mkp a mhp - interaktivní studijní materiál

Obsah

1. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Vysok kola bsk Technick univerzita OstravaZpadoesk univerzita v Plzni

MKP a MHP - interaktivn studijn materil

Martin Fusek, Radim Halama

Obsah

2. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Martin Fusek, Radim HalamaMKP a MHPMKP a MHP - interaktivn studijn materil

c Martin Fusek, Radim Halama, 2012ISBN

Obsah

3. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Pedmluva

Ven teni, text, kter prv tete, vznikl v rmci een projektu Matematika proinenry 21. stolet - inovace vuky matematiky na technickch kolch v novch podmn-kch rychle se vyvjejc informan a technick spolenosti. Projekt je een na Vysokkole bsk - Technick univerzit v Ostrav a Zpadoesk univerzit v Plzni v obdob2009 - 2012. Hlavn motivac projektu je poteba reagovat na zmny vznamu jednotlivchparti matematiky pi een praktickch problm, zpsobenou zejmna velkm pokrokemv matematickm modelovn, dramatickm zlepovnm software a rychlm zvyovnmvpoetnch kapacit modernch pota. Ineni nyn bn vyuvaj stle se vyvje-jc komplikovan softwarov produkty zaloen na matematickch pojmech, se ktermi sev kurzech matematiky buto nesetkaj vbec nebo v nevhodn form. Na druh stranprezentace nkterch pojm v zkladnch kurzech neodr z nejrznjch dvod potebyodbornch kateder. Bohuel tento stav ztuje studentm aktivn pouvn zskanch v-domost v odbornch pedmtech i orientaci v rychle se vyvjejcch metodch inenrskpraxe. Clem projektu je inovace matematickch a nkterch odbornch kurz na technic-kch vysokch kolch s clem zskat zjem student, zvit efektivnost vuky, zpstupnit

3

Obsah

4. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

prakticky aplikovateln vsledky modern matematiky a vytvoit pedpoklady pro efektivnvuku inenrskch pedmt. Zkvalitnn vuky matematiky budoucch inenr chcemedoshnout po strnce formln vyuitm novch informanch technologi ppravy elektro-nickch studijnch materil a po strnce vcn pelivm vbrem vyuovan ltky s d-slednm vyuvnm zavedench pojm v celm kurzu matematiky s promylenou integracmodernho matematickho apartu do vybranch inenrskch pedmt. Metodiku vukymatematiky a jej atraktivnost pro studenty chceme zlepit drazem na motivaci a dsled-nm pouvnm postupu od problmu k een. V rmci projektu vytvme 40 novchvukovch materil z oblast matematick analzy, linern algebry, numerickch metod,metod optimalizace, diskrtn matematiky, teorie graf, statistiky a nkolika odbornchkurz. Vechny hotov vukov materily budou voln k dispozici na webovch strnkchprojektu http://mi21.vsb.cz.

4

Obsah

5. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Tento materil je koncipovn jako strun vod do metody konench prvk v oblastinelinernch loh mechaniky prunho tlesa. V vodu jsou zopakovny zkladn poznatkyo modelovn, linern teorii prunosti a metod konench prvk. Nsledn jsou uvedenyzkladn nelinern problmy mechaniky prunho tlesa. Jedn se o geometrick nelinea-rity, problematiku nelinernho chovn materil a je zde strun nastnna problematikakontaktu tles. Dle je v textu pedstavena problematika odhadu chyb a adaptivnch tech-nik v MKP. V zvren kapitole, vnujc se metod konench prvk, jsou pedstavenypostupy pro een nestacionrnch loh.Druh st skript je vodem do metody hraninch prvk. V tto sti jsou na zatku shr-nuty zkladn poznatky nutn pro odvozen zkladnch vztah, kter jsou nsledn pouitypro vlastn aplikaci.

Text byl vyszen pomoc szecho systmu TEX ve formtu pdf LATEX 2.

V Ostrav 13. 7. 2012 Martin Fusek

5

Obsah

6. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Orientace v textuKad kapitola m svou pevnou strukturu, kter by vm mla pomoci k rychlej orientaciv textu. Pi psan mete vyut nsledujc stavebn kameny:

Prvodce studiem

Prostednictvm prvodce studiem vs chceme seznmit s tm, co vs v dan kapitole ek,kter sti by mly bt pro vs opakovnm, na co je teba se obzvlt zamit atd.

Cle

V sti cle se dozvte, co vechno zvldnete a budete umt po prostudovn dan kapitoly.

Pklad

een pklady pomhaj k pochopen teoretickch poznatk a slou jako vzor pro eencvien. Jejich konec je oznaen plnm trojhelnkem (N).

Pojmy k zapamatovn

Pojmy zde uveden jsou vtinou nov a zcela zsadn. To znamen tyto pojmy nejen po-chopit a umt ilustrovat na pkladech, ale tak umt vyslovit jejich pesn definice.

6

Obsah

7. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Kontroln otzky

Odpovzenm na tyto otzky si ovte, zda jste danm pojmm porozumli, zda si uv-domujete rozdly mezi zdnliv podobnmi pojmy, zda dovedete uvst pklad ilustrujcdanou situaci atd.

Pklady k procvien

Tyto pklady slou k tomu, abyste si dkladn procviili probranou ltku. Vsledky uve-dench pklad jsou zaazeny na konci kad kapitoly.

Kl k pkladm k procvien

Na konci kad kapitoly je uveden kl ke cvienm, kter obsahuje vsledky pklad k pro-cvien.

Autotest

Pomoc autotestu si otestujete sv znalosti a poetn dovednosti z celho objemu uiva.

Pro zjemce

Tato st, jak ji bylo uvedeno ve, obsahuje rozen vsledk na funkce t a zejmnaobecn promnnch. Je od ostatnho textu odliena menm typem psma.

7

Obsah

8. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Literatura

Jedn se o literaturu pouitou autory pi vytven tohoto studijnho materilu, nikoliv jeno literaturu doporuenou k dalmu studiu. Pokud nkterou z uvedench publikac doporu-ujeme zjemcm, pak je to v textu spolu s odkazem na dan titul jasn uvedeno.

Rejstk

Rejstk, uveden na konci skript, poslou ke snadn orientaci v textu.

Definice a vty jsou uvedeny v rmeku (v tiskov verzi) resp. barevnm psmem s barevnmpozadm (v obrazovkov verzi). Konce dkaz jsou vyznaeny przdnm tverekem ( ),konce een pklad plnm trojhelnkem (N).

8

Obsah

9. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Obsah

Pedmluva 3

1 Modelovn v prunosti a pevnosti 151.1 Modelovn v technick praxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.1 Chyby pi modelovn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Postup pi vytven modelu a realizace een . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Klasifikace model tles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1 Tdn z hlediska vztahu k asu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Tdn z hlediska linearity rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Teorie prunosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1 Zkladn pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1.1 Vektor posuv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.1.2 Tenzor napt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.1.3 Tenzor deformace a Cauchyho geometrick rovnice . . . . . 241.4.1.4 Fyzikln rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.2 Zkladn lohy een teori prunosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.3 Formy matematick formulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.4 Diferenciln formulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.4.1 Rovnice rovnovhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Obsah

10. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

1.4.4.2 Okrajov podmnky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4.4.3 Lmeovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.5 Princip virtulnch prac a varian principy . . . . . . . . . . . . . . 321.4.5.1 Princip virtulnch prac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.5.2 Varian principy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5 Volba metody een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.1 Analytick een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.2 Numerick een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Pklady k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Kl k pkladm k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Opakovn zkladnch poznatk MKP 462.1 Metoda konench prvk v linern mechanice kontinua . . . . . . . . . . . 47

2.1.1 Zkladn pedpoklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.2 Odvozen zkladnch vztah MKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.2.1 Rozdlen een oblasti - elementy . . . . . . . . . . . . . . 492.1.2.2 Formulace chovn elementu . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.2.3 Optovn sloen, zskn vsledn soustavy rovnic . . . . . 532.1.2.4 Aplikace okrajovch podmnek, vlastn een vsledn sou-

stavy rovnic, zskn dodatench vsledk . . . . . . . . . 54Pklady k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Kl k pkladm k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10

Obsah

11. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

3 Nelinern lohy mechaniky 633.1 Linerni versus nelinern analzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2 een zkladn rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2.1 Newton-Raphsonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.2 Metoda dlky oblouku (Arc-Length method) . . . . . . . . . . . . . 71Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Geometrick nelinearity 784.1 Zkladn dlen geometrickch nelinearit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1 Velk posuvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.2 Velk petvoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Popis pohybu kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.1 Lagrangev popis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.2 Eulerv popis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Tenzory petvoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4 Tenzory napt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Pklady k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Kl k pkladm k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 Materilov nelinearity 935.1 Elastick materilov modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.1 Linern elastick modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.1.1.1 Linern elastick izotropn model materilu . . . . . . . . 945.1.1.2 Linern elastick ortotropn model . . . . . . . . . . . . . 955.1.1.3 Linern elastick anizotropn model . . . . . . . . . . . . 95

11

Obsah

12. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

5.1.2 Nelinern elastick materilov modely (hyperelastick) . . . . . . . 965.1.2.1 Neo-Hookeovsk model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.1.2.2 Mooney-Rivlingv model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.1.2.3 Yeohv model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.1.2.4 Ogdenv model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.1.2.5 Dal materilov modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.1.3 Viskoelastick materily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.3.1 Maxwellv visko-elastick model . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.3.2 Kelvin-Voight viskoelastick materilov model . . . . . . 101

5.2 Elasticko-plastick chovn materil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2.1 asov nezvisl elasticko-plastick chovn . . . . . . . . . . . . . . 1025.2.2 asov zvisl elasticko-plastick chovn . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3 Dal materilov modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Pklady k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Kl k pkladm k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 Kontakt 1166.1 vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Kontakt a metoda konench prvk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3 Zkladn algoritmy een kontaktnho problmu . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3.1 Metoda Lagrangeovch multipliktor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3.2 Pokutov pstup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Pklady k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Kl k pkladm k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12

Obsah

13. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

7 Chyby a adaptivn techniky 1307.1 Chyby v MKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 Podmnka konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3 Mry a odhady chyb een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.3.1 Normy chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3.2 Odhad chyby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.4 Adaptivn techniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.4.1 h-verze MKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.4.2 p-verze MKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.4.3 hp-verze MKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.5 Adaptivn technika dle Zienkiewicze a Zhua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Pklady k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Kl k pkladm k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8 Nestacionrn analzy v MKP 1558.1 Zkladn rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.2 Implicitn versus explicitn algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.2.1 Implicitn algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.2.2 Explicitn algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.2.3 Srovnn implicitnho a explicitnho algoritmu . . . . . . . . . . . . . 164Pklady k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Kl k pkladm k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

13

Obsah

14. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

9 vod do Metody hraninch prvk 1739.1 Pm varianta MHP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.1.1 Bettiho vta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.1.2 Kelvinova loha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.1.3 Rovnice hraninch integrl pro rovinnou prunost . . . . . . . . . 1829.1.4 Diskretizace hranice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.1.4.1 Konstantn prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.1.4.2 Isoparametrick prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9.1.5 Sestaven soustavy rovnic a aplikace okrajovch podmnek . . . . . . 1899.1.5.1 Konstantn prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.1.5.2 Isoparametrick prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.1.6 Vpoet napt na povrchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999.1.6.1 Konstantn prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019.1.6.2 Isoparametrick prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9.1.7 Vpoet sloek posuv a napt v bod uvnit tlesa . . . . . . . . . 2039.2 Shrnut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Pklady k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Kl k pkladm k procvien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Interaktivn test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Literatura 217

Rejstk 219

14

Obsah

15. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

15

Kapitola 1

Modelovn v prunosti a pevnosti

Prvodce studiem

Na zatku kapitoly budou uvedeny informace o modelovn v technick praxi. Budou zdeprobrny jednotliv postupy pi modelovn, informace o chybch a probrny jednotliv typymodel.

