และภาคตัดกรวย - knowledge of life ความรู้ ... 9y 48x 72y 144...

คณตศาสตร เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย www.clipvidva.com

1

เรขาคณตวเคราะห

และภาคตดกรวย ในเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย เปนบททเอาไปประยกตใชตอในหลายๆเรองทเกยวกบ

รปทรงตางๆในวชาตางๆทง ฟสกส หรอคณตศาสตร นองๆหลายคนมปญหากบบทนนะครบวาคอนขางยากเนองจากสตรเยอะ ประยกตคอนขางมาก และท าขอสอบไมทน พมนใจวาถาตงใจเรยนซะหนอยปญหาเหลานนาจะหมดไปนะครบ

เรขาคณตวเคราะห และภาคตวกรวย

1. จด

3. วงกลม

6. พาราโบลา

2. เสนตรง

1.1) ระยะหางระหวางจดสองจด

4. วงร

5. ไฮเพอรโบลา

1.2) จดกงกลางระหวางจดสองจด

1.3) จดทแบงระยะทางเปนระยะ m:n

1.4) จดตดเสนมธยฐานสามเหลยม

2.1) ความชน

2.2) สมการเสนตรง

2.3) ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง

2.4) ระยะหางระหวางเสนตรงคขนาน


2

1. จด

การเขยนชอจดนยมใชตวอกษรใหญ เชน จด P,จด Q และอาจเขยนก ากบดวยคอนดบในพกดฉาก ในรป P(x,y) เชน Q(2,-4) ใชแทนจดทชอ Q และ มพกดเปน (2,-4)

1.1 ระยะหางระหวางจดสองจด สญลกษณทใชแทนระยะทางระหวางจด P กบ Q คอ PQ หรอ PQ

2 22 1 2 1PQ (x x ) (y y )

1.2 จดกงกลางระหวางจดสองจด

1 2 1 2x x y yR( , )

2 2

1.3 จดทแบงระยะทางเปนระยะ m:n

1 2 1 2mx nx my nyR( , )

m n m n

Q(x2,y2)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

P(x1,y1)

n

m


3

ตวอยาง ก าหนดพกดจด P(1,-2) และ Q(-5,4) ก.ระยะ PQ เทากบเทาใด ข.ใหหาจดกงกลางของ PQ ค.ใหหาพกดจด R ทท าให PR : RQ 2 : 3

1.4 จดตดของเสนมธยฐานสามเหลยม


4

ตวอยาง ก าหนดสามเหลยมรปหนงมจดยอดอยท A(2,8), B(6,12), C(-2,-4) ถาจด P และ Q อยบนดาน AB และ BC ตามล าดบ โดยมอตราสวน AP : PB 1 : 3 และ BQ : BC 3 : 4 ใหหาคาของ PQ

ตวอยาง ขอความตอไปนถกหรอผด ก.จด A(10,5), B(3,2), C(6,-5) เปนจดมมของรปสามเหลยมมมฉาก ข.จด D(1,2), E(-3,10), F(4,-4) อยบนเสนตรงเดยวกน ค.จด A(-2,3), B(-6,1), C(-10,-1) อยบนเสนตรงเดยวกน


5

ตวอยาง ใหหาจด P บนแกน X ซงอยหางจากจด P1 (1,-2) และP2 (3,5) เปนระยะเทากน ตวอยาง ถา (m,n) เปนจดตดของเสนมธยฐานของสามเหลยมรปหนงซงมจดยอดอยท (4,5), (-4,7) และ (4,1) แลว คา m-n เทากบเทาใด

2. เสนตรง

2.1 ความชน (slope; m) ของเสนตรง ความชนของเสนตรง คอ อตราสวนระหวางคา y ทเปลยนแปลงไป ตอคา x ทเปลยนแปลงไป ใชสญลกษณ m โดยคา m อาจะเปนบวก หรอลบ หรอเปนศนยกได

- ถา m>0 แสดงวา เสนตรงนเฉยงขนทางขวา - ถา m<0 แสดงวา เสนตรงนเฉยงลงทางขวา - ถา m=0 แสดงวา เปนเสนนอนขนานแกน x - และส าหรบเสนตงขนานกบแกน y นน m หาคาไมได (เปนอนนต)


