modeliranje in dimenzioniranje armiranobetonskih t … · 2017-11-28 · delni varnostni faktor za...

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO

Damjan Novak

MODELIRANJE IN DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH T NOSILCEV

Diplomsko delo

Maribor, februar 2014

I

Smetanova ulica 17 2000 Maribor, Slovenija

Diplomsko delo univerzitetnega študijskega programa

MODELIRANJE IN DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH

T NOSILCEV

Študent: Damjan NOVAK

Študijski program: univerzitetni, Gradbeništvo

Smer: Konstrukcijska

Mentor: doc. dr. Milan KUHTA, univ. dipl. inž. grad.

Somentor: Aljoša KLOBUČAR, univ. dipl. inž. grad.

Maribor, februar 2014

III

ZAHVALA

Za strokovno pomoč in vodenje pri opravljanju

diplomskega dela se zahvaljujem mentorju doc. dr.

Milanu Kuhti, univ. dipl. inž. grad. Za vse

strokovne in koristne nasvete se zahvaljujem

somentorju Aljoši Klobučarju, univ. dipl. inž. grad.

Posebna zahvala velja staršem, ki so mi omogočili

študij, mi vselej nudili podporo, za njihovo

potrpežljivost v času študija. Hvala sestri za vse

vzpodbudne besede in moralno podporo.

Hvala vsem, ki so mi v času študija pomagali na

kakršenkoli način, in jih nisem posebej omenil.

»There are no shortcuts to any place worth going.« Beverly Sills

http://www.brainyquote.com/quotes/quotes/b/beverlysil105327.html

http://www.brainyquote.com/quotes/quotes/b/beverlysil105327.html

IV

MODELIRANJE IN DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH

T NOSILCEV

Ključne besede: gradbeništvo, armiranibeton, modeliranje, dimenzioniranje, T nosilci UDK: 624.012.45.04:004.4(043.2)

Povzetek Nosilec predstavlja osnovni konstrukcijski element v gradbenih konstrukcijah. Z monolitno

izvedbo nosilca in plošče dobimo ugoden T prerez z veliko tlačno cono in majhno natezno

površino. V moderni dobi gradbenega projektiranja je elektronska obdelava podatkov

spremenila način dela, zato je ob vsej količini podatkov in kompleksnosti modelov nujno

poznavanje delovanja programov. V diplomskem delu je podana primerjava ustreznosti

različnih računalniških modelov, ugotavlja se natančnost, ki je potrebna za vsakdanjo

inženirsko prakso. Podana je tudi analitična kontrola nekaterih rezultatov.

V

MODELING AND DESIGN OF REINFORCED CONCRETE T

BEAMS

Key words: civil engineering, reinforced concrete, modeling, design, T beams

UDK: 624.012.45.04:004.4(043.2)

Abstract

Beam represents a basic structural element in buildings. With monolithic construction of

beam and slab together an advantageous T section with large compression and small

tension zone is created. In a modern age of civil engineering design electronic data

processing changed a way of work, therefore of all data quantity and model complexity,

knowledge how program functions is necessary. A comparison of suitability of various

computer models is given in this diploma. Accuracy needed for everyday engineering

practice is being found. Analytical control of some results is also given.

VI

VSEBINA

1 UVOD ....................................................................................................................... 1

1.1 Splošno o področju diplomskega dela ............................................................................. 1

1.2 Namen in cilji diplomskega dela ..................................................................................... 2

1.3 Struktura diplomskega dela ............................................................................................. 2

2 DIMENZIONIRANJE IN MODELIRANJE T NOSILCEV .................................. 3

2.1 Sodelujoča širina pasnice ................................................................................................ 3

2.2 Dimenzioniranje T nosilcev ............................................................................................ 5

2.2.1 Dimenzioniranje na upogib ..................................................................................... 5

2.2.2 Strig v stiku med stojino in pasnico ....................................................................... 11

2.3 Modeliranje T nosilcev z MKE ..................................................................................... 12

2.3.1 Osnove modeliranja .............................................................................................. 12

2.3.2 Priporočilo o izbiri modela po literaturi [4]............................................................ 15

3 PLOŠČA Z NOSILCEM ........................................................................................ 19

3.1 Osnovni podatki ........................................................................................................... 19

3.2 Analitična rešitev .......................................................................................................... 20

3.2.1 Določitev osnovnih parametrov ............................................................................. 20

3.2.2 Obtežba ................................................................................................................ 22

3.2.3 Izračun maksimalnih notranjih statičnih količin v nosilcu ...................................... 25

3.2.4 Izračun upogibnih momentov v plošči ................................................................... 29

3.2.5 Dimenzioniranje nosilca na upogib ....................................................................... 34

3.2.6 Dimenzioniranje nosilca na strig zaradi prečne sile ................................................ 40

3.3 Analiza v programu Tower ........................................................................................... 58

3.3.1 Centrična priključitev ............................................................................................ 58

3.3.2 Ekscentrična priključitev ....................................................................................... 64

3.4 Analiza v programu Sofistik ......................................................................................... 66

3.5 Analiza v programu Frilo .............................................................................................. 71

3.6 Analiza in primerjava rezultatov ................................................................................... 74

3.6.1 Primerjava rezultatov za nosilec ............................................................................ 74

3.6.2 Primerjava rezultatov za ploščo ............................................................................. 80

4 T NOSILEC PREKO DVEH POLJ ...................................................................... 82

4.1 Osnovni podatki ........................................................................................................... 82

VII

4.2 Analiza v programu Tower ........................................................................................... 85

4.2.1 Mejno stanje nosilnosti ......................................................................................... 85

4.2.2 Mejno stanje uporabnosti ...................................................................................... 86

4.3 Analiza v programu Sofistik ......................................................................................... 90



4.4 Analiza v programu Frilo .............................................................................................. 93



4.5 Analiza in primerjava rezultatov ................................................................................... 99

5 SKLEP ................................................................................................................... 106

6 VIRI IN LITERATURA ....................................................................................... 109

7 PRILOGE ............................................................................................................. 111

7.1 Seznam slik ................................................................................................................ 111

7.2 Seznam preglednic ...................................................................................................... 114

7.3 Seznam grafov ............................................................................................................ 115

7.4 Tabele za dimenzioniranje .......................................................................................... 117

7.5 Naslov študenta .......................................................................................................... 120

7.6 Kratek življenjepis ...................................................................................................... 120

VIII

UPORABLJENI SIMBOLI

Velike latinske črke

A površina

AB površina prečnega prereza nosilca

Ac površina prečnega prereza betona

As površina prečnega prereza armature

Asf površina prečnega prereza armature v pasnici v prečni smeri

Asl površina prečnega prereza natezne armature v vzdolžni smeri

Asl,web površina prečnega prereza armature v širini stojine

As,max maksimalna površina prečnega prereza armature

As,min najmanjša površina prečnega prereza armature

Asw površina prečnega prereza strižne armature

Asw,max največja dopustna površina prečnega prereza strižne armature

E modul elastičnosti

EItot skupna upogibna togost T nosilca

ΔFd sprememba normalne sile v pasnici na odseku Δx

ΔFtd dodatna natezna sila, ki jo v vzdolžni armaturi povzroča prečna sila VEd

Gk,j karakteristična vrednost stalnega vpliva

I vztrajnostni moment

IB vztrajnostni moment prečnega prereza nosilca

M upogibni moment

MEd projektna vrednost delujočega upogibnega momenta

Mmax največja vrednost upogibnega momenta

Mmin najmanjša vrednost upogibnega momenta

Mn upogibni moment nosilca

MT skupni upogibni moment, ki deluje na nadomestni T prerez

NEd projektna vrednost delujoče osne sile

Nn osna sila nosilca

Qk,1 karakteristična vrednost prevladujočega spremenljivega vpliva

Qk,i karakteristična vrednost spremljajočega spremenljivega vpliva

IX

P karakteristična vrednost prednapetja

VEd projektna vrednost delujoče prečne sile

Vn prečna sila v nosilcu

Vmax največja vrednost prečne sile

Vmin najmanjša vrednost prečne sile

VRd,c projektna strižna odpornost elementa brez strižne armature

VRd,max mejna strižna odpornost glede na zmogljivost tlačnih razpor

VRd,s mejna strižna odpornost glede na strižno armaturo

Male latinske črke

a geometrijski podatki

al razdalja premaknitve linije nateznih sil

b celotna širina prečnega prereza nosilca ali dejanska širina pasnice prereza T –

oblike

beff sodelujoča širina pasnice

bt srednja širina natezne cone

bw širina stojine nosilca s prečnim prerezom T – oblike

c geometrijski podatki za določitev krovnega sloja betona

Δc odstopanje geometrijskih podatkov za določitev krovnega sloja betona

d statična višina

d debelina plošče, pasnice

du višina rebra, stojine pod ploščo

d0 celotna višina nosilca

epl razdalja med srednjo ravnino plošče in težiščem T prereza

en razdalja med težiščem spodnjega dela rebra pod ploščo in težiščem T prereza

fcd projektna vrednost tlačne trdnosti betona

fck karakteristična vrednost tlačne trdnosti betona

fctd projektna vrednost osne natezne trdnosti betona

fctm srednja vrednost osne natezne trdnosti betona

fyd projektna meja elastičnosti armature

fyk karakteristična meja elastičnosti armature

X

fywd projektna meja elastičnosti strižne armature

g lastna, stalna obtežba

gd projektna vrednost lastne, stalne obtežbe

h višina prereza

k koeficient; faktor

l dolžina; razpetina

mxx upogibni moment plošče v smeri x

myy upogibni moment plošče v smeri y

nyy osna sila v plošči v smeri y

nxx osna sila v plošči v smeri x

s medsebojna razdalja stremen

sf medsebojna razdalja prečne armature v pasnici

sl,max največja vzdolžna medsebojna oddaljenost skupin strižne armature

t debelina, širina

vz prečna sila v plošči v ustrezni smeri

z ročica notranjih sil

q koristna obtežba

qd projektna vrednost koristne obtežbe, projektna vrednost obtežbe

x višina tlačne cone

x razdalja

Δx dolžina obravnavanega odseka

Male grške črke

αcc koeficient, ki upošteva dolgotrajne učinke obtežbe in neugodne učinke nanosa

obtežbe na tlačno trdnost betona

γc delni varnostni faktor za beton

γs delni varnostni faktor za jeklo za armiranje

γG,j delni faktor varnosti za stalni vpliv

γP delni faktor varnosti za prednapetje

γQ,i delni faktor varnosti za spremenljivi vpliv

δ faktor prerazporeditve upogibnih momentov

XI

ε razmerje

εc2 deformacija betona na tlačnem robu

εs1 deformacija natezne armature

η razmerje med širino pasnice in širino stojine

η razmerje med prečno površino armature na širini stojine med celotno širino pasnice

θ kot tlačnih razpor

λ koeficient, ki upošteva zmanjšanje širine prereza

µEds brezdimenzijski koeficient

ν koeficient prečne kontrakcije (Poissonov količnik)

vEd vzdolžna strižna napetost v stiku med eno stranjo stojine in pasnice

v1 redukcijski faktor tlačne trdnosti strižno razpokanega betona

ξ koeficient položaja nevtralne osi

ρl stopnja armiranja z vzdolžno armaturo

ρw,min minimalna stopnja armiranja s strižno armaturo

σc vrednost napetosti v betonu

σcp tlačna napetost betona zaradi osne sile ali prednapetja

σs vrednost napetosti v betonu

Ψ 0 faktor za kombinacijsko vrednost spremenljivega vpliva

Ψ 1 faktor za pogosto vrednost spremenljivega vpliva

Ψ 2 faktor za navidezno stalno vrednost spremenljivega vpliva

s mehanski koeficient armiranja

XII

UPORABLJENE KRATICE

DIN – Nemški standard (Deutsches Institut für Normung)

EN – Evropski standard

MKE – Metoda končnih elementov

MSN – Mejno stanje nosilnosti

MSU – Mejno stanje uporabnosti

NSK – Notranje statične količine

SIST – Slovenski inštitut za standardizacijo

Modeliranje in dimenzioniranje armiranobetonskih T nosilcev Stran 1

1 UVOD

1.1 Splošno o področju diplomskega dela

Nosilec predstavlja osnovni konstrukcijski element v inženirskih konstrukcijah. Velikokrat

pride do situacije, ko nosilec v plošči nadomesti vmesno podporno steno pod ploščo.

Nosilci pravzaprav zagotavljajo vertikalne podpore, ki v zgradbah prenašajo obtežbo s

plošče na stebre in stene. Razlog za uporabo kombinacije nosilca in plošče je tudi

zmanjšanje upogibnih momentov in povesov v plošči v ustrezni smeri. V primeru

monolitne izvedbe pride do sodelovanja plošče in rebra (nosilca) pod ploščo. Na takšen

način dobimo za dimenzioniranje ugoden prerez T oblike z veliko tlačno cono in majhno

natezno površino.

Slika 1.1: Monolitna izvedba plošče in nosilca – T nosilec [16]

V moderni dobi gradbenega projektiranja si dela brez zmogljive strojne in programske

opreme ne gre več predstavljati. Računanje gradbenih konstrukcij je z razvojem

programske in strojne opreme v zadnjih desetletjih močno napredovalo. Elektronska

obdelava podatkov je spremenila način dela na področju projektiranja. Ob vsej količini

podatkov in kompleksnosti modelov je nujno poznavanje delovanje programa. Modeliranje

ima svoja pravila, ki jih je potrebno upoštevati, saj se v nasprotnem primeru lahko hitro

zgodi, da so rezultati, ki jih program vrne, napačni. Za pravilno interpretacijo rezultatov je

nujno poznavanje teoretičnih osnov obnašanja materialov, konstrukcije in dimenzioniranja.

Stran 2 Modeliranje in dimenzioniranje armiranobetonskih T nosilcev

1.2 Namen in cilji diplomskega dela

Namen je primerjati ustreznost izbranih računalniških modelov priključitve nosilca na

ploščo (centrični model, ekscentrični model – ortotropna plošča) in ugotoviti, ali rezultati

zadovoljijo natančnosti, ki je potrebna v vsakdanji inženirski praksi. Zavedati se je

potrebno, da je rešitev natančna le toliko, kolikor je natančen vhodni model. Analitična

kontrola je zato vsekakor priporočljiva. Pri analitičnih postopkih smo uporabili teoretične

osnove dimenzioniranja T nosilcev na upogib in na strig zaradi prečne sile. Posebno

pozornost pri dimenzioniranju na upogib smo namenili položaju nevtralne osi, pri

dimenzioniranju na strig pa stiku med stojino in pasnico. Uporabili smo programe Tower,

Sofistik in Frilo. Zanimale so nas tudi omejitve posameznih programov, saj le-te lahko

hitro povzročijo potrebo po dodatnem vloženem delu, s čimer pa se zmanjša učinkovitost.

Prednost uporabe programske opreme je v učinkovitosti ter zmožnosti hitrega optimiranja

konstrukcije, kar pa se odraža v prihranku časa in porabi materiala.

1.3 Struktura diplomskega dela

V prvem delu diplomske naloge smo opisali teoretične osnove načinov modeliranja in

dimenzioniranja T nosilcev. Po pregledu literature je zajetih in opisanih več modelov, ki se

med seboj razlikujejo po načinu modeliranja in glede na prednosti ter slabosti.

V tretjem poglavju smo analizirali ploščo z nosilcem. Primer smo povzeli po literaturi [9].

Izračun v literaturi je narejen po nemškem standardu DIN 1045. V diplomskem delu je

analiziran v skladu s SIST EN 1992-1-1 analitično in z različnimi programi. Na koncu

poglavja je podana primerjava rezultatov in njihov komentar.

V četrtem poglavju je obravnavan T nosilec povzet po literaturi [10]. Primer je v celoti

obravnavan samo s programi v mejnem stanju nosilnosti in uporabnosti. Na koncu

poglavja je podana primerjava rezultatov in njihov komentar.

V sklepnem delu so predstavljene pomembne ugotovitve in spoznanja, do katerih smo

prišli med nastajanjem diplomskega dela.


2 DIMENZIONIRANJE IN MODELIRANJE T NOSILCEV

2.1 Sodelujoča širina pasnice

Natančna določitev in potek sodelujoče širine presega okvir te diplomske naloge, zato smo

se omejili na predpostavke, ki veljajo v veljavnih predpisih [3].

Sodelujoča širina pasnice je tista širina, za katero se lahko po širini prereza privzame

konstantna napetost. Odvisna je od dimenzij prereza (pasnice in stojine), razpetine, vrste

obtežbe, načina podpiranja in prečne armature. Pri določitvi sodelujoče širine je potrebno

upoštevati medsebojno razdaljo momentnih ničelnih točk. Standard [3] dovoljuje

poenostavitev, kadar se ne zahteva velika natančnost. V tem primeru se lahko upošteva

konstantna širina pasnice skozi celotno razpetino, pri tem pa je potrebno upoštevati

vrednost sodelujoče širine v polju. [3]

Na slikah v nadaljevanju je prikazan potek napetosti v prerezu ter sodelujoča širina, za

katero se lahko privzame konstantna napetost.

Slika 2.1: Potek napetosti v prerezu [13]


Slika 2.2: Sodelujoča širina, potek napetosti v prerezu [13]

V skladu s standardom [3] se določi sodelujoča širina na podlagi izrazov od (2.1) do (2.3).

Za določitev razdalje momentnih ničelnih točk l0 se lahko upošteva slika 2.3, kadar so

upoštevane naslednje omejitve: 'dolžina konzole l3 mora biti manjša od polovične razpetine

priležnega polja, razmerje sosednjih polj pa mora biti med 23 in 3

2.' [3] V kolikor omenjeni

pogoj glede razpetin in statičnega sistema ni izpolnjen, je potrebno določiti razdalje

momentnih ničelnih točk na dejanskem primeru nosilca, ki se analizira.

Slika 2.3: Določitev l0 za račun sodelujoče širine pasnice [3]

𝑏𝑒𝑓𝑓 = ∑𝑏𝑒𝑓𝑓,𝑖 + 𝑏𝑤 ≤ 𝑏 (2.1)

Kjer je:

𝑏𝑒𝑓𝑓,𝑖 = 0,2 ∙ 𝑏𝑖 + 0,1 ∙ 𝑙0 ≤ 0,2 ∙ 𝑙0 (2.2)

𝑏𝑒𝑓𝑓,𝑖 ≤ 𝑏𝑖 (2.3)


Slika 2.4: Parametri za določitev sodelujoče širine pasnice [3]

2.2 Dimenzioniranje T nosilcev

Glede na predpostavko o predznanju dimenzioniranja na upogib in strig pravokotnih

prerezov smo se v tem poglavju omejili na pomembne osnove dimenzioniranja na upogib

in strig armiranobetonskih T nosilcev.

2.2.1 Dimenzioniranje na upogib

Teoretične osnove smo povzeli po literaturi [13] in [14]. Glede na položaj nevtralne osi

ločimo dva načina dimenzioniranja. Nevtralna os se lahko nahaja v plošči ali v stojini. V

primeru, ko nevtralna os zapade v ploščo, se prerez dimenzionira kot pravotnik širine beff.

V primeru, ko nevtralna os zapade v stojino, je dimenzioniranje odvisno od pogoja

razmerja med širino pasnice in širino stojine, ki določa, ali je dovolj približno ali pa je

potrebno izvesti natančno dimenzioniranje. Dimenzioniranje je poleg pozicije nevtralne osi

odvisno še od širine prereza, ki se upošteva v računu. Upoštevana širina je odvisna od

upogibnega momenta. V polju se prerez dimenzionira glede na pozitivni upogibni moment,

tlačna cona se nahaja zgoraj, zato je potrebno upoštevati širino pasnice. Nad podporo

deluje negativni upogibni moment, tlačna cona se nahaja spodaj, pri dimenzioniranju se

zato upošteva širina stojine, kot kaže slika 2.5.


Slika 2.5: Upoštevanje različne širine T prereza pri dimenzioniranju [13]

Postopek dimezoniranja se najprej izvede z upoštevanjem širine pasnice. V naslednjem

koraku je potrebno določiti višino tlačne cone. V kolikor je izpolnjen pogoj 𝑥 ≤ ℎ𝑓

(nevtralna os se nahaja v pasnici – plošči), se določi količino računsko potrebne armature v

skladu s tabelami za dimenzioniranje pravokotnih prerezov.

Slika 2.6: Dimenzioniranje prereza kot pravokotnik [13]

Primer

C20/25; B500-B

fcd =13,33 N/mm2; σsd = 435 N/mm2

MEd = 350 kNm

h= 80 cm; d = 75 cm; hf = 15 cm

beff = 150 cm; bw = 35 cm

𝜇𝐸𝑑𝑠 =𝑀𝐸𝑑𝑠

𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑=

0,3501,5 ∙ 0,752 ∙ 13,33 = 0,031

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,031 → �𝜔 = 0,03164𝜉 = 𝑥

𝑑= 0,0561 (Tabela 7.1)


Kjer so:

ω mehanski koeficient armiranja


x = ξ ∙ d = 0,0561 ∙ 75 = 4,21 cm < 15𝑐𝑚 (dimenzioniramo kot pravokotni prerez)

𝐴𝑠,𝑝𝑜𝑡𝑟 =1𝜎𝑠𝑑

(𝜔 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐𝑑 + 𝑁𝐸𝑑) =1

435(0,03164 ∙ 1,5 ∙ 0,75 ∙ 13,33 ∙ 104) =

= 10,91 𝑐𝑚2

V primeru, ko nevtralna os zapade v stojino (𝑥 > ℎ𝑓), je najprej potrebno določiti razmerje

med širino pasnice in širino stojine. Kadar je izpolnjen pogoj, da je širina pasnice večja od

petkratne širine stojine (𝑏𝑒𝑓𝑓 > 5 ∙ 𝑏𝑤), se uporabi poenostavljen račun, ki daje dovolj

natančne rezultate za vsakdanjo inženirsko prakso. Takrat velja predpostavka, da tlačno

cono nosi samo pasnica (plošča) in da deluje rezultanta tlačnih napetosti v srednji ravnini

plošče. Prispevek stojine se torej zanemari.