V dal sti kapitoly budou shrnuty informace a poznatky ohledn chovn prunch tles.Budou strun shrnuty zkladn poznatky linern teorie prunosti o napjatosti a deformaci.

Na konci kapitoly budou srovnny vhody a nevhody analytickho a numerickho eenproblm.

Obsah

16. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Modelovn v prunosti a pevnosti 16

Cle

Po prostudovn tto kapitoly budete znt: Co je to modelovn. Rozdlen model dle rznch kritri. Jak mou pi modelovn vzniknout chyby. Rozdly mezi silnou a slabou formulac teorie prunosti. Vhody a nevhody mezi analytickm a numerickm eenm.

1.1. Modelovn v technick praxiPi een problm se me postupovat dvma odlinmi pstupy:

pm een,

nepm een.

Pm een - formulovan problm se e zvolenm postupem - odhad, intuice, cit,zkuenost - a ten bu vede, nebo nevede k cli, tedy k een. Nedovede-li dan postup k cli,zane se eit jinou metodou. Jedn se vlastn o metodu pokus-omyl.

Nepm een - msto formulovanho problmu se e jin, kter je snadnji zvld-nuteln. Prostednictvm jeho een se zsk een primrn formulovanho problmu. Je toeen oklikou - tj. een, pi nm eitel vyuv svch schopnost pemlet, hodnotit,posuzovat a srovnvat rzn varianty a pedevm jednat elov, snait se doshnou cle

Obsah

17. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


s minimlnm silm. Hovome o modelovn.Modelovn neboli simulace pedstavuje experimentln proces, pi nm se zkoumanmuobjektu (originlu, modelovmu systmu) jednoznan dle uritch kritri piazuje model(modelov objekt). Model me bt:

fyzick model,

abstraktn model,

kombinovan model.

Fyzick model umouje provdt experimenty s modelem a zkoumat tak vlastnostioriginlu (na modelu) pomoc dj stejn fyzikln podstaty. Pkladem me bt zkoumnobtkn vzduchu kolem modelu auta, letadla, aj. v aerodynamickm tunelu.

Krom fyzickho modelu meme originlu piadit model abstraktn. Je vsledkemnkter obecn vdy. Tento model ji neumouje provdt experimenty stejn fyziklnpodstaty. Umouje zkoumat jevy probhajc na originle pomoc matematickho popisujejich prbh.

Kombinovan model je takov, kdy st modelu je fyzick a st abstraktn.V tomto textu se zamme pouze na modely abstraktn a to pouze na modely vpotov.

1.1.1. Chyby pi modelovn

Kad lovk chybuje. Chyba je realita, se kterou se mus potat. Nejzvanj chybaje tzv. chyba kvalitativn, kdy dan model neobsahuje vechny dleit vlastnosti, pod-

Obsah

18. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


statn z hlediska een danho problmu. Takovto chyba je nejzvanj, protoe je tkoodhaliteln. Model se chov sprvn, ale nee nmi hledan problm.

Opakem pedchoz chyby je chyba sloitosti, kdy model obsahuje krom podstanchvlastnost i vlastnosti nepodstatn . V lepm ppad se prodlou doba een problmu,v horm ppad se nemus zskat een lohy vbec.

Dalm typem chyby je chyba kvantitativn, kdy model obsahuje vechny podstatnvlastnosti z hlediska een problmu, ale jejich kvantitativn vyjden je na dan rozliovacrovni pro een problmu nedostaten.

ast chyba kter se vyskytuje pi realizaci een je chyba konkretizan. Model jevytvoen sprvn, obsahuje vechny podstatn vlasnoti, ale pi jeho vlastnm een vzniknechyba, nap . chybn zadn vstupnch daj, chyba v nevhodn volb pouitho programu,aj. Tento typ chyb je snadno odhaliteln kontrolou zskanch vsledk.

Krom toho se me v modelu objevit i tzv. chyba formln.

1.2. Postup pi vytven modelu a realizace eeneen lohy je posloupnost innost, kter se mohou pekrvat, s nsledujcmi kroky:

Zadn lohy (zadavatel, vedouc, vyuujc).

Rozbor zadn a smysl lohy.

Obsah

19. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Vbr teorie, kter bude pouita pi een lohy (pruty, skoepiny, rovinn napjatost,atd.).

Volba metody een (analyticky, numericky).

Sestaven plnho souboru vstupnch dat.

Sestaven vpotovho modelu (zjednosuen vi relu).

Vlastn een.

Zpracovn vsledk a jejich interpretace.

Rozhodnut o dalm postupu (konec, nebo pokraovn).

Proto, aby loha mohla bt vyeena sprvn, mus mt eitel potebn znalosti, zs-kan jednak ve kole, jednak prax i samostudiem. Pro een vlastn lohy mus mt k dis-pozici vpoetn prostedek, co je v souasnosti nejastji pota s vhodnm progra-movm vybavenm. Asi nejdleitj vlastnostmi pi tvorb vpoetnch model, nejenpoddajnch tles, jsou v prvn ad tvr schopnosti, zkuenost, cit a intuice.

1.3. Klasifikace model tlesAbstraktn vpotov modely v mechanice prunho tlesa lze rozdlit z rznch hledisek -dle vztahu k asu, jedn-li se o linern nebo nelinern modely, dle elu, atd.

Obsah

20. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


1.3.1. Tdn z hlediska vztahu k asu

Dlen dle vztahu k asu:

stacionrn analzy,

nestacionrn analzy.

ada systm se chov tak, e pi zmn okolnch podmnek probhne pechodovproces, bhem kterho se stavov parametry systmu mn v ase. Po urit dob dojdek ustlen stavu, kdy je asov zmna parametr systmu nulov. Systm se dostal do sta-cionrnho stavu. Stacionrn analza e prv tento vsledn stav, ani by byl een(brn v vahu) pechodov proces. een je nezvisl na ase.

Naproti tomu clem nestacionrn analza je zskat stavov parametry systmu jakofunkce asu. Volba typu analzy souvis s clem een a rozhoduje o nm eitel problmu.

Pojmy statick a dynamick analza jsou zavedeny v oblasti mechaniky. Rozliuj seppady, kdy jsou a nejsou uvaovny setrvan sly ve vpotu. Nkdy jsou pojmy staticka stacionrn zamovny. Obdobn tak nestacionrn s pojmem dynamick. Ve vtinppadu to plat, ne vak vdy.

Obsah

21. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


1.3.2. Tdn z hlediska linearity rovnic

Dlen z hlediska linearity rovnic:

linern modely,

nelinern modely.

K een praktickch loh asto vystame s linernmi modely. Jsou vak i oblastimechaniky tles, kter vyaduj znalost een nelinernch loh. V nelinern mechanicedeformovatelnho tlesa jde napklad o ppady tles s nelinern deforman charakteristi-kou a o ppady s velkmi deformacemi, pi nich se podstatn mn geometrie a tvar tlesa.

Pro linern modely je typick vysok mra idealizace eenho problmu. Je zaruenaexistence a jednoznanost een linernch model. Linern modely jsou konzervativn,nedochz k dn disipaci energie. Konen stav modelu zvisna konench hodnotch zadanch posuv a zaten a nikoliv na zpsobu, kterm ho bylodosaeno. Pi een lze vyut zkona superpozice a vsledn een sloit z dlch loh.

Nelinern modely se na rozdl od linernch vyznauj zvislost na posloupnostistav, ktermi systm proel od potku do konce dje. U nelinernch loh mme k dispozicijen omezen vpoetn monosti a jsme asto odkzni na numerick postupy. K eennelinernch loh je teba mnohem vt zkuenosti a intuice ne k een loh linernch .

1.4. Teorie prunostiV tto kapitole budou shrnuty zkladn poznatky mechaniky kontinua prunho t-

Obsah

22. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


lesa. Pedmtem matematick teorie prunosti, je vyetovn stav napjatosti a deformaceobecnho prunho tlesa. Napov analza je vchodiskem k hodnocen meznch stavzkoumanho systmu. lohou teorie prunosti je urit v tlese vyplujcm objem a ohra-nien povrchem ti pole:

vektorov pole posunut,

tenzorov pole deformace,

tenzorov pole napt.

een obecnch prostorovch loh je velice obtn. V mnoha ppadech meme lohuzjednoduit na dvojrozmrnou , poppad na jednorozmrnou. Tmto doshneme znanhozjednoduen popisu a een lohy. Typicky meme zjednoduit lohu prunosti tlesa na:

jednodimenzionln lohu,

dvojdimenzionln lohu,

rovinn deformace, rovinn napjatost, axisimetrick loha.

Do oblasti zjednoduen spad i zjednoduen loh spadajc do oblast nosnk a skoepin.

Obsah

23. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


1.4.1. Zkladn pojmy

1.4.1.1. Vektor posuv

V trojrozmrnm kartzskm souadnm systmu meme posuvy zapsat pomoc tfunkc souadnic = (, , ), = (, , ), = (, , ). Zapsno ve vektorov form:

{} = {, , }. (1.1)Posuvy , , jsou spojitmi funkcemi souadnic. Poadavek na spojitost funkc vychz

z pedpokladu, e spojitost tlesa nebude bhem deformace poruena. Komponenty vektoruposunut jsou oznaeny , , tak jak je zvykem v teorii prunosti. Pro jednodu zpiszaveme, e: = = 1, = = 2, = = 2. Pak lze, v tenzorov notaci, zapsatpole posuv jednodue jako , kde za lze dosadit souadnice , , , pop. 1, 2, 3. slovanzpis bude v dalm textu preferovn.

