mult˘imi. relat˘ii. funct˘iiandreea.arusoaie/mate20-21/... · 2020. 11. 11. · nota nal a va...

CURS 1Mulţimi. Relaţii. Funcţii

A. Arusoaie

e-mail: [email protected]

Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

Facultatea de Informatică,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi

1 Octombrie, 2020

http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

Structura cursului

Arusoaie Andreea: [email protected] Curs 1 - Mulţimi. Relaţii. FuncţiiI Curs 2 - Şiruri de numere reale. PolinoameI Curs 3-4 - Serii de numere realeI Curs 5-7 - Spaţiul Rn. Aplicaţii liniare, biliniare şi pătraticeI Săptămâna 8 - Examen parţial (C1-C7)

Adrian Zălinescu: [email protected] Curs 8 Cadrul metric pentru RnI Curs 9 Continuitatea funcţiilor de mai multe variabileI Curs 10-11 Diferenţiabilitatea funcţiilor de mai multe variabile. Aplicaţii.I Curs 12-13 Integrarea funcţiilor reale. Integrale multipleI Săptămâna 15-16 - Examen (C8-C13)

Matematică, Anul I Andreea Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 2 / 53

Modalitatea de evaluare

Nota finală va fi alcătuită din

Prezenţă 10p - 1 punct = 1 prezenţă

Evaluare prin examene 80p - 2 examene scrise ı̂n săptămânile de evaluare (S8, S15)Cele 80 de puncte sunt distribuite după formula:

80p = 4 ∗ T1 + 4 ∗ T2unde

T1 - nota obţinută la examenul parţial din S8T2 - nota obţinută la examenul din sesiune

Evaluare pe parcurs 10p - acordat de către profesorul de seminar.

Bonus pentru participare meritorie la concursuri studenţeşti de matematică - 10p


Modalitatea de evaluare

Condiţii de promovare

Media evaluărilor T1 şi T2 ≥ 4.5Punctajul total ≥ 45p

Observaţii:

În cazul ı̂n care studentul nu ı̂ndeplineşte criteriile minimale, poate opta ı̂nsesiunea de reexaminare pentru refacerea evaluărilor E1 sau E2.

Regulament privind desfăşurarea activităţilor didactice online: link


https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/Regulament_activ_didactice_ONLINE.pdf

Structura cursului

1 MulţimiCe este o mulţime?Operaţii cu mulţimi

2 RelaţiiDefiniţie. ProprietăţiRelaţii de echivalenţăRelaţii de ordineMulţimea numerelor reale

3 FuncţiiDefiniţie. ProprietăţiExemple de funcţii


Structura cursului





Ce este o mulţime?

Mulţime - colecţie de obiecte bine determinate şi distincte ı̂n care dispunereaelementelor nu are importanţă. (Georg Cantor, 1872)

Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.


Mulţimi

Noţiunile de mulţime şi element sunt legate prin relaţia de apartenenţă:

Dacă x este un obiect, iar A este o mulţime, spunem că

x ∈ A, dacă x este element al lui A;x /∈ A, dacă x nu este element al lui A.

Vom spune că două mulţimi sunt egale dacă acestea sunt formate din aceleaşielemente.

Interpretare: Dacă A şi B sunt mulţimi, atunci

∀x(x ∈ A⇔ x ∈ B)⇒ A = B.


Exemple de mulţimi remarcabile

mulţimea vidă, notată ∅, şi definită astfel ∅ = {x | x 6= x};mulţimea numerelor naturale: N = {0, 1, 2, . . . , n, n+ 1, . . .};mulţimea numerelor ı̂ntregi:Z = {. . . ,−n− 1,−n, . . . ,−1, 0, 1, . . . , n, n+ 1 . . .};

mulţimea numerelor raţionale: Q ={mn| m,n ∈ Z, n 6= 0

};

mulţimea numerelor reale: R;mulţimea numerelor complexe: C = {a+ ib | a, b ∈ R}.


Mulţimi

Definiţie

Fie A şi B două mulţimi.

A ⊆ B (A este submulţime a lui B): ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B);A ( B (A este submulţime proprie a lui B): A ⊆ B şi A 6= B.