Slika 2.7: Dimenzioniranje T prereza – približni postopek [13]

Računsko potrebno armaturo se določi z izrazom 2.4 [13]:

𝐴𝑠1 = 1𝜎𝑠1𝑑

∙ � 𝑀𝐸𝑑𝑑−ℎ𝑓 2⁄

+ 𝑁𝐸𝑑� (2.4)

Tlačna napetost v betonu ne sme preseči projektne tlačne trdnosti [13]:

𝜎𝑐𝑑 = 𝑀𝐸𝑑(𝑑−ℎ𝑓 2)⁄ ∙𝑏𝑒𝑓𝑓∙ℎ𝑓

≤ 𝑓𝑐𝑑 (2.5)

Pogoj ℎ𝑓 ≤ 0,264 ∙ 𝑑 zagotavlja osnovno duktilnost prereza – plastifikacijo jekla.


Primer

C20/25; B500-B

fcd =13,33 N/mm2; σsd = 435 N/mm2

MEd = 2500 kNm

h= 80 cm; d = 75 cm; hf = 15 cm



𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑=

2,52,0 ∙ 0,752 ∙ 13,33 = 0,167

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,167 → �𝜔 = 0,1845

𝜉 = 𝑥𝑑

= 0,2275 (Tabela 7.1)

𝑥 = ξ ∙ 𝑑 = 0,2275 ∙ 75 = 16,23 cm > 15𝑐𝑚

𝐴𝑠1 = 1𝜎𝑠1𝑑

∙ � 𝑀𝐸𝑑𝑑−ℎ𝑓 2⁄

+ 𝑁𝐸𝑑� = 1435

∙ � 25000,75−0,15 2⁄

+ 0� ∙ 10 = 85,14 𝑐𝑚2

𝜎𝑐𝑑 = 𝑀𝐸𝑑(𝑑−ℎ𝑓 2)⁄ ∙𝑏𝑒𝑓𝑓∙ℎ𝑓

= 2500∙10−3

(0,75−0,15 2⁄ )∙2,0∙0,15= 12,35𝑁 𝑚𝑚2⁄ < 𝑓𝑐𝑑 = 13,33𝑁 𝑚𝑚2⁄

ℎ𝑓 = 15 𝑐𝑚 < 0,264 ∙ 𝑑 = 19,80 𝑐𝑚 → osnovna plastifikacija armature zagotovljena

Kadar pogoj, ki dovoljuje približno dimenzioniranje ni izpolnjen, takrat velja 𝑏𝑒𝑓𝑓 < 5 ∙

𝑏𝑤 . V tem primeru se pri dimenzioniranju upošteva še prispevek stojine k površini tlačne

cone. Prerez se obravnava kot pravokotnik s korigirano širino.

Slika 2.8: Dimenzioniranje T prereza – natančni postopek [13]

Širina nadomestnega prereza se določi po izrazu 2.6 [13]:


𝑏𝑖 = 𝜆 ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓 (2.6)

Koeficient λ, ki upošteva zmanjšanje tlačne širine se določi s pomočjo ustreznih tabel za

dimenzioniranje T prerezov (glej prilogo). Postopek določevanja nadomestnega prereza bi

je iterativen. V prvi iteraciji se določi brezdimenzijsko vrednost upogibnega momenta,

μEds, koeficient položaja nevtralne osi ξ in koeficient, ki upošteva zmanjšanje širine tlačne

cone λ. Nato se postopek ponovi z zmanjšano širino nadomestnega prereza. Zopet se odčita

omenjene koeficiente ter primerja položaj nevtralne osi. V kolikor sta koeficienta položaja

nevtralne osi predhodne in trenutne iteracije dovolj blizu, je postopek končan. Lahko se

določi količino računsko potrebne armature po znanih postopkih. [14]

Primer

C20/25; B500-B

fcd =13,33 N/mm2; σsd = 435 N/mm2

MEd = 2000 kNm

h= 80 cm; d = 75 cm; hf = 15 cm


𝜇𝐸𝑑𝑠 = 𝑀𝐸𝑑𝑠𝑏∙𝑑2∙𝑓𝑐𝑑

= 2,01,5∙0,752∙13,33

= 0,178 ; ℎ𝑓𝑑

= 0,20 ; 𝑏𝑒𝑓𝑓𝑏𝑤

= 4,286

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,178 → �𝜉 = 𝑥𝑑

= 0,329𝜆 = 0,860

→ 𝜀𝑐2 𝜀𝑠1 = 2,46‰/⁄ 5,0‰

𝑏𝑖 = 𝜆 ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 0,860 ∙ 150 = 129,00 𝑐𝑚

x = ξ ∙ d = 0,329 ∙ 75 = 24,68 cm < 15𝑐𝑚 → nevtralna os v stojini (tabela 7.2)

Postopek se ponovi z novo širino prereza b = 129,00 cm.


= 2,01,29∙0,752∙13,33

= 0,207 ; ℎ𝑓𝑑


= 3,686

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,207 → �𝜉 = 𝑥𝑑

= 0,370𝜆 = 0,809

→ 𝜀𝑐2 𝜀𝑠1 = 2,94‰/⁄ 5,0‰

𝑏𝑖 = 𝜆 ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 0,809 ∙ 150 = 121,35 𝑐𝑚


Vmesne vrednosti koeficientov ξ so interpolirane iz tabele 7.2, vmesne vrednosti

koeficientov λ pa iz tabele 7.3 v prilogah.

Koeficienta položaja nevtralne osi ξ še vedno nista dovolj blizu. Postopek je potrebno

ponoviti z novo širino prereza b = 121,35 cm.


= 2,01,2135∙0,752∙13,33

= 0,220 ; ℎ𝑓𝑑


= 3,47

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,220 → �𝜉 = 𝑥𝑑

= 0,389𝜆 = 0,793

→ 𝜀𝑐2 𝜀𝑠1 = 3,18‰/⁄ 5,0‰

𝑏𝑖 = 𝜆 ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 0,793 ∙ 150 = 118,95 𝑐𝑚


zopet ponoviti z novo širino prereza b = 118,95 cm.


= 2,01,1895∙0,752∙13,33

= 0,224 ; ℎ𝑓𝑑


= 3,40

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,224 → �𝜉 = 𝑥𝑑

= 0,395𝜆 = 0,788

→ 𝜀𝑐2 𝜀𝑠1 = 3,26‰/⁄ 5,0‰

𝑏𝑖 = 𝜆 ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 0,788 ∙ 150 = 118,20 𝑐𝑚


zopet ponoviti z novo širino prereza b = 118,20 cm.


= 2,01,1820∙0,752∙13,33

= 0,226 ; ℎ𝑓𝑑


= 3,38

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,226 → �𝜉 = 𝑥𝑑

= 0,398𝜔 = 0,270

→ 𝜀𝑐2 𝜀𝑠1 = 3,3‰/⁄ 5,0‰

Koeficienta položaja nevtralne osi ξ sta v zadnjih dveh iteracijah dovolj blizu. Lahko se

določi računsko potrebna armatura.


(𝜔 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐𝑑 + 𝑁𝐸𝑑) =1

435(0,270 ∙ 1,182 ∙ 0,75 ∙ 13,33 ∙ 104) =

= 73,35 𝑐𝑚2


2.2.2 Strig v stiku med stojino in pasnico

'Pri računu strižne odpornosti pasnice se pasnica lahko obravnava kot sistem tlačnih razpor

v kombinaciji z nateznimi vezmi, ki jih predstavlja natezna armatura.' [3]

Slika 2.9: Sistem tlačnih razpor in nateznih vezi [13]

'Vzdolžna strižna napetost 𝑣𝐸𝑑 v stiku med eno stranjo pasnice in stojine je določena s

spremembo normalne sile na obravnavanem odseku.'[3] Sprememba normalne sile je

določena s spremembo upogibnega momenta vzdolž pasnice. Natančnejši postopki

določanja strižne napetosti in računsko potrebne armature so razvidni iz podpoglavja 3.2.6,

kjer smo izvedli analitično dimenzioniranje zaradi striga med stojino in pasnico.

Slika 2.10: Vzdolžna strižna napetost na stiku med stojino in pasnico [13]


2.3 Modeliranje T nosilcev z MKE

2.3.1 Osnove modeliranja

Za pravilno interpretacijo in kontrolo rezultatov pred dimenzioniranjem je potrebno

poznati potek notranjih statičnih količin v posameznih elementih. Notranje sile se med

posameznimi končnimi elementi prenašajo preko vozlišč. Pojav notranjih sil je odvisen od

tipa elementa (ploskovni, linijski element). Na sliki 2.11a (ploskovni element) so prikazane

notranje sile glede na upogib plošče (obremenitev pravokotno na srednjo ravnino plošče).

Na sliki 2.11b (ploskovni element) je prikazano membransko stanje – osne sile v plošči

(obremenitev v ravnini plošče). Slika 2.11c odgovarja notranjim silam, ki se pojavijo v

nosilcu (linijski element). Prikaz sil v elementih na spodnji sliki je povzet po [7] in [8].

Slika 2.11: Notranje sile v ploskovnih (plošča) in linijskih (nosilec) elementih

Glede na način priključitve končnih elementov med seboj ločimo dva načina. O

ekscentrični priključitvi je govora takrat, kadar težišče nosilca ne sovpada s težiščem

oziroma s srednjo ravnino plošče. Posledica so dodatne membranske (osne) sile v plošči in

osne sile v nosilcu. V kolikor je element priključen centrično (tj. v težišču) na srednjo

ravnino plošče, do pojava dodatnih osnih sil ne prihaja, takrat se konstrukcija obravnava

ravninsko. Poznanih je več različih načinov modeliranja nosilca v plošči, ki so prikazani na

sliki 2.12. Načine modeliranja smo povzeli po literaturi [4] in [6]. Izbira modela je odvisna


od natančnosti željenega rezultata, obsega vloženega dela in od zmogljivosti programske

opreme.

Slika 2.12: Modeliranje nosilca v plošči

Model a)

Nosilec je priključen v težišču na mrežo končnih elementov. Gre torej za centrično

priključitev, zato je potrebno upoštevati dejanski ekscentrični položaj rebra pod ploščo s

povečano višino modeliranega nosilca. Togost modeliranega sistema mora namreč

odgovarjati dejanski togosti realne konstrukcije. To lahko dosežemo na način, ki je

prikazan na sliki 2.13. Višina ekvivalentnega modeliranega nosilca, mora biti takšna –

večja, da vsota vztrajnostnih momentov plošče na sodelujoči širini in ekvivalentnega

nosilca odgovarja vztrajnostnemu momentu celotnega T nosilca.


Slika 2.13: Določitev ekvivalentnega nosilca – povzeto po [6]

Dimenzioniranje je potrebno izvesti z upoštevanjem povečanih NSK za vrednost faktorja,

ki upošteva razmerje vztrajnostnega momenta T nosilca in ekvivalentnega nosilca.

Razmerje je prikazano na sliki 2.14. Potrebno je poudariti, da pri takšnem načinu

modeliranja dobimo samo pravilne NSK, ne pa tudi pravega T prereza za dimenzioniranje

v programu. [6]

Slika 2.14: Razmerje vztrajnostnih momentov za upoštevanje dimenzioniranja [6]

Model b)

Model opisuje ekscentrično priključitev dejanskega T prereza na ortotropno ploščo. Z

upoštevanjem ekscentričnosti je pravilno opisan dejanski položaj nosilca v prostoru.

Ortotropno ploščo je potrebno definirati le na tistem delu, kjer prihaja do podvajanja

togosti, torej samo na delu pasnice. NSK, ki so rezultat analize, se lahko direktno uporabijo

za dimenzioniranje nosilca.

Model c)

Celotno konstrukcijo je potrebno modelirati s ploskovnimi končnimi elementi, ki

odgovarjajo upogibu in membranskem stanju. Rezultati, ki jih vrne program, so upogibni

momenti v pasnici in osne sile v pasnici in stojini. Pred dimenzioniranjem je potrebno


NSK (osne sile) še integrirati. Z integracijo osnih sil v stojini dobimo upogibne momente v

stojini. Potrebno je upoštevati tudi dejstvo, da se rezultati nanašajo na posamezne elemente

in delujejo v njihovih težiščih. [6]

Model d)

Sistem je sestavljen iz ploskovnih končnih elementov, ki imajo skupno zgornjo referenčno

ravnino. Na mestu stojine ima plošča debelino, ki odgovarja celotni višini nosilca. Zaradi

ekscentrične postavitve modela se pojavijo poleg upogibnih momentov tudi osne sile.

Izračunane notranje količine pripadajo posameznim elementom, torej pasnici in stojini

posebej. Model daje neekonomične rezultate v primeru večje višine stojine. [5]

Model e)

Gre za ekscentrični model. Stojina je priključena s pomočjo kinematične verige na mrežo

končnih elementov plošče. Kinematične vezi1 predstavljajo zvezo oziroma odvisnost dveh

sosednjih vozlišč. NSK pripadajo posameznim elementom, zato jih je potrebno integrirati

in uporabiti na nadomestnem T prerezu za dimenzioniranje.

Model f)

Omenjeni model je primeren poleg analize v programih tudi za analitičen način obravnave.

Na mestu nosilca je plošča togo podprta. Reakcije podpore se nato uporabijo kot zunanja

obtežba na nosilcu. Takšen model je dopusten le za zelo toge nosilce, saj ne upošteva

dejanske razporeditve togosti med nosilcem in ploščo, s tem pa tudi povesov. [6]

2.3.2 Priporočilo o izbiri modela po literaturi [4]

Kot najprimernejši način modeliranja T nosilcev v plošči se izkaže, če skupna togost

posameznih elementov (pasnica, stojina) odgovarja dejanski togosti sistema. To se doseže

tako, da je T nosilec modeliran kot ekscentrično priključeno rebro (upoštevana je

ekscentričnost e) in kadar so upoštevane osne deformacije v ravnini plošče, saj je takrat

sodelujoča širina rezultat posledice upoštevanja dejanske teorije elastičnosti in jo program

1'Kinematična vez v smislu končnih elementov pomeni, da sta pomika plošče in nosilca sinhronizirana ter, da je opravljeno delo v obeh sosednjih vozliščih za katerikoli virtualni pomik enako.'[4]


samodejno določi. V večini primerov zadostuje, če se uporabi približno sodelujočo širino

in zanemari osne deformacije v ravnini plošče. V tem primeru je potrebno določiti

sodelujočo širino ter jo upoštevati pri računu togosti T nosilca, kot sledi:

Upogibna togost stojine

𝐸𝐼𝑡𝑜𝑡 = 𝑏𝑒𝑓𝑓 ∙𝐸∙𝑑3

12(1−𝜈2)+ 𝐸∙𝑏𝑤∙𝑑𝑢3

12+ 𝐸 ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝑑 ∙ 𝑒𝑝𝑙2 + 𝐸 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑𝑢 ∙ 𝑒𝑛2 (2.7)

Upogibna togost plošče

𝐸𝐼𝑡𝑜𝑡 = 𝑏𝑒𝑓𝑓 ∙𝐸∙𝑑3

12(1−𝜈2)+ 𝐸𝐼 (2.8)

Kjer je:

EItot skupna upogibna togost T nosilca

beff sodelujoča širina plošče

E elastični modul betona

ν koeficient prečne kontrakcije (Poissonov količnik)

d debelina plošče (pasnice)

du višina rebra (stojine) pod ploščo

bw širina stojine


en razdalja med težiščem spodnjega dela rebra pod ploščo in

težiščem T prereza

𝐼 vztrajnostni moment v skladu z upoštevanjem izrazov (2.9)–

(2.15)

Slika 2.15: Pozicija nosilca glede na ploščo [4]


Z upoštevanjem slike 2.15 veljajo vztrajnostni momenti glede na pozicijo nosilca v plošči

[4]:

Primer a)

𝐼𝐵 = 𝑏𝑤∙𝑑𝑢3

12+ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑𝑢

𝑑02

4 (2.9)

Primer b)

𝐴𝐵 = 𝑏𝑤 ∙ 𝑑0 (2.10)

𝑒 = 𝑑0−𝑑2

(2.11)

𝐼𝐵 = 𝑏𝑤∙𝑑03

12− 𝑏𝑤∙𝑑3

12 (2.12)

Primer c)

𝐴𝐵 = 𝑏𝑤 ∙ 𝑑u + 𝑏𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝑑 (2.13)

𝑒 = 𝑏𝑤∙𝑑𝑢𝑏𝑤∙𝑑𝑢+𝑏𝑒𝑓𝑓∙𝑑

∙ 𝑑02

(2.14)

𝐼𝐵 = 𝑏𝑤∙𝑑𝑢3

12− 𝑏𝑤∙𝑑𝑢∙𝑏𝑒𝑓𝑓∙𝑑

𝑏𝑤∙𝑑𝑢+𝑏𝑒𝑓𝑓∙𝑑∙ 𝑑0

2

4 (2.15)

Parametri (površina AB, ekscentričnost e, vztrajnostni moment IB) v izrazih od (2.9) do

(2.15) veljajo za izračun skupne togosti T nosilca v izrazu (2.7) in (2.8).

Ko so znane notranje sile v posameznih elementih, se lahko določijo notranje sile, ki

delujejo na skupni T prerez z upoštevanjem izrazov (2.16) in (2.17), ki so povzeti po

literaturi [4].

𝑀𝑇 = 𝑀𝑛 + 𝑁𝑛 ∙ 𝑒𝑛 + ∫ �𝑚𝑥𝑥 + 𝑛𝑦𝑦 ∙ 𝑒𝑝𝑙�𝑝𝑙𝑜šč𝑎 𝑑𝑧 (2.16)

Kjer je:

MT skupni moment, ki deluje na nadomestni T prerez

Mn upogibni moment nosilca

Nn osna sila nosilca

en razdalja med težiščem nosilca in težiščem T prereza

mxx upogibni moment plošče v ustrezni smeri

nyy osna sila v plošči v smeri y



𝑉𝑇 = 𝑉𝑛 + ∫ 𝑣𝑧𝑝𝑙𝑜šč𝑎 𝑑𝑧 (2.17)

Kjer je:

Vn prečna sila v nosilcu

vz prečna sila v plošči v ustrezni smeri

Na sliki 2.16 so prikazane smeri upogibnih momentov in osnih (membranskih) sil v plošči

ter nosilcu. Primer velja za primer obremenitve s pozitivnim upogibnim momentom v

polju. Takrat je spodnji del nosilca obremenjen z natezno osno silo, membranske sile v

plošči nad rebrom pa so tlačne. Upogibna momenta sta za razliko od osnih sil enakega

predznaka. Mpl ter Npl predstavljata skupni upogibni moment oziroma osno silo plošče, ki

deluje na sodelujoči širini.

Slika 2.16: Prikaz notranjih sil v plošči in nosilcu


3 PLOŠČA Z NOSILCEM

3.1 Osnovni podatki

Plošča tlorisnih dimenzij 15,42x14,17 m in debeline 0,22 m je armiranobetonska. Prečno

po sredini plošče poteka nosilec višine 0,50 m, širina stojine znaša 0,30 m, spodaj je stojina

nosilca razširjena na širino 0,60 m. Primer smo povzeli po [9].

