natjecanja iz matematike 8. razred 2000-2015

8/18/2019 Natjecanja Iz Matematike 8. Razred 2000-2015

1/60


2/60

Zadaci za 10 bodova:

6. Na slici je 7 jednakostraničnih trokuta sa stranicom duljine4 3 cm.

Trokuti su složeni tako da je vrh drugog trokuta u polovištu stranice prvog trokuta, vrhtrećeg trokuta u polovištu stranice drugog trokuta i tako redom vrh sedmog trokuta u

polovištu stranice šestog trokuta. Kolika je površina sivog dijela?

7. Opseg paralelograma je 30 cm. Zbroj površina kvadrata konstruiranih nad dvjemasusjednim stranicama je 113 cm2. Kolike su duljine tih stranica?

Nije dopuštena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika.


3/60

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE29. siječnja 2015.

8. razred-rješenja

OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMADRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA,ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAKBODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.

1. Prvi način:2014 2015 x

2 1 BOD

2 22014 2015 x 1 BOD2 22015 2014 (2015 2014)(2015 2014) 4029 2 BODA

Ukupan broj prirodnih brojeva x za koje je nejednakost točna jednak je2 22015 2014 1 4029 1 4028 . 2 BODA

………………………………………………………………………………. UKUPNO 6 BODOVA

Drugi način:2014 2015 x 2 1 BOD

2 22014 2015 x 1 BOD4 056 196 < x < 4 060 225 2 BODA Nejednakost zadovoljavaju brojevi 4 056 197, 4 056 198, … ,4 060 224. 1 BODUkupan broj prirodnih brojeva x za koje je nejednakost točna jednak je4 060 224 – 4 056 196 = 4028. 1 BOD………………………………………………………………………………. UKUPNO 6 BODOVA

2. Prvi način:

Razmjer 5:2: ba

možemo napisati u obliku25

a

b . 1 BODPodijelimo li brojnik i nazivnik zadanog izraza s2b i uvrstimo da je 2

5a

b, dobivamo

22

2 2

22

2 21

aaa bb

aab bab b

bb b

= 2 BODA

22 45 25

2 715 5

= 2 BODA

4 5 425 7 35 1 BOD

.………………………………………………………………………………. UKUPNO 6 BODOVADrugi način:

Razmjer 5:2: ba možemo napisati u obliku 25

a b . 1 BOD2

22

22 2 2

2 45 25

2 2

5 5

b ba

ab b b b b b b

2 BODA


4/60

2

2

4 425 257 75 5

b

b

2 BODA

4 5 4

25 7 35 1 BOD

………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVATreći način:


b a . 1 BOD2 2 2

222 25 255 5

2 42 2

a a a

ab ba aa a a

2 BODA

2

2

135 35

4 4

a

a

2 BODA

435

1 BOD

………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVAČetvrti način:


a

b. 1 BOD

2 2

22

( ) 5 1

aa a a a b

aab b b a b b a b

b

2 BODA

2 22 25 52 75 515 5

2 BODA

2 2 45 7 35 1 BOD

………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVAPeti način:Budući da vrijedi 5:2: ba , postoji racionalan brojk takav da jea = 2k i b = 5k . 1 BOD

2 2

2 2(2 )

2 5 (5 )a k

ab b k k k

2 BODA

2 2

2 2 24 4

10 25 35k k

k k k 2 BODA

435

1 BOD

………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVA

3. Prvi način:Kocka ima 8 vrhova. S tri strane obojeno je 8 jediničnih kockica koje su u vrhovima velike kocke.

2 BODAKocka ima 12 bridova. S dvije strane obojeno je 12 jediničnih kockica koje su uz bridove velikekocke. 2 BODAKocka ima 6 strana. S jedne strane obojeno je 6 jediničnih kockica, po jedna na svakoj strani kocke.

1 BOD


5/60

Niti s jedne strane nije obojena 27 – 8 – 12 – 6 = 1 jedinična kockica. 1 BOD………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVADrugi način: Nakon lijepljenja jediničnih kockica, velika kocka izgleda kao na donjoj slici.

S tri strane obojeno je 8 jediničnih kockica.

2 BODAS dvije strane obojeno je 12 jediničnih kockica.

2 BODAS jedne strane obojeno je 6 jediničnih kockica.

1 BOD Niti s jedne strane nije obojena 27 – 8 – 12 – 6 = 1 jedinična kockica. 1 BOD………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVANapomena : Točni odgovori bez obrazloženja ili bez slike donose po 1 bod.

