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MÉTODOS Y TÉCNICAS AVANZADAS EN FÍSICA

El modelo estándar y su fenomenologíaParte 2: Cromodinámica Cuántica (QCD)

José SantiagoFísica Teórica y del Cosmos

and CAFPEUniversidad de Granada

Programa● Teorías gauge no abelianas: Lagrangiano clásico

● Cuantización mediante integral de camino● Grados de libertad físicos vs ghosts

● QCD a un loop● Regularización, renormalización, grupo de

renormalización y libertad asintótica

● QCD a altas energías● Factorización, modelo de partones

● QCD a bajas energías: lagrangiano quiral

Bibliografía● Muchos libros de teoría cuántica de campos

introducen cuantización de teorías no abelianas y fenomenología de QCD

● Algunos de los que yo he usado son:➢ Peskin, Schroeder, “An Introduction to Quantum Field Theory”

➢ Sterman, “An Introduction to Quantum Field Theory”

➢ Pokorski, “Gauge Field Theories”

➢ Ynduráin, “Quantum Chromodynamics. An Introduction to the Theory of Quarks and Gluons”

Introducción

● QCD es la teoría de interacciones fuertes, responsables de mantener los núcleos atómicos ligados.

● Es una teoría con simetría gauge SU(3) y fermiones (quarks) que transforman como la representación (3) de SU(3).

● Hasta el momento se conocen 6 quarks

Q = 2=3

mc ¼ 1:5 GeVmt ¼ 170 GeV

mu ¼ 4 MeV

Q = ¡1=3

md ¼ 7 MeV

ms ¼ 0:135 GeVmb ¼ 5 GeV

mp ¼ 1 GeV

Introducción

● El experimento es compatible con que la simetría no esté rota

● Sin embargo, ni quarks ni gluones (bosones gauge de QCD) aislados han sido observados● QCD es una teoría confinante: sólo singletes de SU(3)

pueden ser observados● Pero QCD también es asintóticamente libre: a altas

energías, se vuelve débilmente acoplada y una expansión perturbativa en términos de quarks y gluones es una buena aproximación.

QCD: Lagrangiano clásico

● Vamos a estudiar el Lagrangiano de una teoría gauge SU(Nc) con Nf quarks transformando en una representación r de SU(Nc).

● En QCD tenemos Nc=3, Nf=6


● El Lagrangiano clásico es:

L = ¡1

4F a¹ºF

a¹º + ¹Ãi(i 6D ¡mi)ª

F a¹º = @¹Aaº ¡ @ºA

a¹ + gfabcAb¹A

cº

D¹ = @¹ ¡ igAa¹tar

● Donde

Vectorial: el término de masas de quarks es invariante gauge

a = 1; : : : ;N2c ¡ 1; i = 1; : : : ; Nf

[tar ; tbr] = ifabctcr


● El Lagrangiano clásico es:

L = ¡1

4F a¹ºF

a¹º + ¹Ãi(i 6D ¡mi)ª

● Bajo una transformación gauge infinitesimal:

Ã ! (1 + i®atar)Ã

Aa¹ ! Aa¹ +1

g@¹®

a + fabcAb¹®c

D¹Ã ! (1 + i®atar)D¹Ã

Tr(tatb) = C(r)±ab ) (F a¹º)2 / Tr[(F a¹ºt

a)2] ! (F a¹º)2

¡igF a¹ºta = [D¹; Dº ] ) F a¹ºta ! (1 + i®btb)F a¹ºt

a(1¡ i®ctc)


● Acoplamientos

● Con reglas de Feynman

L = L0 + gAa¹¹Ãi°

¹tatÃi ¡ g(@¹Aaº)f

abcAb ¹Ac º

ig°¹ta

gfabc[g¹º(k ¡ p)½ + gº½(p¡ q)¹ + g½¹(q ¡ k)º ]

¡ig2[fabef cde(g¹½gº¾ ¡ g¹¾gº½) + facef bde(g¹ºg½¾ ¡ g¹¾gº½)

+fadef bce(g¹ºg½¾ ¡ g¹½gº¾)]

¡g2

4fabcfadeAb¹A

cºA

d ¹Ae º

QCD: cuantización

● Campos gauge tienen 2 polarizaciones físicas (las transversas). Al cuantizar podemos mantener sólo grados de libertad físicos (rompiendo invariancia Lorentz) o mantener invariancia Lorentz pero trabajar con grados de libertad no físicos.● Recordad: invariancia gauge es una redundancia en la

descripción, tenemos que fijar el gauge para eliminar la redundancia

● Nosotros usaremos integral de camino y un gauge covariante

● Esto introducirá grados de libertad no físicos cuya contribución cancelará en observables físicos

Integral de camino en QM

● Hamiltoniano en forma normal ( a la izq. de )p q

hpjHjqi =e¡ipqp

2¼H(p; q)

pjpi = pjpiqjqi = qjqi

hpjqi =e¡ipqp

2¼

● Queremos calcular la amplitud de la partícula para viajar de posición q' en tiempo t' a posición q” en tiempo t”


● Amplitud de la partícula para viajar de q' en t' a q” en t”¿ ´ t00 ¡ t0

: : : hp1j[1¡ (i¿=N )H ]jq0i

e¡ip1q0

p2¼

[1¡ (i¿=N)H(p; q)] =e¡i[p1q

0+H(p1;q0)¿=N ]

p2¼

(1 +O(1=N2))

hq00je¡i(t00¡t0)H jq0i = limN!1

hq00j[1¡ (i¿=N)H ]N jq0i

= limN!1

Z NY

n=1

dpn

NY

n=2

dqnhq00jpN ihpN j[1¡ (i¿=N)H]jqN ihqN jpN¡1i



: : : hp1j[1¡ (i¿=N )H ]jq0i

¡ ¿

N(H(pN ; qN) + : : :+H(p1; q

0)]g

H(pn; qn)¿=N ! H(p(t); q(t))dt

= limN!1

Z NY

n=1

dpn2¼

NY

n=2

dqn expfi[pN(q00 ¡ qN) + : : :+ p1(q2 ¡ q0)

= limN!1

Z NY

n=1

dpn

NY

n=2




pn(qn+1 ¡ qn) = pnqn+1 ¡ qn¿=N

¿=N ! p(t) _q(t)dt



: : : hp1j[1¡ (i¿=N )H ]jq0i

¡ ¿

N(H(pN ; qN) + : : :+H(p1; q

0)]g

=

ZDq(t)Dp(t) expfi

Z t00

t0dt[p _q ¡H(p; q)]g

q(t0) = q0

q(t00) = q00



= limN!1

Z NY

n=1

dpn

NY

n=2


= limN!1

Z NY

n=1

dpn2¼

NY

n=2

dqn expfi[pN(q00 ¡ qN) + : : :+ p1(q2 ¡ q0)


● Simplifica si H = p2=2m+ V (q)ZDpei

Rdt[p _q¡ p2

2m ]

=

ZDpe¡ i

2m

Rdt[p2¡2mp _q+m2 _q2¡m2 _q2]

=

ZDpe¡ i

2m

Rdt[(p¡m _q)2¡m2 _q2]

= eiRdtm _q2

2

ZD~pe¡

i2m

Rdt~p2 = ei

Rdtm _q2

2 F

hq00je¡iH(t00¡t0)jq0i = F

ZDqei

RdtL(q(t); _q(t))

L =1

2m _q2 ¡ V (q)


● Hemos escrito la amplitud como una suma coherente sobre todos los posibles caminos, pesados con la acción

hq00je¡iH(t00¡t0)jq0i = F

ZDqei

RdtL(q(t); _q(t))

t = t0

t = t00q


● Este formalismo generaliza a un número arbitrario de grados de libertad:

hfq00gje¡iH(t00¡t0)jfq0gi = F

Z YkDq(t; k)ei

RdtP

k L(q(t;k); _q(t;k))

q(t; k) ´ qk(t)

L =X

Lk(qk(t); _qk(t))● Hemos definido

Integral de camino en QFT

● Este formalismo generaliza a un número arbitrario de grados de libertad:

hfq00gje¡iH(t00¡t0)jfq0gi = F

Z YkDq(t; k)ei

RdtP

k L(q(t;k); _q(t;k))

● Y por tanto a teorías de campos q(t; k) ! Á(t; ~x)

hÁb(~x)je¡iH(t00¡t0)jÁa(~x)i = F

ZDÁ(x)ei

Rd4xL(Á;@Á)

Á(t0; ~x) = Áa(~x)Á(t00; ~x) = Áb(~x)

Debe entenderse como el límite al continuo de un producto de integrales (discretizando el espacio tiempo)

Integral de camino en QFT

● Hemos cambiado operadores por integrales funcionales de objetos clásicos (a la derecha sólo tenemos funciones, no operadores)

● También vamos a definir nuestras teorías a partír del Lagrangiano en lugar del Hamiltoniano, esto facilita enormemente la derivación de propiedades importantes (ecuaciones de movimiento, comportamiento bajo simetrías, etc.)

hÁb(~x)je¡iH(t00¡t0)jÁa(~x)i = F

ZDÁ(x)ei

Rd4xL(Á;@Á)

Á(t0; ~x) = Áa(~x)Á(t00; ~x) = Áb(~x)

Funciones de correlación

● Hasta ahora sólo hemos claculado el operador de evolución. Lo que queremos calcular son correladores de la forma

hjTfÁH(x1) : : : ÁH(xn)gji● Veamos que están relacionados con el objetoZ

DÁ(x)Á(x1)Á(x2)eiR T¡T

d4xLÁ(¨T; ~x) = Áa;b(~x)

● Tendremos que ir de imagen de Schrödinger a imagen de Heisenberg

eitHÁS(~x)e¡itH = ÁH(t; ~x)

Funciones de correlaciónZDÁ(x)Á(x1)Á(x2)ei

R T¡T


Á(x01;2; ~x) = Á1;2(~x)

Á(¨T; ~x) = Áa;b(~x)

=

ZDÁ1(~x)

ZDÁ2(~x)

ZDÁ(x)Á1(x1)Á2(x2)ei

R T¡T

d4xL

£ZDÁ(x)ei

R x01¡T d

4xLZDÁ(x)ei

R x02x01

d4xLZDÁ(x)ei

R Tx02d4xL

=

ZDÁ1(~x)Á1(~x1)

ZDÁ2(~x)Á2(~x2)

Á(¡T; ~x) = Áa(~x)

Á(x01; ~x) = Á1(~x)

Á(x01; ~x) = Á1(~x)

Á(x02; ~x) = Á2(~x)

Á(x02; ~x) = Á2(~x)

Á(T; ~x) = Áb(~x)

assume x01 < x02


R T¡T


=

ZDÁ1(~x)

ZDÁ2(~x)


R T¡T

d4xL

£ZDÁ(x)ei

R x01¡T d

4xLZDÁ(x)ei

R x02x01

d4xLZDÁ(x)ei

R Tx02d4xL

=

ZDÁ1(~x)Á1(~x1)

ZDÁ2(~x)Á2(~x2)

Á(¡T; ~x) = Áa(~x)

Á(x01; ~x) = Á1(~x)

Á(x01; ~x) = Á1(~x)

Á(x02; ~x) = Á2(~x)

Á(x02; ~x) = Á2(~x)

Á(T; ~x) = Áb(~x)

assume x01 < x02

Á(x01;2; ~x) = Á1;2(~x)

Á(¨T; ~x) = Áa;b(~x)

F hÁbje¡iH(T¡x02)jÁ2i


R T¡T


=

ZDÁ1(~x)

ZDÁ2(~x)


R T¡T

d4xL

=

ZDÁ1(~x)Á1(~x1)

ZDÁ2(~x)Á2(~x2)

ÁS(~x1)jÁ1i = Á1(~x1)jÁ1iZDÁjÁ1ihÁ1j = 1

We can now use the properties

assume x01 < x02

Á(x01;2; ~x) = Á1;2(~x)

Á(¨T; ~x) = Áa;b(~x)

£NhÁbje¡iH(T¡x02)jÁ2ihÁ2je¡iH(x

02¡x01)jÁ1ihÁ1je¡iH(x

01¡T )jÁai


R T¡T


=

ZDÁ1(~x)

ZDÁ2(~x)


R T¡T

d4xL

=

ZDÁ1(~x)Á1(~x1)

ZDÁ2(~x)Á2(~x2)

= hÁbje¡iH(T¡x02)Ás(~x2)e

¡iH(x02¡x01)Ás(~x1)e¡iH(x01+T )jÁai

= hÁbje¡iHTÁH (x2)ÁH(x1)e¡iHT jÁai

assume x01 < x02

£NhÁbje¡iH(T¡x02)jÁ2ihÁ2je¡iH(x

02¡x01)jÁ1ihÁ1je¡iH(x

01¡T )jÁai

Á(x01;2; ~x) = Á1;2(~x)

Á(¨T; ~x) = Áa;b(~x)


R T¡T


= hÁbje¡iHTÁH (x2)ÁH(x1)e¡iHT jÁai

assume x01 < x02

Si hubiésemos asumido habrían aparecido en el orden inverso, por tanto

x02 < x01; x01 y x02

ZDÁ(x)Á(x1)Á(x2)ei

R T¡T


= hÁbje¡iHTTfÁH(x2)ÁH (x1)ge¡iHT jÁai


● Para tener el vacío (estado de mínima energía) como estado inicial y final, asumimos que nuestros estados tienen cierto solapamiento con el vacío y tomamos el siguiente límite: T !1(1 ¡ i²)

● Los factores extra (incluida la normalización) se pueden eliminar dividiendo por

hÁaje¡2iHT jÁbi

e¡iHT jÁai =X

n

e¡iEnT jnihnjÁai » e¡iE01(1¡i²)jihjÁai


● Generalizando a un número arbitrario de campos:

● En la segunda expresión hemos definido la acción como la integral espacio-temporal del Lagrangiano, con el límite en T sobreentendido

hjTÁH(x1) : : : ÁH(xn)ji = limT!1(1¡i²)

RDÁÁ(x1) : : : Á(xn)ei

R T¡T

d4xLRDÁei

R T¡T

d4xL

=

RDÁÁ(x1) : : : Á(xn)eiSR

DÁeiS

Generador funcional

● Los correladores se pueden calcular de forma más sencilla usando el generador funcional, definido a partir de la integral de camino, incluyendo una fuente, J, para cada campo

● El generador funcional es un funcional de las fuentes.