1.4.1.2. Tenzor napt

Napt lze zjednoduen definovat jako sla na jednotku plochy. Napjatost elementr-nho objemu zatenho tlesa je obecn popsna devti slokami tenzoru napt . Tytosloky lze zapsat pomoc matice tenzoru napt:

=

=

= 11 12 1321 22 23

31 32 33

. (1.2)Z dvodu platnosti zkona o sdruenosti smykovch napt lze uvaovat pouze est

sloek napt. Tenzorov zapsno = . asto se pout vektorov (inenrsk) zpisnapjatosti:

Obsah

24. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


= {, , , , , } . (1.3)

1.4.1.3. Tenzor deformace a Cauchyho geometrick rovnice

Geometrick zmny jsou popsny krom posuv i deformacemi (petvoenmi).Pro tenzor deformace plat analogick pravidla jako u tenzoru napt. Maticov memetenzor deformace zapsat:

=

/2 /2/2 /2/2 /2

=

= 11 12 1321 22 23

31 32 33

. (1.4)V tenzorov notaci lze pedchoz rovnice zapsat ve tvaru:

= (, + ,)/2. (1.5)

Vektorov (inenrsk podoba)lze sloky tenzoru deformace zapsat:

= {, , , , , } . (1.6)

Geometrick rovnice jsou vztahy vytvejc vazbu mezi slokami posuv a petvoen(deformac), tedy sloky tenzoru deformace. Chceme-li popsat deformaci celho tlesa, mu-sme pro kad bod tlesa popsat polohu t po deformaci. Tyto rovnice se pro ppadmalch deformac nazvaj Cauchyho rovnice. Pipomeme, e plat pouze pro mal de-formace (velice orientan cca do 1%) a maj nsledujc tvar:

Obsah

25. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


=

,

=

,

=

, (1.7)

=

+

,

=

+

,

=

+

.

Jednodueji lze opt rovnice zapsat v tenzorov notaci:

= (, + ,)/2. (1.8)

est sloek deformace (petvoen) je vyjdeno pomoc t sloek posuv , , . Slokypetvoen tedy nejsou zcela nezvislmi funkcemi souadnic. Maj-li popisovat deformacespojitho tlesa, mus pro n platit deforman podmnky, kter zskme tak, e vyloumeposuvy z Cauchyho rovnic. Zskaj se tzv. rovnice kompatibility.

1.4.1.4. Fyzikln rovnice

Pedstavuj vztah mezi deformac a napjatost. Sloky napt, vstupujc do rovnic rov-novhy a sloky petvoen v geometrickch rovnicch jsou navzjem vzny Hookeovm

Obsah

26. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


zkonem. Pipomeme vak, e tento vztah plat pouze, je-li materil prun, izotropna homogenn. Obecn lze Hookev zkon zapsat ve tvaru:

=1

[ ( + )],

=1

[ ( + )],

=1

[ ( + )],

=

, (1.9)

=

,

=

,

kde je modul prunosti v tahu, je Poissonovo slo a je modul prunosti ve smyku.Mezi veliinami plat nsledujc vztah:

= 2(1 + ) . (1.10)

Pi nkterch aplikacch v prunosti se vyuv tzv. objemov modul:

= 3(1 2) . (1.11)

Zavedenm Lmeho konstanty:

Obsah

27. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


= (1 + )(1 2) . (1.12)

lze fyzikln rovnice zapsat v tenzorov notaci nsledn:

= + 2 , (1.13)

kde je tzv. Kroneckerovo delta. Obecnji lze rovnici 1.13 pepsat do tvaru:

= e, (1.14)

kde e je elastick konstitutivn tenzor definovan rovnic:

e = + (e + e). (1.15)

Sloitj chovn materil bude diskutovno v nsledujcch kapitolch.

1.4.2. Zkladn lohy een teori prunosti

Existuj ti zkladn lohy een teori prunosti:

Pm loha - Pro tleso se znmou geometri, materilem, zatenm a vaz-bami k okol je poteba stanovit jeho deformaci a napjatost, tj. pole posunut, poledeformac a pole napt.

Inverzn loha - Pro tleso je pedepsno pole napt nebo posuv. lohou jestanovit vnj zaten ppadn zjistit okrajov podmnky, kterm dan funkce polenapt vyhovuj (Airyho funkce napt, apod.).

Obsah

28. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Poloinverzn loha - Pro tleso jsou sten zadny silov veliiny a sten za-dny posuvy. Uvnit tlesa jsou znmy pouze nkter sloky tenzoru napt. Pklademje nap. vyetovn kroucen prut nekruhovho prezu.

Nejastj lohou, kter se vyskytuje pi een problm je pm loha prunosti.Pokud nebude eeno jinak, bude pedpokldno een pm lohy prunosti. Pi eenkonkrtnch loh se nikdy nee souasn vech patnct funkc prunosti, ale vzjemnmdosazovnm a pravami zkladnch rovnic prunosti se postupn vyluuj jednotliv skupinyneznmch. Nakonec zstanou vztahy obsahujc jen jeden typ neznmch funkc. Tytojsou pak oznaovny, jako nezvisl neznme funkce. Podle vbru neznmch funkc pakrozliujeme nsledn pstupy:

Deforman - neznme jsou sloky posuv.

Silov - neznme jsou sloky napt.

Smen - neznme jsou jak sloky napt, tak i posuv.

1.4.3. Formy matematick formulace

Pi matematick formulaci problmu meme postupovat dvma zkladnmi postupy:

diferenciln formulace,

varian formulace.

Diferenciln formulace. Tento postup formuluje n problm v podob soustavy dife-rencilnch rovnic. Pro een konkrtn lohy rovn je poteba znt okrajov (i poten)

Obsah

29. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


podmnky. Diferenciln formulace je t nazvna jako tzv. siln formulace lohy.

Varian formulace. een problmu se hled jako stav, v nm energie analyzova-nho tlesa dosahuje extrmn (stacionrn) hodnoty. Tato problematika spad do oblastivarianch princip mechaniky, kter specifikuj, o jakou formu energie analyzovanho sys-tmu se jedn a co mus apriorn splovat hledan funkce prunosti. Energetick pstupyjsou aktuln pedevm v souvislosti s numerickmi metodami. Pstup energetick, pop.varian, je tak oznaovn jako tzv. slab formulace.

Existuj postupy, jak silnou formulaci lze pevst pmo na formulaci slabou, nap. me-toda vench rezidu.

V nkterch numerickch metodch pro een parcilnch diferencilnch rovnic, mebt dc rovnice diskretizovna pmo - tj. pepsna jako soustava linernch algebraickchrovnic, vhodn pro een na potai. Jako pklad me bt metoda konench diferenc(metoda st). Jin metody, teba napklad MKP, aj. vak potebuj jin pstup - dcdiferenciln rovnice mus bt pevedena na integrln formu zvanou slab formulace. Slabformulace je ekvivalentn se silnou formulac. V mnoha odvtvch m slab formulace pro-blmu specifick nzev, nap. v mechanice prunho tlesa je nazvna jako princip virtu-lnch prac. Slabou formulaci problmu lze tedy zskat aplikac principu virtulnch pracznmho z mechaniky prunch tles, nebo lze vychzet z varianho principu ve smysluminimalizace funkcionlu vhodn volenho se zetelem k fyziklnmu charakteru eenhoproblmu. Dal monost je aplikace principu vench rezidu.

Obsah

30. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


1.4.4. Diferenciln formulace

Tato kapitola je vnovna zkladnm diferencilnm rovnicm linern teorie prunostipro een okrajovch loh, a to soustavm Lmeovch rovnic . Krom tchto rovnic existuji tzv. Beltram-Michelovch rovnic se ktermi se v tomto textu nebude pracovat.

V obecn prostorov loze existuje 15 neznmch funkc promnnch , , . Rovnicemus bt splnny uvnit een oblasti a na hranici een oblasti mus bt splnny pede-psan okrajov podmnky. K uren patncti neznmch funkc mme soustavu zkladnchrovnic matematick teorie prunosti. Meme j rozdlit na ti hlavn skupiny:

ti rovnice rovnovhy, budou uvedeny ne, viz. 1.17,

est rovnic geometrickch, viz 1.8,

est fyziklnch (konstitutivnch) rovnic, viz 1.13.

1.4.4.1. Rovnice rovnovhy

Statick rovnice rovnovhy pat mezi zkladn rovnice teorie prunosti. Vyjaduj pod-mnky rovnovhy infinitezimlnho objemovho elementu tlesa. V tomto ppad jsou se-staveny na nedeformovanm tlesu, jedn se o teorii prvnho du. Mohou rovn vyjadovatpodmnku rovnovhy podle dAlembertova principu v ppad een dynamickho dje. Prokartzsk souadn systm plat:

Obsah

31. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


+

+

+ = 0,

+

+

+ = 0, (1.16)

+

+

+ = 0.

Jednodueji lze rovnice zapsat v tenzorov notaci:

, + = 0. (1.17)

1.4.4.2. Okrajov podmnky

Rovnice 1.8, 1.13 a 1.17 jsou soustavou 15 rovnic (9 parcilnch diferencilnch rovnica 6 algebraickch rovnic), kterm mus vyhovovat napjatost a deformace prunho tlesa.Soustava poskytuje obecn nekonen mnoho een. Je nutno najt to, kter vyhovuje okra-jovm podmnkm. Rozeznvme ti druhy okrajovch podmnek:

geometrick,

statick,

smen.

Na hranici tlesa mohou bt pedepsny hodnoty sloek posuv , , . Takovto okra-jov podmnky pedepisuj geometrickou vazbu tlesa s jeho okolm. Proto se tyto okrajov

Obsah

32. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


podmnky nazvaj geometrick okrajov podmnky. Nkdy se t nazvaj kinema-tick okrajov podmnky.

= . (1.18)Druhou skupinou okrajovch podmnek jsou statick nebo taky silov okrajov

podmnky. Okrajov podmnky vyjaduj statickou vazbu tlesa s jeho vnjm okolm.V tomto ppad jsou pedepsny hodnoty sloek vektoru vnjho zaten.

= 0. (1.19)Me se vak stt, e na sti povrchu jsou pedepsny zrove statick a geometrick

okrajov podmnky. Takov okrajov podmnky se pak nazvaj smen okrajov pod-mnky.

1.4.4.3. Lmeovy rovnice

Jak bylo uvedeno ve, pi een konkrtnch loh se nikdy nee souasn vech pat-nct funkc prunosti, ale vzjemnm dosazovnm a pravami zkladnch rovnic prunostise postupn vyluuj jednotliv skupiny neznmch. Pi deforman variant se zska nsle-dujc vztah, tzv. Lmeho rovnice (Navier-Cauchy):

, + ( + ), + = 0. (1.20)

1.4.5. Princip virtulnch prac a varian principy

V pedchoz kapitole byly uvedeny diferenciln rovnice rovnovhy. Tyto rovnice jsouodvozeny z bilance sil pro infinitesimln tleso (krychli). Tyto rovnice plat v kadm bod

Obsah

33. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


tlesa, tzn. maj lokln charakter. Rovnovha vak me bt vyjdena i jinm zpsobem,kter je asto nejen uitenj, ale m i hlub fyzikln vznam. Princip virtulnch praca varian principy mechaniky poddajnho tlesa jsou zkladem vtiny piblinch metod.Jak bylo zmnno ve, jedn se o tzv. slabou formulaci problmu.

