1

MIT دانشگاه

دانشكده مهندسي برق و كامپيوتر

)6.061( مقدمه اي بر سيستمهاي قدرت الكتريكي

دومفصل

ACپخش توان در شبكه هاي خطي َ

J.L. Kirtley Jr.

March 12, 2003 مقدمه .1

ي و بررسي توزيع ولتاژ ها و جريان هاي متناوب در شبكه هاي در اين قسمت به پخش بار انرژ

شبكه تحت شرايط ماندگار سينوسي در نظر گرفته مي شود كه طبيعتا تمام پارامتر . خطي مي پردازيم

بنابراين در ابتدا، موضوع اعداد مختلط، .ها بصورت اعداد حقيقي يا موهومي نشان داده مي شوند

در . اژ و جريان را بصورت توسط يك مقدار و زاويه نشان داده مي شودمعرفي مي گردد و سپس ولت

سپس در ادمه اين قسمت، رفتار خطوط انتقال . انتها نيز توان بصورت اعداد موهومي تعريف مي شود

.در حوزه زمان و فركانس مورد بررسي قرار مي گيرد

معرفي توابع مختلط .2

را yرا بعنوان محور اعداد حقيقي و محور xمي توان عدد با استفاده از نمايش هندسي اعداد مختلف

ــت ــر گرف ــومي در نظ ــداد موه ــور اع ــورت مح ــد . بص ــتلط مانن ــدد مخ ــك ع ــب ي ــدين ترتي ب

)1j(jyxz الزم اسـت . نشان داد) 1(را مي توان بصورت بردار نشان داده شده در شكل =+=−

ولفه هاي حقيقي و موهومي، مي توان بـا انـدازه و به اين نكته توجه شود كه يك بردار را عالوه بر م

.زاويه نيز نشان داد

)1(

)2(

��� ����:

هاي اي بر سيستم مقدمه

قدرت الكتريكي

��� ��: ��/�

������ ����: ��������

���� �����MIT : � ����� !"�#$ � %&

����� '� ��SBU: ����(" )��� �&*�� +

,-��.�/�0�1$��� /�20� 3�����

� ��456 �"5� 7�84-�� 9 �4� 7:� !7�84-��MIT

2

1j(jyxz(نمايش عدد مختلط ) 1(شكل −=+=

نمايش ) 2(شكل

رابطه مشهور اولي در واقع بهترين فرم نمايش يك تابع نمائي مختلط است كه شكل آن نيز در

.نشان داده شده است) 2(شكل

)3(

:نشان مي دهد كه) 2(و) 1(و روابط) 2(و) 1(مقايسه شكلهاي

)4(

.مي توان به روابط ديگري، نظير روابط زير دست يافت) 3(با استفاده از رابطه

)5(

)6(

)7(

توابع موهومي مختلط يكي از توابع با كاربردهاي زياد هستند و الزم استبه اينكه توجه شود كه

.معني ثابت نگه داشتن پايه و جمع نما ها مي باشد ضرب دو تابع نمائي بع

)8(

.هم چنين عكس يك تابع نمائي، به معني همان تابع است كه پايه ثابت و نماي آن منفي شده است

)9(

3

نمايش يك عدد مختلط و مزدوج آن) 3(شكل

:در صورتيكه دو عدد مختلط را بخواهيم در هم ضرب كنيم ، حاصل برابر است با

)10(

:و نسبت پان عدد برابر است با

)11(

:يك عدد مختلط برابر است با مزدوج

)12(

:و مجموع يك عدد مختلط و مزدوج آن يك عدد حقيقي مي شود كه برابر است با

)13(

:و تفاضل آنها، برابر با يك عدد موهومي است كه برابر است با

)14(

براي نشان دادن قسمتهاي حقيقي و موهومي اعداد Im(0)و Re(0)ت براي سادگي از دو عبار

.مختلط استفاده مي كنيم

:مزدوج يك عدد مختلط را مي توان بصورت زير نيز نشان داد

)15(

.همچنين ضرب يك عدد مختلط و مزدوج آن برابر با يك مقدار حقيقي مي شود

)16(

4

توابع سينوسي زماني .3

:نوسي زماني را مي توان حداقل به دو صورت زير نشان داديك تابع سي

)17(

)18(

.روش ديگر نشان دادن آن، بصورت مجموع تابع نمائي مختلط مي باشد

)19(

، است كه مجموع تابع نمائي مختلط و مزدوج آن) 19(رابطه كه الزم است به اين نكته توجه شود

