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CONTROL I ING. QUIRINO JIMENEZ D.

CAPITULO III. MODOS BÁSICOS DE CONTROL. INTRODUCCIÓN. Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (valor deseado), determina el error, y produce una señal de control que reducirá el error a cero, o a un valor muy pequeño. La forma como el controlador automático produce la señal de control, se denomina acción de control. En este capítulo primero se analizarán las acciones básicas de control, posteriormente se analizarán los efectos de las acciones de control integral y derivativo. ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL.

Clasificación de controladores industriales analógicos. Los controladores industriales analógicos, se pueden clasificar de acuerdo a sus acciones de control, de la siguiente forma.

• Controladores de dos posiciones, o intermitentes (encendido-apagado). • Controladores proporcionales. • Controladores integrales. • Controladores proporcional+integral. • Controladores tipo proporcional+derivativo. • Controladores tipo proporcional+integral+derivativo.

La mayoría de los controladores analógicos industriales utilizan electricidad o algún fluido, como aceite o aire a presión, a modos de fuentes de potencia. Los controladores analógicos también se puede clasificar según el tipo de potencia que utilizan en su operación, como neumáticos, hidráulicos o electrónicos. La clase de controlador a usar se decidirá en base a la naturaleza de la planta y las condiciones de operación, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, exactitud, peso y tamaño. Controlador automático, actuador y sensor (elemento de medición). En la figura 3-1 muestra un diagrama a bloque de un sistema de control industrial que consiste en un controlador automático, un actuador o accionador, una planta y un sensor (elemento de medición). El controlador detecta la señal de error, que suele estar a un nivel de potencia muy bajo, y la amplifica a un nivel bastante alto. El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada a la planta, de acuerdo con la señal de control, de modo que la señal de retroalimentación corresponda a la señal de entrada de referencia. La salida de un controlador automático alimenta a un actuador o accionador, que bien puede ser un motor o una válvula neumática, un motor hidráulico o uno eléctrico. El sensor o elemento de medición es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable adecuada, como un desplazamiento, presión o voltaje, que utilizan para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento es el camino de retroalimentación en el sistema de lazo cerrado. El punto de ajuste del control debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la señal de retroalimentación del sensor o el elemento de medición.

1


Figura 3-1. Diagrama de bloques de un sistema de control industrial, que consiste en un controlador automático, un actuador, una planta, y un sensor (elemento de medición). Controladores auto-operadores. En la mayoría de los sistemas de control industriales se utilizan dispositivos independientes como elemento de medición y como actuador. Sin embargo, en el sistema de control más simple, el controlador auto-operados, ambos dispositivos están integrados en uno solo. Los controles auto-operados utilizan la energía desarrollada por el elemento de medición y son muy simples y económicos. En la figura 3-2 se puede ver un ejemplo de un controlador auto-operad. El punto de ajuste está determinado por la fuerza del resorte. El diafragma mide la presión controlada. La señal de error actuante es la fuerza neta que actúa sobre el diafragma. Su posición determina la apertura de la válvula. El funcionamiento del controlador auto-operado es el siguiente: supóngase que la presión de salida es inferior a la presión de referencia, según lo determina el punto de ajuste o regulación. Entonces la fuerza descendente del resorte es superior a la fuerza ascendente de la presión, produciéndose un desplazamiento del diafragma hacia abajo, lo que aumenta el flujo e incrementa, por tanto, la presión de salida. Al contrario, si la presión de salida llega a ser mayor que la presión de referencia, se reduce la apertura de la válvula, y disminuye el flujo a través de la misma. Este tipo de controladores auto-operados se utilizan ampliamente para el control de presión de gas y agua.

