modul bilangan riil.doc

8/17/2019 MODUL BILANGAN RIIL.doc

1/70

1. BILANGAN RIIL

Standar Kompetensi:

Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil.

Kompetensi Dasar:1. Menerapkan operasi bilangan riil

2. Menerapkan operasi pada bilangan berpangkat3. Menerapkan operasi pada bilangan irasional

4. Menerapkan konsep logaritma

Tujuan Pembelajaran:

1. Siswa dapat menjelaskan sistem bilangan riil

2. Siswa dapat menjelaskan operasi hitung pada bilangan bulat

3. Siswa dapat menjelaskan operasi hitung pada bilangan pecahan4. Siswa dapat melakukan konversi bilangan

5. Siswa dapat menghitung perbandingan dengan skala

6. Siswa dapat menjelaskan pengertian bilangan berpangkat. Siswa dapat menjelaskan konsep bilangan irasional!. Siswa dapat menjelaskan de"inisi bentuk akar

#. Siswa dapat men$ederhanakan bentuk akar

1%. Siswa dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar 11. Siswa dapat merasionalkan pen$ebut bentuk akar

12. Siswa dapat mende"inisikan pengertian logaritma

13. Siswa dapat menjelaskan si"at&si"at logaritma14. Siswa dapat menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel dan

tanpa tabel logaritma

A. SIST! BILANGAN RIILSebelum mempelajari pengertian dan operasi bilangan' perhatikan skema bilangan

berikut.

(engertian dari masing&masing bilangan tersebut adalah sebagai berikut.

1. Bilan"an asli

)ilangan asli adalah bilangan $ang diawali dengan angka 1 dan bertambah

satu&satu. )ilangan asli dilambangkan dengan huru" *.

* + ,1' 2' 3' 4' ...-

#. Bilan"an $a$a%

)ilangan cacah adalah bilangan asli ditambah %. )ilangan cacah

dilambangkan dengan huru" .

+ ,%' 1' 2' 3' 4' ...-

)ilangan /ompleks

)ilangan 0majiner )ilangan iil

)ilangan 0rasional)ilangan asional

)ilangan )ulat)ilangan (ecahan

)ilangan acah)ilangan )ulat egati"

)ilangan ol)ilangan *sli

Satu)ilangan (rima )ilangan /omposit


2/70

&. Bilan"an bulat

)ilangan bulat adalah bilangan $ang terdiri dari bilangan cacah ditambah

bilangan bulat negati" dan dilambangkan dengan huru" ).

) + ,...' &3' &2' &1' %' 1' 2' 3' ...

'. Bilan"an rasional)ilangan rasional adalah bilangan $ang terdiri dari bilangan bulat ditambah

bilangan pecahan dan dilambangkan dengan huru" .

)ilangan rasional dapat din$atakan dalam bentukq

pdengan p dan bilangan

bulat dan ≠%.

ontoh &5' 2' &2

1'

5

3' dan seterusn$a

(. Bilan"an irasional

)ilangan irasional adalah bilangan $ang bukan bilangan rasional atau bilangan

$ang tidak dapat din$atakan dalam bentukq

p dengan p' ∈) dan ≠%.

)ilangan irasional dilambangkan dengan huru" 0.

ontoh 2 ' 3 ' log 2' π' e' dan seterusn$a.

). Bilan"an riil

)ilangan riil adalah bilangan $ang terdiri dari bilangan rasional dan bilanganirasional $ang dilambangkan dengan huru" .

*. Bilan"an imajiner

)ilangan imajiner adalah bilangan $ang tidak riik atau bilangan kha$al.

ontoh i + 1− ⇔ i2 + &1+. Bilan"an ,omple,s

)ilangan kompleks adalah bilangan $ang terdiri dari bilangan riil dan

bilangan imajiner.

B. -PRASI IT/NG PADA BILANGAN B/LAT

1. Penjumla%an

7ika a dan b bilangan asli' maka berlakua. a 8 9&b- + a : b + &9b : a-

b. 9&a- 8 b + &9a : b- + b : a

c. 9&a- 8 9&b- + &9a 8 b-Si"at&si"at $ang berlaku pada penjumlahan bilangan bulat sebagai berikut.

a. /omutati" a 8 b + b 8 a

Misalkan ! 8 3 + 3 8 !

b. *sosiati" 9a 8 b- 8 c + a 8 9b 8 c-Misalkan 91% 8 5- 8 ! + 1% 8 95 8 !-

15 8 ! + 1% 8 13

23 + 23c. Memiliki elemen netral;identitas penjumlahan $aitu % a 8 %

+ % 8 a + a

Misaln$a 25 8 % + % 8 25 + 25d. Memiliki invers penjumlahan

0nvers penjumlahan dari a adalah :a.

Misalkan invers penjumlahan dari 3 adalah &3.

#. Pen"uran"an

7ika a dan b bilangan asli' maka berlakua. a : b + a 8 9&b- c. a : b : c + a : 9b 8 c-

b. :a : b + &9a 8 b- d. a : 9b 8 c- + 9a : b- : cSi"at komutati" dan asosiati" tidak berlaku pada operasi pengurangan.

Misaln$a a. : 3 ≠ 3 :

b. 1! : 94 8 5- ≠ 91! : 4- 8 5


3/70

&. Per,alian

(erkalian adalah penjumlahan berganda.

a < b + "aktor a

b... b b b ++++

ontoh 5 < 3 berarti 3838383837ika a dan b bilangan asli' maka berlakua. a < b + ab atau 8 < 8 + 8

b. a < 9&b- + &9ab- atau 8 < & + &

c. 9&a- < b + &9ab- atau & < 8 + &

d. 9&a- < 9&b- + ab atau & < & + 8Si"at&si"at $ang berlaku pada perkalian bilangan bulat adalah sebagai berikut

a. /omutati" a < b + b < a

Misal 4 < 5 + 5 < 4 2% + 2%

b. *sosiati" 9a < b- < c + a < 9b < c-

Misal 92 < 3- < 5 + 2 < 93 < 5-6 < 5 + 2 < 15

3% + 3%

c. =istributi" perkalian terhadap penjumlahan a < 9b8c- + 9a < b- 8 9a < c-

Misal 5 < 93 8 4- + 95 < 3- 8 95 < 4-

5 < + 15 8 2%

35 + 35d. =istributi" perkalian terhadap pengurangan a < 9b : c- + 9a <

b- : 9a < c-

Misal 5 < 94 : 2- + 95 < 4- : 95 < 2-5 < 2 + 2% : 1%

1% + 1%

e. Memiliki unsur identitas;elemen netral' $aitu 1 a < 1 + 1 < a+ a

Misal ! < 1 + 1 < ! + !

". Memiliki invers perkalian

0nvers perkalian dari a adalaha

1.

Misal invers perkalian dari 3 adalah3

1.

'. Pemba"ian

7ika a dan b bilangan asli' maka berlaku

a. a b +b

a

b. a 9&b- + &9b

a-

c. 9&a- b + &9b

a-

d. 9&a- 9&b- +b

a

Si"at&si"at komutati" dan asosiati" tidak berlaku pada operasi pembagian.

Misal a. 12 3 ≠ 3 12

b. 916 4- 2 ≠ 16 94 2-4 2 ≠ 16 2

2 ≠ !

0atatan:

7ika dalam operasi bilangan riil terdiri dari multioperasi' maka dahulukan operasi$ang lebih tinggi' $aitu selesaikan dahulu operasi dalam kurung' pangkat' kali atau


4/70

bagi kemudian penjumlahan atau pengurangan.

LATIAN 1

itun"la% %asilna2

1. 94! 8 3- : 21 11. 92 8 13- < 915 : -2. # : 92 8 35- 12. 8 2 < 6 & 11

3. !6 : 42 8 9&15- 13. 94# & 13- < 2 8 114

4. 9&3 8 11- : 92 : 43- 14. 34 : 4! 4 8 2%

5. 154 : ,3 : 9&3- 15. 2 ! : 12 < 56. &26 8 9&1- 8 ! & 5 16. 9&1! 8 #!- 1#

. 3 : 9&1!- 8 1% : 15 1. ,32 < 94! & 3- : 91%2 & 134-

!. #! 8 12 : 36 : 9&23- 1!. 94! 6 < 3- 9162 54-#. 9245 : 31#- 8 4! : #6 1#. 93 8 131- 24 : 95 8 13-

1%. :912 : 43- 8 ,&111 8 9&3- 2%. 21% 14 < 9125 : #-

0. -PRASI IT/NG PADA BILANGAN P0AAN1. Penjumla%an

a. b

a8 b

c +

b

ca +

b. b

a8

d

c +

bd

bcad +

7ika terdapat pecahan campuran atau pecahan tidak murni' maka penjumlahan

dapat dilakukan dengan dua cara sebagai berikut.a. =engan mengubah dalam pecahan murni

1- ac

b 8 d

c

e +

c

e-9dc b-9ac

c

edc

c

bac +++=

++

+

2- ac

b 8 d

"

e +

c"

e-c9d" b-9ac

"

ed"

c

bac +++=+++

b. =engan memisahkan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan

1- ac

b 8 d

c

e + a 8

c

b 8 d 8

c

e + a 8 d 8

c

b 8

c

e+ a 8 d 8

c

e b+

2- ac

b 8 d

"

e + a 8

c

b 8 d 8

"

e+ a 8 d 8

c

b 8

"

e+ a 8 d 8

c"

ce b" +

Si"at&si"at $ang berlaku dalam penjumlahan pecahan sama dengan si"at&si"at

$ang berlaku pada penjumlahan bilangan bulat.ontoh soal>

1. 5 8 ! + 13

2.!

11

1!

#

1!

2

6

3

1!

2 =+=+

3. 1%6

6#

6

42

6

2

3

22

6

2 ==+=+

#. Pen"uran"an

a. b

a& b

c +

b

ca-

b

c9

b

a −=−+

b. b

a&d

c +

bd

bcad-

d

c9

b

a −=−+

7ika terdapat pecahan campuran atau pecahan $ang tidak murni' maka

pengurangan bisa dilakukan dengan dua cara sebagai berikuta. =engan mengubah dalam bentuk pecahan murni

1- ac

b & d

c

e +

c

e-9dc b-9ac

c

edc

c

bac +−+=

+−

+

2- ac

b & d

"

e +

c"

e-c9d" b-9ac

"

ed"

c

bac +−+=

+−

+


5/70

b. =engan memisahkan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan.

1- ac

b & d

c

e + a 8

c

b & 9d 8

c

e- + a & d 8

c

b &

c

e+ a & d 8

c

e b−

2- a

c

b & d

"

e + a 8

c

b & 9d 8

"

e-+ a & d 8

c

b &

"

e+ a & d 8

c"

ec b" −

ontoh soal>

1.4

3

12

#

12

1

12

1%

12

1

6

5 ==−=−

2.3

1

3

1

3

2=−

3.6

54

6

34

6

!!

6

34

6

2#

2

14

3

1# =−=−=−

&. Per,alian

b

a<

d

c +

d


6/70

LATIAN #

itun"la% %asilna2

1.

2

4+ 6.

2

5

3 x

2.323

212 + . − 5

232

43 x x

3.4

3

4

#− !.

#

13

4

31

5

42 x x

−

4.4

32

5

35 − #.

3

14

4

5.2

14

4

33

3

25 −+ 1%.

4

12

2

14

3

2!

D. K-N3RSI BILANGAN

1. !en"uba% pe$a%an biasa ,e pe$a%an desimal

a- Mengubah pen$ebutn$a menjadi 1% atau perpangkatan 1% lainn$a.

ontoh

1- 4'%1%

4

5

2 == 2- 12'31%%

312

25

!

