prvi pismeni zadatak iz matematike priprema · matematika za 8.razred; prvi pismeni zadatak ......
TRANSCRIPT
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
1
PRVI PISMENI ZADATAK IZ MATEMATIKE – PRIPREMA
Prvi pismeni zadatak iz matematike radiće se u PONEDELJAK, 04.11.2019. godine. Prvi pismeni zadatak iz matematike
obuhvata sledeće oblasti:
1. Sličnost trouglova (1.zadatak)
2. Tačka, prava i ravan (2.zadatak)
3. Linearne jednačine s jednom nepoznatom (3.zadatak, 4.zadatak, 5.zadatak)
1.ZADATAK
Prvi zadatak sastoji se iz tačaka a) i b).
• Tačka a): Talesova teorema (udžbenik, 6.strana)
• Proporcionalnost stranica sličnih trouglova (udžbenik, 9.strana)
TALESOVA TEOREMA – ZADACI ZA VEŽBANJE
1.1 Izračunati dužinu duži SB ako je poznato da je: |SA| = 2cm, |AC| = 5cm, |BD| = 7cm i AB || CD.
1.2 Izračunati dužinu duži DC ako je poznato da je: |AB| = 20cm, |DE| = 15cm, |AC| = 16cm i AB || DE.
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
2
1.3 Izračunati dužinu duži SD ako je poznato da je: |SA| = 8cm, |SB| = 10cm, |SC| = 12cm i AB || CD.
1.4 Izračunati dužinu duži SD ako je poznato da je: |SC| = 6, |AC| = 3, |BD| = 6 i AB || CD.
REŠENJA ZADATAKA:
1.1 Izračunati dužinu duži SB ako je poznato da je: |SA| = 2cm, |AC| = 5cm, |BD| = 7cm i AB || CD.
REŠENJE:
|SA| : |AC| = |SB| : |BD|
→ 2 : 5 = |SB| : 7
→ 5 ∙|SB| = 2 ∙ 7
→ |SB| = 14 / 5 = 2.8 cm
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
3
1.2 Izračunati dužinu duži DC ako je poznato da je: |AB| = 20cm, |DE| = 15cm, |AC| = 16cm i AB || DE.
REŠENJE:
|AB| : |DE| = |AC| : |DC|
→ 20 : 15 =16 : |DC|
→ 20 ∙ |DC| = 15 ∙ 16
→ |DC| = 240 / 20 = 12cm
1.3 Izračunati dužinu duži SD ako je poznato da je: |SA| = 8cm, |SB| = 10cm, |SC| = 12cm i AB || CD.
REŠENJE:
|SA| : |SC| = |SB| : |SD|
→ 8 : 12 = 10 : |SD|
→ 8 ∙ |SD| = 12 ∙ 10
→ |SD| = 120 / 8 = 15 cm
1.4 Izračunati dužinu duži SD ako je poznato da je: |SC| = 6, |AC| = 3, |BD| = 6 i AB || CD.
Rešenje:
|AC| : |SC| = |BD| : |SD|
→ 3 : 6 = 6 : |SD|
→ 3 ∙ |SD| = 6 ∙ 𝟔 = 36
→ |SD| = 36 / 3
→ |SD| = 12
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
4
PROPORCIONALNOST STRANICA SLIČNIH TROUGLOVA
– ZADACI ZA VEŽBANJE −
1.5 Dat je pravougli trougao čije su katete a = 3cm i b = 4cm. Odredi stranice njemu sličnog trougla čija je površina
P1 = 54cm2.
1.6 Dužine stranica trougla su a = 1.6cm, b = 1.4cm i c = 1.8cm, a dužina najduže stranice njemu sličnog trougla je 9cm.
Odredi dužine preostale dve stranice njemu sličnog trougla.
1.7 Dužine stranica trougla su a = 5cm, b = 6cm i c = 8cm. Odredi dužine stranica njemu sličnog trougla čiji je obim
O1 = 57cm.
1.8 Dužina kraka jednakokrakog trougla je b = 10cm, osnovice a = 12cm, a visina tog trougla koja odgovara osnovici je
h = 8cm. Odredi dužine stranica (kraka i osnovice) njemu sličnog trougla čija visina koja odgovara njegovoj osnovici ima
dužinu h1 = 4cm.
1.9 Dužina kraka jednakokrakog trougla je b = 13cm, a osnovice a = 24cm. Odredi dužinu osnovice i dužinu kraka njemu
sličnog trougla ako je razmera površina njemu sličnog trougla i datog trougla P1 : P = 9
1.10 Katete pravouglog trougla su a = 6cm i b = 8cm, a hipotenuza c = 10cm. Odredi dužine kateta njemu sličnog trougla čija
je hipotenuza c1 = 30cm.
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
5
REŠENJA ZADATAKA:
1.5 Dat je pravougli trougao čije su katete a = 3cm i b = 4cm. Odredi katete njemu sličnog trougla čija je površina P1 = 54cm2.