6

2.2 สมการของเสนตรง รปทวไปท1 ของสมการเสนตรงคอ Ax+By+C = 0 ( โดยท A,B,C เปนจ านวนจรงใดๆ )

รปทวไปท2 ของสมการเสนตรงในรป y=mx+c โดย m คอความชน และ c คอระยะตดแกน y

จากสมการทวไปท1 และ 2 เราสามารถสรปไดวา

สมการรปทวไปท1ของเสนตรง สามารถจดใหอยในลกษณะ A C

y xB B

จงท าใหทราบวา คา

ความชน m = A

B และระยะตดแกนy c=

C

B เสมอ

ขอควรร


7

ตวอยาง ก าหนดพกดจด P(1,3) และ Q(5,9)

ก .ความชนของเสนตรงทผานจด P และ Q เทากบเทาใด

ข.ใหหาสมการเสนทตรงทผานจด P และ Q ตวอยาง ก าหนดพกดจด P(1,3) และ Q(5,9) ใหหาสมการของเสนตรง L ซงตงฉากกบ เสนตรงPQ และผานจดกงกลางของเสนตรง PQ

2.3 ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง

สมการระยะหางนมการแทนคาจด (x1,y1) ลงในสมการเสนตรงในรป Ax+By+C=0 ซงจะสอดคลองกบความรพนฐานทวา ถาแทนคาแลวไดเทากบ 0 หมายถงจดๆนอยบนเสนตรงพอด จากสตรกจะไดระยะทางเทากบ 0 ดวย


8

2.4 ระยะหางระหวางเสนตรงคขนานทงสองเสน

ตวอยาง ก าหนดเสนตรง L1 : 2x+3y-24 = 0 ก.ระยะทางจากจด S(-2,5) ไปยงเสนตรง L1 เทากบเทาใด

ข.ใหหาสมการเสนตรงทอยหางจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย

ขอสงเกต


9

ค.ใหหาจดบนเสนตรง L2 : 2x+y-6 = 0 ซงอยหางจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย

ตวอยาง ก าหนดสมการเสนตรง L3 : 3x y 2 3 และ L4 : 3x 3y 18 ก.เสนตรงทขนานกบ L3 จะตองมความชนเทาใด ข.มมระหวาง L4 กบแกน x ทเปนมมแหลม มขนาดกองศา


10

3. วงกลม

วงกลม คอ “เซตของคอนดบทอยหางจากจดคงทจดหนง เปนระยะเทากน” เรยกจดคงทนนวา จด

ศนยกลาง (Center; C) และเรยกระยะทางนนวา รศม (Radius; r)

สมการวงกลม

สมการของวงกลม ถกสรางขนจากสมการระยะทางระหวางจดสองจด โดยอาศยหลกการวา ระยะทางจากจด (x,y) ใดๆทอยบนวงกลม ไปยงจดศนยกลาง จะตองมคาคงทเทากบความยาวรศมเสมอ

ตวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรปวงกลมทมสมการเปน 2 2x y 2x 4y 10 0


11

ตวอยาง ใหสมการวงกลมทมจดศนยกลางอยท (1,-2) และผานจด (2,1) และตอบในรป Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 โดยสมประสทธทกตวเปนจ านวนเตม ตวอยาง ใหหาสมการทวไปของวงกลมทมลกษณะดงแตละขอตอไปน ก.มจดศนยกลางอยท (3,4) และผานจด (1,1)

ข.ผานจด (1,-5) และผานจดตดทงสองของวงกลม 2 2x y 2x 2y 8 0 กบ2 2x y 3x 3y 8 0



12

ค.เสนผานศนยกลางเสนหนง เชอมระหวางจด (1,1) กบ (2,2)

3.1 เสนสมผสวงกลม เสนสมผสวงกลม คอ เสนตรงทลากผานจดบนวงกลมเพยงจดเดยวเทานน โดยเรยกจดๆ นวาจด

สมผส มสมบตทางเรขาคณตอยางหนงของรปวงกลมทกลาววา เสนสมผสวงกลมจะตงฉากกบรศม ณ จดสมผสนนเสมอ

ตวอยาง ใหหาความยาวของเสนสมผสทลากจากจด (0,1) ไปยงจดสมผสบนวงกลม 3x2+3y2+11x+15y = -9


13

ตวอยาง ใหหาสมการของเสนตรง ทสมผสวงกลม 2 2x y 8 ทจด (2,2)

