MTH 2103 แคลคูลัสและเรขาคณิตวิเคราะห์ 3• เรขาคณิตวิเคราะห์ในปริภูมิ 3 มิติ•พื้นผิว• เวกเตอร์•ฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์และอนุพันธ์•อนุพันธ์ย่อย•อินทิกรัลหลายชั้น

MTH2103 บทที่ 1 1

ระบบแกนมุมฉากในสามมิติสามารถก าหนดได้ 2 ระบบ คือ(1) ระบบมือขวา (2) ระบบมือซ้าย

x

yx

y

z z

ในรายวิชานี้ เราจะสนใจกล่าวถึงเฉพาะระบบมือขวาเท่านั้น

1.1 พิกัดในปริภูมิ 3 มิติบทที่ 1 เรขาคณิตวิเคราะห์ในปริภูมิ 3 มิติ

MTH2103 บทที่ 1 2

จุดตัดของแกนทั้งสาม เรียกว่า จุดก าเนิดแกน x, แกน y, แกน z เรียกว่า แกนพิกัด

x

y

z

o

เมื่อเส้นตรง 2 เส้นใด ๆ ตัดกัน เราจะสามารถก าหนดระนาบมาได้ระนาบหนึ่ง ดังนั้น เราจะได้ระนาบที่เกิดจากการตัดกันของแกนพิกัด ทั้งหมด 3 ระนาบ ได้แก่ ระนาบ xy, ระนาบ xz, ระนาบ yz ระนาบเหล่านี้ เรียกว่า ระนาบพิกัด หรือ ระนาบอ้างอิง

MTH2103 บทที่ 1 3

MTH2103 บทที่ 1 4

x

z

x

y

y

z

x

y

z

MTH2103 บทที่ 1 5

การก าหนดจุดในสามมิติ จะนิยมเขียนในรูป เพื่อบอกต าแหน่ง

x

y

z

o

(x, y, z) เรียกว่า พิกัดของจุด P

, ,P x y z

,0,0A x

0, y,0B

0,0,C z

, y, zP x

MTH2103 บทที่ 1 6

MTH2103 บทที่ 1 7

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

MTH2103 บทที่ 1 8

1.2 ระยะทางและจุดกึ่งกลาง

ก าหนด และ เป็น 2 จุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติระยะทางระหว่างจุด และ นี้ เขียนแทนด้วย หรือ ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ

1 1 1 1, ,P x y z 2 2 2 2, ,P x y z

1P2P 1 2PP

1 2PP

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2PP x x y y z z

MTH2103 บทที่ 1 9

ตัวอย่าง ก าหนดจุด และ จงหาว่าส่วนของเส้นตรง กับ ส่วนของเส้นตรงใดยาวกว่ากัน

1,2,3 , 2,1,6 , 3,1,7A B C 4, 1,2D

AB CD

MTH2103 บทที่ 1 10

ตัวอย่าง ก าหนดจุด จงพิจารณาว่าจุดทั้ง 3 นี้อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกันหรือไม่

0,1,5 , 6,5,3 , 9,7,2P Q R

MTH2103 บทที่ 1 11

ตัวอย่าง จงแสดงว่า เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1,4,6 , 3,7,5 , 5,2,8P Q R

MTH2103 บทที่ 1 12

ก าหนด และ เป็น 2 จุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติจุดกึ่งกลางระหว่างจุด และ คือ

1 1 1 1, ,P x y z 2 2 2 2, ,P x y z

1P2P

1 2 1 2 1 2, ,2 2 2

x x y y z z

MTH2103 บทที่ 1 13

ตัวอย่าง จงหาความยาวของเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม เมื่อก าหนดจุดABC

3, 1, 1 , 1,2,1 , 6, 1,2A B C

MTH2103 บทที่ 1 14

ตัวอย่าง ก าหนดจุดปลายข้างหนึ่งของเส้นตรง คือ มีจุดกึ่งกลางของเส้นตรงคือจุด ซึ่งอยู่บนระนาบ และจุดปลายอีกข้าง คือจุด ซึ่งอยู่บนเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบ และ จงหาพิกัดของจุด และ4x