25

33 ===

b- =engan pembagian berulang

ontoh ubahlah12

4 ke dalam pecahan desimal>

33'%...33333'%3

1

12

4 ===

#. !en"uba% pe$a%an biasa ,e bentu, persen

Mengubah pen$ebutn$a menjadi 1%%

ontoh

1. @4%1%%

4%

25

1%==

2. A44%1%%

44%

1%

44

1%

44 ===

3. Bbahlah 5@ dan 3%@ ke dalam bentuk pecahan>

7awab 5@ +4

3

1%%

5 =

3%@ +1%

3

1%%

3%=

&. !en"uba% persen ,e pe$a%an biasa dan ,e pe$a%an desimal

ontoh Bbahlan persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal>

a. 2%@ + 2%'%5

1

1%%

2%==

b. 4%@ +5

2

1%%

4%= + %'4%

c. 5@ +4

3

1%%

5 = + %'5

. PRBANDINGAN4 SKALA DAN PRSN

1. Perbandin"an di"una,an untu, membandin",an dua bua% bilan"an

a- (erbandingan senilai

)entuk Bmum

2

2

1

1

b

a

b

a= atau 2211 baba =

b- (erbandingan berbalik nilai

)entuk Bmum


7/70

1

2

2

1

b

a

b

a= atau 1221 baba =

ontoh Soal.

1. Seorang 0bu menghabiskan C liter min$ak tanah untuk merebus air seban$ak 15 liter air. 7ika dia akan merebus air seban$ak 1%% liter' berapa liter min$ak

tanah $ang diperlukanD

2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 2% hari. 7ika

pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari' maka berapa orang tukang $angdiperlukan untuk men$elesaikan pekerjaan ituD

7awab

1. 7ika perbandingan ban$ak min$ak tanah 9M- dengan ban$ak air 9*- adalahM *' maka

#

#

1

1

A

!

A

!=

⇔ liter&

1&

&5

1551556

&5

1!

155

!

1(

#1

## ===⇔=

2. 7ika 4 orang tukang 9E1- dapat men$elesaikan 2% hari 9?1-' maka untuk selesaiselama 2 hari 9?2- harus dipekerjakan lebih dari 4 orang.

1

#

#

1

T

T=

⇔ tu,an"oran"'5#

+5

#

'6#5T

#5

T

#

'#

# ==⇔=

#. S,alaSkala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan

antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhn$a 9ken$ataann$a-. Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan dari ukuran sesungguhn$a.

a7 S,ala pembesaran

ontoh 7arak kota * ke kota ) pada peta adalah 1% cm. 7ika jarak sesungguhn$a adalah 1%% km' berapakah skala kota * ke kota )D

7awab Misal jarak pada peta + <

Misal jarak sesungguhn$a + $


8/70

Sebatang perunggu terbuat dari 1%% kg tembaga' 2% kg timah hitam' dan 3% kgtimah putih. )erapakah persentase tiap&tiap bahan tersebut dalam perunggu ituD

7awab Massa total perunggu + 1%% kg 8 2% kg 8 3% kg + 15% kg

(ersentase tembaga + ))4*915596

1(5

155=

(ersentase timah hitam + 91155961(5

#53'3=

(ersentase timah putih + 9155961(5

&5%'2%=

LATIAN &

1. Sebuah bus menghabiskan liter solar untuk menempuh jarak 56 km. )erapakah

jarak $ang ditempuh bus jika menghabiskan 25 liter solarD2. )erapa harikah 24 orang dapat menghabiskan suatu pekerjaan' jika 14 orang

dapat selesai selama 45 hariD

3. $atakan dalam bentuk persen>a. .....@

2

1= b. .....@

3

1= c. .....@

4

1=

d. .....@5

1= e. .....@

25

= ". .....@

125

3%=

4. $atakan dalam bentuk desimal>

a. .....5

25= b. .....

5

4 = c. .....25

1=

d. .....5%

4= e. .....

5%

2= ". .....

6

1 =

5. $ataan dalam pecahan $ang sedehana>

a. #%@ + ..... b. .....@6133 = c. .....@

2112 =

d. 16%@ + ..... e. 5%@ + ..... ". 5@ + .....

6. ?itunglah>

a. 4%@ dari p. 5%%.%%%'%% + .....

b. 2@ dari p. 1.%%%.%%%'%% + .....c. 5@ dari p. 125.%%%'%% + .....


9/70

/I K-!PTNSI 1

I. Pili%la% ja;aban an" benar2

1. =iantara bilangan&bilangan di bawah ini' manakah $ang merupakan bentuk

akarDa. !1 b. 16 c. 132 d. 4# e. 25

2. Sekumpulan bilangan $ang terdiri atas bilangan rasional dan irasionaldisebut....

a. )ilangan )ulat b. )ilangan (ecahan c. )ilangan ol

d. )ilangan eal e. )ilangan (angkat3. Gang termasuk bilangan irasional adalah.....

a. 2 b. 1 c. 2 d. 3 e. %

4. *nggota dari ,< H 3 ≤ < ≤ 23' < ∈ bilangan prima adalah.........

a. 93' 5' ' #' 11' 15' 1#' 21' 23- b. 93' 5' ' 11' 13' 1' 1#' 23-

c. 93' 5' ' 11' 13' 15' 1#' 23- d. 93' 5' #' 1' 13' 1' 1#' 23-

e. 93' 5' ' 11' 1' 1#' 21' 23-5. ilai $ang paling besar pada pecahan berikut adalah..........

a.2

1 b.

4

3c.

5

2d.

4e.

3

2

6. )entuk sederhana .....b

a6

a

b:

b

a

a.b

a b.

a

bc.

#

#

a

bd. #a

be.

a

b #

. 4 8 .....6

2=+

&

#

a. )

#(

b. ! c. 5 d. #

1

e. (

1

!.1#(

1)' jika diubah ke bentuk desimal menjadi .....

a. 13'12 b. %'1312 c. %'312 d. 1312 e. %'%%1312

#. @12#

1 dari p. !%%.%%%'%% adalah.....

a. p. 4%%.%%%'%% b. p. 3%%.%%%'%% c. p. 25%.%%%'%%d. p. 15%.%%%'%% e. p. 1%%.%%%'%%

1%. *rik menjual barangn$a seharga p. 25%.%%%'%%. Eern$ata menderita

kerugian sebesar 2%@. ?arga pembeliann$a adalah...........a. p. 25.%%%'%% b. p. 3%%.%%%'%% c. p. 325.%%%'%%

d. p. 35%.%%%'%% e. p. 35.%%%'%%

11. Bntuk membuat bendera' perbandingan antara panjang dan lebarn$a sebesar

4. *pabila (ak *ndrew ingin membuat bendera dengan panjang 1'5 meter'maka lebarn$a harus.............

a. %'5 meter b. 1 meter c. 1'25 meter d. 1'5 meter e. 1'5 meter

12. /etika mengendarai motor dengan kecepatan !% km;jam' *ndri dapat sampaike tujuan dalam waktu 3% menit. 7ika kecepatann$a dikurangi menjadi 5%

km;jam' berapakah waktu $ang diperlukan *ndri untuk sampai ke tujuann$aD

a. 3! menit b. 4% menit c. 4! menit d. 5% menit e. 56 menit13. Sebuah akuarium digambar dengan skala 11%%. 7ika panjang' lebar dan

tinggin$a pada gambar berturut&turut 3 cm' 2 cm' dan 2 cm maka volume

akuarium sebenarn$a adalah.......a. 12 cm3 b. 12% cm3 c. 1.2%% cm3

d. 12.%%%cm3 e. 12%.%%%cm3

14. Sebuah perusahaan didirikan dengan modal p. 35.%%%.%%%'%%. 7ika modal

tersebut terdiri atas 35@ milik *' 3;5 bagian milik )' dan sisan$a milik ' besar modal masing&masing adalah.......


10/70

a. p. 13.25%.%%%'%% I p. 22.%%%.%%%'%% I p. 2.625.%%%'%% b. p. 13.25%.%%%'%% I p. 2.25%.%%%'%% I p. 21.%%%.%%%'%%

c. p. 21.%%%.%%%'%% I p. 1.5%.%%%'%% I p. 12.25%.%%%'%%

d. p. 12.25%.%%%'%% I p. 1#.5%%.%%%'%% I p. 1.5%%.%%%'%%

e. p. 12.25%.%%%'%% I p. 21.%%%.%%%'%% I p. 1.5%.%%%'%%15. Sebuah celana seharga p. 15%.%%%'%% dijual dengan diskon 2%@. ?arga jual

celana tersebut adalah.....

a. p. 1%%.%%%'%% b. p. 11%.%%%'%% c. p. 12%.%%%'%%d. p. 13%.%%%'%% e. p. 14%.%%%'%%

16. Suatu asrama mempun$ai persediaan makanan untuk 45 orang selama 25

hari' jika dalam asrama itu bertambah 1% orang lagi maka berapa hari persediaan makanan itu habis......

a. 2% hari b. 1! hari c. 16 hari

d. 14 hari e. 12 hari1. Suatu koperasi membeli 3 lusin buku tulis dengan harga p. 1.%%%.%%%'%% per

buah' kemudian buku tulis tersebut dijual kembali dengan harga p. 1.5%%'%% per buah. (ersentase keuntungan dari penjualan buku tersebut adalah.....

a. 3%@ b. 5%@ c. 1%%@ d. 12%@ e. 15%@1!. /ar$awan Eoko JicomJ mendapat gaji p. 15%.%%%'%% setiap dua minggu

dan ditambah komisi 1@ dari hasil penjualan toko tersebut. 7ika pada dua

minggu pertama ia dapat menjual barang seharga p. 15.%%%.%%%'%% dan duaminggu kedua ia dapat menjual sejumlah barang seharga p. 12.%%%.%%%'%%.

7umlah upah $ang ia terima pada akhir bulan sebesar ....91 bulan + 4 minggu-

a. p. 36%.%%%'%% b. p. 3!%.%%%'%% c. p. 4%%.%%%'%%d. p. 42%.%%%'%% e. p. 44%.%%%'%%

1#. *ri" menjual barangn$a seharga p. 6.5%%.%%%'%%. Eern$ata menderita

kerugian 15@. ?arga pembeliann$a adalah......

a. p. 6.55%.%%%'%% b. p. 6.225.%%%'%% c. p. 6.25%.%%%'%%d. p. .45.%%%'%% e. p. .5%.%%%'%%

2%. Moda F. *rtha Mandiri adalah p. 6%.%%%.%%%'%%. (ak )ondan memiliki

modal seban$ak 2%@' (ak *gus memiliki 2;3 bagian dan sisan$a adalah milik (ak =oni. )esar modal masing&masing adalah.....

a. p. 12.%%%.%%%'%% I p. 3!.%%%.%%%'%% I p. 1%.%%%.%%%'%%

b. p. 36.%%%.%%%'%% I p. 21.%%%.%%%'%% I p. 3.%%%.%%%'%%c. p. 4%.%%%.%%%'%% I p. 12.%%%.%%%'%% I p. !.%%%.%%%'%%

d. p. 4%.%%%.%%%'%% I p. !.%%%.%%%'%% I p. 12.%%%.%%%'%%

e. p. 12.%%%.%%%'%% I p. 4%.%%%.%%%'%% I p. !.%%%.%%%'%%

II. Kerja,an soal di ba;a% ini den"an benar2

1. (erbandingan panjang dan lebar sebuah persegi panjang adalah 5 3. 7ika

lebarn$a 12 cm' tentukan perbandingan keliling persegi panjang terhadapluasn$a>

2. ?arga ! buah buku p. 2%.%%%'%%. ?itunglah harga 4% buah buku>

3. Kina membuat 2 macam roti' $aitu roti $ang berisi pisang dan daging. Bntuk membuat 5% roti $ang berisi pisang memerlukan 15 kg tepung terigu dan

untuk membuat 35 roti isi daging memerlukan 1% kg tepung terigu. )erapa kg

tepung $ang diperlukan jika Kina akan membuat 14% roti isi pisang dan !%roti isi dagingD

4. /operasi J)0M*J membeli % lusin pensil dengan harga p.12%.%%%'%%. 7ika

koperasi tersebut mengharapkan keuntungan sebesar 2%@' maka hitunglah

berapa sebuah pensil harus dijualD5. (ak Munir membeli seperangkat komputer dengan harga sebelum kena pajak

p. 3.5%.%%%'%%. 7ika besar pajak penjualan 15@' berapa harga komputer

$ang harus diba$ar (ak MunirD


11/70

6. =alam sebuah pesta pernikahan' untuk men$ediakan minuman bagi 2%%orang diperlukan bia$a p. 15%.%%%'%%. (ada waktu membeli' ban$ak

minuman ditambah sehingga menghabiskan uang p. 1!%.%%%'%%. )erapakah

ban$ak orang $ang beruntung memperoleh minuman kedua kalin$aD

. Suatu gambar rencana dibuat dengan skala 1 4%%. ?itunglah>a. 7arak sebenarn$a' jika jarak pada gambar 12 cm.

b. 7arak pada gambar' jika jarak sebenarn$a 2%% cm.

