Modelo de Predicción de Lluvias Máximas DIT con 3 Parámetros

Andrea F. Rico 1 , Gabriel Caamaño Nelli 12 , Clarita M. Dasso 12

1 INA- Centro de la Región Semiárida (CIRSA) 2 Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas

E-mail: arico@ina.gov.ar, an_rico@yahoo.com.ar

RESUMEN: La relación entre intensidad, i, duración, d, y recurrencia, T, en lluvias máximas anuales, es la base para diseñar medidas de atenuación de riesgo de inundación, si no se tienen datos de caudal. El modelo de predicción DIT estima dicha relación a partir de series pluviográficas con distribución Log-normal. Se basa en una estimación algebraica del factor de frecuencia normal e incorpora la duración de la lluvia en forma analítica, dándole sentido conceptual a sus parámetros, permitiendo su transposición a estaciones pluviométricas. Fue planteado originalmente como un modelo de cuatro parámetros, DIT 4p. Hoy hay motivos para asumir que uno es invariable, lo cual simplificaría aún más el método. Las hipótesis de este trabajo son que el DIT con tres parámetros, DIT 3p, es una versión superadora de la original y que mejora la distribución regional de los parámetros restantes. El estudio abarca buena parte del territorio argentino, desde Salta hasta Trelew y desde Mendoza hasta Posadas, y emplea funciones i-d-T de cerca de treinta estaciones. La metodología consiste en efectuar regresiones intensidad-duración-recurrencia, con DIT 4p y mediante métodos de interpolación espacial elaborar mapas que representen la distribución de los parámetros para mostrar la invariabilidad de uno de ellos y encontrar su valor constante, luego con DIT 3p, elaborar mapas de isolíneas de los respectivos parámetros y contrastar los resultados. Como principal conclusión se puede decir que, aún con tres parámetros, el DIT se perfila como un algoritmo muy apto para describir la relación i-d-T aunque sería necesario contar con mayor cantidad de datos básicos.

INTRODUCCIÓN

En proyectos de diseño hidrológico, tanto para medidas estructurales como no estructurales, uno de los

primeros pasos que deben seguirse, en caso de no contar datos históricos de caudales medidos, es la

determinación del evento o los eventos de lluvia que deberán usarse.

La forma más común de hacerlo es utilizar una tormenta de diseño, que involucre una relación entre la

intensidad (i) de lluvia, la duración (d) y las frecuencias o periodos de retorno (F o T) apropiados para la obra

y el sitio, conocida como relación intensidad-duración-recurrencia o curva i-d-T. Para definir la ecuación

genérica de la relación i-d-T existen distintos enfoques. Los más difundidos son: las funciones de

distribución probabilística (FDP), las fórmulas empíricas, un modelo conceptual o procedimientos

combinados.

Caamaño Nelli y García (1999) propusieron un modelo para estimar la relación i-d-T a partir de series de

máximos anuales de láminas de lluvia de distintas duraciones, con distribución Log-normal. El algoritmo,

denominado DIT, se basa en una estimación algebraica del factor de frecuencia normal, que incorpora la

duración de la lluvia en forma analítica, dando así un sentido conceptual a los parámetros.

El significado conceptual de los parámetros da lugar a una de las principales características del DIT: su

aptitud para transposición a estaciones pluviométricas, mediante la técnica de zonalización (Caamaño Nelli y

Dasso, 2003). Esta técnica de transposición combina una división zonal con una transferencia paramétrica

dentro de cada zona. Al transponer la función i-d-T, desde la estación base (pluviográfica) a las estaciones

satélites (pluviométricas) incógnitas de la zona, los parámetros se alteran según los rasgos climáticos locales

de cada pluviómetro.

Esta particularidad del modelo permitió conformar la Red Regional de Lluvias de Diseño para la Provincia

de Córdoba con 141 puntos con lluvias de diseño que incluye los principales centros urbanos y que se

extiende sobre una superficie de 165.000 Km2 (Caamaño Nelli y Dasso ,2003). El territorio cordobés fue

dividido en siete zonas en función de sendas estaciones pluviográficas base a las cuales se le asignó

representatividad sobre los pluviómetros satélites existentes en cada zona.

