muïc luïc - phöông phaùp tính mỤc lỤc · pdf file5.1....

Muïc luïc - Phöông Phaùp tính

Tröông Myõ Dung www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= [email protected]; C/c [email protected]

MỤC LỤC Lôøi noùi ñaàu. .......................................................................................................................... i Chöông 1. Caùc Nguyeân nhaân chính cuûa Sai soá trong phöông phaùp tính. .......................... 1 1.1. Môû ñaàu. Khaùi nieäm sai soá....................................................................................... 1 1.2. Sai soá do laøm troøn soá............................................................................................... 1 1.3. Sai soá do chaët cuït .................................................................................................... 12 1.4. Baøi taäp ..................................................................................................................... 14 Chöông 2. Phöông phaùp tính trong ñaïi soá Ma traän............................................................. 15 2.1. Ñaïi soá Ma traän. ....................................................................................................... 15 2.2. Heä Phöông trình tuyeán tính..................................................................................... 19

2.2.1. Phöôùng phaùp GAUSS ....................................................................................... 19 2.2.2. Phöông phaùp GAUSS-JORDAN. ..................................................................... 21 2.2.3. Phöông phaùp Phaân tích L.U.............................................................................. 24

2.3. Aùp duïng ñeå tính Nghòch ñaûo ma traän. .................................................................... 24 2.4. Aùp duïng ñeå laäp Baûng caân ñoái lieân ngaønh. ............................................................. 25 2.5. Baøi taäp ..................................................................................................................... 29

Chöông 3. Phöông phaùp Giaûi caùc Phöông trình Phi tuyeán. ................................................ 32 3.1. Môû ñaàu. ................................................................................................................... 32 3.2. Phöông phaùp chia ñoâi khoaûng................................................................................. 32 3.3. Phöông phaùp daây cung ............................................................................................ 34 3.4. Phöông phaùp Newton .............................................................................................. 38 3.5. Baøi taäp ..................................................................................................................... 40 Chöông 4. Phöông phaùp Noäi suy vaø ngoaïi suy................................................................... 41 4.1. Noäi suy tuyeán tính......................................................................................................... 42 4.2. Noäi suy Lagrange. ......................................................................................................... 42 4.3. Noäi suy Newton tieán..................................................................................................... 44 4.4. Newton Newton luøi........................................................................................................ 46 4.5. Baøi taäp............................................................................................................................ 48 Chöông 5. Phöông phaùp tích phaân soá................................................................................... 49 5.1. Phöông phaùp hình thang......................................................................................... 49 5.2. Phöông phaùp Simpson ............................................................................................. 54 5.3. Baøi taäp ..................................................................................................................... 62 Chöông 6. Moät soá phöông phaùp trong thoáng keâ. Phöông phaùp Bình phöông toái thieåu ..... 63. 6.1. Môû ñaàu. ................................................................................................................... 63 6.2. Phöông phaùp bình phöông toái thieåu ........................................................................ 65 6.3. ÖÙng duïng phöông phaùp BPTT trong döï baùo theo hoài qui tuyeán tính ................... 66 6.4. Baøi taäp ..................................................................................................................... 69 Taøi lieäu Tham khaûo.............................................................................................................. 71

http://www.ebook.edu.vn Ch2. Phöông Phaùp tính trong Ñaïi soá Ma traän

Tröông Myõ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= [email protected]; C/c [email protected];

15

CHÖÔNG 2. PHÖÔNG PHAÙP TÍNH

TRONG ÑAÏI SOÁ MA TRAÄN. 2.1. Ñaïi soá Ma traän.

2.1.1. VEÙCTÔ COÄT &VECTÔ HAØNG. Ta goïi veùc tô coät laø moät daõy höõu haïn coù thöù töï caùc soá saép xeáp töø treân xuoáng döôùi.

Thí duï .

Ta goïi veùc tô haøng laø moät daõy höõu haïn coù thöù töï caùc soá saép xeáp theo haøng ngang noái tieáp nhau .

Thí duï. v = [8, -4, 0, 2] laø moät veùc tô haøng coù 4 thaønh phaàn .

Hai veùc tô haøng (hoaëc 2 veùc tô coät) baèng nhau neáu vaø chæ neáu chuùng coù caùc thaønh phaàn ôû cuøng vò trí baèng nhau .

CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN VECTÔ. Coäng 2 veùc tô, neáu

Töông töï, neáu

u = [u1, u2, u3] vaø v = [v1, v2, v3] thì : u + v = [u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3]. Ta coù u + v = v + u

Nhaân moät veùc tô cho moät haèng soá. Neáu a laø moät haèng soá khaùc 0 vaø u = [u1, u2, u3] thì au = [au1, au2, au3].

Veùc tô khoâng laø veùc tô maø caùc thaønh phaàn ñeàu baèng 0. Neáu veùc tô 0 coù 3 thaønh phaàn, ta vieát

Vaø 0 = [ 0, 0, 0 ] Neáu laø veùc tô haøng.

1 6 3

Laø moät veùc tô coät coù 3 thaønh phaànu =

u1 u2

u3

u = u1 + v2 u2 + v2

u3 + v3

Thì u + v = v1

v2

v3

v =vaø

Neáu laø veùc tô coät00 0

0 =



16

Tích voâ höôùng ( nhaân veùc tô haøng vôùi veùc tô coät ) .

Neáu u = [u1,, u3] vaø vaø

Thì uv = u1v1 + u2v2 + u3v3

Thí duï. Moät ngöôøi mua 3 hoäp baùnh, 2 hoäp keïo vaø 4 loï möùt. Giaù moät hoäp baùnh laø 5000 ñ, 1 hoäp keïo laø 4200 ñ, giaù moät loï möùt laø 8000 ñ,

Caùc soá lieäu treân ñöôïc bieåu dieãn baèng caùc veùc tô

u = [ 3 (baùnh), 2 (keïo), 4 (möùt)] chæ soá löôïng haøng ñaõ mua

Soá tieàn phaûi traû laø tích cuûa u vaø v

2.1.2. MA TRAÄN .

Ñònh nghóa. Moät ma traän laø moät taäp hôïp saép xeáp theo haøng vaø theo coät. Moät ma traän caáp mxn laø moät baûng soá goàm mxn phaàn töû xeáp theo m haøng vaø n coät

Khi m=n ta goïi laø ma traän vuoâng caáp n.

Ma traän ñôn vò, kyù hieäu laø I laø ma traän vuoâng maø caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo chính baèng 1, caùc phaàn töû khaùc baèng 0.

Ma traän cheùo, laø ma traän vuoâng maø caùc phaàn töû khaùc treân ñöôøng cheùo chính baèng 0

Thí duï:

5000 4200 8000

v1 v2 v3

v =

= 3x5000 + 2x4000 +4x8000 = 57400 uv = [3, 2, 4]

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

… am1 am2 ... amn

V = A I j laø phaàn töû haøng I, coät j

4 0 00 6 0

0 0 -1 A =

5000 4200 8000

v = Chæ ñôn giaù töøng maët haøng



17

Ma traän chuyeån vò. Cho moät ma traän A, ma traän chuyeån vò cuûa A, kyù hieäu AT laø moät ma traän suy töø A, ñoåi haøng thaønh coät, ñoåi coät thaønh haøng. Neáu A laø ma traän mxn thì AT laø ma traän nxm.

Thí duï. Neáu

Ma traän vuoâng A coù tính ñoái xöùng neáu AT = A

CAÙC PHEÙP TÍNH TREÂN MA TRAÄN.

Coäng 2 ma traän. Pheùp coäng hai ma traän chæ coù nghóa khi hai ma traän coù cuøng caáp.

Thí duï.

Nhaân moät ma traän vôùi moät haèng soá k khaùc 0.

Neáu A = (ai j) thì kA = (kai j)

Nhaân moät veùc tô haøng vôùi moät ma traän. Ñieàu kieän: soá haøng cuûa ma traän = soá phaàn töû cuûa veùc tô haøng.

Thí duï.

[3, 2, 1]

Nhaân moät ma traän vôùi moät veùc tô coät. Ñieàu kieän: Soá coät cuûa ma traän treân = soá thaønh phaàn cuûa veùc tô coät

Thí duï.

Nhaân 2 ma traän A × B . Ñieàu kieän : soá coät cuûa A = soá haøng cuûa B

Thí duï.

Toång quaùt neáu A coù caáp mxn, B coù caáp nxp thì AB coù caáp mxp.

7 4 32 8 6 -2 1 0

2 3 -1 4 2 2

1 6 -4 3 0 2

2 7 6 38 -4 9 1 A =

2 8 7 -4 6 9 3 1

Thì AT =

B =A= Thì A+B = 4 6 -2 3 4 5

3 0 23 4 3

= [ 6, 19 ]

1 -2 3

= 3 2 1 6 3 7

× 221

=×2 71 0-2 3

A × B = 12 58 0 32 -3 -14



18

Chuù yù.

Coù theå nhaân AB ñöôïc nhöng khoâng theå nhaân BA (neáu hai ma traän khoâng vuoâng cuøng caáp).

Neáu A vaø B laø 2 ma traän vuoâng cuøng caáp. Ta nhaân ñöôïc AB vaø BA nhöng AB khaùc BA.

Neáu nhaân ñöôïc 3 ma traän A, B, C thì (AB)C = A(BC).

A laø moät ma traän vuoâng caáp n, I laø ma traän ñôn vò caáp n, thì

AI = IA = A

MA TRAÄN NGHÒCH ÑAÛO.

Ñònh nghóa. Cho A laø moät ma traän vuoâng caáp n, nghòch ñaûo cuûa A (neáu coù), kyù hieäu A –1 laø moät ma traän vuoâng caáp n sao cho

A –1A = AA –1 = I

ÑÒNH THÖÙC CUÛA MOÄT MA TRAÄN. Vôùi moãi ma traän vuoâng ta tính ñöôïc moät soá thöïc goïi laø ñònh thöùc cuûa ma traän, kyù hieäu det A.

Ñònh thöùc cuûa ma traän caáp 2.

Caáp 3.

Ta coù:

de t A = a 1 1 a 2 2 a 3 3 -a 1 1 a 2 3 a 3 2 -a 1 2 a 2 1 a 3 3 +a 1 2 a 3 1 a 2 3 -a 1 3 a 2 1 a 3 2 - a 1 3 a 2 1 a 3 2

Ñònh lyù. A coù nghòch ñaûo neáu vaø chæ neáu det A khaùc 0 .

a21 a23

a31 a33 a21 a22

a31 a32

A = a11 a12

a21 a22 Thì det A = a11 a22 - a12 a21

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a22 a23 a32 a33

- a12 det + a12 det det A= a11 det



19

2.2. Heä caùc Phöông trình tuyeán tính. Moät heä goàm m phöông trình tuyeán tính vôùi n bieán x1, ..., xn laø moät taäp hôïp m phöông trình tuyeán tính ñöôïc vieát döôùi daïng:

a11 x1 + ... + a1n ×n = b1

…

am x1 + ... + amn ×n = bm

hay Ax = b trong ñoù A = ( aij ), ma traän mxn vaø b laø m–veùc tô Moät nghieäm cuûa heä laø 1 veùc tô n–veùc tô thoûa maõn heä treân.