● Los correladores se obtienen como derivadas funcionales de Z[J]

hjTÁ(x1) : : : Á(xn)ji =(¡i)nZ[0]

±n

±J(x1) : : : ±J(xn)Z[J ]¯¯J=0

Z[J ] =

ZDÁei

Rd4x[L+J(x)Á(x)] =

ZDÁeiSJ

Generador funcional

● La derivada funcional satisface

● De donde se deduce inmediatamente la forma de los correladores

Z[J ] =

ZDÁei

Rd4x[L+J(x)Á(x)]

±

±J(x)J(y) = ±(4)(x¡ y)

(¡i)nZ[0]

±n

±J(x1) : : : ±J(xn)Z[J ]¯¯J=0

=

RDÁÁ(x1) : : : Á(xn)eiSR

DÁeiS

= hjTÁ(x1) : : : Á(xn)ji

Generador funcional

● Z[J] se puede calcular explícitamente para una teoría libre

● El factor es necesario para convergencia de la integral (se puede relacionar con el límite de T)

● Hagamos un cambio de variables para completar el cuadrado

i²

Donde

SJ =

Zd4x[

1

2Á(¡@2 ¡m2 + i²)Á+ JÁ]

Á0(x) = Á(x) ¡ i

Zd4y¢F (y ¡ x)J(y)

(¡@2x ¡m2 + i²)¢F (x¡ y) = i±(4)(x¡ y)

Generador funcional

● Z[J] se puede calcular explícitamente para una teoría libre

SJ =

Zd4x[

1

2Á0(¡@2 ¡m2 + i²)Á0]

● Cambiando de variable tenemos (DÁ0 = DÁ)

¡Zd4xd4y[

1

2J(x)(¡i¢F (x¡ y))J(y)]

Z[J ] =

ZDÁ0ei

Rd4xL0(Á0)e¡

12

Rd4xd4yJ(x)¢F (x¡y)J(y)

= Z[0]e¡12


Generador funcional

● Ejemplo: función de dos puntos

Z[J ] = Z[0]e¡12


h0jTÁ(x)1Á(x2)j0i = ¡ ±2

±J(x1)±J(x2)e¡

12

RJ(x)¢F (x¡y)J(y)

¯¯J=0

=1

2

±

±J(x1)

½Z

y

¢F (x2 ¡ y)J(y) +

Z

x

J(x)¢F (x¡ x2)

¾Z[J ]

Z[0]

¯¯J=0

= ¢F (x2 ¡ x1)

Generador funcional

● Igualmente: 4 puntos

h0jTÁ(x)1Á(x2)Á(x3)Á(x4)j0i

= ¢F (x4 ¡ x3)¢F (x2 ¡ x1)

+¢F (x4 ¡ x2)¢F (x3 ¡ x1)

+¢F (x4 ¡ x1)¢F (x3 ¡ x2)

● El resultado coincide con el teorema de Wick

Generador funcional

● Expandiendo en teoría de perturbaciones para acoplamientos pequeños, podemos escribir los correladores de la teoría interactuante en términos de correladores libres

● Obtenemos las mismas reglas de Feynman que con cuantización canónica

Otros generadores funcionales

● El generador funcional de correladores conexos es:

● El generador funcional de 1PI es la acción efectiva

E[J ] = ilogZ[J ]

hjTÁ(x1) : : : Á(xn)jicon: = (¡i)n+1 ±nE[J ]

±J(x1) : : : ±J(xn)

¡[Ácl] = ¡E[J ]¡Zd4yJ(y)Ácl(y) Ácl = ¡±E[J ]

±J(x)

hÁ(x1) : : : Á(xn)i1PI = i±n¡[Ácl]

±Ácl(x1) : : : ±Ácl(xn)

Cuantización QED

● Vamos a cuantizar QED

● Invariancia gauge implica integral infinita

S =1

2

Zd4xAº [@

2g¹º ¡ @¹@º ]A¹ !1

2

Zd4k

(2¼)4Aº [k

¹kº ¡ k2g¹º]A¹

S[A¹ = ®(k)k¹] = 0 ) Z[0] =1● Equivalentemente, el término cinético no tiene inversa

No tiene solución

● Tenemos que fijar el gauge

● Gauge covariante

G[A] = 0

Z[0] =

ZDAeiS[A]

G[A] = @¹A¹

[k¹kº ¡ k2g¹º] ~Dº½(k) = i±¹½

Cuantización QED

● Introducimos 1 como

● Consideramos un gauge covariante generalizado

1 =

ZD®(x)±(G[A®])

¯¯±G[A®]

±®

¯¯ A®¹(x) = A¹(x) +

1

e@¹®(x)

G[A®] = @¹A®¹ ¡ !(x) = @¹A¹ +1

e@¹@¹®¡ !

±G[A®]

±®=@¹@¹e

Independiente de ®

● Veamos qué implicaciones tiene esto para la integral de camino

Cuantización QED

Z[0] =

ZDAeiS[A]

ZD®¯¯±G[A®]

±®

¯¯ ±(G[A®])

=

¯¯±G[A®]

±®

¯¯ZD®ZDAeiS[A]±(G[A®])

=

¯¯±G[A®]

±®

¯¯ZD®ZDA®eiS[A®]±(G[A®])

=

¯¯±G[A®]

±®

¯¯µZ

D®¶Z

DAeiS[A]±(@¹A¹(x)¡ !(x))

Cuantización QED

● El resultado es cierto para cualquier w(x), integremos con un peso gausianoZD!e¡i

Rd4x!

2

2» Z[0]

= N

ZD!e¡i

Rd4x!

2

2»

ZDAeiS[A]±(@¹A¹ ¡ !)

= N

ZDAeiS[A]e¡i

Rd4x

(@¹A¹)2

2»

● La normalización es irrelevante

L ! L¡ 1

2»(@¹A¹)

2

Cuantización QED

● El resultado final es que sólo tenemos que añadir el término de fijación de gauge al Lagrangiano

L = ¡1

4F¹ºF¹º + ¹Ã(i°¹D¹ ¡m)Ã ¡ 1

2»(@¹A¹)

2

● El término cuadrático ahora tiene inverso

~D¹ºF (k) =¡i

k2 + i²

µg¹º ¡ (1¡ »)

k¹kº

k2

¶[(1¡ »¡1)k¹kº ¡ k2g¹º] ~Dº½(k) = i±¹½

Cuantización QED

● El mismo razonamiento funciona si introducimos cualquier operador invariante gauge

hjTOji = limT!1(1¡i²)

RDAOei

R T¡T

d4x[L¡ 12» (@

¹A¹)2]

RDAei

R T¡T

d4x[L¡ 12» (@

¹A¹)2]

● Incluso si el operador es production (no invariante gauge) de los campos, la ecuación todavía es válida

Cuantización QCD

● Vamos a cuantizar ahora QCD, la parte relevante es

● Insertamos de nuevo

1 =

ZD®(x)±(G[A®])

¯¯±G[A®]

±®

¯¯ Aa®¹ (x) = Aa¹(x) +

1

gD¹®

a(x)

● Mientras sea lineal, es independiente deG[A]

¯¯±G[A®]

±®

¯¯ ®

Z[0] =

ZDAaei

Rd4x[¡ 1

4 (Fa¹º )

2]

Cuantización QCDZDAeiS =

ZDAeiS

ZD®±(G[A®])

¯¯±G[A®]

±®

¯¯

=

ZD®ZDA®eiS[A®]±(G[A®])

¯¯±G[A®]

±®

¯¯

=

µZD®¶Z

DAeiS[A]±(G[A])

¯¯ ±G[A®]

±®

¯¯

● Tomando un gauge covariante generalizado e integrando con peso gausiano

ZD!(x)e¡i!

2=(2»)

G[A®] = @¹Aa ®¹ ¡ !a(x)

Cuantización QCD

● La diferencia con respecto al caso abeliano es que el determinante no es independiente de A

ZDAeiS = N

ZDAei

Rd4x[L¡ 1

2» (@¹Aa¹)

2]

¯¯±G[A®]

±®

¯¯

±G[A®]

±®=

1

g@¹D¹

● El determinante se puede escribir explícitamente usando integral gausiana sobre variables de Grassmann

Números de Grassmann● Son variables que anticonmutan

● El valor de la integral se ha normalizado a B por convención. También por convención elegimos

µ´ = ¡´µ ) µ2 = ´2 = 0

● Requiriendo que la integral sea invariante bajo adición de una constante tenemosZdµf(µ) =

Zdµ(A+Bµ) =

Zdµ((A+B´) +Bµ) = B

Zdµ

Zd´´µ = +1

Números de Grassmann● Conjugación compleja actúa intercambiando términos

● Usando que la integral es invariante bajo transformaciones unitarias tenemos (B hermítica)

● Definiendo tenemos

(µ´)¤ = ´¤µ¤ = ¡µ¤´¤

µ =µ1 + iµ2p

2; ¹µ =

µ1 ¡ iµ2p2

;

Zd¹µdµe¡

¹µbµ =

Zd¹µdµ(1¡ ¹µbµ) =

Zd¹µdµ(1 + bµ¹µ) = b

ÃY

i

Zd¹µidµi

!e¡

¹µiBijµj =

ÃY

i

Zd¹µidµi

!e¡

Pi¹µibiµj =

Y

i

bi = detB

● Con números ordinarios habríamos obtenido (2¼)n=detB

Cuantización de QCD● Podemos usar este truco para escribir el determinante

de la transformación¯¯±G[A®]

±®

¯¯ = det(

1

g@¹D¹) =

ZDcD¹cei

Rd4x¹c(¡@¹D¹)c

● son escalares que anticonmutan (violan el principio de espín estadística). Se conocen como los fantasmas de Fadeev-Popov

● Hemos escrito el determinante de manera que se puede añadir directamente al Lagrangiano de QCD

c(x); ¹c(x)

Identidades de Ward● La integral de camino permite encontrar las identidades

de Ward-Takahashi de forma sencilla

● Las identidades de W-T relacionan funciones de Green con distinto número de campos.

● El caso más sencillo es (para QED)

k¹¢¹

k

p+ k

p

= e

p

p p+ k

p+ k

¡

Identidades de Ward● Definiendo el propagador y

la función vértice por

k¹¢¹

k

p+ k

p

= e

p

p p+ k

p+ k

¡

S(p) = i=[6p¡m¡§(p)]

¡¹(p+ k; p)

S(p+ k)[¡iek¹¡¹(p+ k; p)]S(p) = e[S(p)¡ S(p+ k)]

[¡iek¹¡¹(p+ k; p)] = e[S¡1(p+ k)¡ S¡1(p)]

● La identidad de WT relaciona el vértice con propagadores. Es consecuencia de invariancia gauge.

