modelización de sólidos por ordenador

MODELIZACIÓN DE SÓLIDOS POR ORDENADOR

Trabajo realizado por: Álvaro Guillén Llópiz

Eloy Izquierdo Sánchez

DEBUXO E DESEÑO ASISTIDO POR COMPUTADOR

INDICE:

1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas

1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos

3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep (Fronteras)3. Descomposición Espacial

4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía

¿QUÉ ES UN MODELADOR DE SÓLIDOS? Es una aplicación informática que nos permite definir

íntegramente cualquier objeto en un ordenador para su posterior análisis, fabricación,…

Nos permite dotar al modelo de la forma, dimensiones y características deseadas

En la actualidad: Nos permiten realizar ensamblajes entre sólidos para analizar el

funcionamiento y mejorar la comprensión de un conjunto Incorpora herramientas de calculo estructural …

DESARROLLO HISTÓRICO DEL MODELADO SOLIDO

Las universidades de Hokkaido y Cambridge desarrollaron los primeros sistemas gráficos basados en esquemas de Modelado Sólido: TIPS y BUILD, respectivamente que fueron presentados en Budapest en 1.973

TIPS utiliza figuras básicas (primitivas) y operaciones booleanas para definir sólidos en tres dimensiones. Actualmente es conocida como Geometría Constructiva de Sólidos

BUILD define los objetos como un conjunto de superficies, más la información topológica que las relaciona (cómo se conectan las caras, aristas y vértices). Hoy se conoce esta técnica como la Representación por Fronteras

En 1977 se desarrolló en la universidad de Rochester (Estados Unidos) el sistema gráfico PADL-1, que utiliza CSG para definir los objetos, pero que puede convertir automáticamente las representaciones a B-Rep. La conversión en sentido contrario presenta muchos problemas

Desde entonces han surgido otros muchos modeladores, pero la gran mayoría usan conceptos de los dos anteriores o incluso de ambos (Modeladores Híbridos)

PROPIEDADES DESEABLES DE UN MODELO

Dominio de representación: el conjunto de objetos que se pueden representar mediante el modelo ha de ser suficientemente amplio

Completitud (no ambigüedad) y unicidad: una representación ha de ser claramente identificable y representar un y sólo un objeto

Unicidad: Una representación es única si cualquier sólido se puede representar de una única forma, dentro del marco del modelo

Imprescindible para poder decidir si dos objetos son iguales

Precisión: Un modelo es preciso si no es necesario realizar aproximaciones, como por ejemplo líneas curvas aproximadas por una series de segmentos rectilíneos

Validez : Un modelo no debiera permitir crear una representación inválida. Por ejemplo si estamos modelando sólidos, no debiera ser posible crear un objeto que no sea sólido

Facilidad: Debe ser fácil crear representaciones válidas y precisas.

Clausura: Las operaciones definidas sobre objetos válidos deben producir otros objetos válidos. Por ejemplo bajo rotaciones, transformaciones geométricas, etc.

Compacidad: El uso de memoria debe ser lo más pequeño posible.

Eficiencia: Los algoritmos necesarios para representar sus propiedades y apariencia gráfica han de ser eficientes en términos de tiempo de cálculo.

INDICE:





OPERACIONES BOOLEANAS

PROBLEMA EN 3D

SOLUCION

OPERADORES BOOLEANOS REGULARIZADOS + SOLIDOS REGULARIZADOS

REGULARIZACION DE SOLIDOS• Consideramos los sólidos como un

conjunto de puntos Interiores y puntos de Frontera

• Los puntos de frontera pueden pertenecer o no al solido

• La unión de sus puntos con los de frontera se llama Cerradura

• REGULARIZACION = CERRADURA DEL INTERIOR

REGULARIZACION DE OPERADORES• A op* B = cerradura(interior(A op B))• Las op* de Sol Reg. = Sol Reg.

A * B A * B A -* B

AiBi Ai-B Bi-A AfBi BfAi Af-B Bf-A AfBf (=) AfBf ()

OPERACIONES BOOLEANAS

Arista extra

1 2 3 4

Intersección regularizada

Incluye la frontera si ambos están del mismo lado (1-2), la excluye si están en lados opuestos (3-4).

La común (2-3) siempre se incluye.