1.4.5.1. Princip virtulnch prac

Princip virtulnch prac m dv zkladn varianty:

princip virtulnch posuv,

princip virtulnch sil.

Zde bude podrobn zopakovn pouze princip virtulnch posuv. Tento lze zapsat n-sledujc rovnic:

{} {} =

{} {} +

{} {}. (1.21)

Lev strana rovnice pedstavuje virtuln prci vnitnch sil. Prav strana rovnice vy-jaduje virtuln prci vnjch sil (objemovch a plonch). Virtuln pole posunut a pe-tvoen nesmj naruovat vazby v tlese. Virtuln posuvy {} mus splovat geometrickokrajov podmnky (tam kde jsou pedepsny):

{} = 0. (1.22)

Virtuln deformace mus bt svzny s virtulnmi posuvy rovnic 1.8.Pomoc Clapeyronova teormu meme rovnici pevst na rovnici:

Obsah

34. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


{} ({} + {}) +

{} {{}{} + } = 0. (1.23)

Tato rovnice me bt splnna pi libovolnch virtulnch posuvech jedin v tom p-pad, e budou souasn splnny podmnky rovnovhy, jednak uvnit zkoumanho tlesa(tedy rovnice rovnovhy), jednak silov okrajov podmnky na hranici kde jsou pedepsny.Rovnice jsou tedy dsledkem principu virtulnch posuv, a proto je tento princip nazvnobecnm principem rovnovhy. Princip virtulnch prac lze jednodue rozit o dynamickchovn vyuitmdAlembertova principu.

1.4.5.2. Varian principy

Varian principy jsou pmm dsledkem principu virtulnch prac.

Lagrangev varian princip - odvozuje se z principu virtulnch posuv.

Castiglinv varian princip - se odvozuje z principu virtulnch sil.

Zde bude podrobn probrn pouze Lagrangev varian princip.

Lagrangev princip lze vyjdit vtou o minimu potenciln energie systmu (celkovpotencionln energie): Ze vech kinematicky ppustnch stav prunho tlesa nastv ta-kov stav, kter dv potenciln energii systmu minimln hodnotu. Matematicky lze tutovtu vyjdit nsledovn:

Obsah

35. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


= + e, (1.24)

kde je potenciln energie deformace, e je potenciln energie vnjch sil. Kinema-ticky ppustn stav petvoen tlesa lze definovat nsledovn:

Ppustn posuvy mus bt spojit, mus mt po stech spojit derivace v cel eenoblasti a mus splovat geometrick okrajov podmnky pedepsanna pslun hranici tlesa.

Ppustn deformace jsou s ppustnmi posuvy svzny geometrickmi rovnicemi.

Nalezneme-li stacionrn hodnotu funkcionlu , tj. polome variaci funkcionlu rovnounule 1.25 zsk se rovnice 1.21.

= 0. (1.25)

Z toho plyne dleit zvr: Aplikaci principu virtulnch prac i Lagrangeova principuminima potenciln energie systmu se obdr tyt rovnice. V obou ppadech to jsou rovnicerovnovhy a silov okrajov podmnky.

Dopln-li se pedchzejc rovnice o virtuln prci setrvanch sil, zsk se tzv. Hamil-tonv princip. Hamiltonv princip se d vyjdit rovnic:

( ) = 0, (1.26)

kde je kinetick energie tlesa.

Obsah

36. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Hamiltonv princip lze slovn formulovat takto: Ze vech monch histori posuv mezidvma okamiky t1 a t2 nastane ta z nich, pro kterou integrl rozdlu potenciln a kinetickenergie od asu t1 do asu t2 je stacionrn.Existuj i dal varian principy, pro jejich studium autor odkazuje na speciln literaturu.

1.5. Volba metody eenPro volbu metody een existuj dv zkladn monosti. Prvn monost je een ana-

lytick, druhou monost je shnout po een numerickm.

1.5.1. Analytick een

Pi analytickm een hledme vsledek ve tvaru spojitch funkc. Vyuvaj se pitompostupy matematick analzy, vyuitm diferencilnho a integrlnho potu. Vhodou to-hoto, historicky starho postupu je, e v ppad nalezen analytickho een v uzavenmtvaru mme k dispozici obecnou funkn zvislost mezi vstupnmi veliinami (promnnmi)a vstupnmi veliinami eenho problmu. S takto zskanm pedpisem pak lze jednoduepracovat a je pouiteln pro obdobn typ problm. Zkladnm problmem vak je, e na-lezen analytickho een v uzavenm tvaru je mon pouze pro velmi omezenou kluloh. Zpravidla se jedn o lohy s jednoduchou geometri a pi odvozen je pouito mnohozjednoduen.

1.5.2. Numerick een

een numerick je een piblin. Pi tomto postupu se pevd problm hlednspojitch funkc na problm hledn konenho potu neznmch parametr, pomoc nich

Obsah

37. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


se hledan funkce piblin aproximuj. Tento pechod se oznauje jako diskretizace spojithoproblmu. Diskretizovan problm je een algebraickmi prostedky v konenm potukrok. Bez pouit vpoetn techniky je tento proces velice obtn zvldnuteln a to jehlavnm dvodem, pro se numerick metody zaaly bouliv rozvjet a v druh polovindvactho stolet.

Numerick een je v zsad dostupn pro kadou matematicky popsanou lohu, jak-koliv geometrie a jakkoliv komplikovanou. Nen to tak pln pravda, protoe pi praktickchaplikacch je sloitost lohy omezena kapacitou dostupnho hardware a asovmi nrokyna vpoet. Vsledky numerickho een se vak vztahuj jen ke konkrtn loze. Jakkolivpravy a optimalizace vyaduj opakovn celho procesu tvorby a een modelu.

Existuje mnoho metod pro numerick een . V souasnosti je bezesporu nejrozenjmetodu metoda konench prvk. Ped pchodem MKP se v hojn me pouvala tzv.metoda st. Dal v souasn dob vyuvanou metodou, ale ne tak jako MKP, je metodahraninch prvk (MHP). Budoucnost by mohly bt napklad tzv. bezsov metody (MeshFree Method). Numerick metody se bouliv rozvjej a jen as uke, kter postupy jsounejvhodnj pro een konkrtnch typ loh.

Dal informace ohledn problematiky kapitoly lze nalzt v [15], [10] a [13].

Obsah

38. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Pojmy k zapamatovn

Model fyzick, abstraktn a kombinovan. Chyby pi modelovn - kvalitativn, sloitosti, kvantitativn, konkretizan

a forulan chyba. Modely stacionrn, nestacionrn. Linern, nelinern modely. Diferenciln (siln), varian (slab) formulace Analytick, numerick een problm.

Obsah

39. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Kontroln otzky

1. Co je to model a jak typy model znte? Definujte jenotliv typy model.2. Jak typy chyb mohou pi modelovn vzniknout?3. Jak je obecn postup pi vytven modelu?4. Rozdlte typy model tles vzhledem k asu.5. Rozdlte typy model tles vzhledem k linearit.6. Zopakujte zkladn pojmy z matematick teorie prunosti.7. Co znamenaj pojmy siln a slab formulace lohy?8. Napite zkladn rovnice matematick teorie prunosti.9. Co vyjaduje princip virtulnch prac?

10. Porovnejte analytick a numerick metody een. Jak jsou vhody a nevhodyjednotlivch postup?

Obsah

40. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Pklady k procvien1. Sestavte rovnici pro een jednorozmrn lohy (deforman varianta) zobrazen na obrzku

1.1. Dlka tye je , prez se mn s vkou tye a v obecnm mst m prez . Chovnmaterilu se pedpokld izotropn a homogenn. Modul prunosti materilu je a hustota .Odvote zkladn diferenciln rovnici a zapite okrajov podmnky.

Obr. 1.1 Zadn k pkladu . 1

Obsah

41. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


2. ete analyticky problm zobrazen na obrzku 1.2. Zadn je stejn jako v pedchozm pkladu,ale prez je konstantn. Pi een vyuijte vztahy odvozen v pkladu slo jedna.


Obsah

42. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Kl k pkladm k procvien1. Diferenciln rovnice m tvar:

(

) + = 0, 0 < < .

Okrajov podmnky:

(

) + = 0, 0 < < ,

( = 0) = (

)=0 =(0)(0) = ,

( = ) = 0.

2. Vsledn vztahy jsou:

() =

( 2

2 ),

() =

( ),

() =

( ).

Obsah

43. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Interaktivn test

Odpovzte na otzky v tomto testu. Test muste spustit kliknutm na tlatko, potvyplte odpovdi a ukonete test.

1. Pi een problmu meme postupovat dvma odlinmi zpsoby. Prvnm je pm een,druhm je nepm een. Do kter skupiny pat modelovn? Vyberte sprvnou odpov.

(a) Pm een(b) Nepm een(c) Kombinace obou pstup

2. Abstraktn model nejlpe vystihuje. Vyberte sprvnou odpov.

(a) Abstraktn model umouje zkoumat jevy na originle pomoc matematickho popisu jejichprbh.

(b) Abstraktn model umouje zkoumat vlastnosti originlu pomoc dj stejn fyzikln pod-staty.

(c) Abstraktn model neumouje zkoumat jevy pomoc matematickho popis jejich prbh.

3. Kter typ chyby je pi tvorb modelu je nejzvanj. Vyberte sprvnou odpov.

(a) Chyba sloitosti(b) Chyba formln(c) Chyba kvantitativn(d) Chyba kvalitativn(e) Chyba konkretizan

Obsah

44. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


4. Pmou lohu prunosti meme popsat nsledovn. Vyberte sprvnou odpov.

(a) Pro tleso je pedepsno pole napt nebo posuv. lohou je stanovit vnj zaten ppadnzjistit okrajov podmnky, kterm dan funkce pole napt vyhovuj.

(b) Pro tleso se znmou geometri, materilem, zatenm a vazbami k okol je poteba stanovitjeho deformaci a napjatost, tj. pole posunut, pole deformac a pole napt.

(c) Pro tleso jsou sten zadny silov veliiny a sten zadny posuvy. Uvnit tlesa jsouznmy pouze nkter sloky tenzoru napt.

5. Princip superpozice lze obecn pout pro jak typy model? Vyberte sprvnou odpov.

(a) Linern modely(b) Nelinern modely(c) Pro oba dva typy model(d) Nelze pout ani v jednom ppadu

6. Diferenciln formulaci obecn trojrozmrn lohy prunosti tvo nsledujc soustava rovnic.Vyberte sprvnou odpov.

(a) est rovnic rovnovhy (ti silov, ti momentov), est rovnic geometrickch, est fyziklnchrovnic.

(b) Ti rovnice rovnovhy (dv silov, jedna momentov), est rovnic geometrickch, est fyzi-klnch rovnic.