Identidades de Ward● Derivemosla ahora a partir de la integral de camino

L = ¡1

4(F¹º)

2 + ¹Ã(i°¹D¹ ¡m)Ã

Ã(x) ! (1¡ ie®(x))Ã(x)

● Hagamos el cambio de variables (sin cambio en A)

● La medida es invariante, por tanto tenemosZD ¹ÃDÃDAÃ(x1) ¹Ã(x2)e

iRL[Ã; ¹Ã;A] =

ZD ¹ÃDÃDAÃ0(x1) ¹Ã0(x2)ei

RL[Ã0; ¹Ã0;A]

=

ZD ¹ÃDÃDA(1 + ie®1)Ã1(1¡ ie®2) ¹Ã2e

iR(L[Ã; ¹Ã;A]¡j¹@¹®)

j¹ = e ¹Ã°¹Ã

Identidades de Ward● Derivemosla ahora a partir de la integral de camino

L = ¡1

4(F¹º)

2 + ¹Ã(i°¹D¹ ¡m)Ã

Ã(x) ! (1¡ ie®(x))Ã(x)

● Hagamos el cambio de variables (sin cambio en A)

● La medida es invariante, por tanto tenemosZD ¹ÃDÃDAÃ(x1) ¹Ã(x2)e

iRL[Ã; ¹Ã;A] =

ZD ¹ÃDÃDAÃ0(x1) ¹Ã0(x2)ei

RL[Ã0; ¹Ã0;A]

=

ZD ¹ÃDÃDA(1 + ie®1)Ã1(1¡ ie®2) ¹Ã2e

iR(L[Ã; ¹Ã;A]¡j¹@¹®)

0 =

ZD ¹ÃDÃDAeiS

½¡iZd4x@¹®x(j

¹xÃ1

¹Ã2) + (ie®1Ã1 ¹Ã2) + Ã1(¡ie®2 ¹Ã2)

¾

Identidades de Ward● Para cualquier

● Dividiendo por Z[0] tenemosi@¹hTj¹(x)Ã(x1) ¹Ã(x2)i = ¡ie±(x¡ x1)hTÃ(x1) ¹Ã(x2)i+ ie±(x¡ x2)hTÃ(x1) ¹Ã(x2)i

● En espacio de momentosZd4xe¡ikx

Zd4x1e

iqx1

Zd4x2e

¡ipx2

¡ik¹M¹(k; p; q) = ¡ieM0(p; q ¡ k) + ieM0(p+ k; q)

0 =

ZD ¹ÃDÃDAeiS

½i

Zd4x®x[(@¹j

¹xÃ1

¹Ã2) + (eÃ1 ¹Ã2)(±(x¡ x1)¡ ±(x¡ x2))]

¾®(x)

0 =

ZD ¹ÃDÃDAeiS

©(@¹j

¹xÃ1

¹Ã2) + (eÃ1 ¹Ã2)(±(x¡ x1)¡ ±(x¡ x2))ª

Lagrangiano de QCD● El Lagrangiano completo es

● Con reglas de Feynman (propagadores)

L = ¡1

4(F a¹º)

2 + ¹Ã(i°¹D¹ ¡m)Ã

+1

2»(@¹Aa¹)

2 + ¹ca(¡@2±ac ¡ g@¹fabcAb¹)cc

¹; a º; b

a b

i

6p¡m+ i²

i±ab

p2

¡ip2 + i²

µg¹º ¡ (1¡ »)

p¹pº

p2

¶±ab

Lagrangiano de QCD● Con reglas de Feynman (interacciones)

¡gfabcp¹b; ¹a

b

ig°¹ta

gfabc[g¹º(k ¡ p)½ + gº½(p¡ q)¹ + g½¹(q ¡ k)º ]

¡ig2[fabef cde(g¹½gº¾ ¡ g¹¾gº½) + facef bde(g¹ºg½¾ ¡ g¹¾gº½)

+fadef bce(g¹ºg½¾ ¡ g¹½gº¾)]

Loops de fermiones y fantasmas tienen un factor (-1) extra

Lagrangiano de QCD● Hemos fijado un gauge covariante (que incluye

polarizaciones no físicas)

● El Jacobiano de la transformación de gauge se puede escribir como una integral sobre fantasmas (por su dependencia en A, que no ocurre en teorías abelianas)

● Todos los efectos se pueden escribir en términos de un Lagrangiano que incluye el término de fijación de gauge y el término de fantasmas y es explícitamente invariante bajo transformaciones de Lorentz

● Veremos que los fantasmas actúan como grados de libertad negativos, cancelando las polarizaciones no físicas.

Invariancia BRST● Al fijar el gauge nuestra teoría ya no es explícitamente

invariante gauge (realmente sí es invariante gauge y los observables físicos no dependen del gauge elegido).

● Existe un remanente de la simetría gauge, la simetría (global) BRST que permite demostrar, usando el lagrangiano con el gauge fijado, resultados que se derivan de la invariancia gauge.

● Reescribamos el Lagrangiano como (B escalar usual)

L = ¡1

4(F a¹º)

2 + ¹Ã(i°¹D¹ ¡m)Ã

¡ 1

2»(Ba)2 +Ba(@¹Aa¹) + ¹ca(¡@2±ac ¡ g@¹fabcAb¹)c

c

Invariancia BRST● Ba es un campo auxiliar (sin término cinético)

Ba =@¹Aa¹»

Introducido en el Lagrangiano nos lleva a nuestro Lagrangiano original

● El resultado se obtiene completando el cuadrado en la integral de camino y haciendo un cambio de variable en la integral sobre B

L = ¡ 1

2»(Ba)2 +Ba(@¹Aa¹) + : : :

= ¡ 1

2»

£(Ba)2 ¡ 2»Ba(@¹Aa¹) + »2(@¹Aa¹)

2 ¡ »2(@¹Aa¹)2¤+ : : :

= ¡ 1

2»[Ba ¡ (@¹Aa¹)]

2 +»

2(@¹Aa¹)

2 + : : : = ¡ ( ~Ba)2

2»+»

2(@¹Aa¹)

2 + : : :

Invariancia BRST● El Lagrangiano es invariante bajo la transformación

L = ¡1

4(F a¹º)

2 + ¹Ã(i°¹D¹ ¡m)Ã

±Aa¹ = ²Dac¹ cc

±Ã = ig²cataÃ

±ca = ¡g2²fabccbcc

±¹ca = ²Ba

±Ba = 0

² parámetro infinitesimal anticonmutante

¡ 1

2»(Ba)2 +Ba(@¹Aa¹) + ¹ca(¡@2±ac ¡ g@¹fabcAb¹)c

c

Invariancia BRST● La carga BRST es nilpotente ±1±2Á = 0

±Á = ²QÁ) Q2 = 0

● Q es la carga conservada asociada a la simetría BRST

[H;Q] = 0

● El espacio de Hilbert de autoestados de H se separa en tres subespacios

H1 = fjÃi; QjÃi 6= 0gH2 = fjÃi; jÃi = QjÁi; jÁi ½ H1gH0 = fjÃi; QjÃi = 0; jÃi 6= QjÁig

hÁ2jÃ2i = 0

hÁ2jÃ0i = 0

Invariancia BRST● Se puede ver que los estados físicos (polarizaciones

transversas) están en H0 y los no físicos (polarización escalar y longitudinal y fantasmas) están en H1 o H2

● Queremos ver que si nos restringimos a estados iniciales y finales físicos, la matríz S es todavía unitaria

QSjA; tri = SQjA; tri = 0 ) SjA; tri ½ H0 ©H2jA; tri ½ H0

hA; trjB; tri = hA; trjSySjB; tri

=X

jÃ0ihA; trjSyjÃ0ihÃ0jSjB; tri

=X

jÃ0ihA; trjSyjÃ0ihÃ0jSjB; tri+

X

jÃ2ihA; trjSyjÃ2ihÃ2jSjB; tri

Invariancia BRST

● La matríz S, restringida a estados iniciales y finales físicos (transversos) es también unitaria, lo que quiere decir que podemos utilizar como estados externos únicamente los estados físicos

hA; trjB; tri =X

C

hA; trjSyjC; trihC; trjSjB; tri

Fantasmas y grados de libertad físicos

● Hemos visto que podemos usar sólo grados de libertad físicos como estados externos, sin embargo, los fantasmas son cruciales para mantener la teoría unitaria (propagándose como estados intermedios)

● Vamos a ver un ejemplo sencillo de la relación entre fantasmas y grados de libertad no físicos

● Calculemos el proceso q¹q ! gg


● Escribimos la amplitud como

iM = t¹ºab ²¤¹(k1)²

¤º(k2); con ²¹(k) polarizaciones f¶³sicas

● Nota sobre polarizaciones, sea k un vector momento tipo luz k2=0. Podemos escribir las cuatro polarizaciones como

²§¹ (k) =

Ãk0p2j~kj

;§~kp2j~kj

!; ²T1;2¹(k)

● Que satisfacen

²Ti ¢ ²T¤j = ¡±ij ; ²+ ¢ ²Ti = ²¡ ¢ ²Ti (²+)2 = (²¡)2 = 0; ²+ ¢ ²¡ = 1

g¹º = ²¡¹ ²+¤º + ²+¹ ²

¡¤º ¡

X

i

²Ti¹²T¤iº


● El módulo al cuadrado de la amplitud, sumado sobre las polarizaciones transversas esX

²T

jMj2 =X

i;j

t¹ºab t½¾ ¤ab ²T¤i¹ (k1)²

T¤jº (k2)²

Ti½(k1)²

Tj¾(k2)

= [¡g¹½ + ²¡1¹²+¤1½ + ²+1¹²

¡¤1½ ][¡gº¾ + ²¡2º²

+¤2¾ + ²+2º²

¡¤2¾ ]

+[²¡1¹²+¤1½ + ²+1¹²

¡¤1½ ][²¡2º²

+¤2¾ + ²+2º²

¡¤2¾ ]

= g¹½gº¾ ¡ g¹½[²¡2º²

+¤2¾ + ²+2º²

¡¤2¾ ]¡ gº¾[²

¡1¹²

+¤1½ + ²+1¹²

¡¤1½ ]

X

i;j

²T¤i¹ (k1)²Ti½(k1)²

T¤jº (k2)²

Tj¾(k2) ´ P¹½(k1)Pº¾(k2)


● Calculemos las amplitudesp p

p+ p+a; k1¹

b; k2º

a; k1¹

b; k2º

t¹º1ab + t¹º2ab = (ig)2¹v(p+)

·°¹ta

i

6p¡ 6k2 ¡m°ºtb + °ºtb

i

6k2¡ 6p+ ¡m°¹ta¸u(p)

= (ig)2¹v(p+)

·°¹ta

i

6k1¡ 6p+ ¡m°ºtb + °ºtb

i

6p¡ 6k1 ¡m°¹ta¸u(p)


● Calculemos las amplitudes

p

p+ a; k1¹

b; k2ºc; k3º

£[g¹º(k2 ¡ k1)½ + gº½(k3 ¡ k2)

¹ + g¹½(k1 ¡ k3)º ]

t¹º3ab = ig¹v(p+)°½tcu(p)

¡ik23gfabc


● Y su contracción con el momento externo

(t¹º1ab + t¹º2ab)k2º = k2º(ig)2¹v(p+)

·°¹ta

i

6p¡ 6k2 ¡m°ºtb + °ºtb

i

6k2¡ 6p+ ¡m°¹ta¸u(p)

= ¡ig2¹v(p+)

·°¹ta

6k2¡ 6p+m

6p¡ 6k2 ¡mtb + tb

6k2¡ 6p+ ¡m

6k2¡ 6p+ ¡m°¹ta¸u(p)

= ¡ig2¹v(p+)

·°¹ta

6k26p¡ 6k2 ¡m

tb + tb6k2

6k2¡ 6p+ ¡m°¹ta¸u(p)

= ig2¹v(p+)°¹[ta; tb]u(p) = ¡g2fabc¹v(p+)°¹tcu(p)

(t¹º1ab + t¹º2ab)k1¹ = ¡ig2¹v(p+)°º [ta; tb]u(p) = g2fabc¹v(p+)°ºtcu(p)



k2º [g¹º(k2 ¡ k1)

½ + gº½(k3 ¡ k2)¹ + g¹½(k1 ¡ k3)

º ]

= k¹2 k½1 + k½2k

¹3 + g¹½k2 ¢ (k1 ¡ k3)

= k¹2 (k2 ¡ k1)½ + k½2(k3 ¡ k2)

¹ + g¹½k2 ¢ (k1 ¡ k3)

= (k1 + k3)¹k½1 ¡ (k3 + k1)

½k¹3 ¡ g¹½(k1 + k3) ¢ (k1 ¡ k3)