Diagramă reprezentând faptul că A este o submulţime a lui B(Photo credit: Wikipedia)


Mulţimi

Notaţie: Prin P(A), vom nota mulţimea tuturor părţilor mulţimii A, adică

X ∈ P(A)⇔ X ⊆ A.

Observaţie: ∅, A ∈ P(A).

Propoziţie (Proprietăţile incluziunii)

Dacă X este o mulţime oarecare, iar A,B,C ∈ P(X), atunci:i) A ⊆ A (reflexivitate);ii) (A ⊆ B ∧B ⊆ A)⇒ A = B (antisimetrie);iii) (A ⊆ B ∧B ⊆ C)⇒ A ⊆ C (tranzitivitate);


Operaţii cu mulţimi

Fie X o mulţime nevidă şi A,B ∈ P(X).a) Se numeşte reuniune a mulţimilor A şi B, mulţimea

A ∪B := {x ∈ X | x ∈ A ∨ x ∈ B};

b) Se numeşte intersecţie a mulţimilor A şi B, mulţimea

A ∩B := {x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈ B};

Reuniunea lui A cu B Intersecţia lui A cu B



c) Se numeşte diferenţa mulţimilor A şi B, mulţimea

A \B := {x ∈ X | x ∈ A ∧ x /∈ B};



Propoziţie

Fie X o mulţime nevidă. Atunci pentru orice A,B,C ∈ P(X), avem:1. A ∪∅ = A; A ∩∅ = ∅;2. A ∪A = A; A ∩A = A (idempotenţa);3. A ∪B = B ∪A; A ∩B = B ∩A (comutativitate);4. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (asociativitate);5. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (distributivitate);6. A ∪ (A ∩B) = A; A ∩ (A ∪B) = A (absorbţie);7. A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C);

A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C);8. (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);

(A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C);


7. A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C);A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C);



Definiţie

Fie X o mulţime nevidă şi A,B ∈ P(X).Se numeşte complementara mulţimii A, mulţimea

CX(A) = X \A = {x ∈ X | x /∈ A};

Propoziţie

i) CCA = A;

ii) A ∪ CA = X; A ∩ CA = ∅;iii) legile lui De Morgan: CA∪B = CA ∩ CB

CA∩B = CA ∪ CB .


Legile lui De Morgan: CA∪B = CA ∩ CBCA∩B = CA ∪ CB .



Definiţie

Fie X o mulţime nevidă şi A,B ∈ P(X).Se numeşte diferenţa simetrică a mulţimilor A şi B, mulţimea

A∆B := (A \B) ∪ (B \A).

Propoziţie

Fie X o mulţime nevidă. Atunci pentru orice A,B,C ∈ P(X), avem:1. A∆A = ∅; A∆∅ = A;2. A∆B = B∆A;

3. A∆(B∆C) = (A∆B)∆C.



Definiţie

Se numeşte produsul cartezian al mulţimilor nevide A şi B, mulţimea

A×B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Propoziţie

Fie X o mulţime nevidă şi A,B,C ∈ P(X). Atunci au loc egalităţile:1. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C);2. A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C);3. (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C);4. (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).



Generalizare:

Fie X o mulţime nevidă, I o mulţime nevidă de indici, iar {Ai}i∈I ⊆ X. Atuncireuniunea mulţimilor Ai este definită prin⋃

i∈IAi := {x ∈ X | ∃i ∈ I : x ∈ Ai}

intersecţia mulţimilor Ai este definită prin⋂i∈IAi = {x ∈ X | x ∈ Ai,∀i ∈ I}

Dacă I = {1, 2, ..., n}, n ∈ N∗, atunci vom notan⋃i=1

Ai şi respectivn⋂i=1

Ai.



Propoziţie

Fie X o mulţime nevidă, B ∈ P(X) şi {Ai}i∈I ⊆ X. Atunci au loc următoarele:i) Ai ⊆

⋃i∈IAi şi

⋂i∈IAi ⊆ Ai, pentru orice i ∈ I;

ii) B ∩(⋃i∈IAi

)=⋃i∈I

(B ∩Ai); B ∪(⋂i∈IAi

)=⋂i∈I

(B ∪Ai);

iii) X \(⋂i∈IAi

)=⋃i∈I

(X \Ai); X \(⋃i∈IAi

)=⋂i∈I

(X \Ai).