(c) Ti rovnice rovnovhy (silov), est rovnic geometrickch, ti fyziklnch rovnic.(d) Ti rovnice rovnovhy (silov), est rovnic geometrickch, est fyziklnch rovnic.

Obsah

45. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


7. Zkladn varian princip v mechanice poddajnch tles se nazv. Vyberte sprvnou odpov.

(a) Princip virtulnch posuv.(b) Princip virtulnch sil.(c) Princip virtulnch prac.

8. Lagrangev varian princip v ppad konzervativnch soustav poddajnch tles je vyjdennsledovn: Ze vech kinematicky ppustnch stav prunho tlesa nastane ten, kter dvpotenciln energii systmu: Vyberte sprvnou odpov.

(a) Maximln hodnotu(b) Neutrln hodnotu(c) Minimln hodnotu

Poet sprvnch odpovd:

Procento spnosti:

Vyznaen oprav do testu:

Obsah

46. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

46

Kapitola 2

Opakovn zkladnch poznatkMKP

Prvodce studiem

V nsledujcch kapitolch bude uvedena problematika nelinernch loh mechaniky kontinuapevnho tlesa a jejich aplikace v metod konench prvk. V tto kapitole budou zopakovnyzkladn poznatky linernch loh eench metodou konench prvk. O linern mechanicekontinua prunho tlesa bylo pojednno v prvn kapitole tto prce.

Obsah

47. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Opakovn zkladnch poznatk MKP 47

Cle

Po prostudovn tto kapitoly budete znt: Zkladn pedpoklady pro aplikaci metody konench prvk v linern teorii

prunosti. Postup odvozen algoritmu MKP pro linern teorii prunosti. Zkladn matice pro stacionrn a nestacionrn analzu.

2.1. Metoda konench prvk v linern mechanice kontinua

2.1.1. Zkladn pedpoklady

Linern teorie prunosti, kter je zkladem linernho een, vychz z pedpokladumalch posuv, malch petvoen a z platnosti Hookeova zkona. Pod pojmem posuvy sezde i v nsledujcm textu mysl tzv. zobecnn posuvy, tedy posuvy nebo natoen.

Mal posuvy jsou takov, e tleso po zaten nezmn znateln svou polohu. Zobecnnposuvy jsou vzhledem k rozmrm tlesa tak mal, e podmnky rovnovhy mohou btpsny pro pvodn, nedeformovanou konfiguraci a vpoet napt me bt vztaen rovnk pvodnm rozmrm a to se zanedbatelnou chybou.

Mal petvoen znamenaj, e rozmry kadho objemovho elementu tlesa se v d-sledku zaten znateln nemn. Pokud plat pedchoz vta, lze pro vyjden vztah mezipetvoenmi a posuvy pout Cauchyho geometrick rovnice.

Obsah

48. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Vztah mezi naptm a petvoenm jsou dny Hooekovm zkonem. Materil je tedypedpokldn izotropn a homogenn.

2.1.2. Odvozen zkladnch vztah MKP

Zkladn mylenkou metody konench prvk je rozloen tlesa na men sti - ele-menty, konen prvky - na kterch je analza chovn pomrn jednoduch. V deformanvariant, kter je nejrozenj, se vychz z nahrazen posuv nhradnmi funkcemi. Tytofunkce se berou ve tvaru polynom prostorovch souadnic. Cel postup metody konenchprvk se d vyjdit v nkolika krocch:

Rozdlen een oblasti (tlesa, soustavy) na podoblasti, tzv. konen prvky i ele-menty.

Formulace chovn jednotlivch element.

Optovn sloen a zskn vsledn soustavy rovnic popisujcch chovn celho sys-tmu vyuitm rovnic zskanch pi analze element.

Aplikace okrajovch i potench podmnek.

Vlastn een systmu rovnic. Zskn primrnch neznmch. V ppad deformanvarianty MKP se jedn o posuvy.

Zskn dodatench (odvozench) vsledk. V ppad prunho tlesa se jedn nap.o petvoen a napt, pop. dal veliiny.

Obsah

49. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


2.1.2.1. Rozdlen een oblasti - elementy

Prvnm krokem metody konench prvk je rozdlen een oblasti na men sti, tzv.konen prvky nebo tak na elementy, jejich chovn lze pomrn jednodue popsat. Exitujevelk mnostv element, kter lze rozdlit z rznch hledisek.

2.1.2.2. Formulace chovn elementu

Pi matematickm popisu jednotlivch krok metody konench prvk je obvykl pou-vat maticov zpis. Proto zde bude tak pouit.

Diskretizace posuv. Spojit rozloen posuvy prvku {} jsou vyjdeny pomoctzv. matice tvarovch funkc []. Tato je funkc polohovch souadnic {} = {1, 2, 3} .Matematicky lze tento vztah vyjdit pomoc nsledujcho vztahu:

{} = []{}, (2.1)

kde {} jsou zobecnn posuvy v uzlech elementu.

Diskretizace petvoen. Spojit rozloen petvoen {} jsou vyjdena pomoc ma-tice [] konenm potem zobecnnch posuv {} v jednotlivch uzlech elementu. Matice[] vychz z pijatch pedpoklad o nhrad posuv nad prvkem, viz vztah 2.1, a zevztah mezi posuvy a petvoenmi danch teori prunosti. Matematicky lze tento vztahvyjdit pomoc nsledujcho vztahu:

{} = []{}. (2.2)

Obsah

50. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Aplikace konstitutivnho vztahu a vpoet napt. Pro vpoet napt nad da-nm prvkem lze v linernm ppad uvaovat pro izotropn a homogenn materil platnostHookeova zkona. Matematicky lze tento vztah vyjdit pomoc nsledujcho vztahu:

{} = []{}. (2.3)

Matice [] je konstantn a do vztahu se za petvoen dosad diskretizovan vztah 2.2.Vsledn tvar rovnice je:

{} = [][]{}. (2.4)

Pi odvozen zkladn rovnice metody konench prvk lze postupovat rznm zpso-bem. Zde vyuijeme princip virtulnch prac, tak jak byl pouit v pedchzejcm kurzu.Vzhledem k tomu, e matice [] a [] nejsou funkc vektoru zobecnnch posunut {}, lzevirtuln posuvy a virtuln petvoen, vzhledem k pijat diskretizaci, vyjdit v nsledu-jcch tvarech. Pro virtuln posuvy plat:

{} = []{}. (2.5)

Pro virtuln petvoen lze napsat vztah ve tvaru:

{} = []{}. (2.6)

Budou zanedbny objemov sly, nap. tha. Pro dal odvozen vak budou uvaovnysetrvan objemov sly ve smyslu dAlambertova principu. Lze napsat:

{} = {}, (2.7)

Obsah

51. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


kde je hustota. Hustota obecn nezvis na prostorovch souadnicch ani ase. Protoematice tvarovch funkc [] nen funkc asu, lze vyjdit zrychlen obdobn jako posuvya to jako linern kombinaci zobecnnch zrychlen v uzlech, a tove tvaru:

{} = []{}. (2.8)

Aplikac vztah vyjadujcch princip virtulnch prac a s vyuitm rovnic 2.3 a 2.8 sedostane pro kad prvek rovnice nsledujcho tvaru:

{}

[] {} = {}

[] [] {}+{}

[] {} +{} {}. (2.9)

Rovnice 2.9 mus platit pro libovoln virtuln posunut {} a me bt pepsna donsledujcho tvaru:

{} = {e}, (2.10)

kde

{} =

[] {}, (2.11)

jsou sly v uzlech, kter odpovdaj deforman energii prvku, tj. vnitnm silm.

{e} = { } + {} + {}, (2.12)

jsou sly v uzlech, odpovdajc silm objemovm, plonm a osamlm (kter psobv uzlech), tj. vnjm silm.

Obsah

52. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


{ } =

[] [] {}, (2.13)

{} =

[] {}, (2.14)

(2.15)

kde { } pedstavuje objemov sly, {} sly plon a symbolem {} jsou oznaenyosaml sly.

Vztah 2.10 vyjaduje rovnovhu vnitnch a vnjch sil. Tento vztah mus platit jak prolinern tak i pro nelinern ppady prunosti. Plat-li Hookev zkon 2.3 a vztahy 2.2, lzevztah 2.10 pepsat do tvaru:

[]{} = {e}, (2.16)

symbol [] pedstavuje matici tuhosti prvku, definovan nsledn:

[] =

[] [][]. (2.17)

Pro nestacionrn lohy lze postupovat nsledovn. Objemov sly se daj upravit dotvaru:

{ } = []{}, (2.18)

kde

Obsah

53. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


[] =

[] [], (2.19)

je tzv. matice hmotnosti prvku. Pohybov rovnice prvku m pak tvar:

[]{} + []{} = {}, (2.20)

kde:

{} = {} + {}. (2.21)

2.1.2.3. Optovn sloen, zskn vsledn soustavy rovnic

Dalm krokem je sloen jednotlivch element zpt do celkov konstrukce.Pi modelovn konkrtnho tlesa (soustavy) jsou k dispozici informace, jak jsou jednot-liv prvky vi sob umstny. Lze tedy matice tuhosti a hmotnosti jednotlivch prvksestavit do vslednch globlnch matic tuhosti a hmotnosti. V ppad linernch loh me-chaniky prunho tlesa, jak ji bylo eeno ve, se vychz z pedpokladu malch posuv,malch petvoen a z pedpokladu linernho chovn materilu. Souasn se pedpokldnemnnost okrajovch vazebnch podmnek. Vsledn vztah pro metodu konench prvkza tohoto pedpokladu m tvar:

[ ]{} + []{} = {}, (2.22)

poppad tvar

[]{} = {}, (2.23)

Obsah

54. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


pro stacionrn lohy.

2.1.2.4. Aplikace okrajovch podmnek, vlastn een vsledn soustavy rovnic,zskn dodatench vsledk

Z rovnic 2.22 a 2.23 lze vypotat odezvu soustavy {}. Tato odezva je linern funkczaten {}. To znamen, e pro jin zaten {} je odezva {}, kde je libovolnkonstanta. Plat tedy princip superpozice.

Pedpoklady o malch posuvech a malch petvoench vstoupil ji do odvozen ma-tic tuhosti a hmotnosti, dle pak do odvozen vektoru zaten, protoe vechny integraceprovdn ve vztazch jsou provdny pes pvodn objem a povrch nepetvoenho prvku.Matice [] vychz z Cauchyho geometrickch rovnic platnch pro mal petvoen a ne-zvis na posuvech uzl {}. Pedpoklad linernho chovn materilu je vyjden vztahem2.3, kde matice [] je tak nezvisl na posuvech {}.

eenm rovnice 2.22 se zsk odezva mechanick soustavy na zaten {}, kter jeobecnou funkc asu. Je-li zmna zaten v ase tak mal, e setrvan inky lze zanedbat,plat rovnice 2.23, co je linern algebraick rovnice. Rovnice 2.23 a 2.22 jsou v praktic-kch ppadech eiteln pouze numerickmi postupy. Pi een stacionrnch loh, danchrovnic 2.23, se pouv jinch numerickch postup ne pi een nestacionrnch loh 2.22.

