BBAANNCCOO DDOO BBRRAASSIILL

MMaatteemmttiiccaa BBssiiccaa

MMdduulloo 0011:: NNmmeerrooss IInntteeiirrooss ee RRaacciioonnaaiiss MMdduulloo 0022:: PPrroobblleemmaass ccoomm CCoonnjjuunnttooss

MMdduulloo 0033:: MMllttiippllooss ee DDiivviissoorreess

Prof. Weber Campos webercampos@gmail.com

2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

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Matemtica Bsica

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NDICE

Mdulo 01: Nmeros Inteiros e Racionais 3

Exerccios 12

Gabarito 22

Mdulo 02: Problemas com Conjuntos 23

Exerccios 29

Gabarito 30

Mdulo 03: Mltiplos e Divisores 31

Exerccios 37

Gabarito 40

Concurso do BANCO DO BRASIL/2012

Matemtica Bsica: Nmeros inteiros e racionais: operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao); expresses numricas; mltiplos e divisores de nmeros naturais; problemas. Fraes e operaes com fraes. Nmeros e grandezas proporcionais: razes e propores; diviso em partes proporcionais; regra de trs; porcentagem e problemas.

Estatstica: Estatstica descritiva; distribuio de probabilidade discreta.

Matemtica Financeira: Juros simples e compostos: capitalizao e descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. Planos ou Sistemas de Amortizao de Emprstimos e Financiamentos. Clculo financeiro: custo real efetivo de operaes de financiamento, emprstimo e investimento. Taxas de Retorno.

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MDULO 01: NMEROS INTEIROS E RACIONAIS

1. DESCRIO DOS CONJUNTOS NUMRICOS

Certos conjuntos numricos so especialmente importantes devido s propriedades das operaes entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:

a) N { }K 4, 3, 2, 1, 0,= o conjunto dos nmeros naturais (inteiros no-negativos).

b) Z { }KK 3, 2, 1, 0, 1, 2, , 3 , ---= o conjunto dos nmeros inteiros.

c) Q

==q

pxx | , sendo p Z, q Z e q 0, o conjunto dos nmeros racionais.

So exemplos de nmeros racionais: 5

3- ,

2

9- ,

3

8+ , + 0,28 , - 2,755.

So exemplos de nmeros irracionais: K14159,3=p , K41421,12 = , K73205,13 = ,

d) R o conjunto dos nmeros reais, formados por todos os nmeros racionais e irracionais.

Quando inclumos o smbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excludo do conjunto. Assim, temos:

N* { }K5, 4, 3, 2, 1,=

Quando inclumos o smbolo + (mais), estamos indicando que foram excludos todos os nmeros negativos do conjunto.

Z + { }K 3, 2, 1, 0, = o conjunto dos nmeros inteiros no-negativos.

Quando acrescentamos o smbolo (menos) estamos indicando que foram excludos todos os nmeros positivos do conjunto. Assim, temos:

Z - { }0 1, 2, , 3 , ---= K o conjunto dos nmeros inteiros no-positivos.

Devemos notar que o zero elemento dos conjuntos Z + , Z - . Se exclumos o zero destes conjuntos, teremos:

Z +* { }K 3, 2, 1, = nmeros inteiros estritamente positivos.

Z -* { }1 2, , 3 , ---= K nmeros inteiros estritamente negativos.

Notemos a propriedade: RQZN , isto , todo nmero natural inteiro, todo nmero inteiro racional, todo nmero racional real.

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2. Operaes Bsicas

ADIO

7 + 3 + 8 = 18

parcelas soma

- A ordem das parcelas no altera o resultado.

SUBTRAO

8 3 = 5

minuendo subtraendo diferena

MULTIPLICAO:

9 x 4 = 36

multiplicando multiplicador produto (fator) (fator)

- A ordem dos fatores no altera o produto.

DIVISO:

21 5

1 4

dividendo resto quociente divisor

Importante: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto

Exemplo: 21 = 5 x 4 + 1

Ateno:

- O maior resto possvel igual ao divisor menos um.

- No existe diviso com o divisor zero.

- Quando o dividendo for zero o quociente tambm ser zero.

- Na diviso exata dizemos que o dividendo mltiplo do divisor.

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3. OPERAES COM OS NMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS

3.1. SOMA OU ADIO E SUBTRAO OU DIFERENA

Quando os nmeros tm o mesmo sinal basta conserv-lo e adicionar os nmeros; quando os sinais so contrrios subtramos o menor do maior, e o sinal que prevalece o deste ltimo.

bom lembrar tambm que o sinal mais (+) antes de um parntese no vai alterar o sinal do nmero que est entre parnteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parntese for o de (). Se no houver nenhum sinal antes do parntese estar implcito que o sinal ser o de mais (+).

a) 12210)2()10( +=++=+++

b) 8210)2()10( +=-+=-++

c) 8210)2()10( -=+-=++-

d) 12210)2()10( -=--=-+-

e) 8210)2()10( +=-+=+-+

f) 12210)2()10( +=++=--+

g) 12210)2()10( -=--=+--

h) 8210)2()10( -=+-=---

Nmeros Simtricos: dois nmeros a e b so ditos simtricos (ou opostos) quando a soma deles for zero.

Exemplos: -3 e 3 so simtricos; o oposto de 5 -5; o oposto de zero o prprio zero.

3.2. MULTIPLICAO E DIVISO

Para as operaes de multiplicao e diviso vale a seguinte regra: Nmeros de mesmo sinal do sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrrios conduzem sempre resultados negativos.

a) 20)2()10( +=++

b) 20)2()10( -=-+

c) 20)2()10( -=+-

d) 20)2()10( +=--

e) 5)2()10( +=++

f) 5)2()10( -=-+

g) 5)2()10( -=+-

h) 5)2()10( +=--

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3.3. POTENCIAO

Quando, em uma multiplicao, os fatores so todos iguais, em mdulo e em sinal, esta operao recebe o nome de potenciao. Assim sendo, a potncia de um nmero o produto de fatores iguais a este nmero, sendo representada por:

pa

Conforme veremos a seguir, toda potncia de expoente par positiva, qualquer que seja o sinal da base, porm, toda potncia de expoente mpar tem o sinal de base.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 162)2(222 4 =++++=+

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 162222)2( 4 =----=-

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 =+++=+

d) ( ) ( ) ( ) 8222)2( 3 -=---=-

interessante notar a diferena entre a potenciao sequencial e a potenciao escalonada, que sero analisadas logo a seguir.

a) Potenciao Sequencial:

( ) ( ) 6442 332 == , que tambm pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes:

( ) 64222 63232 === b) Potenciao Escalonada:

25622 823

==

Ou seja: ( ) 3232 22

Produto e Diviso de Potncias de Mesma Base

a) Para multiplicar potncias de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

b) Para dividir potncias de mesma base, repetimos a base e subtramos o expoente do denominador do expoente do numerador.

219

2

1423

2

1

423 aaaaaa ==+++

3585

8

bbb

b== -

3525

2-- == xx

x

x

7)4(34

3

yyy

y== --

-

expoente base

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Expoente Nulo

Toda potncia de expoente nulo igual unidade: 10 =a .

Obs.: So excees 00 e 0 , que no tm qualquer significado numrico.

Expoente Negativo

Toda potncia de expoente negativo equivale a uma frao cujo numerador a unidade e

o denominador a potncia com o expoente positivo, ou seja: nn

aa

1=- .

a) 16

1

2

12

4

4 ==-

b) 9

1

3

13

2

2 ==-

c) 2555

1 22

==-

Emprego de Potncias de Dez para simplificar a representao de certos Nmeros

a) 3102000 2 =

b) 6104000 000 4 =

c) 41030003,0 -=

d) 0,0000003 = 3 x 10-7

e) 410250025,0 -= ou 3105,20025,0 -= (notao cientfica)

f) 2107272,0 -= ou 1102,772,0 -= (notao cientfica)

3.4. RADICIAO

a) Raiz n-sima de um nmero:

Dizemos que um nmero b a raiz n-sima exata de um nmero a quando

nba =

e ela representada por

ban =

Denomina-se radiciao a operao pela qual se obtm a raiz n-sima de um nmero. Nas operaes exatas, a radiciao a operao inversa da potenciao.