= k¹1 k½1 ¡ k½3k

¹3 ¡ g¹½(k21 ¡ k23) = k¹1 k

½1 ¡ k½3k

¹3 + g¹½k23

¹v(p+) 6k3u(p) = ¡¹v(p+)(6k1+ 6k2)u(p) = ¡¹v(p+)( 6p+ 6p+)u(p) = ¡¹v(p+)(m¡m)u(p)



k2º [g¹º(k2 ¡ k1)

½ + gº½(k3 ¡ k2)¹ + g¹½(k1 ¡ k3)

º ]

= k¹1 k½1 ¡ k½3k

¹3 + g¹½k23

t¹º3abk2º = g2fabc¹v(p+)tcf6k1k¹1¡ 6k3k¹3 + °¹k23gu(p)1

k23

= g2fabc¹v(p+)tc 6k1u(p)k¹1k23

+ g2fabc¹v(p+)tc°¹u(p)

t¹º3abk1¹ = ¡g2fabc¹v(p+)tc 6k2u(p)kº2k23

¡ g2fabc¹v(p+)tc°ºu(p)


● Poniendo todo junto tenemos

t¹ºab k1¹ = ¡g2fabc¹v(p+)tc 6k2u(p)kº2k23

t¹ºab k2º = g2fabc¹v(p+)tc 6k1u(p)k¹1k23

● Estas contracciones se parecen mucho a la amplitud de creación de un par fantasma-antifantasma

c; k3¹

b; k2

a; k1p

p+

´ iMabgh(k1; k2) = ig¹v(p+)°¹tcu(p)

¡ik23

(¡gfabck1¹)

= g2fabc¹v(p+)tc 6k1u(p)1

k23



● Estas contracciones se parecen mucho a la amplitud de creación de un par fantasma-antifantasma

c; k3¹p

p+

´ iMabgh(k1; k2) = ig¹v(p+)°¹tcu(p)

¡ik23

(¡gfabck1¹)

= g2fabc¹v(p+)tc 6k1u(p)1

k23


= iMabgh(k1; k2)k

¹1


= iMbagh(k2; k1)k

º2

b; k2

a; k1



● Aunque estas amplitudes no son cero, satisfacen


= iMabgh(k1; k2)k

¹1


= iMbagh(k2; k1)k

º2

t¹ºab k1¹k2º = 0

t¹ºab k2º²T¤i¹ (k1) = iMab

gh(k1; k2)k1 ¢ ²T¤i (k1) = 0

t¹ºab k1¹²T¤iº (k2) = iMba

gh(k2; k1)k2 ¢ ²T¤i (k2) = 0



● Asumiendo que una polarización es , las únicas amplitudes distintas de cero son


= iMabgh(k1; k2)k

¹1


= iMbagh(k2; k1)k

º2

²+

t¹ºab ²+¤¹ (k1)²

¡¤º (k2) =

1p2j~k1j

iMbagh(k2; k1)k

º2

(k02 ;¡~k2)ºp2j~k2j

= iMbagh(k2; k1)

j~k2jj~k1j

t¹ºab ²¡¤¹ (k1)²

+¤º (k2) = iMab

gh(k1; k2)j~k1jj~k2j


● Poniendo todo junto tenemosX

²T

jMj2 = t¹ºab t½¾ ¤ab [¡g¹½ + ²¡1¹²

+¤1½ + ²+1¹²

¡¤1½ ]Pº¾(k2)

= t¹ºab t½¾ ¤ab [¡g¹½]Pº¾(k2)

= t¹ºab t½¾ ¤ab [(¡g¹½)(¡gº¾)¡ g¹½(²

¡2º²

+¤2¾ + ²+2º²

¡¤2¾ )]

t¹ºab t½¾ ¤ab g¹½²

+2º²¡¤2¾ =

k¹1p2j~k2j

iMabgh(k1; k2)t

½¾ ¤ab ²¡¤2¾ g¹½

=²¡¤2¾p2j~k2j

iMabgh(k1; k2)[iMba

gh(k2; k1)]¤k¾2

= iMabgh(k1; k2)[iMba

gh(k2; k1)]¤



²T

jMj2 = t¹ºab t½¾ ¤ab [¡g¹½ + ²¡1¹²

+¤1½ + ²+1¹²

¡¤1½ ]Pº¾(k2)

= t¹ºab t½¾ ¤ab [¡g¹½]Pº¾(k2)

= t¹ºab t½¾ ¤ab [(¡g¹½)(¡gº¾)¡ g¹½(²

¡2º²

+¤2¾ + ²+2º²

¡¤2¾ )]


+2º²¡¤2¾ = iMab

gh(k1; k2)[iMbagh(k2; k1)]

¤


¡2º²

+¤2¾ = iMba

gh(k2; k1)[iMabgh(k1; k2)]

¤



²T

jMj2 = t¹ºab t½¾ ¤ab [¡g¹½ + ²¡1¹²

+¤1½ + ²+1¹²

¡¤1½ ]Pº¾(k2)

= t¹ºab t½¾ ¤ab [¡g¹½]Pº¾(k2)

= t¹ºab t½¾ ¤ab [(¡g¹½)(¡gº¾)¡ g¹½(²

¡2º²

+¤2¾ + ²+2º²

¡¤2¾ )]

= t¹ºab t½¾¤ab (¡g¹½)(¡gº¾)

¡iMabgh(k1; k2)[iMba

gh(k2; k1)]¤

¡iMbagh(k2; k1)[iMab

gh(k1; k2)]¤


● En QED podemos reemplazar las sumas sobre polarizaciones transversas

P¹º(k) ! ¡g¹º

● En teorías no abelianas también podemos hacerlo, siempre que incluyamos la contribución de los fantasmas (con un signo – relativo)

● A nivel clásico podemos simplemente emplear estados físicos externos, aunque en la práctica es más fácil hacer el cambio de arriba y sumar sobre la contribución de los fantasmas

Fantasmas y unitariedad

● A nivel cuántico, no tenemos elección, en loops internos no tenemos suma sobre polarizaciones sino factores de la métrica, que podemos sustituir por

g¹º = ²¡¹ ²+¤º + ²+¹ ²

¡¤º ¡

X

i

²Ti¹²T¤iº

● Por tanto automáticamente estamos sumando sobre polarizaciones no físicas. Esto genera problemas con unitariedad, en la forma del teorema óptico.

Fantasmas y unitariedad

● El teorema óptico es consecuencia de la unitariedad de la matriz S y se puede representar gráficamente por

2 Im

=

Zd¦

2

● Parece que deberíamos producir polarizaciones no físicas en el término de la derecha, pero cuando añadimos la contribución de los fantasmas sólo quedan polarizaciones transversas

=

Zd¦

2

²T

+(¡1)

QCD a 1 loop● A continuación calcularemos algunas correcciones

relevantes a un loop en nuestra QCD generalizada

● Usaremos la descomposición de Passarino-Veltman

i

16¼2fB0; B¹; B¹ºg(p2;m2

0;m21) ´ ¹4¡D

ZdDq

(2¼)D1; q¹; q¹qº

(q2 ¡m20)[(q + p)2 ¡m2

1]

B0

¯¯div

= ¢² B¹

¯¯div

= ¡¢²p¹2

B¹º

¯¯div

= ¢²n¡g¹º

12(p2 ¡ 3m2

0 ¡ 3m21) +

p¹pº3

o

¢² =2

²¡ ° + log 4¼ D = 4¡ ²

QCD a 1 loop● Auto-energía del gluón

a; ¹ b; º

qq + k

k

= (¡ig)2(¡1)¹²Z

dDk

(2¼)DTr

·°¹ta

i

6k ¡m°ºtb

i

6k+ 6q ¡m

¸

= ¡g2Tr(tatb)¹²Z

dDk

(2¼)DTr[°¹(6k +m)°º(6k+ 6q +m)]

(k2 ¡m2)[(k + q)2 ¡m2]

= ¡4g2C(r)±ab¹²Z

dDk

(2¼)Dk¹(k + q)º + kº(k + q)¹ ¡ g¹º[k ¢ (k + q)¡m2]

(k2 ¡m2)[(k + q)2 ¡m2]

= ¡4g2C(r)±abi

16¼2

n2B¹º + q¹Bº + qºB¹ ¡ g¹º(g½¾B

½¾ + q½B½ ¡m2B0)

o

= ¡4g2C(r)±abi¢²16¼2

ng¹º6

(6m2 ¡ q2) +2

3q¹qº ¡ qºq¹ ¡ g¹º(2m2 ¡ q2

2¡m2)

o+ : : :

= ¡ ig2C(r)±ab¢²

12¼2

ng¹ºq2 ¡ qºq¹

o+ : : :


a; ¹ b; º

qq + k

k

=1

2¹²Z

dDk

(2¼)D¡ik2

¡i(k + q)2

g2facdf bcdN¹º

= ¡g¹º(2k2 + 5q2 + 2k ¢ q)¡ 10k¹kº ¡ 5(k¹qº + kºq¹) + 2q¹qº

N¹º = [g¹½(q ¡ k)¾ + g½¾(2k + q)¹ ¡ g¹¾(k + 2q)½]

[±º½ (k ¡ q)¾ ¡ g½¾(2k + q)º + ±º¾(k + 2q)½]

¡10B¹º ¡ 5B¹qº ¡ 5Bºq¹ + 2q¹qºB0g¡ ig

2C2(G)±ab

32¼2fg¹º(¡2g½¾B

½¾ ¡ 2q¾B¾ ¡ 5q2B0)

= ¡ ig2C2(G)±ab¢²

32¼2

½¡19

6g¹ºq2 +

11

3q¹qº¾


= 0 in dimensional regularization


q + k

k

a; ¹

q

b; º= (¡1)¹²

ZdDk

(2¼)Di

k2i

(k + q)2g2fdacf cbd(k + q)¹kº

= ¡g2C2(G)±ab¹²Z

dDk

(2¼)Dk¹kº + q¹kº

k2(k + q)2

= ¡ ig2C2(G)±ab

16¼2©B¹º + q¹Bº

o

= ¡ ig2C2(G)±ab¢²

16¼2©¡ q2

12g¹º +

q¹qº

3¡ q¹qº

2

o+ : : :

= ¡ ig2C2(G)±ab¢²

16¼2©¡ q2

12g¹º ¡ q¹qº

6

o: : :


+

= ¡ ig2C2(G)±ab¢²

32¼2

½¡19

6g¹ºq2 +

11

3q¹qº ¡ 1

6g¹ºq2 ¡ 1

3q¹qº¾

=ig2C2(G)±ab¢²

32¼210

3

©g¹ºq2 ¡ q¹qº

ª

Transverse as it should (thanks to the ghosts!!)


+ +

=ig2±ab¢²

16¼2©g¹ºq2 ¡ q¹qº

ª·53C2(G)¡ 4

3NfC(r)

¸

=ig2±ab¢²

16¼2©g¹ºq2 ¡ q¹qº

ª·53Nc ¡

2

3Nf

¸

=ig2±ab¢²

16¼2©g¹ºq2 ¡ q¹qº

ª·µ13

6¡ »

2

¶Nc ¡

2

3Nf

¸

QCD a 1 loop● Auto-energía de quarks

= ¹²Z

dDk

(2¼)D(ig)2°¹ta

i( 6k+ 6q +m)

(k + q)2 ¡m2°¹t

a¡ik2

= ¡g2C2(r)¹²Z

dDk

(2¼)DDm¡ (D ¡ 2)(6k+ 6q)k2[(k + q)2 ¡m2]

°¹°¹ = D

°¹°º°¹ = ¡(D ¡ 2)°º

QCD a 1 loop● Auto-energía de quarks

= ¹²Z

dDk

(2¼)D(ig)2°¹ta

i( 6k+ 6q +m)

(k + q)2 ¡m2°¹t

a¡ik2

= ¡g2C2(r)¹²Z

dDk

(2¼)DDm¡ (D ¡ 2)(6k+ 6q)k2[(k + q)2 ¡m2]

= ¡ ig2C2(r)

16¼2

nDmB0 ¡ (D ¡ 2)(°¹B¹+ 6qB0)

o

= ¡ ig2C2(r)¢²

16¼2

n4m¡ 2 6q(1¡ 1=2)

o+ : : :

=ig2C2(r)¢²

16¼2

n6q ¡ 4m

o+ : : :

QCD a 1 loop● Vértice gluón-quark-quark

i

16¼2fC0; C¹; C¹ºg = ¹²

ZdDq

(2¼)D1; q¹; q¹qº

(q2 ¡m20)[(q + p1)2 ¡m2

1][(q + p2)2 ¡m22]

● La única divergente es

C¹º =g¹º¢²

4+ : : :


