mónica pena
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Charla Mónica Pena-MatemáticaTRANSCRIPT
•Situación - problema
•Problemas de aplicación
•Problemas de reinversión
Clasificación de problemas
Problemas de búsqueda o
abiertos
Problemas
para aprender
lo
metodológico
Procedimientos
personales
Procedimiento
experto
• Resolución práctica
• Resolución por el dibujo
• Resolución por el cálculo(procedimientos no estandarizados)
• Resolución matemática(procedimientos estandarizados)
Diferentes niveles de resolución
Resolver un problema de matemática implica:
Comprender enunciados, resolver problemas
• Comprender el enunciado y
construir una representación
• Matematizar el problema y
ponerle signos
• Utilizar estrategias y
procedimientos de resolución
Matemáticas aplicadas
Campo de las matemáticas que aporta soluciones a
problemas concretos
Esas soluciones necesitan tres etapas:
• La resolución teórica del
problema
•La puesta en práctica de un
algoritmo
• la ejecución correcta de ese
algoritmo (eventualmente por
una máquina)
En un cumpleaños, se sirve a cada invitado un vaso de jugo de naranja. La idea es
aprovechar al máximo cada botella. Se constata que con una botella se llenan 8
vasos y queda un “resto”. Con cinco de esos “restos” se llena otro vaso. ¿Cuántos
vasos puedo servir si tengo 6 botellas de jugo?
El vencedor de la célebre carrera de automóviles Veinticuatro Horas sobre la pista ha
recorrido 4 312 km, sobre un circuito que mide 14 km. ¿Cuántas vueltas dio?
el descubrimiento-construcción
de nuevos objetos matemáticos
de los símbolos y las reglas que
actúan sobre ellos
la puesta en práctica de
procedimientos y de
algoritmos
Resolver un problema implica
Naturaleza de las actividades matemáticas
tres grandes tipos de actividades
actividades dirigidas
por reglas
Naturaleza de las actividades matemáticas
automatismos
actividades de
resolución de
problemas
tres grandes categorías de objetos figuran en el programa escola r:
Objetos matemáticos Lenguajes formales
Matemáticas
Símbolos de esos
lenguajesLos números
+, - x, :
Las relaciones
ej.: ½, 145; 0,45
Las operaciones
=, <, >, ≠ x, y, z...
Dos maneras de considerar las matemáticas
Su relación con la realidad:
los objetos matemáticos
modelizan los fenómenos
empíricos
Su autonomía: la verdad
en matemáticas debe
buscarse en la conexión
del lenguaje formal y los
objetos matemáticos
Los objetos matemáticos son estructuras de sentido que van comprendiéndose muy progresivamente
Los enunciados matemáticos escolares deben ser considerados como
fenómenos
observablesdescriptivos
Legalización: depende de la demostración(no entra en el campo escolar)
Dos enfoques para la actividad matemática
el de la matematización
del mundo de la
experiencia
el del funcionamiento
interno y relativamente
autónomo de las
matemáticas.
Cuatro etapas para resolver un problema externo
1. Comprender el
enunciado y construir
una representación
2. Matematizar la
situación
3. Pensar un algoritmo
de cálculo, cuando no se
dispone del mismo
4. Ejecutar ese algoritmo
El aprendizaje por la resolución de problemas necesita alternancias:
Entre situaciones que tienen una utilidad,
situaciones imaginarias y situaciones de tipo
lúdicas o hasta adivinanzas.
Entre situaciones de problemas nuevos y
situaciones que pongan en juego simples
aplicaciones de reglas o automatizaciones
Entre situaciones donde los alumnos
construyen sus propios conocimientos y
situaciones muy encuadradas provenientes de
la intervención del maestro.
Alternancias reguladas en la práctica pedagógica
Comprender el enunciado y construir la representaci ón de un problema
Problema Situación la confrontación de un sistema cognitivo a una tarea
“la representación que un sistema cognitivo construye a partir de una tarea, sin disponer de forma inmediata de un procedimiento admitido para lograr el objetivo”
La construcción
representación
procedimiento
comprensión
Estrategia de
resolución
Un álbum contiene 85 figuritas. Pablo tiene ya 81 figuritas. ¿Cuántas le faltan para completar la página?
Representaciones cognitivas
linguísticas
ligadas al escrito matemático
icónicas
Conocimientos
pragmáticos
Contrato didáctico
El fin de semana largo del 18 de julio, tres muchachos van a pasar a Las Termas del Dayman. El viaje les cuesta $870, la comida $ 924 y el camping $45. Ellos habían previsto un gasto total de $ 2400 para esta estadía.Si reparten los costos de manera equitativa, ¿cuál será la parte de cada uno?¿Qué cantidad quedará del dinero previsto?
