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CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA CIVIL XVII CONIC - 2009 _______________________________________________________________________________________________________

ARTICULO

CCP-1

MODELO SISTEMÁTICO DE OPTIMIZACIÓN PARA EL DISEÑO DEFINITIVO DE SECCIONES DE CANAL DE COSTO MÍNIMO (*)

Cristian Castro Pérez

Ingeniero Civil, Docente Ordinario de la Escuela de Ingeniería Civil de la UNSCH, catedrático de Programación Digital y Métodos Numéricos, investigador de la FIMGC-UNSCH y Directivo del CIP-CDA. Director de Estudios y Sub Gerente de Infraestructura del PERC. Consultor de proyectos públicos y privados.

[email protected] RESUMEN El problema consiste en calcular las dimensiones y forma de la sección de un canal, de modo que cumpla la condición de ser lo más económica posible, teniendo en cuenta los diversos factores que intervienen en el costo. Las cuestiones que se plantean y resuelven serán discutidas con algoritmos de optimización para el diseño integral de canales de costo mínimo presentadas por el ASCE, cotejando con la sección de mejor escurrimiento, tan arraigada en nuestro medio y en los tratados de hidráulica, donde ordinariamente abordan el problema teórico del perfil de mejor escurrimiento de un lecho excavado en terreno transversalmente horizontal, longitudinalmente inclinado, cuya excavación total es la sección mojada y ésta no es la sección de menor costo del movimiento de tierras, pues no involucra el costo de la plataforma. En la práctica muchos proceden por tanteos; pero, los modelos matemáticos desarrollados evitan el proceso de ensayo-error para el diseño del canal y supera la complejidad del diseño de canales de costo mínimo, haciendo intervenir todos los parámetros que intervienen en la construcción de un canal abierto, que son variables; por lo cual, las expresiones deducidas serán sumamente útiles para conocer la economía que se introduce en un proyecto por la variación de las dimensiones. Se presenta un análisis generalizado basado en el uso de relaciones funcionales genéricas y herramientas matemáticas de programación no lineal obteniéndose a través de los modelos formulados y el programa creado, resultados de indiscutible importancia en la Ingeniería. El valor del procedimiento planteado de forma sistemática se encuentra, más que en la obtención de resultados mejorados, en la posibilidad de poder proporcionar rápidamente, resultados ajustados a parámetros y condiciones marco diferentes y con esto favorecer una decisión racional. 1) INTRODUCCIÓN

El propósito de este trabajo es auxiliar a los ingenieros comprometidos en el estudio y práctica de la ingeniería civil en el campo de las estructuras hidráulicas en poseer una familiaridad razonable de los procedimientos, alcances y limitaciones de las Técnicas de Optimización en Ingeniería. Nuestra filosofía para la aplicación de la programación matemática al diseño de canales, se puede describir como una que enfatiza la importancia de los aspectos físicos para el enfoque hacia los modelos de optimización. La optimización supone el hallar la mejor manera de hacer las cosas y tiene obvias aplicaciones en la ingeniería, en el que a veces pequeñas variaciones de eficiencia representan la diferencia entre éxito y fracaso [Ref. 01]. Por eso, hoy en día, muchas decisiones importantes se toman mediante la elección de una medida cuantitativa de la eficiencia seguida de su optimización. Los métodos de optimización desbrozan el camino hacia soluciones óptimas, se nutren de la experiencia del ingeniero y la enriquecen. Con frecuencia, los tomadores de decisiones deben su éxito a encontrar combinaciones factibles en vez de óptimas, sin embargo, en el asunto competitivo actualmente una solución factible puede no ser suficiente. [Ref. 02] 1.1. Planteamiento del problema

El problema consiste en calcular las dimensiones y forma de la sección de un canal, de modo que cumpla la condición de ser lo más económica posible, teniendo en cuenta los diversos factores que intervienen en el costo. En la práctica, muchos proceden por tanteos; pero, las técnicas de programación matemática evitan el proceso de ensayo-error y superan la complejidad del diseño de costo mínimo, haciendo intervenir los costos de excavación que son variables. El diseño óptimo de canales es un problema de minimización que involucra una función objetivo no lineal sujeto a restricciones. A pesar de los métodos de cálculo existentes, la calidad de un diseño final depende del buen juicio y la intuición del proyectista, y de su capacidad para reflexionar sobre los resultados del análisis de la estructura. Estas técnicas se conocen con el nombre de diseño óptimo de estructuras y suponen un avance cualitativo en el proceso de diseño. 1.2. Objetivos

Crear un conjunto de técnicas propias que perfeccione el diseño de secciones de canal para configuraciones estándar, sin las limitaciones para hacer cálculos extensivos, facilitando a los ingenieros obtener soluciones a problemas que no hace mucho eran prácticamente inabordables. Proporcionar modelos matemáticos y solución de los mismos para secciones de canal revestidos y no revestidos, generando algoritmos convenientes para ser implementados computacionalmente, analizando y resolviendo exhaustivamente las posibilidades para efectuar un diseño óptimo. Elaboración del software para la resolución de los modelos de optimización presentados, con cuya implementación se pretende innovar las herramientas de cálculo y diseño con que contamos solucionando los inconvenientes de tiempo y apreciando el valor de la información requerida.


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CCP-2

1.3. Modelo general de optimización

Al realizarse estudios de los factores que intervienen en el costo de construcción de un canal (volumen por excavar y superficie por revestir), que dependen de la sección transversal, sin recurrir a nociones preconcebidas para definir la forma de la sección, es posible que el diseño salga de distinto modo. Mediante ecuaciones, se puede plantear y resolver el problema de encontrar la menor excavación para conducir un gasto dado, conocida la pendiente. El modelo de optimización propuesto buscará diseñar la mejor sección para canales de conducción (óptimo económico), facilitando el análisis y diseño. El modelo describe las ecuaciones que permitirán la solución del algoritmo para determinar la forma óptima de la sección según las consideraciones económicas, en base a métodos numéricos de optimización de PNL que permitirán hallar la solución óptima económica. El modelo a desarrollar incorporará técnicas numéricas, de manera que puedan ser adaptadas a soluciones por computadora. [Ref. 03]. 1.4. Identificación y revisión de los antecedentes

Autor Año Planteamiento Streeter 1945 … revestidos están diseñados para la fórmula del flujo uniforme considerando la

eficiencia hidráulica, la viabilidad, y la economía. [Ref. 04] Chow 1973 … enumeró diferentes propiedades de las secciones más eficientes hidráulicamente desde

el punto de vista del mejor escurrimiento. [Ref. 05] Gomez N. Arancil S.

