modul integral - repository.unej.ac.id
TRANSCRIPT
Modul Integral MK. Matematika Dasar - i
Dr. Erfan Yudianto, S.Pd., M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2020
MODUL
INTEGRAL
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
Modul Integral MK. Matematika Dasar - i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang mana atas berkat dan rahmatnya
penyusun dapat menyelesaikan modul integral untuk mata kuliah Matematika
Dasar IPA dengan bobot 3 SKS, sebagai sarana untuk mendampingi langkah-demi
langkah konsep integral kepada mahasiswa termasuk ide-ide kreatif yang mungkin
muncul melalui masalah-masalah yang ada dalam modul ini. Penyusun sangat
sadar bahwa modul ini masih banyak sekali kekurangan. Oleh karena itu
penyusun sangat terbuka sekali bagi berbagai kritikan dan saran demi perbaikan di
masa yang akan datang.
Akhirnya penyusun mohon maaf atas segala kekurangan dan
mengucapkan banyak terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu
dalam penyusunan modul ini.
Jember, September 2019
Dr. Erfan Yudianto, M.Pd.
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
Modul Integral MK. Matematika Dasar - i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................. i
DAFTAR ISI ............................................................................................................ i
DAFTAR TABEL ................................................................................................... ii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. iii
1.1 Pengertian Integral .............................................................................................. 1
1.2 Integral Tak Tentu ............................................................................................... 1
1.2.1 Pengertian Integral Tak Tentu .................................................... 1
1.2.2 Penerapan Integral Tak Tentu ................................................... 12
1.3 Integral Tentu ..................................................................................................... 14
1.4 Teknik-Teknik Pengintegralan ........................................................................ 16
1.4.1 Bentuk Subtitusi-1 .................................................................... 16
1.4.2 Integral yang Memuat Bentuk 22 xa − ,
22 xa + ,
22 ax − .................................................................................. 18
1.5 Integral Parsial ................................................................................................... 20
1.6 Beberapa Penggunaan Integral Tertentu ........................................................ 21
1.6.1 Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X ................................. 21
1.6.2 Luas Daerah antara Dua Kurva ................................................. 24
1.6.3 Volume Benda Putar ................................................................. 26
1.7 Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari ............................................ 30
1.8 Referensi ............................................................................................................. 31
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
ii
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Turunan Fungsi Trigonometri ................................................................................ 7
Tabel 2 Tabel Subtitusi Lanjutan ...................................................................................... 18
Tabel 3 Batas Integral ....................................................................................................... 19
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
iii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X ......................................................... 22
Gambar 2 Kurva 3xy = ................................................................................................... 23
Gambar 3 Kurva xy 24 −= dan 4=x ........................................................................... 24
Gambar 4 Luas Daerah antara Dua Kurva ........................................................................ 25
Gambar 5 Kurva xxy 32 += dan 22 += xy ............................................................... 26
Gambar 6 Kurva Mengelilingi Sumbu X .......................................................................... 26
Gambar 7 Kurva Mengelilingi Sumbu Y .......................................................................... 27
Gambar 8 Dua Kurva Mengelilingi Sumbu X .................................................................. 28
Gambar 9 Dua Kurva Mengelilingi Sumbu Y .................................................................. 28
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
Modul Integral MK. Matematika Dasar - 1
INTEGRAL
1.1 Pengertian Integral
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman
tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep
integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa
fungsi ini memiliki bentuk umum 32)( xxf = . Setiap fungsi ini memiliki
turunan 26)(' xxf = . Jadi, turunan fungsi
32)( xxf = adalah 26)(' xxf = .
Menentukan fungsi )(xf dari )(' xf , berarti menentukan antiturunan dari
)(' xf . Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi
invers terhadap diferensial. Jika )(xf adalah fungsi umum yang bersifat
)()(' xfxf = , maka )(xf merupakan antiturunan atau integral dari
)()(' xfxF = .
