mo9 logica matemática proyecto aula 11
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Loógica MatemáticaTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS
CURSO DE NIVELACIONM09
PROYECTO DE AULA
PROFESOR: Ing. Oscar Tapia.
INTEGRANTES:
Malucin Karen Nº:07Manobanda Johanna Nº:09Manzanillas Anita Nº10Martínez Alex Nº11Morales Karen Nº37Valencia Paulina Nº47
UNIDAD 1LOGICA MATEMATICA
INDICE:• Reseña histórica
• Definición de lógica
• Proposiciones definición
• Clasificación de proposiciones
• Conectores lógicos
• Tablas de verdad
• Algebra proposicional
• Circuitos
• Bibliografía
Platón, Aristóteles y Euclides proponen las primeras ideas hacia la lógica: Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. El trabajo de Aristóteles contiene el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia. Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La disciplina de la lógica matemática recibió este nombre gracias a Giuseppe Peano, quien reformó y complementó la lógica tradicional Aristotélica, obteniendo un instrumento para investigar sobre los fundamentos de la matemática. El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos.
RESEÑA HISTORICA:
LOGICA MATEMATICA
Nos permite distinguir el razonamiento correcto del incorrecto para darle un valor
de verdad
Proposiciones
Operadores lógicos
Algebra proposicional
Simples Compuestas
Lenguaje natural
Lenguaje simbólico
•Verdadera •Falsa
•Verdaderas•Falsas•Verdadera y falsa•Falsa y verdadera
Negación
Conjunción
Disyunción
Conjunción negativa
Disyunción negativa
Condicional
Disyunción exclusiva
Bicondicional
Conmutativa
Distributiva
Identidad
Asociativa
Absorción
Morgan
Idenpotencia
Involutiva
Complemento
LÓGICA MATEMÁTICA:La lógica matemática es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y algoritmos, utilizando un lenguaje formal, es un método de razonamiento que no acepta conclusiones erróneas, esto puede lograr definiendo de forma estricta cada uno de los conceptos.
LÓGICA
PROPOSICIONES
Simples Compuestas
Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. Se las representa con una letra del abecedario minúscula
Son las proposiciones que no pueden dividirse en mas proposiciones
Son aquellas proposiciones que surgen de la unión de dos o mas proposiciones simples mediante un conector lógico
Johanna juega futbol.p: Johanna juega futbol.2 es un numero par.q: 2 es un numero par.
Ejemplos de proposiciones: Proposiciones simples:
p: Voy hacer doctora.q: Me gusta la medicina.r: Tengo un cuaderno.s: Me duele la cabeza.
Proposiciones compuestas:
q p: Me gusta la medicina entoncesvoy hacer doctora.q s: ∧ Me gusta la medicina y me duele la
cabeza.s r: ∨ Me duele la cabeza o tengo un
cuaderno.
1. IDENTIFIQUE CUALES DE ESTOS ENUNCIADOS SON PROPOSICIONES Y CUALES NO:
1. El caballo negro.2. El esta dormido.3. ¿Cuántos años tienes?4. Compra un dinosaurio.5. Tengo una mochila nueva.6. La camisa azul.7. Feliz cumpleaños.8. La comida esta rica9. Aga la tarea10. Estoy aprendiendo a tocar la guitarra.
Proposiciones:R: 1, 2, 5, 6, 8, 10
No proposiciones:R: 3, 4, 7, 9
El valor de verdad de una proposición es la cualidad de la veracidad que describe adecuadamente la proposición, este puede ser verdadero o falso:
Verdadero: V = 1 Falso: F = 0 Tabla de verdad: es una representación de las posibles valores de verdad que podría tomar
una proposiciónPara determinar el número de valores que existe en una tabla de verdad o de verificación se aplica la formula 2ª en donde: a es el número de proposiciones.
