coordinate polari sia p ha coordinate cartesiane le coordinate polari di p sono: 1
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COORDINATE POLARI• Sia P ha coordinate cartesiane
Le coordinate polari di P sono:
1
O
P
1P
2P
x Px
Py
y
OP POxasse ˆ
),( PP yx
COORDINATE POLARI• P ha coordinate cartesiane (1, 1)
Le coordinate polari di P sono:
2
O
P
1P
2P
x 1Px
1Py
4
2
y
)4
,2(,
COORDINATE POLARI
• Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:
• si osservi che:
3
cosx siny
22 yx
4
PRODOTTO SCALARE
• Si chiama prodotto internoprodotto interno ( o moltiplicazione scalaremoltiplicazione scalare) tra due vettori il numero numero definito da:
• Si chiama norma euclidea norma euclidea di un vettore idi un vettore il numero numero definito da:
• La norma (euclidea) di un vettore rappresenta la lunghezza del vettore.
n
iii yxyx
1
,
2/1
1
2 ,)(
xxxxn
ii
5
NORMA
• Possono essere definite altri tipi di norma.
• La norma di un vettore è una funzione che soddisfa:
1.
2.
3.
00,0 xxx
Rxx
212121 , xxxxxx
6
PRODOTTO SCALARE
• Si considerino i due vettori :
La lunghezza (la norma euclidea) dei due vettori è data da:
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x
2
4x
2
1y
xy
541
20416
y
x
7
PRODOTTO SCALARE
• Rappresentando le componenti dei 2 vettori in coordinate polari si ha :
• Il prodotto scalare dei due vettori diventa:
sin20
cos20
2
4x
sin5
cos5
2
1y
)cos(
)sinsincos(cos520
cos5sin20cos5cos20
,
yx
yx
8
PRODOTTO SCALARE
• Si noti che il prodotto scalare dei due vettori non nulli:
• è nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari, per cui
2
4x
2
1y
0)cos(
9
VETTORI ORTONORMALI
• Dato un qualunque vettore di norma si può introdurre il vettore normalizzato espresso da:
• Due vettori e si dicono ortonormali se sono ortogonali e ciascuno ha norma unitaria.
• Se le colonne (o le righe) di una matrice sono a 2 a 2 ortonormali la matrice è ortogonale.
x
xx *
x x*x
*x *y
10
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
• Esempio
Si considerino i due vettori e costituiti dai prezzi di chiusura settimanale di 2 titoli nelle ultime settimane.Il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie di prezzi può essere espresso da:
dove rappresenta la media aritmetica dei prezzi di chiusura del titolo i-esimo.
)()(
)(),(
21
21
yMyxMx
yMyxMxr
x yn
,2,1),( ixM i
11
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
• Siano dati 2 titoli i cui prezzi di chiusura nelle ultime 4 settimane sono stati:
• Il prezzo medio nelle ultime 4 settimane per ciascun titolo è dato dalla rispettiva media aritmetica
5
9
8
10
14
13
11
10
yx
84
59810)(
124
14131110)(
2
1
yM
xM
12
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
• Per calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i 2 titoli è utile costruire i 2 vettori:
• Per cui si ha:
-0,760643,7416573,162278
9
)()(
)(),(
21
21
yMyxMx
yMyxMxr
3
1
0
2
85
89
88
810
)(
2
1
1
2
1214
1213
1211
1210
)( 21 yMyxMx
SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi
Si considerino 2 insiemi V e K.Si introducano 2 operazioni:• “composizione interna” tra elementi di V;• “composizione esterna” tra elementi di V ed elementi di K.Esempio 1.
Composizione interna = somma tra matrici quadrate;Composizione esterna = prodotto di una matrice per uno
scalare.
13
RKeMV n
Esempio 2Sia V l’insieme dei polinomi algebrici di grado al massimo n.
Composizione interna = somma tra polinomi;Composizione esterna = prodotto di un polinomio per uno
scalare.N.B.
Controllare cosa succede se V è l’insieme dei polinomi algebrici di grado n.
14
RKexpV n )(
SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi
SPAZI VETTORIALI
Un vettore in Fisica è definito come un ente costituito da un punto di applicazione (O), una direzione (retta per O e per P) e un verso (da O a P), una lunghezza (misura di OP).
15
O
P
1P
2P
xPx
Py
OP
y
x
SPAZI VETTORIALI
I vettori nella figura che segue sono equivalenti al vettore .
Da questo momento faremo riferimento ai vettori applicati nell’origine.