2


Figura 3-2. Controlador auto-operado. Acciones de control. En controladores industriales es muy común encontrar los siguientes seis tipos de acción básica de control: de dos posiciones o de encendido-apagado, proporcional, integral, proporcional e integral, proporcional y derivativo, y proporcional, derivativo e integral. Acción de control de dos posiciones, o de encendido-apagado. En un sistema de control de dos posiciones, el actuador tiene sólo dos posiciones fijas, que en muchos casos son, simplemente conectado y desconectado. El controlador de dos posiciones, o de encendido o apagado es relativamente simple y económico, y por esta razón se usa ampliamente en sistemas de control, tanto industriales como domésticos. Sea u(t)la señal de salida del controlador y e(t) la señal de error. En un controlador de dos posiciones, la señal u(t)permanece en un valor máximo o mínimo, según sea la señal de error positiva o negativa, de manera que:

u(t)=U 1 para e(t)>0 u(t)=U2 para e(t)<0

donde U1 y U2 son constantes. Generalmente el valor mínimo de U2 puede ser, o bien cero, o - U1. En general los controladores de dos posiciones son dispositivos eléctricos, donde

3


habitualmente hay una válvula accionada por un solenoide eléctrico. Los controladores neumáticos proporcionales con muy altas ganancias también actúan como controladores de dos posiciones y se les conoce como controladores neumáticos de dos posiciones. En las figuras 3-3(a) y (b) se puede ver diagramas de bloques de controladores de dos posiciones. El rango en el que la señal de error debe variar antes que se produzca la conmutación, se denomina brecha diferencial o zona muerta. La brecha diferencial hace que la salida del controlador u(t) mantenga su valor hasta que la señal de error haya rebasado ligeramente el valor cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencional o movimiento perdido. Para un ejemplo de nivel de líquido, consultar el libro de Ingeniería de Control Moderna, Katsuhiko Ogata, segunda edición, página 196-197.

Figura 3-3. (a) Diagrama de bloques de un controlador de sí-no; (b) diagrama de bloques de un controlador de sí-no con brecha diferencial o zona muerta. Acción de control proporcional. Para un controlador de acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t), es

)t()t( eKu p= o, en transformada de Laplace,

pKsEsU

=)()(

donde Kp se denomina ganancia proporcional. Sin importar el mecanismo en sí y la potencia que lo alimenta, el controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable. En la figura 3-6 se puede ver un diagrama de bloques de este controlador.

4


Figura 3-6. Diagrama de bloques de un controlador proporcional. Acción de control integral. En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador u(t) varía en razón proporcional a la señal de error e(t). Es decir,

)()( teKdt

tdui=

o bien

∫=t

i dtteKtu0

)()(

donde Ki es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es

sK

sEsU i=)()(

Si se duplica el valor de e(t), el valor de u(t) varía a doble velocidad. Ante un error igual a cero, el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones la acción de control integral recibe el nombre de control de reposición o reestablecimiento. En la figura 3-7 aparece un diagrama de bloques de este control.

Figura 3-7. Diagrama de bloques de un controlador integral. Acción de control proporcional e integral. La acción de un controlador proporcional-integral queda definida por la siguiente ecuación:

∫+=t

i

pp dttetetu

TKK 0

)()()(

y la función de transferencia del controlador es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ssEsU

TKi

p

11)()(

5


donde Kp es proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Ambos valores, Kp y Ti son ajustables. El tiempo integral regula la acción de control integral, mientras que una modificación en Kp afecta tanto a la parte integral como a la proporcional de la acción de control. El recíproco del tiempo integral Ti recibe el nombre de frecuencia de reposición. La frecuencia de reposición es la cantidad de veces por minuto en que se repite la acción proporcional. La frecuencia de reposición se mide en término de repeticiones por minuto. La figura 3-8(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional integral. Si la señal de error e(t) es una función de escalón unitario como se ve en la figura 3-8(b), la salida del controlador u(t) pasa a ser la indicada en la figura 3-8(c).

