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Relatividad General yCosmologıa

(2011-2012)

Modelos Cosmologicosalternativos al Universo de

Friedmann

Juan David Garcıa Fuentes

Indice general

1. Apuntes de clase. Geometrıa diferencial. 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Geometrıa de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Vectores tangente y normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Curvatura de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Ecuaciones de Frenet-Serret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Geometrıa de superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Vectores tangentes y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3. Cambio de parametros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4. Elementos de superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.5. Curvas en superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.6. Curvaturas en superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.7. Sımbolos de Christoffel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.8. Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.9. Notas finales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Otros modelos cosmologicos. 182.1. Modelos ingenuos: La paradoja Olbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Modelos con constante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. El modelo de universo estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Modelos con G variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Capıtulo 1

Apuntes de clase. Geometrıadiferencial.

1.1. Introduccion

La relatividad general es la geometrizacion de la fısica, por eso tenemos interes esexponer primeramente este apartado geometrico. En las ecuaciones de Einstein ten-emos:

Rνµ − gR ' T

donde Rνµ es el tensor de Ricci, g es la metrica del espacio-tiempo, R es el tensor decurvatura y T es el tensor materia-energıa.

Utilizaremos unidades naturales, es decir c = 1, ~ = 1. Ademas:

E = m

Las ecuaciones de Einstein presentan las siguientes caracterısitcas:

• Hay una interaccion en ambos sentidos entre geometrıa y energıa-materia.

• No son lineales. Una de sus consecuencias es que la gravedad actua sobre sı misma.

• Aunque es espacio-tiempo este vacıo, este se curva sobre sı mismo.

• Las variables seran tres coordenadas espaciales y una temporal.

• No tienen condiciones iniciales. Por lo que la relatividad general se basa en ge-ometrıa pseudo-Riemanniana en 4D.

1.2. Geometrıa de curvas

Una curva se define como una aplicacion de un intervalo I en Rn, formalmente:

f : I −→ Rn

x −→ f(x) ∈ Rn

Obviamente, hay distintas formas de presentar estas curvas. Las mas utilizadas son:

3

1.2 Geometrıa de curvas Relatividad General y Cosmologıa

• Forma explıcita, y = f(x).

• Forma implıcita, f(x, y) = 0.

• Forma parametrica, x = f(t) e y = g(t), donde t ∈ [a, b]

Para expresar una curva se pueden utilizar distintos parametros. Estos cambios deparametros no afectan al recorrido de la curva, pero sı a la forma en que lo hacen.

1.2.1. Vectores tangente y normales

Dada una curva en dos dimensiones,

~r(t) = (x(t), y(t))

se define el vector tangente a la curva como,

~v(t) = (x(t), y(t))

donde el punto sobre la variable dependiente indica derivacion respecto al argumento.Un cambio de parametros cambia el vector tangente. Este hecho se ve aplicando laregla de la cadena,

d~r

ds=d~r

dt

dt

ds

el factor dtds

es lo que modifica el vector tangente. Depende exclusivamente del cambiode parametros que hayamos realizado.

Se define la longitud de la curva entre los puntos P1 y P2 como,

l(P1, P2) =

∫ t2

t1

√x2 + y2dt

donde t1 y t2 son aquellos para los que ~r(t1) = P1 y ~r(t2) = P2.

Ejercicio. Comprueba que el cambio de parametros t=h(s) no afecta a lalongitud ds =

√x2(t) + y2(t) dt

Debemos tener en cuenta que los puntos indican derivada con respecto de la variable,que en el caso anterior es t. Si introducimos el cambio de variable indicado en laexpresion de ds tenemos que:

ds =√x2(h(s)) + y2(h(s))

d(h(s))

dsds

Donde ahora los puntos son derivadas con respecto la variable h(s). Eliminando los dosds de ambos lados de la igualdad y separando las variables de la derivada que hay fuerade la raız, llegamos a que:

ds =√x2(h(s)) + y2(h(s)) d(h(s))

4


Hemos conseguido escribir el elemento de lınea, en funcion del nuevo parametro h(s),sin que ds sufra alteraciones.

Ejercicio. Calcula d~rds

y comprueba que tiene modulo unidad

Dada la curva ~r(s) = (x(s), y(s)), donde s es el parametro natural de la misma,calculamos su derivada con respecto al parametro natural.

d~r

ds=

(dx

ds,dy

ds

)Teniendo en cuenta, en virtud de la regla de la cadena, que d

ds= d

dt· dtds

.

d~r

ds=

(dx

ds,dy

ds

)dt

ds

Ademas sabemos que la relacion entre t y s es: ds =√x2(t) + y2(t) dt. Lo que conduce

a que:d~r

ds= (x(t), y(t))

1√x2(t) + y2(t)

Si calculamos el modulo del vector llegamos a lo que estamos buscando:∥∥∥∥d~rds∥∥∥∥ =

√x(t)2 + y(t)2

1√x2(t) + y2(t)

= 1

1.2.2. Curvatura de una curva

Sea una curva en R2 dada ~r(t) = (r1(t), r2(t)), el vector tangente viene determinadopor su derivada respecto al parametro natural de la curva,

~v =d~r

ds=

(r1

ds,dr2

ds

), donde ‖~v‖ = 1

Se define el siguiente vector,

~a =d~v

dsy ademas ~a · ~v = 0

Por definicion, la curvatura de una curva viene dada por,

K =

∥∥∥∥d~vds∥∥∥∥

y el radio de curvatura como su inversa, R = 1/K. Una propiedad que se sustraedirectamente es que d~v

ds= K~n, donde ~n es un vector normal a la curva y al vector

tangente.

5


Calcula ~t = d~rds

y ~a = d~tds

y comprueba que son ortogonales

Para comprobar la ortogonalidad de los vectores enunciados haremos uso del ejer-cicio anterior. Sabemos que: ∥∥∥∥d~rds

∥∥∥∥ = 1

Y es de sobra conocido que el producto escalar de un vector consigo mismo es el modulode dicho vector al cuadrado, en nuestro caso:

d~r

ds· d~rds

=

∥∥∥∥d~rds∥∥∥∥2

= 1

Si derivo las dos expresiones respecto del parametro natural tengo que:

0 =d

ds

[d~r

ds· d~rds

]= 2

d2~r

ds2· d~rds

Con lo que se concluye que ~t · ~a = 0. Los vectores son ortogonales.

Teorema de Frenet en 2D. Si estamos en dimension dos, se cumple que:

d~v

ds= K~n

d~n

ds= −K~v

Una vision grafica se intenta exponer a continuacion:

A: K=0, R=∞

B: &%'$

r

K=1/r, R=r

Calcula la curvatura de un cırculo

Si nos dan un cırculo, el cual viene expresado en forma parametrica como:

r(t) = (R sin (ωt) , R cos (ωt))

Sabemos que la curvatura de una curva viene dada por el modulo del vector ~a =d2~r/ds2. En el caso de un cırculo, el parametro natural s se puede calcular, teniendoen cuenta la expresion de la distancia recorrida sobre la curva, como:

ds = Rω dt → s = Rωt

6


Si ahora reescribimos la expresion parametrica del cırculo con su parametro natural:

r(s) = (R sin (s/R) , R cos (S/R))

Y ahora calculamos la segunda derivada con respecto de s. Es trivial obtener:

~a =d2r

ds2r(t) =

−1

R( sin (s/R) , cos (s/R))

El modulo de este vector es la curvatura del cırculo, K = ‖~a‖ = 1/R. Y por tanto, suradio de curvatura es 1/K=R, tal y como conocıamos de geometrıa elemental.

Calcula la curvatura, y el radio de curvatura, de una parabola

Dada en coordenadas parametricas, una parabola viene descrita por ~r(t) = (t, t2).

En este ejercicio deberemos llevar cuidado con la notacion, ya que t es el parametroque proporciona la curva, mientras que ~t es el vector tangente a la misma. Calculamosahora el parametro natural de la parabola:

ds =√

1 + 4t2 dt

Como la integracion resulta ser funciones hiperbolicas vamos a arrastrar el parametrot. Se calcula ahora el vector tangente:

~t =d~r

ds= (

dx

dt

dt

ds,dy

dt

dt

ds) =

1√1 + 4t2

(1 , 2t)

Ahora calculamos la derivada de este vector calculado:

~a =d~t

ds=

d

dt

[1√

1 + 4t2(1 , 2t)

]dt

ds=

2

(1 + 4t2)2(−2t , 1)

Y en virtud del teorema de Frenet-Serret se que el modulo del vector ~a es la curvaturade la parabola:

‖~a‖ = K =2

(1 + 4t2)3/2

El radio de curvatura es el inverso de la curvatura:

R =1

K=

(1 + 4t2)3/2

2

7


Si estamos en dimension tres, ademas de anadir una nueva coordenada que parametri-camente se puede expresar como z(t), puede que tengamos curvas planas o no planas.Para describirlas completamente se define un nuevo vector denominado binormal.

