monografia de relaciones y funciones
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ESCUELAS DE INGENIERIA CIVIL E
INGENERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
ASIGNATURA: MATEMÁTICA BÁSICA
TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES
CICLO: I
DOCENTE: LC. SALDARRIAGA HERRERA, Javier
INTEGRANTES: GORDILLO GUEVARA, Geiser
MEDINA TERRONES, Edin Jackson
VÁSQUEZ SILVA, Ybilder Fidel
FECHA: 12 / 03 / 2014
JAÉN – PERÚ
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INTRODUCCIÓNLas notas que siguen han sido preparadas para el profesor de
Matemática. Temas aplicados a la economía para ser utilizadas por los
estudiantes como material de consulta alternativo de los textos recomendados
en la bibliografía. Estas notas difieren del contenido de los clásicos textos de
Matemática porque no se ocupan los fundamentos de la ciencia ni de su
construcción mediante métodos lógico-deductivos. Como el curso es de
matemática aplicada, el mismo no se ocupa de demostrar propiedades y
teoremas, sino de aplicar estos resultados para la resolución de problemas
relevantes de la ciencia económica.
Con ese objeto en estas notas se repasan capítulos del álgebra para que
los estudiantes conocieran en la enseñanza en las carreras universitarias de
grado. Se hace especial hincapié en al estudio de relaciones y funciones, y los
métodos de optimización.
Entre las aplicaciones a la Economía que se presentan en el curso cabe
mencionar la elasticidad de la demanda, la clasificación de productos como
complementarios o competitivos, la asignación óptima del presupuesto entre
los factores de la producción, la minimización del costo de producción, la
maximización de la utilidad sujeta a restricciones presupuestarias, entre otras.
Estos casos prácticos tienen el propósito de mostrar las aplicaciones a la
Economía así como ejercitar a los estudiantes en el uso de los conceptos del
álgebra y el análisis y sus reglas operatorias.
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ÍNDICE
CAPÍTULO I
1.1. ASPECTOS DE LA PROBLEMÁTICA 4
1.1.1. REALIDAD PROBLEMÁTICA 4A) En el periodismo 4B) En la publicidad 5C) En la política 6D) En la música 7E) En la economía 8
1.1.2. PLATEAMIENTO DEL PROBLEMA 9A) Problema principal 9B) Problema específico 9
1.1.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. 9
1.1.4. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA DE ESTUDIO 9
1.1.5. OBJETIVOS 10A) OBJETIVOS GENERALES 10B) OBJETIVOS ESPECÍFICOS 10
CAPITULO II
2.1 MARCO TEORICO 11
2.1.1 RELACIONES 11
2.1.2 FUNCIONES 13
A) Función lineal 14
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a) Forma pendiente intersección 17b) Rectas horizontales y verticales 19c) Rectas paralelas y perpendiculares 20d) Aplicaciones de las funciones lineales 21e) Gráficas lineales de oferta y demanda equilibrio de
mercado 22
B) Función cuadrática 27a) Análisis de sus comportamientos gráficos 29b) Aplicaciones económicas de las funciones cuadráticas 34
C) Función exponencial 34a) Comportamiento grafico 37b) Aplicaciones económicas 39
D) Función logarítmica 39a) Análisis de su comportamiento gráfico 40
CAPÍTULO III
3.1. CONCLUSIONES 42
3.2. RECOMENDACIONES 42
3.3 BIBLIOGRAFÍA 43
3.4. LINKOGRAFÍA 43
CAPÍTULO I
3
1.2. ASPECTOS DE LA PROBLEMÁTICA
1.2.1. REALIDAD PROBLEMATICAPrincipalmente para definir la presencia de las matemáticas en otros
campos utilizaremos la estadística al ser uno de los recursos matemáticos que
más aparecen y se repiten en sectores como el periodismo, la publicidad o la
política.
Otra de las funciones más utilizadas son las funciones matemáticas, en
las cuales podremos comprobar cómo se comporta una variable con respecto
a otra. Las funciones principalmente se utilizan en campos como la física, en
casos como comprobar como varia la velocidad con respecto a la aceleración,
o la energía potencial con respecto a la altura. Hemos puesto solo dos
ejemplos pero existen una infinidad de fórmulas dentro de este campo que
relacionan a dos variables.
Esto no solo ocurre en la física, sino que también se muestran presentes
en la economía y muchas otras ciencias. Estudiando la relación entre variables
podemos comprobar que existen dos tipos de relaciones: Directamente
proporcionales: Cuando al aumentar el valor de una variable, la otra disminuye
de una manera proporcional. Inversamente proporcionales: Cuando al
aumentar una variable, la otra lo hace de una forma proporcional.
F) En el periodismoEn el periodismo con mucha frecuencia se utilizan estadística y
porcentajes para hablar una noticia o para obtener toda la información de esta
antes de hacerla pública. Todos podemos presenciar esto en cualquier
informativo, periódico, o en internet, ya que suele ser una forma muy eficaz y
clara de mostrar la idea que se quiere transmitir.
Muchas veces este ejercicio no es del todo correcto ya que los
periodistas suele maniobrar con valores que no paran de subir y de bajar, así
es que no siempre un tanto por cierto resulta significativo, sino que solo lo es
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en algunos casos.También es cierto que en otras ocasiones estos valores que
suben y que bajan resultan muy fácilmente manejables con tantos por ciento
para expresar específicamente la variación porcentual de este valor con
respecto al tanto por ciento de los valores obtenidos en estudios realizados
con anterioridad.
Se puede utilizar el ejemplo para datos relacionados con un flujo entre el
valor de un mes, un trimestre o un año y el valor de este mes, trimestre o año
tomado con anterioridad o los cambios del PBI. En televisión (comunicación
audiovisual) se utilizan principios de la geometría y manejo del espacio, por
ejemplo: diseño de escenarios, perspectiva, cálculo del tiempo por toma o por
guión.
G) En la publicidadEs imprescindible en este campo hacer estudios antes de sacar a la
venta un producto o la hora de intentar venderlo de una u otra manera.
Además con estos estudios estadísticos logran descubrir qué clase de público
es más propenso a la compra del producto y poder enfocar las campañas de
marketing de una manera o de otra.
Una vez hechos los estudios estadísticos pertinentes las probabilidades
de fracaso son casi imposibles ya que todo está controlado de tal manera que
los riesgos son mínimos y se puede hacer una apuesta seguro. De hecho para
conseguir abales es muy importante que se pueda defender la inversión
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mediante datos estadísticos. También se tienen que analizar las estadísticas
para calcular los presupuestos que se deben gastar en una campaña de
marketing o de estudio del producto.
