muri a gravita’

MURI A GRAVITA’

n CALCOLO TABELLAREn CALCOLO ANALITICO

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MURI A GRAVITÀ

SOMMARIOnGeneralità.nCalcolo base tabellare.nCalcolo base analitico.nFondazione.

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Generalità

Muri a gravità.Occorre stabilire la forma e le dimensioni della sezione trasversale in base alle condizioni

esterne (materiali, tipo di terreno, dimensioni).

Il progetto del muro prevede le seguenti fasi:• Scelta della forma della sezione in base alle dimensioni

e agli ingombri.• Dimensionamento di massima con criteri empirici.• Verifica delle tre condizioni: ribaltamento, scorrimento,

schiacciamento.La forma della sezione trasversale del muro può essere:• Rettangolare: Modeste dimensioni, in cls ciclopico

(casseforme semplici).• Trapezia: Grandi dimensioni, realizzati in muratura (a

secco o con malta).• Gradoni: Grandi dimensioni, realizzati in cls o pietrame

gabbionato.Le fasi di dimensionamento sono:- Si stabilisce la larghezza di base.- Si fissa la scarpa interna e/o esterna e si ricava lo

spessore in sommità.

4

Calcolo base tabellare

Determinazione della base.Si perviene al valore di (b) mediante un calcolo o ricorrendo a tabulazioni empiriche.Esistono alcune tabulazioni che consentono la determinazione di (b), con o senza scarpa,

in base al valore delle grandezze:- (h): Altezza del terrapieno.- (h1): Altezza del sovraccarico.- (φ): Angolo di attrito interno.Le tabulazioni più usate sono: Manuale dell’ Ingegnere“Colombo” e “Ferrovie”.

Manuale dell’ Ingegnere.- Si calcola (h1/h).- Si cerca il valore (b0 /h) in corrispondenza di (φ) e della

scarpa esterna (Se).- Si calcola (b) in base a (b0) e alla scarpa: b= b0 +S*h.Ferrovie.Non consentono il calcolo in caso di terrapieno.- Si seleziona il tipo di muro (nove disponibilità).- Si ricava (b0) in base all’ altezza (h0).- Si calcola (b) in base a (b0) e alla scarpa: b= b0 +S*h.

Tabella Ferrovie

TABELLA FERROVIE

Tipo Se Si ho bo b

1° 0 0 1.5 0.6 0.4h

2° 1/10 0 2 0.6 0.3h

3° 1/5 0 2.5 0.65 0.24h

4° 0 1/10 2.4 0.6 0.27h

5° 1/10 1/10 3.6 0.65 0.18h

6° 1/5 1/5 3 0.6 0.2h

7° 0 1/5 3.6 0.65 0.18h

8° 1/10 1/5 5.4 0.65 0.12h

9° 1/5 3.2 0.61 0.19h

Tabella Manuale Colombo

TABELLA MANUALE COLOMBO

h1/hValori di (b/h)

Φ=45° Φ=33° Φ=27°S=0 S=1/10 S=1/5 S=0 S=1/10 S=1/5 S=0 S=1/10 S=1/5

0 0.2730.1 0.2990.2 0.3190.3 0.3350.4 0.3480.5 0.3590.6 0.3670.70.80.91

1.52

2.5346

10ì

Esempio1

Dati Unità misurah= 5.0 mt

h1= 2.0 mtsE= 0.1φ= 33 °

======================Calcolo elementi utili per la tabella:

0.40

Dalla tabella in corrispondenza di (h1/h; φ; sE) ri ricava:

0.353

Calcolo di b0:

1.8 mt

Calcolo di b:

2.3 mt

Calcolare la larghezza della base delmuro di sostegno mediante le tabulazioni"Manuale dell'Ingegnere".

h*0.353=b0

φ

=hh1

=hb0

h*s+b=b E0

Esempio 2

Dati Unità misurah= 8.0 mtsE= 0.1sI= 0.1

======================

Il muro è del 5° Tipo. In corrispondenza di (h0) si trova:

b0'= 0.18 mt

Calcolo di b0 a quota (h):

b0=b0'*h 1.50

Calcolo di b:

b=b0+(sE*h)+(sI*h) 3.10 mt

Calcolare la larghezza della base delmuro di sostegno mediante le tabulazioni"Ferrovie".