Slika 3.1: Geometrijske lastnosti plošče in nosilca


Material:

• Beton C20/25

• Jeklo za armiranje B500-B

3.2 Analitična rešitev

3.2.1 Določitev osnovnih parametrov

Učinkoviti razpon

Učinkoviti razpon je potrebno določiti v skladu s [3], sliko 3.2 in izrazom (3.1):

Slika 3.2: Učinkovita razpetina pri različnih pogojih podpiranja [3]

𝑙𝑒𝑓𝑓 = 𝑙𝑛 + 𝑎1 + 𝑎2 (3.1)

Kjer so:

leff učinkovita razpetina elementa

ln svetla razdalja med robovi podpor

ai geometrijski podatki

• vzdolžna smer polja 1: leff1=ln + a1 + a2 = 6,26 + 0,11 + 0,11 = 6,48 m

• vzdolžna smer polja 2: leff2=ln + a1 + a2 = 8,26 + 0,11 + 0,11 = 8,48 m

• prečna smer: leff3=ln + a1 + a2 = 13,57 + 0,11 + 0,11 = 13,79 m

Sodelujoča širina pasov

Polje 1

𝑙0 = 0,85 ∙ 𝑙𝑒𝑓𝑓,1 = 0,85 ∙ 6,48 = 5,51 𝑚


𝑏𝑒𝑓𝑓,1 = 0,2 ∙7,26

2 + 0,1 ∙ 5,51 = 1,277 𝑚 > �0,2 ⋅ 5,51 = 1,102 𝑚

7,262 = 3,630 𝑚

𝑏𝑒𝑓𝑓,1 = 1,102 m

𝑏𝑒𝑓𝑓,2 = 0,2 ∙6,01

2 + 0,1 ∙ 5,51 = 1,152 𝑚 > �0,2 ⋅ 5,51 = 1,102 𝑚

6,012 = 3,005 𝑚

𝑏𝑒𝑓𝑓,1 = 1,102 m

𝑏𝑒𝑓𝑓 = ∑𝑏𝑒𝑓𝑓 + 𝑏𝑤 ≤ 𝑏 = 1,10 + 1,10 + 0,30 = 𝟐,𝟓𝟎 𝒎 < 7,26 + 6,01

2 = 6,64 𝑚

Polje 2

𝑙0 = 0,85 ∙ 𝑙𝑒𝑓𝑓,2 = 0,85 ∙ 8,48 = 7,21 𝑚

𝑏𝑒𝑓𝑓,1 = 0,2 ∙7,26

2 + 0,1 ∙ 7,21 = 1,447 𝑚 > �0,2 ⋅ 7,21 = 1,442 𝑚

7,262 = 3,630 𝑚

𝑏𝑒𝑓𝑓,1 = 1,442 m

𝑏𝑒𝑓𝑓,2 = 0,2 ∙6,01

2 + 0,1 ∙ 7,21 = 1,322 𝑚 < �0,2 ⋅ 7,21 = 1,442 𝑚

6,012 = 3,005 𝑚

𝑏𝑒𝑓𝑓,1 = 1,322 m

𝑏𝑒𝑓𝑓 = ∑𝑏𝑒𝑓𝑓 + 𝑏𝑤 ≤ 𝑏 = 1,44 + 1,32 + 0,30 = 𝟑,𝟎𝟔𝒎 < 7,26 + 6,01

2 = 6,64 𝑚

Nad vmesno podporo

𝑙0 = 0,15 ∙ (𝑙𝑒𝑓𝑓,1 + 𝑙𝑒𝑓𝑓,2) = 0,15 ∙ (6,48 + 8,48) = 2,24 𝑚

𝑏𝑒𝑓𝑓,1 = 𝑏𝑒𝑓𝑓,2 = 0,2 ∙ 0,15 + 0,1 ∙ 2,24 = 0,254 𝑚 > �0,2 ⋅ 2,24 = 0,448 𝑚0,15 𝑚

𝑏𝑒𝑓𝑓 = ∑𝑏𝑒𝑓𝑓 + 𝑏𝑤 ≤ 𝑏 = 2 ∙ 0,15 + 0,30 = 𝟎,𝟔𝟎 𝒎


Krovni sloj betona

Priporočena projektna življenjska doba stavbe znaša 50 let (S4 kategorija [1]). Za ploščo in

nosilec smo izbrali razred izpostavljenosti XC1. 'Nazivni krovni sloj cnom je določen z

vsoto najmanjšega krovnega sloja cmin in dovoljenega projektnega odstopanja ∆cdev.' [3]

𝑐𝑛𝑜𝑚 = 𝑐𝑚𝑖𝑛 + ∆𝑐𝑑𝑒𝑣 (3.2)

Kjer sta:

cmin najmanjša debelina krovnega sloja

∆cdev dovoljeno projektno odstopanje

𝑐𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥�𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑏; 𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟 + ∆𝑐𝑑𝑢𝑟,𝛾 − ∆𝑐𝑑𝑢𝑟,𝑠𝑡 − ∆𝑐𝑑𝑢𝑟,𝑎𝑑𝑑; 10𝑚𝑚} (3.3)

Priporočene vrednosti v skladu s [3], podpoglavjem 4.4.1 znašajo:

cmin,b = 16 mm (premer palice)

cmin,dur = 15 mm

∆ cdur,γ = 0 mm

∆ cdur,st = 0 mm

∆ cdur,add = 0 mm

∆ cdev = 10 mm

Nazivni krovni sloj tako znaša cnom = 26 mm ≈ 30 mm.

3.2.2 Obtežba

• lastna teža plošče + stalna obtežba g = 7,00 kN/m2

• koristna obtežba plošče q = 1,50 kN/m2

• lastna teža nosilca (rebra) gn= 4,88 kN/m

Preračun notranjih sil za nosilec smo izvedli na linijskem statičnem modelu. Obtežbo, ki

deluje po površini plošče, je zato potrebno pretvoriti na linijsko obtežbo, kar smo storili s

pomočjo vplivnih površin. Raznos obtežbe je odvisen od načina podpiranja plošče. Na sliki

3.3 so prikazani različni načini raznosa obtežbe.


Slika 3.3: Raznos obtežbe

Po zgornjem vzoru smo razdelili naš primer na tri različne površine. Na spodnji sliki so

senčeno označene tiste površine, katere nase prevzame nosilec. Velikosti površin se lahko

izračunajo analitično ali pa se poslužimo katerega programskega orodja za risanje, kar smo

storili v našem primeru.


Slika 3.4: Prispevne površine obtežbe na nosilec

Skupna velikost senčene površine znaša A = 91,92 m2. Površinsko obtežbo smo zaradi

nadaljnje analize pretvorili na linijsko obtežbo.

Lastna + stalna obtežba:

Prispevek plošče: 𝑔1,𝑘 =91,92𝑚2∙7,00𝑘𝑁

𝑚2

15,42 𝑚= 41,73 𝑘𝑁

𝑚

Prispevek rebra pod ploščo: 𝑔2,𝑘 = 4,88 𝑘𝑁𝑚

𝑔𝑘 = 𝑔1 + 𝑔2 = 46,61 𝑘𝑁𝑚

Koristna obtežba:

𝑞𝑘 =91,92𝑚2 ∙ 1,50𝑘𝑁𝑚2

15,42 𝑚 = 8,94 𝑘𝑁𝑚


Opazili smo, da prihaja do razhajanj v primerjavi z obtežbo, ki je upoštevana v izračunu v

literaturi. Pri linijski obtežbi v literaturi ni upoštevan vpliv vmesne stene, zato je obtežba

posledično nekoliko večja. Za primerjavo smo izračunali še notranje statične količine v

nosilcu z upoštevanjem obtežbe, navedene v literaturi.

Lastna + stalna obtežba:2

gk, Avak= 62,30 kN/m

Koristna obtežba:2

qk, Avak = 12,40 kN/m

3.2.3 Izračun maksimalnih notranjih statičnih količin v nosilcu

Pri analitičnem izračunu NSK v nosilcu smo si pomagali z vnaprej pripravljenimi tabelami

[11]. V skladu s [1], podpoglavjem 6.4 smo upoštevali osnovno kombinacijo vplivov za

stalna in začasna projektna stanja. Iz preglednice A.1.2.(B) [1] smo upoštevali delne

faktorje za stalne vplive pri računu projektnih vrednosti.

∑ 𝛾𝐺 ,𝑗𝑗≥1 𝐺𝑘,𝑗 + 𝛾𝑃𝑃 + 𝛾𝑄,1𝑄𝑘,1 + ∑ 𝛾𝑄,𝑖𝜓0,𝑖𝑄𝑘,𝑖𝑖>1 (3.4)

Kjer so:

Gk,j karakteristična vrednost stalnega vpliva

P karakteristična vrednost prednapetja

Qk,1 karakteristična vrednost prevladujočega spremenljivega vpliva

Qk,i karakteristična vrednost spremljajočega spremenljivega vpliva

γG,j delni faktor varnosti za stalni vpliv

γP delni faktor varnosti za prednapetje

γQ,i delni faktor varnosti za spremenljivi vpliv

Ψ 0,i faktor za kombinacijsko vrednost spremenljivega vpliva

2 Obtežba iz literature


Upoštevajoč izraz (3.4), se kombinacija za naš primer glasi:

1,35 ∙ 𝐺𝑘 + 1,50 ∙ 𝑄𝑘

Slika 3.5: Obtežni primeri

Postopek izračuna s pomočjo tabel

𝑀𝐸𝑑 = 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑖𝑧 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑒 ∙ 𝑞𝑑 ∙ 𝑙12 (3.5)

𝑉𝐸𝑑 = 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑖𝑧 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑒 ∙ 𝑞𝑑 ∙ 𝑙1 (3.6)

Kjer so:

MEd projektna vrednost upogibnega momenta

VEd projektna vrednost prečne sile

qd projektna vrednost obtežbe (qd = γq·qk)

l1 krajša vrednost efektivnega razpona

l1 = 6,48 m; l2 = 8,48 m; l1 : l2 ≈ 1 : 1,30

Obtežni primer 1 (OP1):

𝑀𝐵,𝑚𝑖𝑛 = −0,174 ∙ 76,33 ∙ (6,482) = −557,69 𝑘𝑁𝑚

𝑉𝐵 ,𝑚𝑖𝑛 = −0,674 ∙ 76,33 ∙ 6,48 = −333,37 𝑘𝑁

𝑉𝐵 ,𝑚𝑎𝑥 = 0,784 ∙ 76,33 ∙ 6,48 = 387,78 𝑘𝑁



𝑀1,𝑚𝑎𝑥 = 0,053 ∙ 62,92 ∙ (6,482) + 0,099 ∙ 13,41 ∙ (6,482) = 195,77 𝑘𝑁𝑚

𝑉𝐴 = 0,326 ∙ 62,92 ∙ 6,48 + 0,446 ∙ 13,41 ∙ 6,48 = 171,67 𝑘𝑁


𝑀2,𝑚𝑎𝑥 = 0,133 ∙ 62,92 ∙ (6,482) + 0,156 ∙ 13,41 ∙ (6,482) = 439,23 𝑘𝑁𝑚

𝑉𝐶 = 0,516 ∙ 62,92 ∙ 6,48 + 0,558 ∙ 13,41 ∙ 6,48 = −258,87 𝑘𝑁

Analogno smo ponovili postopek še za vrednosti linijske obtežbe iz literature (g Avak, qAvak).


𝑀𝐵,𝑚𝑖𝑛 = −0,174 ∙ 102,71 ∙ (6,482) = −750,43 𝑘𝑁𝑚

𝑉𝐵 ,𝑚𝑖𝑛 = −0,674 ∙ 102,71 ∙ 6,48 = −448,59 𝑘𝑁

𝑉𝐵 ,𝑚𝑎𝑥 = 0,784 ∙ 102,71 ∙ 6,48 = 521,80 𝑘𝑁


𝑀1,𝑚𝑎𝑥 = 0,053 ∙ 84,11 ∙ (6,482) + 0,099 ∙ 18,60 ∙ (6,482) = 264,51 𝑘𝑁𝑚

𝑉𝐴 = 0,326 ∙ 84,11 ∙ 6,48 + 0,446 ∙ 18,60 ∙ 6,48 = 231,44 𝑘𝑁


𝑀2,𝑚𝑎𝑥 = 0,133 ∙ 84,11 ∙ (6,482) + 0,156 ∙ 18,60 ∙ (6,482) = 591,57 𝑘𝑁𝑚

𝑉𝐶 = 0,516 ∙ 84,11 ∙ 6,48 + 0,558 ∙ 18,60 ∙ 6,48 = −348,49 𝑘𝑁

Tabela 3.1: Maksimalne vrednosti NSK v nosilcu

NSK (MSN) Vrednost Vrednost, dobljena z

obtežbo iz literature

max M1 [kNm] 195,77 264,51

max M2 [kNm] 439,23 591,57

min MB [kNm] –557,69 –750,43 max VA [kN] 171,67 231,44

min VB,l [kN] –333,37 –448,59 max VB,d [kN] 387,78 521,80

min VC [kN] –258,87 –348,49


Kot je razvidno iz tabele 3.1 pride zaradi neupoštevanja vpliva vmesne stene pri določitvi

obtežb posledično tudi do razhajanja v velikosti NSK. Za lažje razumevanje je prikazana

primerjava na sliki 3.6 med vplivno površino, ki je bila upoštevana v izračunu obtežbe v

literaturi, in med tisto, ki smo jo uporabili v našem primeru.

Slika 3.6: Primerjava vplivne površine


3.2.4 Izračun upogibnih momentov v plošči

Upogibne momente smo izračunali s pomočjo Hahnovih tabel [15]. Uporabili smo

koeficiente, ki jih je podal Czerny. Koeficienti, podani v tabelah, so odvisni od razmerja

razpetin, načina podpiranja in mesta momenta oziroma prečne sile. Ploščo smo razdelili na

pozicije in jih nato smiselno uporabili pri Hahnovih tabelah. Predpostavili smo, da je

nosilec dovolj tog za računanje s tabelami. V izračunu so najprej upoštevane lokalne smeri

momentov v skladu s preglednicami, na koncu pri izravnavi pa so prikazani v globalni

smeri.

𝑀𝑖 = 𝐾𝑚𝑖

(3.7)

Kjer so:

Mi moment v ustrezni smeri

K 𝐾 = 𝑞 ∙ 𝑙𝑥 ∙ 𝑙𝑦

mi koeficient iz tabele, ki upošteva smer momenta

lx krajša smer razpona

ly daljša smer razpona

q obtežba

Slika 3.7: Razdelitev plošče na posamezne pozicije


Pozicija 101

Plošča je podprta po zunanjih ter enem notranjem robu s steno, po četrtem robu je

povezana z nosilcem. Za izračun upogibnega momenta v polju smo predpostavili 50%

vpetost, nad podporami pa 100% vpetost.

Slika 3.8: Pozicija 101; slika levo: izračun momentov v polju, slika desno: izračun

momentov nad podporo

𝑙𝑥 = 6,48 𝑚 ; 𝑙𝑦 = 7,52 𝑚 ; 𝜀 = 𝑙𝑦 𝑙𝑥⁄ = 1,16

𝐾 = (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 ∙ 𝑙𝑥 ∙ 𝑙𝑦 = 11,70 ∙ 6,48 ∙ 7,52 = 570,14 𝑘𝑁

𝑀𝑥 =12 ∙ �

570,1434,64 +

570,1423,54 � = 20,34 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑦 =12 ∙ �

570,1450,08 +

570,1433,14 � = 14,29 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑒𝑥 =570,1413,88 = −41,08 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑒𝑦 =570,1415,38 = −37,07 𝑘𝑁𝑚

Pozicija 102

Uporabljene so enake predpostavke kot v predhodnem izračunu.

𝑙𝑥 = 7,52 𝑚 ; 𝑙𝑦 = 8,48 𝑚 ; 𝜀 = 𝑙𝑦 𝑙𝑥⁄ = 1,128



momentov nad podporo

𝐾 = (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 ∙ 𝑙𝑥 ∙ 𝑙𝑦 = 11,70 ∙ 7,52 ∙ 8,48 = 746,10 𝑘𝑁

𝑀𝑥 =12 ∙ �

746,1035,57 +

746,1024,10 � = 25,97 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑦 =12 ∙ �

746,1047,99 +

746,1031,82 � = 19,50 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑒𝑥 =746,1013,95 = −53,52 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑒𝑦 =746,1015,16 = −49,18 𝑘𝑁𝑚

Po analognem postopku smo izračunali upogibne momente še za zgornji del plošče, ki smo

jo razdelili na dve ločeni poziciji.

Pozicija 103

𝑙𝑥 = 6,27 𝑚 ; 𝑙𝑦 = 6,48 𝑚 ; 𝜀 = 𝑙𝑦 𝑙𝑥⁄ = 1,0335

𝐾 = (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 ∙ 𝑙𝑥 ∙ 𝑙𝑦 = 11,70 ∙ 6,48 ∙ 6,27 = 475,37 𝑘𝑁

𝑀𝑥 =12 ∙ �

475,3738,93 +

475,3726,26 � = 15,16 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑦 =12 ∙ �

475,3742,12 +

475,3728,34 � = 14,03 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑒𝑥 =475,3714,17 = −33,55 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑒𝑦 =475,3714,50 = −32,78 𝑘𝑁𝑚


Pozicija 104

𝑙𝑥 = 6,27 𝑚 ; 𝑙𝑦 = 8,48 𝑚 ; 𝜀 = 𝑙𝑦 𝑙𝑥⁄ = 1,35

𝐾 = (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 ∙ 𝑙𝑥 ∙ 𝑙𝑦 = 11,70 ∙ 6,27 ∙ 8,48 = 622,08 𝑘𝑁

𝑀𝑥 =12 ∙ �

622,0833,6 +

622,0821,4 � = 23,79 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑦 =12 ∙ �

622,0866,7 +

622,0843,0 � = 11,90 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑒𝑥 =622,08

13,9 = −44,75 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑒𝑦 =622,08

17,1 = −36,38 𝑘𝑁𝑚

Območje prekinjene podpore

Upogibni momenti v območju prekinjene podpore se lahko določijo s pomočjo

superpozicije. Upogibnim momentom, ki se določijo s pomočjo tabel za ploščo z

neprekinjeno podporo, se prištejejo upogibni momenti za linijsko obtežbo na robu plošče

ob odprtini. [12] Diagrame za določitev momentov na sliki 3.10 smo povzeli po literaturi

[12]. Najprej smo določili linijsko obtežbo na območju prekinjene podpore. Upoštevali

smo raznos obtežbe v skladu s sliko 3.3. Kot med osjo odprtine in stranico trikotnika

raznosa obtežbe znaša 60°, kar daje linijsko obtežbo p=41,75 kN/m. Za učinkoviti razpon

leff smo upoštevali 𝑙𝑒𝑓𝑓 = 3,90 + 2 ∙ 0,11 = 4,12 𝑚.

Upoštevajoč sliko 3.10, smer momentov mx (upogibni moment plošče z neprekinjeno

podporo pri superpoziciji ni upoštevan, saj na tem mestu ne deluje), smo dobili:

𝑚𝑥𝑟𝑒 = −0,32 ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑒𝑓𝑓 = −0,32 ∙ 41,75 ∙ 4,12 = −55,04 𝑘𝑁𝑚

𝑚𝑥𝑟𝑚 = 0,07 ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑒𝑓𝑓 = 0,07 ∙ 41,75 ∙ 4,12 = 12,04 𝑘𝑁𝑚

Upoštevajoč sliko 3.10, smer momentov my ter izravnani upogibni moment plošče z

neprekinjeno podporo (pozicija 103 in 104 Mey), smo dobili:

max𝑚𝑦𝑚 = 0,060 ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑒𝑓𝑓 = 0,060 ∙ 41,75 ∙ 4,12 = 10,32 𝑘𝑁𝑚

max𝑚𝑦𝑚 + 𝑚𝑒𝑦 = 10,32− 34,34 = −24,02 𝑘𝑁𝑚


min𝑚𝑦𝑒𝑟 = −0,080 ∙ 𝑝 ∙ 𝑙𝑒𝑓𝑓 = −0,080 ∙ 41,75 ∙ 4,12 = −13,76 𝑘𝑁𝑚

min𝑚𝑦𝑒𝑟 + 𝑚𝑒𝑦 = −13,76− 34,34 = −48,10 𝑘𝑁𝑚

Slika 3.10: Določitev upogibnih momentov v območju prekinjene podpore [12]

Nad podporami so izračunani upogibni momenti z vsake strani različnega velikostnega

reda. Izravnali smo jih po izrazu (3.8).

𝑀𝑒(1−2) = 𝐾1𝐾1+𝐾2

∙ 𝑀𝑒2 + 𝐾2𝐾1+𝐾2

∙ 𝑀𝑒1 (3.8)

Kjer so:

Me(1-2) izravnani negativni upogibni moment med sosednjima

ploščama


K1 »togost prve plošče«; K1 = q∙lx∙ly

K2 »togost druge plošče«; K2 = q∙lx∙ly

Me1 negativni upogibni moment prve plošče

Me2 negativni upogibni moment druge plošče

Slika 3.11: Upogibni momenti v plošči – analitični izračun

3.2.5 Dimenzioniranje nosilca na upogib

𝑑 = ℎ − 𝑐𝑛𝑜𝑚 − ∅𝑠𝑡𝑟 −∅𝑣𝑧𝑑2

(3.9)

Kjer so:

d statična višina

h višina prereza

cnom krovni sloj betona

∅𝑠𝑡𝑟 premer stremena

∅𝑣𝑧𝑑 premer vzdolžne (glavne) armature

𝑑 = 72− 3− 0,8 −1,62 = 67,4 𝑐𝑚 ≈ 67,5 𝑐𝑚


Tlačna oziroma natezna trdnost je povzeta po standardu [3]:

𝑓𝑐𝑑 = 𝛼𝑐𝑐 ∙𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐

(3.10)

Kjer so:

fcd projektna tlačna trdnost betona

fck karakteristična tlačna trdnost betona

γc delni varnostni faktor za beton, ki znaša za stalna in začasna

projektna stanja 1,50

αcc koeficient, ki upošteva dolgotrajne učinke obtežbe in neugodne

učinke nanosa obtežbe na tlačno trdnost betona; priporočena

vrednost znaša 1,0

𝑓𝑐𝑑 = 1,0 ∙20

1,50 = 13,33𝑁

𝑚𝑚2

𝑓𝑦𝑑 = 𝑓𝑦𝑘𝛾𝑠

(3.11)

Kjer so:

fyd projektna meja elastičnosti jekla za armiranje

fyk karakteristična meja elastičnosti

γs delni varnostni faktor za jeklo, ki znaša 1,15

𝑓𝑦𝑑 =5001,15 = 435

𝑁𝑚𝑚2

Prerazporeditev upogibnega momenta nad vmesno podporo:

Upogibne momente, izračunane po linearni teoriji elastičnosti, se lahko v mejnem stanju

nosilnosti prerazporedi s faktorjem δ, ki ponazarja razmerje med upogibnim momentom po

prerazporeditvi in upogibnim momentom, dobljenim po teoriji elastičnosti. [3]

Rezultirajoče prerazporejene notranje sile morajo biti v ravnotežju z delujočo obtežbo.

δ = 0,95 (5 % momenta se prerazporedi iz podpore v polje)

𝑀𝑑,𝐵′ = 𝑀𝑑,𝐵 ∙ 0,95 = −557,69 ∙ 0.95 = 529,81 𝑘𝑁𝑚


Slika 3.12: Nadomestni statični sistem ob prerazporeditvi

Najprej smo uravnotežili polje AB.