= g3[C2(r) ¡1

2C2(G)]ta¹²

ZdDp

(2¼)D°º 6p°¹ 6p°º + : : :

p2[(p+ k)2 ¡m2][(p+ k0)2 ¡m2]

g3tbtatb¹²Z

dDp

(2¼)D°º [ 6p+ 6k0 +m]°¹[6p+ 6k +m]°ºp2[(p+ k)2 ¡m2][(p+ k0)2 ¡m2]

°¹°º°½°¾°¹ = ¡2°¾°½°º + (4¡D)°º°½°¾

= g3[C2(r) ¡1

2C2(G)]ta¹²

ZdDp

(2¼)D(2¡D) 6p°¹ 6p+ : : :

p2[(p+ k)2 ¡m2][(p+ k0)2 ¡m2]


= g3[C2(r) ¡1

2C2(G)]ta¹²

ZdDp

(2¼)D°º 6p°¹ 6p°º + : : :

p2[(p+ k)2 ¡m2][(p+ k0)2 ¡m2]

g3tbtatb¹²Z

dDp


= g3[C2(r) ¡1

2C2(G)]ta¹²

ZdDp

(2¼)D(2¡D) 6p°¹ 6p+ : : :

p2[(p+ k)2 ¡m2][(p+ k0)2 ¡m2]

=ig3¢²16¼2

[C2(r) ¡1

2C2(G)]ta(2¡D)°½°¹°½

1

4+ : : :

(2¡D)°¹


= g3[C2(r) ¡1

2C2(G)]ta¹²

ZdDp

(2¼)D°º 6p°¹ 6p°º + : : :

p2[(p+ k)2 ¡m2][(p+ k0)2 ¡m2]

g3tbtatb¹²Z

dDp


= g3[C2(r) ¡1

2C2(G)]ta¹²

ZdDp

(2¼)D(2¡D) 6p°¹ 6p+ : : :

p2[(p+ k)2 ¡m2][(p+ k0)2 ¡m2]

=ig3¢²16¼2

[C2(r) ¡1

2C2(G)]ta(2¡D)°½°¹°½

1

4+ : : :

=ig3¢²16¼2

[C2(r) ¡1

2C2(G)]°¹ta + : : :


£gfabc[g¹º(2k0 ¡ k ¡ p)½ + gº½(¡k0 ¡ k + 2p)¹ + g¹½(2k ¡ k0 ¡ p)º ]

¹²Z

dDp

(2¼)D(ig°ºt

b)i[ 6 p+m]

p2 ¡m2(ig°½t

c)¡i

(k0 ¡ p)2¡i

(k ¡ p)2

= ¡g3

2C2(G)ta¹²

ZdDp

(2¼)D¡2p2°¹ ¡ 2(D¡ 2) 6pp¹ + : : :

p2[(p+ k)2 ¡m2][(p+ k0)2 ¡m2]

=ig3

16¼2C2(G)taf°¹g½¾C½¾ + (D ¡ 2)°®C

®¹g+ : : :

=3ig3

32¼2C2(G)ta°¹¢² + : : :


+ =ig3

16¼2ta°¹¢²

½C2(r)¡

1

2C2(G) +

3

2C2(G)

¾+ : : :

=ig3

16¼2ta°¹¢² fC2(r)¡C2(G)g+ : : :

=ig3

16¼2ta°¹¢²

½N2c ¡ 1

2Nc¡Nc

¾+ : : :

Renormalización a 1 loop● Cálculos a 1 loop dan resultados divergentes, que

hemos regularizado con regularización dimensional

● Para dar sentido a dichos cálculos tenemos que renormalizar

● La idea es definir campos y parámetros renormalizados de tal manera que los infinitos se puedan reabsorber en dichas redefiniciones

● Esto se hace mediante unas constantes de renormalización (o contratérminos). En teorías renormalizables, un número finito de contratérminos basta para cancelar todos los infinitos

QCD a 1 loop● Veamos el ejemplo de la auto-energía de quarks

● Resumando obtenemos el propagador a un loop

= ¡i§2 =ig2C2(r)¢²

16¼2

n6q ¡ 4m

o+ : : : ´ i±²[6q ¡ 4m] + : : :

Zd4xhTÃ(x) ¹Ã(0)ieiqx =

iZ

6q ¡m+ : : : =

i

6q ¡m0 ¡§2+ : : :

=i

6q(1 + ±²)¡m0(1 + 4±²)=

i(1¡ ±²)

6q ¡m0(1 + 3±²)

● Podemos reabsorber los infinitos en los campos y la masa “desnudos”

m0(1 + 3±²) = m Ã0(1 +1

2±²) = Ã

Renormalización a 1 loop● Veamos la lógica con el ejemplo de un campo escalar

● El lagrangiano, en términos de objetos “desnudos” es

L =1

2(@¹ÁB)2 ¡ 1

2m2BÁ

2B ¡

¸B4!Á4B

● Definamos objetos renomalizados

ÁB = Z1=2Á ÁR; m2

B = Zmm2R; ¸B = Z¸¸R

L =1

2(@¹ÁR)2 ¡ 1

2m2RÁ

2R ¡

¸R4!Á4R

● El Lagrangiano queda

+1

2(ZÁ ¡ 1)(@¹ÁR)2 ¡ 1

2(ZmZÁ ¡ 1)m2

RÁ2R ¡ (Z2ÁZ¸ ¡ 1)

¸R4!Á4R

Renormalización a 1 loop

L =1

2(@¹ÁR)2 ¡ 1

2m2RÁ

2R ¡

¸R4!Á4R

● El Lagrangiano queda

+1

2(ZÁ ¡ 1)(@¹ÁR)2 ¡ 1

2(ZmZÁ ¡ 1)m2

RÁ2R ¡ (Z2ÁZ¸ ¡ 1)

¸R4!Á4R

= LR + Lct

● El Lagrangiano renormalizado da los resultados que hemos calculado (con infinitos), los contratérminos se fijan de manera que cancelen los infinitos


● La parte finita de los contratérminos es arbitraria (esquema de renormalización). Objetos físicos, calculados a todo orden son indep. de la elección.

● Renormalización multiplicativa no es siempre la mejor elección (p. ej. Cuando varios sectores contribuyen)

● Nosotros usaremos el esquema de renormalización MS, (los contratérminos cancelan los factores de )

● No todos los contratérminos tienen que ser independientes, pueden estar relacionados por simetrías (identidades de Ward-Takahasi/Slavnov-Taylor, BRST)

¢²

Renormalización a 1 loop● Hagámoslo para QCD

+ZÃ ¹Ã(i 6@ ¡ Zmm)Ã + ZgZÃZ12

A¹Ãgta 6AaÃ

+Zc¹ca[¡@¹(@¹±ab + ZgZ

12

AgfabcAb¹)]c

c +1

2»Z»Za(@

¹Aa¹)2

L = ¡1

4ZA[@¹A

aº ¡ @ºA

a¹ + ZgZ

12

AgfabcAb¹A

cº ]2

= LR + ±2 ¹Ãi 6@Ã + ±1g ¹Ãta 6AÃ ¡m±0 ¹ÃÃ ¡ 1

4±3(@¹A

aº ¡ @ºA

a¹)2 + : : :

● Hemos usado las definiciones convencionales

Z3 = 1 + ±3 = ZA

Z2 = 1 + ±2 = ZÃ

Z0 = 1 + ±0 = ZÃZm

Z1 = 1 + ±1 = ZgZÃZ12

A

Renormalización a 1 loop● Los contratérminos dan nuevas reglas de Feynman

● Nosotros usaremos los siguientes:

¡i(k2g¹º ¡ k¹kº)±ab±3

i(6k±2 ¡ ±0)

igta°¹±1


+ + +

=ig2±ab¢²

16¼2©g¹ºq2 ¡ q¹qº

ª ·53Nc ¡

2

3Nf

¸¡ ifg¹ºq2 ¡ q¹qºg±ab±3

±3

¯¯MS

=g2

16¼2¢²

½5

3Nc ¡

2

3Nf

¾


+

=ig2C2(r)¢²

16¼2

n6q ¡ 4m

o+ i( 6q±2 ¡ ±0) + : : :

±2

¯¯MS

= ¡ g2

16¼2C2(r)¢²

±0

¯¯MS

= ¡ g2

16¼24C2(r)¢²


+ +

=ig3

16¼2ta°¹¢² fC2(r)¡C2(G)g+ igta°¹±1 + : : :

±1

¯¯MS

= ¡ g2

16¼2¢²fC2(r) + C2(G)g

Comentarios● Los contratérminos obtenidos son independientes de

masas y (esquema de renorm. indep. de masa)¹

±3

¯¯MS

=g2

16¼2¢²

½5

3Nc ¡

2

3Nf

¾±2

¯¯MS

= ¡ g2

16¼2C2(r)¢²

±0

¯¯MS

= ¡ g2

16¼24C2(r)¢²

±1

¯¯MS

= ¡ g2

16¼2¢²fC2(r) + C2(G)g


masas y (esquema de renorm. indep. de masa)

● La parte finita depende de

¹

= ¡ ig2C2(r)

16¼2

nDmB0 ¡ (D ¡ 2)(°¹B¹+ 6qB0)

o

log¹2

=ig2C2(r)¢²

16¼2

n6q ¡ 4m

o

+ig2C2(r)

16¼2

n4m

Z 1

0

dx log¢2

¹2¡ 2 6q

Z 1

0

dx(1¡ x) log¢2

¹2

o

¢2 = x2p2 + x(m21 ¡m2

0 ¡ p2) +m20




● El contratérmino del acoplamiento es

¹

log¹2

±g = Zg ¡ 1 = Z1Z¡12 Z

¡ 12

3 ¡ 1 = ±1 ¡ ±2 ¡1

2±3




● El contratérmino del acoplamiento es

¹

log¹2

±g = Zg ¡ 1 = Z1Z¡12 Z

¡ 12

3 ¡ 1 = ±1 ¡ ±2 ¡1

2±3

● El valor de la escala de renormalización es arbitrario, pero la física no puede depender de dicha elección. Por tanto, los parámetros de la teoría renormalizada deben depender de la dependencia cancele en observables físicos. Esta dependencia viene determinada por las ecuaciones del grupo de renormalización (RGE).

¹

¹

Grupo de renormalización● Observables (matriz S, masas físicas) no pueden

depender de la elección de la escala de renormalización

● Funciones de Green sí pueden depender

G(n)(x1; : : : ; xn) ´ hTÁ(x1) : : : Á(xn)icon:= Z

¡n2

Á hTÁB(x1) : : : ÁB(xn)icon: = Z¡n

2

Á G(n)B (x1; : : : ; xn)

● Funciones de Green amputadas se obtienen dividiendo por propagadores externos (/ ZÁ)

¡(n)(p1; : : : ; pn) = Zn2

Á ¡(n)B (p1; : : : ; pn)

● La función desnuda es independiente de ¹

¡(n)B (p; gB;mB) = Z

¡n2

Á (¹)¡(n)¡p; g(¹);m(¹); ¹

¢

Grupo de renormalización

0 = ¹d

d¹¡(n)B = ¹

d

d¹

³Z¡n

2

Á ¡(n)´

= Z¡n

2

Á

³¹d

d¹¡(n) ¡ n

2

¹

ZÁ

@ZÁ@¹

¡(n)´

h¹@

@¹+ ¹

@gR@¹

@

@gR+

¹

mR

@mR@¹

mR@

@mR¡ n

2

¹

ZÁ

@ZÁ@¹

i¡(n) = 0

·¡(n) = ¡(n)

¡p; g(¹);m(¹); ¹

¢¸


0 = ¹d

d¹¡(n)B = ¹

d

d¹

³Z¡n

2

Á ¡(n)´

= Z¡n

2

Á

³¹d

d¹¡(n) ¡ n

2

¹

ZÁ

@ZÁ@¹

¡(n)´

h¹@

@¹+ ¹

@gR@¹

@

@gR+

¹

mR

@mR@¹

mR@

@mR¡ n

2

¹

ZÁ

@ZÁ@¹

i¡(n) = 0

¯(gR;mR) = ¹@

@¹gR(¹)

¯¯g0;m0

°m(gR;mR) = ¡ ¹

mR

@

@¹mR(¹)

¯¯g0;m0

Funciones universales que absorben derivadas con g0, m0 fijo

°(gR;mR) =1

2

¹

ZÁ

@ZÁ@¹

¯¯g0;m0


0 = ¹d

d¹¡(n)B = ¹

d

d¹

³Z¡n

2

Á ¡(n)´

= Z¡n

2

Á

³¹d

d¹¡(n) ¡ n

2

¹

ZÁ

@ZÁ@¹

¡(n)´

h¹@

@¹+ ¹

@gR@¹

@

@gR+

¹

mR

@mR@¹

mR@

@mR¡ n

2

¹

ZÁ

@ZÁ@¹

i¡(n) = 0

h¹@

@¹+ ¯

@

@gR¡ °mmR

@

@mR¡ n°

i¡(n)(p; gR; mR; ¹) = 0

R =d

d log¹


● El propagador en la teoría completa se puede escribir, cerca de la masa física

● La RGE que satisface es● Usando tenemosR = ¹

d

d¹

~G(2)(p; g;m; ¹) =R(g;m; ¹)

p2 ¡m2¯s:

+ reg:

● La masa física es independiente de ¹

[R+ 2°] ~G(2) = 0

0 =RRm2

¯s

(p2 ¡m2¯s)

2+

[R+ 2°]R

p2 ¡m2¯s

+ reg ) [R+ 2°]R = 0Rm2

¯s = 0


● La fórmula de reducción LSZ nos dice que la matriz S se obtiene a partir de funciones de Green amputadas y el residuo del polo físico de los propagadores externos

● Aplicando el operador (límite sobreentendido)R = ¹d

d¹

● La matriz S es, tal como esperábamos, independiente de ¹

S = limp2i!m2

fis

Rn2 ¡(n)

RS = R(Rn2 ¡(n)) =

n

2R

n2¡1¡(n)RR+R

n2R¡(n)

=n

2R

n2¡1¡(n)(¡2°R) +R

n2 n°¡(n) = 0


● El resultado de que observables físicos (matriz S, masas físicas, etc.) son independientes de es cierto a todo orden en teoría de perturbaciones.

