multikolinieritas dalam regresi linier skripsi · multicollinearity in linear regression. thesis....

i

MULTIKOLINIERITAS DALAM REGRESI LINIER

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Maria Ursula

NIM: 091414084

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2013

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iv

LEMBAR PERSEMBAHAN

Tulisan ini dipersembahkan untuk mereka yang ku cintai

Teruntuk:

TUHAN YESUS KRISTUS yang selalu ada saat penulis

membutuhkan pertolongan-Nya

Bapak , Mamak, dan adik tercinta yang selalu dan tak pernah lelah

memberi dorongan dan motivasi selama penulisan skripsi ini

Teman-teman yang tak pernah lelah memberi semangat dan motivasi

serta kesabaran dalam mendengar keluh kesah penulis selama

penulisan skripsi ini

Almamater Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

MOTTO HIDUP

"Kegagalan adalah sesuatu yang bisa kita hindari dengan; tidak

mengatakan apa-apa, tidak melakukan apa-apa dan tidak menjadi

apa-apa."

-Denis Waitley

“Saya telah menemukan paradoks, yaitu bahwa jika kamu mengasihi

sampai kamu tersakiti, maka tidak akan ada lagi sakit hati,

hanya ada lebih banyak kasih.”

- Bunda Theresa


http://katakatamutiarabijak.com/bunda-teresa/

vi

ABSTRAK

Maria Ursula, 2013. Multikolinieritas dalam Regresi Linier. Skripsi. Program

Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.

Multikolinieritas merupakan salah satu pelanggaran asumsi di mana

vektor-vektor kolom dari matriks 𝑿 yaitu 𝑋1 ,𝑋2 ,… ,𝑋𝑛 saling tak bebas linier.

Multikolinieritas itu sendiri terbagi dua, yaitu multikolinieritas sempurna dan

multikolinieritas tidak sempurna. Multikolinieritas sempurna adalah suatu kondisi

di mana variabel-variabel bebas berkorelasi secara sempurna, dengan kondisi

sebagai berikut:

𝝀1𝑋1 + 𝝀2𝑋2 + 𝝀3𝑋3 + ⋯+ 𝝀𝑘𝑋𝑘 = 0

Sedangkan multikolinieritas tidak sempurna adalah suatu kondisi di mana

variabel-variabel bebas berkorelasi tetapi tidak secara sempurna, dengan kondisi

sebagai berikut:

𝝀1𝑋1 + 𝝀2𝑋2 + ⋯+ 𝝀𝑘 + 𝑣𝑖 = 0

Di mana 𝑣 merupakan variabel gangguan.

Terjadinya multikolinieritas dalam regresi menyebabkan beberapa hal

yaitu, jika terjadi multikolinieritas sempurna penaksir parameter-parameter regresi

tidak dapat ditentukan, jika multikolinieritas tidak sempurna, penaksir parameter-

parameter regresi masih bisa ditentukan namun dengan tingkat keakuratan yang

rendah.

Multikolinieritas dapat dideteksi dengan cara menguji nilai t dan F, serta

memeriksa nilai VIF. Masalah multikolinieritas ini dapat diperbaiki dengan cara

menggunakan informasi apriori, menggabungkan data cross section dan data time

series, menghilangkan variabel yang berkolinier, dan transformasi variabel.

Kata kunci : Multikolinieritas, Regresi, Regresi Linier, Pelanggaran Asumsi.


vii

ABSTRACT

Maria Ursula, 2013. Multicollinearity in Linear Regression. Thesis.

Mathematics Education, Department of Mathematics and Natural Sciences,

Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University,

Yogyakarta.

Multicollinearity is a one of infringement of assumption where the column

vectors from matrix 𝑿 namely 𝑋1 ,𝑋2 ,… ,𝑋𝑛 not mutually linearly independent.

Multicollinearity itself is divided into two, namely perfect multicollinearity and

not perfect multicollinearity. Perfect multicollinearity is a condition, in which the

independent variables are completely correlated, with the following conditions:

𝝀1𝑋1 + 𝝀2𝑋2 + 𝝀3𝑋3 + ⋯+ 𝝀𝑘𝑋𝑘 = 0

Whereas not perfect multicollinearity is a condition in which the

independent variables are correlated yet incompletely, with the following

conditions:

𝝀1𝑋1 + 𝝀2𝑋2 + ⋯+ 𝝀𝑘𝑋𝑘 + 𝑣𝑖 = 0

In which 𝑣 is a variable interference.

The occurrence of multicollinearity in regression causes some cases, if

happen then perfect multicollinearity estimating regression parameters can not be

determined. While the not perfect one, the regression parameters estimator can

still be determined, but with a low level of accuracy.

Multicollinearity can be detected by testing the value of t and F, as well as

examining the value of VIF. Multicollinearity problem can be corrected by using

apriori information, combining cross section and time series data, eliminating

collinear variable, and variable transformation.

Keywords : Multicollinearity, Regression, Linear Regression, infringement of

assumption.


viii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas

berkat, rahmat dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

yang berjudul “Multikolinieritas dalam Regresi Linier” sebagai salah satu

syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd) pada Fakultas

Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa sejak awal masa perkuliahan hingga masa

penyusunan skripsi ini, penulis telah mendapatkan bimbingan, bantuan dan

pengarahan dari berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, M.Si sebagai dosen pembimbing skripsi atas

kesediaan memberikan pengajaran, bimbingan, masukkan, kritik dan saran

selama penyusunan skripsi.

2. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma.

3. Bapak Dr. Marcellinus Andi Rudhito, S.Pd , selaku Ketua Program Studi

Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma.

4. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

5. Bapak Hongki Julie, S.Pd., M.Si., yang telah banyak membantu penulis dalam

penulisan skripsi ini.

6. Bapak Drs. Sukardjono, M.Pd., dan Bapak D. Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si.,

yang telah menjadi dosen penguji skripsi, terimakasih atas saran dan

bimbinganna selama ini.

7. Segenap dosen Pendidikan Matematika Sanata Dharma atas segala pengajaran

dan bimbingannya selama perkuliahan.

8. Bu Henny, Pak Sugeng, dan Mas Arif yang telah memberikan pelayanan

administrasi selama penulis kuliah.

9. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang memberikan fasilitas dan

kemudahan kepada penulis.


ix

10. Bapak Petrus Rimau, mamak Yusta Fatmawati., adikku tersayang (Leonardus

Perta Morizia) yang selalu memberikan doa, semangat, dukungan dan

perhatian selama proses penyusunan skripsi.

11. Yeremia Wedaring Asmoro sebagai sahabat dan rekan kerja selama

penyusunan skripsi atas dukungan, kerjasama, semangat dan doanya.

12. Chintya, Hellen, sebagai sahabat-sahabat terbaik yang selalu memberi

dukungan dan semangat selama penyusunan skripsi.

13. Semua teman-teman PMAT USD atas kebersamaannya selama kuliah S1 di

prodi pendidikan matematika Universitas Sanata Dharma.

14. Teman-teman Kos Odilia (Kak Lina, Menik, Siska, Ecik, Nover, Stefani, Desi,

Gesti, Maya, Vita, Mita, Neno dan Mega) atas dukungan, bantuan dan

kebersamaannya selama tinggal di Yogyakarta.

15. Semua pihak yang penulis tidak dapat sebutkan satu persatu yang turut

membantu selama penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih kurang kesempurnaan, oleh sebab itu

penulis mengharapkan kesediaan pembaca untuk memberikan kritik dan saran

yang membangun. Akhir kata, semoga segala informasi yang ada dalam skripsi ini

dapat bermanfaat bagi pembaca.

Penulis


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii

LEMBAR PERSEMBAHAN ........................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................ v

ABSTRAK ................................................................................................... vi

ABSTRACT ................................................................................................. vii

KATA PENGANTAR .................................................................................. viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .............. x

DAFTAR ISI ................................................................................................ xi

DAFTAR TABEL ........................................................................................ xiii

BAB I. PENDAHULUAN ............................................................................ 1

A. Latar Belakang .................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................. 3

C. Batasan Masalah................................................................................ 4

D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 4

E. Metode Penulisan .............................................................................. 4

F. Sistematika Penulisan ....................................................................... 5

BAB II. LANDASAN TEORI ...................................................................... 6

A. KONSEP – KONSEP STATISTIK.................................................... 6

B. PROBABILITAS .............................................................................. 10

C. MATRIKS ........................................................................................ 20


xii

BAB III. REGRESI LINIER ......................................................................... 33

A. ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA ................................. 34

B. ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA ................................... 60

C. PENGUJIAN HIPOTESIS ................................................................ 90

BAB IV. MULTIKOLINIERITAS................................................................ 95

A. KONSEKUENSI MULTIKOLINIERITAS ....................................... 98

B. PENDETEKSIAN MULTIKOLINIERITAS ..................................... 103

C. LANGKAH – LANGKAH PERBAIKAN ......................................... 107

BAB V. KESIMPULAN ............................................................................... 125

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 128

LAMPIRAN ................................................................................................. 129


xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Tabel Percobaan Pelemparan Dua Buah Mata Uang Logam ........... 11

Tabel 2.2 Tabel Distribusi Peluang Percobaan Pelemparan Sepasang Dadu ... 13

Tabel 4.1 Data Mobil Penumpang ............................................................... 103

Tabel 4.2 Data tahun 1936 - 1952 ................................................................ 108

Tabel 4.3 Hasil pengkombinasian data time series dan cross section ........... 110

Tabel 4.4 Data hasil Pengeluaran Variabel .................................................. 113

Tabel 4.5 Data Belanja Konsumsi, Pendapatan, dan Waktu ......................... 116

Tabel 4.6 Data Hasil Transformasi Diferensial Pertama Sebagai ................. 118

Tabel 4.7 Data Hasil Transformasi Rasio .................................................... 122


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Istilah regresi pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911)

yang membandingkan tinggi badan anak laki-laki dengan tinggi badan ayahnya. Dia

mengamati setelah beberapa generasi, anak laki-laki dengan ayah yang postur

tubuhnya sangat tinggi cenderung lebih pendek dari ayahnya, sampai mendekati

suatu besaran tinggi badan tertentu, yang tidak lain adalah tinggi rata-rata seluruh

populasi tinggi anak laki-laki, atau tinggi anak laki-laki pada umumnya. Demikian

pula anak laki-laki dengan ayah yang postur tubuhnya sangat pendek, setelah

beberapa generasi cenderung lebih tinggi dari ayahnya, hingga mendekati rata-rata

seluruh populasi.

Dalam kehidupan sehari-hari sering juga dijumpai hubungan antara suatu

variabel dengan satu atau lebih variabel lain. Variabel yang dipengaruhi disebut

variabel terikat yang dilambangkan dengan Y, sedangkan variabel yang

mempengaruhi disebut variabel bebas yang dilambangkan dengan X. Contohnya

dalam bidang ekonomi, ingin diketahui hubungan antara pengeluaran bulanan dalam

satu keluarga dengan banyaknya pendapatan keluarga tersebut dalam satu bulan.

Dalam bidang pertanian, hubungan antara pupuk, jumlah air yang diberikan dengan


2

hasil panen, juga dalam bidang pendidikan, hubungan antara hasil tes inteligensi

dengan prestasi belajar siswa. Hubungan-hubungan seperti ini dikenal dengan nama

regresi. Hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat ini bentuknya bisa linier

ataupun polynomial. Dalam penulisan ini hanya akan dibahas regresi linier.

Analisis regresi yang linier terbagi menjadi dua, yaitu analisis regresi

sederhana dan analisis regresi berganda. Analisis regresi sederhana dimodelkan

dengan bentuk sebagai berikut:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜀𝑖

Sedangkan analisis regresi berganda dimodelkan dalam bentuk matriks sebagai

berikut:

𝒀 = 𝑿𝜷+ 𝜺

Di mana:

𝒀 =

𝑌1𝑌2⋮⋮𝑌𝑛

𝑿 =

1 𝑋11 𝑋21 ⋯ 𝑋𝑘1

1 𝑋12 𝑋22 ⋯ 𝑋𝑘2

⋮⋮1

⋮⋮

𝑋1𝑛

⋮⋮

𝑋2𝑛

⋮⋮⋯

⋮⋮

𝑋𝑘𝑛

𝜷 =

𝛽0𝛽1𝛽2⋮⋮𝛽𝑘

dan 𝜺 =

𝜀1𝜀2⋮⋮𝜀𝑛

𝒀 = vektor variabel tak bebas berordo 𝑛 × 1

𝑿 = matriks variabel bebas berordo 𝑛 × (𝑘 + 1)

𝜷 = vektor parameter yang tidak diketahui berordo (𝑘 + 1) × 1

𝜺 = vektor gangguan berordo 𝑛 × 1


3

Dari model tersebut ingin dicari parameter-parameter regresinya. Karena tidak

mungkin untuk memperoleh data populasi maka yang dicari adalah penaksir

parameternya saja. Dalam mencari penaksir parameter-parameter tersebut diperlukan

beberapa asumsi yang mendasari.

Ada beberapa asumsi yang mendasari penaksiran parameter-parameter

regresi, salah satunya adalah tidak adanya multikolinieritas. Pelanggaran asumsi tidak

adanya multikolinieritas ini akan menyebabkan beberapa hal dalam regresi, salah

satunya yaitu penaksir parameter-parameter regresi tidak dapat dicari. Jika parameter-

parameter regresi tidak dapat ditentukan, akibatnya model juga tidak dapat

ditentukan. Oleh karena beberapa hal tersebut, multikolinieritas harus diatasi.

Berdasarkan latar belakang di atas penulis memilih judul “Multikolinieritas

dalam Regresi Linier”.

B. Rumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan multikolinieritas dan apa konsekuensi dari

multikolinieritas?

2. Bagaimana mendeteksi multikolinieritas?

3. Bagaimana memperbaiki model regresi yang terkena multikolinieritas?


4

C. Batasan Masalah

Dalam penulisan ini, penulis hanya akan membahas model regresi yang linier, dengan

variabel terikat Y dengan variabel bebas X. Dalam penulisan ini, dalam mendeteksi

multikolinieritas hanya menggunakan uji t , uji F, dan memeriksa nilai VIF. Untuk

langkah-langkah perbaikan penulis hanya akan membahas langkah-langkah perbaikan

dengan informasi apriori, menggabungkan data cross section dan data time series,

mengeluarkan sebuah variabel, transformasi variabel, dan penambahan data baru.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang akan dicapai dalam penulisan ini adalah:

1. Memahami pengertian dari multikolinieritas dan memahami konsekuensi dari

multikolinieritas.

2. Memahami cara-cara mendeteksi multikolinieritas.

3. Memahami langkah-langkah perbaikan model regresi yang mengalami masalah

multikolinieritas.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan makalah ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu

dengan menggunakan buku-buku pendukung yang berkaitan dengan regresi linier dan

multikolinieritas.


5

F. Sistematika Penulisan

Bab I menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan

sistematika penulisan.

Bab II menjelaskan tentang landasan teori yang menjadi dasar dari

penulisan skripsi ini.

Bab III menjelaskan tentang regresi linier sederhana, regresi linier

berganda, asumsi-asumsi yang mendasari penaksiran parameter regresi linier

sederhana, asumsi – asumsi yang mendasari penaksiran parameter-parameter regresi

linier berganda, dan pengujian hipotesis.

Bab IV menjelaskan tentang pengertian multikolinieritas, konsekuensi

adanya multikolinieritas, bagaimana mendeteksi multikolinieritas, dan langkah-

langkah perbaikan model regresi yang terkena multikolinieritas.

Bab V berisi kesimpulan .


6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. KONSEP-KONSEP STATISTIK

Dalam pembahasan mengenai regresi linier yang akan dibahas lebih dalam

pada bab III akan sering menggunakan konsep-konsep statistik. Oleh karena itu dalam

subbab ini akan dibahas terlebih dahulu mengenai konsep-konsep statistik di

antaranya adalah populasi dan sampel, variabel dan konstanta, distribusi, dan

distribusi sampel.

Dalam mempelajari statistika tidak lepas dari istilah data, karena statistika

itu sendiri adalah ilmu mengenai pengolahan data. Regresi sebagai bagian dari

statistika, dan multikolinieritas yang merupakan bagian dari regresi juga tidak lepas

dari pengolahan data. Data didalam statistika dapat dibedakan menjadi dua secara

umum, yaitu data populasi dan data sampel. Oleh karena itu penting untuk diketahui

istilah yang berkaitan dengan data, yakni istilah populasi dan sampel.

Definisi 2.1

Populasi adalah keseluruhan pengamatan atau obyek yang menjadi perhatian(Ronald

E. Walpole,1982).


7

Suatu populasi dikatakan terbatas bila banyaknya objek yang bisa diamati

terbatas. Suatu populasi dikatakan tidak terbatas bila banyaknya objek yang bisa

diamati tidak terbatas. Sifat-sifat populasi disebut parameter.

Definisi 2.2

Sampel adalah himpunan objek pengamatan yang dipilih dari populasi(Gunawan

Sumodiningrat,2012).

Banyaknya objek pengamatan dalam sampel disebut ukuran sampel. Sifat-

sifat sampel disebut statistik. Statistik adalah nilai yang diperoleh dari sampel dan

digunakan untuk menaksir nilai parameter.

Dalam model regresi dikenal adanya variabel bebas dan variabel terikat.

Selain itu akan sering dijumpai istilah variabel random dalam pembahasan mengenai

regresi linier. Untuk itu di dalam subbab ini, sebelum membahas mengenai pengertian

dari variabel bebas dan variabel terikat, terlebih dahulu dibahas mengenai pengertian

dari variabel itu sendiri. Tidak kalah pentingnya ketika mempelajari variabel, perlu

juga dipelajari mengenai istilah konstanta, karena umumnya persamaan matematik

juga melibatkan istilah konstanta tersebut.

Definisi 2.3

Variabel adalah suatu kuantitas homogen yang nilainya dapat berubah pada setiap

waktu yang berbeda(Gunawan Sumodiningrat,2012).


8

Variabel terbagi dua berdasarkan bisa atau tidaknya variasi dari variabel itu

dikendalikan, yaitu variabel random dan variabel nir-random. Variabel yang

variasinya tidak dapat dikendalikan disebut variabel random, sedangkan variabel yang

variasinya dapat dikendalikan disebut variabel nir-random.

Definisi 2.4

Variabel random ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap

unsur dalam ruang sampel(Ronald E Walpole dan Raymond H Mayers,1989).

Variabel random dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan

nilainya dinyatakan dengan huruf kecil, x. Pembahasan ini penting dalam

menjelaskan sifat variabel terikat Y di dalam analisis regresi linier, baik sederhana

maupun berganda. Variabel random terbagi lagi menjadi dua yaitu variabel diskrit

dan variabel kontinu.

Definisi 2.5

Konstanta adalah suatu besaran yang tidak berubah pada setiap waktu(Gunawan


Distribusi adalah konsep yang berkaitan dengan tata aturan data. Di dalam

mempelajari asumsi-asumsi dalam regresi akan dibicarakan mengenai bagaimana

distribusi dari variabel gangguan pada model regresi. Sebelum mempelajari hal


9

tersebut lebih dalam, maka dibahas terlebih dahulu mengenai hal-hal yang berkaitan

dengan distribusi. Distribusi terbagi dua yaitu distribusi frekuensi dan distribusi

probabilitas.

Definisi 2.6

Distribusi frekuensi adalah suatu bentuk penyajian nilai-nilai pengamatan dari suatu

variabel yang berasal dari sampel menurut tata aturan tertentu(Gunawan


Distribusi frekuensi dipelajari dengan cara menghitung rerata dan variannya.

Istilah rerata dan varian akan banyak digunakan di bab-bab selanjutnya.

Definisi 2.7

Distribusi probabilitas adalah suatu bentuk penyajian nilai-nilai pengamatan dari

suatu variabel yang berasal dari populasi menurut aturan tertentu(Gunawan


Variabel-variabel di dalam populasi memiliki distribusi tertentu, oleh sebab

itu setiap nilai dari suatu variabel memiliki probabilitas kejadian tertentu. Setiap nilai

dari suatu variabel ini memiliki sifat random. Seperti halnya distribusi frekuensi

dipelajari dengan mencari rerata dan variannya maka distribusi probabilitas dipelajari

dengan cara menghitung nilai harapan dan variannya.


10

B. PROBABILITAS

Seperti yang telah dipaparkan sebelumnya, bahwa di dalam penaksiran

parameter-parameter regresi di dasari beberapa asumsi, salah satunya adalah variabel

gangguan berdistribusi normal. Pada bagian ini akan dibahas mengenai pengertian

dari distribusi normal. Namun sebelum membahas mengenai distribusi normal, akan

dibahas terlebih dahulu mengenai fungsi probabilitas, distribusi probabilitas, baru

setelah itu dibahas mengenai distribusi normal.

Fungsi probabilitas yang akan dipelajari pada subbab ini juga terbagi dua,

yaitu fungsi probabilitas variabel random diskrit dan fungsi probabilitas variabel

random kontinu.

Jika X adalah variabel random diskrit dengan nilai-nilai : 𝑥1,𝑥2, 𝑥3,… , 𝑥𝑛

yang sesuai dengan probabilitas : 𝑓 𝑥1 , 𝑓(𝑥2), 𝑓(𝑥3),… , 𝑓(𝑥𝑛) maka himpunan

pasangan:

𝑥1 ............... 𝑓 𝑥1

𝑥2 .............. 𝑓(𝑥2)

𝑥3 .............. 𝑓(𝑥3)

𝑥𝑛 .............. 𝑓(𝑥𝑛)

disebut fungsi probabilitas diskrit X.

Misalkan dalam pelemparan dua buah mata uang logam sebanyak dua kali.

Banyaknya gambar atau angka yang muncul dalam setiap kali pelemparan dapat


11

dianggap sebagai variabel random X. Kemungkinan hasil pelemparan dua buah mata

uang tersebut dinyatakan dalam tabel berikut:

Tabel 2.1: Tabel Percobaan Pelemparan Dua Buah Mata Uang Logam

Hasil Lemparan Banyaknya Gambar Probabilitas dari (X) : f(x)

Angka, Angka 0 ¼

Gambar, Gambar 2 ¼

Angka, Gambar 1 ¼

Gambar, Angka 1 ¼

Fungsi probabilitas merupakan grafik yang menggambarkan hubungan

antara X dan f(x), untuk X suatu variabel diskrit.

Jika sebuah variabel random adalah variabel kontinu dalam intervalnya

terdapat sejumlah nilai-nilai yang banyak sekali (tidak terbatas). Distribusi

probabilitas untuk variabel kontinu berupa sebuah fungsi kontinu dari variabel

random, dan disebut fungsi probabilitas density.

Selanjutnya, jika X adalah sebuah variabel random kontinu, maka

probabilitas nilai X dalam interval dari a sampai b adalah:

𝑝 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑(𝑥)𝑏

𝑎


12

Di mana f(x) adalah fungsi probabilitas density. Integral dari 𝑥1 ke 𝑥𝑛 dalam kasus

variabel kontinu analog dengan penjumlahan probabilitas dalam kasus variabel

diskrit. Oleh karena probabilitas X akan memiliki semua nilai sama dengan 1 maka:

𝑝 −∞ < 𝑥 < ∞ = 𝑓 𝑥 𝑑(𝑥)∞

−∞

= 1

Kemudian probabilitas X mempunyai nilai kurang dari atau sama dengan 𝑥0 tertentu

adalah:

𝑝 −∞ < 𝑥 < 𝑥0 = 𝐹 𝑥0 = 𝑓 𝑥 𝑑(𝑥)𝑥0

−∞

Di mana F mencerminkan probabilitas kumulatif dari X.

Seperti halnya fungsi probabilitas yang terbagi menjadi fungsi probabilitas

diskrit dan fungsi probabilitas kontinu, distribusi probabilitas yang akan dipelajari

pada subbab ini terbagi dua yaitu, distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang

kontinu.

Definisi 2.8

Distribusi peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua

kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnya(Gunawan


Contoh 2.1

Tentukan distribusi peluang bagi jumlah bilangan bila sepasang dadu dilemparkan.


13

Penyelesaian:

Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan jumlah bilangan dari kedua dadu

tersebut. Maka X dapat mengambil sembarang nilai bulat dari 2 sampai 12. Dua dadu

dapat mendarat dalam 36 cara, masing-masing dengan peluang 1

36. 𝑃 𝑋 = 3 =

2

36,

karena jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara. Dengan memperhatikan

kemungkinan nilai-nilai lainnya. Distribusi peluang yang diperoleh adalah sebagai

berikut:

Tabel 2.2: Tabel Distribusi Peluang Percobaan Pelemparan Sepasang Dadu

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X = x) 1

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36

Pada distribusi peluang kontinu, tidak mungkin menyajikan semua

kemungkinan data dengan menggunakan tabel. Misalnya ingin diketahui peluang

mengambil secara acak orang yang tingginya tepat 164 cm, di antara orang yang

berusia di atas 21 tahun. Peluang mengambil secara acak orang yang tingginya tepat

164 cm bernilai nol. Hal ini dikarenakan ambilah contoh di antara angka 163.5 dan

164.5 terdapat tak hingga banyaknya ukuran tinggi, dan hanya satu yang tepat 164

cm. Sehingga peluang mengambil secara acak orang yang tingginya 164 cm di antara

tak hingga ukuran tinggi dinilai nol.

Distribusi probabilitas memiliki beberapa sifat yang penting diantaranya

adalah rerata hitung dan varian. Rerata hitung biasanya disebut sebagai nilai harapan.


14

Dalam pembahasan mengenai regresi linier akan dicari nilai harapan dari variabel Y

berdasarkan nilai dari variabel X tertentu, untuk itu terlebih dahulu dipelajari

mengenai nilai harapan itu sendiri.

Definisi 2.10

misalkan bahwa suatu variabel random X mempunyai distribusi diskrit dengan fungsi

peluang (f.p) dari x adalah f. Nilai harapan dari X, ditulis dengan lambang E(X),

adalah suatu jumlah yang didefinisikan sebagai berikut:

E(X) = 𝑥𝑓(𝑥)𝑥 (2.10.1)

𝑥 𝑓(𝑥)𝑥 < ∞ (2.10.2)

(Abdus Salam, 1989)

Definisi 2.11

jika sebuah Variabel Random X mempunyai suatu distribusi kontinu dengan

fungsi kepadatan peluang (f.d.p) dari X adalah f maka ekspektasi E(X) didefinisikan

sebagai berikut :

E(X) = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞ (2.3)

(Abdus Salam, 1989)


15

Teorema 2.1

Jika Y = aX + b , yang mana aX + b adalah konstanta maka E(Y) = aE(X) + b(Abdus

Salam, 1989).