1964

… en el diseño de la sección transversal de un canal, la sección de menor perímetro para un área dada es la más económica, sin embargo, es necesario tener en cuenta los aspectos de construcción y mantenimiento. [Ref. 06]

Swamee Bhatia

1972 … determinó las dimensiones del canal compuesto por variables de diseño independiente y desarrolló curvas para el diseño óptimo de canales. [Ref. 07]

Kraatz 1977 … Cuando se diseña un canal hay libertad para elegir la forma de la sección transversal, siendo la condición limitante la consistencia del terreno y la estabilidad de los taludes en los canales a tajo abierto. [Ref. 08]

Aisenbrey 1978 … en terrenos llanos y en que la excavación del perfil sea próxima a la sección mojada, se obtiene economía con la sección de eficiencia hidráulica. Pero en perfiles a media ladera, en que además de la excavación de la sección mojada, haya que tener en cuenta una superficie de excavación importante por encima del nivel de aguas, aquella economía cae en defecto, y en cada caso el ingeniero habrá de determinar la relación que le resulte más económica de b/y [Ref. 09]

Krochin 1978 … para escoger esta relación b/y, usualmente se consideran la máxima eficiencia hidráulica, que resuelve el problema de encontrar la menor excavación. Tal opción sólo tiene en cuenta el volumen por excavar de la caja (Área de flujo), por lo que no siempre es la alternativa de menor costo. [Ref. 10]

Dominguez 1978 … calcular las dimensiones y forma de la sección de un canal, de modo que cumpla la condición de ser lo más económica posible. El costo es función del de volumen por excavar, este a su vez depende de la forma y magnitud de excavación. Además, la magnitud de la excavación es comúnmente mayor que la sección mojada. [Ref. 11]

Trout 1982 … desarrolló una técnica algebraica directa para determinar la sección transversal de un canal abierto con reducción al mínimo de los costes de material de revestimiento de base y de pared. El uso de la técnica demuestra que las desviaciones moderadas de los diseños óptimos no son costosas. [Ref. 12]

Guo Hugnes

1984 … encontró que un canal más estrecho que la sección de eficiencia hidráulica da como resultado excavaciones mínima cuando se considera el borde libre. [Ref. 13]

Swamee 1995 … ha hecho una investigación exhaustiva de las dimensiones óptimas para formas de canales diferentes. [Ref. 14, 15]

Swamee Mishra Chahar

2000, 2001, 2002

… han obtenido ecuaciones explícitas para las variables del diseño de varias secciones de canal de irrigación para distintas secciones prácticas, donde se trató la relación entre las variables del diseño, que involucre la optimización de costo. [Ref. 16, 17, 18, 19]

Farias 2000 … mediante funciones lagranginas encontró una ecuación que permite calcular directamente la recíproca de la razón de aspecto del canal como una función de la inclinación de los taludes y la relación de costos de revestimiento. [Ref. 20]

Milan P. 2001 … expuso un método para el diseño de un canal con costo total mínimo por concepto de excavación y revestimiento, comparándolo con el costo obtenido al diseñar con la sección de máxima eficiencia hidráulica, para la misma velocidad del flujo. [Ref. 21]

Castro P. 2001 … obtuvo ecuaciones explícitas para el diseño óptimo de secciones de canal de distintas tipologías, revestidas y no revestidas y determinó que para elegir la sección de canal más económica, convendrá hacer el estudio económico, proponiendo un modelo matemático integral que incluye la minimización de la caja, plataforma y revestimiento [Ref. 22]


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CCP-3

FIGURA N° 01: Alternativas en el diseño de canales, según su disposición en el terreno

VALOR DE LA SMEH EN CANALES REVESTIDOS

El valor igual se justifica porque siendo el perímetro mojado mínimo el costo del revestimiento será mínimo.

VALOR DE LA SMEH EN CANALES EN MEDIA LADERA

El valor menor se justifica porque con una sección honda como la mostrada, se reduce el volumen de excavación.

VALOR DE LA SMEH EN CANALES SIN REVSTIR

El valor mayor se debe a que al adoptar una sección ancha como la que se muestra se facilita la extracción de agua de riego.

2) METODOLOGÍA Y TÉCNICA DE TRABAJO Para lograr cada uno de los objetivos trazados, la metodología de trabajo delineado consistirá en dos aspectos: etapa de modelamiento y etapa de programación. El trabajo se partirá sobre la base de modelos numéricos considerando la formulación y solución con técnicas computacionales del problema, dándose énfasis al los métodos de optimización. Una vez formulado el problema se define un diseño inicial y la aplicación de un algoritmo matemático produce soluciones intermedias progresivamente mejores, que son analizadas por los métodos de cálculo existentes y conducen finalmente a la solución que mejor cumple las condiciones impuestas. Diseño metodológico.- La formulación de los problemas, conducirá en nuestro caso a la construcción de los modelos matemáticos y solución de ellos, una vez recopilada la información. Los modelos formulados pertenecen a los métodos de IO y son modelos determinísticos de programación no lineal. Tenemos los siguientes casos: a) Cuando el canal no es revestido, la sección hidráulica óptima corresponde a la sección más económica en lo que a

excavación se refiere. Si se tiene excavaciones en ladera, primero se corta la plataforma y después se excava la caja. La suma de los volúmenes de excavación de plataforma y caja debe ser mínima para canales no revestidos.

b) Cuando el canal es revestido, en el diseño se considera el costo del material de revestimiento y el desarrollo de las dimensiones del canal que minimicen este costo. El costo del revestimiento está en función del volumen de material de revestimiento el cual a su vez es función del espesor y de la magnitud del perímetro mojado.

Definición de la forma de la sección.- Si consideramos otros parámetros que intervienen en el costo de construcción del canal como el volumen por excavar de la plataforma y la superficie por revestir, se obtiene otra relación b/y, que nos proporcionará una solución de menor costo, siendo tal alternativa la óptima. El problema para hallar la mejor solución se reduce a encontrar la relación b/y óptima que nos permita minimizar el costo total.

TABLA Nº 01: Alternativas para la definición de forma de la sección

ALTERNATIVA DE DISEÑO RELACIÓN b/y CONSIDERACIÓN

Optimización clásica: SECCIÓN DE MÁXIMA EFICIENCIA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= zz

yb 212

Menor perímetro mojado Costo del área de flujo

Minimizar costos mediante sustitución de entradas: ALGORITMO DE TROUT

( )( ) yC

bCyARbAR

∂∂∂∂

=∂∂∂∂

//

//

3/2

3/2

La razón entre los cambios marginales en el factor de sección es igual a los cambios en los costos.

Optimización de secciones de canal a través de ecuaciones explícitas: ALGORITMO DE SWAMEE

yAcPcAcCMinimizar rLe ++=ΦaSujeto

Secciones de canal óptimas Diseño de canales revestidos de costo mínimo Diseño integral de secciones de costo mínimo Diseño de secciones de canal con mínimo costo de movimiento de tierras

Modelo sistemático de optimización para el diseño integral de canales: “MOSCA”(*) (*) Elaborado por Cristian Castro.