∑𝑀𝐵 = 0; −𝑉𝐴′ ∙ 6,48− 529,81 + 76,33 ∙6,482

2 = 0 → 𝑉𝐴′ = 165,55 𝑘𝑁

∑𝐹𝑦 = 0; 𝑉𝐴′ − 76,33 ∙ 6,48 + 𝑉𝐵 ,𝑙′ = 0 → 𝑉𝐵 ,𝑙′ = 329,07 𝑘𝑁

𝑀1,𝑚𝑎𝑥′ =𝑉𝐴′2

2 ∙ 𝑞 =(165,55)2

2 ∙ 76,33 = 179,53 𝑘𝑁𝑚 < 𝑀1,𝑚𝑎𝑥 = 195,77 𝑘𝑁𝑚

Pri dimenzioniranju na upogib v prvem polju smo zaradi večje vrednosti uporabili

upogibni moment pred prerazporeditvijo. Razdalja, kjer je upogibni moment M1,max nič,

merjeno od podpore B v smeri proti sredini polja BA, znaša x = 2,14 m. Analogno smo

uravnotežili polje BC.

∑𝑀𝐵 = 0; 𝑉𝐶′ ∙ 8,48− 529,81 + 76,33 ∙8,482

2 = 0 → 𝑉𝐶′ = 261,16 𝑘𝑁

∑𝐹𝑦 = 0; 𝑉𝐶′ − 76,33 ∙ 8,48 + 𝑉𝐵,𝑑′ = 0 → 𝑉𝐵,𝑑′ = 386,12 𝑘𝑁

𝑀1,𝑚𝑎𝑥′ =𝑉𝐶′2

2 ∙ 𝑞 =(261,16)2

2 ∙ 76,33 = 446,77 𝑘𝑁𝑚 > 𝑀2,𝑚𝑎𝑥 = 439,23 𝑘𝑁𝑚

Razdalja, kjer je upogibni moment nič, merjeno od podpore B v smeri proti sredini polja

BC, znaša x = 1,64 m.

Dimenzioniranje na upogib nad vmesno podporo:

Iz zgornjega izračuna je razvidno, da je vrednost upogibnega momenta po prerazporeditvi

večja kot po elastični analizi, zato smo pri dimenzioniranju na upogib v drugem polju

upoštevali večjo vrednost. V skladu s podpoglavjem 5.3 standarda [3] se lahko projektni

upogibni moment nosilca, ki poteka preko prosto vrtljivih podpor zmanjša za vrednost

ΔMEd po izrazu (3.12):

∆𝑀𝐸𝑑 = 𝐹𝐸𝑑,𝑠𝑢𝑝∙𝑡8

(3.12)


Kjer sta:

FEd,sup projektna vrednost reakcije v podpori

t širina podpore

𝑀𝐸𝑑 = 𝑀1 + 𝐹𝐸𝑑,𝑠𝑢𝑝∙𝑡8

= −529,81 + |−329,07+386,12|∙0,38

= −502,99 𝑘𝑁𝑚

Za dimenzioniranje smo uporabili tabele za µEds postopek.


(3.13)

Kjer so:

µEds brezdimenzijski koeficient

MEds projektna vrednost upogibnega momenta

b širina tlačenega prereza

d statična višina

fcd projektna vrednost tlačne trdnosti betona

ℎ𝑓 ≈12,5 + 17,5

2 = 15 𝑐𝑚


𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑=

0,502990,6 ∙ 0,6752 ∙ 13,33 = 0,1380

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,1380 → �𝜔 = 0,1495

𝜉 =𝑥𝑑 = 0,185

Kjer sta:

ω mehanski koeficient armiranja


𝑥 = 𝜉 ∙ 𝑑 = 0,185 ∙ 67,5 = 12,49 cm < 15𝑐𝑚 (dimenzioniramo kot pravokotni prerez,

tabela 7.1)


(𝜔 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐𝑑 + 𝑁𝐸𝑑) =1

435(0,1495 ∙ 0,6 ∙ 0,675 ∙ 13,33 ∙ 104) =

= 𝟏𝟖,𝟓𝟓 𝒄𝒎𝟐 → Izberemo 10Ø16 (As,dej = 20,11 cm2)


Kontrola koeficienta prerazporeditve:

𝛿 ≥ 𝑘1 + 𝑘2 ∙𝑥𝑢

𝑑� za 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 (3.14)

Kjer so:

δ razmerje med upogibnim momentom po prerazporeditvi in

upogibnim momentom po teoriji elastičnosti

k1 priporočena vrednost znaša 0,44

k2 𝑘2 = 1,25 ∙ (0,6 + 0,0014 𝜀𝑐𝑢2)⁄

εcu2 mejna deformacija; C20/25 → εcu2= 0,0035

𝛿 = 0,44 + 1,25 ∙ �0,6 +0,00140,0035� ∙

12,4967,5 = 0,67

𝛿 = 0,67 < 𝛿𝑑𝑒𝑗 = 0,95 → ni potrebno posebno preverjanje rotacijske sposobnosti

Dimenzioniranje na upogib v polju 1:

Maksimalni upogibni moment v prvem polju znaša M1 = 195,77 kNm.

𝜇𝐸𝑑𝑠 =0,19577

2,50 ∙ 0,6752 ∙ 13,33 = 0,0129

𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,0129 → �𝜔 = 0,01306

𝜉 =𝑥𝑑 = 0,0341

𝑥 = 𝜉 ∙ 𝑑 = 0,0341 ∙ 67,5 = 2,30 cm < 22𝑐𝑚 (dimenzioniramo kot pravokotni prerez,

tabela 7.1)

𝐴𝑠,𝑝𝑜𝑡𝑟 = 1𝜎𝑠𝑑

(𝜔 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐𝑑 + 𝑁𝐸𝑑) = 1435

(0,01306 ∙ 2,5 ∙ 0,675 ∙ 13,33 ∙ 104) =

= 𝟔,𝟕𝟓𝒄𝒎𝟐 → Izberemo 5Ø14 (As,dej = 7,70 cm2)

Dimenzioniranje na upogib v polju 2:

Maksimalni upogibni moment v drugem polju znaša M2 = 446,77 kNm.


𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑=

0,446773,06 ∙ 0,6752 ∙ 13,33 = 0,02404


𝜇𝐸𝑑𝑠 = 0,02404 → �𝜔 = 0,02442

𝜉 =𝑥𝑑 = 0,0484

𝑥 = 𝜉 ∙ 𝑑 = 0,0484 ∙ 67,5 = 3,27 cm < 22𝑐𝑚 (dimenzioniramo kot pravokotni prerez)


(𝜔 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐𝑑 + 𝑁𝐸𝑑) =1

435(0,02442 ∙ 3,06 ∙ 0,675 ∙ 13,33 ∙ 104) =

= 𝟏𝟓,𝟒𝟔 𝒄𝒎𝟐 → Izberemo 5Ø20 (As,dej = 15,71 cm2)

Kontrola minimalnega in maksimalnega prereza armature:

Vrednost minimalne armature se določi z izrazom (3.15) [3]:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,26 𝑓𝑐𝑡𝑚𝑓𝑦𝑘

𝑏𝑡 ∙ 𝑑 ≥ 0,0013𝑏𝑡 ∙ 𝑑 (3.15)

Kjer so:

As,min potrebna površina prereza armature

fctm srednja vrednost natezne trdnosti betona

fyk karakteristična meja elastičnosti armature

bt srednja širina natezne cone pri gredah T-oblike

upoštevamo samo širino stojine

d statična višina

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,262,2500 0,30 ∙ 0,675 = 2,32 𝑐𝑚2 < 0,0013 ∙ 0,30 ∙ 0,675 = 2,63 𝑐𝑚2

As,min = 2,63 cm2 → pogoj je izpolnjen v vseh treh dimenzioniranih prerezih

Maksimalno vrednost prečnega prereza tlačene oziroma natezne armature navaja standard

[3] in se določi z izrazom (3.16):

𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 0,04 ∙ 𝐴𝑐 (3.16)

Kjer sta:

As,max maksimalna površina prečnega prereza armature

Ac površina betona v prečnem prerezu


𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 0,04 ∙ (72 ∙ 30 + 2 ∙ 15 ∙ 12,5 + 5 ∙ 15 + 15 ∙ 22 ∙ 2) = 130,80 𝑐𝑚2 → pogoj je

izpolnjen v vseh dimenzioniranih prerezih

V tabeli 3.2 je podana primerjava računsko potrebne upogibne armature analitičnega

izračuna in izračuna iz literature.

Tabela 3.2: Primerjava računsko potrebne upogibne armature

Enota [cm2] As,potr polje 1 As,potr polje 2 As,potr podpora B

Analitični izračun 6,75 15,46 19,11

Vrednost iz literature 8,80 21,00 26, 9

3.2.6 Dimenzioniranje nosilca na strig zaradi prečne sile

Pri elementih obremenjenih z enakomerno razporejeno obtežbo se lahko ob podpori

ustrezno reducira prečno silo. Reducirana prečna sila je podana z izrazom (3.17).

Δ𝑉𝐸𝑑 = 𝑉𝐸𝑑 − Δ𝑥 ∙ 𝑞 (3.17)

Projektna strižna odpornost je podana z izrazom (3.18), ki je povzet po [3].

𝑉𝑅𝑑 ,𝑐 = �𝐶𝑅𝑑,𝑐 ∙ 𝑘 ∙ (100 ∙ 𝜌𝑙 ∙ 𝑓𝑐𝑘)13 + 𝑘1 ∙ 𝜎𝑐𝑝� ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (3.18)

z najmanjšo vrednostjo

𝑉𝑅𝑑 ,𝑐 = (𝑣𝑚𝑖𝑛 + 𝑘1 ∙ 𝜎𝑐𝑝) ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (3.19)

Kjer so:

VRd,c projektna strižna odpornost elementa brez strižne armature

CRd,c priporočena vrednost znaša 0,18/γc = 0,18/1,5 = 0,12

k 𝑘 = 1 + �200𝑑≤ 2,0 kjer je d v mm

k1 priporočena vrednost znaša 0,15

ρl ρ𝑙 = 𝐴𝑠𝑙𝑏𝑤∙𝑑

≤ 0,02

Asl ploščina prereza natezne armature, ki jo je potrebno voditi

najmanj ≥ (lbd + d) preko obravnavanega prečnega prereza

(slika 3.13)


bw najmanjša širina prečnega prereza v območju natezne cone

v mm

σcp 𝜎𝑐𝑝 = 𝑁𝐸𝑑𝐴𝑐

< 0,2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 [MPa]

NEd osna sila prereza, ki jo povzroča obtežba ali prednapetje v [N]

(v primeru tlačne osne sile je NEd > 0)

Ac površina prečnega prereza betona [mm2]

fck v MPa

vmin 𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0,035 ∙ 𝑘3/2 ∙ 𝑓𝑐𝑘1/2

Slika 3.13: Učinkovita armatura v obravnavanem prerezu [3]

𝑘 = 1 + �200675 = 1,54

Kot strižno armaturo smo izbrali vertikalna stremena (α = 90°), zato smo le-to izračunali s

pomočjo izraza (3.20), ki je povzet po [3], podpoglavju 6.2.3.

𝑉𝑅𝑑 ,𝑠 = 𝐴𝑠𝑤𝑠∙ 𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 1 ≤ 𝑐𝑜𝑡𝜃 ≤ 2,5 (3.20)

Kjer so:

VRd,s mejna strižna odpornost glede na strižno armaturo

Asw ploščina prečnega prereza strižne armature

s medsebojna razdalja stremen

fywd projektna meja elastičnosti strižne armature

θ kot tlačnih razpor

z ročica notranjih sil, lahko upoštevamo z = 0,9∙d

Strižna odpornost tlačnih diagonal se določi po izrazu (3.21) [3].


𝑉𝑅𝑑 ,𝑚𝑎𝑥 = 𝛼𝑐𝑤∙𝑏𝑤∙𝑧∙𝑣1∙𝑓𝑐𝑑(𝑐𝑜𝑡𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃)

(3.21)

Kjer so:

VRd,max mejna strižna odpornost glede na zmogljivost tlačnih razpor

αcw koeficient, ki upošteva stanje napetosti v tlačnem pasu,

priporočena vrednost znaša 1,0

v1 redukcijski faktor tlačne trdnosti strižno razpokanega betona,

priporočena vrednost znaša v

𝑣 = 0,6 ∙ �1 −𝑓𝑐𝑘

250� = 0,6 ∙ �1−20

250� = 0,55

Zaradi paličnega mehanizma prevzema prečne sile se pojavi dodatna natezna sila ΔFtd, ki

se določi po izrazu (3.22) [3].

∆𝐹𝑡𝑑 = 0,5 ∙ 𝑉𝐸𝑑 ∙ (𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝛼) (3.22)

Polje 1 – strig v stojini

Podpora A

V podpori A smo upoštevali projektno vrednost prečne sile VEd,A= 171,67 kN.

Δ𝑥 = 𝑡2

+ 𝑑 = 0,222

+ 0,675 = 0,79 𝑚

Δ𝑉𝐸𝑑 ,𝐴 = 𝑉𝐸𝑑 ,𝐴 − Δ𝑥 ∙ 𝑞 = 171,67− 0,79 ∙ 76,33 = 111,37 𝑘𝑁

V skladu s [3], podpoglavjem 9.3.1.4, je potrebno preko vrtljivih ali delno vpetih podpor

namestiti vsaj 25 % prereza armature v polju in jo tam ustrezno sidrati. V našem primeru

se v polju nahaja 5Ø14, kar pomeni, da je potrebno do podpore voditi vsaj:

𝑛 ≥ 𝑖𝑛𝑡(0,25 ∙ 5) = 𝑖𝑛𝑡(1,25) = 2 → 2Ø14 (Asl = 3,08 cm2)

𝜌𝑙 =𝐴𝑠𝑙𝑏𝑤 ∙ 𝑑

=3,08

30 ∙ 67,5 = 1,52 ∙ 10−3 < 0,02

𝑁𝐸𝑑 = 0 ; 𝜎𝑐𝑝 = 0

𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0,035 ∙ 𝑘32 ∙ 𝑓𝑐𝑘

12 = 0,035 ∙ 1,54

32 ∙ 20

12 = 0,30


𝑉𝑅𝑑 ,𝑐 = �0,12 ∙ 1,54 ∙ (100 ∙ 1,52 ∙ 10−3 ∙ 20)13 + 0,15 ∙ 0� ∙ 300 ∙ 675 = 54211 𝑁

= 54,21 𝑘𝑁

Z najmanjšo vrednostjo 𝑉𝑅𝑑,𝑐 = (0,30 + 0,15 ∙ 0) ∙ 300 ∙ 675 = 60750 𝑁 = 60,75 𝑘𝑁

𝑽𝑹𝒅,𝒄 = 𝟔𝟎,𝟕𝟓 𝒌𝑵 < 𝑽𝑬𝒅,𝑨 = 𝟏𝟕𝟏,𝟔𝟕 𝒌𝑵 → strižna armatura je računsko potrebna

V naslednjem koraku smo izračunali razdaljo od roba podpore A proti sredini prvega polja,

na kateri je strižna armatura računsko potrebna.

𝑉𝐸𝑑 ,𝐴(𝑥𝐴) = 𝑉𝐸𝑑,𝐴 − 𝑥𝐴 ∙ (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 = 𝑉𝑅𝑑 ,𝐶

𝑥𝐴 =(𝑉𝐸𝑑,𝐴 − 𝑉𝑅𝑑 ,𝐶)

(𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑=

(171,67− 60,75)(62,92 + 13,41) = 1,45 𝑚

Za izračun potrebne strižne armature smo izbrali cotθ = 1 (θ = 45°, tanθ = 1), ki daje

največjo armaturo.

𝑝𝑜𝑡𝑟 �𝐴𝑠𝑤𝑠 � =

Δ𝑉𝐸𝑑 ,𝐴

𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃=

111,370,9 ∙ 0,675 ∙ 43,5 ∙ 1 = 𝟒,𝟐𝟏 𝒄𝒎𝟐/𝒎

𝐴𝑠𝑤2𝑠

= 𝐴𝑠𝑤𝑠∙ 1𝑛

= 4,212

= 2,11 𝑐𝑚2/𝑚 (n=2 → dvostrižno streme)

Izberemo dvostrižno streme Ø 8/20 cm (Asw,dej = 5,03 cm2/m)

Kontrola tlačne diagonale:

𝑉𝑅𝑑 ,𝑚𝑎𝑥 =1 ∙ 0,30 ∙ 0,9 ∙ 0,675 ∙ 0,55 ∙ 13,3 ∙ 103

(1 + 1) = 668,08 𝑘𝑁

𝑉𝐸𝑑 ,𝐴 = 171,67 𝑘𝑁 < 𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 668,08 𝑘𝑁 → odpornost diagonale ustreza

Dodatna natezna sila:

∆𝐹𝑡𝑑 = 0,5 ∙ 111,37 ∙ (1− 0) = 55,69 𝑘𝑁

Ustrezno povečanje upogibne armature zaradi natezne sile znaša:

∆𝐴𝑠𝑙 =∆𝐹𝑡𝑑𝑓𝑦𝑑

=55,6943,5 = 1,28 𝑐𝑚2


Podpora B

Projektna vrednost prečne sile znaša VEd,B,l = 333,37 kN.

Δ𝑥 = 𝑡2

+ 𝑑 = 0,222

+ 0,675 = 0,79 𝑚

Δ𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑙 = 𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑙 − Δ𝑥 ∙ 𝑞 = 333,37− 0,79 ∙ 76,33 = 273,07 𝑘𝑁

Pri kritičnem prerezu ob vmesni podpori smo upoštevali vso polno zasidrano armaturo v

zgornji coni. Nadaljnji izračun je pokazal, ali je naša predpostavka pravilna.


=20,11

30 ∙ 67,5 = 0,01 < 0,02

𝑉𝑅𝑑 ,𝑐 = �0,12 ∙ 1,54 ∙ (100 ∙ 0,01 ∙ 20)13 + 0,15 ∙ 0� ∙ 300 ∙ 675 = 101579 𝑁

= 101,58 𝑘𝑁


𝚫𝑽𝑬𝒅,𝑩,𝒍 = 𝟐𝟕𝟑,𝟎𝟕 𝒌𝑵 > 𝑽𝑹𝒅,𝒄 = 𝟏𝟎𝟏,𝟓𝟖 𝒌𝑵 → strižna armatura je računsko potrebna

Razdalja od podpore, na kateri je strižna armatura računsko potrebna:

𝑉𝐸𝑑 ,𝐵(𝑥𝐵) = 𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑙 − 𝑥𝐵 ∙ (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 = 𝑉𝑅𝑑 ,𝐶

𝑥𝐵 = (𝑉𝐸𝑑,𝐵,𝑙−𝑉𝑅𝑑,𝐶)(𝑔+𝑞)𝐸𝑑

= (333,37−101,58)(62,92+13,41)

= 3,04 𝑚 > x = 2,14 m

Razdaljo xB smo primerjali z razdaljo od roba podpore do mesta, kjer upogibni moment

spremeni predznak, in ugotovili, da je izračunana vrednost izven meje območja

negativnega upogibnega momenta, zato je potrebno upoštevati koeficient armiranja s

spodnjo armaturo, ki je ustrezno zasidrana. Predpostavimo, da imamo na voljo v kritičnem

prerezu vsaj 2 polno zasidrani palici Ø14 (As = 3,08 cm2).


=3,08

30 ∙ 67,5 = 1,52 ∙ 10−3 < 0,02

𝑉𝑅𝑑 ,𝑐 = �0,12 ∙ 1,54 ∙ (100 ∙ 1,52 ∙ 10−3 ∙ 20)13 + 0,15 ∙ 0� ∙ 300 ∙ 675 = 54211 𝑁

= 54,21 𝑘𝑁



𝚫𝑽𝑬𝒅,𝑩,𝒍 = 𝟐𝟕𝟑,𝟎𝟕 𝒌𝑵 > 𝑽𝑹𝒅,𝒄 = 𝟔𝟎,𝟕𝟓 𝒌𝑵 → strižna armatura je računsko potrebna


𝑉𝐸𝑑 ,𝐵(𝑥𝐵) = 𝑉𝐸𝑑 ,𝐵 − 𝑥𝐵 ∙ (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 = 𝑉𝑅𝑑 ,𝐶

𝑥𝐵 = (𝑉𝐸𝑑,𝐵,𝑙−𝑉𝑅𝑑,𝐶)(𝑔+𝑞)𝐸𝑑

= (333,37−60,75)(62,92+13,41)

= 3,57 𝑚


največjo armaturo.


Δ𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑙


273,070,9 ∙ 0,675 ∙ 43,5 ∙ 1 = 𝟏𝟎,𝟑𝟑 𝒄𝒎𝟐/𝒎

𝐴𝑠𝑤2𝑠


= 10,332


Izberemo dvostrižno streme Ø 8/9,5 cm (Asw,dej = 10,58 cm2/m).


𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑙 = 333,37 𝑘𝑁 < 𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 668,08 𝑘𝑁 → odpornost diagonale ustreza


∆𝐹𝑡𝑑 = 0,5 ∙ 273,07 ∙ (1− 0) = 136,54 𝑘𝑁

Ustrezno povečanje upogibne armature zaradi natezne sile:


=136,54

43,5 = 3,14 𝑐𝑚2

Polje 2 – strig v stojini

Podpora B

Projektna vrednost prečne sile znaša VEd,B,d = 387,78 kN.

Δ𝑥 = 𝑡2

+ 𝑑 = 0,222

+ 0,675 = 0,79 𝑚

Δ𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑑 = 𝑉𝐸𝑑,𝐵,𝑑 − Δ𝑥 ∙ 𝑞 = 387,78− 0,79 ∙ 76,33 = 327,48 𝑘𝑁


Pričakovali smo podobno situacijo kot pri podpori B v prvem polju. Ugotoviti je bilo

potrebno, ali je območje, kjer velja projektna vrednost strižne odpornosti elementa, brez

strižne armature ustrezno. Najprej smo uporabili predpostavko, da imamo v kritičnem

prerezu polno zasidrano armaturo v zgornji coni.