H) En la políticaDesde el inicio de una campaña política hasta la un gobierno es vital la
utilización de estudios estadísticos para todo.
Las famosas campañas políticas están muy estudiadas mediante estadísticas
para entender el tipo de público hacia el que hay que enfocarlas y cómo
enfocarlas.
En el caso de cualquier tipo de gobierno que tenga que tomar cualquier
decisión influye la matemática y no solo la estadística, pero está en mayor
medida ya que todas y cada una de las decisiones no están simplemente
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meditadas por un grupo de profesionales, sino que estos comprueban
mediante estadísticas todo con el fin de que no exista ningún contratiempo.
Es importante también mencionar en este apartado que la matemática
está completamente inmersa en la política en el tema de ponderación de votos
por zonas, que varía el valor de los votos en relación a las distintas
comunidades autónomas, y también en la obtención de escaños según el
número de votos.
La matemática se utiliza en la ciencia política a través de la estadística.
Es muy útil para representar de una forma ordenas y muy organizada de
representar una gran cantidad de información. En base a estos datos se
analiza en profundidad, lo cual significa que una vez analizado a fondo la
información recopilada, se procede a tomar importantes decisiones que sean
acordes a la realidad del país.
I) En la músicaQuizás este es el apartado más sorprendente que podamos encontrar en
el trabajo ya que se relacionara las matemáticas con la música, algo que al
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parecer no tiene una gran relación. Bien es cierto que grandes matemáticos
han utilizado la música en algunas de sus obras, pudiendo destacar de entre
ellos a Pitágoras que realizó un estudio sobre la naturaleza de los sonidos:
Experimentó con cuerdas de distintas longitudes descubriendo sonidos
agradables para el oído y creando una escala, la escala diatónica.
También algunos músicos muy conocidos utilizaron elementos
matemáticos en sus obras relacionando algunos de sus compases con la
razón áurea, de entre ellos se puede destacas a Mozart y a Bach. Más
adelante Joseph Schillinguer detalló un sistema de composición basado en
principios matemáticos, principalmente la geometría.
J) En la economíaLa definición de economía matemática es rama de la ciencia económica
que utiliza la lógica matemática y sus herramientas para estudiar hechos
económicos. Dentro de este género son de gran utilidad las funciones, sobre
todo para la posterior representación gráfica, que es un elemento muy utilizado
por los economistas al ser un elemento visual muy rápido y sencillo de
entender.
Es imprescindible el cálculo de máximos y mínimos en rectas que
representen elasticidades, rentas, precios o costes para exprimir toda la
información que estas pueden proporcionarnos. Al igual que en muchos otros
campos la economía tiene presentes los tantos por cientos como elemento de
representación de valores en infinidad de ocasiones.
Para concluir, es conveniente señalar que existen muchos economistas e
investigadores que están a favor del formalismo en la economía, es decir, a
favor de la denominada “economía matemática”, y otro número no menos
importante a favor de la denominada “economía discursiva”
Podemos utilizar como ejemplo el cálculo de la rentabilidad de algo a
través de sus costes: En la economía es un factor importante para calcular por
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ejemplo el valor de los costes. Los cuales para no ser superiores a los gastos
deben cumplir esta fórmula matemática:
1.2.2. PLATEAMIENTO DEL PROBLEMA
C) Problema principalFrente a todo este análisis el problema de investigación queda formulado
“como se debe utilizar correctamente las relaciones y funciones aplicadas en la
sociedad actual”.
D) Problema específicoDificultades para obtener cálculos de las ganancias mínimas o máximas
en la producción de bienes.
Deficiencias para obtener ganancias en el desarrollo de la inversión
utilizando como principio a las relaciones y funciones matemáticas.
1.2.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.
¿Cómo influyen las relaciones y funciones en el desarrollo de la
economía?
1.2.4. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA DE ESTUDIOCuando el conocimiento matemático se hace objeto del discurso
didáctico, es indispensable tomar en consideración la acción de los procesos
de transposición, así como las diferentes dimensiones del conocimiento,
propias de la disciplina. La educación matemática reconoce que el análisis
histórico crítico, las teorías cognitivas, la teoría de la información, suministran
elementos substanciales que deben ser incorporados como parte de la
reflexión permanente sobre nuestro campo.
El sentido de estas actividades, es permitir al estudiante revisar sus
bases y fundamentos matemáticos, buscando una nivelación de los conceptos
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básicos indispensables para emplearlos en las demás actividades académicas
que requieren de la matemática como herramienta para su estructuración y
comprensión.
El estudiante en este nivel debe hacer conciencia, que realiza una carrera
profesional, la cual requiere de un amplio dominio de la matemática y que sus
deficiencias deben ser superadas de una u otra forma, mediante la consulta
permanente de textos, solución de talleres, discusión en clase,
retroalimentación y cualquier otro mecanismo que le permita la apropiación,
relación y utilización de los conocimientos.
1.2.5. OBJETIVOSC) OBJETIVOS GENERALES
Empleando modelos matemáticos, desarrollar habilidades y destrezas
que le permitan razones lógicas, critica y objetivamente; adquiriendo
independencia en su actividad intelectual y personal, perseverando en la
búsqueda del conocimiento y su relación con el medio social.
D) OBJETIVOS ESPECÍFICOSIdentificar las relaciones numéricas en diferentes contextos,
representarlos en diversas formas y establecer relaciones entre ellos; redefinir
las operaciones básicas entre estos números establecer relación entre ellos.
Representar y analizar funciones, utilizando pare ello criterios tablas,
expresiones algebraicas, ecuaciones, gráficas e interpretar estas
representaciones.
Adquirir habilidad y destreza en el planteamiento y solución de problemas
cotidianos.
CAPITULO II
10
2.2 MARCO TEORICO
2.2.1 RELACIONES Se llama producto cartesiano del conjunto de partida A por el conjunto de
llegada B (notación: AxB) a un conjunto de pares ordenados cuyo primer
componente es un elemento de A y cuyo segundo componente es un elemento
de B.
Ejemplo: A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}
AxB = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}
Obsérvese que los elementos de AxB son ahora pares ordenados. Por
ejemplo, el par (a,3) pertenece al producto cartesiano, mientras que el par
(3,a) no pertenece al producto cartesiano. Por lo dicho, en general, AxB ≠ BxA.
Si A y B son finitos, entonces el número de elementos de AxB es el producto
del número de elementos de A por el número de elementos de B.
El producto AxB puede visualizarse en un diagrama de Venn, donde sus
elementos (los pares ordenados) están dados por el origen y la punta de cada
flecha.