Intersección

A

B

A

B

AiBi

A

B

Ai-B

A

B

Bi-A

AfBi

A

B

BfAi

A

B

A

B

Af-B

A

B

Bf-A

A

B

AfBf (=)

A

B

AfBf ()

No son Conmutativas

PRIMITIVAS Conjunto de formas solidas relevantes en el área de aplicación

definidas en el sistema agrupadas en jerarquías Descripción algebraica

de las primitivas

Las Primitivas están parametrizadas según: En función de las transformaciones

Translación (de los ejes ligados al solido respecto a los del espacio) Rotación (sobre uno de sus ejes o sobre el espacio) Escalado (en una o todas las direcciones)

En función de sus características Nº de lados de una pirámide Nº de dientes de un engranaje Longitud de paso de un tornillo Longitudes clave que no se logran mediante

escalado (longitud del diente) …

Por ejemplo una esfera

ax^2 + by^2 + cz^2 − r^2 ≤ 0parámetros: a, b, c, rPor ejemplo el cilindroA través de operaciones booleanas básicas intersecamos el cilindroax^2 + by^2 − r^2 ≤ 0 con dos planos z ≤ c z ≥ d

BARRIDOS El Barrido es una operación que permite definir nuevos

objetos a través de dos componentes El Generador (o perfil de barrido):

es un solido, o una superficie que al trasladarse origina el solido

La Trayectoria (o directriz): es el camino que seguirá el generador para formar el solido

Según la Trayectoria pueden ser: Barridos Translacionales (Extrusiones)

Directriz es una línea recta Barridos Rotacionales (Revolución)

Directriz es un circulo alrededor del eje de giro Barridos Generales

Directriz es una curva arbitraria Generador varia de forma u orientación

BARRIDOS Problemas del barrido

Intersecciones internas

Obtención de áreas

No posee formulación simple del resultado por tanto: Los cálculos de momentos,

volumen… son complejos No se pueden aplicar

operadores booleanos

Características Modelador potente y

versátil Dominio amplio Escasa utilidad por si solo

Habitualmente se convierten a otras representaciones mediante algoritmos

INDICE:





CSG (GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA DE SÓLIDOS) Las primitivas se combinan

a través de operadores booleanos de conjuntos regularizados

CARACTERISTICAS: Muy intuitivo y sencillo Calculo sencillo de

propiedades físicas del objeto Resuelve con facilidad

interacciones entre objetos Maneja de igual forma

superficies curvas y poliédricas

Representaciones limitadas PROPIEDADES

Dominio Validez Ambigüedad Unicidad

Los objetos se almacenan como un árbol binario En el nodo raíz tenemos el

objeto resultante En los nodos intermedios

tenemos las distintas operaciones booleanas

En los nodos finales o hojas tenemos: Las primitivas Las matrices de

transformación Traslada Gira Escala

Problema:La generación y visualización de escenas complejas puede ser lenta

CSG (GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA DE SÓLIDOS)

Biblioteca de Primitivas Conjunto de primitivas de las que dispone el

modelador Dominio o poder expresivo

Def: Capacidad que posee para modelar diferente objetos

No depende del numero de primitivas sino de: La variedad de subespacios utilizados para

construirlas El conjunto de operadores booleanos desarrollados El total de operaciones de transformación disponible

Potencia de modelado Se evalúa en función del nº de primitivas

diferentes del conjunto y del numero de transformaciones disponibles


Dominio

Potencia de modelado

Operadores disponible

Recursos de modelado del sistema

El modelador CSG almacena las operaciones realizadas y el solido final

Soluciones Modelado con características Modelado paramétrico Modelado variacional Modelado por arboles históricos


INDICE:





B-REP. (REPRESENTACIÓN DE FRONTERAS)

Describen un objeto en función de sus fronteras superficiales: Vértices: punto único en el espacio Aristas: curva finita, orientada, delimitada por dos vértices que no se

autointersecta Caras: región finita, no autointersectante de una superficie orientable, limitada

por uno o más bucles (lista ordenada de aristas)

Para poder representar un sólido mediante B-Rep, éste debe cumplir las siguientes propiedades básicas: Cada arista está delimitada por dos vértices Cada arista separa dos caras (sólidos múltiples) Las aristas solo se intersectan en los vértices Las caras solo se intersecan en los vértices y aristas

Trataremos el modelado mediante la aproximación con poliedros planos (Aristas rectas)

ESTRUCTURA WIMGED-EDGE (ARISTA ALADA)

Desarrollada por Baumgart en 1972 Es un modelo de representación por fronteras basado en las aristas

orientadas Se representan las caras mediante secuencias de aristas que forman un

camino cerrado en sentido horario visto desde el exterior El poliedro debe considerarse visto desde fuera del objeto Se consideran vértices incidentes, caras adyacentes a izquierda y derecha y

las aristas incidentes (precedentes y sucesoras) en la definición de las caras adyacentes

