ab?

7.4 Wie groß ist die Messunsicherheit bei derMessung von Impulsraten?

1 Aufgabenstellung

Bringen Sie bitte zum Versuch ein frischesgrünes Blatt mit.

1.1 Das Spektrum der Leuchtstofflampen imRaum soll untersucht werden, die darinauftretenden Hg-Spektrallinien sind zu identi-fizieren. Selbst mitgebrachte LED-Lampen,Laserpointer etc. können untersucht werden.

1.2 Ein alkoholischer Chlorophyllextrakt istherzustellen, seine Extinktion im Spektral-bereich 400…800 nm bei verschiedenen Kon-zentrationen ist zu messen. Aus den Mess-kurven sind die Konzentrationen von Chloro-phyll a und Chlorophyll b sowie das Verhält-nis beider Konzentrationen zu ermitteln.

2 Grundlagen

2.1 Beim Durchgang durch Materie wirdLicht durch Absorption und durch Streuung(Brechung und Reflexion an kleinen Teilchen)geschwächt. An Grenzflächen wird das Lichtpartiell reflektiert. Alle drei Prozesse sindabhängig von der Wellenlänge.Das Verhältnis der durch eine Probe hindurch-gehenden Lichtintensität I zu einfallenderIntensität I0 wird als Transmissionsgrad oderkurz Transmission T bezeichnet:

Die Abnahme der Intensität in Abhängigkeit

von der durchstrahlten Materialdicke d wirdmathematisch beschrieben durch

wobei μ als Schwächungskoeffizient bezeich-net wird; siehe auch Versuch O16, Gl.(5).Wird in einer Lösung das Licht vom gelöstenStoff absorbiert, so ist μ proportional zudessen Konzentration c:

εn heißt (natürlicher) Extinktionskoeffizientund hängt von der Substanz und von derWellenlänge ab. Aus (2) und (3) ergibt sich das LAMBERT-BEERsche Gesetz

Als natürliche Extinktion En bezeichnet man

Die Konzentration einer Lösung ist propor-tional zur Extinktion und lässt sich somitbequem durch Messung der Extinktion be-stimmen.

In der Praxis verwendet man nicht den natürli-chen, sondern mit dem dekadischen Logarith-mus; das Wort dekadisch lässt man dabeimeist weg. Die Beziehung für die (deka-dische) Extinktion E lautet:

Spektralphotometer O 20


71

lg lg lg

.

1 1 1

1 2 1 2

1 2

T T T T

E E Eges

(9)

ET

lg .1

(7)

TI

IT Tges 2

01 2 . (8)

Der (dekadische) Extinktionskoeffizient ist ε = εn / ln 10 = 0,4343 εn .Durch Vergleich von (1) und (6) findet mandie wichtige Gleichung

Wir betrachten nun den Fall, dass das Lichterst durch eine Lösung des Stoffes 1 unddanach durch eine Lösung des Stoffes 2geschwächt werde. Die eingestrahlte Intensi-tät sei I0, die Intensität nach der 1. Lösung I1

und nach der 2. Lösung I2. Dann ist nach (1)die Transmission der 1. Lösung T1 = I1/I0, dieder 2. Lösung T2 = I2/I1 und die Trans-mission der gesamten Anordnung

Für die Extinktionen gilt nach (7):

Diese Betrachtung gilt auch, wenn sich diebeiden Stoffe gemeinsam in einer Lösungbefinden (sofern sie sich nicht gegenseitigbeeinflussen). Zusammengefasst gilt deshalbfolgender Satz:

Wird Licht durch mehrere verschiedeneProzesse geschwächt, so multiplizieren sichdie Transmissionen und addieren sich dieExtinktionen der Einzelprozesse.

Im wissenschaftlichen Alltag wird die Extink-tion (englisch: absorbance) oft fälschlichAbsorption genannt. Dies sollte man imInteresse einer eindeutigen Sprache vermei-den. Der Begriff Absorption ist nicht so genaudefiniert und bezeichnet manchmal den Teilder Extinktion ohne Streuung und manchmaldie Größe 1 T (Absorptionsgrad).

2.2 Ein Spektralphotometer ist ein Gerät,welches die Lichtintensität, die Transmissionoder die Extinktion in Abhängigkeit von derWellenlänge misst. Ein (optisches) Spektro-

meter misst das Lichtspektrum, d. h. dieLichtintensität in Abhängigkeit von derWellenlänge. Beide Begriffe werden auchsynonym verwendet, jedoch steht beim Spek-tralphotometer die genaue Messung von I, Tbzw. E (für Konzentrationsmessungen immedizinisch-chemischen Labor) im Vorder-grund, beim Spektrometer dagegen mehr diegenaue Messung der Wellenlänge λ. Es gibt zwei Anwendungsfälle: Die Untersu-chung der spektralen Zusammensetzung desLichtes einer Quelle (Emissionsspektrum) unddie Untersuchung der Absorption von Lichtdurch einen Stoff (Absorptionsspektrum). Imzweiten Fall benötigt man zusätzlich eineLichtquelle mit kontinuierlichem Spektrum(z.B. eine Glühlampe); die zu untersuchendeSubstanz befindet sich in einer Küvette zwi-schen Lichtquelle und Spektrometer.Die spektrale Zerlegung des Lichts geschiehtin modernen Geräten durch ein Beugungs-gitter. Die Beugung kann mit Hilfe desHUYGENS-FRESNELschen Prinzips beschriebenwerden, wonach jeder Punkt einer Wellen-front als Ausgangspunkt einer Elementarwelle(Kugelwelle) aufgefasst wird. Die sichtbareWellenerscheinung entsteht dann durchÜberlagerung (Interferenz) dieser Elementar-wellen. Trifft eine ebene Lichtwelle aufTransmissionsgitter (Abb.1), so kann sichdanach die ebene Wellenfront nicht mehrvollständig formieren, weil diejenigen Elemen-tarwellen fehlen, die auf die lichtundurch-lässigen Bereiche getroffen sind. Es entstehenBeugungserscheinungen.

Abb. 1: Berechnung des Gangunterschiedesgebeugter Lichtstrahlen an einem Gitter


72

400 500 600 7000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Chlorophyll b

Ext

inkt

ion

Wellenlänge / nm

Chlorophyll a

Abb. 2: Extinktion von Chlorophyll a undChlorophyll b

b sin . (10)

E c d c d

E c d c d

a a b b

a a b b

649 649 649

665 665 665

, ,

, ,

(12)sin .kb (11)

Wir betrachten entsprechend Abb.1 das umeinen bestimmten Winkel φ gebeugte Licht.Der Abstand zwischen zwei Öffnungen imGitter - die Gitterkonstante - sei b. Dann istder Gangunterschied zwischen den Elementar-wellen zweier benachbarter Spalte

In der Überlagerung der Elementarwellentreten bei Beobachtung aus großer EntfernungIntensitätsmaxima (konstruktive Interferenz)in den Richtungen φ auf, für die der Gang-unterschied ein ganzzahliges Vielfaches einerWellenlänge ist: δ = k λ (k = 0, 1, 2, ...).Intensitätsminima (destruktive Interferenz)entstehen in den Richtungen, in denen derGangunterschied δ = (2k + 1) λ/2 beträgt.Die Zahl k heißt Beugungsordnung. Dasungebeugt durch das Gitter gehende Lichtbezeichnet man auch als nullte Beugungs-ordnung (k = 0). Für die Beugungsmaximafolgt somit aus (10):

Die Lage der Beugungsmaxima (der Winkel φbzw. der Ort auf einem Beobachtungsschirm)hängt von der Wellenlänge λ ab. Rotes Lichtwird stärker gebeugt als blaues, so dassweißes Licht in seine Spektralfarben zerlegtwerden kann. Bei bekannter Ordnung k kannmit (11) die Wellenlänge λ des Lichtes durchMessung der Beugungswinkel φ bestimmtwerden. In vielen praktischen Fällen, so auch

bei dem verwendeten Spektrometer, ist k = 1.