𝜌𝑙 = 0,01 < 0,02

𝑉𝑅𝑑 ,𝑐 = 101,58 𝑘𝑁

𝑽𝑹𝒅,𝑪 = 𝟏𝟎𝟏,𝟓𝟖 𝒌𝑵 < 𝚫𝑽𝑬𝒅,𝑩,𝒅 = 𝟑𝟐𝟕,𝟒𝟖 𝒌𝑵 → strižna armatura je računsko potrebna


𝑉𝐸𝑑 ,𝐵(𝑥𝐵) = 𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑑 − 𝑥𝐵 ∙ (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 = 𝑉𝑅𝑑 ,𝐶

𝑥𝐵 = (𝑉𝐸𝑑,𝐵,𝑑−𝑉𝑅𝑑,𝐶)(𝑔+𝑞)𝐸𝑑

= (387,78−101,58)(62,92+13,41)

= 3,75 𝑚 > x = 1,64 m

Po primerjavi razdalj smo ugotovili, da se zopet nahajamo zunaj območja negativnih

upogibnih momentov, kar je pomenilo, da je naša vrednost le približek. Ponovili smo

postopek, v katerem pa smo tokrat upoštevali koeficient armiranja s spodnje cone.

Predpostavili smo, da imamo na voljo v kritičnem prerezu vsaj 2 polno zasidrani palici

Ø20 (As = 6,28 cm2).


=6,28

30 ∙ 67,5 = 3,10 ∙ 10−3 < 0,02

𝑉𝑅𝑑 ,𝑐 = �0,12 ∙ 1,54 ∙ (100 ∙ 3,10 ∙ 10−3 ∙ 20)13 + 0,15 ∙ 0� ∙ 300 ∙ 675 = 68748 𝑁

= 68,75 𝑘𝑁


𝚫𝑽𝑬𝒅,𝑩,𝒅 = 𝟑𝟐𝟕,𝟒𝟖 𝒌𝑵 > 𝑽𝑹𝒅,𝒄 = 𝟔𝟖,𝟕𝟓 𝒌𝑵 → strižna armatura je računsko potrebna


𝑉𝐸𝑑 ,𝐵(𝑥𝐵) = 𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑑 − 𝑥𝐵 ∙ (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 = 𝑉𝑅𝑑 ,𝐶

𝑥𝐵 = (𝑉𝐸𝑑,𝐵,𝑑−𝑉𝑅𝑑,𝐶)(𝑔+𝑞)𝐸𝑑

= (387,78−68,75)(62,92+13,41)

= 4,18 𝑚



največjo armaturo.


Δ𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑑


327,480,9 ∙ 0,675 ∙ 43,5 ∙ 1 = 𝟏𝟐,𝟑𝟗 𝒄𝒎𝟐/𝒎

𝐴𝑠𝑤2𝑠


= 12,394

= 3,10 𝑐𝑚2/𝑚 (n=4 → štiristrižno streme)

Izberemo štiristrižno streme 2Ø8/16 cm (Asw,dej = 12,56 cm2/m).


𝑉𝐸𝑑 ,𝐵,𝑑 = 387,78 𝑘𝑁 < 𝑉𝑅𝑑 ,𝑚𝑎𝑥 = 668,08 𝑘𝑁 → odpornost diagonale ustreza


∆𝐹𝑡𝑑 = 0,5 ∙ 327,48 ∙ (1− 0) = 163,74 𝑘𝑁

Ustrezno povečanje upogibne armature zaradi natezne sile:


=163,74

43,5 = 3,76 𝑐𝑚2

Podpora C

Projektna vrednost prečne sile znaša VEd,C' = 261,16 kN.

Δ𝑥 = 𝑡2

+ 𝑑 = 0,222

+ 0,675 = 0,79 𝑚

Δ𝑉𝐸𝑑 ,𝐶 = 𝑉𝐸𝑑,𝐶′ − Δ𝑥 ∙ 𝑞 = 261,16− 0,79 ∙ 76,33 = 200,86 𝑘𝑁

𝚫𝑽𝑬𝒅,𝑪 = 𝟐𝟎𝟎,𝟖𝟔 𝒌𝑵 > 𝑽𝑹𝒅,𝒄 = 𝟔𝟖,𝟕𝟓 𝒌𝑵 → strižna armatura je računsko potrebna


𝑉𝐸𝑑 ,𝐶(𝑥𝐶) = 𝑉𝐸𝑑,𝐶′ − 𝑥𝐶 ∙ (𝑔 + 𝑞)𝐸𝑑 = 𝑉𝑅𝑑,𝐶

𝑥𝐶 = (𝑉𝐸𝑑,𝐶′−𝑉𝑅𝑑,𝐶)(𝑔+𝑞)𝐸𝑑

= (261,16−68,75)(62,92+13,41)

= 2,52 𝑚


največjo armaturo.



Δ𝑉𝐸𝑑 ,𝐶


200,860,9 ∙ 0,675 ∙ 43,5 ∙ 1 = 𝟕,𝟔𝟎 𝒄𝒎𝟐/𝒎

𝐴𝑠𝑤2𝑠


= 7,62


Izberemo dvostrižno streme Ø8/12 cm (Asw,dej = 8,38 cm2/m).


𝑉𝐸𝑑 ,𝐶 = 261,16 𝑘𝑁 < 𝑉𝑅𝑑 ,𝑚𝑎𝑥 = 668,08 𝑘𝑁 → odpornost diagonale ustreza


∆𝐹𝑡𝑑 = 0,5 ∙ 200,86 ∙ (1− 0) = 100,43 𝑘𝑁

Ustrezno povečanje upogibne armature ob podpori zaradi natezne sile:


=100,43

43,5 = 2,31 𝑐𝑚2

Alternativno se lahko namesto povečanja prereza vzdolžne armature upošteva premaknitev

črte upogibnih momentov oziroma črte nateznih sil v armaturi za al v skladu s [3],

podpoglavji 6.2.3(7) in 9.2.1.3(2).

𝑎𝑙 =𝑧 ∙ (𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝛼)

2 =0,9 ∙ 0,675 ∙ (1 − 0)

2 = 0,30 𝑚

Največja učinkovita ploščina prečnega prereza strižne armature Asw,max je povzeta po [3].

'Izraz (3.23) je izpeljan iz pogoja, da je najmanjša projektna strižna odpornost glede

armature VRd,s manjša od največje projektne strižne odpornosti glede tlačnih diagonal

VRd,max.' [10]

𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑎𝑥∙𝑓𝑦𝑤𝑑

𝑏𝑤∙𝑠≤ 1

2𝛼𝑐𝑤 ∙ 𝑣1 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (3.23)

𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑎𝑥

𝑠 ≤12 ∙

𝛼𝑐𝑤 ∙ 𝑣1 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤𝑓𝑦𝑤𝑑

=1 ∙ 0,55 ∙ 1,33 ∙ 30

2 ∙ 43,5 = 0,25𝑐𝑚2

𝑐𝑚 = 25 𝑐𝑚2/𝑚

V vseh prerezih dimenzioniranja je predhodnji pogoj izpolnjen.

Na podlagi izraza (3.24), ki določa minimalno stopnjo armiranja s strižno armaturo, smo

določili minimalno potrebno površino armature za stremena.


𝜌𝑤 ,𝑚𝑖𝑛 = (0,08∙�𝑓𝑐𝑘)𝑓𝑦𝑘

(3.24)

𝑝𝑜𝑡𝑟 �𝐴𝑠𝑤𝑠 � ≥ 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 =

(0,08 ∙ �𝑓𝑐𝑘)𝑓𝑦𝑘

𝑝𝑜𝑡𝑟 �𝐴𝑠𝑤𝑠 � = 0,000716 ∙ 30 ∙ 100 = 2,15 𝑐𝑚2/𝑚

Za vsa področja minimalno zahtevane armature smo izbrali dvostrižna stremena Ø8/30 cm

(Asw,dej = 3,35 cm2/m).

Po literaturi [3] največja vzdolžna medsebojna oddaljenost skupin strižne armature ne sme

biti večja od sl,max. Izraz velja za vertikalna stremena.

𝑠𝑙,𝑚𝑎𝑥 = 0,75 ∙ 𝑑 ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑡𝛼) (3.25)

𝑠𝑙,𝑚𝑎𝑥 = 0,75 ∙ 67,5 ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑡90°) = 50,6 𝑐𝑚

Pogoj je izpolnjen v vseh prerezih dimenzioniranja.

Slika 3.14: Grafični prikaz rezultatov dimenzioniranja na prečno silo

V vseh prejšnjih izračunih strižne armature smo upoštevali kot tlačnih razpor θ = 45°, ki

daje zgornje vrednosti strižne armature. Dodatna natezna sila ΔFtd, ki se pojavi v vzdolžni

armaturi zaradi paličnega mehanizma prevzema prečne sile, je odvisna od izbire naklona


tlačnih razpor. V tabeli 3.3 je prikazana primerjava rezultatov izračuna pri skrajnih

vrednostih kota tlačnih razpor. Razdelek, kjer je prikazana premaknitev črte upogibnih

momentov al, pomeni alternativo povečanju prereza vzdolžne armature.

Tabela 3.3: Primerjava rezultatov izračuna ob skrajnih vrednostih cot θ

cotθ cotθ = 1,0 cotθ = 2,5

Podp

ora

VA

Prerez vertikalnih stremen 𝐴𝑠𝑤𝑠

4,21 cm2/m 1,69 cm2/m

Povečanje prereza vzdolžne armature ΔAsl 1,28 cm2 3,20 cm2

Premaknitev črte up. momentov al 0,30 m 0,76 m

Odpornost glede tlačnih diagonal VRd,max 668,08 kN 460,75 kN

Podp

ora

VB

,l Prerez vertikalnih stremen 𝐴𝑠𝑤𝑠

10,33 cm2/m 4,13 cm2/m




Podp

ora

VB

,d Prerez vertikalnih stremen 𝐴𝑠𝑤

𝑠 12,39 cm2/m 4,96 cm2/m




Podp

ora

VC

Prerez vertikalnih stremen 𝐴𝑠𝑤𝑠

7,60 cm2/m 3,04 cm2/m




V tabeli 3.4 je podana primerjava računsko potrebne strižne armature (strig zaradi prečne

sile v stojini) analitičnega izračuna in izračuna iz literature. V analitičnem izračunu je

povsod upoštevana vrednost cotθ=1. V literaturi so vrednosti kota tlačnih razpor θ povsod

različne.


Tabela 3.4: Primerjava računsko potrebne strižne armature

Enota [cm2/m] Analitični izračun Vrednost iz literature

Asw/s podpora A 4,21 2,103

Asw/s podpora B,l 10,33 7,504

Asw/s podpora B,d 12,39 7,90 + 4,605

Asw/s podpora C 7,60 5,276

Prečna sila – strig med stojino in ploščo

Pri sodelovanju nosilca in plošče se pojavi strižna napetost vzdolž stika med stojino in

ploščo. Napetost se v splošnem izračuna z izrazom (3.26). Izraz je povzet po [3].

𝑣𝐸𝑑 = ∆𝐹𝑑(ℎ𝑓 ∙ ∆𝑥)� (3.26)

Kjer so:

hf debelina pasnice ob stiku

Δx dolžina obravnavanega odseka

ΔFd sprememba normalne sile v pasnici na odseku Δx

V primeru, kadar velja izraz (3.27), ni potrebno namestiti dodatne prečne armature k

armaturi zaradi prečnega upogiba [3].

𝑣𝐸𝑑 ≤ 𝑘 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 (3.27)

Kjer sta:

k koeficient, katerega priporočena vrednost znaša 0,4

3 cotθ = 2,75 4 cotθ = 1,80 5 cotθ = 1,43 6 cotθ = 2,14


fctd projektna vrednost osne natezne trdnosti betona

Slika 3.15: Strig med stojino in ploščo [3]

Za največjo vrednost razdalje Δx se lahko po standardu [3], točki 6.2.4(3), privzame

polovico medsebojne razdalje med mestom, kjer je upogibni moment enak nič, in mestom,

kjer upogibni moment doseže maksimalno vrednost. Postopek izračuna Δx je prikazan v

nadaljevanju.

Potrebna prečna armatura na enoto dolžine Asf/sf je določena z izrazom (3.28) [3]:

𝐴𝑠𝑓 ∙ 𝑓𝑦𝑑 𝑠𝑓⁄ ≥ 𝑣𝐸𝑑 ∙ ℎ𝑓 𝑐𝑜𝑡𝜃𝑓⁄ (3.28)

Kontrolo tlačnih razpor v pasnici se izvede s pomočjo izraza (3.29) [3]:

𝑣𝐸𝑑 ≤ 𝑣 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑓 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑓 (3.29)

Kjer je:

v redukcijski faktor tlačne trdnosti strižno razpokanega betona,

predhodni izračun v = 0,55

Dopustne vrednosti za cotθf znašajo:

1,0 ≤ 𝑐𝑜𝑡𝜃𝑓 ≤ 2,0 za tlačene pasnice (45° ≥ θf ≥ 26,5°)

1,0 ≤ 𝑐𝑜𝑡𝜃𝑓 ≤ 1,25 za natezne pasnice (45° ≥ θf ≥ 38,6°)

Sprememba normalne sile v pasnici na odseku Δx se izračuna s pomočjo izraza (3.30) za

tlačeno pasnico in izraza (3.31) za natezno pasnico. [10]


∆𝐹𝑑 = (1−𝜂)2

∙ ∆𝑀𝐸𝑑𝑧

(3.30)

Kjer je:

ΔMEd vrednost upogibnega momenta v določenem preseku

η 𝜂 = 𝑏𝑤 𝑏𝑒𝑓𝑓⁄

bw širina stojine

beff sodelujoča širina

z ročica notranjih sil z = 0,9 ∙ d

∆𝐹𝑑 = (1−𝜂)2

∙ ∆𝑀𝐸𝑑𝑧

(3.31)

Kjer je:

η 𝜂 = 𝐴𝑠𝑙,𝑤𝑒𝑏 𝐴𝑠𝑙⁄ ; [3], podpoglavje 9.2.1.2

Asl,web armatura na širini stojine

Asl armatura na celotni sodelujoči širini pasnice

Dodatne parametre, potrebne za dimenzioniranje, smo določili s pomočjo ovojnice

upogibnih momentov. Na podlagi pogoja za največjo vrednost razdalje Δx smo nato

izračunali še pripadajoči upogibni moment v izbranem prerezu.

Polje 1

Mesto maksimalnega upogibnega momenta v polju:

𝑥(𝑀𝐸𝑑𝑚𝑎𝑥) =𝑉𝐴

(𝑞 + 𝑔)𝐸𝑑=

171,6776,33 = 2,25 𝑚 (𝑀𝐸𝑑𝑚𝑎𝑥 = 195,77 𝑘𝑁𝑚)

Za največjo dolžino Δx smo upoštevali:

∆𝑥 =𝑥(𝑀𝐸𝑑𝑚𝑎𝑥)

2 =2,25

2 = 𝟏,𝟏𝟐𝟓 𝒎

Na oddaljenosti od podpore A je pozitivni upogibni moment enak:


𝑀𝐸𝑑 = 𝑉𝐴 ∙ 𝑥 − (𝑞 + 𝑔)𝐸𝑑 ∙𝑥2

2 = 171,67 ∙ 1,125− 76,33 ∙1,1252

2 = 𝟏𝟒𝟒,𝟖𝟑 𝒌𝑵𝒎

Mesto, kjer negativni upogibni moment v prvem polju doseže vrednost 0, ter vrednost

negativnega upogibnega momenta v izbranem preseku:

𝑀𝐸𝑑 = 𝑀𝐵′ + 𝑉𝐵 ,𝑙′ ∙ 𝑥 − (𝑞 + 𝑔)𝐸𝑑 ∙𝑥2

2 = −529,81 + 329,07 ∙ 𝑥 − 76,33 ∙𝑥2

2

𝑀𝐸𝑑 = 0 → �𝑥1 = 2,14 𝑚𝑥2 = 6,48 𝑚 → smiselna vrednost v našem primeru znaša x = 2,14 m

∆𝑥 = 𝑥2

= 2,142

= 𝟏,𝟎𝟕 𝒎 → 𝑴𝑬𝒅 = −𝟐𝟐𝟏,𝟒𝟎 𝒌𝑵𝒎

Polje 2

Potek upogibnih momentov v polju 2 (rezano od podpore B v smeri polja 2):

𝑀𝐸𝑑 = 𝑀𝐵′ + 𝑉𝐵 ,𝑑′ ∙ 𝑥 − (𝑞 + 𝑔)𝐸𝑑 ∙𝑥2

2 = −529,81 + 386,12 ∙ 𝑥 − 76,33 ∙𝑥2

2

𝑀𝐸𝑑 = 0 → �𝑥1 = 1,64 𝑚𝑥2 = 8,48 𝑚 → smiselna vrednost v našem primeru znaša x = 1,64 m

∆𝑥 = 𝑥2

= 1,642

= 𝟎,𝟖𝟐 𝒎 → 𝑴𝑬𝒅 = −𝟐𝟑𝟖,𝟖𝟓 𝒌𝑵𝒎

Mesto maksimalnega upogibnega momenta v polju (rezano od podpore B v smeri polja 2):

𝑥(𝑀𝐸𝑑𝑚𝑎𝑥) =𝑉𝐵 ,𝑑′

(𝑞 + 𝑔)𝐸𝑑=

386,1276,33 = 5,06 𝑚 (𝑀𝐸𝑑𝑚𝑎𝑥 = 446,77 𝑘𝑁𝑚)

𝑥 = 8,48 − 5,06 = 3,42 𝑚

∆𝑥 = 𝑥2

= 3,422

= 𝟏,𝟕𝟏 𝒎 → 𝑴𝑬𝒅 = 𝟑𝟑𝟒,𝟗𝟗 𝒌𝑵𝒎


Slika 3.16: Razdelitev odsekov za izračun strižnih napetosti

Pri dimenzioniranju se upošteva večja vrednost spremembe upogibnega momenta na

odseku Δx, v sosednjem odseku pa se namesti enaka armatura.

Polje 1 – območje »a«, tlačena pasnica

𝜂 =𝑏𝑤𝑏𝑒𝑓𝑓

=0,302,50 = 0,12

∆𝐹𝑑 =(1− 𝜂)

2 ∙∆𝑀𝐸𝑑

𝑧 =(1− 0,12)

2 ∙144,83

0,9 ∙ 0,675 = 104,90 𝑘𝑁

𝑣𝐸𝑑 =∆𝐹𝑑

(ℎ𝑓 ∙ ∆𝑥) =104,90

(22 ∙ 112,5) = 0,042 𝑘𝑁𝑐𝑚2

𝑘 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,4 ∙0,151,5 = 0,04

𝑘𝑁𝑐𝑚2

𝑣𝐸𝑑 > 𝑘 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 → potrebna je dodatna prečna armatura

Izberemo cotθf = 1,0.


𝐴𝑠𝑓𝑠𝑓

≥𝑣𝐸𝑑 ∙ ℎ𝑓𝑐𝑜𝑡𝜃𝑓 ∙ 𝑓𝑦𝑑

=0,042 ∙ 22

1 ∙ 43,5 = 0,021 𝑐𝑚 = 0,021𝑐𝑚2

𝑐𝑚 = 2,10 𝑐𝑚2

𝑚

Izberemo Ø8/20 cm (Asf,dej = 2,51 cm2/m).

𝑣𝐸𝑑 = 0,042 𝑘𝑁𝑐𝑚2 < 𝑣 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑓 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑓 = 0,55 ∙ 1,33 ∙ 0,707 ∙ 0,707 = 0,37

𝑘𝑁𝑐𝑚2

Polje 1 – območje »c«, natezna pasnica

Nad vmesno podporo je na voljo armatura 10Ø16 (As,dej = 20,11 cm2). Predpostavili smo,

da imamo v stojini 4Ø16 (As,dej = 8,04 cm2), na območju sodelujoče širine pa smo na vsako

stran pasnice položili 3Ø16 (As,dej = 6,03 cm2).

𝜂 =𝐴𝑠𝑙,𝑤𝑒𝑏𝐴𝑠𝑙

=8,04

20,11 = 0,40

∆𝐹𝑑 =(1− 𝜂)


𝑧 =(1− 0,40)

2 ∙308,41

0,9 ∙ 0,675 = 152,30 𝑘𝑁


(ℎ𝑓 ∙ ∆𝑥) =152,30

(22 ∙ 107) = 0,065 𝑘𝑁𝑐𝑚2

𝑘 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,4 ∙0,151,5 = 0,04

𝑘𝑁𝑐𝑚2





=0,065 ∙ 22

1 ∙ 43,5 = 0,033 𝑐𝑚 = 0,033𝑐𝑚2

𝑐𝑚 = 3,30 𝑐𝑚2

𝑚



𝑘𝑁𝑐𝑚2


Polje 2 – območje »d«, natezna pasnica

Nad vmesno podporo je na voljo 10Ø16 (As,dej = 20,11 cm2). Predpostavili smo, da imamo

v stojini 4Ø16 (As,dej = 8,04 cm2), na območju sodelujoče širine pa smo na vsako stran

pasnice položili 3Ø16 (As,dej = 6,03 cm2).