4. Neka jen broj stranica (vrhova) traženog mnogokuta.Iz jednog vrha tog mnogokuta može se nacrtatin – 3 dijagonale,a ukupan broj dijagonala tog mnogokuta jednak je( 3)

2n n

. 1 BOD

U mnogokutu koji iman + 5 stranica,iz jednog vrha može se nacrtatin + 5 – 3 =n + 2 dijagonale,

a ukupan broj dijagonala tog mnogokuta je( 5)( 2)2

n n . 1 BOD

Prema uvjetu zadatka vrijedi: ( 3) ( 5)( 2)502 2

n n n n 1 BOD

Rješavanjem ove jednadžbe dobiva se redom( 3) 100 ( 5)( 2)n n n n 1 BOD2 23 100 7 10n n n n 1 BOD

10 90n i konačno n = 9. 1 BOD……………………………………………………………………………….. UKUPNO 6 BODOVANapomena : Rješenje dobiveno metodom uzastopnog približavanja (npr. ispunjavanjem tablice)može se bodovati s 10 bodova. Ako nema svih računa, nego samo točan konačan rezultat, onda se boduje s 2 boda.


6/60

5. Prvi način:

Duljine kružnih lukova

AB ,

BC i

AC označimo redoml 1, l 2 i l 3, a odgovarajuće im središnjekutove γ1, α1 i β 1.

Budući da je 13 12 2

12 4 l r r i 1 1180

r l , slijedi da je 1

180 902

r

r

. 2 BODA

Analogno dobivamo da je1 120 i 1 150 . 2 BODA

Kutovi trokutaα, β i γ obodni su kutovi odgovarajućih središnjih kutovaα1, β 1 i γ1 pa je konačno α = 60 , β = 75 i γ = 45 . 2 BODA…………………………………………………………………………..…… UKUPNO 6 BODOVADrugi način:

Duljine kružnih lukova iste kružnice proporcionalne su veličinama pripadnih središnjih kutova pauz oznake kao na slici vrijedi1 1 1: : 3: 4 : 5 . 1 BODBudući da je 1 1 1 360 i 360 : (3 + 4 + 5) = 360 : 12 = 30, 1 BODzaključujemo da je 1 3 30 90 , 1 4 30 120 i 1 5 30 150 . 2 BODAKutovi trokutaα, β i γ obodni su kutovi odgovarajućih središnjih kutovaα1, β 1 i γ1 pa je konačno α = 60 , β = 75 i γ = 45 . 2 BODA…………………………………………………………………………..…… UKUPNO 6 BODOVA

6. Prvi način:

Površina sivog dijela jednaka je zbroju površina 7 sukladnih jednakostraničnih trokuta sa stranicomduljine 4 3 cm umanjenim za zbroj 2 6 = 12 površina (na „bijelim mjestima“ preklopljeni su ioduzeti dijelovi dvaju trokuta!) jednakostraničnih trokuta sa stranicom duljine 23 cm. 3 BODAPrimjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine većeg trokuta.

l 2

l 3

l 1

γ

β

α

γ1 β 1α1 B

C

l 2

l 3

l 1

γ

β

α

γ1 β 1α1 B

C

2 3

4 3


7/60

2 2 2(4 3) (2 3) 48 12 36v

6v cm 2 BODA

Površina tog trokuta jednaka je11 4 3 6 12 32

P cm2. 1 BOD

Primjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine manjeg trokuta.

2 2 21 (2 3) ( 3) 12 3 9v 1 3v cm 2 BODA

Površina tog trokuta jednaka je21 2 3 3 3 32

P cm2. 1 BOD

Površina sivog dijela lika jednaka je 1 27 12 P P 7 12 3 12 3 3 84 3 36 3 48 3 cm2 .1 BOD

………………………………………………………………………...……. UKUPNO 10 BODOVADrugi način:

Površina sivog dijela jednaka je površini trapeza ABCD umanjenoj za zbroj površina 12 „bijelih“ jednakostraničnih trokuta. 2 BODADuljine osnovica trapeza su 4 4 3 16 3 AB cm i 3 4 3 12 3CD cm 1 BODDuljina visine trapeza jednaka je duljini visine jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine4 3 cm. Određujemo je primjenom Pitagorinog poučka.