Pentru un număr finit de mulţimi nevide {Ai | i ∈ 1, n}, produsul cartezian almulţimilor Ai este definit prin

A1 ×A2 × ...×An = {(a1, a2, ..., an) | a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, ..., an ∈ An}.

Dacă A1 = A2 = ... = An = A, atunci vom nota A1 ×A2 × ...×An cu An


Structura cursului





Relaţii

Definiţie

Fie A şi B două mulţimi.

O submulţime R ⊆ A×B se numeşte relaţie (binară) ı̂ntre elementele lui A şielementele lui B.

Terminologie:

Dacă R ⊆ A×B şi (x, y) ∈ R, unde x ∈ A şi y ∈ B, atuncispunem că x este ı̂n relaţia R cu y;

vom nota xRy.


Relaţii

Definiţie

Fie A şi B două mulţimi nevide şi relaţia binară R ⊆ A×B.Se numeşte domeniul relaţiei R, mulţimea

Dom(R) := {x ∈ A | ∃y ∈ B : xRy};

Se numeşte imaginea (codomeniul) relaţiei R, mulţimea

Im(R) := {y ∈ B | ∃x ∈ A : xRy}.

Se numeşte inversa relaţiei R, relaţia de la B la A definită prin

R−1 := {(y, x) ∈ B ×A | xRy}.


Relaţii

Exerciţiu:

Fie A = {1, 2, 3} şi B = {4, 5} şi fie relaţiile R = {(1, 5), (2, 4), (3, 4)} şiS = {(1, 4), (1, 5)}. Să se determine Dom(R),Dom(S), Im(R), Im(S),R−1, S−1.

Soluţie:

Dom(R) = {1, 2, 3} = A, Dom(S) = {1},

Im(R) = {4, 5} = B, Im(S) = {4, 5} = B,

R−1 = {(5, 1), (4, 2), (4, 3)} S−1 = {(5, 1), (4, 1)}.


Relaţii

Definiţie

Fie A,B,C mulţimi nevide şi fie R ⊆ A×B şi S ⊆ B × C.Compusa relaţiilor S şi R, este relaţia de la A la C definită prin

S ◦R = {(x, z) ∈ A× C | ∃y ∈ B : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}.

Exerciţiu:

Fie A = {1, 2} şi B = {3, 4, 5} şi fie relaţiile R = {(1, 5), (2, 3), (2, 4)} şiS = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}. Să se determine S ◦R,R ◦ S,R ◦R−1.Soluţie: R ⊆ A×B iar S ⊆ B ×A, rezultă că S ◦R ⊆ A×A.S ◦R = {(x, z) ∈ A×A | ∃y ∈ B : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}(1, 5) ∈ R, ı̂nsă ı̂n S nu avem nici o pereche cu prima componenta 5;(2, 3) ∈ R⇒ (3, 1), (3, 2) ∈ S ⇒ (2, 1), (2, 2) ∈ S ◦R;(2, 4) ∈ R⇒ (4, 1), (4, 2) ∈ S ⇒ (2, 1), (2, 2) ∈ S ◦R;Rezultă S ◦R = {(2, 1), (2, 2)}Similar, R ◦ S ⊆ B ×B,R ◦ S = {(3, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 5), (4, 3), (4, 4)}R−1 = {(5, 1), (3, 2), (4, 2)} ⊆ B ×A,R ◦R−1 = {(5, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}.


Relaţii

Definiţie

Fie A o mulţime. Numim identitate pe A, relaţia 1A := {(x, x) | x ∈ A}.