1.2 Integral Tak Tentu
1.2.1 Pengertian Integral Tak Tentu
Pengintegralan fungsi )(xf yang ditulis sebagai dxxf )( disebut
integral tak tentu dari )(xf . Jika )(xF anti turunan dari )(xf , maka
+= cxFdxxf )()( , dengan c adalah konstanta.
Ada dua jenis integral tak tentu yang akan dipelajari pada bagian
ini yaitu integral tak tentu dari fungsi aljabar dan integral tak tentu dari
fungsi trigonometri.
a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar
Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
• xxg =)(1 , didapat 1)('1 =xg .
Jadi, jika 1)('1 =xg
maka,
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
2
xdx
dxxgxg
=
=
1
)(')( 11
xxd = 1
• 2
22
1)( xxg = , didapat xxg =)('2
Jadi, jika xxg =)('2
maka,
xxdx
dxxgxg
=
=
2
22
2
1
)(')(
2
2
1xxxd =
Dari uraian ini, tampak bahwa jika nxxg =)(' , maka
cxn
xg n ++
= +1
1
1)( atau dapat dituliskan
1,1
1 1 ++
= +
ncxn
dxx nn .
Sebagai contoh, turunan fungsi cxxf += 22)( adalah xxf 4)(' = .
Ini berarti, antiturunan dari xxf 4)(' = adalah cxxf += 22)( atau
dituliskan cxdxxf +=22)(' . Uraian ini menggambarkan
hubungan berikut. Jika nxxf =)(' , maka
1,1
1)( 1 +
+= + ncx
nxf n dengan 𝑐 suatu konstanta. Misalnya 𝑘
konstanta real sembarang, )(xf dan )(xg merupakan fungsi yang
dapat diintegralkan, maka akan berlaku:
1. += cxdx
Pembuktian:
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
3
Misal: xy =
11 =→=dx
dydxdy
Sehingga
cx
cy
dy
dxdx
dydx
+=
+=
=
=
Jadi, += cxdx
2. Rkdxxfkdxxfk = ,)()(
Pembuktian: menggunakan kesamaan
Misal: )(xFy =
)()( xfdx
dydxxfdy =→=
Sehingga
)1.................................)(
)(
cxFk
cky
kdy
dxdx
dykdxxfk
+=
+=
=
=
Misal: )(xFy =
)()( xfdx
dydxxfdy =→=
Sehingga
( )
)2.................................)(
)(
CxFk
kcky
cyk
dyk
dxdx
dykdxxfk
+=
+=
+=
=
=
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
4
Dari persamaan 1) dan 2) terbukti bahwa
= dxxfkdxxfk )()(
3. = dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Pembuktian:
• Misal: )()( xGxFy +=
( ) )()()()( xgxfdx
dydxxgxfdy +=→+=
Sehingga
++=+===+ )1...)()()()( cxGxFcydydxdx
dydxxgxf
Misal: )(xFw = dan )(xGz =
)()(
)()(
xgdx
dzdxxgdz
xfdx
dwdxxfdw
=→=
=→=
Sehingga
)2...)()(
2
)()(
CxGxF
czw
czcw
dzdw
dxdx
dzdx
dx
dwdxxgdxxf
++=
++=
+++=
+=
+=+
Dari persamaan 1) dan 2) terbukti bahwa
)3...)()()()( +=+ dxxgdxxfdxxgxf
• Misal: )()( xGxFy −=
( ) )()()()( xgxfdx
dydxxgxfdy −=→−=
Sehingga
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
5
+−=+===− )4...)()()()( cxGxFcydydxdx
dydxxgxf
Misal: )(xFw = dan )(xGz =
)()(
)()(
xgdx
dzdxxgdz
xfdx
dwdxxfdw
=→=
=→=
Sehingga
)5...0,)()(
)(
)()(
=++=
−=
+−+=
−=
−=−
ccxGxF
zw
czcw
dzdw
dxdx
dzdx
dx
dwdxxgdxxf
Dari persamaan 4) dan 5) terbukti bahwa
)6...)()()()( −=− dxxgdxxfdxxgxf
Jadi, dari 3) dan 6) terbukti bahwa
= dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
4. cxn
aax nn +
+= +
1
1
Pembuktian:
Misal: pxy = dan 1−= pn
dxxp
dydxpxdy pp 11 −− =→=
Sehingga,
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
6
)(
)(
1
cxp
a
cyp
a
dyp
a
p
dyadxax
p
p
+=
+=
=
=
−
Cxp
a
p
cx
p
a
p
p
+=
+=
Substitusikan 1−= pn
11 +=→−= nppn
Cxn
adxax
Cxp
adxax
nn
pp
++
=
+=
+
−
1
1
1
Jadi, terbukti bahwa cxn
aax nn +
+= +
1
1
Latihan Soal!