REŠENJE:
𝐏 =𝒂 ∙ 𝐛
𝟐=
𝟑 ∙ 𝟒
𝟐= 𝟔𝐜𝐦𝟐
𝐤𝟐 =P1
P=
𝟓𝟒
𝟔= 𝟗 → 𝐤 = 𝟑
→ a1 = a ∙ k = 3 ∙ 𝟑 = 𝟗𝒄𝒎
→ b1 = b ∙ k = 4 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟐𝒄𝒎
1.6 Dužine stranica trougla su a = 1.6cm, b = 1.4cm i c = 1.8cm, a dužina najduže stranice njemu sličnog trougla je 9cm.
Odredi dužine preostale dve stranice njemu sličnog trougla.
REŠENJE:
c1 = 9cm
→ k = c1 / c = 9 / 1.8 = 5
→ a1 = a ∙ k = 1.6 ∙ 5 = 8cm
→ b1 = b ∙ k = 1.4 ∙ 5 = 7cm
1.7 Dužine stranica trougla su a = 5cm, b = 6cm i c = 8cm. Odredi dužine stranica njemu sličnog trougla čiji je obim
O1 = 57cm.
REŠENJE:
O = a + b + c = 19cm
→ k = O1 / O = 57 / 19 = 3
→ a1 = a ∙ k = 5 ∙ 𝟑 = 15cm
→ b1 = b ∙ k = 𝟔 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟖𝐜𝐦
→ c1 = c ∙ k = 𝟖 ∙ 𝟑 = 𝟐𝟒𝐜𝐦
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
6
1.8 Dužina kraka jednakokrakog trougla je b = 10cm, osnovice a = 12cm, a visina tog trougla koja odgovara osnovici je
h = 8cm. Odredi dužine stranica (kraka i osnovice) njemu sličnog trougla čija visina koja odgovara njegovoj osnovici ima
dužinu h1 = 4cm.
REŠENJE:
k = h1 / h = 4 / 8 = 0.5
→ a1 = a ∙ k = 12 ∙ 0.5 = 6cm
→ b1 = b ∙ k = 10 ∙ 0.5 = 5cm
1.9 Dužina kraka jednakokrakog trougla je b = 13cm, a osnovice a = 24cm. Odredi dužinu osnovice i dužinu kraka njemu
sličnog trougla ako je razmera površina njemu sličnog trougla i datog trougla P1 : P = 9
REŠENJE:
P1 : P = 9 = k2
→ k = 3
→ a1 = a ∙ k = 24 ∙ 𝟑 = 72cm
→ b1 = b ∙ k = 13 ∙ 𝟑 = 39cm
1.10 Katete pravouglog trougla su a = 6cm i b = 8cm, a hipotenuza c = 10cm. Odredi dužine kateta njemu sličnog trougla čija
je hipotenuza c1 = 30cm.
REŠENJE:
k = c1 / c = 30 / 10
→ k = 3
→ a1 = a ∙ k = 6 ∙ 3 = 18cm
→ b1 = b ∙ k = 8 ∙ 3 = 24cm
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
7
2.ZADATAK
• Ortogonalna projekcija na ravan (udžbenik, 33.strana)
ORTOGONALNA PROJEKCIJA NA RAVAN – ZADACI ZA VEŽBANJE
2.1 Izračunati dužinu ortogonalne projekcije duži |AB| = 15cm na ravan α. Tačka A pripada ravni α, a tačka B je udaljena od
ravni α 9cm.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
2.2 Izračunati dužinu duži |AB| čija je ortogonalna projekcija na ravan α dužine 15cm, tačka B pripada ravni α, a tačka A je
udaljena od ravni α 8cm.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
2.3 Ortogonalne projekcije duži AB na ravan α je duž |A1B1| = 8cm. Rastojanje tačke A od ravni α je 11cm, a rastojanje tačke
B od ravni α je 5cm. Odrediti dužinu duži AB ako se tačke A i B nalaze sa iste strane ravni α.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
2.4 Neka je duž |AB| = 20cm, rastojanje tačke A od ravni α je 8cm, a rastojanje tačke B od ravni α je 4cm. Odredi dužinu
ortogonalne projekcije duži AB, ako se tačke A i B nalaze sa različitih strana ravni α.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
8
REŠENJA ZADATAKA:
2.1 Izračunati dužinu ortogonalne projekcije duži |AB| = 15cm na ravan α. Tačka A pripada ravni α, a tačka B je udaljena od
ravni α 9cm.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
REŠENJE:
Ortogonalna projekcija duži AB je duž A1B1. Primenom Pitagorine
teoreme dobijamo da je:
|A1B1|2 = |AB|2 − |BB1|
2
→ |A1B1|2 = 152 − 92 = 225 – 81 = 144
→ |A1B1| = √𝟏𝟒𝟒 = 12cm
2.2 Izračunati dužinu duži |AB| čija je ortogonalna projekcija na ravan α dužine 15cm, tačka B pripada ravni α, a tačka A je
udaljena od ravni α 8cm.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
REŠENJE:
Ortogonalna projekcija duži AB je duž A1B1. Primenom Pitagorine
teoreme dobijamo da je:
|AB|2 = |A1B1|2 + |AA1|
2
→ |AB|2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289
→ |AB| = √𝟐𝟖𝟗 = 17cm
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
9
2.3 Ortogonalne projekcije duži AB na ravan α je duž |A1B1| = 8cm. Rastojanje tačke A od ravni α je 11cm, a rastojanje tačke