Definiţie

Fie A o mulţime nevidă şi fie R ⊆ A×A o relaţie pe A. Spunem că R este:reflexivă dacă xRx,∀x ∈ A, adică 1A ⊆ R;simetrică dacă (xRy ⇒ yRx),∀x, y ∈ A, adică R−1 = R;antisimetrică dacă ((xRy ∧ yRx)⇒ x = y),∀x, y ∈ A, adicăR ∩R−1 = 1A;tranzitivă dacă ((xRy ∧ yRz)⇒ xRz),∀x, y, z ∈ A, altfel scris R ◦R ⊆ R.


Relaţii

Definiţie

Fie A o mulţime nevidă şi fie R ⊆ A×A. Spunem că R este o relaţie deechivalenţă pe A dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă.

Definiţie

Fie R o relaţie de echivalenţă pe mulţimea A.Clasa de echivalenţă a elementului x ∈ A este mulţimea

[x]R = x̂R := {y ∈ A | xRy}.

Mulţimea claselor de echivalenţă determinate de R, se numeşte mulţime cât şi senotează

A/R = {[x]R | x ∈ A}.

Exerciţiu: Considerăm pe mulţimea R \ {0} relaţia xρy ⇔ x · y > 0. Arătaţi că ρeste o relaţie de echivalenţă şi determinaţi clasele de echivalenţă [x]ρ.


Exerciţiu: Considerăm pe mulţimea R \ {0} relaţia xρy ⇔ x · y > 0. Arătaţi că ρeste o relaţie de echivalenţă şi determinaţi clasele de echivalenţă [x]ρ.


Relaţii

Definiţie

Fie R ⊆ A×A. Spunem că:i) R este o relaţie de ordine (parţială) pe A dacă este reflexivă, antisimetrică

şi tranzitivă;

ii) R este o relaţie de preordine pe A dacă este reflexivă şi tranzitivă;

iii) O relaţie de ordine R se numeşte totală dacă are loc

xRy ∨ yRx,∀x, y ∈ A;

iv) Dacă A este o mulţime şi R este o relaţie de preordine/ordine/ordine totalăpe A, atunci perechea (A,R) se numeşte mulţime preordonată/ordonată/total ordonată.

Notaţie:

relaţiile de ordine le vom nota prin: ≤,�, etc.,Dacă � este o relaţie de preordine pe A, atunci ≺ va nota relaţia � \1A,adică x ≺ y ⇒ (x � y) ∧ (x 6= y),∀x, y ∈ A.


Relaţii

Definiţie

Fie o mulţime ordonată (A,�) şi B ⊆ A o mulţime nevidă.i) Un element x ∈ A se numeşte majorant pentru B dacă y � x, ∀y ∈ B.ii) Un element x ∈ A se numeşte minorant pentru B dacă x � y,∀y ∈ B.iii) Dacă B admite minorant, majorant sau ambii, spunem că B este mărginită

inferior, mărginită superior, respectiv mărginită.

iv) Dacă x ∈ A este un minorant pentru A, atunci x se numeşte cel mai micelement al lui A şi se notează cu minRA.

v) Dacă y ∈ A este un majorant pentru A, atunci y se numeşte cel mai mareelement al lui A şi se notează cu maxRA.


Mulţimea numerelor reale

Definiţie

Se numeşte mulţime de numere reale o mulţime R, ı̂nzestrată cu două operaţiialgebrice: + (adunarea) şi · (̂ınmulţirea), precum şi cu o relaţie de ordine: ≤, ı̂nraport cu care sunt ı̂ndeplinite următoarele trei grupe de axiome:

I. (R,+, ·) este un corp comutativ , adică au loc:(+1) x+ (y + z) = (x+ y) + z, ∀x, y, z ∈ R;(+2) ∃0 ∈ R,∀x ∈ R : x+ 0 = 0 + x = x;(+3) ∀x ∈ R, ∃ (−x) ∈ R : x+ (−x) = (−x) + x = 0;(+4) x+ y = y + x, ∀x, y ∈ R;(×1) (x · y) · z = x · (y · z), ∀x, y, z ∈ R;(×2) ∃ 1 ∈ R : x · 1 = 1 · x = x, ∀x ∈ R;(×3) ∀x ∈ R \ {0}, ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = x−1 · x = 1;(×4) x · y = y · x, ∀x, y ∈ R;

(D) x · (y + z) = x · y + x · z, ∀x, y, z ∈ R;