VALOR ABSOLUTO
Tabla de verdad de proposiciones compuesta
p q
V (1) V (1)
V (1) F (0)
F (0) V (1)
F (0) F (0)
Tabla de verdad de una proposición simple
p
V (1)
F (0)
DETERMINE EL VALOR DE VERDAD DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS:
FALSA-Hay un premio nobel de informática.
-El sol es una estrella o es el rey de los astros.
-Saturno y Júpiter son planetas de sistema solar.
-La Universidad Central del Ecuador está ubicada en Quito.
-Bogotá es la capital de Rusia.
-Madrid y Barcelona son ciudades de España.
-El escudo del Ecuador no lleva un cóndor en la parte superior.
VERDADERA
VERDADERA
VERDADERA
FALSA
VERDADERA
FALSA
CONECTORES LÓGICOS
Es un símbolo o palabra que permiten formar proposiciones compuestas, su el valor de verdad depende del valor de las fórmulas
componentes
Disyunción exclusiva
BicondicionalCondicional Disyunción
negativaDisyunciónConjunción
negativa
Conjunción
Negación
No (~)
Si y sólo si
Entonces ()No p.. O
no q… (/)Ni p.. Ni q
(↓)
O ( )∨O p.. O q.. (⊻)
Y ( ) ∧
Será verdadera
cuando ambas
tomen los mismos
valores de verdad
Será falsa si el
antecedente es =1y
el consecuen
tesea = 0
Si la preposición
toma los valores de
P = 1, ~P= 0
P= 0. ~p=1
Será verdadera
cuando ambas
proposiciones sean
verdaderas
Será verdadera
cuando tanto p como q
sean falsas
Será falsa solo
cuando ambas
proposiciones sean
falsas
Será verdadera
cuando una de las proposicio
nes sea verdadera
Será falsa cuando ambas
proposiciones tomen el valor de verdadero
NEGACIÓN:
Se puede obtener otra proposición a partir de una dada negándola es decir anteponiendo la palabra “ no” , “ no es cierto que” , “ni” , “ no es verdad que “.
EJEMPLO Tabla de verdad p: Estoy estudiando 2ª = 2^1= 2 ~ p: No estoy estudiando q: Luis es alegre ~ q: No es cierto, que Luis es alegre
p ~ p
V F
F V
4.- NIEGUE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES Ecuador es un país biodiverso.
Esta lloviendo.
No me gusta el fútbol.
Viajo a Santo Domingo mañana.
No es cierto que trabajo.
Todos somos americanos.
No es verdad que estudio Medicina.
Ecuador no es un país biodiverso.
No esta lloviendo
Me gusta el futbol.
No viajo a Santo Domingo mañana.
Es cierto que trabajo.
No todos somos americanos.
Es verdad que estudio medicina
CONJUNCION:
Es un conector lógico que nos relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición completa mediante la unión de dos proposiciones a través del símbolo , ∧ términos gramaticales : “ y “, “pero”, “mas” signos de puntuación: ( , ) ( ; ).Es una multiplicación lógica.
Ejemplos p: Alex es malo q: Karen es feliz p ∧ q : Alex es malo y Karen es feliz. p: Tengo un negocio q: Gano mucho dinero p ∧ q: Tengo un negocio y gano mucho dinero.
TABLA DE VERDAD2 ^ 2 = 4
p q p∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
5.- FORME UNA PROPOSICIÓN COMPUESTA CONJUNTIVA, CON LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS Y SIMBOLICE
p: Alex estudia Matemáticas.q: Paulina esta molesta.
a: La Asamblea tiene poder decisivo.b: La Asamblea está ubicada en Montecristi.
