moto nel piano · 2020-02-26 · elisabetta bissaldi (politecnico di bari) –a.a. 2019-2020 2 •...

Cinematica del puntoMoto nel piano

Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 2

• Si consideri un punto materiale che si muove

nello spazio descrivendo nel caso più generale

una LINEA CURVA come traiettoria

Descrizione del moto diventa più complessa

Non basta precisare solo il valore numerico

dello spostamento, ma occorre specificare:

o La direzione del moto

o Il verso del moto

• VETTORE POSIZIONE o RAGGIO VETTORE

𝒓 𝒕 = 𝑶𝑷 = 𝒙 𝒕 ෝ𝒖𝒙 + 𝒚 𝒕 ෝ𝒖𝒚 + 𝒛 𝒕 ෝ𝒖𝒛

𝒓: congiunge l’origine con il punto P

𝒙, 𝒚, 𝒛: componenti scalari del vettore lungo gli assi cartesiani,

ovvero coordinate del punto P

Posizione e velocità


• Consideriamo un punto materiale in movimento dal punto 𝑷𝟏 al punto 𝑷𝟐

Il suo vettore posizione sarà rispettivamente 𝒓𝟏 = 𝒓(𝒕𝟏) all’istante 𝒕𝟏 e

𝒓𝟐 = 𝒓(𝒕𝟐) all’istante 𝒕𝟐 = 𝒕𝟏 + 𝜟𝒕

o VETTORE SPOSTAMENTO

𝜟𝒓 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 = 𝚫𝐱 ෝ𝒖𝒙 + 𝚫𝐲 ෝ𝒖𝒚 + 𝚫𝐳 ෝ𝒖𝒛

Somma vettoriale degli spostamenti sui 3 assi, come se fossero indipendenti


𝒙

𝒛

𝒚

𝑶

𝒓𝟏𝒓𝟐

𝚫𝒓𝑷𝟏

𝑷𝟐


• Al tendere dell’intervallo Δ𝒕 → 𝟎 si ha che

Il punto 𝑷𝟐 si avvicina a 𝑷𝟏

𝚫𝒓 tende a coincidere con la direzione della TANGENTE alla traiettoria


𝑷𝟏𝑷𝟐

𝒓𝟏(𝒕)𝒓𝟐(𝒕 + 𝚫𝐭)

𝚫𝒓

𝑶

Tangente


VELOCITÀ VETTORIALE

• Vettore VELOCITÀ MEDIA

𝒗𝑴 =𝜟𝒓

𝚫𝒕

Dato dal rapporto incrementale tra vettore spostamento 𝜟𝒓 (spazio

percorso) e intervallo di tempo 𝜟𝒕 (tempo impiegato a percorrerlo).

o Componenti cartesiane 𝒗𝑴 =𝜟𝒙

𝜟𝒕ෝ𝒖𝒙 +

𝜟𝒚

𝜟𝒕ෝ𝒖𝒚 +

𝜟𝒛

𝜟𝒕ෝ𝒖𝒛


o Modulo: rapporto tra la misura di

𝜟𝒓 e quella di 𝜟𝒕

o Direzione: Coincide con quella

della corda 𝑷𝟏𝑷𝟐

o Verso: è quello di 𝜟𝒓

𝒓𝟏 𝒓𝟐

𝚫𝒓



• Vettore VELOCITÀ ISTANTANEA

𝒗 = 𝒍𝒊𝒎𝜟𝒕 →𝟎

𝜟𝒓

𝜟𝒕=𝒅𝒓

𝒅𝒕

Limite a cui tende la velocità media calcolata su intervalli di tempo

sempre più piccoli

Coincide con la DERIVATA rispetto al tempo del vettore posizione 𝒓


o Modulo: limite del rapporto tra le

quantità infinitesime 𝜟𝒓 e 𝜟𝒕

o Direzione: Coincide con quella della

corda 𝑸𝑷, che risulta TANGENTE alla

traiettoria nel punto occupato

nell’istante considerato

o Verso: è quello di 𝜟𝒓


Per ricavare la DIREZIONE del vettore derivato, si parte dal caso più semplice della derivata di un VERSORE (vettore di modulo unitario) ෝ𝒖(𝒕), dipendente dal tempo