Definiţie (continuare)

II. (R,+, ·,≤) este un corp total ordonat , adică:(O1) x ≤ x,∀x ∈ R;(O2) (x ≤ y) ∨ (y ≤ x), ∀x, y ∈ R;(O3) ((x ≤ y) ∧ (y ≤ x))⇒ x = y, ∀x, y ∈ R;(O4) ((x ≤ y) ∧ (y ≤ z))⇒ x ≤ z, ∀x, y, z ∈ R;(O5) x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z, ∀x, y, z ∈ R;(O6) ((x ≤ y) ∧ (0 ≤ z)) ⇒ x · z ≤ y · z, ∀x, y, z ∈ R;

III. (Axioma de completitudine Cantor-Dedekind) Orice submulţime nevidă şimajorată A ⊆ R admite o cea mai mică margine superioară (numită sup) ı̂nR.

Pentru x, y ∈ R, definim următoarele operaţii auxiliare:scăderea:

x− y := x+ (−y), x, y ∈ R;

ı̂mpărţireax

y:= x · (y−1), x ∈ R, y ∈ R \ {0}.


Mulţimea numerelor reale

Observaţie:

Plecând de la mulţimea numerelor reale, se pot construi următoarele mulţimi

Mulţimea numerelor naturale:

N = {0, 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, . . .} = {0, 1, 2, 3, 4, . . .};

Mulţimea numerelor ı̂ntregi:

Z = N ∪ {−n | n ∈ N};

Mulţimea numerelor raţionale:

Q = {x · y−1 | x ∈ Z, y ∈ Z∗}

Aşadar, ı̂ntre submulţimile remarcabile ale lui R, avem următoarele relaţii

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.


Valoarea absolută a unui număr real

Definiţie

Pentru x ∈ R, definim valoarea absolută a lui x prin

|x| =

{x, x ≥ 0,

−x, x < 0.

Propoziţie

Au loc următoarele proprietăţi:

i) |x| ≥ 0,∀x ∈ R; iii)|x · y| = |x| · |y|,∀x, y ∈ R;

ii) |x| = 0⇔ x = 0, ∀x ∈ R; iv)|x+ y| ≤ |x|+ |y|,∀x, y ∈ R.


Supremum şi infimum

TeoremaFie A o submulţime nevidă a lui R.1. Un element α ∈ R este margine superioară (sup) a mulţimii A, dacă şi

numai dacă:

(i) x ≤ α, ∀ x ∈ A;(ii) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel ı̂ncât α− ε < xε.

2. Un element β ∈ R este margine inferioară (inf) a mulţimii A, dacă şi numaidacă:

(i) β ≤ x, ∀ x ∈ A;(ii) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel ı̂ncât xε < β + ε.

Observaţie:Dacă a, b ∈ R cu a < b, atunci

sup[a,b] = sup[a,b) = sup(a,b] = sup(a,b) = b

inf[a,b] = inf[a,b) = inf(a,b] = inf(a,b) = a


Dreapta reală extinsă

Cum nu orice submulţime a lui R posedă o margine superioară şi o margineinferioară, vom considera două simboluri, numite plus infinit şi minus infinit,notate cu +∞ şi respectiv −∞. Vom nota prin

R = R ∪ {−∞,+∞}

şi vom numi această mulţime, dreapta reală extinsă .Vom prelungi ordinea uzuală a lui R la R, astfel

−∞ < x, x < +∞, −∞ < +∞,∀x ∈ R

Vom considera lipsite de sens, fiind nedeterminate, operaţiile următoare:

(+∞) + (−∞), (+∞)− (+∞), (−∞) + (+∞), (−∞)− (−∞),

0 · (−∞), 0 · (+∞), (+∞) · 0, (−∞) · 0, ±∞±∞

Elucidarea sensului acestor operaţii are loc, de regulă, pe seama expresiilor dincare provin.