!. Menjelang hari /emerdekaan 0' toko J)*L/*?J memberikan diskon2%@ untuk pembelian setiap jenis barang. 7ika ?anun membeli celana

panjang seharga p. 5.%%%'%%' 2 potong kemeja masing&masing seharga p.

1!.%%%'%% dan p. 25.%%%'%%. )erapakah jumlah belanja $ang harus diba$ar di kasirD

#. Sebuah peta dibuat sedemikian rupa sehingga setiap 5 cm mewakili jarak

sebenarn$a !% km' hitunglah>a. )esar skalan$a

b. 7arak pada peta' jika jarak sebenarn$a 24% kmc. 7arak sebenarn$a' jika jarak pada peta 5 cm

1%. =iketahui


12/70

a. 3&3 b. 2&3 < 5&2 c.3

5

−− d. 92&5-&2

7awab

a. 3&3 +2

1

3

13 =

b. 2&3 < 5&2 + #55

1

#(

16

+

1

(

16

#

1#&

==

c. 4#

1

1

1

1

2

3

5

3

1

5

3

5

====−

−

x

d. 92&5

-&2

+%24.1-329

32

1

2

1 222

5 ==

=

−−

2. $atakan ke bentuk bilangan bulat berpangkat>

a.3

5

1 b.

5

3

1

c.5

4

2d.

2#

1

7awab


13/70

a.3

5

1+ 5&3

b.5

3

1

+ 555

5

33

1

3

1 −==

c.5

4

2+

3

33

%

1%

1%

52

22

1

2

2

2

2

2

12

1

2

2

-29

2 −−

−

===== x

d.2#

1+

6

6 3

3

1 −=

3. Bbahlah ke bentuk pangkat positi"' kemudian sederhanakanlah>

11

1#

6

66−−

−−

++

7awab

7>6

6

6

66

6

6

6

6

6

6

1

6

1

6

6

6

66

#

#

#

11

1#

++

=+

+=

+

+

=+

+=

++

−−

−−

d. Pan",at Pe$a%an

(angkat pecahan dirumuskan dengan ? p?p

aa = .

ontoh

1- 4 !== ' &'&

##

2-5==

# 1#

1

((Si"at&si"at pada bilangan berpangkat bulat positi" berlaku pula untuk bilangan

berpangkat pecahan. 7ika a dan b bilangan n$ata' m dan n bilangan rasional'maka berlaku si"at&si"at berikut

1- am < an + am8n

2- am an + am&n

3- 9am-n + am < n

4- 9ab-m + am < bm

5- 5b@b

a

b

am

mm

≠=

0onto% Soal2

1. Sederhanakan bentuk&bentuk berikut>

a. 21

4

3

#!1 x c. 21

4

412!

b. 21

3

2

4

1−

y x y x y d.4

1

4

3

2

1

66 x x x

7awab

a. ( ) ( ) 413321

24

342

1

4

3

333333#!1 ==== + x x x

b. 125

12

6!3

2

1

3

2

4

1

2

1

3

2

4

1

y y y y x y x y ===−+

−+−

c. ( ) ( ) 314421

2

42

1

4

222222412! ==== −

d. 21

4

1

4

1

4

1

4

3

2

1

4

1

4

3

2

1

−−−−

==

=

x x x x x x x

2. $atakan bentuk ( )23 x x − sebagai jumlah dan selisih suku&suku>7awab


14/70

( )23 x x − +2

3

1

2

1

− x x

+2

3

1

3

1

2

12

2

1

2

−+−

x x x x

+ 32

3

1

2

1

2 x x x +− +

+ 32

6

23

2 x x x +−+

+ 32

6

5

2 x x x +−

#. Persamaan Pada Bilan"an Berpan",at

Bntuk menentukan nilai < $ang memenuhi persamaan pada bilangan berpangkat

digunakan si"at berikut ini.

7ika a ∈ ' a ≠ % maka berlaku a"9


15/70

a. 33 < 3 b.25

-2

19-

2

19 x

−c. 54 5# d.

23 −

b

a

4. $atakan ke bentuk paling sederhana dalam pangkat positi">

a. 23 −− + x y

y

x

c. 2

11

-9 −

−−

−+ y x

y x

b. 41

32

−−

−−

−+ y x

y xd.

y x xy

xy y x31

32

−−

−−

+−

5. Eentukan nilai < dari

a. 4! =− x c. 23

3

1

#2 = x

b. 162

a.3

# c. 125

5

b. 3 x d. 5 31

x

. Sederhanakan bentuk&bentuk berikut>

a. 32

2

1

a xa c.3

1

2

12

−−

ba

b. 31

2

5

aa d.2

1

12

2

1

3

1

−− ba

ba

!. ?itunglah nilai dari

a. 5

32

21

12!125# −+

b. 32

3

2

4

1

642625 +−

c.2

1

5

3

3

1

25

1

32

1

2

1 −−−

+

+

d.4

1

3

1

3

1

!1

625

2

216

125

! −−

−

+


16/70

/I K-!PTNSI #


1. )entuk sederhana ( ) ( ) &

#*

)'a

16+a6#a− +......

a. ( ) (* a+

1#

−− b. ( ) 1* a#a −− c. ( ) #* a#−

d. ( ) (* a# −− e. ( ) a* #

2. c2 < c < c4 < c + .....a. c15 b. c14 c. c13

d. c16 e. 5ac2

3. ?asil bagi dari 9&!a3 b6c- 9&2a2 b6c5- + .....a. 4ac2 b. &4ac2 c. 6ac2

d. &2ac2 e. &6ac2

4. 9


17/70

b. 9< : 1-6 + 64 ...........................................3. $atakan bentuk&bentuk berikut ini tanpa menggubakan pangkat negati">

a. 1#a.1

a− + .......................... c.

1

1

−+

−#

A1

a

a+ ..........................

b. 11##

baab

+−+ ..........................

4. Bbahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar>

a. 23

! +.................................... c. 21

−6

+ ......................................

b. 21

1

6+ . .................................. d. 2

5

1#+ ......................................

5. ?itunglah>

a. 41

3

2

2

3

6252 −+' +............... c. -- 31

3

1

#

1

#

1

a>aa>a −+ +...............

b. -31

&

1

&

#

a>a6a−

++............... d.

#

#

1

#

1

aa

−

−

+...............

G. Bilan"an Irasional

)ilangan 0rasional adalah bilangan desimal tidak berulang;tak terbatas. ontoh

2 + 1'414213562... log 2 + %'3%1%... π + 3'1415#2654...3 + 1'32%5%!%!... log 3 + %'41... e + 2'1!2!1!2!...

1. De=inisi Bentu, A,ar

)entuk akar adalah akar dari suatu bilangan $ang nilain$a merupakan

bilangan irasional. ontoh 2 ' 3 ' 5 ' 12 ' dan lain&lain.

#. !eneder%ana,an Bentu, A,ar

)entuk akar dapat disederhanakan dengan mengubah bilangan di dalam akar

menjadi dua bilangan dimana bilangan $ang satu dapat diakarkan sedangkan bilangan $ang lain tidak dapat diakarkan.

0onto% Soal:

Sederhanakan bentuk akar di bawah ini>

1. 5% 2. 12 3. 3 !1

Peme$a%an:

1. 5% + 2552525 === #6#6#6

2. 12 + 32244 === &6&6&6

3. 3 !1 + &&& &&6&6&6 3322 33 ===

&. -perasi Aljabar pada Bentu, A,ar

a. Penjumla%an dan Pen"uran"an Bentu, A,ar)entuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika indeks akar sama dan bilangan pokok;bilangan $ang diakarkan sama.

m nm nm n b$7>ab$baataub$7>ab$ba ±=±±=±0onto% Soal:

Sederhanakan bentuk akar di bawah ini>

1. 5351% +

2. #!32 −

3. 33 52 ## aa +

4. 125.35125 +−

Peme$a%an:

1. 5351% + + 91%83- 5 + 13 5

2. #!32 − + 232-492242.4#2.16 −=−=−=−

3. 33 52 ## aa + + 9285- 3 #a + 3 #a4. 125.35125 +− + 5255555.62555.25 +−=+−

+ 95 : 18 25- 5 + 2# 5


18/70

b. Per,alian Bilan"an Bulat den"an Bentu, A,ar

a < b $ + ab $

0onto% Soal:

Selesaikan dan sederhanakan bentuk akar berikut>

1. 3 < 2 3 3. 5 < 2 2%2. 4 < 1! 4. 2 < 93 2 & ! -

Peme$a%an:

1. 3 < 2 3 + 6 3

2. 4 < 1! + 4 1! + 4 21242.# == #&6

3. 5 < 2 2% + 1% 52%1%2% == (#6

4. 2

1.!

322.

5

533.

& #

' (

6

6

Peme$a%an:

1.!

32 + 24

!

32==

2.5

53 + 66 13.2 32

5

155 == −−

3.& #

' (

66 + 12 12 !15 666'.& '.#A&.( == −

e. Perpan",atan

(ada perpangkatan bentuk akar $ang dipangkatn$a han$a bilangan pokokn$asaja' sedangkan indeks akarn$a tetap.


19/70

( ) ( ) n mpppn mn mppn m ababatauaa ==0onto% Soal2

Selesaikan bentuk akar berikut>

1. ( )4

3 #

6 2. 92 3 -3

3.

5

6

3

Peme$a%an:

1. ( )43 #6 + 33 ###&++ 66666 ===2. 92 3 -3 + 23 33.23.23 32

3

33 ==

3.

5

6

3

+ ( ) 55

51

5

2

122

2

1===

−−

=. A,ar

*kar dari suatu bilangan akar diperoleh dengan mengalikan indeks akarn$a.r.?.p sp ? r s aa =

. !erasional,an Penebut Bentu, A,ar

Merasionalkan pen$ebut berarti mengubah pen$ebut menjadi bentuk rasional.

(ahami langkah&langkah berikut

1. )entuk →b

a pembilang dan pen$ebut dikalikan dengan b .

bb

a

b

ba

b

b6

b

a

b

a===

2. )entuk →

+ ba

$ pembilang dan pen$ebut dikalikan dengan akar sekawan

pen$ebut' $aitu ba−

--

-b>a

ba

$

b7>ab>a

b>a$

ba

ba6

ba

$

ba

$#

−−

=−+

−=

−−

+=

+

3. )entuk →+ ba$

pembilang dan pen$ebut dikalikan dengan akar sekawan

pen$ebut' $aitu ba − .

- ba9 ba

c

- ba-9 ba9

- ba9c

ba

ba<

ba

c

ba

c−

−=

−+−

=−−

+=

+

0onto% Soal.1. asioalkan pen$ebut pecahan berikut>

a.5

2 b.

!

3c.

4%

Peme$a%an:

a. 55

2

5

52

5

5

5

2

5

2=== x

b. 64

1

!

62

!

24

!

!

!

3

!

3==== x

c. %2%

1

4%

%2

4%

2!%

4%

4%

4%

4%

==== x

2. asionalkan bentuk pecahan berikut>

a.52

3

+ b. 3352

+

Peme$a%an:


20/70

a.

