Množiny, Funkcie

February 27, 2020

IMA1 2020

Množiny

IMA1 2020

Číselné obory

N−Prirodzené čísla,

Z−Celé čísla,Q−Racionálne čísla,R−Reálne čísla,C−Komplexné čísla.

IMA1 2020

Číselné obory

N−Prirodzené čísla,Z−Celé čísla,

Q−Racionálne čísla,R−Reálne čísla,C−Komplexné čísla.

IMA1 2020

Číselné obory

N−Prirodzené čísla,Z−Celé čísla,Q−Racionálne čísla,

R−Reálne čísla,C−Komplexné čísla.

IMA1 2020

Číselné obory

N−Prirodzené čísla,Z−Celé čísla,Q−Racionálne čísla,R−Reálne čísla,

C−Komplexné čísla.

IMA1 2020

Číselné obory

N−Prirodzené čísla,Z−Celé čísla,Q−Racionálne čísla,R−Reálne čísla,C−Komplexné čísla.

IMA1 2020

Reálne čísla

Intervaly

uzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}

Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞

IMA1 2020

Reálne čísla

Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}

otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}

Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞

IMA1 2020

Reálne čísla

Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}

zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}

Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞

IMA1 2020

Reálne čísla

Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}

sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}

Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞

IMA1 2020

Reálne čísla

Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}

Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞

IMA1 2020

Reálne čísla

Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}

Pozor, a < b !

Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞

IMA1 2020

Reálne čísla

Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}

Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi:

−∞,∞

IMA1 2020

Reálne čísla

Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}

Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞

IMA1 2020

Funkcie

IMA1 2020

Základné pojmy

DefiníciaNech f ⊆ A×B je binárna relácia. Túto reláciu f nazývamezobrazením z množiny A do množiny B vtedy, keď o nej platí:

[a, b] ∈ f ∧ [a, c] ∈ f ⇒ b = c.

Obraz množiny:

f(M) = {b;∃a ∈M f(a) = b}.

Úplný vzor množiny:

f−1(P ) = {a; ∃b ∈ P f(a) = b}.

IMA1 2020

Základné pojmy

DefiníciaNech f ⊆ A×B je binárna relácia. Túto reláciu f nazývamezobrazením z množiny A do množiny B vtedy, keď o nej platí:

[a, b] ∈ f ∧ [a, c] ∈ f ⇒ b = c.

Obraz množiny:

f(M) = {b; ∃a ∈M f(a) = b}.

Úplný vzor množiny:

f−1(P ) = {a; ∃b ∈ P f(a) = b}.

IMA1 2020

Základné pojmy

DefiníciaNech f ⊆ A×B je binárna relácia. Túto reláciu f nazývamezobrazením z množiny A do množiny B vtedy, keď o nej platí:

[a, b] ∈ f ∧ [a, c] ∈ f ⇒ b = c.

Obraz množiny:

f(M) = {b; ∃a ∈M f(a) = b}.

Úplný vzor množiny:

f−1(P ) = {a; ∃b ∈ P f(a) = b}.

IMA1 2020

Základné pojmy

DefiníciaDefiničný obor

Df = f−1(B).

Obor hodnôtHf = f(Df ).

IMA1 2020

Základné pojmy

DefiníciaDefiničný obor

Df = f−1(B).

Obor hodnôtHf = f(Df ).

IMA1 2020

Základné pojmy

rovnosť zobrazení

f = g ⇐⇒ Df = Dg ∧ ∀x ∈ Df ; f(x) = g(x).

zúženie zobrazenia na množinu A1 ⊆ Df

f/A1 = {[x, y] ∈ f ;x ∈ A1}.

IMA1 2020

Základné pojmy

rovnosť zobrazení

f = g ⇐⇒ Df = Dg ∧ ∀x ∈ Df ; f(x) = g(x).

zúženie zobrazenia na množinu A1 ⊆ Df

f/A1 = {[x, y] ∈ f ;x ∈ A1}.

