Mukavemet-I

Yrd.Do.Dr. Akn Ata

Blm 6

Kirilerde ve nce Cidarl Elemanlarda Kayma Gerilmeleri

Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, evirenler: A. Soyuok, . Soyuok.

Normal gerilmeler M eilme iftiyle, kayma gerilmeleri V kesme kuvvetiyle retilir. Kirilerin mukavemet tasarmnda nde gelen lt, normal gerilmelerin maksimum deeridir. Bununla birlikte, ksa kirilerin tasarmnda kayma gerilmeleri nemli olabilir ve bu blmn konusudur.

6.1 Giri

Dey simetri dzlemli, prizmatik bir kiriin bir enine kesiti zerine uygulanan elementer normal ve kesme kuvvetleri, srasyla, M eilme iftine ve V kesme kuvvetine edeerdir.

6.1 Giri

x bileenleri

y eksenine gre momentler

z eksenine gre momentler

y bileenleri:

z bileenleri:

Kbik eleman dey simetri dzlemi zerinde olup xz sfrdr. x eksenine dik iki yzn her birine bir x normal gerilmesi ve xy kayma gerilmesi uygulanr. Bir elemann dey yzlerine xy uyguland zaman, ayn elemann yatay yzlerine de eit gerilmeler uygulanmaldr. Buradan, enine yklemeye maruz bir elemanda, boyuna kayma gerilmelerinin de mevcut olmas gerektii anlalr.

6.1 Giri

Bileik kiriin serbest ucuna bir P enine yk uygulandnda, tahtalarn birbirine gre kaydklar gzlenir. Ayn bileik kiriin serbest ucuna bir M kuvvet ifti uygulanrsa, tahtalar e merkezli ember yay eklinde eilirler ve birbirlerine gre kaymazlar. Bylece, basit eilmeye maruz bir kirite kesme olumamas olgusu gereklenmi olur.

6.1 Giri

elik gibi bir malzemeden yaplm bir kirie P enine yk uygulandnda, herhangi bir kayma ortaya kmad halde dey ve yatay dzlemlerde gerilme oluur. Lifleri arasndaki kesme direnci zayf olan ahap kirilerde, kesmeden kaynaklanan krlma genellikle bir boyuna dzlemde ortaya kar.

6.1 Giri

Kiri, dey simetri eksenine sahiptir.

6.2 Bir Kiri Elemannn Yatay Yzndeki Kesme Kuvveti

Parantez iindeki integral y = y1 izgisinin stnde kalan kiri kesitinin tarafsz eksene gre birinci momentidir ve Q ile gsterilir.

CDDC st eleman yerine CDDC alt eleman kullanlsa yine ayn sonu elde edilir. nk, iki elemann birbirlerine uyguladklar H ve H kesme kuvvetleri eit ve zt ynldr. Buradan, y = y1 izgisinin altnda yer alan parann Q birinci momentinin, izginin stnde kalan parannkine eit byklkte ve ters iarette olduu anlalr. Bu iki momentin toplam, tm kesitin merkezi eksene gre momentine eittir. Yani, sfrdr.

6.2 Bir Kiri Elemannn Yatay Yzndeki Kesme Kuvveti

Birim uzunluk bana yatay kesme kuvveti, q harfi ile gsterilir ve soldaki denklemin iki yan xe blnerek elde edilir:

6.2 Bir Kiri Elemannn Yatay Yzndeki Kesme Kuvveti

Q, qnun hesapland noktann stnde veya altnda kalan parasnn tarafsz eksene gre birinci momenti, I ise tm kesit alannn merkezi eylemsizlik momentidir.

rnek 6.01

iviler arasnda 25 mm mesafe olduuna ve kiriteki dey kesme kuvveti V = 500 N olduuna gre, her bir ivideki kesme kuvvetini belirleyiniz.

rnek 6.01

H, yzn A alanna blnerek elemann yatay yzndeki ort ortalama kayma gerilmesi bulunur.

6.3 Bir Kiriteki Kayma Gerilmelerinin Belirlenmesi

D noktasndan geen enine ve yatay dzlemlerdeki xy ve yx eit olduundan, yukardaki ifade D1D2 izgisi boyunca xynin ortalama deerini temsil eder.

Kiriin st ve alt yzlerinde yx = 0dr. nk bu yzlere hi kuvvet uygulanmaz. Dolaysyla, enine kesitin st ve alt kenarlar boyunca ayn zamanda xy = 0dr.

6.3 Bir Kiriteki Kayma Gerilmelerinin Belirlenmesi

Kiri kesitinin genilii yksekliine gre kk kald srece, kayma gerilmesi C1C2 izgisi boyunca ok az deiir.