• Istante iniziale ෝ𝒖(𝒕), istante finale ෝ𝒖 𝒕 + 𝚫𝐭

𝚫𝜽 angolo tra i versori ෝ𝒖(𝒕) e ෝ𝒖 𝒕 + 𝚫𝐭

• Ricordando la regola del parallelogramma: 𝚫ෝ𝒖 = ෝ𝒖 𝒕 + 𝚫𝐭 − ෝ𝒖(𝒕)

Al limite per 𝜟𝒕 → 𝟎: 𝜟ෝ𝒖 → 𝒅ෝ𝒖 e Δ𝜃 → 𝒅𝜽

𝒅ෝ𝒖 risulta ORTOGONALE a ෝ𝒖(𝒕)

o Modulo 𝒅ෝ𝒖 = ෝ𝒖(𝒕) 𝒅𝜽 = 𝒅𝜽

o Direzione ෝ𝒖𝑻 (T = tangente)

Quindi:𝒅ෝ𝒖

𝒅𝒕=

𝒅𝜽

𝒅𝒕ෝ𝒖𝑻

Derivata di un versore = vettore con: - modulo in generale non unitario- direzione ortogonale a quella del versore derivato

Derivata di un versore

1 2

3 4



• Vettore VELOCITÀ ISTANTANEA

𝒗 =𝒅𝒓

𝒅𝒕=𝒅𝒔

𝒅𝒕ෝ𝒖𝑻 = 𝒗 ෝ𝒖𝑻

Dove:

o 𝒅𝒓 = 𝒅𝒔 ෝ𝒖𝑻

o 𝒔: coordinata curvilinea che esprime la lunghezza della traiettoria

o 𝒗 = 𝒅𝒔/𝒅𝒕 velocitàistantanea

Invarianza delle relazionivettoriali rispetto alla scelta del sistema di riferimento


𝑷𝟏𝑷𝟐

𝒓𝟏(𝒕)𝒓𝟐(𝒕 + 𝚫𝐭)

𝚫𝒓

𝑶

Tangente

s


VELOCITÀ ISTANTANEA (coord. Cartesiane)

𝒗(𝒕) =𝒅𝒓

𝒅𝒕=𝒅𝒙

𝒅𝒕ෝ𝒖𝒙 +

𝒅𝒚

𝒅𝒕ෝ𝒖𝒚 +

𝒅𝒛

𝒅𝒕ෝ𝒖𝒛

= 𝒗𝒙 ෝ𝒖𝒙 + 𝒗𝒚 ෝ𝒖𝒚 + 𝒗𝒛 ෝ𝒖𝒛

𝒗𝒙 =𝒅𝒙

𝒅𝒕𝒗𝒚 =

𝒅𝒚

𝒅𝒕𝒗𝒛 =

𝒅𝒛

𝒅𝒕

• Modulo:

𝒗 = 𝒗 = 𝒗𝒙𝟐 + 𝒗𝒚

𝟐 + 𝒗𝒛𝟐

• Direzione rispetto agli assi cartesiani (nel caso di moto 2D nel piano 𝒙𝒚)

𝝓: angolo tra il vettore 𝒗 e l’asse 𝒙

tan 𝝓 = 𝒗𝒙 / 𝒗𝒚

Date le componenti, è possibile ricostruire la direzione del vettore


Tangente

Traiettoria

𝒗𝒚

𝒗𝒙

𝒚

𝒙𝑶

𝒗 𝝓


• Rappresentazione della derivata del vettore 𝒂 = 𝒂 ෝ𝒖 nella sua forma generale

𝒂′ 𝒕 =𝒅𝒂(𝒕)