Heä ñöôïc goïi laø nhaát quaùn neáu coù ít nhaát moät nghieäm. Heä ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát neáu b1 = b2 = ... = bm = 0 khi ñoù heä coù ít nhaát moät

nghieäm: x1 = ... = xn = 0 goïi laø nghieäm taàm thöôøng.

Thí duï 1 . Giaûi heä x1 + 2x2 + 3x3 = 6 2x1 + 3x2 + x3 = 6 3x1 + x2 + 2x3 = 6

2.2.1. Phöông phaùp GAUSS Goàm hai Giai ñoïan:

Quaù trình thuaän: Ñöa ma traän A veà daïng ma traän nöûa tam giaùc treân.

Quaù trình ngöôïc: Tính caùc nghieäm xn, … x1 baèng phöông phaùp “Theá

ngöôïc.”

1. Quaù trình thuaän: Ñöa ma traän A veà daïng ma traän nöûa tam giaùc treân.

∀ i: 1..n (doøng thöù i, ta bieán ñoåi sao cho caùc phaàn töû thöù i+1 cuûa coät i baèng

khoâng). Pheùp bieán ñoåi nhö sau:

⇔ Ta coù: [A,b] =1 2 3 62 3 1 6 3 1 2 6

Doøng j = Doøng j – aji/ ai i Doøng i , vôùi j=i+1..n



20

Vôùi thí duï ôû treân ta coù:

i=1:

Doøng 2 = Doøng 2 – 2 Doøng 1


Vôùi thí duï ôû treân ta coù:

i=2:


2. Giai ñoïan 2: Giaûi ngöôïc: Tính caùc nghieäm xn, … x1 baèng phöông phaùp

“Theá ngöôïc”:

…….

Vôùi thí duï 1. Lôøi giaûi laø:

[A,b] = 1 2 3 62 3 1 6 3 1 2 6

⇒

1 2 3 60 - 1 - 5 - 6 0 - 5 - 7 -12

[A,b] = 1 2 3 60 - 1 - 5 - 6 0 - 5 - 7 -12

⇒

1 2 3 60 - 1 - 5 - 6 0 0 18 18

x3 = 1; x2 = 6 - 5(1) =1; x1 = 6 - 2 - 3 = 1



21

2.2.2. Phöông phaùp GAUSS-JORDAN. Thí duï 1. Xeùt heä phöông trình:

x2 – 8x3 =17 x1 + x3 =10 Ax = b vôùi A = b =

x1 - x2 = 0

Xeùt mx(n+1) - ma traän [A,b] =

Phöông phaùp Gauss - Jordan nhaèm bieán ñoåi sao cho caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo = 1, vaø caùc phaàn töû khaùc cuûa A = 0 baèng caùc pheùp tính sô caáp sau ñaây:

Böôùc 1. Bieán ñoåi sao cho heä soá cuûa bieán x1 = 1 baèng caùch ñoåi doøng 1 thaønh doøng 2 , [A,b] trôû thaønh

[A,b] =

Böôùc 2. Thay doøng 3 baèng (3) - doøng (1), [A,b] trôû thaønh

[A,b] =

Böôùc 3. Thay doøng 3 → doøng 3 + doøng 2, [A,b] trôû thaønh

[A,b] =

Böôùc 4. Bieán ñoåi a33 = 1 baèng caùch nhaân doøng 3 cho -1/9

[A,b] =

0 1 -81 0 1 1 -1 0

-17 10 0

0 1 -8 -171 0 1 10 1 -1 0 0

1 0 1 100 1 -8 -17 1 -1 0 0

1 0 1 100 1 -8 -17 0 -1 -1 -10

1 0 1 100 1 -8 -17 0 0 -9 -27

1 0 1 100 1 -8 -17 0 0 1 3



22

Böôùc 5. Bieán ñoåi doøng 1 → doøng 1 – doøng3

[A,b] =

Böôùc 6. Thay doøng 2 → doøng 2 + 8 × doøng 3

[A,b] =

Nhö vaäy, nghieäm cuûa phöông trình x1 = 7, x2 = 7, x3 =3 .

Nhaän xeùt. Khi aùp duïng phöông phaùp Gauss - Jordan, ta ñaõ laäp laïi nhieàu laàn moät trong ba thao taùc cô baûn sau :

Thao taùc 1. Hoaùn ñoåi 2 doøng cuûa ma traän [A,b].

Thao taùc 2. Thay moät doøng baèng chính doøng ñoù coäng vôùi 1 doøng khaùc ñaõ ñöôïc nhaân vôùi moät haèng soá khaùc 0 (1/aii).

Thaotaùc 3. Thay moät doøng baèng chính doøng ñoù coäng vôùi moät doøng khaùc ñaõ ñöôïc nhaân vôùi moät heä soá khaùc 0.

Ba thao taùc treân ñöôïc moâ taû trong caùc thuû tuïc sau ñaây :

THUÛ TUÏC H_DOI (Var A: ma_tran; i,j: integer); {Ñaëc taû hoaùn ñoåi 2 doøng i vaø j cuûa ma traän A} Var k: integer ; t: real ; Begin Laëp laïi vôùi k = 1 ñeán n t ← a[i,k]; a[i,k] ← a[j,k]; a[j,k] ← t Heát ; End;

THUÛ TUÏC NHAN (Var A: ma_tran; i: integer; t: real);

{Ñaëc taû doøng i, doøng j (i ≠ j) , t ≠ 0 ⇒ dong i ← t * dong i} Var k: integer; Begin Laëp laïi vôùi k = 1 ñeán n a[i,k] ← a[i,k]* t ; End;

1 0 0 70 1 -8 -17 0 0 1 3

1 0 0 70 1 0 7 0 0 1 3



23

THUÛ TUÏC XOA (Var A: ma_tran ; i,j : integer ; t : real) ; {Ñaëc taû doøng i, doøng j (i ≠ j) , t ≠ 0 ⇒ dong i ← dong i - t * doøng j} Var k: integer ; Begin Laëp laïi vôùi k = 1 ñeán n a[i,k] ← a[i,k]*t ;

End;

Phöông phaùp Gauss - Jordan ñöôïc moâ taû baèng giaûi thuaät sau:

GIAÛI THUAÄT GAUSS_JORDAN;

Baét ñaàu Ñoïc ma traän [A,b] {goïi laø ma traän A} j ← 1 {xeùt coät thöù nhaát} Laëp laïi

Neáu a[i,j]= 0 thì NHAN (A, j, i/a[j,j]) Ngöôïc laïi Baét ñaàu i ← 1 Laëp laïi

Neáu a[i,j] = 0 thì i ← i+1 Cho ñeán khi (a[i,j] = 0) hoaëc (i = m+1); Neáu i = n+1 thì Baét ñaàu

Vieát ("Phöông trình vo nghiem") ; j ← n+1

Heát Ngöôïc laïi Baét ñaàu H_DOI (A, i, j) ; NHAN (A, j, 1/a[j,j]);

Heát ; Heát; Laëp vôùi i=1 ñeán j - 1 ; XOA(a, i, j, a[i,j]) ; Laëp vôùi i=j+1 ñeán m ; XOA(a, i, j, a[i,j]) ; j ← j+1 Cho ñeán j = n + 1 ;

Heát.

Nhaän xeùt veà phöông phaùp Gauss- Jordan: Ích lôïi veà maët lyù thuyeát. Khoâng thích hôïp vôùi caùc heä lôùn.

Thí duï. Vôùi heä 1000 phöông trình vôùi 1000 bieán, thì soá pheùp tính soá hoïc (+, -, nhaân, chia) phaûi laøm vaøo khoaûng (10003 =) 1 tyû pheùp tính.

Caûi tieán baèng phöông phaùp khöû GAUSS.



24

2.2.3. Phöông phaùp Phaân tích L.U.

Yù töôûng cuûa Phöông phaùp naøy nhö sau:

Böôùc 1. Phaân tích A thaønh hai ma traän A= L U, trong ñoù L laø ma traän nöûa tam giaùc döôùi (taát caû caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo ñeàu baèng 0, noùi khaùc ñi: lij=0, i< j) vaø U laø ma traän nöûa tam giaùc treân (taát caû caùc phaàn töû döôùi ñöôøng cheùo ñeàu baèng 0, noùi khaùc ñi: uij=0, i> j).

L = U =

Böôùc 2. Tìm nghieäm thoâng qua Giaûi Hai Heä phöông trình (1) vaø (2)

o Giaûi Heä phöông trình : Az = B (tìm z) (1)

o Giaûi Heä phöông trình : Ux = z (tìm x) (2)

2.3. Aùp duïng ñeå tính Nghòch ñaûo ma traän (AÙP DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP

GAUSS - JORDAN). Thí duï. Tìm nghòch ñaûo cuûa ma traän

Phöông phaùp. 1. Kieåm tra xem det A khaùc 0 2. Vieát ma traän [A,I] 3. Duøng ñeå pheùp bieán ñoåi ñeå bieán [A,I] → [I,B] khi ñoù B laø nghòch ñaûo cuûa A.

4 0 50 1 -63 0 4

A =

111 0 0 0l21 l22 0 0 . . .

u11 u12 . . 0 u22 . 0 . .



25

ÔÛ thí duï treân, 1. Det A = 4 det = 5 det = 16 + 15 = 31 ≠ 0 2. [A,I] = 3. Laàn löôït thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi, ta ñöôïc

A-1 =

2.4. Aùp duïng ñeå laäp Baûng caân ñoái lieân ngaønh.

Moät neàn kinh teá coù nhieàu ngaønh saûn xuaát khaùc nhau. Tuøy theo möùc ñoä chính xaùc vaø chi tieát cuûa caùch phaân chia maø ngöôøi ta coù theå chia caùc ngaønh saûn xuaát laøm nhieàu ngaønh: 14, 38, 100 hay 600 ngaønh. Ta giaû söû moät neàn kinh teá ñöôïc thu goïn vôùi 2 ngaønh saûn xuaát : ngaønh 1 vaø ngaønh 2 : Ngaønh 1 saûn xuaát caùc saûn phaåm 1. Ngaønh 2 saûn xuaát caùc saûn phaåm 2.