) 18(و ) 17(با روابط) 19(براي ارتباط معادله . استمين مي كند كه حاصل يك تابع حقيقي ضت

.را مي توان بصورت زير نوشت Xكنيد كه ضفر

)20(

.به شكل زير تبديل مي شود) 19(در آنصورت رابطه

)21(

)22(

)23(

:بصورت زير بدست مي آيد) 19(با رابطه مقايسه در) 17(و ضرايب رابطه

)24(

)25(

:نوشت همچنين مي توان

)26(

:برابر هستند با Xكه در آن قسمتهاي حقيقي و موهومي

)27(

)28(

:در آنصورت تابع زماني به فرم زير در مي آيد

)29(

)30(

)31(

)32(

5

)33(

:را بصورت زير نشان داد) 19(همچنين مي توان رابطه

)34(

د، بنابر اين مي توان در شرايط مختلف با يكديگر مساوي هستن) 34(و ) 19(با توجه به اين كه روابط

بصورت يك رابطه كامل نشان داده شده است، ) 19(رابطه . هر يك از آنها را مورد استفاده قرار داد

.، شكل خالصه شده را نشان مي دهد)34(در صورتيكه رابطه

امپدانس .4

ان تمام عناصر خطي مدار از آنجائيكه مشتق گرفتن از توابع نمائي مختلط ساده مي باشد، لذا مي تو

از اين درس، عناصر مقاومتي خطي اول فصلدر . هاي الكتريكي را در قالب اين اعداد نمايش داد

در اين . بحث شد كه نشان داده شد كه ولتاژ جريان شاخه بصورت خطي با هم در ارتباط هستند

.قسمت مي خواهيم دو عنصر ديگ، سلف و خازن را بررسي كنيم

عناصر سلف وخازن) 4(شكل

:رابطه ولتاز و جريان سلف بصورت زير است

)35(

.در صورتيكه ولتاژ و جريان بصورت توابع سينوسي بصورت زير تعريف شوند

:در آنصورت مي توان رابطه ولتاژ و جريان سلف را بصورت زير نشان داد

)36(

مشابه رابطه ولتاژ و جريان عناصر فرم ساده اي دارد و ) 36(همانطور كه مالحظه مي شود، رابطه

مقاومتي است، بصورت مشابه مي توان گفت كه مقاومت جايگزين يك امپدانس مختلط شده است

:رابطه بين اندوكتانس و امپدانس عبارت است از. كه به آن امپدانس گفته مي شود

)37(

6

جريان يك خازن برابر است رابطه بين ولتاژ و. صورت ساده و مشابه مي توان خازن را تعريف كرد

:با

)38(

:بنابراين بصورت مشابه، مي توان امپدانس خازن را بصورت زير تعريف كرد

)39(

بسياز شبيه روابط عناصر مقاومتي همانطور كه مشخص است، روابط بدست آمده براي سلف و خازن

مي توان براي شبكه هاي مي باشد و مي توان گفت كه روشهاي مورد استفاده در شبكه هاي خطي را

.خطي متشكل از سلف و خازن بكار برد، در صورتيكه شبكه دو حالت ماندگار سينوسي داشته باشد

.معكوس امپدانس را ادميتانس مي نامند

براي دو عنصر . تركيب سري و موازي ادميتانس و امپدانس، دقيقا مشابه كنداكتس و مقاومت مي باشد

:داشتسري يا موازي خواهيم

:حالت سري

)40(

)41(

:حالت موازي

)42(

)43(

مثال 4-1

.است i(t)=I cas(wt)را بدست آوريم كه در آن ) 5(شبكه شكل v(t)فرض كنيد مي خواهيم ولتاژ

شبكه امپدانسي مختلط) 5(شكل

:منبع جريان را مي توان بصورت ديگري نيز نوشت

7

:متشكل از سلف و مقاومت موازي برابر است بادر اين مدار، رابطه امپدانس مختلط

:را توسط رابطه زير نشان دهيم v(t)در صورتيكه

:در آنصورت خواهيم داشت

.را مي توان بصورت فازوري در نظر گرفت و اندازه فاز آنرا بدست آورد Zدر اين حالت، امپدانس