1 2,1,6P

P 3y 2P

6z P 2P

MTH2103 บทที่ 1 15

1.3 เส้นตรงในปริภูมิ

สามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ1. เส้นตรงที่ก าหนดทิศทาง (directed line)2. เส้นตรงที่ไม่ก าหนดทิศทาง (undirected line)

MTH2103 บทที่ 1 16

L

นิยาม มุมที่เส้นตรง ท ากับแกนทั้งสาม เรียกว่า มุมระบุทิศทาง (direction angle)นิยาม ถ้า เป็นมุมระบุทิศทางของเส้นตรง แล้วค่า จะเรียกว่า โคไซน์ระบุทิศทาง (direction cosine)

L

, ,

L cos ,cos ,cos

2 2 2cos cos cos 1

MTH2103 บทที่ 1 17

นิยาม ถ้า เป็นมุมระบุทิศทางของ แล้วเซตของจ านวน เรียกว่า เซตของจ านวนระบุทิศทาง (direction number) ของ ถ้า และ

เป็นสัดส่วนต่อกัน นั่นคือ(ค่าคงที)่

, , L , ,a b c

L , ,a b c

cos ,cos ,cos

cos cos cos

a b ck

MTH2103 บทที่ 1 18

เราสามารถหาโคไซน์ระบุทิศทาง และจ านวนระบุทิศทางของ ได้ ถ้าเราทราบจุดบนเส้นตรง อย่างน้อย 2 จุด ดังนี้

ให้ และ เป็นจุด 2 จุดบน และ เป็นระยะทางระหว่างจุดท้ังสอง แล้ว

เป็นโคไซน์ระบุทิศทางของ

และ เป็นจ านวนระบุทิศทางของ

L

L

L 1 1 1 1, ,P x y z 2 2 2 2, ,P x y z

L

d

2 1 2 1 2 1cos ,cos ,cosx x y y z z

d d d

L2 1 2 1 2 1, ,x x y y z z

MTH2103 บทที่ 1 19

ส าหรับเส้นตรง 2 เส้นใด ๆ และ ในปริภูมิ 3 มิติ จะมีกรณีที่เป็นไปได้ทั้งสิ้น 3 กรณี คือ 1) เส้นตรงทั้งสองขนานกัน ก็ต่อเมื่อ

ให้ เป็นจ านวนระบุทิศทางของ และ เป็นจ านวนระบุทิศทางของ แล้ว

2) เส้นตรงทั้งสองตัดกัน

3) เส้นตรงทั้งสองไม่ขนานกัน และไม่ตัดกัน เรียกว่าเส้นไขว้ต่างระนาบ (skew line)

1L 2L

1L

2L

1 1 1, ,a b c 2 2 2, ,a b c

1 1 1

2 2 2

a b ck

a b c

MTH2103 บทที่ 1 20

ในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองไม่ขนานกัน เราจะสามารถหามุมระหว่างเส้นตรงทั้งสองได้ ดังนี้ ถ้า เป็นโคไซน์ระบุทิศทางของ และ

เป็นโคไซน์ระบุทิศทางของ แล้ว

เมื่อ เป็นมุมระหว่าง และนอกจากนี้ เรายังได้ว่า

1) ถ้า ตั้งฉากกับ แล้วและ2) ถ้า ขนานกับ แล้ว

1 1 1cos ,cos ,cos

2 2 2cos ,cos ,cos

1L

2L

1 2 1 2 1 2cos cos cos cos cos cos cos

1L2L

1L 2L1 2 1 2 1 2cos cos cos cos cos cos 0

1L 2L1 2 1 2 1 2cos cos cos cos cos cos 1

1 2 1 2 1 2 0a a b b c c

MTH2103 บทที่ 1 21

ให้ เป็นจ านวนระบุทิศทางของ และ เป็นจ านวนระบุทิศทางของ และ ไม่ขนานกับ แล้วเส้นตรงซึ่งต้ังฉากกับ และ จะมีจ านวนระบุทิศทาง โดยที่