1) Selesaikan integral berikut!
a. dxx3
b. dxx 2
3
c. dxx4 32
d. ( ) −+ dxxx 326 2
Penyelesaian:
a. cxcxdxx +=++
= +
4133
4
1
13
1
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
7
b. cxcxcxdxx +=+=+
+
=+
2
5
2
51
2
3
2
3
5
2
2
5
1
12
3
1
c. = dxxdxx 4 34 3 22
cx
cx
cx
cx
dxx
+=
+=
+=
+
+
=
=
+
4
7
4
7
4
7
14
3
4
3
7
8
7
42
4
7
12
14
3
12
2
d. ( ) −+=−+ dxdxxdxxdxxx 326326 22
( )
Cxxx
cxxx
cxcxcx
+−+=
+−+=
+−
+
++
+
+= ++
32
332
311
2
12
6
23
23
1112
b. Rumus Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan
pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu
lebih memahaminya, perhatikan tabel turunan fungsi trigonometri
berikut:
Tabel 1 Turunan Fungsi Trigonometri
)(xf )(' xf
xsin xcos
xcos xsin−
xtan x2sec
xsec xx sectan
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
8
xcot x2csc−
xcsc xx csccot −
Berdasarkan tabel di atas, rumus dasar pengintegralan
trigonometri adalah sebagai berikut.
1. cxdxx += sincos
Pembuktian:
Misal: xy sin=
xdx
dycos=
Sehingga,
+=+=== cxcydydxdx
dydxx sincos
Jadi, terbukti bahwa cxdxx += sincos
2. cxdxx +−= cossin
Pembuktian:
Misal: xy cos=
xdx
dyx
dx
dysinsin =−−=
Sehingga,
+−=+−=−=−= cxcydydxdx
dydxx cossin
Jadi, terbukti bahwa cxdxx +−= cossin
3. cxdxx += tansec2
Pembuktian:
Misal: xy tan=
xdx
dy2cos
1=
Sehingga,
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
9
+=+=== cxcydydxdx
dydx
xtan
cos
12
Jadi, terbukti bahwa cxdxx += tansec2
4. cxdxx +−= cotcsc2
Pembuktian:
Misal: xy cot=
xdx
dy
xdx
dy22 sin
1
sin
1=−−=
Sehingga,
+−=+−=−=−= cxcydydxdx
dydx
xcot
sin
12
Jadi, terbukti bahwa cxdxx +−= cotcsc2
5. cxdxxx += secsectan
Pembuktian:
Misal: xy sec=
xxdx
dysectan =
Sehingga,
+=+=== cxcydydxdx
dydxxx secsectan
Jadi, terbukti bahwa cxdxxx += secsectan
6. cxdxxx +−= csccsccot
Pembuktian:
Misal: xy csc−=
xxdx
dycsccot =
Sehingga,
+−=+=== cxcydydxdx
dydxxx csccsccot
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
10
Jadi, terbukti bahwa cxdxxx +−= csccsccot
Contoh:
1. Selesaikanlah axdxsin
2. Selesaikanlah + dxbax )sin(
Penyelesaian:
1. axdxsin
Misal: axu =
a
dudxa
dx
du==
Sehingga,
caxa
cua
cua
udua
a
duuaxdx
+−=
+−=
+−=
=
=
cos1
cos1
)cos(1
sin1
sinsin
Jadi, caxa
axdx +−= cos1
sin
2. + dxbax )sin(
Misal: baxu +=
a
dudxa
dx
du==
Sehingga,
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
11
cbaxa
cua
cua
udua
a
duudxbax
++−=
+−=
+−=
=
=+
)cos(1
cos1
)cos(1
sin1
sin)sin(
Jadi, cbaxa
dxbax ++−=+ )cos(1
)sin(
Berdasarkan contoh dari fungsi trigonometri diatas, maka
rumus-rumus tersebut dapat diperluas menjadi :
a. ( ) ( ) cbaxa
dxbax ++=+ sin1
cos
b. ( ) ( ) cbaxa
dxbax ++−=+ cos1
sin
c. ( ) ( ) cbaxa
dxbax ++=+ tan1
sec2
d. ( ) ( ) ( ) cbaxa
dxbaxbax ++=++ sec1
sectan
e. ( ) ( ) cbaxa
dxbax ++−=+ cot1
csc2
f. ( ) ( ) ( ) cbaxa
dxbaxbax ++−=++ csc1
csccot
Latihan Soal!
