najkvistov kriterijum

152 Poglavǉe 7. Koncept stabilnosti

dobija se da su sva qetiri korena f(s) realni i negativni, tj. da se svi nalaze u levojpoluravni kompleksne ravni. Na bazi Teoreme 7.5.5 zakǉuquje se da je dati sistem opisansa (7.41) stabilan.

Velika zastupǉenost raqunara pri sintezi i analizi sistema u potpunosti je elim-inisala upotrebu kriterijuma kao xto je Hurvicov. Ipak, zbog ǌegove jednostavnosti ikorisnosti koju je ispoǉavao u prethodnom periodu on je zauzeo mesto i u ovim izlagaǌima.

Proverimo najpre 1. taqku Hurvicovog kriterijuma. Svi koeficijenti

a4 = 1, a3 = 10, a2 = 35, a1 = 50, a0 = 24,

karakteristiqnog polinoma (7.41) su pozitivni.Formirajmo potom Hurvicovu determinantu ∆n = ∆4 na bazi koeficijenata f(s), jedna-

qina (7.41):

∆4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a3 a1 0 0a4 a2 a0 00 a3 a1 00 a4 a2 a0

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

10 50 0 01 35 24 00 10 50 00 1 35 24

∣∣∣∣∣∣∣∣. (7.42)

Iz tog osnovnog minora dobijaju se minori ∆1, ∆2 i ∆3:

∆1 =∣∣10

∣∣ , ∆2 =∣∣∣∣10 501 35

∣∣∣∣ , ∆3 =

∣∣∣∣∣∣

10 50 01 35 240 10 50

∣∣∣∣∣∣.

Vrednosti tih minora (determinanti) su:

∆1 = 10, ∆2 = 10 · 35− 50 · 1 = 300, ∆3 = 10(35 · 50− 24 · 10)− 50(1 · 50− 24 · 0) = 12600.

Drugi uslov Hurvicovog kriterijuma zahteva

∆k > 0, ∀k = 2, 3, . . . , n− 1,

xto je u ovom primeru∆k > 0, ∀k = 2, 3.

Budu�i da su oba pozitivna zakǉuquje se da je dati sistem opisan sa (7.41) stabilan. Trebauoqiti da se u ovom kriterijumu ne zahteva provera znaka osnovnih minora ∆1 i ∆n. Razlogje jednostavan: ako su svi koeficijenti f(s) pozitivni onda je i ∆1 = an−1 pozitivan. Za∆n va�i ∆n = a0∆n−1 pa je i on pozitivan ako su ispuǌeni uslovi dati iskazom teoreme.

7.6.2 Najkvistov kriterijumNajkvistov kriterijum se zasniva na korix�eǌu uqestanosne karakteristike otvorenog kolaFok(jω) i primeǌuje se samo na sisteme sa negativnom povratnom spregom, SAR ili KSAU.

S obzirom da se sistem automatskog upravǉaǌa pri analizi stabilnosti posmatra bezspoǉnih dejstava posle poqetnog trenutka t0 = 0, ǌegov blok dijagram je prikazan naslici 7.21.

-- -n6

Xi(s)Y (s)E(s)WR(s) WO(s)

Slika 7.21. Blok dijagram SAR-a.

Blok dijagram otvorenog kola tog sistema je na slici 7.22.Prenosna funkcija ovog otvorenog kola je

Wok(s) = WR(s)WO(s),

a ǌegova uqestanosna karakteristika

Fok(jω) = FR(jω)FO(jω).

7.6. Kriterijumi stabilnosti 153

-- -Xi(s)Xu(s) WR(s) WO(s)

Slika 7.22. Blok dijagram otvorenog kola SAR-a.

Primena Najkvistovog kriterijuma se zasniva na analizi hodografa uqestanosne karak-teristike otvorenog kola Fok(jω). Na bazi te analize donose se zakǉuqci o stabilnostizatvorenog kola, tj. kako �e se ponaxati sistema sa slike 7.21 koji se dobija zatvaraǌemotvorenog kola sa slike 7.22.

Osnovna prednost ovog kriterijuma je xto on mo�e da se koristi i kada matematiqkimodel sistema nije poznat. Tada mo�e eksperimentalno da se odredi uqestanosna karak-teristika otvorenog kola Fok(jω), kao xto je to bilo pokazano u Odeǉku 4.4.4, strana 52.Preduslov za eksperimentalno odre�ivaǌe Fok(jω) je stabilnost otvorenog kola.

U opxtem sluqaju otvoreno kolo mo�e da bude i nestabilno, ali to samo znaqi datada nije mogu�e eksperimentalno odrediti uqestanosnu karakteristiku tog otvorenog kola.Primena Najkvistovog kriterijuma je mogu�a u oba sluqaja: i kada je otvoreno kolo sta-bilno i kada je ono nestabilno.

Da bi se razdvojila primena ovog kriterijuma za sluqaj eksperimentalno snimǉeneFok(jω) od opxteg sluqaja kada je Fok(jω) matematiqki izvedena, razlikova�emo dva sluqaja:

• poseban sluqaj kada je otvoreno kolo stabilno, i kada je mogu�e eksperimentalno odred-iti hodograf uqestanosne karakteristike Fok(jω) - tada se primeǌuje poseban Najkvi-stov kriterijum

• opxti sluqaj kada otvoreno kolo nije stabilno (ono je ili graniqno stabilno ilinestabilno) - tada se koristi opxti Najkvistov kriterijum.

Na osnovu ovoga proistiqe da prilikom primene Najkvistovog kriterijuma najpre trebaispitati polo�aj polova prenosne funkcije otvorenog kola Wok(s) u kompleksnoj ravni, azatim na osnovu osobina stabilnosti Wok(s) primeniti odgovaraju�i kriterijum.

Poseban Najkvistov kriterijum

Ovaj kriterijum se primeǌuje na zatvorene sisteme automatskog upravǉaǌa qije je otvorenokolo stabilno.

Teorema 7.6.2 (Poseban Najkvistov kriterijum) Ako je otvoreno kolo (sl. 7.22) sistemaregulisaǌa (sl. 7.21) stabilno onda je za stabilnost celog sistema regulisaǌa potrebno idovoǉno da deo hodografa uqestanosne karakteristike Fok(jω) otvorenog kola pri pomeni ωod ω = 0 do ω = +∞ niti obuhvati taqku (−1, j0) niti pro�e kroz ǌu.

Dokaz. Ovaj dokaz se sastoji iz dva dela: dokaza neophodnosti i dokaza dovoǉnosti uslovateroreme. Oba dela dokaza se zasnivaju na slede�em stavu koji se lako proverava, a direktnoproistiqe iz Koxijeve teoreme:

Stav 7.6.1 Promena ∆ϕ |G argumenta ϕ binoma (s − si) pri obilasku taqke s oko domena Ddu� ǌegove granice G u pozitivnom matematiqkom smeru, sl. 7.23, je:

∆ϕ |G =

{2π, za si ∈ D, si /∈ G0, za si /∈ D, si /∈ G.