Se llama relación de A en B a una terna ordenada [A, B, G] donde G es
un conjunto de pares ordenados de primera componente en A y segunda
componente en B. El conjunto G se llama gráfico de la relación de A en B. El
gráfico de la relación es, por definición, un subconjunto del producto cartesiano
de AxB. Se deduce que [A, B, AxB] es una relación.
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Los siguientes ejemplos son los gráficos de cuatro relaciones, los cuales
se presentan expresados por extensión y luego mediante los diagramas de
Venn. Los conjuntos A y B de la terna [A, B, G] son los del ejemplo anterior.
G1 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
G2 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
G3 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}
G4 = {(c, 4)}
Algunas relaciones pueden definirse mediante
la regla de formación de los pares, por
comprensión. Por ejemplo, en el gráfico G3 la
relación consiste en hacer corresponder a todo
elemento de A el elemento “1” de B.
Ejemplo: sea A, el conjunto de todos los países de
la Tierra y sea B el conjunto de todas las ciudades del mundo. Se definen dos
relaciones:
R1 = a cada país de A se le hace corresponder su capital en B.
R2 = a cada país de A le corresponden en B todas las ciudades, de ese mismo
país con más de 1.000.000 de habitantes.
En el caso R1 todos los elementos de A son “origen” de una flecha, y
solo una, en el gráfico porque todos los países tienen una sola capital (Bolivia
podría considerarse una excepción del cual parten dos flechas). En el caso R2
algunos países podrían no figurar como primera componente del gráfico por
no tener mega-ciudades (Bolivia es un ejemplo de este tipo). De Uruguay
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partiría una única flecha en el gráfico de R2 (pues Montevideo es la única
mega-ciudad), mientras que de Brasil, Argentina, México y EEUU partirían
varias flechas en el gráfico de R2 (tantas como ciudades que pasan del millón
de habitantes en dichos países).
2.2.2 FUNCIONES Se ha estudiado las funciones en forma general, ahora estudiaremos las
aplicaciones de estas funciones en administración y economía y para esto
recordemos el concepto de función en términos económicos.
Las funciones son herramientas para relacionar elementos de un
conjunto, llamado inicial, con elementos de otro conjunto, llamado final. El
concepto es parecido al de relación, donde se relacionan elementos de un
conjunto entre sí. Sin embargo hay una diferencia esencial. En una función
se exige que cada elemento del conjunto inicial esté relacionado solo con
uno del conjunto final. La consecuencia inmediata es que la inversa de una
función (es decir los elementos del conjunto final asociados con los que les
corresponden del inicial) no es, en general, una función.
Este capítulo tiene dos objetivos, que se alcanzan a través de los
conceptos de función inyectaba, función suprayectiva y función biyectiva. El
primero es caracterizar las funciones que tienen inversa, que resultan ser
las biyectiva. El segundo es mostrar la descomposición canónica de una
función como composición de una función inyectaba, una biyectiva y una
suprayectiva.
E) Función linealComenzaremos esta unidad analizando relaciones entre variables que se
comportan como funciones lineales y que se denominan así porque se
representan gráficamente mediante líneas rectas. Es el tipo de función que
más frecuentemente interviene en las relaciones entre magnitudes de todo
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tipo. En economía frecuentemente aparecen funciones en las que las
variaciones de las causas influyen proporcionalmente en las variaciones de los
efectos: El dinero que se gana es proporcional a la cantidad de mercadería
que se vende. El costo de un viaje es proporcional a la distancia recorrida.
Veremos cuál es la expresión analítica o fórmula que representa a las
funciones lineales. Para ello, analicemos una función que representa el costo
total de un fabricante. El costo de fabricar un artículo consta comúnmente de
dos partes. La primera es un costo fijo, como pueden ser los gastos de diseño,
de capacitación, etc., que son independientes de la cantidad de artículos que
se fabriquen.
Dentro de amplios límites, el costo fijo es constante para un producto
particular y no cambia cuando se fabrican más artículos. La segunda parte es
un costo por artículo (trabajo, materiales, empaque, envío, etc.) llamado
comúnmente costo variable. El valor total de este segundo costo depende del
número de artículos fabricados. El costo total se integra con la suma de
ambos.
Supongamos que el costo del fabricante está conformado por: $ 200
fijos integrados por conceptos que no dependen de la cantidad de unidades
producidas, más $ 10 por cada unidad fabricada.
La tabla de valores que representa la relación establecida entre cantidad
de unidades producidas y costo total, sería:
Cantidad de unidades producidas Costo total
0 0 x10 + 200 = 200
1 1x10 + 200 = 210
2 2x10 + 200 = 220
3 3x10 + 200 = 230
10 10x10 + 200 = 300
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x Xx10 + 200= n
En la última fila de la tabla, cuando generalizamos llamando x al número
de unidades producidas, el costo correspondiente es: C(x) = 10 x + 200. Esta
última expresión es la fórmula o ecuación que muestra qué debe hacerse con
la entrada para obtener la salida. Cualquiera sea el número de unidades
fabricadas, se puede obtener el costo total multiplicando la cantidad de
unidades producidas por $ 10 y luego sumándole al resultado los $200 de
costos fijos.
La expresión analítica que representa la relación entre las variables
unidades producidas (x) y el costo total (C(x) es: C(x) = 10x + 200. Se trata de
una relación funcional, que puede ser representada en un sistema de ejes
coordenados cartesianos. Es posible apreciar el comportamiento gráfico de
esta relación, representando alguno de los puntos de la tabla en un sistema
coordenado de ejes cartesianos.
C(x) = 10x + 200
La Figura muestra que su representación gráfica es una línea recta, que
crece 10 unidades por cada unidad que crece x y que su intersección y es el
punto (0,200). Veamos cómo se modificaría la situación, si el fabricante logra
disminuir en un 50 % el importe de los costos que intervienen en cada unidad
producida, manteniéndose los $200 de costos fijos. El propósito es advertir qué
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Unidades Producidas
Costo de Producción
x 806040200
500
400
300
200
100
0
cambio ocasiona la nueva situación en la expresión analítica que habíamos
hallado anteriormente:
Cantidad de unidades producidas Costo total
0 200
1 1. 5+200 = 205
2 2. 5 + 200 = 210
3 3. 5 + 200 = 215
10 10. 5 + 200 = 250
X x. 5 + 200 = n
Esta nueva situación, tendría la siguiente representación gráfica:
En las situaciones descriptas, podemos observar que: las expresiones
analíticas que corresponden a relaciones funcionales cuyas representaciones
gráficas son líneas rectas, son polinomios de primer grado.