Selesaikan integral berikut!
1. ( ) + dxx 3sin2
2. − dxx 12sec2
3. xdx2sin
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
12
4. ( ) + dxxx2
cossin
5. xdxx 2cos4sin
Penyelesaian:
1. ( ) ++−=+=+ cxxdxxdxdxx 3cos23sin23sin2
2. +−=−=− cxxdxxdxdxx 2tan2
112sec12sec 22
3. cxxdxxxdx +−=
−= 2sin
4
1
2
12cos
2
1
2
1sin 2
4. ( ) ( ) ++=+ xxxxdxxx 222coscossin2sincossin
( )
( )
cxx
x
xx
+−=
+=
+=
2cos2
1
2sin1
cossin21
5. ( )dxxxxdxx += 2sin6sin2
12cos4sin
( )
cxx
cxx
dxxx
+−−=
+
−−=
+=
2cos4
16cos
12
1
2cos2
16cos
6
1
2
1
2sin6sin2
1
1.2.2 Penerapan Integral Tak Tentu
Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan-permasalahan di bawah ini.
1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya
diberikan.
2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu
benda pada waktu tertentu.
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
13
Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan
dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a. Hubungan
anatara s, v, dan a adalah sebagai berikut.
dt
dsv = , sehingga = vdts dan
dt
dva = , sehingga = adtv
Latihan Soal!
1. Diketahui 3106)(' 2 +−= xxxf dan 2)1( =−f . Tentukan )(xf !
2. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang
memenuhi persamaan 12 −= ta , a dalam 2/ sm dan t dalam detik.
Jika kecepatan awal benda smv /5= dan posisi benda saat 𝑡=6
adalah 𝑠=92 𝑚, maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t
detik!
Penyelesaian:
1. 3106)(' 2 +−= xxxf
( )
cxxx
dxxxxf
++−=
+−= 352
3106)(
23
2
12352)(
12
102
102
822
35)1(22
)1(3)1(5)1(2)1(2)1(
23
23
++−=
=
=+
+−=
+−−=
+−−−=
+−+−−−=−→=−
xxxxf
c
c
c
c
c
cff
2. 12 −= ta
( )
ctt
dtt
adtv
+−=
−=
=
2
12
Kecepatan awal benda 5m/s, artinya saat t=0 nilai v=5
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
14
5
500
5
2
0
=
=+−
==
c
c
vt
Sehingga, 52 +−= ttv
( )
dttt
dttt
vdts
++−=
+−=
=
52
1
3
1
5
23
2
Untuk
8
8492
30187292
)6(5)6(2
1)6(
3
1)6(92 23
6
=
+=
++−=
++−=→==
d
d
d
dsst
Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan
852
1
3
1 23 ++−= ttts
1.3 Integral Tentu
Jika fungsi )(xfy = kontinu pada interval bxa , maka:
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a−==
dengan )(xF adalah anti turunan dari )(xf dalam bxa . Bentuk integral
di atas disebut integral tertentu dengan 𝑎 sebagai batas bawah dan 𝑏 sebagai
batas atas. Definisi integral di atas dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus.