● Si nos quedamos a un orden finito queda una dependencia residual del orden siguiente

● La RGE muestra cómo cambian los parámetros renormalizados al variar la escala de renormalización para que la física permanezca invariante

¹

Grupo de renormalización● La RGE muestra cómo cambian los parámetros

renormalizados al variar la escala de renormalización para que la física permanezca invariante

● Usando la expresión de parámetros renormalizados

m20 = Zmm

2R

·¹@

@¹+ ¯(gR; mR)

@

@gR¡ °m(gR;mR)mR

@

@mR

¸S(pi; gR;mR; ¹)

¯¯gR;mR

= 0

g0 = ZggR¹¹²

[g] = N ¡ [A]¡ 2[Ã] = N ¡ (N ¡ 1)¡ (N=2¡ 1) = 2¡N=2 = ²=2 ´ ¹²

Grupo de renormalización● La RGE muestra cómo cambian los parámetros

renormalizados al variar la escala de renormalización para que la física permanezca invariante

● Usando la expresión de parámetros renormalizados

m20 = Zmm

2R

°m(gR;mR) = ¡ ¹

2Zm

@

@¹Zm

¯¯g0;m0

g0 = ZggR¹¹²

¯(gR;mR) = g0¹@

@¹(¹¹²Zq)

¡1¯¯g0;m0

·¹@

@¹+ ¯(gR; mR)

@

@gR¡ °m(gR;mR)mR

@

@mR

¸S(pi; gR;mR; ¹)

¯¯gR;mR

= 0

Función beta en MS● Usando sustracción mínima modificada, la constante de

renormalización se puede escribir

Zg = 1 +

1X

n=1

Zg;n(gR)¹²¡n ) gRZg = gR +

1X

n=1

an(gR)¹²¡n

0 = ¹@

@¹g0 = ¹²(gRZg) + ¹

@

@¹(gRZg)

¯¯g0

= ¹²gR +1X

n=1

an¹²¡n+1 + ¹

@gR@¹

¯¯g0

(1 +

1X

n=1

dandgR

¹²¡n)

De aquí obtenemos igualando a cero cada coeficiente de

Función beta en MS● Usando sustracción mínima, la constante de

renormalización se puede escribir

¯(gR)

Zg = 1 +

1X

n=1

Zg;n(gR)¹²¡n ) gRZg = gR +

1X

n=1

an(gR)¹²¡n

0 = ¹@

@¹g0 = ¹²(gRZg) + ¹

@

@¹(gRZg)

¯¯g0

= ¹²gR +1X

n=1

an¹²¡n+1 + ¹

@gR@¹

¯¯g0

(1 +

1X

n=1

dandgR

¹²¡n)

¹²

Función beta en MS● La función beta sólo tiene potencias positivas de

) ¯k¸2 = 0

¯(gR; ¹²) =NX

k=0

¯k(gR)¹²k

¹²

0 = ¹²gR +1X

n=1

an¹²¡n+1 + ¹

@gR@¹

¯¯g0

(1 +

1X

n=1

dandgR

¹²¡n)

¯

(1 +

1X

n=1

a0n¹²¡n)

= ¯N¹²N + (¯Na01 + ¯N¡1)¹²

N¡1 + : : :

= ¡¹²gR +1X

n=1

an¹²¡n+1 = ¡¹²gR + a1 +

a2¹²

+ : : :

Función beta en MS● La función beta sólo tiene potencias positivas de

¯0 = ¡a1 ¡ ¯1a01 = ¡a1 + gRa

01

¯1 = ¡gRgRa

0n+1 ¡ an+1 = gR(gRZg;n+1)

0 ¡ gRZg;n+1 = g2R(Zg;n+1)0

= g2R(an+1=gR)0 = ¯0a

0n

¯(gR; ¹²) = ¯0 + ¹²¯1

¯

(1 +

1X

n=1

a0n¹²¡n)

= ¯1¹²+ ¯0 + a01¯1 +1X

n=1

(¯0a0n + ¯1a

0n+1)¹²

¡n

= ¡¹²gR ¡ a1 ¡1X

n=1

an+1¹²¡n

¹²

Función beta en MS● La función beta se obtiene, en esquemas de

sustracción mínima y a cualquier orden en teoría de perturbaciones, a partír del coeficiente de la constante de renormalización del acoplamiento

¯(gR) = g2Rd

dgRZg;1

±g = Zg ¡ 1 = Z1Z¡12 Z

¡ 12

3 ¡ 1 = ±1 ¡ ±2 ¡1

2±3

● En QCD a un loop tenemos

1=¹²

¯(gR; ¹²) = ¯0 + ¹²¯1 = ¡gR¹²+ g2Rd

dgRZg;1

¯(gR) = g2Rd

dgR[±1 ¡ ±2 ¡ ±3=2]=¢²

Función beta en MS

±g = Zg ¡ 1 = Z1Z¡12 Z

¡ 12

3 ¡ 1 = ±1 ¡ ±2 ¡1

2±3

● En QCD a un loop tenemos

¯(gR) = g2Rd

dgR[±1 ¡ ±2 ¡ ±3=2]

1

¢²

±1 ¡ ±2 ¡±32

¯¯MS

= ¡ g2

16¼2fC2(r) + C2(G)¡C2(r) +

5

6Nc ¡

1

3Nfg¢²

= ¡ g2

16¼2f11

6Nc ¡

1

3Nfg¢²

¯ = ¡ g3

16¼2

½11

3Nc ¡

2

3Nf

¾+O(g5)

Función beta en MS

● QCD es asintóticamente libre

¯ = ¡ g3

16¼2

½11

3Nc ¡

2

3Nf

¾+O(g5) = ¡ 5g3

16¼2< 0

+g5

64¼4

½¡51

2+

19

6Nf

¾+ : : :

¯ = ¡ g3

16¼2

½11

3Nc ¡

2

3Nf

¾

● El resultado se conoce a cuatro loops, los dos primeros términos son independientes del esquema de renormalización

Comentarios

● La función beta se obtiene a partir del término

● La función beta nos indica cómo cambia el acoplamiento con la escala de renormalización para que la física permanezca invariante

● RGE se puede usar para estudiar el comportamiento de funciones de Green a altas energías. El acoplamiento adecuado es el evaluado a la escala de renormalización del orden de los momentos involucrados

● QCD es asintóticamente libre, el acoplamiento es menor cuanto mayor sea , por tanto teoría de perturbaciones de comporta bien a altas energías

1=¹²


● Sea D la dimensión de masa de una función de Green amputada, si reescalamos los momentos externos

¡(n)(sp; g;m; ¹) = sD¡(n)(p; g;m=s; ¹=s)

● Que podemos escribir en forma de ecuación diferencial

= DsD¡(n)(p; g;m

s;¹

s)¡ sD

·m@

@m+ ¹

@

@¹

¸¡(n)(p; g;

m

s;¹

s)

x@xf(x=y) = x(@xx=y)f0(x=y) = (x=y)f 0(x=y) = ¡y(@yx=y)f 0(x=y) = ¡y@yf(x=y)

s@

@s¡(n)(sp; g;m; ¹) = DsD¡(n)(p; g;

m

s;¹

s) + sD

@

@s¡(n)(p; g;

m

s;¹

s)


● Sea D la dimensión de masa de una función de Green amputada, si reescalamos los momentos externos

¡(n)(sp; g;m; ¹) = sD¡(n)(p; g;m=s; ¹=s)

● Que podemos escribir en forma de ecuación diferencial

= DsD¡(n)(p; g;m

s;¹

s)¡ sD

·m@

@m+ ¹

@

@¹

¸¡(n)(p; g;

m

s;¹

s)

=

·D ¡m

@

@m¡ ¹

@

@¹

¸sD¡(n)(p; g;

m

s;¹

s)

s@

@s¡(n)(sp; g;m; ¹) = DsD¡(n)(p; g;

m

s;¹

s) + sD

@

@s¡(n)(p; g;

m

s;¹

s)


● Combinada con la RGE para la función de Green

·s@

@s+m

@

@m+ ¹

@

@¹¡D

¸¡(n)(sp; g;m; ¹) = 0

● Relacionamos el escalado en momentos con cambios en m y g solo

h¹@

@¹+ ¯

@

@g¡ °mm

@

@m¡ n°

i¡(n)(sp; g;m; ¹) = 0

h¡ s

@

@s+ ¯

@

@g¡ (1 + °m)m

@

@m+D ¡ n°

i¡(n)(sp; g;m; ¹) = 0


● Donde hemos definido acoplamientos y masas “running”

● Usando un esquema de renormalización independiente de la masa la eq. se puede resolver

s@¹g(s)

@s= ¯(¹g(s)); ¹g(1) = g

s@ ¹m(s)

@s= ¡(°m + 1) ¹m(s); ¹m(1) = m

¡(n)(sp; g;m; ¹) = sD¡n(p; ¹g(s); ¹m(s); ¹) exph¡ n

Z s

1

ds0°(¹g(s0))

s0

i

● se denomina dimensión anómala (modifica el escalado clásico)°(g)


● Las RGE reorganizan la teoría de perturbaciones para resumar grandes logaritmos

● Repasemos el propagador del fotón a un loop

= ±²n2B¹º + q¹Bº + qºB¹ ¡ g¹º[g½¾B

½¾ + q½B½ ¡m2B0]

o´ i¦¹º(q) = i(g¹ºq2 ¡ q¹qº)¦(q)

·±² ´ ¡ ig2

4¼2

¸




= ±²n2B¹º + q¹Bº + qºB¹ ¡ g¹º[g½¾B

½¾ + q½B½ ¡m2B0]

o

B¹º = g¹ºB00 + q¹qºB11 B¹ = q¹B1

= ±²ng¹º£¡ 2B00 +m2B0 ¡ q2(B1 +B11)

¤+ 2q¹qº

£B1 +B11

¤o

´ i¦¹º(q) = i(g¹ºq2 ¡ q¹qº)¦(q)

·±² ´ ¡ ig2

4¼2

¸




= ±²n2B¹º + q¹Bº + qºB¹ ¡ g¹º[g½¾B

½¾ + q½B½ ¡m2B0]

o

= ±²ng¹º£¡ 2B00 +m2B0 ¡ q2(B1 +B11)

¤+ 2q¹qº

£B1 +B11

¤o

´ i¦¹º(q) = i(g¹ºq2 ¡ q¹qº)¦(q)

·±² ´ ¡ ig2

4¼2

¸

= ¡2±²(g¹ºq2 ¡ q¹qº)

·¡¢²

6+

Z 1

0

dx x(1 ¡ x) log¢2

¹2

¸

B00(q;m;m) =6m2 ¡ q2

12¢² ¡

m2

2

Z 1

0

dx log¢2

¹2+p2

2

Z 1

0

dxx(1 ¡ x) log¢2

¹2

¢2(q;m;m) = m2 ¡ x(1¡ x)p2




´ i¦¹º(q) = i(g¹ºq2 ¡ q¹qº)¦(q)

·±² ´ ¡ ig2

4¼2

¸

¢2(q;m;m) = m2 ¡ x(1¡ x)p2

¦(q) =g2

2¼2

·¡¢²

6+

Z 1

0

dxx(1¡ x) log¢2

¹2

¸

» g2

2¼2

·¡¢²

6+

Z 1

0

dxx(1¡ x) logjp2j¹2

¸; [jp2j À m2]