Structura cursului





Funcţii

Definiţie

Fie A şi B două mulţimi nevide.O relaţie f ⊆ A×B se numeşte funcţie (sau relaţie funcţională) dacă satisfaceurmătoarele condiţii:

1) Dom(f) = A (altfel scris, ∀x ∈ A,∃y ∈ B, astfel ı̂ncât (x, y) ∈ f);2) (x, y) ∈ f şi (x, z) ∈ f ⇒ y = z, ∀x ∈ A, ∀y, z ∈ B.

Vom nota funcţia f ⊆ A×B, astfel f : A→ B.

Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei f , iar mulţimea B senumeşte codomeniul lui f .

Din definiţia de mai sus rezultă că pentru orice x ∈ A există un unic y ∈ B astfelı̂ncât (x, y) ∈ f. Elementul y se numeşte imaginea lui x prin f , şi se notează f(x).


Funcţii

Definiţie

i) Se numeşte graficul funcţiei f : A→ B, mulţimea Gf ⊆ A×B definită prin

Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A}.

ii) Spunem că două funcţii f : A→ B şi g : C → D sunt egale dacă A = C,B = D şi f(x) = g(x), ∀x ∈ A = C.


Funcţii

Definiţie

Fie funcţia f : A→ B.a) Dacă C ⊆ A, atunci funcţia f|C := f ∩ (C ×B) (adică

f|C(x) = f(x), ∀x ∈ C), se numeşte restricţia lui f la mulţimea C.b) Dacă C ⊆ A, atunci numim imagine a mulţimii C prin f , mulţimea

f(C) = {y ∈ B | ∃x ∈ C : y = f(x)}.

c) Dacă D ⊆ B, atunci numim preimaginea lui D prin f (sau imagineainversă) mulţimea

f−1(D) = {x ∈ A | ∃y ∈ D : y = f(x)}.


Funcţii

Definiţie

Fie A o mulţime nevidă. Funcţia 1A : A→ A definită prin

1A(x) = x, ∀x ∈ A

se numeşte funcţia identică.

Definiţie

Fie A şi B două mulţimi nevide. Atunci funcţia f : A→ B se numeşte:i) injectivă dacă ∀x, y ∈ A, f(x) = f(y)⇒ x = y;ii) surjectivă dacă Im(f) = B (altfel scris, ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y);iii) bijectivă dacă f este injectivă şi surjectivă;

iv) inversabilă dacă există g : B → A astfel ı̂ncât g ◦ f = 1A şi f ◦ g = 1B .Dacă există funcţia g, acesta se numeşte inversa lui f şi se notează cu f−1.


Funcţii

Propoziţie

Fie f : A→ B şi g : B → C două funcţii.i) Dacă f şi g sunt injective, atunci g ◦ f este injectivă;ii) Dacă f şi g sunt surjective, atunci g ◦ f este surjectivă;ii) Dacă f şi g sunt bijective, atunci g ◦ f este bijectivă;ii) Dacă g ◦ f este injectivă, atunci f este injectivă;ii) Dacă g ◦ f este surjectivă, atunci g este surjectivă.

Propoziţie

O funcţie f : A→ B este bijectivă dacă şi numai dacă este inversabilă.În acest caz, f−1 : B → A, şi f ◦ f−1 = 1B şi f−1 ◦ f = 1A.


Funcţii. Funcţia caracteristică

Definiţie

Fie X o mulţime nevidă şi A ⊆ X. Se numeşte funcţie caracteristică(indicatoare) a mulţimii A, funcţia χA : X → {0, 1} definită prin

χA(x) ={

1, x ∈ A0, x /∈ A.

Dacă A = ∅, atunci χA ≡ 0.



Propoziţie

Fie X o mulţime nevidă şi fie A,B ⊆ X. Atunci au loc următoarele proprietăţi:i) χαA = χA, ∀α > 0;ii) A ⊆ B ⇔ χA ≤ χB ,iii) A = B ⇔ χA = χB ;iv) χCA = 1− χA;v) χA∩B = χA · χB ;vi) χA∪B = χA + χB − χA · χB ;vii) χA\B = χA − χA · χB ;viii) χA∆B = χA + χB − 2χA · χB .