Alex estudia Matemáticas y Paulina esta molesta.p q∧
La Asamblea tiene poder decisivo y está ubicada en Montecristi. p q ∧
RESPUESTA:
CONJUNCIÓN NEGATIVA:
Es un conector lógico que nos relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición completa mediante la unión de dos proposiciones a través del símbolo ↓términos gramaticales : ni p… ni q…
Ejemplos:
P: Fui al concierto
Q: estuve en el teatro
p↓q: Ni fui al concierto ni estuve en el teatro
P: Yo salí en navidad Q: Yo paseé en carnaval
p↓q: Ni salí en navidad ni paseé en carnaval
TABLA DE VERDAD 2 ^ 2 = 4
p q p↓ q
V V F
V F F
F V F
F F V
6.- ARME PROPOSICIONES COMPUESTA CON EL OPERADOR DE CONJUNCIÓN NEGATIVO Y LUEGO SIMBOLICE
p: El seguro paga en caso de incendioq: el seguro para en caso de robo
a: Manuel toca un instrumento de percusiónb: Isabel toca un instrumento de viento
Solución
El seguro no paga en caso de incendio ni en caso de robo. p ↓ q
Ni Manuel toca un instrumento de percusión ni Isabel toca un instrumento de viento. a ↓ b
r= NI trabaja S= NI estudia
t= Juan ni respeta a su mamaU= NI quiere a su esposa
EJEMPLOS
SOLUCION
NI trabaja NI estudiaJuan Ni respeta a su madre NI quiere a su esposa
Es un conector lógico que nos relaciona dos proposiciones simples mediante el siguientes símbolo v que se lee “o”. Es una suma lógica.
EJEMPLO TABLA DE VERDAD p: 6+4 = 10 2 ^ 2 = 4
q: 3 es un número primo p v q: 6+4=10 o 3 es un número primo p: Pichincha es una provincia del Ecuador q: Guayas es una provincia del Ecuador p v q: Pichincha o Guayas es una provincia del Ecuador
P Q P V QV V VV F VF V VF F F
DISYUNCIÓN:
7.- FORME PROPOSICIONES DISYUNTIVAS A PARTIR DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS Y FORMALÍCELAS
p: El cliente se ha ido sin pagar la cuenta.q: El cliente se ha ido al baño
a: La nieve es negra.b: El césped es verde
Solución
El cliente se ha ido sin pagar la cuenta o ha ido al baño. p V q
La nieve es negra o el césped es verde. p V q
EJERCICIOS
p = "La navidad se celebra en Diciembre" q = "13 es un número par"
p q p v q1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
p = "los carnavales se celebran en marzo" q = "15 es un número par"
p q p v qV V V
F F V
F V V
F F 0
En el lenguaje español suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre si, se la representa de la siguiente manera ⊻Términos gramaticales : “o solo” o “solamente” “o p… o q…”
Ejemplosp: Estoy en Quitoq: Estoy en Guayaquil p⊻q: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil TABLA DE VERDAD
2 ^2 = 4 r ⊻ s: O los carnavales se celebran en agosto o 15 es un número par" r: Los carnavales se celebran en agosto s: 15 es un número par
p q p ⊻ qV V FV F VF V VF F F
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA:
8.- PASE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES A PROPOSICIONES CON DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
4 + 9 = 12 o los claveles tienen perfume.
5 es un número primo y algunos Suizos aman el juego de las cartas
Londres está en Europa, entonces Inglaterra esta en Asia
Las moscas son insectos y el Mar Muerto es salado.
Solución
O 4 + 9 = 12, o los claveles tienen perfume.
O 5 es un número primo o algunos Suizos aman el juego de las cartas.
O Londres está en Europa o Inglaterra esta en Asia
O Las moscas son insectos o el Mar Muerto es salado.