2.3 Die photometrische Bestimmung desChlorophyllgehaltes in Biomasse ist eineStandardmethode in der Biologie. Dafür istunter anderem die vollständige und schonendeExtraktion des Chlorophylls erforderlich, wasim Rahmen des Physikpraktikums nichtmöglich ist. Hier liegt der Schwerpunkt aufder spektroskopischen Methode. Es soll dieKonzentration in einem selbst hergestelltenChlorophyll-Rohextrakt gemessen werden.Dieser enthält hauptsächlich Chlorophyll a(Chl.a) und Chlorophyll b (Chl.b), derenExtinktionsspektren bekannt sind (Abb.2).In Ethanol liegt das Extinktionsmaximum vonChl.a bei 665 nm und das von Chl.b bei 649nm. Die Extinktion der Rohextraktlösung istentsprechend Gl. (9) die Summe aus denAnteilen beider Chlorophylle. Misst man dieExtinktion in den beiden Maxima, so kann mitHilfe der Gleichungen

und den vier Extinktionskoeffizienten fürChl.a und Chl.b bei 649 nm und 665 nm dieKonzentration von Chl.a und Chl.b berechnetwerden.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Spektrometer Red Tide USB650 mit ange-

bauter Lichtquelle und KüvettenhalterWellenlängengenauigkeit: ± 1 nmoptische Linienbreite (FWHM): 2 nm

- schwarzer Lichtblocker- Acrylglas-Prisma zur Beleuchtung durch

externe Lichtquellen von oben- 2 Küvetten (d = 10 mm)- Computer mit Software SpectraSuite- Reibeschale, Pistill, Quarzsand- Ethanol 99% mit 1% MEK vergällt- kleines Becherglas- 4 Probenröhrchen 4 ml- Filterpapier


73

- Pasteurpipetten- Mikroliterpipette 750 μl

3.1 Abb.3 zeigt den optischen Aufbau desSpektrometers. Die nicht mit abgebildeteLichtquelle-Küvettenhalter-Einheit ist mit demSpektrometer fest verbunden. Das Licht wirddurch eine Glühlampe und eine blaue LEDerzeugt und gelangt nach Durchstrahlung derKüvette in den Eintrittsspalt 1 des Spektro-meters. Dieser befindet sich in der Brennebenedes Kollimatorspiegels 2, der ein parallelesLichtbündel auf das Reflexionsgitter 3 schickt.Ein weiterer Hohlspiegel 4 bildet die Beu-gungsbilder des Eintrittsspaltes auf den CCD-Sensor 5 ab.

3.2 Bedienung der Software SpectraSuite:Nach Programmstart ist die laufende Messung(Scan) sofort aktiv. Die obere Toolbar enthältfolgende wichtige Steuerelemente:„Integrationszeit” regelt die Empfindlichkeitdes CCD-Sensors. Sie wird so eingestellt,dass bei Beleuchtung die Maxima im Spek-trum gerade noch nicht abgeschnitten werden.Bei kleiner Integrationszeit ist die Messungsehr schnell (bis 100 Scans pro Sekunde), zurVerringerung des Rauschens sollte daher derMittelwert aus 10...20 Scans angezeigt wer-den. Zusätzlich kann das Spektrum übermehrere Messpunkte geglättet werden (dasGlättungsintervall wird als „Boxcar” bezeich-net). Wenn scharfe Spektrallinien beobachtetwerden sollen, ist die Glättung auszuschalten

(Boxcarbreite = 0). „Lamp Enable” schaltetdie Lichtquelle ein.Das gemessene Spektrum ist zunächst nichtnormiert. Die angezeigte Größe S(λ) wirdaußer von der Intensität des Lichtes auchnoch von den wellenlängenabhängigen Eigen-schaften aller Gerätekomponenten (Lampen-spektrum, Reflexionsvermögen des Gittersund der Spiegel, Filter-Absorption, Reflexionund Absorption durch die Küvette, Sensor-kennlinie) bestimmt. Der CCD-Sensor misstauch ohne Licht ein von Null verschiedenesSignal (Dunkelspektrum).Die Toolbar im Spektrumgraph enthält nebenmehreren Buttons zum Zoomen und Ver-

schieben die Buttons zum Speichern

des Dunkelspektrums D(λ) und des Referenz-

spektrums R(λ). Die Buttons

zeigen folgende Spektren an:

- unkorrigierter Scan S(λ)

- Dunkelspektrum subtrahiert: S(λ) D(λ)

- Extinktion (Absorbance) E = lg(1/T)

- Transmission (13)( ) ( )

( ) ( )

S DT

R D

Links-Klick in das Diagramm zeigt einenCursor zum genauen Ablesen der Wellenlänge

an. Der Button verwandelt das aktuelle

Spektrum in ein „Overlay” (statische Kurve)und startet eine neue Messkurve. Auf dieseWeise erhält man mehrere Spektren in einem

Graph. speichert nur die aktuelle Mess-

kurve, druckt alle Kurven aus. Will man

die Daten exportieren oder mit nach Hausenehmen, so bedient man sich der beiden

Copy-Buttons . Der erste kopiert die

Daten aller Kurven zum Einfügen in Origin,Excel oder eine Textdatei, der zweite kopiertdie Grafik in die Zwischenablage. Von dortkann man sie z.B. im Programm IrfanVieweinfügen und speichern oder drucken.

Abb. 3: Aufbau des Spektrometers. 1 Ein-trittsspalt und Filter, 2 Kollimatorspiegel, 3Gitter, 4 Abbildungsspiegel, 5 CCD-Sensor


74


Starten Sie das Programm SpectraSuite undmachen Sie sich mit der Bedienung vertraut,indem Sie einfach alles ausprobieren.

4.1 Untersuchung von Lichtquellen:Der unkorrigierte Scan (S) ist anzuzeigen, dieinterne Lichtquelle muss ausgeschaltet sein,ebenso die Kurvenglättung (Boxcarbreite 0).Der angezeigte Spektralbereich ist auf denBereich des sichtbaren Lichtes (400...750 nm)einzugrenzen. Stecken Sie das Acrylglas-Prisma so in denKüvettenhalter, dass das von oben kommendeLicht durch Totalreflexion an der schrägenFläche in den Eintrittsspalt des Spektrometersgelangt. Wenn das Spektrometer unter einerLeuchtstofflampe steht, muss jetzt das Lam-penspektrum zu sehen sein. Stellen Sie In-tegrationszeit und Mittelwertbildung geeignetein.Das Spektrum enthält jetzt noch einen sensor-abhängigen Untergrund, der auch etwas vonder Integrationszeit abhängt. Daher sollte diefolgende Untergrundkorrektur immer nacheiner größeren Veränderung der Integrations-zeit durchgeführt werden:Ersetzen Sie das Acrylglas-Prisma durch denLichtblocker, speichern Sie ein Dunkelspek-trum, stellen Sie die Anzeige auf Scan minusDunkelspektrum und setzen Sie wieder dasAcrylglas-Prisma bzw. die Küvette ein.

Das Leuchtstofflampen-Spektrum ist zu doku-mentieren (ausdrucken, speichern, exportierenin Origin, Excel oder IrfanView nach eigenemErmessen). Die Auswertung (Bestimmung derWellenlängen der Spektrallinien, siehe 5.1)kann sofort durchgeführt werden.