⎯⎯ →⎯= )(? Kf

yb Modelo PNL

Minimizar costo de caja Minimizar costo de plataforma Minimizar costo de relleno Minimizar costo de revestimiento


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CCP-4

2.1. Planteamiento del Algoritmo de Trout (1982)

En “Channel design to minimize lining material costs” [Ref. 12], el problema de optimización de costos del canal es análogo al problema de microeconomía de minimizar costos de producción a través de sustitución de entradas. En este caso, la salida del sistema es la capacidad hidráulica; las entradas son las variables que definen la geometría del canal; y la función de producción es la ecuación para el factor de sección. Se puede usar el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar una solución algebraica explícita a este problema. La combinación dimensional en la cual “la razón entre los cambios marginales en el factor de sección es igual a los cambios en los costos representa la solución óptima o de mínimo costo al problema"

21)(2 zfbyCSCECSbCCC tbtb ++⋅++⋅=+= ...(1)

FIGURA N° 02: Dimensiones para optimización de costos de canales trapeciales

a) Modelo matemático del Algoritmo de Optimización

Combinación dimensional: ( )( ) yC

bCyARbAR

∂∂∂∂

=∂∂

∂∂3/2

3/2 ...(2)

( )( ) 2222

22

3/2

3/2

11616105

1523

zzyzzbyb

zzyyb

yARbAR

++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++

=∂∂

∂∂ ; 212 zCS

CSyCbC

t

b

+⋅=

∂∂∂∂ ...(3)

b) Solución del modelo matemático:

Con tCS=Γ ; bCS=Ψ

( )

( )2/1

222

22

22

1441120201016110161

14411202

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΓΨ

+−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΓΨ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΓΨ

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΓΨ

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΓΨ

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΓΨ

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΓΨ

+−+=

zzzzzzz

zzz

yb ...(4)

FIGURA N° 03: Abaco de diseño de canales según el Algoritmo de Trout

MINIMIZACIÓN DE COSTOS DE REVESTIMIENTO Canales Trapezoidales con z = 1.0

ALGORITMO DE TROUT

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60Solera b

Tira

nte

y

0.4

0.6

0.8

0.2

1.0

1.2

1.4

0.010.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

Rango de Variaciones :

FS = Factor de sección FS = [Q*n]/[S 1̂/2]

CSb = Costo del revestimiento de fondoCSt = Costo del revestimiento de taludes

FS

CSb / CSt

Leyenda :

CSb/CSt = 0.2 CSb/CSt = 1.4 FS = 0.01 FS = 0.10


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CCP-5

2.2. Planteamiento del Algoritmo de Swamee (1988) En “Optimal Irrigation Canal Sections” [Ref. 15], indicó que el área mínima, o la velocidad máxima en la sección transversal, generalmente se adoptan para los canales revestidos, por ser económicamente muy eficaz e involucrar la menor cantidad de terraplén y menor superficie del revestimiento. Se han obtenido ecuaciones explícitas para las variables del diseño de distintas secciones de canal. a) Algoritmo de optimización

AMinimizar ...(5)

0221.012

ln457.2 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ Q

gRSRRgRSAaSujeto νε

...(6)

b) Formas de secciones óptimas

El proceso de optimización mediante los modelos restringidos solucionados con los multiplicadores de Lagrange rindió los valores de los coeficientes de forma, que se listan en la Tabla N° 02:

TABLA Nº 02: Propiedades de Secciones del Canal Óptimas

Forma de Sección

Talud lateral z

Dimensiones óptimas

Lkb b=* kb

Lky yn =* ky

LkP P=*

kp

2* LkA A=kA

2* −= QLkV V kv

Nota:

( )

0.04

5.2

9.44.82

gSQ8

gSQε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

νLTriangular Rectangular Trapezoidal Semicircular

1.0000 0.0000 0.5774

NA

0.0000 0.7170 0.4369 0.7850

0.5070 0.3585 0.3784 0.3925

1.4340 1.4340 1.3108 1.2331

0.2570 0.2570 0.2489 0.2420

3.8904 3.8904 4.0177 4.1322

NA = No aplicable.

2.3. Planteamiento del Algoritmo 1 de Swamee, Mishra y Chahar (2000) En “Minimum Cost Design of Lined Canal Sections” [Ref. 16], indicó que aunque la sección del área mínima generalmente se adopta para los canales revestidos, no es la mejor sección, pues no involucra el costo de revestimiento, y el costo del movimiento de tierras que varía con la profundidad de la excavación. Se obtuvieron ecuaciones explícitas aplicando la técnica de optimización no lineal. a) Algoritmo de optimización

∫++= ny

rLe adcPcAcCMinimizar0

η ...(7)

0221.012

ln457.2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=Φ

gRSRRgRSAQaSujeto νε ...(8)


De acuerdo al modelo formulado, para las secciones del canal triangular, rectangular y trapezoidal, generalizado las ecuaciones óptimas las diversas formas del canal se tiene:

LmLe

rmrm ckLc

Lckkm+

+=2

0* LbLe

rbrb ckLc

LckLkb+

+=3

0* 12

1*−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

LyLe

ryryon ckLc

LckLky

32* LckLckLckC rcreceLcL ++=

( ) 04.0** 8νελ +=L , ( ) 2.02 gSQ=λ , λεε /* = ; Q/* νλν =

2.4. Planteamiento del Algoritmo 2 de Swamee, Mishra y Chahar (2000) En “Comprehensive Design of Minimum Cost Irrigation Canal Sections” [Ref. 17], indicó que el diseño de una sección de canal de costo mínimo involucra la minimización de una función objetivo no lineal sujeto a restricciones no lineales. La función objetivo se ha expresado como el costo del canal revestido, el costo del movimiento de tierra y el costo de agua perdida por la filtración y evaporación.


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CCP-6

a) Algoritmo de optimización

( ) ( )TrEcyFrkcPcyAcAcCMinimizar wnswLre77 10156.310156.3 ×+×+++= ...(9)

0221.012

ln457.2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++


b) Ecuaciones de diseño óptimo El análisis de un gran número de alternativas obtenidas de manera óptima para las secciones del canal triangular, rectangular, trapezoidal, reveló que las dimensiones de diseño óptimo son lineales. Un análisis más detallado de las secciones se muestra en las siguientes ecuaciones en forma explícita:

wEmEwsmsLmLe

wsmsLmLrmremeo ckckckLc

ckckLckLckm

++++++

=2

12

* LckckckLcckckLckLckbwEbEwsbsLbLe

wsbsLbLrbrebeo +++

+++=

2

12

* LckckLckLcckckckLc

kywsysLyLryre

wEyEwsysLyLeyeo

12

2*+++

+++=

LckLckLckLckLckC wEcEwscsLcLeceorcr ++++= 23*

( ) 04.0** 8νελ +=L ; ( ) 4.0

gSQ=λ ; λεε /* = ; Q/* νλν =

2.5. Planteamiento del Algoritmo 3 de Swamee, Mishra y Chahar (2001) En “Design of Minimum Earthwork Cost Canal Sections” [Ref. 18], indicó que aunque la sección del área mínima generalmente se adopta para los canales, no es la sección de menor costo del movimiento de tierras, pues no involucra el costo del terraplén que varía con la profundidad de la excavación. a) Algoritmo de optimización

yAcAcCMinimizar ree += ...(11)

0221.012

ln457.2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++



Las ecuaciones generales siguientes, son aplicables a canales de tipo triangular, rectangular y trapezoidal, para las cuales se obtuvieron las dimensiones óptimas y el costo correspondiente, considerando una sección de menor movimiento de tierras:

( )[ ]smrrmrermrm cLctkm += 1* ( )[ ] LcLctky

syrryreryryen

−+= 1* ( )[ ] LcLctkb

sbrrbrerbrbe += 1*

( )[ ] 21* LccLctkC e

scrrcrercrcee +=

( ) 04.0** 8νελ +=L ; ( ) 4.0

gSQ=λ ; λεε /* = ; Q/* νλν =

2.6. Planteamiento del Algoritmo de Farías (2000) En el artículo de “Problemas matemáticos de valores extremos y su uso en algunos tópicos de ingeniería hidráulica” [Ref. 20], indicó que en una primera aproximación, el costo de los materiales a emplear en la construcción de la sección transversal de un canal revestido, puede estimarse como la suma de los costos necesarios para el fondo (solera) más los de los taludes.

a) Algoritmo de optimización

( )hbCMinimizar cT ,Φ= , con ( ) fmtftfT rhkbCCC βαα +++=+= 2 ...(13)

( )[ ] ( )hbSnQZaSujeto Hs ,/ 5.0 Φ=+ ...(14)

Donde ZS es el factor de sección para flujo uniforme. 3/23/5 −= PAZS , ( ) 5.021 mkm += b) Solución del modelo matemático

La ecuación que permite calcular directamente la recíproca de la razón de aspecto del canal como una función de la inclinación de los taludes y la relación de costos de revestimiento, es una ecuación cuadrática en (h/b):

0322

1 =++ ccc ηη → ( )[ ] [ ]1312

22 24 ccccc −+−=η ...(15)

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )bhckmkcmkmkkc tftfmtfmmtfmm //53/6/106,4/1620 22

1 =−=−−=−−= ηαααααααα


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3) DESARROLLO DEL MODELO SISTEMÁTICO DE OPTIMIZACIÓN

El modelo de optimización propuesto buscará diseñar la mejor sección para canales de conducción (óptimo económico), facilitando el análisis y diseño de este tipo de canales en los planes y proyectos. El modelo general describe las ecuaciones que permitirán la solución del algoritmo para la determinación de la forma óptima de la sección según las consideraciones económicas, para sistemas de canales de conducción, en base a métodos numéricos de optimización de PNL que permitirán hallar la solución óptima económica. El modelo desarrollado incorporará técnicas numéricas, de manera que puedan ser adaptadas a soluciones por computadora. Datos de entrada para los modelos matemáticos formulados: Caudal de diseño Q m3/sPendiente del canal S º/ooCoeficiente de rugosidad talud-1 n1 - - -Coeficiente de rugosidad talud-2 n2 - - -Coeficiente de rugosidad base n3 - - -Espesor de recubrimiento talud-1 e1 mEspesor de recubrimiento talud-2 e2 m Espesor de recubrimiento base e3 mTalud del canal - 1 z1 1:HTalud del canal - 2 z2 1:HTalud del terreno zt 1:H

Talud de corte zc 1:HTalud de relleno zr 1:HBorde libre fb mBerma exterior Be mBerma interior Bi mDistancia de corte en la berma P mCosto excavación de caja CC $/m3 Costo excavación plataforma CP $/m3

Costo relleno compactado CR $/m3

Costo muro de contención CM $/m3

Costo revestimiento CR $/m2ó$/m3

3.1. Modelo de Optimización: Alternativa I

FIGURA N° 04: Esquema de modelo

MODELO MATEMATICO DE CANALES

zh

ALTERNATIVA I

Bezh b Bi

1

zc

Sección Trapezoidal

zh zh

zH

b

Tb

y

fb

1

zt1

Pendiente del terreno

Función objetivo Min F = CC·Acaja + CP·Aplat + CR·Sreves ...(16)

( )( ) ( )[ ]221 )1(2 efyzefyzzebCCFMin bb +++++−++⋅= ...(17)

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++++

⋅=)(2

)(2 2

2ct

b

zzBiBefyzb

CPFMin ...(18)

( )[ ]2

4 12 zfybCSFMin b +++⋅= (Var.1:$/m2) ...(19)

( )[ ]24 12 zefyeebCSFMin b ++++⋅⋅= (Var.2:$/m3) ...(20)

3.2. Modelo de Optimización: Alternativa II





zhzhBe

Hz

b

b

Tb

1zt

1

fb

y

zhzh

ALTERNATIVA II

zc1

Bi

1Zr

Be-P P

(0.5H m -D f/t)Tg

m uro de contención0.5H m

H mt

1

(B e-P)Tg

D f = 0.15H m

0.10H m B e -P

T

H

b

zhzh bbP

Función objetivo Min F = CC·Acaja + CP·Aplat + CR·Arell + CS·Areves ...(21)

( )( ) ( )[ ]22

1 )1(2 efyzefyzzebCCFMin bb +++++−++⋅= ...(22)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++++

⋅=)1(2

)(2 2

2c

b

zTgBiPfyzb

CPFMinα

...(23)

Si: ArcTg (1/zr) > α ( 0 < α < β )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=

)(2 )( 2

3 αββα

SenSenSenPBeCRFMin ...(24)

Si: ArcTg (1/zr) < α ( β < α < ∠máx.)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅=

2)( 2

3αTgPBeCRFMin + Muro Contención ...(25)

( )[ ]24 12 zfybCSFMin b +++⋅= (Var.1:$/m2) ...(26)

( )[ ]24 12 zefyeebCSFMin b ++++⋅⋅= (Var.2:$/m3)...(27)


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3.3. Modelo de Optimización: Alternativa III



ALTERNATIVA III


1

Be

Zr H

zhzh BifbT

b

y 1z


bb

1zt

zhzh

1zc

muro de contención

1t

Be zhzh

H

bb

b

Tfb Be+z.fb

Hm

0.5Hm

Df = 0.15Hm

(0.5Hm-Df/t)Tg

(Be+z.fb)Tg

0.10Hm

Función objetivo Min F = CC·Acaja + CP·Aplat + CR·Arell + CS·Areves ...(28)

CASO 1: X < fb

( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++++−++⋅=

)/1(2)2()1(2

222

1 zTgbzyeyzeyzzebCCFMinα

...(29)

02 =FMin ...(30)

CASO 2: X > fb

( )( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++++++−++⋅= )/24(

2)1(2 22

1 αTgfzfbzyfeyzeyzzebCCFMin bbb ...(31)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−++

⋅=)(2

/22

2

ct

bb

zzBiTgfbyzzf

CPFMinα ...(32)

Si: Arctg (1/zr) > α ( 0 < α < β )

)90(2)()2/(

)(2)90(

)90(3

22

αα

αββ

α −+

+++−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++=

TgzfBBzffCos

SenSen

TgzfBfCRFMin be

ebbbe

b

...(33)

Si: Arctg (1/zr) < α ( β < α < ∠máx.)