La información se ordena y almacena en tres tablas. Una para vértices, otra para aristas y una última para las caras

Caracterización de arista a: Aristas incidentes (Según el orden de los bucles que definen las caras):

Precedente en cara Izquierda (PR-): b Sucesora en cara izquierda (R-): d Precedente en cara derecha (PR+): e Sucesora en cara derecha (R+): c

Vértices incidentes: Desde 2 hacia 1

Caras adyacentes: Izquierda: A Derecha: B

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Aristas

Vertices

CR+ CR- R+ PR+ R- PR-

A1 (V1,V2) C1 C2 A2 A4 A5 A6

A2 (V2,V3) C1 C3 A3 A1 A6 A7

A3 (V3,V4) C1 C4 A4 A2 A7 A8

A4 (V4,V1) C1 C5 A1 A3 A8 A5

A5 (V1,V5) C2 C5 A9 A1 A4 A12

A6 (V2,V6) C3 C2 A10 A2 A1 A9

A7 (V3,V7) C4 C3 A11 A3 A2 A10

A8 (V4,V8) C5 C4 A12 A4 A3 A11

A9 (V5,V6) C2 C6 A6 A5 A12 A10

A10 (V6,V7) C3 C6 A7 A6 A9 A11

A11 (V7,V8) C4 C6 A8 A7 A10 A12

A12 (V8,V5) C5 C6 A5 A8 A11 A9

Vertices

Arista de

inicio

Coordenadas

V1 A1 X1 Y1 Z1

V2 A2 X2 Y2 Z2

V3 A3 X3 Y3 Z3

V4 A4 X4 Y4 Z4

V5 A9 X5 Y5 Z5

V6 A10 X6 Y6 Z6

V7 A11 X7 Y7 Z7

V8 A12 X8 Y8 Z8

Caras Arista de

inicio

C1 A1

C2 A9

C3 A6

C4 A7

C5 A12

C6 A9

Para crear la tabla de aristas en la winged-edge se opera como sigue:

• Se identifican las aristas

• Se identifican las dos caras que separa la arista y se establece el sentido de recorrido positivo de la arista (Va, Vb), tal que Va es el inicio y Vb el fin

• Se identifica R+ como la siguiente arista recorriendo el bucle y la arista en sentido positivo. Si repetimos la operación recorriendo la arista en sentido negativo obtenemos R-

• PR+ y PR- corresponden a las aristas precedentes cuando recorremos la arista en sentido positivo o negativo respectivamente

• CR+ y CR- corresponde a la cara cuyo bucle recorre a la arista en sentido positivo o negativo respectivamente

NOTA: El bucle siempre se recorre en sentido positivo.

A6(V2,V6

)C3 C2 A10 A2 A1 A9

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Para crear la tabla de caras en la winged-edge se opera como sigue:

• Se ha de incluir el identificador de cualquiera de sus aristas, más un bit que indique la orientación de la arista elegida (en la tabla de aristas), cuando se recorre la cara en el sentido horario

Para crear la tabla de vértices en la winged-edge se opera como sigue:

• Se anotan las coordenadas espaciales de cada vértice

• A cada vértice se le asocia la arista en la que dicho vértice es punto de partida en el sentido positivo

En esta modalidad de B-rep se utiliza información redundante pero se obtiene un buen compromiso entre ocupación en disco y agilidad de calculo

Aristas

Vertices

CR+ CR- R+ PR+ R- PR-

A1 (V1,V2) C1 C2 A2 A4 A5 A6

A2 (V2,V3) C1 C3 A3 A1 A6 A7

A3 (V3,V4) C1 C4 A4 A2 A7 A8

A4 (V4,V1) C1 C5 A1 A3 A8 A5

A5 (V1,V5) C2 C5 A9 A1 A4 A12

A6 (V2,V6) C3 C2 A10 A2 A1 A9

A7 (V3,V7) C4 C3 A11 A3 A2 A10

A8 (V4,V8) C5 C4 A12 A4 A3 A11

A9 (V5,V6) C2 C6 A6 A5 A12 A10

A10 (V6,V7) C3 C6 A7 A6 A9 A11

A11 (V7,V8) C4 C6 A8 A7 A10 A12

A12 (V8,V5) C5 C6 A5 A8 A11 A9

Vertices

Arista de

inicio

Coordenadas

V1 A1 X1 Y1 Z1

V2 A2 X2 Y2 Z2

V3 A3 X3 Y3 Z3

V4 A4 X4 Y4 Z4

V5 A9 X5 Y5 Z5

V6 A10 X6 Y6 Z6

V7 A11 X7 Y7 Z7

V8 A12 X8 Y8 Z8

Caras Arista de

inicio

C1 A1

C2 A9

C3 A6

C4 A7

C5 A12

C6 A9

V6 A10 X6 Y6 Z6

C2 A9

CARAS CON VARIAS FRONTERAS (CARAS CON AGUJEROS)