´ i¦¹º(q) = i(g¹ºq2 ¡ q¹qº)¦(q)

·±² ´ ¡ ig2

4¼2

¸

¦(q) =g2

2¼2

·¡¢²

6+

Z 1

0

dxx(1¡ x) log¢2

¹2

¸

» g2

2¼2

·¡¢²

6+

Z 1

0

dxx(1¡ x) logjp2j¹2

¸; [jp2j À m2]

» g2

12¼2

·¡¢² + log

jp2j¹2

¸; [jp2j À m2]




++

=¡ig¹ºq2

+¡ig¹½q2

[i(g½¾q2 ¡ q½q¾)¦(q)]¡ig¾ºq2

=¡ig¹ºq2

+¡ig¹½q2

·µ±½º ¡

q½qºq2

¶¦(q)

¸

=¡ig¹ºq2

+¡ig¹½q2

·µ±½º ¡

q½qºq2

¶g2

12¼2log

q2

¹2

¸


● La corrección a un loop se vuelve grande (incluso para g pequeña) a momentos muy altos (log grande)

● Podemos utilizar la RGE para fijar

● La RGE nos dice que, aparte de escalados globales, tenemos que evaluar las masas y los acoplamientos a la escala

¹ » q

¹

¯(gR;mR) = ¹@

@¹gR(¹)

¯¯g0;m0

¯ = ¡ g3

16¼2

½11

3Nc ¡

2

3Nf

¾´ ¯0g

3

g2(¹) =g2(¹0)

1¡ ¯0g2(¹0) log¹2

¹20

dg

g3= ¯0d log¹) ¡1

2

£g¡2(¹2)¡ g¡2(¹20)

¤= ¯0 log

¹

¹0


● La RGE resuma logaritmos grandes a todo orden en teoría de perturbaciones

g2(¹) =g2(¹0)

1¡ ¯0g2(¹0) log¹2

¹20

= g2(¹0)1X

n=0

µ¯0g

2(¹0) log¹2

¹20

¶n

● Incluso si el log es grande, la suma completa está bien definida (siempre que )

● En el caso de QED esta resumación coincide con la resumación del propagador (corrección al vértice y renormalización del fermión cancelan)

● El resultado es general, RGE a l loops resuman los términos hasta orden

j¯0g2(¹0) log(¹2=¹20)j < 1

(g2)n(log(¹2=¹20))n+1¡l


¯(g) = ¹@

@¹g(¹) ) log

¹

¹0=

Z g(¹)

g(¹0)

dx1

¯(x)

● La RGE para el acoplamiento nos permite clasificar teorías

● Asumamos teoría renormalizable, de manera que la RGE es válida para 0 · ¹ ·1

● Para tiene que tender a un cero de próximo a o a infinito si no hay ceros cercanos.

● Los ceros de se denominan puntos fijos, que pueden ser ( es el pto fijo más cercano a ):

– Punto fijo estable UV– Punto fijo estable IR

¹! 0;1; g(¹)¯(x)g(¹0)

¯(x)

g(¹!1) = ~gg(¹! 0) = ~g

~g g(¹0)


● Si el pto fijo es simple, la pendiente determina el tipo

¯0(g)¯¯~g< 0;) pto. ¯jo estable UV

¯0(g)¯¯~g> 0;) pto. ¯jo estable IR

¯(g)

~gUV ~gIR

UV

UV

IR

IR

g


● En QED y g crece en el UV, cálculos perturbativos a bajas energías están perfectamente controlados en QED

● En QCD (términos superiores no cambian este patrón), por lo que el acoplamiento decrece a altas energías y teoría de perturbaciones se comporta mejor y mejor en el UV (QCD es asintóticamente libre)

● Por contra, a bajas energías el acoplamiento en QCD es grande y teoría de perturbaciones se rompe (QCD es confinante a bajas energías)

g2(¹) =g2(¹0)

1¡ ¯0g2(¹0) log¹2

¹20

¯0 > 0

¯0 < 0


● It is customary to use ®s ´ g2s=(4¼)

®s(¹) =®s(¹0)

1¡ ¯0®s(¹0) log¹2

¹20=(4¼)

● In the QCD it is also common to replace with a dimensional scale at which the coupling blows up

®s(¹0)

®s(¹) =4¼

¯0 log¹2

¤2QCD

¤2QCD = ¹20e4¼

¯0®s(¹0) ¼ (200¡ 300 MeV)2

Factorización

● Teoría de perturbaciones es útil a altas energías, pero incluso a altas energías, usamos hadrones, con los que no sabemos calcular

● Se pueden demostrar teoremas de factorización, en el que la dependencia a altas energías se pueden calcular usando quarks y gluones, mientras que la dependencia a bajas energías factoriza en funciones de distribución de partones (pdf's)

¾AB =

Z 1

0

dxa

Z 1

0

dxbfa=A(xa; Q2)fb=B(xb; Q

2)¾ab!X

● La evolución de las pdf's se puede calcular en perturbative QCD (no su dependencia en x)

QCD a baja energía

● Hasta ahora hemos visto cómo se comporta QCD a altas energías, en las que, gracias a los teoremas de factorización, quarks y gluones son los grados de libertad adecuados.

● A bajas energías, quarks y gluones NO son grados de libertad adecuados, en su lugar tenemos hadrones. Pero QCD es fuertemente acoplada a esas energías.

● Aún así, podemos usar teorías efectivas para describir los hadrones a bajas energías. Lo que mejor podemos hacer es usar las simetrías de QCD a baja energía.

QCD a baja energía

● El espectro de quarks separa en dos sectores, los quarks ligeros, con

mc ¼ 1:5 GeV mt ¼ 170 GeV

mu ¼ 4 MeV md ¼ 7 MeV ms ¼ 0:135 GeV

mb ¼ 5 GeV

mlight ¿ ¤QCD

y los quarks pesados mlight À ¤QCD

● En primera aproximación, podemos considerar sólo los quarks ligeros y despreciar su masa

L = ¡1

4(Ga¹º)

2 + ¹qLi°¹D¹qL + ¹qRi°

¹D¹qR qL;R =

0@uds

1AL;R

QCD a baja energía

● Para simplificar aún más la discusión consideraremos sólo los quarks up y down

L = ¡1

4(Ga¹º)

2 + ¹qLi°¹D¹qL + ¹qRi°

¹D¹qR

● Es invariante bajo transformaciones arbitrarias de sabor

qL;R ! UL;RqL;R; UyL;RUL;R = 1

● Tiene por tanto simetría

● Las corrientes conservadas asociadas son

qL;R =

µud

¶

L;R

SU(2)L £ SU(2)R £ U(1)L £ U(1)R

J¹ iL;R = ¹qL;R°¹¾

i

2qL:R J¹L;R = ¹qL;R°

¹qL:R

QCD a baja energía

● Podemos descomponer en corrientes vectorial y axial

● La simetría vectorial corresponde al número bariónico y al isoespín

● La simetría U(1) axial es anómala (no verdadera simetría de la teoría), la simetría SU(2) axial es

J¹ iV;A = J¹ iR § J¹ iL J¹V;A = J¹R § J¹L

J¹ iV = ¹q°¹¾i

2qJ¹V = ¹q°¹q

J¹ iA = ¹q°¹°5¾i

2q

● El espectro de hadrones respeta (aprox.) las simetrías vectoriales, pero no la axial. Esto es señal de que la simetría SU(2)A está espontáneamente rota.

QCD a baja energía

● Si el vacío está compuesto de pares que condensan, su estructura es

● Es invariante bajo SU(2)V (UL=UR) pero bajo no SU(2)A

(UL=-UR).

● Esto apoya (pero no prueba) la hipótesis de que la simetría axial está espontáneamente rota

● También se desprende del hecho de que el espectro no respeta la simetría

pero no hay multipletes de isoespín con paridades opuestas.

q¹qh¹qqi = h¹qLqR + ¹qRqLi 6= 0

PQiL;RP = QiR;L

Symmetrías y degeneración

● Un resultado elemental de mecánica cuántica es que estados relacionados por una simetría son degenerados. En QFT esto es cierto si el vacío es invariante bajo la simetría:

Á1(x) = i[Q; Á2(x)] ) a1 = i[Q; a2]

j1i = ay1j0i = i[Q; ay2]j0i = iQay2j0i ¡ iay2Qj0i = iQj2i ¡ iay2Qj0i

● Si Qj0i = 0

E1j1i = Hj1i = HiQj2i = iQHj2i = E2iQj2i = E2j1i ) E1 = E2

● Sin embargo, los estados no tienen por qué tener la misma masa si el vacío no es simétrico (rotura espontánea de la simetría).

Teorema de Goldstone

● La rotura espontánea de una simetría global implica la existencia de escalares sin masa (bosones de Goldstone)

● Consideremos un sistema de escalares invariantes bajo cierta simetría global

● Supongamos que el potencial tiene mínimo en

L =1

2@¹Á@

¹Á¡ V (Á) ±Á = i²aTaÁ

hÁi = ¸

Vj(¸) = 0; Vik(¸) ¸ 0 Vi1;:::;in ´ @Ái1 : : : @ÁinV

● Expandiendo en torno al mínimo Á0 = Á¡ ¸

L =1

2@¹Á

0@¹Á0 ¡ V (¸)¡ 1

2Vij(¸)Á

0iÁ0j + : : :


● Expandiendo en torno al mínimo

● es la masa de los escalares físicos (definida positiva)

● Veamos qué ocurre si el vacío no es invariante

Á0 = Á¡ ¸

L =1

2@¹Á

0@¹Á0 ¡ V (¸)¡ 1

2Vij(¸)Á

0iÁ0j + : : :

Vij(¸)

generan un subgrupo H de G(Y i)

(T a) = (Y i; X a); Y i¸ = 0; X a¸ 6= 0

● Si ocurre esto decimos que G está espontáneamente roto a H


● La invariancia del potencial implica

● Diferenciando respecto a , usando que es arbitrario y evaluando en el vacío tenemos

● Los generadores de H lo satisfacen trivialmente

● Los generadores rotos, los de G/H, cumplen que es un autoestado de M2 con autovalor 0 y corresponde por tanto a un escalar sin masa

0 = V (Á + ±Á)¡ V (Á) = iVk(Á)²aTaklÁl

Ái ²a

0 = Vik(¸)Takl¸l + Vk(¸)T

aki = Vik(¸)T

akl¸l = M2T a¸

X a¸

ÁTX a¸


● El escalar correspondiente, bosón de Goldstone, tiene los mismos números cuánticos bajo H que el generador correspondiente.

● Si es un mínimo del potencial, con también lo es (puesto que el potencial es invariante).

● Existe pues un continuo de vacíos que son físicamente equivalentes. Los bosones de Goldstone parametrizan las direcciones físicamente equivalentes, como forman un continuo, las excitaciones correspondiente no tienen masa (no cuesta energía pasar de un vacío a otro).

¸ ¸0 = g¸ g 2 G


● La prueba del teorema de Goldstone que hemos dado se basa en el potencial clásico y por tanto depende de teoría de perturbaciones. El teorema se puede demostrar a todo orden. La prueba completa se puede encontrar en el libro de Pokorski. La idea es ver que la rotura espontánea de una simetría global implica la aparición de polos en p2=0 para ciertas funciones de Green y que dichos polos corresponden a partículas físicas sin masa.

● Vamos a mostrar los pasos principales de la demostración.