~b = ~v × ~n

1.2.3. Ecuaciones de Frenet-Serret.

Con estos tres vectores ~v,~n y ~b se escriben las ecuaciones de Frenet-Serret:

d~v(s)

ds= K(s)~n(s)

d~n(s)

ds= −K(s)~v(s) + τ(s)~b(s)

d~b(s)

ds= −τ(s)~n(s)

A la nueva magnitud τ que aparece se le denomina modulo de torsion. Se obtienetomando la norma en la tercera de las ecuaciones anteriores. Para una curva planaτ = 0.

Propiedad. En el plano la unica curva con curvatura constante es el cırculo. En3D, la unica curva con curvatura y torsion constante es la helice.

Ejercicio. Calcula los vectores ~t y ~b para una helice, ası como su curvaturay su torsion

Sea una helice dada por las expresiones parametricas siguientes:

x(t) = R sin(ωt)

y(t) = R cos(ωt)

z(t) = λt

8


En primer lugar calculo el parametro natural de la curva. En este caso tenemos que:

dl =√R2ω2 + λ2 dt → l =

√R2ω2 + λ2 t = A t

Llamo A a la constante para simplificar las expresiones. Ahora calculamos el vectortangente a la helice:

~v =d~r

dl=d~r

dt

1

Adl =

Rω

A(− sin(ωt) , cos(ωt) ,

λ

ωR)

Y ahora calculo el vector normal a la helice. Para ello derivo el vector anterior respectoal parametro natural de la curva:

~a =d~v

dl=d~v

dt

1

Adl =

Rω2

A2(− cos(ωt) , − sin(ωt) , 0)

En ~a se observa que la expresion dada como vector tiene modulo unidad, por lo que laconstante que lo multiplica es la curvatura de la helice.

K =Rω2

A2=

Rω2

R2ω2 + λ2=

1

R(1 + λωR

)2

Para calcular el vector ~b, debemos multiplicar vectorialmente ~t y ~n. El resultado es elsiguiente:

~b = ~t× ~n =−λω2R2

A3

(sin(ωt) , cos(ωt) ,

ωR

λ

)Por ultimo calculamos la torsion τ de la helice, que en virtud del teorema de Frenet-Serret se que se corresponde con:

τ =

∥∥∥∥∥d~bdl∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥ 1

A

d~b

dt

∥∥∥∥∥ =λω3R2

A4

Si escribimos la expresion para A y reordenamos terminos se llega a que:

τ =λ

ωR2[1 +

(λωR

)2]2

Expresion de la curvatura con un parametro arbitrario.

Vamos a ver que expresion obtenemos para la curvatura si realizamos un cambiode parametros cualquiera. La curvatura se define como,

K =

∥∥∥∥d~vds∥∥∥∥

Si la curva viene dada en forma explıcita y = f(x), entonces,

K =

∥∥ dydx

∥∥[1 +

(dydx

)3/2]

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1.3 Geometrıa de superficies. Relatividad General y Cosmologıa

1.3. Geometrıa de superficies.

Una superficie se define en espacios de dimension superior a dos como,

f : I1 × I2 ⊂ R2 −→ Rn con n ≥ 3

u, v −→ f(u, v) ∈ Rn

f tiene que ser continua y diferenciable. Al igual que las curvas, las superficies puedenexpresarse de varias formas distintas, pero nosotros utilizaremos la forma parametrica.

~r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

Es posible realizar cambios de parametros, los cuales afectan a la forma en que serecorre la superficie.

1.3.1. Vectores tangentes y normal

Una superficie se caracteriza, en cada punto, por dos vectores tangentes y unonormal. Los vectores tangentes forman el plano tangente y se calculan como,

~tu =d~r

du

~tv =d~r

dv

Un vector tangente general tiene esta expresion diferencial,

d~r =d~r

dudu+

d~r

dvdv

El vector normal a la superficie en cada punto se obtiene a partir de los dos vectorestangentes anteriores,

~n = ~tu × ~tv• La direccion es siempre la misma.

• Los vectores tangentes y normal no estan normalizados en general.

• Los vectores tangentes dependen de la parametrizacion escogida. Si hago el cam-bio de parametros (u, v) → (w1, w2), los vectores tangentes cambian. Como elplano tangente es unico,

~tw1 = α~tu + β~tv~tw2 = r~tu + s~tv

~tw1 =d~r

du

du

dw1

+d~r

dv

dv

dw1

=du

dw1

~tu +dv

dw1

~tv

~tw2 =d~r

du

du

dw2

+d~r

dv

dv

dw2

=du

dw2

~tu +dv

dw2

~tv

Para que ~tw1 y ~tw2 no sean paralelos se debe cumplir que el Jacobiano del cambiode parametros sea no nulo.

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1.3.2. Distancias.

Se define lo siguiente,ds2 = d~r · d~r

Esta definicion depende del producto escalar del espacio en cuestion. De forma general,

ds2 =∣∣~tu∣∣2 du2 + 2(~tu · ~tv)du dv +

∣∣~tv∣∣2 dv2

ds2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)du dv +G(u, v)dv2

Y es ası como se introduce la 1a forma fundamental,

M

[E FF G

]El tensor metrico aparece como guv = ~tu~tv.

1.3.3. Cambio de parametros.

Un cambio de parametros introduce una modificacion en la expresion del elementode lınea,

ds2 = E ′dw21 + 2F ′dw1 dw2 +G′w2

2 donde,

E ′ = ~tw1 · ~tw2

E ′ = guu

(du

dw1

)2

+ 2guvdu

dw1

dv

dw1

+ gvv

(dv

dw1

)2

F ′ y G′ se calcularıan de forma analoga, realizando el producto escalar de los vectorestangentes pertinentes. Lo que nos interesa en este apartado es saber como cambia lametrica del espacio, y es de la forma siguiente,

gw1w2 =du

dw1

dv

dw2

guv

Los vectores tangentes y normal tambien cambian al aplicar un cambio de paramet-ros, la forma en que cambian es, ~tuu

~tuv~tvv

=

Γ 1uu Γ 2

uu LΓ 1uv Γ 2

uv MΓ 1vv Γ 2

vv N

~tu~tv~n

Aparecen aquı por primera vez los sımbolos de Chrostoffel Γ k

ij .

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1.3.4. Elementos de superficies. Curvas y curvaturas en su-perficies.

Como ya se ha visto, el elemento de lınea se define como ds2 = gijduiduj, dondegi,j = ~ti · ~tj. En general el vector normal a la superficie no es unitario, para que lo sea

lo calcularemos como ~n =~ti×~tj|~ti×~tj| .

Se define el elemento de area de la siguiente forma:

dA =√gdudv

El elemento de area no depende de la parametrizacion.

1.3.5. Curvas en superficies

Dada una superficie ~r = (r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v)), si (u, v) son funciones de unparametro t, entonces ~r = (r1(t), r2(t), r3(t)) es una curva que esta dentro de la super-ficie.

Teniendo esta curva, la cual esta contenida en la superficie, lo que hacemos esestablecer el elemento de lınea sobre esa curva,

ds2 = gi,jduiduj = gijduidt

dujdtdt2

La longitud entre dos puntos se obtiene integrando la raız de esta expresion.Si cambiamos de parametro, de t al parametro natural s, podemos definir, al igual

que se hizo para curvas, los vectores tangente y normal,

~tc =d~r

dsd~tcds

= K~nc

Donde los subındices c hacen referencia a que son vectores relacionados directamentecon la curva contenida en la superficie. Al igual que antes tenemos el triedro (~tc, ~nc,~bc)

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Curvaturas.

La curvatura de una curva contenida en una superficie se define, al igual que antes,como,

Kc = ~nc ·d~tcds

donde ~n esta normalizado

La curvatura normal de la curva se obtiene haciendo,

KN = ~N · d~tcds

donde ~N esun vector normal a la superficie

Por ultimo, la curvatura geodesica se introduce ası,

Kg = ~Sc ·d~tcds

donde ~Sc esta definido como ~Sc = ~tc × ~N

Teorema

Las tres curvaturas cumplen siempre que,

K2c = K2

N +K2g

Curva geodesica.

Para todo punto de la curva, situada sobre una superficie, tenemos que los vectoresnormal a la curva y el normal a la superficie son proporcionales en modulo. Una curvageodesica es aquella para la cual su curvatura geodesica es nula, Kg = 0.

En una curva geodesica se verifica que, en cada punto, ~nc ~N .Si dos puntos P y Q de una superficie se unen por la curva γ, la distancia entre

ellos viene dada por,

l(γ, P,Q) =

∫ Q

P

ds =

∫ sQ

sP

√gijdxi

ds

dxj

dsds

La distancia se hace mınima si el camino segido γ se corresponde con una curvageodesica.