Bukti :

E(Y) = E (aX + b)

= 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

= 𝑎 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞+ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞

−∞

E(Y) = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏

Definisi 2.12

Misalkan bahwa X adalah sebuah variabel random dengan mean 𝜇 = 𝐸(𝑋). Varians

dari X, ditulis dengan lambang Var(X), didefinisikan sebagai berikut:

Var(X) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)]2

(Abdus Salam,1989)

Sifat-sifat varians:

1. 𝐸(𝑋 − 𝜇)2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2

Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Diketahui 𝜇 = 𝐸(𝑋)

𝐸(𝑋 − 𝜇)2 = 𝐸(𝑋2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇2)


16

= 𝐸 𝑋2 − 2𝜇𝐸 𝑋 + 𝜇2

= 𝐸 𝑋2 − 2𝜇𝜇 + 𝜇2

= 𝐸 𝑋2 − 2𝜇2 + 𝜇2

= 𝐸 𝑋2 + 𝜇2

2. Jika 𝑋1 dan 𝑋2 adalah variabel random bebas, maka

𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑣𝑎𝑟( 𝑋2)

Bukti :

𝐸 𝑋1 = 𝜇1 dan 𝐸 𝑋2 = 𝜇2 maka

𝐸 𝑋1 + 𝑋2 = 𝜇1 + 𝜇2 , sehingga

𝑉𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 = 𝐸[(𝑋1 + 𝑋2 − 𝜇1 − 𝜇2)]2

= 𝐸[((𝑋1 − 𝜇1 ) + (𝑋2 − 𝜇2))2]

= 𝐸[(𝑋1 − 𝜇1 )2 + (𝑋2 − 𝜇2)2 + 2(𝑋1 − 𝜇1 )(𝑋2 − 𝜇2)

= Var(𝑋1) + 𝑉𝑎𝑟 𝑋2 + 2𝐸(𝑋1 − 𝜇1 )(𝑋2 − 𝜇2)

Karena 𝑋1 dan 𝑋2 bebas,

E[(𝑋1 − 𝜇2 ) (𝑋2 − 𝜇2)] = E(𝑋1 − 𝜇1 )E(𝑋2 − 𝜇2)

= (E𝑋1 − 𝜇1)(E𝑋2 − 𝜇2)


17

= (𝜇1 − 𝜇1)( 𝜇2 − 𝜇2)

= 0

Maka : 𝑉𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 = Var(𝑋1) + 𝑉𝑎𝑟 𝑋2

Kovarian antara dua peubah acak adalah suatu bentuk hubungan antara dua

peubah itu, misalkan apabila nilai X yang besar maka nilai Y juga besar, atau X kecil

maka nilai Y juga kecil. Hubungan yang semacam ini disebut hubungan yang positif.

Sebaliknya nilai X yang besar dengan Y yang kecil, atau X yang kecil maka Y

nilainya besar, maka hubungan demikian disebut hubungan yang negatif. Tanda

kovariansi (+ atau -) menunjukan seperti apa hubungan kedua peubah acak itu,

apakah positif ataukah negatif.

Definisi 2.13

Kovarians didefinisikan sebagai berikut:

𝜎𝑥𝑦 = 𝑋𝑖 − 𝐸(𝑋) 𝑌𝑖 − 𝐸(𝑌) 𝑝(𝑥𝑖,𝑦𝑖)𝑁𝑖=1 di mana

𝑋𝑖 = nilai variabel acak X ke-i

𝑌𝑖 = nilai variabel acak Y ke-i

𝑝 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 = probabilitas terjadinya 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖

𝑖 = 1,2,… ,𝑁

Selanjutnya akan dibahas mengenai distibusi normal. Distribusi normal

adalah distribusi yang terpenting dalam seluruh bidang statistika. Grafiknya

berbentuk lonceng, disebut kurva normal. Sebaran data di alam digambarkan dengan


18

cukup baik oleh kurva normal ini. Pengukuran fisik di bidang seperti percobaan

meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran suku cadang yang diproduksi

sering dengan baik dapat diterangkan menggunakan distribusi normal. Di samping itu

variabel gangguan dalam pengukuran ilmiah dapat dihampiri dengan baik oleh

distribusi normal. Semakin sangat banyak titik sampel dalam penelitian kita, maka

semakin data itu menghampiri normal.

Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss untuk menghormati Karl

Friedrish Gauss (1777-1855), yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti

variabel gangguan dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang

sama. Peubah acak kontinu yang kurvanya berbentuk lonceng disebut peubah acak

normal.

Definisi 2.9

Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan 𝜇 dan

variansi 𝜎2, ialah 𝑛 𝑥;𝜇,𝜎 =1

2𝜋𝜎𝑒−

1

2 (

𝑥−𝜇

𝜎)2

, − ∞ < 𝑥 < ∞ dengan 𝜋 =

3,14159… dan 𝑒 = 2,71828… (Ronald E Walpole dan Raymond H Mayers, 1995).

Bentuk kurva normal ditentukan oleh 𝜇 dan 𝜎. Titik tertinggi kurva normal

berada pada rata-ratanya. Semakin tinggi kurva normal tersebut, semakin ramping

dan runcing bentuk kurvanya, yang menandakan bahwa titik-titik pengamatannya

berkumpul di sekitar rata-rata 𝜇. Runcing dan tumpul suatu kurva normal ditentukan


19

oleh simpangan baku 𝜎. Bentuk (𝑥−𝜇

𝜎)2 menandakan kurva normal adalah kurva yang

simetris.

Dengan memperhatikan gambar berikut serta memeriksa turunan pertama

dan kedua dari 𝑛 𝑥; 𝜇,𝜎 dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut:

Gambar 2.1 Kurva Normal dengan Simpangan baku 0.5

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada

𝑥 = 𝜇;

2. Kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan 𝜇;

3. Kurva mempunyai titik belok pada 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎, cekung dari bawah bila 𝜇 − 𝜎 <

𝑋 < 𝜇 + 𝜎, dan cekung dari atas untuk nilai x lainnya;

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimptot sumbu datar bila nilai x bergerak

menjauhi 𝜇 baik ke kiri maupun ke kanan;

5. Seluruh luas di bawah kurva dan di atas sumbu datar sama dengan 1.

Setiap hasil pengamatan yang berasal dari sembarang variabel acak normal x

ditransformasikan menjadi variabel acak normal z dengan 𝜇 = 0 dan 𝜎 = 1, untuk

memudahkan dalam membuat tabel distribusi normal. Variabel acak normal z


20

merupakan bentuk baku dari setiap variaabel acak normal x sehingga penyelesaian

setiap persoalan dengan 𝜇 dan 𝜎 yang berbeda dapat diselesaikan dengan satu tabel

standar.

Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal baku adalah

dengan cara mengurangi nilai-nilai variabel X dengan rata-rata 𝜇 dan membaginya

dengan standar deviasi 𝜎 sehingga diperoleh variabel baru Z, yaitu:

𝑍 =𝑋−𝜇

𝜎

𝐸 𝑍 = 𝐸 𝑋−𝜇

𝜎 =

1

𝜎𝐸 𝑋 − 𝜇 =

𝜇−𝜇

𝜎= 0

𝑉𝑎𝑟 𝑍 = 𝐸[𝑍 − 𝐸 𝑍 ]2 = 𝐸(𝑍)2 = 𝐸(𝑋−𝜇

𝜎)2 =

𝜎2

𝜎2 = 1

Sehingga variabel normal baku Z mempunyai rata-rata 𝜇 = 0 dan standar

deviasi 𝜎 = 1.

C. MATRIKS

Pembahasan tentang matriks berguna dalam mempelajari analisis regresi

berganda yang akan dibahas pada bab III. Dalam subbab ini akan dipelajari mengenai

tipe-tipe matriks, operasi matriks, transpose dan submatriks, determinan, invers

matriks persegi, tetapi sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai matriks itu

sendiri.


21

Definisi 2.14

Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-

bilangan dalam susunan itu disebut elemen dari matriks tersebut(Howard

Anton,2000).

Ukuran matriks atau ordo matriks diberikan oleh jumlah baris (garis

horisontal) dan kolom (vertical) yang menyusunnya. Matriks ditulis dengan huruf

yang dicetak tebal. Jika ada sebuah matriks A yang terdiri 𝑚 baris dan 𝑛 kolom, maka

ordo matriks A adalah × 𝑛 . Dalam pembahasan tentang matriks juga dikenal istilah

skalar, yaitu angka tunggal atau bilangan real. Sebuah besaran skalar adalah matiks

1 × 1. Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut vektor kolom, dan sebuah

matriks dengan hanya satu baris adalah vektor baris.

Contoh 2.2

𝑨 =

1 2625

−301

𝑩 = 2 1 0 3 −1 𝑪 = 204

Matriks 𝑨 dalam contoh di atas memiliki 4 baris dan 2 kolom, maka ukuran

atau ordo dari matriks A adalah 3 × 2. Matriks 𝑩 hanya terdiri dari satu baris, maka

matriks 𝑩 merupakan vektor baris. Matriks 𝑪 terdiri hanya dari satu kolom, maka

matriks 𝑪 merupakan vektor kolom.

Dalam mempelajari matriks dikenal beberapa tipe-tipe matriks. Tipe-tipe

matriks tersebut di antaranya adalah :


22

1. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah sebuah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom

sama.

Contoh 2.6

𝑨 = 2 17 9

𝑩 =

5 2 −3 8−103

741

240

102

2. Matriks Diagonal

Sebuah matriks dengan setidaknya satu elemen tidak bernilai nol pada diagonal

utama (terletak pada sudut kiri atas hingga sudut kanan bawah) dan bernilai nol

pada elemen lainnya disebut sebagai matriks diagonal.

Contoh 2.7

𝑨 = 2 00 3

𝑩 = 2 0 000

50

01

3. Matriks Identitas

Sebuah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal bernilai 1 disebut

matriks identitas. Matriks identitas dilambangkan dengan I .

Contoh 2.9

𝑰 =

1 0 0 0 00 1 0 0 0000

000

100

010

001

𝑰 = 1 0 000

10

01


23

4. Matriks Simetris

Matriks simetris adalah sebuah matriks persegi dengan elemen yang berada di

atas diagonal utama merupakan cerminan di bawah elemen dari diagonal utama.

Dalam sebuah matriks simetris, matriks = 𝑨𝒕 .

5. Matriks nol

sebuah matriks dengan semua elemennya bernilai nol disebut matriks nol,

dilambangkan dengan 0 .

6. Vektor nol

Sebuah vektor baris atau vektor kolom yang semua elemennya bernilai nol

disebut sebagai vektor nol, dan juga dilambangkan dengan 0 .

7. Matriks yang Sama

Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan

elemen-elemen yang berpadanan sama.

Contoh 2.10

𝑨 =

5 2 −3 8−103

741

240

102

𝑩 =

5 2 −3 8−103

741

240

102


24

Pada regresi berganda, dalam mencari rumus penaksir 𝛽 dengan matriks,

melibatkan beberapa operasi matriks. Tidak hanya itu, dalam membuktikan sifat-sifat

dari penaksir, juga menggunakan beberapa operasi matriks. Pada bab IV untuk

membuktikan konsekuensi dari multikolinieritas juga menggunakan beberapa operasi

matriks. Untuk itu penting memahami beberapa operasi matriks, yang akan dibahas

dalam bagian ini. Berikut ini adalah beberapa operasi matriks.

1. Penjumlahan Matriks

Anggap A = 𝑎𝒊𝒋 dan B = 𝑏𝒊𝒋 . jika A dan B adalah matriks yang mempunyai

order yang sama, penjumlahan matriks didefinisikan sebagai

𝑨 + 𝑩 = 𝑪

Di mana C adalah matriks yang mempunyai order yang sama dengan A dan B,

serta diketahui juga bahwa 𝑐𝒊𝒋 = 𝑎𝒊𝒋 + 𝑏𝒊𝒋 untuk semua I dan j, yaitu C didapatkan

dengan menjumlahkan elemen A dan B .

Contoh 2.11

𝑨 = 2 3 4 56 7 8 9

𝑩 = 1 0 −1 3−2 0 1 5

𝑨 + 𝑩 = 𝑪

𝑪 = 2 3 4 56 7 8 9

+ 1 0 −1 3−2 0 1 5


25

= 2 + 1 3 + 0 4 − 1 5 + 36 − 2 7 + 0 8 + 1 9 + 5

𝑪 = 3 3 3 84 7 9 14

2. Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks memiliki prinsip yang sama dengan penjumlahan matriks,

kecuali bahwa 𝑨 − 𝑩 = 𝑪 , yaitu jika elemen dari B dikurangi dari elemen yang

berhubungan dengan A untuk mendapatkan C , memberikan order yang sama bagi

A dan B.

3. Perkalian Skalar

Mengalikan sebuah matriks A dengan sebuah skalar 𝜆 (sebuah angka riil), maka

setiap elemen dari matriks akan dikalikan dengan 𝜆 ∶

𝜆𝑨 = 𝜆𝑎𝑖𝑗

4. Perkalian Matriks

Anggap A adalah matriks berorde 𝑚 × 𝑛 dan B adalah matriks yang berorde × 𝑝 ,

maka AB didefinisikan sebagai matriks yang baru C dengan orde 𝑚 × 𝑝, seperti:

𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗𝑛𝑘=1 𝑖 = 1,2,… , 𝑚 𝑗 = 1,2,… , 𝑝

Contoh 2.12

𝑨 = 2 16 3

𝑩 = 2 3 46 7 8


26

𝑨 × 𝑩 = 2 16 3

× 2 3 46 7 8

= 2 × 2 + (1 × 6) 2 × 3 + (1 × 7) 2 × 4 + (1 × 8)

6 × 2 + (3 × 6) 6 × 3 + (3 × 7) 6 × 4 + (3 × 8)

= 10 13 1630 39 48

Sifat-sifat perkalian matriks:

a. Perkalian matriks tidak bersifat komutatif, yaitu AB ≠ BA .

b. Walaupun AB dan BA ada, hasil matriks tidak berada dalam orde yang sama,

jadi jika A adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan B adalah 𝑛 × 𝑚 , AB adalah 𝑚 × 𝑚 ,

sementara BA adalah 𝑛 × 𝑛, dengan demikian AB dan BA berbeda orde.

c. Sebuah vektor baris yang telah dikalikan dengan sebuah vektor kolom adalah

sebuah skalar.

d. Sebuah vektor kolom yang telah dikalikan dengan vektor baris adalah sebuah

matriks.

Di dalam regresi berganda untuk mencari penaksir parameter-parameter

regresi menggunakan bentuk matriks. Di dalam rumusan tersebut memuat suatu

transpose matriks. Untuk memahami perhitungan-perhitungan dalam bab III maupun

di dalam bab IV yang melibatkan transpose matrik, dalam subbab ini dibahas terlebih

dahulu mengenai pengertian dari transpose matriks itu sendiri.


27

Definisi 2.15

Jika A adalah sebarang matriks 𝑚 × 𝑛, maka transpose A, dinyatakan dengan 𝑨𝑡 ,

didefinisikan sebagai matriks 𝑛 × 𝑚 yang didapatkan dengan mempertukarkan baris

dan kolom dari A, yaitu kolom pertama dari 𝑨𝑡 adalah baris pertama dari A, kolom

kedua dari 𝑨𝑡 adalah baris kedua dari A, dan sterusnya.

Contoh 2.3

𝑨 = 4 535

10 𝑨𝑡 =

4 3 55 1 0

Pengubahan susunan sebuah vektor baris merupakan sebuah vektor kolom

dan sebaliknya, pengubahan susunan sebuah vektor kolom merupakan sebuah vektor

baris.

Contoh 2.4

𝒙 = 456 𝒙𝑡 = 4 5 6

Dengan matriks A berordo 𝑚 × 𝑛, jika semua kecuali baris 𝑟 dan kolom 𝑠 matriks A

dihapus, matriks yang dihasilkan dari ordo 𝑟 × 𝑠 yang disebut submatriks A.

Contoh 2.5


28

𝑨 = 3 5 783

22

11

Dan baris ketiga dan kolom ketiga matriks A, didapat:

𝑩 = 3 58 2

Matriks 𝑩 adalah sebuah submatriks 𝑨 dengan ordo 2 × 2.

Berikut ini adalah sifat-sifat dari transpose matriks:

a. Pengubahan susunan dari sebuah matriks yang telah mengalami pengubahan

adalah matriks asli itu sendiri. Jadi (𝑨𝑡)𝑡 = 𝑨

b. C = A + B dan 𝑪𝑡 = (𝐀 + 𝐁)𝑡 = 𝑨𝑡 + 𝑩𝑡

c. (𝑨𝑩)𝑡 = 𝑩𝑡𝑨𝑡

(𝑨𝑩𝑪𝑫)𝑡 = 𝑫𝑡𝑪𝑡𝑩𝑡𝑨𝑡

d. 𝑰𝑡 = 𝑰 , 𝑰 adalah matriks identitas

e. 𝜆𝑡 = 𝜆 , 𝜆 adalah sebuah skalar (sebuah angka riil)

f. (𝑨𝜆)𝑡 = 𝑨𝑡𝜆𝑡 = 𝑨𝑡 𝜆 = 𝜆𝑨𝑡

g. Apabila A adalah matriks persegi dengan 𝑨 = 𝑨𝑡 , maka 𝑨 adalah sebuah matriks

simetris.

Determinan dari matriks A dinyatakan dengan det 𝑨 atau dengan simbol 𝑨 ,

di mana berarti “determinan dari”. Proses menemukan nilai sebuah determinan

dikenal sebagai ekspansi dari determinan.


29

Untuk mencari determinan A berorde 2 × 2 dilakukan perkalian silang secara

berlawanan elemen diagonal utama dan mengurangi produk perkalian silang dengan

elemen diagonal lainnya dari matriks A. Ekspansi dari determinan untuk matriks

berorde 2 × 2 adalah sebagai berikut:

Jika 𝑨 = 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

Maka 𝑨 = 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21

Sedangkan ekspansi dari determinan berorde 3 × 3 adalah sebagai berikut:

Jika 𝑨 = 𝑎11

𝑎12 𝑎13

𝑎21

𝑎31

𝑎22

𝑎32

𝑎23

𝑎33

Maka 𝑨 = 𝑎11𝑎22𝑎33 − 𝑎11𝑎23𝑎32 + 𝑎12𝑎23𝑎31 − 𝑎12𝑎21𝑎33 + 𝑎13𝑎21𝑎32 −

𝑎13𝑎22𝑎31

Sifat-sifat determinan :

1. Sebuah matriks dengan nilai determinan nol disebut sebagai matriks singular,

sedangkan sebuah matriks dengan nilai determinan tidak nol disebut sebagai

matriks nonsingular, di mana matriks singular tidak mempunyai invers.

2. Jika semua elemen dari setiap baris atau kolom matriks A adalah nol,

determinannya adalah nol, jadi,

𝑨 = 0 0 015

49

73 = 0 atau 𝑨 =

0 2 400

49

73 = 0


30

3. 𝑨 = 𝑨𝒕

4. Dengan menukar dua baris atau dua kolom manapun dari matriks A akan

mengubah tanda dari 𝑨 .

5. Jika setiap elemen dari sebuah baris atau sebuah kolom dari matriks A dikalikan

dengan sebuah skalar , maka 𝑨 dikalikan dengan 𝜆.

6. Jika dua baris atau dua kolom sebuah matriks identik, determinannya adalah nol.

7. Jika satu baris atau satu kolom dari sebuah matriks merupakan perkalian baris

atau kolom lainnya, determinannya adalah nol. Jika baris atau kolom manapun

sebuah matriks merupakan kombinasi linear dari baris (kolom) lainnya,

determinannya adalah nol.

8. 𝑨𝑩 = 𝑨 𝑩 , artinya bahwa determinan dari produk dua matriks adalah produk

dari determinannya masing-masing.

Teorema 2.4

Anggap adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛

Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu penggandaan suatu baris A

ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom

ditambahkan pada kolom lainnya, maka det 𝑩 = det(𝑨) .

Bukti:

𝑩 = 𝑎11 + 𝑘𝑎12 𝑎12 𝑎13

𝑎21 + 𝑘𝑎22 𝑎22 𝑎23

𝑎31 + 𝑘𝑎32 𝑎32 𝑎33

𝑨 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33


31

𝑩 = 𝑎11 + 𝑘𝑎12 𝑎22𝑎33 + 𝑎12𝑎23 𝑎31 + 𝑘𝑎32 + 𝑎13(𝑎21 + 𝑘𝑎22)𝑎32 −

𝑎12 𝑎21 + 𝑘𝑎22 𝑎33 + 𝑎11 + 𝑘𝑎12 𝑎23𝑎32 + 𝑎13𝑎22(𝑎31 + 𝑘𝑎32)

= (𝑎11𝑎22𝑎33) + 𝑘(𝑎12𝑎22𝑎33) + (𝑎12𝑎23𝑎31) + 𝑘(𝑎12𝑎23𝑎32) + (𝑎13𝑎21𝑎32) +

𝑘(𝑎13𝑎22𝑎32) − (𝑎12𝑎21𝑎33) + 𝑘(𝑎12𝑎22𝑎33) + (𝑎11𝑎23𝑎32) + 𝑘(𝑎12𝑎23𝑎32) +

(𝑎13𝑎22𝑎31) + 𝑘(𝑎13𝑎22𝑎32)

= {(𝑎11𝑎22𝑎33) + (𝑎12𝑎23𝑎31) + (𝑎13𝑎21𝑎32) −[ (𝑎12𝑎21𝑎33) + (𝑎11𝑎23𝑎32) +

(𝑎13𝑎22𝑎31)]} + { 𝑘(𝑎12𝑎22𝑎33) + 𝑘(𝑎12𝑎23𝑎32) + 𝑘(𝑎13𝑎22𝑎32) −

[ 𝑘(𝑎12𝑎22𝑎33) + 𝑘(𝑎12𝑎23𝑎32) + 𝑘(𝑎13𝑎22𝑎32)]}

= 𝑨 + 0

𝑩 = 𝑨

Jika baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dihapus, determinan dari

submatriks disebut minor dari elemen 𝑎𝑖𝑗 dan dilambangkan dengan 𝑴𝒊𝒋

Kofaktor elemen 𝑎𝑖𝑗 dari sebuah matriks A berorde 𝑁 × 𝑁 dilambangkan dengan 𝑐𝑖𝑗

dinyatakan sebagai

𝑐𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑴𝑖𝑗

Matriks kofaktor adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menggantikan elemen

𝑎𝑖𝑗 dari sebuah matriks A dengan kofaktornya, dilambangkan dengan (cof A).

Sedangkan matrika adjoin adalah pengubahan susunan dari matriks kofaktor, yaitu

(adj 𝐀) = (cof 𝐀)t.


32

Sebuah invers dari matriks persegi A , dilambangkan dengan 𝑨−1 jika ada

merupakan sebuah matriks persegi yang unik, dan memenuhi :

𝑨𝑨−1 = 𝑨−1𝑨 = 𝑰

Di mana 𝑰 adalah matriks identitas. Sifat-sifat invers matriks :

a. (𝑨𝑩)−1 = 𝑩−1𝑨−1

b. (𝑨−1)𝑡 = (𝑨𝑡)−1

Jika matriks A adalah matriks persegi dan non singular, di mana 𝑨 ≠ 0 ,

invers 𝑨−1 dapat ditemukan sebagai:

𝑨−1 =1

𝑨 (𝑎𝑑𝑗 𝑨)

Berikut ini adalah langkah-langkah dalam mencari invers matriks:

1. Mencari nilai determinan, jika nilainya tidak nol maka lanjut ke langkah nomor

dua.

2. Mengganti setiap elemen 𝑎𝑖𝑗 matriks A dengan kofaktornya untuk mendapatkan

matriks kofaktor.

3. Mengubah susunan dari matriks kofaktor untuk mendapatkan matriks adjoin.

4. Membagi setiap elemen dari matriks adjoin dengan 𝑨 .


33

BAB III

ANALISIS REGRESI

Dalam kehidupan sehari – hari sering ditemui adanya hubungan antar

variabel. Contohnya di dalam bidang ekonomi, adanya hubungan antara pengeluaran

suatu keluarga selama satu bulan dengan pendapatan keluarga tersebut selama satu

bulan. Di dalam bidang pendidikan, adanya hubungan antara hasil tes inteligensi

siswa dengan nilai ulangan kimia siswa, ataupun hubungan antara hasil panen dengan

jenis pupuk dan kadar air di dalam bidang pertanian. Hubungan yang semacam itu di

dalam statistika di namakan regresi.

Definisi 3.1

Analisis regresi berkaitan dengan studi mengenai ketergantungan satu variabel, yaitu

variabel terikat, terhadap satu atau lebih variabel lainnya, yaitu variabel bebas,

dengan tujuan untuk mengestimasi dan/atau memperkirakan nilai rata-rata (populasi)

variabel terikat dari nilai yang diketahui atau nilai tetap dari variabel bebas(Damodar

N. Gujarati,2012).

Variabel yang mempengaruhi variabel lain disebut variabel bebas,

sedangkan variabel yang nilainya dipengaruhi atau tergantung dengan nilai variabel

bebas merupakan variabel terikat. Variabel bebas dilambangkan dengan X, sedangkan


34

variabel terikat dilambangkan dengan Y. Bentuk hubungan variabel bebas dan terikat

ini bisa linier, kuadratik, logaritma, eksponensial, atau hiperbola. Dalam penulisan ini

hanya akan dibahas hubungan yang linier.

Pembahasan mengenai analisis regresi ini terdiri dari analisis regresi

sederhana dan analisis regresi berganda. Tetapi sebelumnya terlebih dahulu akan

dibahas mengenai sifat variabel bebas dan variabel terikat.

Variabel bebas diasumsikan bersifat tetap karena memiliki nilai yang sama

dalam berbagai sampel. Nilai dari variabel bebas sudah ditentukan sebelumnya oleh

peneliti. Satu variabel bebas dapat menentukan lebih dari satu variabel terikat.

Variabel terikat bersifat random, karena nilainya ditentukan oleh suatu eksperimen

acak.

A. ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA

Analisis regresi linier sederhana adalah analisis regresi linier di mana nilai

variabel terikat Y hanya dipengaruhi oleh satu variabel penjelas X. Contoh,

pengeluaran keluarga mingguan dipengaruhi oleh pendapatan mingguan keluarga.