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Calcolo base analitico

Determinazione analitica della base.Si perviene al valore di (b) mediante la verifica al Ribaltamento.Muro rettangolare – Spinta orizzontale.Gli elementi noti sono la Spinta (S) e l’ Altezza (h). Per determina-re il valore (bmin) si impone l’equilibrio alla rotazione attorno ad (O):

2bP=

3hS1.5 ••

Da cui, essendo: P= γm•(b•h),:

;2

bh=2

hS;2bh)b(=

3hS

23 2

mm

••γ••••γ•

Muro rettangolare – Spinta inclinata.Si scompone (S) nelle sue componenti (So) e (Sv) esi impone l’equilibrio alla rotazione attorno ad (O):

b;S+2bh)b(γ=

2hS

b;S2bP=

3hS

23

vmo

vo

•••••

•+••

Il valore (b) si ricava risolvendo l’equazione di 2°:

0)2

hS(-bS+)b2

hγ( ov

2m =•

••

m

Sbγ

=

Equazione che può crearenumeri IMMAGINARI

Esempio 3

Dati Unità misurah= 6,0 mtγm= 2000 kg/mcS= 12000 kgω= 30 °

======================Calcolo delle componenti di (S):

10.392,30 kg

B 6.000,00 kg

Risoluzione equaz. di 2°:

A 6.000,00

C 31.176,91

1,83 mt 0

Calcolo della base (b):

1,90 mt

Calcolare la larghezza della base delmuro di sostegno a sezione rettangolare.

=•γ

2hm

)cos(So ω•= S

)sin(Sv ω•= S

=•

2hS o

0)2

hS(-bS+)b2

h( ov

2m =•

••γ

0=)2h*S

(-b*S+)b2h*γ

(o

v

2m

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Calcolo base

Muro trapezio.Gli elementi noti sono la Spinta (S) e l’ Altezza (h) e la Scarpa esterna (sE). Imponendol’equilibrio alla rotazione (Ms = 1,5•Mr; ovvero Ms = 3/2Mr):

);3

h2s(h)h)(s()2

b+h(sh)b(=2

hS

;tP+tP=3hS

23

EEm

0E0m

2211

•••••γ+••••γ

•

•••

Il valore (b0) si ricava risolvendo l’equazione di 2°. Quindi:

0=2

hS-6

hs4+b)hs(+bh)21(

32Em

02

Em2

0m•••γ

•••γ••γ

Il valore (b0) si può ricavare anche con una formula semplificata:

(VALIDA SOLO IN ASSENZA DI SOVRACCARICO)

hs+b=b

S+3

h)(s+h-s=b

Eo

m

2E

E0

•

γ•

•

hsbb E0 •+=Da cui:

Esempio 4

Dati Unità misurah= 3,8 mtsE= 20,00% %γm= 2400 kg/mcS= 3851 kg

======================

Calcolo dello spessore (b0):

0,58 mt

Arrotondamento 0,60 mt

Calcolo della base (b):1,34 1,35 mt

Calcolare la larghezza della base delmuro di sostegno a sezione trapezia.

m0

2 γ*)2

h*)b-(b(=P

h*s+b=b Eo

m

2E

E0S+

3h)(s

+h)-(s=bγ

••

13

Verifiche

5,1MM

R

S ≥

VerificheDeterminata la (le) base (i) del muro si deve procedere alle verifiche.La normativa prevede che le verifiche siano le seguenti:1. VERIFICA A RIBALTAMENTO2. VERIFICA A SCORRIMENTO3. VERIFICA A SCHIACCIAMENTO4. VERIFICA DI STABILITA’ GLOBALE

VERIFICA A RIBALTAMENTO:MS = Momento stabilizzanteMR = Momento ribaltante

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Verifica a scorrimento


VERIFICA ASCORRIMENTO:

3,1StanP 1 ≥

ϕ•

IL VALORE DI tanϕ1 E’ IL COEFFICIENTE DI ATTRITO CHE E’ SEMPRE INFERIORE ALL’UNITA’.

SE NON DEVERSAMENTE INDICATO, DI NORMA LO SI CONSIDERA PARI A:

0,50

In questa relazione il valore P è rappresentato dal peso complessivo del muro precedentemente dimensionato;S rappresenta il valore della spinta orizzontale.Nel caso di spinta inclinata, So sostituisce la spinta, mentre Sv si aggiungerà ai valori di P.

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Verifica a schiacciamento


I muri di sostegno sono di solito sollecitati a PRESSOFLESSIONE poiché gravati da forze verticali (P) e forze orizzontali (S) .Il valore del σmax potrà essere:1. NEGATIVO (COMPRESSIONE)2. NULLO (ASSENZA DI SOLLECITAZIONE)3. POSITIVO (TRAZIONE).Ciò a seconda che la risultante di tutte le forze cada rispettivamente:1. ALL’INTERNO DEL NOCCIOLO CENTRALE D’INERZIA2. AL LIMITE DEL NOCCIOLO3. ALL’ESTERNO DEL NOCCIOLO

16



LE TRE SITUAZIONI PRECEDENTEMENTE INDICATE SONO ILLUSTRATE NEL GRAFICO SEGUENTE:

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IN CUI (u) E’ LA DISTANZA TRA LA RISULTANTE E IL LEMBO DI MURO MAGGIORMANETE COMPRESSO (a valle).P è la risultante di tutte le forze verticali e (L) è la profondità pari a m 1 della base del muro.