4.2 Messung der Chlorophyllkonzentration

Hinweise zum Umgang mit den Küvetten:- Die Oberflächen im optischen Strahlengang

müssen klar sein; zerkratzte Küvetten bitteentsorgen, in der Ausgabe gibt es neue

- Küvetten nur oben und seitlich anfassen,nicht an den optischen Flächen

- nasse Außenflächen vorsichtig trocknen

- Küvetten nur bis zur Hälfte füllen (1 ml)- Küvette so in die Halterung

stecken, dass der Pfeil zurLichtquelle zeigt

Zur Herstellung des Chlorophyll-Rohextrakteswerden etwa 0,3 g Blattmasse in der Rei-beschale mit etwas Quarzsand und einigen mlEthanol zerrieben. Dabei werden die Zellenaufgebrochen und das Clorophyll geht inLösung. Fügen Sie anschließend weiteresEthanol hinzu, insgesamt etwa 10 ml. FaltenSie ein Rundfilter zu einer Tüte und filtrierenSie den Extrakt damit in das Becherglas. Schalten Sie die Lichtquelle des Spektro-meters ein. Sie soll bis zum Versuchsendenicht ausgeschaltet werden, da ihre Licht-intensität erst nach einigen Minuten Ein-schaltdauer stabil ist. Stellen Sie die Integra-tionszeit so ein, dass der Scan (S) bei leeremKüvettenhalter den Anzeigebereich vollausschöpft, die Maxima aber nicht abge-schnitten werden. Weitere Einstellungen:Mittelwert über 20 Scans, Boxcarbreite 3,Zoom x-Achse 400...800 nm.Speichern Sie ein Dunkelspektrum (mit demLichtblocker). Bringen Sie eine mit reinem Lösungsmittel(Ethanol) gefüllte Küvette in den Probenraumund speichern Sie ein Referenzspektrum. Ab jetzt können die Messgrößen Transmission(T) und Extinktion (A) verwendet werden.Die nach (13) berechnete Transmissionbeträgt im gesamten Spektrum genau 100 %,die Extinktion ist überall Null.Füllen Sie 1 ml der Lösung in eine Küvetteund prüfen Sie die Transmission im Minimumbei 665 nm. Falls T < 5 % ist, verdünnen Siedie Lösung im Becherglas schrittweise mitjeweils einigen ml Ethanol und überprüfen Terneut. (Wenn die Transmission zu gering ist,wird die Messung sehr ungenau.)Zeichnen Sie ein Extinktionsspektrum aufund wiederholen Sie diese Messung mit dendrei Verdünnungen 75 %, 50 % und 25 %.Alle vier Spektren sollen im selben Diagrammangezeigt werden (aktuelle Messung in Over-lay umwandeln und neue Messung durch-


75

c E E

c E E

a

b

1353 5 20

22 43 7 07

665 649

649 665

, ,

, ,

mg / l

mg / l(14)

führen).Die Verdünnungen der Ausgangslösung mitEthanol (3:1, 2:2 und 1:3) werden mit Hilfeder auf 750 μl eingestellte Pipette hergestelltund in den Probenröhrchen aufbewahrt. DieKüvette ist nach jedem Schritt mit wenigEthanol zu spülen und zu trocknen.

Nachdem der Betreuer die Messergebnisseakzeptiert hat, können die Clorophyllösungenim Ausguss entsorgt werden. Alle benutztenGefäße sind mit wenig Ethanol zu spülen undabzutupfen!

5 Auswertung

5.1 Bestimmen Sie die Wellenlängen derwenigen scharfen Spektrallinien Spektrum derLeuchtstofflampe. Das geht am einfachstenmit dem Messcursor im Programm Spectra-Suite. Identifizieren Sie die Hg-Linien durchVergleich mit den Werten in der ausliegendenTabelle.Diskutieren Sie das Spektrum: Wie ist seineForm zu erklären? Warum werden Farben imLicht von Leuchtstofflampen nicht so gutwidergegeben wie im Sonnenlicht?

5.2 Stellen Sie die Wellenlängen der vierdeutlich erkennbaren Maxima in den Spektrenfest und ordnen Sie diese den beiden Farb-stoffen Chl.a und Chl.b zu.Die Extinktion in allen vier Maxima ist inAbhängigkeit von der Verdünnung grafischdarzustellen und an Hand von Gleichung (6)zu diskutieren.

Löst man das Gleichungssystem (12) nach denKonzentrationen ca und cb auf, so erhält man

(Zahlenangaben nach R. J. Ritchie 2006).Bestimmen Sie für alle Verdünnungen aus denSpektren die Extinktion bei den Wellenlängen649 nm und 665 nm. Berechnen Sie mit Gl.(14) die Konzentrationen von Chlorophyll aund Chlorophyll b sowie das Verhältnis beiderKonzentrationen.

6 Literatur

Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik, Bd. 3, de Gruyter, 2004


R. J. Ritchie, Photosynth. Res. (2006) 89 pp27-41

7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist die spektrale Zerlegung des Lichtsan einem Gitter zu erklären?

7.2 Wie kann man mit einem Photometer dieKonzentration eines gelösten Stoffes in einerLösung unabhängig von weiteren gelöstenStoffen bestimmen?

7.3 Wie groß ist die Transmission bei einerExtinktion von E = 0, E = 1 und E = 2?

Optik, Atom- und Kernphysik O 22 Röntgenverfahren

76

E e Um

v Em

ve

Ph

e 2 21

222 (1)

E h f hc

Ph

. (2)

E e U h f hc

Ph max maxmin

, . (3)

1 Aufgabenstellung

1.1 Messung von Röntgenemissionsspektreneiner Molybdän-Anode mit Hilfe eines LiF-Kristalls und Bestimmung der maximalenQuantenenergie der Röntgenstrahlung inAbhängigkeit von der Anodenspannung.

1.2 Bestimmung der Ionendosisleistung derRöntgenröhre.

1.3 Messung der K-Absorptionskanten inden Transmissionsspektren von Zr, Nb, Mo,Ag und In und Bestimmung der Rydberg-Konstante.


2.1 Als Röntgenstrahlen werden Photoneneiner Wellenlänge zwischen 0,01 nm und10 nm bezeichnet. Sie entstehen beim Be-schuss einer Anode mit Elektronen, derenEnergie 10 keV überschreitet. Beim Aufprallentstehen neben ca. 98% Wärme zwei Artenvon Röntgenstrahlung:Bremsstrahlung: Die auftreffenden Elektronenwerden im Kernfeld des Anodenmaterialsabgebremst. Die Differenz zwischen denkinetischen Energien des Elektrons vor undnach der Wechselwirkung wird in Röntgen-strahlung der Frequenz f umgesetzt (Gl. 2).Mit E der kinetischen Energie der Elektronenbeim Aufprall auf die Anode nach der Be-schleunigung im elektrischen Feld ergibt sichfolgende Energiebilanz:

mit:e = 1,602 10-19 C: ElementarladungU: Anodenspannungme: Elektronenmassev1: Geschwindigkeit des Elektrons vor dem

Aufprall

v2: Geschwindigkeit des Elektrons nach demAufprall

Eph: Photonenenergie (Energie eines Röntgen-strahlungsquants).

Die Energie eines Strahlungsquants ist

h = 6,625 10-34 Ws2: PLANCKsche Konstantec = 2,998 108 ms-1: Vakuumlichtgeschwin-

digkeitf: Frequenzλ: Wellenlänge

Die Energie wird in diesem Zusammenhangmeist in eV (Elektronenvolt) angegeben. 1 eVist die kinetische Energie, die eine Elementar-ladung e bei der Beschleunigung durch eineSpannung von 1 V erhält. Die Energie inJoule erhält man folglich, indem man denWert in eV mit e multipliziert.

Die Bremsstrahlung hat ein kontinuierlichesSpektrum mit kurzwelliger Kante (sieheAbb.1). Letztere kommt dadurch zustande,dass die Elektronen beim Aufprall höchstensihre gesamte kinetische Energie in Röntgen-strahlung umsetzen können (vollständigeAbbremsung, v2 = 0). Die Röntgenstrahlunghat dann eine maximale Energie, die Wellen-länge wird minimal:

Charakteristische Strahlung: Beim Aufprallkönnen Anodenatome ionisiert werden. Wenndadurch eine Leerstelle auf der dem Kern amnächsten liegenden K-Schale entsteht, so wirddiese durch Elektronen der L- bzw. M-Schalesofort wieder besetzt und die Energiedifferenzin Form von Röntgenstrahlung abgegeben.Die Photonen (Energiequanten), die währenddieser Elektronensprünge frei werden, be-zeichnet man als Kα- bzw. Kβ-Photonen. Ihre

Röntgenverfahren O 22


77

Abb. 1: Typisches Röntgenspektrum be-stehend aus Bremsstrahlung und charakte-ristischen Linien des Anodenmaterials Abb. 2: BRAGG-Reflexion

Ehc

dPh 2

1sin

.