𝜂 =𝐴𝑠𝑙,𝑤𝑒𝑏𝐴𝑠𝑙

=8,04

20,11 = 0,40

∆𝐹𝑑 =(1− 𝜂)


𝑧 =(1− 0,40)

2 ∙290,96

0,9 ∙ 0,675 = 143,68 𝑘𝑁


(ℎ𝑓 ∙ ∆𝑥) =143,68

(22 ∙ 82) = 0,080 𝑘𝑁𝑐𝑚2

𝑘 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,4 ∙0,151,5 = 0,04

𝑘𝑁𝑐𝑚2





=0,080 ∙ 22

1 ∙ 43,5 = 0,040 𝑐𝑚 = 0,040𝑐𝑚2

𝑐𝑚 = 4,40 𝑐𝑚2

𝑚



𝑘𝑁𝑐𝑚2

Polje 2 – območje »e«, tlačena pasnica

𝜂 =𝑏𝑤𝑏𝑒𝑓𝑓

=0,303,06 = 0,098

∆𝐹𝑑 =(1− 𝜂)


𝑧 =(1− 0,098)

2 ∙334,99

0,9 ∙ 0,675 = 248,69 𝑘𝑁


(ℎ𝑓 ∙ ∆𝑥) =248,69

(22 ∙ 171) = 0,066 𝑘𝑁𝑐𝑚2

𝑘 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,4 ∙0,151,5 = 0,04

𝑘𝑁𝑐𝑚2






=0,066 ∙ 22

1 ∙ 43,5 = 0,0334 𝑐𝑚 = 0,0334𝑐𝑚2

𝑐𝑚 = 3,34 𝑐𝑚2

𝑚



𝑘𝑁𝑐𝑚2

3.3 Analiza v programu Tower

3.3.1 Centrična priključitev

Pomembni parametri pri modeliranju:

• Ploščo smo modelirali kot debelo ploščo.

• Uporabili smo šahovno porazdelitev koristne obtežbe po poljih zaradi maksimalnih

notranjih statičnih količin v plošči in nosilcu.

• Postavitev grede v plošči je razvidna s slike 3.17.

• Ploščo smo razdelili z mrežo končnih elementov velikosti približno 40 cm.

• Ovojnice rezultatov veljajo za mejno stanje nosilnosti (MSN).


Slika 3.17: Modeliranje grede

Greda je modelirana centrično, brez pasnice s sodelujočo širino, torej samo stojina

(priporočilo Tower). Zgornji rob grede je poravnan z zgornjim robom plošče. Način

modeliranja, centrično ali ekscentrično, določa ukaz »fik« (slika 3.17). Pri centričnem

načinu je nosilec v preračunu upoštevan kot centrično priključen element, njegov položaj v

prostoru pa je v preračunu upoštevan z dodatnim vztrajnostnim momentom glede na os, na

katero je podana ekscentričnost težišča nosilca. [7]

Slika 3.18: 3D model plošče z mrežo končnih elementov


Rezultati za nosilec

Pri interpretiranju rezultatov izpisa iz programa Tower je potrebno paziti, saj program

prikaže predznak vrednostih prečnih sil glede na lokalne osi.

Slika 3.19: NSK v gredi brez prispevka plošče, centrična priključitev

Z integracijo upogibnih momentov v plošči v ustrezni smeri na sodelujoči širini smo dobili

prispevek plošče. Rezultanta, ki deluje na skupni T prerez je vsota pripevka plošče in

spodnjega dela nosilca – stojine.

Tabela 3.5: Primerjava NSK nosilca z upoštevanjem prispevka plošče

NSK (MSN) Brez prispevka plošče (samo rebro)

Prispevek plošče na sodelujoči širini T prerez

max M1 [kNm] 159,61 14,23 173,84

max M2 [kNm] 400,50 45,64 446,14

min MB [kNm] –424,54 –17,41 –441,95

max VA [kN] 101,62 22,29 123,91

min VB,l [kN] –174,28 –29,28 –203,56

max VB,d [kN] 219,29 36,76 256,05

min VC [kN] –174,53 –48,32 –222,85


Slika 3.20: Izpis iz programa Tower, dimenzioniranje na upogib in strig


Slika 3.21: Izpis iz programa Tower, dimenzioniranje v podporah B in C

Program Tower pri dimenzioniranju uporabi vrednost za kot tlačnih razpor cotθ = 1,0, ki

daje največjo strižno armaturo. Na območjih, kjer je strižna odpornost elementa zadostna,

minimalne strižne armature v skladu s predpisi v trenutni verziji program ne izračuna.

Tabela 3.6: Dimenzioniranje Tower, centrični model

Upogib As,potr polje 1 [cm2] As,potr polje 2 [cm2] As,potr podpora B [cm2]

6,02 15,58 16,22

Strig Asw/s podpora A [cm2/m] Asw/s podpora B [cm2/m] Asw/s podpora C [cm2/m]

4,70 9,69 8,44


Vrednosti upogibnih momentov v plošči

Slika 3.22: Ovojnica pozitivnih upogibnih momentov

Slika 3.23: Ovojnica negativnih upogibnih momentov

Slika 3.24: Potek upogibnih momentov v območju prekinjene podpore


3.3.2 Ekscentrična priključitev

Glede ovojnic rezultatov, gostote mreže končnih elementov in šahovne porazdelitve

koristne obtežbe smo uporabili enake predpostavke kot v predhodnem modelu. V izogib

podvajanja togosti in lastne teže smo definirali ortotropno ploščo na delu sodelujoče širine.

Plošča je na tem delu nosilna samo prečno na vzdolžno os nosilca. Ustrezno smo reducirali

modul elastičnosti in specifično težo betona. Kombinacija debele in ortotropne plošče v

programu ni možna, zato je plošča pri preračunu upoštevana kot tanka plošča. Za razliko

od predhodnega modela smo nosilec modelirali kot ekscentrično priključen T prerez.

Slika 3.25: NSK v T nosilcu

Pri dimenzioniranju je tokrat na voljo celoten T prerez, lahko se uporabi opcija

samodejnega dimenzioniranja po celotni dolžini nosilca.


Slika 3.26: Računsko potrebna armatura

Pri dimenzioniranju na upogib smo opazili, da je program izračunal v poljih poleg

pozitivne spodnje armature tudi negativno zgornjo armaturo. V prvem polju znaša vrednost

potrebne negativne armature As,potr = 0,64 cm2, v drugem polju pa As,potr = 1,70 cm2. Po

pregledu izpisa dimenzioniranja ter neodvisne kontrole računsko potrebne armature (v tem

primeru je pozitivna računsko potrebna armatura enaka, negativne armature program ni

izračunal) sklepamo, da prihaja do razlike zaradi zaradi numerične napake.

Tabela 3.7: Dimenzioniranje Tower, ekscentrični model

Upogib As,potr polje 1 [cm2] As,potr polje 2 [cm2] As,potr podpora B [cm2]

6,10 16,23 7,95

Strig Asw/s podpora A [cm2/m] Asw/s podpora B [cm2/m] Asw/s podpora C [cm2/m]

5,02 9,59 8,86

Upogibnih momentov v plošči v tem primeru nismo prikazali posebej. Povsod v polju je

ujemanje dobro. Nekaj razhajanja prihaja pri negativnih upogibnih momentih My na

območju sodelujoče širine, ki so približno za 20 % večji v primerjavi s predhodnim

modelom. Razliko gre pripisati večjemu prerezu nosilca, ki smo ga modelirali. Posledično

ima nosilec večjo togost in prevzame nase večjo obremenitev. V primerjavi s predhodnim

modelom se za približno 20 % zmanjšajo konice negativnih upogibnih momentov na

območju prekinjene podpore v bližini sodelujoče širine.


3.4 Analiza v programu Sofistik

Pomembni parametri pri modeliranju:

• Pri mreženju smo uporabili velikost mreže končnih elementov približno 0,30–0,40

m.

• Nosilec je modeliran v treh različnih prerezih (v prvem polju s sodelujočo širino

2,50 m, v drugem s sodelujočo širino 3,06 m, nad podporo pa s sodelujočo širino

0,60 m).

• Nosilec smo modelirali kot T prerez, ekscentrično priključen na mrežo končnih

elementov.

• V izogib podvajanja togosti in lastne teže smo definirali na območju sodelujoče

širine ortotropno ploščo (plošča nosilna samo v eni smeri), ki ima v ustrezni smeri

reduciran modul elastičnosti ter debelino. Reducirana je tudi specifična teža.

Slika 3.27: Primer prereza nosilca s podano armaturo in strižnimi prerezi


Notranje statične količine nosilca

Slika 3.28: Ovojnica upogibnih momentov

Slika 3.29: Ovojnica prečnih sil


Slika 3.30: Ovojnica osnih sil

Upogibni momenti v plošči

Slika 3.31: Upogibni momenti v plošči; Mxx,max slika levo, Mxx,min slika desno


Slika 3.32: Upogibni momenti v plošči; Myy,max slika levo, Myy,min slika desno

Slika 3.33: Potek upogibnih momentov Mxx,min nad območjem prekinjene podpore


Dimenzioniranje nosilca

Pri dimenzioniranju na upogib v polju smo upoštevali v prerezu konstrukcijsko armaturo

zgoraj 2Ø12 (As = 2,26 cm2), v prerezu nad vmesno podporo pa smo predpostavili

armaturo spodaj 5Ø12 (As = 5,65 cm2).

Slika 3.34: Potrebna upogibna armatura As

Slika 3.35: Potrebna strižna armatura Asw z upoštevanjem cotθ = 1,0

Slika 3.36: Potrebna prečna armatura Asf z upoštevanjem cotθ = 1,0


3.5 Analiza v programu Frilo

Najprej smo modelirali nosilec s ploščo v modulu PLT, ki je namenjen računu plošč.

Nosilec smo nato izvozili v modul DLT, ki je namenjen podrobnejši analizi nosilca. Le-

tega smo modelirali v treh različnih prerezih, s čimer smo upoštevali pravilno razporeditev

togosti v nosilcu. Nosilce v plošči program obravnava centrično s povečanim vztrajnostnim

momentom, upoštevajoč Steinerjevo pravilo. V modulu PLT ni možno modelirati stojine

nosilca na spodnjem robu razširjeno, zato smo upoštevali povečano celotno širino stojine

tako, da ustreza vztrajnostni moment stojine pod ploščo glede na srednjo ravnino plošče

dejanskemu vztrajnostnemu momentu prereza stojine. S tem smo dobili pravilno razmerje

razporeditve togosti med nosilcem in ploščo. Dimenzije stojine nosilca so razvidne s slike

3.37. Po izvozu nosilca v modul DLT smo uporabili dejanski (poenostavljen) prerez

stojine, s tem pa smo dobili tudi pravilni prerez za dimenzioniranje.

Slika 3.37: Primerjava dejanskega in modeliranega prereza stojine

Notranje statične količine nosilca

Slika 3.38: Ovojnica upogibnih momentov v nosilcu


Slika 3.39: Ovojnica prečnih sil v nosilcu

Dimenzioniranje nosilca

Slika 3.40: Računsko potrebna upogibna armatura

Pri dimenzioniranju na strig v stojini smo uporabili vrednost kota tlačnih razpor cotθ = 1,0.

Slika 3.41: Računsko potrebna strižna armatura (strig v stojini)

Tabela 3.8: Dimenzioniranje na strig med stojino in pasnico


Upogibni momenti v plošči

Slika 3.42: Pozitivni upogibni momenti v plošči Mmax

Slika 3.43: Negativni upogibni momenti v plošči Mmin


3.6 Analiza in primerjava rezultatov

3.6.1 Primerjava rezultatov za nosilec

Tabela 3.9: Primerjava notranjih sil v nadomestnem T prerezu

NSK (MSN) Analitični izračun

Tower centrični model

Tower ekscentrični

model

Sofistik ekscentrični

model

Frilo centrični model

max M1 [kNm] 195,77 173,84 176,85 195,89 200,9

max M2 [kNm] 439,23 446,14 458,62 450,38 478,5

min MB [kNm] –557,69 –441,95 –323,26 –359,89 –369,2

max VA [kN] 171,67 123,91 129,17 145,25 138,6

min VB,l [kN] –333,37 –203,56 –190,02 –235,40 –193,0

max VB,d [kN] 387,78 256,05 252,17 286,74 247,1

min VC [kN] –258,87 –222,85 –230,51 –235,34 –232,9

max N1 [kN] / / –2,03 161,8 /

max N2 [kN] / / 31,99 354,3 /

min NB [kN] / / –340,37 –468,4 /

Graf 3.1: Primerjava upogibnih momentov

-600

-400

-200

0

200

400

600

max M1 [kNm] max M2 [kNm] min MB [kNm]

195,77

439,23

-557,69

173,84

446,14

-441,95

176,85

458,62

-323,26

195,89

450,38

-359,89

200,9

478,5

-369,2

Analitični izračun


Tower ekscentrični model

Sofistik ekscentrični model



Graf 3.2: Primerjava prečnih sil

Graf 3.3: Primerjava osnih sil

Vzrok razhajanj NSK v primerjavi z literaturo je predvsem zaradi različnih modelov. V

analitičnem izračunu smo uporabili linijski sistem s konstantno togostjo nosilca skozi

celoten razpon. V programih je upoštevana pravilna razporeditev togosti nad vmesno

podporo. Modeli se med seboj razlikujejo tudi po načinu priključitve. Centrični sistem ne

zajame dejanskega stanja, posledično so drugačne tudi vrednosti upogibnih momentov nad

vmesno podporo.

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

max VA[kN]

min VB,l[kN]

max VB,d[kN]

min VC [kN]

171,67

-333,37

387,78

-258,87

123,91

-203,56

256,05

-222,85

129,17

-190,02

252,17

-230,51

145,25

-235,4

286,74

-235,34

138,6

-193

247,1

-232,9






-500-400-300-200-100

0100200300400

max N1 [kN] max N2 [kN] min NB [kN]-2,03

31,99

-340,37

161,8

354,3

-468,4




Tabela 3.10: Primerjava računsko potrebne upogibne armature v nosilcu

Enota [cm2] Analitični izračun


Tower ekscentrični

model


model


As,potr polje 1 6,75 6,02 6,10 2,26 + 7,737 6,56

As,potr polje 2 15,46 15,58 16,23 2,26 + 17,747 15,73

As,potr podpora B 19,11 16,22 7,95 5,36 + 5,657 11,78

Graf 3.4: Primerjava računsko potrebne upogibne armature

Podobno kot pri NSK je prišlo tudi pri količini računsko potrebne upogibne armature do

razlik. V ekscentričnih modelih nad vmesno podporo je ugodno delovala osna sila, kar pa

se je poznalo v končni fazi na količini računsko potrebne armature. V programu Sofistik

smo poleg upogibne armature upoštevali v izračunu še konstrukcijsko armaturo v polju ter

minimalno predpostavljeno upogibno armaturo nad vmesno podporo, ki jo je potrebno

zasidrati iz polja. Končne vrednosti armature so zato nekoliko višje.

7 Dvojno armiran prerez

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

As,potr polje 1 As,potr polje 2 As,potr podporaB

6,75

15,46

19,11

6,02

15,58 16,22

6,1

16,23

7,95

9,99

20

11,01

6,56

15,73

11,78 Analitični izračun






Tabela 3.11: Primerjava računsko potrebne strižne armature v nosilcu (strig v stojini)

Enota [cm2/m] Analitični izračun

Tower centrični

model

Tower ekscentrični

model


model


Asw/s podpora A 4,21 4,70 5,02 5,17 4,06

Asw/s podpora B / / 9,59 12,36 /

Asw/s podpora B,l 10,33 / / / 6,95

Asw/s podpora B,d 12,39 9,69 / / 9,14

Asw/s podpora C 7,60 8,44 8,86 9,17 7,40

Graf 3.5: Primerjava računsko potrebne strižne armature (strig v stojini)

Vrednosti v vseh izračunih veljajo za vrednost kota tlačnih razpor cotθ = 1,0. Količina

strižne armature se razlikuje med posameznimi modeli predvsem zaradi različnih vrednosti

prečnih sil. V programu Sofistik smo ugotovili, da se ekstremna vrednost računsko

potrebne strižne armature nad vmesno podporo ne nahaja na tem mestu, pač pa nekoliko

proti polju 2. Razlog za to je vpliv sosednjega prereza z večjo količino vzdolžne armature.

0

2

4

6

8

10

12

14

Asw/s podpora A Asw/s podpora B Asw/s podpora C

4,21

12,39

7,6

4,7

9,69

8,44

5,02

9,59 8,86

5,17

12,36

9,17

4,06

9,14

7,4







Tabela 3.12: Primerjava računsko potrebne prečne armature v pasnici

Enota [cm2/m] Analitični izračun


Tower ekscentrični

model


model


Asf/s polje 1 Tlak 2,10 / / 2,22 1,80

Asf/s polje 1 Nateg

3,30 / / 18,81 /

Asf/s polje 2 Tlak 4,40 / / 5,83 2,80

Asf/s polje 2 Nateg

3,34 / / 18,81 /

Graf 3.6: Primerjava računsko potrebne prečne armatre v pasnici

Vrednosti v vseh izračunih veljajo za vrednost kota tlačnih razpor cotθ = 1,0. V programu

Tower ni možno dimenzioniranje na strig na stiku med stojino in pasnico. V primerjavi z

analitičnim izračunom smo dobili najvišje vrednosti s programom Sofistik. Razlog se

nahaja v natančnejšem postopku, ki je uporabljen v programu. Sofistik namreč izračuna

spremembo normalne sile na podlagi razdelitve nosilca na posamezne dele. V našem

primeru smo nosilec v programu razdelili na posamezne elemente dolžine približno 30–40

cm. V analitičnem postopku smo nosilec razdelili zgolj na ustrezne razdalje med

momentnimi ničelnimi točkami, kot to navaja standard [3]. Za dodatno pojasnilo glede

rezultata v programu Sofistik nad vmesno podporo bi bila potrebna dodatna poglobitev v

delovanje programa. Po pregledu izpisa smo ugotovili, da je program vrnil na območju

tlačene pasnice v obeh poljih največjo potrebno prečno armaturo na območju

02468

101214161820

Asf/s polje 1Tlak

Asf/s polje 1Nateg

Asf/s polje 2Tlak

Asf/s polje 2Nateg

2,1 3,3

4,4 3,34

0 0 0 0 0 0 0 0 2,22

18,81

5,83

18,81

1,8 0

2,8

0







maksimalnega pozitivnega upogibnega momenta. Na tem mestu ne poteka največja

sprememba normalne sile v pasnici, pač pa na razdalji od podpore proti mestu

maksimalnega pozitivnega upogibnega momenta, zato smatramo te ekstremne vrednosti

potrebne armature kot posledico numerične napake. Frilo je omogočal v trenutni verziji

programa dimenzioniranje samo za tlačene pasnice. Postopek, uporabljen v programu

Frilo, je enak, kot smo ga uporabili v analitičnem izračunu, vendar so vrednosti potrebne

prečne armature v pasnici nekoliko manjše zaradi razlik v vrednostih upogibnih

momentov.


3.6.2 Primerjava rezultatov za ploščo

Tabela 3.13: Primerjava upogibnih momentov v plošči

Enota [kNm] Analitični izračun

Tower centrični

model


model

Frilo centrični

model

Pozicija 101 Mx 20,34 20,79 20,99 20,6

My 14,29 14,31 14,48 14,1

Pozicija 102 Mx 19,50 27,87 26,51 27,1

My 25,97 25,53 25,33 25,4

Pozicija 103 Mx 14,03 15,73 15,80 15,3

My 15,16 16,93 17,09 16,5

Pozicija 104 Mx 11,90 20,66 19,26 19,3

My 23,79 24,38 23,82 23,8

Podpora 101 – 1028 Mx –44,59 –51,20 –50,48 –50,9

Podpora 101 – 1039 My –35,15 –26,72 –25,46 –26,8

Podpora 102 – 1049 My –48,74 –27,86 –28,93 –30,6

Območje prekinjene

podpore

Mxrm –24,02 –14,60 –13,93 –16,7

Mxer –48,10 –83,68 –76,72 –57,1

Myem 12,04 17,97 18,34 16,8

Myer –55,04 –74,69 –69,95 –49,8

8 Podpora 101 – 102, podpora med pozicijo 101 in 102, analogno velja za ostale podpore (glej sliko 3.44). 9 Podpora 101 – 103, v analitičnem izračunu je na mestu med pozicijo 101 in 103 podpora, v računalniških modelih je na tem mestu nosilec, enako velja za podporo 102 – 104.


Slika 3.44: Shema pozicij

Pri računu s tabelami smo uporabili predpostavko, da je nosilec dovolj tog za računanje s

tabelami. Pri upogibnih momentih v polju v poziciji 101 je predpostavka držala, saj so bili

rezultati primerljivi, razlike pa so se kazale že v poziciji 102. Nosilec namreč ni dovolj tog,

da bi se sistem obnašal kot sistem s podporo na mestu, kjer poteka nosilec. Upogibni

moment v krajši smeri razpona je zato manjši kot v daljši smeri razpona. Podobno je bilo

tudi obnašanje upogibnih momentov v ostalih dveh pozicijah, 103 in 104. Prav tako je

prihajalo do večjega razhajanja pri negativnih momentih. Ujemanje med pozicijo 101 in

102 je dobro, večje upogibne momente vrnejo s programi dobljeni rezultati v primerjavi z

analitičnim izračunom. Pri negativnih momentih nad nosilcem pa je stanje obrnjeno. Večje

vrednosti je dal analitični izračun, medtem ko so rezultati izračuna iz programov povsod

vrnili manjše vrednosti negativnega momenta. Slednje so tudi realnejše, saj je v računu

upoštevano dejansko razmerje med togostjo nosilca in plošče, česar pri analitičnem

izračunu ni. V območju prekinjene podpore smo dobili dokaj visoke negativne upogibne

momente, ki so odvisni med drugim tudi od gostote mreže končnih elementov in načina

podpiranja (togost podpore). Odstopanje v konicah negativnih momentov med

posameznimi programi je lahko posledica različnega velikostnega reda pri upoštevanju

absolutne togosti podpore s strani programov. V polju je ujemanje med programi dobro.