ตวอยาง ใหหาคา k ทท าให 2 2x y 6x 8y k 0 เปนวงกลม ตวอยาง เสนตรงเสนหนงมความชนเทากบ 4 3 และผานจดศนยกลางวงกลม

2 2x y 4x 2y 1 0 ถาเสนตรงเสนนตดกบวงกลมนทจด A กบ B และก าหนดจด D(-1,-2) แลวพนทของสามเหลยม ABD เทากบเทาใด


14

4. วงร

วงร คอ “เซตของคอนดบท ผลรวมของระยะทางไปยงจดคงทสองจดมคาเทากน” เรยกจดคงทสองจดนนวา จดโฟกส (F1, F2) และนอกจากนระยะทางรวมซงเปนคาคงทนน จะมคาเทากบความยาวของแกนเอก (2a) พอด

แกนเอก (Major Axis) คอเสนแสดงความยาวของวงร ( 1 2V V ) ยาว 2a หนวย และ แกนโท (Minor

Axis) คอเสนแสดงความกวางของวงร ( 1 2B B ) ยาว 2b หนวย โดยท a > b เสมอ

คา a และ b เทยบไดกบรศมวงกลม, แกนเอกและแกนโท เทยบไดกบเสนผานศนยกลางของวงกลม ตางกนตรงทแนวนอนและแนวตงของวงรจะยาวไมเทากน

สมการวงร

เมอพจารณารปวงรทละดาน จะมลกษณะโคงคลายรปถวย ซงแตละรปนนจะมจดโฟกสอยภายในโคงดวย และระยะโฟกส c สามารถหาไดจากคา a กบ b โดยมความสมพนธกนในรปสามเหลยมมมฉาก ซงมดาน

a ยาวทสด นนคอ 2 2c a b


15

ตวอยาง ใหสมการวงรทมจดศนยกลางอยท (2,1) มจดโฟกสอยท (2,4) และจดยอดอยท (2,-4) และ

ตอบในรป 2 2Ax By Dx Ey F 0 โดยสมประสทธทกตวเปนจ านวนเตม

ตวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรปวงรซงมสมการเปน 2 27x 16y 28x 96y 60 0 และตงฉากกบเสนตรง 3x+4y = 5

ขอควรร


16

ตวอยาง ใหหาสมการรปทวไปของวงร ทมลกษณะดงแตละขอตอไปน ก.จดศนยกลางอยท (3,-1) แกนเอกขนานกบแกน y และยาว 8 หนวย โดยแกนโทยาว6 หนวย ข.จดยอดอยท (-4,2) และ (2,2) โดยแกนโทยาว 4 หนวย ค.จดศนยกลางอยท (-2,1) มจดโฟกสท (-2,4) และผานจด (-6,1)

ตวอยาง ใหหาสมการเสนตรงทผานจดศนยกลางของวงร 2 24x 9y 48x 72y 144 0


17

ตวอยาง ระยะหางระหวางเสนตรงคขนานทท ามม 45 กบแกน x และผานจดโฟกสทงสองของวงร 2 2x 3y 4x 2 0

ANET50 ถา k, l และ m เปนจ านวนจรงทท าใหวงร 2 2kx ly 72x 24y m 0 มจดศนยกลางอยทจด (4,3) และสมผสแกน y แลว ขอใดตอไปนผด ก.ความยาวแกนเอกเทากบ 12 หนวย ข.ความยาวแกนโทเทากบ 8 หนวย

ค.ระยะหางระหวางจดโฟกสทงสองเทากบ 4 5 หนวย ง.จด (2,6) อยบนวงร ANET 49 วงกลมวงหนงมจดศนยกลาง อยทจดศนยกลางของวงรทมสมการเปน

2 29x 4y 36x 24y 36 0 ถาวงกลมวงนสมผสกบเสนตรงทผานจด (1,3) และ (5,0) แลวรศมของวงกลมวงนเทากบเทาใด


18

5. ไฮเพอรโบลา

ไฮเพอรโบลา คอ “เซตของคอนดบท ผลตางของระยะทางไปยงจดคงทสองจดมคาเทากน” เรยกจดคงทสองจดนนวา จดโฟกส (F1,F2) และผลตางระยะทางซงเปนคาคงทนน จะมคาเทากบความยาวของแกนตามขวาง (2a) พอด

