Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

MATEMATIKA - 2016

Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu so zadaním obsahuje aj miesto na zapísanie odpovede – je označené hrubším rámikom.

Povolené pomôcky: modré alebo čierne pero. Pomocné výpočty môžete robiť na voľné miesto v tomto teste alebo na papier, ktorý dostanete. Nemôžete používať žiadne iné pomôcky (napr. kalkulačku, mobil, vlastný papier a pod.).

Za správnu odpoveď na jednu úlohu získate 1 hodnotenie P (ak úloha obsahuje viacero otázok alebo odpoveď má viacero častí, tak hodnotenie Pzískate iba vtedy, keď správne zodpoviete všetky tieto otázky, resp. časti), inak je úloha hodnotená –. Celkový počet získaných hodnotení P sa prepočíta na body (1 hodnotenie P= 2/3 bodu).

Odpovede píšte na vyznačené miesto perom. Ak nie je v zadaní úlohy uvedené inak, zapisujte číselné odpovede ako desatinné čísla (teda napr. 2031 alebo – 315,7).

Ak sa pri zapisovaní odpovede pomýlite, zreteľne prečiarknite chybnú odpoveď a novú odpoveď vpíšte čitateľne opäť na vyznačené miesto. Pri hodnotení sa bude prihliadať iba na odpovede, ktoré sú jednoznačne čitateľné a napísané na mieste určenom na zapísanie odpovede k prislúchajúcej úlohe.

Rekapitulácia hodnotenia:

počet hodnotení P počet hodnotení P

strana 2 (úlohy 1 – 10) strana 6 (úlohy 24 – 27)

strana 3 (úlohy 11 – 15) strana 7 (úlohy 28 – 29)

strana 4 (úlohy 16 – 19) strana 8 (úloha 30)

strana 5 (úlohy 20 – 23) celkový počet hodnotení P

celkový počet bodov

7. 6. 2016. Test vyhodnotil/a (podpis) _______________________________

sem vlepiť čiarový kód uchádzača

MATEMATIKA – TEST 2016 - 2333 2

1 Určte číslo 𝑎, pre ktoré platí 2!! − 2!" = 2!. 𝑎 =

2 Koľkonásobkom čísla 9975 je číslo 10075 ? - násobkom

3 Doplňte chýbajúce slovo a číslo tak, aby výrok 𝐴′ bol negáciou výroku 𝐴:

𝐴: Daná rovnica má menej ako tri riešenia.

𝐴′: Daná rovnica má DOPLŇ SLOVO ako DOPLŇ ČÍSLO riešenia.

doplnené slovo: ........................................... doplnené číslo: ...............

4 Riešte rovnicu 𝑥 + 2− 5 = 2. 𝑥 =

5 Tri rovnobežné priamky sme preťali troma navzájom rôznobežnými priamkami tak, aby sme dostali najväčší možný počet priesečníkov. Určte počet týchto priesečníkov.

6 Kvadratická rovnica 𝑥! − 12𝑥 + 𝑐 = 0 má dva korene, pričom jeden z nich je dvojnásobkom druhého. Určte 𝑐. 𝑐 =

7 Pán Novák má usporených 5 000 eur. Na začiatku roka časť z týchto úspor vložil do banky A na účet s úrokovou mierou 5 % p.a., zvyšok do banky B na účet s úrokovou mierou 4 % p.a. Po roku získal na úrokoch spolu 230 eur. Koľko eur vložil pán Novák do banky B? (Zdanenie úrokov zanedbávame, banka pripisuje úroky raz ročne.)

8 Určte počet celých čísel, ktoré patria do množiny 𝐴 ∩ 𝐵 ∖ 𝐶, kde 𝐴 = −∞ ; 8 , 𝐵 = −3 ; ∞ , 𝐶 = −1 ; 5 .

9 Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané štvorciferné číslo je menšie ako 7 000 a zároveň je deliteľné 5-timi? Výsledok zapíšte zlomkom v základnom tvare.