𝒅𝒕=

𝒅𝒂

𝒅𝒕ෝ𝒖 + 𝒂

𝒅ෝ𝒖

𝒅𝒕

=𝒅𝒂

𝒅𝒕ෝ𝒖 + 𝒂

𝒅𝜽

𝒅𝒕ෝ𝒖𝑻

Indipendenza dai sistemi di riferimento

(che possono anche essere variabili e non fissi)

o ෝ𝒖: Versore della direzione del vettore 𝒂

o ෝ𝒖𝑻: Versore perpendicolare alla direzione del vettore 𝒂

Primo termine: dipende solo dalla variazione del modulo nel tempo

Secondo termine: dipende solo dalla variazione della direzione nel tempo

Modulo del vettore derivato 𝒂′

𝒂′ =𝒅𝒂

𝒅𝒕

𝟐

+ 𝒂𝒅𝜽

𝒅𝒕

𝟐

Derivata di un vettore


VELOCITÀ ISTANTANEA (Coord. Polari)

𝒗 =𝒅𝒓

𝒅𝒕=

𝒅𝒓

𝒅𝒕ෝ𝒖𝒓 + 𝒓

𝒅𝜽

𝒅𝒕ෝ𝒖𝜽 = 𝒗𝒓 + 𝒗𝜽

ෝ𝒖𝒓: versore direzione radiale, lungo 𝒓

ෝ𝒖𝜽: versore direzione ortogonale a ෝ𝒖𝒓

• 𝒗𝒓=𝒅𝒓

𝒅𝒕ෝ𝒖𝒓: Velocità RADIALE

Dipende dalla variazione del modulo della velocità

• 𝒗𝜽 = 𝒓𝒅𝜽

𝒅𝒕ෝ𝒖𝜽: Velocità TRASVERSA

Dipende dalla variazione della direzione del vettore velocità

• Modulo:

𝒗 =𝒅𝒓

𝒅𝒕

𝟐

+ 𝒓𝒅𝜽

𝒅𝒕

𝟐


𝜽𝒓

𝜽

ෝ𝒖𝜽ෝ𝒖𝒓

𝒗𝜽𝒗

𝒗𝒓


• Vettore POSIZIONE o RAGGIO VETTORE

𝒓 = 𝒓 𝒕𝟎 + න

𝒕𝟎

𝒕

𝒗 𝒕 𝒅𝒕

Integrazione esplicita lungo le componenti

(moti rettilinei proiettati sugli assi)

Resta essenziale la conoscenza delle CONDIZIONI INIZIALI!

Il moto in più dimensioni può essere descritto da moti indipendenti

lungo gli assi del piano cartesiano.

Ogni cambiamento lungo un asse non modifica il moto lungo un altro asse!



• Un punto materiale si muove in modo che le sue coordinate varino nel tempo

secondo le espressioni:

𝒙 𝒕 = 𝟎. 𝟑 𝒕𝟐 + 𝟕. 𝟐 𝒕 + 𝟐𝟖

𝒚 𝒕 = 𝟎. 𝟐𝟐 𝒕𝟐 − 𝟗. 𝟏 𝒕 + 𝟑𝟎

• Le unità di misura delle coordinate x,y e del tempo sono rispettivamente 𝒎 e 𝒔.

Si calcoli:

1. La velocità del punto materiale (in modulo, direzione e verso)

al tempo 𝒕 = 𝟏𝟓 𝒔.

