Univerzitet u Nisu

Prirodnomatematicki fakultet

Departman za matematiku

MODELIRANJE BROJA STETA U

NEZIVOTNOM OSIGURANJU

MASTER RAD

MENTOR: STUDENT:

dr Marija Milosevic Aleksandra Aleksov

Nis, maj 2014.

Sadrzaj

Predgovor 3

1 Osnovni pojmovi matematicketeorije nezivotnog osiguranja 5

2 Dolazna vremena procesa prebrojavanja 92.1 Osnovni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Dolazna vremena

u slucaju Erlangove raspodele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Karakterizacija eksponencijalne raspodele . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Proces prebrojavanja 173.1 Osnovni model procesa prebrojavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Erlangov slucaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Karakterizacija Poissonovog procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Proces prebrojavanja kao proces Markova 384.1 Osnovni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Karakterizacija regularnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Mesoviti proces prebrojavanja 515.1 Osnovni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Mesoviti Poissonov proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Polya-Lundbergov proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Zakljucak 61

Literatura 63

Biografija 64

2

Predgovor

Zadatak ovog master rada jeste da prikaze neke od modela koji se koriste priproceni broja steta koje ce potencijalno nastati usled realizacije nekog rizicnog do-gadjaja. U osiguranju, rizik se definise kao sticaj okolnosti ili zbivanja, predvidjenihzakonom ili ugovorom o osiguranju, koji svojim nastupanjem ugrozava integritetimovine osiguranika. Ljudsko drustvo je od davnina uvidelo potrebu da pokusada se zastiti od nastupanja rizika, uvodeci neke preventivne mere, medjutim, bezmogucnosti da ga se u potpunosti oslobodi. Danas su na raspolaganju moderne in-formacione tehnologije, razvijenija teorija rizika i aktuarstvo, te je olaksano merenjei kvantifikacija rizika.

Osiguranje predstavlja udruzivanje svih onih koji su izlozeni istoj opasnosti,odnosno, riziku, sa teznjom da se od nje zastite. Rizik je ujedno i osnovna pret-postavka postojanja osiguranja. Dakle, moze se reci da je osiguranje delatnostpruzanja pravno-ekonomske zastite od odredjenih opasnosti koje ugrozavaju imov-inu i lica.

Nezivotno osiguranje se bavi zastitom predmeta i imovine ljudi. Primenjenamatematika u nezivotnom osiguranju naziva se Teorija rizika. Pocetkom dvadesetogveka aktuari Filip Lundberg i Harald Cramer postavili su temelj moderne teorijerizika. Predmet njenog izucavanja je modeliranje broja steta nastalih nad osigu-ranim predmetima kao i odredjivanje visine premije za odredjeni tip osiguranja. Ciljosiguravajuce kompanije je da napravi balans izmedju premijskih uplata i naknadasteta kako bi izbegla bankrot.

U ovom master radu bice prikazani odredjeni stohasticki procesi koji se koristepri modeliranju razvoja jednog portfolija osiguravaca. Ovakvo modeliranje nije jed-nostavan zadatak jer modeli cesto sadrze u sebi nekoliko stohastickih procesa, a unezivotnom osiguranju nisu samo vremena nastanka steta slucajna, vec i velicinasvake stete.

U prvoj glavi ovog master rada izlozeni su neki teorijski rezultati koji se ekspli-citno koriste u radu. U drugoj glavi je data teorija nizova dolaznih i medjudolaznihvremena koji odredjuju proces prebrojavanja. Ukazano je na prednosti i nedostatkeeksponencijalne raspodele kao modela medjudolaznih vremena. U trecoj glavi jeobradjivan proces prebrojavanja kao proces broja steta u nezivotnom osiguranju. Utom delu je poseban akcenat na Poissonovom procesu i njegovim osobinama kojesu od velikog znacaja sa aspekta primene u nezivotnom osiguranju. Na taj nacinse zakljucuje da zbog odredjenih restriktivnih svojstava, Poissonov proces ne moze

3

biti prihvacen kao opsti model broja steta u portfoliju nezivotnog osiguranja. Up-ravo to je motivacija za razmatranje njegovih uopstenja. U cetvrtoj i petoj glavise obradjuju procesi prebrojavanja koji imaju odredjena svojstva, odnosno, procesprebrojavanja kao proces Markova i mesoviti proces prebrojavanja, respektivno.

Cilj ovog master rada je sagledati kako se neki procesi prebrojavanja prakticnoprimenjuju pri modeliranju broja steta nastalih nad osiguranim objektima, kao pro-cesi broja steta. Takodje, dolazna vremena procesa prebrojavanja postaju dolaznavremena steta tj, trenuci njihovog nastanka. Na taj nacin teorijski matematickimodeli postaju instrumenti u realnom svetu.

Zelela bih da se posebno zahvalim svom mentoru, dr Mariji Milosevic, narazumevanju, nesebicnoj pomoci i podrsci prilikom izrade ovog master rada.

Glava 1

Osnovni pojmovi matematicketeorije nezivotnog osiguranja

U ovoj glavi su izlozeni neki rezultati teorije verovatnoca, stohastickih procesa iteorije rizika koji ce se primenjivati u radu.

Neka je (,F , P ) prostor verovatnoca, B(R) -algebra Borelovih skupova naEuklidskom prostoru R, Lebegova mera na skupu B(R) i T skup vrednostiparametra t.