Para las curvas geodesicas se pueden escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange.

d2xi

ds2+ Γ i

lm

dxl

ds

dxm

ds= 0

Aparecen los sımbolos de Christoffel, de los cuales se hablara mas adelante.

1.3.6. Curvaturas en superficies.

Se definen las curvaturas principales de una superficien en un punto P de la mismacomo,

• K1 es el mınimo de Kc para todas las curvas planas que pasan por P .

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• K2 es el maximo de Kc para todas las curvas planas que pasan por P .

Ademas se define la curvatura media H = K1+K2, y la curvatura de Gauss K = K1K2.Por ejemplo para una esfera de radio R tendrıamos que en cualquier punto de su

superficie,

K1 = 1R

K2 = 1R

H = 2R

K = 1R2

Propiedades

1. Sea la I forma fundamental: ds2 = gijduiduj

(E FF G

). Y sea la II forma funda-

mental:

(L MM N

). La matriz gij se denomina G. El polinomio caracterıstico

P (λ) = det(G− λL)

tiene dos raıces, las cuales cumplen lo siguiente:

- λ1λ2 = K1K2

- K = detGdetL

- H = λ1 + λ2

2. Sea z = f(x, y) una superficie, la curvatura viene dada como

K =fxxfyy − f 2

xy(1 + f 2

x + f 2y

)donde los subındices indican derivacion respecto a esa variable.

3. ds2 = A2du2 +B2dv2

K = − 1

AB

[(Av

V

)v

+

(Bu

A

)u

]4. Teorema .Egregio”de Gauss. K depende solamente de (E,F,G), es decir de la

primera forma fundamental.

5. Forma explıcita de la curvatura,

K(E,F,G) =

∣∣∣∣∣ Euu F...

...

∣∣∣∣∣√det(gij)

A cambio de que la curvatura de dependa de L,M,N se introduce la dependenciacon las derivadas de E,F,G.

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6. Dadas dos metricas, con las cuales se obtienen dos curvaturas,

gij −→ K

gij −→ K ′

Si K 6= K ′ entonces no pueden corresponder con ninguna transformacion deparametros.

1.3.7. Sımbolos de Christoffel.

Sea ~r = (r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v)), se verifica que,

~ruu = Γ vuu~rv + Luu~n

~rus = Γ vus ~rv + Lus~n

donde los subındices indican derivacion parcial respecto a la variable indicada.Conocido esto, podemos hacer lo siguiente,

~rus · ~rl = Γ vus (~rv · ~rl) + Lus(~n · ~rl)

Y por la ortogonalidad entre los vectores tangente y normal llegamos a que,

~rus · ~rl = Γ vus gvl

Si despejamos el sımbolo de Christoffel multiplicando por G−1 obtenemos que:

• Dada una superficie ds2 = gijduiduj, los sımbolos de Christoffel se calculan como:

Γ kij =

I2gkl(∂gil∂uj

+∂gjl∂ui− ∂gij∂ul

)Solamente dependen de la metrica utilizada.

1.3.8. Teorema de Gauss-Bonnet

Sea una superficie cerrada (compacta) y acotada, entonces se cumple que,∫∫K dA = 2πN

donde N es un numero entero y depende solamente de la superficie.Otra vision. Sea una superficie arbitraria y con un triangulo cuyos lados son curvas

geodesicas sobre la superficie, el teorema de Gauss-Bonnet dice que:∑i

θi = π +

∫∫triangulo

KdA

donde θi son los angulos que forman el triangulo y K la curvatura de Gauss.

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Ejemplo. En una esfera de radio R, si tomamos un triangulo geodesico maximo,es decir un octante, la suma de los tres angulos formados resulta ser:

a+ b+ c = π +

∫∫octante

KdA

a+ b+ c = π +K 2πR2 = π +1

R2

4πR2

8

a+ b+ c =3π

2

1.3.9. Notas finales.

Por ultimo se exponen las siguientes definiciones:

• Se define la derivada covariante ∇ como,

∇ ∼ ∂i + Γ kij

• El tensor de curvatura de Riemann Rijkl solo tiene una coordenada undependienteque es R1212 ∼ K. Se define como,

Rijkl ≡

∂Γijk∂xl−∂Γijl∂xk− ΓujkΓ

ilu − ΓujlΓ

iku (1.1)

• El tensor de Ricci Rij se define a partir del tensor de curvatura de Riemann,contrayendolo de la siguiente forma,

Rij = Rkikj

• La curvatura escalar R se obtiene a partir del tensor de Ricci,

R = gijRij

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• El teorema de Gauss-Bonnet se expresa, a parte de como ya se ha visto, de estasdos formas: ∫∫

KdA = 2πχ∫∫R√g du dv = constante

donde χ es la caracterıstica de Euler.

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Capıtulo 2

Cosmologıa. Modelos alternativosal universo de Friedmann.

En este capıtulo se va a exponer una serie de modelos alternativos al universode Friedmann. El modelo del big-bang de Friedmann es estudiado en [4] y no entra enconflicto con la experiencia. Sin embargo, todavıa no ha sido definitivamente confirmadopor la observacion. Por lo tanto en este capıtulo se tomara un breve vistazo a algunosde los modelos cosmologicos que todavıa compiten con el “estandar” de la teorıa.

2.1. Modelos ingenuos: La paradoja Olbers

A lo largo de los siglos XVIII y XIX, la mayorıa de los los astronomos han consid-erado una imagen cosmologica simple, en la que el universo se supone que es infinito,eterno y euclıdeo. Ademas las estrellas estan mas o menos en reposo, y tienen unaluminosidad media constante por unidad de volumen. Estos modelos parecen quedardescartado debido al descubrimiento del desplazamiento al rojo de las galaxias dis-tantes.

A pesar de todo, sigue siendo de interes senalar el argumento en contra de estascosmologıas, que fue ofrecido en 1744 por el astronomo suizo de J.P.L. Cheseaux y, deforma independiente en 1826, por Heinrich Wilhelm Olbers Matthias. Su argumentose basaba en laobservacion astronomica mas antigua de todas, que el cielo se oscurececuando el sol se pone.

Para ver la importancia de esta sencilla observacion fijemonos en que si la absorcionse desprecia, la luminosidad aparente de una estrella de luminosidad absoluta L a unadistancia r en un modelo cosmologico de los anetiormente denominados “ingenuos”serıa L/4πr2. Si la densidad de este tipo de estrellas fuera constante e igual a n,entonces el numero de estas estrellas comprendidas entre r y r + dr es 4πnr2, ası queel total de energıa radiante debido a ellas vendrıa dado por,

ρs =

∫ ∞0

(L

4πr2

)4πnr2 dr = Ln

∫ ∞0

dr (2.1)

La integral diverga, resultando una densidad de energıa infinita debida a la luz deestas estrellas.

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2.1 Modelos ingenuos: La paradoja Olbers Relatividad General y Cosmologıa

Para evitar esta paradoja, tanto de Cheseaux como Olbers postularon la existenciade un medio interestelar que absorbiera la luz de las estrellas muy distantes, respons-ables de la divergencia de la integral (2.1). Sin embargo, esta resolucion de la paradojano es satisfactoria, ya que en un universo eterno de la temperatura del medio intereste-lar tendrıa que aumentar hasta que el medio estuviera en equilibrio termico con la luzde las estrellas, en cuyo caso se emite tanta energıa como se absorbe, y por lo tanto nopodıa reducir la densidad media de energıa radiante.

Las estrellas en sı son, por supuesto, opacas, y bloquean totalmente la luz de lafuentes suficientemente distantes. Pero si esta es la resolucion de la paradoja de Olbers,surge inmediatamente que en cada lınea de vision debe terminar en la superficie deuna estrella, por lo que todo el cielo deberıa tienen una temperatura igual a la de lasuperficie de una estrella tıpica.