:رابطه زير نوشت را بصورت v(t)با استفاده از روابط ذكر شده، مي توان

الزم به ذكر است كه رابطه بدست آمده تنها براي حالت دائمي سينوسي كاربرد دارد و از آن نمي

.توان براي حالتهاي گذرا استفاده كرد

توابع شبكه و پاسخ فركانسي .5

. ودمعموال براي بررسي شبكه هاي خطي، نظير آنچه كه قبال بررسي شد، از توابع شبكه استفاده مي ش

رفتار . توابع شبكه بصورت نسبت خروجي به ورودي تعريف مي شود كه معموال مختلط مي باشد

توابع شبكه معموال بصورت توابع امپدانسي يا ادميتانسي و يا توابع انتقالي تعريف مي شوند، بدين

ژ مثال نسبت ولتا. صورت كه نسبت ولتاژ يا جريان در ورودي و خروجي در نظر گرفته مي شود

خروجي به جريان ورودي كه تابع امپدانس و يا نسبت جريان خروجي و ولتاژ ورودي كه تابع

.ادميتانس گفته مي شود

8

تابع شبكه را مي توان بصورتهاي ديگر ي نيز نشان داد كه معمول ترين آنها بصورت تبديل الپالس

رفتار شبكه هاي خطي در اما مهم است كه بتوان . است كه خارج از موضوع بحث اين بخش مي باشد

.حوزه فركانس را مورد بررسي قرار داد

پاسخ فركانسي يك شبكه در واقع يك عدد مختلط است كه ارتباط بين خروجي و ورودي را

.بصورت تابع از فركانس نشان مي دهد كه معموال بصورت فازوري نشان داده مي شود

ه و تحليل سيگنال و سيستم يا تئوري شبكه مطالب مرتبط اين موضوع را مي توان در دروس تجزي

براي اين . ها مطالعه كرد كه چگونه مي توان پاسخ فركانس يك شبكه را بدست آورد و رسم كرد

.بخش و هدف مورد نظر ما، اين كار را با يك مثال نشان مي دهيم

.را در نظر بگيريد) 6(مدار شكل

مدار مثال پاسخ فركانسي) 6(شكل

در اين مدار مي خواهيم . در واقع يك مقسم ولتاژ بين يك مقاومت و اندوكتانس مي باشد اين مدار

با انجام يكسري محاسبات ساده مي . را بدست آوريم و سپس رسم كنيم Vout/Vinكه تابع شبكه

.توان تابع شبكه زير را بدست آورد

در اين قسمت از . وتي بدست آورداندازه و فاز تابع شبكه بدست آمده را مي توان به روشهاي متفا

دستور العمل مربوط براي رسم پاسخ . براي اين منظور استفاده مي كنيم MATLABنرم افزار

در واقع كاري كه صورت مي . نشان داده شده است) 7(فركانسي تابع شبكه بدست آمده در شكل

اين فركانسها با . يدبراي فركانس هاي مختلف بدست مي آمقدار تابع شبكه گيرد، اين است كه

فواصل ثابت در مبناي لگاريتمي قرار دارند و با تعيين مقدار دامنه و فاز شبكه براي هر يك از آنها و

.رسم مقادير بدست آمده در مبناي لگاريتمي، پاسخ فركانسي شبكه در حوزه فركانس رسم مي گردد

9

فازورها .6

رفتار توابع سينوسي در حالت دائمي روشهاي فازورها به ما كمك مي كنند كه بتوان بهتر طبيعت

eبراي شروع تابع نمائي مختلط . هندسي بررسي كردjwt در هر لحظه از زمان مقدار . را در نظر بگيريد

. است jمقدار آن برابر با wt=π/2و در 1مقدار آن t=0در زمان . آن بصورت مختلط است

نشان داد كه اندازه آن برابر واحد مي باشد و حول بنابراين مي توان اين تابع را بصورت يك بردار

در واقع قسمتهاي حقيقي و موهومي تابع، . مي چرخد ωمبدا در صفحع مختلط با سرعت زاويه اي