แกนตามขวาง (Transversal Axis) 1 2V V ยาว 2a หนวย และ แกนสงยค (Conjugate Axis) 1 2B B

ยาว 2b หนวย (โดย a กบ b ยาวเทาใดกได) ใชประกอบกนในการสราง เสนก ากบ (Asymptote) 2 เสน เพอบงคบความกวางของไฮเพอรโบลา

สมการไฮเพอรโบลา


19

ไฮเพอรโบลามมฉากเอยง

ไฮเพอรโบลาทมคา a=b (กรอบสเหลยมจตรส)นน รปวงรในกรอบจะกลายเปนวงกลม และเสนก ากบ 2 เสนตงฉากกนพอด เรยกไฮเพอรโบลาแบบนวาเปน ไฮเพอรโบลามมฉาก (Rectangular Hyperbola)



20

ตวอยาง ใหสรางสมการไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท (2,1) มจดโฟกสท (2,-4) และจดยอดท (2,4)

และตอบในรป 2 2Ax By Dx Ey F 0 โดยสมประสทธทกตวเปนจ านวนเตม

ตวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรปไฮเพอรโบลาทมสมการเปน 2 2x 5y 10y 25 0 ตวอยาง ใหหาสมการทวไปของไฮเพอรโบลา ทมลกษณะดงแตละขอตอไปน ก.จดศนยกลางอยท (-3,1) มจดยอดท (2,1) และแกนสงยคยาว 6 หนวย


21

ข.จดโฟกสอยท (-1,-6) และ (-1,4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หนวย

ตวอยาง ถาภาคตดกรวยรปหนงมสมการเปน 2 29x 16y 18x 64y 199 0 แลวผมรวมของระยะทางจาดจกโฟกสทงสองไปถงเสนตรง 3x+4y = 8 เปนเทาใด

ตวอยาง ก าหนดไฮเพอรโบลา 2 29(x 1) 4(y 2) 36 ใหหาสมการวงรซง ผลบวกของระยะทางจากจดใดๆบนวงร ไปยงจดทไฮเพอรโบลาตดแกน x ทงสองจด เปน 8 หนวย

ตวอยาง ก าหนด E แทนวงร 2 26x 5y 12x 20y 4 0 ใหหาสมการไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางรวมกบ E มจดยอดอยทเดยวกบจดโฟกสของ E และมความยาวแกนสงยคเทากบความยาวแกนโทของ E พอด


22

PAT1 ก.ค.53 ก าหนดวงกลมรปหนงมจดปลายของเสนผานศนยกลางอยบนจดศนยกลางและจดโฟกสดาน

หนงของไฮเพอรโบลา 2 29x 16y 90x 64y 17 0 แลววงกลมดงกลาวมพนทเทากบขอใดตอไปน

ANET 50 ถาเสนก ากบของไฮเพอรโบลา 2 216x 9y 32x 36y 164 0 ตดแกน x ทจด A และ B แลว ระยะระหวาง A, B ยาวกหนวย

PAT1ม.ค. 53 ก าหนดใหวงรรปหนงม สมการเปน 2 225x 21y 100x 42y 404 0 แลว

ไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจดโฟกสทงสองของวงรและผานจด ( 3,1 8 ) มสมการตรงกบขอใดตอไปน

ก. 2 25y 4x 10 8y 32x 25 0

ข. 2 23y 2x 6 8y 8x 15 0

ค. 2 2y 4x 2y 16x 19 0

ง. 2 2y 7x 2y 28x 28 0


23

6. พาราโบลา

พาราโบลา คอ “เซตของคอนดบทมระยะหางจากจดคงทจดหนง เทากบระยะไปยงเสนตรงคงทเสน

หนง” เรยกจดคงทจดนนวา จดโฟกส (Focus; F) เรยกเสนตรงคงทเสนนนวา ไดเรกตรกซ (Directrix; เสนบงคบ)

รปกราฟทไดจะมลกษณะเปนเสนโคงคลายถวย สองดานสมมาตรกน โดยเสนสมมาตรจะผานจดโฟกสและตงฉากกบเสนไดเรกตรกซ เรยกเสนนวา แกน (Axis) ของพาราโบลา และจกวกกลบของพาราโบลาจะเรยกวา จดยอด (Vertex) อยกงกลางระหวางจดโฟกสกบเสนไดเรกตรกซพอด (ตามนยามทไดกลาวขางตน)

