LOGICA MATEMÁTICAIng. Roxanna Palma

Universidad Técnica de CotopaxiExtensión La ManáIngeniería Electromecánica

CONCEPTO Estudia la forma del razonamiento.

Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento.

Proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.

El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.

PROPOSICIONES

La proposición es la expresión lingüística del razonamiento, que se caracteriza por ser verdadera o

falsa empíricamente, sin ambigüedades.

DEFINICIÓN

Puede ser falsa o verdadera Un sujeto, un verbo y un complemento referido al

verbo. Elemento fundamental de la Lógica Matemática

Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente

dicha

EJEMPLOS

1. p: México se encuentra en Europa.2. q: 15-6 = 93. r: 2x -3 > 74. s: Los precios de los teléfonos celulares bajarán

a fin de año.5. t: Hola ¿cómo estás?6. w: ¡Cómete esa fruta!

Recuerde: Debe ser falsa o verdadera

CLASIFICACIÓN

Las proposiciones pueden ser: Simples. Compuestas. Cerradas. Abiertas. Afirmativas o Negativas. Verdaderas o Falsas

SIMPLE – COMPUESTAABIERTA – CERRADAAFIRMATIVA – NEGATIVAVERDADERA O FALSA

h: "Ana come pizza y bebe refresco"j: Ella no nada muy rápidok: “Cuernavaca no está al norte del D.F. y no hace frío", es una proposición compuesta, cerrada, negativay verdadera.

l: 7 + 3 =10

m: x ² ≠ x - 2

n: a + b = 6

Simple – CompuestaAbierta – Cerrada Afirmativa – Negativa Verdadera o Falsa

CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS Operadores lógicos que permiten formar

proposiciones compuestas

Conjunción (operador and) ˄ Disyunción (operador or) ˅ Negación (operador not) p'

Conjunción (operador and) ˄ conectar dos proposiciones que se deben cumplir

para que se pueda obtener un resultado verdadero.

Se le conoce como multiplicación lógica y su símbolo es ˄ (and).

"VOY AL CINE CUANDO HAY UNA BUENAPELÍCULA Y CUANDO TENGO DINERO "Sean:p: Voy al cine.q: Hay una buena película.r: Tengo dinero

Representaciónp = q˄r

operador and ˄

Tabla de Verdad

CONJUNCIÓN: TABLAS DE VERDAD

Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera.

Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.

Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.

“EL AUTO ENCIENDE CUANDO TIENE GASOLINA EN ELTANQUE Y TIENE CORRIENTE LA BATERÍA”

(v) p: Tiene gasolina el tanque. ✓ (v) q: Tiene corriente la batería. ✓ (v) r: El auto enciende. ✓

(v) p: Tiene gasolina el tanque. ✓ (f ) q: No tiene corriente la batería. ✘ (f ) r: El auto no enciende. ✘

(f ) p: No tiene gasolina el tanque. ✘ (f ) q: No tiene corriente la batería. ✘ (f ) r: El auto no enciende. ✘

(f) p: No tiene gasolina el tanque. ✘

(v ) q: Tiene corriente la batería. ✓ (f ) r: El auto no enciende. ✘

“ME VOY DE VACACIONES CUANDO TENGA DINERO YTIEMPO”

( ) p: ( ) q: ( ) r:

( ) p: ( ) q: ( ) r:

( ) p: ( ) q: ( ) r:

( ) p: ( ) q: ( ) r:

Ing. Roxanna Palma

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Representaciónr = p˄q

“ESTUDIARE LA UNIVERSIDAD CUANDO PASE EL EXAMEN DELENES Y TENGA POSIBILIDADES DE UN CUPO”

( ) p: ( ) q: ( ) r:

( ) p: ( ) q: ( ) r:

( ) p: ( ) q: ( ) r:

( ) p: ( ) q: ( ) r:

Ing. Roxanna Palma

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Representaciónr = p˄q

DISYUNCIÓN (OPERADOR OR) Con este operador se obtiene un resultado

verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera.

Se conoce como suma lógica y su símbolo es V (or).

EJEMPLO

“Para ir a Toluca puedo tomar la carretera federal o tomar la autopista de cuota”Sean:p: Ir a Toluca.q: Tomar la carretera federal.r: Tomar la autopista de cuota.

“UNA PERSONA PUEDE ENTRAR AL CINE SICOMPRA UN BOLETO O SI OBTIENE UN PASE” Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una

de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.

(v) p: Compra un boleto. ✓ (v) q: Obtiene un pase. ✓ (v) r: Una persona entra al cine. ✓

“UNA PERSONA PUEDE ENTRAR AL CINE SICOMPRA UN BOLETO O SI OBTIENE UN PASE” Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una

de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.

(v) p: Compra un boleto. ✓ (f ) q: No obtiene un pase. ✘ (v) r: Una persona entra al cine. ✓

HALLAR EL VALOR DE:pvq donde:P= 7 es mayor que 9Q= 4 es menor que 5

p Q p v qF V V

NEGACIÓN (OPERADOR NOT)

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su negación (falso) y viceversa. Este operador se indica por medio del símbolo ’.

.

Ejemplo.Sea el siguiente enunciado: “El león es el rey de la selva”Sean:p: El león es el rey de la selva.p’: El león no es el rey de la selva

NEGACIÓN (OPERADOR NOT)

SEAN LAS PROPOSICIONES:

p: Ya es tarde.q: Tengo que dormirme.r: Me levantaré temprano.