Hasta el momento solo hemos tratado poliedros simples (sin agujeros) que cumplen la fórmula de Euler: V-E+F-2=0 V: Vértices E: Aristas F: Caras

Los sólidos con agujeros van a cumplir la fórmula de Euler-Poincaré: V-E+F-2(1-G)=0 G: genero (nº de agujeros)

Soluciones para este tipo de objetos: Transformar los modelos no eulerianos en objetos de Euler, subdividiendo las

superficies agujereadas en discos topológicos, mediante la introducción de aristas auxiliares. Deberemos marcar estas aristas de algún modo para que no sean visualizadas en la representación en pantalla del objeto

Crear tantos bucles cerrados como fronteras tenga la cara, y asociar a cada cara una lista con los bucles (fronteras) que posee

Problema con objetos no múltiples: En ocasiones nos encontramos con objetos en los que una arista es

compartida por mas de dos caras (objeto no euleriano). En este caso debemos considerar la arista como varias superpuestas que nos permiten la interpretación de objeto euleriano

INDICE:



3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep. (Fronteras)3. Descomposición Espacial


DESCOMPOSICION ESPACIAL

Objetivo: Modelar objetos complejos mediante piezas fáciles de definir.

Objetos compuestos por celdas que no tienen por que ser idénticas.

Celdas: No pueden contener huecos ni agujeros Han de ser disjuntas, es decir, su intersección es el vacio. Se combinan mediante el operador pegado (versión restringida

de la unión)

Tipos: Descomposición en celdas Enumeración de ocupación espacial Árbol de Octantes (Octree)

DESCOMPOSICIÓN EN CELDAS

El sólido se descompone en celdas irregulares

Cada par de celdas adyacentes comparte vértice, arista o cara y debe adaptarse perfectamente a las de su entorno para no dejar huecos y seguir siendo disjunta.

Estas restricciones son muy complejas con este tipo de celdas → Modelado muy complejo

La representación se obtiene mediante otro modelo (CSG, B-Rep.,…) y luego se malla mediante un algoritmo apropiado

Utilidad: Cálculos analíticos en los sólidos mediante elementos finitos

ENUMERACIÓN DE OCUPACIÓN ESPACIAL

Descompone el solido en un número prefijado de celdas idénticas dispuestas sobre una malla regular fija

Las celdas se denominan “elementos de volumen” (voxeles)

El tipo más común de celda es el cubo y la representación del espacio como una matriz regular de cubos se denomina cuberil

Los objetos se codifican con una lista única y no ambigua de celdas ocupadas.

No existe el concepto de ocupación

parcial ▬►Aproximación de los sólidos

Mayor aproximación ▬► Mucha

mayor ocupación de disco

ÁRBOLES DE OCTANTES (OCTREES)

Variante jerárquica de la enumeración de ocupación espacial, diseñada para optimizar sus exigentes requisitos de almacenamiento

Partimos de una celda regular que contenga al solido, si esta parcialmente ocupada, la dividimos en ocho celdas iguales y comprobamos el estado de ocupación de las nuevas celdas repitiendo el proceso con las parcialmente ocupadas

Dejamos de dividir una celda cuando este totalmente incluida/excluida en el solido o cuando sea del tamaño mínimo limite establecido

ARBOLES DE OCTANTES (QUADTREES): EXPLICACIÓN EN EL PLANO

Los árboles de octantes se derivan de los árboles de cuadrantes, un formato de representación bidimensional

Un árbol de cuadrantes se forma dividiendo sucesivamente un plano bidimensional en sus dos direcciones (X, Y) para formar cuadrantes

Cada cuadrante puede estar lleno, parcialmente lleno o vacío Un cuadrante parcialmente lleno se subdivide recursivamente en

subcuadrantes El proceso continua hasta que no haya cuadros parcialmente llenos Cualquier nodo parcialmente lleno en la profundidad limite (escala mínima) se

considera lleno Si 4 cuadrantes hermanos (tienen algo en común: vértice o arista) están

llenos/vacios se eliminan y su padre se remplaza por un nodo totalmente lleno/vacio.