(7.43)

Najpre dokazujemo neophodnost uslova teoreme:Neophodnost. Poznato je da je karakteristiqna jednaqina sistema automatskog regulisaǌaodre�ena imeniocem prenosne funkcije, tj.

1 + Wok(s) = 0. (7.44)

Radi jednostavnosti izlagaǌa uvedimo smenu

T (s) = 1 + Wok(s). (7.45)


Res0

j sIm

si ²Dsi ²D

G

si ² Gsi ² G

D

s s- is s- i 'i

'i

Slika 7.23. Promena argumenta.

Jasno je da je T (s) = 0 jedino za Wok(s) = −1. Tako�e je oqigledno da se sada jednaqina (7.44),koja je ekvivalentna karakteristiqnoj jednaqini sistema regulisaǌa, mo�e napisati u ob-liku

T (s) = 0. (7.46)

Prenosna funkcija Wok(s) otvorenog kola sistema regulisaǌa je oblika

Wok(s) =

m∑

k=0

bksk

n∑

k=0

aksk

, m 6 n. (7.47)

Ako ǌen brojilac oznaqimo sa U(s), a imenilac sa V (s)

U(s) =m∑

k=0

bksk, V (s) =n∑

k=0

aksk, (7.48)

onda je

T (s) = 1 + Wok(s) = 1 +U(s)V (s)

=Q(s)V (s)

, (7.49)

pri qemu je Q(s) = U(s) + V (s),

Q(s) =n∑

k=0

(ak + bk)sk, bk = 0, k = m + 1, m + 2, . . . n. (7.50)

Posledǌa dva rezultata (7.49) i (7.50), pokazuju da je stepen brojioca Q(s) od T (s) jednakstepenu imenioca V (s) od T (s). Odatle sledi da je

T (s)∣∣|s|=∞ =

an + bn

an= const. (7.51)

Ako Q(s) i V (s) prika�emo u faktorizovanom obliku:

Q(s) = (an + bn)(s− so1) . . . (s− so

n), (7.52)

V (s) = an(s− s∗1) . . . (s− s∗n), (7.53)

onda je

T (s) =an + bn

an

(s− so1) . . . (s− so

n)(s− s∗1) . . . (s− s∗n)

= |T (s)|ejargT (s). (7.54)

Svaki binom koji se ovde pojavǉuje mo�emo da prika�emo u polarnom obliku,

s− soi = |s− so

i | ejϕoi , ϕo

i = arg(s− soi ), (7.55)


tako da je

T (s) =an + bn

an

|s− so1| . . . |s− so

n| ej(ϕo1+...ϕo

n)

|s− s∗1| . . . |s− s∗n| ej(ϕ∗1+...ϕ∗n). (7.56)

Iz (7.54) i (7.56) se dobija da je argument funkcije T (s) dat sa

argT (s) =n∑

k=1

ϕok −

n∑

k=1

ϕ∗k. (7.57)

Da bismo dokazali neophodnost uslova teoreme mi polazimo od toga da je sistem regulisaǌastabilan. To znaqi da su realni delovi svih nula ǌegove karakteristiqne jednaqine Q(s) =0 negativni. Samim tim su realni delovi svih nula jednaqine

T (s) = 1 + Wok(s) = 0 (7.58)

tako�e negativni. Odatle sledi da jednaqina (7.58) nema rexeǌa pri s = σ + jω kada jeσ = 0, tj. T (jω) 6= 0 za ω ∈ [0, +∞], tj. Fok(jω) 6= −1 za svako ω ∈ [0, +∞], xto pokazuje dadeo hodografa od Fok(jω) za ω ∈ [0, +∞] ne prolazi kroz taqku (−1, j0). Osim toga, poxtosu realni delovi svih nula od T (s) negativni, to znaqi da u desnoj poluravni ravni s i naimaginarnoj osi (s = jω) nema nula od T (s).

Usvojimo da domen D bude desna poluravan kompleksne ravni s, sl. 7.24 Tada se ǌegova

Res

j sIm

R=?

*

*

*

*

*

o

o

o

D

G R

G I

Slika 7.24. Domen D - desna poluravan ravni s.

granica G sastoji iz imaginarne ose - GI i polukruga beskonaqnog polupreqnika GR opisanogoko desne poluravni. Stoga je promena argumenta funkcije T (s) pri obilasku taqke s okodomena D du� ǌegove granice G jednaka

∆argT (s)|G = ∆argT (s)|GI + ∆argT (s)|GR . (7.59)

Me�utim, T (s) je konstantne vrednosti du� granice GR na osnovu (7.51), tj.

∆argT (s)|GR = 0 (7.60)

i zato je∆argT (s)|G = ∆argT (s)|GI . (7.61)

S druge strane, poxto T (s) nema nula ni u desnoj poluravni ni na imaginarnoj osi, naosnovu Stava 7.6.1 sledi

∆ϕok |G = 0, k = 1, 2, . . . n. (7.62)


Uoqimo sada da na osnovu T (S) = 1 + Wok(s), jednaqina (7.45), sledi da funkcija T (s) iWok(s) imaju iste polove (ovo sledi i iz jednaqina (7.47)-(7.49). Poxto je otvoreno kolostabilno (prema uslovu teoreme), proistiqe da se svi polovi od Wok(s) nalaze u levoj polu-ravni kompleksne ravni s. Stoga funkcija T (s) nema polova u domenu D niti na ǌegovojgranici. Prema Stavu 7.6.1 je sada oqigledno da va�i

∆ϕ∗k |G = 0, k = 1, 2, . . . n. (7.63)

Povezuju�i rezultate (7.62) i (7.63) sa (7.57) sledi

∆argT (s)|G = 0. (7.64)

Ovo pokazuje da kada se taqka s kre�e du� imaginarne ose (s = jω) (u pozitivnom matem-atiqkom smeru) da onda hodograf T (s) ne obi�e oko svog koordinatnog poqetka T (s) = 0.Poxto T (s) = 0 povlaqi Wok(s) = −1, odatle sledi da Fok(jω) = Wok(s)|s=jω ne obilazioko taqke (−1, j0) kada se s meǌa od +j∞ do −j∞. Poxto je deo hodografa od Fok(jω) zaω ∈ [−∞, 0] simetriqan u odnosu na realnu osu s delom hodografa od Fok(jω) za ω ∈ [0,+∞]sledi da deo hodografa od Fok(jω) za ω od 0 do +∞ ne obilazi oko taqke (−1, j0). Ovim jedokazana neophodnost uslova teoreme.Dovoǉnost. Da bi se dokazala dovoǉnost uslova teoreme polazi se od toga da su ti usloviispuǌeni. Poxto je tada Fok(jω) 6= −1 za svako ω ∈ [0, +∞] sledi da je Wok(s)|s=jω 6= −1,tj. T (s)|s=jω 6= 0. To znaqi da funkcija T (s) nema nula na granici G domena D, slika 7.24.Poxto je otvoreno kolo stabilno znaqi da se svi polovi od T (s) nalaze u levoj poluravnikompleksne ravni s, tj. va�i