EJEMPLOS
Estoy en el colegio o en la casa Estoy en Brasil o en Ecuador
R S⊻
"
P Q⊻
SOLUCION
p q p v q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
R S R v S
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
SI UNA DE LAS DOS PROPOSICIONES ES VERDADERA LA RESPUESTA ES VERDADDERA
En el lenguaje español suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre si, se la representa de la siguiente manera VTérminos gramaticales : “o solo” o “solamente” “o p… o q…”
Ejemplosp: Hoy tengo matemáticasq: Tengo química p/q: Hoy no tengo matemáticas o no tengo química r: Mercurio está mas cerca de la tierras: Plutón está mas cerca de la Tierra r/s: Mercurio no esta cerca de la tierra o no está Plutón cerca de la tierra.
p q p / qV V FV F VF V VF F V
DISYUNCIÓN NEGATIVA:
TABLA DE VERDAD2 ^2 = 4
9.- CONVIERTA LAS SIGUIENTES DISYUNCIONES EN DISYUNCIONES NEGATIVAS
Voy de paseo con mi perro o salgo a comer con mis amigos
Einstein era un gran físico o lo era Isaac Newton
Júpiter tiene satélites o Atenas es parte de Grecia.
Me gustan las pizzas o la lasaña
Solución
No voy de paseo con mi perro o no salgo a comer con mis amigos.
Einstein no era un gran físico o no lo era Isaac Newton.
Júpiter no tiene satélites o Atenas no es parte de Grecia.
No me gustan las pizzas o no la lasaña
A este conector lógico también se lo denomina enunciación hipotética o implicación y se lo representa así: p q. Términos gramaticales: si p “entonces” q, p “solamente si” q, p “siempre que” q o cualquier expresión que denote causa y efecto.
r: Trabajo mucho s: Recibo sueldo alto r → s: Si trabajo mucho entonces recibo sueldo alto
TABLA DE VERDAD2^2= 4
p q p qV V VV F FF V VF F V
CONDICIONAL:
10.- IDENTIFIQUE LA CAUSA Y EL EFECTO EN LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES Y ARMA LAS POR POSICIONES CONDICIONALES
p: Francisco posee una mansiónq: Francisco ha trabajado toda su vida
a: La raíz cuadrada de 4 es 2b: 4 es un número cuadrado
Solución
Francisco ha trabajado toda su vida, entonces posee una mansión. q→p
Si la raíz cuadrada de 4 es 2, entonces 4 es un número cuadrado. a → b
EJEMPLOS
SI LLUEVE ENTONCES HACE FRIO SI DUERMO TERANO NO TENDRE SUEÑO EN CLASE
T U T→U
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
X Z X→Z
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
SI EL ANTECEDENTE ES VERDADERO Y EL CONSECUENTE FALSO LA RESPUESTA ES FALSA
Dentro de la condicional existen:
Recíproca: viene definido por q → p
Contra recíproca: es la negación de la recíproca ~q → ~p
Inversa: negación de la proposición original: por ~p → ~q
Ejemplos
p q: Si hoy llueve, entonces me quedo estudiando en casa. (proposición original)
rs: Si lavo todos los platos, entonces mi mama hará mi comida favorita. (proposición original)
qp: Si me quedo estudiando en casa, entonces hoy llueve. (reciproca)
sr: Si mi mama hará mi comida favorita, entonces lavo todos los platos. (reciproca)
~p~q: Si hoy no llueve, entonces no me quedo estudiando en casa. (inversa)
~r~s: Si no lavo todos los platos, entonces mi mama no hará mi comida favorita. (inversa)
~q~p: Si no me quedo estudiando en casa, entonces hoy no llueve. (contra recíproca)
~s~r: Si mi mama no hará mi comida favorita, entonces no lavo los platos. (contra recíproca)