Pi vpotu odvozench veliin, kter jsou zde petvoen a napt, se mus vrtit narove jednotlivch prvk a pro vpoet lze vyut vztah 2.2 a 2.4.

Dal informace ohledn problematiky kapitoly lze nalzt v [1], [10] a [13].

Obsah

55. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Postup pi aplikaci MKP

mkp.swfMedia File (application/x-shockwave-flash)

Obsah

56. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Pojmy k zapamatovn

matice tvarovch funkc matice tuhosti matice hmotnosti objemov, plon a osaml sly zkladn rovnice MKP

Obsah

57. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Kontroln otzky

1. Uvete zkladn pedpoklady nutn pro odvozen algoritmu metody konench prvkpro ppad linern-elastickho chovn prunho tlesa.

2. Vyjmenujte postup/kroky pi aplikaci metody konench prvk.3. Odvote zkladn vztahy pro stacionrn i nestacionrn analzu.

Obsah

58. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno



Pklady k procvien1. ete numericky, pro Vmi zvolen rozmry, pomoc MKP pklad slo 2 z pedchoz kapi-

toly. Vyzkouejte rzn zpsoby diskretizace. Porovnejte zskan vsledky a diskutujte ppadnrozdly.

2. ete problm na obrzku 2.1. Pro jednoduchost jsou uvaovny jednotkov dlkov rozmry.Tlouka je rovn uvaovna jednotkov. Materil je pedpokldn homogenn a izotropn s kon-stantami a . Pro jednoduchost volte nejjednodu trojhelnkov prvek. Sestavte zkladnrovnici metody konench prvk v deforman variant pro een primrnch neznmch (po-suv) a provete jej een. Urete reakce, petvoen (deformace) a napt v soustav.

Obsah

59. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Kl k pkladm k procvien1. Numerick vsledky porovnejte z vsledky zskanmi z analytickho een, viz pedchoz kapi-

tola.

2. Posuvy uzl 2 a 4 ve smru osy x:2 = 4 =

*,

kde * je modul prunosti. Pro ppad rovinn napjatosti plat * = a pro ppad rovinndeformace * = 1 .

Posuvy uzl 3 a 4 ve smru osy y:

3 = 4 =**

,

kde * je modul prunosti. Pro ppad rovinn napjatosti plat * = a pro ppad rovinndeformace * = 1 .

Reakce ve smru x v uzlech 1 a 3:1 = 3 =

2 .

Obsah

60. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Interaktivn test


1. Jak jsou zkladn pedpoklady linern teorie prunosti. Vyberte sprvnou odpov.

(a) Mal posuvy, mal petvoen (deformace), plat Hookev zkon, rovnovha je vyetovnav deformovanm stavu, napt jsou vztaena k aktulnm rozmrm.

(b) Mal posuvy, mal petvoen (deformace), plat Hookev zkon, rovnovha je vyetovnav nedeformovanm stavu, napt jsou vztaena k nedeformovan konfiguraci.

(c) Mal posuvy a velk petvoen (deformace), plat Hookev zkon, rovnovha je vyetovnav nedeformovanm stavu, napt jsou vztaena k nedeformovan konfiguraci.

2. Kroky een neznmch pi vyuit deforman varianty metody konench prvk jsou nsle-dujc. Vyberte sprvnou odpov.

(a) Nejprve se ur napt ve vech elementech soustavy, dle pak pomoc konstitutivnch vztahpetvoen a na konec posuvy nad elementem. Napt je tedy primrn promnn lohy.

(b) Nejdve se ur posuvy v uzlech vech element soustavy, potom petvoen a nakonecnapt. Posuvy jsou primrn promnnou lohy.

(c) Vechny hledan veliiny, tj. posuvy, petvoen a napt, se ur v jednom kroku vpotu.Ve jsou tedy primrn promnn lohy.

Obsah

61. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


3. Co zprostedkovvaj tvarov funkce elementu (deforman varianta MKP). Vyberte sprvnouodpov.

(a) Posuv v libovolnm mst elementu lze vypotat jako souin matice tvarovch funkc a vek-toru posunut uzl.

(b) Posuv v libovolnm mst elementu lze vypotat jako podl matice tvarovch funkc a vek-toru posunut uzl.

(c) Posuv v libovolnm mst elementu lze vypotat jako souin matice tvarovch funkc a vek-toru petvoen danho elementu.

4. Pole petvoen nad elementem s linern tvarovou funkc je? Vyberte sprvnou odpov.

(a) Linern(b) Konstantn(c) Kvadratick(d) Nulov

5. Je vektor zaten ovlivnn volbou tvarovch funkc? Vyberte sprvnou odpov.

(a) Jsou ovlivnny pouze osaml sly, objemov ani povrchov sly nejsou volbou nijak doteny.(b) Ano(c) Objemov sly ano, povrchov sly ne(d) Ne(e) Objemov sly ne, povrchov ano

Obsah

62. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


6. Uvaujme objemov sly jako setrvan sly tlesa (ve smyslu dAlambertova principu). Tvarovfunkce jsou v tomto ppad funkc asu? Vyberte sprvnou odpov.

(a) Ano.(b) Ne.(c) Zle na loze.

7. Matici tuhosti elementu lze urit z rovnice [] =

[] [][] . Matice [] pedstavuje.

Vyberte sprvnou odpov.

(a) Matici tvarovch funkc.(b) Matici obsahujc elastick konstanty materilu.(c) Matici obsahujc derivace tvarovch funkc, vzniklch aplikac Cauchyho geometrickch

rovnic .(d) Matici hmotnosti danho prvku.


Procento spnosti:


Obsah

63. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

63

Kapitola 3

Nelinern lohy mechaniky

Prvodce studiem

Doposud jsme se zabvali pouze lohami z oblasti mechaniky tles, pro kter nm staila linernteorie prunosti. K een praktickch loh asto vystame s takovmito modely. Jsou vaki oblasti mechaniky tles, kter vyaduj znalost een nelinernch loh. V nelinern mechanicedeformovatelnho tlesa jde napklad o ppady tles s nelinern deforman charakteristikoua o ppady s velkmi deformacemi, pi nich se podstatn mn geometrick konfigurace a tvartlesa nebo soustav tles. Do oblasti nelinernch problmu spad i problematika kontaktu tles.

Obsah

64. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Nelinern lohy mechaniky 64

Cle

Po prostudovn tto kapitoly budete znt: Rozdl mezi linernmi a nelinernmi analzami. Zkladn typy nelinearit v mechanice prunho tlesa. Zpsob een nelinernch loh, iteran a inkrementln schma. Algoritmus Newton-Raphsonovy metody. Metodu dlky oblouku (Arc-Length method).

3.1. Linerni versus nelinern analzyNa zatku tto kapitoly srovnejme zkladn pedpoklady pro platnost linern ana-

lzy. Pro linern lohy je typick vysok mra idealizace eenho problmu. Je zaruenaexistence a jednoznanost een linernch model. Linern modely jsou konzervativn.Nedochz k dn disipaci energie. Konen stav modelu zvis na konench hodnotchzadanch posuv a zaten a nikoliv na zpsobu, kterm ho bylo dosaeno. Pi een lzevyut zkona superpozice a vsledn een sloit z dlch loh. Shrme zkladn pravidla,kter plat pro linern modely v mechanice prunho tlesa:

Rovnovha se vyjaduje v nezdeformovanm referennm stavu.

Vztahy mezi posuvy a deformacemi jsou linern (Cauchyho tenzor deformace).

Materil je linern elastick (plat Hookev zkon).

Vazby jsou reprezentovny pouze linernmi rovnicemi.

Obsah

65. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


V ppad nelinernch analz si musme uvdomit, e:

Stav, ve kterm se dosahuje rovnovha mechanick soustavy, je ve zdeformovanmstavu, kter pedem neznme.

Vztahy mezi posuvy a deformacemi nejsou linern (nap. Green-Lagrangev tenzordeformace).

Chovn materil je obecn, tzn., e vztah mezi naptm a deformac (konstitunrovnice) je nelinern.

Vazby jsou reprezentovny obecnmi vztahy (nap. kontakt tles).

Nelinern lohy se na rozdl od linernch vyznauj zvislost na posloupnosti stav,ktermi systm proel od potku do konce dje. Na rozdl od linernch loh nm ma-tematika neposkytuje vty o existenci een, konvergenci a stabilit a tm pdem nmneumouje jednoznan posoudit eitelnost lohy. U nelinernch loh mme k dispozicijen omezen prostedky a jsme asto odkzni na numerick postupy. K een nelinernchloh je teba mnohem vt zkuenosti a intuice ne k een linernch loh. Nelinernanalzy kladou vt nroky na odbornou kvalifikaci vpote. To, zda budeme spn pieen nelinernho problmu, asto zvis na zvolen vpoetn strategii. To co se osvd-ilo u jedn lohy, me v jinm ppad selhat. Zdroje nelinearit, se ktermi se setkvmev lohch mechaniky prunho tlesa, lze rozdlit v zsad do t hlavnch skupin:

geometrick nelinearity,

materilov nelinearity,

Obsah

66. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


strukturln problmy (nap. kontakt).

Jednotliv ppady nelinearit budou probrny detailnji v nsledujcch kapitolch.

3.2. een zkladn rovnicePi een linernch problm existuje mnoho numerickch postup, jak danou soustavu

rovnic vyeit. Pipomeme si napklad Gausovou eliminan metodu, Frontln metodu,aj. Nelinern lohy nemohou bt eeny pomoc pmch metod. Msto toho se pouvajiteran metody . Zkladnm postupem je najit njakho odhadu een, pro neznme hod-noty, a v dalm kroku proveden korekce (zpesnn) pedchozho een. Tento postup seopakuje do t doby, ne chyba een v jednotliv iteraci nepodstoup pedepsanou hodnotuchyby. Pi een se krom iteranho schmatu vyuv i inkrementlnho postupu , tzn.,e zaten se neaplikuje cel najednou, ale po prustcch, piem v kadm prustku seprovd iterace pro zpesnn vsledku.