Misalnya )(xf dan )(xg merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval
tertutup [𝑎,𝑏] , maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat umum sebagai
berikut.
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
15
1. =
a
a
xf 0)(
2. ==
b
a
b
a
kdxxfkdxxfk ,)()( konstanta
3. dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a
= )()()()(
4. −=b
a
c
b
dxxfdxxf )()(
5. =+
c
b
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Latihan Soal!
1. Hituglah hasil integral berikut
a. 3
0
26 dxx
b. ( )−
+4
2
cos6sin2
dxxx
2. Jika ( ) =−
k
dxx1
1852 untuk k > 0 maka tentukan nilai k + 1 !
Penyelesaian:
1. Hasil perhitungan
a. 54)09(603
13
3
16
3
1666 33
3
0
3
3
0
2
3
0
2 =−=
−=
== xdxxdxx
b. ( ) 4
2
4
2
sin6cos2cos6sin2
−
−
+−=+ xxdxxx
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
16
( ) ( )
226
60232
2sin6
2cos2
4sin6
4cos2
+=
−−+−=
−+
−−
+
−=
2. ( ) =−
k
dxx1
1852
( ) ( )
( )( ) 027
0145
01845
18515
185
2
2
2
1
2
=+−
=−−
=−+−
=−−−
=−
kk
kk
kk
kk
xxk
Diperoleh 7=k (memenuhi) atau 2−=k (tidak memenuhi)
maka nilai k + 1 = 7 + 1 = 8.
1.4 Teknik-Teknik Pengintegralan
Sering kita jumpai fungsi-fungsi yang akan diintegralkan tidak sesuai
dengan rumus dasar integral dan tidak sedikit fungsi tersebut diberikan dalam
bentuk yang sangat rumit. Pada subbab ini kita akan membahas dua teknik
pengintegralan untuk menyelesaikan integral dengan fungsi seperti itu, yaitu
integral subtitusi dan integral parsial.
1.4.1 Bentuk Subtitusi-1
Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan
menggunakan rumus cxn
adxax nn +
+= +
1
1.Banyak bentuk-bentuk yang
kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas.
Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.Pada bagian ini
akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar
dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi
bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai
berikut.
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
17
=
duufdx
dx
duuf )()(
Latihan Soal!
1. ( ) − dxx3
25
2. ( )( ) +− dxxx52 31
Penyelesaian:
1. ( ) − dxx3
25
Misal: 25 −= xu
dudxdxdu5
15 =→=
Sehingga
( ) ( ) cxcuduuduudxx +−=+
===−
4433325
20
1
4
1
5
1
5
1
5
125
Jadi, ( ) ( ) cxdxx +−=−43
2520
125
2. ( )( ) +− dxxx52 31
Misal: 33 −=→+= uxxu
dudx =
Sehingga
( )( ) ( )( ) dxuudxxx 5252 1331 −−=+−
( )
( )
( ) ( ) ( ) cxxx
cuuu
dxuuu
dxuuu
++++−+=
++−=
+−=
+−=
678
678
567
52
33
43
7
63
8
1
6
8
7
6
8
1
86
86
Jadi, ( )( ) ( ) ( ) ( ) cxxxdxxx ++++−+=+−67852 3
3
43
7
63
8
131
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
18
1.4.2 Integral yang Memuat Bentuk 22 xa − ,
22 xa + , 22 ax −
Untuk menyelesaikan pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk
22 xa − , 22 xa + , dan
22 ax − , kita menggunakan teknik integral
substitusi trigonometri.