11.- ENCUENTRE LA RECIPROCA, CONTRA RECIPROCA E INVERSA DE LA SIGUIENTE PROPOSICIÓN Y SIMBOLICE
Si obtengo 8 en matemáticas y 9 en física, entonces apruebo el curso. p q
Recíproca
Si apruebo el curso, entonces obtengo 8 en matemáticas y 9 en física. q p
Contrarecíproca
Si no apruebo el curso, entonces no obtengo 8 en matemáticas ni 9 en física. ~q ~p
Inversa
Si no obtengo 8 en matemáticas ni 9 en física, entonces no apruebo el curso.~p ~q
Solución
También llamado equivalencia o doble implicación, es una proposición de la forma «p si y solo si q» y afirma que la proposición p será verdadera cuando y exclusivamente q también lo sea, así como también p será falsa cuando q lo sea. Se lo representa así: p ↔ qtérminos gramaticales: p ” si y solo si ” q, p “ cuando y solo cuando ” q
Ejemplos p: Yo voy almorzar q: Tengo hambre p ↔ q: Voy almorzar si y solo si tengo hambre p: mi mascota es animal q: mi mascota es un perro p ↔ q : Mi mascota es animal si y solo si es un perro
p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V
TABLA DE VERDAD2^2= 4
BICONDICIONALIDAD
EJEMPLOS
La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella
J D J↔D
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
SI AMBAS PROPORSIONES TIENEN EL MISMO VALOR SON VERDADEROS, LOS DEMAS SON FALSOS
12.- LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SEGÚN SU CONECTOR LÓGICO EMPLEADO Y FORMALICE CADA EXPRESIÓN. ADEMÁS HALLE EL VALOR DE VERDAD
• 11 no es primo o no es impar
• Si 2+3 <6 entonces 2<3
• Roger Federer es nadador o futbolista
• 10 es divisible para dos si y solo si 10 es un número par
• 16 no es impar ni primo
• No es cierto que el agua hierve a 100°C
• Los elementos de Cu y Fe son metales
• El protón tiene carga positiva o tiene carga negativa
• Si Neruda es chileno entonces escribió Don Quijote de la
Mancha
Solución:
Disyunción negativa p/q 0 / 0= 1= VERDADERO
Condicional p→q 1→1= 1= VERDADERO
Disyunción p q= 0 0 = 0= FALSO ∨ ∨
Bicondicional 1↔1=1= VERDADERO
Conjunción negativa p↓q 1↓1= 0= FALSO
Negación ~p ~1= 0= FALSO
Conjunción p q= 1 1= 1= VERDADERO ∧ ∧
Disyunción p q= 1 0= 1= VERDADERO ∨ ∨
Condicional p → q 1 →0= 0 = Falso
13.- SI P: GANÉ EL POZO MILLONARIO Q: SOY RICO R: COMPRARÉ TODO LO QUE QUIERA. TRADUZCA LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES AL LENGUAJE LITERAL
( p q ) r ∧ ∨
r ↔ ( p q )∧
q → r
( p ↓ q ) → ~ r
r ⊻ p
Solución
Gané el pozo millonario y soy rico, o compraré todo lo que quiera.
Compraré todo lo que quiera, si y solo si gané el pozo millonario y soy rico
Soy rico, entonces compraré todo lo que quiera
Ni gané el pozo millonario ni soy rico, entonces no compraré todo lo que quiera
O compraré todo lo quiera o gané el pozo millonario
14.- TRADUZCA LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES AL LENGUAJE SIMBÓLICO
No camine todo el día ni corrí, entonces pase durmiendo.
El es inteligente o estudia todos los días, si y solo si quiere entrar a la mejor
universidad
La matemática financiera es mi asignatura favorita y Mozart fue un buen compositor
clásico
Gabriel García Márquez escribió Cien Años de Soledad o Amor en Tiempos de Cólera,
y el Coronel no Tiene Quien le Escriba.