653-529354

-5293

-52-9529

-5293

52

52

52

3

52

3 −=−−=−−

=−+

−=

−−

+=

+ x

b. -335-93359

-33592

335

335

335

2

335

2

−+

−=

−

−

+=

+ x

22

631%

25

631% −−=

−−

=

3. asionalkan pen$ebut pecahan >532

233

−+

+

Peme$a%an:

5-329

5-329

5-329

233

5-329

233

++

++

−+

+=

−+

+ x

22 -59-329

135153!1#5463

−++++++=

53622

153153##6363

−+++++++=

6.2

#%66.661!

6

6

62

156661! ++=

++= x

2

1%3663

12

1%1!3661! ++=

++=


21/70

/I K-!PTNSI &

Pili%la% ja;aban an" palin" tepat2

1. )entuk sederhana dari -532-95329 +− adalah......

a. 5 b. c. # d. 1% e. 13

2. )entuk55

4

+dapat disederhanakan menjadi......

a. -5595

4− b. -559

5

1− c. -559

25

4+

d. -5595

4 + e. -5595

1+

3. ?asil dari 124!235 −+ adalah....a. 4 3 b. 3 c. # 3 d. 1% 3 e. 11 3

4. ilai dari .......-321%-95232-952329 =+−++−+++

a. &4 b. &2 c. % d. 2 e. 4

5. (ecahan $ang senilai dengan152

3adalah.....

a. 152

3 b. 15

5

1c. 2 5 d. 5

2

1e. 5

1%

1

6. 7ika31

3&1a

+= dan

31

31 b

−+= maka nilai a 8 b + .......

a. 4 3 b. 4 c. 1 d. &4 e. &4 3

. =iketahui 2332( += dan 32 −= . ilai (2 : 2 + ......a. 61%25+ b. 61225+ c. 61425+

d. 61%35+ e. 61435+

!. 7ika 2a += dan 2 b −= maka nilai a2

8 b2

: 4ab + .......a. 36 b. 34 c. 32 d. 3% e. 2!

#. 7ika35

2

+dirasionalkan' maka menjadi ......

a. -61%92 + b. -61%92 − c. -61%915

1+

d. -61%92

1+ e. -61%9!

1+

1%. =engan merasionalkan pen$ebut' bentuk sederhana pecahan3

&3

+ adalah....

a. 3! − b. 3!+ c. 3!

1 +

d. !

3!− e.

!

3!−

11. Bntuk merasionalkan bentuk ba

1

− maka pembilang dan pen$ebut dikalikan

dengan.....

a. ba − b. ba − c. ba + d. ba + e. ba +

12. *pabila35

!

−dirasionalkan pen$ebutn$a' maka bentuk tersebut menjadi....

a. 61% + b. 31% + c. 61% − d. 35 + e. 2 6

13. 7ika 625

3

+ dirasionalkan' maka pen$ebutn$a menjadi....

a. 26 + b. 26 − c. 22+ d. 62 − e. 26 +

14. =engan merasionalkan pen$ebut' bentuk sederhana pecahan325

3

−+adalah.....


22/70

a. -261%92

1−+ b. -261%9

4

1−+ c. -261%94 ++

d. -261%92 ++ e. -261%9!

1−+

15. *pabila 23

3

− dirasionalkan pen$ebutn$a' maka bentuk tersebut menjadi....

a. -3229 +− b. 332+ c. -323+−

d. -3339 −− e. -3239 +−


23/70

I. Lo"aritma

1. Pen"ertian Lo"aritma

Kogaritma merupakan kebalikan dari operasi perpangkatan' $aitu mencari

pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasiln$a sesuai dengan $ang telah

diketahui.Misaln$a 32 + # diperoleh bahwa 2 merupakan logaritma # dengan bilangan

pokok 3' dan ditulis 2 + 3log #.

=e"inisi logaritma

Bntuk a dan b positi" serta a ≠ 1 berlaku an + b ⇔ alog b + n

/eterangan

a. a disebut bilangan pokok atau basis' a N % dan a ≠ 1. 7ika a + 1% maka1%log < dapat ditulis log

a. log 8 log 2 8 log1%1 8 log

1

b. 3 log 5 8 log ! : log 4%

Peme$a%an:

a. log 8 log 2 8 log1%

1 8 log

1


24/70

+ log 9 < 2 <1%

1 <

1- + log

5

1

+ log 1 : log 5 + log 1%% : log 5

+ % : log 5 + & log 5

b. 3 log 5 8 log ! : log 4%+ log 53 8 log ! : log 4%

+ log 125 8 log ! : log 4%

+ log4%

!125 x + log 25 + log 52 + 2 log 5

2. ?itunglah nilai logaritma berikut>

a. 3log 92log 512-

b. 2log # . 3log 16

Peme$a%an:

a. 3log 92log 512- + 3log 92log 2#- + 3log # + 3log 32 + 2

b. 2log # . 3log 16 +2log

16log.

3log

#log

3log

16log.

2log

#log=

+ 3log # . 2log 16 + 3log 32 . 2log 24

+ 2 . 4 + !

3. =iketahui 2log 3 + a dan 5log 2 + b. $atakan 6log 5 dalam a dan b>

Peme$a%an:2log 3 + a

5log 2 + b ⇒ 2log 5 +b

1

6log 5 +2log3log

3log5log

2.3log

3.5log

6log

5log22

222

2

22

2

2

++

==

+-19

21

1.2

2log3log3log5log2

22

22

++=

++=

++

abab

a

ab

&. !enentu,an Nilai Lo"aritma den"an TabelDa=tar Lo"aritma

Eabel Kogaritma han$a dapat digunakan untuk menentukan nilai logaritma

dengan bilangan pokok 1%. pada da"tar logaritma han$a ditulis mantisen$a

saja' $aitu bilangan desimal dari hasil pengambilan logaritma sehingga indeksatau karakteristikn$a $aitu bilangan bulat dari hasil pengambilan logaritma

harus ditentukan sendiri. )erikut adalah cara untuk menentukan karakteristik.

a. 7ika bilangan lebih dari 1' maka karakteristik + ban$akn$a angka pada bilangan bulat &1.

Misal 1- 4'325 maka karakteristik + 1 : 1 + %2- 34'! maka karakteristik + 3 : 1 + 2

b. 7ika bilangan kurang dari 1' maka karakteristik diperoleh dengan

mengurangi % dengan ban$akn$a angka % di depan angka.

Misal 1- log %'4325 maka karakteristik + % : 1 + &1

2- log %'%%34! maka karakteristik + % & 3 + &3

0onto% Soal.

=engan menggunakan tabel logaritma' tentukan nilai logaritma berikut>

1. log !'32. log %'%%%453

3. log 2#4%%%

Peme$a%an:

1. log !'3

/arakteristik + ban$ak angka bilangan bulat &1

+ 1 : 1 + %Mantise + lihat bilangan di bawah ' !3 geser di bawah lajur % + #1#1


25/70

7adi' log !'3 + %'#1#12. log %'%%%453

/arakteristik + % : ban$akn$a % di depan angka

+ % : 4 + &4

Mantise + lihat tabel di bawah ' 45 geser di bawah lajur 3 + 66%27adi' log %'%%%453 + %'66%2 : 4 + &3'33#!.

3. log 2#4%%%

/arakteristik + ban$ak angka bilangan bulat &1 + : 1 + 6

Mantise + lihat tabel di bawah ' 2# geser di bawah lajur 4 + !63%.

7adi' log 2#4%%% + 6'!63%

'. Antilo"aritma

*ntilogaritma merupakan kebalikan dari menghitung nilai logaritma.7ika diberikan log < + 1'43#3' berapakah nilai < D

ilai < dapat ditentukan dengan langkah&langkah sebagai berikuta. =ari da"tar logaritma' carilah $ang mantisen$a 43#3

b. /emudian tariklah ke samping 9kolom kiri- hingga di dapat baris 2'seterusn$a ditarik ke atas hingga didapat kolom 5.

c. Oabungkan antara baris dan kolom diperoleh 25

d. /arena indeksn$a 1' maka letak koma berada di belakang angka kedua.

e. 7adi' log < + 1'43#3⇔ < + antilog 1'43#3 + 2'5

(. !en""una,an Tabel Lo"aritma untu, !en"operasi,an Bilan"an

0ngat kembali si"at&si"at logaritma berikut>a. log a < b + log a 8 log b c. log an + n < log a

b. log ba + log a : log b d. log nan 1= < log a

0onto% Soal.

=engan tabel logaritma' tentukan nilai dari

1. 3'42 < 5'44! 3. 913'4-3

2. !'424 4'321 4. 3 123'%

Peme$a%an:

1. 3'42 < 5'44!

Misal < + 3'42 < 5'44!

log < + log 93'42 < 5'44!- + log 3'42 8 log 5'44!

+ %'531 8 %'362 + 1'3%#3< + antilog 1'3%#3 + 2%'3!

2. !'424 4'321

Misal < + !'424 4'321

log < + log 9!'424 4'321-

+ log !'424 & log 4'321 + %'#255 : %'6356 + %'2!##

< + antilog %'2!## +1'#4#

3. 913'4-3

Misal < + 913'4-3

log < + log 913'4-3

+ 3 log 13'4 + 391'12#4- + 3'3!!24. 3 123'%

Misal < + 3 123'% + 9%'123- 31

log < + log 9%'123- 31

+3

1 log %'123


26/70

+3

19%'%!## : 1- +

3

19&%'#1%1-

+ & %'3%34

+ 9%'6#66 : 1-

< + antilog 9%'6#66 : 1- + %'4#4

). Persamaan Lo"aritma

7ika alog "9


27/70

/I K-!PTNSI '

Pili%la% satu ja;aban an" palin" tepat2

1. 7ika a N %' a ≠ %' dan < N %' maka alog < + $ ' berarti ......

a. a + <2

b. < + a$

c. $ + a<

d. < + a$

e. a + $<

2. 2log 256 + .....

a. 4 b. 5 c. 6 d. e. !

3. 7ika #b

1lo"a

1

= ' maka .

a. blog a + 2 b. alog b + 2 c.#

1

b

1lo"#

1

= d. #b

1lo"

a = e.

2

1=a

1lo"a

4. )entuk!

14 2

3

=−

' bila din$atakan dalam bentuk logaritma adalah....

a.!

1

2

3log4 =

− b.

2

3

!

1log

4 −=

c.2

34log!

1

−=

d. 42

3log!

1

=

− e.

!

1

2

3log

4 −=

5. !log 4&24 + ....

a. &16 b. &! c. ! d. 1% e. 12

6. 7ika log 3 + %'41 maka log 3%%% + ....

a. 3'%1 b. 3'41 c. 4'41 d. 2'41 e. 1'41

. ilai a $ang memenuhi persamaan 256log16

14log

4

5!log

3

1 aaa −−

adalah....

a. &2 b. &1 c. % d. 1 e. 2

!. 7ika a N 1' b N 1' dan c N 1' maka .......$lo"6blo"6alo" a#$b =

a.4

1 b.

2

1c. 1 d. 2 e. 3

#. ilai < $ang memenuhi persamaan log9


28/70

/LANGAN ARIAN

A. Pili%la% satu ja;aban an" palin" tepat2

1. ?asil dari 412 1%3 < # 8 1%! adalah......

a. 1.44 b. 5%! c. 144 d. 112 e. #!2. ?asil dari

2

1 8 13

4

3& !

5

2 adalah....

a. 1%1%

3 b. 11

4%

1#c. 11

2%

d. 12

2%

1e. 12

4%

2

3. )entuk pecahan dari 4!4

3@ adalah.....

a.1%%

#5 b.

!%

3#c.

!%

2d.

4%

3#e.

