Matematika

ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN!

Zopakujte si základní informace ke zkoušce

n Test obsahuje 30 úloh.

n Na jeho riešenie máte 90 minút čistého času.

n Každá úloha má správnu len jednu odpoveď.

n Za každú správnu odpoveď získáte bod, za nesprávnu odpoveď sa vám odčíta 1/4 bodu.

n Najlepšie je riešiť najskôr jednoduché úlohy a k náročnejším sa vrátiť.

n Nebuďte nervózni z toho, že nevyriešite všetko, to sa podarí len málokomu.

NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY

F������ 2018

PREHĽAD VZORCOV

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnica: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkcie:

2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

cos

tg cotg ,2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

2 0

Trigonometria: sínusová veta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosínusová veta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická postupnosť: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická postupnosť: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrický rad: 1

1, 1

1s a q

q

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická veta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometria: veľkosť vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosínus odchýlky priamok 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdialenosť bodu M[m1;m2] od priamky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Stredový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Stredový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnica paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy telies:

Kváder Valec Ihlan Kužeľ Guľa

Objem a b c 2r v 1

3S v

21π

3r v

34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika

© Scio 2018 3

1.

Kladné číslo C je deliteľné tromi a číslo D je kladné celé. Je

ciferný súčet súčinu C·D deliteľný tromi?

(A) nedá sa všeobecne určiť

(B) áno, vždy

(C) len pokiaľ je aj číslo D deliteľné tromi

(D) nie, nikdy

(E) len pokiaľ je číslo D párne

2.

Ktoré z nasledujúcich čísel je prvkom intervalu

14

10 ; π;3

?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

3.

Ktorá z nasledujúcich číslic sa dá doplniť na miesto hviezdičky

do čísla 278* tak, aby vzniknuté prirodzené číslo bolo

prvočíslom?

(A) 1

(B) 4

(C) 5

(D) 7

(E) 9

4.

Prebehnú dva procesy: Počas prvého procesu sa najprv

pôvodná cena tovaru c zníži o p %, p ≤ 100. Čiastku, o ktorú sa

pôvodná cena takto zníži, označme a. Počas druhého procesu

sa pôvodná cena tovaru c zvýši o p %. Čiastku, o ktorú sa

pôvodná cena takto zvýši, označme b. Platí:

(A) a < b

(B) a = b

(C) a > b

(D) Vzťah medzi a a b závisí na pôvodnej cene tovaru c.

(E) Vzťah medzi a a b závisí na počte percent p.

5.

Číslo π 1 2 π sa rovná číslu:

(A) 2π 1

(B) 3

(C) 1

(D) 1

(E) 2π 3

Matematika

© Scio 2018 4

6.

Negáciou výroku „Táto súprava metra môže prepraviť najviac

242 sediacich osôb.“ je výrok:

(A) Táto súprava metra môže prepraviť najviac 241 sediacich osôb.

(B) Táto súprava metra môže prepraviť najviac 243 sediacich osôb.

(C) Táto súprava metra môže prepraviť aspoň 241 sediacich osôb.

(D) Táto súprava metra môže prepraviť aspoň 242 sediacich osôb.

(E) Táto súprava metra môže prepraviť aspoň 243 sediacich

osôb.

7.

Výraz 2 2 3

4 1 2

2 2 2

2 2

x x x

x

sa pre 1x rovná:

(A) 1

(B) 12

(C) 2

(D) 22

(E) 32

8.

Číslo

2

300

3

sa rovná číslu:

(A) 1

100

(B) 1

100

(C) 1

10

(D) 10

(E) 100

9.

Všetky reálne korene rovnice 1 1 4x x ležia

v intervale:

(A) 5

2;2

(B) 5

; 32

(C) 7

3;2

(D) 7

; 42

(E) 9

4;2

Matematika

© Scio 2018 5

10.

Riešením sústavy nerovníc

3 3 2 8 x x

11 10 x x

v množine je množina:

(A) ; 10 7;

(B) 5; 1

(C) 5; 1

(D) ; 10 1; 7

(E) 1; 7

11.

Diskriminant kvadratickej rovnice

2

05

x a

s neznámou x

a ľubovoľným reálnym parametrom a sa rovná:

(A) 2a

(B) 28a

(C) 0

(D) 1

(E) 4

12.

Výraz 2 2

2

x x

x

sa pre prípustné hodnoty premennej x

rovná výrazu:

(A) 2x

(B) 2x

(C) 2x

(D) 2 x

(E) 2x

13.

Ak zväčšíme počet prvkov o dva, zväčší sa počet ich

permutácií (bez opakovania) dvadsaťkrát. Pôvodný počet

prvkov sa rovná číslu:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

Matematika

© Scio 2018 6

14.

Uvažujeme množinu všetkých prirodzených čísel ležiacich

v intervale 6; 840 . Pravdepodobnosť, že pri náhodnom

výbere jedného z nich bude vybrané číslo deliteľné šiestimi, sa

rovná:

(A) 28

165

(B) 28

167

(C) 28

169

(D) 27

167

(E) 27

169

15.