0

Figura 3-8. (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral; (b) y (c) diagramas que representan una entrada escalón unitario y salida del controlador. Acción de control proporcional y derivativo. La acción de control proporcional-derivativo se define por la siguiente ecuación:

dttdetetu TKK dpp

)()/)( +=

y la función de transferencia es

( )sKsEsU T dp += 1)()(

donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo o tiempo adelanto. Tanto Kp como Td son regulables. La acción de control derivativa, a veces se llama control de velocidad, se representa cuando el valor de salida del controlador es proporcional a la velocidad de variación de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo en el que la acción de derivativa se adelanta al efecto de la acción proporcional. En la figura 3-9(a) se puede ver un diagrama de bloques de un controlador proporcional derivativo. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitaria como se muestra en la figura 3-9(b), la salida del controlador u(t)es la que se ve en la figura 3-9(c). Como se pude ver en la figura 3-9(c), la acción derivativa tiene una característica anticipatoria. Por supuesto, una acción derivativa nunca puede anticipar una acción que aún no acontece. En tanto acontece la acción derivativa tiene una ventaja al anticiparse al error, sus desventajas son que amplifica las señales de ruido y produce un efecto de saturación en el actuador. Nótese que nunca se usará una sola acción de control derivativo, porque este control es efectivo durante periodos transitorios solamente.

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Figura 3-9. (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional derivativo; (b) y (c) diagramas que representan una entrada rampa unitaria y salida del controlador. Acción de control proporcional-integral-derivativo. La combinación de los efectos de acción proporcional, integral y derivativa, se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa. Esta combinación tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un control con esta acción de control es:

dttdedttetKpetu TKT

Kdp

t

i

p )()()()(0

++= ∫

y la función de transferencia es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= sT

TissEsU

dpK 11)()(

donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral, y Td es el tiempo derivativo. En la figura 3-10(a) se puede ver el diagrama de bloques de un controlador proporcional, integral y derivativo. Si e(t) es una rampa unitaria, como se ve en la figura 3-10(b), la salida del controlador u(t) resulta ser la que se muestra en la figura 3-10(c).

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Figura 3-10. (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo; (b) y (c) diagramas que representan una entrada rampa unitaria y la salida del controlador. Efectos del sensor (elemento de medición) en el comportamiento del sistema. Como las características dinámicas y estáticas del sensor o elemento de medición afecta la indicación del valor efectivo de la variable de salida, el sensor juega un papel importante en la determinación del comportamiento global del sistema de control. El sensor suele determinar la función de transferencia de la retroalimentación. Si la constante de tiempo del sensor son insignificantes en comparación con las constantes de tiempo de las demás componentes del sistema de control, la función de transferencia del sensor se convierte, simplemente, en una constante. La figura 3-11(a), (b) y (c) muestran diagramas a bloques de controladores automáticos con sensor de primer orden, sensor sobreamortiguado de segundo orden, y un sensor subamortiguado de segundo orden, respectivamente. La respuesta de un sensor térmico suele ser del tipo sobreamortiguado de segundo orden.

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Figura 3-11. Diagramas de bloques de controladores automáticos con (a) sensor de primer orden; (b) sensor de segundo orden sobreamortiguado; (c) sensor de segundo orden subamortiguado. Diagramas de bloques de sistema de control automáticos. Un diagrama de bloques de un sistema de control automático simple se puede obtener conectando la planta al controlador automático, como se muestra en la figura 3-12. La retroalimentación de la señal de control se realiza mediante el sensor. La ecuación que relaciona la variable de salida C(s) con la entrada de referencia R(s) y la variable de perturbación N(s) se puede obtener como sigue:

)()()()(1

)()(

)()()(1)()(

)(21

3

21

21 sNsHss

ssR

sHssss

sCGG

GGGGG

++

+=

En sistemas de control de procesos, generalmente lo que interesa es la respuesta a la perturbación de carga N(s). Sin embargo, en servosistemas, el mayor interés está en la respuesta a una entrada variable R(s).