IMA1 2020

Operácie s funkciami

súčet

(f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g = Df ∩Dg,

rozdiel

(f − g)(x) = f(x)− g(x); Df−g = Df ∩Dg,

súčin(f · g)(x) = f(x) · g(x); Df ·g = Df ∩Dg,

podiel

f

g(x) = f(x)

g(x) ; D fg

= {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0},

IMA1 2020

Operácie s funkciami

súčet

(f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g = Df ∩Dg,

rozdiel

(f − g)(x) = f(x)− g(x); Df−g = Df ∩Dg,

súčin(f · g)(x) = f(x) · g(x); Df ·g = Df ∩Dg,

podiel

f

g(x) = f(x)

g(x) ; D fg

= {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0},

IMA1 2020

Operácie s funkciami

súčet

(f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g = Df ∩Dg,

rozdiel

(f − g)(x) = f(x)− g(x); Df−g = Df ∩Dg,

súčin(f · g)(x) = f(x) · g(x); Df ·g = Df ∩Dg,

podiel

f

g(x) = f(x)

g(x) ; D fg

= {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0},

IMA1 2020

Operácie s funkciami

súčet

(f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g = Df ∩Dg,

rozdiel

(f − g)(x) = f(x)− g(x); Df−g = Df ∩Dg,

súčin(f · g)(x) = f(x) · g(x); Df ·g = Df ∩Dg,

podiel

f

g(x) = f(x)

g(x) ; D fg

= {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0},IMA1 2020

Operácie s funkciami

c−násobok

(c · f) (x) = c · f(x); Dc·f = Df ,

skladanief ◦ g(x) = f (g (x)) ,

inverzná relácia

f−1 = {[x, y]; [y, x] ∈ f}.

V akom vzťahu je graf f a f−1? Je f−1 vždy funkcia?

IMA1 2020

Operácie s funkciami

c−násobok

(c · f) (x) = c · f(x); Dc·f = Df ,

skladanief ◦ g(x) = f (g (x)) ,

inverzná relácia

f−1 = {[x, y]; [y, x] ∈ f}.

V akom vzťahu je graf f a f−1? Je f−1 vždy funkcia?

IMA1 2020

Operácie s funkciami

c−násobok

(c · f) (x) = c · f(x); Dc·f = Df ,

skladanief ◦ g(x) = f (g (x)) ,

inverzná relácia

f−1 = {[x, y]; [y, x] ∈ f}.

V akom vzťahu je graf f a f−1? Je f−1 vždy funkcia?

IMA1 2020

Operácie s funkciami

c−násobok

(c · f) (x) = c · f(x); Dc·f = Df ,

skladanief ◦ g(x) = f (g (x)) ,

inverzná relácia

f−1 = {[x, y]; [y, x] ∈ f}.

V akom vzťahu je graf f a f−1? Je f−1 vždy funkcia?

IMA1 2020

Vlastnosti funkcií

DefiníciaAk o zobrazení f platí

∀a, b ∈ D(f); a 6= b⇒ f(a) 6= f(b),

hovoríme, že je prosté, alebo injekcia.

Nech f : A→ B. Ak platí, že H(f) = B hovoríme, že f jezobrazenie z množiny A na (surjekcia) množinu B. AkD(f) = A hovoríme, že f je zobrazenie množiny A domnožiny B. Ak platí, že D(f) = A,H(f) = B hovoríme, že fje zobrazenie množiny A na (surjekcia) množinu B.Prosté zobrazenie množiny A na množinu B nazývamevzájomne jednoznačným zobrazením A na B alebobijekciou A na B.Každé prosté zobrazenie je bijekciou svojho definičného oboruna svoj obor hodnôt.

