MODEL DAN SIMULASIPemodelan, Governing Equation

Dimas Firmanda Al Riza (DFA)

Pengertian Model dan Simulasi (M&S) (1) Contoh fenomena alami dan pemodelannya (2) Model konseptual (3) Persamaan Pengatur (4) Syarat batas (5) Pemecahan Numerik (6-7) Verifikasi dan Validasi model (8) Visualisasi (9) Simulasi dengan komputer(10) Model Ekosistem/Lingkungan (11) Integrasi model matematis dan GIS (12) Model DAS (13)

SILABUS

UTS

UAS

REVIEW Pengertian Model dan

Simulasi (M&S)? Contoh fenomena

alami dan pemodelannya?

Model konseptual?

Pemodelan matematis◦ Pembuatan model◦ Persamaan pengatur◦ Syarat batas◦ Penyelesaian/Solusi

…models are approximations of the real world. In turn, The model can then be modified in which simulation allows for the repeated observation of the model. (J.A. Sokolowski and C.M. Banks, 2010)

Pemodelan konduksi panas Pemodelan air tanah, ground water aquifer

MENU HARI INI

Hukum kekekalan energi:

PEMODELAN KONDUKSI PANAS

Model konseptual konduksi

Hukum Fourier untuk perpindahan panas konduksi:

PEMODELAN KONDUKSI PANAS

Model konseptual konduksi

Energi out

PEMODELAN KONDUKSI PANAS

Model konseptual konduksi

Pembangkitan energi dalam kontrol volume tersebut:

Perubahan energi dalam kontrol volume terhadap waktu:

PEMODELAN KONDUKSI PANAS

Dengan substitusi ke hukum kekekalan energi maka didapatkan persamaan umum konduksi panas (Governing Equation) sebagai berikut:

PEMODELAN AKIFER AIR TANAH Akifer (Aquifer)

Adalah suatu stratum (lapisan) geologi yang mempunyai porositas dan konduktivitas hidrolik yang cukup untuk menyimpan dan melalukan air dalam jumlah yang signifikan.

Akuitard (Aquitard)Apabila konduktivitas hidroliknya sangat kecil, sehingga memperlambat aliran air tanah.

Akiklude (Aquiclude)Apabila material memiliki porositas cukup untuk menyimpan air, akan tetapi kapasitas melalukan air sangat kecil sehingga tidak dapat membentuk sumur atau mata air.

Akifuge (Aquifuge)Apabila porositas dan konduktivitasnya tidak signifikan untuk menyimpan dan melalukan air

PEMODELAN AKIFER AIR TANAH

Jenis Aquifer Tak tertekan/terkurung

atau paras air (Unconfined aquifer)

Setengah tertekan/terkurung (Semi-confined aquifer)

Tertekan/terkurung (Confined Aquifer)

CONTOH MODEL KONSEPTUAL

Model konseptual penampang akifer dan aliran tanah untuk akifer merapi (Sleman dan Jogjakarta)

Gerakan/aliran air tanahBiasa dinyatakan dengan fluks volume atau debit spesifik, yaitu besarnya volume air yang mengalir per satuan luasan per satuan waktu.

q = Fluks volume/debit spesifik (LT-1)Q = Volume per satuan waktu/debit (L3T-1)A = Luas penampang (L-2)

Pemodelan matematis: Hukum-hukum dasar air tanah

Darcy’s LawBesarnya air yang mengalir melalui sampel tanah berbanding lurus dengan beda paras air pada kedua ujung sampel itu.

k = konduktivitas hidrolik= beda tinggi tekan air pada kedua ujung sampel

= panjang sampelA = luas penampang

Pemodelan matematis: Hukum-hukum dasar air tanah

Darcy’s LawDengan memasukkan darcy’s law pada persamaan aliran air tanah dan dengan pendekatan limit maka dapat ditulis:

Pemodelan matematis: Hukum-hukum dasar air tanah

Dalam koordinat kartesian:

Pemodelan matematis: Beberapa sifat akifer

Kelulusan (Konduktivitas hidrolik)Disebut juga koefisien permeabilitas yang besarnya bergantung dari sifat air dan medium porus yang dilaluinya, dinyatakan dengan:

k = kelulusan atau konduktivitas hidrolik (LT-1)K = permeabilitas (L2)ρ = massa jenis (ML-3)g = percepatan gravitasi (LT-2)μ = viskositas dinamik (ML-1T-1)

Pemodelan matematis: Beberapa sifat akifer

PermeabilitasPermeabilitas (K) merupakan sifat yang fundamental yang hanya bergantung pada sifat pori, tidak bergantung pada sifat air yang mengalir, dapat ditentukan salahsatunya dengan persamaan Kozeny-Carman:

K = permeabilitas (L2)c = koefisien tak berdimensid = rata-rata ukuran partikeln = porositas

Pemodelan matematis: Beberapa sifat akifer

Keterusan (Transmisivitas)Merupakan fungsi dari kelulusan dan ketebalan akifer:

T = keterusan/transmisivitas (L2T-1)k = kelulusan (LT-1)b = tebal akifer (L)

Koefisien tampunganKoefisien tampungan (S) adalah suatu ukuran yang menunjukkan besarnya air yang masuk atau keluar akifer per satuan luas areal akifer per satuhan perubahan tinggi tekan (Charalambous, 1984). Tidak berdimensi, untuk akifer tertekan besarnya berkisar antara 0.005 – 0.00005.