∆ϕ∗k |G = 0, k = 1, 2, . . . n. (7.65)

Prema uslovu teoreme, hodograf od Fok(jω) ne obuhvata taqku (−1, j0), xto znaqi da T (s)ne obuhvata koordinatni poqetak T (s) = 0 pri promeni s od +jω do −jω. Poxto je T (s)konstantno du� GR prema (7.51), sledi da T (s) ne obuhvata T (s) = 0 pri obilasku desnepoluravni D du� ǌene granice G u pozitivnom smeru. Odnosno,

∆T (s)|G = 0. (7.66)

Poxto je (prema jednaqinama (7.57) i (7.59)

∆argT (s)|G =n∑

k=1

∆ϕok|G −

n∑

k=1

∆ϕ∗k|G , (7.67)

onda se iz (7.66) dobija∆ϕo

k|G = 0, k = 1, 2, . . . , n. (7.68)

Ovaj rezultat i qiǌenica da T (s) nema nula na konturi G, na osnovu Stava 7.6.1 povlaqe

sok

{/∈ D/∈ G , k = 1, 2, . . . , n, (7.69)

tj. sve nule od T (s) = 1 + Wok(s) nalaze se u levoj poluravni ravni s. To znaqi da su realnidelovi svih nula karakteristiqne jednaqine 1 + Wok(s) = 0 sistema regulisaǌa negativni,odnosno, da je sistem regulisaǌa stabilan. Ovim je dokazana i dovoǉnost uslova teoreme.

Na slici 7.25 taqke A i B nisu obuhva�ene hodografom Fok(jω), taqke a i b jesu, a kroztaqke 1, 2, 3 i 4 prolazi hodograf Fok(jω).

Pogledajmo primer eksperimentalno snimǉenog hodografa uqestanosne karakteristikeotvorenog kola Fok(jω) sa slike 4.23, strana 58.

Hodograf Fok(jω) sa slike 7.26 obuhvata kritiqnu taqku (−1, j0). Zato se na osnovuiskaza Teoreme 7.6.2 zakǉuquje da zatvoreni sistem automatskog upravǉaǌa, koji se dobijazatvaraǌem otvorenog kola qiji je hodograf Fok(jω) prikazan na slici 7.26, nije stabi-lan. Prema tome, ekpseriment kojim je izvrxeno odre�ivaǌe uqestanosne karakteristikeotvorenog kola Fok(jω) ukazuje da to otvoreno kolo ne sme ni u kom sluqaju da se zatvori,jer takav zatvoreni sistem ne�e biti stabilan.

Ako sistem regulisaǌa nije stabilan onda treba razjasniti da li je on graniqno stabi-lan ili nestabilan. Radi toga se navode slede�i rezultati.


j F j!Im ( )ok

Re ( )F j!ok

1 2 3 4a bA B

F j!ok( )

!=0!=?

Slika 7.25. Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

ReFok(jω)

jIm

Fok(j

ω)

ω = 0ω = +∞

Fok(jω)

(−1, j0)

Slika 7.26. Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω).

Teorema 7.6.3 Ako je otvoreno kolo (sl. 7.22) sistema regulisaǌa (sl. 7.21) stabilnoonda da bi taj sistem regulisaǌa bio graniqno stabilan potrebno je i dovoǉno da va�e od(a)-(v):(a) da deo hodografa Fok(jω) od ω = 0 do ω = +∞ ne obuhvati ni jedanput kritiqnu taqku

(−1, j0),

(b) da postoji najmaǌe jedno ωk ∈ [0,+∞] za koje je Fok(jωk) = −1 (tj. da deo hodografaFok(jω) prolazi najmaǌe jedanput kroz kritiqnu taqku),

(v) da za svako ωk ∈ [0,+∞] za koje je Fok(jωk) = −1 va�i

d

dsWok(s) |s=jωk

6= 0.

Ova teorema se ne�e dokazivati jer je dokaz oqigledan ako se poznaje dokaz prethodneteoreme i ima u vidu slede�e. Uslov (a) pokazuje da T (s) nema nula sa pozitivnim realnimdelom. Uslov (b) pokazuje da T (s) ima nula na imaginarnoj osi (so = jωo). Uslov (v) pokazujeda su sve imaginarne nule od T (s) proste (jednostruke). Pri ovome treba imati u vidu daje T (s) = 0 ekvivalentno karakteristiqnoj jednaqini sistema regulisaǌa i da je

d

dsT (s) =

d

dsWok(s).

Slede�a teorema je direktna posledica prethodne dve teoreme.

Teorema 7.6.4 Ako je otvoreno kolo (sl. 7.22) sistema regulisaǌa (sl. 7.21) stabilno ondada bi taj sistem regulisaǌa bio nestabilan potrebno je i dovoǉno da va�e ili:(a) da deo hodografa Fok(jω) od ω = 0 do ω = +∞ obuhvati kritiqnu taqku (−1, j0), ili


(b) da postoji ωk ∈ [0, +∞] za koje je Fok(jωk) = −1 (tj. da deo hodografa Fok(jω) prolazikroz kritiqnu taqku) i

d

dsWok(s) |s=jωk

= 0, ili

(v) da va�e i (a) i (b).

Opxti Najkvistov kriterijum

Ovaj kriterijum se prevashodno primeǌuje u sluqaju da je otvoreno kolo sa slike 7.22 nesta-bilno. Jasno je i iz samog naziva ovog kriterijuma, da je on opxte primenǉiv, tj. mo�e dase primeni i u sluqaju stabilnog otvorenog kola. Ve� je naglaxeno da je ova klasifikacijaizvrxena na osnovu mogu�nosti eksperimentalnog odre�ivaǌa osobina stabilnosti. Pose-ban Najkvistov kriterijum je samo poseban sluqaj ovog kriterijuma, i izdvojen je iz ovogkriterijuma da bi se koristio samo u sluqajevima eksperimentalnog odre�ivaǌa osobinastabilnosti.

U sluqaju primene opxteg Najkvistovog kriterijuma treba:

1. Utvrditi broj polova od Wok(s) sa pozitivnim realnim delom, tj. broj svih polovaod Wok(s) koji le�e u desnoj poluravni ravni, kompleksne ravni s. Ovaj broj �emooznaqavati sa P .