Para ver como los modelos cosmologicos modernos evitan la paradoja de Olbers,primeramente recordamos que la luminosidad aparente de una estrella de luminosidadabsoluta L en una coordenada comovil r1 es, despreciando la absorcion,

l =LR2(t1)

4πR4(t0)r21

donde t0 es el momento para el que la estrella es observada y t1 es el momento en elcual la luz fue emitida. Tambien recordamos que el numero de estrellas con luminosidadcomprendida entre L y L+ dL, cuya luz es observada en t0 y fue emitida entre t1− dt1y dt1 es,

dN = 4πR2(t1)r21n(t1, L) dt1 dL

donde n(t1, L)dL es la densidad total de estrellas en el instante t1 con luminosidadcomprendida entre L y L + dL. La densidad de energıa total de la luz estelar es portanto,

ρs0 =

∫∫l dN =

∫ t0

−∞L (t1)

[R(t1)

R(t0)

]4

dt1 (2.2)

donde L es la luminosidad propia,

L (t1) =

∫n(t1, L)LdL

En una cosmologıa con Big-Bang, con un comienzo, no hay paradoja de Olbers,porque la integral (2.2) no esta definifa para tiempos menores que 0, y el integrando seanula para t1 = 0. Por este motivo, la custion que plantea esta paradoja solo aparecepara ciertos modelos cosmologicos, como pueda ser el modelo de universo estacionario,en el cual se supone que ha existido durante un tiempo infinitamente largo. En estosmodelos, es necesaria la siguiente condicion para evitar la paradoja,

t1R4(t1)L (t1)→ 0 para t1 → −∞ (2.3)

Para neutrinos habrıa una condicion ligeramente mas fuerte, con R3(t1) en lugarde R4(t1). La unica cosmologıa popular en el que (2.3) no se satisface es el modelo

19

2.2 Modelos con constante cosmologica Relatividad General y Cosmologıa

de universo oscilante. En este caso es necesario considerar absorcion para evitar laparadoja de Olbers. Pero esta absorcion ocurre durante la etapa de alta contracciondel universo, y el desplazamiento al rojo durante la expansion posterior nos salva delantes citado cielo nocturno iluminado.

2.2. Modelos con constante cosmologica

Cuando Einstein formulo la teorıa general de la relatividad en 1916, existıa la creen-cia generalizada de que el universo era estatico. De acuerdo con las ecuaciones deEinstein, el factor de escala R(t) solo podıa ser constante si

ρ = −3p = 3k/8πGR2

Sin embargo, esto requiere que o la densidad de energıa ρ o la presion p deberıa sernegativa. Con el objetivo de evitar este resultado con poco significado fısico, Einsteinmodifico sus ecuaciones, en 1917, para resultar,

Rµν −1

2gµνR

ρρ − λgµν = −8πGTµν (2.4)

donde λ serıa una nueva constante fundamental, llamada constante cosmologica.La ecuacion (2.4) es la modificacion mas general de las ecuaciones de Einstein que

mantienen la caracterıstica de que Tµν es igual a un tensor que es construido a partir degµν y sus primeras y segundas derivadas, y es lineal en las segundas derivadas de gµν .Sin embargo, para nuestros propositos actuales es mas conveniente mover el terminoλgµν a la derecha de la ecuacion y ası poder escribir,

Rµν −1

2gµνR

ρρ = −8πGTµν (2.5)

donde Tµν es el tensor energıa-momento modificado,

Tµν ≡ Tµν −λ

8πGgµν (2.6)

Si Tµν tiene la forma de fluido perfecto, entonces:

Tµν = pgµν + (p+ ρ)UµUν (2.7)

con unas modificadas presion y densidad,

p = p− λ

8πGρ = ρ+

λ

8πG(2.8)

Todos los resultados validos para las ecuaciones de Einstein sin modificar siguensiendo validas si realizamos el cambio de los tensores y magnitudes iniciales por lostildados.

En particular, la condicion para un universo estatico es,

ρ = −3p =3k

8πGR2(2.9)

20


Para un universo lleno de “polvo” con p = 0, resulta,

k

R2= λ (2.10)

ρ =λ

4πG(2.11)

Para tener una densidad ρ positiva, la ecuacion (2.11) requiere que λ sea positiva,y entonces (2.10) nos dice que,

k = +1 (2.12)

y por tanto,

R =1√λ

(2.13)

El universo estatico de Einstein es, por tanto, finito, con curvatura positiva y unadensidad fijada por las constantes fundamentales G y λ.

Por supuesto, el descubrimiento en la decada de 1920 de una relacion sistematica en-tre el desplazamiento al rojo y la distancia ha eliminado cualquier interes en el universoestatico de Einstein como un modelo cosmologico realista. Sin embargo, la existenciade una constante cosmologica sigue siendo una posibilidad logica, y los cosmologoshan explorado a fondo la dinamica de la expansion de universos con una constantecosmologica.

Vamos a restringir nuestra atencion a los modelos con presion cero, por lo que ρR3

es una constante. Es conveniente expresar esta constante en terminos del valor quetendrıa en un modelo estatico de Einstein:

ρR3 =α

4πG√|λ|

(2.14)

La ecuacion dinamica, donde reemplazamos ρ por la modificada ρ ahora se convierteen,

R2 =1

R

λR3

3− kR +

2α

3√|λ|

(2.15)

El comportamiento cualitativo de R(t) depende de los ceros, maximos y mınimosde la expresion cubica de la derecha de la igualdad. Hay tres casos especialmenteinteresantes, asociados a los nombres de Sitter, Lemaıtre y Eddington-Lemaıtre.

En el modelo de de Sitter, el espacio es esencialmente vacıo y plano, ası que k = 0,α = 0, y λ es positiva. La ecuacion (2.15) tiene entonces la simple solucion,

R ∝ eHt (2.16)

H =

(λ

3

)1/2

(2.17)

21


La metrica aquı es igual que en el modelo de universo estacionario con la diferenciade que en lugar de que la materia se crea continuamente, no hay materia en absoluto.Esta metrica tiene un grupo de diez parametros de isometrıas, que es solo el grupode “rotaciones” en cinco dimensiones que dejan invariante una matriz diagonal conelementos +1,+1,+1,+1,−1. Este grupo se llama, por lo tanto,el grupo de de Sitter.Aunque la ausencia de materia en el modelo de de Sitter lo elimina de la consideracionde ser un modelo aceptable del universo, hay que senalar que cualquier modelo conλ > 0 se acerca a un modelo de de Sitter cuando R→∞.

El el llamado modelo de Lemaıtre, el espacio esta curvado positivamente, λ espositiva, y hay mas materia que en modelo estatico de Einstein, de modo que k = +1 yα > 1. De acuerdo con la ecuacion (2.15), el factor de escala R empieza a expandirse ent = 0 como t2/3, pero la expansion se relentiza alcanzando una velocidad de expansionmınima para R = α1/3/

√λ, despues del cual se acelera de nuevo aproximandose al

resultado de de Sitter (2.16). La caracterıstica mas remarcable de este modelo es laexistencia de un “periodo de inercia”, durente el cual R(t) permanece cercano a R =α1/3/

√λ en el cual R tiene un mınimo. Durante este periodo la ecuacion diferencial

(2.15) con k = +1 tiene la siguiente forma,

R2 ' α2/3 − 1 + (√λR− α1/3)2

La solucion es

R =α1/3

√λ

[1 + (1− α−2/3) sinh(√λ(t− tm))]

donde tm es el instante para el que R alcanza su mınimo. Si α es muy proximo a launidad, entonces R permanecera cercano al modelo estatico de Einstein durante unlargo tiempo, del orden de,

∆λ = λ−1/2| ln(1− α−2/3)| (2.18)

El modelo de Eddington-Lemaıre es un caso lımite del modelo de Lemaıtre, par-ticularmente puesto de relieve a traves del trabajo de Eddington. Se tiene la mismacurvatura y masa que en el modelo de Einstein estatico, es decir, k = +1 y α = 1, y secomporta como un modelo de Lemaıtre con un infinitamente largo “periodo de inercia”.Esto es, si empezamos con R = 0 en t = 0, entonces R se acerca asintoticamente alvalor de Einstein 1/

√λ para t→∞. Por otra parte, si empezamos con R = 1/

√λ para

t = 0, entonces R crece de forma monotona, aproximandose al crecimiento exponencialde de Sitter (2.16). Esto muestra que el modelo de Einstein es inestable, porque si sesometiera su universo a una ligera expansion o contraccion, entonces R debe continuarexpandiendose o contrayendose, con una dependencia temporal dada por el modelo deEddington-Lemaıtre.

22

2.3 El modelo de universo estacionario Relatividad General y Cosmologıa

2.3. El modelo de universo estacionario

Si el universo no es solo isotropico y homogeneo espacialmente, sino que tambienes homogeneo temporalmente, entonces la metrica debe tener la forma de Robertson-Walker, con

k = 0 R(t) ∝ eHt (2.19)

donde H es la constante de Hubble. Tambien todos los escalares como ρ y p deben serindependientes del tiempo, ademas de serlos del espacio:

ρ = 0 p = 0 (2.20)

Las ecuaciones de campo de Einstein deberıan ser modificadas para utilizarlas aquı.Estas solo son consistentes con las identidades de Bianchi si el tensor energıa-momentose conserva. Pero una presion constante violarıa esta conservacion a menos que ρ = −p,lo cual requerirıa que o la presion o la densidad de energıa fueran negativas.