( )2/40.010.0)90(2

)()2/(3 222

mbe

ebb HHTg

zfBBzffCRFMinm++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++=

α ...(34)

Donde: )/15.05.015.01(

)(tTgTg

TgzfBfH beb

m ααα

+−−++

= ...(35)

( )[ ]24 12 zfybCSFMin b +++⋅= (Var.1:$/m2) ...(36)

( )[ ]24 12 zefyeebCSFMin b ++++⋅⋅= (Var.2:$/m3) ...(37)

Ecuación de optimización de PNL: modelo de sección trapezoidal-rectangular-triangular (T-R-T)

04321 =∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

KF

KF

KF

KF

KF

...(38)

4) RESULTADOS DEL MODELO MATEMÁTICO T-R-T

Variables de decisión: o Solera de solera : b o Tirante del canal : y

Medida de efectividad: o Excavación de la caja, excavación de la plataforma,

relleno compactado y revestimiento del canal.

Restricciones:

o 2/13/2

2/32/322

2/323/52

22

13211

1122

Sbnnzynzyyzyz

byQ−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ...(39)

Debido a la igualdad es posible despejar y (ó b), sustituyéndola en la función objetivo. Además, b/y = K

De la ecuación de Manning, tenemos:

2/13/21 SRAn

Q ⋅⋅⋅= → ( )8/33/5

213/22/32/32

22/322/1

2211/

3211⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++++=

zzKKnnznzSQy ...(40)

4.1. Formulación del modelo de optimización de la sección general T-R-T

FUNCIÓN OBJETIVO ≡ Minimizar Costo Min F = [Costo cajas x volumen caja] + [Costo plataforma x volumen plataforma] +

[Costo relleno x volumen relleno] + [Costo revestimiento x superficie revestimiento] ...(41)


ARTICULO

CCP-9

DATOS : Q , n1, n2, n3, S , z1 , z2, zc , zt , zr , e1, e2, e3, Be , Bi , fb , P INCÓGNITAS : b, y

► Como la relación fondo/tirante (b/y = K) se puede determinar con un método numérico apropiado, el

algoritmo de optimización a desarrollarse consistirá en hallar la relación K. ► Se asume que las pendientes de la superficie del terreno, del agua y del fondo son paralelas.

4.2. Construcción del modelo matemático de la sección general T-R-T

a) Área de caja del canal

( ) ( )2321

3213222

211 22

)(11 efyzz

efyzzezezebA bbcaja ++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−++++= ...(42)

b) Área de plataforma del canal

)/1(2

11)(3/42

21222

21121

c

iplataf zTg

aaBPzezezzybA

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++++++++

=α

...(43)

P: distancia de berma exterior en corte Be-P: distancia de berma exterior en relleno

c) Área del relleno compactado Estados:

TerrenoAngzArcTg

AMuromáxA r

rellenocontención

relleno

.)/1(0

==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⇒∠<<⇒<<

αβ

αββα

CASO 1: ArcTg (1/zr) > α ( 0 < α < β )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=)(2

)( 2

αββα

SenSenSenPB

A erelleno ...(44)

CASO 2: ArcTg (1/zr) < α ( β < α < ∠máx.)

ContenciónMuroTgPB

A erelleno _

2)( 2

+−

=α ...(45)

))(1()(

21 α

α

TgttDTgPB

H fem +−

+−= ...(46)

Hm = Altura del muro de contención t1, t2 = Taludes de los paramentos del muro

Valor óptimo del talud “t2”

( ) ( )

( )vv

chaha

vvha

cha

c CTg

FSCTg

FSCTg

FSC

tγξγ

ξγγϕ

γγξγ

ϕγ

γϕ

γγ

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=2

422

2 ...(47)

( )ξγ

γϕ

γ

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=c

vha t

TgFSC

t2

...(48) [Valor óptimo de la suma de los taludes “t1 + t2” = “t”]

Tenemos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= m

mmuro Ht

HtA 2

21

2...(49) LHtHtV m

mmuro ×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

21

2 ...(50)

d) Área de revestimiento

( )2122

21 1)(1)( aazfyzfybS bbreves ++++++++= ...(51)

( )22113222231

211

3222

211 12122

21)(1)( αα eeezzeezzebezfyezfyeA bbreves ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++−++++++++= ...(52)


ARTICULO

CCP-10

FIGURA N° 07: Esquema del Modelo General de Optimización según el Algoritmo MOSCA

T

b

bb

Sección general


Hm1

Be

Be-P

Zr1m

z1h

h

a1

z1

1

n1

P

muro de contención

e1

e3

n3

Biz2h

zt1

n2

fb

y 1z2

a2

1

zc

e2

4.3. Función objetivo para la sección general T-R-T

La función objetivo que minimiza el costo total será:

Min F = CC·Acaja + CP·Aplat + CR·Arell + CS·Areves [por ml de canal] ...(53)

a) Excavación en caja

( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++−++++= 2

321

3213222

2111 3/4

223/4)(11 ey

zzeyzzezezebCCMinF ...(54)

b) Excavación en plataforma

( )( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−++++++++++

=c

i

zTgaaBPzezezzyb

CPMinFα/12

11)(3/42

21222

21121

2 ...(55)

c) Relleno compactado

Si: ArcTg (1/zr) > α ( 0 < α < β )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

)(2 )( 2

3 αββα

SenSenSenPBCRMinF e ...(56)

Si: ArcTg (1/zr) < α ( β < α < ∠máx.)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= m

me HtHtCMTgPBCRMinF 2

21

2

3 22)( α

; Con ))(1(

)(

21 α

α

TgttDTgPB

H fem +−

+−= ...(57)

d) Revestimiento del canal

Variante 1: Costo de revestimiento [$/m2]

[ ]2122

214 1)(1)( aazfyzfybCSMinF bb ++++++++= ...(58)

Variante 2: Costo de revestimiento [$/m3]

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−++++++++= 2211213

222

211

322

221

14 )(12122

21

34

13

4αα eezzezezeb

ez

yez

yeCSMinF ...(59)

4.4. Solución del modelo matemático de la sección general T-R-T

La solución del modelo matemático se efectuó teniendo en cuenta la medida de efectividad, la cual se refiere a la minimización del costo total de la sección transversal asumida (Optimización económica). Se creó el Programa “MOSCA”, acrónimo de “Modelo Sistemático de Optimización de Canales”, en un lenguaje de alto nivel.