Moãi ngaønh söû duïng 1 phaàn saûn phaåm cuûa chính mình laøm ra cuõng nhö saûn phaåm cuûa ngaønh kia. Ta coù caùc soá löôïng sau ñaây : x11 : soá löôïng saûn phaåm 1 maø ngaønh 1 söû duïng x21 : soá löôïng saûn phaåm 2 maø ngaønh 1 söû duïng x12 : soá löôïng saûn phaåm 1 maø ngaønh 2 söû duïng x22 : soá löôïng saûn phaåm 2 maø ngaønh 2 söû duïng

Caùc soá löôïng saûn phaåm treân ñeàu tính baèng tieàn (dollar, ñoàng). Maët khaùc, moãi ngaønh

saûn xuaát ra caùc saûn phaåm khoâng nhöõng cho nhu caàu cuûa caùc ngaønh saûn xuaát maø coøn

ñeå cung caáp cho caùc nhu caàu beân ngoaøi coøn goïi laø möùc tieâu thuï cuoái cuøng, Thí duï :

nhu caàu cuõa nhaø nöôùc, nhu caàu xuaát khaåu, nhu caàu cuûa ngöôøi tieâu duøng. Caùc soá

lieäu neâu treân, ñöôïc trình baøy trong Baûng sau ñaây:

1 -6 0 4

0 13 0

4 0 5 1 0 0 0 1 -6 0 1 0 3 0 4 0 0 1

4 0 -5 -18 1 24 -3 0 4



26

Ngaønh Nhu caàu 1 2 Beân ngoaøi

Toång saûn phaåm

Saûn phaåm 1 X11 x12 d1 x1

Saûn phaåm 2 X21 x22 d2 x2

Ta coù: x1 = x11 + x12 + d1 (1)

x2 = x21 + x22 + d2 (2) Caùc saûn löôïng x11 , x12 , x21 , x22 , coù quan heä theá naøo vôùi caùc toång saûn phaåm x1 vaø x2 ?

Ngöôøi ta duøng moâ hình tuyeán tính (töùc laø nhu caàu cuûa moãi ngaønh veà moät saûn phaåm naøo ñoù tyû leä vôùi toång saûn phaåm maø ngaønh ñoù laøm ra).

Nhö vaäy: Ñoái vôùi ngaønh 1 2 x11 = a11 x1 x12 = a12 x2

x21 = a21 x1 x22 = a22 x2

aij laø caùc haèng soá tyû leä. Ta coù 0 ≤ aij <1.

YÙ nghóa cuûa caùc heä soá aij . Ta coù x11 = a11 x1,

Neáu cho x1 = 1 thì a11 = x11 . Do ñoù a11 laø chi phí cho SP1 maø ngaønh 1 söû duïng ñeå laøm ra 1 ñoàng SP1.

Töông töï a21 laø chi phí cho SP2 maø ngaønh 1 söû duïng ñeå laøm ra 1ñ SP1, a12 laø chi phí cho SP1 maø ngaønh 2 söû duïng ñeå laøm ra 1ñ SP2, a22 laø chi phí cho SP2 maø ngaønh 2 söû duïng ñeå laøm ra 1ñ SP2. Ta coù: x1 = a11 x1 + a12 x2 + d1 (1) x2 = a21 x1 + a22 x2 + d2 (2)



27

Neáu ta ñaët:

Ma traän coù theå vieát: X = AX + D ⇔ (1 - A)X = D (3)

Trong ñoù, X = veùc tô saûn xuaát hay veùc tô toång saûn phaåm, D = veùc tô nhu caàu,

A = (aij) : ma traän nhaäp/ xuaát hay ma traän trao ñoåi. Neáu heä phöông trình (3) coù nghieäm, ta noùi neàn kinh teá caân ñoái. Neáu phaûi keå theâm chi phí lao ñoäng, ta phaûi xeùt ñeán veùc tô: a0 = [a01, a02], trong ñoù:

a01 laø chi phí lao ñoäng ñeå laøm ra 1 ñoàng SP1 a02 laø chi phí lao ñoäng ñeå laøm ra 1 ñoàng SP2

Ta xem thí duï baèng soá sau ñaây: Cho baûng trao ñoåi lieân ngaønh cuûa moät neàn kinh teá chæ goàm 2 ngaønh 1 vaø 2:

Ngaønh Nhu caàu 1 2 Beân ngoaøi

Toång saûn phaåm

Saûn phaåm 1 250 150 200 600

Saûn phaåm 2 90 110 100 300

Toång giaù trò LÑ 130 30

Giaù trò gia taêng 130 10

Toång saûn phaåm 600 300

Giaû söû caùc heä soá kyõ thuaät khoâng ñoåi trong thôøi gian moät naêm. Haõy laäp baûng döï ñoaùn trao ñoåi lieân ngaønh cho naêm sau, bieát raèng nhu caàu beân ngoaøi cuûa moãi ngaønh taêng laàn löôït laø 2% vaø 10%.

X = x1 x2

d1

d2 D = A = a11 a12

a21 a22



28

Giaûi. Tính ma traän nhaäp xuaát a = (aij)

a11 = x11 /600 = 250/600 = 0.4167 a12 = x12 /300 = 150/300 = 0.500 a21 = x21 /600 = 90/600 = 0.1500 a22 = x22 /300 = 110/300 = 0.3667

Vaäy A =

Tính vectô nhu caàu D’. Do nhu caàu cuûa ngaønh taêng 2% neân nhu caàu toång saûn phaåm cuûa ngaønh 1 ôû naêm sau phaûi laø: 200 × 102% = 204 Nhu caàu cuûa ngaønh 2 taêng 10% neân nhu caàu toång saûn phaåm cuûa ngaønh 2 ôû naêm sau phaûi laø: 100 × 110% = 110 Vaäy veùc tô nhu caàu cho naêm sau laø:

Goïi X' laø veùc tô saûn xuaát cuûa naêm sau, ta phaûi coù:

(I - A ) X' = D'

Vôùi I - A = =

Giaûi heä phöông trình treân ta ñöôïc

Suy ra x'11 = a11x'1 = 260.6604, x'21 = a21x'1 = 93.8377

x'12 = a12x'2 = 160.9245, x'22 = a22x'2 = 118.0113

0.4167 0.5000.1500 0.3667

D' = 204 110

1-0.4167 -0.500-0.1500 1-0.3667

0.5833 -0.500-0.1500 0.6333

625.5849 321.8491 X’ =



29

Tính chi phí lao ñoäng, ta coù:

a0 = [a01 , a02] vôùi: a01 = 130/600 = 0.2167. a02 = 30/300 = 0.1

Suy ra chi phí lao ñoäng: Ñoái vôùi Ngaønh 1 = a01 x X’1 = 0.2167 x 625.5849 = 135.5434 Ñoái vôùi Ngaønh 2 = a02 x X’2 = 0.1 x 321.8491 = 32.1850 Vaø baûng trao ñoåi lieân ngaønh cho naêm sau coù caùc soá lieäu nhö sau:

Ngaønh Nhu caàu

1 2 Beân ngoaøi

Toång saûn phaåm

Saûn phaåm 1 260.6604 160.9245 204 625.5849

Saûn phaåm 2 93.8377 118.0113 110 321.8491

Toång giaù trò LÑ 135.5434 32.1850

Giaù trò gia taêng 135.5434 10.784

Toång saûn phaåm 625.5849 321.849

2.5. Baøi taäp. 1. Cho

1 3 0 1 2 -3 A = -1 2 B = 3 2 C= 1 2 3 4 2 -3 4 -3

a. Tính (A+B) + C ; A +( B+C) ; 3A. b. Tính ma traän chuyeån vò cuûa A, B, C

2. Thöïc hieän caùc pheùp nhaân hai ma traän sau:

1 3 1 2 -1 2 3 2

3 4 3. Tính Ñònh thöùc cuûa caùc ma traän sau:

1 3 1 2 -1 2 3 2

4. Aùp duïng Phöông phaùp Gauss vaø Gauss-Jordan giaûi caùc heä phöông trình sau: a. b.

1.2 x - 0.8 y = 1.0 x + y + z = 1 -1.5 x - 0.25y = -1.0 x + 2y + 3z = -1 3x + 4y + 5z = 2



30

c. x1 - x2 + 2x3 = 1 d. x1 - 2x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 5 2x1 - x2 + 2x3 = 5 x1 + x2 + 2x3 = 1 x1 + 2x2 - x3 = 1 e. 3x2 - 4x3 = - 6 f. x1 + 2x2 - 3x3 = -2 x1 + 4x2 + 5x3 = 19 3x1 - x2 + 2x3 = 7 x1 + 4x2 + 2x3 = 13 5x1 + 3x2 + 4x3 = 2

x - 2y + 3z = 6 3w + 4x – y + z = -3 -2x + y - z = -1 2x - y = -1

5x - 3y + z = 2 5w - 6x +2z = 9 w + x + y = 2

3x2 - 4x3 = - 6 x1 + 2x2 - 3x3 = -2 x1 + 4x2 + 5x3 = 19 3x1 - x2 + 2x3 = 7 x1 + 4x2 + 2x3 = 13 5x1 + 3x2 + 4x3 = 2 5. Caùc ma traän sau coù nghòch ñaûo hay khoâng? Neáu coù tìm nghòch ñaûo cuûa noù.

1 3 1 2 1 -1 2 1 0 3

0 1 1 6. Aùp duïng Phöông phaùp Gauss -Jordan tính nghòch ñaûo caùc ma traän sau:

1 2 1 2 -3 0 1 0 1 2 0 1 1 7. Coù 3 loaïi thöïc phaåm:

Loaïi 1 chöùa 1 ñôn vò vitamin A, 2 ñôn vò vitamin B, 3 ñôn vò vitamin C Loaïi 2 chöùa 2 ñôn vò vitamin A, 0 ñôn vò vitamin B, 3 ñôn vò vitamin C Loaïi 3 chöùa 3 ñôn vò vitamin A, 1 ñôn vò vitamin B, 2 ñôn vò vitamin C

Ngöôøi ta muoán choïn moät khaåu phaàn cung caáp:"11 ñôn vò vitamin A, 9 ñôn vò vitamin B, 20 ñôn vò vitamin C". a. Tìm taát caû soá löôïng thöïc phaåm cuûa moãi loaïi coù theå coù baûo ñaûm ñaày ñuû nhu caàu

veà vitamin nhö treân. b. Neáu giaù ñôn vò cuûa caùc loaïi thöïc phaåm laàn löôït laø 600 ñoàng, 550 ñoàng, 500

ñoàng thì coù khaåu phaàn naøo trò giaù 1000 ñoàng.