(6)

K

K

hcE E

hcE E

L K

M K

(4)

2 d k sin (5)

Wellenlängen berechnen sich aus:

EL - EK : Differenz der Elektronenenergiender L- und K-Schale,

EM - EK : Differenz der Elektronenenergiender M- und K-Schale.

Da diese Energiedifferenz charakteristisch fürjedes Material ist, wird die Strahlung „charak-teristische Strahlung“ genannt. Sie hat einLinienspektrum, welches die Bremsstrahlungüberlagert (siehe Abb.1).

Röntgenbeugung:Die Wellenlänge von Röntgenstrahlen kannmit Hilfe der Beugung an einem Kristallgitterbei bekanntem Netzebenenabstand bestimmtwerden (Röntgen-Spektralanalyse). Umge-kehrt werden mit Röntgenstrahlung bekannterWellenlänge Atomabstände in Kristallgitterngemessen. (BRAGG-Verfahren).Gemäß dem Huygensschen Prinzip kann jedesAtom des von der Röntgenstrahlung getroffe-nen Kristalls als Ausgangspunkt einer Elemen-tarwelle betrachtet werden. Die Kristallatomelassen sich in einer Vielzahl von hintereinan-der liegenden, zur Oberfläche (Spaltfläche)des Kristalls parallelen Ebenen, zusammenfas-sen. Man nennt diese Ebenen Netzebenen. Im

einfachsten Fall lässt sich die Beugung (Dif-fraktion) von Röntgenstrahlen auf die Reflexi-on an Netzebenen eines Kristallgitters zurück-führen. Jede Netzebene wirkt auf die ein-fallende Röntgenstrahlung wie ein partiellerSpiegel, d. h. ein (sehr kleiner) Teil des aufdie Ebene treffenden Röntgenstrahlenbündelswird reflektiert.Abb.2 zeigt die grundlegenden Vorgänge beidiesem als BRAGG-Reflexion bezeichnetenVorgang: Die an den Netzebenen A und Breflektierten Strahlen 1 und 2 interferierenmiteinander. Konstruktive Interferenz (einsog. „Reflex“) tritt nur auf, wenn der Gang-unterschied der beiden Wellen gleich einemganzen Vielfachen der Wellenlänge ist:

mit k = 1, 2, … Dabei ist k die Beugungsordnung und d derNetzebenenabstand (d = 0,201 nm für denLiF-Kristall). Für die erste Beugungsordnung(k = 1) ergibt sich mit Gl. (2):

Durch Drehen des Kristalls wird der Einfalls-winkel der Röntgenstrahlung und damit auchder Phasenunterschied der interferierendenStrahlen verändert, so dass die Bedingung derkonstruktiven Interferenz (5) für jeweilsandere Wellenlängen des Primärstrahls erfülltwird (vergl. Abb.2). Gleichzeitig mit derRotation des Kristalls muss der Strahlungs-empfänger (Zählrohr) unter dem doppeltenBragg-Winkel β mitgeführt werden, so dassimmer die Reflexionsbedingung Zählrohrwin-kel = 2×Kristallwinkel erfüllt ist. Damit kann


78

Abb. 3: Messung der Ionendosisleistung miteiner Ionisationskammer

TII

0

(12)

KK

h c

E(13)

H w D (9)

jQ

m t

I

mC

(10)

H J

h j

32 5

32 5

,

, .

Sv

As kgoder

Sv

As kg

-1

-1

(11)

JQ

m

. (7)

DEm

, (8)

das Spektrum einer Röntgenquelle bestimmtwerden.

2.2 Als Dosimetrie bezeichnet man dieMessung der Wirkung, die ionisierendeStrahlung (Röntgen und radioaktive Strah-lung) beim Durchgang durch Materie her-vorruft. Diese Wirkung kann entweder überdie Menge der in der Materie erzeugten Ionenoder über die von der Materie absorbierteEnergie gemessen werden.Die Ionendosis J ist definiert als Quotientaus der in einem Volumenelement erzeugtenLadung der Ionen eines Vorzeichens ΔQ undder Masse des durchstrahlten Volumen-elementes Δm:

Die Einheit der Ionendosis ist As/kg oderC/kg (die alte Einheit 1 Röntgen = 2,58 104

C/kg darf nicht mehr verwendet werden).

Die Energiedosis D ist der Quotient aus derim Volumenelement absorbierten Energie undder Masse des durchstrahlten Volumen-elementes Δm:

ihre Einheit ist das Gray (1 Gy = 1 J/kg).Die biologische Wirkung ionisierender Strah-lung wird durch die Äquivalentdosis

angegeben (biologisch bewertete Energiedo-sis). Die Einheit ist das Sievert (1 Sv =1 J/kg). w heißt Strahlungswichtungsfaktor;w = 1 für Röntgen-, Gamma- und Betastrah-lung und w = 20 für Alphastrahlung.Die wirksame Intensität der Röntgenstrahlungist die Dosis pro Zeit, die als Ionendosislei-stung j (Einheit A/kg), Energiedosisleistung d(Einheit Gy/s) bzw. Äquivalentdosisleistung h(Einheit Sv/s) bezeichnet wird. Die Ionendosisleistung wird in einem mit Luftgefüllten Kondensator (“Ionisationskammer”)entsprechend Abb.3 gemessen. An den Kon-densator wird eine Spannung angelegt, die so

groß ist (etwa 100...300 V), dass alle er-zeugten Ionen zu den Kondensatorplattengelangen. Dann ergibt sich die Ionendosislei-stung

aus der Stromstärke IC und der durchstrahltenLuftmasse m. Mit Hilfe der bekannten mitt-leren Ionisationsenergie der Luftmolekülekann die Ionendosis in die Äquivalentdosisumgerechnet werden; es gilt (für Luft ):

2.3 MOSELEYsches GesetzDie Absorption von Röntgen-Quanten beimDurchgang durch Materie beruht hauptsäch-lich auf der Ionisation von Atomen, die einElektron aus einer inneren Elektronenschale,z.B. der K-Schale, abgeben. Dies setzt voraus,dass die Quantenenergie (2) größer als dieBindungsenergie EK der Schale ist. Die Trans-mission

(I0: Intensität vor, I: Intensität hinter demAbschwächer) des Materials nimmt daher inAbhängigkeit von der Wellenlänge bei


79

1

K

K R Z . (14)

E h c R ZK K 2

, (15)

Abb. 4: Röntgengerät mit Goniometer.

a Netzanschlussfeld (Seite), b Bedienfeld, c Anschlussfeld, d Röhrenraum mit Mo-Röhre, e Experimentierraum mit Goniometer, f Leuchtschirm, g Leerkanal, h Verriegelungstaster

sprunghaft zu. Die sprunghafte Änderungwird als Absorptionskante (hier: K-Absorp-tionskante) bezeichnet. Der englische PhysikerHenry MOSELEY leitete 1913 aus der Mes-sung von K-Absorptionskanten für verschie-dene Elemente das nach ihm benannte Gesetzab:

Dabei bedeutenR: die Rydberg-KonstanteZ: Ordnungszahl des AbsorbersσK: Abschirmkoeffizient der K-Schale

Aus (13) und (14) ergibt sich für die Bin-dungsenergie der K-Schale

was mit den Vorhersagen des BOHRschenAtommodells übereinstimmt, wenn man diepartielle Abschirmung der Kernladung berück-sichtigt.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Röntgengerät mit Goniometer incl. LiF-

Kristall (d = 0,201 nm), Zählrohr und Im-pulsratenmesser

- PC mit Programm “Röntgengerät”- Plattenkondensator mit Röntgenblende für

Ionendosismessung- Spannungsquelle 0...450 V, Ri = 5 MΩ- Strom-Messverstärker- Vielfachmesser- Verbindungsleitungen- Halter mit Absorberfolien aus Zr, Nb, Mo,

