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Modelos de estado

ÍNDICE

1. Introducción.

2. Métodos de las variables físicas.

2.1. Modelos de estado de algunos sistemas físicos.

3. Ecuaciones de estado de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales escalares.

3.1. Variables de fase.

3.2. Forma canónica de Jordan.

4. Sistemas lineales con parámetros variables.

5. Obtención de la función de transferencia a partir de las ecuaciones de estado.

5.1. Algoritmo de Leverrier.

6. Transformaciones lineales.

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MODELOS DE ESTADO

1. Introducción

Fijados los conceptos de estado y variables de estado de un sistema y mostrada la representación matricial de las ecuaciones de estado, parece lo más oportuno estudiar la manera de obtener la ecuación de estado de un sistema determinado, cuando el comportamiento dinámico de este viene descrito por una ecuación diferencial o por su función de transferencia. En tal caso, se presenta como objetivo más inmediato la selección y definición de las variables de estado x1, x2, …xn que han de describir el estado del sistema en un instante determinado.

Como ya se indicó en secciones precedentes, la selección de un conjunto de variables de estado o vector de estado no es un proceso único. Para un sistema dado, existen infinidad de conjuntos posibles de variables de estado. Sin embargo, todos los conjuntos posibles han de estar constituidos por el mismo número de variables de estado y las variables definidas han de ser totalmente independientes. Entendiendo por variable independiente aquella cuyo valor no puede ser expresado en función de las restantes variables; lo que implica que los valores iniciales de cada una de las variables de estado elegidas puedan ser asignados con entera libertad.

Por ejemplo, en un sistema como el representado en la figura 3.1 podrían tomarse como variables de estado la velocidad �̇�(𝑡)de la masa 𝑀 y la fuerza en el muelle 𝑘𝑦(𝑡); no podría tomarse la fuerza en el muelle y el desplazamiento 𝑦(𝑡) de la masa, ya que la primera es igual al segundo multiplicado por la constante 𝐾. Otra alternativa válida sería tomarse como variables de estado des sistema la velocidad �̇�(𝑡) y el desplazamiento𝑦(𝑡) de la masa.

La selección de las variables de estado para describir adecuadamente el comportamiento de un sistema en estudio no es una tarea simple; por el contrario, requiere una experiencia e intuición personal que complementadas con la aplicación de los conceptos

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generalizados, debe conducir a la determinación de la forma más adecuada de agrupamiento del sistema para conseguir una selección clara y eficaz de sus variables de estado.

Entre los diversos métodos generales que existen para la selección de las variables de estado de un sistema y la consiguiente determinación de sus ecuaciones de estado, pueden considerarse como los más utilizados el método de las variables físicas, el de las variables de fase y el de las variables canónicas de Jordan; todos ellos serán tratados y desarrollados en apartados sucesivos.

2. Método de las variables físicas

En el método de las variables físicas también conocido como método directo, la selección de las variables de estado se realiza basándose en los elementos almacenadores de energía existentes en el sistema.

Para un grupo bastante importante de sistemas físicos, existe una relación directa entre la dinámica del sistema y el concepto de energía. Toda transición o cambio dinámico del sistema se realiza, básicamente, a través de un proceso de redistribución de la energía existente. La energía aparece en un sistema en diversas formas físicas y puede ser transformada de una forma física a otra, con o sin pérdidas. Un sistema de regulación puede ser considerado como un dispositivo generador de un proceso de redistribución de energía que consigue la transformación de la energía almacenada en una forma determinada, en otra almacenada en forma diferente, según un plan previsto. En el proceso descrito queda excluida la transmisión de energía en forma instantánea, ya que ello requeriría el desplazamiento de cantidades finitas de energía en un tiempo nulo, lo que es físicamente imposible. Así pues, todos los cambios energéticos que se realicen dentro del sistema deberán efectuarse en un tiempo finito; lo que implica que el proceso de redistribución de la energía dentro del sistema ha de realizarse en un tiempo determinado (no nulo). Por ello, el estado de un sistema no podrá variar bruscamente; es decir, una cantidad finita en un tiempo infinitesimal, ante una señal de entrada finita 𝑢(𝑡).

En un sistema físico puede seleccionarse como variable de estado la magnitud física de la ecuación energética correspondiente a cada elemento almacenador de energía, independiente, incluido en el mismo; el número de estos últimos determina la complejidad del sistema. En algunos sistemas puede ser necesario definir más variables de estado que las procedentes de las ecuaciones energéticas, tal como se verá en algún ejemplo. De todas formas, el número de variables de estado seleccionadas deberás ser igual al orden de la ecuación diferencial que define el comportamiento del sistema, cuando se trata de sistemas con una entrada y una salida.

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En el ejemplo de la figura 3.2 a) hay tres elementos almacenadores de energía: una masa y dos muelles. Sin embargo, sólo existen dos que sean independientes: la masa y un muelle de constante elástica 𝐾𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2, tal como se muestra en el sistema equivalente de la figura 3.2 b). La energía puede ser almacenada en dos formas: como energía potencial en el muelle (𝐾𝑒𝑞𝑦2/2), o como energía cinética en la masa (𝑚𝑣2/2). El sistema es, pues, de segundo orden y basta con dos variables de estado para describir su comportamiento dinámico. Como variables de estado podrían tomarse, el desplazamiento 𝑦(𝑡) de la masa 𝑀 y la velocidad de desplazamiento de ésta, �̇�(𝑡), puesto que ambas pueden ser especificadas en forma totalmente independiente. En el sistema de la figura 3.2 c) pueden fijarse cuatro puntos independientes de almacenamiento de energía (dos de energía cinética y otros dos de energía potencial). El sistema resulta de cuarto orden, requiriéndose cuatro variables de estado para su descripción.

2.1. Modelos de estado de algunos sistemas físicos

En este apartado se trata de obtener, de forma directa, las ecuaciones de estado de algunos de los elementos o componentes físicos más comúnmente utilizados en los sistemas de regulación automática. El método directo o de las variables físicas resulta especialmente útil cuando se tratan de sistemas lineales, definidos, como es sabido, por ecuaciones algébricas y ecuaciones diferenciales lineales.

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Sistema eléctrico

Sea el sistema eléctrico representado en la figura 3.3, cuya dinámica ha de ser controlada por los dos generadores de tensión 𝑢𝑒1 y 𝑢𝑒2. El estado del sistema será, pues, controlado por el vector de fuerza de control.

𝑢(𝑡) = �𝑢1𝑢2� ≡ �

𝑢𝑒1(𝑡)𝑢𝑒2(𝑡)�(3.1)

Los elementos independientes capaces de almacenar energía en el sistema son las dos bobinas y el condensador; las primeras en forma de energía electromagnética 𝐿𝑖2/2 y el segundo como energía electrostática 𝐶𝑢𝑐2/2. Por poder asignarse valores independientes a las corrientes 𝑖1(𝑡) e 𝑖2(𝑡) que circulan a través de las bobinas y a la tensión 𝑢𝑐(𝑡) existente en el condensador, puede considerarse el conjunto como un sistema de tercer orden en el que se tomen como variables de estado las mencionadas 𝑖1, 𝑖2 y 𝑢𝑐, que son fácilmente medibles y tienen un claro significado físico. Así pues, se tendrá

𝑥(𝑡) = �𝑥1𝑥2𝑥3� ≡ �

𝑖1(𝑡)𝑖2(𝑡)𝑢𝑐(𝑡)

� (3.2)

Las ecuaciones que caracterizan el comportamiento físico del sistema son

𝑢𝑒1(𝑡) = 𝑅𝑖1(𝑡) + 𝐿1𝑖1(𝑡) + 𝑢𝑐(𝑡) (3.3)

𝑢𝑒2(𝑡) = 𝐿𝑖2(𝑡) + 𝑢𝑐(𝑡)(3.4)

�̇�𝑐(𝑡) = 1𝑐

[𝑖1(𝑡) + 𝑖2(𝑡)] (3.5)

Introduciendo las relaciones 𝑥1 = 𝑖1(𝑡), 𝑥2 = 𝑖2(𝑡), 𝑥3 = 𝑢𝑐(𝑡) y haciendo operaciones resulta

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�̇�1 = − 𝑅𝐿1𝑥1 −

1𝐿1𝑥3 + 1

𝐿1𝑢1 (3.6)

�̇�2 = − 1𝐿2𝑥3 + 1

𝐿2𝑢2 (3.7)

�̇�3 = 1𝐶𝑥1 + 1

𝐶𝑥2 (3.8)

La ecuación de estado correspondiente será:

�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (3.9)

Con los siguientes valores de las matrices A y B

𝐴 =

⎣⎢⎢⎢⎡−

𝑅𝐿1

0 − 1𝐿1

0 0 − 1𝐿2

1𝐶

1𝐶

0 ⎦⎥⎥⎥⎤𝐵 = �

1𝐿1

0

0 1𝐿2

0 0

� (3.10)

Si se considera como salida la tensión 𝑢𝐿1(𝑡)existente en la bobina 𝐿1se tendrá, a partir de (3.3), que

𝑢𝐿1(𝑡) = 𝐿1𝑖1(𝑡) = −𝑅𝑖1(𝑡) − 𝑢𝑐(𝑡) + 𝑢𝑒1(𝑡)(3.11)

y haciendo𝑢𝐿1(𝑡) = 𝑦

𝑦 = −𝑅𝑥1 − 𝑥3 + 𝑢1(3.12)

que puede ponerse en la forma

𝑦 = [−𝑅 0 −1] �𝑥1𝑥2𝑥3� + [1 0] �

𝑢1𝑢2�(3.13)

correspondiente a la expresión general

𝑦(𝑡) = 𝑐𝑥(𝑡) + 𝑑𝑢(𝑡)(3.14)

con

𝑦 = 𝑦𝑐 = [−𝑅 0 −1]𝑑 = [1 0](3.15)

Sistema hidráulico

Sea el sistema hidráulico representado en la figura 3.4, consistente en dos depósitos D1 y D2 de superficie transversal A1 y A2, llenos de agua a niveles h1 y h2 y con dos válvulas de paso de resistencia hidráulica R1 y R2. Sea la señal de entrada el caudal

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qeaportado por la conducción hidráulica al primer depósito y la señal de salida el caudal q1 que circula por la válvula de salida del mismo depósito D1.

En el sistema existen dos elementos independientes almacenadores de energía: los dos depósitos. Servirán, pues, dos variables de estado para definir el comportamiento dinámico del sistema. El sistema será de segundo orden y sus ecuaciones físicas resultan de las siguientes relaciones (sistema linealizado):

𝑞1(𝑡) = 1𝑅1

[ℎ1(𝑡) − ℎ2(𝑡)]𝑞2(𝑡) = 1𝑅2ℎ2(𝑡)(3.16)

𝑞𝑒(𝑡) − 𝑞1(𝑡) = 𝐴1ℎ1(𝑡)𝑞1(𝑡) − 𝑞2(𝑡) = 𝐴2ℎ2(𝑡)(3.17)

Introduciendo las relaciones x1=h1(t), x2=h2(t), u=qe(t), y=q1(t) y operando, resulta de (3.16) y (3.17)

�̇�1 = − 1𝑅1𝐴1

𝑥1 + 1𝑅1𝐴1

𝑥2 + 1𝐴1𝑢(3.18)

�̇�2 = 1𝑅1𝐴1

𝑥1 −𝑅1 +𝑅2𝑅1𝑅2𝐴2

𝑥2(3.19)

𝑦 = 1𝑅1𝑥1 −

1𝑅1𝑥2(3.20)

La ecuación de estado será

�̇�(𝑡) = �− 1

𝑅1𝐴1

1𝑅1𝐴1

− 1𝑅1𝐴1

− 𝑅1 +𝑅2𝑅1𝑅2𝐴2

� 𝑥(𝑡) + �1𝐴10� 𝑢(𝑡)(3.21)

y la de salida

𝑦(𝑡) = �1𝑅1

− 1𝑅1� 𝑥(𝑡)(3.22)

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Sistema electromecánico

Sea el sistema electromecánico representado en la figura 3.5, correspondiente a un motor de corriente continua controlado por inducido.

La ecuación que define el comportamiento del circuito inductor, como es sabido, presenta la forma

𝑢𝑖(𝑡) = 𝑅𝑖𝑖𝑖(𝑡) + 𝐿𝑖𝑖𝑖(𝑡) + 𝐾𝑏𝜔𝑚(𝑡)(3.23)

y la ecuación mecánica

𝑃𝑚(𝑡) = 𝐾𝑝𝑖𝑖(𝑡) = 𝐽�̈�(𝑡) + 𝐵�̇�(𝑡) = 𝐽�̇�𝑚(𝑡) + 𝐵𝜔𝑚(𝑡)(3.24)

siendo:

𝐾𝑏𝜔𝑚(𝑡)= f.c.e.m inducida en el rotor (proporcional a la velocidad angular)

𝐾𝑝𝑖𝑖(𝑡)= par desarrollado en el motor

J= momento de inercia de la parte móvil

B= coeficiente de rozamiento viscoso

𝜔𝑚(𝑡)= velocidad angular del motor

𝜗(𝑡)= ángulo de giro del eje del motor.

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Existen dos elementos acumuladores de energía en el sistema: la bobina de inductancia L y la parte móvil con momento de inercia J. Pueden, pues, seleccionarse dos variables de estado, x1= 𝜔𝑚(𝑡) y x2=𝑖𝑖(𝑡). Como señal de entrada se tomará u=ui(t) y como señal de salida𝑦 = 𝜔𝑚(𝑡) . Las ecuaciones (3.24) y (3.23) quedarían en la forma:

�̇�1 = −𝐵𝐽𝑥1 + 𝐾𝑝

𝐽𝑥2(3.25)

�̇�2 = −𝐾𝑏𝐿𝑖𝑥1 −

𝑅𝑖𝐿𝑖

+ 1𝐿𝑖𝑢(3.26)

siendo la ecuación de estado

�̇�(𝑡) = �− 𝐵

𝐽𝐾𝑝𝐽

− 𝐾𝑏𝐿𝑖

− 𝑅𝑖𝐿𝑖

� 𝑥(𝑡) + �01𝐿𝑖� 𝑢(𝑡)(3.27)

La ecuación de salida será

𝑦(𝑡) = [1 0]𝑥(𝑡)(3.28)

Si se desease obtener, como señal de salida la posición angular 𝜗(𝑡)del motor, sería necesaria otra ecuación diferencial más,�̇�(𝑡) = 𝜔𝑚(𝑡), con lo que se iría a un sistema de tercer orden que requeriría la definición de una nueva variable de estado𝑥3 =𝜗(𝑡).

3. Ecuaciones de estado de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales escalares

En la descripción de sistemas dinámicos lineales mediante modelos matemáticos se llega, de forma general, a ecuaciones diferenciales escalares de tipo

(𝑛)𝑦 + 𝑎𝑛−1 (𝑛−1)

𝑦 + … 𝑎1�̇� + 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑛 (𝑛)𝑢 + 𝑏𝑛 (𝑛−1)

𝑢 + … 𝑏1�̇� + 𝑏0𝑢(3.29)

donde𝑦 = 𝑦(𝑡) es la señal de salida y 𝑢 = 𝑢(𝑡) es la señal de entrada. Cuando se realiza el análisis o síntesis de estos sistemas en el espacio de estado, la expresión (3.29) no resulta adecuada; por lo que ha de ser transformada en otra matricial del tipo �̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡), que es la idónea para dicho tipo de representación. En este apartado se tratará la forma de obtener ecuaciones de estado a partir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, como la expresada en (3.29).

Desde luego, si la ecuación diferencial de de orden n, la ecuación de estado incluirá n variables de estado, definidas mediante n ecuaciones diferenciales de primer orden; cualquiera de los coeficientes aio bide (3.29) podrá ser cero. Por otra parte, es sabido que el número de conjuntos variables de estado que pueden describir el comportamiento de un sistema es infinito, lo que plantea el problema de seleccionar algunos de los más convenientes. En este sentido, existen grupos ya acreditados de

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variables de estado que facilitan la resolución de la ecuación de estado que facilitan la resolución de la ecuación de estado y conducen a matrices A, B, C y D, relativamente sencillas y significativas. Ello permite imaginar, con rapidez, el tipo de sistema que se está tratando desde el punto de vista de las técnicas de regulación automática, así como obtener algunos de sus parámetros en forma inmediata.

3.1 Variables de fase

En primer lugar, se va a considerar el caso especial de un sistema en cuya ecuación diferencial general se da la circunstancia de que𝑏𝑛 = 𝑏𝑛−1 = ⋯ = 𝑏1 = 0 y𝑏0 = 1. Se trata, pues, de un sistema cuya señal excitadora no contiene términos que incluyan derivadas de la señal de entrada. La ecuación (3.29) quedaría de la siguiente forma:

(𝑛)𝑦 + 𝑎𝑛−1 (𝑛−1)

𝑦 + … 𝑎1�̇� + 𝑎0𝑦 = 𝑢(3.30)

Tomando como variables de estado la variable 𝑦(𝑡) y sus (𝑛 − 1) derivadas respecto del tiempo, se obtendrá el siguiente conjunto de 𝑛 variables de estado

𝑥1 = 𝑦

𝑥2 = �̇�

… … …

𝑥𝑛 = (𝑛−1)𝑦

𝑥 = �

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

� (3.31)

con lo que la ecuación (3.30) puede expresarse mediante las relaciones:

�̇� = �

�̇�1�̇�2⋮�̇�𝑛

�

�̇�1 = 𝑥2

�̇�2 = 𝑥3 (3.32)

… … …

�̇�𝑛 = −𝑎0𝑥1 − 𝑎1𝑥2 − ⋯− 𝑎𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑢

o puesta en forma matricial convencional

�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)

�̇�(𝑡) =

⎣⎢⎢⎢⎡

0 1 … … 00 0 0 0⋮0−𝑎0

⋮0−𝑎1

… … 1−𝑎𝑛−1⎦

⎥⎥⎥⎤𝑥(𝑡) +

⎣⎢⎢⎢⎡00⋮⋮1⎦⎥⎥⎥⎤𝑢(𝑡)(3.33)

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La ecuación de salida será

𝑦(𝑡) = 𝑐𝑥(𝑡) = [1 0 0 … 0]𝑥(𝑡)(3.34)

Veamos, seguidamente, el caso en que el sistema venga descrito por la ecuación (3.29) completa. En esta ocasión el conjunto de y (t) y sus (n-1) derivadas no sería válido como variables de estado, debido a que entre las n ecuaciones diferenciales de primer orden resultante

�̇�1 = 𝑥2

�̇�2 = 𝑥3(3.35)

⋯⋯⋯

�̇�𝑛 = −𝑎0𝑥1 − 𝑎1𝑥2 −⋯− 𝑎𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑏𝑛(𝑛)𝑢

+ 𝑏𝑛−1(𝑛 − 1)

𝑢+ … + 𝑏0𝑢

la última contiene términos en los que aparecen derivadas de la función u(t); lo que no está de acuerdo con la forma normalizada de la ecuación de estado, en la que interviene únicamente la señal de entrada u(t) y no sus derivadas. Esta última circunstancia es muy importante, pues en numerosas aplicaciones la señal de entrada es discontinua (función de tipo escalera por ejemplo), lo que origina que su primera derivada o las de orden superior, en un sentido estricto, sean inexistentes; por ello es preferible evitarlas. Realmente la sencillez de la descripción de los sistemas dinámicos en el espacio de estado se apoya, en gran medida, en este hecho. Para conseguir tal fin se pone la ecuación (3.29) en la forma

𝑦(𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑝𝑛−2 + …𝑎1𝑝 + 𝑎0) = 𝑢(𝑏𝑛𝑝𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑝𝑛−1 + 𝑏1 𝑝 + 𝑏0)

(3.36)

donde, 𝑝, representa el operador 𝑝 = 𝑑 𝑑𝑡⁄ .

Introduciendo la expresión

𝐷(𝑝) = 𝑝𝑛 − 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + … 𝑎1𝑝 + 𝑎0(3.37)

resulta

𝑦 = 𝑏01

𝐷(𝑝)𝑢 + 𝑏1𝑝

𝐷(𝑝)𝑢 + … + 𝑏𝑛−1𝑝𝑛−1

𝐷(𝑝) 𝑢 + 𝑏𝑛𝑝𝑛

𝐷(𝑝)𝑢(3.38)

Seleccionando como variables de estado

𝑥1 =1

𝐷(𝑝)𝑢

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𝑥2 =𝑝

𝐷(𝑝)𝑢

𝑥𝑛−1 = 𝑝𝑛−2

𝐷(𝑝) 𝑢(3.39)

𝑥𝑛 =𝑝𝑛−1

𝐷(𝑝)𝑢

Se obtienen las siguientes relaciones

�̇�1 = 𝑥2

�̇�2 = 𝑥3

�̇�𝑛−1 = 𝑥𝑛

�̇�1 = 𝑥2

�̈�1 = 𝑥3 (3.40)

(𝑛 − 1)𝑥1

= 𝑥𝑛

De la primera ecuación de (3.39) resulta

𝑥1 = 1𝐷(𝑝)𝑢 = 1

𝑝𝑛+𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1+ …𝑎1𝑝+ 𝑎0𝑢(3.41)

o sea

𝑥1𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1𝑥1 + … 𝑎1𝑝𝑥1 + 𝑎0𝑥1 = 𝑢(3.42)

equivalente a

(𝑛)𝑥1

+ 𝑎𝑛−1(𝑛 − 1)𝑥1

+ 𝑎𝑛−2(𝑛 − 2)𝑥

+ … + 𝑎1�̇�1 + 𝑎0𝑥1 = 𝑢

teniendo en cuenta (3.40) resulta

�̇�𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−1 + … + 𝑎1𝑥2 + 𝑎0𝑥1 = 𝑢(3.43)

De esta ecuación con (3.41) se obtiene finalmente

�̇�1 = 𝑥2

�̇�2 = 𝑥3

⋮(3.44)

�̇�𝑛−1 = 𝑥𝑛

�̇�𝑛 = −𝑎0𝑥1 − 𝑎1𝑥2 − ⋯− 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑢

La ecuación de salida se obtiene a partir de la ecuación (3.38), introduciendo las relaciones incluidas en (3.39); así resulta

𝑦 = 𝑏0𝑥1 + 𝑏1𝑥2 + … + 𝑏𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑏𝑛�̇�𝑛(3.45)

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y sustituyendo xn por su valor obtenido de (3.44) se llega, como ecuación de salida, a la expresión

𝑦 = (𝑏0 − 𝑏𝑛𝑎0) 𝑥1 + (𝑏1 − 𝑏𝑛𝑎1) 𝑥2 + … + (𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛𝑎𝑛−1) 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑢

(3.46)

Las ecuaciones (3.44) y (3.46) son equivalentes a la ecuación diferencial original (3.29); puestas en forma matricial corresponden a la expresión

�̇�(𝑡) =

⎣⎢⎢⎢⎡

00⋮0−𝑎0

10⋮0−𝑎1

0 …1 …⋮

0 …−𝑎2

… 0… 0

… 1−𝑎𝑛−1⎦

⎥⎥⎥⎤𝑥(𝑡) +

⎣⎢⎢⎢⎡00⋮01⎦⎥⎥⎥⎤𝑢(𝑡)(3.47)

𝑦(𝑡) = [𝑏0 − 𝑏𝑛𝑎0, 𝑏1 − 𝑏𝑛𝑎1, … , 𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛𝑎𝑛−1]𝑥(𝑡) + 𝑏𝑛𝑢(𝑡)(3.48)

Las ecuaciones (3.47) y (3.48) constituyen la denominada “forma canónica de la variable de fase” de las ecuaciones de estado. Como se observará, en la matriz A del sistema incluida en la ecuación (3.47) los unos están sobre la diagonal y los coeficientes a1 en la última fila de la matriz. En la figura 3.6 se incluye la representación del diagrama correspondiente a las ecuaciones (3.47) y (3.48).

Dentro de la línea seguida existe otra forma también bastante usual de definir el vector de estado. Dividiendo los dos miembros de (3.36) por el operador pnresulta

𝑦 +𝑎𝑛−1𝑝

𝑦 +𝑎𝑛−2𝑝2

𝑦 + …𝑎1𝑝𝑛−1

𝑦 +𝑎0𝑝𝑛

𝑦 = 𝑏𝑛𝑢 + 𝑏𝑛−1𝑝

𝑢 + …𝑏1𝑝𝑛−1

𝑢 +𝑏0𝑝𝑛

𝑢

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(3.49)

equivalente a

𝑦 = 𝑏𝑛𝑢 +1𝑝

{𝑏𝑛−1𝑢 − 𝑎𝑛−1𝑦 +1𝑝�𝑏𝑛−2𝑢 − 𝑎𝑛−2𝑦 +

1𝑝⟨… +

1𝑝�𝑏1𝑢 − 𝑎1𝑦 +

1𝑝

(𝑏0𝑢 − 𝑎0𝑦)]… ⟩

(3.50)

Definiendo como variables de estado a las distintas expresiones entre paréntesis multiplicadas por el factor 1/p, y tomando en primer lugar xn=y-bnu resulta, comenzando por el final de la ecuación (3.50)

𝑥1 =1𝑝

[𝑏0𝑢 − 𝑎0(𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑢)] =1𝑝

[−𝑎0𝑥𝑛 + (𝑏0 − 𝑏𝑛𝑎0)𝑢]

𝑥2 = 1𝑝

[𝑏1𝑢 − 𝑎1(𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑢) + 𝑥1] = 1𝑝

[𝑥1 − 𝑎1𝑥𝑛 + (𝑏1 − 𝑏𝑛𝑎1)𝑢](3.51)

𝑥3 =1𝑝

[𝑏2𝑢 − 𝑎2(𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑢) + 𝑥2] =1𝑝

[𝑥2 − 𝑎2𝑥𝑛 + (𝑏2 − 𝑏𝑛𝑎2)𝑢]

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

𝑥𝑛 =1𝑝

[𝑏𝑛−1𝑢 − 𝑎𝑛−1(𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑢) + 𝑥𝑛−1] =1𝑝

[𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑥𝑛 + (𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛𝑎𝑛−1)𝑢]

Multiplicando por el operador 𝑝, resulta finalmente

�̇�1 = −𝑎0𝑥𝑛 + (𝑏0 − 𝑏𝑛𝑎0)𝑢

�̇�2 = 𝑥1 − 𝑎1𝑥𝑛 + (𝑏1 − 𝑏𝑛𝑎1)𝑢

�̇�3 = 𝑥2 − 𝑎2𝑥𝑛 + (𝑏2 − 𝑏𝑛𝑎2)𝑢(3.52)

… … … … … … … … … … … … … … …

�̇�𝑛 = 𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑥𝑛 + (𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛𝑎𝑛−1)𝑢

En forma matricial se tendría como ecuación de estado

�̇�(𝑡) =

⎣⎢⎢⎢⎡0 0 … −𝑎01 0 −𝑎10 1 ⋮⋮ ⋮ ⋮0 0 1 −𝑎𝑛−1⎦

⎥⎥⎥⎤

𝑥(𝑡) +

⎣⎢⎢⎢⎡

𝑏0 − 𝑏𝑛𝑎0𝑏1 − 𝑏𝑛𝑎1

𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛𝑎𝑛−1⎦⎥⎥⎥⎤

𝑢(𝑡)(3.53)

La ecuación de salida será

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𝑦 = 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑢𝑦(𝑡) = [0 0 … 1]𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑢(𝑡)(3.54)

Las ecuaciones (3.53) y (3.54) constituyen una nueva forma de las ecuaciones de estado conocida como forma canónica normal. Estas ecuaciones se simplifican un poco cuando sucede que bn=0. Así ocurre en la mayor parte de los sistemas reales; ya que ellos, como es sabido, el grado de numerador de su función de transferencia es casi siempre inferior al del denominador, por tratarse de sistemas físicamente realizables.

En la figura 3.7 se representa el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones (3.53) y (3.54), o su equivalente (3.50), consideradas las relaciones (3.51) y (3.52).

3.2. Forma canónica de Jordan

Otra forma de representación de las ecuaciones de estado de un sistema, bastante sencilla y útil, puede obtenerse poniendo la ecuación diferencial general del sistema, expresada por (3.29), en la forma

𝑦 = 𝑏𝑛𝑝𝑛+𝑏𝑛−1𝑝𝑛−1+ ⋯𝑏1𝑝+𝑏0𝑝𝑛+𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1+ ⋯𝑎1𝑝+𝑎0

𝑢 = 𝑁(𝑝)𝐷(𝑝)

𝑢(3.55)

Suponiendo, inicialmente, que las raíces 𝜆𝑖del polinomio característico

𝐷(𝑝) = 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑝 + 𝑎0(3.56)

son todas diferentes y conocidas, se tendrá que

𝐷(𝑝) = (𝑝 − 𝜆1)(𝑝 − 𝜆2) … (𝑝 − 𝜆𝑛−1)(𝑝 − 𝜆𝑛)

La expresión (3.55) puede desarrollarse ahora en fracciones simples con lo que quedaría en la forma

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𝑦 = �𝑟0 + 𝑟1𝑝−𝜆1

+ 𝑟2𝑝−𝜆2

+ ⋯ 𝑟𝑛−1𝑝−𝜆𝑛−1

+ 𝑟𝑛𝑝−𝜆𝑛

� 𝑢 = (𝑟0 + ∑ 𝑟𝑖𝑝−𝜆𝑖

) 𝑢𝑛𝑖=1 (3.57)

siendo

𝑟0 = lim𝑝→∞𝑁(𝑝)𝐷(𝑝)

𝑟𝑖 = (𝑝 − 𝜆𝑖)𝑁(𝑝)𝐷(𝑝)

�𝑝=𝜆𝑖

(3.58)

El coeficiente r0 será diferente de cero, únicamente cuando 𝑁(𝑝) y 𝐷(𝑝) sean del mismo grado; ya que el grado del polinomio del denominador, es sabido que ha de ser igual o mayor que el del polinomio del numerador. En la figura (3.8) se muestra el diagrama correspondiente a la ecuación (3.57)

Definiendo como variables de estado de Jordan

𝑥𝑖 = 1𝑝−𝜆𝑖

𝑢𝑖 = 1, 2, …𝑛(3.59)

resultan las siguientes ecuaciones de estado

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�̇�1 = 𝜆1𝑥1 + 𝑢�̇�2 = 𝜆2𝑥2 + 𝑢⋮�̇�𝑛−1 = 𝜆𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑢�̇�𝑛 = 𝜆𝑛𝑥𝑛 + 𝑢

(3.60)

Como se observará, el grupo de ecuaciones de estado obtenido es especialmente sencillo. En cada ecuación no interviene más que una sola variable; o sea, el sistema de ecuaciones diferenciales está desacoplado, lo que no sucedía en las formas normales halladas anteriormente. Un sistema de ecuaciones desacoplado tiene la ventaja, con respecto a otras representaciones, de que cada ecuación diferencial pude ser resuelta de forma aislada sin tener en cuenta las restantes ecuaciones. Este tipo de representación, con variables de Jordan, suele ser la más adecuada cuando se pretende realizar estudios teóricos.

Como expresión para la variable de salida resulta, de (3.57)

𝑦 = 𝑟1𝑥1 + 𝑟2𝑥2 + … + 𝑟𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑟𝑛𝑥𝑛 + 𝑟0𝑢(3.61)

Las ecuaciones de estado del sistema, expresadas en forma matricial, serán

�̇�(𝑡) =

⎣⎢⎢⎢⎡𝜆1 0 0 … 00 𝜆2 0 … 00 0 𝜆3 … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 … 𝜆𝑛⎦

⎥⎥⎥⎤

𝑥(𝑡) +

⎣⎢⎢⎢⎡111⋮1⎦⎥⎥⎥⎤𝑢(𝑡)(3.62)

𝑦(𝑡) = [𝑟1𝑟2𝑟3⋯ 𝑟𝑛−1𝑟𝑛]𝑥(𝑡) + 𝑟0𝑢(3.63)

El hecho de que el sistema resulte desacoplado queda reflejado en la ecuación (3.62) por la circunstancia de que la matriz cuadrada que multiplica a 𝑥(𝑡) resulta una matriz diagonal.

Hasta ahora se ha supuesto que las raíces del polinomio característico eran todas diferentes; veamos seguidamente el caso en que dicho polinomio tenga una raíz de multiplicidad k, siendo las restantes todas diferentes. En tal circunstancia

𝐷(𝑝) = (𝑝 − 𝜆1)𝑘(𝑝 − 𝜆2)(𝑝 − 𝜆3) … (𝑝 − 𝜆𝑛−𝑘)(𝑝 − 𝜆𝑛−𝑘+1)(3.64)

resultando para el desarrollo en fracciones simples

𝑦 = � 𝑟11(𝑝−𝜆1)𝑘

+ 𝑟12(𝑝−𝜆1)𝑘−1

+ ⋯+ 𝑟1𝑘(𝑝−𝜆1)

+ ∑ 𝑟𝑖𝑝−𝜆𝑖

+ 𝑟0𝑛−𝑘+1𝑖=2 � 𝑢(3.65)

siendo

𝑟0 = lim𝑝→∞𝑁(𝑝)𝐷(𝑝) 𝑟𝑖𝑗 = 1

(𝑗−1)!𝑑𝑗−1

𝑑𝑝𝑗−1�(𝑝 − 𝜆1)𝑘 𝑁(𝑝)

𝐷(𝑝)�𝑝=𝜆1𝑟𝑖 = (𝑝 − 𝜆𝑖)

𝑁(𝑝)𝐷(𝑝)�𝑝

(3.66)

En la figura 3.9 se muestra el diagrama correspondiente a la ecuación (3.65)

18

De forma semejante a como se hizo en el caso anterior, se definen como variables de estado

𝑥1 = 1(𝑝−𝜆1)𝑘

𝑢 𝑥2 = 1(𝑝−𝜆1)𝑘−1

𝑢 … 𝑥𝑘 = 1(𝑝−𝜆1)

𝑢

𝑥𝑘+1 = 1𝑝−𝜆2

𝑢 𝑥𝑘+2 = 1𝑝−𝜆3

𝑢 … 𝑥𝑛 = 1(𝑝−𝜆𝑛−𝑘+1)

𝑢(3.67)

Para obtener las ecuaciones de estado no puede procederse como en el caso anterior, pues resultarían ecuaciones diferenciales de orden superior al primero. Por el contrario, poniendo las relaciones dadas en (3.67) para la raíz múltiple en la forma

𝑥1 = 1(𝑝−𝜆1)

1(𝑝−𝜆1)𝑘−1

𝑢 = 1(𝑝−𝜆1)

𝑥2; 𝑥2 = 1𝑝−𝜆1

𝑥3; …;𝑥𝑘−1 = 1𝑝−𝜆1

𝑥𝑘(3.68)

Resultan las ecuaciones de estado

19

�̇�1 = 𝜆1𝑥1 + 𝑥2�̇�2 = 𝜆1𝑥2 + 𝑥3�̇�3 = 𝜆1𝑥3 + 𝑥4⋮�̇�𝑘 = 𝜆1𝑥𝑘 + 𝑢�̇�𝑘+1 = 𝜆2𝑥𝑘+1 + 𝑢⋮�̇�𝑛 = 𝜆𝑛−𝑘+1𝑥𝑛 + 𝑢

Como se observará, en este caso el sistema no resulta desacoplado. El acoplamiento, sin embargo, es muy sencillo puesto que en la k-ésima ecuación sólo aparece el estado𝑥𝑘, en la ecuación 𝑘 + 1 sólo el 𝑥𝑘+1, y así sucesivamente hasta 𝑛. El sistema de ecuaciones puede resolverse, con facilidad, actuando en forma recurrente a partir de la k-ésima ecuación; de ésta se obtendrá 𝑥𝑘 que sustituida en la ecuación 𝑘 − 1 permite hallar 𝑥𝑘−1, y así sucesivamente hasta 𝑥1.

Como expresión para la variable de salida resulta:

𝑦 = 𝑟11𝑥1 + … + 𝑟1𝑘𝑥𝑘 + 𝑟2𝑥𝑘+1 + … 𝑟𝑛−𝑘+1𝑥𝑛 + 𝑟0𝑢(3.70)

Las ecuaciones de estado del sistema expresadas en forma matricial serán

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡�̇�1�̇�2⋮⋮⋮�̇�𝑘⋮⋮⋮�̇�𝑛⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝜆1 1 0 … 0 |

0 𝜆1 1 … 0 |⋮ ⋮ ⋮ ⋮ | 00 0 0 … 1 |0 0 0 … 𝜆1 |

�𝜆20 |

|| 𝜆𝑛−𝑘+1⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝑥1𝑥2

𝑥𝑘

𝑥𝑛⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

+

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡00⋮⋮011⋮⋮⋮1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

𝑢 (3.71)

𝑦(𝑡) = [𝑟11𝑟12 … 𝑟1𝑘𝑟2 … 𝑟𝑛−𝑘+1]𝑥(𝑡) + 𝑟0𝑢 (3.72)

Como se habrá observado, mientras la ecuación de salida no se distingue de la correspondiente al caso de raíces diferentes del polinomio característico, las matrices de la ecuación de estado presentan una forma totalmente diferente. La presencia de raíces múltiples origina la aparición de submatrices, de dimensión igual al grado de multiplicidad, en la matriz general del sistema. Dichas submatrices tienen como diagonal la raíz múltiple, siendo los elementos anteriores a éstos en las respectivas columnas iguales a la unidad. La aparición de esta diagonal superior de unos representa el acoplamiento existente en el sistema.

Finalmente ha de decirse que las raíces del polinomio característico pueden ser también complejas conjugadas y que, si se introducen éstas en las relaciones correspondientes de la forma canónica de Jordan, aparecerán en las ecuaciones de

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estado coeficientes complejos conjugados; con lo que las variables de estado serán también complejas conjugadas. Tal hecho no resta, sin embargo, importancia al método expuesto para obtener las ecuaciones de estado.

4. Sistemas lineales con parámetros variables

Los procedimientos utilizados hasta ahora para obtener las ecuaciones de estado de sistemas lineales invariantes con el tiempo, pueden ser generalizados para su aplicación a sistemas lineales con parámetros variables en función del tiempo. Sea un sistema cuyo comportamiento dinámico viene caracterizado por la ecuación diferencial

(𝑛)𝑦 + 𝑎𝑛−1(𝑡)(𝑛 − 1)

𝑦 + … 𝑎1(𝑡)�̇� + 𝑎0(𝑡)𝑦 = 𝑏𝑛(𝑡)(𝑛)𝑢 + 𝑏𝑛−1(𝑡)(𝑛 − 1)

𝑢 + … + 𝑏1(𝑡)�̇� + 𝑏0(𝑡)𝑢

(3.73)

Definiendo las variables de estado del sistema en la forma

𝑦 = 𝑥1 + 𝐵0(𝑡)𝑢

�̇�1 = 𝑥2 + 𝐵1(𝑡)𝑢

�̇�2 = 𝑥3 + 𝐵2(𝑡)𝑢 (3.74)

−−−−−−−−−

�̇�𝑛−1 = 𝑥𝑛 + 𝐵𝑛−1(𝑡)𝑢

�̇�𝑛 = −𝑎0(𝑡)𝑥1 − 𝑎1(𝑡)𝑥2 …− 𝑎𝑛−2(𝑡)𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑛−1(𝑡)𝑥𝑛 + 𝐵𝑛(𝑡)𝑢

Se puede representar la ecuación diferencial original (3.73) por las ecuaciones de estado y de salida siguientes

�̇�(𝑡) =

⎣⎢⎢⎢⎡

0 1 0 … 00 0 1 … 0⋮ ⋮ ⋮0 0 ⋮ 1

−𝑎0(𝑡) −𝑎1(𝑡) −𝑎2(𝑡) … −𝑎𝑛−1(𝑡)⎦⎥⎥⎥⎤𝑥(𝑡) +

⎣⎢⎢⎢⎡ 𝐵1

(𝑡)𝐵2(𝑡)⋮

𝐵𝑛−1(𝑡)𝐵𝑛(𝑡) ⎦

⎥⎥⎥⎤

𝑢(𝑡) (3.75)

𝑦(𝑡) = [1 0 0 … 0 0]𝑥(𝑡) + 𝐵0(𝑡)𝑢(𝑡) (3.76)

Los coeficientes 𝐵𝑖(𝑡) son función de los coeficientes 𝑎𝑖(𝑡), 𝑏𝑗(𝑡) y de sus derivadas con respecto al tiempo; pueden obtenerse por eliminación sucesiva de las variables e estado 𝑥1,𝑥2, … , 𝑥𝑛 de las ecuaciones (3.74) y luego comparando con la ecuación original (3.73). Las fórmulas generales que resultan son:

𝐵0(𝑡) = 𝑏𝑛(𝑡)

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𝐵𝑖(𝑡) = 𝑏𝑖(𝑡) −��(𝑛 + 𝑗 − 𝑖)!𝑗! (𝑛 − 𝑖)!

𝑖−𝑘

𝑗=0

𝑎𝑖−𝑘−𝑗(𝑡)𝑑𝑗𝐵𝑘(𝑡)𝑑𝑡𝑗

𝑖−1

𝑘=0

(3.77)

5. Obtención de la función de transferencia a partir de las ecuaciones de estado

La función o matriz de transferencia de un sistema lineal e invariante con el tiempo, puede obtenerse a partir de las ecuaciones de estado del sistema aplicando la transformada de Laplace. Así pues, dadas las ecuaciones generales para sistemas multivariables lineales e invariantes con el tiempo

�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) (3.78)

si se aplica la transformada de Laplace, considerando condiciones iniciales nulas, se tendrá:

𝑠𝑋(𝑠) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠) (3.79)

𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) (3.80)

Agrupando los términos en 𝑋(𝑠) de (3.79) resulta

�𝑠𝐼 − 𝐴�𝑋(𝑠) = 𝐵𝑈(𝑠) (3.81)

Y premultiplicando por la matriz inversa de �𝑠𝐼 − 𝐴� se obtiene

𝑋(𝑠) = �𝑠𝐼 − 𝐴�−1𝐵𝑈(𝑠) (3.82)

Introduciendo esta expresión en la ecuación de salida (3.80), se llega finalmente a la ecuación

𝑌(𝑠) = �𝐶�𝑠𝐼 − 𝐴�−1𝐵 + 𝐷�𝑈(𝑠) (3.83)

El término entre corchetes representará a la matriz 𝐺(𝑠) de funciones de transferencia; por tanto

𝐺(𝑠) = 𝐶�𝑠𝐼 − 𝐴�−1𝐵 + 𝐷 (3.84)

En forma semejante, se obtendría para un sistema con una entrada y una salida

𝐺(𝑠) = 𝑐�𝑠𝐼 − 𝐴�−1𝑏 + 𝑑 (3.85)

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Teniendo en cuenta que la matriz inversa de �𝑠𝐼 − 𝐴� es su matriz adjunta dividida por el determinante correspondiente, se obtiene que el polinomio característico del sistema vendrá dado por dicho determinante

𝑃(𝑠) = 𝑑𝑒𝑡�𝑠𝐼 − 𝐴� (3.86)

Por otra parte, siendo los valores propios de la matriz 𝐴 las soluciones de la ecuación

𝑑𝑒𝑡�𝑠𝐼 − 𝐴� (3.87)

o sea, de la ecuación característica; resulta que dichos valores propios son los propios del sistema.

5.1. Algoritmo de Leverrier

La matriz �𝑠𝐼 − 𝐴�−1

, denominada matriz resolvente, como se verá en apartados posteriores aparece frecuentemente en las técnicas de análisis y diseño de sistemas de regulación. El cálculo de dicha matriz, que no suele ser fácil, sobre todo para sistemas de orden elevado, puede realizarse por diversos procedimientos. Uno de los más conocidos y utilizados es el algoritmo de Leverrier, que permite realizar el cálculo numérico de la matriz resolvente utilizando el computador.

Dada una matriz 𝐴 de coeficientes constantes y dimensión 𝑛 × 𝑛, con polinomio característico

det�𝑠𝐼 − 𝐴� = 𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + … 𝑎1𝑠 + 𝑎0 (3.88)

la matriz resolvente de 𝐴 se puede expresar en la forma

�𝑠𝐼 − 𝐴�−1

=𝑠𝑛−1𝐹 1 + 𝑠𝑛−2𝐹 2 + 𝑠𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + … + 𝑎1𝑠 + 𝑎0

(3.89)

donde𝐹 representa matrices de dimensión 𝑛 × 𝑛 de valor

𝐹 1 = 𝐼𝑎𝑛−1 = −𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝐴𝐹 1/1

𝐹 2 = 𝐴𝐹 1 + 𝑎𝑛−1𝐼𝑎𝑛−2 = −𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝐴𝐹 2/2

------------------------------------------------------------------------- (3.90)

𝐹𝑛 = 𝐴𝐹𝑛−1 + 𝑎1𝐼𝑎0 = −𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝐴𝐹𝑛/𝑛

siendo

𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝐴 = �𝑎𝑖𝑖

𝑛

𝑖=1

(3.91)

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Como comprobación del método ha de obtenerse

𝐴𝐹𝑛 + 𝑎0𝐼 = 0 (3.92)

Sustituyendo en esta ecuación los valores de 𝐹 dados en (3.90) resulta

𝐴𝑛 + 𝑎𝑛−1𝐴𝑛−1 + … + 𝑎1𝐴 + 𝑎0𝐼 = 0 (3.93)

Es decir que la matriz 𝐴 verifica su propia ecuación característica. Este resultado se conoce como teorema de Cayley-Hamilton.

6. Transformaciones lineales

Se dice que un operador 𝐴, que transforma un espacio vectorial 𝐸𝑛 en otro 𝑆𝑚 (o sea, que unívocamente asigna a cada vector 𝑥 situado en 𝐸𝑛 un vector 𝑧 = 𝐴𝑥 situado en 𝑆𝑚) es lineal, cuando para dos vectores cualesquiera 𝑥1 y 𝑥2, pertenecientes a 𝐸𝑛, se verifica que

𝐴�𝑥1 + 𝑥2� = 𝐴𝑥1 + 𝐴𝑥2 (3.94)

𝐴 𝛼 𝑥1 = 𝛼 𝐴𝑥1

siendo𝛼 un número cualquiera constante

La transformación lineal

𝑧 = 𝐴𝑥

que asigna el conjunto de variables 𝑧1, 𝑧2 … 𝑧𝑚 al conjunto de variables 𝑥1, 𝑥2 … 𝑥𝑛, puede desarrollarse en la forma

𝑧1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑧2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … 𝑎2𝑛𝑥𝑛 (3.95)

--------------------------------------------------

𝑧𝑚 = 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + … 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛

La transformación lineal queda caracterizada por la matriz

𝐴 = �

𝑎11 𝑎12 … … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛

� (3.96)

denominada matriz de transformación. Normalmente, en el análisis de sistemas dinámicos lineales, al vector 𝑥, de dimensión n, se le asigna un vector 𝑧 de la misma

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dimensión; con lo que las matrices 𝐴 de transformación resultarán cuadradas y de dimensión 𝑛 × 𝑛.

Como ya se indicó en capítulos anteriores, para un sistema dinámico determinado el conjunto de variables de estado o vector de estado no es único, sino que pueden existir diversos conjuntos de variables, definidos en forma diferente, que caractericen perfectamente el comportamiento del sistema. Las diferentes maneras de definir un vector de estado, pueden ser contempladas como transformaciones de coordenadas del sistema. Esta circunstancia queda plenamente justificada si se tiene en cuenta que la posición de un punto cualquiera, situado en un espacio vectorial determinado, puede ser representada por las coordenadas del mismo respecto una base y que, dado que ésta puede variar, igual sucederá con las mencionadas coordenadas. Referido al espacio de estado, un punto o estado determinado puede representarse por sus coordenadas respecto a una base elegida, lo que constituirá un primer conjunto de variables de estado, o por sus coordenadas respecto a otras bases diferentes a la anterior, lo que daría lugar a otros conjuntos de variables de estado perfectamente válidos, ya que la posición del punto permanece fija en el espacio de estado, con independencia del sistema de coordenadas utilizado.

En consecuencia y dado que el cambio de coordenadas de una base a otra significa una aplicación lineal, que viene determinada por una matriz de transformación no singular, representada por 𝑇, si 𝑥 constituye un vector de estado y se verifica que

𝑥 = 𝑇𝑥�𝑥� = 𝑇−1𝑥 (3.97)

el vector 𝑥� será también un vector de estado. Al tomar 𝑥� como nuevo vector de estado, las ecuaciones de estado y de salida del sistema, evidentemente, serán diferentes. Así, si el sistema viene inicialmente definido por las ecuaciones

�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (3.98)

�̇�(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) (3.99)

para obtener sus ecuaciones de estado referidas al vector de estado 𝑥�, bastará con sustituir (3.97) en (3.98) y (3.99), con lo que resulta

𝑇𝑥�(𝑡) = 𝐴𝑇𝑥�(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (3.100)

𝑦(𝑡) = 𝐶𝑇𝑥�(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) (3.101)

Multiplicando por la izquierda (3.100) por la matriz inversa de 𝑇, se tendrá

𝑥�(𝑡) = 𝑇−1𝐴𝑇𝑥�(𝑡) + 𝑇−1𝐵𝑢(𝑡) (3.102)

Las nuevas ecuaciones del sistema, referidas al vector de estado 𝑥�, serán:

𝑥�(𝑡) = �̃�𝑥�(𝑡) + 𝐵�𝑢(𝑡) (3.103)

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𝑦�(𝑡) = �̃�𝑥�(𝑡) + 𝐷�𝑢(𝑡) (3.104)

donde

�̃� = 𝑇−1𝐴𝑇𝐵� = 𝑇−1𝐵(3.105)

�̃� = 𝐶𝑇𝐷� = 𝐷

Propiedad importante de este tipo de transformaciones es que, los valores propios de las matrices 𝐴 y �̃� son los mismos. Para demostrarlo, bastará con probar que los polinomios característicos de ambas matrices son idénticos. Efectivamente, el polinomio característico de 𝐴 es det (𝜆 𝐼 − 𝐴) y el de �̃� será

det�𝜆 𝐼 − �̃�� = det�𝜆 𝐼 − 𝑇−1𝐴𝑇� = det�𝜆𝑇−1𝑇 − 𝑇−1𝐴𝑇� = det [ 𝑇−1�𝜆 𝐼 − 𝐴�𝑇 ]

y teniendo en cuenta que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, resulta

det�𝑇−1�𝜆 𝐼 − 𝐴�𝑇 � = det�𝑇−1�det� 𝜆 𝐼 − 𝐴� det�𝑇�

= det�𝑇−1𝑇�det� 𝜆 𝐼 − 𝐴� = det�𝜆 𝐼 − 𝐴�(3.106)

Una aplicación muy interesante, de la transformación lineal es la conversión de la ecuación de estado de un sistema en otra expresada en la forma canónica de Jordan.

Entre las diferentes formas que puede representar la ecuación de estado de un sistema lineal e invariante con el tiempo, la forma canónica de Jordan es una de las más sencillas; ya que en ella la matriz del sistema es diagonal. Debido a tal circunstancia, las operaciones con dicha matriz resultan muy sencillas y además las ecuaciones diferenciales correspondientes están desacopladas; lo que permite resolverlas aisladamente y de forma sucesiva.

Sin embargo, las variables de estado que se utilizan en la forma canónica de Jordan suelen ser, frecuentemente, expresiones de tipo matemático, que no aparecen como tales magnitudes en el sistema real, o que cuando menos no resultan accesibles. Por el contrario, aquellas magnitudes que pueden ser medidas, suelen conducir a tipos de ecuaciones que no presentan la forma canónica de Jordan. Utilizando una transformación lineal del tipo anteriormente descrito, puede conseguirse simultanear las ventajas de ambas concepciones; bastará con transformar el vector de estado medible 𝑥 en el vector 𝑥�, correspondiente a la forma canónica de Jordan. En el caso, bastante frecuente, de que la matriz 𝐴 del sistema tenga valores propios 𝜆1, 𝜆2, … 𝜆𝑛 diferentes, la matriz𝐴de la forma canónica de Jordan resultante será diagonal; en el caso de valores propios repetidos, presenta otras características específicas que pueden encontrarse en la literatura apropiada.

En el caso de un sistema representado por las ecuaciones

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�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (3.107)

𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)

cuya matriz 𝐴 tenga todos sus valores propios diferentes, se puede calcular, de una manera sencilla, la matriz de transformación 𝑇 que lleve al sistema a la forma canónica de Jordan; donde la nueva matriz �̃� tendrá la forma

�̃� = 𝑇−1𝐴𝑇 =

⎣⎢⎢⎢⎡𝜆1 0 0 … 00 𝜆2 0 … 00 0 𝜆3 … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 𝜆𝑛⎦

⎥⎥⎥⎤

= Λ (3.108)

La matriz de transformación 𝑇 se puede calcular considerando que si 𝑣𝑖 es el vector propio correspondiente al valor propio 𝜆𝑖, se tiene

𝐴𝑣1 = 𝜆1𝑣1

𝐴𝑣2 = 𝜆2𝑣2 (3.109)

------------------------

𝐴𝑣𝑛 = 𝜆𝑛𝑣𝑛

Llamando 𝑇 a la matriz cuyas columnas sean los vectores propios

𝑇 = [𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛] (3.110)

el conjunto de igualdades (3.109) se puede expresar en forma matricial como

𝐴𝑇 = 𝑇Λ (3.111)

Multiplicando por la izquierda a esta igualdad por 𝑇−1, se obtiene la expresión (3.108).

Es importante destacar que, con esta transformación 𝑇, las nuevas matrices

𝐵� = 𝑇−1𝐵�̃� = 𝐶𝑇 (3.112)

tomarán valores arbitrarios, a diferencia de las expresiones (3.62) y (3.63) obtenidas a partir de la ecuación diferencial de sistemas monovariables.

Por otra parte, como los valores propios 𝜆𝑖 pueden ser complejos, (por ejemplo en sistemas subamortiguados) los vectores propios correspondientes 𝑣𝑖 podrán ser complejos y por ello tanto la matriz del sistema𝐴, como las matrices 𝐵 y 𝐶 podrán ser igualmente de coeficientes complejos.

Veamos seguidamente un ejemplo. Sea el sistema representado en la figura 3.10, en el cual puede considerarse que cada bloque representa un aparato real y que tanto la

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señal de salida como los valores intermedios 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 puede medirse. Igualmente puede suponerse que se desean obtener las ecuaciones de estado y de salida del sistema, en la forma canónica de Jordan, para introducirlas en un computador y actuar sobre el sistema.

Tomando como variables de estado 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3, se tendrían las siguientes ecuaciones para el sistema.

�̇�1 = 𝑥2

�̇�2 = −𝑥2 + 𝑥3

�̇�3 = −2𝑥3 + 𝑢 (3.113)

𝑦 = 𝑥1

o expresadas en forma matricial

�̇�(𝑡) = �0 1 00 −1 10 0 2

� 𝑥(𝑡) + �001� 𝑢(𝑡) (3.114)

𝑦(𝑡) = [1 0 0]𝑥(𝑡)

Los valores propios de la matriz 𝐴 se obtienen de la relación

det� 𝜆 𝐼 − 𝐴� = �𝜆 −1 00 𝜆 + 1 −10 0 𝜆 + 2

� = 0 (3.115)

resultando

𝜆 (𝜆 + 1)(𝜆 + 2) = 0 𝜆1 = 0 𝜆2 = −1 𝜆3 = −2

Los vectores propios

𝑣𝑖 = �𝑣𝑖1𝑣𝑖2𝑣𝑖3� 𝑖 = 1,2,3

se obtienen de la ecuación vectorial (3.109), a la que corresponde la expresión

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�0 1 00 −1 10 0 2

� �𝑣𝑖1𝑣𝑖2𝑣𝑖3� − 𝜆𝑖 �

𝑣𝑖1𝑣𝑖2𝑣𝑖3� = �

000� (3.116)

De ella resultan las siguientes ecuaciones

𝑣𝑖2 − 𝜆𝑖𝑣𝑖1 = 0 − 𝑣𝑖2 + 𝑣𝑖3 − 𝜆𝑖𝑣𝑖2 = 0 − 2𝑣𝑖3 − 𝜆𝑖𝑣𝑖3 = 0 (3.117)

que desarrolladas para 𝑖 = 1, 2,3, dan

𝜆1 = 0 ∶ 𝑣11 = 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑣12 = 0 𝑣13 = 0

𝜆2 = −1 ∶ 𝑣23 = 0 𝑣22 = −𝑣32 (3.118)

𝜆3 = −2 ∶ 𝑣33 = −𝑣32𝑣32 = −2𝑣31

Tomando, por ejemplo, los valores arbitrarios

𝑣11 = 1 𝑣21 = 1 𝑣31 = 1 (3.119)

resulta

𝑇 = �𝑣1, 𝑣2, 𝑣3� = �1 1 10 −1 −20 0 2

� 𝑇−1 = �1 1 1/20 −1 −10 0 1/2

� (3.120)

Para las matrices de las ecuaciones de estado transformadas resulta

𝐵� = 𝑇−1𝐵 = �1/2−11/2

� �̃� = 𝐶𝑇 = [1 1 1] (3.121)

Finalmente, como ecuaciones canónicas de Jordan se tendrán las siguientes:

𝑥�̇(𝑡) = �0 0 00 −1 00 0 −2

� 𝑥�(𝑡) + �

12−112

� 𝑢(𝑡) (3.122)

𝑦�(𝑡) = [1 1 1]𝑥�(𝑡)