Propoziţie

Fie X o mulţime nevidă şi fie A,B ⊆ X. Atunci au loc următoarele proprietăţi:i) χαA = χA, ∀α > 0;ii) A ⊆ B ⇔ χA ≤ χB ,iii) A = B ⇔ χA = χB ;iv) χCA = 1− χA;v) χA∩B = χA · χB ;vi) χA∪B = χA + χB − χA · χB ;vii) χA\B = χA − χA · χB ;viii) χA∆B = χA + χB − 2χA · χB .

Exerciţiu: Fie A,B,C trei mulţimi nevide. Demonstraţi cu ajutorul funcţieicaracteristice următoarele proprietăţi:

A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C);A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C);


Exerciţiu: Fie A,B,C trei mulţimi nevide. Demonstraţi cu ajutorul funcţieicaracteristice următoarele proprietăţi:

A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C);A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C);


Exemple de funcţii reale

1. Funcţii elementare de bază:I funcţia constantă: f : R→ R, cu f(x) = c, ∀x ∈ R, unde c ∈ R;I funcţia identitate: 1R : R→ R, 1R(x) = x, ∀x ∈ R ;I funcţia exponenţială de bază a, a > 0 : funcţia f : R→ R, f(x) = ax,∀x ∈ R;I funcţia logaritm de bază a > 0, a 6= 1: f : (0,∞)→ R, f(x) = loga x;I funcţia putere de exponent a ∈ R: f : D(f) ⊆ R→ R, f(x) = xa, ∀x ∈ R;I funcţii trigonometrice (directe): sin, cos, tg, ctg;

I funcţii trigonometrice inverse: arcsin, arccos, arctg, arcctg.

2. Funcţii elementare: adică o funcţie obţinută prin aplicarea uneia sau a maimultor operaţii de bază cu funcţiile elementare de bază: adunarea, scăderea,ı̂nmulţirea şi ı̂mpărţirea.



3. Funcţii speciale:

I funcţia parte ı̂ntreagă: f : R→ R, f(x) = [x] def= sup {n ∈ Z | n ≤ x};

I funcţia parte fracţionară: f : R→ R definită de f(x) = {x} = x− [x];

I funcţia semn: f : R→ R definită de f(x) = sgn(x) =

−1, x < 00, x = 01, x > 0

;

I funcţia valoare absolută: f : R→ R, definită de

f(x) = |x| ={−x, x < 0x, x ≥ 0 ;



3. Funcţii speciale:

I funcţia parte pozitivă: f : R→ R, definită de f(x) = x+ ={x, x ≥ 00, x < 0

;

I funcţia parte negativă: f : R→ R, definită de f(x) = x− ={

0, x ≥ 0−x, x < 0 ;

I funcţia lui Dirichlet: f : R→ R, definită de f(x) ={

1, x ∈ Q0, x ∈ R \ Q ;

I funcţia lui Heaviside: f : R→ R, definită de f(x) ={

0, x < 01, x ≥ 0 ;

I funcţia lui Riemann, f : [0, 1]→ R,

f(x) =

0, dacă x = 0 sau x ∈ (0, 1] \ Q1q, x =

p

q∈ (0, 1] ∩Q, (p, q) = 1 .


Bibliografie

A. Precupanu, Bazele analizei Matematice, Editura Universităţii “Al. I.Cuza”, Iaşi, 1993.

F.L. Ţiplea, Introducere ı̂n teoria mulţimilor, Editura Universităţii “Al. I.Cuza”, Iaşi, 1998.

M. Postolache, Analiză matematică (teorie şi aplicaţii), Editura Fair Partners,Bucureşti, 2011.

G. Bergman, An Invitation to General Algebra and Universal Constructions,Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708 1998, 398, pp. 45.(http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/)

G. O’Regan, Mathematics in Computing, Springer Verlag, London, 2013.


http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/

MultimiCe este o multime?Operatii cu multimi

RelatiiDefinitie. ProprietatiRelatii de echivalentaRelatii de ordineMultimea numerelor reale

FunctiiDefinitie. ProprietatiExemple de functii

mult˘imi. relat˘ii. funct˘iiandreea.arusoaie/mate20-21/... · 2020. 11. 11. · nota nal a va...

Documents