Ag und In

3.1 Das Röntgengerät (siehe Abb.4) besitztein strahlenabschirmendes Gehäuse, das ausdrei getrennten Kammern besteht. Die größte(rechte) Kammer ist der Experimentierraum,der das Goniometer (für Röntgenbeugungs-untersuchungen) oder den Plattenkondensatoroder die zu durchleuchtenden Präparate ent-hält. In der mittleren Kammer befindet sich


80

Erklärung zur Strahlensicherheit:

Das Röntgengerät ist so aufgebaut, dassRöntgenstrahlung nur bei geschlossenenTüren von Röhren- und Experimentier-raum erzeugt wird. Dabei werden dieGrenzwerte der gemäß der Röntgenver-ordnung außerhalb des Gehäuses zulässi-gen Strahlung mit mehrfacher Sicherheitunterschritten.Das Röntgengerät ist gemäß der "Ver-ordnung über den Schutz vor Schädendurch Röntgenstrahlen" (Röntgenverord-nung-RöV) vom 8.1.1987 bauartlichzugelassen (Zulassungskennzeichen NW807/97 Rö).

die Röntgenröhre. Die linke Kammer enthältdie mikroprozessorgesteuerte Elektronik mitden Bedien- und Anzeigelementen.Die Schiebetüren und Sichtfenster des Gerätesbestehen aus Bleiglas (Vorsicht, kratz-empfindlich!).

3.2 Die Hochspannungsquelle besitzt einensehr großen Innenwiderstand (Ri = 5 MΩ)und ist deshalb berührungsungefährlich. ZurStrommessung dient der Messverstärker miteinem Vielfachmesser als Anzeigegerät.

3.3 Die Absorberfolien können auf das inden Experimentierraum ragende Kollimator-rohr gesteckt werden.


Die in die Kristallhalter fest eingebautenKristalle sind sehr empfindlich. Bitteberühren Sie diese nicht!

4.1 Zur Aufnahme der Röntgenspektren inBRAGG-Anordnung sind folgende Betriebs-parameter einzustellen:Anodenstrom: I = 1,0 mAHochspannung: U = 20…35 kVMesszeit: Δt = 5 sSchrittweite: Δβ = 0,1°

Anfangswinkel: βmin = 4,0°Endwinkel: βmax = 12,0°

Starten Sie das Computerprogramm „Rönt-gengerät“. Die Spektren werden im automatischen Scan-Modus mit 2:1-Kopplung von Zählrohr- undKristallbewegung (“COUPLED”) aufgenom-men und auf dem Computerbildschirm dar-gestellt. Man beginnt am besten mit der maximalenBeschleunigungsspannung von 35 kV. DurchDrücken des Knopfes “SCAN” wird dieAufzeichnung eines Spektrums gestartet.Weitere Spektren sind jeweils bei einer Hoch-spannung von 30 kV, 25 kV und 20 kVaufzunehmen. Alle Spektren werden in dieselbe Grafik geschrieben.

4.2 Für die Messung der Ionendosisleistungwird das Röntgengerät mit eingebautemPlattenkondensator benutzt. VervollständigenSie die Schaltung gemäß Abb.3! Es wird derMessbereich 109A verwendet (1 V amVerstärkerausgang entspricht I = 1 nA) undeine Spannung U 200 V.Messen Sie den Ionenstrom IC bei der maxi-malen Beschleunigungsspannung von 35 kVund den Anodenströmen 1,0 mA; 0,8 mA;0,6 mA; 0,4 mA und 0,2 mA.Notieren Sie den Luftdruck p und die Tem-peratur T im Röntgengerät.

4.3 Messung der K-Absorptionskanten:Die Messungen werden mit den gleichenEinstellungen wie unter 4.1 durchgeführt; esist die maximal möglichen Energie (U =35 kV, I = 1 mA) einzustellen.Zuerst ist ein Leerspektrum (ohne Absorber)aufzunehmen. Danach werden in die selbeDarstellung nacheinander Spektren miteingebauter Zr, Nb, Mo, Ag und In-Absorber-folie gemessen. Das Programm Röntgengerätberechnet automatisch die Transmission,indem es entsprechend (12) alle nachfolgen-den Spektren durch das erste (das Leerspek-trum) dividiert.


81

00

0

,T p

m VT p

(16)

5 Auswertung

5.1 Die Wellenlängen und die Quanten-energien der charakteristischen Linien Kβ undKα der Molybdänanode sind nach Gleichung(5) bzw. (6) zu bestimmen, dabei gilt k = 1.Die Quantenenergien sind in keV anzugeben.Für jede verwendete Anodenspannung U wirddie maximale Quantenenergie (in keV) nach(6) aus dem zur jeweiligen kurzwelligen Kantegehörenden Winkel β berechnet. In einerTabelle sind diese Energien mit der denElektronen im elektrischen Feld zugeführtenEnergie E = eU zu vergleichen. Im Rahmen der Fehlerbetrachtung ist dasWellenlängen-Auflösungsvermögen desRöntgengerätes abzuschätzen.

5.2 Die Ionendosisleistung j ist nach (10) ausdem Ionenstrom IC und der Masse m desdurchstrahlten Luftvolumens V zu berechnenund in Abhängigkeit vom Anodenstromgrafisch darzustellen.Die Luftmasse ergibt sich aus

mit V = 125 cm3, ρ0 = 1,293 kg/m3, T0 = 273 K und p0 = 1013 hPa.

Die maximale Äquivalentdosisleistung h imRöntgengerät (bei I = 1 mA) ist mit Hilfe vonGl. (11) zu berechnen und in der Einheit Sv/hanzugeben. Vergleichen Sie Ihr Messergebnismit der Dosis der natürlichen Strahlung undmit der tödlichen Dosis!

5.3 Zur Darstellung der Messdaten in Ab-hängigkeit von der Wellenlänge λ sind in den

„Einstellungen“ ( oder F5) die Daten des

LiF-Kristalls einzutragen.Die Wellenlängen λK an den steilsten Stellender K-Kanten sind aus der Grafik zu be-stimmen; es kann dazu auch der Menüpunkt„K-Kanten einzeichnen“ im Programm Rönt-gengerät benutzt werden.

Entsprechend Gl. (14) ist in Abhän-1 K

gigkeit von der Ordnungszahl der Absorberdarzustellen. Durch lineare Regression sinddie Rydberg-Konstante und der Abschirmko-effizient σK zu bestimmen. Für diese Aufgabekann auch die Darstellung „Moseley“ imProgramm Röntgengerät benutzt werden.

6 Literatur


Ibach/Lüth: Festkörperphysik. Springerverlag,Berlin, 2002

7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist das Spektrum einer Röntgenröh-re zu erklären, welchen Einfluss haben dieBetriebsparameter U und I ?

7.2 Wie wird die biologische Wirkungionisierender Strahlung gemessen?

7.3 Welche Röntgenverfahren zur Material-untersuchung kennen Sie?

7.4 Erklären Sie das MOSELEY-Gesetz!

Anhang Kurzanleitung zum Oszilloskop

82

Abb.1: Aufbau einer Kathodenstrahlröhre

Kurzanleitung zum Oszilloskop

Das Oszilloskop ist ein außerordentlich vielseitiges und universell anwendbares Messgerät. DieMöglichkeit der Darstellung und Messung des zeitlichen Verlaufs elektrischer Signale macht dasOszilloskop zu einem der wichtigsten Messinstrumente für Physiker und Elektroniker. Manunterscheidet zwischen dem klassischen, analogen Oszilloskop, welches auf der BrownschenRöhre (Kathodenstrahlröhre, CRT) basiert, und dem digitalen oder Speicheroszilloskop. Das imPraktikum eingesetzte Analog-/Digital-Oszilloskop HM507 vereint beide Gerätetypen.