10 Určte dĺžku ťažnice 𝑡! trojuholníka 𝐴𝐵𝐶, ak 𝐴[2, −1], 𝐵[0, −3], 𝐶[4, 3]. 𝑡! =

MATEMATIKA – TEST 2016 - 2333 3

11 Pre reálne čísla 𝑎, 𝑏 platia rovnosti 25! = 6, 5! = 30. Vyjadrite 𝑏 pomocou 𝑎. 𝑏 =

12 O každej z nasledujúcich rovností rozhodnite, či platí pre všetky kladné čísla 𝑎, 𝑏, 𝑐. Správnu odpoveď označte krížikom ×.

platí pre všetky

𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0

nie je pravda, že platí pre všetky

𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 𝑎 + 𝑏𝑐 =

𝑎𝑐 +

𝑏𝑐

𝑎𝑏 + 𝑐 =

𝑎𝑏 +

𝑎𝑐

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏

𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏

ln 𝑎 + 𝑏 = ln𝑎 ∙ ln 𝑏

13 Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel menších ako 1 001, ktoré sú deliteľné 7.

14 Pravidelný štvorboký ihlan má výšku 6. Jeho bočná hrana zviera s rovinou podstavy uhol 45°. Vypočítajte objem ihlana.

15 Ak poznáme sínus a kosínus uhlov 30° a 45°, tak z rovnosti sin 𝛼 ± 𝛽 = sin𝛼 cos𝛽 ± sin𝛽 cos𝛼 vyplýva, že sin 75° =

(A) !! !!

. (B) ! !!!!

. (C) !

!. (D) ! !!!

!.

(E) ! !!!!

.

Sem napíšte písmeno správnej odpovede:

MATEMATIKA – TEST 2016 - 2333 4

16 Doplňte chýbajúce časti textu v riešení úlohy

K štvorcu ABCD pripíšeme rovnostranný trojuholník ABE tak, že bod E leží vnútri

štvorca. Určte veľkosť uhla DEC v stupňoch. Riešenie: Trojuholník ABE je rovnostranný, preto uhol AEB má veľkosť .................... °. Trojuholník AED je rovnoramenný so základňou ED a uhol EAD má veľkosť ........................ °, preto uhol AED má veľkosť ...................... ° (rovnakú veľkosť má aj uhol ........................ v trojuholníku BEC). Preto uhol DEC má veľkosť .............................. °.

∡𝐴𝐸𝐵 =

∡𝐸𝐴𝐷 =

∡𝐴𝐸𝐷 =

rovnakú veľkosť má aj uhol ..................... ∡𝐷𝐸𝐶 =

17 Ak chceme implikáciu 𝐴 ∧ 𝐵 ⇒ 𝐶 ∨ 𝐷 dokázať nepriamo, musíme dokázať implikáciu

(A) ¬𝐶 ∨¬𝐷 ⇒ ¬𝐴 ∧¬𝐵 . (B) 𝐶 ∨ 𝐷 ⇒ ¬𝐴 ∨¬𝐵 . (C) ¬𝐶 ∧¬𝐷 ⇒ ¬𝐴 ∨¬𝐵 . (D) ¬𝐶 ∧¬𝐷 ⇒ 𝐴 ∧ 𝐵 . (E) ¬𝐶 ∨¬𝐷 ⇒ 𝐴 ∧ 𝐵 . Poznámka: symbol ¬ označuje negáciu, teda napr. ¬𝐴 je negácia výroku 𝐴.

Sem napíšte písmeno správnej odpovede:

18 Číslo 384 môžeme zapísať „pruhovým“ zápisom ako 424 , kde pruh nad cifrou 2 znamená, že ide o zápornú cifru, teda 424 = 4 ∙ 100 – 2 ∙ 10+ 4 ∙ 1. Napíšte zápisom obsahujúcim dve číslice s pruhom rok vzniku Univerzity Komenského v Bratislave, teda rok 1919.

19 Operácia ⨂ je definovaná nasledovne: 𝑥⨂𝑦 = 𝑥𝑦!! .

Vypočítajte hodnotu 5⨂20 ⨂40.

A B

C D

E

MATEMATIKA – TEST 2016 - 2333 5

20 Určte kosínus tupého uhla medzi ťažnicami spustenými na odvesny rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

21 Do rovnostranného trojuholníka sme vpísali kružnicu k. Potom sme vpísali menšiu kružnicu m do jedného z rohov rovnostranného trojuholníka tak, aby sa dotýkala dvoch strán rovnostranného trojuholníka a kružnice k. Koľkokrát menší polomer má kružnica m ako kružnica k?

