modelos matematicos
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1-“MODELOS MATEMATICOS EN FUNCIONES DE PRODUCCIÓN COSTO, INGRESO Y UTILIDAD”
1.1-Función de Producción:
La función de producción es la relación técnica entre la cantidad máxima de producto que se puede obtener con todas y cada una de las combinaciones de factores de producción (tierra, trabajo, factor tecnología y capital) empleadas en el proceso productivo
Podemos representar la función de producción mediante la formula Y = F(L,K)
En donde:(Y) Tasa de producción por unidad de tiempo(L) Flujo de servicios derivados de los acervos de capital por unidad de tiempo(K) Flujo de servicios de los obreros de la empresa por unidad de tiempo.
La cantidad de trabajo se determina en el mercado de trabajo, mientras que los recursos productivos se consideran fijos en corto plazo.
Representación Grafica:
1
X
Y
Producción
Cantidad de Trabajo
La pendiente de la curva es positiva pero decreciente: a mayor volumen de trabajo ira aumentando la producción pero un porcentaje cada vez menor.
Costos Variable
Costos Fijos
CT
O también podemos utilizar esta otra formula: CT = K + W1.X1 + W2.X2
En donde:CF ó K= Costos Fijos
W1.X1 + W2.X2 = Costos Variable
1.2-Función de Costo
Si el costo total “y” de producir y comercializar “x” unidades de un articulo se supone que están en una función de “x” solamente, entonces la función de costo se puede representar mediante la expresión y = f(x).
1.2.1 Costos Totales:Es la sumatoria del costo fijo y el costo variable. Representa el gasto monetario total mínimo para obtener cada nivel de producción. El costo total aumenta cuando aumenta la producción y esta constituidos por los costos fijos más los costos variables.
El costo total lo podemos calcular mediante la siguiente formula:
CT=CF + CVDonde:CT = Costo TotalCF = Costo FijoCV = Costo Variable
1.2.2-Costos Fijos:Son aquellos costos que permanecen constantes durante el proceso de producción, ya sea que el volumen de producción o de ventas varíe favorable o desfavorablemente, los costos fijos incluyen cosas tales como la renta de un edificio y el costo de la maquinaria, etc, estos costos son fijos durante un cierto
Y
Costos $
Y
Costos $
Cantidad de producción (Q) XCantidad de producción (Q) X
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periodo.
En este caso para saber cuales son los costos fijos no se hace referencia a ninguna formula o ecuación ya que como se menciono anteriormente estos no cambian su valor por lo tanto solo se representan por medio de la letra “K”, entonces podemos decir que:
CF=KDonde K= Costos fijos.
1.2.3-Costos Variables (CV):Son aquellos costos que varían en forma proporcional al variar el volumen de la producción o de ventas, es decir, que mantienen una relación directa con las cantidades de productos generados. Incluyen los salarios que se pagan a los obreros y la adquisición de materiales para la producción, etc.
CV=C=W1X1+W2X2
Donde:C = F(x)W=Costo de cada factor X= Cantidad de cada factor.
1.2.4-Costos MediosEs la relación entre el costo total y la producción. Representa el promedio de lo que cuesta producir cada unidad, es decir, mide el costo por unidad de producción.
Para poder calcular los costos medios hacemos uso de la siguiente formula:
CM= CT Q
Donde:CT = costo totalQ = unidades producidas.
El costo medio al igual que el costo total esta conformada por el costo fijo medio (CFMe) y el costo variable medio (CVMe).
1.2.5-Costos Variables Medios:Por unidad es la relación entre el costo fijo medio y el nivel de producción. Representa también la relación que entre mas produzca y venda una empresa mas se absorbe el costo fijo, pues se reparte entre un numero cada vez mayor de unidades, es decir que mide los costos fijos por unidad de producción.Matemáticamente podemos representar los costos fijos medios mediante la siguiente formula:
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CFQ
Donde: CF = costos fijos Q = unidades producidas.1.3-Función de Ingreso:
La función Y = I(x), donde x representa las unidades vendidas e Y la cantidad de dinero recibida, es conocido como función del ingreso total.
Ingreso total:El ingreso total de una empresa es igual a la renta total percibida por la empresa en pago por su producto. Podemos definir esto de la siguiente manera.
Ingreso Total=Precio * cantidad Producida.
1.4-Función de Utilidad
Es la diferencia entre ingreso y costosDenotada por p(x) :
P(x) = Ingreso - CostoP(x) = R(x) – C(x)
En el caso de que una empresa es proveedora de un determinado producto (Monopolio), y puede fijar precios de venta que desee para su producto. Con esta condición el volumen de venta esta determinado por el precio en que se ofrece el producto, a través de la ecuación de la demanda p como una función de P = f(x)Con esta condición la función de utilidad esta dada por
Y
Precio $
Cantidad de producción (Q) XCantidad de producción (Q) X
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IT = P * Q
Ingreso
P(x) = Ingreso – Costo
P(x) = I(x) – C(x) = p.x – c.x
o bienP(x) = x. f(x) – c(x)
2- “MODELOS MATEMÁTICOS DE FUNCIONES MARGINALES DE PRODUCCION:DE COSTOS INGRESO Y DE UTILIDAD”
2.1-Función de Producción Marginal.
Producto Marginal:El incremento en la producción que resulta del incremento de la cantidad de un insumo por una unidad más de producción permaneciendo iguales las cantidades de todos los otros insumos.
En términos más sencillos lo describiremos como el producto adicional que se obtiene con una unidad adicional.
Productividad MarginalSi la función de producción está dada por z = f(x, y) entonces la derivada parcial de z con respecto a x (manteniéndose constante y) es la productividad marginal de x o bien, la producción marginal de x; la derivada parcial de Z con respecto a y (con x con constante
La productividad marginal de y o bien a la producción marginal de y observamos que la productividad marginal de cada uno de insumos es la tasa de incremento de la producción (o producto) total a medida que crece dicho insumo suponiendo que la cantidad del otro insumo permanece constante.De ordinario, en un intervalo considerable, a productividad marginal con respecto a cualquier factor es positiva, es decir, a medida que uno de Los insumos crece (siendo constante la cantidad del insumo) también aumenta la producción. Sin embargo como un insumo crece por lo general manteniéndose constante el otro, la producción aumenta con tasa decreciente hasta alcanzar un punto en el cual no hay ningún incremento adicional de hecho, ocurre un descenso en la producción total a medida que se emplean unidades adicionales del factor productivo considerado este comportamiento característico de las funciones de producción se conoce como ley de la Productividad marginal eventualmente
Ejercicio 1Si la ecuación de producción de una empresa “X” esta constituida por la formula:
0.0002X3+10x
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Determinar:a) Función Marginal de producciónb) Determinar la producción cuando X = 50
Solución:
a) La Función Marginal es 0.0006X2+10
b) La producción cuando x= 50
f’(x) = 0.0006(50)2+10f’(x) = 11.5
La producción Marginal cuando la producción es x = 50 es igual a 11.5
Ejercicio 2Si la ecuación de producción de una empresa “La Cafetalera” esta constituida por la formula:
0.10X2+110xDeterminar:
a) Función Marginal de producciónb) Determinar la producción cuando X =72
Solución:
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a) La Función Marginal es 0.20x+110
b) La producción cuando x= 72
f’(x) = 0.10(72)2+110f’(x) = 628.4
La producción Marginal cuando la producción es x = 72 es igual a 628.4
2.2-Función de Costo Marginal.
Funciones de Costo marginal:En la economía la variación de una cantidad con respecto a otra se describe por un concepto medio o promedio, o por un concepto marginal. El concepto “ promedio “ expresa la variación de una cantidad sobre un intervalo especifico de valores de una segunda cantidad, mientras que el concepto “ marginal “ es el cambio instantáneo en la primera cantidad que resulta de un cambio muy pequeño en la segunda cantidad.
Los economistas emplean el término Costo Marginal para el limite del cociente en (1) cuando Δx tiende a cero, con la condición de que exista dicho limite. Así tenemos la definición de Costo Marginal.
Si C(x) es el valor o importe del costo total de la producción de x unidades de cierta mercadería, entonces el costo marginal cuando X=X1, esta dado por Ć(x1) si existe. La función Ć recibe el nombre de Función del Costo Marginal.
Así otro concepto de costo marginal podría ser:
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Definimos el costo marginal como el valor limite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos tiende a cero. Así podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por articulo extra cuando de efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Entonces entendemos el costo marginal como la derivada de una función de costo total correspondiente.
Interpretación.En esta definición, Ć(x1) se puede interpretar como la razón de cambio del costo cuando se producen x1 unidades multiplicado por x precio que se le asigna al artículo.
EJERCICIO N° 1:
Suponiendo que C(x) es él numero de dólares en el costo total de la manufactura de x juguetes.
Solución:
C(x) = 110 + 4x + 0.02x2
(a) La función del costo marginal es C´ y
C´(x) = 4 + 0.04x
(b) El costo marginal cuando x = 50 esta dado por C´(50) y
C´ (50) = 4 + 0.04 (50)
C´ (50) = $ 6
Por lo tanto, la intensidad de cambio del costo total, cuando se fabrican 50 juguetes, es de $ 6 por unidad.
Costo de fabricación de articulo número 51
C´(51) - C´(50)
C´(51) - C´(50) = 110 + 4x + 0.02x2
= [ 110 + 4(51) + 0.02(51)2] - [ 110 + 4(50) + 0.02(50)2]
= 366.02 – 360
costo real = $ 6.02
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Se observa que las respuestas del costo marginal cuando x = 50 y el costo de fabricación de la unidad 51 difiere por 0.02. Esta discrepancia es debida a que el costo marginal es la tasa instantánea de variación de C(x), con respecto a una variación de una unidad de x. En consecuencia, C´ (50) es el número aproximado de dólares del costo de fabricación de la unidad 51.
Gráficamente:
EJERCICIO N°2Una subsidiaria de la compañía electrónica Elektra fabrica una calculadora de bolsillo programable. La gerencia determino que el costo total diario de producción de estas calculadoras ( en dólares) esta dado por:
C(x) = 0.0001x3 – 0.08x2 + 40x + 5000
Donde X representa las calculadoras producidas.
a. Hallar la función de costo marginal
b. ¿ Cuál es el costo marginal cuando x = 200, 300, 400 y 600?
c. Interpretar los resultados.
Solución:
a. La función de costo marginal C´ esta dada por la derivada de la función de costo total C. Así:
C(x) =0.0003x2 – 0.16x + 40
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b. El costo marginal cuando x = 200, 300, 400 y600 esta dado por
C(x) =0.0003(200)2 – 0.16(200) + 40 = 20
C(x) =0.0003(300)2 – 0.16(300) + 40 = 19
C(x) =0.0003(400)2 – 0.16(400) + 40 = 24
C(x) =0.0003(600)2 – 0.16(600) + 40 = 52
$ 20, $ 19, $ 24, $ 52, respectivamente.
c. Los resultados de (b) muestran que el costo real de producción de la calculadora 200 es de unos $ 20. el costo real de una calculadora adicional cuando el costo total es de 300 piezas es de unos $ 19, aproximadamente etcétera. Observase que cuando el nivel de producción es de 600 el costo de una unidad adicional es de $ 52, aproximadamente. El costo mayor de la producción de esta unidad adicional cuando el nivel de producción es de 600 unidades puede surgir de varios factores, entre estos gastos excesivos por el tiempo extra o más mantenimiento, fallas en la producción debidas a mayor estrés y al esfuerzo de equipo, etcétera.
Gráficamente:
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2.3-Función de ingreso Marginal
Función de Ingreso Marginal:Es la variación que experimenta el ingreso cuando vendemos una unidad adicional.
El ingreso marginal proporciona la tasa de cambio de los ingresos con respecto a las unidades que se venden, es decir, el ingreso aproximado por la venta de una unidad adicional. Por lo que si r(x) representa la función de ingreso total, por la venta, por la venta de “ x “ artículos
La función de ingreso marginal se asocia con la función de ingreso R dada porR(x) = px
A donde x son las unidades vendidas de cierto articulo y p es el precio de venta unitario, sin embargo, en general, el precio unitario p de un articulo se relaciona con la cantidad x demanda del articulo. Esta relación, p = f(x), se llama ecuación de demanda. Al despejar p en la ecuación de demanda en términos de x, se obtiene la ecuación de precio unitario f, dada por
P = f(x)
Así la función de ingreso R esta dada porR(x) = px = xf(x)
Donde f es la función de precio unitario. La derivada R´ de la función R, llamada. Función de ingreso marginal. Mide la razón de cambio de la función de ingreso.
Ahora consideramos los ingresos derivados de la venta de los productos o servicios de una empresa. Si R(x) denota el ingreso en dólares por la venta de x artículos
Definimos el ingreso marginal como la derivada R´(x).Otro concepto podría ser
Es la función de ingreso total la cual simboliza por R, yR(x) = px
Como p y x son no negativas en circunstancias normales, también lo es R(x).Cuando X ≠ 0, de la ecuación anterior se obtiene.
R(x) / X = p
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La cual muestra que el ingreso por unidad (ingreso promedio) y el precio por unidad es iguales.
Ejercicio 1Suponga que la relación entre el precio unitario p en dólares y la cantidad demandada x del sistema de sonido de acrosonic esta dada mediante la ecuación.
P = -0.02x + 400 ( 0 ≤ x ≤ 20000 )
a. ¿ Cual es la función de ingreso de R ¿b. ¿ Cuál es la función de ingreso marginal R´?c. Calcular R´(2000) e interpretar los resultados.
Solución :
a. La función de ingreso R esta dada por.
R(x) = px
= x (-0.02x + 400)
= -0.02x2 + 400x ( 0 ≤ x ≤ 20000 )
b. La función de ingreso marginal R´ esta dada por
R´(x) = -0.04x + 400
c. R´(2000) = -0.04(2000) + 400
R´(2000) = -80 + 400
R´(2000) = $ 320
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Interpretación. Así el ingreso real por la venta del sistema 2001 es aproximadamente $320.
Ejercicio 2:Supongamos que R(x) dólares es el ingreso total que se obtiene por la venta de x mesa, y
R(x) = 300x – x2 / 2
a. La función de ingreso marginal es R´ y
R´(x) = 300 – x
b. El ingreso marginal cuando x = 40 esta dado por R´(40)
R´(x) = 300 – 40 = $ 260
Así la tasa de cambio del ingreso total cuando se vende cuarenta mesas se de $ 260 dólares por mesa.
Ingreso real por la venta de la mesa 41
R(41) – R(40) = [300x – 1/2x2 ]- [300x – 1/2x2 ]
=[300(41) – ½(41)2 ] - [300(40) – ½(40)2 ]
= 11,459.50 – 11,200.00
R(41) – R(40) = $ 259.5
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2.4-Función de Utilidad Marginal
Función de Utilidad Marginal:La utilidad de una empresa esta dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingresos es R(x) cuando se venden x artículos y si la función de costos es C(x) al producirse esos mismos artículos entonces la utilidad P(x) obtenida por producir y vender x artículos esta dada por.
P(x) = R(x) – C(x)
La derivada de P´(x) se denomina utilidad marginal representa la utilidad adicional por artículo si la producción sufre un pequeño incremento.En esta parte los ejemplos comprenden la función de ganancia donde R y C son funciones de ingreso y costo y x es el número de unidades de artículos producidas y vendidas la función de utilidad o ganancia marginal.
Interpretación.P´(x) mide la razón de cambio de la función de ganancia P y proporciona una buena aproximación de ganancia o perdida real resultante de la venta de la unidad numero ( x + 1 ) de artículos ( si ha vendido la unidad x ).
Ejercicio 1:Supóngase que el costo de producción de x unidades del sistema de sonido modelo F de acrosonic es
C(x) = 100x + 200000 dólares
a. ¿ Cuál es la función de ganancia de P?b. ¿ Cuál es la función de ganancia marginal?c. Calcular P´(2000) e interpretar el resultadod. Trazar la gráfica de la función de ganancia
Solución.
a. Como en la función de ingreso marginal se determino la función de ingreso:Y para seguir con la continuidad de ese ejercicio, entonces tenemos:
R(x) = -0.02x2 + 400xAsí la función de ganancia requerida p esta dada por.
P(x) = R(x) – C(x) = ( -0.02x2 + 400x ) – (100x + 200000)
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= -0.02x2 + 300x – 200000
b. La función de ganancia marginal P´ esta dada porP(x) = -0.04x + 300
P´(2000) = -0.04(2000) + 300 = 220Así, la ganancia real obtenida por la venta del sistema 2001 es aproximadamente $ 220
c. La gráfica sería de la siguiente manera
Ejercicio N° 2.
La ecuación de demanda de cierto articulo esP + 0.1x = 80
Y la función de costo C(x) = 5000 + 20x
Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades.
Solución:La función de ingreso esta dado por R(x) = xp = x(80 – 0.1x) = 80x – 0.1x2
Por consiguiente, la utilidad generada por la producción y la venta de x artículos esta dada por
P(x) = R(x) – C(x)
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= (80x – 0.1x2 ) – (5000 + 20x) = 60x – 0.1x2 - 5000
La utilidad marginal es la derivada de p´(x). Dado que P(x) es una combinación de potencias, usamos la formula de las potencias a fin de
Calcular su derivada; esta es
P(x) = 60x – 0.1x2 – 5000
Y solo se sustituye en
P´(x) = 60 – 0.2x
Para obtener la utilidad marginal, si x = 150, obtenemos
P´(x) = 60 – 0.2(150) =30
Así, pues cuando se producen 150 artículos la utilidad extra es de $30.
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3- “ANALISIS MATEMATICOS DE VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION: MINIMIZACION DE COSTOS, MAXIMIZACION DE INGRESOS Y UTILIDADES”.
3.1- Maximización de la Producción.
Para que se pueda calcular la maximización de la producción, explicaremos las
tres etapas de la producción y para ello nos apoyaremos en términos como:
producto medio, producto total y producto marginal, estudiados en el punto
anterior, a continuación explicaremos brevemente cada una de estas etapas.
Etapa I: es aquella en la cual el producto físico medio del insumo variable
está aumentado.
Etapa II: el producto físico medio esta disminuyendo, así como también, el
producto físico marginal, aunque este es aún positivo.
Etapa III: el producto físico medio continúa disminuyendo y también
disminuye el producto físico total porque el producto físico marginal es
ahora negativo.
Para una mayor comprensión definiremos que es insumo variable.
Insumo variable: es aquel cuya cantidad se puede variar casi al instante en que
se desea variar el nivel de producción.
Con esta definición se da por entendido que ningún empresario le seria
conveniente producir en la etapa III, ya que ahí es definitivamente desventajoso
emplear más del insumo variable. Entonces lo conveniente sería reducir la
cantidad del insumo variable para obtener un mayor producto físico total.
En la etapa I está aumentado el producto medio del factor variable, si la empresa
se encuentra en una industria competitiva nunca producirá en esta etapa, porque
al aumentar la producción puede reducir los costos y seguir recibiendo el mismo
precio por cada unidad adicional vendido y esto significa que los beneficios totales
vuelven a aumentar.
Por lo tanto podemos ver que la maximización de la producción se da en la etapa
II.
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• La decisión básica de toda empresa es sobre la cantidad a producir. Esta
dependerá del precio al que se pueda vender y del coste de producirla.
Este proceso de decisión es guiado por la maximización de beneficios.
Beneficios (B)= Ingresos Totales (IT) – Costes Totales (CT)
1ª condición dB/dX=0
2º condición d2B/dX2<0
Maximización de Beneficios
La producción de la mayor parte de los artículos en mercado requiere el uso de
por lo menos dos factores de producción. Por ejemplo: trabajo, tierra, capital,
materiales o má-quinas. Si la cantidad z de un cierto producto se obtiene
utilizando las cantidades x y y, respectivamente, de dos factores de la
producción, en tal caso la función de producción.
z =f(x, y)
ITCTB
X
ITI Mg
CMg
Pérdidas
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Proporciona la cantidad de producto (o producción) final z cuando se usan
simultáneamente las cantidades x y y de insumos, respectivamente. Para que
tal representación tenga significado en Economía, se supone que las
cantidades de los insumos pueden variar sin restricción alguna, por lo menos
en el intervalo que interesa, y que la función de producción es continúa.
3.2 Minimización de costosLos costos representan salidas de efectivo para la organización. La mayor parte de las empresas buscan el modo de reducirlas al mínimo.
La administración de inventario: un problema común de las organizaciones es determinar que cantidad de un artículo deberá conservarse en almacén. Para los minoristas el problema se relaciona a veces con el número de unidades de cada producto que ha de mantenerse en inventario. Para los productores consiste en decidir que cantidad de cada materia prima debe estar disponible. Este problema se identifica con un área o especialidad denominada control o administración de inventario. Por lo que respecta a la pregunta de cuanto "inventario" ha de conservarse el hecho de tener "demasiado poco o mucho inventario puede acarrear costos.
Un minorista de bicicletas motorizadas ha analizado los datos referentes a los costos, habiendo determinado una función de costo que expresa el costo anual de comprar, poseer y mantener el inventario en función del tamaño ( numero de unidades) de cada pedido de bicicletas que coloca. He aquí función de costo.Utilizando la técnica de Lagrang podemos demostrar que la igualdad de los cocientes PM/P surge como una condición necesaria para resolver el siguiente problema de minimización de costes:
Min. k K + P L L sujeta a F (K,L) = Q0K,L
Para hallar los valores de K y L que minimizan los costes formamos primero Lagrangiano:
£ = P k K + P L L + λ [ F (K,L) - Q0 ]
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Las condiciones de primer orden para encontrarse en un mínimo son:
Әr = P k + λ Ә f = 0ӘK Ә k
Әr = P L + λ ӘF = 0ӘK ӘL
yӘr = F (K,L) – Q0 = 0Әλ
Dividiendo la ecuación Әr = P k + λ Ә f = 0, por la Әr = P L + λ ӘF = 0 ӘK Ә k ӘK ӘL
Y reordenando los términos, tenemos que :
ӘF/ ӘK = ӘF/ ӘL , Pk PLUna alternativa de la técnica del Lagrangiano consiste en despejar a partir de la restricción de la función de producción K en función de L e introducir los resultados de nuevo en la expresión del costo total.
Ejercicio 1
Minimización de costo promedio por unidad. El costo total de la producción de q
unidades de cierto producto se describe por medio de la función:
C= 100000+1500q+0.2q²
Donde C es el costo total expresado en dólares. Determine cuantas unidades q
deberán fabricarse al fin de minimizar el costo promedio por unidad.
Solución:
El costo promedio por unidad se calcula dividiendo el costo total entre el numero
de unidades producidas. Por ejemplo si el costo total de la fabricación de diez
unidades de un producto es de $275, el costo promedio por unidad será de
$275/10 $27.50 así pues la función que presenta el costo promedio por unidad
en este ejemplo es:
C= F (q)=C=100000+1500+0.2q
q q
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La primera derivada de la función del costo promedio es:
F(q)= -100000q-²+0.2
Si f se hace =0,
0.2=100000
q²
O bien:
q² = 100000 = 500000
0.2
Al obtener la raíz cuadrada de ambos miembros se tiene un valor critico de:
q = 707.11 (unidades)
La naturaleza del punto critico se determina por medio de la prueba de la segunda
derivada:
F (q)= 200000q-3
= 200000
q3
F(707.11)= 200000
707.11³
=0.00056>0
Por tanto un mínimo relativo ocurre para F cunado q= a 707.11. Este costo
promedio mínimo por unidad es:
F(707.11) = 200000+1500+0.2 (707.11)
707.11
=141.42+1500+141.42=$1782.84
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Ejercicio2Se ha de construir un tanque con base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque tiene un costo de $10.00 dólares por metro cuadrado ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo de material?
PASO 1Las variables en el problema son las dimensiones del tanque y el costo de los materiales de construcción. El costo depende del área total de la base y de los lados los cuales determinan la cantidad de material usado en la construcción. Denotemos con x la longitud de un lado de la base y con y la altura del tanque. La cantidad que debe minimizarse es el costo total de materiales, que denotamos con C. PASO 2C es igual al área del tanque multiplicada por 10, que es el costo por unidad del are. La base es un cuadrado colado x, de modo que tiene un área igual ax . Cada lado es un rectángulo con dimensiones x y , y tiene u área xy. El área total de la base mas los cuatro lodos es por tanto x + 4xy. En consecuencia, escribimos.
PASO 3Observe la cantidad por minimizar esta expresada como una función de dos variables, de modo que necesitamos una relación entre xy y a a fin de eliminar una de estas. Esta relación se obtiene del requerimiento (establecido en el problema) de que el volumen del tanque debe ser de 4 metros cúbicos. El volumen es igual al área de la base por la altura, esto es, x y, y así tenemos la condición
x y = 4PASO 4Por al paso 3, y = 4/x, y asíC = 10[x + 4x(4/x)[ = 10[x + 16/x[
PASO 5Podemos derivar la última expresión y determinar los puntos críticos de C
dC = 10(2x – 16/x) = 20 (x - 8 /x) = 0 dxAsí, x – 8 / x = 0 y por tanto x = 8; es decir, x = 2La base del tanque debería tener en consecuencia un lado de dos metros de longitud.
22
La altura del tanque es ahora dada por
Y = 4 / x = 4 / (2) = 1
Es fácil verificar que d C / dx es mayor que 0 cuando x = 2, de modo que este valor de x representa un mínimo local de C
Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de máximos y mínimos es a las operaciones de empresas comerciales. Esto ocurre por una razón simple, es decir que una empresa selecciona su estrategia y nivel de operación en tal forma que maximice su utilidad.Así pues la administración de la empresa sabe como depende la utilidad de alguna variable que puede ajustarse, entonces elegirán el valor de tal variable de modo que produzca la máxima utilidad posible.
Consideremos el caso en que la variable a ajustar es el nivel de producción, x (el numero de unidades del producto de la empresa elaboradas por semana o por mes). Si cada una se vende a un precio P, el ingreso es R(x) = px. El costo de producir X artículos depende de X y se denota por C(x), la función de costo. Se sigue que la utilidad es una función de X dada por:P(x) = R(x) – C(x) = PX- C(x)
Deseamos elegir el valor de X que haga a P máxima En un primer termino abordemos el caso en que una pequeña empresa vende su producto en un mercado de libre competencia. En esta situación, el volumen de ventas X de esta empresa particular no afectara el precio del mercado para el articulo en cuestión. Podemos suponer que el precio P es constante, independiente de X, determinado por fuerzas económicas fuera de control de nuestra pequeña empresa. El ejemplo siguiente ilustra un problema de esta clase.
23
3.3-Maximización de los Ingresos.
Para comprender de una mejor manera la maximización del ingreso lo demostraremos a través de un ejemplo que se describirá a continuación.
Ej. La demanda del producto de una compañía varía según el precio que le fije al producto. La compañía ha descubierto que el ingreso anual R (expresado en miles de dólares) es una función del precio p (en dólares). En concreto.
R= f (p)=-50P2-500P
a) Determine el precio que debería cobrarse con objeto de maximizar el ingreso total.b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total anual?
Solución:
a) Es sabido que la función del ingreso es cuadrática y que su grafica es una parábola cóncava hacia abajo. En consecuencia el valor máximo de R ocurrirá en el vértice. La primera derivada de la función de ingreso es:
F’ (p) = -100P—500
Si se hace F’ igual a O-100P-500=0
-100 = -500
O un valor crítico ocurre cuandoP=5
Existe un punto critico en la grafica de F, y se presenta cuando p=5. Aunque sabemos que un máximo relativo ocurre cuando p = 5, verifiquemos formalmente esto por medio de la prueba de la segunda derivada:
F”(p)-100 Y F”(5)-l00<0
Por lo consiguiente, un máximo relativo ocurre en F cuando p=S.
b) El valor máximo de R se calcula sustituyendo p=5 en o sea.
F(5)=-50(52)—500(5)= -1250 -2500 = 1250.
24
Así pues, se espera que el ingreso total anual se maximice en $1250 (miles), es decir. $1.25 millones cuando la empresa cobre $5 por unidad.La grafica de esta función queda de esta manera.
3.4- Maximización de Utilidades Continuamos suponiendo que la meta de la empresa es la maximización de ganancias. Las ganancias se definen aquí como la diferencia entre ingresos totales y costos totales.
EI nivel de producción en el cual se maximizan las ganancias -EI enfoque IT CTDado que las ganancias se definen como IT-CT, la empresa que maximiza las ganancias en una industria perfectamente competitiva (0, en cualquier industria,
Vemos que las ganancias totales se maximizan ala tasa de producción de 11 o 12 por unidad de tiempo. La razón por la cual hay dos niveles de producción a los cuales se maximizan ganancias es que estamos trabajando con unidades discretas. En el caso continuo, habría solamente un nivel de producción al cual se maximizan ganancias. Para simplificar, podemos decir arbitrariamente que la empresa siempre escogerá el mayor de los dos niveles de producción a los cuales maximiza.
Ejercicio 1Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio $P cada uno. El costo de producir X artículos a la semana (en dólares) es
C(X) = 1000 + 6X – 0.003X + 10 X
25
¿Qué valor de X debemos seleccionar con el objetivo de maximizar las utilidades?El ingreso producido por la venta de X artículos a $6.00 cada uno es R(x) = 6x dólares Por consiguiente, la utilidad por semana es
P(x) = R(x) – C (x) = 6x – (1000 + 6x – 0.003x + 10 x ) = 1000 + 0.003x – 10 x
a fin de encontrar el valor mínimo de P, buscamos los puntos críticos en la forma usual y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos
P´(x) = 0.006x – (6 . 10 )xDe modo que P´´(0) = 0.006 mayor que 0 y p”(2000) = -0.006 mayor que 0
Así que x = 0 es un mínimo local de P(x), mientras que x = 2000 es un máximo local. Este último valor representa el nivel de producción en el que la utilidad es máxima.Este valor esta dado por
P(2000) = - 1000 + 0.003(2000)*2 – 10*-6 (2000)*3 = 3000O $3000 POR SEMANA
Se presenta una situación distinta en el caso de una gran empresa que en esencia es el único proveedor de un producto particular. En tal caso, la empresa controla o monopoliza el mercado y puede elegir el precio de venta que desee para el producto.
El volumen de venta esta determinado ahora por el precio al que se ofrece el producto (a través de la ecuación de demanda). Si escribimos la ecuación de demanda en la forma P = f(x), se sigue que la función de ingreso es xR = xp = xf(x). Luego, la función de utilidad es:
P (x) = Ingreso – Costo = xf(x) –C(x)
y X debe de elegirse de modo que maximice esta función
Definiciones sobre la fijación de los precios
El costo de producir x artículos por semana es
c(x) = 1000 + 6x – 0.003x^2 + 10^-6 x^3
26
En el caso del articulo en cuestión el precio en que x artículos pueden venderse por semana esta dado por la ecuación de demanda
p = 12 – 0.0015x
Determine el precio en que la utilidad es máxima El ingreso por semana es
R(x) = px = (12 – 0.0015x)x
Luego, la utilidad esta dada por
P(x) = R(x) –C (x) = (12x – 0.0015x^2) –(1000+6x-0.003x^2+10^-6x^3
= -1000+6x +0.0015x^2- 10-6x^3.
Con objeto de encontrar el valor máximo de p(x), hacemos p`(x) =0
P`(x) =6+0.003x-(3*10^-6)x^2=0
Cambiando signos, dividiendo entre 3 y multiplicando por 10^6 la ecuación completa, obtenemos x^2-100x-2*10^6=0. Podemos factorizar el lado izquierdo como (x-2000)(x+1000)=0
y así lo soluciones son x = 2000 o -1000. (Estas soluciones pudieron obtenerse también por medio de la formula cuadrática.) la raíz negativa no tiene importancia practica, de modo que solo necesitamos considerar x=2000. Con objeto de verificar que esta en realidad representa un máximo local de la fusión de utilidad, podemos comprobar que p``(20000)^0. Estoes fácil. P``(x) =0.003-(6*10^-6)x
p``(2000)=0.003-(6*10^-6)(2000)= -0.009
por tanto, el volumen de ventas de 2000 artículos por semana nos da la utilidad máxima. El precio por corresponde a este valor de x es
P=12 – 0.0015x = 12 – 0.0015(2000) = 9 Siempre, la utilidad, es la diferencia entre el ingreso y los costos: P`(x)=r(x)- c(x).
27
En consecuencia, suponiendo que todas las funciones son diferenciables,
P`(x)= R`(x) –c (x) Cuando la utilidad es máxima, p`(x)=0 y se sigue que R`(x) = c`(x).Este resultado representa una importante conclusión general con respecto a la operación de cualquier empresa: En el nivel de producción en que la utilidad es máxima, el ingreso marginal es igual al costo marginal.En un mercado de libre competencia en que muchas empresas elaboran productos similares a casi el mismo precio, el volumen de ventas puede incrementarse mediante la publicidad. Sin embargo, si se gasta demasiado dinero en publicidad el gasto excederá la ganancia en el ingreso por el incremento de las ventas. De nuevo el criterio que debe usarse para decidir cuanto emplear en publicidad, el gasto excederá la ganancia en el ingreso por el incremento de las ventas. De nuevo el criterio que debe usarse para decidir cuánto emplear en publicidad es que la ganancia debería ser máxima.
28
CONCLUSIÓNES
Se concluye que los valores máximos y mínimos en una función con
aplicaciones en la economía nos ayudan a determinar los factores de
producción y a determinar los beneficios de la maximización y la
minimización de las funciones con una variable económica. Con esto
pudimos entender que los valores de una función siempre dependerán de
los máximos y mínimos de una función ya sean decrecientes o crecientes.
Los bienes de consumo generan utilidades por lo tanto la relación entre
insumos y productos es la función de producción.
La optimización es lo que busca la economía ante cualquier problema
que se presente, entonces es encontrar el mejor resultado posible para
lograr una mejor utilidad.
29
Recomendaciones
1. Observar la predisposición de la curva de concavidad para ver cual será
su tendencia de una manera más simple.
2. La hacer uso de la aplicación de la derivación primero se trabaje con el
criterio de la primera derivada para encontrar los puntos máximos y
mínimos de una función.
3. Estudiar de una manera muy consiente para poder entender y
resolver matemáticamente los valores máximos y mínimos de una
función y saber interpretar los resultados.
4. Hacer énfasis de la importancia que tiene las aplicaciones de las
derivadas en problemas relativos administración y economía al
aplicarlas a problemas actuales de la vida real.
5. A los docentes que imparten la cátedra se recomienda explique un poco
o den una definición acerca de todos los temas para que los alumnos sepan
identificar los temas de investigación y así evitar confusiones con otros
métodos similares a la hora de realizar la investigación.
30
BIBLIOGRAFÍA
• Lardner, Robin.Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía.510, L321 Ej. 12
• Miller, Roger Le RoyMicroeconomía Moderna.330. M647 mi, Ej.2
• Sáenz Quiroga, Eladio.Matemáticas para Economistas.510, Sl27.
• Varían, HalrMicroeconomía Intermedia: Un enfoque actual.330.1 V299 Ej.1
• Wilber, Jean E.Matemáticas para Administración y Economía.510’ W373 Ej.11
• Frank S. BudnickMatemáticas.Aplicada para Administración. Economía y Ciencias Sociales.510—B927. Ej. 1.
• Jean E. WeberMatemáticas, para Administración y Economía. 4° Edición.
• Jagdish Arya Robin Lardner.Matemáticas aplicadas para Administración y Economía. 2a Edición.
31
ANEXOS
Ejemplo de Máximos y mínimos relativos.
Sea ahora la gráfica, en ella se pueden observar una serie de puntos donde nuestro ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más bajo del recorrido. Tiene, por tanto, sentido que intentemos clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos mínimos. Observar que en un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.
Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:
a) un máximo relativo si
b) un máximo absoluto si
32
c) un mínimo relativo si
d) un mínimo absoluto si
Determinación de máximos y mínimos. Problemas de optimización.
Veamos qué ocurre con la recta tangente a la gráfica de una función tanto en los máximos relativos como en los mínimos relativos, siempre tiene que ser paralela al eje X, y, por tanto, el ángulo que forma con dicho eje tiene que ser siempre cero. Como la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, en los extremos relativos la derivada de la función tiene que ser siempre cero.
Teorema 1.
Sea f una función definida en un intervalo entonces:
a) Si f es creciente entonces 0 f'.
b) Si f es decreciente entonces f' 0.
33
Teorema 2.
a) Si f'>0 entonces f es estrictamente creciente.
b) Si f'<0 entonces f es estrictamente decreciente.
Teorema 3.
Sea a un punto donde f es derivable, entonces, si a es un extremo relativo se tiene que f'(a)=0.
A éste mismo resultado se puede llegar teniendo en cuenta que en un extremo relativo la función tiene que cambiar el sentido del crecimiento y aplicando el teorema 1 se tiene que f'(a)=0. Observar que si f'(a)=0 no quiere decir que se tenga en a un extremo relativo.
Métodos para determinar los máximos y mínimos relativos.
A) Se obtienen los intervalos de monotonía y se estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. Si en uno de esos intervalos la función es creciente y en el siguiente decreciente, siendo el extremo común de los intervalos un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tenemos un máximo; si la función es decreciente y en el siguiente intervalo es creciente, siendo el extremo común del intervalo un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tenemos un mínimo. Los puntos en los que la función no sea continua tendremos que estudiarlos aparte.
B) El segundo método se basa en el hecho siguiente: supongamos que f'(a)=0 y que f''(a)<0, entonces por el teorema 2 se tiene que f' es estrictamente decreciente en un intervalo centrado en a y por tanto si x es punto de ese intervalo menor que a, como f'(a)=0 se tendrá que f'(x)>f'(a)=0 y por tanto la función para puntos menores que a es creciente; por otro lado si x es un punto de ese intervalo con x mayor que a, como f'(a)=0 y f'es decreciente se tiene que f'(x)<f'(a)=0 y por tanto para puntos mayores que a la función f es decreciente. Uniendo los dos resultados anteriores se tiene que en a la función tiene que tener un máximo. Razonando de forma similar en el caso de que f'(a)=0 y f''(a)>0 se tiene que en a hay un mínimo (Realizar el razonamiento como ejercicio). Se tiene entonces el:
34
Teorema 4.
i) Sea a un punto donde f es derivable con f'(a)=0 y f''(a)<0, entonces en a hay un máximo relativo.
ii) Sea a un punto donde f es derivable con f'(a)=0 y f''(a)>0, entonces en a hay un mínimo relativo.
Por tanto, para determinar los extremos relativos se calcula la segunda derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado tiene signo positivo se tiene un mínimo; si tiene signo negativo un máximo. Si el resultado sale cero no podemos afirmar nada y tendríamos que recurrir a la derivada tercera, si evaluando la derivada sale distinto de cero no es un extremo relativo, si por el contrario sale cero tendríamos que recurrir a la cuarta derivada y realizar el mismo proceso que con la segunda y así sucesivamente hasta que logremos clasificar ese punto.
En general en los problemas de optimización (problemas en los que se trata de hallar los máximos o mínimos de una función, los veremos sólo con ejercicios) se utiliza el método B) mientras que en la representación gráfica de funciones se utiliza el A).
Es claro, como se ve en las gráficas anteriores, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo.
Consecuencias 1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados. En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo.
2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0.
35
No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro. Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da. Así, en el punto (a,f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a).
36
Ciclo: II-2007
Grupo teórico: 7
Aula: 1
Asignatura: Matemática. II
Catedrático: Lic. Rodrigo Cruz Orellana León.
Tema: 1. utilizar modelos matemáticos en funciones de Producción. 2. Construcción de modelos matemáticos de funciones Marginales de producción. 3. análisis matemático de valores máximos y mínimos De una función, optimización de la producción.
Integrantes: Cuatro Alfaro, Denis Enmanuel. CA 07011 Moz Cárdenas, José Aníbal. MC 07038
Games Rosales, David Ernesto. GR 07079 Ramírez Bermúdez, Jonatan Alberto. RB 07033 Rodríguez, Ricardo Antonio GR05069Galiano Márquez, Carlos Mauricio GM03043
Norma Beatriz GZ06005
HACIA LA LIBERTAD, POR LA CULTURA
Ciudad Universitaria, 26 de Noviembre de 2007
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Facultad de C
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scuela de Econom
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e Matem
ática y Estadística.
Datos de Ubicación de la Cátedra
Datos de la Asignatura
Datos de los Realizadores
Introducción.
Hoy en día, las Empresas, independiente el giro a que se dediquen, no pueden
dejar de un lado la importancia que posee las Ciencias Matemáticas para
efectos de conocer todo lo relacionado con sus Ingresos, costos y hasta por
que no decirlo las Utilidades.
Es por eso que el presenta trabajo refleja la importancia que tienen las
fórmulas matemáticas en las Empresas que desean aplicar todo este
conocimiento matemático, para de esta forma tener una proyección más
racional de lo que se pretende hacer dentro de la misma organización.
Los Costos, todos los entes al momento de insertarse al proceso de
producción, siempre tiene que tener en cuenta el registro verídico de fuentes
de información de costos, puesto que estos reflejarán y determinarán incluso
los precios de venta de una artículo que se desea ofertar en el Mercado. Y así
se muestra en el presente Trabajo las fórmulas y Tipos de Costos que las
Organizaciones no pueden dejar sin tomar en cuenta.
Los Ingresos, esto como ya lo entendemos, son los que determinarán que la
empresa siga funcionando o no, puesto que si el ente no posee ingresos o no se
preocupa por estos, podría incluso ir en bancarrota , es por eso que
presentamos un estudio de cómo proyectar los ingresos en función de varios
determinantes.
38
Las Utilidades, como remuneración a la Capacidad Empresarial , la Ganancia
o Utilidad es de gran importancia para los empresarios conocerla , puesto
también que ésta determinará el futuro de la misma , ya que todo empresario
buscará tener un porción cada vez mayor a ésta, es por eso que también por
medio de las matemáticas se pueden proyectar y conocer las Utilidades de la
Organización.
De esta forma se invita al lector a que pueda conocer por medio de este
Trabajo lo anteriormente mencionado.
39
Objetivos.
1. Objetivo General.
Conocer la importancia que tiene en matemáticas, la necesidad de aplicaciones
de máximos y mínimos y análisis marginal; para aprender así, en base a
problemas matemáticos, a resolver dichos problemas para efectos de mejoras
en las Empresas.
2. Objetivos Específicos.
1- Identificar mediante la derivada en economía, como sacar el costo
promedio por unidad, el ingreso marginal, y otros.
2- Comprender la utilización de modelos matemáticos en función de
producción, costos, ingresos y utilidad.
3- Construir los modelos matemáticos de funciones marginales de
producción, de costos, de ingresos y de utilidad.
4- Aprender a resolver problemas de máximos y mínimos; hacer un
análisis matemático de optimización: maximización de la producción;
minimización de costos, maximización de ingresos y utilidades.
40
Índice.
Introducción.............................................................................................................. I
Objetivos.....................................................................................................................II
Desarrollo del Tema:
1. Modelos matemáticos en funciones de Producción, Costos, Ingresos y
utilidad.................................................................................................... 1
1.1. Función de producción........................................................................ 1
1.2. Función de costo................................................................................. 2
1.3. Función de ingreso.............................................................................. 4
1.4. Función de utilidad............................................................................. 4
2. Modelos matemáticos de funciones Marginales de Producción, de Costos, de
Ingresos y de Utilidad.................................................... 5
2.1. Función de producción marginal........................................................ 5
2.2. Función de costo marginal.................................................................. 7
2.3. Función de ingreso marginal.............................................................. 11
2.4. Función de utilidad marginal.............................................................. 14
3. Análisis matemáticos de valores máximos y mínimos de una
Función de Optimización de la producción..............................................................17
3.1. Maximización de la producción.......................................................... 17
3.2. Minimización de costos...................................................................... 19
3.3. Maximización de los ingresos............................................................. 24
3.4. Maximización de utilidades................................................................ 25
Conclusiones............................................................................................................. 29
Recomendaciones......................................................................................................30
Bibliografía.................................................................................................................31
Anexos……………………………………………....................................................32
41