modul vi : penerapan integral
DESCRIPTION
MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL. PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya . Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari suatu fungsi yang tidak diketahui . . Contoh . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/1.jpg)
MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL
![Page 2: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/2.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari suatu fungsi yang tidak diketahui.
Contoh
x4cosx2dxdy
3yy2
x31dxdy
2x4dx
yd 22
2
Persamaan diferensial orde satu variabel terpisah
Persamaan diferensial linier orde dua
PD orde satu variabel terpisah
)y(g)x(f
dxdy
atauf(x)dx + g(y) dy = 0
dx)x(fdy)y(g
cdy)y(gdx)x(f
atau
![Page 3: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/3.jpg)
Contoh penerapan
Hukum Pendinginan NewtonHukum Newton menyatakan bahwa laju perubahan laju pendinginan suhu benda sebanding dengan selisih suhu antara benda dan medium yang mengelilinginya. Andaikan t adalah waktu t setelah benda mulai mendingin. Jika T(t) adalah suhu benda pada saat t, Tm suhu medium yang mengelilinginya, dT/dt laju perubahan suhu pada saat t, dan k faktor pembanding maka,
)TT(kdtdT
m
Rangkaian Listrik R-LPada rangkaian seri menyatakan bahwa hubungan antara hambatan R ohm dan induktansi L henry dengan sebuah sumber arus listrik konstan yang tegangannya V volt. Andaikan i(t) menyatakan arus listrik dalam ampere yang mengalir pada rangkaian setelah waktu t, dan t menyatakan waktu dalam detik sejak rangkaian ditutup. Menurut hukum Kircoff, diperoleh :
VRidtdiL
![Page 4: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/4.jpg)
PENERAPAN INTEGRAL TENTULuas Bidang DatarMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti pada gambar
R
y=f(x)
f(xi)
xix=a x=b
Ai=f(xi) xi, a xi bLuas empat persegi panjang
b
adx)x(f)R(A
Contoh 1 Hitunglah luas daerah R, yang terletak dibawah kurva f(x) = 4x2 – x3, sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3.Jawab
x=1 x=3
f(xi)
x
yf(x) = 4x2 – x3
Ai=(4xi2 – xi3)xi, 1 xi 3
344dx)xx4()R(A
3
132
![Page 5: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/5.jpg)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-20
-15
-10
-5
0
5
10
f(x)=x3 – 2x2 – 8x
Contoh :
A(R1)
A(R2)
–2 0 4
![Page 6: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/6.jpg)
Luas diantara dua kurvaMisalkan daerah R dibatasi oleh dua kurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] seperti pada gambar
f(x)-g(x)
xiR
y=f(x)
y=g(x)
x
y
x=a x=b
Luas empat persegi panjang : Ai=[f(xi) – g(xi)] xi, a xi b
b
adx)]x(g)x(f[)R(A
Prosedur Menghitung Luas DaerahLangkah-langkah untuk menghitung luas daerah dengan integral tertentu (1)Buatlah gambar daerah R yang
bersangkutan, beserta batas-batasnya.
(2)Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu.
(3)Hampiri luas suatu jalur tertentu langkah 2 dengan luas empat persegi panjang.
(4)Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3.
(5)Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu.