2 2 2(4 3) (2 3) 48 12 36v 6v cm 2 BODA

Površina trapeza ABCD jednaka je16 3 12 3 6 14 3 6 84 3

2 ABCD

P cm2. 1 BOD

Primjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine manjeg trokuta.

v

2 32 3

4 3 4 3

v 1

3 3

2 3 2 3

v

v 1

12 3

16 3

4 3

B

C D

v

2 32 3

4 3 4 3


8/60

2 2 21 (2 3) ( 3) 12 3 9v

v1 = 3 cm 2 BODAPovršina tog trokuta jednaka je1

1 2 3 3 3 32

P cm2. 1 BOD

Površina sivog dijela lika jednaka je 112 ABCD P P 84 3 12 3 3 84 3 36 3 48 3 cm2 .1 BOD

………………………………………………………………………...……. UKUPNO 10 BODOVATreći način:Romb ABCD na slici sastavljen je od dva sukladna jednakostranična trokuta sa stranicom duljine2 3 cm. Ti su trokuti sukladni „bijelim“ trokutima sa slike

2 BODA Neke od „sivih“ rombova možemo podijeliti na trokute i presložiti tako da popune bijele dijelove,kao što je prikazano na slici:

2 BODADakle, površina sivih dijelova slike jednaka je površiničetiriju jednakostraničnih trokuta sastranicom duljine4 3 cm. 2 BODAPrimjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine većeg trokuta.

2 2 2(4 3) (2 3) 48 12 36v 6v cm 2 BODA

Površina tog trokuta jednaka je 1 4 3 6 12 32

P cm2. 1 BOD

Površina sivog dijela lika jednaka je4 P 4 12 3 48 3 cm2 . 1 BOD………………………………………………………………………...……. UKUPNO 10 BODOVAČetvrti način:Sivi dio zadanog lika možemo podijeliti, kao što je prikazano na slici, na 16 jednakostraničnih

trokuta.

v 1

3 3

2 3 2 3

B D

C

5

6

' 5 ' 6

3

4

' 3 ' 4

1

' 1 ' 22

v

2 32 3

4 3 4 3


9/60

3 BODABudući da su dužinama spajana polovišta stranica jednakostraničnih trokuta, dobiveni su trokutislični zadanom „velikom“ trokutu, s upola kraćim stranicama. Dakle, duljina stranice tih trokuta je2 3 cm. 3 BODAPrimjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine manjeg trokuta.

2 2 21 (2 3) ( 3) 12 3 9v

v1 = 3 cm 2 BODA

Površina tog trokuta jednaka je1 1 2 3 3 3 32 P cm2. 1 BOD

Površina sivog dijela lika jednaka je 116 P 16 3 3 48 3 cm2 . 1 BOD………………………………………………………………………...……. UKUPNO 10 BODOVANapomena: Točno izračunata površina velikog trokuta, odnosno površina malog trokuta vrednujese s po 3 boda (ako su ispravno izračunate obje površine, to donosi ukupno 6 bodova).

7. Prvi način:

Skica ili opis (Označimo sa a duljinu veće, a sb duljinu kraće stranice.) 1 BODTada vrijedi2 2 30a b odnosno 15a b i 2 2 113a b . 1 BODBudući da je 2 2 2( ) 2a b a ab b , nakon uvrštavanja dobivamo 215 113 2ab odnosno2 225 113 112ab . 2 BODABudući da je 2 2 2( ) 2a b a ab b , nakon uvrštavanja dobivamo

2 2 2( ) ( ) 2 113 112a b a b ab , odnosno 2( ) 1a b . 2 BODAAko je 2( ) 1a b , onda (uz pretpostavku da jea > b tj. da jea – b > 0) mora bitia – b = 1.