Temos ento:

radical do ndice o "" nmero O

radicando o "" nmero O

radical o sinal O

n

a

Assim sendo

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39 = porque 932 = .

283 = porque 823 = .

No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e no usual escrever este ndice no radical.

No caso de n = 3 a raiz se diz cbica, mas este ndice aparece no radical.

Expoente Fracionrio

Toda potncia de expoente fracionrio equivale a uma raiz cujo ndice o denominador da frao e cujo radicando a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:

q pq

p

aa =

Determinar os resultados das seguintes operaes:

a) 46488 33 232

=== c) 2

1

4

1

4

14

2

1

2

1

===-

b) 41616 21

==

4. NMEROS DECIMAIS

Frao

5

3

Frao Ordinria O denominador no possui potncia de 10.

Exemplos: 48

31,

5

6,

9

7

Frao Decimal O denominador s possui potncia de 10;

Exemplos: 1000

51,

100

23,

10

7

Operaes

# Adio e Subtrao

Obs.: Coloca-se um nmero abaixo do outro, ficando vrgula embaixo de vrgula.

Exemplos:

a) 1,35 + 0,2 + 4,027 + 6 = 11,577

b) 8,25 2,035 = 6,215

numerador

denominador

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# Multiplicao

2,047 3 casas decimais

x 5,8 1 casa decimal

16376

+ 10235__

11,8726 4 casas decimais

Obs.: Voc pode multiplicar os nmeros sem considerar a vrgula. A quantidade de casas decimais do resultado (produto) corresponder soma das quantidades de casas decimais dos fatores.

- Multiplicao por 10, 100, 1000 etc.

Basta deslocar a vrgula para a direita dependendo dos zeros da potncia de 10.

Exemplos:

a) 1,343 x 10 = 13,43

b) 1,343 x 100 = 134,3

c) 1,343 x 1000 = 1343

d) 1,343 x 10000 = 13430

- Potncia de nmeros decimais

(0,4)2 = 0,4 x 0,4 = 0,16

(1,2)2 = 1,2 x 1,2 = 1,44

# Diviso

- Diviso com potncias de 10

Desloca-se a vrgula para a esquerda dependendo da quantidade de zeros.

Exemplos: 9,8310

839= 39,8

100

839= 839,0

1000

839=

Diviso de dois nmeros naturais

Exemplo: ?4

63=

0

20

30

75,1523

463

Resposta: 75,154

63=

10

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- Diviso de dois nmeros quaisquer

Iguale as casas decimais dos dois nmeros completando com zeros.

Exemplo: ?28

12,1051=

2800

105112

00,28

12,1051

28

12,1051==

Voc pode dividir 105112 por 28, e ao final dividir o resultado por 100.

0

112

151

3754211

28105112

Como dito anteriormente, o resultado 3754 ser dividido por 100:

54,37100

3754=

Resposta: 54,3728

12,1051=

:

Exemplo: ?4,2

52,1685=

240

168552

40,2

52,1685

4,2

52,1685==

Voc pode dividir 168552 por 24, e ao final dividir o resultado por 10.

0

72

055

702305

24168552

Como dito anteriormente, o resultado 7023 ser dividido por 10:

3,70210

7023=

Resposta: 3,7024,2

52,1685=

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- Transformao de fraes ordinrias em nmeros decimais

Regra Geral:

a) Divide-se o numerador pelo denominador. Se a diviso for exata, o quociente ser um n decimal exato.

b) Se a diviso do numerador pelo denominador no for exata o quociente ser uma dzima peridica.

Exemplos:

8,05

4= (nmero decimal exato)

K666,03

2= ( uma dzima peridica simples)

K1333,015

2= ( uma dzima peridica composta)

- Transformar nmero decimal em frao ordinria

a) Nmero decimal exato

Exemplos:

4

1

100

2525,0 ==

5

9

10

188,1 ==

b) O nmero decimal uma dzima peridica.

Exemplos:

3

1

9

3333,0 ==K

11

6

99

545454,0 ==K

999

235235235235,0 =K

300

47

900

141

900

151561566666,0 ==

-=K

99000

46789

99000

47247261472616161,0 =

-=K

3

8

9

24

9

226666,2 ==

-=K

45

79

90

158

90

171757555,1 ==

-=K

3300

14009

9900

42027

9900

4244245124515151,4 ==

-=K

Chamamos de GERATRIZ a frao ordinria que deu origem dzima peridica.

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EXERCCIOS DO MDULO 01

01. (BB 2011 FCC) O esquema abaixo apresenta a subtrao de dois nmeros inteiros e maiores

que 1 000, em que alguns algarismos foram substitudos por letras. A 1 5 B

2 C D 3 4 2 1 8

Se a diferena indicada a correta, os valores de A, B, C e D so tais que (A) A < B < C < D (B) B < A < D < C (C) B < D < A < C (D) D < A < C < B (E) D < A < B < C 02. (Oficial de Chancelaria 2009 FCC) Zeus um aficionado em matemtica, pois quando lhe

perguntaram sobre sua idade, ele respondeu: Para saber a minha idade voc deve decifrar o criptograma aritmtico seguinte, que corresponde, de modo codificado, adio de dois nmeros naturais. Decifrado o criptograma, a minha idade igual soma dos algarismos que correspondem s letras da palavra FISCO.

F O S S O + F O S S O C I S C O

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, quantos anos tem Zeus? (A) 28 (B) 22 (C) 30 (D) 24 (E) 25 03. (Perito/Delegado PC/MA 2006 FCC) No esquema abaixo tem-se representada a multiplicao

de dois nmeros inteiros, no qual alguns algarismos foram substitudos pelas letras A, B, C e D.

A B 2 C x 4

1 5 7 D 2 Completado o diagrama corretamente, verdade que (A) C =D + 1 (B) B = A2 (C) A + B = C + D (D) A C = 5 (E) A =D0 04. (BB 2011 FCC) Se x e y so nmeros inteiros tais que x par e y mpar, considere as seguintes afirmaes: I. x + y mpar. II. x 2y mpar. III. (3x) . (5y) impar. correto afirmar que (A) I, II e III so verdadeiras. (B) I, II e III so falsas. (C) apenas I verdadeira. (D) apenas I e II so verdadeiras. (E) apenas II e III so verdadeiras.