Enunciados canónicos
Cómo mejorar las competencias de los alumnosen lo que refiere a la lectura y comprensión de enunciados de
problemas:
Haciendo menos solitario el ejercicio de resolución de problemas
Haciendo sistemática esta actividad
Variando constantemente los enunciados, con pregunt as, sin preguntas; con datos de más, con datos faltantes, c on los datos
en desorden respecto al uso que deberán darles
Desarrollando un aprendizaje de la representación y de la matematización
Competencias a poner en práctica en la lectura/comp rensión de enunciados de problemas
Utilizar sus conocimientos pragmáticos en la resolución de problemas, pero saber también tomar distancia de ellos.Relacionar la pregunta con los datos significativos extraidosDescartar los datos no pertinentesDescubrir eventualmente los datos que faltanRepresentar la estructura de un problema:- por una representación icónica (RI)- por una representación gráfica (RG)- por una representación simbólica (RS)Modelizar el problema con escrituras específicamente matemáticasEstablecer correspondencias entre diferentes representacionesDisponer los datos de otra manera (Ej.: cuadro)Categorizar los problemasUtilizar sus competencias lógicas
Matematizar y poner signos: la modelización del prob lema
Estrategia de resolución Construcción de un procedimiento
Tratamiento de las
representacionesVerificación y control
modelización
representación
conceptualización
Lenguaje
matemáticoPuesta en relación
Elías juega a las bolitas con Emiliano. Al iniciar el juego, Elías tiene 132 bolitas y Emiliano 85. Julieta tiene 104 bolitas. Ella observa el juego de sus amigos. Al final de la partida, Elías tiene 94 bolitas. ¿Quién tiene más bolitas al final del juego?
x = 94 – 132
x + 94 = 132
132 + 94 = x
132 – x = 94
94 = 132 – x etc...
El escrito como medio de
control de las producciones del
alumno
Correspondencia entre el escrito matemático y el enunciado
Aporte
del
maestro
Uso de álgebra Nombrar lo que buscan
Representar matemáticamente un problema consiste en encontrar una o dos expresiones matemáticas que le correspondan
x + 94 = 132 132 – 94 = x
a + b = c
1) Parte-parte-todoVoy a comprar una heladera a $5660 y unaaspiradora a $3150.¿Cuánto debo abonar?
2) Transformación de estadosUn piloto de avión vuela a una altitudde 750m. Decide aumentar su altitud en 360m.¿A qué altura pasará a volar?
3) Comparación de estadosTengo dos diccionarios, uno pequeño y uno grande. El pequeño contiene la definición de 35 000 palabras. El grande de 47 000 palabras.¿Cuántas palabras más define el 2º diccionario?
Pasos de hormiga Pasos de león
240
x
3
1
: 3X 3
Pasos de zorro Pasos de león
10
y
3
1
X 3 : 3
y x 3 = 10 10 : 3 = y y + y + y = 10 (3 + 1/3) x 3 = 9 + 3/3 = 9 + 1 = 10
2) Proporcionalidad simpleUn corredor puede cubrir 60 m en 12 segundos.Si recorre todos los días 180 m a una velocidad estable, ¿cuánto tiempo pone en este entrenamiento?
José Luis compra 4 bizcochos a $ 18. ¿Cuánto paga Alejandro que compró 7 bizcochos del mismo tipo?
Las representaciones gráficas
Daniel gasta $42 en sobres de figuritas. Cada sobre cuesta $ 3,50. ¿Cuántos sobres podrá comprar?
Bizcochos precio
4 18
7 x
Sobres de
figuritas
precio
1 3,50
x 42
Representaciones icónicas y gráficas
Estela compró los textos de Historia, Geografía y Ciencias de la Naturaleza que necesita para el liceo. Pagó en total $ 740. El libro de Historia costó $ 30 más que el de Geografía y éste, 25 más que el de Ciencias. ¿Cuál es el precio de cada uno?
Pedro tiene un nuevo juego de autos. Él puede manejarlos por un tele comando. Por ejemplo, el auto está en el punto de salida. La primer orden que da Pedro es Av 83 y el auto avanza 83 cm; enseguida ordena Re 37 y el auto retrocede 37 cm. ¿A qué distancia quedó el auto del punto de salida?
x + 37 = 83 83 – 37 = x
El terrible gigante TneïtokLa leyenda cuenta que, en las grandes llanuras de Rusia, el terrible gigante Tneïtok era tan grande que solo podía desplazarse por brincos de 24 verstas (versta: medida rusa que vale 1 km). Estando a 5940 verstas de su castillo, ¿cuántos brincos debe dar para llegar hasta allí?