Es por lo tanto necesario modificar las ecuaciones de Einstein anadiendo un terminocorrector Cµν :

Rµν −1

2gµνR

λλ + Cµν = −8πGTµν (2.21)

Un sencillo calculo introduciendo (2.19) en las ecuaciones de Einstein resulta,

Rµν −1

2gµνR

λλ = 3H2gµν

ası que la norma del termino corrector para el modelo estacionario es,

Cµν = −(8πGp+ 3H2)gµν − 8πG(ρ+ p)UµUν (2.22)

donde Uµ es el cuadrivector velocidad, con U t = 1 y U i = 0.Con el objetivo de aprender algo de la ecuacion (2.22), necesitamos imponer algunas

ideas a priori sobre la forma del tensor Cµν . Hoyle sugirio que, en general

Cµν = C;µ;ν (2.23)

donde C es un escalar, llamado campo-C. Hoyle tambien indico que, en ausencia deinhomogeneidades o anisotropıas, C es simplemente proporcional al tiempo cosmicoutilizado en el sistema de coordenadas de Robertson-Walker:

C = At con A constante (2.24)

Es sencillo calcular la segunda derivada covariante, resultando

C;µ;ν = −AH(gµν + UµUν) (2.25)

Comparando (2.25) y (2.22) observamos que la densidad debe tomar el valor:

ρ =3H2

8πG(2.26)

23

2.3 El modelo de universo estacionario Relatividad General y Cosmologıa

y la constante de proporcionalidad para C es,

A =8πG(ρ+ p)

H(2.27)

La presion puede tomar cualquier valor.La densidad predicha por (2.26) es la misma que la dada por un modelo de Fried-

mann sin curvatura. Por lo tanto la verificacion de la ecuacion (2.26) no sirve realmentepara confirmar el modelo estacionario. Ademas, el modelo estacionario no requiere queel tensor Cµν tome la forma (2.23), (2.24), por lo que no nos verıamos obligados aabandonar la metrica del modelo estacionario si la densidad fuera diferente a la dadapor (2.26).

La mas clara evidencia en contra del modelo estacionario es la observacion delfondo cosmico de microondas, lo que parece ser un vestigio de una etapa anterior deluniverso muy diferente a la actual. Sin embargo, no esta fuera de duda que el fondo demicroondas se creara junto con los bariones en un universo estacionario.

La densidad de fotones por unidad de frecuencia en un modelo estacionario es,

nγ(ν) = 8πν2

∫ t0

−∞exp

(−∫ t0

t

Λ(νeH(t0−t′))− Ω(νeH(t0−t′)) dt′)× Ω(νeH(t0−t)) dt

donde Λ(ν) es el ritmo de absorcion de un foton de frecuencia ν y 8πν2Ω(ν)dν es latasa de emision por unidad de volumen de fotones con frecuencias entre ν y ν + dν.Mediante un simple cambio de variable, la expresion anterior se puede escribir de formaque sea independiente de t0,

nγ(ν) = 8πν2

∫ ∞ν

dν ′

Hν ′Ω(ν ′) exp

(−∫ ν′

ν

dν ′′

Hν ′′[Λ(ν ′′)− Ω(ν ′′)]

)(2.28)

Derivando con respecto a ν, queda una ecuacion diferencial para nγ(ν), la cualpuede escribirse como una formula para Ω(ν):

Ω(ν) =[Λ(ν) + 2H]nγ(ν)−Hνn′γ(ν)

8πν2 + nγ(ν)(2.29)

De este modo, mediante una eleccion adecuada de la tasa de emision de fotones,nos la podemos arreglar para conseguir cualquier funcion de distribucion nγ(ν) quequeramos. Por ejemplo, si quiero el comportamiento a baja frecuencia Rayleigh-Jeansnγ(ν) ∝ ν, entonces (2.29) produce, en el lımite ν → 0:

Ω(0) = Λ(0) +H (2.30)

El termino H representa una continua creacion de fotones puramente cosmoglogica.Tambien podemos obtener la funcion de distribucion de Planck,

nγ(ν) =8πν2

exp(hν/kT )− 1

24

2.4 Modelos con G variable. Relatividad General y Cosmologıa

mediante la eleccion siguiente:

Ω(ν) = ehν/kTΛ(ν) +Hhν/kT

exp(hν/kT )− 1(2.31)

El primer termino representa simplemente los procesos de emision habituales quesiempre acompanan a cualquier absorcion, mientras que el segundo termino representauna creacion continua de fotones. Sin embargo, no hay ninguna razon a priori por laque la tasa de creacion continua de fotones deba tener la dependencia en frecuenciamostrada en la ecuacion (2.31). De modo que, desde el punto de vista de un modeloestacionario, la ley de distribucion de Planck es posible, pero bastante artificial. Dehecho, no hay ninguna razon particular por la que los fotones de baja frecuencia debenser continuamente creados precisamente con la tasa de 8πHν2 requerida por la ecuacion(2.30), por lo que incluso la ley de Rayleigh-Jeans del comportamiento a baja frecuenciaes algo antinatural.

2.4. Modelos con “constante” de gravitacion vari-

able.

Las fuerzas gravitacionales son muy debiles comparadas con las que aparecen en lafısica atomica o nuclear. Por ejemplo, la relacion de la gravedad a la fuerza electricaentre el electron y el proton tiene el valor

Gmpme

e2= 4,4× 10−40 (2.32)

A pesar de los muchos intentos, no hay ninguna explicacion convincente de porque unnumero adimensional tan pequeno deberıa aparecer en las leyes fundamentales de lafısica. Sin embargo, hay una pista que sugiere que numeros como (2.32) no estan deter-minados unicamente por las condiciones microscopicas, sino que tambien en parte porla influencia del universo completo. Esta pista es el simple hecho de que a partir de lasconstantes fundamentales G, ~, c y la constante de Hubble H0, es posible construir unamasa, la cual no es demasiado diferente de la masa de una tıpica partıcula elementalcomo es el pion: (

~2H0

Gc

)1/3

≈ mπ (2.33)

Para H−10 = 1010 anos, la parte izquierda de la igualdad tiene un valor de 60 MeV/c2,

mientras que la masa del pion es 140 MeV/c2. Si e2/c fuera utilizada en lugar de ~,la parte izquierda de la igualdad serıa del mismo orden de magnitud que la masa delelectron.

Por supuesto, uno es perfectamente libre de considerar (2.33) como una coincidencianumerica sin sentido, pero debemos apuntar que esta particular combinacion de G, ~,c y H0 es mucho mas cercana a la masa de una partıcula elemental que otra cualquiercombinacion de esas constantes. Por ejemplo, a partir de ~, G y c podemos formar lacantidad (~c/G)1/2 con dimensiones de masa, pero su valor es 1,22 × 1022 MeV/c2,mayor que la masa de una partıcula tıpica en 20 ordenes de magnitud.

25


Para considerar las posibles interpretaciones de (2.33), debemos tener cuidado paradistinguirla de otras “coincidencias” numericas como la relacion entre G, H0, mp y ladensidad de bariones,

Gn0mp ≈ H20 (2.34)

Esta es una relacion entre dos parametros cosmologicos, n0 y H0, y es requeridaen varios modelos cosmologicos como el de Friedmann y el modelo estacionario deHoyle. En cambio, (2.33) involucra un unico parametro cosmologico y varias constantesfundamentales.

Si optamos por considerar que la relacion (2.33) tiene un significado real, aunquemisterioso, entonces tenemos que afrontar el problema de que en la mayorıa de lascosmologıas H0 no es una constante, sino que esta en funcion de la edad del universo.Una forma de abordar este problema es reemplazar H0 con una cantidad de magnitudcomparable que sea constante; por ejemplo, en un modelo de Friedmann cerrado sepuede usar el recıproco del tiempo que tarda el universo en expandirse hasta su ex-tension maxima. En unico inconveniente es que con esta aproximacion no llegamos aninguna parte, y en particular, nos quedamos con las constantes como (2.32) o Gm2/~cque son inexplicablemente pequenas.

En 1937 Dirac sugirio un modo diferente de ainterpretacion. Propuso que relacionescomo(2.33) son realidades fundamentales aunque todavıa inexplicadas, las cuales per-manecen validas con un factor de proporcionalidad incluso cuando la “constante” deHubble R/R varıa con la edad del universo. A esto le sigue entonces que o mas “con-stantes” ~, G, c y mπ deben cambiar en escalas cosmicas de tiempo.

Con el objetivo de evitar tener que reformular completamente la fısica atomica ynuclear, Dirac escogio G como la “constante” que varia con el tiempo, y para conservar(2.33), propuso que,

G ∝ R

R(2.35)

Ademas, Dirac propuso que relaciones como (2.34) tambien continuan siendo cier-tas, con una constante de proporcionalidad, conforme el universo se expande. Comon ∝ R−3, se sigue que

GR−3 ∝ R2

R2(2.36)

Eliminando G(t) de (2.35) y (2.36) obtenemos una ecuacion diferencial para R(t):

R ∝ R−2

cuya solucion es:R ∝ t1/3 (2.37)

Resulta entonces que la contante gravitacional tiene una dependencia temporal del tipo

G ∝ t−1 (2.38)

26


Como consecuencia a la cosmologıa de Dirac, no hay un significado para numerostan pequenos como 10−40; la razon de que (2.32) sea pequeno es que el universo esantiguo.

