modulo 2 problemi sulle coordinate cartesiane e polari

Modulo 2: Problemi sulle Coordinate Cartesiane e Polari

APPUNTI DI TOPOGRAFIA

MODULO 2

PROBLEMI SULLE COORDINATE CARTESIANE E POLARI

PROF. SPADARO EMANUELE


http://spadaroemanuele.altervista.org/ 2

PREMESSE

Per individuare la posizione di un punto nei piano, e per la successiva rappresentazione

grafica, è necessario dare le sue coordinate rispetto ad un sistema di riferimento.

Le coordinate planimetriche di un punto sono sempre due numeri e possono essere

essenzialmente di due tipi:

coordinate cartesiane ;

coordinate polari.

COORDINATE CARTESIANE

Le coordinate cartesiane (più correttamente dette coordinate cartesiane ortogonali perché

gli assi cartesiani di riferimento sono ortogonali fra loro) sono particolarmente utili nella

restituzione (disegno) di un rilievo topografico.

La posizione di ogni punto P è definita dalle due coordinate xp ed yP che ad esso si

associano.

La coordinata xP è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle Y (asse delle ordinate),

analogamente la yp è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle X (asse delle ascisse).

Spesso lo studente non riesce ad associare in modo corretto l’asse X o Y al termine

ascisse o ordinate. Si suggerisce la seguente assonanza ascisse = ascix per favorire la

corretta associazione.

Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi:

esplicito: xP = ...........; yP = ..............

implicito: P(xP; yP); P(xP; yP)

nel modo implicito si mette sempre prima la x e poi la y.



COORDINATE POLARI

Le coordinate polari sono utili in fase di rilievo. Esse si riferiscono ad un sistema costituito da un

unico asse ON detto asse polare.

Le coordinate polari di un punto P sono:

la distanza fra l’origine O del sistema (detto polo) e il punto stesso;

e l’angolo orizzontale (misurato su di un goniometro orizzontale) OP (detto

azimutale) di cui si deve ruotare, in senso orario, l’asse polare per farlo sovrapporre

alla congiungente l’origine con il punto in questione.

Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti mo di:

esplicito: OP = ...........; OP = ..............

implicito: P(OP; OP); P(OP; OP)

in questo caso non esiste un ordine di precedenza fra l’angolo e la distanza poiché

l’angolo e la distanza sono grandezze di tipo diverso.

L’angolo azimutale diventa azimut quando l’asse polare ON viene indirizzato verso il

nord oppure è parallelo all’asse Y di un sistema di riferimento cartesiano.

esplicito: (OP) = ...........; OP = ..............

implicito: P(OP); OP; P(OP); OP

La distanza OP non varia ne come simbolo ne

come valore numerico, mentre l’angolo cambia sia

come simbolo, che come nome, che come valore

numerico.



PASSAGGIO DA COORDINATE POLARI A CARTESIANE

Poiché il rilievo viene molto spesso effettuato con coordinate polari (utilizzando tacheometri e

teodoliti che inizieremo a conoscere nel modulo 4), mentre il disegno viene molto spesso effettuato

con coordinate cartesiane (perché è più preciso) è necessario effettuare il passaggio dalle une alle

altre.

Allo scopo si utilizzeranno le formule (1), ricavate applicando il primo e secondo teorema sui

triangoli rettangoli (vedi modulo 1) OP’P in figura

Nella figura si è fatto coincidere l’origine

del sistema cartesiano con l’origine dei

sistema polare e l’asse delle ordinate con

l’asse polare.

xp = OP Sin(OP)

(1)

yp = OP cos(OP)

PASSAGGIO DA COORDINATE CARTESIANE A POLARI

In alcuni problemi didattici e della pratica operativa del Geometra, vengono fornite le coordinate

cartesiane di punti già rappresentati su di un disegno (vertici, ad esempio, di un appezzamento di

terreno), e sì richiede di calcolare le coordinate polari degli stessi rispetto ad un sistema polare con

origine coincidente con quella del sistema cartesiano e asse delle ordinate coincidente con l’asse

polare (allo scopo, ad esempio, dell’effettuazione di calcoli relativi all’appezzamento in

questione).