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05. (TRT9 Tec Jud 2010 FCC) Dois nmeros inteiros positivos x e y tm, cada um, 5 algarismos distintos entre si. Considerando que x e y no tm algarismos comuns e x > y, o menor valor que pode ser obtido para a diferena x y :

(A) 257. (B) 256. (C) 249. (D) 247. (E) 246. 06. (TRT22-Piau Tcnico Judicirio 2010 FCC) Seja XYZ um nmero inteiro e positivo em que X,

Y e Z representam os algarismos das centenas, das dezenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 36 935 (XYZ) = 83, correto afirmar que

(A) X = Z (B) X . Y = 16 (C) Z Y = 2X (D) Y = 2X (E) Z = X + 2 07. (CEF Norte/Nordeste 2004 FCC) Uma pessoa, ao efetuar a multiplicao de 2493 por um

certo nmero inteiro, encontrou o produto 668 124. S ento notou que, ao copiar os nmeros para efetuar a operao, ela trocou, por engano, o algarismo das dezenas do multiplicador, escrevendo 6 ao invs de 3. Assim, o verdadeiro produto seria

(A) 643 194 (B) 618 264 (C) 598 274 (D) 593 334 (E) 568 404 08. (TRT 2004 FCC) X9 e 9X representam nmeros naturais de dois algarismos. Sabendo-se que

X9 + 9X - 100 o nmero natural de dois algarismos ZW, correto dizer que Z W igual a (A) 5 (D) 2 (B) 4 (E) 1 (C) 3 09. (TCE-SP 2005 FCC) Um fato curioso ocorreu com meu pai em 22 de outubro de 1932. Nessa

data, dia de seu aniversrio, ele comentou com seu av que sua idade era igual ao nmero formado pelos dois ltimos algarismos do ano de seu nascimento. Ficou, ento, muito surpreso quando seu av, que igualmente fazia aniversrio na mesma data, observou que o mesmo ocorria com a sua idade. Nessas condies, correto afirmar que a diferena positiva entre as idades de meu pai e desse meu bisav, em anos,

(A) 40 (D) 47 (B) 42 (E) 50 (C) 45 10. (TRT-SP Tec Jud 2008 FCC) Sabe-se que em um sistema decimal de numerao, ou seja,

em que a base 10, o nmero inteiro 3087, por exemplo, pode ser decomposto na forma 3.103+0.102+8.101+7.100. Sabe-se tambm que em um sistema de numerao em que a base 3, os dez primeiros nmeros inteiros positivos so 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 e 101. Nessas condies, calculando-se 2012 + 201, em que as parcelas so nmeros do sistema de base 3, a soma obtida corresponde, neste mesmo sistema, ao nmero

(A) 2220 (B) 2210 (C) 2020 (D) 1210 (E) 1220

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11. (TRF4 Analista Jud. 2010 FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operaes financeiras usado o sistema decimal de numerao, no qual um nmero inteiro N pode ser representado como:

N = an.10n + an-1 .10

n-1 + an-2 .10n-2 +... + a2 .10

2 + a1 .101 + a0 .10

0, em que 0 ai < 10 , para todo 0 i n.

Nesse sistema, por exemplo, 8903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100 Suponha que, em frias, Benivaldo visitou certo pas, no qual todas as operaes financeiras eram feitas num sistema de numerao de base 6 e cuja unidade monetria era o delta. Aps ter gasto 2014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condies, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era (A) 155. (B) 152. (C) 145. (D) 143. (E) 134. 12. (TRF 1 regio Tc. Jud. 2007 FCC) Um tcnico judicirio foi incumbido da montagem de um

manual referente aos Princpios Fundamentais da Constituio Federal. Sabendo que, excludas a capa e a contra-capa, a numerao das pginas foi feita a partir do nmero 1 e, ao conclu-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de pginas que foram numeradas

(A) 97 (B) 99 (C) 111 (D) 117 (E) 126 13. Resolva as expresses numricas a seguir: a) 10 30 40 + 120 5 x 25 x (40 + 010 + 10) b) 4 + 72 4 x 2 [12 x 4 2 10 x (50 + 40)] 14. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Simplificando-se a expresso

obtm-se um nmero: (A) quadrado perfeito. (B) divisvel por 5. (C) mltiplo de 6. (D) primo. (E) mpar. 15. (BB 2011 FCC) O valor da expresso (A2 B3)/(AB+BA), para A = 2 e B = 1, um nmero

compreendido entre (A) 2 e 1. (B) 1 e 4. (C) 4 e 7. (D) 7 e 9. (E) 9 e 10.

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16. (TRF4 Analista Jud. 2010 FCC) Simplificando a expresso

2 1 _ 2 1 _ 2 1 _ 2 1 _ 2 obtm-se (A) 1,8. (B) 1,75. (C) 1,5. (D) 1,25. (E) 1,2. 17. (TRF4 - Tec Jud - 2010 FCC) A expresso N 0,0125 equivalente ao produto de N por (A) 1,25. (B) 12,5. (C) 1/80. (D) 80. (E) 125/100. 18. (TRT12-SC Tc. Jud. 2010 FCC) Sejam x e y nmeros inteiros e positivos tais que a frao

x/y irredutvel, ou seja, o mximo divisor comum de x e y 1. Se

ento x + y igual a (A) 53. (B) 35. (C) 26. (D) 17. (E) 8. 19. (BB 2011 FCC) Qual das expresses seguintes NO equivalente a 0,0000000625?

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20. (TRT15 - Tc Jud rea Adm. 2009 FCC) Muitas vezes nos deparamos com um nmero expresso na chamada notao cientfica, ou seja, representado como produto de um nmero x, com 1 < 10, por uma potncia de 10, como mostram os exemplos: 12 300 = 1,23 104 e 0,00031 = 3,1 104. Na notao cientfica, a representao do valor da expresso

(A) 1,25 103 (B) 2,5 103 (C) 1,25 102 (D) 2,5 102 (E) 1,25 102 21. (TRF4 Analista Jud. 2010 FCC) Um nmero escrito na notao cientfica expresso pelo

produto de um nmero racional x por 10n, sendo 1 x < 10 e n um nmero inteiro. Dessa forma, a expresso do nmero

N = 0,000000245 . 1872 000 000 0,0000000325 . 49 000

na notao cientfica (A) 2,08 103. (B) 2,88 104. (C) 2,08 104. (D) 2,88 105. (E) 2,08 105. 22. (Banese 2012 FCC) Considere o problema abaixo. Mrcio escolheu um nmero racional e somou o dobro do seu quadrado com sua tera parte. Do resultado encontrado, subtraiu a soma de 21,08 com o qudruplo desse nmero. Ao final do clculo, Mrcio obteve N como resposta. Qual foi o nmero escolhido por Mrcio? Para que 5,7 seja uma das possveis respostas desse problema, o valor de N deve ser (A) 23. (B) 24. (C) 25. (D) 26. (E) 27. 23. (Agente Administrativo/Campinas 2011 IBFC) A diferena entre 12,8333..e 5,171717...

equivalente frao: a) 7,6616 b) 758/90 c) 7585/999 d) 1517/198 Problemas Matemticos com Inteiros e Racionais 24. (CEF 2000 FCC) Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma

agncia bancria contou t moedas de 1 real, y de 50 centavos, z de 10 centavos e w de 5 centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido um engano: contara 3 das moedas de 5 centavos como sendo de 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nessas condies, a quantia correta igual inicial

A) acrescida de R$ 1,35 B) diminuda de R$ 1,35 C) acrescida de R$ 1,65 D) diminuda de R$ 1,75 E) acrescida de R$ 1,75

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25. (TRT-Piau Analista Judicirio 2010 FCC) Serena fez um saque em um caixa eletrnico que emitia apenas cdulas de 10, 20 e 50 reais e, em seguida, foi a trs lojas nas quais gastou toda a quantia que acabara de retirar. Sabe-se que, para fazer os pagamentos de suas compras, em uma das lojas ela usou todas (e apenas) cdulas de 10 reais, em outra usou todas (e apenas) cdulas de 20 reais e, na ltima loja todas as cdulas restantes, de 50 reais. Considerando que, ao fazer o saque, Serena recebeu 51 cdulas e que gastou quantias iguais nas trs lojas, o valor total do saque que ela fez foi de

(A) R$ 900,00. (B) R$ 750,00. (C) R$ 600,00. (D) R$ 450,00. (E) R$ 300,00. 26. (Banese 2012 FCC) O departamento de informtica de um banco dividiu as agncias de um

municpio em grupos de trs, de modo que cada tcnico ficasse responsvel por dar suporte s agncias de um desses grupos. Nessa diviso, porm, sobrou uma agncia, tendo um dos tcnicos de ficar responsvel por quatro agncias. J o setor de apoio ao crdito, que dividiu as mesmas agncias em grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as agncias de cada grupo, no teve esse problema: no sobraram agncias na diviso. Dentre os nmeros abaixo, o nico que pode representar o total de agncias desse municpio