31

8. Moät xí nghieäp ñieän töû saûn xuaát 2 loaïi Board cho maùy in. Caû 2 loaïi ñeàu ñöôïc xöû

lyù trong 2 phaân xöôûng A vaø B. Thôøi gian caàn thieát cho moãi loaïi trong moãi phaân xöôûng cho bôûi baûng sau (Ñv: phuùt):

Loaïi 1 Loaïi 2

PX A 4 phuùt 3 phuùt PX B 1 phuùt 2 phuùt

Coù 3 coâng nhaân trong phaân xöôûng A vaø chæ coù 1 coâng nhaân ôû trong phaân xöôûng B. Tìm saûn löôïng cuûa moãi loaïi trong moät giôø.

9. Cho heä 0.0001x + y = 0.999 x – y = 0.002 a. Giaûi baèng caùch coäng hai phöông trình. b. Giaûi heä baèng Gauss. Coù ñieàu gì baát thöôøng?

10. Giaûi heä a. 2.001x + 5y = 7.001 b. 2.001x + 5y = 7

2 x + 5y = 7 2 x + 5y = 7 So saùnh 2 heä treân vaø keát quaû. 11. Cho ma traän xuaát. Tìm vectô toång saûn phaåm X cho neàn 125 000

kinh teá A bieát raèng vectô bieåu dieãn nhu D = 250 000 caàu beân ngoaøi laø: 90 000

-5 0 -25 -125 -5 -25 -125 0 -125

A =

http://www.ebook.edu.vn Ch3. Phöông Phaùp tính Giaûi caùc Phöông trình Phi tuyeán


32

CHÖÔNG 3. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI CAÙC PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN.

3.1. Môû ñaàu.

Muïc ñích cuûa chöông naøy laø cung caáp moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình coù

daïng toång quaùt

0)( =xf (3.1)

trong ñoù : f laø moät haøm phi tuyeán,

x* ñöôïc goïi laø nghieäm cuûa phöông trình (1) 0)( * =⇔ xf .

ÑÒNH LYÙ TOÀN TAÏI NGHIEÄM.

Neáu toàn taïi hai ñieåm a, b sao cho f(a) vaø f(b) traùi daáu, nghóa laø

f(a).f(b)<0

vaø haøm f lieân tuïc trong khoûang [a, b] thì Phöông trình (1) coù ít nhaát moät

nghieäm trong khoûang [a, b].

3.2. Phöông phaùp chia ñoâi khoaûng. Giaû söû (a,b) laø khoaûng cho tröôùc cuûa phöông trình f(x) = 0.

YÙ töôûng cuûa Phöông phaùp: Neáu f(x) laø haøm lieân tuïc treân khoûang [a,b] vaø

f(a).f(b)<0 thì ∃c∈[a,b] sao cho f(c)=0.(theo ñònh lyù toàn taïi nghieäm)



33

THUAÄT TOÙAN CHIA ÑOÂI KHOÛANG.

THÍ DUÏ 1. Tìm nghieäm döông cuûa Phöông trình f(x) = x2 + 2x – 0.5 trong khoûang [0,1] theo phöông phaùp chia ñoâi, ta coù keát quaû nhö sau:

Soá Böôùc laëp i a b c=(a+b)/2 f(a) f(b) f(c ) (b-a)/2 1 0 1 0.5 -0.5 2.5 0.75 0.5 2 0 0.5 0.25 -0.5 0.75 0.0625 0.25 3 0 0.25 0.125 -0.5 0.0625 -0.23438 0.125 4 0.125 0.25 0.1875 -0.23438 0.0625 -0.08984 0.0625 5 0.1875 0.25 0.21875 -0.08984 0.0625 -0.01465 0.03125 6 0.21875 0.25 0.234375 -0.01465 0.0625 0.023682 0.0156257 0.21875 0.234375 0.2265625 -0.01465 0.023682 0.004456 0.007813

Ñ, Döøng c laø nghieäm gaàn ñuùng

Thay b←c

Nhaäp haøm f(x), a, b, sai soá ε

c=(a +b)/2 , Tính f(c)

f(c)f(a)< 0 Thay a←c

Ñ S

Tính e =(b – a)/2

e< εS



34

3.3. Phöông phaùp daây cung. Giaû söû (a,b) laø khoaûng cho tröôùc cuûa phöông trình f(x) = 0. YÙ töôûng cuûa phöông phaùp laø thay cung AB cuûa haøm y = f(x) baèng daây cung AB roài laáy hoaønh ñoä giao ñieåm x1 cuûa daây cung vôùi truïc hoaønh laøm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm ñuùng ξ .

Daây cung AB laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(a,f(a)) vaø B(b,f(b)) neân

phöông trình cuûa daây cung AB laø:

)()(

)(afbf

afy−

− = abax

−−

Giao ñieåm x1 cuûa truïc hoaønh vôùi daây cung AB, ta coù x = x1 vaø y = 0, neân

coù:

)()(

)(afbf

af−

− = abax

−−1

Suy ra :

x1 = a - )()()(*)(

afbfabaf

−− hay

)()()()(

afbfabfbaf

−−

B

x2 x1a=x

XO

b

A A1

X2 Y=f(x

ξ



35

AÙp duïng lieân tieáp phöông phaùp daây cung ñoái vôùi khoaûng caùch ly nghieäm (a,b), coù moät

trong hai muùt cuûa khoaûng (a,b) coá ñònh, ñoù laø muùt ôû daáu cuûa haøm f(x) truøng vôùi ñaïo

haøm caáp hai f”(x) vaø töø ñoù ta coù coâng thöùc toång quaùt sau:

xn+1 = xn - )()()(*)(

dfxfdxxf

n

nn

−− n=0,1,2,… (3.2)

trong ñoù:

d= b neáu f(b) cuøng daáu vôùi f”(x): x0 = a

d= a neát f(a) cuøng daáu vôùi f”(x): x0 = b.

THUAÄT TOÙAN.

Thay b←c

Tính x1= af(b) –bf(a) f(b)- f(a)

f(c)f(a)< 0 Thay a←c Ñ S

Tính e =b – a

e< εS

Ñ



36

Söï hoäi tuï cuûa phöông phaùp

Giaû söû (a,b) laø khoaûng caùch ly nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 vaø f”(x) giöõ daáu

khoâng ñoåi trong (a,b) nghóa laø: f(a) * f(b) < 0, f’(x) vaø f”(x) giöõ daáu khoâng ñoåi trong

(a,b). Khi ñoù neáu aùp duïng lieân tieáp phöông phaùp daây cung ñoái vôùi khoaûng caùch ly

nghieäm (a,b), caùc nghieäm gaàn ñuùng lieân tieáp x0 , x1 , x2 , …. Hoaëc taïo neân moät daõy ñôn

ñieäu taêng vaø bò chaën. Neân toàn taïi giôùi haïn: +∞→n

lim xn = ξ

Khi aáy ξ laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 trong (a,b),

Ñaùnh giaù sai soá nghieäm gaàn ñuùng

Ñònh lyù:

Giaû söû nghieäm gaàn ñuùng ξ vaø nghieäm gaàn ñuùng xn cuûa phöông trình f(x) = 0

ñeàu naèm trong moät ñoaïn [ βα , ] vaø 0 < m1 ≤ |f’(x)| ñoái vôùi ∀x ∈ [ βα , ] . Khi ñoù ta

coù ñaùnh giaù sau:

|xn - ξ | ≤ 1

|)(|mxf n (3.3)

Chöùng minh:

Aùp duïng coâng thöùc soá gia höõu haïn (coâng thöùc Lagrange) ta coù:

f(xn) – f(ξ ) = f’(c) * (xn - ξ ) vôùi c ∈ ( βα , )

Vì f(ξ ) = 0 vaø |f’(c)| ≥ m1 neân :

| f(xn) – f(ξ ) | = |f(xn)| = |f’(c)(xn - ξ )| ≥ m1 |xn - ξ |

suy ra : |xn - ξ | ≤ 1

)(mxf n



37

Do ñoù, ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä chính xaùc cuûa nghieäm gaàn ñuùng xn, nhaän ñöôïc baènh

phöông phaùp daây cung, ta coù theå duøng ñaùnh giaù (3.3). Ngoaøi ra, ta coù theå ñaùnh giaù

sai soá cuûa nghieäm gaàn ñuùng thoâng qua xn-1 vaø xn , nhaän ñöôïc töø coâng thöùc (3.2).

Giaû söû treân [a,b] , f’(x) lieân tuïc, giöõ daáu khoâng ñoåi vaø thoûa maõn:

0 < m1 ≤ )(' xf ≤ M1 < + ∞ (theo giaû thieát)

Töø (3.2) ta coù :

xn = xn+1 - )()()(*)(

1

11

dfxfdxxf

n

nn

−−

−

−−

vaø : -f(xn-1) = dxdfxf

n

n

−−

−

−

1

1 )()( * (xn – xn-1)

Vì ξ laø nghieäm ñuùng cuûa phöông trình f(x) = 0: f(ξ ) = 0, neân coù theå vieát :

f(ξ ) – f(xn-1) = dxdfxf

n

n

−−

−

−

1

1 )()( * (xn - xn-1)

Aùp duïng coâng thöùc soá gia höõu haïn, ta coù :

f’(c1) – f(ξ - xn-1) = f’(c2) * (xn – xn-1) vôùi c1 , c2 ∈ (a,b);

Do ñoù:

f’(c1) * (ξ - xn + xn - xn-1) = f’(c2) * (xn – xn-1)

f’(c1) * (ξ - xn) = [f’(c2) – f’(c1)] * (xn – xn-1)

vaø:

ξ−nx = )('

)(')('

1

12

cfcfcf −

1−− nn xx



38

Theo giaû thieát, ta coù :

1112 )(')(' mMcfcf −≤−

Töø ñoù suy ra: 11

11 * −−−

≤− nnn xxmmMx ξ

Trôû laïi THÍ DUÏ 1, tìm nghieäm döông cuûa Phöông trình f(x) = x2 + 2x – 0.5 trong khoûang [0,1] theo phöông phaùp daây cung, ta coù keát quaû nhö sau: Soá Böôùc laëp i a b c=(af(b)-bf(a))(f(b)-f(a)) f(a) f(b) f(c ) x2-x1

1 0 1 0.166666667 -0.5 2.5 -0.13889 0.04386 2 0.1666667 1 0.210526316 -0.13889 2.5 -0.03463 0.010785 3 0.2105263 1 0.221311475 -0.03463 2.5 -0.0084 0.002607 4 0.2213115 1 0.223918575 -0.0084 2.5 -0.00202 0.000628 5 0.2239186 1 0.224546172 -0.00202 2.5 -0.00049 0.000151 6 0.2245462 1 0.224697099 -0.00049 2.5 -0.00012

3.4. Phöông phaùp Newton.

Giaû söû (a,b) laø khoaûng cho tröôùc cuûa phöông trình f(x) = 0. YÙ töôûng cuûa phöông phaùp laø thay cung AB cuûa haøm y = f(x) baèng tieáp tuyeán roài laáy hoaønh ñoä giao ñieåm x1 cuûa tieáp tuyeán vôùi truïc hoaønh laøm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm ñuùng ξ .