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah

Persamaan aliran tanahDidapatkan dari hukum darcy dan persamaan kontinuitas (hukum kesetimbangan massa yang meliputi aliran masuk (inflow), keluar (outflow) dan perubahan penampungan air tanah:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah

Dimana:ρ = massa jenisqx, qy, qz = debit spesifik masing2

arahn = porositas

Jika persamaan diatas dibagi dengan Δx, Δy, Δz dan dilimitkan dengan Δx 0, Δy 0 dan Δz 0 maka akan didapatkan persamaan differensial berikut:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah

Dengan:

Dimana:= laju massa air yang dihasilkan karena perubahan massa jenis (ρ), (dikontrol oleh kompresibilitas fluida β)= laju massa air yang dihasilkan karena kompaksitas medium porus sebagai akibat perubahan porositas (dikontrol oleh kompresibilitas akifer α)

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah

Perubahan ρ dan perubahan n keduanya dihasilkan oleh perubahan tinggi tekan hidrolik dan volume air yang dihasilkan dari dua mekanisme persatuan penurunan tinggi tekan dinyatakan dengan penampungan spesifik Sa = ρg(α+nβ), persamaan diatas menjadi:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah

Persamaan diatas merupakan persamaan aliran transient atau tak tunak melalui medium porus anisotropik. Untuk kasus akifer tertekan horizontal bertebal b, S=Sa.b; T=k.b. Dengan menggunakan parameter-parameter ini maka dapat diperoleh:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah

Bila hanya memperhatikan aliran arah x dan y (dua dimensi) dan memungkinkan adanya kebocoran (leakage) untuk akifer setengah tertekan dan pemompaan dari akifer itu maka persamaan diatas dapat dirubah menjadi:

Dimana:W = (+) untuk pemompaan, (-) untuk resapan, atau

karena kebocoran (leakage)

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah

Besarnya kebocoran (leakage) dapat dinyatakan dengan:

Dimana:k' = konduktivitas hidrolik lapisan bocoranb' = tebal lapisan bocoranλ = faktor bocoran =

Dalam aliran isotropik hasil penyederhanaan persamaan sebelumnya dapat dinyatakan dalam koordinat radial sebagai berikut:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah

Persamaan pendekatan Kuasi 3D

Pemodelan matematis: Hukum-hukum dasar air tanah

Model konseptual penampang akifer dan aliran tanah untuk akifer merapi (Sleman dan Jogjakarta)

Jika ada sepetak sawah 1000 m2 dipupuk dengan 100 kg urea. Pada waktu pemupukan air sawah sedalam 10 cm. Masukan air dari saluran irigasi dimatikan. Perkolasi = hujan – penguapan = 5 mm/hari. Konsentrasi mula-mula dianggap segera homogen/seragam secara spasial dan kedalaman. Berapa lama urea efektif masuk ke dalam sebesar 60%?

PR 1

Asumsi, hanya terjadi perubahan secara vertikal (saluran irigasi dimatikan).

Konsentrasi awal urea pada air sawah = Co

Co = 100kg/1000m2x0.1m= 1kg/m3

Q1 = hujan – penguapan = 5 mm/hari x 1000m2= 5 m3/hariC1 = 0 kg/m3

Q2 = perkolasi = 5 m3/hariC2 = konsentrasi urea yang masuk ke

tanah

Jawab

hujan penguapan

hujan - penguapan

air sawah

perkolasi

C(t)

Perubahan volume air sawah:

Perubahan konsentrasi air sawah:

Hukum kesetimbangan massa:

Jawab hujan penguapan

hujan - penguapan

air sawah

perkolasi

C(t)

Karena perubahan volume air sawah adalah nol (0) maka:

Karena Q1=Q2=Q=5 m3/hari dan V=1000 m3 maka:

Jawab

Maka penyelesaian persamaan differensial diatas adalah:

Dimana C adalah konstanta integrasi.

Jawab

Kemudian didapatkan:

Dan akhirnya dapat ditulis solusi persamaan differensialnya:

Dimana C merupakan keadaan awal (konsentrasi urea sawah awal

Jawab

Dari persamaan solusinya maka dapat dibuat grafik:

Jawab

1 12 23 34 45 56 67 78 89 1001111221331441551661771881992102212322430

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Berapa lama urea efektif masuk ke dalam sebesar 60%? Ketika yang sudah masuk ke tanah adalah sebesar 60% maka C2 akan bernilai 40% (sama dengan konsentrasi air sawah pada saat itu, 40%x1kg/m3=0.4kg/m3). C1=1. Sehingga:

Jadi waktu yang diperlukan agar urea efektif yang masuk ke dalam tanah adalah 183.25 hari.

Jawab

Thank’s

PEMODELAN NUMERIK