![Page 7: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh 2 Hitunglah luas daerah R, terletak y = 4x2 – x3, dan x+y = 4.Jawab :Sketsa grafik R lihat gambar berikut
R2
R1
g(x)=4-x
f(x) = 4x2 – x3
x=-1 x=1 x=4x
y
A2
A1
Titik potong kedua kurva diperoleh : 4-x = 4x2 -x3
X3-4x2 – x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4
Menghitung A(R)
A1 = [g(xi)-f(xi)]xi
= [(4-xi)-(4xi2 – xi
3)]xi, -1xi 1
1
132
1 dx)]xx4()x4[()R(A
316
4x
3x4
2xx4
1
1
432
A2 = [f(xi)-g(xi)]xi
= [(4xi2 – xi
3)-(4-xi)]xi, 1xi 4
4
132
2 dx)]x4()xx4[()R(A
463
4x
3x4
2xx4
4
1
432
12253
463
316)R(A
![Page 8: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/8.jpg)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
f(x)=x3 – 2x2 – 8x
g(x)=3x – 12
–3 –2 0 1 4
A(R1) A(R2)
Contoh :
![Page 9: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/9.jpg)
Fungsi Densitas :Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi densitas (probabilitas), jika hanya jika f(x) memenuhi sifat-sifat berikut ini :
(1) f(x) 0
dx)x(f)bxa(P)3(
1dx)x(f)2(
ba
Mean dan variannya diberikan oleh :
2222 )]x(E[)x(E)x(E
dx)x(xf)x(E
![Page 10: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/10.jpg)
Soal 1Suatu fungsi densitas (kepadatan) didefinisikan oleh (i) f(x) = k x (2 – x)4, 0 x 2 (ii) f(x) = kxa(8 – x3) 0 x 2(III) f(x) = kxb(4 – x2), 0 x 2 (a) Hitunglah nilai k(b) Berapa, P(x>1)(c) Hitunglah E(x) dan varian
Soal 2Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva, berikut dengan sumbu x (d) f(x)=(x+a)(x – 1)(x – a – 1)(e) f(x) = (x2 – 1 )(x – a – 1)
TUGAS LUAS BIDANG DATARSoal 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi
oleh kurva berikut ini:(a). y = a – (x – 4)2, dan x + y = (a + 2), (b). y = x2, x + y = 2, dan x=y3.(c). y = x2, y = 8 – x2, dan 4x–y+12 = 0.
Soal 4. Hitunglah luas segitiga dimana titik-titik sudutnya adalah :
(a). (1,2), (7,4), dan (-1,8)(b). (2,1), (6,5), dan (0,8)
Soal 5. Hitunglah luas segiempat dimana koordinat titiktitik sudutnya adalah
(a). (1,1), (4,2), (–2, 6) dan (2,7)(b). (2,1), (5,3), (–2,7) dan (1,9)
![Page 11: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/11.jpg)
Volume Benda Pejal, Metode SilinderPerhatikanlah sketsa silinder berikut ini
r
h V=r2h
r1 r2
h
hrrV 21
22
Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b.
y=f(x)y
f(xi)
xi
x=a x=bx
Rr=f(xi)
h=xi
Jika R diputar terhadap sumbu x dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = r2h =[f(xi)]2xi, axibJadi :
b
a2dx)]x(f[V
![Page 12: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh 3 :Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, jika diputar tehadap sb xJawab
h=xi
r=f(xi)x
y
x=3
x=1
y=1+(x-1)2
V = r2h =[1+(x-1)2]2xi, 1xi3
15206])1(1[31
22 dxxV
Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, garis y=5, dari x=1 sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5Jawab
x
y=5
r=5-f(xi)
y=1+(x-1)2
x=1x=3
R
R
V = r2h =[4-(x-1)2]2xi, 1xi3
15256])1(4[31
22 dxxV
![Page 13: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/13.jpg)
Metode Cincin, SilinderMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu x, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, dimana bagian tengahnya lubang. Metode demikian disebut metode cincin
xi y=f(x)
y=g(x)
x=a x=b
R f(x)-g(x)
x
y
r1=g(x)
r2=f(x)
y
h=xi
Dengan metode silinder :V=[r2
2 – r12]h
= [f(xi)2–g(xi)2]xi,axibdx])x(g)x(f[V 2b
a2
![Page 14: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu x
y=f(x)=6-x