LuP

••

•= ∑

32

maxσ

Nel primo caso la base del muro è interamente sollecitata a COMPRESSIONE con diagramma trapezoidale; nel secondo è pure sollecitata a COMPRESSIONE con diagramma triangolare.Nel terzo caso parte della sezione è COMPRESSA e parte è TESA, quindi, essendo la muratura NON IDONEA a sopportare la trazione,La verifica dovrà essere condotta usando la seguente espressione:

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∑−

=PMMu RS

LuP

•••

= ∑32

maxσ


NELL’EQUAZIONE L’UNICA INCOGNITA E’ (u), CHE VERRA’ COSI’ CALCOLATA:

QUINDI SI DOVRA’ CALCOLARE L’ECCENTRICITA’ PARI A:

u2be −=

19


LuP

•••

= ∑32

maxσ


NEL CASO IN CUI L’ECCENTRICITA’ DOVESSE RISULTARE MAGGIORE DI b/6, IL CENTRO DI PRESSIONE E’ UBICATO FUORI DAL 3° MEDIO E LA SEZIONE E’ PRESSOINFLESSA.QUINDI SI APPLICHERA’ LA RELAZIONE:

SI PROCEDERA’ DUNQUE AL DIMENSIONAMENTO DELLA FONDAZIONE.

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Fondazione

Fondazione.Se dalla verifica allo schiacciamento, la sezione di base del muro risulta insufficiente, pernon appesantire ulteriormente la struttura, si ricorre ad un basamento in cls.Si deve verificare la (σt) del terreno facendo in modo che la sezione sia tutta reagente(diagramma non intrecciato).Per stabilire la larghezza minima (a) del basamento, deve essere:

100a2P=σ )

a(a/6)*6+(1

100aP=σ )

a6e+(1

100aP=σ ttt ⇒⇒

- Sezione interamente reagente (centro di spinta interno al 3°medio).- Eccentricità rispetto al baricentro (Gf): e = a/6.- Sia verificata la (σt) del terreno.Fissato il valore di (a), in 1° approssimazione, deve essere:

Lo spessore del basamento si pone pari a:

Occorre poi riverificare la (σt) del terreno imponendo l’equilibrioalla rotazione attorno a (O1) considerando anche il peso delbasamento.

°•−= 55tan)ba(hf

21

Sequenza di calcolo

m

2E

E0S+

3h)( s+h)-( s=b

γ•

•

)2-90(tgh

21=S 22

tϕ

γ

hsbb Eo •+=

Sequenza di calcolo.

DATI: h; sE; ϕ; γt; γm; γf; σt;

Calcolo della spinta

Calcolo spessore b0

Calcolo base inf. b

Calcolo peso muro

Calcolo punto applicazione spinta 3h ÷

Calcolo Momento ribaltante 3hSMR •=

( )m

01 2

hbbP γ•

•−

= m02 hbP γ••=

21P PPR +=

22

Sequenza di calcolo

3,1SRf P ≥

•

( )01 b-b32=t

P

RS

RM-Mu =

Sequenza di calcolo.

Calcolo bracci dei pesi


Calcolo “u”

Calcolo eccentricità

Calcolo Mom. stabilizzante 2211S tPtPM •+•=

Verifica a ribaltamento 5,1MM

R

S ≥

u2be −=

2b-b=t 0

2

Verifica portataLu

RP

•••

=32

maxσ

Verifica posizione centro pressione

Esempio 5

Dati Unità misurab= 1,50 mtR= 20 000,00 kgσt= 2,00 kg/cmqu 0,10 mt

======================Larghezza del basamento in 1° approssimazione:

2,1 mt

Calcolo della pressione Max (σt):

1,90 kg/cmq ok

Calcolo dello spessore del basamento:

hf= (a-b)*tg55° 0,86 mt

Calcolare la larghezza del basamento difondazione del muro di sostegno.