(A) 15. (B) 19. (C) 20. (D) 24. (E) 25. 27. (TRT15 An. Jud. rea Adm. 2009 FCC) No arquivo morto de um setor de uma Repartio

Pblica h algumas prateleiras vazias, onde devero ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobraro apenas 9 processos, que sero acomodados na nica prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficar vazia e a outra acomodar apenas 2 processos. Nessas condies, correto afirmar que o total de processos do lote um nmero

(A) par. (B) divisvel por 5. (C) mltiplo de 3. (D) quadrado perfeito. (E) primo. 28. (BB 2011 FCC) Em um dado momento em que Ari e In atendiam ao pblico nos guichs de

dois caixas de uma Agncia do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas frente do guich ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guich que In ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de In, esta ltima ficaria com o dobro do nmero de pessoas da de Ari, ento, o total de pessoas das duas filas era:

(A) 24. (B) 26. (C) 30. (D) 32. (E) 36.

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29. (BB 2010 FCC) Suponha que, para a divulgao de produtos oferecidos pelo Banco do Brasil no primeiro trimestre deste ano, 1 295 folhetos foram entregues aos clientes em janeiro e que o total entregue nos dois meses seguintes foi o dobro desse valor. Se o nmero de folhetos entregues em maro ultrapassou o de fevereiro em 572 unidades, a soma dos nmeros de folhetos entregues em janeiro e fevereiro foi

(A) 2 018 (B) 2 294 (C) 2 304 (D) 2 590 (E) 2 876 30. (TRT8 Par Tc. Jud. 2010 FCC) Sabe-se que em 1.000 lminas h um total de 350 registros

de clulas do tipo X, e que em nenhuma das lminas h mais do que 4 clulas do tipo X. O nmero de lminas em que no h registros de clulas do tipo X , no mximo,

(A) 913. (B) 912. (C) 400. (D) 125. (E) 120. 31. (TRT15 An. Jud. rea Jud. 2009 FCC) Um aluno resolveu vender livros para ajudar a

pagar seus estudos. Um colega duvidou que ele conseguisse faz-lo. Fizeram ento uma aposta: ele ofereceria os livros a um certo nmero de pessoas; se a pessoa comprasse algum livro, o colega lhe daria R$ 2,00; caso contrrio, ele daria R$ 1,00 ao colega. Ele contatou 38 pessoas e ganhou R$ 49,00 na aposta. verdade que o nmero de pessoas que

(A) no compraram seus livros um nmero par. (B) no compraram seus livros mltiplo de 5. (C) compraram seus livros maior do que 30. (D) compraram seus livros o triplo do nmero das que no compraram. (E) compraram seus livros um nmero primo. 32. (TRT15 An. Jud. Execuo de Mandatos 2009 FCC) Em certo ano, os analistas de dois

grupos executaram 210 intimaes. Os do primeiro grupo executaram 120 delas e os do outro, com 3 analistas a menos, executaram as restantes. Se todos os analistas executaram o mesmo nmero de intimaes, ento

(A) cada analista executou 10 intimaes. (B) cada analista executou 12 intimaes. (C) o nmero de analistas do primeiro grupo era 10. (D) o nmero de analistas do segundo grupo era 12. (E) o nmero total de analistas era 20. 33. (Banese 2012 FCC) A abertura da Copa do Mundo de 2014 est prevista para ocorrer na

cidade de So Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias depois, em 5 de agosto de 2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das Olimpadas do Rio de Janeiro. Com esses dados, possvel concluir que a abertura da Copa de 2014 ocorrer em

(A) uma quarta-feira. (B) uma quinta-feira. (C) uma sexta-feira. (D) um sbado. (E) um domingo.

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34. (CEF Sul/Sudeste 2004 FCC) Em certo momento, o nmero de funcionrios presentes em uma agncia bancria era tal que, se ao seu quadrado somssemos o seu qudruplo resultado obtido seria 572. Se 10 deles sassem da agncia, o nmero de funcionrios na agncia passaria a ser

(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16 35. (CEF Norte/Nordeste 2004 FCC) Uma certa indstria fabrica um nico tipo de produto, que

vendido ao preo unitrio de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indstria, em reais, calculada pela expresso R(x) = 80000x 8000x, ento, para que seja gerada uma receita mensal de R$ 200 000, 00, cada unidade do produto fabricado deve ser vendida por:

(A) R$ 6,00 (B) R$ 5,50 (C) R$ 5,00 (D) R$ 4,50 (E) R$ 4,00 36. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Para repor o estoque de sua loja, Salma compra certo artigo

ao preo de R$ 28,00 a unidade. Suponha que Salma estime que, se cada artigo for vendido ao preo unitrio de X reais, ela conseguir vender (84 X) unidades. De acordo com essa estimativa, para que seja obtido o maior lucro possvel, o nmero de artigos que devero ser vendidos

(A) 84. (B) 70. (C) 56. (D) 42. (E) 28. 37. (CEF Sul/Sudeste 2004 FCC) Na sada do trabalho, um grupo de amigos foi a uma padaria e

trs deles se encarregaram de pagar as despesas. O primeiro pagou RS 3,30 por 3 cafs e 2 pes com manteiga. O segundo pagou RS 3,20 por 2 cafs e 3 pes com manteiga. O terceiro pagou, por 2 cafs e 1 po com manteiga, a quantia de

(A) R$ 1,80 (B) R$ 1,90 (C) R$ 2,00 (D) R$ 2,10 (E) R$ 2,20 38. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Em uma papelaria, Romeu gastou R$ 312,00 na compra de

algumas unidades de certo tipo de caneta esferogrfica que estava em promoo e, como bonificao, recebeu mais 8 unidades iguais a elas. Com isso, Romeu percebeu que cada caneta que tinha comprado havia sado por R$ 0,80 a menos, ou seja, cada caneta saiu por

(A) R$ 6,20. (B) R$ 6,00. (C) R$ 5,80. (D) R$ 5,20. (E) R$ 5,00.

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39. (BB 2011 FCC) Certa mquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelo de formato retangular em 6 pedaos iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma mquina gastaria para cortar em 10 pedaos iguais outra folha igual primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo comprimento?

(A) 36. (B) 35,5. (C) 34. (D) 33,3. (E) 32. 40. (BB 2011 FCC) Gertrudes e Rubem - funcionrios de uma Agncia do Banco do Brasil -

receberam, cada um, uma mesma quantidade de folhetos para a divulgao de servios e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo que, se Gertrudes repassar a tera parte de seu total de folhetos para Rubem, ento ele ter que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. correto concluir que o total de folhetos que cada um recebeu inicialmente um nmero compreendido entre

(A) 10 e 25. (B) 25 e 50. (C) 50 e 75. (D) 75 e 100. (E) 100 e 125. 41. (Banese 2012 FCC) O tempo mdio de atendimento dos clientes nos caixas de um banco

de 6 minutos. Sabe-se que 10% do total de atendimentos so mais complexos, sendo o tempo mdio, apenas para esses atendimentos, de 15 minutos. Por isso, a direo do banco resolveu criar um caixa especial para tais atendimentos complexos, que sero identificados por um funcionrio logo na entrada das agncias. Considerando que todos os atendimentos complexos sejam desviados para o caixa especial, o tempo mdio de atendimento nos demais caixas cair para

(A) 5 minutos. (B) 4,5 minutos. (C) 4 minutos. (D) 3,5 minutos. (E) 3 minutos. 42. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Relativamente ao total de registros de candidaturas

protocolados certo ms por trs Tcnicos Judicirios, sabe-se que: 8/15 foi protocolado por Alcilia, 5/12 por Berenice e os demais por Otaclio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otaclio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse ms?