Dengan pengetahuan sebelumnya bahwa hubungan X dan Y yang linier

maka dapat dinyatakan dengan persamaan matematik berikut:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖 (3.1)


35

𝛽0 merupakan intercept atau jarak dari titik O(0,0) dengan titik potong terhadap

sumbu ordinat (sumbu y), 𝛽1 adalah slope atau gradient atau kemiringan garis, 휀𝑖

merupakan galat atau error. 𝛽0 dan 𝛽1 merupakan koefisien-koefisien regresi.

Asumsi-asumsi di dalam regresi linier yang harus dipenuhi, yaitu:

1. 𝐸 휀𝑖 𝑋𝑖 = 0

Dengan kata-kata bahwa nilai harapan bersyarat 휀𝑖 terhadap X tertentu

adalah 0. Nilai-nilai Y untuk X tertentu dapat berada di atas maupun di bawah garis

regresi, jarak antara Y dengan nilai harapannya adalah 휀.

2. 𝑐𝑜𝑣 휀𝑖 , 휀𝑗 = 𝐸 휀𝑖 − 𝐸 휀𝑖 [휀𝑗 − 𝐸 휀𝑗 ]

= 𝐸(휀𝑖휀𝑗 ) karena asusmsi 1

= 0 𝑖 ≠ 𝑗

𝑐𝑜𝑣 휀𝑖 , 휀𝑗 = 0 berarti pula bahwa 휀𝑖 dan 휀𝑗 tidak saling mempengaruhi,

atau tidak berhubungan, atau tidak berkorelasi satu sama lain. Apabila terjadi korelasi

antara 휀 yang satu dengan 휀 yang lainnya maka akan timbul masalah autokorelasi atau

korelasi berurutan, dan yang dikehendaki oleh asumsi 2 adalah tidak ada masalah

autokorelasi, atau 𝑐𝑜𝑣 휀𝑖 , 휀𝑗 = 0.

3. 𝑣𝑎𝑟 휀𝑖 𝑋𝑖 = 𝐸[휀𝑖 − 𝐸 휀𝑖 ]2

= 𝐸[휀𝑖]2 karena asumsi 1

= 𝜎2


36

Varians bersyarat 휀𝑖 untuk X tertentu adalah suatu angka konstan positif

yang sama dengan 𝜎2. Apa yang diinginkan oleh asumsi ini adalah varians 휀𝑖 untuk X

tertentu adalah sama. Apabila terjadi pelanggaran terhadap asumsi ini maka akan

muncul masalah heteroskedastisitas, yaitu bilamana varians 휀𝑖 untuk X tertentu tidak

sama.

4. 휀𝑖 berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians 𝜎2, ditulis 휀𝑖~𝑁(0,𝜎2).

Asumsi kenormalan ini penting dalam pengujian hipotesis, pada pengambilan

kesimpulan. Jika 휀𝑖 berdistribusi normal, maka tidak dapat dilakukan uji F dan uji

t.

Nilai harapan dari 𝑌 terhadap X tertentu adalah :

𝐸 𝑌 𝑋𝑖 = 𝐸(𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖)

= 𝐸(𝛽0) + 𝛽1𝐸(𝑋𝑖) + 𝐸(휀𝑖)

Karena 𝛽0 , 𝛽1 , 𝑋𝑖 bersifat konstan sehingga 𝐸 𝛽0 = 𝛽0 dan 𝐸 𝑋𝑖 = 𝑋𝑖 dan akibat

dari asumsi 1 di mana 𝐸(휀𝑖) = 0 maka:

𝐸 𝑌 𝑋𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 (3.2)

Varians dari 𝑌𝑖 adalah :

Var (𝑌𝑖) = 𝐸[𝑌𝑖 − 𝐸(𝑌𝑖)]2

= 𝐸[𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖 − (𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖)]2


37

= 𝐸[𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1𝑋𝑖)]2

= 𝐸[휀𝑖)]2

Akibat dari asumsi 3 di mana 𝐸[휀𝑖)]2 = 𝜎2 maka;

Var (𝑌𝑖) = 𝜎2 (3.3)

Dari (3.2) dan (3.3) dapat dikatakan bahwa regresi linier sederhana dapat dinyatakan

dengan persamaan 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖 dengan nilai harapan 𝐸 𝑌 𝑋𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖

dan varians 𝜎2.

Besarnya nilai koefisien-koefisien regresi tidak dapat ditentukan secara

tepat, melainkan merupakan suatu taksiran. Hal ini disebabkan karena tidak mungkin

untuk memperoleh data populasi, namun koefisien-koefisien regresi ini dapat diduga

berdasarkan koefisien-koefisien regresi sampel. Persamaan regresi sampel dinyatakan

sebagai berikut,

𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖 + 𝑒 (3.4)

Dengan Ý = 𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖 (3.5)

Ý = estimator E Y Xi , 𝑏0= estimator β0; 𝑏1= estimator β

1. 𝑒 di sini menunjukan nilai

galat. 𝑒 dinyatakan analog dengan 휀𝑖 , sehingga 𝑒 dikatakan sebagai estimator 휀𝑖 .

Garis regresi sampel dapat dihasilkan sebanyak n buah. Dari garis-garis

tersebut, tidak ada yang menjamin mana garis yang mewakili garis regresi populasi,


38

namun mungkin saja salah satu garis tersebut merupakan garis regresi terbaik yang

mewakili garis regresi yang sesungguhnya.

Untuk mengetahui garis mana yang terbaik yang sesuai dengan garis regresi

yang sesungguhnya, dapat digunakan sebuah metode. Metode ini adalah Metode

Kuadrat Terkecil Biasa atau Ordinary Least Square (OLS) Methode. Metode ini

digunakan untuk menaksir regresi populasi atas dasar regresi sampel seakurat

mungkin, dengan cara mengestimasi β0 dan β

1 setepat mungkin.

Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square Methode)

Jika ketiga asumsi di atas dipenuhi maka penaksir OLS memenuhi beberapa

sifat statistik yang diinginkan, yaitu linier, tidak bias dan varians yang minimum.

Penaksir koefisien regresi tetap dapat ditentukan jika ketiga asumsi tidak dipenuhi,

namun penaksir yang diperoleh tidak memiliki sifat statistik yang diinginkan tersebut.

Metode kuadrat terkecil merupakan salah satu metode yang digunakan untuk

mengestimasi β0 dan β

1. Dari persamaan𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀, diperoleh;

𝑌𝑖 = Ý𝑖 + 𝑒 (3.6)

𝑒 = 𝑌𝑖 − Ý𝑖

Prinsip dari metode OLS adalah memilih fungsi regresi sampel sedemikian

rupa sehingga jumlah residual (sisa) 𝑒2 = (𝑌𝑖 − Ý𝑖)2 sekecil mungkin.

𝑒2 = (𝑌𝑖 − Ý𝑖)2


39

= (𝑌𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1𝑋𝑖)2

Agar memperoleh hasil yang minimum, langkah pertama adalah (𝑌𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1𝑋𝑖)2

diturunkan secara parsial terhadap 𝑏0 dan menyamakan hasil yang diperoleh sama

dengan nol, sehingga diperoleh

𝜕 𝑒2𝑛𝑖=1

𝜕𝑏0=

𝜕 𝑌𝑖−𝑏0−𝑏1𝑋𝑖 2𝑛

𝑖=1

𝜕𝑏0


𝑖=1

𝜕𝑏0= 0

−2 𝑌𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1𝑋𝑖 𝑛𝑖=1 = 0

𝑌𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1𝑋𝑖 𝑛𝑖=1 = 0

𝑌𝑖 −𝑛𝑖=1 𝑏0 −𝑛

𝑖=1 𝑏1𝑋𝑖 = 0𝑛𝑖=1

𝑌𝑖 −𝑛𝑖=1 𝑛𝑏0 − 𝑏1 𝑋𝑖 = 0𝑛

𝑖=1

𝑛𝑏0 = 𝑌𝑖 −

𝑛

𝑖=1

𝑏1 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑏0 = 𝑌𝑖−

𝑛𝑖=1 𝑏1 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛 (3.7)

Demikian pula untuk mengestimasi β1 (𝑌𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1𝑋𝑖)

2 diturunkan secara parsial

terhadap 𝑏1, dan menyamakan hasilnya dengan nol seperti berikut ini,

𝜕 𝑒2𝑛𝑖=1

𝜕𝑏1=


𝑖=1

𝜕𝑏1


40


𝑖=1

𝜕𝑏1= 0

−2 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1𝑋𝑖 = 0

𝑋𝑖𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 − 𝑏0 − 𝑏1𝑋𝑖 = 0

𝑋𝑖𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 − 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 𝑏0 − 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 𝑏1𝑥𝑖 = 0

𝑋𝑖𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 − 𝑏0 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 − 𝑏1 𝑋𝑖

2𝑛𝑖=1 = 0 (3.8)

Dari persamaan (3.7) di mana 𝑏0 = 𝑌𝑖−


𝑛𝑖=1

𝑛 dan disubstitusikan ke persamaan

(3.8), sehingga,

𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 −


𝑛𝑖=1

𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝑏1 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 0

𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 −

𝑛

𝑖=1

𝑏1 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝑛𝑏1 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 0

𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖 − 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖 + 𝑏1 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

2𝑛

𝑖=1

− 𝑛𝑏1 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 0

𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1


𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖 + 𝑏1 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

2

− 𝑛 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

= 0

𝑏1 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

2

− 𝑛 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖


41

𝑏1 = 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 𝑌𝑖

𝑛𝑖=1 −𝑛 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 𝑌𝑖

𝑋𝑖𝑛𝑖=1

2−𝑛 𝑋𝑖

2𝑛𝑖=1

(3.9)

Dengan menyelesaikan bagian pembilang persamaan (3.9), didapat:

𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖 = 𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1


𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1


𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1


𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

= 𝑛 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 − 𝑛

𝑋𝑖𝑛𝑖=1

𝑛 𝑌𝑖

𝑛𝑖=1 + 𝑛

𝑌𝑖𝑛𝑖=1

𝑛 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 + 𝑛2 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 𝑌𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛2

= 𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖 − 𝑋 𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝑌 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑛𝑋𝑌

= 𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑌𝑖 − 𝑋 𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝑌 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑋𝑌

= 𝑛 𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑋 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑋𝑖 + 𝑋𝑌

𝑛

𝑖=1

= 𝑛 (𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 − 𝑋 )(𝑌𝑖 − 𝑌 ) (3.10)

Di mana 𝑋𝑖

𝑛= 𝑋 dan

𝑌𝑖

𝑛= 𝑌 , dengan menyelesaikan bagian penyebut persamaan,

didapat,

𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

2

− 𝑛 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 𝑛 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

− 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

2


42

= 𝑛 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

− 2 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

2

+ 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

2

= 𝑛 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

− 2𝑛 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑛2 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

= 𝑛 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

− 2 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑛 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

= 𝑛 𝑋𝑖2

𝑛

𝑖=1

− 2𝑋 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑋 𝑋

= 𝑛 𝑋𝑖2 − 2𝑋 𝑋𝑖 + 𝑋 𝑋

𝑛

𝑖=1

= 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2 𝑛𝑖=1 (3.11)

Maka dari persamaan (3.10) dan (3.11) diperoleh,

𝑏1 =𝑛 (𝑛

𝑖=1 𝑋𝑖 –𝑋 )(𝑌𝑖−𝑌 )

𝑛 𝑋𝑖−𝑋 2 𝑛𝑖=1

𝑏1 = (𝑛

𝑖=1 𝑋𝑖 –𝑋 )(𝑌𝑖−𝑌 )

𝑋𝑖−𝑋 2 𝑛𝑖=1

Di mana didefinisikan 𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 –𝑋 dan 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 –𝑌 , sehingga

𝑏1 = 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑦𝑖

𝑥𝑖 2 𝑛

𝑖=1

(3.12)

Dan 𝑏0 = 𝑌𝑖−


𝑛𝑖=1

𝑛=

𝑌𝑖

𝑛− 𝑏1

𝑋𝑖

𝑛


43

𝑏0 = 𝑌 − 𝑏1𝑋 (3.13)

Menurut Teori Gauss-Markov yaitu estimator OLS merupakan estimator

terbaik jika memiliki sifat linier, tidak bias, dan memiliki varians yang minimum

(best linear unbiased estimator disingkat BLUE). Sifat-sifat tersebut dibuktikan

dengan langkah-langkah berikut:

1. Penaksir-penaksir kuadrat terkecil merupakan fungsi linier dari Y

Terlebih dahulu akan dibuktikan 𝑥𝑖 = 0

Dari definisi 𝑥𝑖 , di mana 𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 –𝑋 maka;

𝑥𝑖 = (𝑋𝑖 –𝑋 𝑖)

= (𝑋𝑖 –𝑋 𝑖)

= 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 − 𝑛 𝑋

= 𝑋𝑖 − 𝑛 𝑋𝑖

𝑛

= 𝑋𝑖 − 𝑋𝑖

𝑥𝑖 = 0 (3.14)

Selanjutnya akan dibuktikan 𝑏1 adalah penaksir linier dari Y

Dari persamaan (3.12) di mana 𝑏1 = 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑦𝑖

𝑥𝑖 2 𝑛

𝑖=1


44

Dari definisi 𝑦𝑖 di mana 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 –𝑌 , maka

𝑏1 = 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑦𝑖

𝑥𝑖 2 𝑛

𝑖=1

= 𝑥𝑖(𝑌𝑖 –𝑌 )

𝑥𝑖2

= 𝑥𝑖(𝑌𝑖 )

𝑥𝑖 2 −

𝑌 𝑥𝑖)

𝑥𝑖 2

Akibat dari persamaan (3.14) di mana 𝑥𝑖 = 0 maka;


𝑥𝑖 2 −

𝑌 𝑥𝑖)

𝑥𝑖 2


𝑥𝑖2 (3.15)

𝑏1 = 𝑘𝑖𝑌𝑖 (3.16)

di mana 𝑘𝑖 didefinisikan 𝑥𝑖

𝑥𝑖2 , Jadi terbukti bahwa 𝑏1 merupakan fungsi linier dari Y

Akan dibuktikan 𝑏0 merupakan fungsi linier dari Y

dari persamaan (3.13) di mana 𝑏0 = 𝑌 − 𝑏1𝑋 , maka;

𝑏0 = 𝑌 − 𝑏1𝑋

= 𝑌𝑖

𝑛− 𝑏1𝑋

Subtitusi persamaan (3.16) di mana 𝑏1 = 𝑘𝑖𝑌𝑖 sehingga;


45

= 𝑌𝑖

𝑛− 𝑏1𝑋

= 𝑌𝑖

𝑛− 𝑘𝑖𝑌𝑖 𝑋

𝑏0 = (1

𝑛− 𝑘𝑖𝑋 ) 𝑌𝑖 (3.17)

Jadi terbukti bahwa 𝑏0 merupakan fungsi linier dari Y.

2. Penaksir-penaksir tersebut tidak bias

Sebelumnya akan dibuktikan 𝑘𝑖 = 0, 𝑘𝑖𝑋𝑖 = 1, 𝑘𝑖2 =

1

𝑥𝑖2

𝑘𝑖 = 0

Definisi 𝑘𝑖 di mana 𝑘𝑖 = 𝑥𝑖

𝑥𝑖2 , maka;

𝑘𝑖 = (𝑥𝑖

𝑥𝑖2)

= 𝑥𝑖

𝑥𝑖2

Karena dari persamaan (3.14) di mana 𝑥𝑖 = 0 , maka;

𝑘𝑖 = 0 (3.18)

𝑘𝑖𝑋𝑖 = 𝑘𝑖(𝑥𝑖 + 𝑋 )

= 𝑘𝑖𝑥𝑖 + 𝑋 𝑘𝑖

Karena dari persamaan (3.18) di mana 𝑘𝑖 = 0, maka;

𝑘𝑖𝑋𝑖 = 𝑘𝑖𝑥𝑖

Definisi 𝑘𝑖 di mana 𝑘𝑖 = 𝑥𝑖

𝑥𝑖2 , maka;

𝑘𝑖𝑋𝑖 = 𝑥𝑖𝑥𝑖

𝑥𝑖2


46

= 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2

𝑘𝑖𝑋𝑖 = 1 (3.19)

Karena 𝑘𝑖 = 𝑥𝑖

𝑥𝑖2 , maka;

𝑘𝑖2 = (

𝑥𝑖

𝑥𝑖2)2

= 𝑥𝑖

𝑥𝑖2 (

𝑥𝑖

𝑥𝑖2)

= 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2 (

1

𝑥𝑖2)

= 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2 (

1

𝑥𝑖2)

𝑘𝑖2 =

1

𝑥𝑖2 (3.20)

Bentuk lain dari 𝑏0 yaitu;

Dari persamaan (3.17) di mana 𝑏0 = (1

𝑛− 𝑘𝑖𝑋 ) 𝑌𝑖 , maka

𝑏0 = (1

𝑛− 𝑘𝑖𝑋 ) 𝑌𝑖

substitusi persamaan (3.1) di mana 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖

𝑏0 = 1

𝑛− 𝑘𝑖𝑋 (𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖)

= 1

𝑛 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖 − 𝑋 𝑘𝑖 (𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖)

= 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖

𝑛+

휀𝑖

𝑛− 𝑋 𝛽0 𝑘𝑖 − 𝛽1𝑋 𝑘𝑖𝑋𝑖 − 𝑋 𝑘𝑖 휀𝑖

Dari persamaan (3.18) di mana 𝑘𝑖 = 0 dan persamaan (3.19) di mana 𝑘𝑖𝑋𝑖 = 1 ,

maka;

𝑏0= 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 휀𝑖

𝑛− 𝛽1𝑋 − 𝑋 𝑘𝑖 휀𝑖


47

𝑏0 =𝛽0 + 휀𝑖

𝑛− 𝑋 𝑘𝑖 휀𝑖 (3.21)

Selanjutnya akan dibuktikan 𝐸 𝑏0 = 𝛽0

substitusi persamaan (3.21) di mana 𝑏0=𝛽0 + 휀𝑖

𝑛− 𝑋 𝑘𝑖 휀𝑖 ,

𝐸 𝑏0 = 𝐸 𝛽0 + 휀𝑖

𝑛− 𝑋 𝑘𝑖 휀𝑖

= 𝛽0 +1

𝑛 𝐸(휀𝑖) − 𝑋 𝑘𝑖 𝐸(휀𝑖)

Karena asumsi 1 di mana 𝐸 휀𝑖 = 0, maka;

= 𝛽0 +1

𝑛 𝐸(휀𝑖) − 𝑋 𝑘𝑖 𝐸(휀𝑖)

𝐸 𝑏0 = 𝛽0 (3.22)

Jadi terbukti bahwa 𝐸 𝑏0 = 𝛽0

Bentuk lain dari 𝑏1 adalah;

Dari persamaan (3.16), di mana 𝑏1 = 𝑘𝑖𝑌𝑖 , maka;

𝑏1 = 𝑘𝑖𝑌𝑖

Substitusi dengan persamaan (3.1) di mana 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖

𝑏1 = 𝑘𝑖(𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖)

= 𝛽0 𝑘𝑖 + 𝛽1 𝑘𝑖𝑋𝑖 + 𝑘𝑖휀𝑖

Karena persamaan (3.18) di mana 𝑘𝑖 = 0 dan persamaan (3.19) di mana 𝑘𝑖𝑋𝑖 =

1, maka;

𝑏1 = 𝛽1 + 𝑘𝑖휀𝑖 (3.23)

Akan dibuktikan 𝐸 𝑏1 = 𝛽1

Substitusi persamaan (3.23) di mana 𝑏1 = 𝛽1 + 𝑘𝑖휀𝑖

𝐸 𝑏1 = 𝐸(𝛽1 + 𝑘𝑖휀𝑖)


48

= 𝛽1 + 𝑘𝑖𝐸(휀𝑖)

Karena asumsi 1 di mana 𝐸(𝑢𝑖) = 0, maka;

𝐸 𝑏1 = 𝛽1 (3.24)

3. Penaksir-penaksir tersebut memiliki varian yang minimum

Sebelumnya akan ditentukan terlebih dahulu varians 𝑏1 dan varians 𝑏0 . Dari

persamaan (3.24) di mana 𝐸 𝑏1 =𝛽1 , maka;

Var 𝑏1 = 𝐸(𝑏1 − 𝐸(𝑏1))2

= 𝐸(𝑏1 − 𝛽1)2

Substitusi persamaan (3.23) di mana 𝑏1 = 𝛽1 + 𝑘𝑖휀𝑖

= 𝐸(𝑏1 − 𝛽1)2

= 𝐸(𝛽1 + 𝑘𝑖휀𝑖 − 𝛽1)2

= 𝐸( 𝑘𝑖휀𝑖)2

= 𝐸(𝑘12휀1

2 + 𝑘22휀2

2 + ⋯ + 2𝑘1𝑘2휀1휀2 + ⋯ + 2𝑘𝑛−1𝑘𝑛휀𝑛−1휀𝑛)

= 𝐸( 𝑘𝑖2휀𝑖

2 + 2 𝑘𝑖𝑘𝑗휀𝑖휀𝑗 )

= 𝑘𝑖2𝐸 휀𝑖

2 + 2 𝑘𝑖𝑘𝑗𝐸(휀𝑖휀𝑗 )

dari asumsi 3 di mana 𝐸 휀𝑖2 = 𝜎2 dan asumsi 2 di mana 𝐸 휀𝑖휀𝑗 = 0

= 𝑘𝑖2𝜎2

Dari persamaan (3.20) di mana 𝑘𝑖2 =

1

𝑥𝑖2 , maka;

Var 𝑏1 = 𝜎2 1

𝑥𝑖2 (3.25)

Dari persamaan (3.22) di mana 𝑏0 = 𝛽0 , maka;

Var (𝑏0) = 𝐸(𝑏0 − 𝐸(𝑏0))2


49

Var (𝑏0) = 𝐸(𝑏0 − 𝛽0)2

Substitusi persamaan (3.21) di mana 𝑏0=𝛽0 + 휀𝑖

𝑛− 𝑋 𝑘𝑖 휀𝑖

Var (𝑏0) = 𝐸(𝑏0 − 𝛽0)2

= 𝐸(𝛽0 +1

𝑛 (휀𝑖) − 𝑋 𝑘𝑖 휀𝑖 − 𝛽0)2

= 𝐸(1

𝑛 (휀𝑖) − 𝑋 𝑘𝑖 휀𝑖)

2

= 𝐸( [(1

𝑛− 𝑋 𝑘𝑖)휀𝑖]

2

= 𝜎2 (1

𝑛− 𝑋 𝑘𝑖)

2

= 𝜎2 1

𝑛2 −2

𝑛𝑋 𝑘𝑖 + 𝑋 2𝑘𝑖

2

Var (𝑏0) = 𝜎2(𝑛1

𝑛2 −2

𝑛𝑋 𝑘𝑖 + 𝑋 2 𝑘𝑖

2)

Karena persamaan (3.18) di mana 𝑘𝑖 = 0 dan persamaan (3.20) di mana

𝑘𝑖2 =

1

𝑥𝑖2, maka ;

= 𝜎2(𝑛1

𝑛2 −2

𝑛𝑋 𝑘𝑖 + 𝑋 2 𝑘𝑖

2)

= 𝜎2(1

𝑛+

𝑋 2

𝑥𝑖2)

= 𝜎2( 𝑥𝑖

2+𝑛𝑋 2

𝑛 𝑥𝑖2 )

= 𝜎2( (𝑋𝑖−𝑋 )2+𝑛𝑋 2

𝑛 𝑥𝑖2 )

= 𝜎2( (𝑋𝑖

2−2𝑋𝑖𝑋 +𝑋 2)+𝑛𝑋 2

𝑛 𝑥𝑖2 )

= 𝜎2( (𝑋𝑖

2−2𝑋𝑖𝑋 +𝑋 2)+𝑛𝑋 2

𝑛 𝑥𝑖2 )


50

= 𝜎2( 𝑋𝑖

2−2( 𝑋𝑖)

2

𝑛𝑋𝑖𝑋 +2

( 𝑋𝑖)2

𝑛

𝑛 𝑥𝑖2 )

Var (𝑏0) = 𝜎2( 𝑋𝑖

2

𝑛 𝑥𝑖2) (3.26)

Untuk menentukan varians 𝑏0 dan 𝑏1 minimum perlu dibandingkan dengan

varians dari beberapa penaksir 𝑏* yang tidak bias. Dimisalkan 𝑏1* = 𝑤𝑖𝑌𝑖 di mana

𝑤𝑖 ≠ 𝑘𝑖 tetapi 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 , sehingga

𝑏1* = 𝑤𝑖(𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖)

= (𝑤𝑖𝛽0 + 𝛽1𝑤𝑖𝑋𝑖 + 휀𝑖𝑤𝑖)

= 𝛽0 𝑤𝑖 + 𝛽1 𝑤𝑖𝑋𝑖 + 휀𝑖𝑤𝑖

𝐸(𝑏1*) = 𝛽0𝐸 𝑤𝑖 + 𝛽1𝐸 𝑤𝑖𝑋𝑖 + 𝑤𝑖 𝐸(휀𝑖)

Karena asumsi 1 di mana 𝐸(휀𝑖) = 0 , maka;

𝐸(𝑏1*) = 𝛽0𝐸 𝑤𝑖 + 𝛽1𝐸 𝑤𝑖𝑋𝑖 + 𝑤𝑖 𝐸(휀𝑖)

= 𝛽0𝐸 𝑤𝑖 + 𝛽1𝐸 𝑤𝑖𝑋𝑖 (3.27)

Karena 𝑏* penaksir yang tidak bias, maka pada persamaan (3.18) 𝑤𝑖 = 0

dan 𝑤𝑖𝑋𝑖 = 1, dan diketahui 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 , maka,

𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖

= 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖

Karena pada persamaan (3.18) 𝑘𝑖 = 0, maka haruslah 𝑐𝑖 = 0

𝑤𝑖𝑋𝑖 = (𝑘𝑖 + 𝑐𝑖)𝑋𝑖

= 𝑘𝑖𝑋𝑖+ 𝑐𝑖𝑋𝑖

Karena pada persamaan (3,19) 𝑘𝑖𝑋𝑖 = 1 ,maka haruslah

𝑐𝑖𝑋𝑖 = 𝑐𝑖𝑥𝑖 + 𝑋 𝑐𝑖 = 0 sehingga 𝑤𝑖𝑋𝑖 = 1


51

Selanjutnya akan dibuktikan 𝑏1 memiliki varians yang minimum.