Esercizio 2.1


ACCELERAZIONE VETTORIALE

• Vettore ACCELERAZIONE MEDIA

𝒂𝑴 =𝚫𝒗

𝚫𝒕 Rapporto tra la variazione di velocità relativa ad un certo intervallo di

tempo e l’ intervallo di tempo stesso

Esprime la rapidità di variazione della velocità nel tempo

Accelerazione nel moto piano

𝒗𝟏𝒗𝟐

𝚫𝒗


ACCELERAZIONE VETTORIALE

• Vettore ACCELERAZIONE ISTANTANEA

𝒂(𝒕) = 𝒍𝒊𝒎𝜟𝒕 →𝟎

𝚫𝒗

𝜟𝒕=𝒅𝒗

𝒅𝒕

Componenti cartesiane

𝒂 = 𝒂𝒙ෝ𝒖𝒙 + 𝒂𝒚ෝ𝒖𝒚 + 𝒂𝒛ෝ𝒖𝒛

𝒂𝒙 =𝒅𝒗𝒙

𝒅𝒕=

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐𝒂𝒚 =

𝒅𝒗𝒚

𝒅𝒕=

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒕𝟐𝒂𝒛 =

𝒅𝒗𝒛

𝒅𝒕=

𝒅𝟐𝒛

𝒅𝒕𝟐

o Per stabilire il moto considerato basta considerare il «moto delle singole

componenti» trattate indipendentemente l’una dall’altra

o Ogni componente si tratta come nella cinematica 1D ed il moto risultante

è dato dalla composizione dei moti delle varie componenti


Traiettoria

𝒂𝒚

𝒂𝒙𝒚

𝒙𝑶

𝒂


• In generale, l’accelerazione deve esprimere le variazioni della velocità sia

come MODULO che come direzione: Studio di 2 COMPONENTI

L’accelerazione non può essere parallela alla velocità, anzi sarà diretta

verso la concavità della curva che rappresenta la traiettoria

𝒂(𝒕) =𝒅𝒗(𝒕)

𝒅𝒕=𝒅𝟐𝒓(𝒕)

𝒅𝒕𝟐

• Utilizzando le regole di derivazione dei vettori:

𝒂 =𝒅

𝒅𝒕𝒗 ෝ𝒖𝑻 =

𝒅𝒗

𝒅𝒕ෝ𝒖𝑻 + 𝒗

𝒅ෝ𝒖𝑻𝒅𝒕

=𝒅𝒗

𝒅𝒕ෝ𝒖𝑻 + 𝒗

𝒅𝝓

𝒅𝒕ෝ𝒖𝑵

1. Termine legato alla variazione del modulo della velocità

- ෝ𝒖𝑻 versore tangenziale alla traiettoria, parallelo alla velocità

2. Termine legato al cambiamento di direzione del moto

- ෝ𝒖𝑵 versore ortogonale alla traiettoria, diretto verso la concavità

-𝒅𝝓

𝒅𝒕indica quanto rapidamente varia la direzione del vettore velocità


1 2


• Si consideri la circonferenza tangente alla traiettoria nel punto 𝑷, detta

CIRCONFERENZA OSCULATRICE

𝑪: Centro di curvatura della

traiettoria nel punto P

𝑹 = 𝑪𝑷: raggio di curvatura

(non vettore posizione!!)

𝒅𝒔: Arco di traiettoria

𝒅ϕ: angolo sotteso da 𝒅𝒔

Legame: 𝒅𝒔 = 𝑹 𝒅ϕ

• Si può quindi esprimere 𝒅ϕ

𝒅𝒕come:

𝒅ϕ

𝒅𝒕=𝒅𝝓

𝒅𝒔

𝒅𝒔

𝒅𝒕=𝟏

𝑹𝒗


𝑑𝑠

𝑅


• Formula generale per l’accelerazione

𝒂 =𝒅𝒗

𝒅𝒕ෝ𝒖𝑻 +

𝒗𝟐

𝑹ෝ𝒖𝑵 = 𝒂𝑻 + 𝒂𝑵

𝒂𝑻 Accelerazione tangenziale

𝒂𝑵 Accelerazione normale o centripeta

Diretta sempre verso il CENTRO di curvatura!