Trong khai trieån Taylor, ta coù:

f(x) = f(x0) + (x - x0) f’ (x0) + … = 0

f(x0) + (x - x0) f’ (x0) = 0

y = f(x)

b = x0

f’(x) > 0f”(x) > 0

a

A

B

ξ

X2 X1 X

Y

O



39

Suy ra

x1 = x0 - )(')xo(

xoff

Nghieäm ξ baây giôø naèm trong khoaûng (a,x1). Neáu x1 chöa ñaït ñoä chính xaùc yeâu

caàu, ta thay (a,b) baèng (a,x1) vaø laïi aùp duïng phöông phaùp tieáp tuyeán (Newton) ñoái

vôùi (a,x1), ta nhaän ñöôïc x2 xaáp xæ nghieäm ξ toát hôn x1:

x2 = x1 - )(')(

1

1

xfxf

Tieáp tuïc quaù trình treân, trong tröôøng hôïp toång quaùt ta nhaän ñöôïc:

xn+1 = xn - )(')(

n

n

xfxf

THUAÄT TOÙAN.

Trôû laïi THÍ DUÏ 1, tìm nghieäm döông cuûa Phöông trình f(x) = x2 + 2x – 0.5 trong khoûang [0,1] theo phöông phaùp Newton, ta coù keát quaû nhö sau:

Tính x1 = x0 - )(')xo(

xoff

Thay x0 ← x1

Tính e = x1 - x0

e< ε

S

Ñ

Keát quaû gaàn ñuùng x1



40

Soá Böôùc laëp i x f'(x) f'(x) x1=x0-f(x0)/f'(x0) x1-x0 1 0.5 0.75 3 0.25 -0.25 2 0.25 0.0625 2.5 0.225 -0.025 3 0.225 0.000625 2.45 0.224744898 -0.00026

3.5. Baøi taäp.

1. Tìm nghieäm döông treân ñoaïn [1, 2], vôùi sai soá laø 0.01 cuûa caùc phöông trình sau baèng 3 phöông phaùp: chia ñoâi, daây cung vaø phöông phaùp Newton:

a. x2– 0.9 x – 1.52 = 0 b. x3 – x – 1 = 0

2. Tìm khoaûng thích hôïp ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm vaø tìm nghieäm

theo 3 phöông phaùp: chia ñoâi, daây cung vaø phöông phaùp Newton sau 4 böôùc laëp: a. x3 – 2 x – 1 = 0 b. 2+− xx = 0 c. x – sinx – 0.25 = 0 d. x4 + 2x3 – x – 1 = 0 e. x5 – x – 0.2 = 0 f. 2x3 – 0.5 x – 1 = 0 g. x2 – log x – 6 = 0 h. ex – 2 = 0 i. 3x4 + 3x3 –16x2 +4x +1 = 0

http://www.ebook.edu.vn Ch4. Phöông phaùp noäi suy vaø Ngoïai suy.


41

CHÖÔNG 4. PHÖÔNG PHAÙP NOÄI SUY -

NGOAÏI SUY.

4. 0. MÔÛ ÑAÀU. Giaû söû f(x) laø moät haøm chöa bieát, (hoaëc caàn phuïc hoài), nhöng ta bieát giaù trò cuûa haøm f taïi n + 1 ñieåm x0 , x1, x2 , … . xn laø f(x0), f(x1), f(x2) , … . f(xn). Kyù hieäu:

f0 = f(x0), f1 = f(x1) , … . fn = f(xn).

Ta coù n ñieåm döõ lieäu

x x0 x1 … xn fx = f(x) f0 f1 fn

Vaán ñeà: Tìm moät haøm g xaáp xó vôùi haøm f theo nghóa:

g(xi) = f(xi) vôùi i=0..n. Haøm g ñöôïc goïi laø haøm noäi suy cuûa haøm f. Neáu g laø haøm ña thöùc. Ta goïi g laø noäi suy ña thöùc.

X O

fn

… x1x0

xn

f1 f2

f(x)

ξ



42

4. 1. NOÄI SUY TUYEÁN TÍNH (LINEAR INTERPOLATION).

Tröôøng hôïp g laø ña thöùc baäc 1 (qua 2 ñieåm) ta goïi laø noäi suy tuyeán tính. Baûng döõ lieäu treân seõ laø: x

x x0 x1 fx = f(x) f0 f1

g(x) = p1(x) = a0 + a1 x.

Ta coù: f1 = a0 + a1 x0

f2 = a0 + a1 x1

Giaûi Heä Phöông trình treân ta ñöôïc:

a0 = 01

1001

xxfxfx

−−

a1 = 01

01

xxff

−−

Sai soá e(x) = ½ (x – x0)(x – x1) f”(ξ) , x0<ξ<x1. 4. 2. NOÄI SUY LAGRANGE.

Tröôøng hôïp g laø ña thöùc baäc n (qua n + 1 ñieåm). Giaû söû noäi suy ña thöùc g(x) coù daïng: g(x) = a0 + a1 x1 + …. + an xn , trong ñoù g(xi ) = f(xi) = fi vôùi i=0..n.

XO

f2

… x1 x2

f1

f(x)



43

Lagrange choïn haøm Noäi suy g(x) coù daïng = g(x) = ∑

iii fxL )(

trong ñoù:

Ñònh nghóa treân töông ñöông: Theo ñònh nghóa, ta coù:

))....()(()).....()()...()((

)(10

1110

niii

niii xxxxxx

xxxxxxxxxxxL

−−−−−−−−

= +−

Nhaän xeùt. Vôùi n =1, noäi suy Lagrange chính laø noäi suy tuyeán tính. Thaät vaäy. g(x) = L0(x) f0 + L1(x)f1 vôùi:

)()(

)(10

10 xx

xxxL

−−

=

)()(

)(0

0

xxxx

xLi

i −−

=

Suy ra:

g(x) = L0(x) f0 + L1(x)f1 = xxxfxfx

xxff

01

1001

01

01

−−

+−−

Sai soá e(x) =L(x)f(n+1)(”(ξ) , x0<ξ<xn.

)!1()).....()()...()((

)( 1110

+−−−−−

= +−

nxxxxxxxxxx

xL nii

1 neáu x=xi,0 traùi laïi Li(x) =

1 neáu i= j0 traùi laïi Li(xj) =



44

4. 3. NOÄI SUY NEWTON TIEÁN.

Giaû söû caùc ñieåm coù khoûang caùch ñeàu nhau. Caùc ñieåm döõ lieäu ñöôïc kyù hieäu (xi , fi),

trong ñoù fi = f(xi ). Ñeå ñònh nghóa noäi suy Newton tieán , ta caàn caùc ñònh nghóa sau:

ii ff =∆0 (Sai phaân tieán baäc 0) (4.3.1)

iii fff −=∆ +1 (Sai phaân tieán baäc 1) (4.3.2)

iii fff ∆−∆=∆ +12

(Sai phaân tieán baäc 2) (4.3.3) . .

ik

ik

ik fff 1

11 −

+− ∆−∆=∆ (Sai phaân tieán baäc k) (4.3.4)

Thí duï 1. Ta coù Baûng sai phaân tieán sau ñaây:

I xi f(xi) ∆f ∆2f ∆3f ∆4f ∆5f

0 0.1 0.001 0.200 0.020 0.000 -0.140 0.422 1 0.2 0.201 0.220 0.020 -0.140 0.282 2 0.3 0.421 0.240 -0.120 0.142 3 0.4 0.661 0.120 0.022 4 0.5 0.781 0.142 5 0.6 0.923

Haøm noäi suy Newton (ña thöùc) tieán qua k+1 ñieåm (xi , fi), i=0..k, ñöôïc

ñònh nghóa nhö sau:

00

0 )()( fCshxgxg kk

n

ns∆=+= ∑

=



45

Cuï theå, ta coù: o Noäi suy tuyeán tính:

000 )()( fsfshxgxg ∆+=+= o Noäi suy ña thöùc baäc 2:

02

!2)1(

000 )()( ffsfshxgxg ss ∆+∆+=+= −

Vôùi Thí duï 1, ta coù:

o Noäi suy tuyeán tính: g(x) = 0.001 + 0.2 s = 0.001 + 0.2(x – x0)/0.1 = 0.001 + 0.2(x –0.1 )/0.1 = –0.1999 + 2 x o Noäi suy ña thöùc baäc 2: g(x) = 0.001 + 0.2 s + 0.02 s(s –1)/2 = 0.001 + 0.2(x–0.1 )/0.1 + 0.01(x–0.1)(x–0.1–1)/0.01 = –0.1999 + 2 x + (x2 –1.2 x +0.11) = –0.0899 + 0.8 x + x2 Sai soá cuûa noäi suy Newton töông töï vôùi sai soá cuûa noäi suy Lagrange:

Sai soá e(x) =L(x)f(n+1)(”(ξ) , x0<ξ<xn.

)!1()).....()()...()((

)( 1110

+−−−−−

= +−

nxxxxxxxxxx

xL nii



46

4. 4. NOÄI SUY NEWTON LUØI.

Töông töï nhö ñònh nghóa cho noäi suy Newton tieán, caùc ñieåm coù khoûang caùch ñeàu nhau, ñöôïc kyù hieäu (xi , fi), trong ñoù fi = f(xi ). Ñeå ñònh nghóa noäi suy Newton luøi, ta caàn caùc ñònh nghóa sau:

ii ff =∇0 (Sai phaân luøi baäc 0) (4.4.1)

1−−=∇ iii fff (Sai phaân luøi baäc 1) (4.4.2)

12

−∆−∆=∇ iii fff (Sai phaân luøi baäc 2) (4.4.3) . .

111

−−− ∆−∆=∇ ik

ik

ik fff (Sai phaân luøi baäc k) (4.4.4)

Laáy laïi Thí duï 1. Ta coù Baûng sai phaân luøi sau ñaây:

i xi f(xi) ∇f ∇2f ∇3f ∇4f ∇5f 0 0.1 0.001 1 0.2 0.201 -0.200 2 0.3 0.421 -0.220 0.020 3 0.4 0.661 -0.240 0.020 0.000 4 0.5 0.781 -0.120 -0.120 0.140 -0.140 5 0.6 0.923 -0.142 0.022 -0.142 0.282 -0.422

Haøm noäi suy Newton (ña thöùc) luøi töø ñieåm x=xj, … x=xj - k ñöôïc ñònh

nghóa nhö sau:

jk

k

n

nnsj fCshxgxg ∇=+= ∑

=−+

01)()(



47

Cuï theå, ta coù: o Noäi suy tuyeán tính:

jjj fsfshxgxg ∇+=+= )()( o Noäi suy ña thöùc baäc 2:

jss

jjj ffsfshxgxg 2!2)1()()( ∇+∇+=+= +

Vôùi Thí duï 1, ta coù:

o Noäi suy tuyeán tính, vôùi j=3 ; xj = 0.4, f3 = 0.661; ∇f3 = – 0.240 g(x) = 0.661 – 0.240 s = 0.661 –0.240 (x – 0.4)/0.1 = 0.661 –2.4 (x – 0.4) = 1.621 –2.4 x o Noäi suy ña thöùc baäc 2, vôùi j=3 ; xj = 0.4, f3 = 0.661; ∇f3 = – 0.240,

∇2f3 = 0.020 g(x) = 0.661 – 0.240 s + s(s+1) ∇2f3 / 2 = 0.661 –0.240 (x – 0.4)/0.1 + 0.01(x – 0.4) (x – 0.4 +1)/0.01 = 0.661 –2.4 (x – 0.4) + (x – 0.4) (x – 0.4 +1) = 1.621 –2.4 x + (x2 + 0.2 x –0.24) = 1.381 –2.2 x + x2



48

4. 5. BAØI TAÄP.