16
O
P
1P
2P
xPx
Py
OP
y
x
SPAZI VETTORIALI
Dati i due vettori e si definiscono il vettore somma e il vettore differenza come i vettori che hanno come componenti rispettivamente la somma e la differenza delle componenti di e di ; geometricamente sono le diagonali OQ e PR del parallelogramma OPQRO.
17
O
P
R
x
x
y
Q y
x y
x y
COMBINAZIONE LINEARE
Sia V uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K. Se W è sottoinsieme di V e W è a sua volta uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K, allora si dice che W è sottospazio vettoriale di V. Dati n elementi (vettori) di uno spazio vettoriale V ed n scalari si definisce combinazione lineare il vettore di V espresso da :
18
nxxx ,...,, 21
n ,...,, 21
nnxxxz ...2211
LINEARE INDIPENDENZA
Gli n vettori dello spazio vettoriale V si dicono linearmente indipendenti se risulta
se e solo se gli n scalari sono tutti contemporaneamente nulli. Se il vettore nullo si ottiene come combinazione lineare di n vettori con coefficienti non tutti nulli allora i vettori si dicono linearmente dipendenti.
19
nxxx ,...,, 21
n ,...,, 21
0...2211 nnxxx
LINEARE DIPENDENZA
Gli n vettori dello spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti, e supponiamo che
allora , dividendo per , si ottiene:
ovvero è combinazione lineare degli altri vettori.
20
nxxx ,...,, 2101
0...2211 nnxxx 1
nn xxx1
21
21 ...
1x
ESEMPIO DI L.D.
Si analizzi la lineare dipendenza o indipendenza dei seguenti 3 vettori:.
21
0
1
2
1
1x
0
2
4
2
2x
1
2
1
0
3x
SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D.
Per stabilire la dipendenza o indipendenza lineare dei 3 vettori, occorre determinare le soluzioni del sistema:
22
0
022
042
02
3
321
321
21
SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D.
La matrice dei coefficienti:
ha rango 2, quindi il sistema ammette soluzioni :
e risulta:
23
100
221
142
021
A
1 TT 02/11321
12 2xx
ESEMPIO 2 DI L.D.
Si vuole esprimere il polinomio
come combinazione lineare dei seguenti polinomi:
24
34)( 2 xxxp
52)( 2)1( xxxp
xxxp 32)( 2)2(
3)()3( xxp
GENERATORI E BASI
Dati gli n vettori dello spazio vettoriale V Sia l’insieme delle combinazioni lineari
è un sottospazio vettoriale di e i vettori sono chiamati generatori di .Se h vettori tra gli n generatori sono linearmente indipendenti lo spazio vettoriale da essi generato coincide con . I vettori costituiscono una base di
25
nxxx ,...,, 21
nnxxx ...2211
1x
*V
*V V
nxxx ,...,, 21*V
**V*V
hxxx ,...,, 21
hxxx ,...,, 21*V
GENERATORI E BASI
I vettori costituiscono una base di . Il numero h dei vettori della base viene chiamato dimensione di . Dato un qualunque vettore esso può essere scritto come e i coefficienti della combinazione lineare vengono denominati coordinate (sono uniche!) del vettore rispetto alla base .Dato lo spazio vettoriale di dimensione h, esistono più basi.
26
*Vhxxx ,...,, 21
*V*Vx
hhxxxx ...2211
h ,...,, 21x
hxxx ,...,, 21*V
GENERATORI E BASI
Si considerino 2 basi di
Un vettore può essere espresso nelle 2 basi da
Ovvero come:
Dove :
27
*V
hvvv ,...,, 21*Vx
hhvvvx ...2211
Th ...21
Bx
hvvvB 21
hwww ,...,, 21
hhwwwx ...2211
*Bx
hwwwB 21*
Th ...21
GENERATORI E BASI
Uguagliando si ha
da cui : ovvero
La matrice è denominata matrice di cambiamento di base.
28
*BB
*1 BBA
*1BB BB 1*)(
ESEMPIO DI GENERATORI E BASI
Si consideri lo spazio vettoriale V dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a 3:
Si considerino i vettori di V :
Essi sono generatori di V.Non sono linearmente indipendenti.I vettori sono linearmente indipendenti.
29
31
22
13
0)( axaxaxaxp
31 xz 2
2 xz 13 xz 1
4 2xz 05 xz
5321 ,,, zzzz
BASE CANONICA
Si consideri lo spazio vettoriale V delle matrici quadrate di ordine 2. Una base è costituita da
Si considerino i vettori di V :
Sono una base per V, detta canonica.
30
00
011e
00
102e
01
003e
10
004e
ESEMPIO DI CAMBIAMENTO DI BASE
Si considerino i 2 vettori dello spazio vettoriale delle matrici 2x1:
Si determini la matrice di cambiamento di base rispetto alla base canonica.