Tabel 2 Tabel Subtitusi Lanjutan Bentuk Substitusi Hasil
22 xa − sinax = cos22 axa =−
22 xa + tanax = sec22 axa =+
22 ax − secax = tan22 aax =−
Pembuktian:
1. Bentuk 22 xa −
Misal:
(i) 22
,sin
−= ax
dadxad
dxcoscos ==
(ii) ( )2222 sinaaxa −=−
( )
cos
cos
sin1
sin
22
22
222
a
a
a
aa
=
=
−=
−=
Jadi, cos22 axa =−
2. Bentuk 22 xa +
Misal:
(i) 22
,tan
−= ax
dadxad
dx 22 secsec ==
(ii) ( )2222 tanaaxa +=+
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
19
( )
sec
sec
tan1
tan
22
22
222
a
a
a
aa
=
=
+=
+=
Jadi, sec22 axa =+
3. Bentuk 22 ax −
Misal:
(i) 22
,sec
−= ax
dadxad
dxsectansectan ==
(ii) ( ) 2222 sec aaax −=−
( )
tan
tan
1sec
sec
22
22
222
a
a
a
ata
=
=
−=
−=
Jadi, tan22 aax =−
Latihan Soal!
1. −
2
024
1dx
x
Penyelesaian:
1. Misal: 2
sinsin2x
x =→=
ddx cos2=
Batas integral
Tabel 3 Batas Integral x 0 2
0 2
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
20
Sehingga
2
1
cos2
cos2
sin44
cos2
4
1
20
2
0
2
0
2
02
2
02
=
=
=
=
−=
−
d
d
ddxx
1.5 Integral Parsial
Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan
dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan
dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial. Perhatikan
uraian berikut.
Misalnya, vuy = , dengan ,,uy dan v fungsi dari x , maka.
( )
dvuduvdy
dvuduvdxdx
dy
dx
dvuv
dx
du
dx
dy
vuvudx
dy
+=
+=
+=
+=
1
''
−=
+=
+=
+=
vduuvudv
udvvduuv
udvvduy
udvvdudy
Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus integral
parsial adalah sebagai berikut
−= vduuvudv
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
21
Latihan Soal!
1. xdxx cos2
Penyelesaian:
1. xdxx cos2
Misal: xdxduxu 22 =→=
xdxdvxv cossin =→=
Sehigga
‘( )( )
( )( )
( )
cxxxxx
cxxxxx
dxxxxx
dxxxxxxdxx
vduuvudv
+−+=
++−−=
−=
−=→
−=
sin2cos2sin
sincos2sin
sin2sin
2sinsincos
2
2
2
22
1.6 Beberapa Penggunaan Integral Tertentu
1.6.1 Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X
Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva ( )xfy = ,
sumbu X, garis ax = , dan garis bx = dengan ( ) 0xf pada ( )ba,
maka luas daerah S dapat ditentukan dengan rumus:
( )=b
a
dxxfL
Pembuktian:
Misalkan salah satu potongan persegi panjang tersebut diberi nama
PP’Q’Q dengan koordinat titik ( )yxP , . Lebar persegi panjang P’Q’
dinamakan x , serta luas PP’Q’Q dinamakan L . Luas persegi
panjang adalah lp , maka xyL =
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
22
Gambar 1 Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X
(Sumber: KTSP 2006)
Jumlah luas persegi panjang dari ax = sampai dengan bx = dapat
dinyatakan dengan: Luas total =
=n
i
ii xy1
dengan n adalah banyak persegi panjang. Perhitungan luas total akan
akurat jika x yang dipilih sangat kecil hingga mendekati nol, yaitu
dalam sebuah limit. Jadi,
Luas total = lim𝛿𝑥→0
=
n
i
ii xy1
Bentuk di atas dapat dituliskan sebagai bentuk integral:
( )
=
=
b
a
b
a
dxxfL
dxyL
Apabila ( ) 0xf atau kurvanya di bawah sumbu X, maka
( )−=b
a
dxxfL
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
23
Latihan Soal!
1. Tentukan luas daerah antara kurva 3xy = , sumbu X, 1−=x dan 1=x !
Penyelesaian:
Gambar 2 Kurva 3xy =
2
10
4
1
4
10
4
1
4
11
0
4
0
1
4
1
0
3
0
1
3 =
−+
−−=
+
−=+−=
−−
xxdxxdxxL satuan
luas.
Jadi, luas daerah tersebut adalah 2
1satuan luas.
2. Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva
xy 24 −= , sumbu X, dan garis 4=x .