1. Cho baûng Döõ lieäu sau:

i xi f(xi) 0 1 0 1 2 0.301 2 3 0.477 3 4 0.602

a. Tính noäi suy tuyeán tính vaø noäi suy Lagrange trong tröôøng hôïp n=1, 2,3. b.Laäp baûng sai phaân vaø tính noäi suy Newton trong tröôøng n=1, 2,3.


i xi f(xi) 0 0.1 0.997 1 0.3 0.977 2 0.5 0.938 3 0.7 0.881

a. Tính noäi suy tuyeán tính qua 2 ñieåm i=0, 1 b. Tính noäi suy Lagrange trong tröôøng hôïp n=1, 2,3. c. Laäp baûng sai phaân vaø tính noäi suy Newton tieán trong tröôøng n=1, 2,3.

3. Cho haøm soá f ñònh nghóa nhö sau: F(x) = 3x3 + 5 x – 1.

a. Tính noäi suy tuyeán tính qua 2 ñieåm x0 = 1 vaø x1 = 2. b. Tính noäi suy Lagrange trong tröôøng hôïp n=1, 2,3, vôùi x0 = 1, h=0.2. c. Laäp baûng sai phaân vaø tính noäi suy Newton tieán trong tröôøng hôïp n=1, 2,3.

vôùi x0 = 1, h=0.2. d. Tính sai soá taïi x =1.3.

http://www.ebook.edu.vn Ch5. Phöông phaùp Tích phaân soâ”


49

CHÖÔNG 5. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN SOÁ

Muïc ñích trong chöông naøy laø duøng phöông phaùp soá ñeå tính tích phaân.

dxb

axfI ∫= )(

trong ñoù haøm f(x) ñöôïc cho döôùi daïng baûng hay daïng giaûi tích.

Phöông phaùp soá (tính gaàn ñuùng) döïa treân ña thöùc noäi suy Pn cuûa f.

5.1. Phöông phaùp hình thang.

TRÖÔØNG HÔÏP n=2.

Ñeå tính gaàn ñuùng dxb

axf∫ )( ta thay haøm soá döôùi daáu tích phaân f(x) baèng ña

thöùc noäi suy Newton tieán baäc moät (ñi qua hai ñieåm A(a,f(a)) vaø B(b,f(b)) xuaát

phaùt töø nuùt truøng vôùi caän döôùi a,vaø coù:

dxb

axPdx

b

axf ∫≈∫ )()( 1

Ñeå tính tích phaân xaùc ñònh ôû veá phaûi, ta bieán ñoåi soá:

x=a + (b-a)t

Khi ñoù : dx=(b-a)dt, t bieán thieân töø 0 ñeán 1, vaø :

1

02

200)())(0

1

00()()(

=

=

∆+−=−∆+∫=∫≈∫

t

t

tytyabdtabytydxb

axPdx

b

axf n

trong ñoù y0=f(a) ; )()(010

afbfyyy −=−=∆

Vaäy ( ))()(2

)( bfafabdxb

axf +

−≈∫ (5.1)



50

Veà maët hình hoïc, (5.1) coù nghóa laø dieän tích

hình thang cong ( laø cung ñöôøng

cong y=f(x) ñi qua hai ñieåm A vaø B) ñöôïc thay

xaáp xæ baèng dieän tích hình thang phaúng aABb

( AB laø daây cung y=P1(x) noái hai ñieåm A vaø B).

Noùi khaùc ñi, ñöôøng cong y=f(x) noái hai ñieåm A vaø

B ñöôïc thay xaáp xæ baèng ñöôøng thaúng y=P1(x) ñi

qua hai ñieåm A vaø B. (Hình 1)

Coâng thöùc (5.1) laø coâng thöùc hình thang, trong tröôøng hôïp n=2.

Ñeå xaùc ñònh sai soá cho coâng thöùc (5.1) treân, chuùng ta giaû thieát raèng haøm soá

y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai lieân tuïc treân [a,b].

Xem R laø haøm soá cuûa h=b-a :

[ ])()(2

)()( hafafhdxha

axfhRR ++≈∫

+==

Ñaïo haøm hai laàn coâng thöùc treân theo h, ta coù:

[ ] )(2

)()(21)( hafhhafafhR +′−++=′

vaø )('2

)( hafhhR +′−=′′

Ngoaøi ra: R(0)=0; R’(0)=0.

Töø ñoù aùp duïng ñònh lyù trung bình thöù hai cuûa tích phaân xaùc ñònh, chuùng ta nhaän ñöôïc:

=+′′∫−∫ =′′+=′ dttafh

dttRRhR )(21

0)()0(')(

)1(4

2

0)1(2

1 cfhhtdtcf ′′−=∫′′−=

ABaABb

A

B y y=f(x)

xa b 0

y=P1(x)

Hình 1



51

vôùi c1∈ (a,a+h)

=′′∫−∫ =′+= dtcfht

hdttRRhR )1(

0

241

0)()0()(

),();1(12

3

0

2)1(41 haaccfhh

dttcf +∈′′−=∫′′−=

Toùm laïi, coâng thöùc hình thang, cho tröôøng hôïp chia hai khoûang (n=2):

[ ] )(12

3)()(

2)( cfhbfafhb

adxxf ′′−+=∫ (5.2)

vôùi h=b-a vaø c∈ (a,b)

TRÖÔØNG HÔÏP TOÅNG QUAÙT n. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, ta coù theå chia ñoïan [a, b] thaønh n khoûang (coù

theå khoâng baèng nhau, n laø soá nguyeân, döông, chaún hoaëc leû ñeàu ñöôïc):

[x0,x1],[x1,x2],….,[xn-1,xn]

coù ñoä daøi laø h=nab − bôûi caùc ñieåm chia x0=a ; xi = a + ih (i= 1,1 −n ) ;xn=b

Kyù hieäu: yi=f(xi) (i= n,0 ), khi ñoù: I = ∫b

a

dxxf )( coù theå ñöôïc tính nhö sau:

∫ ≈b

a

dxxf )( ∫ +x

xdxxf

1

0

)( ∫ ++x

xdxxf

2

1

...)( ∫−

x

xdxxf

n

n 1

)( (5.3)

Ñoái vôùi moãi tích phaân xaùc ñònh ôû veá phaûi cuûa (5.3), ta tính gaàn ñuùng baèng coâng

thöùc hình thang (5.1), ta nhaän ñöôïc:

)(2

...)(2

)(2

)(12100 yyyyyy nn

b

a

hhhdxxf ++++++≈−∫

hay:

++++

+≈

−∫ yyyyyh n

nb

a

dxxf121

0 ...2

)( (5.4)

Coâng thöùc (5.4) ñöôïc goïi laø coâng thöùc hình thang trong tröôøng hôïp toång quaùt.



52

Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai lieân tuïc treân [a,b] thì do (5.2), sai soá cuûa

coâng thöùc hình thang toång quaùt laø :

( )∑∫=

− +−=n

iii

b

a

yyhdxxfR1

12)( =

( ) )(''122

)(1

3

11

1

c i

n

i

n

iii fhyy

x

x

hdxxfi

i

∑∑ ∫==

− −=

+−=

−

(5.5)

vôùi ci ∈ (xi-1,xi)

Xeùt trung bình coäng: µ= )(''11ci

n

if

n∑=. Raát roõ goàm giöõa giaù trò nhoû nhaát m2 vaø

giaù trò lôùn nhaát M2 cuûa ñaïo haøm caáp hai )('' xf treân [a,b], nghóa laø:

m2 ≤≤ µ M2

Vì theo giaû thieát, )('' xf lieân tuïc treân [a,b] neân noù nhaän moïi giaù trò trung gian

giöõa m2 vaø M2 . Do ñoù,tìm ñöôïc ñieåm c ∈ [a,b] sao cho µ= )('' cf ,hay :

)(")(''1

cnfncf i

n

i==∑

=

µ

Thay vaøo (5.5), nhaän ñöôïc :

R= ],[),("12)()("

12

23

baccfhabcfnh∈

−−=− (5.6)

Toùm laïi, vôùi giaû thieát haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai lieân tuïc treân [a,b] vaø

chia ñoaïn laáy tích phaân [a,b] thaønh n ñoaïn baèng nhau, coù ñoä daøi h=2ab − , ta coù coâng

thöùc hình thang toång quaùt sau :

)("12)(...