Para k ± 1, aun hay relevantes parametros cosmologicos que son constantes o quevarıa muy ligeramente, como es el numero nR3 de partıculas en una esfera cuyo radio esdel orden del radio de curvatura del espacio. Para evitar esto, Dirac tambien incluyo queel espacio es plano, con K = 0, ası que el factor de escala de Robertson-Walker R(t) ynumeros como nR3 deberıan estar exentas de significado fısico.

Si la constante de gravitacion varıa, entonces la relatividad general necesita serreemplazado por otra teorıa de campos de gravitacion. Dirac no especifico cual serıa,por lo que su modelo cosmologico seguıa siendo incompleto. Sin embargo, hizo una seriede predicciones concretas. En primer lugar, la ecuacion (2.37) da una relacion entre lapresente constante de Hubble H0 y la edad actual del universo t0:

t0 =1

3H−1

0 (2.39)

Incluso para H−10 tan grande como 13 × 109 anos, esto resula una edad de solo

4,3× 109 anos, menos que la medicion de la edad de la Tierra y la luna determinadasmediante datacion radiactiva. De modo que la teorıa de Dirac esta en conflicto con lasobservaciones. La ecuacion (2.37) proporciona un parametro de desaceleracion q0 = 2,que no puede ser descartado con los datos actuales. Finalmente, la ecuacion (2.38)aporta una tasa de decrecimiento de la “constante” de gravitacion,(

G

G

)0

= −t−10 = −3H0 (2.40)

La teorıa de Dirac ha inspirado una serie de intentos de formular una teorıa decampos de la gravitacion en la que la “constante” de gravitacion sea una funcion deun campo escalar. Jordan propuso una teorıa, que implicaba una no conservacion deltensor de energıa-momento, y fue duramente criticado por este y otros motivos. Unaposterior reformulacion elimino la mayor parte de estas objeciones, pero la teorıa deJordan todavıa no incorporaba con exito la materia no relativista. La mas interesantey completa teorıa de gravitacion con tensores-escalares fue la propuesta por Brans yDicke en 1961. En esta teorıa, la constante gravitacional G se sustituye con el recıprocode un campo escalar φ. A fin de incorporar las relaciones tales como (2.34) en la teorıa,φ se supone que obedece a una ecuacion de campo

22φ ≡ (φµ; );µ =8π

3 + 2ωT µµ

(2.41)

donde Tµν es el tensor energıa-momento de materia (sin incluir φ) y ω es un parametrode acoplo adimensional. PAra no interferir con el exito del Principio de Equivalencia,se asume que φ no aparece en als ecuaciones de movimiento de materia ordinaria yradiacion, ası que T µν obedece la usual ley de conservacion,

T µν;ν = 0 (2.42)

27


Las identidades de Bianchi entonces requieren que las ecuaciones de campo tomenla forma:

Rµν = −8π

φ

[Tµν −

(1 + ω

3 + 2ω

)gµνT

λλ

]− ω

φ2φ;µφ;ν −

1

φφ;µ;ν (2.43)

Esta teorıa se convierte en equivalente a la de Jordan en el caso especial en que eltensor energıa-momento tenga traza nula.

Aplicando la teorıa de Brans-Dicke, de nuevo consideramos el universo sumido en unhomogeneo e isotropo continuo. Con la metrica de Robertson-Walker, el tensor energıamomento con la forma de fluido perfecto y el campo escalar φ como funcion temporalunicamente. Tras un pequeno calculo se obtiene una componente temporal-temporalde la ecuacion (2.43) como:

3R

R= − 8π

(3 + 2ω)φ(2 + ω)ρ+ 3(1 + ω)p − ωφ2

φ2− φ

φ(2.44)

mientras que las componentes espaciales-espaciales resultan ser:

− R

R− 2R2

R2− 2k

R2= − 8π

(3 + 2ω)φ(1 + ω)ρ− ωp+

φR

φR(2.45)

y las comotentes espaciales-temporales unicamente aportan que 0 = 0. La ecuacion decampo 2,41 para φ aparece,

d

dt(φR3) =

8π

(3 + 2ω)(ρ− 3p)R3 (2.46)

y las leyes de conservacion (2.42)proporcionan,

ρ = −3R

R(ρ+ p) (2.47)

Eliminando R de las ecuaciones (2.44) y (2.45) y utilizando (2.46) para eliminar φ,podemos obtener una ecuacion de primer orden,

R2

R2+

k

R2=

8πρ

3φ− φR

φR+ωφ2

6φ2(2.48)

Podemos recuperar (2.44) y (2.45) a partir de la derivada de (2.48), ası que las ecua-ciones fundamentales de la teo´rıa de Brans-Dicke pueden ser tomadas como (2.46)-(2.48), mas una ecuacion de estado que proporcione p como funcion de ρ. Ademas, la“constante” gravitacional, medida por observacion de parıculas que se mueven lenta-mente, o en dilataciones temporales, es:

G =

(2ω + 4

2ω + 3

)φ−1 (2.49)

Para cualquier ecuacion de estado p = p(ρ), las ecuaciones (2.46)-(2.48) pueden serconsideradas como una ecuacion diferencial de segundo orden mas dos ecuaciones difer-enciales de promer orden para las tres variables R, φ y ρ. Se sigue que esas ecuaciones

28


unicamente determinan R(t), φ(t) y ρ(t) para todo t, con tal que tengamos el valor decuatro variables en el presente, es decir R0, R0, φ0 y ρ0, y por supuesto G, con el finde poder calcular R(t) y ρ(t) para cualquier tiempo t.

Originalmente, Brans y Dicke eliminaron este grado de libertad extra imponiendouna restriccion adicional:

φR3 → 0 para R→ 0 (2.50)

Con esta condicion inicial, y dadas ω, k y la ecuacion de estado, podemos obtenerla solucion completa para R(t), ρ(t) y φ(t) especificando solo el valor de estos en elpresente R0, R0 y φ0, o mejor aun H0, G0 y q0 (o ρ0.)

Unos pocos anos despues, Dicke sugirio que las soluciones relevantes deberıan seraquellas que no satisfacen la restriccion (2.50). En general todas las soluciones presentanuna singularidad en R = 0 en un tiempo finito, el cual lo solemos definir para ser t = 0.La ecuacion (2.46) tiene entonces la siguiente solucion:

φ(t)R3(t) =8π

2ω + 3

∫ t

0

[ρ(t′)− 3p(t′)]R3(t′) dt′ − C (2.51)

donde C es una constante de integracion, la cual puede ser positiva, negativa o cero.Para C = 0 obtenemos la familia de modelos que satisfacen la condicion inicial (2.50),la cual depende de tres parametros. Para C 6= 0 resulta una familia dependiente decuatro parametros, siendo necesario determinar el valor de C.

Las propiedades de esas soluciones son suficientemente sutiles para que merezca lapena estudiar en detalle el unico caso en que (2.46)-(2.48) se pueden resolver analıtica-mente, el caso de cero presion y curvatura:

p = 0 k = 0

Aquı (2.47) da,ρ ∝ R−3 (2.52)

ası que (2.47) resulta inmediatamente:

φ =8πρ

2ω + 3(t− tc) (2.53)

donde

tc ≡(2ω + 3)C

8πρR3(2.54)

Es muy conveniente introducir una nueva variable

u ≡ (t− tc)φ

φ=

8πρ(t− tc)2

(2ω + 3)φ> 0 (2.55)

Expresando ρ y φ/φ en (2.48) en terminos de u y fijando k = 0 podemos inmediata-mente resolver para R/R:

2(t− tc)RR

= −u±(

3 + 2ω

3

)1/2

(u2 + 4u)1/2 (2.56)

29


Tambien la ecuacion (2.52) y la derivada logarıtmica de (2.53)dan,

u

u= −3R

R+ 2(t− tc)−1 − φ

φ

o utilizando (2.55) y (2.56),

(t− tc)u =1

2u

u+ 4∓ 3

(3 + 2ω

3

)1/2

(u2 + 4u)1/2

(2.57)

Esta ecuacion de primer orden debe ser integrada para encontrar u(t), siguiendoseque (2.55) y (2.56) pueden ser integradas para determinar φ(t) y R(t).