สมการพาราโบลา


24

ตวอยาง ใหหาสมการรปทวไปของพาราโบลา ทมลกษณะดงน

ก.จดยอดอยท (-2,3) และจดโฟกสอยท (5,3)

ข.จดยอดอยท 0 และผานจด (-4,-6) โดยมแกน x เปนแกนสมมาตร

ค.จดโฟกสอยท (2,2) และมสมการไดเรกตรกซเปน x+2=0



25

ง.ผานจด (1,3), (9,1) และ (51,-2) โดยแกนสมมาตรขนานกบแกน x

ตวอยาง คอรดทเกดจากเสนตรง 2x-y=8 ตดกบพาราโบลา y2=8x มความยาวเทาใด

ตวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรปพาราโบลาทมสมการเปน 2x 2x 2y 3 0

ตวอยาง ใหสรางสมการพาราโบลาทมจดยอดอยท (1,-2) และผานจด (2,1) โดยมแกนสมมาตรแนวตง

และตอบในรป 2 2Ax By Dx Ey F 0 โดยสมประสทธทกตวเปนจ านวนเตม


26

ตวอยาง ใหหาสมการพาราโบลาทผานจดของเสนตรง x=y กบวงกลม x2+y2+6x=0 โดยมแกน x เปนแกนสมมาตร

ตวอยาง จดบนโคง 24y (x 1) ซงอยหางจากจดโฟกส 13 หนวย จะอยหางจากแกน x เทาใด

PAT1ม.ค. 54 ใหเสนตรง x-y+2=0 ตดกบวงกลม 2 2x y 6x 4y 4 0 ทจด A และ จด B ถา (a,b) เปนจดโฟกสของพาราโบลาซงมเสนตรง y=2 เปนแกนของพาราโบลาและพาราโบลานผานจด A และจด B แลว a+b เทากบเทาใด


27

ANET 51 ให A และ B เปนจดยอดของไฮเพอรโบลา 2 24x y 24x 6y 11 0 สมการของพาราโบลาทม เสนตรงAB เปนเลตสเรกตม และมกราฟอยเหนอแกน x คอสมการในขอใดตอไปน

ก. 2(x 3) 4(y 2) ข. 2(x 3) 8(y 1)

ค. 2(x 2) 4(y 2) ง. 2(x 2) 8(y 1)

ENTม.ค. 48 ก าหนดใหพาราโบลารปหนงมสมการเปน 2y 16x 4y 12 0 ถา L เปนเสนตรงทผานโฟกสของพาราโบลารปน และตงฉากกบเสนตรง 3x-2y+5 = 0 แลว ระยะตดแกน y ของเสนตรง L มคาเทากบเทาใด

ENTต.ค. 46 ให H เปนไฮเพอรโบลา 2 24x 12y 16x 72y 44 0 ซงมจดโฟกสคอ F1 และ F2 ให E เปนวงรซงมจดศนยกลางรวมกบ H โดยม F1 และ F2 เปนจดยอด และสมผสแกน y ถา E ตดแกน x ทจด A และ B แลว AB ยาวเทากบเทาใด


28

เอกสารอางอง

คณต มงคลพทกษสข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านกพมพ Science Center, 2554.

สมย เหลาวานชย, รศ., “ตะลยคลงขอสอบเขามหาวทยาลย วชาคณตศาสตร สาระการเรยนรพนฐานและ

เพมเตม”, ส านกพมพไฮเอด พบบลชชง.

http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/

http://th.wikipedia.org/wiki/เรขาคณตวเคราะห

http://www.se-ed.com/eShop/(A(AL6pITGrygEkAAAAYjc2MWRjNzgtYTc5Yy00OTc2LTk0MGUtODQ1M2ZkZTBkYTg0PFDIt43WQO5K9Yk4v9matQvqJ641))/Search/SearchList.aspx?Keyword=%CA%C1%D1%C2-%E0%CB%C5%E8%D2%C7%D2%B9%D4%AA%C2%EC,-%C3%C8.&SearchType=Author&SelectType=All

และภาคตัดกรวย - knowledge of life ความรู้ ... 9y 48x 72y 144...

Documents