Grundprinzip des analogen OszilloskopsIn der Kathodenstrahlröhre (Abb.1) werden von einer Glühkathode Elektronen emittiert und indem elektrischen Feld zwischen Kathode und Anode beschleunigt. Mit Hilfe des gegen dieKathode negativen Wehneltzylinders kann die Intensität des Elektronenstrahls gesteuert werden(Helligkeitsregler INT.). Weitere Elektroden dienen zur Fokussierung des Strahls (SchärfereglerFOC.). Die Elektronen fliegen durch die Anode hindurch, passieren das dahinter befindlicheAblenksystem und treffen auf den Schirm, wo sie eine fluoreszierende Schicht zum Leuchtenanregen. Das Ablenksystem besteht aus einem horizontalen und einem vertikalen Plattenpaar (Xund Y). Beim Anlegen einer Spannung entsteht zwischen den Platten ein elektrisches Feld, dasden Elektronenstrahl aus seiner Bahn ablenkt. Der Ablenkwinkel ist proportional zur angelegtenSpannung.

Um Spannungsmessungen über weite Spannungsbereiche (mV, V) durchführen zu können, wirdjedes Plattenpaar durch regelbare Messverstärker angesteuert, so dass die Ablenkempfindlichkeitdefiniert eingestellt werden kann.Zur Darstellung von zeitlichen Abläufen U(t) wird an die X-Platten eine sogenannte

Sägezahnspannung (engl. sweep voltage, Abb.2)angelegt, die während einer bestimmten Zeit t(Anstiegszeit) linear anwächst und so den Strahl inx-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit über denBildschirm führt. Anschließend fällt die Spannung aufNull und der Strahl kehrt in die Ausgangspositionzurück. An den Y-Platten liegt das Messsignal U(t).Während der Anstiegszeit zeichnet der Elektronen-strahl das Bild der Funktion U(t) auf den Schirm.Dieses Bild wird mit jeder Periode der Sägezahn-spannung neu gezeichnet. Die Anstiegszeit lässt sichin weiten Bereichen (ns ... s) regeln, um verschieden

Abb.2: Sägezahnspannung für Horizon-talablenkung, Periodendauer TS


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schnelle Signale darstellen zu können.Um stehende Bilder von periodisch ablaufenden Signalen zu erhalten, muss die Frequenz derSägezahnspannung in einem ganzzahligen Verhältnis zur Signalfrequenz stehen. Für dieseSynchronisation ist der Trigger verantwortlich. Er startet einen Sägezahnimpuls immer dann,wenn die Signalspannung eine bestimmte Größe erreicht hat.

Standard-Oszilloskope besitzen zwei identische Y-Kanäle (Y1/Y2 oder CH I/CH II von engl.Channel), d.h. sie können zwei Signale gleichzeitig im selben Zeitmaßstab darstellen. Die Kanälekönnen einzeln oder beide (DUAL) als Funktion der Zeit, oder Kanal 1 als Funktion von Kanal 2(XY-Mode) betrachtet werden. Hat man ein unbekanntes Oszilloskop vor sich, so kann man in der Regel vier Gruppen vonBedienelementen für Y1, Y2, Zeitmaßstab und Trigger unterscheiden. Die Y-Verstärkung(VOLTS/DIV) für jeden Kanal und der Zeitmaßstab (TIME/DIV) können sowohl in kalibriertenStufen (CAL, zum Messen von Spannungen und Zeiten) als auch stufenlos (VAR) verstelltwerden. DIV steht für eine Rastereinheit auf dem Bildschirm (division, engl. für Skalenteil). An den Y-Eingängen gibt es Schalter für die Eingangskopplung (AC/DC/GND). In Stellung AC istder Eingang über einen Kondensator mit den Verstärker verbunden, es wird nur Wechsel-spannung gemessen. In Stellung DC ist der Eingang direkt mit dem Verstärker verbunden, eswird Gleich- und Wechselspannung gemessen. Bei GND ist der Eingang vom Verstärker getrennt,es wird Null gemessen. Für den Trigger kann man die Signalquelle (CHI, CHII, extern), die Triggerspannung (LEVEL), dieSignalflanke (/, \) und verschiedene Modi zur Triggerung komplexer Signale einstellen.

Das DigitaloszilloskopEin digitales Speicheroszilloskop ahmt Funktionsweise und Bedienung des analogenOszilloskops mit Hilfe digitaler Technik nach. Es besteht aus einer digitalen Messeinrichtung zumsehr schnellen (105...1010 Messungen pro Sekunde) Abtasten und Speichern von Spannungs-signalen und Software zur Verarbeitung und Anzeige. Es gibt Stand-Allone-Geräte und solchefür den Anschluss an einen Computer. Die Abtastrate wird meist in der Einheit S (engl.: Sample)angezeigt, z.B. 2 MS (Mega Sample) für 2 106 s1.

Bedienung des Oszilloskops HM507Abb.3 zeigt die Frontseite des Oszilloskops. Wegen der Funktionsfülle sind die meisten Tastenmehrfach belegt. Ein langer Strich bedeutet: Taste lange drücken. Zwei kurze Striche bedeuten:2 Tasten gleichzeitig drücken. Ein heller Piepton zeigt an, dass die Taste im aktuellen Moduskeine Funktion hat oder dass bei einem Regler das Ende des Einstellbereichs erreicht ist.Folgende Besonderheiten und Möglichkeiten sollte man bei der Arbeit mit dem HM507 imPraktikum kennen:

Alle wichtigen Einstellungen werden auf dem Monitor angezeigt:- obere Zeile: Zeitablenkkoeffizient, Triggerquelle, Triggermode, Messwert- untere Zeile: Y1- und Y2-Ablenkkoeffizient und Eingangskopplung, Betriebsart.- Markierungen der Triggerschwelle (linker Bildrand) und bei Y=0 (Bildmitte)

Grundeinstellung, AUTOSET:Zur Grundeinstellung des Oszilloskops, bzw. um überhaupt erst einmal ein Signal zu sehen, mussman nur Kanal und Eingangskopplung wählen und dann die Taste AUTOSET betätigen. Bei Bedarfkann Bildhelligkeit und Schärfe mit dem Regler INT/FOC eingestellt werden.Achtung! AC/DC/GND lang drücken (de)aktiviert die Multiplikation ×10 für Messungen mit einemTastkopf 1:10. Im Praktikum wird kein Tastkopf verwendet, das Tastkopfsymbol vor Y1 bzw.Y2 darf nicht angezeigt werden!


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Abb

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Benutzung verschiedener Triggermodi:Standard ist die von AUTOSET aktivierte automatische Triggerung AT, bei der auch ohneSignalflanken (z.B. bei einer Gleichspannung) ein Bild angezeigt wird. Die Automatik verhindertauch, dass das Triggerlevel auf einen Wert eingestellt werden kann, der das Triggern unmöglichmacht. Die Normaltriggerung NM (ohne diese Automatik) ist im Praktikum nicht sinnvoll. Wenndas Bild zittert, helfen unter Umständen die Triggermodi LF oder HF (triggern auf niedrige bzw.hohe Frequenzen). Der normale Modus ist AC, bei DC ist die Triggerquelle galvanisch an den

Triggereingang gekoppelt, die Modi TvL und TvF sind für Fernsehsignale, ~ triggert auf dieNetzfrequenz. Doppelbilder können eventuell durch Vergrößerung der hold-off-Zeit mit demRegler DEL./TR.POS. (nur im Analogbetrieb) beseitigt werden.

Digitalbetrieb:Der Digitalmodus wird mit der Taste STOR.ON ein- bzw. ausgeschaltet. Im Digitalbetrieb wirdunter dem Zeitablenkkoeffizienten zusätzlich die Samplingrate angezeigt. Es werden 2048Messpunkte gespeichert; mit der Taste X.MAG. kann das Bild 10-fach gedehnt werden, umEinzelheiten zu erkennen. Der Digitalmodus sollte bei langsamen Signalen eingesetzt werden, umBildflimmern zu vermeiden. Nur im Digitalmodus besteht die Möglichkeit des Pre- bzw.Posttriggerns (das Triggerereignis liegt nicht am Anfang der dargestellten Signalkurve, sondernfrüher oder später). Die Triggerposition wird mit dem Regler DEL/TR.POS eingestellt.Die Einzelereigniserfassung (aktivieren mit SINGLE, starten mit RESET) ist nur im Digitalmodussinnvoll anwendbar (z.B. bei Versuch M22).