Una clase de soluciones obvia para (2.57) son aquellas con u una constante igual auno de los ceros de la derecha de la igualdad (2.57). Con el objetivo de obtener ese cerocon u > 0, debemos tomar el signo superior de la raız cuadrada en (2.57) y en (2.56).Con todo esto la solucion es:

u =2

3ω + 4(2.58)

Para esta solucion debemos tomar tc = 0, porque de lo contrario (2.56) darıa queR = 0 solo en el tiempo t = tc, y hemos acordado establecer nuestros relojes tal queesta singularidad ocurra en t = 0. Con tc = 0, las ecuaciones (2.55) y (2.56) producenlas soluciones:

φ ∝ t2/(4+3ω) (2.59)

R ∝ t(2ω+2)/(3ω+4) (2.60)

4πρt2

φ=

(2ω + 3)

(3ω + 4)(2.61)

Para tc 6= 0 es necesario analizar como u se mueve entre los puntos singulares u = 0,u = 2/(3ω + 4) y u = ∞ en la ecuacion (2.57). Los resultados dependen fuertementedel signo de tc.

tc > 0. Aquı u cae monotonamente desde u = ∞ a t = 0 hasta u = 0 para t = tc.Posteriormente crece monotonamente hasta el valor (2.58) conforme t → ∞. El signode la raız cuadrada en las ecuaciones (2.56) y (2.57) cambian a t = tc, del signo inferiorpara t < tc al signo superior para t > tc. Las soluciones de (2.57) estan entonces dadaspor:

ln

(1− t

tc

)= −2

∫ u

0

du

uu+ 4 + 3(1 + 2ω/3)1/2(u2 + 4u)1/2

ln

(t

tc− 1

)= 2

∫ u

0

du

uu+ 4− 3(1 + 2ω/3)1/2(u2 + 4u)1/2para t > tc

Estas integrales pueden ser hechas en forma aproximada, pero es mas interesantemirar el comportamiento de las soluciones para tiempos muy tempranos y muy tardıos.Para t tc encontramos

u→ (3[1 + 2ω/3]1/2 − 1)

(4 + 3ω)(t/tc)

30


ası las ecuaciones (2.55) y (2.56) tienen las soluciones:

φ ∝ t(1−3[1+2ω/3]1/2)/(4+3ω) (2.62)

R ∝ t(1+ω+[1+2ω/3]1/2)/(4+3ω) (2.63)

Para t tc, u se aproxima al valor de (2.58), y las soluciones de (2.55) y (2.56) seacercan a (2.59) y (2.60).

tc < 0. Aquı u decrece monotonamente desde u =∞ para t = 0 al valor indicado en(2.58) para t→∞. Las raıces cuadradas de (2.56) y (2.57) se escoge el signo superior,ası que (2.57) tiene la solucion

ln

(1 +

t

|tc|

)= 2

∫ ∞u

du

u3(1 + 2ω/3)1/2(u2 + 4u)1/2 − u− 4

Para t |tc| encontramos

u→ (3[1 + 2ω/3]1/2 + 1)

(4 + 3ω)(t/|tc|)

ası las ecuaciones (2.55) y (2.56) tienen las soluciones

φ ∝ t(3[1+2ω/3]1/2+1)/(4+3ω) (2.64)

R ∝ t(1+ω−[1+2ω/3]1/2)/(4+3ω) (2.65)

Para t |tc|, u se aproxima al valor de (2.58) y las soluciones de (2.65) y (2.56) denuevo se acercan a (2.59) y (2.60).

Hay entonces tres tipos de solucion, todas ellas se comportan del mismo modo parat |tc| pero son radicalmente distintas cuando t . |tc|. Solo la solucion con tc = 0tiende suavemente a la solucion de Friedmann sin curvatura (φ constante y R ∝ t2/3)en el lımite de grandes ω; las soluciones con tc > 0 o tc < 0 tienen φ → ∞ o φ → 0respectivamente, conforme r → 0 para algun ω finito.

Aunque estas soluciones fueron derivadas bajo la consideracion de cero presion ycurvatura, estas exhiben muchas de las propiedades de soluciones mas complicadas.En general, las soluciones deben ser clasificadas acudiendo al valor de la constante deintegracion C, ya sea negativa, cero o positiva. Para un tiempo t suficientemente largo,en la integral de (2.51) domina la era de materia, en la cual ρ ∝ R−3, ası que la integralcrece como t, y entonces la constante de integracion se vuelve insignificante. En estelımite, tenemos

φ =8πρt

2ω + 3(2.66)

y todas las soluciones convergen hacia la solucion con C = 0, la cual, desafortunada-mente, debe ser calculada mediante la resolucion numerica de (2.48) y (2.66) conρ ∝ R−3. Por otro lado, para tiempos t suficientemente pequenos, la constante de

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integracion dominara (2.51), y porsupuesto C 6= 0. En este caso la curvatura y ladensidad que aparecen en (2.48) se vuelven despreciables para t → 0, y las solucionestienden a las previamente obtenidas,

φ ∝ t(1∓3[1+2ω/3]1/2)/(4+3ω) (2.67)

R ∝ t(1+ω±[1+2ω/3]1/2)/(4+3ω) (2.68)

con el signo superior para C > 0 y el inferior para C < 0. La solucion con C = 0 seaproxima suavemente a la solucion del model de Friedmann para grandes ω, pero lassoluciones con C 6= 0 se comportan peculiarmente en t = 0 para cualquier ω.

La teorıa de Brans-Dicke no ofrece una solucion satisfactoria para las relacionesnumericas discutidas al principio de esta seccion. Generalmente φ/φ y 1/t seran delorden de la “constante” de Hubble H y φ es del orden de 1/G, por lo que una vez quela constante de integracion C se hace despreciable, la ecuacion (2.66) se haran mas omenos la misma que la relacion (2.34). Sin embargo, la ecuacion (2.34) no es ni siquieraaproximadamente valida en los primeros momentos cuando C no es despreciable. Masimportante aun, la “misteriosa” relacion (2.33) no se explica del todo por la teorıade Brans-Dicke. De hecho, en el caso mas simple de presion cero, curvatura cero, ycero constante de integracion, (2.60) y (2.59) muestran que H ∝ 1/t mientras queG ∝ t−2/(4+3ω), por lo que la masa (~2H/Gc)1/3 disminuye con el tiempo, y la relacion(2.33) solo puede ser valida por un breve perıodo en la historia del universo.

Pasemos ahora a las consecuencias observacionales de esta teorıa. Ni el campogravitatorio, ni el campo de Brans-Dicke tiene ningun efecto directo sobre los procesosnucleares que se consideran para producir helio en el universo primitivo, pero sı afectanel ritmo de expansion del universo, lo que a su vez regula la cantidad de helio quepueden ser producidos. Para las soluciones con C = 0, la integracion numerica de lasecuaciones (2.48) y (2.51) muestra que en el caso ω = 5, k = 0, H−1

0 = 9,5 × 109

anos, Po = 2 × 10−29 g/cm3, el efecto del campo de Brans-Dicke acortar el tiemporequerido para que la temperatura descienda de 109 K en un factor de 0,45, de modoque mas neutrones se dejan cuando la nucleosıntesis comienza, y la abundancia dehelio cosmologicamente producido es de aproximadamente un 42 % en peso, en lugardel 27 %. Para k = −1, la diferencia entre los modelos de Friedmann y de Brans-Dicke es considerablemente menor. Por otro lado, con una constante de integracion nonula en (2.51), podemos hacer que la tasa de expansion en el universo temprano. Parauna moderada aceleracion de expansion la produccion de helio se mejora, pero si laexpansion se acelera demasiado, entonces no habra tiempo suficiente para la reaccionn + p → d + γ para producir deuterio suficiente para iniciar la nucleosıntesis, y seproducira muy poco helio.

Durante la epoca mas reciente, dentro de la gama de telescopios opticos, la constantede integracion C tiene presumiblemente (aunque no con completa certeza) un valorinsignificante, por lo que para ω grandes las relaciones entre la curvatura, la densidad,la edad, la constante de Hubble y el parametro de aceleracion son mas o menos las

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mismas que para los modelos de Friedmann. Por ejemplo, para una presion cero cerocurvatura modelo en el lımite t |tc|, las ecuaciones (2.59)-(2.61) dan las relaciones:

H0t0 =(2 + 2ω)

(4 + 3ω)(2.69)

q0 =ω + 2

2ω + 2(2.70)

4πGρ0

H20

=(4 + 3ω)(4 + 2ω)

(2 + 2ω)2(2.71)

Para ω = 6 estas tres cantidades tienen los valores 0.64, 0.57 y 1.80, mientras que loscorrespondientes valores para el modelo de Friedmann con k = 0 son 0.67, 0.50 y 1.50.