IMA1 2020

Vlastnosti funkcií

DefiníciaAk o zobrazení f platí

∀a, b ∈ D(f); a 6= b⇒ f(a) 6= f(b),

hovoríme, že je prosté, alebo injekcia.Nech f : A→ B. Ak platí, že H(f) = B hovoríme, že f jezobrazenie z množiny A na (surjekcia) množinu B. AkD(f) = A hovoríme, že f je zobrazenie množiny A domnožiny B. Ak platí, že D(f) = A,H(f) = B hovoríme, že fje zobrazenie množiny A na (surjekcia) množinu B.

Prosté zobrazenie množiny A na množinu B nazývamevzájomne jednoznačným zobrazením A na B alebobijekciou A na B.Každé prosté zobrazenie je bijekciou svojho definičného oboruna svoj obor hodnôt.

IMA1 2020

Vlastnosti funkcií

DefiníciaAk o zobrazení f platí

∀a, b ∈ D(f); a 6= b⇒ f(a) 6= f(b),

hovoríme, že je prosté, alebo injekcia.Nech f : A→ B. Ak platí, že H(f) = B hovoríme, že f jezobrazenie z množiny A na (surjekcia) množinu B. AkD(f) = A hovoríme, že f je zobrazenie množiny A domnožiny B. Ak platí, že D(f) = A,H(f) = B hovoríme, že fje zobrazenie množiny A na (surjekcia) množinu B.Prosté zobrazenie množiny A na množinu B nazývamevzájomne jednoznačným zobrazením A na B alebobijekciou A na B.

Každé prosté zobrazenie je bijekciou svojho definičného oboruna svoj obor hodnôt.

IMA1 2020

Vlastnosti funkcií

DefiníciaAk o zobrazení f platí

∀a, b ∈ D(f); a 6= b⇒ f(a) 6= f(b),

hovoríme, že je prosté, alebo injekcia.Nech f : A→ B. Ak platí, že H(f) = B hovoríme, že f jezobrazenie z množiny A na (surjekcia) množinu B. AkD(f) = A hovoríme, že f je zobrazenie množiny A domnožiny B. Ak platí, že D(f) = A,H(f) = B hovoríme, že fje zobrazenie množiny A na (surjekcia) množinu B.Prosté zobrazenie množiny A na množinu B nazývamevzájomne jednoznačným zobrazením A na B alebobijekciou A na B.Každé prosté zobrazenie je bijekciou svojho definičného oboruna svoj obor hodnôt.

IMA1 2020

Vlastnosti funkcií

ohraničenosťFunkcia je ohraničená zhora, ak

∃c ∈ R ∀x ∈ Df ; f(x) ≤ c.

Funkcia je ohraničená zdola, ak

∃d ∈ R ∀x ∈ Df ; f(x) ≥ d.

Funkcia je ohraničená, ak

∃c, d ∈ R ∀x ∈ Df ; d ≤ f(x) ≤ c.

IMA1 2020

Vlastnosti funkcií

monotónnosťFunkcia je rastúca na M

∀x1, x2 ∈M ;x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2),

Funkcia je klesajúca na M

∀x1, x2 ∈M ;x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2),

Funkcia je neklesajúca na M

∀x1, x2 ∈M ;x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2),

Funkcia je nerastúca na M

∀x1, x2 ∈M ;x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).

IMA1 2020

Vlastnosti funkcií

paritaFunkcia je párna (sudá)

∀x ∈ Df ; f(−x) = f(x),

Funkcia je nepárna (lichá)

∀x ∈ Df ; f(−x) = −f(x).

Pozor, definičný obor musí byť symetrický, teda

x ∈ Df ⇐⇒ −x ∈ Df .

IMA1 2020

Vlastnosti funkcií

periodicita

∃p ∈ R \ {0}∀x ∈ Df ; f(x± p) = f(x).

IMA1 2020

Elementárne funkcie

IMA1 2020

Polynomické funkcie

f(x) = a0 + a1 · x+ a2 · x2 + a3 · x3 + · · ·+ an · xn.

konštantné funkcie, n = 0,lineárne funkcie, n = 1,kvadratické funkcie, n = 2,polynomické funkcie pre n > 2.

IMA1 2020

Polynomické funkcie

Konštantná funkcia: y = 2.