Otros posibles representaciones gráficas
Recta numérica Sistema de transformación
Otros posibles representaciones gráficas
Las representacionestipo conjuntistas Barras y cuadrados
Los cuadriculados
La invención y redacción de enunciados matemáticos
Inventar un enunciado de un problema correspondiente a la escritura matemática: (4x3) + 10.
Compré un paquete de pastillas a $ 10 y 3 caramelos a $ 4 cada uno. ¿Cuánto gasté? $ 22
Voy a la panadería. Al llegar, pido 4 bizcochos rellenos, luego le vuelvo a pedir tres veces más y 10 bombones. ¿Cuál será el precio?
En mi biblioteca tengo cuatro estantes con 3 libros cada uno. Me han prestado 10 libros. ¿Cuántos libros tengo? Tengo 22
Una señora quiere comprar 4 manzanas y 3 peras. Todo eso cuesta $ 22. ¿Tendrá suficiente dinero?
Mi tío compra 4 autitos a $3 cada uno y 10 camiones. ¿Le alcanzará el dinero? Tiene en su billetera $ 22
Compré una planta de 10 cm y cada mes crece 3 cm. ¿Cuánto medirá en 4 meses?
1995 + x = 2010
Mi perro nació en 1995. Murió en el 2010. ¿Cuánto tiempo vivió?Paco nació en 1995. ¿Qué edad tendrá en el 2010?
El Sr. González compra una computadora a $ 1995. Agrega también un moussepara el equipo. Si paga $ 2010, ¿cuánto costó el mousse?
Un apostador apuesta a dos caballos. Uno de ellos ganó y el otro llegó 5º. Sabiendo que el primero le permitió ganar $ 1995 y que al final él recibe $ 2010, ¿cuánto ganó por el segundo caballo?
z + x = 99
Fui a la frutería y compré peras y manzanas. Pagué $ 99. ¿Cuánto costaron las peras y cuánto las manzanas?
Mi hermano tiene 86 figuritas en el álbum. El álbum se completa con 99 figuritas. ¿Cuántas figuritas le faltan?
Un niño tiene $ 99. Va a una juguetería y ve algunos juguetes que le gustan: un autito a $ 29, un avión a $ 35, una moto a $ 64 y un bote a $ 60. ¿cuántos juguetes podrá comprar con $ 99?
Producción de enunciados
Dos conceptos centrales
progresióncoherencia
reescritura
Correspondencia con la
modelización
Posibilidad de la
situación
Las reglas de morfo-
sintaxis
Elaborar estrategias y procedimientos de resolución
Sistemas de representación y tratamiento (S.R.T.)
ConstrucciónSujetocognitivo
modelos que interiorizan tareas
que relacionan representaciones
con su tratamiento
en el marco de la
resolución de problemas
fuerte componente
pragmático
Los procedimientos de resolución
procedimiento
Tiene lugar en un SRT
“Sistema de operaciones definido por un dispositivo y una tarea dada, en la que la ejecución tiene por objetivo hacer pasar de un estado inicial a un estado final.”
Tres operaciones
Transformaciones
Identificación de propiedades de estado
Selección de tratamiento
Clasificación
heurísticos
algorítmicos
La verdad en las matemáticas...
..hay que buscarlas en ellas mismas
Los objetos matemáticos son estructuras de sentido, con entidad propia
No confundir con las estructuras intelectuales y cognitivas
Iniciar tempranamente un esbozo de separación entre 2 tipos de actividad
Matematización de
fenómenos externos
La apropiación del
funcionamiento de las
matemáticas
es atribuir significaciones a los elementos de la
situación, interpretar el conjunto. Enfoca una
coherencia entre las diferentes significaciones, y
la compatibilidad con conocimientos guardados
en la memoria
es producir inferencias que
contribuyen a la construcción de la
interpretación
Comprender
Razonar
La actividad cognitiva de la resolución de problemas necesita:
regulación Seleccionar tareas y ordenarlas en el tiempo
control Planificación y evaluación
“(la enseñanza) busca desarrollar las posibilidades de abstracción. Aporta una exigencia de rigor en el pensamiento y de justeza en la expresión. Hace adquirir conocimientos y competencias en el dominio numérico y geométrico, siempre ayudando al niño a forjarse de métodos de trabajo. Estimula la imaginación”