Modulo:

𝒂 = 𝒂𝑻𝟐 + 𝒂𝑵

𝟐 =𝒅𝒗

𝒅𝒕

𝟐

+𝒗𝟐

𝑹

𝟐

• Vettore VELOCITÀ

𝒗 = 𝒗 𝒕𝟎 + න

𝒕𝟎

𝒕

𝒂 𝒕 𝒅𝒕

Integrazione esplicita lungo le componenti



1. 𝒂 = 𝟐 ෝ𝒖𝒙

Moto uniformemente accelerato sull’asse 𝒙

Moto rettilineo uniforme sugli altri assi

2. 𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Affinché un vettore sia costante, lo devono essere tutte le sue componenti

𝒂𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆, 𝒂𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆, 𝒂𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Su ogni asse c’è un moto uniformemente accelerato

Esempi


• Moto in 2D di un punto materiale in CADUTA LIBERA, con velocità iniziale 𝒗𝟎

Punto materiale in queste condizioni è detto PROIETTILE

L’accelerazione è quella di GRAVITÀ 𝒈, diretta verso il basso

• Differenza con il moto 1D della caduta libera

Velocità iniziale 𝒗𝒐 ed accelerazione 𝒈 NON sono tra loro PARALLELI

o Il moto avviene NEL PIANO DEFINITO da questi DUE VETTORI

o Moto 2D nel piano x,y

Moto parabolico

0

1

2

3

4

𝒗𝟎𝒙

𝒗𝒐𝒗𝟎𝒚 𝜽𝟎

𝒉𝒎

𝑹

𝒚

𝒙


• ACCELERAZIONE

𝒂 = 𝒈 = −𝒈ෝ𝒖𝒚

• VELOCITÀ INIZIALE

𝒗𝟎 = 𝒗𝟎,𝒙 ෝ𝒖𝒙 + 𝒗𝟎,𝒚 ෝ𝒖𝒚 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟎ෝ𝒖𝒙 + 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎ෝ𝒖𝒚

VELOCITÀ

𝒗𝟎 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟎ෝ𝒖𝒙 + 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎 − 𝒈𝒕 ෝ𝒖𝒚

Analisi SEPARATA dei moti sugli assi cartesiani

ASSE X ASSE Y

MOTO RETTILINEO UNIFORME MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

o 𝒂𝒙 = 𝟎 𝒂𝒚 = −𝒈

o 𝒗𝒙 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟎 𝒗𝒚 𝒕 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎 − 𝒈𝒕

o 𝒙 𝒕 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟎𝒕 𝒚 𝒕 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎 𝒕 −𝟏

𝟐𝒈 𝒕𝟐

Moto parabolico


• TRAIETTORIA (PARABOLICA)

𝒚 𝒙 = 𝒚𝟎 + 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟎 𝒙 −𝟏

𝟐

𝒈 𝒙𝟐

𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟎𝟐

• GITTATA ORIZZONTALE

Distanza raggiunta dal proiettile lungo l’asse 𝒙 sino a che esso non

raggiunge nuovamente la quota iniziale

o Valida SOLO SE il proiettile ripassa per la stessa quota iniziale,

ovvero se 𝒚𝒇 = 𝒚𝟎

𝑹 = 𝒙𝟎 +𝟐𝒗𝟎

𝟐

𝒈𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟎 = 𝒙𝟎 +

𝒗𝟎𝟐

𝒈𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽𝟎)

Gittata massima 𝑹𝒎𝒂𝒙 = 𝒙𝟎 +𝒗𝟎𝟐

𝒈per 𝜽 = 𝟒𝟓° (infatti 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟏)

Moto parabolico


• VELOCITÀ (in funzione della posizione!)