ARTICULO

CCP-11

5) CONCLUSIONES

a. El valor de los modelos formulados se encuentra, más que en la obtención de los resultados mejorados, en la posibilidad de poder proporcionar rápidamente resultados ajustados a parámetros y condiciones marco diferentes y con eso favorecer una decisión racional. Los resultados que se proporcionan son de carácter provisional y a través del ajuste requerido de los algoritmos y programas elaborados se pueden obtener nuevas mejoras.

b. En base a las aplicaciones desarrolladas se pudo inferir que hay una serie de técnicas de optimización para el diseño de canales que dependen de los parámetros hidráulicos, entre ellas están el criterio de máxima eficiencia hidráulica (Cálculo diferencial), algoritmo de Milan; y hay otro grupo que se basa en la minimización de los costos como el algoritmo de Trout (PNL), algoritmo de Swamee (PNL), algoritmo de Farias (PNL) y el Modelo de Optimización Sistemático de Canales Mosca “MOSCA” (PNL). Este último desarrollado por el autor nos da una combinación dimensional b/y óptima, buscando iterativamente la solución a los modelos de costos en caja, plataforma, relleno y revestimiento, proporcionando un resultado que minimiza el costo total del canal según las condiciones intrínsecas del flujo y extrínsecas del terreno, para las diferentes alternativas.

c. La relación fondo/tirante (b/y) es definida por el diseñador teniendo en cuenta factores como el método de excavación, la economía y la practicabilidad. El valor de la relación puede ser igual, mayor, o menor que el valor correspondiente a la sección más eficiente. Los costos de canal y los requisitos de viabilidad se combinan en función del objetivo y las restricciones para la obtención de la sección del canal óptimo, dando por resultados directamente las dimensiones óptimas y la correspondiente economía de la sección de canal.

d. No todos los factores antes enumerados son susceptibles de ser puestos en ecuación, por la variedad de circunstancias que en ellos intervienen y los determinan. Las cuestiones que se pudieron plantear y resolver por ecuaciones son la minimización de los costos de caja, plataforma, relleno y revestimiento para determinar la forma que conviene dar a una sección de canal para los datos usuales de diseño y otros parámetros ingenieriles.

e. Se logró el desarrollo de los tópicos computacionales que se integraron en un software en un lenguaje de programación de alto nivel, con el paradigma de programación estructurada; con una interfaz gráfica de usuario aparente a los requerimientos de los diseñadores, que permitirá desarrollar proyectos de ingeniería que consideren la yuxtaposición de los parámetros de diseño de canales, según el estado del arte de las técnicas de optimización.

6) REFERENCIAS

[1] Hall, Warren (1974), Ingeniería de Sistemas en Recursos Hidráulicos, México, Editorial CECSA – 1ra. Edición [2] Marrero de León, N. (1985), Técnicas de Optimización Aplicadas a la Ingeniería Hidráulica, Cuba, Editorial MES –

1ra. Edición [3] Castro P.C. (2003), Análisis numérico y modelo sistemático de optimización en canales, Revista “El Ingeniero Civil”,

Nº 130, 24-28. [4] Streeter, V. L. (1945), Economical canal cross sections, Trans., ASCE Vol. 110, 421–430. [5] Chow, V. T.: 1973, Open Channel Hydraulics, McGraw Hill Book Co. Inc., New York, N.Y. [6] Gómez N. J. – Arancil S. J.(1964), Saltos de Agua y Presas de Embalse, España, Escuela de Ingenieros de Caminos,

Canales y Puertos - 1ra. edición [7] Swamee, P. K. and Bhatia, K. G. (1972), Economic open channel section, J. Irrig. Power (CBI&P, New-Delhi) 29(2),

169–176. [8] Kraatz,D.B. (1971), Irrigation canal lining, Irrigation and Drainage Paper No.2, Food and Agriculture Organization of the

U.N., Rome, Italy. [9] Aisenbrey A.J., Hayes R.B., Warren H.J., Winsett D.I, Young R.B. (1978), Design of Small Canal Structures, U.S.A.,

United States Department of the Interior - Bureau of Reclamation – 1ra. Edición [10] Krochin S. (1978), Diseño Hidráulico, Ecuador, Editorial Escuela Politécnica Nacional – 2da. edición [11] Domínguez S., F.J. (1978), Hidráulica, Chile, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile,

Editorial Universitaria, Quinta Edición. [12] Trout, T. J. (1982), Channel design to minimize lining material costs, J. Irrig. Drain. Engng., ASCE Vol. 108(N° 4),

242–249. [13] Guo, C. Y. and Hughes, W. C. (1984), Optimal channel cross section with free board, J. Irrig. Drain. Engng., ASCE

Vol. 110(N° 3), 304–313. [14] Swamee, P.K. (1995a). Optimal Irrigation Canal Sections, J. Irrig. and Drain. Engrg., ASCE, Vol. 121 (N°6), 467– 469. [15] Swamee, P.K.(1995b), Discussion on ‘General formulation of best hydraulic channel section’ by P. Monadjemi, J.

Irrig. and Drain. Engrg., ASCE, Vol. 121(N° 2), 222. [16] Swamee, P.K., G.C. Mishra and B.R. Chahar (2000a), Minimum cost design of lined canal sections, J. Water Resour.

Mangmnt., Vol. 14(N° 1), 1-12. [17] Swamee, P.K., G.C. Mishra and B.R. Chahar (2000b), Comprehensive design of minimum cost irrigation canal

sections, J. Irrig. and Drain. Engrg., ASCE, Vol. 126(N° 5), 322-327. [18] Swamee, P.K., G.C. Mishra and B.R. Chahar (2001), Design of minimum earthwork cost sections, J. Water Resour.

Mangmnt., Vol. 15(N° 1), 17-30. [19] Swamee, P.K., G.C. Mishra and B.R. Chahar (2002), Optimal design of transmission canal, J. Irrig. and Drain. Engrg.,

ASCE, Vol. 128(N° 4), 234-243. [20] Farias, H.D. (2000), Los problemas matemáticos de valores extremos y su uso en algunos tópicos de ingeniería

hidráulica, Inst. Recursos Hídricos, Fac. de Cs. Exactas y Tecnologías, Univ. Nac. de Santiago del Estero. [21] Milan Paz, J. (2001), Sistematización de Temas de Hidráulica de Canales, Cuaderno del Curso Regular de Hidráulica

de Canales, Bogotá Colombia. [22] Castro P.C. (2001), Modelo Sistemático de Optimización de Canales, Tesis de Pregrado, Escuela Profesional de Ingeniería

Civil, Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga, Ayacucho-Perú.


ARTICULO

CCP-12

7) ANEXOS

A. NOTACIÓN * : Indica la solución óptima Q : Caudal en m3/s A : Área de flujo en la sección transversal (m2) P : Perímetro de flujo (m) R : Radio hidráulico (m.)S : Pendiente longitudinal del canal T : Ancho de superficie libre (m)n : Coeficiente de rugosidad de Manning L : Factor de escala (m)b : Ancho de base (m)yn : Tirante normal del flujo (m) y : Profundidad (m) de centroide del área de excavación desde la superficie del terreno

z, ó m : Talud del canal g : Aceleración de la gravedad (m/s2)ε : Rugosidad media de la pared del canal (m) v : Viscosidad cinemática de agua (m2/s)

Lc : costo unitario de revestimiento ($/m2)

ec : costo por unidad de volumen de movimiento de tierras a nivel del suelo ($/m3)

rc : aumento en el costo unitario de excavación por unidad de profundidad ($/m4) ec : costo por unidad de volumen del movimiento de tierras a nivel del suelo ($/m3)

rc : aumento en el costo unitario de excavación por unidad de profundidad ($/m4)

wc : costo agua por unidad de volumen ($/m3)

ec : costo por unidad de volumen de movimiento de tierras a nivel del suelo ($/m3) rc : aumento en el costo unitario de excavación por unidad de profundidad ($/m4)