Le formule necessarie per raggiungere lo scopo verranno ricavate. come segue, applicando il

primo, secondo e terzo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) al triangolo rettangolo OP’P

in figura.

Per calcolare la distanza OP possiamo utilizzare

la seguente formula (2) ottenuta applicando il

teorema di Pitagora al triangolo prima detto:

2

P

2

P yxOP (2)

oppure una delle seguenti (3) ricavate applicando

il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli

OP = xp / sin(OP)

(3)

OP = yP / cos(OP)



Per calcolare l’azimut (OP) applichiamo il terzo teorema sui triangoli rettangoli sempre

al triangolo OP’P:

xp = yP tg(OP)

da cui:

tg(OP) = xp / yP

ed infine:

(OP) = arctg(xp / yP) + k (4)

Il k che compare nella (4) è un termine correttivo che consente di eliminare l’errore

che commetterebbe la calcolatrice.

Infatti facendo l’arcotangente di un numero positivo la calcolatrice ci da sempre un

angolo dei primo quadrante (mentre però potrebbe essere anche del terzo) analogamente

tacendo l’arcotangente di un numero negativo la calcolatrice ci da sempre un angolo del

primo quadrante col segno meno (mentre però potrebbe essere un angolo del secondo o del

quarto quadrante).

Stabiliremo il valore da assegnare al k in base al segno di xP e di yp come riassunto

nella tabella che segue:

Segni del

Rapporto

x/y

Quadrante di

Appartenenza dell’angolo

Valore da attribuire al k

sessagesimali centesimali

1°

caso

+ / +

L’azimut è del primo

quadrante

0°

0g

2°

caso

+ / -

L’azimut è del secondo

quadrante

180°

200g

3°

caso

- / -

L’azimut è del terzo

quadrante

180°

200g

4°

caso

- / +

L’azimut è del quarto

quadrante

360°

400g

I valori per k sono stati ricavati in base alle seguenti considerazioni:

Questo è il caso in cui sia la xp che la yP

sono positivi.

Il valore dato dalla calcolatrice facendo

l’arcotangente di xp/yP e quello corretto

perciò al k si attribuisce valore 0°



Questo è il caso in cui la xp è positiva

mentre la yP è negetiva.


l’arcotangente di xp/yP e quello che

corrisponde a (OP)* (che è negativo) per

effettuare la correzione e determinare quindi

l’azimut (OP) cercato bisogna, come si vede

dalla figura, sommare al valore dato dalla

calcolatrice l’angolo piatto (180°).

Perciò a1 k si attribuisce valore 180°.

Questo è il caso in cui sia la xp che la yP è

negativa.



corrisponde a (OP)* (che è positivo) per




calcolatrice l’angolo piatto (180°).


Questo è il caso in cui la xp è negativa

mentre la yP è positiva.



corrisponde a (OP)* (che è negativo) per




calcolatrice l’angolo giro (360°).




COORDINATE TOTALI E PARZIALI

Se in un piano cartesiano vengono date le coordinate cartesiane di due punti A e B si

dice che xA , yA , xB , yB , sono le coordinate totali (che comunque noi chiameremo

semplicemente coordinate) perché si riferiscono all’unico sistema esistente OXY.

Se introduciamo un secondo sistema cartesiano di riferimento con origine in A e con

asse X’ parallelo a X e Y’ parallelo ad Y si avrà che i punti A e B in questione oltre ad

avere le coordinate totali riferite al vecchio sistema (che chiameremo sistema principale)

OXY avranno delle coordinate dette parziali riferite al sistema secondario AX’Y’.