C(x) = 10 x + 200 (1)
C(x) = 5 x + 200 (2)
Sus crecimientos se mantienen constantes. Esta característica identifica a
las funciones lineales. En la expresión analítica (1) cuando la producción se
incrementa en una unidad, el costo se incrementa en $ 10. En la expresión
analítica (2) cuando la producción se incrementa en una unidad, el costo se
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Costo de Producción
Unidades Producidas
200x5xC
incrementa en $ 5. Observa que 10 en un caso, y 5 en el otro, son los
coeficientes que multiplican a x en forman acerca del crecimiento de la función.
En (1) el 10 que multiplica a x informa que la función crece 10 unidades
por cada unidad que crece x. En (2) el coeficiente 5 indica que la función crece
5 unidades por cada unidad que crece x. Este coeficiente constante se
denomina pendiente de la recta y es el que determina la inclinación que tiene
la recta con respecto al eje de abscisas. El término independiente de las
ecuaciones: 200, nos informa acerca de la intersección de la gráfica con el eje
“y”.
En (1) C(O)=10.0+200=200
En (2) C(O)= 5.0+200=200
Por todo lo expuesto es posible concluir: La expresión analítica de una
función que crece a ritmo constante con respecto a su variable independiente y
cuya representación gráfica es una línea recta tiene la siguiente estructura:
y = m x + b
Esta forma de ecuación de la recta se denomina forma pendiente-
intersección debido a que representa a una recta que tiene pendiente m y una
intersección-y en (0, b).
f) Forma pendiente intersecciónSeguidamente podrás apreciar la interpretación geométrica que le
corresponde a las constantes m y b que aparecen en la ecuación. m>b
pendiente de la recta: da la pauta del crecimiento, determinando la inclinación
de la recta. Puede interpretarse bien como una razón o proporción o bien como
una tasa o ritmo de variación. Sí los ejes x e y tienen la misma unidad de
medida la pendiente no tiene dimensión y es una "razón o proporción". Si los
ejes tienen distintas unidades de medida, la pendiente es una " tasa o ritmo de
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cambio". También suele denotarse la pendiente de la recta con la letra a, con
lo que la ecuación también puede expresarse
y = a x + b.
“b” corte al eje y: la interpretación geométrica de la constante b es la
intersección de la recta con el eje y. También se la denomina ordenada al
origen.
La forma pendiente intersección de la ecuación de la recta nos brinda
información geométrica sobre ella, ya que según vimos el signo y valor de m
determina el crecimiento o decrecimiento de la función por cada unidad de
crecimiento de la variable independiente, y el signo y valor de b determina el
punto de corte de la función al eje y. Si no se conoce la expresión analítica que
representa una función lineal, es posible deducirla teniendo como dato las
coordenadas de dos puntos cualesquiera que pertenezcan a ella.
Ejemplo: si se quiere hallar la ecuación de la recta que pasa por dos
puntos de coordenadas conocidas:(1, 2) y (3, 8). La pendiente de una recta es
la cantidad en que cambia la coordenada y de un punto de la recta cuando la
coordenada x se incrementa en 1: En el ejemplo dado, la coordenada y se
incrementa en 6 unidades (8 - 2) cuando la coordenada x se incrementa en 2
unidades (3 - l).
Si cada dos unidades de x, y crece 6, es posible deducir que la función
está creciendo 3 unidades por cada unidad en que se incrementa x, por lo que
la pendiente de esta recta es m =3.
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En general para simbolizar los cambios en las variables se utiliza la letra
griega a (delta), por lo que Δy (se lee delta y) simboliza el cambio en y, y Δx
(se lee delta x) y representa el cambio o incremento en la variable x.
g) Rectas horizontales y verticalesAnteriormente se definió la pendiente de una recta como la
razón entre: = m = ; Si la recta es horizontal, todo punto
sobre la recta tiene la misma coordenada y:
Por ejemplo, la recta que pasa por los puntos (-3, -5) y (2, -5) en donde:
m = = 0; y = 0x + b reemplazando x e y por las
coordenadas de cualquier punto.: -5 = 0.2 + d -> b = -5 por lo que la
ecuación es y = - 5
La ecuación de una recta horizontal está dada por: y = b
Analicemos ahora el caso de la recta paralelas al eje y. Si la recta es
vertical, todo punto sobre la recta tiene la misma coordenada x:
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Por ejemplo si buscamos la forma pendiente intersección de una recta
vertical que pasa por los puntos (4,1) y (4,-2); m = = = no existe (la
división por cero no existe). La ordenada al origen b, tampoco existe ya que al
ser la recta vertical es paralela al eje y por lo tanto no corta a dicho eje. Esto
nos permite concluir que la recta vertical no puede expresarse en la forma
pendiente - intersección. Su ecuación es x = c, siendo c el valor de abscisa de
todos los puntos de la recta y consecuentemente el punto en que la recta corta
al eje de abscisas. Representa una relación que no es función.
En el ejemplo considerado la ecuación sería x = 4. Se puede resumir lo
visto respecto a pendiente, diciendo que si:
m > 0 función creciente, recta orientada del I al III cuadrante
m < 0 función decreciente, recta orientada del II al IV cuadrante,
m = 0 función constante, recta horizontal.
m = no existe, no es función, recta vertical
h) Rectas paralelas y perpendicularesHemos visto que la pendiente de una recta, determina su inclinación. Por
ello es sencillo deducir que dos rectas paralelas entre sí, tienen la misma
inclinación respecto al eje x: por lo que sus pendientes son iguales: Por
ejemplo, las rectas y = 3x - 5 y = 3 x – 112; Lo anterior fue fácil de
apreciar, lo que sigue se admitirá sin demostración:
Dos líneas no verticales son perpendiculares si sus pendientes son
recíprocas y de signo contrario: m y –1/m, Por ejemplo: y= 1/2 x + 5; y= - 2x –
10. Hemos visto que teniendo como dato la pendiente de una recta y la
intersección y, es posible hallar la expresión analítica que la representa,
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obteniendo la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta.
Seguidamente, veremos que también podemos expresarla analíticamente, si
disponemos como dato, de la pendiente y un punto cualquiera que pertenezca
a la recta.
i) Aplicaciones de las funciones linealesLas funciones lineales se aplican a diversas situaciones que se presentan
en la vida real. Uno de los casos más comunes es usarla para construir una
función lineal que aproxime los datos reales. Esa función proporciona un
modelo lineal de la situación, que puede usarse para predecir
comportamientos futuros.
Observa como ejemplo los datos obtenidos en un estudio realizado en los
E.E.U.U. que registra el costo anual promedio en las universidades públicas
durante los años 1981 y 1995. Considerando que x = 1 corresponde a 1981.