2)(

2

1210 cfhabyyyyyhdxxf n

nb

a

−−

++++

+≈ −∫ (5.7)

vôùi c ∈ [a,b]



53

Thuaät toaùn hình thang

Nhaäp haøm soá f(x)

Nhaäp a,b ,n

S=(f(a)+f(b))/2

h=(b-a)/ n

i=1

xi= a+i*h

S=S+f(x)

Keát quaûS=S*h/2

i=n-1 i=i+1 S

Ñ

Keát thuùc



54

THÍ DUÏ 1. Tính gaàn ñuùng tích phaân sau ñaây I= ∫ +

1

0 1 xdx

Tröôøng hôïp n=10 vaø h= 0.1, ta coù Baûng keát quaû sau: I xi y2j-1 y2j

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,90909

0,769223

0,66667

0,58824

0,52632

y0=1,00000

0,83333

0,71429

0,62500

0,55556

y10=0,50000

Σ δ1 =3,45955 δ2=2,72818

5.2. Phöông phaùp SimpSon1/3 TRÖÔØNG HÔÏP n=2.


axf∫ )( , chuùng ta coù theå chia [a,b] thaønh hai ñoaïn baèng nhau

bôûi caùc ñieåm chia x0=a;x1=a+2ab − = a+h ; x2 =b=a+2h , vaø thay haøm soá döôùi daáu tích

phaân f(x) baèng ña thöùc noäi suy Newton tieán baäc hai (ñi qua ba ñieåm A(x0 =a,y0=f(x0)),

C(x1=a+h,y1=f(x1)) , B(x2=a+2h,y2=f(x2)) coù hoaønh ñoä caùch ñeàu nhau) xuaát phaùt töø nuùt

truøng vôùi caän döôùi a=x0 ,vaø ta coù : dxxPdxxfdxb

axf

x

x

x

x∫≈∫=∫2

0

2

0

)()()( 2



55

Ñeå tính tích phaân xaùc ñònh ôû veá phaûi, ta bieán ñoåi x=x0+ht. Khi ñoù dx=hdt, t bieán

thieân töø 0 ñeán 2 vaø:

hdtyttytydxxfdxb

axf

x

x∫

∆

−+∆+≈∫=∫

2

00

22)1(

00)()(2

0

2

02

2

3

3

02

21

2

2

00

=

=

−∆+∆+=

t

t

ttytytyh

trong ñoù ∆y0=y1-y0 ;

∆2y0= y1-y0 = y2 -y1 - (y1 - y0) = y2 - 2y1 + y0

Vaäy ( )21403)()(

2

0

yyyhdxxfdxb

axf

x

x++≈∫=∫ (5.8)

Veà maët hình hoïc, (5.8) coù nghóa laø dieän tích hình thang cong aACBb (ACB laø cung ñöôøng cong y=f(x) ñi qua 3 ñieåm A, C, B ñöôïc thay xaáp xæ baèng hình thang cong AACBb (ACB laø cung parabol y=P2(x) ñi qua ba ñieåm A,C vaø B). Noùi khaùc ñi, ñöôøng cong y=f(x) ñi qua ba ñieåm A, C vaø B ñöôïc thay xaáp xæ baèng ñöôøng parabol y=P2(x) ñi qua ba ñieåm A, C vaø B. (Hình 2). Coâng thöùc (5.8) ñöôïc goïi laø coâng thöù SimpSon1/3 .

y y=f(x)

x2=bx1x0=a0 x

A

BC

y=P2(x)

h h

Hình 2.



56

( )21403)( yyyhdx

b

axfR ++≈∫=

Ñeå xaùc ñònh sai soá, giaû thieát raèng haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp 4 lieân tuïc treân

[a,b]. Coá ñònh ñieåm giöõa x1vaø xem R laø haøm soá cuûa h (h≥ 0) :

( ))1()1(4)1(3)()(

1

1

hxfxfhxfhdxxfhRRhx

hx+++−≈∫==

+

−

Ñaïo haøm ba laàn theo h ñaúng thöùc treân, ta coù :

( ))1()1(3)( hxfhxfhhR −′−+′′′−=′′′

Aùp duïng coâng thöùc Larange ñoái vôùi )(xf ′′′ ,ta coù :

)1,1(3),3()4(

3

22)( hxhxccfhhR +−∈−=′′′

Ngoaøi ra: R(0)=0;R’(0)=0; 0)0( =′′R . Töø ñoù, chuùng ta aùp duïng ñònh lyù trung bình thöù hai cuûa hai tích phaân xaùc ñònh, ta nhaän ñöôïc:

)1,1(2,)2()4(3

92)()0()(

0hxhxcdtcfhdttRRhR

h+−∈−=∫ ′′′+′′=′′

)1,1(1,)1()4(4

181)()0()(

0hxhxcdtcfhdttRRhR

h+−∈−=∫ ′′+′=′

)1,1(,)()4(5901)()0()(

0hxhxcdtcfhdttRRhR

h+−∈−=∫ ′+=

Toùm laïi: Vôùi giaû thieát haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp boán lieân tuïc treân [a, b], ta

coù coâng thöùc SimpSon1/3 sau:

dtcfhbfbafafhdxb

axf )()4(5

901)(

24)(

3)( −

+

+

+=∫ (5.9)

vôùi h=2ab −

, c ),( ba∈



57

TRÖÔØNG HÔÏP TOÅNG QUAÙT n.


axf∫ )( , ta chia [a, b] thaønh n=2m ñoaïn baèng nhau (nghóa laø n

laø soá nguyeân, döông, vaø chaún ): [x0,x1], [x1,x2], …, [x2m-2,x2m-1], [x2m-1,x2m], coù ñoä

daøi laø hmab

nab

2−

=−

= bôûi caùc ñieåm chia : x0=a, x1=a+ih (i 12,1 −= m ), xn=x2m=b .

Kyù hieäu: yi=f(xi), i= n,0 , khi ñoù, ta coù:

∫ ≈b

a

dxxf )( ∫2

0

)(x

x

dxxf ∫+4

2

)(x

x

dxxf ∫−

++m

m

x

x

dxxf2

22

)(... (5.10)

Ñoái vôùi moãi tích phaân xaùc ñònh ôû veá phaûi cuûa (5.10), ta tính gaàn ñuùng baèng coâng

thöùc SimpSon1/3 (5.8). Ta nhaän ñöôïc:

( ) ( ) +++++++≈∫ ...43

43

)( 4322321 yyyhyyyhdxxfb

a

( )mmm yyyh21222 4

3+++ −−

( ) ( )[ +++++++≈ −∫ ......43

)( 123120 mm

b

a

yyyyyhdxxf

( )]2242 ...2 −++++ myyy hay

( )[ ]2120 243

)( ∂+∂++≈∫ m

b

a

yyhdxxf (5.11)

trong ñoù : 2242212311 ...;... −− +++=∂+++=∂ mm yyyyyy

Coâng thöùc (5.11) ñöôïc goïi laø coâng thöùc SimpSon1/3 toång quaùt.



58

Neáu haøm y= f(x) coù ñaïo haøm caáp boán lieân tuïc treân [a,b] thì do (1.9), sai soá cuûa

coâng thöùc SimpSon1/3 toång quaùt laø :

( )∑∫−

−− ++−=m

kkkk

x

x

yyyhdxxfRm

121222 4

3)(

2

0

∑−

−=m

kkcfh

1

)4(5

)(90

(5.12)

vôùi ck ∈(x2k-2,x2k) .

Laäp luaän töông töï tröôøng hôïp coâng thöùc hình thang toång quaùt, vì f(4)(x), theo giaû

thieát, lieân tuïc treân [a,b], neân tìm ñöôïc ñieåm c∈[a,b] sao cho :

∑=

=m

kkcf

mcf

1

)4()4( )(1)(

Thay vaøo (1.12), nhaän ñöôïc :

],[),(180)()(

90)4(

4)4(

5

baccfhabcfmhR ∈−

−=−= (1.13)

Toùm laïi, vôùi giaû thieát haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp boán lieân tuïc treân [a,b] vaø

chia ñoaïn laáy tích phaân [a,b] thaønh n=2m ñoaïn baèng nhau, coù ñoä daøi

h=mab

nab

2−

=−

ta coù coâng thöùc SimpSon1/3 toång quaùt sau :

( )[ ] )(180)(24

3)( )4(

4

2120 cfhabyyhdxxf m

b

a

−−∂+∂++≈∫ (1.14)

c ∈[a,b]

trong ñoù : 2242212311 ...;... −− +++=∂+++=∂ mm yyyyyy .

Thuaät toaùn SimpSon1/3 ñöôïc moâ taû nhö sau:



59

Nhaäp haøm soá f(x)

Nhaäp a,b

Nhaäp n

n % 2=0

h=(b-a)/n

S=( f(a)+f(b) ) /2

i=1

xi= a+i*h

i % 2=0 S=S+4*f(x)

S=S+2*f(x)

i=n-1i=i+1

Keát quaû :S=S*h/3

Keát thuùc

S

Ñ

S

S

Ñ

Ñ



60

Nhaän xeùt.

Töø (5.7) vaø (5.14), cho thaáy coâng thöùc SimpSon1/3 toång quaùt coù ñoä chính xaùc cao

hôn coâng thöùc hình thang toång quaùt khi coù cuøng böôùc h nhö nhau.

Tröôùc khi tính tích phaân xaùc ñònh, ta seõ kieåm tra haøm soá y=f(x) coù lieân tuïc treân

[a,b] khoâng, neáu haøm soá y=f(x) khoâng lieân tuïc treân [a,b] maø bò chaën taïi moät ñieåm naøo

ñoù trong khoaûng [a,b] thì ta seõ khoâng tính tích phaân xaùc ñònh cuûa haøm y=f(x) treân [a,b].

Tính sai soá cuûa coâng thöùc SimpSon1/3 toång quaùt (5.14) ñoøi hoûi phaûi bieát f(4)(x),

nghóa laø phaûi tính ñaïo haøm caáp boán cuûa haøm soá f(x). Neáu tính nhö vaäy thì ta seõ coù

theâm moät sai soá trong khi tính ñaïo haøm . Do ñoù, trong thöïc haønh ngöôøi ta thöôøng xaùc

ñònh gaàn ñuùng sai soá cuûa coâng thöùc SimpSon1/3 toång quaùt nhö sau :

Giaû söû treân [a, b], ñaïo haøm f(4) ít bieán ñoåi, do (5.14), nhaän ñöôïc bieåu thöùc gaàn

ñuùng cuûa sai soá phaûi tìm laø: R=Mh4, trong ñoù M xem laø haèng soá.

Goïi In vaø I2n laø giaù trò gaàn ñuùng cuûa I= dxb

axf∫ )( nhaän ñöôïc töø coâng thöùc

SimpSon1/3 toång quaùt vôùi böùôc h vaø2h ,ta coù:

I=In + Mh4

I=I2n + M4

2

h

Töø ñoù : I2n – In = 4

1615Mh vaø n2n2n II

151II −=−

Laäp luaän hoaøn toaøn töông tuï ñoái vôùi coâng thöùc hình thang toång quaùt, vôùi

giaû thieát ñaïo haøm ″f (x) ít bieán ñoåi treân [a, b], ta coù coâng thöùc thöïc haønh tính sai

soá:

n2n2n II31II −=− . Trong ñoù In vaø I2n laø giaù trò gaàn ñuùng cuûa I= dx

b

axf∫ )( nhaän

ñöôïc töø coâng thöùc hình thang toång quaùt vôùi böùôc h vaø2h .