2 BODA

Duljine stranica zadovoljavaju sustav jednadžbi151

a b

a b

1 BOD

Rješavanjem sustava nalazimo rješenjea = 8 cm i b = 7 cm. 1 BOD

………………………………………………………………………...……. UKUPNO 10 BODOVA

v 1

3 3

2 3 2 3

a

b

b 2

a 2

G

H

F E

D

B

C


10/60

Drugi način:

Skica ili opis (Označimo sa a duljinu veće, a sb duljinu kraće stranice.) 1 BODTada vrijedi 2 2 30a b odnosno 15a b i 2 2 113a b . 1 BODIz 15a b slijedi da je 15b a pa nakon uvrštavanja dobivamo2 2(15 ) 113a a 1 BOD

odnosno 2 2225 30 113a a a . 1 BODSređivanjem jednadžbe dobivamo 22 30 112 0a a , a nakon dijeljenja cijele jednadžbe s 2,dobivamo 2 15 56 0.a a 1 BODTu jednadžbu možemo faktorizirati tj. napisati u obliku umnoška( 8)( 7) 0a a . 2 BODAUmnožak dvaju brojeva jednak je nuli samo u slučaju da je jedan od tih brojeva jednak nuli, 1 BODtj. samo u slučaju a = 8 cm (i tada jeb = 7 cm) ilia = 7 cm (i tada jeb = 8 cm). 1 BODKako smo označili saa dulju stranicu paralelograma, drugi slučaj otpada.Dakle,a = 8 cm i b = 7 cm. 1 BOD………………………………………………………………………...……. UKUPNO 10 BODOVANapomena: Analogan postupak i bodovanje provodi se u slučaju da je korištenasupstitucija 15a b .Napomena : Rješenje dobiveno metodom uzastopnog približavanja (npr. ispunjavanjem tablice)može se bodovati s 10 bodova, ali mora biti jasno navedeno značenje korištenih oznaka i vidljivzapis postupka (račun). Dakle, tim načinima rješavanja mora prethoditi skica ili opis

(Označimo saa duljinu veće, a sb duljinu kraće stranice.)Tada vrijedi 2 2 30a b odnosno 15a b i 2 2 113a b .

a 14 13 12 11 10 9 8b = 15 –a 1 2 3 4 5 6 7a 2 + b 2 197 173 153 127 125 117 113

U tom se slučaju rješenje može bodovati s 10 bodova. Ako oznaka, računa i objašnjenja nema, točankonačan rezultat donosi 2 boda.

a

b

b 2

a 2

G

H

F E

D

B

C

a

b

b2

a 2

G

H

F E

D

B

C


11/60

MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJEHRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJEIZ MATEMATIKE27. siječnja 2014.

8. razred- osnovna škola

Zadaci za 6 bodova:

1. Racionaliziraj nazivnik razlomka3

3 5 3.

2. Riješi jednadžbu 3 2 11 11 3

2 3 : :4 3 4 3 2

x .

3. Koja je vrijednost znamenke na mjestu jedinica broja 1 + 9 2014 ?

4. Riješi jednadžbu 6(x – 1)(x + 2) – 4(x – 3)(x + 4) = 2(x – 5)(x – 6).

5. Površine dvaju sličnihtrokuta odnose se kao 16 : 9. Duljina jedne stranice manjegtrokuta iznosi 12 cm, a duljina visine na tu stranicu 15 cm. Izračunaj površinu i duljinuodgovarajuće stranice većeg trokuta.

Nije dopuštena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika. Okreni list!


12/60


6. Ako je 0 x y i 2 2 1

4 x y , odredi koliko je 4 4 x y ?

7. Pravokutniku je opisana kružnica.Duljine susjednih stranica pravokutnika odnose sekao 4 : 3. Površina pravokutnika iznosi 108 cm2. Izračunaj površinu neosjenčanogdijela kruga.

Nije dopuštena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika.


13/60

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE27 . siječnja 2014.

8. razred- rješenja

OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMADRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAKBODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.

1. 3 3 3 5 3

3 5 3 3 5 3 3 5 3 1 BOD

2 2

3(3 5 3)(3 5) ( 3)

1 BOD

3(3 5 3)9 5 3

2 BODA

3(3 5 3)42

1 BOD

3 5 3

14 1 BOD

………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVA

2.11 11 33 44 3

: :4 3 12 2

x 1 BOD

121 11 3: :

12 12 2

x 1 BOD

11 121 312 12 2

x 1 BOD

11 121

12 8 x 1 BOD

121 128 11

x 1 BOD

33

2 x 1 BOD

………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVA

3. Potencije broja 9 su 9 1=9, 9 2=81, 9 3=729, 9 4=6561 ,… 2 BODALako je uočiti da potencije s neparnim eksponentomimaju znamenku jedinica 9, a potencije s

parnim eksponentom imaju znamenku jedinica 1. 2 BODABroj 9 2014 ima parni eksponent pa mu je znamenka jedinica 1. 1 BODDakle, broj 1 + 9 2014 ima znamenku jedinica 2. 1 BOD………………………………………………………………………..……… UKUPNO 6 BODOVA