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar di bawah ini, daerah yang diarsir di bawah sumbu X
merupakan luas daerah yang dicari, yaitu
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
24
Gambar 3 Kurva xy 24 −= dan 4=x
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
4
481616
22.444.4
4
24
24
22
4
2
2
4
2
4
2
=
+−−+−=
+−−+−=
+−=
+−=
−−=
xx
dxx
dxxL
Jadi, luasnya adalah 4 satuan luas.
1.6.2 Luas Daerah antara Dua Kurva
Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva ( )xfy =1 ,
( )xgy =2 , garis ax = , dan garis bx = seperti gambar di bawah ini,
maka luas daerah
4
4 0
y=4-2x
2
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
25
Gambar 4 Luas Daerah antara Dua Kurva
Luas daerah S dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva ( )xfy =1 , ( )xgy =2 ,
dari ax = sampai bx = ditentukan dengan rumus:
( ) ( ) −=
b
a
dxxgxfL
dengan ( ) ( )xgxf dalam interval bxa .
Latihan Soal!
1. Tentukan luas daerah antara kurva xxy 32 += dan 22 += xy !
Penyelesaian:
Titik potong kedua kurva yaitu
( )( ) 120122232 =−==−++=+ xatauxxxxxx
( ) ( )
( ) ( )
−=
−=
−=
b
a
b
a
b
a
TUQPTURS
dxxgxf
dxxgdxxf
LLS
T
S
P
a b X O
Y
R ( )xfy =1
Q ( )xgy =2
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
26
Gambar 5 Kurva xxy 32 += dan 22 += xy
( ) ( ) ( )−−
=−−=+−+=
1
2
2
1
2
2
2
142322 dxxxdxxxxL satuan luas.
Jadi, luas daerah tersebut adalah 2
14 satuan luas.
1.6.3 Volume Benda Putar
1.6.3.1 Volume Benda Putar Yang Dibatasi Oleh Satu Kurva
Mengelilingi Sumbu X
Gambar 6 Kurva Mengelilingi Sumbu X
(Sumber: KTSP 2006)
Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 3600
mengelilingi sumbu X
( )( ) dxxfV
b
a
2
=
atau
=
b
a
dxyV 2
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
27
1.6.3.2 Volume Benda Putar Yang Dibatasi Oleh Satu Kurva
Mengelilingi Sumbu Y
Gambar 7 Kurva Mengelilingi Sumbu Y
(Sumber: KTSP 2006)
Apabila daerah yang dibatasi oleh kurva ( )yfx = , ax = ,
dan garis bx = yang diputar mengelilingi sumbu Y sebesar
3600. Dengan cara yang sama seperti pada waktu menentukan
volume benda putar sebuah bidang yang diputar mengelilingi
sumbu X, dapat dirumuskan untuk V , yaitu:
=
=n
i
ii yxV1
2
dengan n adalah banyak persegi panjang. Perhitungan luas
total akan akurat jika x yang dipilih sangat kecil hingga
mendekati nol, yaitu dalam sebuah limit. Jadi,
Luas total =
→=
n
i
iix
yx1
2
0lim
Bentuk di atas dapat dituliskan sebagai bentuk integral:
( )( )=
d
c
dyygV2
atau =
d
c
dyxV 2
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
28
1.6.3.3 Volume Benda Putar Yang Dibatasi Oleh Dua Kurva
Mengelilingi Sumbu X
Gambar 8 Dua Kurva Mengelilingi Sumbu X
(Sumber: KTSP 2006)
Misalkan f dan g merupakan fungsi yang kontinu dan non
negative sedemikian sehingga untuk ba, . L
adalah daerah yang dibatasi ( )xfy =1 , ( )xgy =2 , dari ax =
sampai bx = . Volume benda putar dari daerah antara dua
kurva yang diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu X maka
dapat dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut.