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Figura 3-12. Diagrama de bloques de un sistema de control. CONTROLADORES HIDRÁULICOS. Excepto para los controladores neumáticos(páginas 203-223, del libro Katsuhiko Ogata, segunda edición) de baja presión, rara vez se ha utilizado el aire comprimido para el control continuo de movimiento en dispositivos de masa significativa bajo fuerzas de carga externa. Para tales casos, se prefiere los controladores hidráulicos generalmente. Sistemas Hidráulicos. Debido a diversos factores como su positividad, precisión, flexibilidad elevada relación entre potencia y peso, arranque rápido, rápida detención, inversión con suavidad y precisión, y simplicidad de operación, los circuitos hidráulicos tienen aplicación amplia en máquinas herramienta, sistemas de control en aeronaves y operaciones similares. La presión operativa en sistemas hidráulicos, está entre 145 y 5000 librasf/pulg2 (entre 1 y 35 Mpa). Ventaja y desventajas de los sistemas hidráulicos. En el uso de los sistemas hidráulicos en lugar de otros sistemas hay ciertas ventajas y desventajas. Algunas de las ventajas son:

1. El fluido hidráulico actúa como lubricante, además lleva el calor generado en el sistema a un intercambiador de calor adecuado.

2. Los accionadores hidráulicos pequeños comparativamente pueden desarrollar fuerzas o pares grandes.

3. Los accionadores hidráulicos tiene una velocidad de respuesta más agil, con arranques rápidos, detenciones e inversiones de velocidad.

4. Los accionadores hidráulicos pueden operarse sin sufrir daño en forma continua, intermitente, en reversa o frenado.

5. La disponibilidad de accionadores tanto lineales como rotativos brinda flexibilidad en el diseño.

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6. Debido a la baja pérdida de los accionadores hidráulicos, la caída de velocidad al aplicar cargas pequeñas.

Por otro lado, hay varias desventajas que limitan su aplicación.

1. No se dispone de la potencia hidráulica tan fácilmente como de la potencia eléctrica.

2. El costo de un sistema hidráulico puede ser superior al de un sistema eléctrico comparable que se realizará una función similar.

3. Si no se utilizan fluidos resistentes al fuego hay riesgo de incendio y explosión.

4. Como es muy difícil mantener un sistema hidráulico libre de fugas, el sistema tiende a ser sucio.

5. El aceite contaminado puede causar fallas en el funcionamiento correcto de un sistema hidráulico.

6. Como resultado de las no lineales y otras características complejas, el diseño de sistemas hidráulicos sofisticados es sumamente complejo.

7. En general los circuitos hidráulicos tiene características de amortiguación pobres. Si un circuito hidráulico no se diseña adecuadamente, pueden aparecer y desaparecer algunos fenómenos de inestabilidad, según las condiciones de operación.

Comentarios. Para asegurar que el sistema hidráulico sea estable bajo todas las condiciones de funcionamiento se requiere una particular atención. Como la viscosidad del fluido afecta mucho los efectos de amortiguamiento y fricción de los circuitos hidráulicos, las pruebas de estabilidad deben realizarse a temperaturas de operación lo más alto posible. Se debe tener en cuenta que la mayor parte de los circuitos hidráulicos no son lineales. Sin embargo, en ocasiones es posible alcanzar sistemas no lineales para reducir su complejidad, y permitir soluciones lo suficientemente precisas para la mayoría de las aplicaciones. Controles hidráulicos integrales. El servomotor hidráulico que aparece en la figura 3-27, consiste esencialmente en un actuador y un amplificador hidráulico de potencia controlado por una válvula piloto. La válvula piloto está balanceada en el sentido de que todas las fuerzas de presión que actúan sobre ella están equilibradas. Una gran salida de potencia se puede controlar con una válvula piloto, que puede colocarse en su posición con muy poca potencia. A continuación se mostrará que para el caso de una carga de masa demasiado pequeña, el servomotor que se ve en la figura 3-27 actúa como un integrado o como un controlador integral. El servomotor constituye la base del circuito de control hidráulico. En el servomotor que aparece en la figura 3-27, la válvula piloto (una válvula de cuatro vías) tiene dos posiciones en el cilindro. Si el ancho del asiento es menor que la compuerta en el cilindro de la válvula, se dice que la válvula está sublapada. Las válvulas sobrelapadas tiene un asiento que es mayor que la compuerta correspondiente. Se llama cero-lapada a la que tiene un ancho igual a la compuerta. (Si la válvula piloto no es una válvula cero-lapada, los análisis de los servomotores hidráulicos se hacen sumamente complicados).