2. Odrediti sve imaginarne polove od Wok(s).Neka je npr. prenosna funkcija otvorenog kola sa slike 7.22 oblika

Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s− 1)

. (7.70)

Polovi Wok(s) su: s∗1 = j, s∗2 = −j, s∗3 = 1, odakle sledi da je P = 1.Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω) se dobija na osnovu pre-

nosne funkcije otvorenog kola Wok(s) kada se svako s zameni sa jω. Drugim reqima, toznaqi da se crta hodograf od Wok(s), ali ne za svako s iz kompleksne ravni, ve� samo zas = jω, tj. samo za taqke koje se nalaze na imaginarnoj osi s-ravni. Na taj naqin nezavisnomeǌaju�i ω od ω = +∞ (vrh imaginarne ose) do ω = −∞ (doǌi kraj imaginarne ose) nacrtase ceo hodograf Wok(s)

∣∣s=jω

, tj. hodograf Fok(jω).Polovi prenosne funkcije predstavǉaju korenove ǌenog imenioca. To znaqi da za s = s∗i ,

i = 1, 2, . . . , µ, imenilac ima nultu vrednost, pa je samim tim moduo prenosne funkcije tadabeskonaqan. U sluqaju crtaǌa hodografa Fok(jω) kada se s meǌa samo du� imaginarne ose,takav sluqaj nastaje kada Wok(s) ima polove na imaginarnoj osi.

−150 −100 −50 0 50 100−150

−100

−50

0

50

100

150

ω→−1+

ω→−1−

ω→1+

ω→1−

ω→ +∞ω→ −∞

ω→ 0+ω→ 0−

ReFok(jω)

ImF

ok(j

ω)

P≡1 ∆Φ≡−1*2 π→ ZSAU je stabilan

Fok(jω)

−20 −15 −10 −5 0 5

−5

0

5

ω→ +∞ω→ −∞

ω→ 0+ω→ 0−

ReFok(jω)

ImF

ok(j

ω)

P≡1 ∆Φ≡−1*2 π→ ZSAU je stabilan

Slika 7.27. Hodograf uqestanosne karakteristike Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s− 1)

.


Kako Wok(s) iz (7.70) ima dva pola na imaginarnoj osi ±j, odnosno ±jω gde je ω = 1, toznaqi da �e moduo uqestanosne karakteristike A(ω) za uqestanosti ω = 1 i ω = −1 bitibeskonaqan, xto je i ilustrovano hodografom Fok(jω) prikazanim na slici 7.27.

Samim tim u sluqaju da Wok(s) ima polove na imaginarnoj osi oni moraju da se zaobi�u,u suprotnom ulazi se u singularnu taqku i A(ω) poprima beskonaqnu vrednost.

Polovi s∗i = jωi na imaginarnoj osi se zaobilaze po polukrugovima u desnoj poluravnis-ravni, slika 7.28(a). Centri polukrugova su u imaginarnim polovima, a ǌihovi polupreq-nici su oznaqeni sa εi > 0 i mogu da budu proizvoǉno mali tako da u tim polukrugovimanema drugih polova osim onih u ǌihovim centrima.

(b)

(a)

Res

j sIm

s*

i i=-j!

s j!*

i i=

s j!*

i i=

"i

μi

P=3

s

R=?

**

*

*

*

*

*

*

*

Slika 7.28. Raspored polova u s-ravni.

To znaqi da se pri crtaǌu hodografa Wok(s), kompleksni broj s zameǌuje sa:• s = jω, za ω od ω = +∞ (vrh imaginarne ose) do ω = −∞ (doǌi kraj imaginarne ose),osim u taqkama u kojima se nalaze polovi Wok(s),

• s = jωi + εiejθi xto predstavǉa jednaqinu polukruga, slika 7.28(b), za promenu θi od

+π

2do −π

2i za proizvoǉno malo εi. Ovakvi polukrugovi se crtaju za svaki pol sa

imaginarne ose, slika 7.28(a).Prema tome za s = jω iz (7.70) se dobija

Wok(s)∣∣s=jω

= Fok(jω) =14− 9ω2 + 12jω

(1− ω2)(jω − 1). (7.71)

Racionalizacijom prethodne jednaqine ona postaje

Fok(jω) =14− 9ω2 + 12jω

(1− ω2)(jω − 1)· jω + 1jω + 1

= Fok(jω) =(14− 9ω2 + 12jω)(jω + 1)

(1− ω2)(−ω2 − 1), (7.72)

odnosno

Fok(jω) =21ω2 − 14

1− ω4︸︷︷︸ReFok(jω)

+j9ω3 − 26ω

1− ω4︸︷︷︸ImFok(jω)

. (7.73)

Na osnovu tog izraza mo�e da se nacrta hodograf uqestanosne karakteristike Wok(s)∣∣s=jω

.To je ilustrovano slikom 7.27 i to su sve krive osim onih koje su prikazane isprekidanimlinijama - xto oznaqava neograniqeno veliki moduo. Sa slike se vidi da u taqkama ω → 1−,ω → 1+, ω → −1− i ω → −1+ hodograf odlazi u beskonaqnost.


Deo hodografa koji se dobija pri s = jωi + εiejθi , koji je u naxem sluqaju, pri ω = 1,

oblika s = j + εejθ, izraqunava se na slede�i naqin

Wok(s)∣∣s=j+εejθ =

9(j + εejθ)2 + 12(j + εejθ) + 14((j + εejθ)2 + 1)((j + εejθ)− 1)

. (7.74)

Budu�i da je ε proizvoǉno mali broj onda se u svim sabiraǌima on zanemaruje, dok sepri mno�eǌu mora uzeti u obzir. Isto tako ε2 je pri sabiraǌu zanemarǉivo u odnosu na ε.Imaju�i to vidu prethodni izraz se svodi na

Wok(s)∣∣s=j+εejθ =

9(−1 + 2jεejθ + ε2ej2θ) + 12j + 14(−1 + 2jεejθ + ε2ej2θ + 1)(j − 1)

=

=−9 + 12j + 142jεejθ(j − 1)

=5 + 12j

2jεejθ(j − 1)=

√52 + 122ej arctan 12

5

2 · 1ej π2 εejθ

√12 + 12ej arctan 1

−1=

=√

52 + 122

2ε√

2ej(67,4◦−90◦−θ−135◦) =

4, 6ε

ej(−θ−157,6◦).

Za ovaj deo hodografa se zna da mu je moduo beskonaqno veliki. Ceo prethodni raqun jeizveden da bi se naxao argument tog hodografa i on je:

argWok(j + εejθ) = −θ − 157, 6◦.

Da bi se odredilo kako hodograf Fok(jω), sa slike 7.27, prelazi iz taqke ω = 1+ u taqkuω = 1− (xto je mogu�e samo na dva naqina - u smeru kazaǉke na satu ili obrnuto) posmatrase promena argumenta argWok(j + εejθ) kada se θ meǌa od +90◦ do −90◦, slika 7.29.