B od ravni α je 5cm. Odrediti dužinu duži AB ako se tačke A i B nalaze sa iste strane ravni α.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
REŠENJE:
Stranice trougla obeleženog zelenom bojom su 6cm i 8cm. Primenom
Pitagorine teoreme dobijamo da je:
|AB|2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
→ |AB| = √𝟏𝟎𝟎 = 10cm
2.4 Neka je duž |AB| = 20cm, rastojanje tačke A od ravni α je 8cm, a rastojanje tačke B od ravni α je 4cm. Odredi dužinu
ortogonalne projekcije duži AB, ako se tačke A i B nalaze sa različitih strana ravni α.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
REŠENJE:
Ortogonalna projekcija duži AB je duž A1B1. Sa slike je uočljivo da je
|A1B1| = |AC|. Katetu AC pravouglog trougla ∆ACB ćemo dobiti
primenom Pitagorine teoreme:
|AC|2 = |AB|2 − |BC|2
→ |AC|2 = 202 − 122 = 400 − 144 = 256
→ |AC| = √𝟐𝟓𝟔 = 16cm
→ |A1B1| = 16cm
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
10
3.ZADATAK
To je zadatak iz treće oblasti (Jednačine s jednom nepoznatom). U okviru ovog zadatka postojaće 2 manja zadatka (pod a), b)).
3.a):
Neophodno je provežbati:
• Primer 14, udžbenik – 45.strana
• Primer 15.a), udžbenik – 47.strana
• Primer 16, udžbenik – 46.strana
• Primer 17, udžbenik – 47.strana
- Zadaci iz zbirke: 150, 151, 152, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 172, 173;
Konkretan primer (151. a)):
17x – 12 – (6x + 19) = 5 – (8 + 3x)
// U prvom koraku se oslobađamo zagrada. Minus ispred zagrade menja znak onome što je u zagradi
→ 17x – 12 – 6x – 19 = 5 – 8 – 3x
// U sledećem koraku sređujemo izraze sa leve i desne strane jednakosti tako da budu oblika ax+b
→ 11x – 31 = – 3x − 3
// U sledećem koraku prebacujemo nepoznate na jednu stranu jednakosti, a konstante na drugu stranu jednakosti. Konkretno,
levoj i desnoj strani ćemo dodati 3x + 31 i na taj način ćemo izgubiti nepoznatu na desnoj strani jednakosti i izgubićemo
konstantu na levoj strani jednakosti.
→ 11x – 31 = – 3x − 3 / +3x + 31
→ 11x – 31 + 3x + 31 = – 3x − 3 + 3x + 31
→ 14x = 28
→ x = 28/14
→ x = 2
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
11
3.b):
NAPOMENA: Na pismenom zadatku učenik će dobiti da rešava ili varijantu 1 ili varijantu 2.
3.b) – varijanta 1:
Ovde je neophodno podsetiti se kvadrata binoma:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Neophodno je provežbati:
• Primer 19, udžbenik – 47.strana
- Zadaci iz zbirke: 202. a), g), d), đ)
Konkretan primer (202. d)):
√(𝐱𝟐 – 𝟖𝐱 + 𝟏𝟔)2 = 7
Primetimo da je izraz u zagradi (izraz pod korenom) zapravo (x − 4)2 , tj. (x − 4)2 = x2 – 8x + 16.
Sada možemo sve zapisati kao:
√(x − 4)2 = 7
Ovde sada treba biti oprezan. Kada se koren i kvadrat krate, izraz pod korenom, u našem slučaju x − 4, stavlja se pod
apsolutnu vrednost, pa zapisujemo sada:
|x – 4| = 7
Ovo zapravo znači da je:
x – 4 = 7 ili x – 4 = − 7
pa sledi da je konačno rešenje za x:
x = 11 ili x = −3
što možemo zapisati i kao:
x ∈ {-3, 11}
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
12
3.b) – varijanta 2:
Ovde je neophodno podsetiti se kvadrata binoma:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Neophodno je provežbati:
• Primer 18.a), udžbenik – 47.strana
- Zadaci iz zbirke: 198
Konkretan primer (udžbenik – 47.strana, primer 18.a)):
(x − 4) ∙ (x + 2) = 0
Ovde nije neophodno množiti zagrade jer biste dobili kvadratnu jednačinu koju ne znate da rešite. Dovoljno je primetiti da
kada se nešto množi sa NULOM, konačan rezultat je NULA. Drugim rečima, u našem slučaju mora da važi:
x – 4 = 0 ili x + 2 = 0
pa sledi da je:
x = 4 ili x = −2
što možemo zapisati i kao:
x ∈ {−2, 4}
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
13
4.ZADATAK
To je zadatak iz treće oblasti (Jednačine s jednom nepoznatom). U okviru ovog zadatka postojaće 2 manja zadatka (pod a), b)).
