Modelo Aplicado a la Psicología– Cadenas de

MarkovUna Aplicación

Dr. José Dionicio Zacarías Flores

Introducción

•Se presenta un modelo

para analizar un

proceso de aprendizaje

(Propuesto por G.H.

Bower, 1961), conocido

como “Aprendizaje de

pares asociados!

Componentes del modelo de Bower

Supóngase que hay un

investigador y uno o más sujetos.

El investigador define dos

conjuntos: el conjunto de

estímulos (E) y el conjunto de

respuestas (R). Del tal modo que

para cada estímulo e S hay

una respuesta r del conjunto R.

Por lo que se crea el conjunto

{(e,r) : e E, r R}.

Componentes del modelo de Bower

En el experimento original, se

tenían diez elementos en cada

conjunto, por ejemplo, E podría

tener 10 letras y R 10 números

asignados de manera aleatoria a

cada letra. En otro contexto, E

estaría formado por 10 palabras

en español y R por las palabras

equivalentes en inglés.

Una vez definidos E y R se puede

iniciar el experimento.

Experimento

• En cada intento del experimento, el investigador le

muestra o le dice un elemento e E al sujeto y el

sujeto le responde con un elemento r R.

Entendiendo que el sujeto trata de contestar con la

respuesta correcta. Cada que se obtiene una

respuesta correcta se asigna un 0, si la respuesta es

incorrecta se registra un 1, y el investigador le

muestra o le dice la respuesta correcta.

• Se supone que el sujeto no sabe las respuestas, por lo

que inicialmente busca adivinar la respuesta, pero

como al fallar se le muestra la respuesta correcta, se

espera empiece a aprender. Se da por alcanzado el

aprendizaje cuando el sujeto logra dar las respuestas

correctas sin fallar dos veces consecutivas.

Suposiciones

Para el análisis de este modelo, hacemos 5 suposiciones

más o menos razonables, entendiendo por (e,r) estímulo –

respuesta.

• S1. Cada pareja estímulo – respuesta está en uno de

dos estados en cada intento del experimento:

Condicionado (C) o adivinando (A). Está en el estado C

si el sujeto ha aprendido la respuesta correcta (r) a la

pregunta dada o estímulo (e). Está en el estado A si el

sujeto no se sabe la respuesta correcta y debe adivinar.

• S2. Inicialmente, todas las parejas están en el estado

A, es decir, al inicio del experimento, el sujeto no sabe

ninguna de las respuesta.

Suposiciones

• S3. Si un elemento está en el estado A en el intento

n-ésimo del experimento, permanece en el estado C

en todos los intentos siguientes. Es decir, una vez

que el sujeto haya “aprendido” la respuesta correcta

a un estímulo dado, no la olvida.

• S4. Si un elemento está en el estado A en el intento

n-ésimo del experimento, hay una probabilidad c > 0

de que estará en el estado C en el intento (n+1)-

ésimo del experimento. Es decir, c es la probabilidad

de que el sujeto aprenda la respuesta correcta antes

del siguiente intento del experimento.

Suposiciones

• NOTA. S4 es la suposición menos plausible hasta ahora.

Pues se está suponiendo que (i) todos los elementos son

igualmente fáciles (o difíciles) de aprender, y (ii) el sujeto

no tiene más probabilidad de “aprender” la respuesta

correcta después de muchos intentos que después de un

solo intento de contestarla. Es de esperarse que si los

sujetos son humanos de inteligencia normal, las

probabilidades de aprender aumenten después de cada

intento y de haber oído la respuesta correcta.

• S5. Si el elemento está en el estado A y hay N respuestas

posibles, la probabilidad es de 1/N de que el sujeto

adivine la respuesta correcta. Es decir, en el estado de

adivinar todas las respuestas son igualmente probables

de ser escogidas.

Suposiciones

• Con estas 5 suposiciones, el proceso de aprender la

respuesta correcta por cada estímulo puede modelarse

como una CM con 2 estados, C y A. su matriz de

transición es

C A

• 𝑃 =𝐶𝐴

1 0𝑐 1 − 𝑐

• Por (S3) una vez que estamos en C, permanecemos en

C. Además por (S4), si estamos en A, la probabilidad

es c de que estemos en C en el siguiente intento del

experimento.

• Teniendo la matriz de probabilidades es

relativamente fácil calcular la probabilidad de que

un elemento esté en el estado C o A después de un

intento cualquiera del experimento. Por (S2), la

distribución inicial es p(0) = (0,1).

• P2 = 1 0

𝑐 ¨1 + 1 − 𝑐 (1 − 𝑐)2,

• P3 = 1 0

𝑐 ¨1 + 1 − 𝑐 + (1 − 𝑐)2 (1 − 𝑐)3, …

• Pn = 1 0

𝑐 ¨1 + 1 − 𝑐 + (1 − 𝑐)2+⋯+ (1 − 𝑐)𝑛−1 (1 − 𝑐)𝑛

= 1 0

1 − (1 − 𝑐)𝑛 (1 − 𝑐)𝑛

• Entonces las probabilidades de que un elemento esté

en el estado C o A después del intento n-ésimo son

• 𝑝(𝑛) = 𝑝(0)𝑃𝑛 = 1 − (1 − 𝑐)𝑛, (1 − 𝑐)𝑛 .

• Como 0 < c ≤ 1, por (S4), se tiene que 0 ≤ 1-c < 1, de

donde (1-c)n → 0 cuando n →.