Sin duda, la caracterıstica observable mas distintiva, tanto en la Dirac como en lateorıa de Brans-Dicke, es la disminucion de la constante gravitacional G con el tiempo.En la teorıa de Brans-Dicke la tasa actual de cambio de G viene dada por (2.66) como,(

G

G

)0

= −

(φ

φ

)0

= − 8πρ0t0(2ω + 3)φ0

= −8πG0ρ0t0(2ω + 4)

(2.72)

En general, con el fin de expresar ρ0 y t0 en terminos de G0, H0, y q0, serıa necesariorecurrir a una solucion numerica de las ecuaciones diferenciales (2.66) y (2.45). Sin em-bargo, si ω es razonablemente grande (digamos ω & 5), entonces la tasa de disminucionde G se puede calcular de una forma suficiente precisia mediante el uso de ρ0 y t0 en(2.72) los valores calculados utilizando las ecuaciones de Einstein. El general el modelode Friedmann da como resultado de ρ0:

4πG0ρ0

3H20

= q0 (2.73)

Valores para H0t0 y resultados para la tasa (2.72) vienen expuestos en la tabla (2.1).En el caso especial k = 0, en el cual tenemos una solucion analıtica, las ecuaciones

(2.59) y (2.60) proporcionan el resultado “exacto”(G

G

)0

= − H0

1 + ω

ası que la estimacion de esta tasa dada en la tabla (2.1) es en este caso alrededor del12 %, demasiado bajo para ω = 6. Las estimaciones de la tabla (2.1) estan en buenacuerdo con los resultados “exactos” que han sido computados para k = −1 y ω = 5 oω = 10.

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Modelo q0 t0H0(ω =∞) (G/G)0

Brans-Dicke 1 1 −3q0H0

w+2

Brans-Dicke 12

23

− H0

ω+2

Brans-Dicke 1 π2− 1 −1,71H0

ω+2

Brans-Dicke 1 π2√

2q0−3,34H0

√q0

ω+2

Dirac 2 13

−3H0

Cuadro 2.1: Tasa de decrecimiento de G en varios modelos de Brans-Dicke y en

el modelo de Dirac. Los valores de (G/G)0 en los modelos de Brans-Dicke se

han estimado a partir de la ecuacion (2.72).

Para H−10 = 1010 anos, q0 entre 0.01 y 1.0 y ω = 6, la tabla (2.1) proporciona la tasa

de decrecimiento de G entre 4 × 10−13 partes por ano y 2 × 10−11 partes por ano. Encambio, el modelo de Dirac predice un decrecimiento de la “constante” gravitacionalmucho mas rapido; para H0 = 1010 anos, la tasa de decrecimiento de G serıa de 3×10−10

partes por ano.El mejor lımite superior experimental proviene del analisis de las observaciones

mediante radar de Mercurio y Venus. Para un planeta en orbita circular con radioorbital r y velocidad v, tenemos que MG = v2r, ası que el momento angular orbitalmrv permanece fijamo mientras que G cambia, entonces r y v variara como:

r ∝ 1

v∝ 1

G(2.74)

y el periodo orbital 2πr/v cambiara como:

2πr

v∝ 1

G2(2.75)

Comparando repetidamente los perıodos orbitales de los planetas interiores, durantelos anos 1966-1969, con el tiempo medido por un reloj atomico (que no depende de G),Shapiro et al. ha establecido un lımite superior∣∣∣∣∣GG

∣∣∣∣∣0

. 4× 10−10/ano

Esto es casi lo suficientemente bueno para descartar la teorıa de Dirac, pero todavıano es suficientemente estricto como para poner un lımite util en el parametro deacoplamiento ω de Brans-Dicke. Sin embargo, el error en las mediciones de (G/G)0

se espera que disminuya aproximadamente con la potencia 5/2 del lapso de tiempo

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de las observaciones, por lo que otros cinco anos de observacion debe reducir el lımitesuperior de G/G al valor esperado en un modelo de Brans-Dicke con q0 del orden dela unidad y ω = 6.

Tambien hay una perspectiva de establecer un lımite superior a la tasa de cambiode G a partir del analisis del tiempo de vuelo de senales laser enviadas desde la Tierraa la Luna, y que se reflejan de vuelta a la Tierra por los reflectores colocados sobre lasuperficie lunar por las expediciones Apolo. Sin embargo, el analisis de estas observa-ciones se ve seriamente dificultado por los efectos de las mareas, que juegan un papelimportante en la dinamica del sistema Tierra-Luna. (Afortunadamente, esos efectos delas mareas no afectan gravemente a los movimientos planetarios que fueron estudiadospor Shapiro et al.)

Las variaciones de G a lo largo de los ultimos milenios quiza se pueden determinara partir del estudio de los antiguos registros de eclipses. Un eclipse total de Sol seproduce solo sobre una porcion muy pequena de la superficie de la Tierra, por loque el conocimiento de que un eclipse total en particular fue visto en algun lugar enparticular proporciona informacion precisa sobre la relacion de la longitud del dıa, queno depende en gran medida de G, a la duracion del ano y el mes lunar, que varıacomo 1/G2. El analisis de Curott y Dicke de seis eclipses, ocurridos entre 1062 a.C.y 71 d.C. proporciona una tasa media de decrecimiento en la tasa de rotacion de laTierra en relacion a periodos planetarios de (15,9 ± 0,7) × 10−11 partes por ano, yuna desaceleracion de marea entre 23,5 × 10−11 y 25,6 × 10−11 partes por ano. Latasa de rotacion de la Tierra esta sujeta a una serie de influencias, en particular a lasfuerzas de marea debidas al cambio de nivel del agua de los mares de entre 0,5× 10−11

y 3,0 × 10−11 partes por ano. Esto deja una inexplicada aceleracion residual para larotacion de la Tierra de entre 4 × 10−11 y 10 × 10−11 partes por ano. Dado que losdatos del eclipse miden la velocidad de rotacion de la Tierra en relacion con perıodosplanetarios, esta aceleracion residual aparente podrıa explicarse en terminos de unadeceleracion de los movimientos planetarios, debido a una disminucion de G a una tasade entre 2 × 10−11 y 5 × 10−11 partes por ano. Sin embargo, los datos de los eclipsesson un tanto ambiguos. Mas importante, hay muchas incertidumbres en la complejadinamica del sistema Tierra-Luna que podrıan dar cuenta de la pequena aceleracionresidual aparente de rotacion de la Tierra, sin apelar a una disminucion de G.

Tal vez sea posible medir los cambios en los ultimos 350 millones de anos en elnumero de dıas en un mes lunar o un ano, contando las bandas de crecimiento anualeso mensuales y las crestas de crecimiento diario en los corales fosiles. Sin embargo, esteenfoque no ha dado resultados que sean lo suficientemente precisos para ser de utilidada los cosmologos.

Una disminucion en la constante de gravitacion durante miles de millones de anospodrıa tener efectos interesantes en la evolucion de la Tierra y las estrellas pero, pordesgracia, ninguno de estos efectos serıa proporcionar informacion clara acerca de sirealmente G disminuye. Con una G decreciente, el radio de la Tierra habrıa aumentadocomo G−0,1, provocando danos en la corteza terrestre. Si G fuera mayor en el pasado,entonces las estrellas habrıan pasado por su evolucion termonuclear mas rapidamente.Para G decreciendo en una tasa de (1 − 2) × 10−11 partes por ano, una estrella cuyaverdadera edad es 6-8 mil millones de anos nos parecerıa tener de entre 15 y 25 miles de

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millones de anos. Finalmente, si G fuera mayor en el pasado, la luminosidad solar Lhabrıa sido mayor en un factor proporcional a G8, y el radio orbital terrestre r⊕ habrıasido inferior en un factor proporcional a G−1. Por este motivo, la temperatura de lasuperficie terrestre, la cual varıa mas co menos como (L/r

2⊕)1/4, habrıa sido superior en

un factor proporcional a G2,5. Si G decrece como t−0,09, como se esperarıa de la ecuacion(2.59) para un modelo de Brans-Dicke con k = 0 y ω = 6. Y si la edad del universo es8×109 anos, entonces la temperatura en la superficie terrestre hace 2×109 anos habrıasido solamente 20 C mayor que actualmente. Este hecho no tendrıa necesariamenteefectos drasticos en la evolucion biologica. Por otro lado, si G ha decrecido con 1/tcomo se espera en la teorıa cosmologica de Dirac, la temperatura de la superficie dela Tierra hace 109 anos habrıa estado por encima de la temperatura deebullicion delagua, a menos que el albedo de la Tierra fuera mucho mayor que ahora. Por lo tanto,un valor inicial demasiado grande de la constante de gravitacion podrıa haber evitadola evolucion de las formas de vida capaces de curiosear acerca del universo.

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Bibliografıa

[1] Apuntes de la asignatura Relatividad general y Cosmologıa.Impartida por Dr.Emilio Torrente Lujan. Universidad de Murcia. Curso 2011-2012.

[2] Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of theGeneral Theory of Relativity. John Wiley & Sons. New York. 1972.

[3] Taylor & Wheeler. Exploring Black Holes. Introduction to General Relativity,Pearson Educacion, New York, 2000.

[4] Trabajo realizado para Javier Bussons. Universo de Friedmann. (Adjuntado)

[5] Syksy Rasanen. Cosmology I and II .

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http://theory.physics.helsinki.fi/~cosmology/

modelos cosmológicos alternativos al de friedmann.pdf

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