Le coordinate parziali si indicano con

seguenti termini:

(xB)A e (yB)A

Il termine:

(xB)A si legge x di B rispetto ad A

ed analogamente il termine:

(yB)A si legge y di B rispetto ad A

Le coordinate parziali sono legate alle coordinate totali dalle seguenti relazioni ricavate

ragionando sulla precedente figura:

(xB)A = xB - xA

(5)

(yB)A = yB - yA

CALCOLO DELLA DISTANZA E DELL’AZIMUT FRA DUE PUNTI DI NOTE

COORDINATE CARTESIANE

Ragionando sul triangolo rettangolo

ABB’ della figura a fianco ed applicando i

teoremi sui triangoli rettangoli, (come

abbiamo fatto nel passaggio da coordinate

cartesiane a polari), per la distanza si

ottiene: 2

AB

2

AB )y()x(AB

Che sostituendo le (5) diventa:

2

AB

2

AB )yy()xx(AB (6)



Alla (6), per il calcolo della distanza, si possono affiancare le seguenti:

)ABsin(

)x(AB AB

)ABcos(

)y(AB AB

nelle quali sostituendo le (5) otteniamo:

)ABsin(

xxAB

AB )ABcos(

yyAB

AB (7)

Per calcolare l’azimut (AB) applicando il terzo teorema sui triangoli rettangoli al

triangolo in figura, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polar i),

otteniamo:

tg(AB) = (xB)A / (yB)A

da cui:

k)y(

)x(arctg)AB(

AB

AB

nella quale sostituendo le (5) otteniamo:

kyy

xxarctg)AB(

AB

AB

(8)

il valore da attribuire al k della (8) lo si deduce, in base ai segni che assumono il numeratore

ed il denominatore dopo aver sostituito i numeri, dalla tabella di pag. 5.

AZIMUT E CONTROAZIMUT

Se indichiamo con (AB) l’azimut del segmento che da A va verso B, l’azimut che da B va

verso A si chiamerà (BA).

I due azimut hanno le stesse lettere ma invertite cioè l’uno è il contrario dell’altro in altri

termini possiamo dire che l’uno è il controazimut dell’altro.

Quindi se diciamo che (AB) è l’azimut (BA) è il suo controazimu t. Viceversa se diciamo

che (BA) è l’azimut (AB) è il suo controazimut.

Fra azimut e controazimut la relazione, come sì

vede dalla figura, è la seguente;

(BA) = (A B) ± 180°

dove:

si metterà il segno + se (AB) è minore di 180°

si metterà il segno - se (AB) è maggiore di 180°.



RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTE LE

COORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI

Se di un triangolo conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo

effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:

le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinate

cartesiane per trovare i lati;

il teorema di Carnot per trovare gli angoli;

la formula di camminamento per trovare la superficie.

La procedura da seguire per la figura a

fianco é la seguente:

l) si calcolano i lati con le seguenti formule:

2

BC

2

BC

2

AC

2

AC

2

AB

2

AB

)yy()xx(BC

)yy()xx(AC

)yy()xx(AB

2) si calcolano gli angoli con le seguenti

formule:

BCAC2

ABBCACarccos

BCAB2

ACBCABarccos

ACAB2

BCACABarccos

222

222

222

3) si calcala la superficie con una delle seguenti formule:

S = ½ ACBCsin

S = ½ ABBCsin

S = ½ ABACsin

RISOLUZIONE DI UN POLIGONO DEL QUALE SONO NOTE LE

COORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI

Se di un poligono conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo

effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:

le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinate

cartesiane per trovare i lati;

la differenza degli azimut per trovare gli angoli (dopo aver trovato gli azimut

con le formule per il loro calcolo):



la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di

quattro lati, oppure somma di aree di due triangoli se il poligono è un

quadrilatero oppure le formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.

La procedura da seguire per la figura a

fianco è la seguente:

1) si calcolano i lati con le seguenti formule:

2

AD

2

AD

2

CD

2

CD

2

BC

2

BC

2

AB

2

AB

)yy()xx(AD

)yy()xx(CD

)yy()xx(BC

)yy()xx(AB

2) si calcolano gli angoli con le seguenti formule

kyy

xxarctg)AD(

kyy

xxarctg)AB(

AD

AD

AB

AB

= (AD) – (AB);

180)AB()BA(

kyy

xxarctg)BC(

BC

BC

= (BA) – (BC);

180)BC()CB(

kyy

xxarctg)CD(

CD

CD

= (CB) – (CD);

= 360°- ( + + )

3) si calcola la superficie con una delle seguenti formule:

la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di

quattro lati;

lati somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero;

le seguenti formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.

n

1i

1i1ii )yy(x2

1S ;

n

1i

1i1ii )xx(y2

1S (per i vertici che ruotano in senso orario)

n

1i

1i1ii )yy(x2

1S ;

n

1i

1i1ii )xx(y2

1S (per i vertici che ruotano in senso antiorario)



dove per i = 1 si pone 1 - 1 = n, essendo n il vertice antecedente ad i e per i = n si pone

n + 1 = l, essendo 1 il vertice successivo a n.