𝒗𝒚𝟐(𝒚) = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎

𝟐 − 𝟐𝒈 𝒚 − 𝒚𝟎

Avendo sostituito 𝒕 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎 − 𝒗𝒚 /𝒈

• ALTEZZA MASSIMA RAGGIUNTA (valida per 𝒗𝒚 = 𝟎 oppure 𝒙 = 𝑹/𝟐)

𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝒚𝟎 +𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟎

𝟐

𝟐𝒈

Moto parabolico


• Una nave si trova ad una distanza di 𝟓𝟔𝟎𝒎 dal forte che difende il porto di

un’isola. Il forte è dotato di un cannone che lancia proiettili

alla velocità 𝒗𝟎 = 𝟖𝟐𝒎/𝒔.

1. Con quale angolo di elevazione (o alzo) si devono lanciare i proiettili per

colpire la nave?

Esercizio 2.2


• Un fucile è puntato orizzontalmente contro un bersaglio alla distanza di 𝟑𝟎𝒎.

Il proiettile colpisce il bersaglio 𝟏. 𝟗 𝒄𝒎 sotto il centro.

Si calcolino

1. Il tempo di volo del proiettile;

2. La velocità del proiettile all’uscita del fucile.

Esercizio 2.3


• Moto di un punto materiale la cui traiettoria è una circonferenza o un arco di

circonferenza

Velocità (vettore tangente alla traiettoria) varia CONTINUAMENTE in

direzione

Accelerazione centripeta sarà sempre diversa da zero!

Moto circolare


Descrizione del moto lungo la circonferenza di raggio 𝑹 in termini di:

Spostamento (o arco) 𝒔 𝒕 percorso sulla circonferenza

Angolo 𝜽 𝒕 sotteso dall’arco percorso

o Legame: 𝒔 𝒕 = 𝑹 𝜽(𝒕)

• Calcolo velocità:

𝒗 𝒕 =𝒅𝒔 𝒕

𝒅𝒕= 𝑹

𝒅𝜽 𝒕

𝒅𝒕

VELOCITÀ ANGOLARE

𝝎(𝒕) ≡𝒅𝜽

𝒅𝒕

• Vettore VELOCITÀ

𝒗 = 𝑹𝝎 ෝ𝒖𝜽

Velocità 𝒗 proporzionale al raggio 𝑹

Moto circolare

UNITÀ DI MISURA𝒓𝒂𝒅/𝒔


MOTO CIRCOLARE UNIFORME (𝒗 e 𝝎 COSTANTI)

• LEGGI ORARIE (coord. polari)

𝒔 𝒕 = 𝒔𝟎 + 𝒗 𝒕

𝜽 𝒕 = 𝜽𝟎 +𝝎 𝒕

o 𝒔𝟎 = 𝒔 𝒕 = 𝟎 e 𝜽𝟎 = 𝜽 𝒕 = 𝟎

«Uniforme» = Velocità costante in modulo

• ACCELERAZIONI

𝒂 = 𝒂𝑵 =𝒗𝟐

𝑹= 𝝎𝟐 𝑹

Si tratta di un MOTO ACCELERATO con

accelerazione costante,

ortogonale alla traiettoria

Accelerazione proporzionale al raggio 𝑹

𝒂𝑻 = 𝟎

Moto circolare


MOTO CIRCOLARE UNIFORME (𝒗 e 𝝎 COSTANTI)

• LEGGI ORARIE (coord. cartesiane)

𝒙 𝒕 = 𝑹 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒕 = 𝑹 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝜽𝟎

𝒚 𝒕 = 𝑹 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒕 = 𝑹 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝜽𝟎

Rappresentano due MOTI ARMONICI di eguale ampiezza e fase iniziale,

sfasati tra loro di 𝝅/𝟐

o Periodo del moto armonico (tempo necessario per fare UN GIRO COMPLETO)

𝑻 =𝟐𝝅𝑹

𝒗=𝟐𝝅

𝝎

o Frequenza del moto armonico (NUMERO DI GIRI per unità di tempo)

𝝂 =𝟏

𝑻=

𝝎

𝟐𝝅

Attenzione a non confondere la velocità angolare con la pulsazione!