Bukti :

Var (𝑏1*)= 𝐸[ 𝑏1∗ − 𝛽1

2]

= 𝐸[(𝑤𝑖휀𝑖)2]

= 𝜎2 𝑤𝑖2

= 𝜎2 (𝑘𝑖 + 𝑐𝑖)2

= 𝜎2( 𝑘𝑖2 + 𝑐𝑖

2 + 2 𝑘𝑖 𝑐𝑖)

= 𝜎2( 𝑘𝑖2 + 𝑐𝑖

2 + 2 𝑥𝑖𝑐𝑖

𝑥𝑖2 )

karena 𝑐𝑖𝑥𝑖 = 𝑐𝑖𝑋𝑖 = 0

Var (𝑏1 ∗) = 𝜎2( 𝑘𝑖2 + 𝑐𝑖

2)

Var (𝑏1*) = 𝜎2 𝑘𝑖2 +𝜎2 𝑐𝑖

2

Dari persamaan (3.25) di mana Var 𝑏1 = 𝜎2 1

𝑥𝑖2

Var (𝑏1*)= 𝜎2 𝑘𝑖2 +𝜎2 𝑐𝑖

2

= var (𝑏1)+ 𝜎2 𝑐𝑖2 (3.28)

Oleh karena 𝑐𝑖2 selalu positif, maka Var (𝑏1*) > var (𝑏1), hanya apabila 𝑐𝑖

2 = 0

maka Var (𝑏1*) = var (𝑏1). Hal ini menunjukan bahwa 𝑏1 memiliki varians yang

minimum.

Selanjutnya Akan dibuktikan bahwa 𝑏0 memiliki varians yang minimum, namun

sebelumnya akan dilakakan langkah-langkah berikut ini,

Dimisalkan 𝑏0∗ = (

1

𝑛− 𝑤𝑖𝑋 ) 𝑌𝑖

Substitusi persamaan (3,1) di mana 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖 , ke dalam persamaan 𝑏0∗ ;


52

𝑏0∗ = (

1

𝑛− 𝑤𝑖𝑋 ) 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 휀𝑖

𝑏0∗ = 𝛽0(1 − 𝑋 𝑤𝑖) + 𝛽1(𝑋 − 𝑋 𝑤𝑖𝑋𝑖) + (

1

𝑛− 𝑤𝑖𝑋 ) 휀𝑖

𝐸(𝑏0∗) = 𝛽0(1 − 𝑋 𝐸 𝑤𝑖) + 𝛽1(𝑋 − 𝑋 𝐸 𝑤𝑖𝑋𝑖) +𝐸(

휀𝑖

𝑛− 𝑋 𝑤𝑖휀𝑖)

𝐸(𝑏0∗) = 𝛽0(1 − 𝑋 𝐸 𝑤𝑖) + 𝛽1𝐸(𝑋 − 𝑋 𝑤𝑖𝑋𝑖) +

𝐸(휀𝑖)

𝑛− 𝑋 𝐸 𝑤𝑖휀𝑖

Karena asumsi 1 di mana 𝐸 휀𝑖 = 0 , maka;

𝐸(𝑏0∗) = 𝛽0(1 − 𝑋 𝐸 𝑤𝑖) + 𝛽1𝐸(𝑋 − 𝑋 𝑤𝑖𝑋𝑖) +

𝐸(휀𝑖)

𝑛− 𝑋 𝐸 𝑤𝑖휀𝑖

𝐸(𝑏0∗) = 𝛽0(1 − 𝑋 𝐸 𝑤𝑖) + 𝛽1𝐸(𝑋 − 𝑋 𝑤𝑖𝑋𝑖) −𝑋 𝐸 𝑤𝑖휀𝑖

Agar 𝐸(𝑏0∗) = 𝛽0 maka 𝑤𝑖 = 0, 𝑤𝑖𝑋𝑖 = 1, dan 𝑤𝑖휀𝑖 = 0, diketahui 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 +

𝑐𝑖 sehingga 𝑐𝑖 = 0 dan 𝑐𝑖𝑋𝑖 = 0.

Akan dibuktikan 𝑏0 memiliki varians yang minimum

Var (𝑏0∗) = 𝐸[ 𝑏0

∗ − 𝐸(𝑏0∗ ]2

Dari persamaan (3.21) di mana 𝐸 𝑏0 = 𝛽0, maka;

Var (𝑏0∗) = 𝐸[ 𝑏0

∗ − 𝛽0 ]2

= 𝐸( [(1

𝑛− 𝑋 𝑤𝑖)휀𝑖]

2

= 𝜎2 (1

𝑛− 𝑋 𝑤𝑖)

2

= 𝜎2 (𝑛1

𝑛2 + 𝑋 2 𝑤𝑖2 − 2

1

𝑛 𝑋 𝑤𝑖)

= 𝜎2 (1

𝑛+ 𝑋 2 𝑤𝑖

2 −2

𝑛 𝑋 𝑤𝑖 )

karena definisi 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 dan 𝑤𝑖 = 0, maka ;

= 𝜎2 (1

𝑛+ 𝑋 2 𝑤𝑖

2 −2

𝑛 𝑋 𝑤𝑖 )


53

= 𝜎2 (1

𝑛+ 𝑋 2 (𝑘𝑖 + 𝑐𝑖)

2)

= 𝜎2 (1

𝑛+ 𝑋 2 𝑘𝑖

2 + 𝑋 2 𝑐𝑖2)

= 𝜎2 (1


2 + 𝑋 2 𝑐𝑖2)

= 𝜎2 (1


2) + 𝜎2𝑋 2 𝑐𝑖2

= 𝜎2 1

𝑛+ 𝑋 2 1

𝑥𝑖2 + 𝜎2𝑋 2 𝑐𝑖

2

Dari proses persamaan (3.26) di mana Var (𝑏0) = 𝜎2 1

𝑛+ 𝑋 2 1

𝑥𝑖2 , maka;

= var (𝑏0) + 𝜎2𝑋 2 𝑐𝑖2 (3.29)

Oleh karena 𝑐𝑖2 selalu positif, maka Var (𝑏0*) > var (𝑏0), hanya apabila 𝑐𝑖

2 = 0

maka Var (𝑏0*) = var (𝑏0). Hal ini menunjukan bahwa 𝑏0 memiliki varians yang

minimum.

Data yang ada di dalam statistika cenderung berubah-ubah dari satu sampel

ke sampel lainnya, maka estimasi akan berubah dengan sendirinya (ipso facto),

karena hal tersebut diperlukan sebuah keakuratan dari sebuah estimator. Keakuratan

sebuah estimator tersebut diukur berdasarkan standar error-nya. Standar error adalah

sebuah alat ukur keakuratan estimator. Standar error dapat dicari dengan cara sebagai

berikut;

𝑆𝑒 𝑏0 = 𝑉𝑎𝑟(𝑏0) (3.30)

Di mana Var (𝑏0) = 𝜎2( 𝑋𝑖

2

𝑛 𝑥𝑖2) (dari persamaan (3.26)), sehingga persamaan (3.30)

menjadi,


54

𝑆𝑒 𝑏0 = 𝜎2( 𝑋𝑖

2

𝑛 𝑥𝑖2)

𝑆𝑒 𝑏0 = 𝜎 ( 𝑋𝑖

2

𝑛 𝑥𝑖2) (3.31)

𝑆𝑒 𝑏1 = 𝑉𝑎𝑟(𝑏1) (3.32)

Di mana Var 𝑏1 = 𝜎2 1

𝑥𝑖2 ( dari persamaan (3.25)), sehingga persamaan (3.32)

menjadi,

𝑆𝑒 𝑏1 = 𝜎2 1

𝑥𝑖2

𝑆𝑒 𝑏1 = 𝜎 1

𝑥𝑖2 (3.33)

Di mana 𝑆𝑒 adalah standar error dan 𝑉𝑎𝑟 adalah varians. Standar error tidak lain

adalah standar deviasi sebuah distribusi sampling dari sebuah estimator.

Kebaikan suatu garis regresi diukur dengan koefisien determinasi. Koefisien

determinasi adalah ukuran ikhtisar yang mengatakan seberapa baik garis regresi

sampel mencocokan data. Koefisien determinasi untuk kasus dua variabel

dilambangkan dengan 𝑟2 sedangkan untuk regresi berganda dilambangkan dengan

𝑅2.

Sebelum membahas lebih jauh mengenai koefisien determinasi, terlebih

dahulu akan dibahas mengenai bentuk simpangan regresi. Bentuk simpangan


55

merupakan bentuk alternatif di mana baik X maupun Y dinyatakan sebagai

simpangan dari nilai rata-ratanya.

𝑌𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖 + 𝑒𝑖 (3.4)

Kedua ruas dijumlahkan

𝑌𝑖 = 𝑛𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖 + 𝑒𝑖

karena 𝑒𝑖 = 0, maka

𝑌𝑖 = 𝑛𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖 + 𝑒𝑖

= 𝑛𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖

kedua ruas dibagi dengan n

𝑌𝑖

𝑛 = 𝑏0 + 𝑏1

𝑋𝑖

𝑛

𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 (3.34)

Dengan mengurangkan (3.34) dengan (3.4), diperoleh,

𝑌𝑖 − 𝑌 = (𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖 + 𝑒𝑖) − 𝑏0 + 𝑏1𝑋

𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝑏1 𝑋𝑖 − 𝑋 + 𝑒𝑖

dari definisi 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 di mana 𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋 dan 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌 , sehingga;

𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝑏1 𝑋𝑖 − 𝑋 + 𝑒𝑖

𝑦𝑖 = 𝑏1𝑥𝑖 + 𝑒𝑖 (3.35)

Sehingga

𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑏1𝑥𝑖 (3.36)

Persamaan (3.34) ini merupakan persamaan dalam bentuk simpangan.

Ý = 𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖 (3.5)

Kedua ruas dijumlahkan


56

Ý = 𝑛 𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖

Kedua ruas dibagi dengan n

Ý

𝑛 = 𝑏0 + 𝑏1

𝑋𝑖

𝑛

Ý = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 (3.37)

Dengan mengurangkan (3.37) dengan (3.5) diperoleh;

Ý − Ý = (𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖) − 𝑏0 + 𝑏1𝑋

Ý − Ý = 𝑏1 𝑋𝑖 − 𝑋 (3.38)

𝑦 𝑖 didefinisikan Ý − Ý , dan dari definisi 𝑥𝑖 di mana𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋 ,sehingga persamaan

(3.37) menjadi:

𝑦 𝑖 = 𝑏1𝑥𝑖 (3.39)

akan dibuktikan 𝑦 𝑖𝑒𝑖 = 0

𝑦 𝑖 = 𝑏1𝑥𝑖 (3.40)

kedua ruas dikalikan dengan 𝑒𝑖

𝑦 𝑖 = 𝑏1𝑥𝑖

𝑦 𝑖𝑒𝑖 = 𝑏1𝑥𝑖𝑒𝑖

kedua ruas dijumlahkan

𝑦 𝑖𝑒𝑖 = 𝑏1 𝑥𝑖𝑒𝑖

Substitusi persamaan (3.36) di mana 𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑏1𝑥𝑖

𝑦 𝑖𝑒𝑖 = 𝑏1 𝑥𝑖𝑒𝑖

= 𝑏1 𝑥𝑖(𝑦𝑖 − 𝑏1𝑥𝑖)

= 𝑏1 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑏1 𝑥𝑖2)


57

= 𝑏1 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2 − 𝑏1

2 𝑥𝑖2

= 𝑏1 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2 𝑥𝑖

2 − 𝑏12 𝑥𝑖

2

Dari persamaan (3.12) di mana 𝑏1 = 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑦𝑖

𝑥𝑖 2 𝑛

𝑖=1

, maka;

= 𝑏1𝑏1 𝑥𝑖2 − 𝑏1

2 𝑥𝑖2

= 𝑏12 𝑥𝑖

2 −𝑏12 𝑥𝑖

2

𝑦 𝑖𝑒𝑖 = 0 (3.41)

Untuk menghitung 𝑟2 dilakukan langkah-langkah berikut ini:

𝑦𝑖 = 𝑏1𝑥𝑖 + 𝑒𝑖 (3.35)

Dari persamaan (3.39) di mana 𝑦 𝑖 = 𝑏1𝑥𝑖 , maka;

𝑦𝑖 = 𝑏1𝑥𝑖 + 𝑒𝑖

𝑦𝑖 = 𝑦 𝑖 + 𝑒

kedua ruas dikuadratkan,

𝑦𝑖2 = 𝑦 𝑖

2 + 𝑒2 + 2𝑦 𝑖𝑒

kedua ruas dijumlahkan


2 + 𝑒2 + 2 𝑦 𝑖𝑒

Dari persamaan (3.41) di mana 𝑦 𝑖𝑒𝑖 = 0, maka;

= 𝑦 𝑖2 + 𝑒2 + 2 𝑦 𝑖𝑒


2 + 𝑒2

= (𝑏1𝑥𝑖)2 + 𝑒2

𝑦𝑖2 = 𝑏1

2 𝑥𝑖2 + 𝑒2 (3.42)


58

Di mana 𝑦𝑖2 = (𝑌𝑖 − 𝑌 )2 adalah variasi total dari nilai Y nyata untuk

rerata sampelnya yang dapat juga dinamakan total jumlah kuadrat( total sum of

squares-TSS). 𝑦 𝑖2 = (Ý − Ý )2 = (Ý − 𝑌 )2 =𝑏1

2 𝑥𝑖

2 adalah penjelasan atas

jumlah kuadrat (explained sum of squares-ESS). 𝑒2 adalah residual atau variasi

nilai Y yang tidak terjelaskan di sekitar garis regresi, lebih dikenal RSS, sehingga

persamaan (3.42) dapat ditulis:

TSS = ESS + RSS (3.43)

𝑟2 didefinisikan sebagai berikut:

𝑟2 =𝐸𝑆𝑆

𝑇𝑆𝑆

=𝑏1

2 𝑥𝑖2

𝑦𝑖2 (3.44)

Dari persamaan (3.42) di mana 𝑦𝑖2 = 𝑏1

2 𝑥𝑖2 + 𝑒2 maka, 𝑏1

2 𝑥𝑖2 = 𝑦𝑖

2 −

𝑒2

Sehingga,

=𝑏1

2 𝑥𝑖2

𝑦𝑖2

= 𝑦𝑖

2− 𝑒2

𝑦𝑖2

= 𝑦𝑖

2

𝑦𝑖2 −

𝑒2

𝑦𝑖2

𝑟2 = 1 − 𝑒2

𝑦𝑖2 (3.45)

atau dalam bentuk lain sebagai berikut;

𝑟2 = 1 −𝑅𝑆𝑆

𝑇𝑆𝑆 (3.46)


59

Dari persamaan (3.45), jika taksiran memiliki ketepatan sempurna, maka:

𝑒2 = 0 , sehingga;

𝑟2 = 1 − 𝑒2

𝑦𝑖2 (3.47)

= 1 − 0

𝑟2 = 1 (3.48)

Nilai 𝑟2 = 1 menunjukan ketepatan terbaik ( best fit). Jika garis regresi sampel adalah

garis horizontal (𝑏1 = 0) maka;

𝑦𝑖2 = 𝑏1

2 𝑥𝑖2 + 𝑒2 (3.49)

= 0 + 𝑒2

𝑦𝑖2 = 𝑒2 (3.50)

Akibat dari persamaan (3.50) adalah

𝑟2 = 1 − 𝑒2

𝑦𝑖2 (3.51)

= 1 − 𝑦𝑖

2

𝑦𝑖2

= 1 − 1

𝑟2 = 0 (3.52)

Dari persamaan (3.45) di mana 𝑟2 =𝑏1

2 𝑥𝑖2

𝑦𝑖2 dan (3.15) di mana 𝑏1 =

𝑥𝑖(𝑦𝑖 )

𝑥𝑖2

diperoleh:

𝑟2 =( 𝑥𝑖𝑦𝑖 )

( 𝑥𝑖2)

2

2 𝑥𝑖2

𝑦𝑖2

𝑟2 =( 𝑥𝑖𝑦𝑖 )

2

𝑥𝑖2 𝑦𝑖

2 (3.53)


60

Dari persamaan (3.51) dan (3.52) dapat disimpulkan bahwa batas-batas 𝑟2 adalah nol

dan 1, 0 ≤ 𝑟2 ≤ 1. Berikut ini adalah sifat-sifat dari 𝑟2 :

1. Besarnya tidak pernah negatif

2. Batasannya adalah 0 ≤ 𝑟2 ≤ 1

Dari persamaan (3.53) dapat diperoleh nilai r, di mana r adalah koefisien

korelasi :

𝑟 =( 𝑥𝑖𝑦𝑖 )

𝑥𝑖2 𝑦𝑖

2 (3.54)

B. ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA

Analisis regresi linier berganda adalah analisis regresi linier yang terdiri dari

satu variabel terikat Y, dan lebih dari satu variabel bebas X. Contoh, pengeluaran

konsumsi mingguan keluarga dipengaruhi oleh pendapatan mingguan dan kekayaan.

Analisis regresi linier berganda dirumuskan dengan persamaan,

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 휀𝑖 (3.55)

𝑖 = (1,2,3,… , 𝑛)

Di mana Y adalah variabel tak bebas, 𝑋2, 𝑋3, ⋯𝑋𝑛 adalah variabel bebas, 𝑘 adalah

banyaknya variabel bebas 휀𝑖 adalah faktor gangguan. 𝛽0 adalah intercept, 𝛽1 sampai

𝛽𝑘 adalah koefisien regresi, i adalah pengamatan ke i, serta n adalah banyaknya

pengamatan. Oleh karena “i” menunjukan pengamatan ke-i, maka terdapat “n”

persamaan.

𝑌1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋11 + 𝛽2𝑋21 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘1 + 휀1

𝑌2 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋12 + 𝛽2𝑋22 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘2 + 휀2


61

… … … … … … …

… … … … … … …

𝑌𝑛 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑛 + 𝛽2𝑋2𝑛 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑛 + 휀𝑛

Persamaan-persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks:

𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 (3.56)

Di mana:

𝒀 =

𝑌1

𝑌2

⋮⋮𝑌𝑛

𝑿 =

1 𝑋11 𝑋21 ⋯ 𝑋𝑘1

1 𝑋12 𝑋22 ⋯ 𝑋𝑘2

⋮⋮1

⋮⋮

𝑋1𝑛

⋮⋮

𝑋2𝑛

⋮⋮⋯

⋮⋮

𝑋𝑘𝑛

𝜷 =

𝛽0

𝛽1

𝛽2

⋮⋮𝛽𝑘

dan 𝜺 =

휀1휀2

⋮⋮휀𝑛

(3.57)

𝒀 = vektor variabel tak bebas berordo 𝑛 × 1

𝑿 = matriks variabel bebas berordo 𝑛 × (𝑘 + 1)

𝜷 = vektor parameter yang tidak diketahui berordo (𝑘 + 1) × 1

𝜺 = vektor gangguan berordo 𝑛 × 1

Asumsi-asumsi di dalam regresi berganda adalah sebagai berikut:

1. Dalam persamaan (3.57) diketahui 𝜺 =

휀1휀2

⋮휀𝑛

, maka ;

𝐸(𝜺) = 𝐸

휀1휀2

⋮휀𝑛


62

=

𝐸(휀1)

𝐸(휀2)⋮

𝐸(휀𝑛)

Karena asumsi 1 dalam regresi sederhana di mana (휀𝑖) = 0 , maka;

𝐸(𝜺) =

𝐸(휀1)

𝐸(휀2)⋮

𝐸(휀𝑛)

=

00⋮0

𝐸(𝜺) = 𝟎

Di mana 𝜺 merupakan matriks berordo 𝑛 × 1 dan 𝟎 merupakan matriks nol.

2. Asumsi-asumsi lain yang ada pada regresi sederhana adalah:

𝑐𝑜𝑣 휀𝑖 , 휀𝑗 = 𝐸 휀𝑖 − 𝐸 휀𝑖 [휀𝑗 − 𝐸 휀𝑗 ]

= 𝐸(휀𝑖휀𝑗 ) karena asusmsi 1

= 0 𝑖 ≠ 𝑗

𝑣𝑎𝑟 휀𝑖 휀𝑗 = 𝐸[휀𝑖 − 𝐸 휀𝑖 ]2

= 𝐸[휀𝑖]2 karena asumsi 1

= 𝜎2


63

Dalam regresi berganda kedua asumsi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut;

𝐸[𝜺]2 = 𝐸(𝜺𝜺𝒕)

Jadi 𝜺𝜺𝑻 =

휀1휀2

⋮⋮휀𝑛

휀1휀2휀3 ⋯휀𝑛

𝜺𝜺𝑻 =

휀1

2 휀1휀2 휀1휀3⋯ 휀1휀𝑛

휀2휀1 휀22 휀2휀3

⋯ 휀2휀𝑛

⋮⋮

휀𝑛휀1

⋮⋮

휀𝑛휀2

⋮⋮

휀3휀1

⋮⋮⋯

⋮⋮

휀𝑛2

Dan 𝐸(𝜺𝜺𝑻) =

𝐸[휀1

2] 𝐸[휀1휀2] 𝐸[휀1휀3] ⋯ 𝐸[휀1휀𝑛 ]

𝐸[휀2휀1] 𝐸[휀22] 𝐸[휀2휀3] ⋯ 𝐸[휀2휀𝑛 ]

⋮⋮

𝐸[휀𝑛휀1]

⋮⋮

𝐸[휀𝑛휀2]

⋮⋮

𝐸[휀3휀1]

⋮⋮⋯

⋮⋮

𝐸[휀𝑛2]

Karena asumsi kovarians dan varians dalam regresi sederhana , maka;

𝐸(𝜺𝜺𝑻) =

𝜎휀

2 0 0 ⋯ 0

0 𝜎휀2 0 ⋯ 0

⋮⋮0

⋮⋮0

⋮⋮0

⋮⋮⋯

⋮⋮

𝜎휀2

Jadi:

𝐸 𝜺𝜺𝒕 = 𝜎휀2

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 0⋮⋮0

⋮⋮0

⋮⋮0

⋮⋮⋯

⋮⋮1

=𝜎휀2𝐼𝑛 di mana 𝐼𝑛 adalah matriks identitas.


64

Matriks di atas merupakan matriks varians-kovarians dari faktor gangguan 𝜺𝑖 .

Elemen-elemen diagonal utama matriks yang dimulai dari sudut kiri atas hingga sudut

kanan bawah akan menjadi varians, dan elemen yang tidak berada pada diagonal

utama akan menjadi kovarians. Apabila elemen-elemen pada diagonal utama tidak

sama dengan 𝜎휀2 maka akan terjadi heteroskedastisitas, dan apabila elemen lain yang

tidak berada pada diagonal utama tidak sama dengan nol, maka terjadi otokorelasi.

3. X adalah suatu himpunan bilangan yang tetap dalam pengamatan yang berulang.

4. Tidak ada multikolinieritas

Sebelum membahas penaksir , akan dibahas terlebih dahulu mengenai

regresi sampel untuk regresi berganda. Persamaan regresi sampel dalam regresi linier

berganda yaitu:

𝑌𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋1𝑖 + 𝑏2𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑒𝑖 (3.58)

Persamaan regresi sampel dalam bentuk matriks yaitu:

𝒀 = 𝑿𝒃 + 𝒆 (3.59)

Atau

𝒆 = 𝒀 − 𝑿𝒃 (3.60)

Penaksir-penaksir dalam regresi linier berganda juga dicari dengan

menggunakan OLS. Prinsip dari OLS untuk regresi linier berganda juga sama dengan

regresi linier sederhana yaitu meminimumkan


65

𝑒2 = 𝑒12 + 𝑒2

2 + 𝑒32 + ⋯ + 𝑒𝑛

2𝑛𝑖=1 (3.61)

Persamaan (3.61) dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

𝑒2 = 𝑒1𝑒2 …𝑒𝑛

𝑒1

𝑒2

⋮⋮𝑒𝑛

𝑛𝑖=1 = 𝒆𝑻𝒆 (3.62)

Jadi

𝒆𝟐 = 𝒆𝒕𝒆

= (𝒀 − 𝑿𝒃 )𝑡(𝒀 − 𝑿𝒃 )

𝒆𝟐 = 𝒆𝒕𝒆 = 𝒀𝑡𝒀 − 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 − 𝒀𝒕𝑿𝒃 + 𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝒃 (3.63)

Sesuai dengan sifat-sifat transpose matriks, ( 𝑿𝒃 )𝑡 = 𝒃𝒕𝑿𝒕. Selanjutnya akan

dibuktikan bahwa 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 = 𝒀𝒕𝒃𝑿.