AÑOS 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995
COSTO $909 $1148 $1318 $1537 $1781 $2137 $2527 $2686
Los puntos en la figura no se encuentran sobre una recta, pero se
acercan bastante a una (un modelo lineal no tiene que ser exacto para todos
los valores de x). Existen varios métodos para encontrar una recta de "mejor
ajuste" que serán estudiados más adelante en otra materia, pero mientras
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tanto usando un enfoque simple se pueden seleccionar dos puntos en la figura
(1, 909) y (11, 2137) y se dibuja la recta que determinan. Todos los puntos
dato se encuentran razonablemente cerca de esa recta.
Su expresión analítica f(x) = 122,8 x + 786,2 proporciona un modelo lineal
de la situación y puede usarse con precaución para pronosticar el
comportamiento de los costos. Una de las aplicaciones más importantes de las
funciones lineales en Administración y Economía, es en el estudio de las
relaciones funcionales que se establecen entre cantidades demandadas y
ofertadas.
j) Gráficas lineales de oferta y demanda equilibrio de mercado
La oferta y la demanda para un cierto artículo están usualmente
relacionadas con su precio. En realidad, tanto la cantidad de productos que
demandan los consumidores, así como la cantidad de productos que ofertan
los fabricantes dependen de un cierto número de circunstancias variables
como pueden serio: el precio del producto, el precio de otros productos que
pueden sustituirlo, el ingreso de los consumidores, los gustos, las costumbres,
etc. Sin embargo, haciendo un análisis económico elemental, se considera a la
demanda y a la oferta como funciones solamente de la variable más
importante, que por lo general es el precio del producto.
Gráficas de demanda.- Para cada precio de un producto, existe una
cantidad de ese producto que los consumidores demandan (compran) en un
determinado período que por lo general es una semana. En el comportamiento
de la demanda más común, a mayor precio, menor es la cantidad que se
demanda y por el contrario si se reduce el precio, aumenta la cantidad
demandada.
Por ello, generalmente la pendiente de una línea recta de demanda es
negativa. La ecuación que relaciona el precio por unidad de producto (p) y la
cantidad demandada del producto (q) se denomina ecuación de demanda.
Ejemplo: Un economista ha estudiado la demanda para chapas de aluminio y
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ha determinado que el precio por unidad p y la cantidad demandada q, se
relacionan por la ecuación lineal. p = 60 -3/4q
Aclaración: a pesar de que la variable independiente es el precio p, la
mayor parte de los economistas representa a la variable q en el eje horizontal y
al precio p en el eje vertical, por lo que en la ecuación aparece expresada p en
función de q. Sólo se muestra la porción de la gráfica en el cuadrante 1,
porque la demanda sólo tiene sentido para valores positivos de p y de q. El
gráfico de demanda sería:
Ayuda: recuerda considerar los pares en el orden (q, p) para poder
representar en el eje horizontal las cantidades demandadas y en el eje vertical
los correspondientes precios
Gráficas de oferta.- En respuesta a diversos precios, existe una cantidad
correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer
en el mercado en un período específico (generalmente una semana). Por lo
general, cuanto mayor es el precio unitario, mayor será la cantidad de artículos
que los fabricantes están dispuestos a ofrecer, al reducirse el precio, se reduce
también la cantidad ofertada, por lo que lo más común será que la recta que
represente la oferta tenga pendiente positiva, ascendiendo de izquierda a
derecha.
En el caso de la gráfica de oferta, también es válida la aclaración que se
hizo para las gráficas de demanda: Se consideran las porciones de gráficas
que aparecen en el primer cuadrante. Se representa la variable q (cantidad
ofertada) en el eje horizontal y la variable p (precio) en el eje vertical.
23
Ejemplo: el mismo economista estudió la oferta y concluyó que la
cantidad ofertada q se relaciona con su precio p por la ecuación de oferta: p =
0,85 q. Su correspondiente gráfico de oferta sería:
Si se representa en un mismo sistema de ejes coordenados, las gráficas
de demanda y de oferta de chapas de aluminio que se analizaron
precedentemente:
En el gráfico se puede apreciar que la oferta y la demanda son iguales en
el punto en que la gráfica de la oferta intercepta la gráfica de la demanda. Este
punto se lo denomina punto de equilibrio y sus coordenadas son: 2ª
coordenada: el precio de equilibrio en el que se demanda y ofrece la misma
cantidad: $ 31,87. Y .la 1ª coordenada: la cantidad que se demandará y
ofrecerá en el precio de equilibrio: 37,5.
24
q85.0p
Cantidad ofertada
Precio
x 100806040200
100
80
60
40
20
0
q85.0p
q4360p
Cantidad ofertada y cantidad demandada.
Precio
Si dadas las dos ecuaciones de oferta y demanda se quiere determinar
algebraicamente (no a través del gráfico) el punto de equilibrio: se forma con
las dos ecuaciones un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y luego
se resuelve: (se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por
cualquiera de los procedimientos conocidos).
p = 60 – ¾ q
p = 0,85 q
60-3/4q = 0.85 q
60 = 0.85 q + 0,75 q
37,5 = q
El número de unidades para el cual la oferta igualará a la demanda es de
37,5 unidades. Para obtener la coordenada precio de equilibrio, se sustituye el
valor de q = 37,5 en la ecuación de la oferta o en la ecuación de la demanda:
p = 60 - 0.75 (37.5) = $ 31,87 o p = 0.85 (37,5) = $ 31,87
Este es el precio de mercado al cual la oferta iguala a la demanda, esto
es el precio de mercado al que no habrá excedente ni escasez del artículo. Se
dice que habrá escasez de productos en el mercado cuando la demanda
supere a la oferta. Por el contrario, existirá excedente del producto cuando la
oferta supere a la demanda. En general, para que un equilibrio sea
significativo, las gráficas de oferta y de demanda deben tener su intersección
en el primer cuadrante.
Otra aplicación importante de las funciones lineales es el análisis de las
ganancias o pérdidas que obtiene un fabricante a partir del comportamiento de
sus funciones lineales de ingresos y de costos. En una situación de fabricación
y ventas, la relación básica es: Ganancia = Ingresos – Costo
Tanto el ingreso como el costo pueden describirse en términos de
ecuaciones y la intersección de ambas determinará el punto donde el beneficio
25
es nulo, que es donde el ingreso iguala al costo. Cuando el ingreso supera al
costo el fabricante obtendrá ganancia y a la inversa cuando el costo supere a
los ingresos el fabricante perderá.