3.2.1. Newton-Raphsonova metoda

Zkladn metodou een nelinernch rovnic, kterou vyuv i vtina komernch sys-tmu, je metoda Newton-Raphsonova. V nsledujcm textu si piblme jednotliv krokytto metody. Metoda vyuv tangentn modul zskan z pedchozho kroku (iterace) k zs-kn vsled. e se rovnici:

[({})]{} = {}, (3.1)kde [({})] je matice tuhosti celho eenho systmu a zde se pedpokld, e je jen

funkc posuv. Bude zavedena nsledujc funkce:

Obsah

67. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


[({})]{} = {} = {({})}. (3.2)

Rovnici 3.1 lze pepsat do nsledujcho tvaru:

{} = {}. (3.3)

Provede se rozvoj funkce {} v Taylorovu adu v okol bodu {0}, kter se od hledanhoeen {1} li o {}, plat:

{1} = {0+} + {}, (3.4)

zsk se vztah:

{{1}} = {{0}} + [0]{} + . . . , (3.5)

kde [0] je tzv. Jacobiho matice definovan takto:

[0] ={}

{}. (3.6)

Dal leny Taylorovy ady (nelinern) se zpravidla zanedbvaj. Prvky Jacobiho maticejsou funkce, kter dokeme urit dle 3.6, znme-li funkce 3.2. Pro i-t dek vztahu 3.3 lzepst:

= () = . (3.7)

Derivace obecnho prvku vektoru {} podle j-t promnn je:

Obsah

68. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


=

+ . (3.8)

Obecn prvek v Jakobiho matici je tedy:

=

+ = + . (3.9)

Me se tedy pst:

[0] = [({0})] + [({0})]. (3.10)

Pi een loh se s matic [({0})] zpravidla nepot a to ze dvou dvod. Zaprv, jejvyslen je nron a za druh, je to matice nesymetrick. Protoe se vak k vslednmueen dochz iteranm postupem, me se toto zanedbn dovolit. Po zjednoduen lzenapsat:

[0].= [({0})]. (3.11)

Dosazenm 3.11 do 3.5 se dostane vztah:

{{1}} = {{0}} + [({}0)]{}. (3.12)

Uv-li se, e

{{1}} = {1}, (3.13)

a

Obsah

69. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


{{0}} = [({}0)]{0}, (3.14)lze vraz 3.12 pepsat do tvaru:

[({}0)]{} = {}, (3.15)kde {} je tzv. zbytkov nevyven (nerovnovn) sla:

{} = {1} [({}0)]{0}. (3.16)Rovnice 3.15 s pravou stranou 3.16 je soustava linernch algebraickch rovnic, ze kter

se d vypotat prstek {}. Takto vypotena hodnota {} je piblin a je teba jizpesnit v iteranm procesu.

Jako pklad vyuit Newton-Raphsonovy metody bude uvedeno een rovnice = ()pro jeden stupe volnosti. Hled se takov een = 1, pro kter plat (1)1 = 1.Poten stav je 0, 0. Geometrick interpretace Newton-Raphsonovy iteran metody jena obrzku 3.1. Vezme-li se 0 jako prvn aproximace een pak

(1) = 0, (3.17)a dosad se do een rovnice, je zejm, e

(0)0 = 1. (3.18)Existuje jist zbytkov veliina (nevyven sla), pro kterou plat:

(1) = 1 (0)0. (3.19)

Obsah

70. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


q1 hledan een

q

(2)q

1

(3)q

1

(1)q

1=q

0

(1)

(2)

(1)z

(2)z

q0

y=F(q)=k(q).q

(1)q

(2)q

y

Obr. 3.1 Geometrick interpretace Newton-Raphsonovy

Pro dal een je nutno zjistit smrnici funkce () v bod = 0, tedy:

Obsah

71. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


tan(1) = ()

|=0 = (0)0 + (0) = (0), (3.20)

kde:

(0) =()

|=0 . (3.21)

Druh aproximace een se me vyjdit pomoc prstku:

(1) = [((1)1 )]

, (3.22)

(2)1 =

(1)1 +

(1). (3.23)

Dal aproximace se zskaj obdobn. Jak bylo eeno ve, lze nelinern len ve vrazu(()) zanedbat. Toto zanedbn ovlivn pouze cestu k een, nikoliv vak een samo.Cel vpoetn postup se tm znan zjednodu. Byla popsna zkladn varianta Newton--Raphsonovy metody. Existuj i jej modifikace.

3.2.2. Metoda dlky oblouku (Arc-Length method)

Pro nkter typy nelinernch analz vak me Newton-Rhapsonova metoda selhat.Ten matice tuhosti se me stt singulrn a metoda diverguje. Pi een nelinernch lohse setkvme s drhami zaten (sla vs. posuv), kter nejsou monotnn rostouc. Ukzkoutakovto drhy zaten je tzv. prolomen (snap-through). Dalm ppadem je (napkladu skoepinovch konstrukc) zvrat zatovac drhy (snap-back). Pi vyetovn nelinernstability se mou na zatovac drze objevit limitn nebo bifurkan body. V limitnm

Obsah

72. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


bod dosahuje zaten loklnho extrmu (maximum, minimum), v bifurkanm bod do-chz k rozdlen zatovac drhy na dv, nebo vce vtv, na nich dochz k jevu zvanmuvmna stability. V uvedench ppadech nen een jakoukoliv Newton-Rapshonovou me-todou nepouiteln. Pro takovto ppady je vhodn pout metodu zvanou Metoda dlkyoblouku (Arc-Length method). Tuto metodu vytvoili, nezvisle na sob, Wempner a Riks.

Dal informace ohledn problematiky kapitoly lze nalzt v [10], [11], [14] a [13].

Obsah

73. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Pojmy k zapamatovn

iteran metoda inkrementln postup Newton-Raphsonova metoda metoda dlky oblouku (Arc-Lenght method)

Obsah

74. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Kontroln otzky

1. Popite rozdly mezi linernmi a nelinernmi mechanickmi systmemy.2. Jak existuj postupy pro een linernch loh.3. Popite algoritmus Newton-Raphsonovy metody.4. Ve kterch ppadech je vhodn pout metodu dlky oblouku.

Obsah

75. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Interaktivn test


1. Rovnice rovnovhy jsou v ppad nelinern analzy vztaeny k jakmu stavu? Vyberte sprvnouodpov.

(a) Nedeformovanmu stavu.(b) Deformovanmu stavu, kter pedem znme.(c) Deformovanmu stavu, kter pedem neznme.(d) Rovnice rovnovhy nen poteba pro nelinern lohu konstruovat.

2. Je obecn nutno pi een nelinernch loh respektovat posloupnost stav, ktermi systmproel od potku do konce eenho dje? Vyberte sprvnou odpov.

(a) Ne nen nutno respektovat, sta znt pouze poten a konen stav.(b) Ano je nutno respektovat, ale pouze v ppad geometrickch nelinearit.(c) Ne nen nutno respektovat, vjimku tvo pouze kontaktn nelinearity.(d) Ano je nutno respektovat a to pro jakkoliv typ nelinearity.

3. Pmou lohu prunosti meme popsat nsledovn. Vyberte sprvnou odpov.

(a) Pro tleso je pedepsno pole napt nebo posuv. lohou je stanovit vnj zaten ppadnzjistit okrajov podmnky, kterm dan funkce pole napt vyhovuj.

(b) Pro tleso se znmou geometri, materilem, zatenm a vazbami k okol je poteba stanovitjeho deformaci a napjatost, tj. pole posunut, pole deformac a pole napt.

(c) Pro tleso jsou sten zadny silov veliiny a sten zadny posuvy. Uvnit tlesa jsouznmy pouze nkter sloky tenzoru napt.

Obsah

76. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


4. Pro een soustavy nelinernch rovnic, kter vznikaj pi nelinernch lohch v metod kone-nch prvk, je mono pout pmch metod een, jako je napklad Frontln metoda. Vybertesprvnou odpov.

(a) Ne nen mono pout.(b) Ano je mono pout.(c) Ano je mono pout, ale s omezenm.

5. Pro jak typ loh (pi een deformovatelnch tles) je vhodn pouit Newton-Rapshonovumetodu. Vyberte sprvnou odpov.

(a) V ppad, kdy drha zaten nevykazuj monotnn prbh.(b) V ppad, kdy drha zaten vykazuje monotnn prbh.(c) V ppad, kdy se na drze zaten objevuj prolomen.(d) V ppad, kdy drha zaten vykazuje nemonotnn prbh.


Procento spnosti:


Obsah

77. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


posunut

zaten

r2

r1

Krok 1

Krok 2

Obr. 3.2 Metoda dlky oblouku

Obsah

78. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

78

Kapitola 4

Geometrick nelinearity

Prvodce studiem

Geometricky nelinern lohy jsou takov, kdy se pi sledovn elementu tlesa mus brtv vahu nejen tvarov zmny, ale zrove posunut a rotace elementu (sti tlesa) jako tuhhocelku. Dle je nutno si uvdomit, e posunut ji nemus bt infinitesimln. Velk posuvy jed-notlivch bod elementu je mon si pedstavit sloen z posuv a rotace tlesa jako tuhhocelku a posuv jednotlivch bod tlesa v dsledku jeho deformace v nov poloze.

Dal vc, kterou je nutno si uvdomit je definice tenzoru napt a tenzoru petvoen.Otzka definice tenzoru napt je sloit. Elementrn vnitn sly v petvoen konfiguraci semohou vztahovat k elementrnm plokm, bu v pvodn, nebo v deformovan konfiguraci.Dal otzkou je volba tenzoru petvoen. K tenzoru napt mus existovat vhodn definovantenzor petvoen tak, aby byly splnny konstitutivn zkony. Pkladem je 2. Piola-Kirchhoffvtenzor napjatosti , kter je energeticky konjugovan s Greenovm tenzorem petvoen.

Obsah

79. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno

Geometrick nelinearity 79

Cle

Po prostudovn tto kapitoly budete znt: Typy geometrickch nelinearit. Popis pohybu kontinua. Tenzory petvoen pro ppady nelinernch loh. Tenzory napt pro ppady nelinernch loh.

4.1. Zkladn dlen geometrickch nelinearitGeometrick nelinearita je zapinna velkmi posuvy a natoenmi, kter mohu bt

doprovzeny velkmi petvoenmi. Podle toho rozliujeme dva rozdln ppady geometricknelinearity:

Velk posuvy (posuvy a rotace)

Velk petvoen (deformace), vdy zahrnuj velk posuvy

V obou ppadech se me materil chovat linern i nelinern.

4.1.1. Velk posuvy

Prvn typ geometrick nelinearity je zapinn tm, e tleso v dsledku zaten vy-kazuje velk posunut pop. rotace, avak petvoen (deformace) zstvaj mal. V tomtoppad je kad objemov element tlesa jako celek podstatn posunut a natoen, avak

Obsah

80. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


jeho petvoen jsou mal - infinitesimln. Pi popisu se tedy daj pout Cauchyho geome-trick rovnice. Pi stanoven podmnek rovnovhy nen mono pout pvodnch rozmrtlesa.

4.1.2. Velk petvoen

V tomto ppad k velkm posuvm a rotacm pistoup i velk petvoen (deformace).Pi odvozovn geometrickch vztah pro ppad linern teorie prunosti se pedpokld,e sloky tenzoru petvoen jsou mal (dov 1e-3). Pak lze zanedbat kvadratick lenygeometrickch vztah a pouvat inenrsk (infinitesimln) tenzor petvoen (Cauchyho).Hranic pouitelnosti inenrskho tenzoru petvoen bv obvykle uvdna hodnota pe-tvoen 1%, (tedy petvoen 1e-2). Formulace vyhovuje pro inenrskou analzu soustpop. konstrukc. V ppadech simulace tven, simulace deformace soust z prye, plastu,aj., mohou petvoen doshnout i stovek procent. Nelinern leny pak nelze zanedbat a jenutno pout "sloitj"tenzory petvoen. Lze je definovat rznm zpsobem podle toho,kterou geometrickou konfiguraci tlesa povaujeme za zkladn (vztanou).