1%%

3#

4. Seorang pengendara mobil menempuh jarak 1!% km dalam waktu 3 jam.

Qaktu $ang diperlukan untuk menempuh jarak 3%% km adalah....

a. 2 jam b. 4 jam c. 5 jam d. 6 jam e. ! jam5. Skala suatu peta 1 3%%.%%%. 7ika jarak kota * dan kota ) pada peta 4'5 cm'

maka jarak kota * ke kota ) sebenarn$a adalah.....

a. %'135 km b. 1'35 km c. 13'5 km d. 135 km e. 1.35% km

6. .......-9

3

4

2

1

2

1

3

2

1

2

1

2

3

=

−

a

bba

b

a

a. ab b. ab c. ab d. ba e. a13b12

. ilai dari 3!442#43545 −+ adalah....

a. 4 6 b. 6 c. 15 6 d. 21 6 e. 32 6

!. )entuk sederhana dari25

− adalah......

a. -2592

−− b. 25 + c. -2593

+

d. 25 − e. -2593

−

#. 7ika52

52

−+

= p dan52

52

+−

=q ' maka p 8 sama dengan .......

a. 21 b. 12 c. d. &1! e. &351%. 7ika 3log + p dan 5log 3 + ' maka 21log 525 ......

a. 1

1

+++

p

q p

b. 1

2

+++

p

pqq p

c. -19

2

+++

pq

q pq

d. p 8 8 1 e. 2p 8 p 8

11. 3log 125 . !1log5 & 5log 625 + .....

a. 4 b. 16 c. 1! d. 2% e. 24

12. 7ika 2log + a' maka !log 4# + .....

a.3

2a b.

2

3a c. 3

3

2a d. 3 2a e.

!a

13. =iketahui log 2 + p' log 3 + ' dan log 5 + r. ilai log 1.5%% dapat din$atakandalam p' ' dan r $aitu......

a. p 8 8 r b. ( 8 2 8 3r c. 2p 8 8 r

d. 2p 8 8 3r e. 3p 8 8 2r

14. .......15log

-5log9-42log933

2323

=−

a. ! b. 1% c. 12 d. 14 e. 16

15. ......2log#

log2

2#

4#%log

55

11log =−−+


29/70

a. log2#

2 b. log

2#

23c. log

2#3

11d. log

11

3e. log

2

11

B. a;abla% soalsoal beri,ut den"an sin",at dan tepat2

1. Sebuah gedung direncanakan akan dibangun oleh 36% pekerja selama 5minggu. Setelah berjalan 2% minggu' pembangunan dihentikan sementara

selama 15 minggu. 7ika pembangunan gedung dapat selesai sesuai rencana

semula' berapa pekerja $ang harus ditambahkanD2. $atakan ke bentuk paling sederhana dalam pangkat positi">

a. 12

213

−−

−−

−+ y x

y x b.

2

2

2

32

1

2

42

3

2

−

−

−−

c

b

a

c

b

a

3. Sederhanakan bentuk akar berikut>

a. !1!316232 +−+ b.22

2354242 −+

4. Sederhanakan bentuk logaritma berikut>a. 2 6log # 8 3 6log 2 : 6log 1!

b.25log15log

15log125log#16

32

1

x

x

5. 7ika !log %'2 + p' n$atakan log 4% dalam p>


30/70

#. APR-KSI!ASI KSALAAN

Standar Kompetensi:

Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aproksimasi kesalahan.

Kompetensi Dasar:

1. Menerapkan konsep kesalahan pengukuran

2. Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran

Tujuan Pembelajaran:

1. Siswa dapat membedakan hasil membilang dan mengukur berdasarkan pengertiann$a.

2. Siswa dapat menentukan salah mutlak dan salah relati".

3. Siswa dapat menghitung persentase kesalahan berdasarkan hasil pengukurann$a.4. Siswa dapat menghitung nilai toleransi berdasarkan hasil pengukurann$a.

5. Siswa dapat menghitung jumlah dan selisih hasil pengukuran untuk menentukanhasil maksimum dan hasil minimumn$a.

6. Siswa dapat menghitung hasil kali pengukuran untuk menentukan hasilmaksimum dan hasil minimumn$a.

A. !enerap,an Konsep Kesala%an Pen"u,uran.

1. Pen"ertian !embilan" dan !en"u,ur

Membilang sangat berbeda dengan mengukur' walaupun keduan$a

mengaitkan angka&angka dengan suatu benda. /ita dapat membilang jumlahlembaran buku secara pasti. *kan tetapi' pengukuran selalu memiliki

ketidakpastian.

?asil membilang adalah sesuatu $ang eksak' sedangkan hasil mengukur merupakan pendekatan.

ontoh hasil membilang

1. )an$akn$a peserta rapat $ang datang

2. )an$akn$a sepeda $ang ikut balapanontoh hasil mengukur

1. )erat badan seorang anak

2. Einggi badan calon siswa*turan pembulatan

a. Pembulatan ,e satuan terde,at

1- 7ika angka berikutn$a lebih dari atau sama dengan 5' maka angka di

depann$a ditambah satu.2- 7ika angka berikutn$a kurang dari 5' angka ini dihilangkan dan angka di

depann$a tetap.

ontoh1- p. 24'61

7ika dibulatkan ke rupiah terdekat' menjadi p. 25'%%

2- 45'21 detik 7ika dibulatkan ke persepuluhan detik $ang terdekat' menjadi 45'2 detik.

3- 356'5 m

7ika dibulatkan ke meter terdekat' menjadi 35 m.4- 652'54 m

7ika dibulatkan ke meter terdekat' menjadi 653 m.

b. Pembulatan ,e bana,na an",aan",a desimal an" diperlu,an

)ilangan pendekaran tidak han$a dipakai untuk men$atakan hasil&hasil

pengukuran. /adang&kadang bilangan pendekatan dipakai untuk

memudahkan perhitungan' dengan cara membulatkan suatu bilangan desimal

sampai ke sekian ban$ak tempat sesuai dengan kebutuhan.


31/70

ontoh1- 5'!3!34 + 5'!3!3 jika dibulatkan sampai empat desimal

2- 5'!3!34 + 5'!3! jika dibulatkan sampai tiga desimal

$. Pembulatan ,e bana,na an",aan",a sei"ni=i,an

(embulatan ke ban$akn$a angka signi"ikan' $aitu pembulatan dengan ban$akn$a angka $ang digunakan untuk men$atakan suatu bilangan.

=ari 1% angka $ang digunakan' angka J%J memiliki perhatian khusus' $aitu

diperhitungkan sebagai angka jika digunakan untuk men$atakan pengukuransampai satuan $ang dimaksud.

ontoh

1- 246' m mempun$ai 4 angka signi"ikan.2- 13% m mempun$ai 3 angka signi"ikan.

3- '2% mI

*ngka nol di sini men$atakan bahwa panjang telah diukur sampai ke perseratusan meter $ang terdekat. 7adi' merupakan angka signi"ikan.

=alam hal ini' hasil pengukuran tersebut mengandung 3 angka signi"ikan.4- %'%61% kmI

=ua angka nol $ang pertama menunjukkan tempat koma' sehingga bukanmerupakan angka signi"ikan. ol $ang ketiga menunjukkan bahwa

panjang telah diukur sampai ke persepuluh meter' sehingga merupakan

angka signi"ikan. =alam hal ini' hasil pengukuran tersebut mengandungtiga angka signi"ikan.

#. Sala% !utla, dan Sala% Relati=

/esalahan $aitu selisih antara ukuran sebenarn$a dan hasil pengkuran

a. Sala% !utla,

Salah Mutlak adalah kesalahan maksimum $ang mungkin terjadi. /esalahan

$ang sebenarn$a' mungkin terjadi lebih besar daripada salah mutlak

terkecil satuan x Mutlak Salah2

1=

)atas pengukuran + hasil pengukuran 8 salah mutlak )atas bawah pengukuran + hasil pengukuran : salah mutlak

b. Sala% Relati= >Nisbi7

)esar keciln$a kesalahan hasil pengukuran sebetuln$a dapat ditentukan oleh

ketelitian alat $ang digunakan. Lleh karena itu' harus dipilih alat ukur $angsesuai dengan kebutuhan. )esarn$a kesalahan $ang sama' mungkin lebih

penting dalam beberapa masalah tertentu tapi tidak menimbulkan

permasalahan dalam masalah ini.Lleh karena itu' dide"inisikan suatu kesalahan relati" sebagai berikut

Pengukuran Hasil

mutlak Salahlatif Salah =e

&. Persentase Kesala%an

Bntuk menghitung persentase kesalahan suatu pengukuran' terlebih dahulu dicari

salah relati" dari pengukuran itu. /emudian dijadikan pecahan persen.@1%% xrelatif salah Kesalahan Persentase =

'. Toleransi asil Pen"u,uran

Eoleransi adalah selisih antara pengukuran terbesar $ang dapat diterima dan

pengukuran terkecil $ang dapat diterima.


32/70

LATIAN S-AL

1. )ulatlah sampai satu tempat desimal>

a. !'6# + ...... b. #'3 + ...... c. 1%'36 + ......

d. !!!'!! + ...... e. %'5% + ...... e. 1'5 + ......

2. Eulislah ban$akn$a angka signi"ikan padaa. 12'4%5 + ...... b. 1!# + ...... c. #%26 + ......

d. %'6 + ...... e. 456 + ...... e. %'%%451 + ......

3. arilah salah mutlak dan salah relati" pada pengukurana. 5! km + ...... b. 4! detik + ...... c. 65% km + ......

d. 3%% km + ...... e. 1% m + ...... e. 56 kg + ......

4. arilah persentase kesalahan sampai 2 angka signi"ikan>a. 5% kg + ...... b. 3' kg + ...... c. 25 ton + ......

d. 456 kw + ...... e. 5' detik + ...... ". 15'5 cm + ......

5. Sebuah bengkel memerlukan pipa besi $ang mempun$ai spesi"ikasi ukuran

panjang 96 ± %'2- cm. Mana $ang dapat diterima dan mana $ang ditolak dari $ang

berikut iniDa. 6'3 cm b. 5'! cm c. 6'% cm

d. 5'#2 cm e. 5'# cm ". 6'1 cm

/I K-!PTNSI 1

I. Pili%la% sala% satu ja;aban an" benar2

1. Gang merupakan hasil membilang $aitu.....

a. Einggi badan calon siswa d. )erat badan seorang anak b. Folume air auarium e. Kuas tanah daratan

c. 7umlah becak sebuah pangkalan2. !'%5!1 jika dibulatkan sampai satu tempat desimal + .....

a. !'% b. !'1 c. ! d. !'5 e. !'%5

3. )erikut ini adalah angka&angka $ang mempun$ai 3 angka signi"ikan'

kecuali.....

a. 12 m b. 5'6% c. %'%5 m d. %'%4% km e. %'145 km

4. ?asil operasi perkalian suatu bilangan diperoleh21

1. )ilangan tersebut

dalam desimal hingga 3 angka signi"ikan adalah....a. %'%46 b. %'%4 c. %'%4! d. %'%44# e. %'%4!

5. Gang menunjukkan 4 angka signi"ikan adalah.....

a. 4'3 b. 4'25 c. %'%4% d. 3'4% e. %'%3#6. =iketahui hasil suatu pengukuran !2'545 kg. 7ika dibulatkan ke perseratusan

kg terdekat' hasiln$a adalah.....

a. !2'54 kg b. !2'6% kg c. !2'%% kg d. !2'5% kg e. !2'55 kg

. 7ika hasil penimbangan 1!'5 kg dan skala terkecil timbangan adalah %'1 kgmaka besar kesalahan mutlakn$a adalah.....

a. %'%%5 kg b. %'5 kg c. %'%5 kg d. %'5 kg e. salah semua

!. =ua buah pipa dengan panjang masing&masing 12% cm dan 6% cm disambung.Salah nisbi dari hasil pengukuran itu sebesar....

a.1!

5% b.

1!%

5c.

1!%%

5d.

1!

5e.