( ) ( ) dxxgxfV
b
a
−= 22 atau ( ) −=
b
a
dxyyV2
2
2
1
1.6.3.4 Volume Benda Putar Yang Dibatasi Oleh Dua Kurva
Mengelilingi Sumbu Y
Gambar 9 Dua Kurva Mengelilingi Sumbu Y
(Sumber: Google)
( ) ( )xgxf
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
29
Volume benda putar dari daerah antara dua kurva yang
diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu Y
( ) ( ) dyygyfV
d
c
−= 22 atau ( ) −=
d
c
dyxxV2
2
2
1
Latihan Soal!
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah
yang dibatasi oleh kurva ,2,0,1 ==+= xxxy dan
diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600.
Penyelesaian:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
volumesatuan
xxx
dxxx
dxx
dxxfV
3
26
3
26
0003
1222
3
1
3
1
12
1
2323
2
0
23
2
0
2
2
0
2
2
0
2
=
=
++
−
++=
++=
++=
+=
=
2. Tentukan volume benda putar, jika daerah yang dibatasi
oleh grafik ( ) 24 xxf −= , sumbu X, dan sumbu Y diputar
3600 apabila diputar terhadap sumbu X.
Penyelesaian:
1
-1
y=x+1
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
30
( )
( )
( ) ( ) ( )
15
256
5
32
3
6432
025
12
3
8216
5
1
3
816
816
4
53
2
0
53
2
0
42
22
0
2
=
+−=
−
+−=
+−=
+−=
−=
xxx
dxxx
dxxV
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 15
256satuan volume.
1.7 Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari
Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita
mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya
untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintergrasikan,kita mulai dengan
turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini. Lambang
integral adalah
( ) ( ) += CxFdxxf
Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti
digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan bidang-
bidang lain. Adapun uraiannya sebagai berikut:
1. Bidang Teknologi
Integral sering digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan
dengan volume, panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran
kardiak, usaha, gaya dan surplus konsumen.
2. Bidang Ekonomi
Penerapan integral dalam bidang ekonomi yaitu:
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
31
• Untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi.
• Untuk mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.
3. Bidang Matematika
Penerapan integral dalam bidang matematika yaitu:
• Untuk menentukan luas suatu bidang.
• Untuk menentukan volume benda putar dan menentukan panjang
busur.
4. Bidang Fisika
Penerapan integral dalam bidang fisika yaitu:
• Untuk menganalisis rangkaian listrik arus AC.
• Untuk menganalisis medan magnet pada kumparan.
• Untuk menganalisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.
5. Bidang Teknik
Penerapan integral dalam bidang teknik yaitu:
• Untuk mengetahui volume benda putar
• Untuk mengetahui luas daerah pada kurva.
Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, dapat kita ketahui dari
kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, dan posisi perpindahan benda itu
pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses
integral (antidiferensial), contoh lain yaitu setiap gedung Petronas di Kuala
Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan
semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan
harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan
yang tepat, dipakailah integral.
1.8 Referensi
Courant, R., Robbins, H., & Stewart, I. (1996). What is mathematics?: an
elementary approach to ideas and methods. In American Mathematical
Monthly. https://doi.org/10.1038/150673a0
Crane, K., & Wardetzky, M. (2017). A Glimpse into Discrete Differential
Geometry. Notices of the American Mathematical Society.
https://doi.org/10.1090/noti1578
Mutakin, T. Z. (2013). Analisis kesulitan belajar kalkulus I mahasiswa teknik
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
32
informatika. Jurnal Formatif, 3(1), 49–60.
Purcell, E. J., Rigdon, S. E., & Varberg, D. (2003). Calculus (8th ed.). Prentice-
Hall, Inc.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2004). Kalkulus (H. W. Hardani &
Santika (Eds.); Delapan). Erlangga.
Thomas, G., Weir, M., & Hass, J. (2009). Thomas’ Calculus. In
Math.Utoledo.Edu. https://doi.org/10.1073/pnas.0703993104
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember
Modul Integral MK. Matematika Dasar - 1
(Courant et al., 1996) (Mutakin, 2013 ; Purcell et al., 2004; Thomas et al., 2009)(Crane & Wardetzky, 2017 ; Purcell et al., 2003)
Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember