Modelul liniar unifactorial

Modelul liniar unifactorial

Se cunosc urmtoarele date privind ncasrile medii lunare i suprafaa comercial a 10 societi comerciale avnd acelai profil de activitate:

Tabelul 1.

Suprafaa

comercial

(m2)203050608090100110120150

ncasrile

medii lunare

(mil. u. m.)0,50,70,81,01,11,31,41,61,82,1

Se cere:

a) s se specifice modelul econometric ce descrie legtura dintre cele dou variabile;

b) s se estimeze parametrii modelului i s se calculeze valorile teoretice ale variabilei endogene;

c) s se verifice ipotezele de fundamentare a metodei celor mai mici ptrate;

d) s se verifice semnificaiile estimatorilor i verosimilitatea modelului;

e) tiind c un antreprenor poate s cumpere o suprafa comercial de 130 m2, s se estimeze ncasrile medii lunare ale acestuia.Rezolvare:

a) Pe baza datelor problemei se poate construi un model econometric unifactorial de forma:

unde:

y - valorile reale ale variabilelor dependente;

x - valorile reale ale variabilelor independente;

u - variabila rezidual, reprezentnd influenele celorlali factori ai variabilei y, nespecificai n model, considerai factori ntmpltori, cu influene nesemnificative asupra variabilei y.

Analiza datelor din tabel, n raport cu procesul economic descris conduce la urmtoarea specificare a variabilelor:

y - ncasrile medii lunare, reprezentnd variabila rezultativ, ale crei valori depind de o mulime de factori - suprafaa comercial, amplasarea magazinului, reclama societii respective etc;

x - suprafaa comercial, factorul considerat prin ipoteza de lucru cu influena cea mai puternic asupra variabilei y.

Specificarea unui model econometric presupune, de asemenea, alegerea unei funcii matematice cu ajutorul creia poate fi descris legtura dintre cele variabile. n cazul unui model unifactorial, procedeul cel mai des folosit l constituie reprezentarea grafic a celor dou iruri de valori cu ajutorul corelogramei.

Figura 1. Legtura dintre ncasrile medii lunare i suprafaa

comercial

Din grafic se poate observa c distribuia punctelor empirice poate fi aproximat cu o dreapt. Ca atare, modelul econometric care descrie legtura dintre cele dou variabile se transform ntr-un model liniar unifactorial , a i b reprezentnd parametrii modelului, , panta dreptei fiind pozitiv deoarece legtura dintre cele dou variabile este liniar.

b) Deoarece parametrii modelului sunt necunoscui, valorile acestora se pot estima cu ajutorul mai multor metode, n mod curent fiind folosit ns metoda celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P.). Utilizarea acestei metode pornete de la urmtoarea relaie:

unde:

reprezint valorile teoretice ale variabilei y obinute numai n funcie de valorile factorului esenial x i valorile estimatorilor parametrilor a i b, respectiv i ;

estimaiile valorilor variabilei reziduale.

n mod concret, M.C.M.M.P. const n a minimiza funcia

Condiia de minim a acestei funcii rezult din:

Tabelul 2.

Nr.

crt.Suprafaa

comercial

(m2)ncasri medii

lunare

(mil.lei)

01 23456789

1200,5400100,485237210,01480,0002-0,73

2300,7900210,607326010,09270,0086-0,53

3500,82500400,8515961-0,05150,0026-0,43

4601,03600600,97364410,02640,0007-0,23

5801,16400881,21781-0,11780,0139-0,13

6901,381001171,339981-0,03990,00160,07

71001,4100001401,4620361-0,06200,00380,17

81101,6121001761,58418410,01590,00030,37

91201,8144002161,706215210,09380,00880,57

101502,1225003152,072547610,02750,00080,87

Total81012,380900118312,31529000,04130

Tabelul 2. (continuare)

101112131415161718

0,5329-610,0148-0,9056----44,53

0,2809-510,0927-4,72980,01480,00610,00020,001427,03

0,1849-31-0,05151,59560,09270,02080,0086-0,004813,33

0,0529-210,0264-0,5549-0,05150,00610,0026-0,00144,83

0,0169-1-0,11780,11780,02640,02080,0007-0,00310,13

0,00499-0,0399-0,3591-0,11780,00610,01390,00470,63

0,028919-0,0620-1,1780-0,03990,00050,00160,00253,23

0,1369290,01590,4609-0,06200,00610,0038-0,001010,73

0,3249390,09383,65770,01590,00610,00030,001522,23

0,7569690,02751,89540,09380,00440,00880,002660,03

2,32100,01480,0000-0,07680,04050,0024186,7

Estimarea parametrului :

(vezi calcule tabelul nr. 2.1.2., coloanele 1, 2, 3, 4).

Estimarea parametrului :

Dispunnd de estimaiile parametrilor se pot calcula valorile teoretice (estimate) ale variabilei endogene, , cu ajutorul relaiei:

(vezi tabelul 2, coloana 5).

Valorile variabilei reziduale vor rezulta din urmtoarea relaie:

(vezi tabelul 2, coloana 13).

Pe baza acestor valori se pot calcula abaterea medie ptratic a variabilei reziduale i abaterile medii ptratice ale celor doi estimatori, i :

(vezi tabelul 2, coloana 8)

unde:

k - numrul estimatorilor;

(vezi tabelul 2, coloana 6)

n urma acestor calcule, modelul econometric se poate scrie:

;

(0,0523) (0,0006)

n urma folosirii programului EXCEL s-au obinut urmtoarele rezultate:

SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsSemnif. ind.

Multiple R

Raportul de corelaie (R)0,9911

R Square

Coeficientul (gradul ) de determinare0,9822

Adjusted R Square

Valoarea ajustat a coeficientului de determinare0,9800

Standard Error

Abaterea medie ptratic a erorilor n eantion0,0718

Observations

Numrul observaiilor (n)10

ANOVA

Sursa de variaiedf

Nr. gradelor de libertateSSSuma ptratelor(Msura variaiei)MSMedia ptratelor(Dispersii corectate)FSignificance FPrag de semnif.

Regression (variaia

datorat regresiei)1

2,2797

2,2797

441,7857Fc0,0000