4.a) :
Ovde je neophodno podsetiti se kvadrata binoma:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Neophodno je provežbati:
• Primer 15.b), udžbenik – 45.strana
- Zadaci iz zbirke: 153, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167
Konkretan primer (167.a)):
x ∙ (x−4) = (x+4)2
→ x2 – 4x = x2 + 8x + 16
Primetimo da se i sa leve i sa desne strane jednakosti nalazi x2 pa to možemo da skratimo:
→ − 4x = 8x + 16
Sada želimo da se promenljive nalaze na levoj strani jednakosti, a konstante na desnoj pa je neophodno od leve i desne strane
oduzeti 8x:
→ − 4x – 8x = 8x + 16 – 8x
→ − 12x = 16
→ x = − 𝟏𝟔
𝟏𝟐= −
𝟒
𝟑
……………………………………………………………………………………………………………..
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
14
4.b):
Neophodno je provežbati:
• Primer 20, udžbenik – 47.strana
- Zadaci iz zbirke: 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 185, 186, 187, 188, 189, 190
Slede nekoliko urađenih primera.
175.
a) 𝑥 − 1
2−
𝑥 − 2
3= 1
U prvom koraku je potrebno osloboditi se razlomka pa levu i desnu stranu jednakosti množimo sa NZS(2,3) = 6
nakon čega ćemo dobiti:
6 𝑥 − 1
2− 6
𝑥 − 2
3= 6
→ 3(x−1) – 2(x−2) = 6
→ 3x – 3 – 2x + 4 = 6
→ x + 1 = 6
→ x = 5
176.
a) 2𝑥 − 3
2−
3𝑥 − 4
3=
4𝑥 − 5
4
U prvom koraku je potrebno osloboditi se razlomka pa levu i desnu stranu jednakosti množimo sa NZS(2,3,4) = 12
nakon čega ćemo dobiti:
122𝑥 − 3
2− 12
3𝑥 − 4
3= 12
4𝑥 − 5
4
→ 6(2x−3) – 4(3x−4) = 3(4x−5)
→ 12x – 18 – 12x + 16 = 12x − 15
→ −2 = 12x – 15 / +15
→ −2 + 15 = 12x – 15 +15
→ 13 = 12x
→ 𝐱 =𝟏𝟑
𝟏𝟐
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
15
177.
в) 19 + 2𝑧
3− 3𝑧 = 15 −
16 − 2𝑧
5
U prvom koraku je potrebno osloboditi se razlomka pa levu i desnu stranu jednakosti množimo sa NZS(3,5) = 15
nakon čega ćemo dobiti:
15(19 + 2𝑧
3− 3𝑧) = 15(15 −
16 − 2𝑧
5)
→ 5 (19 + 2z) – 45z = 225 – 3(16−2z)
→ 95 + 10z – 45z = 225 – 48 + 6z
→ −35z + 95 = 6z + 177 / −6z − 95
→ −35z +95 − 6z – 95 = 6z + 177 − 6z − 95
→ − 41z = 82
→ z = −2
178.
a) 10𝑥 + 4
7+ 1 =
7𝑥 + 2
3
U prvom koraku je potrebno osloboditi se razlomka pa levu i desnu stranu jednakosti množimo sa NZS(3,7) = 21
nakon čega ćemo dobiti:
21(10𝑥 + 4
7+ 1) = 21
7𝑥 + 2
3
→ 3(10x+4) + 21 = 7(7x + 2)
→ 30x + 12 + 21 = 49x + 14
→ 30x + 33 = 49x +14 / −30x − 14
→ 30x + 33 – 30x – 14 = 49x + 14 – 30x − 14
→ 19 = 19x
→ x = 1
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
16
179.
a) 𝑥 + 2
5− 3 =
𝑥 − 1
2− x
U prvom koraku je potrebno osloboditi se razlomka pa levu i desnu stranu jednakosti množimo sa NZS(2,5) = 10
nakon čega ćemo dobiti:
10 (𝑥 + 2
5− 3) = 10 (
𝑥 − 1
2− 𝑥)
→ 2(x+2) – 30 = 5(x−1) – 10x
→ 2x + 4 – 30 = 5x – 5 – 10x
→ 2x – 26 = −5x – 5 / +5x + 26
→ 2x – 26 + 5x + 26 = −5x – 5 + 5x + 26
→ 7x = 21
→ x = 3
180.