(A) 5%. (D) 17,5%. (B) 12,5%. (E) 20%. (C) 15%. 43. (TRE-PI An Jud - Anlise de Sistemas 2009 FCC) A prefeitura de um pequeno municpio

estabeleceu que 2/7 da sua receita anual seja aplicada em educao. Daquilo que sobra, 3/5 deve ser destinado sade. Descontando tudo que foi gasto em educao e sade, o restante dividido igualmente entre as despesas com funcionrios e gastos com transporte e habitao. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e habitao, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi

(A) 600 (B) 1.200 (C) 1.500 (D) 2.100 (E) 3.000

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44. (TRT15 - Tc Jud rea Adm. 2009 FCC) Um Tcnico Judicirio iniciou a digitao de um texto quando eram decorridos 4/9 de certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61/96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, ento, foi almoar, o tempo que ele gastou na digitao de tal texto foi de

(A) 2 horas e 30 minutos. (D) 3 horas e 40 minutos. (B) 2 horas e 45 minutos. (E) 3 horas e 45 minutos. (C) 3 horas e 20 minutos. 45. (Banese 2012 FCC) Depois de realizar 40% de uma obra, a empreiteira A foi dispensada, por

no ter cumprido alguns requisitos contratuais. A empreiteira B foi ento contratada para finalizar a obra, comprometendo-se a executar 2/23 dela a cada ms. Nessas condies, se a empreiteira B iniciou seu trabalho no primeiro dia de janeiro de 2012, dever finaliz-lo durante o ms de

(A) junho de 2012. (B) julho de 2012. (C) agosto de 2012. (D) setembro de 2012. (E) outubro de 2012. 46. (Banese 2012 FCC) Aps a morte do Sr. Cunha, o imvel que ele possua foi vendido por R$

720.000,00. O dinheiro da venda foi dividido da seguinte maneira: primeiro, foram destinados 6% do valor total para a comisso da imobiliria e 10%, desse mesmo total, para impostos e honorrios advocatcios. Metade do restante foi para a viva do Sr. Cunha e a outra metade foi dividida igualmente entre seus trs filhos. O valor, em reais, destinado a cada filho do Sr. Cunha foi

(A) 120.000,00. (B) 102.600,00. (C) 100.800,00. (D) 12.600,00. (E) 10.800,00. 47. (TRT15 An. Jud. rea Adm. 2009 FCC) Do total de projetos que estavam em um arquivo,

sabe-se que: 2/5 deveriam ser analisados e 4/7 referiam-se ao atendimento ao pblico interno. Com essa informao, correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um nmero compreendido entre

(A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220. 48. (TRT22-Piau Analista Judicirio 2010 FCC) Em julho de 2010, dois Analistas Judicirios

receberam um lote com X licitaes para emitir pareceres. No ms seguinte, indagados sobre quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam:

Anabela: "6/11 do total das licitaes receberam meu parecer." Benivaldo: "A quantidade de licitaes em que dei meu parecer corresponde a 3/5 do nmero de

pareceres emitidos por Anabela." Sabendo que cada licitao recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e que a soma das quantidades que cada um emitiu era um nmero compreendido entre 100 e 150, ento: (A) X < 50. (B) 50 < X < 100. (C) 100 < X < 150. (D) 150 < X < 200. (E) X > 200.

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GABARITO

01 C 02 B 03 B 04 C 05 D

06 B 07 D 08 E 09 E 10 A

11 E 12 C 13 -260 e -84 14 C 15 B

16 E 17 D 18 A 19 A 20 A

21 D 22 A 23 D 24 A 25 A

26 E 27 E 28 E 29 C 30 B

31 E 32 A 33 B 34 E 35 C

36 E 37 C 38 D 39 A 40 D

41 A 42 A 43 D 44 D 45 B

46 C 47 D 48 D

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MDULO 02 PROBLEMAS COM CONJUNTOS

1. TEORIA DOS CONJUNTOS

1) Relaes de Pertinncia

Relacionam elemento com conjunto. E a indicao de que o elemento pertence ou no

pertence a um conjunto feita pelos smbolos: (pertence) e (no pertence).

Exemplo 1: a) 2 {0, 1, 2}

b) 4 {0, 1, 2}

2) Relaes de Incluso

Relacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de incluso: (est contido), (no est contido), (contm) e (no contm).

Exemplo 2: a) {2, 5} {0, 1, 2, 5}

b) {2, 7} {0, 1, 2, 5}

c) {0, 1, 2, 5} {2, 5}

d) {0, 1, 2, 5} {2, 7}

3) Subconjunto

Diz-se que A subconjunto de B se todo elemento de A tambm elemento de B.

Exemplo 3: a) {2} subconjunto de {1, 2, 3}

b) {1, 3} subconjunto de {1, 3, 5}

4) Conjunto das Partes de um Conjunto

O conjunto das partes de um conjunto A, simbolizado por P(A), o conjunto cujos elementos so todos partes (subconjuntos) de A.

O nmero de partes (subconjuntos) de um conjunto A dado por 2n, em que n o nmero de elementos de A.

Exemplo 4: Dado o conjunto A={1, 2, 3}, encontrar o conjunto das partes de A.

Soluo:

Como A tem 3 elementos, P(A) ter 8 elementos (=23).

O conjunto P(A) { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, }. Onde o smbolo representa o conjunto vazio. Este sempre subconjunto de qualquer conjunto.

5) Operaes com Conjuntos

Considerando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a definio de cada operao com conjuntos:

a) Unio ()

A unio entre dois conjuntos, AB, o conjunto formado pela reunio dos elementos de A e de B. Simbolicamente: AB = {x | xA ou xB}.

Exemplo 5: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (Resposta!)

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A representao grfica da unio entre dois conjuntos dada pelo seguinte desenho:

b) Interseo ()

A interseco entre dois conjuntos, AB, o conjunto formado pelos elementos que so comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AB = {x | xA e xB}.

Exemplo 6: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {2} (Resposta!)

Representao grfica da interseco entre dois conjuntos:

c) Diferena ()

A diferena entre dois conjuntos, BA, o conjunto formado pelos elementos de B que no

pertencem a A. Simbolicamente: BA = {x | xB e xA}.

Exemplo 7: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 3} (Resposta!)

A representao grfica da diferena entre dois conjuntos (B-A) dada pelo seguinte desenho:

d) Complementar (')

O complementar do conjunto A, simbolizado por A', o conjunto formado pelos elementos

do conjunto universo (U) que no pertencem a A. Simbolicamente: A'={xU|xA}.

A representao grfica do complementar do conjunto A dada pelo seguinte desenho:

A B U

A U

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f) Frmula da Unio

Existe uma frmula que relaciona o nmero de elementos da unio, da interseco e dos conjuntos individuais. A frmula dada por:

n(AB) = n(A) + n(B) n(AB)

Se forem trs conjuntos a frmula ser:

n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)n(AB)n(AC)n(BC)+n(ABC)

Exemplo 9: Calcule o nmero de elementos da unio dos conjuntos A e B a partir dos

seguintes dados: n(A)=10, n(B)=7, n(AB)=5.

Soluo:

Substituiremos os dados na frmula da unio. Teremos:

n(AB) = n(A)+n(B)n(AB) = 10+7-5

n(AB) = 12 (Resposta!)

Esta no a nica maneira de se chegar resposta. Fazendo o desenho dos crculos e escrevendo nestes os dados fornecidos, facilmente chegaremos mesma resposta!

Exemplo 10: Considere o diagrama abaixo onde o retngulo representa o conjunto-universo U e os crculos representam os conjuntos A e B.