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En este análisis, se supone que el fluido hidráulico es incomprensible y que la inercia del pistón de potencia y las cargas son insignificantes frente a la fuerza hidráulica en el pistón de potencia. Se presume también que la válvula piloto es una válvula cero-lapada, y que el fluido del aceite es proporcional al desplazamiento de la válvula. El funcionamiento de este servomotor hidráulico es el siguiente: si la entrada x desplaza la válvula piloto hacia la derecha, se destapa la compuerta I, de modo que entra aceite a alta presión hacia la derecha del cilindro del pistón. Como la compuerta II, está conectada a la compuerta de drenaje, el aceite que se encuentra al lado izquierdo del pistón de potencia retorna al drenaje. El aceite que penetra al cilindro de potencia se encuentra a alta presión; el que sale del cilindro de potencia hacia el drenaje, está a baja presión. La diferencia resultante en presiones a ambos lados del cilindro de potencia hace que éste se desplace hacia la izquierda. Nótese que el fluido de aceite q (kg/s), multiplicado por dt (seg.) es igual al desplazamiento del pistón de potencia dy (m) multiplicado por el área del pistón A (m2), multiplicado por la densidad ρ (kg/m3). Por lo tanto,

qdtdyA =ρ (3-21) En el supuesto de que el flujo de aceite q fuera proporcional al desplazamiento de la válvula piloto x, se tiene

xq K 1= (3-22) donde K1 es una constante positiva. De las ecuaciones (3-21) y (3-22), se obtiene

xdtdyA K 1=ρ

La transformada de Laplace de esta última ecuación, suponiendo condición inicial cero, es )()( 1 sXssYA K=ρ

o

sK

sAsXsY K ==

ρ1

)()(

donde K=K1/(Aρ). Así, el servomotor hidráulico de la figura 3-27 actúa como un control integral.

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Figura3-27. Servomotor hidráulico. Controladores hidráulicos proporcionales. Se ha demostrado que el servomotor de la figura 3-27 funciona como un controlador integral. Este servomotor se puede modificar para convertirlo en un controlador proporcional por medio de un enlace de retroalimentación. Considérese el controlador hidráulico que aparece en la figura 3-28 (a). El lado izquierdo de la válvula piloto está unido al lado izquierdo del pistón o cilindro de potencia por el enlace ABC. Este enlace es flotante en lugar de móvil alrededor de un punto pivote fijo. El controlador funciona del siguiente modo: si la entrada x muévela válvula piloto hacia la derecha, se abre la compuerta II, y fluye aceite a presión alta a través de la compuerta II, hacia el lado derecho del pistón de potencia, forzando el pistón hacia la izquierda. El pistón de potencia, al desplazarse por la izquierda, lleva consigo el enlace de retroalimentación ABC, desplazando así la válvula piloto hacia la izquierda. Esta acción continúa hasta que el pistón piloto cubre nuevamente las compuertas I y II. En la figura 3-8(b) se representa un diagrama de bloques del sistema. La función de transferencia entre Y(s) y E(s) está dada por

KabasbK

baa

sK

sK

bab

sEsY

++=

++

+=)(1)(

)(

Notándose que bajo las condiciones iniciales normales de operación se tiene |Ka/[s(a+b)]|>>1, esta última ecuación puede simplificarse a

K pab

sEsY

==)()(

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La función de transferencia entre x e y se convierte en una constante. Entonces el controlador hidráulico de la figura 3-28(a) actúa como un controlador proporcional, cuya ganancia es igual a Kp. Esta ganancia se puede ajustar modificando efectivamente la relación b/a. (En el diagrama a bloques no se muestra el mecanismo de ajuste). Así se puede ver que el agregar una palanca de retroalimentación hace funcionar al servomotor hidráulico como un controlador proporcional.