a) 5𝑥 + 1
2−
2𝑥 + 1
3= 1 +
3𝑥 + 1
4
U prvom koraku je potrebno osloboditi se razlomka pa levu i desnu stranu jednakosti množimo sa NZS(2,3,4) = 12
nakon čega ćemo dobiti:
12 (5𝑥 + 1
2) − 12 (
2𝑥 + 1
3) = 12 (1 +
3𝑥 + 1
4)
→ 6(5x+1) – 4(2x+1) = 12 + 3(3x+1)
→ 30x + 6 – 8x − 4 = 12 + 9x + 3
→ 22x + 2 = 9x + 15 / − 9x − 2
→ 22x + 2 – 9x – 2 = 9x + 15 – 9x − 2
→ 13x = 13
→ x = 1
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
17
182.
a) 𝑥
2−
0,5 (1 − 𝑥)
3=
1
6
U prvom koraku je potrebno osloboditi se razlomka pa levu i desnu stranu jednakosti množimo sa NZS(2,3,6) = 6
nakon čega ćemo dobiti:
6 ∙ 𝑥
2− 6 ∙
0,5 (1 − 𝑥)
3= 6 ∙
1
6
→ 3𝑥 − 2 ∙ 0,5 (1 − x) = 1
→ 3x – 1 + x = 1 / +1
→ 4x = 2
→ x = 0,5
б) 𝑦 + 2
0,4−
𝑦
0,2= 15 −
2𝑦 + 1
0,6
Kako je 0,4 = 2/5; 0,2 = 1/5; 0,6 = 3/5; mi ćemo ovo iskoristiti da prvobitni oblik jednačine napišemo u obliku dvojnog
razlomka:
𝑦 + 2125
−
𝑦115
= 15 −
2𝑦 + 1135
→ 5(𝑦 + 2)
2− 5y = 15 −
5(2𝑦 + 1)
3
Sada želimo da se oslobodimo razlomka pa levu i desnu stranu množimo sa NZS (2,3) = 6:
15(y+2) – 30y = 90 – 10(2y +1)
→ 15y + 30 – 30y = 90 – 20y – 10
→ −15y + 30 = −20y + 80 / +20y – 30
→ 5y = 50
→ y = 10
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
18
183.
𝐛) 𝟏, 𝟐𝒚 −𝟎, 𝟏𝟖𝒚 − 𝟎, 𝟎𝟓
𝟎, 𝟓= 𝟎, 𝟒𝒚 + 𝟖, 𝟗
→ 1,2y – 0,36y + 0,1 = 0,4y + 8,9
→ 0,84y + 0,1 = 0,4y + 8,9 / − 0,1 – 0,4y
→ 0,44y = 8,8
→ y = 8,8 / 0,44
→ y = 20
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
19
5.ZADATAK
To je zadatak iz treće oblasti (Primena linearnih jednačina s jednom nepoznatom). Reč je o tekstualnom zadatku.
Neophodno je provežbati:
• Primer 21, udžbenik – 48.strana
• Primer 22, udžbenik – 48.strana
• Primer 24, udžbenik – 48.strana •
• Primer 25, udžbenik – 49.strana
• Primer 27, udžbenik – 49.strana
• Primer 29, udžbenik – 49.strana
- Zadaci iz zbirke: 217, 220, 225, 231, 240, 246, 249, 250, 251, 252
Slede nekoliko urađenih primera.
5.1 Cena dva proizvoda razlikuje se za 300 dinara. Njihovom prodajom trećina od vrednosti jednog i petina vrednosti skupljeg
proizvoda, ostaje prodavcu. Odredi cene svakog od proizvoda, ako je prodavac zaradio 380 dinara.
REŠENJE (zbirka, 217. zadatak):
x – cena prvog proizvoda, x + 300 - cena drugog proizvoda
1
3x +
1
5(x + 300) = 380 / pomnožimo sve sa 15 da bi se oslobodili razlomka
5x + 3∙(x + 300) = 5700
→ 8x + 900 = 5700 / - 900
→ 8x = 4800
→ x = 600 → 600 dinara je cena prvog proizvoda; 900 dinara je cena drugog proizvoda;
……………………………………………………………………………………………………………
5.2 U prodavnici ima 60kg jedne vrste brašna i 80 kg druge vrste. Kada se od druge vrste brašna proda tri puta više nego od prve,
ostane dva puta više prve vrste brašna. Koliko je prodato od svake vrste brašna?
REŠENJE (zbirka, 220. zadatak):
60kg – prva vrsta; 80kg – druga vrsta;
Nakon prodaje x kilograma ostaje: 60 – x = 2 (80 – 3x)
→ 60 – x = 160 – 6x / + 6x
→ 5x + 60 = 160 / −60
→ 5x = 100 → x = 20kg → Prodato je 20kg od prve vrste i 60 kg od druge vrste
……………………………………………………………………………………………………………
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
20
5.3 U odeljenju ima 3 puta više devojčica nego dečaka. Na ekskurziju nije pošlo 6 dečaka i 6 devojčica, tako da je na put krenulo
9 puta više devojčica nego dečaka. Koliko je učenika u odeljenju?