Com base no desenho, determine:

a) O conjunto A

Sol.: A = {1, 2, 3, 4, 5} e n(A)=5

b) O conjunto B

Sol.: B = {4, 5, 6, 7, 8,9} e n(B)=6

c) O nmero de subconjuntos de A

Sol.: 2n = 25 = 32 subconjuntos

d) O nmero de subconjuntos de B

Sol.: 2n = 26 = 64 subconjuntos

B

6

7

8

9

4

5

12

13

11 10

U

1

2

3

A

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e) A unio de A e B

Sol.: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

f) A interseco entre A e B

Sol.: A B = {4, 5}

g) A diferena AB

Sol.: A-B = {1, 2, 3}

h) A diferena BA

Sol.: B - A = {6, 7, 8, 9}

i) O complementar de A

Sol.: A' = U - A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

j) O complementar de B

Sol.: B' = U - B = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13}

QUESTES RESOLVIDAS DE CONJUNTOS 01. (TTN 1998 ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3,

x, 10, y, 6}. Sabendo que a interseco dos conjuntos A e B dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expresso y-(3x + 3) igual a a) -28 b) -19 c) 32 d) 6 e) 0

Sol.: O conjunto resultante da interseco de A e B igual a: AB={2, 9, 6}.

Agora, devemos descobrir os valores de x e de y presentes nos conjuntos A e B.

Observe que o nmero 2 o primeiro elemento da interseco entre A e B. Como o nmero 2 faz parte da interseco, ento ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. Mas veja que o elemento 2 no est presente no conjunto A, ento devemos fazer x igual a 2. Acabamos, ento, de descobrir que x 2!

O nmero 9 o segundo elemento da interseco entre A e B. Como ele faz parte da interseco, ento ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. No conjunto A temos o elemento 9, mas no conjunto B no aparece o elemento 9, ento devemos fazer y igual a 9. Acabamos de descobrir o valor de y!

Encontramos que: x=2 e y=9.

O enunciado solicita o valor da expresso y(3x+3), substituindo x e y por 2 e 9, respectivamente, obteremos:

9(3.2+3) = 9(9) = 0 (resposta!)

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02. (ANEEL 2006 ESAF) X e Y so dois conjuntos no vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, tambm, que o conjunto Z = X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o nmero de elementos do conjunto P = Y - X igual a:

a) 4 d) vazio b) 6 e) 1 c) 8 Sol.: O nmero de subconjuntos de um dado conjunto calculado por 2n, onde n o nmero de elementos do conjunto. Como o conjunto X tem 64 subconjuntos, ento o nmero de elementos de X pode ser obtido a partir da igualdade: 2n=64. Resolvendo, vem:

2n=64 2n=26 n=6

Portanto, o conjunto X tem 6 elementos.

O conjunto Y tem 256 subconjuntos, ento o nmero de elementos de Y pode ser obtido a partir da igualdade: 2n=256. Resolvendo, vem:

2n=256 2n=28 n=8

Portanto, o conjunto Y tem 8 elementos.

Agora, dos conjuntos X e Y sabemos que:

n(X)=6;

n(Y)=8;

n(XY)=2.

Vamos lanar esses dados no desenho dos crculos X e Y.

A quantidade 4, dentro do crculo X, foi obtida da diferena entre 6 e 2. E ela significa que h 4 elementos apenas em X. E a quantidade 6, dentro do crculo Y, foi obtida da diferena entre 8 e 2. E ela significa que h 6 elementos apenas em Y.

A questo pede o nmero de elementos do conjunto diferena Y-X. A regio dos crculos correspondente a diferena Y-X a regio do crculo Y que est fora da interseco. E nesta regio h 6 elementos.

Resposta: Alternativa B!

03. (FCC) Em uma turma de 32 alunos, o nmero de alunos que praticam futebol o triplo

da quantidade de alunos que s praticam natao. Metade dos alunos dessa turma no pratica nenhum desses dois esportes. A porcentagem dos alunos da turma que praticam somente natao :

a) 10,0% b) 12,5% c) 17,0% d) 22,5% e) 25,0% Sol.: Temos os seguintes dados: a turma tem 32 alunos; o nmero de alunos que praticam futebol o triplo da quantidade de alunos que s praticam

natao; metade dos alunos dessa turma no pratica nenhum desses dois esportes. Definiremos os seguintes conjuntos:

F = conjunto dos alunos que praticam Futebol. N = conjunto dos alunos que praticam Natao.

8 6

Y X

6 4 2

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O conjunto universo formado pela turma de 32 alunos.

Turma de 32 alunos

Como metade dos alunos dessa turma no praticam nenhum desses esportes, ento existem 16 (= 32/2) alunos fora dos crculos.

Designamos por x o nmero de alunos que praticam apenas natao. Logo, o nmero de alunos que praticam futebol igual a 3x.

Se somarmos a quantidade de pessoas que praticam futebol (crculo azul) com a quantidade de pessoas que no praticam futebol (fora do crculo azul), o resultado deve ser igual ao total de alunos da turma: 32 alunos. Temos que:

Pessoas que praticam futebol = 3x

Pessoas que no praticam futebol = x + 16

Somando as quantidades acima tem que dar 32, ento:

3x + (x + 16) = 32

Resolvendo, vem:

4x = 16 x = 4 (logo, 4 praticam apenas natao!)

A porcentagem dos alunos da turma que praticam apenas natao igual a razo entre o nmero de alunos que praticam apenas natao e o nmero total de alunos. Assim, teremos:

4/32 = 1/8 = 0,125 = 12,5% (Resposta: Alternativa B)

F N

3x x

16

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EXERCCIOS DO MDULO 02: PROBLEMAS COM CONJUNTOS

01. (TC/SE 2011 FCC) Duas modalidades de esporte so oferecidas para os 200 alunos de um colgio: basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 no praticam nenhuma destas modalidades. O nmero de alunos que praticam uma e somente uma destas modalidades

(A) 120. (D) 60. (B) 100. (E) 40. (C) 80. 02. (Tcnico BACEN 2005 FCC) Para um grupo de funcionrios, uma empresa oferece cursos para

somente dois idiomas estrangeiros: ingls e espanhol. H 105 funcionrios que pretendem estudar ingls, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionrios desse grupo no pretende estudar qualquer idioma estrangeiro, ento o nmero de elementos do grupo

(A) 245 (D) 224 (B) 238 (E) 217 (C) 231 03. (BB 2010 FCC) Em um banco, qualquer funcionrio da carreira de Auditor formado em pelo

menos um dos cursos: Administrao, Cincias Contbeis e Economia. Um levantamento forneceu as informaes de que

I. 50% dos Auditores so formados em Administrao, 60% so formados em Cincias Contbeis e 48% so formados em Economia. II. 20% dos Auditores so formados em Administrao e Cincias Contbeis. III. 10% dos Auditores so formados em Administrao e Economia. IV. 30% dos Auditores so formados em Cincias Contbeis e Economia. A porcentagem de Auditores desse banco que so formados em pelo menos dois daqueles cursos citados (A) 58% (B) 56% (C) 54% (D) 52% (E) 48% 04. (BAHIAGS 2010 FCC) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que: 15 nunca foram vacinadas; 32 s foram vacinadas contra a doena A; 44 j foram vacinadas contra a doena A; 20 s foram vacinadas contra a doena C; 2 foram vacinadas contra as doenas A, B e C; 22 foram vacinadas contra apenas duas doenas. De acordo com as informaes, o nmero de pessoas do grupo que s foi vacinado contra ambas as doenas B e C (A) 10. (D) 13. (B) 11. (E) 14. (C) 12.