6.4 Yaygn Kiri Tiplerindeki xy Kayma Gerilmeleri

Kiri kesitinin genilii yksekliine gre kk kald srece, kiriin herhangi bir noktasndaki kayma gerilmesi aadaki formlle hesaplanabilir:

6.4 Yaygn Kiri Tiplerindeki xy Kayma Gerilmeleri

Denkleme gre, bir dikdrtgen kiriin enine kesitindeki kayma gerilmesi dalm paraboliktir. y = 0 iin maksimum kayma gerilmesi elde edilir:

6.4 Yaygn Kiri Tiplerindeki xy Kayma Gerilmeleri

Yukardaki denklem bir kiriin aa veya bb kesiti zerindeki xy kayma gerilmesinin ortalama deerini belirlemek iin kullanlabilir. Pratikte, genellikle tm kesme yknn perde tarafndan tand varsaylr. Kesitteki kayma gerilmesinin maksimum deerinin iyi bir yaklam, V perdenin kesit alanna blnerek elde edilebilir:

rnek 6.02

Ahap kiriin emniyet kayma gerilmesi em = 1.75 MPa olduuna gre, elde edilen tasarmn kayma gerilmeleri asndan kabul edilebilirliini kontrol ediniz (rnek Problem 5.7).

90 mm

1.2 m

6 kN/m 20 kN

2.4 m

rnek 6.02

14.4 kN 20 kN

1.2 m 2.4 m

20 kN

+24

-24 -2.8 kN

-17.2 kN

Kesme diyagramndan Vmaks = 20 kN olduu grlr. Kiriin b genilii 90 mmdir ve h ykseklii daha nce 366 mm olarak bulunmutur.

maks < em. Tasarm kabul edilebilir.

rnek 6.03

elik kiriin emniyet kayma gerilmesi em = 90 MPa olduuna gre, elde edilen tasarmn kayma gerilmeleri asndan kabul edilebilirliini kontrol ediniz (rnek Problem 5.8).

rnek 6.03

maks < em. Tasarm kabul edilebilir.

Kesme diyagramndan |Vmaks|= 58 kN olduu grlr. Pratikte tm kesme ykn perdenin tad varsaylabilir. Profilin perde deerleri Ek Cden bulunur:

V kesme kuvveti sabit ve Pye eit olduundan:

*6.5 Dar Dikdrtgen Kirite Gerilme Dalmnn Ek ncelemesi

Kayma gerilmeleri sadece tarafsz yzeye olan y mesafesine baldr. Ykn uygulama noktasndan llen mesafeden bamszdr. Tarafsz yzeyden ayn mesafede yer alan btn elemanlar ayn kesme deformasyonuna maruzdur. Dzlem kesitler dzlem kalmazken, farkl kesitlerdeki D ve D noktalar arasndaki mesafe ayn kalr. Yani, x ve dolaysyla x kayma gerilmelerinden etkilenmez.

V kesme kuvveti sabit ve Pye eit olduundan:

*6.5 Dar Dikdrtgen Kirite Gerilme Dalmnn Ek ncelemesi

Serbest utan x kadar mesafedeki normal gerilmeler, M = -Px yazlarak elde edilir:

Uygulamada, ortaya kan modelle karlalmas dk bir bir ihtimaldir. Ama Saint-Venant ilkesine gre yukardaki denklemler kullanlabilir.

Dikdrtgen kesitli bir kiri, ok sayda tekil yke maruz kaldnda, yklerin uygulama noktalar arasnda bulunan kesitlerdeki normal ve kayma gerilmelerini belirlemek iin sperpozisyon ilkesi kullanlabilir.

*6.5 Dar Dikdrtgen Kirite Gerilme Dalmnn Ek ncelemesi

Kiri bir yayl yke maruz kaldnda, kesme kuvveti kiriin ularna olan mesafeye gre deiir. Kayma deformasyonlar D1 ve D1 veya D2 ve D2 gibi, farkl kesitlerin kar gelen mesafeleri, bunlarn yksekliine bal olarak deiir. nceki denklemler kullanldnda ortaya kan hata kktr.