4. 6(x 2 + 2x – x – 2) – 4(x 2 + 4x – 3x – 12) = 2(x 2 – 6x – 5x + 30) 1 BOD6(x 2 + x – 2) – 4(x 2 + x – 12) = 2(x 2 – 11x + 30) 1 BOD6x2 + 6x – 12 – 4x 2 – 4x + 48 = 2x 2 – 22x + 60 1 BOD6x2 −4x2 −2x2 + 6x −4x + 22x = 60 – 48 + 12 1 BOD24x = 24 1 BOD

x = 1 1 BOD……………………………………………………………………………….. UKUPNO 6 BODOVA


14/60

5. Neka su P 1 i P 2 površine, a 1a i 2a odgo varajuće stranice sličnih trokuta.

Vrijedi 22212 15

902 2

aa v P cm2. 1 BOD

Kako je1 2

: 16 : 9 P P , onda slijedi1

160 P cm2. 1 BOD

S obzirom da je 21 2: 16 : 9 P P k , onda je4

3k . 2 BODA

Budući da je 1 2:a a k , slijedi 1 16a cm.Površina većeg trokuta je 160 cm², a duljina odgovarajuće stranice 16 cm. 2 BODA…………………………………………………………………………..…… UKUPNO 6 BODOVA

6. Kako je 0 x y , onda je 2 2( ) 0 0 x y . 1 BOD No, 2 2 2( ) 2 0 x y x xy y , 1 BOD

a kako je2 2 1

4 x y , onda je

12

4 xy odnosno

1

8 xy . 2 BODA

Dalje je 4 4 x y = 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 22 2 ( ) 2 x x y y x y x y x y 3 BODA

=2 2

1 1 12

4 8 32 3 BODA

……………………………………………………………..……… UKUPNO 10 BODOVA

7.

Iz uvjeta zadatka vrijedi a · b = 108 i a : b = 4 : 3. 1 BOD

Iz druge jednakosti slijedi da je4

3a b 1 BOD

pa je4

1083 b b odnosno

b = 9 cm 2 BODA

i a = 12 cm. 1 BODPitagorinim poučkomdobivamo 2 2 29 12 d odnosno d = 15 cm. 1 BODTada je polumjer pravokutniku opisane kružniceduljine 7.5 cm. 1 BODPovršina neosjenčanog dijela jednaka je površini kruga umanjenoj za površinu osjenčanog

pravokutnika odnosno 2(7.5) 108 P . 1 BODDakle, 56.25 108 P cm 2. 2 BODA………………………………………………………………………...……. UKUPNO 10 BODOVA

b

ad


15/60


16/60


17/60


18/60


19/60


20/60


21/60


22/60


23/60


24/60


25/60


26/60


27/60


28/60


29/60


30/60

MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJEHRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJEIZ MATEMATIKE14. veljače 2012.

8. razred- osnovna škola

Zadaci za 4 boda:

1.

Izračunaj vrijednost izraza I = 10 + 2 · ( x + 1 )2

– x · ( 4 – 3 x ), za x = – 20.

2. Izračunaj vrijednost izraza 2( 3 3) ( 3 3) .

3. Odredi koordinate točaka A i B pravca p zadanog jednadžbom y = − x + 2 ako

je apscisa točke A broj3

2, a ordinata točke B broj

3

2.

4. Ako je 1 2 3 4: 7 : 3 : 2 : 5 x x x x , pokaži da vrijedi jednakost2

2 2 2 2 1 2 3 41 2 3 4

(7 3 2 5 )87

x x x x x x x x .

5. U kvadratnu mrežu točaka narisan je broj, pri čemu je duljina stranice kvadrataa cm.Ako je površina slova 2028 cm2, odredi duljinu a .

Nije dopuštena uporaba džepnog računala niti bilo kakvih priručnika. Okreni list!


31/60


32/60

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE14. veljače 2012.

8. razred- rješenja

OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMADRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŢAN JE I TAJ POSTUPAKBODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.