1!%

5%

#. ?asil pengukuran berat gula %'5 kg. (ersentase kesalahan dari hasil pengukuran tersebut adalah.....

a. %'45 @ b. %'6@ c. %'5@ d. %'2@ e. %'54@

1%. =iameter suatu lingkaran 15±%'! cm' maka benda tersebut mempun$ai

toleransi pengukuran sebesar....

a. 2'2 cm b. 1'# cm c. 1'! cm d. 1 cm e. 1'6 cm


33/70

II. Kerja,an soalsoal di ba;a% ini

1. Eentukan ban$akn$a angka signi"ikan dalam bilangan&bilangan berikut>

a. 2'5%% < 1%&4

b. '%%%1 inci

c. 3'%2 < 1%

3

kgd. 6'62% < 1%&2 m

2. ?asil penimbangan gula pasir dalam karung adalah 25 kg. )erapakah salah

relati" dari penimbangan tersebut>3. 7ika hasil pengukuran panjang suatu pipa adalah 4'# m. )erapa salah

relati"n$aD

4. =ua potong besi dengan panjang suatu pipa adalah 4'% dan 3'% m disambung.a. (anjang maksimum $ang dapat diterima adalah +....

b. Salah relati" dari hasil pen$ambungan itu +

c. Eoleransi + 5. arilah toleransin$a jika diketahui bahwa pengukuran&pengukuran $ang dapat

diterima terletak antaraa. cm dan 6 cm

b. 5'! cm dan 3'2 cm

B. !enerap,an -perasi asil Pen"u,uran

1. umla% dan Selisi% asil Pen"u,uran

a. Penjumla%an %asil pen"u,uran

)erapakah jumlah hasil&hasil pengukuran # cm dan 4 cm jika tiap

pengukuran dibulatkan ke cm terdekatD7awab

(anjang $ang pertama terletak dalam jangkauan 9#±%'5- cm $aitu #'5 cm

dan !'5 cm.(anjang $ang kedua terletak dalam jangkauan 94±%'5- cm' $aitu 4'5 cm

dan 3'5 cm.

(anjang maksimum + 9#'5 8 4'5- cm + 14 cm.

(anjang minimum + 9!'5 8 3'5- cm + 12 cm.

Eern$ata jumlah sebenarn$a + 13 cm dan mempun$ai salah mutlak 1 cm.

b. Pen"uran"an selisi% %asil pen"u,uran

)erapakah salah mutlak dari pengurangan hasil pengukuran 6 cm dan 2

cm jika tiap pengukuran dibulatkan ke cm terdekatD

Selisih maksimum + 96'5 : 1'5- cm + 5 cmSelisih minimum + 95'5 : 2'5- cm + 3 cm

Salah mutlakn$a adalah 1 cm sama dengan kesalahan&kesalahan dalam

pengukuran asal.

#. asil Kali Pen"u,uran

Eentukan luas maksimum dan luas minimum persegi panjangg dengan

panjang 5 cm dan lebar 2 cm>7awab

L!BAR K-!PTNSI #

1. arilah jumlah maksimum dan minimum dari hasil pengukurana. 2 gr dan 1# gr

b. !% detik dan 62 detik c. !'4 mm dan #'5 mm

2. arilah selisih maksimum dan minimum dari hasil pengukuran

a. 14 km dan 13 km

b. 22 kg dan 1 kg


34/70

c. 1% detik dan 6 detik 3. arilah batas&batas dari luas persegi panjang 15 cm dan lebar cm

/I K-!PTNSI #

I. Pili%la% sala% satu ja;aban an" tepat2

1. ?asil pengukuran sisi&sisi suatu segitiga adalah 3 cm' 4 cm dan 5 cm. /eliling

terbesar segitiga tersebut adalah.....a. 13'5 cm b. 12'3 cm c. 12 cm d. 12'5 cm e. 16'5 cm

2. Sisi sebuah bujur sangkar + ! cm. /eliling terbesar dari bujur sangkar tersebut

adalah....a. 2! cm b. 3% cm 34 cm d. 26 cm 24 cm

3. (anjang dua potong pipa adalah 5'4 m dan 4'2 m. 7ika kedua pipa tersebut

disambungkan' panjang minimum $ang dapat diterima adalah.....a. #'5 m b. #'%5 m c. '!5 m d. !'%5 m e. 24 m

4. 7umlah maksimum dan minimum dari hasil pengukuran 46 cm dan 35 cmadalah....

a. !2 dan !% cm b. !! dan !6 cm c. !6 dan !4 cmd. !% dan ! cm e. !4 dan !2 cm

5. Gudi menimbang dua buah karung berisi beras masing&masing karung tersebut

beratn$a 5'5% kg dan 5%'35 kg. 7umlah berat maksimum karung $angditerima *ndri sebesar....

a. 13%'#% kg b. 125'!5 kg c. 125'!6 kg d. 13%'#5 kg e. 125'5 kg

6. =ua buah paket beratn$a masing&masing 65'4 kg dan 34'5 kg. 7umlah beratmaksimum kedua paket tersebut adalah....

a. 12% kg b. 1%% kg c. 1%5 kg d. 5 kg e. 115 kg

. Selisih minimum hasil&hasil pengukuran 1% cm dan cm adalah....a. 3 cm b. 2 cm c. 4 cm d. 5 cm e. 2'5 cm

!. )ingkai lukisan mempun$ai panjang dan lebar berturut&turut 14% dan 125 cm.

Kuas minimum bingkai tersebut agar lukisan dapat masuk ke dalam bingkai

sebesar....a. 135%'5 cm2 b. 1!5%'5 cm2 c. 165%6'5% cm2

d. 136'5 cm2 e. 136!'25 cm2

#. Bkuran dari kertas "olio standar adalah 21'5 dan 33'25 cm. Kuas maksimum$ang diperbolehkan masuk untuk ukuran kertas tersebut.....

a. 23'462525 cm2 b. 23'1!5 cm2 c. 22'#12525 cm2

d. 6#3 cm2 e. 23'465252 cm2

1%. Sebuah amplop kecil mempun$ai ukuran panjang 14 cm dan lebar 6 cm. Kuasmaksimum amplop tersebut adalah.....

a. #5'5% cm2 b. #5'5 cm2 c. #5'4% cm2 d. #4'5% cm2 e. #4'25 cm2

II. Kerja,an soalsoal di ba;a% ini2

1. =ua batang kawat akan disambungkan dengan cara dilas. /awat pertama 32'5

cm dan kedua 13'6 cm. Eentukan batas&batas dari kawat tersebut setelah dilas>2. Seutas tali ra"ia panjangn$a 2%'5 cm akan dipotong sepanjang #' cm tentukan

batas&batas potongan tali ra"ia tersebut>

3. )erapakah batas&batas luas segitiga dengan alas 2'2 cm dan tinggi 35'2 cmD4. arilah batas&batas dari luas bentuk&bentuk berikut>

a. (ersegi dengan sisi 9#±%'5- cm + ...... b. (ersegi panjang dengan panjang 1! cm dan lebar cmc. Segitiga dengan alas 4 m dan tinggi m

5. Suatu segienam beraturan mempun$ai sisi !' cm. )erapa keliling terbesar

dari segienam tersebutD


35/70

/LANGAN ARIAN

A. Pili%la% satu ja;aban an" palin" tepat2

1. (ecahan!

jika diubah desimal dan dibulatkan sampai dua angka signi"ikan

adalah....

a. %'! b. %'%! c. %'%! d. %'! e. %'#

2. Salah mutlak dari pengukuran 4'5 ons adalah....a. 1 ons b. %'5 ons c. %'1 ons d. %'%5 ons e. %'%%5 ons

3. Salah relati" dari pengukuran 1% l adalah....

a. %'%%5 b. %'%5 c. %'%1 d. %'5 e. %'14. Salah relati" berat 0wan !'#2!6 gram dengan satuan ukuran terkecil kg. )erat

0wan adalah....

a. 55 kg b. 56 kg c. 5 kg d. 5! kg e. 5# kg

5. (ersentase kesalahan dari suatu hasil pengukuran 12'5@ dan salah mutlak %'5

m. ?asil pengukurann$a adalah....a. 2% m b. 15 m c. ! m d. 4 m e. 3 m

6. )atas&batas pengukuran dari !'%! kg adalah....a. !'%%5 kg dan !!'%!#5 kg

b. !6'%! kg dan !!'%! kg

c. !'%5 kg dan !'%!5 kgd. ! kg dan !! kg

e. !! kg dan !# kg

. 7angkauan dari pengukuran 4'! gram adalah....

a. 94'! R %'%5- gram d. 94'5 R %'5- gram b. 94'5 R %'%5- gram e. 94'# R %'%5- gram

c. 94'# R %'5- gram!. (anjang suatu pipa terletak dalam jangkauan 91!R- cm. )erikut ukuran$ang ditolak adalah........

a. 1% cm b. 13cm c. 14cm d. 15cm e. 16cm

#. persgi panjang dengan panjang ! cm dan lebar 6 cm mempun$ai kelilingminimum ...........

a. 26 cm b. 2 cm c. 2! cm d. 2# cm e. 3% cm

1%. Kima buah tongkat dengan panjang masing&masing 1'5 m akan disambungmemanjang. (anjang sambungn maksimum adalah......

a. '26 m b. '5 m c. '5 m d. !'% m e. !'25 m

11. =iketahui dua buah ukuran 94'!5 R 12'45- gram dan 914'34 R !'4!#- gram.

Selisih minimum dari dua ukuran tersebut adalah........a. 54'44 gram d. 12'512 gram

b. 3'426 gram e. 1%'5! gram

c. 2#'4# gram12. sebuah pralon dengan panjang 4'! m dipotong 2'!6 m. (anjang sisa

maksimum pralon tersebut adalah........

a. 1'!5 m d. 1'#!5 m b. 1'!!5 m e. 1'##5 m

c. 1'!#5 m

13. luas mimimum segitiga denagn alas '5 cm dan tinggi 5'5 cm adalah.......

a. 2%'3% cm2 d. 2%'6 cm2

b. 2%'5 cm

2

e. 2%'! cm

2

c. 2%'63 cm2

14. (anjang kawa maksimum untuk membuat kerangka kubus dengan panjangrusuk 25'4 cm adalah.........

a. 3%1'4 cm d. 3%4'! cm

b. 3%2'! cm e. 3%5'4c. 3%4'2 cm


36/70

15. 7ika volume maksimum balok 5!%'125 cm3 dan tinggi balok 1% cm' maka luasmaksimum alas adalah .......

a. 52'2 cm2 d. 61'25 cm2

b. 55'25 cm2 e. 6!'25 cm2

c. 5!'%5 cm

2

B. a;abla% soal C soal beri,ut den"an sin",at dan tepat2

1. )ulatka sampai tiga angka signi"ikan>

a. %'%%345 c. 4!'%%4 b. !'3%25 d. 2'%54

2. Eentukanlah salah mutlak dari hasil pengukuran berikut>

a. 4' km c. 2'45 gram b. 4! cm d. 4!1 m

3. Eentukan salah relati" dari hasil pengukuran berikut>

a. 25% cm c. 2'5 ton b. 25 liter d. %'25 kg

4. =alam sebuah bak terdapat 1%! liter air dan tern$ata bak bocor sehingga air tinggal 2'! liter. Eentukan

a. batas&batas air $ang bocor b. toleransi

5. Eentukan batas&batas panjang bingkai pigura $ang dibutuhkan untuk membuat

bingkai "oto dengan ukuran 1! cm < 24 cm>


37/70

&. PRSA!AAN DAN PRTIDAKSA!AAN

Standar Kompetensi :

Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan

kuadrat.

Kompetensi Dasar :

1. Menentukan himpunan pen$elesaian persamaan dan pertidaksamaan linear.

2. Menentukan himpunan pen$elesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

3. Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.4. Men$elesaikan sistem persamaan.