*6.5 Dar Dikdrtgen Kirite Gerilme Dalmnn Ek ncelemesi

rnek Problem 6.1

Birbirine tutkallanm tahtadan yaplm AB kirii, simetri dzleminde gsterilen yklemeye maruzdur. Her bir tutkall balantnn genilii 20 mm olduuna gre, kiriin n-n kesitindeki her bir balantnn ortalama kayma gerilmesini belirleyiniz. Kesit merkezinin konumu ekilde gsterilmitir ve merkezi eylemsizlik momenti I = 8.63 x 10-6 m4 olarak verilmitir.

rnek Problem 6.1 n-n Kesitindeki Dey Kesme Kuvveti.

a Balantsndaki Kayma Gerilmesi.

b Balantsndaki Kayma Gerilmesi.

rnek Problem 6.2

Akl 3 m ve nominal genilii 100 mm (gerek genilii = 90 mm) olan AB ahap kirii, gsterilen tekil yke maruzdur. Kullanlan ahap iin em = 12 MPa ve em = 0.8 MPa olduuna gre, kiriin gerekli minimum d yksekliini belirleyiniz.

12 kN 5 kN 12 kN

0.6 0.9 0.9 0.6

3 m

90 mm

rnek Problem 6.2 Maksimum Kesme Kuvveti ve Eilme Momenti.

Emniyet Normal Gerilmesine Gre Tasarm.

Kayma Gerilmesinin Kontrol.

rnek Problem 6.2

Emniyet Kayma Gerilmesine Gre Tasarm.

6.6 Keyfi ekilli Bir Kiri Elemanda Boyuna Kesme Kuvveti

Soldaki sandk kirite, tahtalarn birletii yatay yzeylerdeki q birim uzunluk bana kesme kuvvetini belirleyebiliyoruz. Tahtalar sadaki kiriteki gibi dey yzeyler boyunca birletirilirse, qyu belirleyebilir miyiz? Geni balkl kirilerde kayma gerilmelerinin xy dey bileenlerinin perdede sabit olduunu ve balklarda ihmal edilebileceini grdk. Peki balklardaki xz yatay bileeni?

6.6 Keyfi ekilli Bir Kiri Elemanda Boyuna Kesme Kuvveti

rnek 6.04

Kare sandk kirite iviler arasndaki mesafe 44 mm olduuna ve kiri V = 2.5 kN byklndeki bir dey kesme kuvvetine maruz kaldna gre, her bir ivideki kesme kuvvetini belirleyiniz.

18 mm 76

112 mm

18 mm

18 mm

rnek 6.04 76 mm 18 mm

47 mm

112 mm

76

76

112 mm

6.7 nce Cidarl Elemanlarda Kayma Gerilmeleri

Bu blmde, yukardaki formller geni balkl kirilerin bal ve sandk kiri veya inaat borular gibi ince cidarl elemanlarn cidarlarndaki kayma aksn ve ortalama gerilmelerini hesaplamak iin kullanlacaktr.

6.7 nce Cidarl Elemanlarda Kayma Gerilmeleri

Burada ort, bir dey kesitteki zx kayma gerilmesinin ortalama deerini temsil eder.

xz = zx olduundan, baln enine bir kesitindeki herhangi bir noktadaki kayma gerilmesinin xz yatay bileeni yukardaki ortalama gerilme ifadesinden elde edilebilir.

6.7 nce Cidarl Elemanlarda Kayma Gerilmeleri

Yukardaki denklem, ykler elemann bir simetri dzleminde uyguland srece, sandk kirilerde, yarm borularda ve dier ince cidarl elemanlardaki kayma gerilmelerini belirlemek iin kullanlabilir. Her durumda, kesit elemann yzeyine dik olmaldr. Denklem, bu yzeyin teeti dorultusundaki kayma gerilmesinin bileenini verir.

6.7 nce Cidarl Elemanlarda Kayma Gerilmeleri

Kesitin verilen bir noktasndaki kayma gerilmesiyle kesitin bu noktasndaki t kalnlnn arpm qya eittir. Herhangi bir kesitte V ve I sabit olduundan, q sadece Q birinci momentine baldr ve kesit zerinde izilebilir.

*6.8 Plastik Deformasyonlar

Eilme momentinin en byk deeri, B sabit ucunda oluur ve M = PLye eittir. PL MY (maksimum elastik moment) olduu srece, normal gerilme akma mukavemetini amaz. Artan yk sonucu B ve B noktalarnda akma balar ve serbest uca doru yaylr.

*6.8 Plastik Deformasyonlar

Malzemenin elastoplastik olduunu varsayalm. Yukardaki denklemden elastik ekirdein kalnlnn yarsn, yY belirleriz. yY x erisini izerek, elastik ve plastik blgeler arasndaki snr buluruz.

*6.8 Plastik Deformasyonlar

PL < 3/2 MY olduu srece, denklemin tanmlad parabol, BB izgisini keser. Ancak, PL = 3/2 MY olduunda, yani PL = Mp olduu zaman, x = L iin yY = 0 olur. Bu, kesitin tam plastik olduunu gsterir. Bu noktada plastik mafsal olutuunu ifade ederiz. P = Mp/L yk, kiriin tayabilecei en byk yktr.