Basado en este antecedente, se analizó la posibilidad de lograr una red más amplia que cubriera gran parte

del país, sin embargo, las dificultades debidas a la muy limitada disponibilidad de información pluviográfica

en Argentina y la baja densidad de pluviómetros que permitiera realizar una división zonal adecuada, limitó

esta expansión y generó la iniciativa de regionalizar los parámetros.

El objetivo de este trabajo es encontrar una versión simplificada del modelo de predicción de lluvias

máximas para facilitar su transposición, tanto a nivel zonal como para regiones más distantes.

EL MODELO DIT

La relación i-d-T en el modelo DIT (Caamaño Nelli y García, 1999), en su expresión final logarítmica es:

CBAln +⋅−Φ⋅= yyd,Ti δ (1)

Siendo i,d,T la intensidad media máxima de lluvia en mm/h, para una duración d en minutos, esperable en el

período de retorno T en años Φy y el factor de frecuencia (Chow, 1951) dado por

252573,2)ln(584458,2 83−⋅=Φ Ty (2)

mientras que δy es el factor de persistencia, definido como

q)ln( dy =δ (3)

La Ecuación (1) presenta tres términos independientes entre sí, que provienen de la hipótesis de

independencia entre duración, explicitada en δy, y recurrencia, incluida en Φy.

Los coeficientes A, B, C de la Ecuación (1) y el exponente q, de la Ecuación (3) son los cuatro parámetros

resultantes del modelo; A y C incorporan las características de la lluvia local, mientras que B y q, son

parámetros zonales.

Una vez que el modelo DIT ha sido calibrado para un pluviógrafo base, la extrapolación a los pluviómetros

asociados, consiste sólo en sustituir dos estadísticos: la media (µ) y el desvío estándar (σ) de los logaritmos

de las lluvias máximas diarias. La sustitución se efectúa en los parámetros A y C, ajustados para el

pluviógrafo, para obtener los respectivos A' y C' del pluviómetro (Ecuaciones 4 y 5) sin requerir calibración:

σσ ′−′ + A = A (4)

µµ ′+−=′ CC (5)

Los parámetros B´ y q´ para el pluviómetro son iguales a los de la zona al cual pertenece, o sea: B´ = B = y

q´ = q ambos constantes para toda la Zona.

ANTECEDENTES

Al definir el DIT, sus autores plantearon como una de las conclusiones la posibilidad de que el parámetro q

se considere constante, dado lo reducido de su rango de valores. Sin embargo, admitieron que la evidencia al

respecto no era suficiente. Ello se debió a que emplearon un conjunto de solamente siete estaciones

pluviográficas y a que la región representada, que corresponde a la Provincia de Córdoba, fue limitada:

165.321 km2.

En trabajos anteriores, Rico (2010) y Rico et al. (2010) se estudió la distribución espacial de los parámetros

del DIT, con la finalidad de analizar el comportamiento de los mismos en la región centro y norte de

Argentina, donde se contempló información de 27 estaciones, abarcando un área diez veces superior a la de

Córdoba. Los resultados detectaron tendencias de variación espacial con correspondencia biunívoca entre

ambos, de modo tal que, cuando el valor de B aumenta, el de q disminuye y viceversa. (Figura 1).

Figura 1: Relación biunívoca entre B y q

Esto conduce a formular las siguientes hipótesis: a) Si B crece cuando q se reduce, fijar el valor de q

estrecharía la gama de valores de B y suavizaría su distribución espacial, tornándola más conveniente para

interpolar. b) Aunque el q fijado no sea el óptimo local, la correlación entre intensidad, duración y

recurrencia que plantea el DIT será alta, pues B compensa en parte la rigidez impuesta a q.

ÁREA DE ESTUDIO

El área experimental de este estudio considera 28 estaciones pluviográficas. Aunque la mayor concentración

de datos seleccionados en la recopilación se encuentra en la zona centro-noreste de nuestro país, no han sido

descartadas estaciones ubicadas geográficamente más distantes, como es el caso de Trelew o Salta, ya que

aportan las condiciones de borde necesarias para el desarrollo de este estudio. (Figura 2).