B. PROGRAMA “MOSCA”

MOSCA es la sigla de “Modelo de Optimización Sistemático de Canales”. Este programa es una aplicación que se ejecuta dentro del entorno del VISUAL STUDIO 6.0 o superior y sirve para calcular, graficar y documentar secciones prismáticas regulares, revestidas o sin revestir de canales. El programa ha sido desarrollado para brindar una herramienta a los ingenieros que les permita calcular los aspectos relacionados al diseño integral de secciones de canal con técnicas de optimización y otros métodos numéricos; asimismo, documentar sus diseños con facilidad y rapidez, pues permite al diseñador ensayar muchas opciones de diseño al encargarse de los cálculos iterativos y presentar la información sobre la sección diseñada usando una interfaz de usuario gráfica. El programa está pensado para servir al ingeniero al brindarle una interfaz cómoda y sencilla que le permite calcular el diseño óptimo de secciones de canal revestidas y no revestidas de diferente tipología. Además del efectuar el cálculo, el programa puede guardar la información en un archivo de datos aleatorio, brindando además todas las posibilidades de edición, consulta, eliminación. Cuenta también con alternativas de listado y de impresión de la tabla de elementos y los resultados para una o varias secciones. Cuenta además con otros módulos que, bajo ciertas condiciones, permite obtener otras soluciones de diseño óptimo de canales, según otros algoritmos estudiados, y los que pueden servir de entrada para el cálculo de determinadas secciones.

Descripción. El programa cuenta con diferentes módulos accesibles desde los menús de VB y un menú de botones que el programa coloca en la pantalla del formulario ejecutable, con dibujos a la hora de activarse. Estos módulos son: 1) Presentación 2) Clave de acceso 3) Información Previa 4) Opciones del entorno del programa MOSCA 5) Descripción de las alternativas de optimización 6) Distribuidor de casos y alternativas de optimización 7) Cuadro de diálogo de ejecución de la alternativa seleccionada 8) Solución del modelo según la alternativa seleccionada 9) Consulta de la información contenida en el archivo 10) Eliminación de la información contenida en el archivo 11) Listado de la información contenida en el archivo 12) Opciones multimedia, de ayuda y otras.


ARTICULO

CCP-13

CAJA DE DIÁLOGO DE LAS OPCIONES DE DISEÑO

CAJA DE DIÁLOGO PRINCIPAL DE INGRESO PARA LAS SECCIONES DE CANAL

CAJA DE DIÁLOGO PRINCIPAL DE RESULTADOS PARA LAS SECCIONES DE CANAL


ARTICULO

CCP-14

CAJA DE DIÁLOGO PRINCIPAL DE LA OPCIÓN DE LISTADO

GRÁFICOS SEGÚN MODELO ANALIZADO, GENERADOS CON EL ALGORITMO “MOSCA”

0.000

1000.000

2000.000

3000.000

4000.000

5000.000

6000.000

7000.000

8000.000

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0

Costo ($/ml)

Ang (º)

ANGULO vs. COSTO SEGÚN "MOSCA"CANAL TRAPEZOIDAL z = 1.0

Q=2.0 m3/s

Q=1.0 m3/s

Q=4.0 m3/s

Q=6.0 m3/s

Q=8.0 m3/s

Q=10.0 m3/s

Costos: Material Suelto

ALTERNATIVA I

C.CAJA = 3.05 $/m3C.PLAT = 2.56 $/m3C.REVES = 8.29 $/m2

Be = Variable de 3-6 m ;Pendiente S = 0.001 Coef iciente n = 0.015 Espesor e = 0.10 m Bi = Variable de 1-2 m

Z = 1

Zc = 1.0

Relación K

GRÁFICOS COMPARATIVOS DE OTROS MODELOS DE OPTIMIZACIÓN

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

2.20

2.40

2.60

2.80

3.00

3.20

3.40

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 8.50 9.00 9.50 10.00 10.50 11.00

Bas

e b*

ó T

irant

e y*

(m)

Caudal Q (m3/s)

COMPARACIÓN FINAL DE SECCIONES DE CANAL ÓPTIMAS Canales Trapezoidales - Rectangulares

ALGORITMO DE SWAMEE

b* = 0.00 b* = 0.25 b* = 1.00 b* = 1.50 b* = 2.00 b* = 0.50

y* = 0.00 y* = 0.25 y* = 0.50 y* = 1.00 y* = 1.50 y* = 2.00

Z(b*)=0.25

Z(b*)=0.00

Z(b*)=0.50

Z(b*)=2.00

Z(b*)=1.50

Leyenda:

Parámetros :

Z(b*)=1.00

Q vs y* - Q vs b*

PendienteGravedad Rugosidad media Viscosidad cinematica

S = 0.0010g = 9.80 m/s2E = 1.0 mmv = 1.1*10^-6 m2/s

Curvas de Taludes

Z(y*)=0.50

Z(y*)=2.00Z(y*)=0.00


ARTICULO

CCP-15

C. DIAGRAMA DE FLUJO

C1

= W

^(3/

4)*(

(K+D

)^(1

/4)(

K+Z)

^(-5

/8))^

2

X >

fb

C4

= (1

+E*W

^(-3

/8)(

K+D

)^(-

1/4)

(K+Z

)^(5

/8))

*(1+

K/4*

(K+D

)^-1

-

5

K/8*

(K+Z

)^-1

)+(2

*(2Z

+K)/G

G)

C3

= K+

2Z+2

/GG

+(2Z

+K)^

2+C

*W^(

-3/8

)(K+

D)^

(-1/

4)(K

+Z)^

(5/8

)+

2

Z*E*

W^(

-3/8

)(K

+D)^

(-1/

4)(K

+Z)^

(5/8

)

C2

= (1

/4*(

K+D

)^-1

-5/8

*(K+

Z)^-

1)

P1

= 0

P2

= 0

FV

ArcT

g (1

/Zr)

>

( 0 <

<

ß )

FVV

M1

= C

C*(

C1*

(C2*

C3+

C4)

)M

2 =

CP

*(P1

*P2)

M3

= C

R*(

R1*

(R2+

R3)

)+R

4

R2

= (2

/3*W

^(3/

8)*S

en(9

0-ß)

Cos

œ/2

Sen(

ß-œ

))*(W

^(3/

8)/3

*(

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-

5/8)

+Be/

Tg(9

0-œ

))

M =

M1+

M2+

M3+

M4

RET

UR

N

R1

= ((

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-

5/8)

)*(1

/4*(

K+D

)^-1

-5/8

*(K+

Z)^-

1)

R3

= (W

^(3/

4)/9

Z*(K

+D)^

(1/4

)*(K

+Z)^

(-5/

8)+B

e*W

^(3/

8)/3

)

R1

= ((

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-

5/8)

)*(1

/4*(

K+D

)^-1

-5/8

*(K+

Z)^-

1)

R2

= W

^(3/

4)/9

Z*(K

+D)^

(1/4

)*(K

+Z)^

(-5/8

)