1.Vrijedi 210 2 ( 20 1) ( 20) (4 3 ( 20)) I 210 2 ( 19) ( 20) (4 60) 1 BOD

10 2 361 ( 20) 64 1 BOD10 722 1280 1 BOD2012 1 BOD

………………………………………………………………………………….... UKUPNO 4 BODA

2. S obzirom da je 3 3 odnosno 3 3 0 , vrijedi 2( 3 3) ( 3 3) . 2 BODA

Dakle,2( 3 3) ( 3 3) ( 3 3) ( 3 3) 6 2 3 . 2 BODA

………………………………………………………………………...………… UKUPNO 4 BODA

3. Ako točka A pripada pravcu p , onda vrijedi jednakost : y = 32

+ 2 =3

24, pa su koordinate

točke A (3

2,

3

24). 2 BODA

Ako i točka B pripada pravcu p , onda vrijedi ova jednakost : 32

= −x + 2 , pa je apscisa

točke B broj3

24. Dakle, koordinate su točke B (

3

24,

3

2). 2 BODA

…………………………………………………………………………………... UKUPNO4 BODA

4.Neka je 1 2 3 4: 7 : 3 : 2 : 5k x x x x . 1 BOD

Tada je 1 2 3 47 , 3 , 2 , 5 x k x k x k x k . 1 BOD

Vrijedi 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 49 9 4 25 87 x x x x k k k k k . 1 BOD

Dalje je

2 2 2 2 22

1 2 3 4(7 3 2 5 ) (49 9 4 25 ) (87 ) 87

8787 87 87 87

x x x x k k k k k k k .

Time je tvrdnja dokazana. 1 BOD………………………………………………………………………………...…. UKUPNO 4 BODA


33/60


34/60

7.

U trokutu AEC duţina CD je visina na stranicu AE , 1 BODtj. visina trokuta AEC na stranicu AE je duljine 9 cm. 1 BOD

Neka je x AE .

Tada je 4 ED x . 1 BODPrema poučku K -K o sličnosti trokuti BAE i CDE su slični pa vrijedi 2 BODA

: : AE ED AB CD odnosno : (4 ) 1: 3 x x . 2 BODASlijedi 1 x . 1 BOD

Dalje za površinu P trokuta AEC vrijedi 1 9 4.52 2

AE CD P

cm 2 . 2 BODA

……………………………………………………………………………… UKUPNO 10 BODOVA

8.

1 BODUz oznake kao na slici vrijedi 2 x + 2 b = 50, tj. x + b = 25 (cm). 1 BOD

Nadalje je x + b + v = 40 (cm), odakle je v = 15 (cm). 1 BODPrimjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut ACD dobivamo:b 2 = v 2 + x 2, tj. (25 – x )2 = 15 2 + x 2. 2 BODA

Nadalje je 625 – 50 x + x 2 = 225 + x 2, odakle je 50 x = 400, 2 BODA

tj. x = 8 (cm), a = 2 x = 16 (cm) i b = 17 (cm). 2 BODAPovršina trokuta ABC je

116 15 120

2P (cm 2). 1 BOD

……………………………………………………………………………… UKUPNO 10 BODOVA

E

C D

B

bbv

x x D A B

C


35/60

MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKEAGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJEHRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE

IZ MATEMATIKE4. veljače 2010.

8. razred-osnovna škola

Zadaci za 4 boda:

1. Odredi još dva broja koji nastavljaju zapo č eti niz brojeva 3, 6, 24, 192, …Postupak obrazloži.

2. Koliko znamenaka u dekadskom zapisu ima broj 10 000 9999?

3. Duljine dijagonala romba iznose cm i cm. Izra č unaj površinu togromba.

4. Skrati razlomak: .

5. Za koji realan broj a izraz ima najmanju vrijednost? Kolika je najmanja vrijednost?


6. Duljine kateta a i b pravokutnog trokuta ABC odnose se kao 8 : 15, a njegov opseg iznosi 100 cm.Izra č unaj duljine svih stranica tog trokuta.

7. Kvadrat nekog cijelog broja za 49 je ve ć i od razlike trostrukog kvadrata njegova prethodnika idvostrukog kvadrata njegova sljedbenika. Koji je to broj? Koji je broj njegov sljedbenik?