A modo de ejemplo te mostraremos la siguiente situación: Una empresa
que produce alimentos para pollos encuentra que el costo total C de producir x
unidades está dado por: C(x) = 20 x + 100
La gerencia planea cobrar $24 por unidad. La ecuación de ingresos será:
l(x) = 24 x. ¿Cuántas unidades deben venderse para que se alcance el punto
de equilibrio? La empresa alcanzará el punto de equilibrio o de beneficio nulo
(ganancia 0), cuando los ingresos igualen a los costos, es decir cuándo:
24 x = 20 x + 100 => x = 25
La empresa alcanza el punto de equilibrio al vender 25 unidades. Si la
empresa produce más de 25 unidades, obtendrá ganancia, si produce menos
de 25 unidades, el fabricante tendrá pérdidas.
F) Función cuadráticaNo siempre, una colección de datos admite un modelo lineal. A veces,
como es posible advertir en el gráfico siguiente, la nube de puntos que
representa la colección de datos responde a otro modelo.
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En esta sección estudiarás las particularidades que caracterizan a las
funciones cuadráticas, que es el tipo de función que mejor representa la
colección de datos que origina el gráfico de la figura precedente. Una función
cuadrática es una función cuya regla o fórmula está dada por un polinomio de
segundo grado, del tipo:
Una función cuadrática es una función cuya regla puede escribirse en la forma: : para a, b, c con valores constantes y a0.
Estas funciones tienen muchas aplicaciones en las ciencias económicas,
por lo que profundizaremos su estudio reconociendo la información que nos
brindan los coeficientes a, b, y c que aparecen en su fórmula, así como los
rasgos más relevantes de sus comportamientos gráficos. Observa el
comportamiento gráfico y las ecuaciones correspondientes a las funciones
cuadráticas que se muestran en el siguiente gráfico.
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Los gráficos se obtuvieron a partir de la obtención de un conjunto de
puntos que luego se trasladaron a un gráfico cartesiano. A medida que
avances en su estudio aprenderás a aproximar sus comportamientos
evaluando la información que proporciona la regla.
Las curvas que representan a toda función cuadrática se denominan
parábolas y todas tienen la misma forma básica “cóncava”, aunque la
concavidad puede ser ancha o estrecha. Las parábolas son simétricas con
respecto a una recta vertical, denominada eje de simetría de la parábola. El eje
no forma parte de la parábola, pero es un auxiliar útil para trazar su gráfico
Cuando una parábola se abre hacia arriba, su punto más bajo se llama
vértice. Cuando una parábola se abre hacia abajo, su vértice es el punto más
alto. Verás, analizando cuatro casos particulares, cómo los valores de los
coeficientes a, b y c determinan el comportamiento gráfico de la función
cuadrática.
c) Análisis de sus comportamientos gráficos1º caso: a 0 b = c = 0
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Un ejemplo de una función cuadrática que es muy conocida por todos
ustedes y que corresponda a este caso es la función: , donde a 0 = 1, b
= c = 0
Utilizando los conceptos de intersección y de simetría, es posible
aproximar rápidamente su comportamiento gráfico: Se trata de una función
par, por lo que será simétrica con respecto al eje de ordenadas, es decir que el
eje de simetría de la parábola coincide con el eje y. La intersección-y es f(0) =
0 = 0 punto de coordenadas (0, 0); La intersección-x es 0 = x x = 0
punto de coordenadas (0, 0).
En este caso el vértice es el origen del sistema cartesiano. Tanto para
valores de x positivos como para x negativos la ordenada y es positiva, por lo
tanto, excepto el vértice, la curva está en el semiplano superior con respecto al
eje x (1º y 2º cuadrante). Si dentro de este mismo caso, analizas los cambios
que se producen cuando el coeficiente a es mayor o menor (siempre con signo
positivo), podrás apreciar que en un caso la curva es más cerrada denotando
un crecimiento más rápido y en el otro la curva es más abierta de crecimiento
más lento:
29
y = ¼ x2
Seguidamente se analizará el cambio que se produce en la parábola si,
aparte del coeficiente a, existe algún otro coeficiente distinto de cero.
2º caso : a 0, b = 0 y c 0
Dentro de este caso estudiaremos las funciones cuadráticas que
responden a las fórmulas: (1) Si recordamos el concepto de
desplazamiento y lo aplicamos a este caso, concluimos que la función que
aparece en (1) se puede obtener luego de sumar una constante c a la función
. La suma de la constante c desplazará verticalmente a la parábola,
tantas unidades como lo indique el valor de c.
3º caso : a 0, b 0, y c 0
Recordemos que al sumar una constante c a la variable independiente,
se produce un desplazamiento horizontal en la gráfica de la función: Por
ejemplo la función: se obtiene desplazando una unidad
a la derecha. Resolviendo el cuadrado, podemos expresar a la función
. Donde es posible reconocer el caso de funciones cuadráticas
que estamos estudiando. Veamos su comportamiento gráfico:
30
Del comportamiento gráfico es posible deducir: Las ramas están
orientadas hacia arriba. El vértice se desplazó una unidad horizontalmente. El
eje de la parábola ya no es el eje de ordenadas, sino que es una recta vertical
que pasa por el vértice. En general se puede aproximar su comportamiento
gráfico buscando sus puntos notables como son sus intersecciones con los
ejes:
Intersección –y: f(0) = 0 - 2. 0 + 1 punto de coordenadas (0,1)
Intersección - x: 0 = x2 - 2 x + 1 De lo anterior se deduce que la
parábola corta al eje x en un solo punto de coordenadas (1, 0), que coincide
con el vértice de la parábola.
Para hallar las intersecciones con los ejes primero resuelve el cuadrado
de manera de expresar la fórmula de la forma:
Para hallar algebraicamente el valor exacto del vértice, es posible obtener
sus coordenadas a través de las siguientes fórmulas: Abscisa del vértice: -b/2ª
y la ordenada del vértice: f (-b/2ª) .Se reemplaza la abscisa del vértice en la
ecuación cuadrática, obteniendo así su valor de ordenada. El eje de la
parábola será la recta de ecuación: x = - b/2a
Como último caso se analizará la situación que se presenta cuando el
coeficiente a es negativo.
4º caso: el coeficiente a < 0
Cuando en el módulo anterior, dentro del concepto de desplazamiento se
evaluó la reflexión, pudo apreciarse que si a partir de una función y = f(x), se
obtiene: y = - f(x) ocasiona, no un desplazamiento vertical u horizontal, sino
una reflexión sobre el eje x. En el caso de las parábolas, si con el coeficiente a
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> 0 las ramas estaban orientadas hacia arriba, cuando a < 0 las ramas estarán
abiertas hacia abajo.