REGOLA DEL TRASPORTO DEGLI AZIMUT

Alcune volte sono note le coordinate dei vertici dl un po1igono e si richiede la sua

risoluzione (come nel due paragrafi precedenti), altre volte, invece, sono noti tutti gli

elementi di un poligono, le coordinate di un suo vertice ed un azimut e si richiede il calcolo

delle coordinate di tutti gli altri vertici (questo è particolarmente utile nella realizzazione di

un disegno nel modo più preciso possibile)

Analogamente:

xC = xB + BC sin(BC)

yC = yB + BC cos(BC)

prima però, come si vede dalle formule bisogna calcolare l’azimut (BC). Allo scopo

possiamo applicare la regola del trasporto degli azimut che si enuncia come segue:

l’azimut di un lato è uguale all’azimut del lato precedente più o meno (±) l’angolo al

vertice formato tra i due lati, più a meno (±) l’angolo piatto (180°).

Con riferimento alla figura la regola si può scrivere nel seguente modo:

(BC) = (AB) 180°

Per stabilire i segni nel primo trasporto si ragiona sulla figura:

si trasporta (AB) sul vertice B;

si tiene conto che l’azimut (BC) parte dalla direzione verticale passante per B e

raggiunge la direzione BC;

Se nella figura a fianco

supponiamo di conoscere tutti i

lati (meno eventualmente AF

tutti gli angoli (meno

eventualmente , le coordinate

di A e l’azimut (AB) e

possibile calcolare le

coordinate di tutti gli altri

vertici utilizzando invertite le

(7) di pagina 8.

Ad esempio per il punto B

avremo:

xB = xA + AB sin(AB)

yB = yA + AB cos(AB)



che ruotando in senso orario si effettua somma mentre ruotando in senso antiorar io si

effettua sottrazione;

ed infine che l’azimut non può essere ne negativo ne maggiore dell’angolo giro

(360°).

Nel caso della figura si avrà quindi che:

con + (AB) si e superata la direzione BC quindi si deve tornare indietro (ruotare in

senso antiorario);

si torna indietro quindi si sottrae 180°, ma si è tornato troppo indietro perciò bisogna

ritornare avanti (ruotare io senso orario);

si somma quindi .

L’azimut (BC) sarà perciò:

(BC) = (AB) + - 180°.

Per i trasporti successivi il segno davanti all’angolo del poligono non varia (se gli angoli

sono dalla stessa parte rispetto ad un osservatore che percorre il contorno del poligono, in

caso contrario si ripete il ragionamento fatto sulla figura per il primo trasporto) mentre per il

segno davanti al 180° si avrà che:

esso sarà positivo se la somma dei primi due termini e minore di 180°;

viceversa sarà negativo se la somma dei primi due termini é maggiore di 180°.

Infine se sottraendo i 180° (detti sopra) l’azimut rimane maggiore di 360° ad esso

bisognerà sottrarre ancora 360°.



ESERCIZI

1) Del appezzamento triangolare ABC sono note le coordinate cartesiane dei vertici:

A(19,42m, 13,18m); B(55,26m, 63,98m); C(80,84m, -18,89m).

Risolvere il triangolo.

(R.: AB = 62,17m; AC = 69,29m; BC = 86,73m;

= 82°22’07”; = 52°21’28”; = 45°16’25”; S = 2134,80m2.)

2) Dell’appezzamento quadrilatero ABCD sono note le coordinate cartesiane dei vertici:

A(12,35m, -6,42m); B(-15,40m, 16,71m); C(39,41m, 27,82m); D(43,16m, 7,02m).