8. Duljine visina jednakokra č nog trokuta ABC , s osnovicom , su 20 cm i 24 cm. Koliki je opseg trokuta ABC ako je duljina kraka manja od duljine osnovice?

Nije dozvoljena uporaba džepnog ra č unala niti bilo kakvih priru č nika.


36/60

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE4. veljače 2010.

8. razred-rješenja

OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMADRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAKBODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.

1. Koli č nici uzastopnih č lanova su 2,4,8. 1 BODKako je 4:2=2 i 8:4=2, onda sljede ć i koli č nik treba biti , a zatim .

2 BODAZato u nizu slijedi broj odnosno . 1 BOD……………………………………………………………………….……. UKUPNO 4 BODA

2. Potrebno je uo č iti da je 10 000 9999 = (10 4)9999 . 2 BODA

Iz toga slijedi jednakost (104

)9999

=1039996

. 1 BODDakle, iza znamenke 1 biti ć e 39 996 nula, pa ć e broj imati 39 997 znamenaka. 1 BOD…………………………………………………………………..………… UKUPNO 4 BODA

3. Površina romba je jednaka polovini umnoška duljina njegovih dijagonala.

( ) ( )2010 2002 2010 20022

p+ ⋅ −

=

1 BOD

( ) ( )2 22010 20022

p−

=

1 BOD2010 2002 8

42 2

p −

= = =

Površina romba iznosi 4 cm 2. 2 BODA……………………………………………………………………….……. UKUPNO 4 BODA

4. 2

3 2

4a 4aba ab

−

− = 2 2

4a (a b)a (a b )

⋅ −

⋅ − = 2 BODA

=( ) ( )4 a (a b)

a a b a + b

⋅ ⋅ −

⋅ − ⋅= 1 BOD

=4

a + b 1 BOD

…………………………………………………………………….………. UKUPNO 4 BODA5. Vrijedi . 2 BODA

Za najmanja vrijednost je 2006. 2 BODA……………………………………………………………….……………. UKUPNO 4 BODA

6. Iz a : b = 8 : 15 slijedi da je a = 8 x i b = 15 x, . 2 BODAPrimjenom Pitagorina pou č ka dobiva se c2 = (8 x)2 + (15 x)2, tj. c 2 = 289 x2.Duljina hipotenuze je c = 17 x. 3 BODAOpseg trokuta je 100 cm pa je 8 x + 15 x + 17 x = 100.Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo x = 2.5. 2 BODADuljine stranica trokuta su a = 20 cm, b = 37.5 cm i c = 42.5 cm. 3 BODA………………………………………………………………..………. UKUPNO 10 BODOVA


37/60

7. Broju n prethodnik je broj n 1− ,a sljedbenik n + 1 . 1 BODIz uvjeta zadatka slijedi jednadžba:

( ) ( )2 22n 49 = 3 n 1 2 n +1− − − 2 BODA( ) ( )2 2 2n 49 = 3 n 2n +1 2 n + 2n + 1− − − 2 BODA

2 2 2n 49 = 3n 6n + 3 2n 4n 2− − − − − 1 BOD10n = 50 2 BODAn = 5 1 BODTraženi broj je 5, a njegov sljedbenik 6. 1 BOD………………………………………………………………...……… UKUPNO 10 BODOVA

8.

Neka su visina na krak i visina na osnovicu . 1 BODKako je , onda je . To zna č i da je cm, a cm.

1 BOD

Kako je , onda vrijedi

odnosno . 2 BODA

Primijenimo li Pitagorin pou č ak na ∆ BCE, slijedi odnosno nakon

sre đ ivanja cm i cm. 4 BODANa kraju, cm. 2 BODA………………………………………………………………..………. UKUPNO 10 BODOVA


38/60


39/60

OP ĆINSKO/ ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE8. razred – rješenja

29. siječnja 2009.

OVDJE JE DAN JEDAN NA ČIN RJE ŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO U ČENIK IMA DRUGA-ČIJI POSTUPAK RJE ŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DU ŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODO-VATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJU ĆI NA ČIN.

1. Izračunajmo broj x :

x = 95 −

15

: 1 − 32

2

= 95 −

15

: −12

2

= 95 −

15 ·4 =

95 −

45

= 55

= 1 .

4 BODASlično, uporabom formule za kvadrat zbroja, imamo

y = √ 2 + 52 −

√ 22

+ 1

2

= √ 2 + 52 −

12

+ √ 2 + 1 = √ 2 + 52 −

12 −√ 2 −1 = 1 .