Moto circolare


MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME

Velocità varia anche in MODULO!

Accelerazione centripeta e tangenziale

sono entrambe variabili!

• ACCELERAZIONE ANGOLARE

𝜶(𝒕) =𝒅𝝎

𝒅𝒕=𝒅𝟐𝜽

𝒅𝒕𝟐=𝟏

𝑹

𝒅𝒗

𝒅𝒕=𝒂𝑻𝑹

• LEGGI ORARIE

𝝎 𝒕 = 𝝎𝟎 + න

𝒕𝟎

𝒕

𝜶 𝒕 𝒅𝒕

𝜽 𝒕 = 𝜽𝟎 + න

𝒕𝟎

𝒕

𝝎 𝒕 𝒅𝒕

Moto circolare

UNITÀ DI MISURA𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐

Ԧ𝑣

𝑎𝑛

𝑎𝑡

Ԧ𝑎


MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE ACCELERATO

𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆, ovvero 𝒂𝑻 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

LEGGI ORARIE

𝝎 𝒕 = 𝝎𝟎 + 𝜶 𝒕

𝜽 𝒕 = 𝜽𝟎 +𝝎𝟎 𝒕 +𝟏

𝟐𝜶 𝒕𝟐

o Accelerazione centripeta:

• 𝒂𝑵 = 𝝎𝟐𝑹 = 𝝎𝟎 + 𝜶𝒕 𝟐 𝑹

Moto circolare


NOTAZIONE VETTORIALE

• VELOCITÀ DEL MOTO CIRCOLARE

𝒗 = 𝝎 × 𝒓

Dove 𝝎 è il vettore velocità angolare

Direzione PERPENDICOLARE al piano del moto

Verso secondo la regola della mano destra

• ACCELERAZIONE DEL MOTO CIRCOLARE

𝒂 = 𝜶 × 𝒓 +𝝎 × 𝒗

Moto circolare

Verso orario

Verso antiorario

𝝎

𝝎

𝒂𝑻Modulo: 𝜶𝑹

𝒂𝑵Modulo: 𝝎𝟐𝑹


• La signora Rossi compie un viaggio Roma – Viterbo – Roma

(216 km complessivamente). Si ferma mezz’ora a Viterbo e rientra

a Roma 3 ore dopo. La sua velocità media è:

a) 72 km/h

b) 0 m/s

c) 20 m/s

d) 86,4 km/h

e) I dati forniti non sono sufficienti

Quesiti di riepilogo (1)


• Quale delle seguenti affermazioni relative al moto di un punto

materiale è corretta?

a) La legge oraria consente di determinare la traiettoria del

moto

b) La velocità media è una grandezza scalare mentre quella

istantanea è vettoriale

c) Qualunque sia la traiettoria in un moto uniforme la velocità è

costante

d) Se in un moto la velocità è costante il moto è rettilineo

uniforme

e) Se in un moto la velocità varia, esso avviene necessariamente

su traiettoria curvilinea.



• In un moto curvilineo uniforme i due vettori velocità e accelerazione

sono:

a) Entrambi nulli

b) Perpendicolari

c) Paralleli

d) Nulla l’accelerazione e diversa da zero la velocità

e) L’accelerazione ha sia una componente tangenziale che una

centripeta



• In 𝟐𝟎 𝒔 la velocità di uno sciatore aumenta da 𝟕𝟐 𝒌𝒎/𝒉 a

𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉.

Qual è la sua accelerazione?

a) 𝟒𝒎/𝒔𝟐

b) 𝟎. 𝟗 𝒎/𝒔𝟐

c) 𝟏𝟏𝒎/𝒔𝟐

d) 𝟎. 𝟐𝟓 𝒎/𝒔𝟐

e) 𝟐. 𝟓 𝒎/𝒔𝟐



• Nel diagramma è riportata la velocità di

un'auto in funzione del tempo.