REŠENJE (zbirka, 225. zadatak):
x – dečaka; y – devojčica
y = 3x (tri puta više devojčica ima)
Na ekskurziju je pošlo: x – 6 dečaka; y – 6 devojčica
Kako je na eksurziju krenulo 9 puta više devojčica, sledi da je:
9 ∙ (x - 6) = y – 6 // zamenićemo y sa 3x
→ 9x – 54 = 3x – 6 / −3x + 54
→ 6x = 48
→ x = 8 → U odeljenju ima 8 dečaka i 24 devojčice, ukupno 32 učenika
……………………………………………………………………………………………………………
5.4 Dvanaest litara vode dodato je u 75% rastvor alkohola i dobijen je 50% rastvor. Koliko je bilo litara 75% rastvora?
REŠENJE (zbirka, 240. zadatak):
Reč je o obrnutoj proporciji. Ako sa x označimo broj litara 75% rastvora, onda pišemo:
x 75%
50%x+12
x : (x + 12) = 50 : 75
→ 75x = 50x + 600 // oduzmemo levoj i desnoj strani 50x
→ 25x = 600
→ x = 24 → Bilo je 24 litre 75% rastvora
……………………………………………………………………………………………………………
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
21
5.5 Obim zemljišta, oblika pravougaonika je 80 metara, a širina iznosi 𝟑
𝟓 dužine. Kolika je vrednost zemljišta ako je cena jednog
ara 120000 dinara?
REŠENJE (zbirka, 246. zadatak):
a – širina zemljišta; b – dužina zemljišta
2 (a + b) = 80m → a + b = 40m
a = 𝟑
𝟓 b; →
𝟑
𝟓 b + b = 40 →
𝟖
𝟓 b = 40 → b = 25m → a =
𝟑
𝟓 b = 15m
→ P = ab = 375m2 = 3,75ara (1 ar = 100m2)
→ Vrednost zemljišta je: 3,75 ∙ 120000 = 450 000 dinara
……………………………………………………………………………………………………………
5.6 Ako se stranica jednog kvadrata poveća za 10%, a druga smanji za 10%, površina će se smanjiti za 4cm2. Kolika je stranica
ovog kvadrata?
REŠENJE (zbirka, 250. zadatak):
a2 = 1,1a ∙ 0,9a + 4cm2
→ a2 = 0,99a2 + 4cm2 // oduzmemo levoj i desnoj strani 0,99a2
→ 0,01 a2 = 4cm2
→ a2 = 400cm2
→ a = 20cm
……………………………………………………………………………………………………………
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
22
5.7 Prazan bazen može se napuniti vodom pomoću jedne cevi za 5 sati, a drugom za 3 sata. Ako se koriste obe cevi
istovremeno, koliko je sati potrebno da se napuni 𝟐
𝟑 bazena?
REŠENJE (zbirka, 252. zadatak):
Prva cev napuni bazen za 5 sati. Odatle sledi da ta cev obavi 𝟏
𝟓 posla za sat vremena. Druga cev napuni bazen za 3 sata. Odatle
sledi da ta cev obavi 𝟏
𝟑 posla za sat vremena. Ako je x ukupan broj sati potreban da se obavi ceo posao kada rade obe cevi koje
pune 𝟐
𝟑 bazena, pišemo:
𝟏
𝟓𝐱 +
𝟏
𝟑𝐱 =
𝟐
𝟑 // množimo sa 15 levu i desnu stranu da bi se oslobodili razlomka
→ 3x + 5x = 10
→ x = 𝟏𝟎
𝟖 h = 1h i 15 min.
………………………………………………………………………………………………..
5.8 Otac, koji ima 42 godine, imao je 28 godina kada mu se rodio sin. Pre koliko godina je otac bio pet puta stariji od sina?
REŠENJE (udžbenik, primer 21.a) – 48.strana):
42 – x = 5 (14 - x)
→ 42 – x = 70 – 5x / +5x – 42
→ 4x = 28
→ x = 7
Pre 7 godina, otac je imao 35 godina, a sin je imao 7 godina i otac je bio 5 puta stariji.
………………………………………………………………………………………………..
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
23
5.9 Otac, koji ima 42 godine, imao je 28 godina kada mu se rodio sin. Za koliko će godina otac biti dva puta stariji od sina?
REŠENJE (udžbenik, primer 21.b) – 48.strana):
42 + x = 2 (14+x)
→ 42 + x = 28 + 2x / − x – 28
→ x = 14
Za 14 godina otac će imati 56 godina, a sin će imati 28 godina i tada će otac biti duplo stariji.