R3

= Be

*W^(

3/8)

/3

S1

= W

^(3/

8)*(

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-5

/8)

S2

= 1/

4((K

+D)^

-1*(

K+4D

/3)-

5/2*

(K+Z

)^-1

*(K+

4D/3

)+4)

M4

= C

S*(

S1*S

2)

R4

= 0

R4

= M

UR

O C

ON

TEN

CIÓ

N

R3

= (W

^(3/

4)/9

Z*(K

+D)^

(1/4

)*(K

+Z)^

(-5/

8)+B

e*W

^(3/

8)/3

)

R2

= (2

/3*W

^(3/

8)*S

en(9

0-ß)

Cos

œ/2

Sen(

ß-œ

))*(W

^(3/

8)/3

*(

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-

5/8)

+Be/

Tg(9

0-œ

))

R1

= ((

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-

5/8)

)*(1

/4*(

K+D

)^-1

-5/8

*(K+

Z)^-

1)

R4

= 0

S2

= 1/

4((K

+D)^

-1*(

K+4D

/3)-

5/2*

(K+Z

)^-1

*(K+

4D/3

)+4)

M =

M1+

M2+

M3+

M4

M4

= C

S*(

S1*S

2)

M1

= C

C*(

C1*

(C2+

C3+

C4)

)M

2 =

CP

*(P1

*P2)

M3

= C

R*(

R1*

(R2+

R3)

)+R

4

R4

= M

UR

O C

ON

TEN

CIÓ

N

R2

= W

^(3/

4)/9

Z*(K

+D)^

(1/4

)*(K

+Z)^

(-5/8

)

R1

= ((

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-

5/8)

)*(1

/4*(

K+D

)^-1

-5/8

*(K+

Z)^-

1)

C3

= (1

+E*W

^(-3

/8)(

K+D

)^(-

1/4)

(K+Z

)^(5

/8))

*(1+

K/4*

(K+D

)^-1

-

5K/8

*(K+

Z)^-

1)

C4

= 1/

3*W

^(3/

4)((

K+D

)^(1

/4)(

K+Z)

^(-5

/8))

^2*[2

(1/4

*(K+

D)^

-1-

5/8

*(K+

Z)^-

1)(K

+13Z

/6-1

/6Tg

œ)+

1]

R3

= Be

*W^(

3/8)

/3

S1

= W

^(3/

8)*(

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-5

/8)

FAr

cTg

(1/Z

r) >

( 0

<

< ß

)

P2

= [1

+(1/

4*(K

+D)^

-1-5

/8(K

+Z)^

-1)*

(K+7

Z/3-

1/3T

gœ)]

P1

= 2/

G[(W

^(3/

8)(K

+D)^

(1/4

)(K+

Z)^(

-5/8

))*(

K+7Z

/3-1

/3Tg

œ)+

Bi]

C2

= (1

/4*(

K+D

)^-1

-5/8

*(K

+Z)^

-1)[K

+2Z+

C*W

^(-3

/8)(K

+D)^

(-1/4

)*

(K+Z

)^(5

/8)+

2Z*E

*W^(

-3/8

)*(K

+D)^

(-1/

4)(K

+Z)^

(5/8

)]

C1

= W

^(3/

4)*(

(K+D

)^(1

/4)(

K+Z)

^(-5

/8))^

2

VV

SU

BRU

TIN

A I

X =

W^(

3/8)

*(K+

D)^

(1/4

)(K

+Z)^

(-5/

8)*(

2Z+K

)*Se

nœ*S

enØ

/Sen

(Ø-œ

)Ø

= A

rcTg

(1/Z

)

R2

= [0

]R

1 =

[0]

R2

= M

uro

de c

onte

nció

n

S2

= 1/

4((K

+D)^

-1*(

K+4D

/3)-

5/2*

(K+Z

)^-1

*(K+

4D/3

)+4)

P2

= [1

+(K+

8Z/3

)/4*(

K+D

)^-1

-5(K

+8Z/

3)/8

*(K+

Z)^-

1]

P1

= 2/

G*W

^(3/

4)*(

(K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-

5/8)

)^2*

[(K+8

Z/3)

+

J

*W^(

-3/8

)*(K

+D)^

(-1/

4)*(

K+Z)

^(5/

8)]

C3

= [4

K/3+

4C/3

*W^(

-3/8

)(K+

D)^

(-1/

4)(K

+Z)^

(5/8

)+32

Z/9+

8Z/

3*E*

W^(

-3/8

)(K

+D)^

(-1/

4)(K

+Z)^

(5/8

)]

C4

= [(4

/3+E

*W^(

-3/8

)(K

+D)^

(-1/

4)(K

+Z)^

(5/8

))*(1

+K/4

*(K+

D)^

-1-

5K/

8*(K

+Z)^

-1)]

R1

= [0

]

SUB

RU

TIN

A II

M4

= C

S*(

S1*S

2)

S1

= W

^(3/

8)*(

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-5

/8)

M =

M1+

M2+

M3+

M4

M3

= C

R*(

R1)

+(R

2)

M2

= C

P*(

P1*P

2)M

1 =

CC

*(C

1*(C

2*C

3+C

4))

FAr

cTg

(1/Z

r) >

( 0

<

< ß

)

C2

= (1

/4*(

K+D

)^-1

-5/8

*(K+

Z)^-

1)

C1

= W

^(3/

4)*(

(K+D

)^(1

/4)(

K+Z)

^(-5

/8))^

2

VV

S2

= 1/

4((K

+D)^

-1*(

K+4/

3*D

)-5/

2*(K

+Z)^

-1*(

K+4/

3*D

)+4)

P2

= [1

/4*(

K+D

)^-1

*(K

+8/3

*Z)-

5/8*

(K+Z

)^-1

*(K+

8/3*

Z)+1

]

P1

= 2/

G*(

W^(

3/8)

*(K+

D)^

(1/4

)*(K

+Z)^

(-5/

8))*

[(K+8

/3*Z

)*

W

^(3/

8)*(

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-

5/8)

+ J]

C3

= [4

/3+E

*(W

^(3/

8)*(

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-5

/8))^

-1]

C4

=[ (K

+4*Z

/3)+

(C+Z

*E)*

(W^(

3/8)

*(K

+D)^

(1/4

)*(K

+Z)^

(-5/8

))^-1

]*

[

1/3*

(K+D

)^-1

-5/6

*(K+

Z)^-

1]

S1

= E*

W^(

3/8)

*(K

+D)^

(1/4

)*(K

+Z)^

(-5/8

)

C2

= [(1

/4(K

+D)^

-1*(

K+4

*Z/3

)-5/

8*(K

+Z)^

-1*(

K+4*

Z/3)

+1]

M =

M1+

M2+

M3

M3

= C

R*(

S1*S

2)

M2

= C

P*(

P1*P

2)

SU

BR

UTI

NA

III

C1

= (W

^(3/

8)*(

K+D

)^(1

/4)*

(K+Z

)^(-5

/8))^

2

M1

= C

C*(

C1*

(C2*

C3+

C4)

)

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