4 T NOSILEC PREKO DVEH POLJ

4.1 Osnovni podatki

Obravnavan je armiranobetonski T nosilec preko dveh polj. Primer smo povzeli po

literaturi [10]. Namen je primerjati rezultate iz programov z rezultati analitičnega izračuna

iz literature. Nosilec je v celoti obravnavan s programi v mejnem stanju nosilnosti (MSN)

in uporabnosti (MSU).

Slika 4.1: Osnovni podatki

Obtežba:

g = 50,0 kN/m (stalna)

q = 20,0 kN/m (spremenljiva)

Spremenljiva obtežba je koristna obtežba (pisarne); v skladu s [1], preglednico A.1.1,

velja: ψ0 = 0,7 ; ψ1 = 0,5 ; ψ2 = 0,3


Materiali:

Beton: C35/45

Jeklo: B500-B

Linearni koeficient lezenja betona φ (∞, t0) = φ (∞, 14 dni) = 2,20

Nelinearni koeficient lezenja betona φnl (∞, t0) = φnl (∞, 14 dni) = 3,72

Celotna končna deformacija zaradi sušenja in avtogenega krčenja εcs,∞ = 0,40 ∙ 10-3

Razred izpostavljenosti betona XC1

Geometrijski podatki:

Slika 4.2: Statični sistem

Slika 4.3: Sodelujoča širina

Zaščitni sloj cnom = 38 mm

Oddaljenost težišča armature do spodnjega oz. zgornjega roba a = 70 mm

Statična višina d = h – a = 90 – 7 = 83 cm

Obremenitve:

Slika 4.4: Obtežni primeri


Mejno stanje nosilnosti (MSN)

∑ 𝛾𝐺 ,𝑗𝑗≥1 𝐺𝑘,𝑗 + 𝛾𝑃𝑃 + 𝛾𝑄 ,1𝑄𝑘,1 + ∑ 𝛾𝑄,𝑖𝜓0,𝑖𝑄𝑘,𝑖𝑖>1

Upoštevano je samo neugodno delovanje obtežbe: 𝛾𝐺 ,𝑗 = 1,35, 𝛾𝑄,1 = 1,50.

Mejno stanje uporabnosti (MSU)

Karakteristična kombinacija vplivov:

∑ 𝐺𝑘,𝑗𝑗≥1 + 𝑃 + 𝑄𝑘,1 + ∑ 𝜓0,𝑖𝑄𝑘,𝑖𝑖>1

Pogosta kombinacija vplivov:

∑ 𝐺𝑘,𝑗𝑗≥1 + 𝑃 + 𝜓1,1𝑄𝑘,1 + ∑ 𝜓2,𝑖𝑄𝑘,𝑖𝑖>1

Navidezno stalna kombinacija vplivov:

∑ 𝐺𝑘,𝑗𝑗≥1 + 𝑃 + ∑ 𝜓2,𝑖𝑄𝑘,𝑖𝑖≥1

Kontrola napetosti

Kontrola napetosti v betonu in armaturi se izvede v skladu s karakteristično in navidezno

stalno kombinacijo vplivov. Za preprečitev pojava vzdolžnih in drugih nesprejemljivih

razpok ter pretiranih deformacij, ki vplivajo na trajnost in izgled konstrukcije, je potrebno

omejiti tlačne napetosti v betonu in natezne napetosti v armaturi pri karakteristični

kombinaciji vplivov. Teorijo linearnega lezenja betona se lahko upošteva, v kolikor so

napetosti v dopustni meji v skladu z navidezno stalno kombinacijo vplivov. [3]

𝜎𝑐 ≤ 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑘 (karakteristična kombinacija); 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑘 = 21,0 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑠 ≤ 0,8 ∙ 𝑓𝑦𝑘 (karakteristična kombinacija); 0,8 ∙ 𝑓𝑦𝑘 = 400,0 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑐 ≤ 0,45 ∙ 𝑓𝑐𝑘 (navidezno stalna kombinacija); 0,45 ∙ 𝑓𝑐𝑘 = 15,8 𝑀𝑃𝑎

Kontrola razpok

Zaradi zagotavljanja trajnosti, funkcionalnosti in povzročitve nesprejemljivega videza

konstrukcije je potrebno omejiti širine razpok v skladu z navidezno stalno kombinacijo. [3]

V našem primeru je veljalo:

𝑤𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,4 mm


Kontrola povesov

Glede na [3], podpoglavje 7.4.1, se videz in splošna uporabnost lahko poslabšata, če

računski poves grede pod vplivom navidezno stalne obtežbe preseže 1/250 razpetine.

4.2 Analiza v programu Tower

Pri modeliranju smo upoštevali ustrezno sodelujočo širino v vseh prerezih (tudi nad

vmesno podporo). Posledica tega je pravilna razporeditev togosti med posameznimi deli

nosilca.

Slika 4.5: 3D model nosilca – Tower

4.2.1 Mejno stanje nosilnosti

Slika 4.6: Ovojnica upogibnih momentov [kNm]


Slika 4.7: Ovojnica prečnih sil [kN]

Slika 4.8: Računsko potrebna upogibna armatura [cm2]

Slika 4.9: Računsko potrebna strižna armatura (strig v stojini) [cm2]

4.2.2 Mejno stanje uporabnosti

Kontrola v mejnem stanju uporabnosti je mogoča v trenutni verziji programa samo z

dejansko položeno armaturo. Armaturo smo položili z upoštevanjem ovojnice nateznih sil.

Povsod je upoštevan linearni količnik lezenja. Poleg koeficienta lezenja in deformacije

zaradi krčenja betona je potrebno podati tudi koeficient staranja betona, ki smo ga v našem

primeru povzeli predhodno nastavljenega (X∞=0,8). Razlog za vnos koeficienta staranja

betona je AAEMM metoda (angleško Age-Adjusted Effective Modulus Method), na

podlagi katere program upošteva spremembo modula elastičnosti betona skozi čas.

V prerezu v polju smo upoštevali:

As dej,sp = 34,36 cm2 (7Ø25)

As dej,zg = 3,08 cm2 (2Ø14 → konstrukcijska armatura)


V prerezu nad vmesno podporo smo upoštevali:

As dej,sp = 9,82 cm2 (2Ø25 → zasidrana armatura iz polja)

As dej,zg = 62,24 cm2 (5Ø25+12Ø20)

Tabela 4.1: Vrednosti upogibnih momentov v MSU

MSU kombinacija [kNm] max M1 min MB

Karakteristična 833,80 –1227,70

Navidezno stalna 633,07 –982,16

Kontrola napetosti

V trenutni verziji programa ni možna direktna kontrola napetosti z upoštevanjem

razpokanih prerezov in prispevka armature k togosti prereza. Posredno lahko preverimo

napetosti pri računu razpok in povesov, kar smo storili tudi v našem primeru. V kolikor

želimo dobiti še vrednosti napetosti za karakteristično kombinacijo vplivov, je potrebno

ponoviti postopek računa razpok in povesov za omenjeno kombinacijo. V delnem izpisu

(slika 4.10, slika 4.11) je prikazan račun razpoke, s katerega so razvidne tudi napetosti v

betonu in armaturi v začetnem času t = 0. Izračun napetosti je prikazan samo za navidezno

stalno kombinacijo, za karakteristično kombinacijo so navedene vrednosti pri primerjavi

rezultatov v podpoglavju 4.5.


Slika 4.10: Delni izpis izračuna razpoke v polju


Slika 4.11: Delni izpis izračuna razpoke nad vmesno podporo

Kontrola razpok

Slika 4.12: Kontrola razpok v končnem času [mm]

Kontrola povesov

Slika 4.13: Povesi v končnem času [mm]


4.3 Analiza v programu Sofistik


Nosilec smo modelirali na enak način kot v predhodnjem primeru, z upoštevanjem različne

sodelujoče širine v polju in nad vmesno podporo.

Slika 4.14: 3D model nosilca – Sofistik




Pri dimenzioniranju na upogib v polju smo upoštevali v prerezu konstrukcijsko armaturo

zgoraj 2Ø14 (As = 3,08 cm2), v prerezu nad vmesno podporo pa smo predpostavili spodaj

2Ø25 (As = 9,82 cm2).



Pri dimenzioniranju potrebne armature zaradi striga med stojino in pasnico je potrebno nad

podporo upoštevati dejansko vzdolžno armaturo. V našem primeru smo upoštevali v

območju stojine Asl,web = 19,64 cm2 (4Ø25), na vsako stran pasnice pa smo položili Asl,flange

= 19,64 cm2 (4Ø25).

Slika 4.19: Računsko potrebna armatura (strig med stojino in pasnico)






Navidezno stalna 630, 5 –990,5

Kontrola napetosti

Tabela 4.3: Kontrola napetosti – karakteristična kombinacija

Tabela 4.4: Kontrola napetosti – navidezno stalna kombinacija

Kontrola razpok

Tabela 4.5: Kontrola razpoke


Kontrola povesov

Slika 4.20: Povesi

4.4 Analiza v programu Frilo

Nosilec smo modelirali v modulu DLT na način, kjer program sam določi sodelujočo

širino. Sistemu smo podali razpon med polji, ki je potreben za določitev sodelujoče širine.

Program je v naboru funkcij ponujal možnost izbire ločenega upoštevanja sodelujoče širine

pri izračunu notranjih statičnih količin ter posebej pri dimenzioniranju. Izbrali smo samo

slednjo možnost zaradi primerjave z literaturo. Pri preračunu NSK smo imeli torej

konstantno širino pasnice skozi celoten razpon, pri dimenzioniranju pa je upoštevana tudi

ustrezna sodelujoča širina nad vmesno podporo. Razpoke v mejnem stanju uporabnosti

smo preverili v modulu B11, ki je namenjen posebej za to.

Slika 4.21: 3D žični model nosilca – Frilo





Za namen primerjave je omejen kot tlačnih razpor na θ = 45°. Možne prerazporeditve

upogibnih momentov iz podpore v polje zaradi namena primerjave rezultatov z literaturo

nismo upoštevali. Redukcija negativnega upogibnega momenta nad vmesno podporo je

zajeta samodejno s strani programa, nanjo uporabnik v trenutni verziji programa nima

vpliva. Redukcijo prečne sile ob podpori pri dimenzioniranju program ni upošteval.

Upogibna armatura je izračunana po kd postopku.




Pri dimenzioniranju potrebne prečne armature v pasnici zaradi striga med stojino in

pasnico so obravnavane le tlačno obremenjene pasnice, torej pasnice, obremenjene s

pozitivnim upogibnim momentom. Izbira naklonskega kota tlačnih razpor za pasnico v tem

primeru ni bila možna, program je pri dimenzioniranju upošteval maksimalni kot θ = 45°.

Rezultat dimenzioniranja je razviden iz spodnjega izpisa.

Tabela 4.6: Dimenzioniranje na strig med stojino in pasnico


Pri računu v mejnem stanju uporabnosti je potrebno upoštevati dejansko armaturo, ki jo

položimo v posameznih pozicijah. V kolikor tega nismo storili, je program upošteval v

računu predhodno izračunano potrebno armaturo. V našem primeru smo položili vzdolžno

armaturo z upoštevanjem ovojnice nateznih sil.

V prerezu v polju smo upoštevali:

As dej,sp = 34,36 cm2 (7Ø25)

As dej,zg = 3,08 cm2 (2Ø14 → konstrukcijska armatura)

V prerezu nad vmesno podporo smo upoštevali:

As dej,sp = 9,82 cm2 (2Ø25 → zasidrana armatura iz polja)


As dej,zg = 62,24 cm2 (5Ø25+12Ø20)




Navidezno stalna 609,5 –1020,2

Kontrola napetosti

Tabela 4.8: Kontrola napetosti pri karakteristični kombinaciji

Tabela 4.9: Kontrola napetosti betona pri navidezno stalni kombinaciji

Opazimo, da so napetosti v betonu nad vmesno podporo presežene (σc = – 23,7 MPa). Pri

računu povesov bi bilo zato potrebno upoštevati učinek nelinearnega lezenja betona na tem


območju. V trenutni verziji programa ni možno upoštevati nelinearnega lezenja samo na

določenem odseku, zato smo povsod upoštevali učinek linearnega lezenja.

Kontrola razpok

Kontrola razpoke v polju:

Kontrola razpoke nad vmesno podporo:

Kontrola povesov

Tabela 4.10: Kontrola povesov

Kjer je:

x pozicija maksimalnega povesa v izbranem polju


fEI poves v nerazpokanem stanju

fEIφ poves v nerazpokanem stanju z upoštevanjem lezenja

fEIφε poves v nerazpokanem stanju z upoštevanjem lezenja in

krčenja

fEII poves v razpokanem stanju

fEIIφ poves v razpokanem stanju z upoštevanjem lezenja

fEIIφε poves v razpokanem stanju z upoštevanjem lezenja in

krčenja

f končni poves


4.5 Analiza in primerjava rezultatov

Zaradi simetrije je obravnavano samo prvo polje nosilca.

Tabela 4.11: Primerjava notranjih statičnih količin

NSK (MSN) Literatura Tower Sofistik Frilo

max M1 [kNm] 1133,00 1169,20 1166,00 1133,00

min MB [kNm] –1823,00 –1710,02 –1725,00 –1822,90

max VA [kN] 470,10 477,90 476,90 470,10

min VB,l [kN] –745,30 –736,03 –737,20 –745,30

Graf 4.1: Primerjava notranjih statičnih količin

Razhajanja z rezultati literature so posledica neupoštevanja dejanskega razmerja togosti

(različne sodelujoče širine v polju in nad vmesno podporo) pri izračunu v literaturi. V

programu Frilo smo uporabili možnost upoštevanja različne sodelujoče širine samo pri

dimenzioniranju za namen primerjave z literaturo. V programu Tower in Sofistik smo

upoštevali pravilno razporeditev togosti nad vmesno podporo.

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

max M1 [kNm] min MB [kNm] max VA [kN] min VB,l [kN]

1133

-1823

470,1

-745,3

1169,2

-1710,02

477,9

-736,03

1166

-1725

476,9

-737,2

1133

-1822,9

470,1

-745,3

Literatura

Tower

Sofistik

Frilo


Tabela 4.12: Primerjava računsko potrebne armature U

pogi

b

Enota [cm2] Literatura Tower Sofistik Frilo

As,potr polje 1 32,40 33,17 3,08 + 33,3510 30,37

As,potr podpora B 58,70 + 6,9010 58,62 57,11 + 9,8210 59,76

Strig

stoj

ina Enota [cm2/m] Literatura Tower Sofistik Frilo

Asw/s podpora A 11,60 14,71 13,44 10,70

Asw/s podpora B 21,80 22,66 24,53 20,53

Strig

pas

nica

Enota [cm2/m] Literatura Tower Sofistik Frilo

Asf/s polje 1 2,3011 / 6,03 4,10

Asf/s podpora B 7,20 / 9,74 /

Graf 4.2: Primerjava računsko potrebne upogibne armature

Zaradi različnih upogibnih momentov je izračunana tudi različna upogibna armatura.

Ujemanje v programu Tower v primerjavi z literaturo je dobro. V programu Sofistik smo

pri izračunu upoštevali v polju še konstrukcijsko armaturo (tj. armatura v tlačni coni), nad

podporo pa predpostavljeno minimalno armaturo iz polja, zato imamo posledično nekoliko

10 Dvojno armiran prerez 11 Upoštevan kot tlačnih razpor cotθf = 2,0

010203040506070

As,potr polje 1 [cm2] As,potr podpora B [cm2]

32,4

65,6

33,17

58,62

36,43

66,93

30,37

59,76

Literatura

Tower

Sofistik

Frilo


večjo količino armature že pri računsko potrebni armaturi. Frilo je samodejno reduciral

upogibni moment nad podporo v skladu s predpisi. Razhajanje v programu Frilo v prvem

polju lahko pripišemo delovanju programa oziroma postopku, po katerem program

izračuna potrebno armaturo.

Graf 4.3: Primerjava računsko potrebne strižne armature (strig v stojini)

Nekaj razlike v količini potrebne armature pri dimezioniranju zaradi striga v stojini v

primerjavi z literaturo gre pripisati nereduciranju prečne sile ob podpori. Posledično so

programi dimenzionirali na večjo prečno silo, kar pa se pozna v končni fazi na količini

računsko potrebne armature. Dimenzioniranje na strig zaradi prečne sile je med drugim

odvisno tudi od vzdolžne armature, zato lahko delno pripišemo razliko tudi temu.

Graf 4.4: Primerjava računsko potrebne prečne armature (strig med stojino in pasnico)

Vzrok razlike med rezultati programov v primerjavi z literaturo je posledica natančnosti

izračuna. Izračun v programu Sofistik je natančnejši v primerjavi z literaturo. Razhajanje

med rezultatom programa Frilo in literature v polju 1 je posledica različnega upoštevanja

kota tlačnih razpor. Postopek izračuna v programu Frilo je enak kot v literaturi.

0

5

10

15

20

25

Asw/s podpora A [cm2/m] Asw/s podpora B [cm2/m]

11,6

21,8

14,71

22,66

13,44

24,53

10,7

20,53

Literatura

Tower

Sofistik

Frilo

0

2

4

6

8

10

Asf/s polje 1 [cm2/m] Asf/s podpora B [cm2/m]

2,3

7,2

0 0

6,03

9,74

4,1

0

Literatura

Tower

Sofistik

Frilo


Tabela 4.13: Primerjava kontrole napetosti v MSU

[MPa] Literatura Tower Sofistik Frilo Omejitev12

Karakteristična kombinacija

Polje σc –6,3 –6,67 –6,73 –12,3 –21,0

σs 294 314,9 313,92 303 400

Podpora B σc –30 –28,44 –26,95 –29,6 –21,0

σs 305 271,4 290,26 282 400

Navidezno stalna

kombinacija

Polje σc –4,7 –5,04 –5,13 –9,3 –15,8

Podpora B σc –24,5 –22,75 –22,16 –23,7 –15,8

Graf 4.5: Primerjava napetosti v jeklu za armiranje

12 Omejitev v skladu s standardom SIST EN 1992-1-1, poglavjem 7

240

250

260

270

280

290

300

310

320

σs polje [MPa] σs podpora B [MPa]

294

305

314,9

271,4

313,92

290,26

303

282 Literatura

Tower

Sofistik

Frilo


Graf 4.6: Primerjava napetosti v betonu

Razlike med napetostmi, dobljenimi s programi, nastanejo zaradi različnih obremenitev in

različnega delovanja programov. Napetosti v betonu so v karakteristični kombinaciji

prekoračene. Priporočljivo je objetje tlačne cone s stremeni oziroma povečanje krovnega

sloja armature v tlačni coni. [3] Napetosti jekla so v dopustnih mejah. V navidezno stalni

kombinaciji vplivov so prekoračene napetosti v betonu nad vmesno podporo. Posledično je

potrebno upoštevati teorijo nelinearnega lezenja na tem območju. Tako visoke napetosti so

prekoračene samo v manjšem območju nad podporo, zato nelinearno lezenje nima večjega

vpliva na pomike v polju. [10]

Tabela 4.14: Primerjava razpok in povesov v MSU

[mm] Literatura Tower Sofistik Frilo Omejitev13

Navidezno stalna

kombinacija

Polje w14 0,26 0,20 0,18 0,252 0,4

Podpora B w12 0,35 0,18 0,32 0,299 0,4

Polje f15 20,30 25,16 4,67 19,3 48,9

13 Omejitev v skladu s standardom SIST EN 1992-1-1, poglavjem 7 14 w – razpoka 15 f – poves

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0σs polje [MPa] σs podpora B

[MPa] σs polje [MPa] σs podpora B

[MPa] -6,3

-30

-4,7

-24,5

-6,67

-28,44

-5,04

-22,75

-6,73

-26,95

-5,13

-22,16

-12,3

-29,6

-9,3

-23,7

Karakteristična kombinacija Navidezno stalna kombinacija

Literatura

Tower

Sofistik

Frilo


Graf 4.7: Primerjava izračuna razpok v betonu

Tower vrne dokaj nižji rezultat širine razpoke nad vmesno podporo v primerjavi z

literaturo. Delno gre razliko pripisati faktorju staranja betona, ki ga je potrebno podati pred

izračunom. Zaradi nepoznavanja postopka, po katerem program izračuna razpoke, ni

mogoče podrobneje ugotoviti, zakaj je prišlo do takšnih razlik. Sofistik vrne rezultat

razpoke nad podporo, ki je primerljiv z literaturo. Razhajanje rezultata razpoke v polju v

primerjavi z literaturo je posledica delovanja programa. Frilo vrne z literaturo primerljiv

rezultat razpoke v polju. Stanje pa se spremeni nad vmesno podporo. Po pregledu izpisa iz

programa Frilo smo ugotovili, da je program izračunal drugačno vrednost višine

učinkovitega dela betonskega prereza v natezni coni heff, ki je manjša od dejanske.

Posledično se spremeni tudi površina Ac,eff, kar je tudi vzrok za manjšo končno vrednost

izračunane razpoke.