22 Stred 𝑆 kružnice s polomerom 6 leží na prepone 𝐴𝐵 pravouhlého trojuholníka 𝐴𝐵𝐶. Odvesny sa dotýkajú kružnice. Určte obsah trojuholníka 𝐴𝐵𝐶, ak viete, že 𝑆𝐵 = 10. Výsledok zapíšte zlomkom v základnom

tvare.

23 Pravdepodobnosť výskytu choroby A na ostrove Utópia je 40 %. Pravdepodobnosť jej výskytu medzi ženami tohto ostrova, ktoré tvoria 60 % všetkej populácie (zvyšok tvoria muži), je 50 %. Aká je pravdepodobnosť výskytu choroby A medzi mužmi na ostrove Utópia? Výsledok uveďte v percentách.

MATEMATIKA – TEST 2016 - 2333 6

24 Prvočíslo sa nazýva reverzibilné, ak aj jeho zápis prečítaný sprava doľava je prvočíslo (napr. 71 je reverzibilné prvočíslo, pretože aj číslo 17 je prvočíslo). Vypíšte všetky reverzibilné prvočísla spomedzi čísel 37, 38, ..., 75.

reverzibilné prvočísla sú:

25 Graf funkcie 𝑦 = sin 𝑥 (prvý obrázok) sme dvojnásobne zhustili v smere osi Ox (druhý obrázok) a potom posunuli o 1 doprava (tretí obrázok). Napíšte predpis funkcie, ktorej graf je na treťom obrázku.

𝑦 =

26 V nasledujúcej vete vyberte správnu z dvoch možností najväčšia/najmenšia a doplňte chýbajúce čísla v rámikoch:

Ak funkcia 𝑦 = 𝑓 𝑥 nadobúda najmenšiu hodnotu 2 v bode 𝑥 = 3, tak

hodnota funkcie

𝑔:𝑦 = 4𝑓 1− 2𝑥 je číslo a funkcia 𝑔 ho nadobúda v bode 𝑥 = .

vybraná možnosť: ................................................ číslo ..................... v bode 𝑥 =

27 Koľko trojciferných prirodzených čísel má súčin cifier rovný 252?

najväčšia najmenšia

MATEMATIKA – TEST 2016 - 2333 7

28 Rovnoramenný pravouhlý trojuholník s odvesnami dĺžky 1 sme otočili okolo vrcholu, pri ktorom je pravý uhol, o 45°. Vypočítajte obsah štvoruholníka, ktorý je prienikom obidvoch trojuholníkov. Výsledok zapíšte v tvare 𝑎 2+ 𝑏.

29 Ktorú z nasledujúcich množinových rovností znázorňuje Vennov diagram na obrázku?

(A) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶 (B) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐶 (C) 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶 (D) 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐶

Sem napíšte písmeno správnej odpovede:

A B

C

MATEMATIKA – TEST 2016 - 2333 8

30 Úvaha ak 𝑘 = 3𝑚 + 1 a 𝑟 = 3𝑠 + 1 (kde 𝑚, 𝑠 ∈ 0, 1, 2, 3,… ),

tak 𝑘 ∙ 𝑟 = 3 3𝑚𝑠 +𝑚 + 𝑠 + 1, teda 𝑘 ∙ 𝑟 možno písať v tvare 𝑘 ∙ 𝑟 = 3𝑛 + 1, kde 𝑛 ∈ 0, 1, 2, 3,…

je dôkazom tvrdenia

(A) ak súčin dvoch prirodzených čísel nie je deliteľný tromi, tak ani jedno z nich nebolo deliteľné tromi,

(B) ak ani jedno z dvoch daných prirodzených čísel nie je deliteľné tromi, tak ani ich súčin nie je deliteľný tromi,

(C) súčin dvoch prirodzených čísel, ktoré majú po delení tromi zvyšok 1, má tiež po delení tromi zvyšok 1,

(D) ak súčin dvoch prirodzených čísel má po delení tromi zvyšok 1, tak aspoň jedno z nich malo po delení tromi zvyšok 1,

(E) ak súčin dvoch prirodzených čísel nemá po delení tromi zvyšok 1, tak ani jedno z týchto čísel nemá po delení tromi zvyšok 1.

Sem napíšte písmeno správnej odpovede:

KONIEC TESTU