modul 10

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Augustina Kurniasih ME MATEMATIKA EKONOMI 1

UNIVERSITAS MERCU BUANA PROGRAM KULIAH KELAS KARYAWAN

Modul 10

Diferensiasi Fungsi Majemuk

Desember 2009


Tujuan Instruksional Khusus :

1. Mahasiswa memahami diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih

dari 1 macam variable bebas.

2. Mahasiswa memahami diferensial parsial dan dapat melakukan diferensiasi

parsial

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah yang bertujuan memaksimumkan/

meminimumkan suatu fungsi yang terkendala fungsi lain yang juga harus

dipenuhi

Daftar Isi :

A. Diferensiasi Parsial 3

B. Derivatif dari derivatif parsial 4

C. Nilai Ektrim (optimum) : Maksimum dan Minimum 6

D. Optimisasi Bersyarat 8

Pustaka :

Dumairy ( 1999). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Ed.2. BPFE.

Yogyakarta.


Diferensial Fungsi Majemuk

- Membahas diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung > 1 variabel bebas.

- Memepelajari juga konsep diferensiasi parsial dan total.

A. Diferensiasi Parsial

- Apabila sebuah fungsi mempunyai 1 variabel bebas mempunyai 1 macam

turunan

Y = f(x) turunannya hanya turunan y terhadap x dxdyy ='

- Apabila sebuah fungsi mempunyai n variable bebas mempunyai n macam

turunan

y = f ( x, z) terdapat 2 macam turunan, yaitu :

- turunan y terhadap x atau xy

∂∂

dan

- turunan y terhadap z atau zy

∂∂

Dengan demikian :

1) y = f ( x, z)

a). fx ( x, z) = xy

∂∂

xy

∂∂

, zy

∂∂

: derivatif parsial

b). fz ( x, z) =zy

∂∂

dzzydx

xydy

∂∂+

∂∂= : diferensial total

dzzydx

xy

∂∂

∂∂

, : diferensial parsial


2) p = f ( q , r , s )

a). fq (q,r,s) = qp

∂∂

qp

∂∂

, rp

∂∂

,sp

∂∂

:derivatif parsial

b). fr (q,r,s) = rp

∂∂

c). fs (q,r,s) = sp

∂∂

dsspdr

rpdq

qydp

∂∂+

∂∂+

∂∂= : diferensial total

dsspdr

rpdq

qy

∂∂

∂∂

∂∂

,, : diferensial parsial

Menurunkan y tehadap x dilambangkan xy

∂∂

, hanya suku-suku yang mengandung

variabel x yang diperhitungkan, sedangkan suku-suku yang tidak mengandung

variabel x sebagai konstanta dan turunannya nol.

Menurunkan Y terhadap Z : zy

∂∂

Misal : y = 3x2 – 8xz – 6z2

xy

∂∂

= 6x – 8z

zy

∂∂

= -8x – 12 z

B. Derivatif dari derivatif parsial

- masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi .

- sangat bervariasi tergantung bentuk turunan parsial tersebut.


Contoh y = x3 + 5 z2 – 4 x2 z – 6 x z2 + 8 z – 7

(1). xy

∂∂

= 3 x2 – 8 x z – 6 z2

(2).zy

∂∂

= 10 z - 4 x2 – 12 x2 + 8

Masih dapat diturunkan lagi secara parsial

(1a). xy

∂∂

terhadap x : 2

2

xy

∂∂

= 6 x – 8 z

(1b). xy

∂∂

tehadap z : zxy

∂∂∂ 2

= - 8x – 12 z

(2a). zy

∂∂

terhadap x : xzy

∂∂∂ 2

= - 8x – 12 z

(2b). zy

∂∂

tehadap z : 2

2

zy

∂∂

= 10 – 12 x

Masih dapat diturunkan lagi

(1a.1) . 2

2

xy

∂∂

terhadap x : 3

3

xy

∂∂

= 6

(1a.2). 2

2

xy

∂∂

tehadap z : zx

y∂∂

∂2

3

= - 8

(1b.1).zxy

∂∂∂ 2

terhadapa x : zx

y∂∂

∂2

3

= - 8

(1b.2). zxy

∂∂∂ 2

terhadap z. : 2

3

zxy

∂∂∂

= -12

(2a.1) . xzy

∂∂∂ 2

terhadap x : 2

3

xzy

∂∂∂

= - 8

(2a.2). xzy

∂∂∂ 2

terhadapa z : xz

y∂∂

∂2

3

= - 12

modul 10

Documents