Después de haber analizado los cuatro casos que te presentamos, estás
en condiciones de deducir la información que cada coeficiente constante: a, b y
c brindan acerca del comportamiento de la función cuadrática:
Coeficiente a: orientación de las ramas
a > 0: ramas abiertas hacia arriba
a < 0: ramas abiertas hacia abajo
a = 0: nunca puede asumir este valor, ya que anularía el término cuadrático,
obteniéndose una función polinómica de 1º grado (función lineal)
Coeficiente b: desplazamiento horizontal
b = 0: eje de la parábola coincide con el eje de ordenadas
b 0: traslada horizontalmente a la parábola, por lo que su eje no coincide con
el eje Y, sino con una recta vertical de ecuación x = - b/ 2ª.
Coeficiente c: corte al eje de ordenadas
Intersección – y: f (0) = ax0 + bx0 + c
Intersección – x: La parábola cortará al eje x en dos puntos, en uno (que
coincide con el vértice) o en ninguno, según el resultado de aplicar la fórmula:
32
. En general evaluando solo el signo del discriminante, es
posible adelantar si la parábola cortará o no al eje x, y en su caso en cuántos
puntos. Se llama discriminante al radicando (expresión que aparece debajo del
signo radical) : . Se lo simboliza con la letra griega delta: , y si
resulta:
> 0 se obtendrán dos valores al resolver ±√∆: Analiza la fórmula y
entenderás que al sumar y luego restar el resultado de la raíz al valor de – b,
para luego dividirlo por 2 a, obtendrás dos valores reales distintos, que
indicaran dos puntos de corte al eje x.
= 0 se obtendrá un solo valor al resolver: ±√0=0 Al sumar o al restar 0 al
valor de –b se obtendrán dos valores reales iguales, indicando que
gráficamente la parábola corta en un solo punto al eje x, que es donde
coincidentemente se ubica su vértice.
< 0. La raíz de índice par de un número negativo, no tiene solución
dentro del conjunto de los números reales, por lo que nos estaría indicando
que ningún valor real de x es solución de esta ecuación de 2º grado y
gráficamente la parábola no tiene punto de corte al eje x.
Toda ecuación cuadrática tiene dos, una o ninguna solución real.
También con los valores de sus coeficientes, es posible determinar las
coordenadas de su vértice (valor máximo de la parábola si tiene las ramas
orientadas hacia abajo, o valor mínimo si sus ramas están orientadas hacia
arriba):
d) Aplicaciones económicas de las funciones cuadráticasDado a que el vértice de la parábola es el punto más alto o el más bajo
sobre la gráfica, es posible utilizar este concepto en la búsqueda de un valor
máximo o un valor mínimo de una función cuadrática:
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Ejemplo: El dueño de un comercio de artículos eléctricos que sabe que si
semanalmente vende (x) artículos, sus ganancias son: ,
desea determinar el número de unidades que deberá vender para que la
ganancia sea máxima.
En general, todas las funciones económicas que analizamos con un
comportamiento lineal como las gráficas rectilíneas de oferta, demanda, costo,
ingreso, pueden presentar datos que se ajusten mejor al comportamiento de
una función cuadrática.
G) Función exponencialLas funciones exponenciales juegan un papel importante tanto en
Administración, como en Economía y otras áreas. Se usan para estudiar el
crecimiento de dinero, organizaciones, curvas de aprendizaje, crecimiento de
población, etc. Implica una constante elevada a un exponente variable, tal
como
A la función f, definida por en donde b 0, b1, y el exponente x
es cualquier número real, se la denomina función exponencial con base b
Entonces se excluye b = 1, ya que = 1 no responde a los
comportamientos básicos que caracterizan a las funciones exponenciales.
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Veremos seguidamente dos ejemplos, que permitirán comenzar con el análisis
de este tipo de funciones:
Interés Compuesto: Un capital C que se deposita en un banco al 10 %
anual, se convierte al cabo de un año en: C + C. 10 % = C + C. 10/100 = C
(1+1/100) = C. 1,1; Al cabo de t años será: : La función que describe
cómo evoluciona el valor de cada peso inicial al cabo de x años es .
Devaluación: A la pérdida del valor adquisitivo del dinero se le llama
devaluación. Si con el mismo dinero que un año atrás se adquirían 100
artículos, hoy sólo pueden adquirirse 90, se dice que el dinero se ha devaluado
en un 10 %, es decir que vale 90/100 = 0,9 de lo que valía. Si cada año la
devaluación es del 10 %, la evolución del valor adquisitivo del dinero al cabo
de x años, estaría dado por la función .
También son ejemplos de funciones exponenciales: ; describe
la evolución de un capital colocado al 5 % anual. ; describe una
devaluación del 20 % anual. Las gráficas correspondiente a estos ejemplos, se
ubican en el primer cuadrante, ya que sus variables no asumen valores
negativos.
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Algunas funciones que parecen no tener la forma exponencial ,
pueden ponerse en esa forma aplicando las reglas de los exponentes:
Por ejemplo: ;
Seguidamente, analizando dos funciones exponenciales sencillas, vamos
a identificar sus comportamientos, según sea su base b>1, ó 0<b<1.
c) Comportamiento grafico
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Confeccionando una tabla de valores para x e y, marcando los puntos y
dibujando una curva suave a través de ellos:
De los gráficos, puedes inferir: El dominio de una función exponencial,
son todos los números reales (salvo que el contexto de la situación lo
restrinja); La imagen o rango, son todos los números reales positivos. Puesto
que bº = 1, cada gráfica intercepta al eje y en (0,1). No tiene intersección con
el eje x.
Si b > 1: La gráfica asciende de izquierda a derecha, es decir que al
aumentar x también se incrementa y, que se eleva en forma muy empinada
hacia la derecha. Presenta un crecimiento exponencial, que es más explosivo
que el crecimiento polinomio, Su crecimiento es creciente, Cada vez crece más
rápido. Cuanto mayor es la base b, más empinada es la gráfica.
Cuando x tiende a tomar valores negativos muy grandes, la función
tiende a anularse (a tomar el valor cero). Dijimos tiende, es decir que se
acerca a cero, sin llegar a asumir dicho valor. Esta tendencia de la función se
la expresa por medio de símbolos que utilizaremos frecuentemente más
adelante:
37
En este caso el eje x negativo es la asíntota horizontal, que es el nombre
con que se designa a la recta horizontal a la que una función se aproxima
cuando x toma valores muy grandes.
Si 0 b 1: La gráfica desciende de izquierda a derecha; Presenta un
decrecimiento exponencial; Cuanto menor es la base más empinada es la
curva. Cuando x tiende a tomar valores muy grandes, la función tiende a
anularse.
Generalizando se puede concluir diciendo que las funciones
exponenciales presentan dos formas básicas según el valor que asume la
constante b.