Bukti:

𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 = (𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀)𝒕 jika matriks 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 merupakan matriks simetri dan merupakan

matriks skalar berordo 1 x 1, maka:

Diketahui :

𝒃 adalah vektor berordo (𝑘 + 1) × 1, maka 𝒃𝒕 vektor berordo 1 × (𝑘 + 1), 𝑿

merupakan matriks yang berordo 𝑛 × 𝑘 + 1 , maka 𝑿𝒕 adalah matriks yang berordo

𝑘 + 1 × 𝑛, Y adalah vektor berordo 𝑛 × 1 . Sesuai dengan definisi mengenai

perkalian matriks yaitu jika A adalah sebuah matriks 𝑚 × 𝑛 dan B adalah sebuah

matriks 𝑚 × 𝑛 maka AB adalah matriks 𝑚 × 𝑚, dan sesuai dengan sifat asosiatif

perkalian matriks sehingga (𝒃𝒕𝑿𝒕)𝒀 = 𝒃𝒕(𝑿𝒕𝒀) maka (𝑿𝒕𝒀) adalah matriks yang


66

berordo 𝑘 + 1 × 1, maka 𝒃𝒕(𝑿𝒕𝒀) adalah matriks yang berordo 1 × 1 . Maka

𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 merupakan matriks skalar. Karena matriks 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 merupakan matriks skalar

maka terbukti 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 = (𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀)𝒕 , sehingga sesuai dengan sifat transpose matriks;

𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 = (𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀)𝒕

𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 = 𝒀𝒕𝒃𝑿 (3.64)

Persamaan (3.63) menjadi :

𝒆𝒕𝒆 = 𝒀𝑡𝒀 − 𝟐𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝒃 (3.65)

Persamaan (3.65) diturunkan secara parsial, agar 𝒆𝒕𝒆 = 𝒀𝑡𝒀 − 𝟐𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 +

𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝒃 minimum, kemudian persamaan tersebut disamakan dengan nol, sebagai

berikut:

𝛿(𝒆𝒕𝒆)

𝛿𝑏=

𝛿(𝒀𝑡𝒀−𝟐𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀+𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝒃 )

𝛿𝑏

0 = −2𝑿𝒕𝒀 + 𝟐𝑿𝒕𝑿𝒃

Bukti :

𝒀𝑡𝒀 = 𝑦1 𝑦2⋯ 𝑦𝑛

𝑦1

𝑦2

⋮𝑦𝑛

= 𝑦1𝑦1 + 𝑦2𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑛𝑦𝑛

= 𝑦12 + 𝑦2

2 + ⋯ + 𝑦𝑛2

Sehingga 𝜕(𝒀𝑡𝒀)

𝜕𝑏=

𝜕 𝑦12+ 𝑦2

2+⋯+ 𝑦𝑛2

𝜕𝑏 = 0


67

𝑏𝒕𝑿𝒕𝒀 = 𝑏0 𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑘

1𝑥11𝑥12

⋮𝑥1𝑘

1 1𝑥21 𝑥31𝑥22 𝑥32

⋮ ⋮𝑥2𝑘 𝑥3𝑘

⋯⋯⋯……

1𝑥𝑛1𝑥𝑛2

⋮𝑥𝑛𝑘

𝑦1

𝑦2𝑦3

⋮𝑦𝑛

= 𝑏0 𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑘

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛

𝑥11𝑦1 + 𝑥21𝑦2 + 𝑥31𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛1𝑦𝑛

𝑥12𝑦1 + 𝑥22𝑦2 + 𝑥32𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛2𝑦𝑛

…………………………………𝑥1𝑘𝑦1 + 𝑥2𝑘𝑦2 + 𝑥3𝑘𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘𝑦𝑛

=

𝑏0 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛 + 𝑏1 𝑥11𝑦1 + 𝑥21𝑦2 + 𝑥31𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛1𝑦𝑛

+𝑏2 𝑥12𝑦1 + 𝑥22𝑦2 + 𝑥32𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛2𝑦𝑛

+ ⋯ + 𝑏𝑘 (𝑥1𝑘𝑦1 + 𝑥2𝑘𝑦2 + 𝑥3𝑘𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘𝑦𝑛)

Sehingga

𝜕 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀

𝜕𝑏0 =

𝜕 𝑏0 𝑦1+ 𝑦2+𝑦3+⋯+𝑦𝑛 + 𝑏1 𝑥11𝑦1+ 𝑥21𝑦2+𝑥31𝑦3+⋯+𝑥𝑛1𝑦𝑛

+𝑏2 𝑥12𝑦1+ 𝑥22𝑦2+𝑥32𝑦3+⋯+𝑥𝑛2𝑦𝑛

+⋯+ 𝑏𝑘 (𝑥1𝑘𝑦1+ 𝑥2𝑘𝑦2+𝑥3𝑘𝑦3+⋯+𝑥𝑛𝑘 𝑦𝑛 )

𝜕𝑏0

= 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛


𝜕𝑏1 =

𝜕 𝑏 𝑦1+ 𝑦2+𝑦3+⋯+𝑦𝑛 + 𝑏1 𝑥11𝑦1+ 𝑥21𝑦2+𝑥31𝑦3+⋯+𝑥𝑛1𝑦𝑛

+𝑏2 𝑥12𝑦1+ 𝑥22𝑦2+𝑥32𝑦3+⋯+𝑥𝑛2𝑦𝑛


𝜕𝑏1

= 𝑥11𝑦1 + 𝑥21𝑦2 + 𝑥31𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛1𝑦𝑛


𝜕𝑏2 =


+𝑏2 𝑥12𝑦1+ 𝑥22𝑦2+𝑥32𝑦3+⋯+𝑥𝑛2𝑦𝑛


𝜕𝑏2


68

= 𝑥12𝑦1 + 𝑥22𝑦2 + 𝑥32𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛2𝑦𝑛


𝜕 𝑏𝑘 =


+𝑏2 𝑥12𝑦1+ 𝑥22𝑦2+𝑥32𝑦3+⋯+𝑥𝑛2𝑦𝑛

+ ⋯+ 𝑏𝑘 (𝑥1𝑘𝑦1+ 𝑥2𝑘𝑦2+𝑥3𝑘𝑦3+⋯+𝑥𝑛𝑘 𝑦𝑛 )

𝜕 𝑏𝑘

= 𝑥1𝑘𝑦1 + 𝑥2𝑘𝑦2 + 𝑥3𝑘𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘𝑦𝑛

Jadi


𝜕 𝑏𝑘=

𝜕(𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀)

𝜕 𝑏0


𝜕 𝑏1


𝜕 𝑏2

⋮𝜕(𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀)

𝜕 𝑏𝑘

=

𝑦1

+ 𝑦2

+ 𝑦3

+ ⋯ + 𝑦𝑛

𝑥11𝑦1+ 𝑥21𝑦2

+ 𝑥31𝑦3+ ⋯ + 𝑥𝑛1𝑦𝑛

𝑥12𝑦1+ 𝑥22𝑦2

+ 𝑥32𝑦3+ ⋯ + 𝑥𝑛2𝑦𝑛

⋮𝑥1𝑘𝑦1

+ 𝑥2𝑘𝑦2+ 𝑥3𝑘𝑦3

+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑘𝑦𝑛

=

1𝑥11𝑥12

⋮𝑥1𝑘

1 1𝑥21 𝑥31𝑥22 𝑥32


⋯⋯⋯……

1𝑥𝑛1𝑥𝑛2

⋮𝑥𝑛𝑘

𝑦1

𝑦2𝑦3

⋮𝑦𝑛


69

= 𝑿𝒕𝒀

Perhatikan bahwa

𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿

= 𝑏0 𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑘

1

𝑥11𝑥12

⋮

𝑥1𝑘

1 1𝑥21 𝑥31𝑥22 𝑥32


⋯

⋯⋯…

…

1

𝑥𝑛1𝑥𝑛2

⋮

𝑥𝑛𝑘

1

11⋮

1

𝑥11 𝑥12

𝑥21 𝑥22𝑥31 𝑥32

⋮ ⋮𝑥𝑛1 𝑥𝑛2

⋯

⋯⋯…

…

𝑥1𝑘

𝑥2𝑘𝑥3𝑘

⋮

𝑥𝑛𝑘

𝑏0

𝑏1

𝑏2

⋮

𝑏𝑘

= 𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 … + 𝑏𝑘𝑥1𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 … + 𝑏𝑘𝑥2𝑘

𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 … + 𝑏𝑘𝑥3𝑘 … . 𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 ×

𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘

𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + … + 𝑏𝑘𝑥3𝑘

…………………………………………𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘

=

𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥3𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + … + 𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

… + 𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 (𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 )

(3.66)

Hasil perkalian ruas kanan persamaan (3.66) bagian pertama:

𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘

= 𝑏0 𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘 + 𝑏1𝑥11 𝑏0 + 𝑏11𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘

+𝛽2𝑥12 𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝛽 𝑘𝑥1𝑘 + ⋯+ 𝛽𝑘𝑥1𝑘 𝑏0 + 𝑏11𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝛽 𝑘𝑥1𝑘


70

=

𝑏02 + 𝑏0 𝑏1𝑥11 + 𝑏0 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏0𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏1𝑥11𝑏0 + 𝑏12𝑥11

2 + 𝑏1𝑥11 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏11𝑥11𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏2𝑥12𝑏0 + 𝑏2𝑥12 𝑏1𝑥11 + 𝑏22𝑥12

2 + ⋯ + 𝑏2𝑥12𝑏𝑘𝑥1𝑘 + ⋯ +

𝑏𝑘𝑥1𝑘𝑏0 + 𝑏𝑘𝑥1𝑘 𝑏1𝑥11 + 𝑏𝑘𝑥1𝑘𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘2𝑥1𝑘

2

(1 )

Hasil perkalian ruas kanan persamaan (3.66) bagian kedua:

𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘

= 𝑏0 𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 + 𝑏1𝑥21 𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘

+𝑏2𝑥22 𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘

=

𝑏0

2 + 𝑏0 𝑏1𝑥21 + 𝑏0 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏0𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏1𝑥21𝑏0 + 𝑏12𝑥21

2 + 𝑏1𝑥21 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏1𝑥21𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏2𝑥22𝑏0 + 𝑏2𝑥22 𝑏1𝑥21 + 𝑏22𝑥22

2 + ⋯ + 𝑏2𝑥22𝑏𝑘𝑥2𝑘 + ⋯ +


2

( 2 )

Hasil perkalian ruas kanan persamaan (3.66) bagian ketiga:

𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + … + 𝑏𝑘𝑥3𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + … + 𝑏𝑘𝑥3𝑘

= 𝑏0 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + …+ 𝑏𝑘𝑥3𝑘 + 𝑏1𝑥31 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + …+ 𝑏𝑘𝑥3𝑘

+𝑏2𝑥32 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + …+ 𝑏𝑘𝑥3𝑘 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥3𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + …+ 𝑏𝑘𝑥3𝑘

=

𝑏0

2 + 𝑏0 𝑏1𝑥31 + 𝑏0 𝑏2𝑥32 + ⋯ + 𝑏0𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏1𝑥31𝑏0 + 𝑏12𝑥31

2 + 𝑏1𝑥31 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏1𝑥31𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏2𝑥32𝑏0 + 𝑏2𝑥32 𝑏1𝑥31 + 𝑏22𝑥32

2 + ⋯ + 𝑏2𝑥32𝑏𝑘𝑥3𝑘 + ⋯ +


2

( 3 )


71

Hasil perkalian ruas kanan persamaan (3.67) bagian terakhir:

𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 (𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 )

= 𝑏0 (𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 ) + 𝑏1𝑥𝑛1(𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 )

+𝑏2𝑥𝑛2(𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 ) + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 (𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 )

=

𝑏0

2 + 𝑏0 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏0 𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝑏0𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 +

𝑏1𝑥𝑛1𝑏0 + 𝑏12𝑥𝑛1

2 + 𝑏1𝑥𝑛1 𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝑏1𝑥𝑛1𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 +

𝑏2𝑥𝑛2𝑏0 + 𝑏2𝑥𝑛2 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏22𝑥𝑛2

2 + ⋯ + 𝑏2𝑥𝑛2𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 + ⋯ +

𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘𝑏0 + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝑏𝑘2𝑥𝑛𝑘

2

( 4 )

Kemudian persamaan 1, 2, 3, dan 4 diturunkan Terhadap 𝑏,

𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷 =

𝜕(𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)

𝜕 𝑏0


𝜕 𝑏1


𝜕 𝑏2

⋮𝜕(𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)

𝜕 𝑏𝑘

hasilnya adalah:

persamaan 1,2,3,4 diturunkan terhadap 𝑏0

=

𝜕

𝑏02 + 𝑏0 𝑏1𝑥11 + 𝑏0 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏0𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏1𝑥11𝑏0 + 𝑏12𝑥11

2 + 𝑏1𝑥11 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏1𝑥11𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏2𝑥12𝑏0 + 𝑏2𝑥12 𝑏1𝑥11 + 𝑏22𝑥12

2 + ⋯ + 𝑏2𝑥12𝑏𝑘𝑥1𝑘 + ⋯ +


2

𝜕𝑏0

= 2𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘


72

= (2𝑏0 + 2𝑥11𝑏1 + 2𝑥12𝑏2 + ⋯ + 2𝑥1𝑘𝑏𝑘 ) ( 1a )

𝜕

𝑏02 + 𝑏0 𝑏1𝑥21 + 𝑏0 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏0𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏1𝑥21𝑏0 + 𝑏12𝑥21

2 + 𝑏1𝑥21 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏1𝑥21𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏2𝑥22𝑏0 + 𝑏2𝑥22 𝑏1𝑥21 + 𝑏22𝑥22

2 + ⋯ + 𝑏2𝑥22𝑏𝑘𝑥2𝑘 + ⋯ +


2

𝜕𝑏0

= 2𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘

= 2𝑏0 + 2 𝑥21𝑏1 + 2 𝑥22𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥2𝑘𝑏𝑘 ( 2a )

𝜕

𝑏02+𝑏0𝑏1𝑥31+ 𝑏0 𝑏2𝑥32+⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏1𝑥31𝑏0+ 𝑏12𝑥31

2+ 𝑏1𝑥31 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏1𝑥31𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏2𝑥32𝑏0+𝑏2𝑥32 𝑏1𝑥31+ 𝑏22𝑥32

2+⋯+𝑏2𝑥32𝑏𝑘𝑥3𝑘 +⋯+

𝑏𝑘𝑥3𝑘𝑏 0+𝑏𝑘𝑥3𝑘 𝑏1𝑥31+ 𝑏𝑘𝑥3𝑘𝑏2𝑥32+⋯+𝑏𝑘2𝑥3𝑘

2

𝜕𝑏0

= 2𝑏0 + 𝑥31𝑏1 + 𝑥32𝑏2 + ⋯ + 𝑥3𝑘𝑏𝑘 + 𝑥31𝑏1 + 𝑥32𝑏2 + ⋯ + 𝑥3𝑘𝑏𝑘

= 2𝑏0 + 2 𝑥31𝑏1 + 2 𝑥32𝑏2 + ⋯ + 2𝑥3𝑘𝑏𝑘 ( 3a )

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥𝑛1+ 𝑏0 𝑏2𝑥𝑛2+⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 +

𝑏1𝑥𝑛1𝑏0+ 𝑏12𝑥𝑛1

2+ 𝑏1𝑥𝑛1 𝑏2𝑥𝑛2+⋯+𝑏1𝑥𝑛1𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 +

𝑏2𝑥𝑛2𝑏0+𝑏2𝑥𝑛2 𝑏1𝑥𝑛1+ 𝑏22𝑥𝑛2

2+⋯+𝑏2𝑥𝑛2𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 +⋯+

𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 𝑏0+𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 𝑏1𝑥𝑛1+ 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 𝑏2𝑥𝑛2+⋯+𝑏𝑘2𝑥𝑛𝑘

2

𝜕𝑏0

= 2𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘


73

= 2𝑏0 + 2 𝑏1𝑥𝑛1 + 2 𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 2 𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘 ( 4a )

Jadi hasil keseluruhan 𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷 yang diTurunkan Terhadap 𝑏0 adalah:


𝜕𝑏0= (2𝑏0 + 2𝑏1𝑥11 + 2𝑏2𝑥12 + ⋯ + 2𝑥1𝑘𝑏𝑘) + 2𝑏0 + 2 𝑏1𝑥21 +

2 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 2 𝑥2𝑘𝑏𝑘 + 2𝑏0 + 2 𝑏1𝑥31 + 2 𝑏2𝑥32 + ⋯ +

2𝑥3𝑘𝑏𝑘 + ⋯ + 2𝑏0 + 2 𝑏1𝑥𝑛1 + 2 𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 2 𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘

Persamaan 1, 2, 3, dan 4 diTurunkan Terhadap 𝑏1, hasilnya adalah:

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥11 + 𝑏0 𝑏2𝑥12 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏1𝑥11𝑏0+ 𝑏12𝑥11

2+ 𝑏1𝑥11 𝑏2𝑥12 +⋯+𝑏1𝑥11𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏2𝑥12𝑏0+𝑏2𝑥12 𝑏1𝑥11+ 𝑏22𝑥12

2+⋯+𝑏2𝑥12𝑏𝑘𝑥1𝑘 +⋯+

𝑏𝑘𝑥1𝑘𝑏0+𝑏𝑘𝑥1𝑘 𝑏1𝑥11+ 𝑏𝑘𝑥1𝑘𝑏2𝑥12+⋯+𝑏𝑘2𝑥1𝑘

2

𝜕𝑏1

= 𝑥11𝑏0 + 𝑥11𝑏0 + 2𝑥112𝑏1 + 𝑥11 𝑥12𝑏2 + ⋯ + 𝑥1𝑘𝑥11𝑏𝑘 + 𝑥11𝑥12 𝑏2 + ⋯

+ 𝑥1𝑘 𝑥11𝑏𝑘

= (2𝑥11𝑏0 + 2𝑥112𝑏1 + 2𝑥11 𝑥12𝑏2 + ⋯ + 2𝑥1𝑘 𝑥11𝑏𝑘) ( 1b )

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥21 + 𝑏0 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏1𝑥21𝑏0+ 𝑏12𝑥21

2+ 𝑏1𝑥21 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏1𝑥21𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏2𝑥22𝑏0+𝑏2𝑥22 𝑏1𝑥21+ 𝑏22𝑥22

2+⋯+𝑏2𝑥22𝑏𝑘𝑥2𝑘 +⋯+


2

𝜕𝑏1


74

= 𝑥21𝑏0 + 𝑥21𝑏0 + 2𝑥212𝑏1 + 𝑥21 𝑥22𝑏2 + ⋯ + 𝑥2𝑘𝑥21𝑏𝑘 + 𝑥21 𝑥22𝑏2 + ⋯


= (2𝑥21𝑏0 + 2𝑥212𝑏1 + 2 𝑥21 𝑥22𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥2𝑘 𝑥21𝑏𝑘) ( 2b )

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥31 + 𝑏0 𝑏2𝑥32 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏1𝑥31𝑏0+ 𝑏12𝑥31

2+ 𝑏1𝑥31 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏1𝑥31𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏2𝑥32𝑏0+𝑏2𝑥32 𝑏1𝑥31+ 𝑏22𝑥32

2+⋯+𝑏2𝑥32𝑏𝑘𝑥3𝑘 +⋯+


2

𝜕𝑏1

= 𝑥31𝑏0 + 𝑥31𝑏0 + 2𝑥312𝑏1 + 𝑥31 𝑥32𝑏2 + ⋯ + 𝑥3𝑘𝑥31𝑏𝑘 + 𝑥31𝑥32𝑏2 + ⋯


= (2𝑥31𝑏0 + 2𝑥312𝑏1 + 2𝑥31 𝑥32𝑏2 + ⋯ + 2𝑥3𝑘 𝑥31𝑏𝑘) ( 3b )

𝜕







2

𝜕𝑏1

= 𝑥𝑛1𝑏0 + 𝑥𝑛1𝑏0 + 2𝑥𝑛12𝑏1 + 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2𝑏2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘𝑥𝑛1𝑏𝑘 + 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2𝑏2 + ⋯

+ 𝑥𝑛𝑘𝑥𝑛1𝑏𝑘

= (2𝑥𝑛1𝑏0 + 2𝑥𝑛12𝑏1 + 2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥𝑛𝑘𝑥𝑛1𝑏𝑘) ( 4b )



75


𝜕𝑏1= (2𝑥11𝑏0 + 2𝑥11

2𝑏1 + 2𝑥11 𝑥12𝑏2 + ⋯ + 2𝑥1𝑘 𝑥11𝑏𝑘) + (2𝑥21𝑏0

+ 2𝑥212𝑏1 + 2 𝑥21 𝑥22𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥2𝑘 𝑥21𝑏𝑘) + (2𝑥31𝑏0 + 2𝑥31

2𝑏1

+ 2𝑥31 𝑥32𝑏2 + ⋯ + 2𝑥3𝑘 𝑥31𝑏𝑘) + ⋯ + (2𝑥𝑛1𝑏0 + 2𝑥𝑛12𝑏1

+ 2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥𝑛𝑘𝑥𝑛1𝑏𝑘)

Persamaan 1,2 ,3 , dan 4 diTurunkan Terhadap 𝑏2, hasilnya adalah:

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥11 + 𝑏0 𝑏2𝑥12 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏1𝑥11𝑏0+ 𝑏12𝑥11

2+ 𝑏1𝑥11 𝑏2𝑥12 +⋯+𝑏1𝑥11𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏2𝑥12𝑏0+𝑏2𝑥12 𝑏1𝑥11+ 𝑏22𝑥12

2+⋯+𝑏2𝑥12𝑏𝑘𝑥1𝑘 +⋯+


2

𝜕𝑏2

= 𝑥12𝑏0 + 𝑥11𝑥12 𝑏1 + 𝑥12𝑏0 + 𝑥11 𝑥12𝑏1 + 2 𝑥122𝑏2 + ⋯ + 𝑥12𝑥1𝑘𝑏𝑘 + ⋯

+ 𝑥12𝑥1𝑘𝑏𝑘

= (2𝑥12𝑏0 + 2𝑥11𝑥12 𝑏1 + 2 𝑥122𝑏2 + ⋯ + 2𝑥12𝑥1𝑘𝑏𝑘) ( 1c )

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥21 + 𝑏0 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏1𝑥21𝑏0+ 𝑏12𝑥21

2+ 𝑏1𝑥21 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏1𝑥21𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏2𝑥22𝑏0+𝑏2𝑥22 𝑏1𝑥21+ 𝑏22𝑥22

2+⋯+𝑏2𝑥22𝑏𝑘𝑥2𝑘 +⋯+


2

𝜕𝑏2




76

= (2𝑥22𝑏0 + 2𝑥21𝑥22 𝑏1 + 2 𝑥222𝑏2 + ⋯ + 2𝑥22𝑥2𝑘𝑏𝑘) ( 2c )

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥31 + 𝑏0 𝑏2𝑥32 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏1𝑥31𝑏0+ 𝑏12𝑥31

2+ 𝑏1𝑥31 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏1𝑥31𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏2𝑥32𝑏0+𝑏2𝑥32 𝑏𝑘𝑥31+ 𝑏22𝑥32

2+⋯+𝑏2𝑥32𝑏𝑘𝑥3𝑘 +⋯+


2

𝜕𝑏2



= (2𝑥32𝑏0 + 2𝑥31𝑥32 𝑏1 + 2 𝑥322𝑏2 + ⋯ + 2𝑥32𝑥3𝑘𝑏𝑘) ( 3c )

𝜕






𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 𝑏0+𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 𝑏1𝑥𝑛1+ 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘 𝛽 2𝑥𝑛2+⋯+𝑏𝑘2𝑥𝑛𝑘

2

𝜕𝑏2

= 𝑥𝑛2𝑏0 + 𝑥𝑛1𝑥𝑛2 𝑏1 + 𝑥𝑛2𝑏0 + 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2𝑏1 + 2 𝑥𝑛22𝑏2 + ⋯ + 𝑥𝑛2𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘 + ⋯

+ 𝑥𝑛2𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘

= (2𝑥𝑛2𝑏0 + 2𝑥𝑛1𝑥𝑛2 𝑏1 + 2 𝑥𝑛22𝑏2 + ⋯ + 2𝑥𝑛2𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘) ( 4c )



77


𝜕𝑏2= (2𝑥12𝑏0 + 2𝑥11𝑥12 𝑏1 + 2 𝑥12

2𝑏2 + ⋯ + 2𝑥12𝑥1𝑘𝑏𝑘) + (2𝑥22𝑏0

+ 2𝑥21𝑥22 𝑏1 + 2 𝑥222𝑏2 + ⋯ + 2𝑥22𝑥2𝑘𝑏𝑘) + (2𝑥32𝑏0 + 2𝑥31𝑥32 𝑏1

+ 2 𝑥322𝑏2 + ⋯ + 2𝑥32𝑥3𝑘𝑏𝑘) + ⋯ + (2𝑥𝑛2𝑏0 + 2𝑥𝑛1𝑥𝑛2 𝑏1 + 2 𝑥𝑛2

2𝑏2

+ ⋯ + 2𝑥𝑛2𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘)

Persamaan 1, 2, 3, dan 4 diTurunkan Terhadap 𝛽 𝑘 , hasilnya adalah:

𝜕

𝜕 𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥11 + 𝑏0 𝑏2𝑥12 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏1𝑥11𝑏0+ 𝑏12𝑥11

2+ 𝑏1𝑥11 𝑏2𝑥12 +⋯+𝑏1𝑥11𝑏𝑘𝑥1𝑘 +

𝑏2𝑥12𝑏0+𝑏2𝑥12 𝑏1𝑥11+ 𝑏22𝑥12

2+⋯+𝑏2𝑥12𝑏𝑘𝑥1𝑘 +⋯+


2

𝜕𝑏𝑘

= 𝑥1𝑘𝑏0 + 𝑥11𝑥1𝑘𝑏1 + 𝑥12𝑥1𝑘𝑏2 + ⋯

+ 𝑥1𝑘𝑏0 + 𝑥11 𝑥1𝑘𝑏1 + 𝑥12𝑥1𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥1𝑘2𝑏𝑘

= (2𝑥1𝑘𝑏0 + 2𝑥11𝑥1𝑘 𝑏1 + 2𝑥12𝑥1𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥1𝑘2𝑏𝑘) ( 1d )

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥21 + 𝑏0 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏1𝑥21𝑏0+ 𝑏12𝑥21

2+ 𝑏1𝑥21 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏1𝑥21𝑏𝑘𝑥2𝑘 +

𝑏2𝑥22𝑏0+𝑏2𝑥22 𝑏1𝑥21+ 𝑏22𝑥22

2+⋯+𝑏2𝑥22𝑏𝑘𝑥2𝑘 +⋯+

𝑏𝑘𝑥2𝑘𝑏0+𝑏𝑘𝑥2𝑘 𝑏1𝑥21+ 𝑏𝑘𝑥2𝑘𝛽 2𝑥22+⋯+𝑏𝑘2𝑥2𝑘

2

𝜕𝑏𝑘

= 𝑥2𝑘𝑏0 + 𝑥21𝑥2𝑘 𝑏1 + 𝑥22𝑥2𝑘𝑏2 + ⋯


= (2𝑥2𝑘𝑏0 + 2𝑥21𝑥2𝑘 𝑏1 + +2𝑥22𝑥2𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥2𝑘2𝑏𝑘) ( 2d )


78

𝜕

𝑏02+𝑏0 𝑏1𝑥31 + 𝑏0 𝑏2𝑥32 +⋯+𝑏0𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏1𝑥31𝑏0+ 𝑏12𝑥31

2+ 𝑏1𝑥31 𝑏2𝑥22 +⋯+𝑏1𝑥31𝑏𝑘𝑥3𝑘 +

𝑏2𝑥32𝑏0+𝑏2𝑥32 𝑏1𝑥31+ 𝑏22𝑥32

2+⋯+𝑏2𝑥32𝑏𝑘𝑥3𝑘 +⋯+

𝑏𝑘𝑥3𝑘𝑏0+𝑏𝑘𝑥3𝑘 𝑏1𝑥31+ 𝑏𝑘𝑥3𝑘𝛽 2𝑥32+⋯+𝑏𝑘2𝑥3𝑘

2

𝜕𝑏𝑘

= 𝑥3𝑘𝑏0 + 𝑥31𝑥3𝑘 𝑏1 + 𝑥32𝑥3𝑘𝑏2 + ⋯


= (2𝑥3𝑘𝑏0 + 2𝑥31𝑥3𝑘 𝑏 1 + 2𝑥32𝑥3𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥3𝑘2𝑏𝑘) ( 3d )

𝜕







2

𝜕𝑏𝑘

= 𝑥𝑛𝑘𝑏0 + 𝑥𝑛1𝑥𝑛𝑘 𝑏1 + 𝑥𝑛2𝑥𝑛𝑘𝑏2 + ⋯

+ 𝑥𝑛𝑘𝑏0 + 𝑥𝑛1 𝑥𝑛𝑘𝑏1 + 𝑥𝑛2𝑥𝑛𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥𝑛𝑘2𝑏𝑘