.همان تصوير تابع روي محور هاي حقيقي و موهومي مي باشند

ورت رابطه زير آن را بيان را در نظر بگيريد كه بتوان به ص x=(t)حاال يك سيگنال متغير با زمان مانند

.كرد

تركيبي از دو عدد است كه بصورت مزدوج با يكديگر جمع شده اند و تابع زمان مي اين سيگنال

همانطور كه مشخص . باشند و در جهت خالف يكديگر در صفحه مختصات مختلط مي چرخند

صورت رابطه زير نيز نشان را البته مي توان ب x(t)تابع . است، حاصل جمع آنها يك عدد حقيقي است

.تصوير تابع روي محور حقيقي است Re(0)داد كه قسمت حقيقي آن

)44(

در اينجا مناسب است كه موضوعي در رابطه با ضرب دو عدد مختلط بصورت يادآوري ذكر گردد كه

:نتيجه ضرب دو عدد مختلط يك عدد مختلطي است كه

10

MATLAB (freq.m)برنامه ) 7(شكل

.آن حاصلضرب اندازه دو عدد مختلط باشد اندازه .1

.انداز فاز آن برابر با مجموع فاز هاي دو عدد مختلط است .2

eبنابر اين نتيجه ضرب يك عدد در jwt برابر است با يك بردار واحد كه با يك بردار كه با سرعتω

.در زمان تغيير مي كند ωمي چرخد و يا اينكه فار آن با نرخ

مي توان توابع سينوسي را بصورت اعدا مختلط بيان كرد كه اندازه آن بصورت بنابراين بسادگي

معموال زاويه سيگنال . در اين حالت عالوه بر اندازه سيگنال، زاويه آن نيز بيان مي شود. مختلط هستند

در صورتيكه . به تنهائي كاربرد زيادي ندارد و مي بايست نسبت به يك مبنا ي زماني مقايسه شود

.ف فاز، همانطور كه بعدا خواهيم ديد، اهميت بسياز زيادي دارداختال

مقادير امپدانس و ادميتانس نيز بصورت اعداد مختلط مي باشند كه بصورت فازوري ارتباط بين ولتاژ

) ولتاژ جريان( در واقع ضرب و با تقسيم اعداد مختلط . ها و جريان هاي شبكه را نشان مي دهند

تغيير اندازه و فاز حاصل عمليات را با ضرب و تقسيم اندازه ها و جمع يا است كه بسادگي امكان

.تفريق فاز ها امكانپذير مي سازد

مثال 6-1

را در نظر بگيريد و فرض كنيد كه منبع جريان بصورت زير باشد) 9(مدار ساده شكل

11

.يك عدد مختلط بصورت زير مي باشد R-1امپدانس مدار

پاسخ فركانسي) 8(شكل

) 10(همانطور كه مشخص است ، مي توان امپدانس بدست آورده را در صفحه مختلط بصورت شكل

.همچنين مي توان ولتاژ را بصورت زير تعريف كرد. نشان داد

كه در آن

همانطور كه . مي باشد) 1(با استفاده از روابط ذكر شذه، ارتباط بين ولتاژ و جريان مطابق شكل

با استفاده از بردار هاي نشان . ه بين ولتاژ و جريان همان زاويه امپدانس است مالحظه مي شود زاوي

.نشان داد) 12(را نيز بصورت برداري در شكل KVLداده شده مي توان

انرژي و توان .7

تعريف شده باشند مي توان نشان داد كه ) 13(براي هر جفت سر كه ولتاژ و جريان آن بصورت شكل

:برابر است با توان ورودي به عنصر

)45(

12

مدار مثال) 9(شكل

امپدانس موهومي) 10(شكل

در صورتيكه . توان بر حسب وات بيان مي شود و برابر است با حاصلضرب يك ولت دي يك آمپر

مقدار توان را بدست آوريم، از رابطه انتگرالي زير استفاده مي t1تا t0بخواهيم در مدت زمان بين

.كنيم

)46(

همچنين ژول بر حسب نيوتن . بيان ميشود و برابر است با يك وات ثانيه (J)بر حسب ژول انرژي

نيز بيان مي شود و مي توان گفت يك وات برابر است با يك ) حاصلضرب نيرو در فاصله(متر

در اين سه حالت سه عنصر خطي و پسيو كه قبال معرفي كرديم را مورد بررسي . متر بر ثانيه - نيوتن