El enunciado: "Ya es tarde y tengo que dormirme o no me levantaré temprano”. Se puede representarsimbólicamente de la siguiente manera: p ˄ q V r’

PROPOSICIONES CONDICIONALES

Una implicación o proposición condicional, es aquella que está compuesta mediante el conectivo lógico “si,…,entonces,…” y se simboliza p q, donde el principio lógico es “La proposición implicativa es falso únicamente en el caso que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos.

PROPOSICIONES CONDICIONALES

p: antecedenteq: consecuente

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p qAntecedente ConsecuentePremisa ConclusiónHipótesis Tesis

Una implicación es verdadera si el antecedente es falso, cualquiera que sea el consecuente.

Una implicación es verdadera si el consecuente es verdadero, cualquiera que sea el antecedente.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

PROPOSICIONES CONDICIONALES

EJEMPLO.

Un profesionista dice "Si ahorro me podré comprar una casa en tres años ". Una declaración como estase conoce como condicional.

Sean:p: Ahorro.q: Podrá comprar una casa en tres años .

De tal manera que el enunciado se puede expresar como: p q

SU TABLA DE VERDAD ES DE LASIGUIENTE MANERA:

Cuando p=1 significa que ahorró y q=1 que se compró la casa en tres años, por lo tanto p q =1 (el profesionista dijo la verdad).

Cuando p=1 y q=0 significa que p q =0, el profesionista mintió, ya que ahorró y no se compró la casa.

Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no ahorró se compró la casa (ya tenía los recursos), así que no mintió, de tal forma que p q =1.

Cuando p=0 y q=0 se interpreta que aunque no ahorró tampoco se compró la casa, por lo tanto p q =1 ya que tampoco mintió.

Si ahorro me podré comprar una casa en tres años ".

PROPOSICIÓN BICONDICIONAL

Sean p y q dos proposiciones. Una doble multiplicación o proposición es bicondicional cuando p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y sólo si q también lo es. Se indica de la siguiente manera:

EJEMPLO

Sea el siguiente enunciado: "Una persona puede votar, si y sólo si, tiene credencial de elector"Donde:p: Una persona puede votar.q: Tiene credencial de elector.Su tabla de verdad es.

INTERPRETACIÓNCuando p=1 significa que una persona puede votar y q=1 que tiene credencial, al ser esto cierto, p q =1.Cuando p=1 y q=0 significa que p q =0, una persona puede no

votar, ya que no posee la credencial.Cuando p=0 y q=1 significa que una persona no puede votar aunque tenga credencial (por ejemplo los residentes en el extranjero), esto es que p q =0. Cuando p=0 y q=0 se interpreta como que ni puedevotar ni tiene credencial, por lo tanto es cierto p q =1.

"Una persona puede votar, si y sólo si, tiene credencial de elector"

Disyuntiva exclusiva Es la proposición

compuesta mediante conectivo lógico “o” y se simboliza p Δ q, donde ambas proposiciones p y q tengas valores de verdad opuestos y es falsa si ambos tiene valores idénticos. Su tabla de verdad:

p q p Δ q

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplo Sea p: k es par ; q: k es impar. Hallar el valor de verdad de:

p Δ q

Si k es par, no puede ser impar (si p es V; q es F) Si k es impar, no puede ser par (si q es V ; p es F)

p q p Δ q

V F V

F V V

RESUMEN DE TABLAS

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

CondicionalesConjunciones Disyunciones

Negación Bicondicionalesp q p Δ q

V V FV F VF V VF F F

Disyunciones Exclusivas

LÍNEAS TOTALES EN LA TABLA DE VERDAD

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

JERARQUÍAS DE LOS CONECTORESLÓGICOS

Si se tiene una proposición compuesta con varios conectivos lógicos, para realizar las operaciones primero se debe colocar los paréntesis adecuadamente empezando con las proposiciones que se encuentran dentro de los paréntesis anteriores, luego siguen todas las negaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados paréntesis)

Nombre Expresión Símbolo LógicoConjunción y ˄

Disyunción o ˅

Implicación o Condicional

Sí,…., entonces,…

Bicondicional, equivalencia doble implicación

…Sí, …., entonves,…..

Ξ

Negación NoContradicción

→

↔

Proposiciones Compuestas Combinación de proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser

conocidos indicando los valores resultantes de estas proposiciones compuestas.

[(p→q) ^(q→r)]→(p→r)Lineas:8

p q r (p→q) (q→r)] p→r

V V V V V V V V V

V V F V F F F V F

V F V F V V F V V

V F F F V F F V F

F V V V V V V V V

F V F V F V F V V

F F V V V V V V V

F F F V V V V v V

[(p→q) ^(q→r)]→(p→r)

DADA LA SIGUIENTE PROPOSICIÓN

Elaborar su tabla de verdad.

REPRESENTAR SIMBÓLICAMENTE ELENUNCIADO:"Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica.Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y sólo si soy desorganizado"

REPRESENTAR SIMBÓLICAMENTE ELENUNCIADO:p: Pago la luz.q: Me cortarán la corriente eléctrica.r: Me quedaré sin dinero.s: Pediré prestado.t: Pagar la deuda.w: Soy desorganizado.

TABLA DE VERDAD:

TABLA DE VERDAD:

Tautologías, contradicciones y contingencias Tautologías son proposiciones compuestas que

siempre son verdaderos cualquiera sea el valor de las proposiciones componentes.

Tautologías, contradicciones y contingencias Contradicciones son proposiciones compuestas

que siempre son falsas, cualesquiera que sea el valor de las proposiciones compuestas.

Contingencia son proposiciones compuestas que no son ni tautología n i contradicciones; es decir, son proposiciones que en algunos casos es F, y en otros es V.

Tautologías, contradicciones y contingencias