Aclaración: Estas formas básicas se mantienen siempre y cuando no
existan desplazamientos de la función. Si consideras la función ,
podrás apreciar que se desplazó verticalmente c unidades. Pero si analizas
observarás que no existió un desplazamiento horizontal, esto es así
porque por las reglas de los exponentes, en realidad la transformación se
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originó en el cociente ocasionando otro tipo de
transformaciones.
Podemos aproximar su tendencia (creciente o decreciente) según el valor
de b, pero para conocer más en detalle su comportamiento, evaluamos sus
puntos notables o confeccionamos una tabla de valores.
d) Aplicaciones económicasYa vistes, al introducir el tema, algunas de las múltiples aplicaciones de la
función exponencial. Tal vez la función exponencial más útil es la llamada
función exponencial natural, definida por
Aunque te pudiera parecer que “e” es una base extraña, más adelante la
encontrarás frecuentemente en el análisis económico y en problemas que
implican crecimientos o decrecimientos.
H) Función logarítmicaHay funciones que surgen como inversas de otras conocidas, como por
ejemplo la raíz cuadrada como la inversa de la potencial x, la función
logarítmica de base b como la inversa de la correspondiente exponencial de
base b, etc.
La función logarítmica de base b, en donde b 0 y b 1, se denota
mediante log y se define como: sí y solo sí
Calcular el logaritmo de un número es hallar el exponente al que hay que
elevar la base del logaritmo para obtener dicho número:
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No existen los logaritmos de cero ni de números negativos, por lo tanto
x>0. A los logaritmos de base 10 se los denomina logaritmos decimales
(también se los conoce como logaritmos comunes) y por lo general no se le
coloca el subíndice en la notación: significa .
A los logaritmos de base “e”, se les denomina logaritmos naturales o
neperianos y para simbolizarlos se utiliza la notación: y = ln x que significa
y = . Para operar con logaritmos, es de suma utilidad recordar algunas de
sus propiedades:
Log (m.n) = log m + log n
Log m/n = log m – log
Log mr = r log m
b) Análisis de su comportamiento grafico Para aproximar los comportamientos básicos que caracterizan a las
funciones logarítmicas, graficaremos una curva suave a través de los puntos
que surgen de las tablas de valores de las funciones.
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De los gráficos es posible deducir dos formas básicas que caracterizan a
las funciones logarítmicas, según su base b sea b 1 o 0 b 1.
El dominio de las funciones logarítmicas son los números reales positivos
(no existe el logaritmo de cero ni de los números negativos). La imagen o
rango son todos los números reales. Dado a que el punto (1, 0) siempre
pertenece a la función logarítmica, la función siempre intercepta al eje x en
dicho punto. No presenta intersección-y.
Si b 1: La gráfica asciende de izquierda a derecha, pero a medida que x
aumenta el crecimiento es más lento. Cuanto mayor es la base, más lento es
el crecimiento de la función. Cuando x tiende a anularse (tiende a tomar el
valor cero), la función tiende a tomar valores negativos muy grandes.
En símbolos Lím log x = - ; Cuando x 0. En este caso la función
presenta una asíntota vertical, ya que cuando x tiende a cero, la función se
acerca tanto como se quiera, sin llegar a tocar el eje y.
Si 0 b 1: La gráfica desciende de izquierda a derecha. A medida que
aumenta el valor de x, el decrecimiento es más lento, la curva se hace menos
empinada. Cuando x tiende a anularse, la función tiende a tomar valores
positivos muy grandes.
Lím log x =; Cuando x 0. El gráfico de la función, cuando x tiende a
cero, se hace asintótica al eje y. Una forma más sencilla de graficar una
función logarítmica, es usar los mismos pares ordenadas de su inversa
exponencial correspondiente, cambiados de orden.
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Observa para corroborarlo, las tablas de valores correspondientes a las
funciones:
Los logaritmos más ampliamente usados son los que tienen por base el
número e: y=logex=lnx.
CAPÍTULO III
3.1. CONCLUSIONES Las matemáticas son imprescindibles para poder encontrar las ganancias o
pérdidas en un negocio.
El uso de las funciones en la economía juegan un papel fundamental para
saber el porcentaje de ganancia que han obtenido por la venta de cada
producto.
Todas las gráficas nos indican cómo va variando la oferta o la demanda de
un producto de corto o largo plazo puesto en el mercado.
Las funciones matemáticas nos muestran como tener la máxima
optimización en la venta de productos.
3.2. RECOMENDACIONES Se debe aplicar todo tipo de funciones a un negocio para saber si existen
ganancias o pérdidas.
Para administrar un negocio se exhorta tener conocimiento sobre las
funciones matemáticas para obtener las mayores ganancias.
Se debe aplicar las matemáticas para que no exista una distorsión de
información que puede llevar a la quiebra de una empresa.
42
Se debe aplicar una función que maximice las ganancias en un negocio
para que la empresa no presente pérdidas innecesarias
3.3 BIBLIOGRAFÍA Libro de Eduardo Espinoza Ramos/2 da edición/aplicación de la funciones a
la economía (definición funciones).
Bucinick Frank Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y
Ciencias Sociales" Ed. McGraw Hill.
Lial Margaret "Matemáticas para Administración e Economía" Edit. Prentice
Hall Pág. 137.
Lial Margaret "Matemáticas para Administración e Economía".
Larson Roland E. “Cálculo y Geometría analítica” Edit. MC Graw Hill.
Haeussler, Ernest E. “Matemáticas para Adm., Economía, Cs Sociales y de
la Vida”. Edit.Prentice Hall.
Hoffmann Laurense “Cálculo aplicado para Adm., Economía, Contaduría y
Cs. Sociales”. Mc Graw Hill.
Larson Roland E. “Cálculo y Geometría analítica”. Edit. MC Graw Hill.
Guzmán Miguel de “Matemáticas" Bachillerato 2. Edit. Anaya.
Diploma en Economía para no Economistas/ Asignatura: Matemática
Aplicada a la Economía Material de Consulta Y Casos Prácticos/Curso
2004/Profesor: David Glejberman. Facultad De Ciencias Sociales
Departamento De Economía.
ESLAVA, María Emilia, VELASCO, José R. Introducción a las matemáticas
Universitarias, McGraw Hill.
JAGDISH. C. Ayra, ROBIR W. Lardner, Matemáticas aplicadas a la
Administración y la Economía. Prentice Hall.
DOWLING. Edward. Cálculo para Administración, Economía y ciencias
Sociales.
43
3.4. LINKOGRAFÍA www.matematicas.net
www.deberesmatematicas.com
www.matematica.udl.es
www.apuntes21.com/matematicas
www.mundopc.net/freeware/educacion/matematicas.php
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