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05. (CEF 2000 FCC) Em uma agncia bancria trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% no so fumantes e, do total de mulheres, 12% so fumantes, ento o nmero de funcionrios dessa agncia que so homens ou fumantes

A) 42 B) 43 C) 45 D) 48 E) 49 06. (BB 2011 FCC) Dos 36 funcionrios de uma Agncia do Banco do Brasil, sabe-se que: apenas 7

so fumantes, 22 so do sexo masculino e 11 so mulheres que no fumam. Com base nessas afirmaes, correto afirmar que o

(A) nmero de homens que no fumam 18. (B) nmero de homens fumantes 5. (C) nmero de mulheres fumantes 4. (D) total de funcionrios do sexo feminino 15. (E) total de funcionrios no fumantes 28. 07. (BB 2010 FCC) Das 87 pessoas que participaram de um seminrio sobre A Segurana no

Trabalho, sabe-se que: 43 eram do sexo masculino; 27 tinham menos de 30 anos de idade; 36 eram mulheres com 30 anos ou mais de 30 anos de idade. Nessas condies, correto afirmar que (A) 16 homens tinham menos de 30 anos. (B) 8 mulheres tinham menos de 30 anos. (C) o nmero de homens era 90% do de mulheres. (D) 25 homens tinham 30 anos ou mais de 30 anos de idade. (E) o nmero de homens excedia o de mulheres em 11 unidades.

GABARITO

01 A 02 E 03 B 04 C 05 B

06 A 07 B

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MDULO 03 - MLTIPLOS E DIVISORES

1. Mltiplo de um nmero o produto desse nmero pelos nmeros inteiros.

Exemplos: Mltiplos no-negativos do nmero 5:

5 x 0 = 0

5 x 1 = 5

5 x 2 = 10

5 x 3 = 15 M(5) = {0, 5, 10, 15, }

Todos os mltiplos de um nmero tambm compreendem os nmeros negativos:

M(5) = {0, 5, 10, 15, }

Obs.: - O conjunto dos mltiplos de um nmero INFINITO.

- O zero mltiplo de todos os nmeros.

2. Divisores Se a diviso de dois nmeros naturais exata, dizemos que o primeiro divisvel pelo segundo e o segundo divisor do primeiro.

Ex.: 15 : 3 = 5.

15 divisvel por 3 (ou mltiplo de 3).

3 divisor de 15 (ou fator de 15).

Divisores positivos de 15: D(15) = {1, 3, 5, 15}

Obs.: - O conjunto dos divisores de um nmero finito com exceo dos divisores de zero que infinito.

- O nmero 1 divisor de todos os nmeros inteiros.

3. Divisibilidade

a) Um nmero divisvel por 2 quando for par (termina em 0, 2, 4, 6, 8).

Exemplo: O nmero 357918 divisvel por 2, pois par.

b) Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisvel por 3.

Exemplo: O nmero 591 divisvel por 3, pois a soma dos algarismos (5 + 9 + 1 = 15) divisvel por 3.

c) Um nmero divisvel por 4, quando os dois ltimos algarismos da direita for 00 ou for divisvel por 4.

Exemplo: O nmero 7983795316 divisvel por 4, pois os dois ltimos algarismos da direita (16) divisvel por 4.

d) Um nmero divisvel por 5 quando termina em zero ou cinco.

Exemplo: O nmero 413315 divisvel por 5, pois termina em 5.

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e) Um nmero divisvel por 6 quando for divisvel por 2 e por 3.

Exemplo: O nmero 918318 divisvel por 6, pois ele divisvel por 2 e tambm por 3.

f) Um nmero divisvel por 8 quando terminar em 000 ou quando os trs ltimos algarismos for divisvel por 8.

Exemplo: O nmero 7983795104 divisvel por 8, pois os trs ltimos algarismos da direita (104) divisvel por 8.

g) Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisvel por 9.

Exemplo: O nmero 6891021 divisvel por 9, pois a soma dos seus algarismos (6+8+9+1+0+2+1 = 27) divisvel por 9.

h) Um nmero divisvel por 10 quando termina em zero.

Exemplo: O nmero 89730 divisvel por 10, pois termina em zero.

i) Um nmero divisvel por 11 quando a diferena entre a soma dos algarismos de ordem mpar e de ordem par for um nmero divisvel por 11.

Exemplo: No nmero 23859, os algarismos de ordem mpar, a partir do algarismo das unidades, so 9, 8 e 2 cuja soma resulta: 9+8+2 = 19. Os algarismos de ordem par so 5 e 3 cuja soma resulta: 5+3 = 8. A diferena entre essas duas somas : 19 8 = 11. Como 11 divisvel por 11, ento o nmero 23859 divisvel por 11.

j) Um nmero divisvel por 12 quando for divisvel por 3 e por 4.

Exemplo: O nmero 1918320 divisvel por 12, pois ele divisvel por 3 e tambm por 4.

4. Nmero Primo todo nmero que tem apenas dois divisores distintos: 1 e ele mesmo.

Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 um n primo.

2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, logo 17 um n primo.

3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 no um nmero primo.

- Os nmeros que tm mais de dois divisores so chamados nmeros compostos.

- Nmeros primos at 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Obs.: O nico nmero primo par 2.

5. Reconhecimento de um Nmero Primo:

Para saber se um nmero primo, dividimos esse nmero pelos nmeros primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. at que tenhamos:

uma diviso com resto zero e neste caso o nmero no primo; ou

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uma diviso com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o nmero primo.

Exemplos:

1) O nmero 161:

- no par, assim no divisvel por 2;

- a soma dos algarismos 1+6+1 = 8, assim no divisvel por 3;

- no termina em 0 nem em 5, portanto no divisvel por 5;

- vamos fazer a diviso por 7:

0

2321

7161

Como o resto foi zero, ento o nmero 161 no primo.

2) O nmero 113:

- no par, assim no divisvel por 2;

- A soma dos algarismos 1+1+3 = 5, assim no divisvel por 3;

- no termina em 0 nem em 5, assim no divisvel por 5;

- vamos fazer a diviso por 7:

1

1643

7113

Como o resto no zero, ento 7 no divisor de 113. E como o quociente (16) ainda maior que o divisor (7), continuaremos a dividir 113 pelo prximo nmero primo.

- vamos fazer a diviso por 11:

3

1003

11113

Como o resto no zero, ento 11 no divisor de 113. E como o quociente (10) j menor que o divisor (11), ento no mais necessrio continuar a dividir. Assim, podemos afirmar que 113 um nmero primo.

6. Decomposio em Fatores Primos

Todo nmero natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposio do nmero 24 num produto:

24 = 4 x 6

24 = 2 x 2 x 6

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores so primos.

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Chamamos de fatorao de 24 a decomposio de 24 num produto de fatores primos. Ento a fatorao de 24 23 x 3.

Regra prtica para a fatorao

Existe um dispositivo prtico para fatorar um nmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1) Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo;

2) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente at obter o quociente 1.

A figura abaixo mostra a fatorao do nmero 630.

630 2

315 3

105 3

35 5

7 7

1

Ento 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.

630 = 2 x 32 x 5 x 7.

7. MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)

O MMC de dois ou mais nmeros o menor nmero positivo que seja mltiplo de todos os nmeros dados.

Exemplo:

M(30) = {0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, ...}

M(120) = {0, 120, 240...}

Mltiplos Comuns: {0, 120, 240,...}

O mnimo mltiplo comum de 30 e 120 o prprio 120.