● Consideremos la función de Green

Ga¹;k(x ¡ y) = h0jT ja¹(x)Ák(y)j0i● Que satisface la siguiente identidad de Ward

@¹(x)Ga¹;k(x¡ y) = ±(x0 ¡ y0)h[ja0 (x); Ák(y)i

= ±(x0 ¡ y0)h¡T akjÁj(y)±(~x¡ ~y)i = ¡±(x¡ y)T akjhÁj(y)i

= ¡±(x¡ y)T akjhÁj(0)i● En espacio de momentos (transformada de Fourier)

ip¹ ~Ga¹;k(p2) = ¡T akjh0jÁj(0)j0i


● Por invariancia Lorentz tenemos

ip¹ ~Ga¹;k(p2) = ¡T akjh0jÁj(0)j0i

● En espacio de momentos (transformada de Fourier)

~Ga¹;k = p¹Fak (p

2)

● Por tanto tiene un polo a momento cero para los generadores que no aniquilen el vacío

F ak (p2)

F ak (p2) =

i

p2T akjh0jÁj(0)j0i

● Usando la fórmula de reducción LSZ se puede ver que la partícula creada del vacío por una corriente rota está relacionada con y su polo corresponde a la masa de dicha partícula

F ak (p2)

Lagrangiano quiral

● Volvamos al caso de QCD a bajas energías, el patrón de rotura espontánea de la simetría es

SU(2)L £ SU(2)R ! SU(2)V

● Los tres generadores rotos (los axiales) implican tres bosones de Goldstone, que forman un triplete de isoespín. En el espectro de hadrones hay un triplete de isoespín, los piones, que son casi degenerados y mucho más ligeros que el resto de resonancias hadrónicas

● Dichos estados son creados del vacío a partir de las corrientes axiales

m¼0 = 135 MeV; m¼§ = 139 MeV;

h0jJ¹ iA (x)j¼j(p)i = ¡ip¹f¼±ije¡ipx

El modelo sigma

● La forma más sencilla de entender las propiedades de los piones es estudiar un modelo fenomenológico para la rotura de simetría quiral, el modelo sigma, que está formado por dos fermiones y cuatro escalares

q =

µud

¶; ¾0; ~¼

● El Lagrangiano del sistema es

L =1

2[(@¹¾

0)2 + @¹~¼ ¢ @¹~¼]¡¹2

2(¾0 2 + ~¼2)¡ °

4(¾0 2 + ~¼2)2

+¹qi 6@q ¡ g¹q(¾0 + i°5~¾ ¢ ~¼)q

El modelo sigma

● El Lagrangiano se puede reescribir de manera más sencilla definiendo la matriz de campos

● Donde hemos usado que

§ ´ ¾0 + i~¾ ¢ ~¼

L =1

4Tr[@¹§

y@¹§]¡ ¹2

4Tr[§y§]¡ °2

16

£Tr[§y§]

¤2

+¹qLi 6@qL + ¹qRi 6@qR ¡ g¹qL§qR ¡ g¹qR§yqL

Tr[§y§] = 2(¾0 2 + ~¼2)

● El Lagrangiano es invariante bajo si transforma como un bidoblete

SU(2)L £ SU(2)R§

§! UL§UyR UL;R = e¡i®

aL;R¾

a=2

El modelo sigma

● Usando propiedades de las matrices de Pauli tenemos

● Bajo isoespín transforman como singlete y triplete, bajo transformaciones axiales, todos mezclan

¾0 = Tr[§]=2; ¼i = ¡iTr[¾i§]=2

que implican¾0 ! ¾0 + (~®L ¡ ~®R) ¢ ~¼

2

¼k ! ¼k ¡ (®kL ¡ ®kR)¾0

2+ ²klm(®lL + ®lR)

¼m

2

El modelo sigma

● Las corrientes de Noether asociadas a la simetría son

● Que se pueden escribir como vectorial y axial

JkL¹ = ¹qL¾k

2qL ¡

1

2(¾0@¹¼k ¡ ¼k@¹¾

0) +1

2²klm¼l@¹¼

m

JkR¹ = ¹qR¾k

2qR +

1

2(¾0@¹¼k ¡ ¼k@¹¾

0) +1

2²klm¼l@¹¼

m

JkV ¹ = JkL¹ + JkR¹ = ¹q°¹¾k

2q + ²klm¼l@¹¼

m

JkA¹ = JkL¹ ¡ JkR¹ = ¹q°¹°5¾k

2q + ¾0@¹¼k ¡ ¼k@¹¾

0

● Debido a la simetría, las corrientes son conservadas

El modelo sigma

● Invariancia del potencial no es la historia completa. El potencial se puede escribir

● La simetría está espontáneamente rota si

● Cualquier elección es físicamente equivalente.

● Eligiendo isoespín se preserva en la base que estamos usando.

V (¾0; ~¼) =°

4

µ¾0 2 + ~¼2 +

¹2

°

¶2

¹2 < 0

h¾0 2i+ h~¼2i =j¹2j°

= v2

h¾0i = v; h¼ki = 0;

El modelo sigma

● Para preservar ortogonalidad de estados de una partícula con el vacío definimos el campo físico

● En término de los campos físicos tenemos

● El triplete de isoespín tiene masa zero, tal como predice el teorema de Goldstone

¾ = ¾0 ¡ v ) h¾i = 0

L = ¹qi 6@q ¡ gv ¹ÃÃ +1

2[(@¹¾)

2 ¡ 2°v2¾2] +1

2(@¹~¼)

2

+g ¹Ã[¾ + i~¾ ¢ ~¼]q ¡ °v¾(¾2 + ~¼2)¡ °

4(¾2 + ~¼2)2

El modelo sigma

● Usando la expresión de la corriente axial podemos calcular el elemento de matriz de creación de los bosones de Goldstone

● Tenemos por tanto que

JkA¹ = JkL¹ ¡ JkR¹ = ¹q°¹°5¾k

2q + ¾0@¹¼k ¡ ¼k@¹¾

0

h0jJ iA¹(x)j¼j(q)i = h0j¾0j0ih0j@¹¼ij¼j(q)i

= ¡h0j¾0j0iiq¹±abe¡iqx = if¼q¹±abe¡iqx

f¼ = ¡v

Rotura espontánea y explícita

● Veamos qué ocurre si incluimos un término que rompe explícitamente la simetría quiral pero no la vectorial

● La rotura explícita hace que la corriente axial no sea conservada (pero aún generan las transformaciones correspondientes)

¢L = ¡²¾0 = ¡ ²

2Tr[§]

● El mínimo del potencial también cambia

@¾0V = ¾0[¹2 + °(¾0 2 + ~¼2)] + ²

@¼iV = ¼i[¹2 + °(¾0 2 + ~¼2)]

h¼ii = 0

h¾0i = v

¹2v + °v3 + ² = 0

)

@¹J iA¹ = ¡²¼i

Rotura espontánea y explícita

● El triplete sigue teniendo vev cero. El vacío tiende a alinearse con la rotura explícita.

● Expandiendo en torno al mínimo, los piones (Goldstones) adquieren masa (pseudo-bosones de Goldstone)

● La divergencia de la corriente axial ahora es

m2¼ = ¹2 + °v2 = ¡ ²

v=

²

f¼

@¹J iA¹ = ¡²¼i = ¡f¼m2¼¼i(x)

Modelo sigma no lineal

● El modelo que hemos estudiado, tiene el mismo patrón de rotura de simetría que QCD y efectivamente existe un triplete de isoespín mucho más ligero que el resto de resonancias, los piones. Sin embargo, no observamos el correspondiente escalar (ligero).

● Esto no es problema porque el escalar tiene masa y podemos hacerlo pesado.

● Aún así, sería interesante tener un formalismo que sea explícitamente invariante bajo el grupo quiral completo, usando sólo los piones.

● Esto se consigue realizando la simetría de manera no lineal.


● Consideremos la siguiente parametrización de nuestros campos

§ = ¾ + i~¾ ¢ ~¼ = S0U

U = ei~¾¢~»=v = cos

µ»

v

¶+ i

~¾ ¢ ~»»

sin

µ»

v

¶» =

q~»2

● Se puede ver que S' es invariante bajo el grupo quiral usando que

y por tanto

U ! LURy

S0 2 = Tr[§y§]=2 ) S0 ! S0


● Hemos reparametrizado nuestros campos en términos de un singlete puro y tres campos que transforman en un bidoblete

● En términos de las nuevas coordenadas

● El Lagrangiano ahora es

hSi = hS0 ¡ vi = h»ii = 0

L = ¹qi 6@q + g(v + S)(¹qLUqR + ¹qRUyqL) +

1

2[(@¹S)2 ¡ 2°v2S2]

+(v + S)2

4Tr[@¹U@

¹U y] ¡ °vS3 ¡ °

4S4


● El Lagrangiano ahora es

● Las interacciones bosónicas de los nuevos Goldstones aparecen sólo a través de derivadas (esto garantiza que no adquieren masa)

● Hemos intercambiado un singlete más triplete de isoespín por un singlete puro más un bidoblete

L = ¹qi 6@q + g(v + S)(¹qLUqR + ¹qRUyqL) +

1

2[(@¹S)2 ¡ 2°v2S2]

+(v + S)2

4Tr[@¹U@

¹U y] ¡ °vS3 ¡ °

4S4

U ! LURy


● U transforma linealmente, pero la transformación de es no lineal

● Existe un subgrupo de transformaciones bajo las cuales los piones transforman linealmente, la transformación de isoespín

U ! LURy

»i

U = ei~¾¢~»=v

LULy = L

" 1X

n=0

1

n!(i~» ¢ ~¾=v)n

#Ly =

1X

n=0

1

n!(i»i=vL¾iLy)n

=

1X

n=0

1

n!(i»i=vRij¾

j)n = ei»0 j¾j=v »0 j = RTji»

i


● La transformación de los piones bajo una transformación quiral es no lineal para compensar el hecho de que S es un singlete (pero sí transformaba)

● Bajo transformación de isoespín, como era un singlete no había nada que compensar y la transformación es lineal.

● Este resultado se puede generalizar a una rotura arbitraria G/H (formalismo de representación no lineal de una simetría de CCWZ).

¾0

¾0


● Ahora sí que podemos desacoplar S, que es un escalar bajo la simetría completa.

● El resultado es el modelo sigma no lineal, con Lagrangiano

Lnon¡lin:¾ = ¹qi 6@q + gv(¹qLUqR + ¹qRUyqL) +

v2

4Tr[@¹U@

¹U y]

● La normalización del término cinético de U se ha elegido para que el término cinético de los piones esté canónicamente normalizado

v2

4Tr[@¹U@

¹Uy] =v2

4Tr[¾i¾j ]

@¹»i@¹»i

v2+ : : : =

1

2@¹»

i@¹»i + : : :

Teoría de perturbaciones quiral

● Podemos usar el modelo sigma no lineal como el término principal en una expansión en energías para describir QCD a bajas energías.

● Usando U como parametrización de los piones, el primer término en nuestra expansión en momentos es el cinético que ya hemos escrito (todos los demás son equivalentes)

● Con cuatro derivadas hay dos términos independientes

L(2) =f2¼4

Tr[@¹U@¹Uy]

L(4) = ®1©Tr[@¹U@

¹Uy]ª2

+ ®2Tr[@¹U@ºUy]Tr[@¹U@ºUy]


● Teoría de perturbaciones quirales permiten una expansión sistemática a QCD a bajas energías

● Las masas de los quarks se pueden incluir, sistemáticamente, incluyendo una fuente que transforme como un bidoblete, de la forma

● Se puede ver que la masa cuadrado de los piones es proporcional a la masa de los quarks

¹qLsqR + h:c: s! LsRy

m2¼ = B0(mu +md)

● En el contaje de derivadas, el término de masa equivale a dos derivadas


● El Lagrangiano quiral se puede usar para calcular elementos de matriz si incluimos fuentes

¢L = ¡¹qL°¹l¹qL ¡ ¹qR°¹r

¹qR ¡ ¹qL(s+ ip)qR ¡ ¹qR(s¡ ip)qL

● El Lagrangiano efectivo quiral incluye términos que contienen las fuentes.

● Hasta ahora hemos considerado dos quarks ligeros, pero el quark s también es relativamente ligero. Normalmente se emplea simetría quiral

SU(3)L £ SU(3)R ! SU(3)V


● Con tres sabores ligeros, hay ocho bosones de Goldstone, que transforman como un octete de isoespín SU(3). Aunque un poco más pesados que los piones, se encuentra experimentalmente un octete de pseudo escalares ligeros

m¼0 ¼ 135 MeV; m¼§ ¼ 139 MeV;

mK0; ¹K0 ¼ 498 MeV; mK§ ¼ 494 MeV;

m´ ¼ 547 MeV

● Incluyendo fuentes hay diez términos que incluyan piones a orden p4


● Se puede incluir términos superiores O(p6, ...). También se pueden incluir efectos de loops (teoría no renormalizable, ok porque sólo tenemos que incluir un número finito de términos)

● También se pueden incluir bariones

● Sin embargo, el teoría de perturbaciones quiral sigue siendo una teoría efectiva, con un cut-off relativamente bajo, del orden de las primeras resonancias (~ GeV).

● Es muy útil para entender las propiedades de los hadrones más ligeros, también se usa en cálculos en el retículo, para realizar el límite al continuo.

Conclusiones

● En este curso hemos usado QCD como una excusa para estudiar diversos aspectos avanzados de teoría cuántica de campos.

● Los conceptos aprendidos aquí tienen aplicaciones en QCD y en muchas otras teorías.

● Hay muchos aspectos de QCD que no hemos tenido tiempo de discutir, entre otros:● Fenomenología de QCD: DIS, Drell-Yan, producción de

jets, producción de hadrones en e+ e-, desintegraciones hadrónicas

● Large Nc QCD● Lattice QCD, ...

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