Messung von Spannung, Zeit und Frequenz mit und ohne Cursor:Unter dem Monitor befinden sich Tasten zur Bedienung des Cursors und die Taste MEASURE.Ohne Cursor wird damit das Menü AUTO MEASURE aufgerufen, mit dem verschiedeneSpannungen, die Frequenz und die Periodendauer von einfachen periodischen Signalen gemessenwerden können. Die Messwerte werden auf dem Monitor angezeigt. Bei komplexen oderverrauschten Signalen funktioniert das eventuell nicht richtig, dann empfiehlt sich dieVerwendung des Cursors.Ist der Cursor eingeschaltet, so ruft die Taste MEASURE das Menü CURSOR MEASURE auf, in demman die Messgröße für die cursorunterstützte Messung auswählen kann. Die beiden Cursors sindauf dem Monitor mit I und II bezeichnet und werden mit den Reglern Y-POS/CURS.I undY-POS/CURS.II (erst nach drücken der Taste CURSOR POS) bedient.

Anhang Hinweise zur Bedienung von CASSY

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Hinweise zur Bedienung des computergesteuerten Mess-werterfassungssystems CASSY

Allgemeines

Cassy-S, ein für die Lehre in Schulen und Universitäten konzipiertes universelles Messwert-Erfassungssystem, besteht aus verschiedenen Geräten mit serieller oder USB-Schnittstelle sowieder Windows-Software CASSY Lab 2. Im Praktikum kommen zum Einsatz:

• Sensor-Cassy ist ein zweikanaliges Messgerät für Strom und Spannung mit einer Auflösungvon 12 bit (1:4096) und einer maximalen Messrate von 100 kHz (105 Messwerte proSekunde). Mit Hilfe von Zubehör (aufzusteckende „Sensorboxen“ und verschiedeneSensoren) können damit fast alle denkbaren physikalischen Größen gemessen werden.

• Pocket-Cassy (nur mit Computer verwendbar) und Mobile-Cassy (ohne Computer einsetzbar)besitzen die gleiche Funktionalität, jedoch nur einen Messkanal, messen nur 104 bzw. 5 Wertepro Sekunde und benötigen kein Netzteil (Stromversorgung über USB).

• Power-Cassy ist ein Leistungs-Funktionsgenerator, also eine computersteuerbare Strom- oderSpannungsquelle, die bei einer Abtastrate von 100 kHz maximal 10V / 1A liefert.

• Cassy-Display ist ein großformatiges Anzeigegerät. Es zeigt in Verbindung mit Sensor-Cassy(ohne Computer) gleichzeitig zwei Messwerte mit Einheit an.

Die Software CASSY Lab 2 steuert die Messung, stellt die Messergebnisse grafisch dar undbietet viele Möglichkeiten zur mathematischen Auswertung. Die Bedienung ist relativ einfachund erfordert nur wenige Grundkenntnisse. Die Software ist beim Hersteller unter http://www.ld-didactic.de frei verfügbar und kann daher auch zuhause zur Auswertung vom Messungen ausdem Praktikum verwendet werden.

Quick Start: Einschalten und Konfigurieren des Systems

Stellen Sie sicher, dass alle benötigten Cassy-Module zusammengesteckt, mit dem PC verbundenund mit Strom versorgt sind. Starten Sie nun das Programm “CASSY Lab 2". Das FensterCASSYs wird präsentiert und zeigt die vorgefundene Gerätekonfiguration.

Um eine Messung durchzuführen, muss der entsprechen-

de Eingang oder Ausgang angeklickt werden. Es er-scheint das Fenster Einstellungen (siehe nächste Seite).Im oberen Teil dieses Fensters bietet eine BaumstrukturZugriff auf alle Bereiche der Software: Unter CASSYs

sind alle Einstellungen zu den verwendeten Messgerätenzu finden, unter Rechner können aus den Messgrößenneue physikalische Größen berechnet werden, unterDarstellungen können die Messwerttabellen und Dia-gramme angepasst werden sowie neue Diagrammeangelegt werden.Im unteren Teil des Fensters stehen die Einstellungen desin der Baumstruktur markierten Knotens (hier wird z.B.der Messbereich einer Messgröße eingestellt) und dieMessparameter.


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Vor Aufnahme einer Messreihe sollte man hier denrichtigen Messbereich einstellen und sinnvolleMessparameter auswählen: Aufnahme: automatisch bedeutet, dass derComputer mehrere Messpunkte nacheinanderaufzeichnet. Neue Messreihe anhängen bewirkt,dass in einer Grafik mehrere Messreihen (Mess-kurven) dargestellt werden können. Die wichtigsteGröße, die hier auf einen sinnvollen Wert einge-stellt werden muss, ist das Mess-Intervall. Bei10 μs entstehen pro Sekunde 100.000 Messwerte!Aus Intervall und Messzeit ergibt sich die Anzahlder Einzelmessungen. Wenn bei Messzeit keinWert eingetragen ist, wird die Messreihe so langefortgesetzt, bis sie manuell gestoppt wird.Die Aufnahme einer Messreihe kann nun mit F9

oder durch Klick auf den Start/Stopp-Buttonbegonnen werden.

Grundlegende Bedienelemente

Buttonleiste mit Buttons für die Anzeigeinstrumente aller gemessenen und berechnetenGrößen

Anzeigeinstrument. Rechts-Klick: Messgröße und Messbereich einstellen

Umschalten zwischen mehreren Darstellungen. Durch Ziehen mit der Maus freieAnordnung auf dem Bildschirm.

Messwerte-Tabelle kann editiert werden. Rechts-Klick: Messwerte und Messreihenlöschen

Im Diagramm werden Punkte und Kurvenbereiche mit der Maus markiert. Rechts-Klick:Diagramm-Menü


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Skala der Diagrammachsen mit Maus verschieben, mit Rechts-Klick ändern

Umschalten zwischen verschiedenen y-Achsen

Trennlinie verschieben

F4 Neue Messung (aktuelle Messung löschen)

F3 Gespeicherte Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) laden

F2 Aktuelle Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) speichern

Diagramm oder Tabelle ausdrucken

F9 Eine Messreihe starten oder beenden (Einzelmessung bei manueller Aufnahme)

F5 Cassy-Module anzeigen (wie bei Programmstart)

F5 (2× drücken) Einstellungen bzw. Messparameter anzeigen

F6 Inhalt der Statuszeile (z. B. das Ergebnis einer Rechnung) groß darstellen

F7 Alle Anzeigeinstrumente ein/aus schalten

Das Anzeigeinstrument UA1 ein/aus schalten, Rechts-Klick: Einstellungen

Tipps und Tricks zu CASSY Lab 2

• Die Messparameter lassen sich am schnellsten durch Rechts-Klick auf den Start/Stopp-Button anzeigen, die Einstellung des Messbereiches durch Rechts-Klick auf dasentsprechende Messinstrument

• Mit Alt+T fügen Sie Text in das Diagramm ein, dabei ist immer das Ergebnis der letztenAuswertung voreingestellt. Machen Sie viel von dieser Möglichkeit Gebrauch!

• Skalierung der Achsen: Rechts-Klick auf eine Achse.

• Die Zoom-Funktion wird mit Alt+Z aufgerufen, Alt+A zeigt wieder alles an.

• Unter Einstellungen - Rechner - Formel kann eine neue physikalische Größe erzeugt werden,die aus Messgrößen berechnet oder manuell in die Wertetabelle eingetragen werden kann.Auf diese Weise kann z. B. aus Strom I(t) und Spannung U(t) der Widerstand R(t) alsFunktion der Zeit berechnet werden.