Figura 3-28. (a) Servomotor que actúa como controlador proporcional; (b) diagrama de bloques del servomotor. Obtención de la acción de control hidráulica proporcional e integral. En la figura 3-30 se muestra un controlador. La función de transferencia Y(s)/E(s) está dada por

11)(

)(

+++

+=

TsT

baKa

sK

bab

sEsY

En un controlador así, en operación normal de funcionamiento, |KaT/[(a+b)(Ts+1)]|>>1, con el resultado de

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ssEsY

TKi

p

11)()(

donde

,abK p =

kRATT i

ρ2

=

Así el controlador de la figura 3-30 es un controlador proporcional-integral.

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Figura 3-30. Diagrama de bloques del controlador. Obtención de la acción de control hidráulica proporcional y derivativa. En la figura 3-31 se representa el diagrama de un controlador hidráulico proporcional-derivativo. Para este sistema, téngase en cuenta que

)()( 12 PPAzyk −=−

Rq PP 12 −=

Adzqdt ρ= Por lo tanto,

dtdz

kRAzqR

kAzy ρ2

+=+=

o bien

11

)()(

+=

TssYsZ

donde

kRAT ρ2

En la figura 3-31 se puede ver un diagrama de bloques de este sistema. De este diagrama se puede obtener la función de transferencia Y(s)/E(s) como

111)(

)(

+++

+=

TssK

baa

sK

bab

sEsY

En operación normal, se tiene que |aK/[(a+b)s(Ts+1)]|>>1. Por tanto,

)1()()( TsK

sEsY

p +=

donde

,abK p =

kRAT ρ2

=

Así, el controlador que se puede ver en la figura 3-31 es un controlador proporcional-derivativo.

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Figura 3-31. Diagrama de bloques del controlador. EJEMPLO 1. Considérese el sistema de control de nivel de líquido que aparece en la figura 3-32 (la figura se encuentra en el libro de Ogata en la página 232, segunda edición). La válvula de entrada está controlada por un controlador hidráulico integral. Supóngase que el gasto o flujo de entrada en estado estacionario es Ǭ y que el gasto o flujo de salida en estado

estacionario es también Q, el nivel en estado estacionario es Ħ , el desplazamiento de la

válvula piloto en reposo es X=0, y la posición en reposo de la válvula es Ӯ . Supóngase que el punto de regulación Ř corresponde al nivel estacionario Ħ . El punto de regulación está fijo. Supóngase que en el tiempo t=0, al tanque de agua se le aplica una pequeña perturbación, consiste en una pequeña modificación del gasto de entrada qd. Esta perturbación hace que el nivel varíe de Ħ a Ħ +h. Esta modificación resulta en un cambio q0 del gasto de salida. El cambio a través del controlador hidráulico, produce un cambio del gasto de Ǭ a Ǭ + qi. (El controlador integral tiende a mantener constante el nivel en lo posible, ante la presencia de perturbaciones). Supóngase que todos los cambios consisten en modificaciones pequeñas.

Suponiendo que la salida es h y qd es la entrada, deducir un modelo matemático del sistema en el espacio de estado. Como el incremento de agua en el tanque durante dt segundos es igual al gasto neto de entrada al tanque durante los mismos dt segundos, se tiene

dtCdh qqq di)(

0++= (3-23)

donde

Rhq =

0 (3-24)

Para el mecanismo de la palanca de retroalimentación se tiene

hba

ax+

= (3-25)

Supóngase que la velocidad del pistón de potencia (válvula) es proporcional al desplazamiento de la válvula piloto x,

xKdtdy

1= (3-26)