= (2𝑥𝑛𝑘𝑏0 + 2𝑥𝑛1𝑥𝑛𝑘 𝑏1 + 2𝑥𝑛2𝑥𝑛𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥𝑛22𝑏𝑘) ( 4d )

Jadi hasil keseluruhan 𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷 yang diTurunkan Terhadap 𝑏𝑘 adalah:


𝜕𝑏𝑘= (2𝑥1𝑘𝑏0 + 2𝑥11𝑥1𝑘 𝑏1 + 2𝑥12𝑥1𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥1𝑘

2𝑏𝑘) + (2𝑥2𝑘𝑏0

+ 2𝑥21𝑥2𝑘 𝑏1 + +2𝑥22𝑥2𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥2𝑘2𝑏𝑘) + (2𝑥3𝑘𝑏0 + 2𝑥31𝑥3𝑘 𝑏1

+ 2𝑥32𝑥3𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥3𝑘2𝑏𝑘) + ⋯ + (2𝑥𝑛𝑘𝑏0 + 2𝑥𝑛1𝑥𝑛𝑘 𝑏1

+ 2𝑥𝑛2𝑥𝑛𝑘𝑏2 + ⋯ + 2 𝑥𝑛22𝑏𝑘)


79

Jadi


𝜕𝑏=

2

𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑥1𝑘𝑏𝑘 + 𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑥2𝑘𝑏𝑘

+ 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + ⋯ + 𝑥3𝑘𝑏𝑘 + ⋯ + 𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘

𝑥11 𝑏0 + 𝑥11𝑏1 + 𝑥12𝑏2 + ⋯ + 𝑥1𝑘𝑏𝑘 + 𝑥21(𝑏0 + 𝑥21𝑏1 + 𝑥22𝑏2 + ⋯ + 𝑥2𝑘𝑏𝑘)

+ 𝑥31 𝑏0 + 𝑥31𝑏1 + 𝑥32𝑏2 + ⋯ + 𝑥3𝑘𝑏𝑘 + ⋯ + 𝑥𝑛1(𝑏0 + 𝑥𝑛1𝑏1 + 𝑥𝑛2𝑏2 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘)

𝑥12 𝑏0 + 𝑥11𝑏1 + 𝑥12𝑏2 + ⋯ + 𝑥1𝑘𝑏𝑘 + 𝑥22 𝑏0 + 𝑥21𝑏1 + 𝑥22𝑏2 + ⋯ + 𝑥2𝑘𝑏𝑘 +

𝑥32 𝑏0 + 𝑥31 𝑏1 + 𝑥32𝑏2 + ⋯+ 𝑥3𝑘𝑏𝑘 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝑥𝑛2𝑏0 + 𝑥𝑛1 𝑏1 + 𝑥𝑛2𝑏2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘 𝑏𝑘 ⋮⋮

𝑥1𝑘 𝑏0 + 𝑥11 𝑏1 + 𝑥12𝑏2 + ⋯ + 𝑥1𝑘𝑏𝑘 + 𝑥2𝑘 𝑏0 + 𝑥21 𝑏1 + +𝑥22𝑏2 + ⋯ + 𝑥2𝑘𝑏𝑘 +𝑥3𝑘(𝑏0 + 𝑥31 𝑏1 + 𝑥32𝑏2 + ⋯ + 𝑥3𝑘𝑏𝑘) + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘 (𝑏0 + 𝑥𝑛1 𝑏1 + 𝑥𝑛2𝑏2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘𝑏𝑘)

= 2

1𝑥11𝑥12

⋮𝑥1𝑘

1 1𝑥21 𝑥31𝑥22 𝑥32


⋯⋯⋯……

1𝑥𝑛1𝑥𝑛2

⋮𝑥𝑛𝑘

𝑏0 + 𝑏1𝑥11 + 𝑏2𝑥12 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥1𝑘

𝑏0 + 𝑏1𝑥21 + 𝑏2𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑥2𝑘 𝑏0 + 𝑏1𝑥31 + 𝑏2𝑥32 + …+ 𝑏𝑘𝑥3𝑘

…………………………………………𝑏0 + 𝑏1𝑥𝑛1 + 𝑏2𝑥𝑛2 + … + 𝑏𝑘𝑥𝑛𝑘

= 𝟐

1𝑥11𝑥12

⋮𝑥1𝑘

1 1𝑥21 𝑥31𝑥22 𝑥32


⋯⋯⋯……

1𝑥𝑛1𝑥𝑛2

⋮𝑥𝑛𝑘

111⋮1

𝑥11 𝑥12

𝑥21 𝑥22𝑥31 𝑥32

⋮ ⋮𝑥𝑛1 𝑥𝑛2

⋯⋯⋯……

𝑥1𝑘

𝑥2𝑘𝑥3𝑘

⋮𝑥𝑛𝑘

𝑏0

𝑏1

𝑏2

⋮𝑏𝑘

= 𝟐𝑿𝒕𝑿𝒃 (3.67)

karena 𝒆𝒕𝒆 = 𝒀𝑡𝒀 − 𝟐𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝒃 maka


80

𝜕 𝒆𝒕𝒆

𝜕𝒃=

𝜕 𝒀𝑡𝒀−𝟐𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀+𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝒃

𝜕𝒃

𝜕 𝒆𝒕𝒆

𝜕𝒃= −2𝑿𝑡𝒀 + 2𝑿𝑡𝑿𝒃

0 = −𝟐𝑿𝒕𝒀 + 𝟐𝑿𝒕𝑿𝒃

𝟐𝑿𝒕𝒀 = 𝟐𝑿𝒕𝑿𝒃

𝑿𝒕𝒀 = 𝑿𝒕𝑿𝒃

𝑿𝒕𝑿𝒃 = 𝑿𝒕𝒀

𝒃 = 𝑿𝒕𝒀𝟏

𝑿𝒕𝑿

𝒃 = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝒀 (𝑿𝒕𝑿)−𝟏 ≠ 𝟎 (3.68)

seperti pada analisis regresi sederhana yang memiliki sifat-sifat penaksir,

dalam analisis regresi berganda juga akan dibahas mengenai sifat-sifat penaksir

regresi berganda.

1. Linier

Akan dibuktikan sifat linier dari penaksir 𝒃

𝒃 = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝒀 (3.69)

Substitusi persamaan (3.56) yaitu 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 ke dalam persamaan (3.69),

sehingga;

𝒃 = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕(𝑿𝜷 + 𝜺 )

= (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝑿𝜷 + (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺


81

Karena berdasarkan sifat matriks (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝑿 = 𝑰 , maka

𝒃 = 𝜷 + (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 (3.70)

Persamaan (3.70) menunjukan bahwa 𝒃 merupakan fungsi linier dari 𝜷 dan 𝜺

2. Tidak bias

Akan dibuktikan sifat tidak bias dari penaksir 𝒃

𝐸 𝒃 = 𝐸(𝜷 + 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝑻𝜺)

= 𝐸(𝜷) + 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝑻𝐸(𝜺)

Karena 𝐸 𝜺 = 0 menurut asumsi 1 maka;

𝐸 𝒃 = 𝜷 (3.71)

Persamaan (3.40) menunjukan bahwa penaksir 𝒃 merupakan penaksir yang tidak

bias.

3. Varian minimum

Sebelum varian minimum dibuktikan, terlebih dahulu ditentukan varian dari

penaksir 𝑏.

Diketahui bahwa 𝑉𝑎𝑟 𝒃 = 𝐸[(𝒃 − 𝜷)2]

= 𝐸[ 𝒃 − 𝜷 𝒃− 𝜷 𝑡]

𝑉𝑎𝑟 𝑏 = 𝐸[ 𝒃 − 𝜷 𝒃 − 𝜷 𝑡]


82

Akan ditentukan terlebih dahulu bentuk lain dari , dan kerena pada persamaan

(3.70) di mana 𝒃 = 𝜷 + (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺, maka ;

𝒃 − 𝜷 = 𝜷 + (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 − 𝜷

𝒃 − 𝜷 = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 (3.72)

Selanjutnya akan ditentukan 𝑉𝑎𝑟 𝒃 ,

𝑉𝑎𝑟 𝒃 = 𝐸[ 𝑏 − 𝛽 𝑏 − 𝛽 𝑡]

Substitusikan persamaan (3.41) di mana 𝒃 − 𝜷 = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 ke dalam

persamaan di atas, sehingga;

𝑉𝑎𝑟 𝒃 = 𝐸[ (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 𝑡]

Berdasarkan sifat-sifat matriks di mana (𝑨𝑩)𝑡 = 𝑩𝒕𝑨𝒕 dan 𝑨𝒕 𝑡 , maka

persamaan di atas menjadi;

𝑉𝑎𝑟 𝒃 = 𝐸[ (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 𝑡]

= 𝐸[ (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 𝜺𝑡𝑿𝒕 (𝑿𝒕𝑿)−𝟏 𝑡]

= 𝐸[ (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 𝜺𝑡𝑿𝒕 (𝑿𝒕𝑿)−𝟏 𝑡]

= 𝐸[ (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 𝜺𝑡𝑿𝒕 (𝑿𝒕𝑿)𝒕 −1]

= 𝐸[(𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺𝜺𝑡𝑿𝒕 𝑿𝒕𝑿 −1]

= 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝐸(𝜺𝜺𝑡)𝑿𝒕 𝑿𝒕𝑿 −1


83

Berdasarkan asumsi 4 di mana 𝐸 𝜺𝜺𝒕 = 𝜎휀2𝐼𝑛 , maka:

𝑉𝑎𝑟 𝒃 = 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜎휀2𝐼𝑛𝑿

𝒕 𝑿𝒕𝑿 −1

Karena 𝜎휀2 merupakan sebuah skalar ( sebuah angka riil) sedangkan 𝐼𝑛 dapat

diabaikan, maka;

𝑉𝑎𝑟 𝒃 = 𝜎휀2 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝑿𝒕 𝑿𝒕𝑿 −1

Karena 𝑿𝒕𝑿𝒕 𝑿𝒕𝑿 −1 = 𝐼 maka;

𝑉𝑎𝑟 𝒃 = 𝜎휀2 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑰

𝑉𝑎𝑟 𝒃 = 𝜎휀2 𝑿𝒕𝑿 −𝟏 (3.73)

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa penaksir yang diperoleh memiliki varians

yang minimum. Langkah-langkah dalam membuktikan bahwa penaksir memiliki

varians yang minimum sama dengan langkah-langkah membuktikan varians

minimum pada regresi sederhana. Untuk membuktikan varian penaksir tersebut

memiliki varian yang minimum maka perlu dibandingkan dengan penaksir tidak

bias lainnya. Misalkan 𝑏∗ adalah penaksir lain yang juga tidak bias, di mana

𝑏∗ = (𝑿𝑻𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝒀 di mana 𝑩 merupakan matriks berordo (k x n) yang

diketahui.

Akan dibuktikan pertama-tama sifat linier dari 𝑏∗ . Selanjutnya dengan

mensubstitusi persamaan (3.29) di mana 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 ke dalam persamaan

𝑏∗ = (𝑿𝑻𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝒀 maka;


84

𝑏∗ = (𝑿𝑻𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)(𝑿𝜷 + 𝜺)

𝑏∗ = 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕 𝑿𝜷 + 𝜺 + (𝑩 𝑿𝜷 + 𝜺 )

Terbukti bahwa 𝑏∗ merupakan fungsi linier dari 𝜷 dan 𝜺.

Selanjutnya dicari nilai harapan dari 𝑏∗

𝐸(𝑏∗) = 𝐸[ 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕 𝑿𝜷 + 𝜺 + (𝑩 𝑿𝜷 + 𝜺 )]

= 𝐸[ 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝑿𝜷 + 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩(𝑿𝜷) + 𝑩𝜺]

= 𝐸(𝑰𝜷) + 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝐸(𝜺) + 𝐸(𝑩 𝑿𝜷 ) + 𝑩𝐸(𝜺)

berdasarkan asumsi 1 di mana 𝐸 𝜺 = 0 maka persamaan di atas menjadi;

𝐸(𝑏∗) = 𝜷 + 𝑩𝑿𝜷 (3.74)

Karena 𝑏∗ merupakan penaksir yang tidak bias, maka haruslah 𝐸(𝑏∗) = 𝜷

akibatnya 𝑩𝑿𝜷 = 0. Selanjutnya akan ditentukan varian dari 𝑏∗

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝐸[ 𝑏∗ − 𝛽 𝑏∗ − 𝛽 𝑡]

Dengan mensubtitusi 𝑏∗ = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝒀 , maka;

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝐸[ 𝑏∗ − 𝛽 𝑏∗ − 𝛽 𝑡]

= 𝐸[ (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝒀 − 𝛽 (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝒀 − 𝛽 𝑡]

Substitusi persamaan (3.29) di mana 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 ke dalam persamaan di atas

maka;


85

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝐸[ (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝒀 − 𝛽 (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝒀 − 𝛽 𝑡]

= 𝐸[ (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)(𝑿𝜷 + 𝜺) − 𝛽 (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)(𝑿𝜷 + 𝜺) − 𝛽 𝑡]

= 𝐸[{ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝑿𝜷 + 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺) − 𝛽}{ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝑿𝜷 +

𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺) –𝛽}𝑡 ]

= 𝐸{𝑰𝜷 + 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺) − 𝛽}{𝑰𝜷 + 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 +

𝑩𝜺) – 𝛽}𝑡 ]

= 𝐸{𝜷 + 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺) − 𝛽}{𝜷 + 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺) – 𝛽}𝑡 ]

= 𝐸[ 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺) ( 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺)) 𝑡]

Karena diketahui 𝑩𝑿𝜷 = 0 maka ;

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝐸[ 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝜺) ( 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝜺)) 𝑡]

= 𝐸[ 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝜺) ( 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝜺)) 𝑡]

Berdasarkan sifat-sifat transposisi matriks yaitu (𝑨 + 𝑩)𝒕 = 𝑨𝒕 + 𝑩𝒕 maka

persamaan di atas menjadi;

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝐸[ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝜺) ( 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺) 𝑡 + 𝑩𝜺 𝑡)]

= 𝐸[ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝜺) (𝜺𝒕𝑿 𝑿𝑻𝑿 −𝟏) + 𝑩𝑡𝜺𝒕)]

Karena perkalian matriks bersifat distributif, maka;

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝐸[ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝜺 + 𝑩𝜺) (𝜺𝒕𝑿 𝑿𝑻𝑿 −𝟏) + 𝑩𝑡𝜺𝒕)]


86

= 𝐸[ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝜺𝜺𝒕 (𝑿 𝑿𝑻𝑿 −𝟏) + 𝑩𝑡)]

= ( 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝑬(𝜺𝜺𝒕 )(𝑿 𝑿𝑻𝑿 −𝟏) + 𝑩𝑡)

Berdasarkan asumsi 4 di mana 𝐸 𝜺𝜺𝒕 = 𝜎휀2𝐼𝑛 , maka:

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = ( 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝑬(𝜺𝜺𝒕 )(𝑿 𝑿𝑻𝑿 −𝟏) + 𝑩𝑡)

= ( 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝜎휀2𝐼𝑛(𝑿 𝑿𝑻𝑿 −𝟏) + 𝑩𝑡)

Karena 𝜎휀2 merupakan merupakan sebuah skalar ( sebuah angka riil) sedangkan

𝐼𝑛 dapat diabaikan, maka;

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = ( 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)𝜎휀2𝐼𝑛(𝑿 𝑿𝒕𝑿 −𝟏) + 𝑩𝑡)

= 𝜎휀2𝐼𝑛( 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕 + 𝑩)(𝑿 𝑿𝒕𝑿 −𝟏) + 𝑩𝑡)

= 𝜎휀2𝐼𝑛( 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕(𝑿 𝑿𝒕𝑿 −𝟏 + 𝑩(𝑿 𝑿𝒕𝑿 −𝟏+ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝑩𝑡 +

𝑩𝑩𝒕)

= 𝜎휀2𝐼𝑛( 𝑿𝑻𝑿 −𝟏𝑰 + 𝑩(𝑿 𝑿𝒕𝑿 −𝟏+ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝑩𝑡 + 𝑩𝑩𝒕)

Karena diketahui 𝑩𝑿𝜷 = 0 maka 𝑩𝑿 = 𝟎 dan menurut sifat matriks di mana

(𝑩𝑿)𝒕 = 𝑿𝒕𝑩𝒕, maka persamaan di atas menjadi;

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝜎휀2𝐼𝑛( 𝑿𝒕𝑿 −𝟏 + 𝑩(𝑿 𝑿𝒕𝑿 −𝟏+ 𝑿𝒕𝑿 −𝟏𝑿𝒕𝑩𝑡 + 𝑩𝑩𝒕)

= 𝜎휀2𝐼𝑛( 𝑿𝒕𝑿 −𝟏 + 𝑩𝑩𝒕)

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝜎휀2𝐼𝑛 𝑿

𝒕𝑿 −𝟏 + 𝜎휀2𝐼𝑛𝑩𝑩𝒕


87

𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) = 𝑣𝑎𝑟(𝑏) + 𝜎휀2𝐼𝑛𝑩𝑩𝒕 (3.75)

Dari persamaan (3.44) 𝜎휀2𝐼𝑛𝑩𝑩𝒕 selalu bernilai positif, karena kuadrat dari

suatu bilangan bernilai positif, dan bentuk lain dari 𝑩𝑩𝒕 adalah 𝑩2 maka dapat

disimpulkan bahwa 𝑣𝑎𝑟(𝑏∗) lebih besar senilai 𝜎휀2𝐼𝑛𝑩𝑩𝒕 dari 𝑣𝑎𝑟(𝑏), sehingga

terbukti bahwa 𝑣𝑎𝑟(𝑏) memiliki varians yang minimum.

Seperti pada analisis regresi sederhana dibahas mengenai koefisien

determinasi, untuk mengukur kebaikan garis regresi, di dalam regresi berganda juga

akan dibahas mengenai koefisien determinasi. Koefisien determinasi untuk regresi

berganda di lambangkan dengan 𝑅2. Secara matematis koefisien determinasi 𝑅2

didefinisikan sebagai berikut:

𝑅2 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑕 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 (𝐸𝑆𝑆)

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑕 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 (𝑇𝑆𝑆)

selanjutnya akan ditentukan bentuk lain dari ESS dan TSS. Langkah-

langkahnya adalah sebagai berikut:

Telah didefinisikan sebelumnya bahwa 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌 , kemudian kedua ruas

dikuadratkan, sehingga;

𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌

𝑦𝑖2 = (𝑌𝑖 − 𝑌 )2

= (𝑌𝑖)2 − 2𝑌𝑖𝑌 + (𝑌 )2


88

Kedua ruas dijumlahkan, sehingga:

𝑦𝑖2 = (𝑌𝑖)

2 − 2𝑌𝑖𝑌 + (𝑌 )2


2 − 2𝑌 𝑌𝑖 + 𝑛(𝑌 )2

= (𝑌𝑖)2 − 2

𝑌𝑖

𝑛 𝑌𝑖 + 𝑛(

𝑌𝑖

𝑛)(

𝑌𝑖

𝑛)

= (𝑌𝑖)2 − 2

𝑌𝑖2

𝑛+ 𝑛(

𝑌𝑖2

𝑛2 )

= (𝑌𝑖)2 − 2

𝑌𝑖2

𝑛+ (

𝑌𝑖2

𝑛)


2 −1

𝑛 𝑌𝑖

2 (3.76)

(𝑌𝑖)2 dalam bentuk matriks adalah 𝒀𝒕𝒀 , sehingga persamaan (3.70) menjadi:


2 −1

𝑛 𝑌𝑖

2

𝑦𝑖2 = 𝒀𝒕𝒀 −

1

𝑛 𝑌𝑖

2 (3.77)

Persamaan (3.71) di atas merupakan variasi kuadrat total atau TSS dan RSS adalah

residual atau variasi nilai Y yang tidak dapat dijelaskan, di mana RSS = 𝑒2. Jumlah

kuadrat yang bisa dijelaskan atau ESS adalah :

TSS = ESS + RSS (3.78)

ESS = TSS - RSS

= 𝑦𝑖2 – 𝑒2


89

Substitusi persamaan (3.71) di mana 𝑦𝑖2 = 𝒀𝒕𝒀 −

1

𝑛 𝑌𝑖

2 ke dalam persamaan di

atas, menjadi:

ESS = 𝑦𝑖2 – 𝑒2

= 𝒀𝒕𝒀 −1

𝑛 𝑌𝑖

2 – 𝑒2

Substitusi persamaan (3.63) di mana 𝒆𝟐 = 𝒆𝒕𝒆 ke dalam persamaan di atas,

sehingga:

= 𝒀𝒕𝒀 −1

𝑛 𝑌𝑖

2 – 𝑒2

= 𝒀𝒕𝒀 −1

𝑛 𝑌𝑖

2 – 𝒆𝒕𝒆

𝐸𝑆𝑆 = 𝒀𝒕𝒀– 𝒆𝒕𝒆 −1

𝑛 𝑌𝑖

2 (3.79)

Dari persamaan (3.63) di mana 𝒆𝒕𝒆 = 𝒀𝑡𝒀 − 𝟐𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝒃 dan karena

𝑿𝒕𝑿𝒃 = 𝑿𝒕𝒀 𝑿𝒕𝒀 (dari persamaan),

maka:

𝒆𝒕𝒆 = 𝒀𝑡𝒀 − 𝟐𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝒃𝒕𝑿𝒕𝑿𝒃

= 𝒀𝑡𝒀 − 𝟐𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀

𝒆𝒕𝒆 = 𝒀𝑡𝒀 − 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀

𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 = 𝒀𝑡𝒀 − 𝒆𝒕𝒆 (3.80)

Substitusi persamaan (3.48) ke dalam persamaan (3.47) sehingga:

𝐸𝑆𝑆 = 𝒀𝒕𝒀– 𝒆𝒕𝒆 −1

𝑛 𝑌𝑖

2

𝐸𝑆𝑆 = 𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 −1

𝑛 𝑌𝑖

2


90

Karena telah didefinisikan bahwa 𝑅2 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑕 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 (𝐸𝑆𝑆)


maka:

𝑅2 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑕 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 (𝐸𝑆𝑆)


𝑅2 =𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 −

1

𝑛 𝑌𝑖

2

𝒀𝒕𝒀−1

𝑛 𝑌𝑖

2

𝑅2 =𝒃𝒕𝑿𝒕𝒀 −𝑛𝑌 2

𝒀𝒕𝒀−𝑛𝑌 2 (3.81)

C. PENGUJIAN HIPOTESIS

Pada pembahasan sebelumnya, telah dibahas mengenai peramalan hubungan

antara variabel terikat dengan satu atau lebih variabel penjelas, meramalkan nilai

harapan dari variabel terikat dipandang dari satu atau lebih variabel penjelas, dan

menduga nilai dari parameter-parameter regresi. Dalam sub bab ini akan dibahas

mengenai pengambilan kesimpulan, yaitu dengan pengujian hipotesis.

Sebelum membahas pengujian hipotesis lebih lanjut, akan dibahas terlebih

dahulu mengenai asumsi kenormalan, di mana residual 휀𝑖 berdistribusi normal,

dengan rata-rata 0 , dan varians 𝜎2, secara matematis ditulis:

𝜺~𝑁(𝟎,𝜎2𝑰)

Symbol ~ berarti terdistribusi sebagai dan N merupakan singkatan dari

distribusi normal.


91

𝑏 merupakan variabel acak sehingga memiliki sebuah distribusi, dan

distribusi dari 𝑏 sangat tergantung dengan distribusi 휀𝑖 . Salah satu sifat distribusi

normal bahwa sebuah kombinasi linier dari variabel terdistribusi normal merupakan

distribusi normal itu sendiri. Dari persamaan (3.63) di mana = 𝜷 + (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝜺 ,

terbukti bahwa 𝒃 merupakan fungsi linier dari 𝜺, berdasarkan sifat dari distribusi

normal tersebut maka b juga berdistribusi normal, sehingga secara matematis ditulis:

𝒃~𝑁(𝜷,𝜎2(𝑿𝒕𝑿)−𝟏)

Pengujian hipotesis yaitu langkah-langkah atau prosedur yang dilakukan

dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis mengenai

parameter populasi.

Pada pembahasan mengenai pengujian hipotesis ini akan sering dijumpai

istilah menerima atau menolak hipotesis. Menolak hipotesis berarti menyimpulkan

bahwa hipotesis itu salah, sedangkan menerima hipotesis bukan berarti hipotesis

tersebut benar, artinya tidak cukup informasi dari sampel untuk menyimpulkan bahwa

hipotesis harus ditolak. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak

disebut hipotesis nol, dilambangkan 𝐻0. Menolak 𝐻0 mengakibatkan penerimaan

hipotesis lain yakni hipotesis alternatif yang dilambangkan 𝐻1.

Dalam pengujian hipotesis ada dua jenis kesalahan , yaitu kesalahan jenis I

dan keslalahan jenis II. Kesalahan jenis I adalah kesalahan akibat menolak 𝐻0,

padahal 𝐻0 benar, sehingga sesungguhnya harus diterima. Kesalahan jenis II adalah

kesalahan akibat menerima 𝐻0 padahal 𝐻0 salah sehingga sesungguhnya harus

ditolak.


92

Probabilitas melakukan kesalahan tipe I disebut tingkat signifikansi yang

ditulis dengan 𝛼, sedangkan probabilitas melakukan kesalahan tipe II dilambangkan

dengan 𝛽. Nilai 𝛼 diharapkan sekecil mungkin sehingga sebisa mungkin tidak

melakukan kesalahan tipe I, demikian juga 𝛽 sekecil mungkin, sehingga tidak

melakukan kesalahan tipe II. Selain tingkat signifikansi 𝛼 juga digunakan suatu nilai

𝑝 (nilai probabilitas) yaitu tingkat signifikansi yang tepat atau probabilitas yang tepat

dalam melakukan kesalahan tipe I, dalam menentukan peluang melakukan kesalahan

tipe I. apabila nilai 𝑝 sangat kecil maka peluang melakukan kesalah tipe I juga sangat

kecil.

Terdapat dua jenis pengujian dalam uji hipotesis, yaitu uji satu arah dan uji

dua arah. Uji satu arah mempunyai bentuk sebagai berikut:

𝐻0:𝛽0 ≤ 𝛽1 atau 𝐻0:𝛽0 ≥ 𝛽1

𝐻1: 𝛽0 > 𝛽1 𝐻1: 𝛽0 < 𝛽1

Sedangkan uji dua arah mempunyai bentuk sebagai berikut:

𝐻0:𝛽0 = 𝛽1 atau 𝐻1:𝛽0 ≠ 𝛽1

Untuk menguji hipotesis nol koefisien regresi individual menggunakan uji t .