!=1+

!=1-

s j*i =

μ

"

Slika 7.29. Obilazak pola s∗i = j.−150 −100 −50 0 50 100

−150

−100

−50

0

50

100

150

↓

ω→1+

ω→1−

ReFok(jω)

ImF

ok(j

ω)

Slika 7.30: Deo hodografa Wok(s) od ω = 1+ do ω = 1−.

Na osnovu vrednosti argumenta argWok(j + εejθ) = −θ− 157, 6◦ mo�e da se napravi slede�atabela:

θ 90◦ 0◦ −90◦

argWok(j + εejθ) −247, 6◦ −157, 6◦ −67, 6◦

Tabela 7.1. Promena argumenta argWok(j + εejθ) u funkciji θ.

Na osnovu te tabele se zakǉuquje:


Prelazak iz taqke ω = 1+ u taqku ω = 1− u s-ravni, promenom θ od 90◦ do −90◦,sl. 7.29, prouzrokuje promenu argWok(j+εejθ) prikazanu u tabeli 7.1, xto posmatranou Fok-ravni odgovara prelazu iz taqke ω = 1+ u taqku ω = 1− na naqin prikazan naslici 7.27, odnosno na slici 7.30 gde je prikazan samo razmatrani prelaz.

Drugi prelaz, za negativne uqestanosti, iz taqke ω = −1− u taqku ω = −1+, prema osobiniparnosti ralnog i neparnosti imaginarnog dela Fok(jω),

ReFok(−jω) = ReFok(jω), ImFok(−jω) = −ImFok(jω)

ne treba da se izraqunava, ve� se korix�eǌem te osobine direktno iscrtava, slika 7.27.

Teorema 7.6.5 (Opxti Najkvistov kriterijum) Neka prenosna funkcija otvorenog kolaWok(s) (sl. 7.22) sistema regulisaǌa (sl. 7.21) ima P polova sa pozitivnim realnim delom.Da bi tada taj sistem regulisaǌa bio stabilan potrebno je i dovoǉno da hodograf uqe-stanosne karakteristike ǌegovog otvorenog kola Fok(jω) obuhvati kritiqnu taqku (−1, j0)taqno P puta u negativnom matematiqkom smeru pri promeni ω od ω = +∞ do ω = −∞ i dapri tome ni jednom ne pro�e kroz ǌu.

U sluqaju da prenosna funkcija Wok(s) ǌegovog otvorenog kola ima polove na imaginarnojosi onda se u svim imaginarnim polovima s∗i crta hodograf Wok(jωi +εie

jθi) za promenu θi od+

π

2do −π

2i za proizvoǉno malo εi takvo da se u polukrugu s centrom u jωi i polupreqnika

εi ne nalazi ni jedan pol od Wok(s) razliqit od si = jωi.

Dokaz. Ova teorema se dokazuje na isti naqin kao xto je dokazana Teorema 7.6.2.Neophodnost. Polazi se od toga da je sistem regulisaǌa stabilan i da Wok(s) ima P polovasa pozitivnim realnim delom. Prema (7.45), oni su istovremeno i jedini polovi od T (s) =1 + Wok(s). Stoga je na osnovu Stava 7.6.1

n∑

k=1

∆ϕ∗k |G = 2πP. (7.75)

Poxto je sistem regulisaǌa stabilan, sledi da su sve nule od T (s) sa negativnim realnimdelom. Na osnovu Stava 7.6.1 sledi:

∆ϕok |G = 0, k = 1, 2, . . . , n. (7.76)

Prema (7.57), (7.75) i (7.76) je

∆argT (s) |G = −2πP. (7.77)

Povezuju�i ovo sa (7.61) dobija se

∆argT (s) |GI= −2πP, (7.78)

tj.∆arg [1 + Fok(jω)] |GI

= −2πP, (7.79)

xto dokazuje neophodnost imaju�i u vidu da je T (jω) = 1 + Fok(jω) 6= 0 za svako ω ∈ [−∞,+∞]jer je sistem regulisaǌa stabilan.Dovoǉnost. Neka su uslovi teoreme ispuǌeni. Tada je Fok(jω) 6= −1 za svako ω ∈ [−∞,+∞].Znaqi da karakteristiqna jednaqina sistema regulisaǌa nema nula na imaginarnoj osi.Poxto Wok(s) ima P polova sa pozitivnim realnim delom, onda to va�i i za T (s), te jestoga

n∑

k=1

∆ϕ∗k |G = 2πP. (7.80)

Imaju�i u vidu da je

∆argT (s)|G =n∑

k=1

∆ϕok|G −

n∑

k=1

∆ϕ∗k|G (7.81)

i da je prema (7.61):∆argT (s)|G = ∆argT (s)|GI

, (7.82)


odnosno prema uslovu teoreme∆argT (s)|GI

= −2πP, (7.83)

onda se iz (7.81)-(7.83) dobijan∑

k=1

∆ϕok|G = 0. (7.84)

Ovaj rezultat pokazuje da T (s) nema nula u desnoj poluravni s-ravni, a poxto ih nema ni naimaginarnoj osi, zakǉuquje se da sve nule karakteristiqne jednaqine sistema regulisaǌaimaju negativne realne delove, xto znaqi da je taj sistem regulisaǌa stabilan. Ovim jedokaz zavrxen.

Razmatrani SAR qije je otvoreno kolo opisano sa 7.70:

Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s− 1)

ima jedan pol (P = 1) u desnoj poluravni (s∗3 = 1). Hodograf Wok(jω) koji je nadopuǌenhodografima Wok(j + εejθ) i Wok(−j + εejθ) je prikazan na slici 7.27. Na osnovu te slike sezakǉuquje da pri promeni ω od +∞ do −∞ hodograf Fok(jω) obi�e kritiqnu taqku (−1, j0)taqno jedan put u negativnom matematiqkom smeru (u smeru kazaǉke na satu). Na osnovusvega toga i iskaza opxteg Najkvistovog kriterijuma zakǉuquje se da je zatvoreno kolo, tj.sistem regulisaǌa stabilan.

Opxti Najkvistov kriterijum mo�e da se formulixe na jednostavniji naqin ako se ko-risti pojam prelaza hodografa uqestanosne karakteristike Fok(jω), slika 7.31.

j F j!Im ( )ok

Re ( )F j!ok

F j!ok( )

!=0(-1, 0)j!=?

+

+

- -

!*

!1

!2

Slika 7.31. Pozitivni i negativni prelazi i poluprelazi.

Definicija 7.6.1 Hodograf Fok(jω) za ω = ω∗, ω∗ ∈]0, +∞[ ostvaruje:• pozitivan prelaz jedino ako seqe realnu osu odozgo na dole pri porastu ω od ω1 < ω∗

ka ω2 > omega∗:

ImFok(jω1) > 0 za ω1 < ω∗ i ImFok(jω2) < 0 za ω2 > ω∗,

• negativan prelaz jedino ako seqe realnu osu odozdo na gore pri porastu ω od ω1 < ω∗

ka ω2 > omega∗:

ImFok(jω1) < 0 za ω1 < ω∗ i ImFok(jω2) > 0 za ω2 > ω∗,

pri qemu su ω1 i ω2 vrednosti od ω dovoǉno bliske ω∗.