y=g(x)=(x-3)2+1
r1=g(x)
r2=f(x)
h=xi
x
Karena, A SP . dengan metode silinder :V=[r2
2 – r12]h
= [f(x)2–g(x)2]x,1x4 = [(6-x)2–(1+(x-3)2)2]x,1x4Jadi,
dx }])3x(1[)x6{(V4
1222
R
a=1 b=4
4
1
533
41
422
5)3x(
3)3x(2x
3)x6(
dx})3x()3x(21)x6{(
5
117V
![Page 15: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/15.jpg)
Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6
r1=6-f(x)r2=6-g(x)
y=6
y=f(x)=6-x
y=g(x)=(x-3)2+1
R
a=1 b=4x
y
h=xi
Karena, A SP, Dengan metode silinder :V=[r2
2 – r12]h
= {[6-g(x)]2–[6-f(x)]2}x,1xi4 = {[6–(1+(x-3)2)]2-[6-(6-x)]2}x, = {[5–(x-3)2]2- x2}x, 1x4Jadi,
5153
3x
5)3x(
3)3x(10x25
dx}x)3x()3x(1025{
dx}x])3x(5{[V
4
1
353
41
242
41
222
![Page 16: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/16.jpg)
Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1
y=1
x
y
y=g(x)=(x-3)2+1
y=f(x)=6-x
r1=g(x)-1
r2=f(x)-1
R
h=xi
a=1 b=4
Karena, A SP, maka dengan metode silinder :V=[r2
2 – r12]h
= {[f(x)-1]2– [g(x)-1]2}x,1x4 = {[(6–x)-1]2 – [(1+(x-3)2)-1]2}x, = {[5–x]2 – (x-3)4}x, 1x4Jadi,
572
5)3x(
3)x5(
dx})3x()x5{(V
4
1
53
41
42
![Page 17: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/17.jpg)
Metode Sel SilinderPerhatikanlah sel silinder berikut ini
r2
r
r1
r1 : jari-jari dalamr2 : jari-jari luarr : jari-jari rata-ratah : tinggi silinder
h h)rr(2
rr2 1212
Volume sel silinder adalah :V = r2
2h – r12 h
= [r22 – r1
2 ] h
= (r2 + r1)(r2 – r1)h
Jika diambil 2
rrr 12
r = r2 – r1
Dihasilkan rumus
V = 2 r h r
![Page 18: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/18.jpg)
Volume benda pejal, Metode Sel SilinderAndaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b.
x=bx=a
R y=f(x)
r=xi
r=x h=f(x)
Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = 2rhr = 2x f(x)x, axbJadi :
b
adx)x(xf2V
Contoh 5 :Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, diputar terhadap yJawab
r=xh=f(x)
r=xi
R
x=1 x=3
V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1)2]x, 1x3Jadi,
364dx))1x(1(x2V
3
12
![Page 19: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/19.jpg)
Metode Sel Silinder LanjutanMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder
xi y=f(x)
y=g(x)
x=a x=b
R h=f(x)-g(x)
x
y
h=f(x)-g(x)r=x
yr=x
Dengan metode sel silinder :V= 2 r h r = 2 x[f(x)–g(x)]x, axb
dx)]x(g)x(f[x2Vb
a
x
![Page 20: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu y
Karena A // SP, maka dengan metode sel silinder :V= 2 r h r = 2 x [f(x)–g(x)]x,1x4 = 2 x [(6-x)–(1+(x-3)2)]x,1x4Jadi,
dx })3x()x5{(x2V4
12
4
1
4332
4
1322
4)3x(
3)3x(3
3x
2x52
dx})3x()3x(3xx5{2
2
45V
r=x
y=6-x
y=(x-3)2+1
R
x=1 x=4
x
y
h=f(x)-g(x)
r=xi
![Page 21: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/21.jpg)
Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1
y=6-x
1
xr=x-1
h=f(x)-g(x)
y=(x-3)2+1
r=xi
Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (x-1)[(6-x) – (1+(x-3)2]x, Jadi,
)2/27(
dx })3x(x5){1x(2V4
12
x=1 x=4
Kasus 3 : Sumbu putar garis x=4
h=f(x)-g(x)
r=4-xx
Rr=xi
y=6-x
y=(x-3)2+1
x=1 x=4Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (4 - x)[(6-x) – (1+(x-3)2] x Jadi,
)2/27(
dx })3x(x5){x4(2V4
12
![Page 22: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/22.jpg)
Prosedur Menghitung Volume Banda PejalLangkah-langkah untuk menghitung volume benda pejal dengan integral tertentu adalah sebagai berikut :
(1)Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukan fungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya (batas integral).