………………………………………………………………………………………………..
5.10 Nakon pročitanih 40 stranica knjige, Jana je pročitala još četvrtinu preostalih stranica. Posle toga do kraja knjige
ostalo joj je još 75 stranica. Koliko stranica ima knjiga?
REŠENJE (udžbenik, primer 22 – 48.strana):
Neka je x ukupan broj strana knjige.
40 + 1
4 (x − 40) + 75 = x / ∙ 4
→ 160 + x – 40 + 300 = 4x
→ x + 420 = 4x / − x
→ 3x = 420
→ x = 140
Dakle, knjiga koju Jana čita ima 140 stranica.
………………………………………………………………………………………………..
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
24
5.11 Aritmetička sredina polovine, četvrtine i petine nekog broja iznosi 57. Koji je to broj?
REŠENJE (udžbenik, primer 25 – 49.strana):
x2 +
x4 +
x5
3= 57
U prvom koraku levu i desnu stranu množimo sa 3 kako bismo se oslobodili razlomka:
𝑥
2+
𝑥
4+
𝑥
5= 171
U narednom koraku tražimo NZS (2,4,5) i tim brojem množimo levu i desnu stranu. Dakle, levu i desnu stranu
množimo sa 20:
10x + 5x + 4x = 3420
→ 19x = 3420
→ x = 180
Dakle, traženi broj je 180.
………………………………………………………………………………………………..
5.12 Kada se brojiocu i imeniocu razlomka 𝟐
𝟑 doda isti broj, dobija se
𝟓
𝟒. Koji je to broj?
REŠENJE (udžbenik, primer 27 – 49.strana):
2 + x
3 + x=
5
4
Unakrsnim množenjem se dobija:
5 (3 + x) = 4 (2 + x)
→ 5x + 15 = 4x + 8 / −4x – 15
→ x = −7
………………………………………………………………………………………………..
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
25
5.13 Koliko litara vode treba doliti u 40 litara 80%-tnog rastvora alkohola da bi se dobio 50% - tni rastvor alkohola?
REŠENJE (udžbenik, primer 29 – 49.strana):
40 lit. 80%
50%40+x
40 : (40+x) = 50 : 80
→ 3200 = 2000 + 50x // oduzmemo levoj i desnoj strani 2000
→ 1200 = 50x
→ x = 24
Dakle, treba dodati 24 litre vode.
……………………………………………………………………………………………………………
5.14 Jednom radniku se poveća plata za 6% i još 900 dinara. Radnik je izračunao da mu je tada plata veća za 8%. Kolika je bila
plata pre povećanja?
REŠENJE (zbirka, 249. zadatak):
1,06x + 900 = 1,08x / − 1,06x
→ 0,02x = 900
→ x = 45000
……………………………………………………………………………………………………………
5.15 Jednom fotokopir mašinom može se odštampati izvesna količina papira za 4 sata, a drugom, ista količina za 8 sati. Ako se
koriste obe mašine istovremeno, za koje vreme će biti odštampan ovaj materijal?
REŠENJE (zbirka, 251. zadatak):
1
4𝑥 +
1
8x = 1
Sada je neophodno levu i desnu stranu pomnožiti sa NZS (4,8) = 8. Tada je:
2x + x = 8
→ 3x = 8
→ 𝐱 =𝟖
𝟑𝐡 = 𝟐𝐡 𝐢 𝟒𝟎 𝐦𝐢𝐧.
……………………………………………………………………………………………………………
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
26
PRVI PISMENI ZADATAK – PRIMER
1. (3 poena)
a) (1p.) Izračunati dužinu duži SB ako je poznato da je: |SA| = 2cm, |AC| = 5cm, |BD| = 7cm i AB || CD.
b) (2p.) Dužina kraka jednakokrakog trougla je b = 13cm, a osnovice a = 24cm. Odredi dužinu osnovice i dužinu kraka njemu
sličnog trougla ako je razmera površina njemu sličnog trougla i datog trougla P1 : P = 9
2. (2 poena) Izračunati dužinu duži |AB| čija je ortogonalna projekcija na ravan α dužine 15cm, tačka B pripada ravni α, a tačka
A je udaljena od ravni α 8cm.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
3. (3 poena) Reši jednačine.
a) (1p.) 17x – 12 – (6x + 19) = 5 – (8 + 3x)
𝐛) (𝟐𝐩. ) √(𝐱𝟐 – 𝟖𝐱 + 𝟏𝟔)2 = 7
4. (3 poena) Reši jednačine.
a) (1.5p.) (3x – 2) ∙ (3x + 2) = (3x + 2)2 + 4
𝐛)(𝟏. 𝟓𝐩. ) 𝟓𝒙 + 𝟏
𝟐−
𝟐𝒙 + 𝟏
𝟑= 𝟏 +
𝟑𝒙 + 𝟏
𝟒
5. (3 poena) Otac, koji ima 42 godine, imao je 28 godina kada mu se rodio sin. Za koliko će godina otac biti dva puta stariji od
sina?