3 + 8 ≠ 5 o 9 + 2 = 1, entonces 7 es un número primo
Solución
(p ↓ q) → r
(p q ) ∨ ↔ r
p q∧
( p q) r∨ ∧
(~ p q) ∨ → r
15.- INDIQUE EL VALOR DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES Y SIMBOLICE
Las aves no vuelan y las serpientes reptan
Todos los peces nadan, entonces la ballena es un pez
Ecuador limita con Perú o con el océano Atlántico
Lunes es ingles es Sunday entonces sábado es Saturday
Ferrari fabrica autos deportivo y BMW también
Galápagos es patrimonio natural de la humanidad si y solo si
Galápagos no pertenece a Ecuador
Solución
~ p q ~1 1 = 0 1 = 0 = Falso∧ ∧ ∧
p → q 1 → 0 = 0 = Falso
p q 1 0 = 1 = Verdadero ∨ ∨
p → q 0 → 1 = Verdadero
p q 1 1 = 1 = Verdadero ∧ ∧
p ↔ ~q = 1 ↔ ~1 = 1 ↔ 0 = Falso
16.- DETERMINE EL VALOR DE VERDAD DE LA SIGUIENTES PROPOSICIONES COMPUESTAS Y SIMBOLICE SI A= 1, B= 0 Y C= 0, LUEGO QUE A: HE FALTADO A CLASES B: ESTOY MUY ENFERMO C: ME FUI DE VACACIONES
He faltado a clases si y solo si estoy muy enfermo
Si no me fui de vacaciones, entonces he faltado a clase
Estoy muy enfermo y me fui de vacaciones, por lo tanto he
faltado a clases
No he faltado a clases ni estoy muy enfermo
O estuve muy enfermo o me fui de vacaciones
No es verdad que estuve muy enfermo y he faltado a clases
Solución
a ↔ b 1 ↔ 0 = 0 = Falso
~ c → b = ~ 0 → 1 = 1 → 1 = 1 = Verdadero
(b c) ∧ → a (0 0) ∧ → 1= 0 → 1= 1= Verdadero
a ↓ b 1 ↓ 0 = 0 = Falso
b c 0 0 = 0 = Falso⊻ ⊻
~( b a) ~( 0 1) = ~ 0 = 1 = Verdadero ∧ ∧
17.- SI A= 0 B= 0 Y C= 1 ENCUENTRE EL VALOR DE VERDAD DE LA SIGUIENTES PROPOSICIONES
(a c⊻ ) ↔ b
(b a ) → c ∨
(b ↓ c ) a ∧
~(a c) → c ∨
Solución
(0 1) ↔ 0 = 1 ↔ 0 = 0= Falso ⊻
(0 0) → 1= 0 → 1 = 1 = Verdadero ∨
(0 ↓ 1) 1= 0 1 = 0= Falso∧ ∧
~(0 1) → 1 = ~ 1 → 1= 0 →1 = 1 Verdadero ∨
18.- SI (~P Q) → ~(R ↔ Q) ES UNA PROPOSICIÓN FALSA ENCUENTRE EL VALOR DE ∧P, Q Y R. ADEMÁS HALLE EL VALOR DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES
~( p q) ↔ r⊻
(r q) ( p r)∧ ∧ ∨
( q → p) ↔ r
Solución p= 0, q= 1, r= 1
(~0 1) → ~ (1 ↔ 1)∧1 → ~11 → 0 = 0 = FalsoCumple con el valor
~( 0 1) ↔ 1 = ~1 ↔ 1= 0 ↔ 1 = 0= Falso ⊻
(1 1) (0 1) = 1 1= 1 = Verdadero ∧ ∧ ∨ ∧
(1 → 0) ↔ 1 = 0 ↔ 1 = 0 = Falso
JERARQUÍA DE LOS OPERADORES LÓGICOS
IMPORTANCIA CONECTOR SÍMBOLO
Primero Bicondicional ↔
Segundo Condicional
Tercero Disyunción ∨
Cuarto Conjunción ∧
Quinto Negación ~
Se hace uso de esta jerarquía cuando hay símbolos auxiliares como llaves, paréntesis o corchetes.
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.