4.2. Popis pohybu kontinuaPi popisu kontinua, kter je podrobeno velkm posuvm a velkm petvoenm, je teba

zkoumat pohyb kadho bodu vi nepohyblivmu souadnmu systmu, a to v zvislostina ase. Existuj dva zkladn pstupy k popisu kinematiky kontinua:

Lagrangev (referenn) popis,

Eulerv (prostorov) popis.

Obsah

81. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


x2

x1

P

Q P

Q

ds0

ds

dx1 x

1

a1 da

1

x2

dx2

a2

da2

u1

u2

Obr. 4.1 K popisu pohybu kontinua

Obsah

82. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


4.2.1. Lagrangev popis

Lagrangev popis sleduje jednotliv materilov stice pi jejich pohybu prostorem:

= ( , ). (4.1)

Pi lagrangeovskm popisu jsou nezvisl promnnmi veliinami poten poloha a as.Referenn popis nabz dv varianty een a to totln Lagrangeovsk formulace a aktu-alizovan Lagrangeovsk formulace. V totln lagrangeovsk formulaci jsou vechnyfyzikln veliiny vztaeny k vchoz konfiguraci. Prostorov souadnice jsou funkcemi ma-terilovch souadnic. V aktualizovan lagrangeovsk formulaci je za referenn pova-ovna konfigurace na potku zatovacho prstku.

4.2.2. Eulerv popis

Eulerv popis sleduje pohyb jednotlivch materilovch stic vytenm bodem pro-storu:

= ( , ). (4.2)

Za nezvisle promnn se berou souadnice okamitho stavu. Jinak eeno, v eulerov-skm popisu jsou nezvisl promnnmi okamit poloha bodu (v ase t) a as t. Pevnse pouv v mechanice tekutin (pohyb materilu pes pevn zadan objem). V mechanicetles je dvna pednost popisu Lagrangeovskmu. Eulerovsk popis nabv na vznamu pivyetovn interakce konstrukce s prostedm (obtkn tles vzduchem, kapalinou, apod.).

Obsah

83. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


4.3. Tenzory petvoenNebude zde probrno odvozen vztah pro jednotliv druhy tenzor petvoen, to je

zleitost specializovanch pedmt, zde jsou uvedeny jen vsledky.Greenv tenzor petvoen v Lagrangeov popisu me bt zapsn ve tvaru:

=12(

+

+

). (4.3)

Pro tento tenzor petvoenn se vyskytuj i jin nzvy, nap. Green-Lagrangev, Green-St.Venantv,aj.

Dalm tymem tenzoru petvoen, se kterm se setkvme v mechanice kontinua, jetzv. Almasiho tenzor petvoen, odpovdajcm Eulerov popisu pohybu kontinua. Dse zapsat v nsledujcm tvaru:

=12(

+

+

). (4.4)

Jsou-li v deformovanm tlese mal posuvy a mal petvoen, pak souiny parcilnchderivac ve vztazch Greenova tenzoru petvoen a ve vztazch pro Almasiho tenzor petvo-en, jsou o d men oproti prvnm dvma lenm v zvorkch, a daj se proto zanedbat.Oba vztahy tedy pejdou v dobe znmy Cauchyho tenzor petvoen pro mal posuvya mal petvoen.

Take pro popis petvoen existuje nkolik monost. Pipomeme jet dal monostia to popis pomoc inenrskch petvoen a dle pak i tzv. logaritmickou deformaci(pirozen pomrn prodlouen definovan vrazem (pro 1D):

Obsah

84. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


= ln

0, (4.5)

kde je aktuln dlka vzorku, 0 je pvodn dlka vzorku.

4.4. Tenzory naptV linern teorii prunosti jsou napt potna ze vztahu, do kterho vstupuje sla p-

sobc v deformovanm tlese na ploku nedeformovanho tlesa. V teorii velkch posuva velkch petvoen se mus zmny geometrie tlesa pi zaten brt v vahu. Prvnm typemtenzoru napt je tzv. Cauchyho tenzor napt, kter je vztaen k okamit sle a k oka-mit geometrick konfiguraci tlesa. Cauchyho tenzor napt se pidruuje k Almasihotenzoru petvoen, nebo ten se t vztahuje k okamit konfiguraci tlesa. Cauchyho ten-zor odpovd skutenm naptm v tlese a pro mal petvoen vychz, se zanedbatelnouchybou, stejn jako tenzor tzv. inenrskho napt, zaveden v linern prunosti.

Ke Greenovu tenzoru petvoen, viz rovnice 4.3, se d obdobn pidruit vhodn nap-ov tenzor. V tomto ppad se jedn o tzv. Lagrangev i 1. Piollv tenzor napt.Tento tenzor m vak jednu nepjemnou vlastnost a to, e je nesymetrick. Z tohoto d-vodu se Lagrangev (1. Piolv) tenzor napt v praxi skoro nepouv. Namsto toho sepouv symetrick 2. Piola - Kirchhoffv tenzor napt. Druh Piola - Kirchhoffvtenzor napt je pomocn veliina, kter nem pm fyzikln vznam. Pi jeho definicise vyuv fiktivn elementrn sla, kter je vztaen ke konfiguraci tlesa ped deformac.Tento tenzor je vak vhodn nstroj pro vpoty nelinernch loh v mechanice kontinua

Obsah

85. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


s uvaovnm velkch posuv a petvoen. Dleitou vlastnost 2. Piolova - Kirchhoffovatenzoru napt je, e jeho sloky jsou invariantn vi posuvm a rotacm tlesa jako tuhhocelku.

Pro posouzen napjatosti a pevnosti ve sledovanm objemu je teba pracovat s Cau-chyho tenzorem napt. Mezi jednotlivmi tenzory napt existuj vztahy, pomoc kterchjdou jednotliv tenzory mezi sebou pepotat.

Dal informace ohledn problematiky kapitoly lze nalzt v [12], [15], [10], [11], a [13].

Obsah

86. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Pojmy k zapamatovn

geometrick nelinearita - velk posuvy, velk petvoen Lagrangev a Eulerv popis pohybu kontinua Cauchyho tenzor napt, 1. Piolv tenzor napt, 2. Piola-Kirchhoffv tenzor

napt Greenv tenzor petvoen, Almasiho tenzor petvoen

Obsah

87. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Kontroln otzky

1. Charakterizujte pojem geometrick nelinearita - velk posuvy.2. Charakterizujte pojem geometrick nelinearita - velk petvoen.3. Jak je rozdl mezi Lagrangeovm a Eulerovm popisem kontinua.4. Jak znte tenzory napt?5. Jak znte tenzory petvoen?

Obsah

88. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Obr. 4.2 Zadn k pkladm

Pklady k procvien1. Na 4.2 je zobrazen prizmatick vetknut nosnk, zaten na konci osamlm momentem .

Geometrie nosnku je popsna jeho dlkou , momentem setrvanosti . Materil je charakteri-zovn hodnotou modulu prunosti . Urete prhyb nosnku (analyticky) pi uvaovn malchposuv a petvoen.

2. ete prhyb nosnku z pedchozho pkladu, ale uvaujte vliv velkch posunut. Pedpokl-dejme, e materil se chov linern.

3. Namodelujte ve vhodnm koneno-prvkovm programu pedchoz ppad nelinernho chovnnosnku a zskan vsledky porovnejte s pedchozm analytickm eenm.

Obsah

89. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Kl k pkladm k procvien1. Linern teorie nosnk dv nsledujc vsledky pro vodorovn posuv a svisl posuv volnho

konce prutu:

= 0,

= 2 .

2. Vodorovn posuv a svisl posuv volnho konce prutu lze vyjdit nsleujcmi vztahy:

= 1

sin

,

= 1

[1 cos

],

=

,

kde pedstavuje kivost.

Obsah

90. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


Interaktivn test


1. Geometrickou nelinearitu typu velk posuvy je nejlpe popsan nsledovn. Vyberte sprvnouodpov.

(a) Posuvy jsou velk, petvoen jsou mal a nen proto mono pout Cauchyho geometrickrovnice.

(b) Posuvy jsou velk, petvoen jsou velk a je mono pouit pro popis Cauchyho geometrickrovnice.

(c) Posuvy jsou velk, petvoen jsou mal a je mono pout Cauchyho geometrick rovnice.(d) Posuvy jsou mal, petvoen jsou mal a je proto mono pout Cauchyho geometrick

rovnice.

2. Geometrickou nelinearitu typu velk petvoen lze popsat nsledovn. Vyberte sprvnou odpo-v.

(a) Posuvy jsou mal, petvoen jsou velk a nen proto mono pout Cauchyho geometrickrovnice.

(b) Posuvy jsou velk, petvoen rovn a nen proto mono pout Cauchyho geometrickrovnice.

(c) Posuvy jsou velk, petvoen jsou velk a je mono pouit Cauchyho geometrick rovnice.

Obsah

91. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


3. O jak typ pohybu popisu kontinua se jedn: Nezvislmi promnnmi veliinami jsou potenpoloha a as. Vyberte sprvnou odpov.

(a) Lagrangev popis(b) Lagrangev-Eulerv popis(c) Eulerv popis

4. Kter typ tenzoru napt je pro inenrsk lohy (tedy pro design sousti a jej kontrolu)nejdleitj? Vyberte sprvnou odpov.

(a) 1. Piollv tenzor napt.(b) 2. Piollv tenzor napt.(c) Cauchyho tenzor napt.(d) Almasiho tenzor napt.

5. Pro popis petvoen je mono vyut Cauchyho, Green-Lagrangev nebo Almasiho tenzor pe-tvoen. Je mon aby tyto tenzory splynuly? Vyberte sprvnou odpov.

(a) Ne, nen to mon.(b) Ano v ppad malch posuv a deformac budou vechny tenzory shodn.(c) Ne, pouze Cauchyho tenzor a Green-Lagrangev si mohou bt ekvivalentn.(d) Ano, ale pouze Cauchyho a Almasiho tenzor me v ppad malch posuv a deformac

splynout.

6. V totln Lagrangeovsk formulaci jsou vechny fyzikln veliiny vztaeny k ... Vyberte sprvnouodpov.

(a) K vchoz konfiguraci.(b) K stavu na potku zatovacho prstku.(c) K stavu na konci zatovacho prstku.

Obsah

92. strana ze 221

J J I I

J I

Zavt dokument

Cel obrazovka

Okno


7. Logaritmick deformace je definovn

mkp a mhp - interaktivní studijní materiál

Documents