4 BODADakle, vrijedi da je x = y. 2 BODA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UKUPNO 10 BODOVA2. Kako su dječaci postigli prosjek 87 bodova, oni su zajedno sakupili 12 ·87 = 1044 boda. 1 BODDjevojčice su zajedno sakupile 18 x bodova, pri čemu je x njihov prosjek koji trebamo izrǎcunati. 1 BODPrema tome, učenici su zajedno sakupili 1044 + 18 x bodova. 1 BODU razredu ima 12 + 18 = 30 učenika. 1 BODKako je prosjek razreda 90 bodova, vrijedi jednadžba

1044 + 18x30

= 90. 2 BODA

Rješavanjem jednadžbe dobivamo 1044 + 18 x = 2700, odnosno 18 x = 2700 −1044 = 1656,odakle je x =

165618

= 92 . 4 BODA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UKUPNO 10 BODOVA

3. Označimo duljine kateta i hipotenuze na uobičajen način: a = |BC |, b = |AC |, c = |AB |.

1 BODPrimijenimo li Pitagorin poučak na pravokutne trokute AP C i BCQ , dobivamo sljedeće dvije jednakosti:

a 2

4 + b2 = |AP |

2 = 25 ,

a 2 + b2

4 = |BQ |

2 = 40 .

4 BODAZbrajanjem tih dviju jednakosti slijedi jednakost

54

a 2 + b2 = 65 . 2 BODA

Medutim, zbog Pitagorinog poučka je a2

+ b2

= c2

, pa uvrštavanjem u prethodnu jednakostdobivamo da je

54

c2 = 65, odnosno c2 = 52. 2 BODA

Konačno, c = √ 52 = 2√ 13 cm. 1 BOD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UKUPNO 10 BODOVA


40/60

4. Neka su D , E , F redom nožǐsta okomica iz točke T na stranice AB , BC , C A kao na slici:

1 BODPrema uvjetu zadatka je |T D | = 1, |T E | = 2 i |T F | = 3. Prikažimo sada površinu trokuta ABC kao zbroj površina triju trokuta:

P (ABC ) = P (ABT ) + P (BCT ) + P (CAT ).

2 BODAKako je površina trokuta jednaka umnošku duljina stranice i visine, imamo da je

P (ABC ) = a · |T D |

2 +

a · |T E |2

+ a · |T F |

2 =

a2

(|T D |+ |T E |+ |T F |) = a2

(1 + 2 + 3) = 3 a.

3 BODA

S druge strane, površina jednakostraničnog trokuta je P (ABC ) = a2 √ 3

4 , pa

izjednačavanjem dobivenih dvaju izraza za površinu slijedi da je a2 √ 3

4 = 3a ,

odakle je a = 12√ 3 = 4√ 3. 2 BODA

Konačno, iz formule za površinu trokuta dobivamo P (ABC ) = a2 √ 3

4 = 48√ 3

4 = 12√ 3 cm2 . 2 BODA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UKUPNO 10 BODOVA5. Zapišimo dani izraz u drugom obliku, služeći se formulom za kvadrat zbroja:

4x 2 + 4 xy + 4 y2 + 12 x + 8 = x2 + 4 xy + 4 y2 + 3 x 2 + 12 x + 12 −4= ( x + 2 y)2 + 3( x 2 + 4 x + 4) −4= ( x + 2 y)2 + 3( x + 2) 2 −4.

5 BODOVAKako je kvadrat broja uvijek nenegativan, zaključujemo da je ( x + 2 y)2 ≥0 i (x + 2)

2

≥0,pa se na jmanja vrijednost postiže kada je ( x + 2 y)2 = ( x + 2) 2 = 0, te je ona jednaka −

4. 3 BODANajmanja vrijednost se postiže kada je x + 2 y = 0 i x + 2 = 0. Iz druge jednadžbeslijedi da je x = −2, a iz prve y = −

x2

= −−2

2 = 1 . 2 BODA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UKUPNO 10 BODOVA


41/60


42/60


43/60


44/60


45/60


46/60


47/60


48/60


49/60


50/60


51/60


52/60


53/60


54/60


55/60


56/60


57/60


58/60


59/60


60/60

natjecanja iz matematike 8. razred 2000-2015

Documents