Napomenimo da za ω = 0 ili ω = +∞ hodograf Fok(jω) qini jedan poluprelaz kad se ωpove�ava od nule, odnosno te�i +∞. Znak poluprelaza se odre�uje na isti naqin kao uprethodnoj definiciji imaju�i u vidu da je ω1 = 0 za ω∗ = 0 i ω2 = +∞ za ω∗ = +∞.

Imaju�i u vidu ovo mo�e sada da se iska�e Cipkinova formulacija Najkvistovog kri-terijuma.

Teorema 7.6.6 (Cipkinova formulacija Najkvistovog kriterijuma) Ako prenosna funkcijaotvorenog kola Wok(s) (sl. 7.22) sistema regulisaǌa (sl. 7.21) ima P polova sa pozitivnimrealnim delom onda da bi taj sistem regulisaǌa bio stabilan potrebno je i dovoǉno da


razlika izme�u brojeva pozitivnih i negativnih prelaza koje qini deo hodografa Fok(jω) zaω ∈ [0, +∞] na intervalu (−∞,−1) realne ose ReFok(jω) bude jednaka P/2 i da taj hodografne prolazi kroz kritiqnu taqku (−1, j0).

Uslovi graniqne stabilnosti sistema regulisaǌa u opxtem sluqaju su dati slede�omteoremom.

Teorema 7.6.7 Ako prenosna funkcija Wok(s) otvorenog kola (sl. 7.22) sistema regulisaǌa(sl. 7.21) ima P polova sa pozitivnim realnim delom onda da bi taj sistem regulisaǌa biograniqno stabilan potrebno je i dovoǉno da va�e od (a)-(v):(a) da razlika izme�u brojeva pozitivnih i negativnih prelaza i poluprelaza hodografa

Fok(jω) za ω ∈ [0,+∞] na intervalu (−∞,−1) realne ose ReFok(jω), bude jednaka P/2,(b) da postoji najmaǌe jedno ωk ∈ [0,+∞] za koje je Fok(jωk) = −1 (tj. da deo hodografa

Fok(jω) prolazi najmaǌe jedanput kroz kritiqnu taqku),(v) da za svako ωk ∈ [0,+∞] za koje je Fok(jωk) = −1 va�i

d

dsWok(s) |s=jωk

6= 0.

Slede�a teorema je direktna posledica prethodne dve teoreme.

Teorema 7.6.8 Ako prenosna funkcija Wok(s) otvorenog kola (sl. 7.22) sistema regulisaǌa(sl. 7.21) ima P polova sa pozitivnim realnim delom onda da bi taj sistem regulisaǌa bionestabilan potrebno je i dovoǉno ili(a) da razlika izme�u brojeva pozitivnih i negativnih prelaza i poluprelaza hodografa

Fok(jω) za ω ∈ [0, +∞] na intervalu (−∞,−1) realne ose ReFok(jω), ne bude jednaka P/2,ili

(b) da postoji ωk ∈ [0,+∞] za koje je Fok(jωk) = −1 i

d

dsWok(s) |s=jωk

= 0, ili

(v) da va�e i (a) i (b).

7.6.3 Bodeov kriterijumZa potrebe Najkvistovog kriterijuma crtani su hodografi Fok(jω), pa se ti hodografi nazi-vaju jox i Najkvistovi dijagrami.

Hodograf uqestanosne karakteristike Fok(jω) otvorenog kola sistema regulisaǌa mo�eda se preslika u dijagrame logaritamske amplitudne uqestanosne karakateristike Lok(ω) ifazne uqestanosne karakteristike ϕok(ω) tog otvorenog kola, koji se jednim imenom nazivaBodeov dijagram.

Bode je formulisao Najkvistov kriterijum pomo�u Lok(ω) i ϕok(ω). Prema tome Bodeov iNajkvistov kriterijum su suxtinski jedan isti kriterijum ali su ǌihovi iskazi razliqitijer su interpretirani u razliqitim koordinatama. Vezu izme�u ta dva kriterijuma najboǉeilustruje slika 7.32

Sa te slike se vidi da:• jediniqna kru�nica iz linearnih koordinata, koja je opisana sa Aok(ω) = 1 preslikavase u apscisnu osu Lok(ω) = 20 log 1 = 0 u logaritamskim koordinatama

• taqke iz jediniqne kru�nice gde je Aok(ω) < 1 preslikavaju se u doǌu poluravan gde jeLok(ω) < 0

• taqke van jediniqne kru�nice za koje va�i Aok(ω) > 1 preslikavaju se u gorǌu polura-van, Lok(ω) > 0.

Kritiqna taqka (−1, j0) ima moduo jednak jedinici. ǋen argument je π, ali je matemati-qki potpuno ispravno i (2m+1)π gde je m ceo broj, m ∈ Z, tj. m = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .. Prematome ta taqka se preslikava u neograniqeno mnogo likova u Bodeovom dijagramu: Lok(ω) = 0,ϕok(ω) = (2m + 1)π, m ∈ Z.

Broj obilazaka hodografa uqestanosne karakteristike Fok(jω) oko kritiqne taqke (−1, j0)mo�e da se iska�e brojem preseka tog hodografa sa negativnim delom apscisne ose ReFok(jω)i to na intervalu od −∞ do −1, slika 7.33.Pri tome prelaz je:


Re ( )F j!ok

j F j!Im ( )ok L !ok( )

!

Slika 7.32. Preslikavaǌe iz linearnih u logaritamske koordinate.

(-1,j0)/2+

+

-

-

j F j!Im ( )ok

Re ( )F j!ok

!=0 !=?

Slika 7.33. Preseci Fok(jω) sa apscisom.

• pozitivan ⊕ ako Fok(jω) pri pove�aǌu uqestanosti seqe realnu osu pri ω = ω∗ odozgona dole, tj. ako se pri pove�aǌu uqestanosti ω vrednost ϕok(ω) pove�ava:

d

dωϕok(ω∗) > 0

• negativan ª ako Fok(jω) pri pove�aǌu uqestanosti seqe realnu osu pri ω = ω∗ odozdona gore, tj. ako se pri pove�aǌu uqestanosti ω vrednost ϕok(ω) smaǌuje:

d

dωϕok(ω∗) < 0

U sluqaju da ne dolazi do presecaǌa realne ose ve� samo do ǌenog dodirivaǌa, na istinaqin se, kao za preseke, definixu pozitivni polupreseci ⊕/2 i negativni polupreseci ª/2.Ti preseci i polpreseci u sluqaju Bodeovog dijagrama se odre�uju na osnovu odnosa fazneuqestanosne karakteristike ϕok(ω) i pravih (2m + 1)π za bilo koji ceo broj m, slika 7.34.