Effettuare la figura in scala opportuna e risolvere il quadrilatero.

(R.: AB = 36,13m; BC = 55,92m; CD = 21,14m; AD = 33,61m;

= 116°37’13”; = 51°16’13”; = 88°45’41”; = 103°20’53”; S = 1133,74m2.)

3) Di un triangolo ABC sono note le coordinate cartesiane dei suoi vertici:

xA = 12,03m; yA = 9,10m; xB = 65,45m; yB = 89,32m; xC = 142,58m; yC = 63,94m.

Risolvere il triangolo, determinare i1 raggio del cerchio inscritto e le coordinate

dell’incentro. Fare il disegno in scala opportuna.

(R.: AB = 96,38m; BC = 81,20m; AC = 141,60m; = 33°33’19”; = 105°26’37”;

= 41°00’04”; S = 3771,74m2; r = 23,63m; xO = 75,14m; yO = 61,24m.)

4) Della poligonale aperta ABCD sono noti i seguenti elementi:

xA = 13,03m; yA = 20,99m; (AB) = 136°11’

AB = 33,12m; BC = 79,39m; CD = 37,45m; CBA = = 278°49’; DCB = = 74°15’.

Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale e le aree dei triangoli AEB

e CDE (essendo E il punto d’incontro fra il lato BC e la congiungente AD). Fare la figura in

scala opportuna.

(R.: xB = 35,96m; yB = -2,91m; xC = 84,14m; yC = 60,19m;

xD = 106,62m; yD = 30,24m; SAEB = …….m2; SCDE = …….m

2.)

5) Della poligonale aperta ABCDE sono noti i seguenti elementi:

AB = 31,12m; BC = 8,39m; CD = 23,44m; DE = 12,12m;

ABC = = 121°10’; BCD = = 254°15’; EDC = = 115°18’.



Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale rispetto ad un sistema di

assi cartesiani con origine in A e semiasse positivo delle ascisse coincidente con il lato AB.

(R.: xA = yA = 0,00m; xB = 31,12m; yB = 0,00m; xC = 35,46m; yC = 7,18m;

xD = 58,06m; yD = 0,95m; xE = 60,14m; yE = -10,99m.)

6) Il triangolo ABC é stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso

determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):

Punto di

stazione

Punti

collimati

Letture al cerchio

orizzontale (azimutali)

Distanza

topografica

A B 31°22’15” 49,042m

C 343°44’12” ---

B C 241°42’05” ---

A 196°00’35” 49,044m

Riferendo il triangolo ad un sistema di assi cartesiani con origine in A e semiasse

positivo delle ordinate diretto lungo AB, si determino le coordinate dei vertici e l’area

del triangolo.

(R.: xA = yA = 0,000m; xB = 0,000m; yB = 49,043m;

xC = -25,974m; yC = 23,689m; S = 636,920m2.)

7) Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso

determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (regi stro di campagna):

Punto di

stazione

Punti

collimati

Letture al cerchio


Distanza

topografica

A

D 35°22’45” 124,674m

B 335°44’12” 122,383m

C 356°12’05” 179,684m

Riferendo il poligono ad un sistema di assi cartesiani con or igine in A e semiasse

positivo delle ascisse diretto lungo AC.

Determinare le coordinate dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero.

(R.: A(0,000m, 0,000m); B(114,659m; 42,789m); C(179,684m; 0,000m);

D(96,646m; -78,760m); DC = 114,449m; BC = 77,841m; = 59°37’50”;

= 126°11’21”; = 76°49’53”; = 97°20’13”; S = 10920,205m2.)

8) Di un triangolo ABC, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono note le coordinate

dei punti A e C e i corrispondenti angoli interni:

xA = 12,00m; yA = 36,00 m; xC = 48,00m; yC =156,00 m

= 92g,0164 = 65

g,9095

Determinare: le coordinate del vertice B; le coordinate del baricentro G e del centro O del cerchio

inscritto al triangolo: l'area del triangolo AGO.

(R. : x B = 185,12m; yB = 6,99m; x O = 67,64m; yO = 70,63m;

xG = 81,70m; yG = 66,33m; SAGO = 363,04 m2.)



9) Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un teodolite centesimale destrorso

determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):

Punto di

stazione

Punti

collimati

Letture al cerchio


Distanza

topografica

B A 331,345gon 31,99m

C 46,125gon 35,15m

C B 73,347gon ---

D 171,893gon 46,58m

Sono inoltre noti:

xA = 23,04m; yA = 18,33m; (AB) = 135,389gon

Determinare le coordinale dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero.

(R.: B(50,21m; 1,35m); C(75,13m; 26,24m); D(39,56m; 56,03m); AD = 41,16m;

= 109,097gon; = 114,780gon; = 77,577gon; = 77,577gon; S = …….m2.)

10) Di un triangolo ABC, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono note 1e

coordinate dei punti A e B e i lati AC e BC:

x A = 52,00m; yA = 206,00m; xB = 65,00m; yB = 77,00m

AC = 98,50m; BC =112,30m

Determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dei centri Oa, Ob ed Oc dei cerchi ex-inscritti al

triangolo e l'area del triangolo OaObOc.

(R.: xC = ..........m; yC = ...........m; xOa = 151,09m; yOb = -123,75m;

xOb = 227,99m; yOb = 157;39 m; xOc = ...............m; yOc = .................5m; S = 28279,98m2)

11) In un triangolo ABC sono state misurate le lunghezze dei tre lati:

AB = 57,50m; BC = 74,40m; AC =114,85m

Fissando un, sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in A e con asse delle ascisse

orientato sulla direttrice AB, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dell'ortocentro H

del triangolo (ortocentro = punto di intersezione delle altezze di un triangolo), le coordinate del punto

K su BC, intersezione della congiungente tra il punto H e il punto medio M del lato AC e il lato BC,

l'area del triangolo MKC.

(R.: xC = 95,35m; yC = -64,07m; xH = 149,25m; yH = -88,12m;

xK = ............m: yK = ............m; SMKC = ................m2)

12) In un triangolo ABC, i cui vert ici ruotano i n senso ant iorario, sono state misurate le

lunghezze dei tre lati:

AB =152,60m; BC=132,70m; AC =167,56m

Fissando un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in A e con asse delle ascisse

orientato sulla direttrice AB, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate del punto K

intersezione tra la bisettrice dell'angolo in A e della mediana relativa al lato AC; le coordinate del

punto O centro del cerchio inscritto a1 triangolo ABK; 1’area del triangolo ABK.

(R.: xC = ..........m; yC = ...........m; xK = 89,79m; yK = 40,63m;

xO = 88,17m; yO =19,02 m; SABK = 3100,17m2)



13) In un quadrilatero ABCD sono note le coordinate dei suoi vertici:

xA = 0,00m; yA = 0,00m; xB = 162,50m; yB = 0,00m

xC = 130,40m; yC = 128,80m; xD = 32,60m; yD = 97,80m

Determinare le coordinate del punto K intersezione delle diagonali, le coordinate del punto H

intersezione tra gli assi dei lati AD e CD, l'area del quadrilatero.

(R.: xK = 70,29m; yK = 69,42m; xH =112,03m; yH = 16,99m; S = 14742,12m2)

14) In un quadrilatero ABCD sono note le coordinate dei suoi vertici:

xA = 0,00m; yA = 0,00m; xB =162,50m; YB = 0,00m

xC = 130,40m; yC = 128,80m; xD = 32,60m; yD = 97,80m

Determinare le coordinate del centro O del cerchio inscritto al triangolo ABC, le coordinate del

baricentro G del triangolo che ha come vertici il precedente centro O e i punti medi dei lati AD e CD,

l'area di quest'ultimo triangolo.

(R.: xO = 82,64m; yO = 27,84m; xG = 44,85m; yG = 84,16m; S = 6202,51m2)

15) In un quadrilatero ABCD, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono note le

coordinate dei punti A e C:

xA = 0,00m; yA = 0,00m; xC = 148,00m; yC = 126,00m

Sono poi stati misurati i seguenti elementi:

= 97g,0709; = 85

g,0171; CD = 137,82m; AD = 135,81m

Determinare: le coordinate dei vertici B e D, le coordinate del punto K intersezione della diagonale

AC con la congiungente i punti medi del lati AD e BC; le coordinate del punto H intersezione della

diagonale BD con la congiungente i punti medi dei lati AD e B C.