Graf 4.8: Primerjava povesov

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

w polje [mm] w podpora B [mm]

0,26

0,35

0,2 0,18 0,18

0,32

0,252 0,299

Literatura

Tower

Sofistik

Frilo

0

5

10

15

20

25

30

f [mm]

20,3

25,16

4,67

19,3 Literatura

Tower

Sofistik

Frilo


Nekoliko večji rezultat vrne program Tower, kar je lahko posledica postopka, ki ga

uporablja program. Poves v programu Sofistik je izračunan na podlagi linearne teorije

elastičnosti brez upoštevanja količnika lezenja. Postopek izračuna povesa z upoštevanjem

reologije betona v Sofistiku zahteva dodatna teoretična znanja o reologiji, kar pa presega

okvir te diplomske naloge. Ujemanje povesa s programom Frilo v primerjavi z literaturo je

zadovoljivo. Vrednost povesa brez upoštevanja krčenja je nekoliko nižja, šele z

upoštevanjem krčenja se rezultat približa vrednosti iz literature. Pri računu povesa v

programu Frilo in Tower smo uporabili linearni količnik lezenja. Rezultat povesa iz

literature, ki smo ga uporabili za primerjavo, je dobljen z upoštevanjem linearne teorije

lezenja.

Razlika z upoštevanjem nelinearnega lezenja na delu nad vmesno podporo znaša zgolj 0,5

mm (f = 20,80 mm). [10]


5 SKLEP

V diplomskem delu smo se seznanili z modeliranjem in dimenzioniranjem

armiranobetonskih T nosilcev. O armiranobetonskih T nosilcih je govora, ko v primeru

monolitne izvedbe pride do sodelovanja plošče in rebra (nosilca) pod ploščo. Opis

dejanskega stanja sodelovanja nosilca in plošče je kompleksen problem, ki ga najlažje

opišemo in rešimo s pomočjo ustreznih računalniških programov. Ti se med seboj lahko

zelo razlikujejo po načinu dela oziroma vnosu podatkov v program. Zmogljivejši kot je

program, več znanja zahteva od uporabnika. V našem primeru smo izbrali programe

Tower, Frilo in Sofistik. Prva dva sta v rangu srednje zmogljivosti, v primeru programa

Sofistik pa gre za zmogljivejši program, ki od uporabnika zahteva veliko predznanja.

Pred začetkom dela v programih smo najprej spoznali teoretične osnove modeliranja in

dimenzioniranja armiranobetonskih T nosilcev. Le-te lahko modeliramo v plošči na več

različnih načinov. Modeli so odvisni predvsem od zmogljivosti programov. V poglavju 3

smo najprej izvedli analitični izračun ter nato še izračune s pomočjo programov, kjer smo

modelirali nosilec v plošči na dva načina. V programu Tower smo obravnavali centrično

priključitev nosilca na mrežo končnih elementov plošče in ekscentrično priključitev T

nosilca na mrežo končnih elementov ortotropne plošče v območju sodelujoče širine. V

programu Sofistik smo obravnavali ekscentrično priključitev nosilca na mrežo končnih

elementov ortotropne plošče v območju sodelujoče širine. V programu Frilo smo lahko

nosilec v plošči obravnavali samo ravninsko, torej centrično priključitev. Analitično

kontrolo smo izvedli na linijskem modelu nosilca. V programih smo upoštevali pravilno

razporeditev togosti med posameznimi deli nosilca, v analitičnem izračunu pa smo

upoštevali konstantno togost skozi celoten razpon. Posledično je prihajalo do razhajanja

predvsem v območju nad vmesno podporo. Razlike v NSK med analitičnim modelom in

računalniškimi modeli znašajo predvsem zaradi vplivne površine obtežbe, ki zapade na

nosilec. Razlika v upogibnih momentih je prikazana na grafu 5.1.


Graf 5.1: Primerjava upogibnih momentov v nosilcu

V ekscentričnem modelu je zajeto dejansko stanje, zato je tudi količina računsko potrebne

upogibne armature na tem območju manjša kakor v centričnih modelih. Razlika je

prikazana na grafu 5.2.

Graf 5.2: Primerjava računsko potrebne armature nad vmesno podporo v nosilcu

Ujemanje upogibnih momentov v plošči med posameznimi programi je povsod dobro. Do

razhajanja je prišlo pri analitičnem izračunu upogibnih momentov v plošči, ki je temeljil na

predpostavki, da je nosilec dovolj tog za računanje s tabelami. Izkazalo se je, da temu ni

povsod tako. Za pravilnejše vrednosti upogibnih momentov v plošči tako smatramo

momente, dobljene s pomočjo programov.

Nosilec v poglavju 4 smo obravnavali samo z računalniškimi programi. V programih

Tower in Sofistik smo upoštevali povsod pravilno razporeditev togosti med posameznimi

deli nosilca. Za namen primerjave smo v Frilu upoštevali enako stanje kot v literaturi. Pri

-600

-400

-200

0

200

400

600

max M1 [kNm] max M2 [kNm] min MB [kNm]

195,77

439,23

-557,69

173,84

446,14

-441,95

176,85

458,62

-323,26

195,89

450,38

-359,89

200,9

478,5

-369,2






0

5

10

15

20

As,potr podpora B

19,11 16,22

7,95 11,01 11,78




Sofistik ekscentričnimodel


izračunu NSK je upoštevana enaka razporeditev togosti skozi celotno razpetino, pri

dimenzioniranju pa dejanska razporeditev togosti nad vmesno podporo. Ujemanje NSK in

rezultatov dimenzioniranja v mejnem stanju nosilnosti je dobro. Do razhajanj pa je prišlo v

mejnem stanju uporabnosti. Program Tower je vrnil vrednost razpoke nad vmesno podporo

približno polovico manjšo v primerjavi z literaturo. Nekoliko manjša je tudi vrednost

razpoke v polju. Vrednost povesa je v primerjavi z literaturo nekoliko višja. Delno je lahko

vzrok temu postopek oziroma način izračuna razpoke in povesa v programu. Program

Sofistik je v mejnem stanju uporabnosti vrnil rezultat razpoke v polju, ki znaša 69 %

vrednosti v literaturi. Razhajanje je lahko posledica delovanja programa. Ujemanje v

programu Frilo je zadovoljivo. Vrednost povesa brez upoštevanja krčenja je nekoliko nižja

v primerjavi z literaturo. Razlike razpok so prikazane na grafu 5.3.

Graf 5.3: Primerjava izračunov razpok

V primeru odkrivanja napačnih rezultatov, ki jih je vrnil program, je bila v veliko pomoč

kvaliteta ponujenega izpisa. Ugotovili smo, da ima najobsežnejši izpis Sofistik, s čimer je

tudi lažja interpretacija rezultatov ob nujnejšem predznanju. Izpis iz programov Frilo in

Tower je za uporabnika začetnika nekoliko lažji, vendar pa smo pri programu Tower

vseeno pogrešali izpis z večjo količino podatkov in s tem lažje razumevanje vrnjenih

rezultatov in uporabljenih postopkov. Različni rezultati so posledica različnega delovanja

programov in obdelave podatkov.

Za modeliranje in interpretacijo rezultatov je potrebno teoretično poznavanje

konstrukcijskih elementov in delovanje programov. V vsakem primeru se je potrebno

zavedati, da rešitev, ki jo vrne program, ni vedno natančnejša od analitične rešitve in

obratno.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

w polje [mm] w podpora B [mm]

0,26

0,35

0,2 0,18 0,18

0,32

0,252 0,299

Literatura

Tower

Sofistik

Frilo


6 VIRI IN LITERATURA

Seznam virov in literature:

[1] SIST EN 1990:2004 – Osnove projektiranja konstrukcij, Slovenski inštitut za

standardizacijo, Ljubljana, september 2004.

[2] SIST EN 1991-1-1:2004 – Vplivi na konstrukcije: 1. Del: Splošni vplivi –

Prostorninske teže, lastna teža, koristne obtežbe stavb, Slovenski inštitut za

standardizacijo, Ljubljana, september 2004.

[3] SIST EN 1992-1-1:2005 – Projektiranje betonskih konstrukcij: 1. Del: Splošna

pravila in pravila za stavbe, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, maj

2005.

[4] Hartmann, F., Katz, C., Structural Analysis with Finite Elements, Springer, Berlin,

2007.

[5] SOFiSTiK AG, ASE – General Static Analysis of Finite Element Structures,

SOFiSTiK AG, Oberschleissheim, 2013.

[6] Rombach, G. A., Finite element design of concrete structures – practical problems

and their solutions, Thomas Telford, London, 2004.

[7] Tower 6, priročnik za uporabo.

[8] SOFiSTiK AG, priročnik za uporabo.

[9] Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen, DIN 1045. Teil 1, Bemessung von

Stabtragwerken, Grundlagen der Stahlbeton-Bemessung, 5., überarbeitete und

erweiterte Auflage, Werner Verlag, Köln, 2007.

[10] Beg, Darko, Pogačnik, Andrej, Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po

evrokod standardih, Inženirska zbornica Slovenije, Ljubljana, 2009.


[11] Schneider, K. J., Goris, A., Bautabellen fur Ingenieure Mit Berechnungshinweisen

und Beispielen, 17. Auflage,Werner Verlag, Köln, 2006.

[12] Gradbeniški priročnik, Tehniška založba Slovenije, Ljubljana, 1998.

[13] Wommelsdorff, Otto, Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion, Teil 1,

Grundlagen Biegebeanspruchte Bauteile, 5., neu bearbeitete und erweiterte

Auflage, Werner Verlag, München, 2005.

[14] Radnić, Jure, Harapin, Alen, Osnove betonskih konstrukcija – interna skripta,

Sveučilište u Splitu, Građevinsko – arhitektonski fakultet, Split, 2007.

http://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Betonske%20konstrukcije/Alen/Skripta

%20OBK.pdf [28. 12. 2013].

[15] Hahn, J., Durchlauftrager Rahmen Platten und Balken auf elasticher Bettung, 11.

Auflage, Werner Verlag, Düsseldorf, 1971.

[16] Avtor fotografije: S. Brzev,

http://www.nexus.globalquakemodel.org/gem-building-

taxonomy/overview/glossary/cast-in-place-beam-supported-reinforced-concrete-

floor--fc2 [28. 12. 2013].

[17] Frilo, priročnik za uporabo.

http://cobiss4.izum.si/scripts/cobiss?ukaz=SEAL&mode=5&id=1745101141490115&PF=AU&term=%22Wommelsdorff,%20Otto%22

http://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Betonske%20konstrukcije/Alen/Skripta%20OBK.pdf

http://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Betonske%20konstrukcije/Alen/Skripta%20OBK.pdf

http://www.nexus.globalquakemodel.org/gem-building-taxonomy/overview/glossary/cast-in-place-beam-supported-reinforced-concrete-floor--fc2%20%5b28




7 PRILOGE

7.1 Seznam slik

Slika 1.1: Monolitna izvedba plošče in nosilca – T nosilec [16] ..........................................1

Slika 2.1: Potek napetosti v prerezu [13] ............................................................................3

Slika 2.2: Sodelujoča širina, potek napetosti v prerezu [13] ................................................4

Slika 2.3: Določitev l0 za račun sodelujoče širine pasnice [3] .............................................4

Slika 2.4: Parametri za določitev sodelujoče širine pasnice [3] ...........................................5

Slika 2.5: Upoštevanje različne širine T prereza pri dimenzioniranju [13] ..........................6

Slika 2.6: Dimenzioniranje prereza kot pravokotnik [13] ....................................................6

Slika 2.7: Dimenzioniranje T prereza – približni postopek [13] ..........................................7

Slika 2.8: Dimenzioniranje T prereza – natančni postopek [13] ..........................................8

Slika 2.9: Sistem tlačnih razpor in nateznih vezi [13] ....................................................... 11

Slika 2.10: Vzdolžna strižna napetost na stiku med stojino in pasnico [13] ....................... 11

Slika 2.11: Notranje sile v ploskovnih (plošča) in linijskih (nosilec) elementih ................. 12

Slika 2.12: Modeliranje nosilca v plošči ........................................................................... 13

Slika 2.13: Določitev ekvivalentnega nosilca – povzeto po [6] ......................................... 14

Slika 2.14: Razmerje vztrajnostnih momentov za upoštevanje dimenzioniranja [6] .......... 14

Slika 2.15: Pozicija nosilca glede na ploščo [4] ................................................................ 16

Slika 2.16: Prikaz notranjih sil v plošči in nosilcu ............................................................ 18

Slika 3.1: Geometrijske lastnosti plošče in nosilca............................................................ 19

Slika 3.2: Učinkovita razpetina pri različnih pogojih podpiranja [3] ................................. 20

Slika 3.3: Raznos obtežbe ................................................................................................ 23


Slika 3.4: Prispevne površine obtežbe na nosilec ............................................................. 24

Slika 3.5: Obtežni primeri ................................................................................................ 26

Slika 3.6: Primerjava vplivne površine............................................................................. 28

Slika 3.7: Razdelitev plošče na posamezne pozicije ......................................................... 29


momentov nad podporo ................................................................................................... 30


momentov nad podporo ................................................................................................... 31

Slika 3.10: Določitev upogibnih momentov v območju prekinjene podpore [12] .............. 33

Slika 3.11: Upogibni momenti v plošči – analitični izračun.............................................. 34

Slika 3.12: Nadomestni statični sistem ob prerazporeditvi................................................ 36

Slika 3.13: Učinkovita armatura v obravnavanem prerezu [3] .......................................... 41

Slika 3.14: Grafični prikaz rezultatov dimenzioniranja na prečno silo .............................. 49

Slika 3.15: Strig med stojino in ploščo [3] ....................................................................... 52

Slika 3.16: Razdelitev odsekov za izračun strižnih napetosti ............................................ 55

Slika 3.17: Modeliranje grede .......................................................................................... 59

Slika 3.18: 3D model plošče z mrežo končnih elementov ................................................. 59

Slika 3.19: NSK v gredi brez prispevka plošče, centrična priključitev .............................. 60

Slika 3.20: Izpis iz programa Tower, dimenzioniranje na upogib in strig ......................... 61

Slika 3.21: Izpis iz programa Tower, dimenzioniranje v podporah B in C ........................ 62

Slika 3.22: Ovojnica pozitivnih upogibnih momentov ...................................................... 63

Slika 3.23: Ovojnica negativnih upogibnih momentov ..................................................... 63

Slika 3.24: Potek upogibnih momentov v območju prekinjene podpore ........................... 63

Slika 3.25: NSK v T nosilcu ............................................................................................ 64

Slika 3.26: Računsko potrebna armatura .......................................................................... 65

Slika 3.27: Primer prereza nosilca s podano armaturo in strižnimi prerezi ........................ 66


Slika 3.28: Ovojnica upogibnih momentov ....................................................................... 67

Slika 3.29: Ovojnica prečnih sil ....................................................................................... 67

Slika 3.30: Ovojnica osnih sil ........................................................................................... 68

Slika 3.31: Upogibni momenti v plošči; Mxx,max slika levo, Mxx,min slika desno ................. 68

Slika 3.32: Upogibni momenti v plošči; Myy,max slika levo, Myy,min slika desno ................. 69

Slika 3.33: Potek upogibnih momentov Mxx,min nad območjem prekinjene podpore .......... 69

Slika 3.34: Potrebna upogibna armatura As ...................................................................... 70

Slika 3.35: Potrebna strižna armatura Asw z upoštevanjem cotθ = 1,0 ............................... 70

Slika 3.36: Potrebna prečna armatura Asf z upoštevanjem cotθ = 1,0 ................................ 70

Slika 3.37: Primerjava dejanskega in modeliranega prereza stojine .................................. 71

Slika 3.38: Ovojnica upogibnih momentov v nosilcu ........................................................ 71

Slika 3.39: Ovojnica prečnih sil v nosilcu......................................................................... 72

Slika 3.40: Računsko potrebna upogibna armatura ........................................................... 72

Slika 3.41: Računsko potrebna strižna armatura (strig v stojini) ....................................... 72

Slika 3.42: Pozitivni upogibni momenti v plošči Mmax ...................................................... 73

Slika 3.43: Negativni upogibni momenti v plošči Mmin ..................................................... 73

Slika 3.44: Shema pozicij ................................................................................................. 81

Slika 4.1: Osnovni podatki ............................................................................................... 82

Slika 4.2: Statični sistem .................................................................................................. 83

Slika 4.3: Sodelujoča širina .............................................................................................. 83

Slika 4.4: Obtežni primeri ................................................................................................ 83

Slika 4.5: 3D model nosilca – Tower ................................................................................ 85

Slika 4.6: Ovojnica upogibnih momentov [kNm] ............................................................. 85

Slika 4.7: Ovojnica prečnih sil [kN] ................................................................................. 86

Slika 4.8: Računsko potrebna upogibna armatura [cm2] .................................................... 86

Slika 4.9: Računsko potrebna strižna armatura (strig v stojini) [cm2] ................................ 86


Slika 4.10: Delni izpis izračuna razpoke v polju ............................................................... 88

Slika 4.11: Delni izpis izračuna razpoke nad vmesno podporo ......................................... 89

Slika 4.12: Kontrola razpok v končnem času [mm] .......................................................... 89

Slika 4.13: Povesi v končnem času [mm] ......................................................................... 89

Slika 4.14: 3D model nosilca – Sofistik ........................................................................... 90

Slika 4.15: Ovojnica upogibnih momentov ...................................................................... 90




Slika 4.19: Računsko potrebna armatura (strig med stojino in pasnico) ............................ 91

Slika 4.20: Povesi ............................................................................................................ 93

Slika 4.21: 3D žični model nosilca – Frilo ....................................................................... 93

Slika 4.22: Ovojnica upogibnih momentov ...................................................................... 94




7.2 Seznam preglednic

Tabela 3.1: Maksimalne vrednosti NSK v nosilcu ............................................................ 27

Tabela 3.2: Primerjava računsko potrebne upogibne armature .......................................... 40

Tabela 3.3: Primerjava rezultatov izračuna ob skrajnih vrednostih cot θ ........................... 50

Tabela 3.4: Primerjava računsko potrebne strižne armature .............................................. 51

Tabela 3.5: Primerjava NSK nosilca z upoštevanjem prispevka plošče............................. 60

Tabela 3.6: Dimenzioniranje Tower, centrični model ....................................................... 62

Tabela 3.7: Dimenzioniranje Tower, ekscentrični model .................................................. 65


Tabela 3.8: Dimenzioniranje na strig med stojino in pasnico ............................................ 72

Tabela 3.9: Primerjava notranjih sil v nadomestnem T prerezu ......................................... 74

Tabela 3.10: Primerjava računsko potrebne upogibne armature v nosilcu ......................... 76

Tabela 3.11: Primerjava računsko potrebne strižne armature v nosilcu (strig v stojini) ..... 77

Tabela 3.12: Primerjava računsko potrebne prečne armature v pasnici ............................. 78

Tabela 3.13: Primerjava upogibnih momentov v plošči .................................................... 80

Tabela 4.1: Vrednosti upogibnih momentov v MSU ......................................................... 87


Tabela 4.3: Kontrola napetosti – karakteristična kombinacija ........................................... 92

Tabela 4.4: Kontrola napetosti – navidezno stalna kombinacija ........................................ 92

Tabela 4.5: Kontrola razpoke ........................................................................................... 92

Tabela 4.6: Dimenzioniranje na strig med stojino in pasnico ............................................ 95


Tabela 4.8: Kontrola napetosti pri karakteristični kombinaciji .......................................... 96

Tabela 4.9: Kontrola napetosti betona pri navidezno stalni kombinaciji ............................ 96

Tabela 4.10: Kontrola povesov ......................................................................................... 97

Tabela 4.11: Primerjava notranjih statičnih količin ........................................................... 99

Tabela 4.12: Primerjava računsko potrebne armature ..................................................... 100

Tabela 4.13: Primerjava kontrole napetosti v MSU ........................................................ 102

Tabela 4.14: Primerjava razpok in povesov v MSU ........................................................ 103

7.3 Seznam grafov

Graf 3.1: Primerjava upogibnih momentov ....................................................................... 74

Graf 3.2: Primerjava prečnih sil........................................................................................ 75

Graf 3.3: Primerjava osnih sil ........................................................................................... 75


Graf 3.4: Primerjava računsko potrebne upogibne armature ............................................. 76

Graf 3.5: Primerjava računsko potrebne strižne armature (strig v stojini) ......................... 77

Graf 3.6: Primerjava računsko potrebne prečne armatre v pasnici .................................... 78

Graf 4.1: Primerjava notranjih statičnih količin ................................................................ 99

Graf 4.2: Primerjava računsko potrebne upogibne armature ........................................... 100

Graf 4.3: Primerjava računsko potrebne strižne armature (strig v stojini) ....................... 101

Graf 4.4: Primerjava računsko potrebne prečne armature (strig med stojino in pasnico) . 101

Graf 4.5: Primerjava napetosti v jeklu za armiranje ........................................................ 102

Graf 4.6: Primerjava napetosti v betonu ......................................................................... 103

Graf 4.7: Primerjava izračuna razpok v betonu .............................................................. 104

Graf 4.8: Primerjava povesov ........................................................................................ 104

Graf 5.1: Primerjava upogibnih momentov v nosilcu ..................................................... 107

Graf 5.2: Primerjava računsko potrebne armature nad vmesno podporo v nosilcu .......... 107

Graf 5.3: Primerjava izračunov razpok ........................................................................... 108


7.4 Tabele za dimenzioniranje

Tabela 7.1 za dimenzioniranje na upogib z osno silo – enojna armatura.


Tabela 7.2 za dimenzioniranje na upogib [14].


Tabela 7.3 za določitev položaja nevtralne osi in korigirane širine pasnice za

dimenzioniranje T prereza [14].


7.5 Naslov študenta

Damjan Novak

Boštanj 60 B

8294 Boštanj

Telefon: 031/269–669

E-pošta: [email protected]

7.6 Kratek življenjepis

Rojen: 26. 3. 1985 v Brežicah

Šolanje: 1992–2000 Osnovna šola Boštanj

2000–2004 Šolski center Celje, Poklicna in tehniška gradbena šola

2004–2014 Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo

mailto:[email protected]

modeliranje in dimenzioniranje armiranobetonskih t … · 2017-11-28 · delni varnostni faktor za...

Documents