1L

2L

1 1 1, ,a b c 2 2 2, ,a b c

1L2L 2L1L

, ,a b c

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

, ,b c c a a b

a b cb c c a a b

MTH2103 บทที่ 1 22

2 4,2,1P

ตัวอย่าง จงหาโคไซน์ระบุทิศทางของเส้นตรงต่อไปนี้1) ผ่านจุด และ ในทิศทางจาก ไปยัง2) ผ่านจุด และ ในทิศทางจาก ไปยัง3) ผ่านจุดก าเนิด และ ในทิศทางจากจุดก าเนิดไปยัง4) ผ่านจุด และ ในทิศทางที่มุม ท ามุมกับแกน เป็น

มุมแหลมz

2 1,2,3P 1 3,4,5P1P

P

2P

1 2, 1, 3P 1P2P

, ,P a b c

1 4, 1,2P 2 2,1,3P

MTH2103 บทที่ 1 23

MTH2103 บทที่ 1 24

ตัวอย่าง ถ้าเส้นตรง ท ามุม กับแกน ท ามุม กับแกน แล้ว จงหาขนาดของมุมแหลมที่ ท ากับแกน

L 120 x 45 y

L z

1.4 ระนาบในปริภูมิ

สมการระนาบในปริภูมิ 3 มิติ จะอยู่ในรูป

โดยที่ เป็นค่าคงที่ และ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันทั้งหมด

ในการที่จะหาสมการระนาบนั้น เราจะต้องทราบจ านวนระบุทิศทางของเส้นตรงซึ่งตั้งฉากกับระนาบ และจุดบนระนาบ 1 จุด

0Ax By Cz D

, , ,A B C D , ,A B C

MTH2103 บทที่ 1 25

สมการระนาบซึ่งผ่านจุด และมีเส้นตรง ตั้งได้ฉากกับระนาบ มีจ านวนระบุทิศทาง คือ

MTH2103 บทที่ 1 26

1 1 1 1, ,P x y z L

, ,A B C

1 1 1 0A x x B y y C z z

นิยาม เส้นตรงซึ่งตั้งฉากกับระนาบ เรียกว่า เส้นแนวฉาก (normal line)

1.5 เส้นตรงซึ่งตั้งได้ฉากกับระนาบ

MTH2103 บทที่ 1 27

ถ้า เป็นจ านวนระบุทิศทางของเส้นตรง แล้ว จะต้ังฉากกับระนาบก็ต่อเมื่อ และ เป็นสัดส่วนต่อกัน นั่นคือ

, ,a b c

, ,a b c

L L

0Ax By Cz D , ,A B C

a b c

A B C

นอกจากนี้ หากเราต้องการพิจารณาว่าระนาบใด ๆ 2 ระนาบขนาน (ตั้งฉาก)กันหรือไม่ ก็สามารถดูได้จากเส้นแนวฉากของระนาบทั้งสองนั้น

MTH2103 บทที่ 1 28

ตัวอย่าง จงหาสมการระนาบต่อไปนี้1) ระนาบผ่านจุด และตั้งได้ฉากกับ ซึ่งมีจ านวนระบุทิศทาง คือ2) ระนาบผ่านจุด และตั้งได้ฉากกับแกน3) ระนาบผ่านจุด และขนานกับระนาบ4) ตั้งฉากกับเส้นตรง ที่จุดกึ่งกลาง เมื่อก าหนด5) ระนาบที่ผ่านจุด

2,3,4P

2,3,4P

2,3,4P

2,3,1 , 6, 3,5A B

2,1,3 , 3, 3,4 , 1,1, 4A B C

L 3, 2,4

x

4 3 5 1x y z

AB

1.6 การพิจารณารอยตัดของระนาบกับระนาบพกิัด

รอยตัดของระนาบ ใด ๆ ที่ก าหนดให้ กับระนาบพิกัด ทั้งสามระนาบ จะมีลักษณะเป็นเส้นตรงสามเส้นต่อกันเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมนี้ ก็คือ จุดตัดของระนาบ กับแกนพิกัด ทั้งสามนั่นเอง

M , ,xy yz xz

, ,x y zM

x

y

z ในท านองเดียวกัน ถ้าเราทราบจุดตัดของระนาบ กับแกนพิกัด ทั้งสาม เราก็จะสามารถหาสมการระนาบได้โดย