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donde K1 es una constante positiva. También se supone que la modificación del gasto de entrada qi es proporcionalmente negativo al cambio de la apertura de la válvula y, o

yKq vi −= (3-27) donde Kv es una constante positiva. Ahora se tiene las ecuaciones para el sistema del siguiente modo. De las ecuaciones (3-23), (3-24), y (3-27), se tiene

dv qRhyK

dtdhC +−−= (3-28)

De las ecuaciones (3-25) y (3-26), se obtiene

hbaaK

dtdy

+= 1 (3-29)

Se definen las variables d estado x1 y x2 y la variable de entrada u como sigue: hx =1 yx =2

dqu = De las ecuaciones (3-28) y (3-29) se convierte en

..

21111 uC

xCKx

RCx v +−

−=

1

.·

12 x

baaKx+

=

Combinando las dos ecuaciones en una ecuación vectorial-matricial, se obtiene la ecuación de estado para el sistema.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤−

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

012

.

1

. 1CK

baaK

RC

x

xv

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

xx

uC⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

0

1 (3-30)

La ecuación de salida para el sistema cuando h es la salida, está dada por

[1=h (3-31) ]0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

xx

Las ecuaciones (3-30) y (3-31) dan un modelo matemático del sistema en el espacio de estado. Por conveniencia para visualizar la dinámica del sistema, en la figura 3-33 se muestra un diagrama de bloques del sistema. Nótese que la variable de estado x1 es la salida del elemento de atraso de primer orden (integrador), y que la variable de estado x2 es la salida del integrador.

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Figura 3-33. Diagrama de bloques del sistema de control de nivel de líquido considerado en el ejemplo 1. EJEMPLO 2. Considérese un nivel de líquido que se muestra en la figura 3-47 (ver en el libro de Ogata, página 246, segunda edición). Supóngase que el punto de regulación del controlador es fijo. Determinar el error suponiendo una perturbación escalón n0. Supóngase que n0 es pequeña y que también las variaciones de las variables, desde sus respectivos valores de estado estacionario. El controlador es proporcional. Si el controlador no es proporcional, sino integral, ¿cuál es el error en estado estacionario?. Solución. La figura 3-48 es un diagrama de bloques del sistema cuando el controlador es proporcional con ganancia Kp. (Se supone que la función de transferencia de la válvula neumática es la unidad). Como el punto de regulación es fijo, la variación del punto de regulación es cero, o X(s)=0. La transformada de Laplace de h(t) es

)(1

)(1

)( sNRCs

RsERCs

RKsH p

++

+=

Entones

)(1

)(1

)()( sNRCs

RsERCs

RKsHsE p

+−

+−=−=

De aquí

)(1

)( sNRKRCs

RsEp++

−=

como

snsN 0)( =

se obtiene

sRKRn

RCRK

sRKRn

sn

RKRCsRsE

p

o

pp

o

p

111

111

)( 0

+−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

=++

−=

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La solución de tiempo para t>0 es

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+= 1

1exp

1)( t

RCRK

RKRnte p

p

o

Así, la constante de tiempo es RC/(1+KpR). (En ausencia del controlador, la constante de tiempo es igual a RC). Al aumentar la ganancia del controlador, disminuye la constante de tiempo. El error en estado estacionario es

RKRne

p

o

+−=∞

1)(

Al aumentar la ganancia Kp del controlador, se reduce el error estacionario, o corrimiento. Así matemáticamente, cuanto mayor sea la ganancia Kp, menores serán el corrimiento y la constante de tiempo. No obstante, de hecho si se aumenta en forma excesiva la ganancia de Kp del controlador proporcional, puede haber oscilación en la salida porque el análisis se dejaron de lado los pequeños atrasos y constantes de tiempo que pueden darse en el sistema de control reales. (Si se incluyen estos pequeños retrasos y constantes de tiempo en el análisis, la función de transferencia se hace orden superior, y para los valores muy altos de Kp existe la posibilidad de oscilación o inclusive, de inestabilidad). Si el controlador es de tipo integral, suponiendo que la función de transferencia del mismo es

sKGc =

se obtiene

)()( 2 sNKRsRCs

RssE++

−= .

