Multiraten‐Systeme

Single vs Multirate DSPSingle vs. Multirate DSP

• Zusammenführen von Signalen unterschiedlicher Abtastraten (Audio‐CD, DSR, (DAT, NTSC‐PAL‐Wandlung …)

• Multirate Anwendungen (‐Wandler, …)

DSP ASP DSPDSP  ASP   DSP

• Wandeln in analoges Signal  Abtasten und Wandeln– Beliebige UmwandlungsratenSignalverzerrungen durch A/D und D/A Wandler– Signalverzerrungen durch A/D‐ und D/A‐Wandler und analoge Filter

d l d l h• Umwandeln im digitalen Bereich erwünscht

Abtastung und RekonstruktionAbtastung und Rekonstruktion

Kontinuierliches  Signal( ) 1 / ( )s x xx t F T x n T

Rekonstruktion (Interpolation)Rekonstruktion (Interpolation)

yt ∑

xnT gt nT t sint/Tx yt ∑n−

xnTxgt − nTx gt x t/Tx

Ideales Filter

( ) ( )y t x t( ) ( )y t x t

Abtastung mit neuer RateAbtastung mit neuer Rate

y

t ∑

xnTxgt −nTxmTy

n− mTy

ymTy ∑n−

xnTxgmTy − nTxn

F FAbtasttheorem mussi h lt d

y xF Foder Filterung

eingehalten werden:  / 2yF

Vereinfachung bei rationalem VerhältnisVereinfachung bei rationalem Verhältnis

tm,n mTy − nTx kann beliebige Werte annehmen.

y xT F MW

y x

x yT F L Wenn

tm n mTy − nTx Ty mM − nLtm,n mTy nTx M

ganzzahlig

mM nL

Downsampler T MTDownsampler Ty MTx

( ) ( ) ( )T MT kT TMT

( ) ( ) ( )y xk

xx xy mT y mMT x n g m kT TMT

Upsampler /T T LUpsampler /y xT T L

( ) ( ) /xy xk

xTy mT x n g m kTT I

Upsampler Lupsample(x,L)

xun xn/L n 0,L,2L,…

0 sonst0 sonst

Eingefügten Nullen durch Filter interpoliert, damit keine unnötigen Spektralkomponenten entstehen.

Downsampler Mpdownpsample(x,M)

xd xnMxd xnM

Aliasing! / 2f F Mmax Aliasing! / 2Tf F M

Upsampler im FrequenzbereichUpsampler im Frequenzbereich[ / 2] 0 2 4x n n [ / 2] 0, 2, 4,

2 : [ ]0 sonstu

x n nL x n

Xuz ∑n−

xunz−n ∑n−

xun/2z−nn

n geraden

∑

xumz−2m Xz2∑m−

xumz Xz

( ) LuX z X z ( )u

( ) ( )j j j LX X ( ) ( )j j j Luz e X e X e

Spektrum gestaucht und wiederholt.Spektrum unsymmetrisch gezeichnet!

L = 5

Downsampler im FrequenzbereichDownsampler im Frequenzbereich

[ ] [ ]y n x Mn

( ) [ ] n

n

Y z x Mn z

n

1

1/

0

1( )M

M kM

k

Y z X z WM

0kM

2 ( )jM X e

/2 /21( ) ( ) ( )2

j j jY e X e X e

1

2 /1( ) ( )M

j k MjY e X e

0

( ) ( )k

Y e X eM

Downsampler mit AliasingDownsampler mit Aliasing

0.9

1

Magnitude Response

0.6

0.7

0.8

0 3

0.4

0.5

Mag

nitu

de

M = 2 M = 3

0.1

0.2

0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Rationaler FaktorRationaler Faktor

F ↑ L

LF Filter huk

LF Filter hdk

LF ↓ M

L/MF F

Fx LFx LFx LFx L/MFxFy

Hv L, 0 ≤ |v | ≤ min/M,/L

0, sonst

v 2F/Fv 2F/LFx x/L

MatlabunterstützungMatlabunterstützung

decimate(x,M) Tschebyscheff I 0.8Fs/2M oder eigenes Filter

interp(x,L) Kleinstes Fehlerquadrat zum idealen Filter

resample(x L M) »eingebauter« Antialiasing‐TPresample(x,L,M) »eingebauter« Antialiasing‐TP

Upfirdn(x,h,L,M) Eigene Impulsantwort   h

Polyphasen FIR FilterPolyphasen‐FIR‐Filter

Hz h0 h1z−1 h2z−2 h3z−3 h4z−4

h5z−5 h6z−6 h7z−7 h8z−8 h5z h6z h7z h8z

Hz h0 h2z−2 h4z−4 h6z−6 h8z−8h1 1 h3 3 h5 5 h7 7 h1z−1 h3z−3 h5z−5 h7z−7

h0 h2z−2 h4z−4 h6z−6 h8z−8 z−1h1 h3z−2 h5z−4 h7z−6

E0z h0 h2z−1 h4z−2 h6z−3 h8z−4

E h1 h3 −1 h5 −2 h7 −3E1z h1 h3z 1 h5z 2 h7z 3

2 1 20 1( ) ( ) ( )H z E z z E z

Hz E0z3 z−1E1z3 z−2E3z3

E0z h0 h3z−1 h6z−2

E1z h1 h4z−1 h7z−2

E2z h2 h5z−1 h8z−2

L−1

Hz ∑m0

z−mEmzL

floor N1L

Emz ∑n0

hLn mz−n, 0 ≤ m ≤ L − 1

Noble identitiesNoble identitiesReihenfolge i a NICHT vertauschbar!

a ↓ M Hz

Reihenfolge i.a. NICHT vertauschbar!

axn ↓ M

v1m Hz

ym

b HzM ↓ M bxn Hz

v2m ↓ M

ym

axn Hz

v1n ↑ L

ym

bxn ↑ L

v2m HzL

ym

Polyphasenfilter für DezimationPolyphasenfilter für Dezimation

xn Hz

vm ↓ M

ymvmM

Nur benötigte Werte berechnet!

Multiplexer ImplementierungMultiplexer‐Implementierung

Hz E0z3 z−1E1z3 z−2E3z3

E0z h0 h3z−1 h6z−2

E1z h1 h4z−1 h7z−2E1z h1 h4z h7zE2z h2 h5z−1 h8z−2

Polyphasen Filter für InterpolationPolyphasen‐Filter für Interpolation

Nur benötigte Werte berechnet!g