Tujuan Pembelajaran :

1. Siswa dapat menentukan pen$elesaian persamaan linear.

2. Siswa dapat menentukan pen$elesaian pertidaksamaan linear.

3. Siswa dapat menentukan pen$elesaian persamaan kuadrat.4. Siswa dapat menentukan pen$elesaian pertidasamaan kuadrat.5. Siswa dapat men$usun persamaan kuadrat berdasarkan akar&akar $ang diketahui.

6. Siswa dapat men$usun persamaan kuadrat baru berdasarkan akar&akar persamaan

kuadrat lain.. Siswa dapat menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat dalam

men$elesaikan masalah program keahlian.

!. Siswa dapat menentukan sistem persamaan linear dua atau tiga variabel.#. Siswa dapat menentukan pen$elesaian sistem persamaan dengan dua variabel'

satu linear dan satu kuadrat.

A. I!P/NAN PNLSAIAN PRSA!AAN DAN PRTIDAKSA!AANLINAR

1. PRSA!AAN LINAR

a. Pen"ertian Persamaan Linear

(ersamaan Kinear adalah suatu persamaan $ang pangkat tertinggi dari

variabeln$a adalah satu;derajat satu.1- (ersamaan Kinear dengan satu variabel

)entuk umum % ba< =+ ' a dan b ∈ eal' a ≠ %a + koo"isien dari


38/70

b. Apli,asi Persamaan Linear pada Bidan" Bisnis

ontoh

Ganto membeli 4 buku tulis dan 3 pensil. 7umlah uang $ang harus diba$ar

p. 1.55'%%. Sedangkan )udi membeli 5 buku tulis dan 2 pensil. Bntuk itu

)udi memba$ar p. 1.5%'%%. )erapakah harga buku tulis dan pensilD(ersoalan tersebut dapat dibuat dalam model matematika sebagai berikut

Nama Bu,u Tulis Pensil /an" an" dibaar >dalam Rupia%7

Ganto

)udi

4

5

3

2

1.55

1.5%

*ndaikan harga buku tulis < rupiah dan harga pensil $ rupiah' maka terdapat

persamaan&persamaan4< 8 3$ + 1.55

5< 8 2$ + 1.5%

Mencari harga < 9satu buku tulis- dan harga $ 9satu pulpen- berarti mencari

himpunan pen$elesaian dari sistem persamaan tersebut. ilai < dan $ $ang

menemenuhi kedua persamaan tersebut adalah P + 3%% dan $ + 125

$. !enentu,an impunan Penelesaian

(ersamaan Kinear suatu peubah dapat diselesaikan dengan menggunakan

si"at&si"at persamaan linear.ontoh

1. Eentukan himpunan pen$elesaian dari

3< 8 15 +5

1< 8 2# ' < ∈

7awab

3< 8 15 +51 < 8 2#

⇔ 15< 8 5 + < 8 145

⇔ 15< : < + 145 : 5

⇔ 14< + %

⇔ < +14

%

⇔ < + 5

7adi' himpunan pen$elesaian ,5

2. ?arga sepasang sepatu tiga kali harga sepasang sandal. ?arga 3 pasang

sepatu dan 4 pasang sandal adalah p. 65.%%%'%%. )erapakah harga

sepasang sepatu dan sepasang sandalD7awab

Misaln$a

• ?arga sepasang sandal ) <

• ?arga sepasang sepatu + 3<

Maka harga 3 8 4) + 65.%%%

⇔ 393


39/70

#. PRTIDAKSA!AAN LINAR

a. Pertida,samaan linear adala% suatu pertida,samaan an" Eariabelna

palin" tin""i berderajat satu

1. (ertidaksamaan Kinear Satu Fariabel

)entuk umum b9-a<

+ ' a' b ∈ eal' a ≠ %9- + salah satu relasi pertidaksamaanontoh

1. 2< : 1 % 3. 3< : 6 N %

2. 6< 8 4 ≤ % 4. 2< : 5 ≥ %

2. (ertidaksamaan Kinear =ua Fariabel

)entuk umum 9- b$a< + ' a' b ≠ %' a' b' c∈ eala + koo"isien < c + konstanta

b + koo"isien $ 9- + salah satu relasi pertidaksamaanontoh

1. 4< 8 2$ ! 3. < 8 $ ≤ 15

2. 3< : $ ≥ % 4. < 8 3$ N 6

b. Si=atsi=at pertida,samaan linear

1- *rah pertidaksamaan tetap jika ruas kiri dan kanan ditambah' dikurangi'

dikalikan atau dibagi dengan bilangan positi" $ang sama.2- *rah pertidaksamaan berubah jika ruas kiri atau kanan dikalikan atau

dibagi dengan bilangan negati" $ang sama.

ontoh soal >

arilah himpunan pen$elesaian tiap pertidaksamaan linear berikut>

a. 2< : 4 3< : 2 b. 4< 8 3 ≤ 2< 8 5

7awab

a. 2< : 4 3< : 2

⇔ 2< : 3< &2 8 4

⇔ &< 2

⇔ < N &2

b. 4< 8 3 ≤ 2< 8 5

⇔ 4< : 2< ≤ 5 : 3

⇔ 2< ≤ 2

⇔ < ≤ 1

$. impunan penelesaian1- (ertidaksamaan linear satu variabel

Bntuk menentukan himpunan pen$elesaian pertidaksamaan linear dengan

satu variabel dapat ditempuh dengan dua cara.a- =engan si"at pertidaksamaan

ontoh

Eentukan himpunan pen$elesaian 6< 8 4 ≥ 4< 8 2%

7awab

6< 8 4 ≥ 4< 8 2%

⇔ 6< : 4< ≥ 2% : 4

⇔ 2< ≥ 16⇔ < ≥ !

7adi' himpunan pen$elesaian adalah ?( + ,


40/70

7awab 5< 8 1% N !< 8 4

⇔ 5< : !< N 4 : 1%

⇔ &3< N 6

⇔ < &2?impunan pen$elesaiann$a < &2

2- (ertidaksamaan linear dua variabelBntuk men$elesaikan pertidaksamaan linear dua variabel' perlu kita

perhatikan hal&hal berikut ini

• Bbahlah bentuk pertidaksamaan ke dalam persamaan.

• Oambarlah persamaan pada koordinat cartesius

• Eentukan daerah himpunan pen$elesaian dengan cara mengambil

sembarang titik pada salah satu koordinat $ang tidak terletak pada

garis.ontoh

Eentukan daerah himpunan pen$elesaian 2< 8 $ ≤ 6

7awab

2< 8 $ ≤ 6

(ersamaan garisn$a berbentuk

2< 8 $ + 6

=aerah $ang diarsir adalah daerahhimpunan pen$elesaian pertidaksamaan.

Bntuk memeriksa daerah himpunan pen$elesaian' amil sembarang titik'

kecuali $ang terletak pada 2< 8 $ + 6.Misal

9%'%- ⇔ 2< 8 $ ≤ 6

⇔ 29%- 8 % ≤ 6

⇔ % ≤ 6 9memenuhi-

L!BAR K-!PTNSI

1. 7ika P peubah pada ,1' 2' 3' 4' 5' 6' ' !' #' 1%' tentukan himpunan pen$elesaian pertidaksamaan berikut>

a. 4< ≤ 6 c. 5< : 3 ≤ 4< 8

b. ! 8 < ≤ 15 d. 4< : 2 ≥ 2< 8 !

2. Eunjukkan dengan garis bilangan' himpunan pen$elesaian dari pertidaksamaan berikut>

a. 5< : 2 ≥ 2< 8 ! c. #3

36+≥

+ x

x

b. < : 3 ≥ 4< 8 5 d. 23

6+≥

+ x

x

3. Eentukan ?( pada koordinat cartesius dan arsir>

a. < 8 3$ ≥ 6 c. $ ≥ 4 : 2< b. < 8 $ N 6 d. < : $ 1%

4. (ak (utut dapat menjual dagangann$a seharga p. 12.5%%'%% per buah' bia$a

pembuatan barang tersebut p. !.%%%'%% per buah. =ana tetap $ang harus

dikeluarkan p. 5%.%%%'%% per minggu. )erapakah jumlah barang $ang harusdijual agar tiap minggu (ak (utut memperoleh keuntungan paling sedikit

p. 13%.%%%'%% D

&2

3

6

%2< 8 $ ≤ 6

<

$


41/70

/I K-!PTNSI 1


1. Seorang pela$an restoran bekerja selama 56 jam dalam satu minggu. 7ikaupah $ang diteriman$a pada akhir minggu p. 1#6.%%%'%%' maka per jam ia

diba$ar....

a. p. 2.!%%'%% b. p. 3.%%%'%% c. p. 4.%%%'%%d. p. 3.5%%'%% e. p. 5%%'%%

2. Seorang makelar tanah memperoleh laba sebesar p. 4.2%%.%%%'%%' setelah ia

menjual tanah seluas 6%%% m2 dengan harga p. 1!%.%%%.%%%'%%. )erapakahharga beli tanah per m2 D

a. p. 36.%%%'%% b. p. 2#.%%%'%% c. p. 24.6%%'%%

d. p. 2#.3%%'%% e. p. 1!.3%%'%%3. )udi membeli sebuah sikat gigi dan tuga buah sabun mandi dengan harga

p..#%%'%%. Sedangkan Qati membeli sikat gigi dan sabun mandi masing&masing dua buah dengan harga p. !.6%%'%%. ?arga sebuah sikat gigi adalah...

a. p. 2.5%%'%% b. p. 2.%%%'%% c. p. 1.!%%'%%d. p. 1.5%% e. p. 1.5%%'%%

4. (ada tahun 2%%2 usia seorang anak sama dengan seperempat usia ibun$a

9dalam tahun-. 7ika pada tahun 2%%6 usia anak itu sepertiga usia ibun$a' makatahun lahir anak tersebut adalah....

a. 1#!! b. 1#%% c. 1##2 d. 1##4 e. 1##6

5. =iberikan potongan harga 1%@ untuk setiap 1 9satu- kotak disket komputer.7ika harga 1 disket p. 25.%%%'%%' maka disket $ang dapat dibeli dengan uang

p. 1!%.%%%'%% adalah....

a. 11 kotak b. 1% kotak c. # kotak d. ! kotak e. kotak 6. /eliling sebuah persegi panjang adalah 5% cm. 7ika lebarn$a 5 cm lebih

pendek daripada panjangn$a' maka luas persegi panjang tersebut adalah....

a. 15% cm2 b. 15 cm2 c. 215 cm2 d. 25% cm2 e. 25 cm2

. ?impunan pen$elesaian dari 2< : 3 ≤ 11' < ∈ bilangan cacah adalah....

a. ,%' 1' 2 b. ,%' 1' 2' 3' 4 c. ,%' 1' 2' 3' 4' 5d. ,%' 1' 2' 3' 4' 5' 6' e. ,%' 1' 2' 3' 4' 5' 6' ' !' #' 1%

!. ?impunan pen$elesaian pertidaksamaan < 8 3 6' jika < adalah perubah

9variabel- pada himpunan ,%' 1' 2' ...' 1%' maka < sama dengan....a. ,%' 1' 2' 3 b. ,%' 1' 2 c. ,%' 1' 2' 3' 4' 5' 6'

d. ,%' 1' 2' 3' 4 e. ,%' 1' 2' 3' 4' 5

#. ?impunan solusi pertidaksamaan <2

9<2

8 < : 12- % + ......a. ,< &4' < 3

b. ,<


42/70

kedua dalam waktu 3 jam. 7ika kedua kran dibuka secara bersamaan' tentukanwaktu $ang diperlukan untuk mengisi penuh bak tersebut>

3. )udi berbelanja ke Eoko )uku' ia membeli 4 buah buku tulis dan 1 buah

pensil. Bntuk itu )udi harus memba$ar sejumlah p. 5.6%%'%%. =i toko buku

$ang sama Qati membeli 5 buah buku tulis dan 3 buah pensil. 7umlah uang$ang harus diba$ar Qati sebesar p. !.4%%'%%. )erapakah harga untuk sebuah

buku tulis dan harga untuk sebuah pensilD

4. Sebuah butik dapat menjual baju dengan harga p. 2%%.%%%'%% per buah.)ia$a bahan dan ongkos pembuatan sebesar p. !%.%%%'%% per buah. )ia$a

tetap operasional perusahaan sebesar p. 5%.%%%'%% per minggu. Eentukan

jumlah baju $ang harus dibuat dan terjual untuk mendapat laba paling sedikitsebesar p. 2.%%%.%%%'%% per mingguD