DESCOMPOSICIÓN ESPACIAL:

Descomposición

celularEnumeración de

ocupación espacialOctrees

INDICE:





COMPARACIÓN DE MODELOS:

CSG B-Rep D.E.

Dominio Sol. Primitivas Caras planas Voxeles

Precisión Muy bueno Regular Mal/Regular

Op. Booleanas Muy Bueno Difícil Bueno

Creación Muy Bueno Malo Muy malo

Visualización Malo Muy Bueno Bueno/Regular

Unicidad No cumple No cumple Cumple

Validez Fácil Difícil Fácil

INDICE:





Creación fácil e intuitiva

Son los mas concisos (Fieles)

Algoritmos complejos de visualización Ray Casting Ray Tracing

Son lentos en el análisis numérico Evaluación de

fronteras

MODELOS HÍBRIDOS

Fácil visualización Pueden utilizar

los principales algoritmos de visualización

Son adecuados para los análisis numéricos Si los poliedros

se ajustan bien al modelo teórico

Su creación es difícil

B-Rep. CSG D.E.

CARACTERISTICAS CLAVE

Es el de mayor poder expresivo

Los algoritmos y operadores son sencillos

Difícil diseño de objetos con geometría irregular

La cantidad de información registrada puede ser grandes Llegan a ser

lentos

CSG

B-RepD.E.

MODELOS HÍBRIDOS

CONVERSIONES CONSISTENCIAS

Son consistentes si son capaces de representar

un mismo modelo en los diferentes esquemas que

soportan para lo que necesitan algoritmos de

conversión

Pero recorta la funcionalidad del modelador limitando las

posibilidades de los esquemas para que la conversión sea posible

SOLUCIONEstablecer un sistema

primario desde el que se van actualizando los demás

Hay dos tipos

CSG B-Rep

ALGUNOS DE LOS MODELADORES EXISTENTES EN EL MERCADO:

3DpowerToolshttp://www.3dpowertools.com

Intergraphhttp://www.intergraph.com

Algorhttp://www.algor.com

IMSIhttp://www.turbocad.com

Ashlarhttp://www.ashlar.com

IronCADhttp://www.ironcad.com

Autodeskhttp://www.autodesk.com

MechanicalDesktophttp://www.autodesk.com

Autodesk Inventorhttp://www.autodesk.com

Moldflowhttp://www.moldflow.com

auto.des.syshttp://www.formz.com

Parasolid (Unigraphics)http://www.parasolid.com

Bentleyhttp://www.bentley.com

PTChttp://www.ptc.com

CADKEYhttp://www.cadkey.com

Raindrop Geomagichttp://www.geomagic.com

CADMAXhttp://www.cadmax.com

Redsparkhttp://www.redspark.com

CATIAhttp://www.catia.com

Solid Edgehttp://www.solid-edge.com

CoCreatehttp://www.cocreate.com

SolidWorkshttp://www.solidworks.com

Dassault Systemeshttp://www.dsweb.com

Spatial Technology (ACIS)http://www.spatial.com

DesignCADhttp://www.designcad.com

SDRChttp://www.sdrc.com

Eagle Pointhttp://www.eaglepoint.com

T-Flexhttp://www.tflex.com

EMT Softwarehttp://www.emtsoft.com

Think3http://www.think3.com

Immersive Designhttp://www.immdesign.com

Unigraphicshttp://www.ugsolutions.com

IMSIhttp://www.imsisoft.com/

Varimetrixhttp://www.varimetrix.com

BIBLIOGRAFÍA: INTRODUCCIÓN A LA GRAFICACIÓN POR COMPUTADORA (1996)

J.D. FOLEY, J.C. VAN DAM, S.K. FEINER, J.F. HUGHES, R.L. PHILLIPS CAD-CAM, GRÁFICOS, ANIMACIÓN Y SIMULACIÓN POR COMPUTADOR

(2003)FÉLIX SANZ ADÁN, JULIO BLANCO FERNÁNDEZ

HTTP://WWW.YOUTUBE.COM HTTP://WWW.WIKIPEDIA.ES HTTP://WWW.GOOGLE.ES APUNTES

UNIVERSIDAD DE OVIEDO UNIVERSIDAD DE VALENCIA UNIVERSIDAD POMPEU FABRA DE BARCELONA UNIVERSIDAD DE GRANADA

http://www.youtube.com/

http://www.wikipedia.es/

http://www.google.es/

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