(2)Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu (luas empat persegi panjang), dan buatlah sumbu putarnya yang tidak memotong daerah R.
(3)Hampiri volume benda pejalnya dengan pendekatan :
(a) Volume silinder, V = r2h jika A tegak lurus dengan sumbu putar(b) Volume sel slilinder, V = 2rh r, jika A sejajar dengan sumbu putar.
(4)Jumlahkan volume silinder aproksimasi dari langkah 3.(5)Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu, atau
hitunglah volume benda pejalnya dengan integral tentu.
![Page 23: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/23.jpg)
Momen dan Pusat MassaMisalkan sepotong lamina homogen dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) g(x) garis x = a, dan garis x = b. Andaikan bahwa kerapatan lamina adalah ,
y=f(x)
y=g(x)
x=a x=b
R
y
x
2)xi(g)xi(f
xi
xi
Andaikanlah, )y,x( pusat masaa lamina
m
My dan ,m
Mx xy
dimana,
My : moment terhadap sumbu yMx : moment terhadap sumbu x m : massa lamina
b
adx)]x(g)x(f[m
ba
22x
bay
dx])x(g)x(f[2
M
dx)]x(g)x(f[xM
![Page 24: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh 5Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Jika kerapatannya adalah konstan k Jawab :
y=f(x)
y=g(x)
y=6-x
xi
y=(x-3)2+1
xi
x=1 x=4
k29
3)3x(
2)x5(k
dx)])3x(1()x6[(km
4
1
32
4
12
k4
45
dx)])3x(1()x6[(xkM4
12
y
k
dxxxkMx
10117
]))3(1()6[(2
4
1222
Jadi,25
k)2/9(k)4/45(
mM
x y
513
)2/9()10/117(
k
km
My x
![Page 25: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/25.jpg)
Teorema PappusJika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadap sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah R dikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R itu
Bilamana daerah diputar terhadap sebuah sumbu putar yang tidak terletak pada daerah R, maka volume benda putarnya diberikan oleh,
V = 2 r A
dimana r adalah jari-jari lingkaran yakni panjang jarak tegak lurus dari titik pusat massa ke sumbu putar, dan A adalah luas daerah R, lamina.
![Page 26: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/26.jpg)
Tugas Khusus Volume Benda Putar
Soal 1. Perhatikanlah daerah R dibatasi oleh, y = (b – 5) + (x – a + 4)2 dan garis lurus yang menghubungkan titik (a–5, b–4) dan (a–2,b –1). Hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :(a). Garis y = b – 6, y=b+5 (b). Garis x = a +1 , x=a – 6
Soal 2. Suatu daerah R dibatasi oleh kurva, y = a – (x – b)2, dan x + y = (a + b – 2), hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :a. garis y = a+1, y=a - 5 b. garis x = b + 3, x=b – 3 Soal 3. Daerah R adalah sebuah segitiga dimana titik-titik ujungnya adalah (a,b), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentu hitunglah,a. Volume benda putarnya jika R diputar terhadap garis y = bb. Volume benda putarnya jika R diputar terdadap garis x = a
![Page 27: MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061419/568166e8550346895ddb2a5e/html5/thumbnails/27.jpg)
Soal 5.Tugas Massa dan Pusat Massaa. Untuk soal nomor 1,2 dan 4
hitunglah pusat massa dengan asumsi kerapatan konstan
b. Hitunglah volume yang ditanyakan dengan metode teorema pappus.
Soal 4Perhatikanlah gambar daerah berikut iniHitunglah volume benda putarnya jika daerah R diputar terhadap :(a). Garis, y=b-5, (b). Garis, y= b+1(c). Garis, x=a – 3(d). Garis, x = a + 2
Gambar Soal No. 4