61

Nhö vaäy, trong khi thöïc haønh sai soá cuûa coâng thöùc hình thang ñöôïc tính baèng:

n2n II31

−≈∆

Vaø sai soá cuûa coâng thöùc SimpSon1/3 ñöôïc tính baèng :

n2n II151

−≈∆

Khi tính tích phaân gaàn ñuùng vôùi moät sai soá cho tröôùc, ta tính tích phaân theo coâng

thöùc choïn tröôùc vôùi moät böùôc h naøo ñoù, sau ñoù tính laïi theo coâng thöùc ñoù vôùi böôùc h/2

(töùc taêng n gaáp ñoâi ). Kyù hieäu In vaø I2n laø caùc keát quaû töông öùng. Neáu 2nn II − <ε ( ε laø

sai soá ) thì keát quaû laø I2n vaø döïa vaøo ñoù ta cuõng xaùc ñònh ñöôïc soá böôùc laëp. Neáu

≥− 2nn II ε thì quaù trình ñöôïc laëp laïi vôùi böôùc h/4. Böôùc h ñaàu tieân thöôøng ñöôïc choïn

côõ m ε , trong ñoù m=2 vôùi cong thöùc hình thang vaø m=4 vôùi coâng thöùc Simpon1/3 (vì

trong coâng thöùc sai soá cuûa caùc coâng thöùc ñoù coù chöùa h2 vaø h4 töông öùng.

Khi tính tích phaân vôùi soá böôùc laëp cho tröôùc: neáu soá böôùc laëp ta cho quaù nhoû thì

sai soá gaàn ñuøng cho ra seõ raát lôùn. Ngöôïc laïi vôùi soá böôùc laëp lôùn thì sai soá nhoû.



62

5.3. Baøi taäp. 1. Tính tích phaân cuûa caùc haøm sau ñaây theo 3 phöông phaùp hình thang vôùi n=2,4,8

Simpson 1/3: a. 3x3 + 5 x – 1 treân [0,1]

b. 1/(2+x) treân [0, 1]


I xi f(xi) 0 0 0.9162 1 0.25 0.8109 2 0.5 0.6931 3 0.75 0.5596 3 1 0.4055

Tính tích phaân treân [0, 1] theo 3 phöông phaùp hình thang vôùi n=2,4,8 Simpson

1/3.

http://www.ebook.edu.vn Ch6. Phöông phaùp Bình phöông Toái thieåu.


63

CHÖÔNG 6. PHÖÔNG PHAÙP BÌNH PHÖÔNG TOÁI THIEÅU.

6.1. Môû ñaàu. Phaàn lôùn, trong thöïc nghieäm, ta chæ coù caùc daõy soá lieäu döôùi daïng Baûng (neáu ñöôïc noäi suy hay ngoïai suy döôùi daïng bieåu thöùc), chaúng haïn nhö laø aûnh höôûng cuûa chieàu cao (daõy soá lieäu y, phuï thuoäc), theo cheá ñoä dinh döôûng (daõy soá lieäu x, ñoäc laäp), hay ta coù soá lieäu veà chi tieâu theo thu nhaäp töøng nhö Baûng Döõ lieäu sau ñaây:

BAÛNG 1. Chi tieâu cuûa caù nhaân theo Thu nhaäp haèng naêm.

Naêm Thu nhaäp (x) Chi tieâu (Y) 1970 122.80 111.00 1971 124.30 114.40 1972 134.80 121.50 1973 144.10 127.70 1974 142.20 125.80 1975 143.30 124.90 1976 142.50 125.30 1977 140.80 124.60 1978 150.70 131.60 1979 159.10 137.60 1980 161.20 137.00 1981 157.30 136.60 1982 157.60 137.60 1983 161.30 143.10 1984 164.80 145.40



64

Baøi toùan ñöôïc ñaït ra nhö sau:

Cho ñoïan [a, b], (a, b höõu haïn), haøm y=f(x) ñöôïc cho döôùi daïng baûng hay döôùi daïng bieåu thöùc. Ta muoán bieåu dieãn gaàn ñuùng haøm f(x) döôùi daïng moät toå hôïp:

)()(0

xaxf i

n

iiφ∑

=

=

Haõy tìm caùc Heä soá ai (i=0..n) sao cho Φi (x) laø gaàn nhaát (theo phöông sai) vôùi f(x). Pheùp xaáp xó nhö vaäy ñöôïc goïi laø Phöông phaùp Bình phöông toái thieåu.

YÙ nghóa hình hoïc cuûa Phöông phaùp Bình phöông toái thieåu. Kyù hieäu:

o x = (x1, …., xn). o y = (y1, …., yn). o u = (1, …1) vectô ñôn vò. Khi x vaø u khoâng ñoàng thôøi tuyeán tính, seõ xaùc ñònh duy nhaát moät sieäu phaúng L(x, u). Phöông phaùp Bình phöông toái thieåu laø xaùc ñònh moät vectô y = (y1, ….,yn).sao cho khoûang caùch Euclide giöõa y vaø y laø ngaén nhaát. Theo moät pheùp tröïc giao cuûa y treân sieâu phaúng L(x,u) (xem Hình. 1)

L(x,u)

O

y

u

x

y

Hình. 1



65

6.2. Phöông phaùp bình phöông toái thieåu. (Least – Squares Method).

2

1)( i

n

i yyMin −∑ (6.1)

trong ñoù:

o yi = Giaù trò cuûa y cho quan saùt thöù i o yi = Giaù trò döï kieán cuûa y cho quan saùt thöù i

TRÖÔØNG HÔÏP y = b0 + b1 x :

210

1)]([ i

n

i xbbyMin +−⇒ ∑

Ñaët : 2

101

)]([)( i

n

i xbbyxf +−= ∑

)](2)( 102

101

2iii

n

i xbbyxbby +−+−= ∑

Laáy vi phaân theo 2 bieán b0 vaø b1 ta coù :

][2)](22[1

101

1010

∑∑∑ ++−=++−=∂∂ n

i

n

ii

n

i xbnbyxbbybf

][2)(221

21

10

110

11∑∑∑∑ ++−=++−=

∂∂ n

i

n

i

n

iiii

n

ii xbxbyxxxbbyxbf



66

Baøi toùan (6.1) töông ñöông vôùi Baøi toùan ∂f = 0 Suy ra, ta coù Heä Phöông trình:

∑∑ =+n

i

n

i yxbnb11

10

(6.2)

i

n

i

n

i

n

i yxxbxb ∑∑∑ =+11

21

10

Giaûi Heä phöông trình treân ta ñöôïc:

∑

∑ ∑∑

∑−

−=

n

i

n n

íii

n

ii

nixn

yxyxnb

x1

2

2

111

1)(

(6.3)

b0 = y - b1x

Vôùi caùch tính töông töï nhö treân ta coù theå môû roäng cho tröôøng hôïp cho tröôøng hôïp toång quaùt ñeå tính bi (i=0..n).

6.3. Aùp duïng Phöông phaùp bình phöông trong Baøi toùan döï baùo theo Hoài qui Tuyeán tính.

Vôùi soá lieäu ôû Baûng 1, Haøm chi tieâu haèng naêm cuûa caù nhaân, y, coù theå xaáp xó thaønh moät Haøm tuyeán tính theo thu nhaäp caù nhaân haèng naêm x, nghóa laø

y = b0 + b1x + u.



67

trong ñoù b0 vaø b1 laø haèng (thoâng soá) vaø u laø dao ñoäng (hay sai soá). b0 vaø b1 khoâng theå tìm thaáy do quan saùt, tuy nhieân b0 vaø b1 ñöôïc tính töø Baûng 1, theo coâng thöùc (6.3). (Ta coù theå söû haøm trong Excel ñeå tính:

@INTERCEPT (D_array, IND_array) ñeå tính b0

@SLOPE (D_array, IND_array) ñeå tính b1

Vôùi thí duï ôõ Baûng 1. ta tính ñöôïc :

b0 = 20.1806 b1 = 0.7438

Ngoøai ra coù theå söû duïng (Excel, hoaëc caùc phaàn meàm thoáng keâ), ta coù theå veõ ñöôøng bieåu dieãn cuûa Haøm hoài qui, nhö theo hình veõ sau.

FITTED REGRESSION LINE

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

0 10 20

Rea

l Con

sum

er's

Ex

pend

iture

Series1



68

Vaø ñöôøng thaëng dö (sai soá):

Moät caùch ñôn giaûn ta coù theå söû duïng hoài qui tuyeán tính ñeå döï baùo. Vôùi thí duï ôû Baûng 1. Ta coù Haøm döï baùo (hoài qui) tuyeán tính laø

y = 20.1806 + 0.7438 x Ta coù theå tính cho chi tieâu cho naêm tieáp theo neáu thu nhaäp x = 170.

y = 20.1806 + 0.7438 * 170 = 146.6266 Trong tröôøng hôïp toång quaùt, ta coù theå môû roäng cho daïng haøm nhö haøm muû,(hoài qui theo haøm muû), haøm logarit (hoài qui theo haøm loga), haøm ña thöùc (hoài qui boäi),..

PLOT OF RESIDUAL

-4.00-3.00-2.00-1.000.001.002.003.004.00

0 10 20Series1



69

6.4. Baøi taäp.

1. Cho Baûng Döõ lieäu sau:

X Y 1970 122.80 111.00 1971 124.30 114.40 1972 134.80 121.50 1973 144.10 127.70 1974 142.20 125.80 1975 143.30 124.90 1976 142.50 125.30 1977 140.80 124.60 1978 150.70 131.60 1979 159.10 137.60

Tính Y =f(X) vôùi X= 150 theo phöông phaùp hoài qui tuyeán tính.

2. Baûng Döõ lieäu sau cho bieát Chi tieâu haèng naêm (Y) theo Thu nhaäp caù

nhaân haèng naêm (X).

Naêm X Y 1970 1581.09 1211.89 1971 1614.31 1249.44 1972 1695.90 1313.73 1973 1796.29 1369.31 1974 1811.78 1379.90 1975 1791.78 1383.00 1976 1874.93 1461.32 1977 1962.29 1534.39 1978 2055.40 1597.27 1979 2130.13 1645.31 1980 2165.30 1668.00 1981 2225.78 1697.53 1982 2223.02 1717.07 1983 2268.07 1748.95

Duøng Hoài qui Tuyeán tính ñeå döï baùo cho chi tieâu naêm 1984 vôùi thu nhaäp laø x= 2350



70

3. Moät Nhaø phaân phoái duïng cuï aâm nhaïc nhaän xeùt raèng nhu caàu mua troáng Bass lieân quan ñeán soá laàn xuaát hieän cuûa nhoùm Nhaïc Rock, Green Shades trong thaùng vöøa qua, vôùi caùc soá lieäu ñöôïc thu thaäp nhö sau:

Nhu caàu mua Troáng Bass

Taán suaát xuaát hieän treân TV cuûa nhoùm Green Shades

3 3 6 4 7 7 5 6 10 8 8 5

3.1. Duøng Hoài qui tuyeán tính ñeå tính Haøm döï baùo giöõa nhu caàu mua Troáng vaø taàn suaát xuaát hieän cuûa nhoùm.

3.2. Tính döï baùo cho nhu caàu mua Troáng neáu taàn suaát xuaát hieän cuûa nhoùm

laø 9 laàn trong thaùng vöøa qua.

muïc luïc - phöông phaùp tính mỤc lỤc · pdf file5.1....

Documents