*6.8 Plastik Deformasyonlar

Para tamamen plastik blgede yer alrsa, yzlerdeki normal gerilmeler dzgn dalr ve Y akma mukavemetine eittir. Bu yzden, H yatay kuvvetinin sfr olmas gerekir. yx ve xy C noktasnda sfrdr. Bu noktadaki V = P dey kesme kuvveti EE zerinde yaylr.

rnek Problem 6.3

W250 X 101 ekme elik kiriteki dey kesme kuvveti 200 kN olduuna gre, st balkta, kiriin kenarndan 108 mm mesafede bulunan bir a noktasndaki yatay kayma gerilmesini belirleyiniz. ekme elik kesitin boyutlar ve dier geometrik verileri Ek Cde verilmektedir.

19.6 mm 108 mm

132 19.6/2 = 122.2 mm 132

264

164 x 106 mm4

rnek Problem 6.3

19.6 mm 108 mm

132 19.6/2 = 122.2 mm 132

264

164 x 106 mm4

rnek Problem 6.4

W250 X 101 ekme elik kiriteki dey kesme kuvveti 200 kN olduuna gre, st balkta, kiriin kenarndan 108 mm mesafede bulunan bir a noktasndaki yatay kayma gerilmesini belirleyiniz. ekme elik kesitin boyutlar ve dier geometrik verileri Ek Cde verilmektedir.

19.6 mm 108 mm

132 19.6/2 = 122.2 mm 132

264

164 x 106 mm4

Kaynaklar

18 mm x 300 mm

108 mm

nceki sorudan farkl olarak, kaynakl plakalar ilave edilmitir.

rnek Problem 6.4

rnek Problem 6.5

Kalptan ekilmi ince cidarl kiri alminyumdan yaplm olup, 3 mmlik dzgn bir cidar kalnlna sahiptir. Kiriteki kesme kuvveti 5 kN olduuna gre, (a) A noktasndaki kayma gerilmesini, (b) kiriteki maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz (Not: Verilen boyutlar kiriin d ve i yzeyleri arasndaki orta izgiden llmtr).

rnek Problem 6.5

Merkez.

Merkezi Eylemsizlik Momenti.

rnek Problem 6.5

a. Adaki Kayma Gerilmesi.

Kesit ve ykleme, Adan geen bir dey izgiye gre simetrik olduundan, kayma aks da simetrik olmaldr. Mmkn olabilecek kayma aklarndan hibiri simetrik olmadndan,

rnek Problem 6.5

b. Maksimum Kayma Gerilmesi.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

Daha nceki analizlerimiz, dey bir simetri dzlemine sahip olan elemanlarla ve bu simetri dzleminde uygulanan yklerle snrlanmt.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

M kuvvet ifti vektr yine kesitin bir asal ekseni dorultusundadr ve tarafsz eksenle akr. Bylece, x = -My/I denklemi normal gerilmeler iin kullanlabilir. Ancak, denklemi kullanlamaz. nk, bu denklem bir dey simetri dzlemine sahip eleman iin karld. Eleman, yk etkisinde eilir ve burulur.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

P dey ykn kanal eleman burulmakszn eilecek ekilde uygulamak mmkn mdr? Mmknse, P yk nerede uygulanmaldr? Eleman burulmadan eilirse, bir kesitin herhangi bir noktasndaki kayma gerilmesi formlnden hesaplanabilir ve gerilme dalm ekildeki gibi oluur.

Kayma Gerilmesi

q Kayma Aks

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

Kesit alannn kk bir dA eleman zerine uygulanan kesme kuvveti:

Kayma Gerilmesi

q Kayma Aks

q Kayma Aks

Elemanlar zerindeki Bileke Kuvvetler

Kanal kiriin AB st balnn elemanlar zerine uygulanan kayma kuvvetlerinin bilekesi:

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

DE alt bal zerine uygulanan kesme kuvvetlerinin bilekesi, F ile ayn byklkte ve zt ynldr. Dolaysyla, BD perdesi zerine uygulanan kesme kuvvetlerinin bilekesi, V dey kesme kuvvetine eittir.