31
2
3)1(v
3
2)2(v
TRASFORMAZIONI LINEARI
Dati due spazi vettoriali W e si definisce trasformazione lineare di W in ogni funzione tale che:• • Nucleo di T, ker(T), l’insieme dei vettori di W che hanno come immagine il vettore nullo di .Immagine di T, Im(T), l’insieme di vettori di che provengono da vettori di W.
32
)()()( yTxTyxT
)()( xkTkxT
*W*W
*W*W
ESEMPIO DI T.L.
Dati i due spazi vettoriali e si consideri la trasformazione lineare di in :• L’immagine della t.l. è l’insieme . Il nucleo di T, ker(T), è l’insieme dei vettori di che hanno come immagine il vettore nullo di , ovveroDa cui si ricava:
Quindi
33
2121 ),( xxxxT
2RR
2RR 0),( 2121 xxxxT
RxxxT 111 );,()ker(
12 xx
2R R
R
ESEMPIO DI T.L.
Dati i due spazi vettoriali e si dimostri che la legge seguente è una trasformazione lineare :• dove
Analogamente si dimostra che la trasformazione che associa al vettore la media aritmetica delle componenti è una trasformazione lineare:
34
xuxxxxTn
iin ,),...,,(
121
nR R
x
Tu 1...11 Tnxxxx ...21
n
iin x
nxxxT
121
1),...,,(
ESEMPIO DI T.L.
Si determini la trasformazione lineare tra e che fa corrispondere ad ogni vettore il vettore degli scarti dalla media aritmetica.•
35
nRx
nR
TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE
Si consideri la trasformazione lineare tra i due spazi vettoriali e , si può dimostrare il seguente teorema di rappresentazione:
Se
La trasformazione lineare viene denominata isomorfismo.
36
T
1W 2W
TTW kerdimImdimdim 1
2Im WT 0ker T
EQUAZIONE CARATTERISTICA L’equazione caratteristica è data da:
ovvero:
Le soluzioni vengono denominate autovalori. Le soluzioni del sistema:
vengono denominate autovettori corrispondenti all’autovalore .
37
0...)1()det( 011 n
nnnIA
0...11
nnn cc
n ,...,, 21
0)( xIA i
i
EQUAZIONE CARATTERISTICAPer l’equazione caratteristica valgono i seguenti teoremi:1.Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli minori principali di ordine i della matrice A moltiplicata per .
2.Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli prodotti degli
autovalori presi i alla volta moltiplicata per .
38
i)1(
in
i
nic
ic in
i
n
i)1(
• Si verifichino i teoremi nel caso della matrice:
EQUAZIONE CARATTERISTICA
67
363
217
6021
A
Teorema 3“Una matrice quadrata ammette l’autovalore
nullo se e solo il determinante è nullo”.
Teorema 4“Ogni matrice quadrata soddisfa la sua
equazione caratteristica”.
EQUAZIONE CARATTERISTICA
Teorema 5“Se il rango di una matrice quadrata è r allora
l’autovalore nullo ha molteplicità algebrica ”.
Teorema 6“Gli autovalori di una matrice triangolare
coincidono con gli elementi della diagonale principale”.
EQUAZIONE CARATTERISTICA
rnh
Teorema 7“Ad autovalori diversi corrispondono autovettori
linearmente indipendenti ”.Molteplicità algebricaMolteplicità geometricaTeorema 8“La molteplicità algebrica dell’autovalore è
maggiore o uguale alla moteplicità geometrica ”.
MOLTEPLICITA’
ih
igi
ig
ih
Si definisce matrice modale della matrice A la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice A”
Teorema 9“Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali”Teorema 10“La matrice modale di una matrice simmetrica è
ortogonale.”
MATRICE MODALE
Un sistema di equazioni differenziali lineari è:
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)()(...)()(
...
)()(...)()(
)()(...)()(
2211
222221212
112121111
tgtxatxatxax
tgtxatxatxax
tgtxatxatxax
nnnnnnn
nn
nn
Un sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo è:
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)(...)()(
...
)(...)()(
)(...)()(
2211
22221212
12121111
txatxatxax
txatxatxax
txatxatxax
nnnnnn
nn
nn
Esempio 2.
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)(3)(2)(4
)(2)(2
)(4)(2)(3
3213
312
3211
txtxtxx
txtxx
txtxtxx
Esempio 3.
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)(2)(6)(3
)()(4
)(
3213
212
11
txtxtxx
txtxx
txx
Esempio 4.
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)(2)(17)(7
)()(7)(3
)(4)(9)(9
3213
3212
3211
txtxtxx
txtxtxx
txtxtxx