Para una perturbación escalón N(s)=no/s el error en estado estacionario es

0lim)(lim)( 2

2

=++

−==∞

sn

KRsRCsRsssEe o

0→s 0→s Así, un controlador integral elimina el error estacionario, o corrimiento causado por una perturbación escalón. (Hay que elegir un valor de K de modo que la respuesta transitoria a un comando de entrada y / o perturbación, se amortigüe a una velocidad razonable).

Figura 3-48. Diagrama de bloques del sistema de control de nivel de líquido.

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EJEMPLO 3. En la figura 3-53 (ver página 252 del libro de Ogata, segunda edición) se ve un controlador hidráulico a chorro. Por el tubo inyector se expulsa el fluido hidráulico. Si el tubo inyector se desplaza hacia la derecha de su posición neutral, el pistón de potencia se mueve hacia la izquierda, y viceversa. Esta válvula de tubo inyector no es tan utilizada como la válvula aleta, porque hay un flujo nulo grande, velocidad de repuesta más lenta y características más bien impredecibles. Su mayor ventaja radica en que es insensible a fluidos contaminados. Supóngase que el pistón de potencia está conectado a una carga liviana de modo que la fuerza de inercia del elemento de carga sea despreciable en comparación con la fuerza hidráulica desarrollada por el pistón de potencia. ¿Qué tipo de acción de control produce este controlador? Solución. Defina el desplazamiento de la tobera desde su posición neutra como x y al desplazamiento del pistón de potencia como y. Si la boquilla del chorro se mueve hacia la derecha un pequeño desplazamiento x, el aceite fluye hacia el lado derecho del pistón de potencia, en tanto que el lado izquierdo del pistón retorna al drenaje. El aceite que fluye hacia el cilindro de potencia está a presión alta; el aceite que retorna del cilindro de potencia al drenaje está a presión baja. La diferencia de presiones resultante hace que el pistón de potencia se desplace hacia la izquierda. Para un desplazamiento pequeño x de la boquilla de chorro, el gasto q del cilindro de potencia es proporcional a x, es decir,

xKq 1= . Para el cilindro de potencia,

qdtdyA =ρ donde A es el área del pistón de potencia y ρ es la densidad del aceite. De aquí

KxxAK

Aq

dtdy

===ρρ1

donde K=K1/ (Aρ)=constante. La función de transferencia Y(s)/X(s) es entonces

sK

sXsY

=)()(

El controlador produce la acción de control integral. EJEMPLO 4. Considérese el servosistema hidráulico que aparece en la figura 3-56 (ver el libro de Ogata en la página 255, segunda edición). Suponiendo que la señal e(t) sea la entrada y desplazamiento del pistón de potencia y(t) la salida, hallar la función de transferencia Y(s)/E(s).

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Solución. Suponiendo que |K1a1/[s(a1+a2)]|>>1 y |K2b1/[s(b1+b2)]|>>1, se obtiene:

1

2

1

21

21

2

21

11

1

21

2

1)()(

aa

aaa

aaa

aaa

sK

sK

aaa

sEsZ

=+

⋅+

=

+⋅+

⋅+

=⋅

⋅

1

32

21

3

21

321

)()(

)()(

aaa

aaa

sEsZ

aaaaa

sEsW +

=+

+⋅+++

=

1

21

2

21

1

2

1)()(

bbb

sK

bbbs

K

sWsY +

=⋅

++

=⋅

⋅.

De aquí,

( )( )11

2132

)()(

)()(

)()(

babbaa

sEsW

sWsY

sEsY ++

=⋅= .

Este servosistema es un controlador proporcional. BLIOGRAFIA: SISTEMAS DE CONTROL MODERNA KATSUHIKO OGATA PRINTECE HALL

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modos bsicos de control - · pdf filecontrol i ing. quirino jimenez d. figura 3-9. (a)...

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