M , ,x y z

1x y z

a b c

MTH2103 บทที่ 1 29

MTH2103 บทที่ 1 30

ตัวอย่าง ก าหนดระนาบ จงหาระยะตัดแกนทั้งสาม และสมการของรอยตัดบนระนาบพิกัด พร้อมทั้งเขียนรูปอย่างคร่าว ๆ

2 3 6 18 0x y z

1n

2n1M

2M

มุมระหว่างระนาบ กับ จะเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉาก (normal vector) ของทั้งสองระนาบน้ัน

1M 2M

1.7 มุมระหว่างระนาบ 2 ระนาบ

MTH2103 บทที่ 1 32

ในหัวข้อ 1.3 เราได้ทราบว่าโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรง 2 เส้นในปริภูมิ 3 มิติ คือ

1 2 1 2 1 2cos cos cos cos cos cos cos

หรือ เราสามารถหามุมระหว่างระนาบได้โดยตรงจาก1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cosA A B B C C

A B C A B C

เมื่อสมการระนาบทั้ง 2 คือ และระนาบทั้งสองจะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ

1 1 1 1 0A x B y C z D 2 2 2 2 0A x B y C z D

1 2 1 2 1 2 0A A B B C C

MTH2103 บทที่ 1 33

ตัวอย่าง จงหามุมระหว่างระนาบต่อไปนี้1) ระนาบ กับระนาบ2) ระนาบ กับระนาบ

5 14 2 8 0x y z 10 11 2 15 0x y z

5 14 2 8 0x y z xy

1.8 ระยะทางจากจุดไปยังระนาบ

MTH2103 บทที่ 1 34

ระยะทางจากจุด ไปยังระนาบ สามารถหาได้จาก

0Ax By Cz D 1 1 1 1, ,P x y z

1 1 1

2 2 2

Ax By Cz Dd

A B C

d

1 1 1 1, ,P x y z

MTH2103 บทที่ 1 35

ตัวอย่าง จงหาระยะทางจากจุด ไปยังระนาบ 2,1,3 3 2 2 7 0x y z

1.9 สมการเส้นตรงในปริภูมิ 3 มิติ

MTH2103 บทที่ 1 36

มีอยู่ 3 รูปแบบ ดังนี้1) แบบก าหนด 2 จุด ให้ และ เป็นจุด

บนเส้นตรง จะได้สมการเส้นตรง คือ 1 1 1 1, ,P x y z 0 0 0 0, ,P x y z

0 0 0

1 0 1 0 1 0

x x y y z z

x x y y z z

MTH2103 บทที่ 1 37

2) แบบสมการอิงตัวแปรเสริม เส้นตรงผ่านจุด และมีมุมระบุทิศทาง คือ จะได้สมการเส้นตรงในรูป

โดยที่ คือ ระยะทางจาก ไปยังจุด ใด ๆ บนเส้นตรง

หรือ ถ้าเราทราบจ านวนระบุทิศทาง ของเส้นตรงที่ผ่านจุด เราก็จะได้สมการเส้นตรงเป็น

0 0 0 0, ,P x y z

, ,

0

0

0

cos

cos

cos

x x t

y y t

z z t

t

0P , ,x y z

, ,a b c 0 0 0 0, ,P x y z

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

MTH2103 บทที่ 1 38

3) แบบสมมาตร ถ้าเส้นตรงผ่านจุด และมีมุมระบุทิศทาง คือเราจะได้สมการเส้นตรงในรูป

หรือ ถ้าเราทราบจ านวนระบุทิศทาง ของเส้นตรงที่ผ่านจุดเราก็จะได้สมการเส้นตรงเป็น

0 0 0 0, ,P x y z

0 0 0 0, ,P x y z

, ,

0 0 0

cos cos cos

x x y y z z

, ,a b c

0 0 0x x y y z z

a b c

MTH2103 บทที่ 1 39

ในกรณีที่จ านวนระบุทิศทางตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ เราจะแยกเขียนสมการเป็นสองส่วน เช่น ถ้า เราจะไม่เขียนสมการในรูป

แต่เราจะเขียนเป็น และ

0a

0 0 0

0

x x y y z z

b c

0x x 0 0

y y z z

b c

MTH2103 บทที่ 1 40

ตัวอย่าง จงหาสมการอิงตัวแปรเสริมของเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบและ3 3 4 7 0x y z 6 2 6 0x y z