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
27
REŠENJA ZADATAKA:
1. (3 poena)
a) (1p.) Izračunati dužinu duži SB ako je poznato da je: |SA| = 2cm, |AC| = 5cm, |BD| = 7cm i AB || CD.
REŠENJE:
|SA| : |AC| = |SB| : |BD|
→ 2 : 5 = |SB| : 7
→ 5 ∙|SB| = 2 ∙ 7
→ |SB| = 14 / 5 = 2.8 cm
b) (2p.) Dužina kraka jednakokrakog trougla je b = 13cm, a osnovice a = 24cm. Odredi dužinu osnovice i dužinu kraka njemu
sličnog trougla ako je razmera površina njemu sličnog trougla i datog trougla P1 : P = 9
REŠENJE:
P1 : P = 9 = k2
→ k = 3
→ a1 = a ∙ k = 24 ∙ 𝟑 = 72cm
→ b1 = b ∙ k = 13 ∙ 𝟑 = 39cm
2. (2 poena) Izračunati dužinu duži |AB| čija je ortogonalna projekcija na ravan α dužine 15cm, tačka B pripada ravni α, a tačka
A je udaljena od ravni α 8cm.
NAPOMENA: Obavezno napraviti skicu. Bez skice se rešenje ne priznaje.
REŠENJE:
Ortogonalna projekcija duži AB je duž A1B1. Primenom Pitagorine
teoreme dobijamo da je:
|AB|2 = |A1B1|2 + |AA1|
2
→ |AB|2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289
→ |AB| = √𝟐𝟖𝟗 = 17cm
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
28
3. (3 poena) Reši jednačine.
a) (1p.) 17x – 12 – (6x + 19) = 5 – (8 + 3x)
REŠENJE:
17x – 12 – 6x – 19 = 5 – 8 – 3x
→ 11x – 31 = – 3x − 3
→ 11x – 31 = – 3x − 3 / +3x + 31
→ 11x – 31 + 3x + 31 = – 3x − 3 + 3x + 31
→ 14x = 28
→ x = 𝟐𝟖
𝟏𝟒
→ x = 2
𝐛) (𝟐𝐩. ) √(𝐱𝟐 – 𝟖𝐱 + 𝟏𝟔)2 = 7
REŠENJE:
Primetimo da je izraz u zagradi (izraz pod korenom) zapravo
(x − 4)2 , tj. (x − 4)2 = x2 – 8x + 16.
Sada možemo sve zapisati kao:
√(𝐱 − 𝟒)𝟐 = 𝟕
Ovde sada treba biti oprezan. Kada se koren i kvadrat krate,
izraz pod korenom, u našem slučaju x − 4, stavlja se pod
apsolutnu vrednost, pa zapisujemo sada:
|x – 4| = 7
Ovo zapravo znači da je:
x – 4 = 7 ili x – 4 = − 7
pa sledi da je konačno rešenje za x:
x = 11 ili x = −3
što možemo zapisati i kao:
x ∈ {-3, 11}
Matematika za 8.razred; Prvi pismeni zadatak – priprema; 10.09.2019.
Trajan Stanču
29
4. (3 poena) Reši jednačine.
a) (1.5p.) (3x – 2) ∙ (3x + 2) = (3x − 2)2 + 4
REŠENJE (zbirka, 161.a)):
9x2 – 4 = 9x2 − 12x + 4 + 4 / − 9x2
→ – 4 = −12x + 8 / −8
→ – 12 = −12x
→ x = 1
𝐛)(𝟏. 𝟓𝐩. ) 5𝑥 + 1
2−
2𝑥 + 1
3= 1 +
3𝑥 + 1
4
REŠENJE (zbirka, 180.a)):
U prvom koraku je potrebno osloboditi se razlomka pa
levu i desnu stranu jednakosti množimo sa
NZS(2,3,4) = 12 nakon čega ćemo dobiti:
12 (5𝑥 + 1
2) − 12 (
2𝑥 + 1
3) = 12 (1 +
3𝑥 + 1
4)
→ 6(5x+1) – 4(2x+1) = 12 + 3(3x+1)
→ 30x + 6 – 8x − 4 = 12 + 9x + 3
→ 22x + 2 = 9x + 15 / − 9x − 2
→ 22x + 2 – 9x – 2 = 9x + 15 – 9x − 2
→ 13x = 13
→ x = 1
5. (3 poena) Otac, koji ima 42 godine, imao je 28 godina kada mu se rodio sin. Za koliko će godina otac biti dva puta stariji od
sina?
REŠENJE (udžbenik, primer 21.b) – 48.strana):
42 + x = 2 (14+x)
→ 42 + x = 28 + 2x / − x – 28
→ x = 14
Za 14 godina otac će imati 56 godina, a sin će imati 28 godina i tada će otac biti duplo stariji.