Da bi se modelirao portfolio nezivotnog osiguranja kroz vreme potrebno jeodrediti:

- niz dolaznih vremena steta,

- proces broja steta,

- niz iznosa steta nad osiguranim predmetima,

- proces ukupne stete.

Portfolio nezivotnog osiguranja je homogen ukoliko obuhvata polise osiguranjakoje se odnose na slicne rizicne dogadjaje tako da iznosi potencijalnih steta nadosiguranim predmetima imaju istu raspodelu. Osnovnim modelom za odredjivanjebroja steta i visine premije u teoriji rizika smatra se Lundbergov model. Ovim mode-lom je pogodno opisivati glavne osobine homogenog portfolija osiguranja. Osnovnepretpostavke Lundbergovog modela su:

(i) Stete nad osiguranim predmetima nastaju u slucajnim trenucima Ti, pri cemuje 0 = T0 < T1 T2 T3 ... Slucajna promenljiva Ti predstavlja trenutaknastanka i-te stete, i cesto se naziva dolazno vreme i-te stete.

(ii) Iznos stete nastale u trenutku Ti je Xi, pri cemu su {Xi, i 1} nenegativne,nezavisne slucajne promenljive sa istom raspodelom (skraceno iid- independentidentically distributed).

(iii) Niz iznosa steta {Xi, i 1} i niz trenutaka njihovog nastanka {Ti, i 1} suuzajamno nezavisni.

5

Glava 1. Osnovni pojmovi matematicke teorije nezivotnog osiguranja 6

Drugom pretpostavkom je postignuta homogena struktura portfolija osigu-ranja, dok treca pretpostavka cini model jednostavnijim za rad.

U teoriji rizika znacajnu ulogu imaju procesi prebrojavanja, kao modeli broja stetau homogenom portfoliju nezivotnog osiguranja.

Definicija 1 Slucajan proces N = {Nt, t 0} se naziva proces prebrojavanja,ako zadovoljava sledece osobine:

(i) N0 = 0,

(ii) Nt {0, 1, 2, ...}, t 0,

(iii) t, h 0, Nt Nt+h.

Takodje, proces prebrojavanja se moze opisati i pomocu dolaznih vremena Ti, i 1.Ona predstavljaju slucajne trenutke realizacije dogadjaja ciji broj je opisan timprocesom.

Definicija 2 Proces prebrojavanja N = {Nt, t 0} se definise kao

Nt = Card{i 1 : Ti t}, t 0.

Ovako definisan slucajan proces N , pogodan je za opisivanje broja realizacija nekihslucajnih dogadjaja tokom vremena. Takodje, prirastaj tog slucajnog procesa, NtNs, t > s 0, se moze interpretirati kao broj dogadjaja koji su se realizovali uvremenskom intervalu (s, t].Broj steta nastalih u odredjenom vremenskom periodu je od velikog znacaja osi-guravajucim kompanijama. Zbog toga se u ovom radu razmatraju razliciti procesiprebrojavanja, pomocu kojih se moze opisati broj steta nad osiguranim objektima.

Proces broja nastalih steta je proces prebrojavanja na intervalu [0,), a Ntpredstavlja broj steta koje su se realizovale do trenutka t, zakljucno sa njim. Dolaznavremena procesa prebrojavanja u tom slucaju su zapravo dolazna vremena steta.

Definicija 3 Proces ukupne stete S = {SNt , t 0} se definise kao

S0 = 0 s.i., SNt =Nti=1

Xi =i=1

XiI[0,t](Ti), t 0

pri cemu je

I[0,t](Ti) =

{1, Ti [0, t],0, Ti > t.

Zapravo, opisani proces ukupne stete S predstavlja rashode osiguravajuce kom-panije. Precizno modeliranje ovog procesa je od najveceg interesa u osiguranju,sto ce u nastavku biti obrazlozeno. U tom smislu ce najpre biti navedene vazneosobine uslovnog matematickog ocekivanja i uslovne disperzije.

Glava 1. Osnovni pojmovi matematicke teorije nezivotnog osiguranja 7

Lema 1 (Dekompozicija varijanse) Neka je X slucajna promenljiva definisanana prostoru verovatnoca(,F , P ) i G F , pod--algebra od F . Ako je E[X] 0.

4. Princip standardne devijacije, analogno prethodnom principu, ukljucuje stan-dardnu devijaciju u postupak izracunavanja premije, pa je

pSDt = E[SNt ] + D[SNt ], > 0.

Glava 1. Osnovni pojmovi matematicke teorije nezivotnog osiguranja 8

Dakle, moze se primetiti da je za izracunavanje premije potrebno odrediti ocekivanuvrednost ukupne sume stete, a samim tim i ocekivanu vrednost broja steta, sto sezakljucuje iz (1.3). Takodje, neki od nacina izracunavanja premija se zasnivaju napoznavanju disperzije ukupne stete. Na osnovu (1.3) i (1.4) je jasno u kojoj meri jeznacajno proucavanje modela broja steta u portfoliju nezivotnog osiguranja.

Osnovni zadaci teorije rizika su:

(i) odredjivanje dovoljno realnih, ali jednostavnih modela za N i S, sto pod-razumeva odredjivanje raspodele iznosa steta Xi, kao i raspodele trenutakanastanka steta Ti;

(ii) odredjivanje teorijskih osobina slucajnih procesa N i S, kao sto su raspodele,momenti, asimptotsko ponasanje i priroda njihove zavisnosti.

U nastavku ce biti predstavljeni neki pojmovi i rezultati iz teorije ver