𝑡 =𝑏𝑘−𝛽

𝑆𝑒(𝑏𝑘) (3.82)

Di mana 𝑘 merupakan banyaknya variabel dalam persamaan regresi, dengan

derajat bebas −𝑘 , di mana 𝑛 merupakan banyaknya data.


93

Aturan pengambilan keputusan:

Diketahui model regresi linier dengan variabel bebas 𝑘:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 휀𝑖

Untuk menguji hipotesis

𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑘 (semua koefisien kemiringan secara simultan adalah nol)

𝐻1: Tidak semua koefisien kemiringan secara simultan adalah nol

Statistik hitung :

𝐹 =𝐸𝑆𝑆/((𝑘 + 1) − 1)

𝑅𝑆𝑆/(𝑛 − (𝑘 + 1))

Jika 𝐹 > 𝐹𝛼( 𝑘 + 1 − 1, 𝑛 − 𝑘 + 1 ), 𝐻0 ditolak. 𝐹𝛼( 𝑘 + 1 − 1, 𝑛 − 𝑘 + 1 )

adalah nilai 𝐹 kritis pada tingkat signifikansi 𝛼 , dengan derajat bebas pembilang

𝑘 + 1 − 1 dan derajat bebas penyebut 𝑛 − 𝑘 + 1 .

Koefisien determinasi 𝑅2 memiliki hubungan yang penting dengan 𝐹, hal

tersebut ditunjukan sebagai berikut:

𝐹 =𝐸𝑆𝑆/((𝑘+1)−1)

𝑅𝑆𝑆/(𝑛−(𝑘+1))

=𝐸𝑆𝑆/((𝑘+1)−1)

(𝑇𝑆𝑆−𝐸𝑆𝑆)/(𝑛−(𝑘+1))

=(𝐸𝑆𝑆

𝑇𝑆𝑆)/((𝑘+1)−1)

(1−𝐸𝑆𝑆/𝑇𝑆𝑆)/(𝑛−(𝑘+1))


94

Sesuai definisi sebelumnya di mana 𝑅2 =𝐸𝑆𝑆

𝑇𝑆𝑆 maka;

𝐹 =𝑅2/((𝑘+1)−1)

(1−𝑅2)/(𝑛−(𝑘+1)) (3.83)

Dari hubungan antara 𝑅2 dan , dapat dilihat bahwa jika nilai 𝑅2 = 0 maka 𝐹 bernilai

0 , sedangkan jika 𝑅2 bernilai 1 maka 𝐹 akan bernilai tak hingga.


95

BAB IV

MULTIKOLINIERITAS

Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai beberapa asumsi yang harus

dipenuhi, salah satunya adalah asumsi mengenai tidak adanya multikolinieritas.

Dalam bab ini akan dibahas mengenai konsekuensi karena adanya multikolinieritas,

pendeteksian multikolinieritas dan langkah-langkah perbaikan, namun sebelumnya

akan dibahas terlebih dahulu mengenai definisi dari multikolinieritas itu sendiri.

Definisi 4.1 Bebas Linier

Jika S = 𝑣1 , 𝑣2, … , 𝑣3 adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka

persamaan vektor

𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝑣𝑟 = 0

Mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu:

𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0, … , 𝑘𝑟 = 0

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan

yang bebas secara linier. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut

himpunan yang tak bebas secara linier.


96

Definisi 4.2 Multikolinieritas

Misalkan X adalah matriks berordo 𝑚 × 𝑛 , jika vektor-vektor kolom dari matriks 𝑿

yaitu 𝑋1 , 𝑋2, … , 𝑋𝑛 saling tak bebas linier, maka terdapat multikolinieritas pada

matriks X tersebut.

Multikolinieritas terbagi dua, yaitu multikolinieritas sempurna dan

multikolinieritas tidak sempurna. Multikolinieritas sempurna adalah suatu kondisi di

mana variabel-variabel bebas berkorelasi secara sempurna, dengan kondisi sebagai

berikut:

𝝀1𝑋1 + 𝝀2𝑋2 + 𝝀3𝑋3 + ⋯ + 𝝀𝑘𝑋𝑘 = 0 (4.1)

Di mana 𝝀1, 𝝀2 , … , 𝝀𝑘 adalah konstanta yang sedemikian rupa sehingga

tidak semuanya bernilai nol secara bersamaan.

Misalkan bahwa 𝝀1 ≠ 0 maka ;

𝝀1𝑋1 = −𝝀2𝑋2 − 𝝀3𝑋3 − ⋯ − 𝝀𝑘𝑋𝑘

𝑋1 = −𝝀𝟐

𝝀1𝑋2 −

𝝀𝟑

𝝀1𝑋3 − ⋯ −

𝝀𝒌

𝝀1𝑋𝑘

Hubungan yang terjadi di antara dua variabel bebas di atas menunjukan

multikolinieritas yang sempurna. Perubahan nilai 𝑋1 akan mempengaruhi nilai 𝑋

lainnya, sehingga sulit untuk melihat secara terpisah pengaruh masing-masing

variabel-variabel bebas tersebut.


97

Multikolinieritas tidak sempurna adalah suatu kondisi di mana variabel-

variabel bebas berkorelasi tetapi tidak secara sempurna, dengan kondisi sebagai

berikut:

𝝀1𝑋1 + 𝝀2𝑋2 + ⋯ + 𝝀𝑘 + 𝑣𝑖 = 0 (4.2)

di mana 𝑣𝑖 adalah faktor gangguan. Misalkan bahwa 𝝀1 ≠ 0 maka ;

𝝀1𝑋1 = −𝝀2𝑋2 − 𝝀3𝑋3 − ⋯ − 𝝀𝑘𝑋𝑘 − 𝑣𝑖

𝑋1 = −𝝀𝟐

𝝀1𝑋2 −

𝝀𝟑

𝝀1𝑋3 − ⋯ −

𝝀𝒌

𝝀1𝑋𝑘−𝑣𝑖

Dalam hal ini besarnya perubahan nilai 𝑋1 mempengaruhi nilai 𝑋 lainnya. Pada kasus

multikolinieritas yang tidak sempurna ini perubahan nilai variabel bebas juga

dipengaruhi faktor gangguan 𝑣𝑖 .

Sebelum membahas multikolinieritas secara lebih mendalam, terlebih

dahulu akan dijelaskan beberapa hal berikut:

1. Multikolinieritas pada hakikatnya adalah fenomena sampel. Dalam model regresi

secara teoritis, diasumsikan bahwa variabel bebas X mempunyai pengaruh yang

terpisah terhadap variabel terikat Y. Karena adanya multikolinieritas maka pengaruh

terpisah dari variabel bebas tersebut sulit untuk mengetahui pengaruh individual dari

masing-masing variabel bebas tersebut. Variabel bebas mungkin berkorelasi dalam

satu sampel, akan tetapi tidak mungkin berkorelasi dengan variabel bebas yang

berlainan sampel, untuk itu multikolinieritas merupakan fenomena sampel.


98

2. Multikolinieritas adalah persoalan derajat dan bukan persoalan jenis. Multikolinieritas

bukanlah persoalan mengenai apakah korelasi di antara variabel-variabel bebas itu

positif atau negatif, tetapi merupakan persoalan mengenai ada tidaknya korelasi di

antara variabel-variabel bebas.

A. KONSEKUENSI MULTIKOLINIERITAS

Terjadinya masalah multikolinieritas dalam regresi linier menyebabkan

beberapa konsekuensi. Konsekuensi jika di antara dua variabel bebas terdapat

multikolinieritas adalah:

1. Jika multikolinieritas sempurna penaksir-penaksir kuadrat terkecil tidak bisa

ditentukan.

𝒃 = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝒀 (3.61)

Penaksir-penaksir kuadrat terkecil bisa ditentukan apabila (𝑿𝒕𝑿)−𝟏 ada, dengan kata

lain determinan dari 𝑿𝒕𝑿 tidak nol. Selanjutnya akan dibuktikan determinan dari 𝑿𝒕𝑿

tidak nol

Pembuktiannya sebagai berikut:

𝑿𝒕𝑿 =

1𝑋11

𝑋12

⋮𝑋1𝑘

1 1𝑋21 𝑋31

𝑋22 𝑋32

⋮ ⋮𝑋2𝑘 𝑋3𝑘

⋯⋯⋯……

1𝑋𝑛1

𝑋𝑛2

⋮𝑋𝑛𝑘

111⋮1

𝑋11 𝑋12

𝑋21 𝑋22

𝑋31 𝑋32

⋮ ⋮𝑋𝑛1 𝑋𝑛2

⋯⋯⋯……

𝑋1𝑘

𝑋2𝑘

𝑋3𝑘

⋮𝑋𝑛𝑘


99

=

𝑛 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋2𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1 𝑋2𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑋1𝑖𝑋2𝑖𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑋2𝑖𝑛𝑖=1 𝑋2𝑖

2𝑛𝑖=1

⋮ ⋮ 𝑋1𝑖𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1 𝑋2𝑖𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

⋯⋯⋯……

𝑋𝑘𝑖𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑋𝑘𝑖𝑛𝑖=1


⋮ 𝑋𝑘𝑖

2𝑛𝑖=1

(4.3)

Misalkan terjadi multikolinieritas sempurna antara variabel bebas 𝑋1 dengan 𝑋2,

sehingga :

𝝀2𝑋2 = −𝝀1𝑋1 𝝀2 ≠ 0

𝑋2 =−𝝀1

𝝀2𝑋1 dimisalkan

−𝝀1

𝝀2= 𝑎, sehingga:

𝑋2 = 𝑎𝑋1 (4.4)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.4) ke dalam matriks persamaan (4.3) ,

diperoleh:

𝑿𝒕𝑿 =

𝑎

𝑛 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1 𝑎 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑎 𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1

𝑎 𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑎2 𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1


𝑛𝑖=1 𝑎 𝑋1𝑖𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

⋯⋯⋯……



𝑎 𝑋1𝑖𝑋𝑘𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

2𝑛𝑖=1

Menurut teorema 2.4 yaitu:

Anggap adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛


100

Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu penggandaan suatu baris A

ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom

ditambahkan pada kolom lainnya, maka det 𝑩 = det(𝑨) .

Dengan melakukan transformasi kolom elementer pada matriks X , maka:

𝑿𝒕𝑿 =

𝑎

𝑛 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1 𝑎 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖2𝑛


𝑖=1

𝑎 𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑎2 𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1



𝑛𝑖=1

⋯⋯⋯……




⋮ 𝑋𝑘𝑖

2𝑛𝑖=1

𝐾32(−𝑎)

𝑿𝒕𝑿 =

𝑎

𝑛 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1 0

𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 0

𝑎 𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 0⋮ ⋮

𝑋1𝑖𝑋𝑘𝑖𝑛𝑖=1 0

⋯⋯⋯……




⋮ 𝑋𝑘𝑖

2𝑛𝑖=1

Menurut sifat-sifat determinan matriks yang menyatakan bahwa jika setiap elemen

baris (kolom) matriks bujur sangkar A bernilai 0, maka 𝑨 = 0 , maka karena setiap

elemen kolom ketiga matriks 𝑿𝒕𝑿 bernilai 0 , dapat disimpulkan bahwa 𝑿𝒕𝑿 = 0

Oleh karena 𝑿𝒕𝑿 = 0 , maka (𝑿𝒕𝑿)−𝟏 tidak ada, sehingga penaksir b tidak dapat

ditentukan.

2. Jika multikolinieritas tidak sempurna varians dari penaksir-penaksir menjadi tak

terhingga besarnya. Dalam notasi matriks Varians-kovarians b = 𝜎𝜀2 𝑿𝒕𝑿 −𝟏 .

Bukti yang diberikan berikut ini tidak jauh berbeda dengan bukti yang diberikan pada

yang pertama.


101

Dengan memeriksa nilai 𝑿𝒕𝑿 untuk kasus multikolinieritas tidak sempurna:

𝑿𝒕𝑿 =

𝑛 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋2𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1 𝑋2𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑋1𝑖𝑋2𝑖𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑋2𝑖𝑛𝑖=1 𝑋2𝑖

2𝑛𝑖=1


𝑛𝑖=1 𝑋2𝑖𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

⋯⋯⋯……




⋮ 𝑋𝑘𝑖

2𝑛𝑖=1

Misalkan terjadi multikolinieritas tidak sempurna antara variabel bebas 𝑋1 dengan

𝑋2, sehingga :

𝝀2𝑋2 = −𝝀1𝑋1 + 𝑣𝑖 𝝀2 ≠ 0

𝑋2 =−𝝀1

𝝀2𝑋1 + 𝑣𝑖 dimisalkan

−𝝀1

𝝀2= 𝑎, sehingga:

𝑋2 = 𝑎𝑋1 + 𝑣𝑖 (4.5)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke dalam matriks X , diperoleh:

𝑿𝒕𝑿 =

𝑎

𝑛 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

+ 𝑣𝑖𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1 𝑎 𝑋1𝑖 +𝑛

𝑖=1 𝑣𝑖𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖2𝑛


𝑖=1

𝑎 𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑎2 𝑋1𝑖2 + 𝑣𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1



𝑛𝑖=1

⋯⋯⋯……




⋮ 𝑋𝑘𝑖

2𝑛𝑖=1

Dengan melakukan transformasi kolom elementer pada matriks X , maka:

𝑿 =

𝑎

𝑛 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1


𝑋1𝑖𝑛𝑖=1 𝑎 𝑋1𝑖 +𝑛


𝑋1𝑖2𝑛


𝑖=1

𝑎 𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑎2 𝑋1𝑖2 + 𝑣𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1



𝑛𝑖=1

⋯⋯⋯……




⋮ 𝑋𝑘𝑖

2𝑛𝑖=1

𝐾32(−𝑎)


102

𝑿 =

𝑎

𝑛 𝑋1𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖𝑛𝑖=1

⋮ 𝑋𝑘𝑖

𝑛𝑖=1


𝑋1𝑖𝑛𝑖=1 𝑣𝑖

𝑛𝑖=1

𝑋1𝑖2𝑛

𝑖=1 0

𝑎 𝑋1𝑖2𝑛



𝑛𝑖=1 0

⋯⋯⋯……




⋮ 𝑋𝑘𝑖

2𝑛𝑖=1

Matriks di atas menunjukan bahwa nilai 𝑿𝒕𝑿 tergantung pada nilai galat 𝑣𝑖 . Jika 𝑣𝑖

sangat kecil dan mendekati nol maka nilai 𝑿𝒕𝑿 juga sangat kecil dah mendekati nol.

Jika 𝑿𝒕𝑿 mendekati nol, maka 𝟏

𝑿𝒕𝑿 mendekati tak hingga besarnya, sehingga

elemen-elemen dalam matiks 𝑿𝒕𝑿 −𝟏 menjadi semakin besar, akibatnya nilai varians

dan kovariansnya juga semakin besar. Jika varians nilainya mendekati tak hingga,

demikian nilai standar errornya mendekati tak hingga. Jika standar errornya tinggi

maka tingkat keakuratan dari estimasi rendah.

Hal tersebut dapat dilihat dalam persamaan berikut :

𝜎𝜀2 𝑿𝒕𝑿 −𝟏 = 𝜎𝜀

2 𝟏

𝑿𝒕𝑿 𝑎𝑑𝑗 𝑿𝒕𝑿

3. Akibat dari tingginya standar error, maka rasio t dari satu atau lebih koefisien tidak

signifikan secara statistik. Hal ini dapat diperlihatkan dengan persamaan berikut:

𝑡 =𝑏𝑘−𝛽

𝑆𝑒(𝑏𝑘) (3.82)

di mana 𝐻0: 𝛽 = 0 ditolak jika :

𝑡 = 𝑏𝑘−𝛽

𝑆𝑒(𝑏𝑘) > 𝑡𝛼

2;𝑛−(𝑘+1) 𝑘 adalah banyaknya variabel bebas.


103

Semakin besar nilai standar errornya, maka nilai t akan semakin kecil, jika standar

errornya mendekati tak hingga, maka nilai t menjadi sangat kecil, sehingga peluang

untuk menerima hipotesis nol yang menyatakan bahwa nilai populasi yang

sebenarnya adalah nol, sangat besar. Dengan nilai t yang sangat kecil, yang berarti

dalam pengujian hipotesis tidak dapat dilihat pengaruh individual dari variabel bebas

X .

B. PENDETEKSIAN MULTIKOLINIERITAS

Kasus multikolinieritas dapat dideteksi dengan memperhatikan beberapa hal

yang akan diberikan pada sub bab ini. Berikut adalah tanda-tanda keberadaan

multikolinieritas:

1. Jika nilai t kecil, sedangkan nilai 𝑅2 tinggi maka terindikasi adanya multikolinieritas.

Nilai 𝑅2 yang tinggi, sehingga nilai F menjadi signifikan, hal ini dapat diperlihatkan

dengan persamaan berikut:

𝐹 =𝑅2/((𝑘+1)−1)

(1−𝑅2)/(𝑛−(𝑘+1)) (3.83)

Dari hubungan tersebut dapat dilihat bahwa semakin meningkat nilai 𝑅2 maka nilai F

juga semakin meningkat. Jika nilai 𝑅2 mendekati 1 , maka nilai F mendekati tak

hingga. Dengan F yang besar, maka semakin mungkin untuk menolak hipotesis nol.

Dengan nilai F yang tinggi maka dalam pengujian hipotesis berarti menunjukan

pengaruh bersama variabel bebas X terhadap variabel terikat Y yang signifikan. Maka

dengan memeriksa nilai F dan t, yakni jika F yang dihitung melebihi 𝐹𝑖 kritis


104

sedangkan nilai t lebih kecil dari t kritis, berarti mungkin terjadi masalah

multikolinieritas.

𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 ditolak jika

𝐹 > 𝐹𝛼[ 𝑘+1 −1,𝑛− 𝑘+1 ] di mana 𝑘 adalah banyaknya variabel bebas.

Contoh 4.1 :

Tabel 4.1 : Data Mobil Penumpang

Tahun 𝑌 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 𝑋5

1971 10227 112.0 121.3 776.8 4.89 79367

1972 10872 111.0 125.3 839.6 4.55 82153

1973 11350 111.1 133.1 949.8 7.38 85064

1974 8775 117.5 147.7 1038.4 8.61 86794

1975 8539 127.6 161.2 1142.8 6.16 85846

1976 9994 135.7 170.5 1252.6 5.22 88752

1977 11046 142.9 181.5 1379.3 5.50 92017

1978 11164 153.8 195.3 1551.2 7.78 96048

1979 10559 166.0 217.7 1729.3 10.25 98824

1980 8979 179.3 247.0 1918.0 11.28 99303

1981 8535 190.2 272.3 2127.6 13.73 100397

1982 7980 197.6 286.6 2261.4 11.20 99526


105

1983 9179 202.6 297.4 2428.1 8.69 100834

1984 10394 208.5 307.6 2670.6 9.65 105005

1985 11039 215.2 318.5 2841.1 7.75 107150

1986 11450 224.4 323.4 3022.1 6.31 109597

Dengan menggunakan SPSS diperoleh parameter-parameter 𝛽0 = 2933.906 ,

𝛽1 = 50.538 , 𝛽2 = −103.504 , 𝛽3 = 6.116 , 𝛽4 = −105.979 , 𝛽4 = 0.124 ,

sehingga model regresinya adalah :

𝑌 = 2933.906 + 50.538𝑋1 − 103.504𝑋2 + 6.116𝑋3 − 105.979𝑋4 + 0.124𝑋5

Dan di dapat juga nilai-nilai t yaitu 𝑡0 = 0.356 , 𝑡1 = 0.725 , 𝑡2 = −2.024 , 𝑡3 =

1.647 , 𝑡4 = −0.97 , 𝑡5 = 1.009 dan nilai 𝑅2 = 0.755 . Dengan tingkat signifikansi

sebesar 0.05 dan oleh karena 𝑡0, 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3 , 𝑡4 , 𝑡5 < 𝑡𝛼

2;𝑛−(𝑘+1) = 2.228 menunjukan

nilai t yang tidak signifikan, maka 𝐻0: 𝛽 = 0 diterima. Akan tetapi nilai 𝑅2 = 0.755

dan nilai F = 6.147 > F tabel = 3.33 menunjukan nilai yang signifikan, akibatnya 𝐻0

yang menyatakan nilai 𝛽 secara keseluruhan sama dengan nol ditolak. Kasus

semacam ini menandakan adanya masalah multikolinieritas d dalam model regresi.

2. Memeriksa nilai VIF. Varians dan kovarians yang besar dapat dilihat dengan variance

inflating factor (VIF), yang didefinisikan sebagai:

𝑉𝐼𝐹 =1

1−𝑟𝑖𝑗2 (4.6)


106

Di mana 𝑟 adalah koefisien korelasi, yang dinyatakan dengan persamaan matematik:

𝑟 =( 𝑥𝑖𝑦𝑖 )

𝑥𝑖2 𝑦𝑖

2 (3.53)

Pada kasus multikolinieritas yang dipandang berkorelasi adalah variabel bebas x ,

sehingga untuk mencari r antara variabel bebas, persamaan (3.53) menjadi:

𝑟𝑖𝑗 =( 𝑥𝑖𝑥𝑗 )

𝑥𝑖2 𝑥𝑗

2

𝑟𝑖𝑗2 =

( 𝑥𝑖𝑥𝑗 )2

𝑥𝑖2 𝑥𝑗

2

Sehingga persamaan (4.6) dapat dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut:

𝑉𝐼𝐹 =1

1−𝑟𝑖𝑗2

𝑉𝐼𝐹 =1

1− 𝑥𝑖𝑥𝑗

2

𝑥𝑖2 𝑥𝑗

2

(4.7)

VIF menunjukan bagaimana varians dari sebuah estimator ditingkatkan oleh

keberadaan multikolinieritas. Jika nilai 𝑟2 mendekati 1, VIF mendekati tak hingga.

Hal tersebut menunjukan besarnya kolinieritas meningkat, varians dari sebuah

estimator juga meningkat. Pendeteksian multikolinieritas umumnya menggunakan

VIF, sehingga dalam penulisan ini akan banyak digunakan perhitungan menggunakan

VIF.


107

Contoh 4.2:

Dengan menggunakan data yang sama pada contoh 4.1 diperoleh nilai-nilai VIF

dengan menggunakan SPSS yaitu 𝑉𝐼𝐹1 = 242.517, 𝑉𝐼𝐹2 = 427.281, 𝑉𝐼𝐹3 =

228.578 , 𝑉𝐼𝐹4 = 4.848 ,𝑉𝐼𝐹5 = 38.788 . Nilai 𝑉𝐼𝐹1, 𝑉𝐼𝐹2, 𝑉𝐼𝐹3, 𝑉𝐼𝐹5 > 10

mengindikasikan adanya masalah multikolinieritas yang sangat tinggi di dalam model

regresi.

Dengan adanya masalah multikolinieritas yang tinggi di dalam model

regresi akan menimbulkan dampak-dampak yang sebelumnya telah di bahas, untuk

itu perlu dilakukan adanya tindakan perbaikan.

C. LANGKAH – LANGKAH PERBAIKAN

Masalah multikolinieritas telah menyebabkan beberapa konsekuensi yang

telah dipaparkan sebelumnya bagi penduga. Karena dalam hal peramalan diinginkan

penduga yang seakurat mungkin dan bersifat BLUE, maka multikolinieritas dapat

menjadi masalah yg serius dalam regresi. Masalah multikolinieritas dapat

dihilangkan. Ada beberapa teknik yang biasanya digunakan dalam pengentasan

masalah multikolinieritas. Berikut ini adalah beberapa teknik perbaikan dalam

mengatasi masalah multikolinieritas.

1. Informasi apriori

Anggap bahwa spesifikasi yang benar dari suatu model adalah

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝜀𝑖 (4.8)


108

dan juga ditemukan bahwa 𝑋1 kolinier dengan 𝑋2 . Mencari informasi apriori dengan

cara menemukan nilai yang pasti dari 𝛽1 dan 𝛽2 dari sumber – sumber ekstra, maka

informasi tersebut dapat digunakan untuk menaksir pengaruh dari variabel yang

terdapat di dalam model. Misalnya secara apriori dipercaya bahwa 𝛽2 = 0.1𝛽1. maka

persamaan (4.7) menjadi:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 0.1𝛽1𝑋2𝑖 + 𝜀𝑖

= 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑗 + 𝜀𝑖

Di mana 𝑋𝑗 = 𝑋𝑖 + 0.1𝑋2𝑖

2. Mengombinasikan data cross-section dengan data time series (pooling the data)

Misalkan ingin dipelajari permintaan mobil di AS dan diasumsikan memiliki data

time series mengenai jumlah yang terjual, harga rata-rata mobil, dan pendapatan

konsumen. Anggap bahwa :

𝑙𝑛𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑙𝑛𝑃𝑡 + 𝛽2𝑙𝑛𝐼𝑡 + 𝑢𝑡

Di mana 𝑌 = jumlah mobil yang terjual, 𝑃 = harga rata-rata, 𝐼 = pendapatan, dan t =

waktu. Tujuannya adalah untuk mengestimasi elastisitas harga 𝛽1 dan pendapatan 𝛽2

Pada data time series , variabel harga rata-rata dan pendapatan cenderung sangat

kolinier, sehingga akan dijumpai masalah multikolinieritas. Tobin, seorang ahli

statistika memberikan jalan keluar untuk masalah ini, yaitu dengan menggunakan

bantuan dari data cross-section. Misalkan dari data cross section diketahui estimasi


109

mengenai pendapatan 𝛽2 . Agara lebih memahami pembahasan ini, diberikan sebuah

contoh.

Contoh 4.3

Tabel 4.2 : Data tahun 1936 - 1952

Tahun 𝑌 𝑋1 𝑋2 𝑋3

1936 62.8 43.41 17.10 3.96

1937 65.0 46.44 18.65 5.48

1938 63.9 44.35 17.09 4.37

1939 67.5 47.82 19.28 4.51

1940 71.3 51.02 23.24 4.88

1941 76.6 58.71 28.11 6.37

1945 86.3 87.69 30.29 8.96

1946 95.7 76.73 28.26 9.76

1947 98.3 75.91 27.91 9.31

1948 100.3 77.62 32.30 9.85

1949 103.2 78.01 31.39 7.21

1950 108.9 83.57 35.61 7.39

1951 108.5 90.59 37.58 7.98

1952 111.4 95.47 35.17 7.42


110

Klein dan Goldberger berusaha untuk menyesuaikan model regresi berikut pada

perekonomian AS :

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝜀𝑖 (4.9)

Di mana 𝑌 = konsumsi, 𝑋2 = pendapatan upah, 𝑋3 = pendapatan nonupah dan

nonpertanian, dan 𝑋4 = pendapatan pertanian. Akan tetapi, oleh karena 𝑋2 , 𝑋3, dan 𝑋4

diperkirakan untuk berkolinier kuat, mereka memperoleh estimasi 𝛽2 dan 𝛽3 dari

analisis cross-section sebagai berikut : 𝛽2 = 0.75𝛽1 dan 𝛽3 = 0.625𝛽1 . Dengan

menggunakan estimasi-estimasi ini, mereka merumuskan fungsi konsumsi sebagai

berikut :

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1(𝑋𝑖 + 0.75𝑋2𝑖 + 0.625𝑋3𝑖) + 𝜀𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑍𝑖 + 𝑢𝑖

Di mana 𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 + 0.75𝑋2𝑖 + 0.625𝑋3𝑖 .