• Concluyendo: mientras c no sea cero, la respuesta

correcta al estímulo será aprendida. Cuanto más

grande sea el valor de c, más rápido aprenderá.

• Para calcular el número esperado de intentos antes

de que el elemento sea “aprendido” se calcula usando

R = (1-c), m = r(0) (1-R)-1.

• En nuestro problema m = (1) (1-[1-c])-1 = 1/c

• Es decir, el sujeto estará adivinando, o en el estado

transitorio G, un promedio de 1/c veces antes de

aprender la respuesta correcta.

UNA VARIANTE DEL

MODELO DE BOWER

Introducción

• Es una situación más complicada y más interesante.

En el modelo anterior no distinguimos entre adivinar

correctamente y adivinar incorrectamente para un

elemento en el estado G. Si se quiere distinguir entre

estas posibilidades, se necesita analizar el modelo

por medio de una cadena de Markov con tres estados:

• E1: adivinando correctamente

• E2: adivinando incorrectamente

• E3: condicionado.

• La matriz de transición para esta CM es:

E1 E2 E3

P =

𝐸1

𝐸2

𝐸3

(1−𝑐)

𝑁(1. 𝑐) 1 −

1

𝑁𝑐

(1−𝑐)

𝑁(1 − 𝑐) 1 −

1

𝑁𝑐

0 0 1

Expliquemos la matriz creada: p11 es la probabilidad de

que el elemento empiece en E1 y permanezca en E1. es

decir, el elemento debe empezar y permanecer en el

estado G (con probabilidad 1-c) y la respuesta se

adivinirá correctamente (con probabilidad 1/N por S5).

• De manera similar p21= (1-c)/N. Después p12 es la

probabilidad de que el elemento empiece en el estado

G y permanezca en el estado G (con probabilidad 1-c) y

el sujeto adivinará incorrectamente (con probabilidad

(1-1/N)). Por lo que p12 = (1-c)(1-1/N). Este mismo

razonamiento prueba que p22 = (1-c)(1-1/N). Las otras

probabilidades se deducen del modelo más simple ya

discutido anteriormente. A partir de las suposiciones,

se ve que la distribución inicial de probabilidades es

• p(0) = 1

𝑁, 1 −

1

𝑁, 0

• En esta CM, los estados transitorios son E1 y E2,

mientras que E3 es absorbente. La matriz R está

dada por

• R =

1−𝑐

𝑁(1 − 𝑐) 1 −

1

𝑁1−𝑐

𝑁(1 − 𝑐) 1 −

1

𝑁

, y

• r(0) = 1

𝑁, 1 −

1

𝑁

Ejemplo

• Supongamos c

= 0.25,

entonces 1.c =

0.74, entonces

las

probabilidades

de que el

elemento esté

en el estado A

o C después de

cada intento

es:

Intento P(C) P(A)

Ejemplo

• Vemos que en el intento hay un 99% de certeza de

que el sujeto habrá aprendido la respuesta correcta.

• Para este ejemplo con N = 5, con c = 0.25 tenemos:

P = 0.15 0.6 0.250.15 0.6 0.250 0 1

, R = 0.15 0.60.15 0.6

y r(0) = (0.2, 0.8)

entonces, Q = (1-R)-1 = 1

0.25

0.4 0.60.15 0.85

=1.6 2.40.6 3.4

m = r(0) Q = 0.2, 0.81.6 2.40.6 3.4

= (0.8, 3.2)

Es decir, el sujeto adivinará correctamente un

promedio de 0.8 veces y adivinará incorrectamente 3.2

veces en promedio, antes de aprender la respuesta.

TAREA

Problema 1

• Un estudiante está tomando un curso de lectura en

francés. Aprende el vocabulario escribiendo una

palabra en francés en un lado de una tarjeta y su

equivalente en español en otro lado. Hay diez

tarjetas. Hacemos las siguientes suposiciones:

(a) Inicialmente el estudiante conoce las 10 palabras

en español pero no tiene idea de qué palabra de

francés corresponde a cada palabra en español.

Tiene que adivinar.

(b) Al estudiante se le muestra una palabra en francés,

da la palabra equivalente en español y, sino es

correcta, se le muestra la otra cara de la tarjeta. El

estudiante sabe la palabra o está adivinando.

Problema 1

(c) Si está adivinando, escoge una de las diez

“respuestas” en español aleatoriamente.

(d) Siempre que aprende una palabra, ya no la

olvida.

(e) Si adivina (correcta o incorrectamente) y se le

muestra la palabra correcta, la probabilidad es de 0.3

de que saldrá el equivalente en español de la palabra

en francés que acaba de ver, la próxima vez que se le

muestre.

Con estas suposiciones, encuéntrese la matriz de

transición de la cadena de Markov con los estados K

(si sabe una palabra dada) o G si está adivinando).

Problema 2

• En el problema 1 ¿cuál es la probabilidad de que

haya aprendido la traducción correcta de una

palabra dada en francés antes de adivinar 4 veces?

• ¿cuántas veces se debe repetir el experimento hasta

que la probabilidad sea de al menos 98% de que el

estudiante haya aprendido la palabra?

• ¿Cuál es el número esperado de veces que el

estudiante estará adivinando hasta que aprende la

palabra?

Problema 3

• En el problema 1, encuéntrese la matriz de

transición de la cadena de Markov asociada con

tres estados: adivinar correctamente, adivinar

incorrectamente y saber.

• ¿Cuál es el número esperado de veces que el

estudiante adivinará incorrectamente hasta que se

aprende una palabra dada?