Počet všetkých možností, ktorými sa dajú z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10 vybrať tri rôzne tak, že ich súčet je párne číslo, sa

rovná:

(A) 45

(B) 50

(C) 55

(D) 60

(E) 65

16.

V krabici je 12 párov bielych, 10 párov čiernych a 8 párov

hnedých ponožiek. „Pár“ znamená spojenie dvojice ponožiek

rovnakej farby. Naslepo postupne ťaháme z krabice jednotlivé

páry a nevraciame ich. Najmenší počet párov, ktoré musíme

takto vytiahnuť, aby sme s istotou vytiahli aspoň jeden čierny

alebo jeden biely pár ponožiek, sa rovná:

(A) 9

(B) 10

(C) 11

(D) 12

(E) 13

17.

Počet všetkých riešení rovnice

2 2 2sin sin 2 1 cosx x x

v intervale 0;2π sa rovná:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

Matematika

© Scio 2018 7

18.

Ktoré z nasledujúcich čísel nepatrí do oboru hodnôt funkcie

1:

2f y

x

?

(A) −7

(B) −2

(C) 0

(D) 2

(E) 7

19.

Pre ktoré reálne číslo x tvoria čísla 1 1a x ,

2 1a x ,

3a x tri po sebe idúce členy geometrickej postupnosti?

(A) 1

2x

(B) 1

3x

(C) 0x

(D) 1

3x

(E) 3x

20.

Súčet

1 1 1

4 4 4

log 3 log 8 log 6

sa rovná číslu:

(A) −1

(B) 0

(C) 1

(D) 4

(E) 5

21.

Postupnosť na je daná predpisom 2 12n n na a a . Ak

1 3a a 2 9a ,

4a sa rovná:

(A) 9

(B) 11

(C) 16

(D) 18

(E) 21

Matematika

© Scio 2018 8

22.

V definičnom obore funkcie 2

3log

49

xy

x je celých čísel

práve:

(A) 11

(B) 10

(C) 9

(D) 8

(E) 7

23.

Pán Novák sa rozhoduje, či ako dopravný prostriedok na

služobnú cestu použije lietadlo alebo vysokorýchlostný vlak.

K dispozícii má údaje uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Dopravný

prostriedok

Priemerná

rýchlosť

Doba potrebná k odbaveniu

a ceste na letisko/stanicu

lietadlo 800 km/h 2 h

vysokorýchlostný

vlak

300 km/h 0,5 h

Doba na odbavenie je započítaná dokopy pre odjazd aj príjazd.

Minimálna vzdialenosť, od ktorej je doba cestovania lietadlom

kratšia alebo rovnaká ako vlakom, sa rovná:

(A) 500 km

(B) 640 km

(C) 720 km

(D) 880 km

(E) 960 km

Matematika

© Scio 2018 9

24.

V trojuholníku ABC na obrázku body A1, A2,..., A7 rozdeľujú

stranu AB na osem zhodných dielov, body C1, C2,..., C7

rozdeľujú na osem zhodných dielov stranu BC. Úsečky A1C1,

A2C2,…, A7C7 sú rovnobežné so stranou AC, ktorá má dĺžku 24

cm. Súčet dĺžok (v cm) všetkých úsečiek A1C1, A2C2,…, A7C7

sa rovná:

(A) 80

(B) 82

(C) 84

(D) 86

(E) 88

25.

Ak bod 1

; 22

S

je stredom úsečky AB , kde

2; 2A

, potom sa bod B rovná:

(A) 1;3 2B

(B) 1;3 2B

(C) 1; 3 2B

(D) 1; 3 2B

(E) Neplatí žiadna z možností (A) až (D).

26.

V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C

je dané: tg 1 , 8ct cm. Obsah trojuholníka ABC sa rovná:

(A) 8 cm2

(B) 16 cm2

(C) 24 cm2

(D) 32 cm2

(E) 64 cm2

Matematika

© Scio 2018 10

27.

Stred S kružnice na obrázku má od jej tetivy AB vzdialenosť

9 cm; stredový uhol ASB má veľkosť π

3. Obsah výseku (v cm

2)

ohraničeného menším oblúkom AB a úsečkami AS, BS sa

rovná:

(A) 12π

(B) 16π

(C) 18π

(D) 20π

(E) 24π

28.

Priamka y x q , kde q , je dotyčnicou paraboly

2 1 0y x práve vtedy, keď q sa rovná:

(A) 9

8

(B) 5

4

(C) 3

2

(D) 7

4

(E) 2

Matematika

© Scio 2018 11

29.

V kocke ABCDEFGH je zostrojený šesťuholník, ktorého

vrcholy ležia na stredoch jednotlivých hrán kocky podľa

obrázka. Veľkosť uhla YTX sa rovná:

(A) 85°

(B) 100°

(C) 110°

(D) 120°

(E) 132°

30.

V rovine sú dané body 1; 2A , 4; 4B , 5;C p , kde p

je reálny parameter. Tieto body netvoria vrcholy trojuholníka

pre p rovné:

(A) 4

(B) 2 (C) 0

(D) 2

(E) 4