/2+

+

+

-

-

/2-

' !ok( )

!¼

-¼

(2 +1)m ¼

!=1!=0

Slika 7.34. Preseci ϕok(ω) sa pravama (2m + 1)π, m ∈ Z.

Na bazi svih ovih razjaxǌena vezanih za vezu Najkvistovog i Bodeovog dijagrama mo�eda se formulixe opxti Bodeov kriterijum.


Opxti Bodeov kriterijum

Forumulacija opxteg Najkvistovog kriterijuma data Teoremom 7.6.5 mo�e da se iska�e naslede�i naqin korix�eǌem Lok(ω) i ϕok(ω):

Teorema 7.6.9 (Opxti Bodeov kriterijum) Neka prenosna funkcija otvorenog kolaWok(s) (sl. 7.22) sistema regulisaǌa (sl. 7.21) ima P polova sa pozitivnim realnim de-lom. Da bi tada taj sistem regulisaǌa bio stabilan potrebno je i dovoǉno

(a) da za uqestanosti ω∗, za koje je Lok(ω∗) = 0, fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω)ne sme da ima ni jednu zajedniqku taqku sa pravama (2m + 1)π:

ϕok(ω∗) 6= (2m + 1)π, ∀m ∈ Z

i

(b) da na svim ω intervalima na kojima je Lok(ω) > 0 razlika izme�u ukupnih brojeva poz-itivnih i negativnih preseka i polupreseka fazne uqestanosne karakteristike ϕok(ω)i pravih (2m + 1)π, za bilo koji ceo broj m, bude jednaka P/2.

Uslov (a) ove teoreme je ekvivalentan delu opxteg Najkvistovog kriterijuma ”i da pritome ni jednom ne pro�e kroz ǌu”, tj. taj deo zabraǌuje prolazak kroz kritiqnu taqku. Uslov(b) se odnosi na broj obilazaka oko kritiqne taqke.

U primeru koji je korix�en za ilustraciju Najkvistovog kriterijuma otvoreno kolo jebilo opisano sa 7.70:

Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s− 1)

i ima jedan pol (P = 1) u desnoj poluravni (s∗3 = 1).Ta prenosna funkcija mo�e da se napixe preko elementarnih prenosnih funkcija na

slede�i naqin:

Wok(s) = −14(

914

s2 +1214

s + 1)

(s2 + 1)−1(1− s)−1

qiji su dijagrami prikazani na slici 7.35, a zbirni dijagram na slici 7.36.

10−2

100

102

20

22

24

L 1(ω)

[dB

]

10−2

100

102

0

1

2

φ 1(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−100

0

100

L 2(ω)

[dB

]

10−2

100

102

0

0.5

1

φ 2(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−100

0

100

L 3(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−1

−0.5

0

φ 3(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−40

−20

0

L 4(ω)

[dB

]

ω [rad/s]10

−210

010

20

0.5

φ 4(ω)

[π r

ad]

ω [rad/s]

Slika 7.35. Logaritamske uqestanosne karakteristike elementarnih prenosnih funkcija.

Sada se na osnovu iskaza Bodeovog kriterijuma zakǉuquje: s obzirom da je P = 1, arazlika ukupnog broja preseka i polupreseka na ω intervalima na kojima je Lok(ω) > 0 je1/2− 1 + 1 = 1/2 = P/2 onda je sistem regulisaǌa stabilan.


10−2

10−1

100

101

102

−50

0

50

100

150

L ok(ω

) [d

B]

10−2

10−1

100

101

102

0.5

1

1.5

2

∅ ⊕⊕ /2

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [π

rad

]

P≡1 Σ≡0.5 → ZSAU je stabilan

Slika 7.36. Logaritamska uqestanosna karakteristika Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s− 1)

.

Poseban Bodeov kriterijum

Kao i u sluqaju Najkvistovog kriterijuma kada je dat poseban, jednostavniji oblik koji jepogodan za eksperimentalno utvr�ivaǌe osobina stabilnosti sistema i u ovm sluqaju se izopxteg Bodeovog kriterijuma izdvaja poseban sluqaj kada je otvoreno kolo stabilno.

Teorema 7.6.10 (Poseban Bodeov kriterijum) Ako je otvoreno kolo sistema regulisaǌastabilno onda je za stabilnost celog sistema regulisaǌa potrebno i dovoǉno

(a) da za uqestanosti ω∗, za koje je Lok(ω∗) = 0, fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω)nema ni jednu zajedniqku taqku sa pravama (2m + 1)π:

ϕok(ω∗) 6= (2m + 1)π, ∀m ∈ Z i

(b) da na svim ω intervalima na kojima je Lok(ω) > 0 razlika izme�u ukupnih brojeva poz-itivnih i negativnih preseka i polupreseka fazne uqestanosne karakteristike ϕok(ω)i pravih (2m + 1)π, za bilo koji ceo broj m, bude jednaka nuli.

Pogledajmo primer eksperimentalno snimǉenih Lok(ω) sl. 4.24 i ϕok(ω) sl. 4.25, str. 59.Ta slika i iskaz posebnog Bodeovog kriterijuma ukazuju da je sistem regulisaǌa nestabilan,

100

−20

−15

−10

−5

0

5

ω [rad/s]

L ok(ω

) [d

B]

100

−90

0

90

180

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [d

eg]

Slika 7.37. Logaritamska uqestanosna karakteristika otvorenog kola.

7.7. Pokazateǉi kvaliteta rada sistema u uqestanosnom domenu 167

jer ϕok(0) dodiruje pravu (2m+1)π za m = 0, tj. pravu kroz 180◦ i samim tim pravi negativanpolupresek i to u taqki u kojoj je Lok(0) > 0.

Svi prekidi koji su se javǉali kod Najkvistovog dijagrama zbog polova Wok(s) na imag-inarnoj osi, javǉaju se i na Bodeovom dijagramu i vide se kao prekidi prve vrste ϕok(ω).Treba naglasiti jednu osobenost Bodeovog dijagrama, a to je pojava skoka, tj. prekida prvevrste u sluqaju elementarne prenosne funkcije koja predstavǉa negativnu konstantu. Vred-nost fazne uqestanosne karakteristike je tada 180◦. S obzirom da je ϕok(ω) neparna funkcijaonda je ona u nuli vixeznaqna i ǌena vrednost pripada intervalu [−180◦, 180◦]. U sluqajuBodeovog dijagrama gde se koriste logaritamske koordinate poqetna vrednost uqestanostije ω = 0+ pa se tada javǉa skok ϕok(ω) od [0◦, 180◦], slika 7.38. Po definiciji polupreseka to

' !ok( )

!