Processo Prtico

1) Divises sucessivas

Ex.: MMC (12, 15, 10) =

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Casos Especiais do MMC

a) O MMC de dois nmeros primos entre si o produto deles;

Exemplo: MMC (7,8) = 7 x 8 = 56; MMC(3, 5) = 3 x 5 = 15.

b) O MMC de dois nmeros em que o maior divisvel pelo menor, o maior deles;

Exemplo: MMC (18, 6) = 18; MMC (24, 4) = 24.

c) O MMC entre zero e outro nmero zero;

Exemplo: MMC (7,0) = 0.

d) O MMC(ka , kb) = k x MMC(a , b)

Exemplo: MMC(20, 50) = 10 x MMC(2, 5)

8. MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Consiste em se obter o maior divisor comum de dois nmeros dados. Como divisor ele tem que ser menor ou igual ao menor dos dois nmeros dados.

Exemplo: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D(27) = {1, 3, 9, 27}

D(18) D(27) = {1, 3, 9} o maior 9 MDC = (18,27) = 9

Processo Prtico

1) Divises Sucessivas

a) Divide-se os dois maiores em ordem decrescentes;

b) Divide-se em seguida o resultado da 1 diviso pelo outro maior;

c) Assim sucessivamente at obter diviso exata;

d) O ltimo divisor o MDC;

Ex.: Determine o MDC de 36 e 48.

Casos Especiais do MDC

a) O MDC(ka , kb) = k x MDC(a , b)

Exemplo: MDC(40, 50) = 10 x MDC(4, 5)

b) O MDC de dois nmeros primos entre si um.

Exemplo: MDC(15, 19) = 1

c) O MDC de dois ou mais nmeros, sendo um deles um igual a um.

Exemplo: MDC(150, 240, 1) = 1

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d) O MDC de dois nmeros em que o maior mltiplo do menor corresponde ao menor.

Exemplo: MDC(18, 6) = 6

e) O MDC entre zero e outro nmero corresponde ao outro nmero.

Exemplo: MDC (50,0) = 50

f) MMC(a,b) x MDC(a,b) = a x b

Exemplo: MMC (12, 20) x MDC(12, 20) = 12 x 20 = 240.

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EXERCCIOS DO MDULO 03: MLTIPLOS E DIVISORES

01. (TRT22-Piau Analista Judicirio 2010 FCC) Seja P o produto de um nmero inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas trs dgitos e P tem os algarismos das unidades, das dezenas e das centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, ento P + N igual a

(A) 6 480. (B) 6 686. (C) 6 840. (D) 5 584. (E) 5 960. 02. (TRF4 Tec Jud - Seg e Transp 2010 FCC) Seja X um nmero inteiro compreendido entre 1 e 60,

que satisfaz as seguintes condies: mpar; divisvel por 3; a soma e o produto de seus dgitos so nmeros compreendidos entre 8 e 15. correto afirmar que X um nmero (A) maior que 40. (B) cubo perfeito. (C) mltiplo de 7. (D) quadrado perfeito. (E) menor que 25. 03. (CEF 2000 FCC) Qual o menor nmero pelo qual se deve multiplicar 84 para se obter um

quadrado perfeito? A) 18 B) 21 C) 27 D) 35 E) 42 04. (TRT12-SC Tc. Jud. 2010 FCC) Em uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho foi realizada

uma palestra sobre Legislao Trabalhista na qual cada um dos ouvintes, cuja quantidade

estava entre 50 e 100, pagou uma mesma taxa de participao que correspondia a um nmero inteiro de reais. Se, pelo pagamento da taxa de participao foi arrecadado o total de R$ 585,00, ento a quantidade de ouvintes que havia na palestra era um nmero

(A) primo. (B) divisvel por 13. (C) mltiplo de 11. (D) divisvel por 7. (E) par. 05. Qual o maior nmero de trs algarismos que divisvel por 7? 06. Qual o menor nmero de quatro algarismos que divisvel por 11?

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07. Qual o maior nmero de trs algarismos que dividido por 12, 15, 18 ou 24 deixa sempre um resto igual a 10?

08. Certa quantia X superior a R$ 200,00 e inferior a R$ 300,00. Contando-a de R$ 20,00 em R$ 20,00, de R$ 30,00 em R$ 30,00 ou de R$ 40,00 em R$ 40,00 sempre sobram R$ 15,00. O valor dessa quantia X :

a) 200 < X 220 b) 220 < X 240 c) 240 < X 260 d) 260 < X 280 09. (TRF4 Analista Jud. 2010 FCC) Ao conferir a elaborao dos clculos em um processo, um

Analista do Tribunal Regional Federal percebeu que o total apresentado era maior que o valor real. Ele comunicou ao responsvel pela elaborao dos clculos que a diferena encontrada, em reais, era igual ao menor nmero inteiro que, ao ser dividido por 2, 3, 4, 5 ou 6, resulta sempre no resto 1, enquanto que, quando dividido por 11, resulta no resto 0. Dessa forma, se o valor real era R$ 10 258,00, o total apresentado era

(A) R$ 10 291,00. (B) R$ 10 345,00. (C) R$ 10 379,00. (D) R$ 10 387,00. (E) R$ 10 413,00. 10. (CEF 2000 FCC) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho d uma volta a cada

72 segundos e um carrinho azul d uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas ter dado o mais lento at o momento em que ambos voltaro a estar lado a lado no ponto de partida?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 11. (TRT12-SC Tc. Jud. 2010 FCC) Sistematicamente, dois funcionrios de uma empresa cumprem

horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sbados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provvel coincidncia de horrios das suas horas-extras ocorrer em

(A) 12 de maro 2011. (B) 12 de fevereiro de 2011. (C) 14 de janeiro de 2011. (D) 15 de dezembro de 2010. (E) 9 de dezembro de 2010.

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12. (TRF4 Tec Jud 2010 FCC) Suponha que, sistematicamente, trs grandes instituies X , Y e Z realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as trs realizaram concursos, correto concluir que uma nova coincidncia ocorrer em

(A) julho de 2015. (B) junho de 2014. (C) julho de 2013. (D) janeiro de 2012. (E) fevereiro de 2011. 13. (TRT15 An. Jud. rea Jud. 2009 FCC) Um escritrio de advocacia recebeu trs lotes de

fichas para atualizao; um com 540 unidades, outro com 630 e o terceiro com 720. Pretende-se distribu-las em pastas, obedecendo ao seguinte critrio:

todas as pastas devero ter a mesma quantidade de fichas; em cada pasta, as fichas devero ser de um mesmo lote; a quantidade de fichas em cada pasta dever ser a maior possvel. Nessas condies, (A) ser utilizado um total de 18 pastas. (B) ser utilizado um total de 21 pastas. (C) o nmero de fichas em cada pasta dever ser 9. (D) o nmero de fichas em cada pasta dever ser 45. (E) o nmero de fichas em cada pasta dever ser 180. 14. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral

h disponvel: 11 caixas de lpis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 caixas de rguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-se que:

todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas devero ser divididos em pacotes e encaminhados a diferentes setores dessa Unidade;

todos os pacotes devero conter a mesma quantidade de objetos; cada pacote dever conter um nico tipo de objeto. Nessas condies, a menor quantidade de pacotes a serem distribudos um nmero compreendido entre: (A) 10 e 20. (D) 40 e 50. (B) 20 e 30. (E) 50 e 60. (C) 30 e 40. 15. (BB 2011 FCC) Suponha que 60 funcionrios do Banco do Brasil 60% dos quais lotados em

certa Agncia de Florianpolis e, os demais, em determinada Agncia de Chapec sero divididos em grupos, a fim de participar de um curso sobre Desenvolvimento Pessoal. Considerando que todos os grupos devero conter a mesma quantidade de funcionrios e que todos os funcionrios de cada grupo devero pertencer mesma Agncia, ento a menor quantidade de grupos que podero ser formados um nmero

(A) menor que 4. (B) primo. (C) divisvel por 3. (D) par. (E) maior que 8.

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GABARITO

01 E 02 B 03 B 04 B 05 994

06 1001 07 730 08 C 09 C 10 D

11 B 12 D 13 B 14 B 15 B