• Weitere Diagramme zur Darstellung gemessener und berechneter Größen werden unterEinstellungen - Darstellungen angelegt. Beispiel: Erzeugen Sie eine neue Darstellung mitdem Namen “Kennlinie”, dem gemessenen Strom auf der x-Achse und dem berechnetenWiderstand auf der y-Achse

• Die Auswertefunktionen (z. B. Mittelwertbildung, Regressionsanalyse, Integration) sindausführlich in der Hilfe zum Programm dokumentiert. Jede mathematische Auswertungbezieht sich immer auf einen Kurvenbereich, der mit der Maus markiert werden muss.

• Das Programm ist frei verfügbar (s.o.), Sie können Ihre Messergebnisse aus dem Praktikum(*.labx Dateien) auch am eigenen PC zuhause oder im Computerpool auswerten. Messwertekönnen als *.txt Dateien exportiert werden (Datei speichern und Dateityp Textexportauswählen) und mit anderen Programmen (Origin, Excel, ...) importiert werden.

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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Kurzanleitung zur Software ORIGIN

Für die Auswertung von Messergebnissen und die Anfertigung grafischer Darstellungen steht inallen Physikpraktika die professionelle Visualisierungs- und Datenanalysesoftware Origin 2016 -2018 zur Verfügung. Die Uni Halle besitzt eine Campuslizenz dieser Software, die sich auch vonzuhause aus (mit VPN) nutzen lässt. Den Link zum Download und eine Installationsanleitungfinden Sie auf der Seite des IT-Servicezentrums der Uni origin.itz.uni-halle.de, Hilfe zum VPNunter itz.uni-halle.de/dienstleistungen/virtual_private_netwok.Der Umgang mit Software ist nicht Gegenstand der Physikausbildung. Origin ist lediglich einAngebot an Sie. Sie können alle Auswertungen und Grafiken auch von Hand in Tabellen bzw.auf Millimeterpapier anfertigen oder beliebige andere Software (z.B. Microsoft Excel,LibreOffice Calc) verwenden.

1. Grundsätzliches

• Alle Daten, Rechnungen und Grafiken werden zusammen in einer Projektdatei gespeichert.Ein leeres Projekt (bei Programmstart) enthält nur die Arbeitsmappe Book1 mit einer x- undeiner y-Spalte zur Eingabe der Daten. Weitere Spalten erzeugt man mittels Rechtsklick in den

leeren Bereich oder mit ., weitere Arbeitsmappen mit Datei - Neu... oder .

• Die Sprache kann im Hilfe Menü kann auf Deutsch oder Englisch eingestellt werden.

• Eine Grafik erhält man am schnellsten, indem man eine oder mehrere y-Spalten markiert (in

den Spaltenkopf klicken) und Zeichnen wählt oder auf einen der Buttons klickt.

• Alle Objekte (z.B. Spaltennamen, Beschriftungen von Achsen, Skalierung von Achsen,Aussehen einer Kurve, Legende) kann man bearbeiten, indem man darauf doppelklickt.

2. Arbeitsmappen

• Die Dateneingabe funktioniert wie in Excel. Weitere Spalten erhält man mit .

• In den Spaltenkopf sollte man immer Langname und Einheiten eingetragen - sie werdenautomatisch in die Achsen-Beschriftung und in die Legende einer Grafik übernommen.

• Spalten als X oder Y setzen: Spalte markieren, Rechtsklick und Setzen als auswählen.

• Rechnen mit Spalten: Formel in das Feld F(x)= eintragen oder Rechtsklick in markierte Spalteund Spaltenwerte errechnen... wählen.

Syntax: Spalte A Spalte B col(A) col(B)

a b / (c + d) a * b / (c + d)

x2 x^2

x sqrt(x)

ex exp(x)

π pi

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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3. Grafiken

• Grafik-Fenster enthalten ein oder mehrere Koordinatensysteme, in Origin Layer genannt.

• Verschönern einer Grafik: Doppelklick auf die zu ändernden Dinge (siehe oben).

• Hinzufügen einer weiteren Kurve zu einem bereits existierenden Layer:

Weg1: in der Arbeitsmappe die zu zeichnenden Spalten auswählen und am rechten Rand mitder Maus in die Grafik ziehen

Weg 2: Doppelklick auf das “Layersymbol” links oben im Graph öffnet den DialogLayerinhalt. Dort links die Daten auswählen und den Button klicken.

• Hinzufügen eines weiteren Koordinatensystems oder einer zweiten Achse zu einer bestehen-

den Grafik: Grafik - Neuer Layer (Achsen) wählen oder einen der Buttons drücken.

• Eine Legende hinzufügen oder die bestehende Legende aktualisieren: Grafik - Legende

wählen oder drücken.

• Beliebigen Text in eine Grafik schreiben: drücken und in die Grafik klicken. Text

formatieren mit Format-Buttonleiste (z.B. hoch, tief, griechisch mit )

• Werte aus einer Grafik ablesen mit den Werkzeugen Bildschirmkoordinaten und

Datenkoordinaten .

• Glatte (runde) Kurven durch die Messpunkte zeichnen: Kurve doppelklicken; denDiagrammtyp “Linie + Symbol” wählen; Linie - Verbindung - Spline oder B-Spline

einstellen. Lineare Regression: Analysis - Anpassen - Linearer Fit wählen. Bei mehrerenKurven vorher im Menü Daten die richtige Kurve auswählen. Soll nur ein Teil der Kurve

angepasst werden, dann vorher mit den Werkzeugen Daten-Selektor und Punkte

maskieren den Bereich einschränken. Mit Linearer Fit: Grundpraktikum-Standard

wird die Regression sofort ausgeführt, alle Parameter sind bereits für die meistenAnwendungsfälle im Praktikum sinnvoll eingestellt.

4. Ausdruck von Grafiken und Arbeitsmappen

• Prüfen Sie Ihre Grafiken vor dem Ausdruck genau, vermeiden Sie mehrfache Korrektur-drucke! Im Praktikum werden mehrere 10.000 Seiten pro Jahr gedruckt - das kostet Geld undbelastet die Umwelt. Arbeitsmappen mit sehr vielen Daten (mehrere Seiten) sollen imPraktikum nicht gedruckt werden. Solche mit nur drei Zahlen können Sie abschreiben!

• Mehrere Grafiken und/oder Arbeitsmappen und Text auf einem A4-Blatt anordnen:

Datei - Neu... Layout wählen oder klicken; Rechtsklick auf die Layoutseite um Grafikenoder Arbeitsmappen hinzuzufügen.

• druckt eine Grafik, Arbeitsmappe oder ein Layout unmittelbar auf ein A4-Blatt.

Einige Naturkonstanten

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,997 924 58 108 m/s

300 000 km/s

Gravitationskonstante γ = 6,674 1(3) 1011 N m2 kg2

Fallbeschleunigung im Grundpraktikum g = 9,812 03(2) m/s2

Elementarladung e0 = 1,602 176 62(1) 1019 C

Elektronenruhemasse me = 9,109 383 6(1) 1031 kg

Atomare Masseneinheit u = 1,660 539 04(2) 1027 kg

elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854 187 817 1012 A s V1 m1

(Dielektrizitätskonstante des Vakuums)

magnetische Feldkonstante μ0 = 4 π 107 V s A1 m1

(Permeabilität des Vakuums) 1,256 637 ... 106 V s A1 m1

Planck-Konstante h = 6,626 070 04(8) 1034 J s

(Planckschen Wirkungsquantum) = 4,135 667 66(3) 1015 eV s

Avogadro-Konstante NA = 6,022 140 86(8) 1023 mol1

Boltzmann-Konstante k = 1,380 648 5(8) 1023 J/K

molare Gaskonstante R = 8,314 460(5) J mol1 K1

Faraday-Konstante F = 9,648 533 29(6) 104 C/mol

Quelle und weitere Daten: http://physics.nist.gov/cuu/

naturwissenschaftler - uni-halle.de · abschlussnote für das praktikum gebildet. das praktikum...

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