-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00

ff

IMA1 2020

Polynomické funkcie

Lineárna funkcia: y = 2x+ 3.

-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00

ff

IMA1 2020

Polynomické funkcieKvadratická funkcia:y = (x+ 1)2, y = −(x+ 1)2, y = x2 − 3x+ 2.

-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00

ff

gg

hh

IMA1 2020

Polynomické funkcie

Polynomická funkcia, n = 3: y = x3 − 2x2 − x+ 2.

-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00

ff

IMA1 2020

Racionálne lomené funkcie

y = Pm(x)Qn(x) ,

Pm− polynóm stupňa m, Qn− polynóm stupňa n.

IMA1 2020

Racionálne lomené funkcie

Racionálna lomená funkcia: y = x−1x+3 .

-9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

77

00

ffgg

r1r1

IMA1 2020

Mocninné funkcie

y = xa; a ∈ {0, 1, 2, 3}

-7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00

hh

ggff

pp

IMA1 2020

Mocninné funkcie

y = xa; a ∈ {−1,−2}

-7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00ffgg

IMA1 2020

Mocninné funkcie

y = xa; a ∈{1

2 ,13

}

-7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00ff

gg

IMA1 2020

Exponencionálne funkcie

y = ax, a > 0, a ∈{

1, 12 , 2

}

-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212

-6-6

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

00

ff

gg

IMA1 2020

Logaritmické funkcie

y = loga x, 0 < a < 1 ∨ a > 1, (a = e).

-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212

-6-6

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

00ff

gg

IMA1 2020

Goniometrické funkcie

y = sin x, y = cosx.

-7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00

ff

gg

IMA1 2020

Goniometrické funkcie

y = tg x.

-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212

-10-10

-9-9

-8-8

-7-7

-6-6

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

00

ff

r2r2 r3r3 r4r4r5r5r6r6

IMA1 2020

Goniometrické funkcie

y = cotgx.

-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212

-10-10

-9-9

-8-8

-7-7

-6-6

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

00

ff

r1r1 r2r2 r3r3r4r4r5r5r6r6

IMA1 2020

Cyklometrické funkcie

y = sin x, y = arcsin x.

-3-3 -2.5-2.5 -2-2 -1.5-1.5 -1-1 -0.5-0.5 0.50.5 11 1.51.5 22 2.52.5 33 3.53.5

-2-2

-1.5-1.5

-1-1

-0.5-0.5

0.50.5

11

1.51.5

22

00

ff

gg

IMA1 2020

Cyklometrické funkcie

y = cosx, y = arccosx.

-2-2 -1.5-1.5 -1-1 -0.5-0.5 0.50.5 11 1.51.5 22 2.52.5 33 3.53.5 44 4.54.5

-1-1

-0.5-0.5

0.50.5

11

1.51.5

22

2.52.5

33

00

ff

gg

IMA1 2020

Cyklometrické funkcie

y = tg x, y = arctg x.

-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212

-6-6

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

00

ff

IMA1 2020

Cyklometrické funkcie

y = cotgx, y = arccotgx.

-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212

-6-6

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

00

gg

ff

hh

IMA1 2020

Dôležité funkcie

celá časť: [x] ≤ x < [x] + 1

charakteristická funkcia množiny M : χ(x) ={

0 x 6∈M1 x ∈M

sgn(x) =

1 x > 00 x = 0−1 x < 0

IMA1 2020

Dôležité funkcie

celá časť: [x] ≤ x < [x] + 1

charakteristická funkcia množiny M : χ(x) ={

0 x 6∈M1 x ∈M

sgn(x) =

1 x > 00 x = 0−1 x < 0

IMA1 2020

Dôležité funkcie

celá časť: [x] ≤ x < [x] + 1

charakteristická funkcia množiny M : χ(x) ={

0 x 6∈M1 x ∈M

sgn(x) =

1 x > 00 x = 0−1 x < 0

IMA1 2020