En general, la muestra abarca regiones de clima de características muy disímiles.

METODOLOGÍA

Teniendo en cuenta la naturaleza diversa de la información de base, la muestra se dividió en 3 subconjuntos:

1) Estaciones empleadas para el desarrollo del DIT en la Provincia de Córdoba, 2) Estaciones donde fue

posible calibrar directamente el DIT, 3) Estaciones con función idT de distintas naturalezas, siguiéndose el

siguiente procedimiento:

Figura 2 Área de estudio y estaciones con función idT.

1. Para las estaciones del conjunto 1(7 estaciones), se consideraron las ternas i-d-T como pertenecientes

a una sola estación y se recalibró el DIT con el fin de obtener un valor óptimo para el parámetro q,

asumiendo que éste fuese constante en la provincia de Córdoba.

2. Un ensayo similar se realizó para el conjunto 2 (4 estaciones) separadamente.

3. Para las estaciones del conjunto 3 (17 estaciones) se calibraron los 4 parámetros del DIT sobre las

ternas i-d-T generadas, por regresión lineal múltiple.

4. En las 28 estaciones se calcularon específicamente intensidades para 5, 10, 15, 30, 60, 120, 180, 360,

720 y 1440 minutos de d y T de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años.

5. Se efectuaron, para cada estación, regresiones con q fijado según los pasos anteriores y se examinó si

la correlación era aceptable (mayora 0.9), a pesar de la restricción.

6. Se verificó la variación del rango del parámetro B y de los parámetros A y C, con respecto a la

versión original del DIT.

7. Se trazaron isolíneas de los tres parámetros mediante un SIG utilizando el método de interpolación

de mínima curvatura (spline) y se contrastaron y analizaron los resultados.

ANALISIS DE RESULTADOS

La regresión sobre las ternas de los siete puestos del conjunto 1, agrupados en una muestra única, arrojó para

q el valor óptimo de 5/3 (1.6667), con coeficiente r² = 0,97946. Suponiendo que esa constante fuese válida

para todo el territorio estudiado, permitió también definir una relación biunívoca entre el factor de

persistencia δy y la duración de la lluvia, a través de la ecuación (3), con lo cual el DIT se convirtió en un

modelo de 3 parámetros, explícitos en la ecuación (1): A, B y C.

La ecuación (3) resultaría generalizable en la forma (Caamaño et al., 2010)

Para el conjunto 2, los resultados fueron similares, arrojando un valor fijo de q de 1.66 con valores de r²

superiores a 0.9.

La re calibración de los 3 parámetros DIT (A, B y C), en las 28 estaciones, presentó excelentes resultados

bajo las condiciones experimentales adoptadas. Aunque era de esperar un decaimiento de la calidad de ajuste

a causa de la pérdida de flexibilidad por emplear un parámetro menos, el coeficiente de determinación supera

0,9 en la totalidad de los casos, dando resultados por encima de 0,97.

Esto ratifica la segunda de las hipótesis planteadas, debido a que dicha correlación es alta, aunque el valor de q fijado no es el óptimo local, B compensa en parte la rigidez impuesta a q.

Se realizó un análisis comparativo de los estadísticos de los parámetros para las versiones 4p y 3p. (Tabla 1).

)d ( = 35lnδ

Tabla 1.- Estadísticos para las versiones del DIT, de 3 y 4 parámetros

A B C q A B CRango 0.373 0.614 1.604 1.78 0.373 0.065 1.756Mínimo 0.252 0.019 4.559 1.00 0.98082 0.252 0.118 3.934 0.97217Máximo 0.624 0.633 6.163 2.78 0.99961 0.624 0.184 5.690 1.00000Media 0.355 0.203 5.152 1.69 0.355 0.143 5.032Desvío Est. 0.087 0.173 0.411 0.44 0.087 0.016 0.302Cv 0.246 0.852 0.080 0.26 0.246 0.114 0.060

EstadísticosPARÁMETROS DIT PARÁMETROS DIT

r² r²

Esta comparación muestra que el rango del parámetro B se redujo, como conjetura la primera hipótesis: si B

crece cuando q se reduce, fijar q concentra los valores de B, de hecho, esto acontece, puesto que su

coeficiente de variación pasa de 0,852 para DIT 4p a 0,114 para el DIT 3p.