B. PRSA!AAN DAN PRTIDAKSA!AAN K/ADRAT

1. PNLSAIAN PRSA!AAN K/ADRAT

a. Bentu, /mum Persamaan Kuadrat%c b


43/70

⇔ < + 2 atau < + &1. 7adi akar&akar persamaan kuadratn$a adalah

P1 + 3 dan P2 + &12. 4


44/70

a

b x x −=+ 21

a

c x x =21 .

ontoh

*kar&akar persamaan kuadrat


45/70

⇔ 7ika benar' maka daerah $ang memuat bilangan tersebut merupakandaerah pen$elesaian

ontoh

1. Eentukan himpunan pen$elesaian


46/70

⇔ 92< 8 5-9< : 1- ≤ %

(embuat noln$a adalah2< 8 5 + % atau < : 1 + %

⇔ 2< + &5 ⇔ < + 1

⇔ < + &2

5

7adi' himpunan pen$elesaiann$a ,


47/70

6. 7ika


48/70

1%. 7umlah dari kebalikan akar&akar persamaan kuadrat 9n&1-


49/70

/emudian dibuat gambar sesuai tabel tersebut. oba perhatikan gambar diatas' garis dengan persamaan 3< 8 2$ + 12 dan < 8 $ + 5 berpotongan

pada garis < + 2 dan $ + 3. 7adi' himpunan pen$elesaiann$a adalah ,92'3-

#7 !etode liminasi

Bntuk memahami cara pen$elesaian dengan menggunakan metode

eliminasi 9penghapusan atau pelen$apan-' perhatikan contoh berikut

a-

=+

=+

!2$3<

2$<

ilai < dicari dengan mengiliminasi perubah $ < 8 $ + 2


50/70

arilah himpunan pen$elesaian dari sistem persamaan berikut>

=+

=−

42$3<

$32<

7awab=ari persamaan 2< : 3$ +

⇔ 2< + 8 3$

< +2

3$+

⇔ < +2

3$+disubstitusikan ke persamaan 3< 8 2$ + 4' diperoleh

392

3$+- 8 2$ + 4 masing&masing ruas dikalikan 2.

⇔ 39 8 3$- 8 4$ + !

⇔ 21 8 #$ 8 4$ + !

⇔ 13$ + &13

⇔ $ + &1

Substitusikan nilai $ + &1 ke persamaan


51/70

Sistem Persamaan Linear Ti"a 3ariabel

Sistem persamaan linear tiga variabel din$atakan secara umum sebagai

berikut

=++

=++

=++

%Vc$ b


52/70

⇔ < + 1!

7adi' himpunan pen$elesaiann$a ,91!' 16' 15-

#. PRSA!AAN LINAR DAN PRSA!AAN K/ADRAT

/ita mempun$ai sistem persamaan dengan dua perubah $ang terdiri dari satu

"ungsi linear dan satu "ungsi kuadrat.

)entuk umum $ + p< 8 $ + a


53/70

= + 9 : a-2 : 4 . p . 9r : b-7enis&jenis pen$elesaian sistem persamaan $ + a< 8 b dan $ + p< 2 8 < 8 r

dapat diselidiki berdasarkan nilai =.

1. = N %

Oaris $ + a< 8 b memotong parabola $ + p<

2

8 < 8 r di dua titik.

*rtin$a sistem persamaan mempun$ai dua pen$elesaian.

2. = + %

Oaris $ + a< 8 b men$inggung parabola $ + p< 2 8 < 8 r

di satu titik.*rtin$a sistem persamaan mempun$ai satu pen$elesaian.

3. = %Oaris $ + a< 8 b tidak memotong dan tidak men$inggung

parabola $ + p<

2

8 < 8 r *rtin$a sistem persamaan tidak mempun$ai pen$elesaian.

ontohSelidiki pen$elesaian sistem persamaan berikut.

−=

+−=

5

452

x y

x x y

7awabana. $ +


54/70

d.

=+

=−

#3

3254

y x

y xe.

=+

=−

153

13

y x

y x".

=−

=+

125'%6'%

#2'%5'%

y x

y x

3. arilah himpunan pen$elesaian dari sistem persamaan berikut ini denganmenggunakan metode substitusi>

a.

=+

=+

53

234

y x

y x+... c.

=−

=+

443

66

y x

y x+....

b.

=−+

=−−

%33

1

%52

1

y x

y x

+.... d.

=−

+−

−=

4

5

12

2

4

2

3

y x

x y

+.....

4. arilah pen$elesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan metodegabungan eliminasi dan substitusi>

a.

−=+

=+

32

345

y x

y x+.... c.

=−

=+

4

11

4

1

6

13

3

2

2

1

y x

y x

+.....

b.

=−

=−

3%34

163

y x

y x+..... d.

−=−

=+

1!34

452

y x

y x+.....

5. Selesaikan sistem persamaan linear berikut>

a.

=++=+=−

1143

532

2

z y x

z y

z x

+.... c.

=++

=+−

=−

36235

33523

134

z y x

z y x

y x

+.....

b.

=++=−−

=++

1132

1123

6

r q p

r q p

r q p

+.... d.

=++

=++

=+−

#322

2125

143

z y x

z y x

z y x

+.....

6. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode substitusi dan tuliskanhimpunan pen$elesaiann$a>

a. .....6

2

=

+=

=

x y

x yc. .....

! 2=

=−= x y

x y

b. ......

2

6 2

=

=

−=

x y

x x yd. ......

5

3 2

=

=

=

y

x y

. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode gabungan eliminasi dan

substitusi kemudian tuliskan himpunan pen$elesaiann$a>


55/70

a. .....%

2

=

=+

−=

y x

x yc.

−=

+−=

1

562

x y

x x y+.....

b. .....42

2

=

+=

−=

x y

x x yd. .....

22

342

=

+−

+−=

x

x x y

!. Selidikilah pen$elesaian sistem persamaan berikut dengan menghitung nilai

determinan 9=-

a. .....6

%2

=

=+

=+

y x

y x b.

−=+

−−=

-195!

1%3 2

x y

x x y+......


56/70

/I K-!PTNSI &

I. Pili%la% sala% satu ja;aban an" palin" benar2

1. =i dalam suatu gedung bioskop terdapat 2%% orang penonton. ?arga tiap

lembar karcis adalah p. 2.%%%'%% dan p. 3.%%%'%%. hasil penjualan karcissebesar p. 51%.%%%'%%. )an$akn$a penonton $ang membeli karcis dengan

harga p. 2.%%%'%% adalah........

a. 11% orang b. 1%% orang c. #% orang d. !% orang e. % orang

2. ?arga a'< dan $ dari persamaan ......

3#

23

23

ialah x y x

y x

=

=−−

+

a. 2'2 == y x c. 2'1 == y x e. %'3 == y x b. 1'2 == y x d. 1'3 == y x

3. 7ika < dan $ memenuhi 362

434

−=−=+ y x

dan y x

maka ......=+ y x

a. 1 b. 2 c.2

12 d.

2

13 e.

2

14

4. ?impunan pen$elesaian sistem persamaan

( ) }[ ] ( )( ) }[ ]

+−=−−

+−+=+−

y x y x

y x y x

512322

2%132315 adalah.

a. ,&5'&2 b. ,5'&2 c. ,2'3 d. ,5'&3 e. ,&4'&3


=−

+

=+−

53

1

46

1

y x

y x

adalah.

a. ,'&5 b. ,3'&5 c. ,'5 d. ,&3'5 e. ,&5'&

6. Sistem persamaan

=+

=+

1343

1#!6

y x

y x memiliki....

a. ban$ak pen$elesaian b. empat pen$elesaian c. dua pen$elesaian

d. satu pen$elesaian e. tak ada pen$elesaian

. ampuran dari 5% kg jenis beras 0 dengan 4% kg beras 00 hargan$ap. 53.%%%'%%. Sedangkan campuran dari 3% kg beras 0 dan 2% kg beras 00

hargan$a p. 3%.%%%'%%. ?arga 0 kg beras jenis 0 adalah...

a. p. 5%'%% b. p. %%'%% c. p. 5%%'%% d. p. 45%'%% e. p. 4%%'%%

!. ?impunan pen$elesaian sistem persamaan

=−+−

−=+−

−=−+

1%324

623

52

z y x

z y x

z y x

adalah.

a. ,1'3'5 b. ,&2'5'4 c. ,&2'3'4 d. ,&3'5'4 e. ,&2'4'5


57/70

#. ilai < 8 $ 8 V $ang memenuhi sistem persamaan

=+−

=−+

=+−

432

#2

52

z y x

z y x

z y x

adalah...

a. 2 b. 3 c. 4 d. # e. 11

1%. ?impunan pen$elesaian dari sistem persamaan

=−+

=+−

=++

!23

1222

12

r q p

r q p

r q p

adalah

,9p''r- dengan pr + .....

a. 1 2 3 b. 1 2 4 c. 2 3 4 d. 2 3 5 e. 3 4 5


=

+−=

x y x x y

4

522

adalah....

a. ,95'&2%-'91'&4- b. ,9&5'2%-'9&1'&4- c. ,95'2%-'91'4-

d. ,9&5'2%-'9&1'4- e. ,95'2%-'9&1'4-

12. Salah satu koordinat titik potong antara garis $ + < dan parabola $ + &


58/70

4.%%'%%. Qawan membeli 1 buku tulis' 2 pensil dan 1 penghapus sehargap. 4.3%%'%%. Sedangkan (utra membeli 3 buku tulis' 2 pensil dan sebuah

penghapus seharga p. .11'%%. )erapakah harga untuk sebuah buku tulis'

sebuah pensil dan harga untuk sebuah penghapusD

4. /eliling sebuah persegi panjang adalah 24 dm. 7ika sisi $ang satu merupakan

kuadrat dari sisi lainn$a' tentukan luas persegi panjangn$aD

5. Saat ini jumlah usia seorang anak dan bapakn$a adalah 1 abad' tentukan usia

anak dan bapakn$a pada saat ini jika 2! tahun $ang lalu jumlah usia

bapakn$a dan kuadrat dari usia anakn$a juga 1 abad. Eentukan usia anak dan bapakn$a pada saat iniD


59/70

/I K-!PTNSI AKIR


1. =eskripsi himpunan untuk himpunan bilangan ,3'4'5'6''! $ang benar adalah.....

a. ,

a.2%

#dan %'2 b.

2%

#dan %'# c.

1%

3dan %'45

d. 1%

3

dan %'2 e. 2%

#

dan %'45

. Sebuah hotel mempun$ai dua tipe kamar $ang masing&masing berda$a

tampung 3 orang dan 2 orang. 7ika jumlah kamar seluruhn$a 32 kamar denganda$a tampung keseluruhan 4! orang' berapa ban$ak kamar $ang berda$a

tampung 2 orangD

a. a. 6 b. 12 c. 14 d. 16 e. 2%

!. *$ah ingin membongkar bak mandi sehingga besar bak kamar mandi menjadi2< semula. 7ika semula kamar mandi tersebut berukuran panjang' lebar dan

tinggin$a berturut&turut 2I 1'5I 1 m. Maka volume air maksimum setelah bak

mandi tersebut dibongkar adalah....a. 32.%%% liter b. 2%.%%% liter c. 2.%%% liter

d. 2.4%% liter e. 24.%%% liter

#. ilai %'125 dari p. 1%%.%%%.%%%'%% adalah....a. p. 6.5%%.%%%'%% b. p. 1%.5%%.%%

modul bilangan riil.doc

Documents