100a2R

=σt

2ububa −

+−=

Esempio 6

Calcolo momenti delle forze:

4980,51 kgm

8631,18 kgm

Verifica al ribaltamento:1,73 OK

Verifica scorrimento su terreno (S<fP): ft = 0,60

1,55 1,81 OKVerifica schiacciamento su terreno:Calcolo distanza della risultante (t):

0,92 mt

Calcolo della distanza (u) e dell'eccentricità:

0,39 mt

0,41 mt

Posizione di © rispetto al 3° medio:0,53 EST

Verifica:1,62 KO

Larghezza del basamento in 1° approssimazione:

1,85 mt

Calcolo della pressione Max (σt):1,04 kg/cmq ok

Calcolo dello spessore del basamento (min 30cm):hf= (a-b)*tg55° 0,40 mt

Calcolo base muro senza fondazione1,47 mt

Calcolo NUOVO PESO MURO + FONDAZIONE E BRACCI6.919,00

1.163,65

1.258,00 9.340,65 kg

1,300,630,93

Calcolo nuovo Momento Stabilizzante10.897,74 mt

NUOVA VERIFICA A RIBALTAMENTO

2,19 OK

NUOVA VERIFICA A SCORRIMENTO ft = 0,60

100a02,12R=σt P •

2211S t*P+t*P=M3h

*S=MR

R

S

MM

1.5 ≤

P

RS

RM-M

=u

u-2b

=e

P

S

RM

=t

3b

=3°M

L*u3R2

=σ PMax

2ububa −+−=

)h-h(sbb fEom •+=

mfo1 100)h-h(bP λ•••=

mfom

2 1002

)h-h()bb(P λ•••−

=

mff 100haP λ•••=2baD 01 ÷−=

)ba()bb(32D m0m2 −+−•÷=

2aDf ÷=

ff2211S DPDP+DP=M •+••

R

S

MM

1.5 ≤

PtPt R*)tg(φ=

SR*f

R*)tg(φR*f

Dati Unità misurah= 4,10 msE= 10,00% %ϕ= 35 °γt= 1.600,00 daN/m3

γm= 1.700,00 daN/m3

γf= 1.700,00 daN/m3

σt= 1,50 daN/cm2

Calcolo della spinta:

3.644,27 daN

Calcolo punto applicazione della spinta1,37 m

4.980,51 daNm

VALORE a 3.485,00VALORE b 2.857,70VALORE c 7.080,21

1,07 1,10 m

Calcolo dello spessore (b0) SEMPLIFICATO:

1,07 1,10

Calcolo della base (b):1,48 1,50 1,50 m

Calcolo peso del muro:

7.667,00 7.667,00 daN

1.394,00 1.394,00 daN

RP=P1+P2 9.061,00 9.061,00 daN

Calcolo bracci delle forze:

0,95 m

0,27 m

Calcolo momenti delle forze:

4.980,51 daNm

7.655,38 daNm

LARGHEZZA b0 MURO ANALITICA

MOMENTO RIBALTANTE

Calcolare la larghezza del basamento di fondazione del muro di sostegno.

)2-90(tghγ

21=S 22

tϕ

S

R

M

M≤1 . 5

00,1)2

h)b-(b(=P m0

1 •••

γ

hsbb Eo •+=

m

2E

E0 γS+

3h)(s+h)-(s=b •

•

)b-(b32=t 01

2211S tP+tP=M ••3hS=M R •

2b-b=t 0

2

3h ÷

3hS=M R •

00,1)( 02 •••= mhbP γ

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ASPETTI TECNOLOGICI

Per ridurre l’intensità della spinta, ed in particolare della sua compo-nente orizzontale, è opportuno utilizzare terreni di riempimento sab-biosi e ghiaiosi, caratterizzati da un alto valore dell’angolo di resi-stenza al taglio.Per ridurre, e possibilmente eliminare, la spinta esercitata dall’acqua è necessario prevedere un efficace sistema di drenaggio dietro l’o-pera di sostegno. I sistemi di drenaggio più utilizzati sono:• fori di drenaggio, di 10÷15 cm di diametro e interasse 2÷4 m,

muniti di rete reps o di filtro, disposti a quinconce su tutta l’altez-za del muro, con maggiore densità nella parte inferiore;

• materiali drenanti messi in opera dietro il muro, sia verticalmente a contatto diretto con la parete, sia come tappeti drenanti messi in opera sul pendio di terreno naturale prima del riempimento, in modo da abbattere la superficie di falda.

Le acque di drenaggio che attraversano il muro possono essere convogliate in una canaletta al piede.

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ASPETTI TECNOLOGICI

In casi particolarmente difficili può essere necessario il drenaggio del pendio a monte con un sistema di dreni sub-orizzontali.Il sistema drenante può essere ulteriormente migliorato con l’inerbi-mento del pendio, che riduce l’acqua di infiltrazione, e con la messa in opera di opportune specie vegetali a radici profonde che, per su-zione, riducono il contenuto in acqua del terreno.

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DISTRIBUZIONE A «QUINCONCE» DEI FORI DI SCOLOPER IL DRENAGGIO DEI MURI

muri a gravita’

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