¼

0

!=1!=0

/2+

ne postoji

polupresek

Slika 7.38. Fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω) za Wok(s) = k, k < 0.

bi bio pozitivan polupresek, me�utim skok sa slike je posledica matematiqkog formalizmazbog ϕok(−ω) = −ϕok(ω). Taj skok ne postoji na Najkvistovom dijagramu (to je jedna taqkaqiji se argument ne meǌa kada se uqestanost meǌa), pa se ni ovde ne uzima u obzir, ve� sesmatra da skoka nema i da je ϕok(0) = 180◦, odakle sledi da ne postoji nikakav presek ilipolupresek. Za ω = 0 skok mo�e da nastane samo od pola u nuli, tj. ako u imeniocu prenosnefunkcije postoji qlan sk, k = 1, 2, . . ..

7.7 Pokazateǉi kvaliteta rada sistema u uqestanosnomdomenu

Dinamiqke osobine sistema su u potpunosti sadr�ane u obliku amplitude i faze ǌegoveuqestanosne karakteristike. Tehniqki zahtevi u pogledu kvaliteta ponaxaǌa sistema uprelaznom radnom re�imu mogu da se postave i na osnovu parametara koji karakterixu iz-gled tih karakteristika. Poxto je uqestanosna karakteristika realna funkcija uqestanostiω, ona mo�e da se prika�e na vixe naqina. Na slici 7.39 je prikazana samo amplitudom,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

A(ω

)

ωR

MR

ωo

0.707

Slika 7.39. Amplitudna uqestanosna karakteristika sistema.


a na slici 7.40 Bodeovim dijagramom, tj. sa dve uporedne slike na kojima su logaritam-ska amplitudna i fazna uqestanosna karakteristika. Jox jedan oblik mo�e da se vidi naslici 7.41 gde je uqestanosna karakteristika predstavǉena u obliku Najkvistovog dijag-rama. Svaka od tih slika omogu�ava da se utvrde neki od pokazateǉa kvaliteta dinamiqkogponaxaǌa sistema, kao xto je to prethodno ura�eno u vremenskom domenu, videti stranu 29.

Sve tri slike su ilustracija istog sistema, qiji matematiqki model u obliku prenosnefunkcije izgleda:

W (s) =1

s3 + 5s2 + s + 1(7.85)

koja �e, zavisno od pokazateǉa koji se razmatraju, predstavǉati prenosnu funkcijuotvorenog ili zatvorenog kola.

10−1

100

−15

−10

−5

0

5

10

ω

L(ω

)

ωo

−3

ω1

20 log1

d

10−1

100

−200

−150

−100

−50

0

ω

φ(ω

)

ωπϕpr

Slika 7.40. Bodeov dijagram.

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

ϕpr 1

d

0 dB

−10 dB

−6 dB

−4 dB

−2 dB

10 dB

6 dB

4 dB

2 dB

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Slika 7.41. Najkvistov dijagram.

Osnovni zahtevi u uqestanosnom domenu se izra�avaju kroz rezervu stabilnosti, ilipretek stabilnosti, koji se definixe iskǉuqivo kod zatvorenih sistema qija su otvorenakola stabilna. Kao mera preteka stabilnosti koriste se pretek faze i pretek pojaqaǌa.Pored ǌih prikaza�emo i: propusni opseg, rezonantno izdizaǌe i rezonantnu uqestanost.

ϕpr - pretek faze, se definixe kao

ϕpr = 180◦ + ϕok(ω1),

pri|Fok(jω1)| = Aok(ω1) = 1,

i predstavǉa uglovnu udaǉenost taqke Fok(ω1) od kritiqne taqke (−1, j0)

ϕpr =

> 0, za stabilne sisteme upravǉaǌa= 0, za graniqno stabilne sisteme upravǉaǌa< 0, za nestabilne sisteme upravǉaǌa.

Uqestanost ω1 se naziva - preseqna uqestanost pojaqaǌa. Pretek faze je prikazan naslikama 7.40 i 7.41 i u tim sluqajevima (7.85) predstavǉa prenosnu funkciju otvorenogkola.

d - pretek pojaqaǌa, je definisan kao reciproqna vrednost amplitudne uqestanosne ka-rakteristike otvorenog kola

d =1

Aok(ωπ)= − 1

ReFok(jωπ)

∣∣∣∣ImFok(jωπ)=0

,

7.7. Pokazateǉi kvaliteta rada sistema u uqestanosnom domenu 169

pri ϕok(ωπ) = −180◦. Pretek pojaqaǌa je rezerva u pojaqaǌu otvorenog kola do vredno-sti pojaqaǌa koja zatvoreno kolo dovodi na granicu stabilnosti.

d =

> 1, za stabilne sisteme upravǉaǌa= 1, za graniqno stabilne sisteme upravǉaǌa< 1, za nestabilne sisteme upravǉaǌa.

Uqestanost ωπ se naziva - preseqna uqestanost faze. Pretek pojaqaǌa je prikazanna slikama 7.40 i 7.41 i na ǌima prikazana prenosna funkcija (7.85) mora da budeprenosna funkcija otvorenog kola.

ωo - propusni opseg, je odre�en vrednox�u graniqne uqestanosti ωo pri kojoj amplitudauqestanosne karakteristike zatvorenog kola opadne na vrednost 0,707 (slika 7.39),odnosno 20 log(0, 707) = −3dB (slika 7.40). Propusni opseg je mera kvaliteta reproduk-cije signala, a osim toga karakterixe i filterske sposobnosti sistema. U podruqjupropusnog opsega reprodukcija ulaznih signala je zadovoǉavaju�a. Xirina propusnogopsega je u direktnoj vezi sa osobinama prelaznog procesa, ve�em propusnom opseguodgovara kra�e vreme uspona.

MR - rezonantno izdizaǌe, predstavǉa maksimalnu vrednost amplitudne uqestanosne ka-rakteristike zatvorenog kola. Ono je u direktnoj vezi sa vrednox�u preskoka. Naslici 7.39 se vidi vrednost rezonantnog izdizaǌa zatvorenog sistema qija je prenosnafunkcija zatvorenog kola opisana sa (7.85).

ωR - rezonantna uqestanost, je definisana kao uqestanost pri kojoj se javǉa rezonantnoizdizaǌe i ona neposredno utiqe na brzinu reagovaǌa sistema.

Parametri rezerve stabilnosti: pretek faze i pretek pojaqaǌa, mogu lako da se dobijukorix�eǌem funkcije margin koja pozvana sa:

margin(W)

rezultuje dijagramom sa slike 7.42. I u ovom sluqaju prenosna funkcija (7.85) mora da budeprenosna funkcija otvorenog kola.

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode DiagramGm = 12 dB (at 1 rad/sec) , Pm = 22.4 deg (at 0.62 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Slika 7.42. Ilustracija preteka faze i preteka pojaqaǌa sistema.

najkvistov kriterijum

Documents