(R.: xB = .............m; yB = .............m; xD = .............m; yD = .............m;

xK = 75,58m; yK = 64,35m; xH = 94,61m; yH = 63,44 m)

16) Di un triangolo ABC, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono noti:

= 62g,5200; xA = 0,00m; yA = 0,00m; xC = 106,50m; yC = 70,80m

Non potendo misurare la lunghezza del lato AB si è sviluppata la spezzata AMNB misurando i

seguenti elementi:

BAM = 22g,4500; AMN = 208

g,7700; MNB = 117

g,5153;

AM = 42,00m; MN = 48,50m; NB = 51,80m

Determinare: le coordinate del vertice B e le coordinate del baricentro G del triangolo.

(R.: xB =108,98m; yB = - 45,48m; xG = 71,83m; yG = 8,44m; AB = 118,09m)

17) L'asse di un canale è composto da una sequenza di segmenti di estremi ABCDEF. Si sono

misurati i seguenti elementi:

AB = 85,36m; BC = 110,18m; CD = 101,38m; DE = 92,70m; EF = 74,50m;

ABC = = 108°,0370; BCD = = 249°,7407; CDE = = 132°,0370; DEF = = 233°,4444

Determinare la distanza tra gli estremi A ed F del canale.

(R.: AF = 383,71m)



18) Si sono collegati gli estremi A ed E di un tratto di strada rettilinea con una spezzata ABCDE, e

sono state effettuate le seguenti misure:

AB = 273,25m; BC = 524,08m; CD = 388,43m; DE = 356,91m;

ABC = =135g,3210; BCD = = 144

g,0154; CDE = = 141,2098

Determinare la lunghezza del tratto di strada e gli angoli che essa forma con i lati AB ed ED della

spezzata.

(R.: AE = 930,88m; EAB = 94g,0430; AED = 85

g,4104)

19) Tra i punti A ed E sono presentì ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza tra i

punti stessi. Questi sono poi stati collegati con una spezzata ABCDE e sono state effettuate le

seguenti misure:

AB = 165,00m; BC = 72,50m; CD = 90,46m; DE = 122,34m;

ABC = = 54g,0503; BCD = = 123

g,6391; CDE = =142

g,1165

Determinare: la distanza tra A ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento AE

con Ia bisettrice dell'angolo BCD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine

in A e asse delle ordinate diretto lungo AB.

(R.: AE = ............m; xK = ...........m; yK = ............m)

20) Tra i punti A ed E sono presenti ostacoli che impediscono la misura diretta della

distanza. Questi sono poi stati collegati con una spezzata ABCDE e sono state effettuate le

seguenti misure:

AB = 65,00m; BC = 92,50m; CD = 110,40m; DE=105,80m

ABC = = 154g,0503; BCD = = 163

g,6391; CDE = =142

g,1100

Determinare: la distanza tra A ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento AE

con la bisettrice dell'angolo BCD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine

in A e asse delle ascisse diretto lungo AB.

(R.: AE = 272,59m; xK = 47,07m; yK = 116,31m)

21) Tra í punti A e D è stata sviluppata la spezzata ABCD e sono state effettuate le seguenti

misure:

AB = 75,00m; BC = 112,60m; CD = 83,50m;

ABC = = 144g,7419; BCD = = 151

g,5315

Determinare: la distanza tra A e D; le coordinate del punto K intersezione tra il

prolungamento de: Iato DC, dalla parte di C. e la perpendicolare, tracciata da A, alla

congiungente AD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in A e asse delle

ascisse diretto lungo AB, le coordinate del baricentro G del triangolo ADK.

(R.: AD = 221,52m; xK = 160,86m; yK = -135,78m; xG = 101,22 m; yG = 11,18m)

modulo 2 problemi sulle coordinate cartesiane e polari

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