Kayma Gerilmesi

q Kayma Aks

q Kayma Aks

Elemanlar zerindeki Bileke Kuvvetler

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

BD perdesi zerine uygulanan kesme kuvvetlerinin bilekesi, V dey kesme kuvvetine eittir:

Elemanlar zerindeki Bileke Kuvvetler

Burulmay Ortadan Kaldracak Vnin yeri F ve F kuvvetleri Fh momentli bir kuvvet

ifti oluturur. V dey kuvveti e kadar sola kaydrlrsa, bu kuvvet ifti ortadan kaldrlabilir ve eleman burulmakszn eilir.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

Pnin etki izgisinin, u kesitin simetri eksenini kestii O noktasna bu kesitin kayma merkezi ad verilir. Bir P eik yk halinde, P yk kesitin kayma merkezine uygulanrsa, elemanda herhangi bir burulma grlmez. Bu taktirde, P yk, elemann burulmasna neden olmayan Pz ve Py bileenlerine ayrlabilir.

rnek 6.05

b = 100 mm, h = 150 mm ve t = 4 mm olduuna gre, dzgn kalnlkl kanal kesitin O kayma merkezini belirleyiniz.

rnek 6.05

rnek 6.06

Kanal kesitin O kayma merkezinde uygulanan 10 kNluk V dey kesme kuvvetinin neden olduu kayma gerilmesi dalmn belirleyiniz.

rnek 6.06

Balklardaki Kayma Gerilmeleri.

rnek 6.06

Perdedeki Kayma Gerilmeleri.

rnek 6.06

Kesit zerindeki Gerilme Dalm.

rnek 6.07

Gerilme ylmalarn ihmal ederek, BD perdesinin orta izgisinin sanda 28.5 mmlik bir mesafede yer alan, kesitin C merkezinde uygulanan 10 kNluk V kesme kuvvetinin neden olduu maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz.

rnek 6.07

Kayma Merkezinde Edeer Kuvvet-Kuvvet ifti Sistemi.

Eilme Kaynakl Gerilme.

rnek 6.07

Burulma Kaynakl Gerilmeler.

Kombine Gerilmeler.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

Elemann ynelimi, P yk, kesitin Cz asal merkezi eksenlerinden birine dik olacak ekilde ise, M kuvvet ifti vektr Cz boyunca ynlenir ve tarafsz eksenle akr. Eleman burulmakszn eilecekse, P yknn uygulama noktasn belirleyeceiz.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

F1 ve F2 O noktasndan getiinden, kesitteki V kesme kuvveti olan bilekeleri de Odan gemelidir. P yknn etki izgisi, ykn uyguland kesitin O kesinden geerse, eleman burulmaz.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

Kesitin OA dey paras zerine uygulanan elemanter kesme kuvvetlerinin bilekesi, V kesme kuvvetine eittir ve OB yatay paras zerindeki kesme kuvvetlerinin bilekesi sfrdr.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

Z profillere uygulamada sk rastlanr. Kesiti herhangi bir simetri eksenine sahip deildir ama bir simetri merkezine sahiptir. O noktas HH doru parasn iki eit paraya ayrmak zere, kesitin herhangi bir H noktasna baka bir H noktas kar gelir. O simetri merkezi, kesitin merkezi ile akr ve ayn zamanda kesitin kayma merkezidir.

*6.9 nce Cidarl Elemanlarda Simetrik Olmayan Ykleme; Kayma Merkezi

Ayn ekilde, dF kesme kuvvetleri de eittir ve Oya gre eit ve zt ynl momentlere sahiptir. Bu, kesitteki V kesme kuvvetinin Odan geen bir izgi boyunca ynlendii anlamna gelir. Yani, O noktas kesitin kayma merkezidir.

Yklerin, kesitin asal eksenlerinden birine dik bir dzlemde uygulandn ve bu eksenin ayn zamanda kesitin tarafsz ekseni olduunu varsayyoruz. H ve H noktalarndaki kayma gerilmeleri ayn byklkte ve ayn dorultudadr.

rnek Problem 6.6

Gsterilen ykleme iin, dzgn t kalnlkl, ince cidarl DE kebent profildeki kayma gerilmesi dalmn belirleyiniz.

rnek Problem 6.6

Kayma Merkezi.

nce cidarl bir kebent profilin kayma merkezinin, kesitin kesinde yer aldn biliyoruz. P yk Dde uygulandndan, profilin burulmakszn eilmesine neden olur.

Asal Eksenler.

rnek Problem 6.6

Sperpozisyon.

Kesitteki V kesme kuvveti P ykne eittir. Bu kuvveti asal eksenlere paralel bileenlerine ayrrz.

rnek Problem 6.6 Vy Kaynakl Kayma Gerilmeleri.

Vz Kaynakl Kayma Gerilmeleri.

rnek Problem 6.6

Kombine Gerilmeler. Dey Kol Boyunca.

Yatay Kol Boyunca.