Che cosa rappresenta l'area del trapezio?

a) La velocità del corpo dopo 60 secondi

b) L'accelerazione del corpo al tempo t = 60 s

c) Lo spazio percorso dal corpo in 60 secondi

d) La velocità media del corpo

e) Fisicamente non rappresenta niente



• Un disco ruota di moto circolare uniforme

intorno al suo centro.

I tre punti A, B, C hanno uguali:

a) Frequenza e velocità tangenziale

b) Velocità angolare e accelerazione centripeta

c) Velocità angolare e periodo

d) Velocità tangenziale e periodo

e) Velocità tangenziale e accelerazione centripeta



• Quale delle seguenti affermazioni relative al moto armonico di un

punto materiale è errata?

a) La velocità è nulla agli estremi di oscillazione

b) L’accelerazione è massima agli estremi di oscillazione

c) L’accelerazione è proporzionale allo spostamento

d) L’accelerazione e la velocità hanno sempre lo stesso segno

e) Il punto materiale accelera quando si muove verso il centro



• Un aereo che vola in picchiata a velocità costante con angolo di 𝟑𝟕° rispetto

l’orizzontale sgancia un proiettile alla quota di 𝟕𝟑𝟎𝒎 dal suolo.

Il proiettile colpisce il terreno dopo 𝟓 𝒔.

1. Qual è la velocità dell’aereo?

Esercizio 2.4


• In un bar, l’avventore lancia il boccale della birra lungo il banco. Il barista non si

accorge del lancio e il boccale cade verso il suolo. Se il banco è alto 𝟎. 𝟖𝟔 𝒎 e il

boccale cade a 𝟏. 𝟒 𝒎 dalla base del banco, si calcolino

1. La velocità iniziale del boccale;

2. La velocità nel momento in cui tocca il suolo.

Esercizio 2.5


• Un calciatore lancia il pallone ad una distanza di 𝟑𝟔𝒎 dalla porta. Per fare

gol, il pallone deve passare sotto la traversa che è alta 𝟑. 𝟎𝟓 𝒎.

1. Sapendo che il pallone parte con angolo 𝟓𝟑° e velocità 𝟐𝟎𝒎/𝒔, determinare se il calciatore segna il gol oppure no.

Esercizio 2.6


• Un proiettile viene lanciato verso l’alto da un balcone posto ad altezza 𝟒𝟕. 𝟑 𝒎con inclinazione 𝟒𝟎° rispetto l’orizzontale e velocità iniziale 𝒗𝟎 = 𝟑𝒎/𝒔.

1. Determinare dove cade al suolo.

Esercizio 2.7


• Un pilota di caccia vola ad una velocità di 𝟔𝟗𝟒𝒎/𝒔.

1. Qual è l’accelerazione di cui risente se percorre una traiettoria circolare

di raggio 𝑹 = 𝟓. 𝟖 𝒌𝒎?

Esercizio 2.8


• Un satellite terrestre si muove con orbita circolare alla quota di 𝟔𝟒𝟎 𝒌𝒎 sopra

la Terra (raggio 𝑹𝑻 = 𝟔𝟑𝟕𝟎 𝒌𝒎), con un periodo di rotazione di 𝟗𝟖𝒎𝒊𝒏.

Si calcolino:

La velocità del satellite;

La sua accelerazione centripeta.

Esercizio 2.9


• La ruota del luna park ha raggio 𝑹 = 𝟏𝟓𝒎 e compie 𝟓 𝒈𝒊𝒓𝒊 in 𝟏𝒎𝒊𝒏.

Si calcolino:

1. Il periodo;

2. L’accelerazione centripeta nel punto più in alto;

3. L’accelerazione centripeta nel punto più basso.

Esercizio 2.10


Richiamo calcolo derivate

moto nel piano · 2020-02-26 · elisabetta bissaldi (politecnico di bari) –a.a. 2019-2020 2 •...

Documents