Menurut hasil perhitungan dengan SPSS, diperoleh parameter-parameter 𝛽0 =

18.702 𝛽1 = 0.380, 𝛽2 = 1.419 , dan 𝛽3 = 0.533 maka pendugaan persamaan (4.9)

adalah :

𝑌 = 18.702 + 0.380𝑋𝑖 + 1.419𝑋2𝑖 + 0.533𝑋3𝑖

dan diperoleh nilai 𝑉𝐼𝐹1 = 12.297 , 𝑉𝐼𝐹2 = 9.230 , 𝑉𝐼𝐹3 = 2.977

dengan diperoleh nilai 𝑉𝐼𝐹1 = 12.297 > 10 menandakan adanya multikolinieritas di

dalam regresi


111

Perbaikan :

Setelah melakukan teknik perbaikan dengan pengkombinasian data time series dan

data cross-section, maka data dari tabel 4.3 menjadi :

Tabel 4.3 : Hasil pengkombinasian data time series dan cross section

Tahun 𝑌 Z

1936 62.8 59

1937 65.0 64

1938 63.9 60

1939 67.5 65

1940 71.3 72

1941 76.6 84

1945 86.3 120

1946 95.7 100

1947 98.3 100

1948 100.3 110

1949 103.2 110

1950 108.9 110

1951 108.5 120

1952 111.4 130


112

Dengan menggunakan SPSS diperoleh penduga parameter-parameter 𝛽0 = 22.584

dan 𝛽1 = 0.693, sehingga diperoleh persamaan:

𝑌 = 22.584 + 0.693𝑍𝑖 (4.10)

dan juga diperoleh nilai VIF = 1 < 10, maka model persamaan (4.10) bebas dari

masalah multikolinieritas. Karena didapat nilai 𝛽1 = 0.693 , maka :

𝛽3 = 0.625𝛽1

= 0.625(0.693)

= 0.43

𝛽2 = 0.75𝛽1

= 0.75 × 0.693

= 0.52

Sehingga model regresi setelah dilakukan perbaikan adalah sebagai berikut :

𝑌 = 22.584 + 0.693𝑋1𝑖 + 0.52𝑋2𝑖 + 0.43𝑋3𝑖 ` (4.11)

Karena model tersebut sudah terbebas dari masalah multikolinieritas maka di

lanjutkan dengan pengujian hipotesis untuk menjamin model tersebut layak

digunakan.


113

a) Hipotesis

𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0

𝐻1: ada 𝛽𝑗 ≠ 0

b) Dipilih tingkat signifikansi 0.05

c) Statistik uji 𝐹 =𝑅2/((𝑘+1)−1)

(1−𝑅2)/(𝑛−(𝑘+1))

Dengan menggunakan perhitungan SPSS diperoleh nilai 𝐹 = 79.982

d) Daerah penolakan

𝐹 > 𝐹𝛼[ 𝑘+1 −1,𝑛− 𝑘+1 ]

𝐹𝛼[ 𝑘+1 −1,𝑛− 𝑘+1 ] = 4.75

e) Kesimpulan

Karena 𝐹 = 79.982 > 4.75 maka 𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 , yang berarti bahwa secara simultan

variabel bebas mempengaruhi Y.

3. Mengeluarkan suatu variabel

Apabila diketahui dua variabel bebas berrhubungan secara linier, maka mengeluarkan

salah satu variabel dapat mananggulangi masalah multikolinieritas, akan tetapi hal ini

akan menyebabkan bias spesifikasi. Contoh berikut diberikan untuk lebih memahami

pembahasan ini.


114

Contoh 4.4

Diketahui persamaan (4.8)

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝛽4𝑋4𝑖 + 𝜀𝑖

Dari data pada tabel 4.3 diketahui bahwa terdapat problem multikolinieritas yang

serius, dalam contoh ini akan digunakan perbaikan multikolinieritas dengan

mengeluarkan sebuah variabel. Misalkan variabel yang dikeluarkan adalah variabel

𝑋1, sehingga data menjadi :

Tabel 4.4 : Data hasil Pengeluaran Variabel

Tahun 𝑌 𝑋2 𝑋3

1936 62.8 17.10 3.96

1937 65.0 18.65 5.48

1938 63.9 17.09 4.37

1939 67.5 19.28 4.51

1940 71.3 23.24 4.88

1941 76.6 28.11 6.37

1945 86.3 30.29 8.96

1946 95.7 28.26 9.76

1947 98.3 27.91 9.31


115

1948 100.3 32.30 9.85

1949 103.2 31.39 7.21

1950 108.9 35.61 7.39

1951 108.5 37.58 7.98

1952 111.4 35.17 7.42

Dengan perhitungan menggunakan SPSS diperoleh parameter-parameter 𝛽0 =

17.690, 𝛽2 = 2.185 , dan 𝛽3 = 1.410 maka pendugaan persamaan (4.8) menjadi :

𝑌 = 17.690 + 2.185𝑋3𝑖 + 1.410𝑋4𝑖

dan nilai 𝑉𝐼𝐹3 = 2.190 < 10 dan 𝑉𝐼𝐹4 = 2.190 < 10 maka model regresi tersebut

terbebas dari masalah multikolinieritas. Seperti pada contoh sebelumnya, setelah

terbebas dari masalah multikolinieritas selanjutnya dilakukan uji F untuk menjamin

model tersebut layak digunakan.

f) Hipotesis

𝐻0: 𝛽𝑗 = 0

𝐻1: ada 𝛽𝑗 ≠ 0

g) Dipilih tingkat signifikansi 0.05

h) Statistik uji 𝐹 =𝑅2/((𝑘+1)−1)

(1−𝑅2)/(𝑛−(𝑘+1))

Dengan menggunakan perhitungan SPSS diperoleh nilai 𝐹 = 53.422


116

i) Daerah penolakan

𝐹 > 𝐹𝛼[ 𝑘+1 −1,𝑛− 𝑘+1 ]

𝐹𝛼[ 𝑘+1 −1,𝑛− 𝑘+1 ] = 3.98

j) Kesimpulan

Karena 𝐹 = 53.422 > 3.98 maka 𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 , yang berarti bahwa secara simultan

variabel bebas mempengaruhi Y.

4. Transformasi variabel

Teknik perbaikan dengan transformasi variabel terbagi dua yaitu transformasi

diferensial pertama dan transformasi rasio.

Transformasi diferensial pertama

Misalkan mempunyai data deretan-waktu dan mempunyai persamaan regresi

berganda sebagai berikut:

𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑡 + 𝛽2𝑋2𝑡 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡 + 𝜀𝑡 (4.12)

berlaku pada waktu t sehingga harus juga berlaku pada waktu t – 1, karena sifat

aslinya yang acak. Maka:

𝑌𝑡−1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑡−1 + 𝛽2𝑋2𝑡−1 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡−1 + 𝜀𝑡−1 (4.13)

Dengan mengurangi persamaan (4.13) dari persamaan (4.12), di dapat


117

𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝛽0

+ 𝛽1𝑋1𝑡 + 𝛽

2𝑋2𝑡 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡 + 𝜀𝑡 − (𝛽

0+ 𝛽

1𝑋1,𝑡−1 + 𝛽

2𝑋2,𝑡−1 +

… + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡−1 + 𝜀𝑡−1 )

= 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡 + 𝜀𝑡 − 𝛽0 − 𝛽1𝑋1,𝑡−1 − 𝛽2𝑋2,𝑡−1 − ⋯

−𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡−1 − 𝜀𝑡−1

𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝛽1(𝑋

𝑡− 𝑋𝑡−1) + 𝛽

2(𝑋

2𝑡− 𝑋2𝑡−1) + ⋯ + 𝛽

𝑘(𝑋

𝑘𝑡− 𝑋𝑘𝑡−1) + 𝑣𝑡 (4.14)

Di mana 𝑣𝑡 = 𝜀𝑡 − 𝜀𝑡−1

Contoh berikut akan membantu dalam memahami pembahasan berikut ini.

Contoh 4.5

Tabel 4.5 : Data Belanja Konsumsi, Pendapatan, dan Waktu

𝑋1 𝑋2 𝑌

1839 1 1673

1844 2 1688

1831 3 1666

1881 4 1735

1883 5 1749

1910 6 1756

1969 7 1815

2016 8 1867


118

2126 9 1948

2239 10 2048

2336 11 2128

2404 12 2165

2487 13 2257

2535 14 2316

2595 15 2324

𝑌 = belanja konsumsi

𝑋1 = pendapatan per kapita

𝑋2 = waktu

Contoh 4.3 ingin mengetahui pengaruh pendapatan per kapita dan waktu, terhadap

belanja konsumsi, dari periode 1956-1970. Data tersebut dimodelkan sebagai berikut:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝜀𝑖 (4.15)

Penyelesaian :

Berdasarkan perhitungan dengan menggunakan SPSS diperoleh estimasi parameter-

parameter 𝛽0 = 300.286 , 𝛽1 = 0.742 , 𝛽2 = 8.044 , sehingga persamaan (4.12)

menjadi

𝑌 = 300.286 + 0.742𝑋1𝑖 + 8.044𝑋2𝑖 (4.16)


119

dan juga diperoleh nilai 𝑉𝐼𝐹1 = 15.130 > 10 dan 𝑉𝐼𝐹2 = 15.130 > 10 yang

menandai adanya masalah multikolinieritas yang serius. Dengan teknik perbaikan

transformasi diferensial pertama diperoleh:

𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑡 + 𝛽2𝑋2𝑡 + 𝜀𝑡 (4.17)

Berlaku pada waktu t sehingga harus juga berlaku pada waktu t-1

𝑌𝑡−1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑡−1 + 𝛽2𝑋2𝑡−1 + 𝜀𝑡−1 (4.18)

Dengan mengurangkan persamaan (4.14) dari persamaan (4.13)

𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 − 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑡−1 + 𝛽2𝑋2𝑡−1 + 𝑣𝑡

= 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 − 𝛽0 − 𝛽1𝑋𝑡−1 − 𝛽2𝑋2𝑡−1

𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝛽1(𝑋1 − 𝑋𝑡−1) + 𝛽2(𝑋2 − 𝑋2𝑡−1) + 𝑣𝑡 (4.19)

𝑣𝑡 = 𝜀𝑡 − 𝜀𝑡−1

Tabel 4.6 : Data hasil transformasi diferensial pertama sebagai

𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1 𝑋2𝑡 − 𝑋2𝑡−1 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1

5 1 15

-13 1 -22

50 1 69

2 1 14

27 1 7


120

59 1 59

47 1 52

110 1 81

113 1 100

97 1 80

68 1 37

83 1 92

48 1 59

60 1 8

Dengan menggunakan spss diperoleh VIF sebesar 1 < 10 , dan nilai model regresi

setelah dilakukan transformasi variabel mengalami bebas multikolinieritas. Dari data

tersebut juga diperoleh parameter-parameter 𝛽1 = 2.645 , 𝛽2 = 0.812 , sehingga

persamaan (4.12) menjadi

𝑌 𝑡 − 𝑌 𝑡−1 = 𝛽1(𝑋1 − 𝑋𝑡−1) + 𝛽2(𝑋2 − 𝑋2𝑡−1) (4.20)

= 2.645 (𝑋1 − 𝑋𝑡−1) + 0.812(𝑋2 − 𝑋2𝑡−1)

𝑌 𝑡 = 2.645 (𝑋1 − 𝑋𝑡−1) + 0.812(𝑋2 − 𝑋2𝑡−1) − 𝑌 𝑡−1 (4.21)

Uji F untuk menjamin kelayakan model regresi adalah sebagai berikut:

a. 𝐻0: 𝛽𝑗 = 0


121

𝐻1: tidak semua nilai 𝛽 sama dengan nol

b. Dipilih tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05

c. Statistik uji : 𝐹 =𝑅2/((𝑘+1)−1)

(1−𝑅2)/(𝑛−(𝑘+1))

𝐹 tabel 𝐹𝛼; 𝑘+1 −1,𝑛−(𝑘+1) = 3.98

d. Hitungan berdasarkan SPSS diperoleh nilai 𝐹 = 33.608

e. Kesimpulan : karena 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 3.98 maka 𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 di tolak , yang berarti

secara simultan, variabel bebas mempengaruhi Y.

Transformasi rasio

Diberikan model berikut ini :

𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑡 + 𝛽2𝑋2𝑡 + 𝜀𝑡 (4.23)

Di mana 𝑌 adalah pengeluaran konsumsi dalam dolar, 𝑋2 adalah PDB, dan 𝑋3 adalah

total populasi. Diketahui PDB dan populasi saling berhubungan secara linier, salah

satu solusi bagi masalah ini adalah dengan pembagian persamaan (4.21) dengan 𝑋3,

sehingga didapat:

𝑌𝑡

𝑋2= 𝛽0

1

𝑋2+ 𝛽1

𝑋2𝑡

𝑋2+ 𝛽2 +

𝑢𝑡

𝑋2 (4.24)

Transformasi seperti ini dapat mengurangi kolinieritas pada variabel aslinya. Untuk

lebih memahami pembahasan ini, di berikan contoh berikut.

Contoh 4.7


122

Dengan menggunakan permasalah dan data dalam contoh (4.3) yang mana

menggunakan teknik perbaikan transformasi diferensial pertama, pada contoh ini

digunakan teknik perbaikan transformasi rasio.

Pada data tabel 4.5 antara pendapatan per kapita dan waktu diketahui saling

berhubungan linier, maka sesuai dengan teknik dalam transformasi rasio, dilakukan

pembagian persamaan (4.12) dengan 𝑋2.

𝑌𝑖

𝑋𝑖=

𝛽0

𝑋𝑖+

𝛽1𝑋𝑖

𝑋𝑖+

𝛽2𝑋2𝑖

𝑋𝑖+

𝜀𝑖

𝑋𝑖

𝑌𝑖

𝑋𝑖= 𝛽0

1

𝑋𝑖+ 𝛽1 + 𝛽2

𝑋2𝑖

𝑋𝑖+

𝜀𝑖

𝑋𝑖

𝑊𝑖 = 𝛽0𝐾𝑖 + 𝛽1 + 𝛽2𝐿𝑖 + 𝑣𝑖 (4.25)

Di mana 𝑊𝑖 =𝑌𝑖

𝑋𝑖 , 𝐾𝑖 =

1

𝑋𝑖, 𝐿𝑖 =

𝑋2𝑖

𝑋𝑖 , 𝑣𝑖 =

𝜀𝑖

𝑋𝑖

Dengan hasil transformasi variabel bebas 𝑋2 pada persamaan , maka data tabel 4.5

menjadi :

Tabel 4.7 : Data Hasil Transformasi Rasio

𝐾𝑖 𝐿𝑖 𝑊𝑖

0.000544 0.000544 0.909734

0.000542 0.001085 0.915401

0.000546 0.001638 0.909885

0.000532 0.002127 0.922382


123

0.000531 0.002655 0.928837

0.000524 0.003141 0.919372

0.000508 0.003555 0.921788

0.000496 0.003968 0.926091

0.00047 0.004233 0.916275

0.000447 0.004466 0.914694

0.000428 0.004709 0.910959

0.000416 0.004992 0.900582

0.000402 0.005227 0.907519

0.000394 0.005523 0.913609

0.000385 0.00578 0.895568

Dengan perhitungan menggunakan SPSS diperoleh parameter-parameter 𝛽0 =

−0.001 , 𝛽1 = −0.030 , 𝛽2 = 0.002 , sehingga persamaan (4.22) menjadi :

𝑊𝑖 = −0.001 𝐾𝑖 − 0.030 + 0.002𝐿𝑖 + 𝑣𝑖

𝑌 𝑖

𝑋𝑖= −0.001

1

𝑋𝑖− 0.030 + 0.002

𝑋2𝑖

𝑋𝑖 (4.26)

Dari perhitungan juga diperoleh nilai 𝑉𝐼𝐹1 = 7.633 < 10 dan 𝑉𝐼𝐹3 = 7.633 < 10 ,

yang berarti model regresi di atas bebas dari masalah multikolinieritas. Selanjutnya

dilakukan uji F untuk menjamin kelayakan model regresi.

f. 𝐻0: 𝛽𝑗 = 0


124

𝐻1: tidak semua nilai 𝛽 sama dengan nol

g. Dipilih tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05

h. Statistik uji : 𝐹 =𝑅2/((𝑘+1)−1)

(1−𝑅2)/(𝑛−(𝑘+1))

𝐹 tabel 𝐹𝛼; 𝑘+1 −1,𝑛−(𝑘+1) = 3.89

i. Hitungan berdasarkan SPSS diperoleh nilai 𝐹 = 11.434

j. Kesimpulan : karena 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 3.89 maka 𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 di tolak , yang berarti

secara simultan, variabel bebas mempengaruhi Y.

5. Penambahan data baru atau pengadaan data baru

Karena problem multikolinieritas merupakan cirri-ciri dari sebuah sampel, ada

kemungkinan sampel lain melibatkan variabel kolinier yang sama dengan

kemungkinan permasalahan yang tidak serius seperti pada sampel yang pertama.

Salah satu solusi untuk mengatasi masalah multikolinieritas adalah dengan

menambah data baru atau meningkatkan ukuran sampel.


125

BAB V

KESIMPULAN

Multikolinieritas merupakan salah satu pelanggaran asumsi di mana vektor-

vektor kolom dari matriks 𝑿 yaitu 𝑋1,𝑋2 ,… ,𝑋𝑛 saling tak bebas linier. Atau dengan

kata lain variabel-variabel bebas di dalam model regresi berhubungan secara linier.

Multikolinieritas itu sendiri terbagi dua, yaitu multikolinieritas sempurna dan

multikolinieritas tidak sempurna. Multikolinieritas sempurna adalah suatu kondisi di

mana variabel-variabel bebas berkorelasi secara sempurna, dengan kondisi sebagai

berikut:

𝝀1𝑋1 + 𝝀2𝑋2 + 𝝀3𝑋3 +⋯+ 𝝀𝑘𝑋𝑘 = 0

Sedangkan multikolinieritas tidak sempurna adalah suatu kondisi di mana variabel-

variabel bebas berkorelasi tetapi tidak secara sempurna, dengan kondisi sebagai

berikut:

𝝀1𝑋1 + 𝝀2𝑋2 +⋯+ 𝝀𝑘 + 𝑣𝑖 = 0

Di mana 𝑣 merupakan variabel gangguan.

Konsekuensi-konsekuensi yang muncul karena adanya multikolinieritas

adalah, jika multikolinieritas sempurna, maka penduga parameter-parameter tidak

dapat ditentukan, jika multikolinieritas tidak sempurna, maka penduga parameter-


126

parameter regresi masih dapat ditentukan, akan tetapi varians dari data tersebut

menjadi sangat besar, akibatnya standar error juga menjadi sangat besar. Dengan

standar error yang besar, menandakan tingkat keakuratan dalam pendugaan

parameter-parameter regresi sangat rendah.

Cara-cara mendeteksi adanya multikolinieritas yaitu dengan memeriksa nilai

t dan nilai F. Apabila nilai t sangat rendah maka peluang untuk menerima hipotesis

nol yang menyatakan bahwa nilai parameter = 0 , sangat tinggi. Akan tetapi nilai F

tinggi, maka peluang untuk menolak hipotesis nol yang menyatakan nilai parameter 𝛽

secara bersamaan sama dengan nol sangat tinggi. Dari dua hal ini, secara individu

nilai parameter = 0 , akan tetapi secara bersama nilai parameter 𝛽 ≠ 0 , menandakan

adanya masalah multikolinieritas di dalam regresi. Selain memeriksa nilai i dan nilai

F , juga dengan memeriksa nilai VIF, yang secara matematis dinyatakan sebagai

berikut:

𝑉𝐼𝐹 =1

1−𝑟𝑖𝑗2

Di mana 𝑟 adalah koefisien korelasi, yang dinyatakan dengan persamaan matematik:

𝑟 =( 𝑥𝑖 𝑦𝑖 )

𝑥𝑖2 𝑦𝑖2

Langkah – langkah perbaikan dalam menanggulangi masalah

multikolinieritas di antaranya adalah dengan informasi apriori, menggabungkan data


127

cross section dengan data time series , menghilangkan variabel yang berkolinier, dan

transformasi variabel.


128

DAFTAR PUSTAKA

Suharjo, Bambang. 2008. Analisis Regresi Terapan dengan SPSS. Yogyakarta: Graha

Ilmu.

Walpole, E., Ronald, dan Myers, H., Raymond. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk

Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB.

M.A., Supranto, J., 2001. Statistik. Jakarta: Erlangga.

Walpole, E., Ronald. 1995. Pengantar Statistika. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Spiegel, R., Munray, Schiller, John, dan Srinivasan, Alu, R.. 2004. Probabilitas dan

Statistik. Jakarta: Erlangga.

Sunyoto, Danang. 2010. Uji khi Kuadrat dan Regresi. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linier. Batam: Interaksara.

Sumodiningrat, Gunawan. 2012. Ekonometrika Pengantar. Yogyakarta: UGM.

JR., Ayers, Frank. 1984. Matriks. Bandung: Erlangga.

Gujarati, N., Damodar, dan Porter, C., Dawn. 2012. Dasar-dasar Ekonometrika. Jakarta:

Salemba Empat.


129

LAMPIRAN

Lampiran 1

Langkah – langkah uji multikolinieritas dengan SPSSv.16

1. Buka file yang akan dianalisis, kemudian pilih : Analyze – Regression – Linear –

pengisian

2. Pengisian :

a) Variabel Dependent : Masukan variabel terikat

b) Variabel Independent : Masukan variabel bebas

c) Klik Statistic : pilih Estimates – Model fit – Collinearity diagnostic

d) Klik continue. Klik OK


130

Lampiran 2

Contoh 4.1

Uji Multikolinieritas

ANOVAb

Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.

1 Regression 1.532E7 5 3064954.373 6.147 .007a

Residual 4986259.886 10 498625.989

Total 2.031E7 15

a. Predictors: (Constant), X5, X4, X2, X3, X1

b. Dependent Variable: Y

Coefficientsa

Model

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig.

Collinearity Statistics

B Std. Error Beta Tolerance VIF

1 (Constant) 2933.906 8172.257 .359 .727

X1 50.538 69.701 1.769 .725 .485 .004 242.517

X2 -103.504 51.147 -6.554 -2.024 .071 .002 427.281

X3 6.116 3.714 3.901 1.647 .131 .004 228.578

X4 -105.979 151.943 -.241 -.697 .501 .206 4.848

X5 .124 .123 .985 1.009 .337 .026 38.788


131

Coefficientsa

Model

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig.



1 (Constant) 2933.906 8172.257 .359 .727

X1 50.538 69.701 1.769 .725 .485 .004 242.517

X2 -103.504 51.147 -6.554 -2.024 .071 .002 427.281

X3 6.116 3.714 3.901 1.647 .131 .004 228.578

X4 -105.979 151.943 -.241 -.697 .501 .206 4.848

X5 .124 .123 .985 1.009 .337 .026 38.788

a. Dependent Variable: Y


132

Lampiran 3

Contoh 4.3 dan Contoh 4.4

Uji Multikolinieritas

ANOVAb


1 Regression 4096.604 2 2048.302 53.422 .000a

Residual 421.760 11 38.342

Total 4518.364 13

a. Predictors: (Constant), X3, X2


Coefficientsa

Model

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig.



1 (Constant) 17.690 6.943 2.548 .027

X2 2.185 .359 .831 6.095 .000 .457 2.190

X3 1.410 1.227 .157 1.149 .275 .457 2.190



133

Lampiran 4

Hasil Perbaikan contoh 4.3

ANOVAb


1 Regression 3928.895 1 3928.895 79.982 .000a

Residual 589.469 12 49.122

Total 4518.364 13

a. Predictors: (Constant), Z


Coefficientsa

Model

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig.



1 (Constant) 22.584 7.455 3.029 .010

Z .693 .077 .932 8.943 .000 1.000 1.000



134

Lampiran 5

Hasil Perbaikan contoh 4.4

ANOVAb


1 Regression 4096.604 2 2048.302 53.422 .000a

Residual 421.760 11 38.342

Total 4518.364 13



Coefficientsa

Model

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig.



1 (Constant) 17.690 6.943 2.548 .027

X2 2.185 .359 .831 6.095 .000 .457 2.190

X3 1.410 1.227 .157 1.149 .275 .457 2.190



135

Lampiran 6

Contoh 4.5 dan contoh 4.7

ANOVAb


1 Regression 828144.478 2 414072.239 2.514E3 .000a

Residual 1976.855 12 164.738

Total 830121.333 14



Coefficientsa

Model

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig.



1 (Constant) 300.286 78.318 3.834 .002

X1 .742 .048 .855 15.610 .000 .066 15.130

X2 8.044 2.984 .148 2.696 .019 .066 15.130



136

Lampiran 7

Hasil perbaikan contoh 4.5

ANOVAb


1 Regression 13183.425 1 13183.425 33.068 .000a

Residual 4784.075 12 398.673

Total 17967.500 13

a. Predictors: (Constant), X1


Coefficientsa

Model

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig.



1 (Constant) 2.645 9.308 .284 .781

X1 .812 .141 .857 5.751 .000 1.000 1.000



137

Lampiran 8

Hasil perbaikan contoh 4.7

ANOVAb


1 Regression .001 2 .000 11.434 .002a

Residual .000 12 .000

Total .001 14

a. Predictors: (Constant), Li, Ki

b. Dependent Variable: Wi

Coefficientsa

Model

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig.



1 (Constant) .744 .042 17.684 .000

Ki 296.258 69.946 1.982 4.236 .001 .131 7.633

Li 8.023 2.551 1.471 3.145 .008 .131 7.633

a. Dependent Variable: Wi


multikolinieritas dalam regresi linier skripsi · multicollinearity in linear regression. thesis....

Documents