Analizando también las variaciones de los otros parámetros (A y C), con respecto a la versión primitiva del

DIT (4p), el rango de A no se altera (Cv =0,246), lo cual es razonable, ya que este factor da peso a la

recurrencia y, siendo esta variable independiente de la duración, su participación en la ecuación (1) no se ve

afectada por lo que ocurra en el segundo término, donde B y q han sido modificados.

La variación de C es aún menor que en DIT 4p (Cv = 0,060), ya que el término independiente absorbe el

residuo de la mutación, que B no compensó plenamente.

Debido a la concentración de valores de B se suaviza su distribución espacial, tornándola más conveniente

para interpolar, permitiendo identificar las variaciones con mucho mayor detalle.

En las figuras 2,3 y 4 se representa la distribución espacial de los parámetros A, B y C.

Figura 3 Regionalización del parámetro A del DIT 3p.

Figura 4 Regionalización del parámetro B del DIT 3p.

Figura 5 Regionalización del parámetro C del DIT 3p.

Con el fin de corroborar el valor de q obtenido se realizó una última prueba: calibrar el DIT 4p suponiendo

que los datos de los veintiocho puestos provinieran de uno solo. Se obtuvo así el valor “óptimo” de q para la

región completa. La valoración del parámetro fue 1,63 muy similar también a la obtenida para la Provincia

de Córdoba (1.667) con buen ajuste: r² = 0,93.

CONCLUSIONES

El modelo DIT, en su versión original de 4 parámetros, logró expresar el vínculo esencial entre las variables

que importan para predecir láminas máximas de lluvia anual.

Sin embargo, el presente ensayo aporta una versión reducida del algoritmo, dotándolo de simplicidad y

practicidad para la transposición a estaciones pluviométricas, tanto con la técnica de zonalización como con

la de regionalización, sin que su representatividad se vea invalidada.

La estimación del parámetro q= 5/3, obtenida con datos de una parte del área de estudio (Córdoba), se ve

respaldada al aplicarla a cuatro estaciones distantes entre sí. La regresión sobre todas las estaciones también

convalida el valor propuesto.

Como recomendación final, se insiste en aumentar la densidad de la muestra para ratificar las deducciones de

este ensayo en un área más extensa.

REFERENCIAS

Caamaño Nelli, G.; C. M. Dasso; A. Rico y L. Colladon, 2010. Una aproximación de tres parámetros a la relación intensidad-duración-recurrencia de lluvias máximas. III Congreso Internacional sobre Gestión y Tratamiento Integral del Agua. Fundación ProDTI (Sevilla, España) y Politécnico Jaime Isaza Cadavid (Medellín, Colombia). Córdoba, RA.

Caamaño Nelli, G. y C. M. García. 1999. Relación Intensidad-Duración-Recurrencia de Lluvias Máximas: Enfoque a través del Factor de Frecuencia, Caso Lognormal. Ingeniería Hidráulica en México. Vol. XIV, N° 3, septiembre-diciembre, pp. 37-44. D.F., México.

Caamaño Nelli, G y. Dasso C. 2003. Lluvias de Diseño: Conceptos, Técnicas y Experiencias. Editorial Universitas. 222 páginas. ISBN: 987-9406-43-5. Córdoba, Argentina.

Chow, V. T. 1951 A General Formula for Hydrologic Frequency Analysis. Transactions American Geophysical Union. Vol. 32, Nº 2, pp. 231-237. USA.

Rico, A. F. 2010. Distribución Espacial de los Parámetros del Modelo de Predicción DIT. Práctica Supervisada de Ingeniería Civil. Fac. de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, UNC. Córdoba, Argentina.

Rico, A.; C. Dasso; G. Caamaño Nelli y M. García. 2010. Regionalización de parámetros de un Modelo para Predicción de Lluvias Máximas. I Congreso Internacional de Hidrología de Llanuras. IHLLA, Azul, Buenos Aires Argentina.