Entre ellas tenemos las siguientes:TAUTOLOGÍA: Es una proposición compuesta siempre verdadera sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones simplesEJEMPLO 2^3= 82^2=4
p q ( p ↔ q) ↔ ( ~ q ↔ ~ p )
V V V V V V F V V F VV F V F F V V F F F VF V F F V V F V F V FF F F V F V V F V V F
p q r ( p v q ) ~(p v q) ( p→ r ) ~(p v q) →( p → r)
V V V V F V VV V F V F F VV F V V F V VV F F V F F VF V V V F V VF V F V F V VF F V F V V VF F F F V V V
TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda
asignar a sus componentes , entre ellas se encuentran:TAUTOLOGIA:
Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes.
EJEMPLO:
Tabla de verdad de proposiciones compuestas
Contradiccion
Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F.
EJEMPLO:
CONTINGENCIA:
Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción)
según los valores de las proposiciones que la integran.EJEMPLO.
1.- ELABORE UNA TABLA DE VERDAD Y DETERMINE SI ES TAUTOLOGIA,CONTRADICCION O CONTINGENCIA.
ACONTINGENCIA
EQUIVALENCIA E IMPLICACION LOGICA
IMPLICACION : Una implicación lógica es aquella condicional A→B que es una tautología. En tal caso, puede afirmarse que "A implica B" y se denotará A B.⇒
EQUIVALENCIA : una equivalencia lógica es aquella bicondicional A↔B que es una tautología. En tal caso, puede decirse que "A es equivalente a B" y se denotará A≡B.
Leyes del algebra proposicional
Ejemplo de simplificación mediante el algebra proposicional
Demuestre la siguiente Demuestre la siguiente contradicción ¬(¬(p q) → ¬p)=F ∨
Demuestre la siguiente tautología [(p q) → p] = V∧
[(p q) → p] = V∧~(p q) p= V {Condicional}∧ ∨(~p ~q) p= V {De Morgan}∨ ∨p (~p ~q)= V {Conmutatividad}∨ ∨(p ~p) ~q= V {Asociativa}∨ ∨V ~q = V {Identidad }∨V
~(~(p q) → ~p) = F∨~(~~(p q) ~p) = F {Condicional}∨ ∨~((p q) ~p) = F {Involutiva}∨ ∨~(p q) ~~p= F {De Morgan}∨ ∧ (~p ~q) p = F {∧ ∧ Doble Negación y De Morgan} (~q ~p) p = F {Conmutatividad}∧ ∧~q (~p p) = F {Asociativa}∧ ∧~q F = F {Identidad}∧ F
20.- USANDO EL ALGEBRA PROPOSICIONAL SIMPLIFIQUE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES
~ { [ p v q ] v ~ q } [ ~ ( p → q ) → ~ ( q → p ) ] ( p v q )∧
[ ~ ( p → q ) → ~ ( q → p )] ∧ ( p v q ) PROPIEDADES [ ~ (~ p v q ) → ~ (~ q v p )] ∧ ( p v q ) Condicional
[ ( p ∧~ q ) → ( q ∧~ p )] ∧ ( p v q ) De Morgan[ ~ ( p ∧ ~ q ) v (q ∧ ~p )] ∧ ( p v q ) Condicional
[ (~p v q ) v ( q ∧ ~p )] ∧ ( p v q ) De Morgan[ ( q ∧ ~p ) v (~p v q ) ] ∧( p v q ) Conmutativa
{ [ ( q ∧ ~ p ) v ~p ] v q } ∧ ( p v q ) Asociativa(~p v q ) ∧ ( p v q ) Absorción( q v ~ p ) ∧ ( q v p) Conmutativa
q v (~ p ∧ p ) Distributiva q v F Complemento
q Identidad
~ {[ p v q ] v ~q } PROPIEDADES~ {~p v (q v ~q )} Asociativa
~ {[~p v ~q ]} Idempotencia~ (~p) ∧ ~(~q) De Morgan
p ∧q Doble negación
BIBLIOGRAFIA Fundamentos de Matemáticas – ESPOL
Teoría básica de lógica matemática. (s.f.). Obtenido de marillaclapata.edu.co: http://www.marillaclaplata.edu.co/archivos_m/T_logica.pdf
http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/logica-matematica.html