.دهيم قرار مي

:توان لحظه اي در عناصر مقاومتي برابر است با v=Ri: مقاومت •

)47(

نمودار برداري ولتاژ جريان) 11(شكل

13

مولفه هاي ولتاژ) 12(شكل

تعريف توان) 13(شكل

:توان لحظه اي در اندوكتانسها برابر است با. v=l di/dt: اندوكتانس •

)48(

بنابر اين . به عنوان مقدار انرژي ذخيره شده در اندوكتانس معرفي مي شودنيز عبارت

البته براي عناصر غير خطي و در مباحث الكترومغناطيس . بدست آورد مي توان توان را از رابطه

اما براي شبكه هاي خطي و عناصر پسيو مي توان از همين .الزم است كه تغييراتي در رابطه داده شود

.ابط استفاده كردرو

:توان لحظه اي خازنها برابر است با ،: خازن •

)49(

.يز به عنوان مقدار انرژي ذخيره شده در خازن معرفي مي شودن عبارت

.مقدار توان هر يك از اين سه عنصر تحت شرايط ماندگار سينوسي نيز بصورت زير بدست مي آيد

.باشد i=I cas(wt+θ)اگر : مقاومت •

)50(

14

:مقدار توان متوسط برابر است با

)51(

.باشد و اگر:اندوكتانس •

)52(

مقدار توسط توان اندوكتانس برابر با صفر است اما انرژي لحظه اي ذخيره شده در سلف برابر است

:با

:بنابر اين مقدار متوسط انرژي برابر است با

)53 (

توان برابر و و و اگر: خازن •

:باشدبا

)54(

:مقدار متوسط توان برابر است با صفر و انرژي ذخيره شده در خازن برابر است با

:انرژي برابر است با طمقدار متوس

)55(

در اين حالت توان عناصر را در شرايطي حالت دائمي سينوسي بررسي مي كنيم كه ولتاژ و جريان هم

.فركانس اما داراي فاز هاي متفاوت مي باشند

.بصورت مختلط نوشت) 19(براي محاسبه توان الزم است كه روابط فوق را توسط معادله

)56(

)57(

15

:توان لحظه اي برابر است با حاصلضرب ولتاژ و جريان

)58(

:اين رابطه معادل است با رابطه زير

)59(

.همچنين مي توان آن را بصورت زير نشان داد

)60(

.زمان را بدست آورد -توان حقيقي و يا متوسط تواناز رابطه فوق مي توان،

)61(

ضريب قدرت ناميده مي شود و بسادگي نسبت بين توان حقيقي و توان ظاهري

. مي توان آن را بصورت زير نشان داد

)62(

اويه ولتاژ و جريان توام موهومي يا برابر است با اختالف فاز بين ز Θ−Φ=Ψ زاويه ضريب قدرت

.توان مختلف را مي توان بصورت زير تعريف كرد

)63(

مقدار و اندازه توان مختلط برابر است با توان . نشان داده شده است P در اين رابطه توان حقيقي با

.ظاهري و قسمت موهومي همان توان راكتيو است

معموال توان . ي با واحد هاي مختلفي بيان مي شوندهر يك از توان هاي حقيقي، راكتيو و ظاهر

و توان (VA)آمپر–و توان ظاهري بر حسب ولت (KW,MW…)يا (w)واتحقيقي بر حسب

.بيان مي شود (VAR,s)اكتيو بر حسب ولت آمپر اكتيو

.براي درك بهتر توان راكتيو، رابطه زماني توان لحظه اي را مورد بررسي قرار مي دهيم

x=2wt+2φو cos(x+y)=cox(x)cos(y)-sin(x)sin(y) فاده از رابطهبا است

Φ−Θ=Ψ−=y خواهيم داشت:

: بنابر اين توان لحظه اي برابر است با

)64(

16

:خواهيم داشت Qو Pبا جداسازي قسمتهاي مختلف براي

)65(

د نتوسط زماني توان را نيز مشخص مي كسي بودن ملنه تنها متوسط زماني توان بلكه پا Pتوان حقيقي

.، تبديل انرژي با مقدار متوسط صفر را نشان مي دهد Qاكتيوراما توان

RMSمقدار 1 - 7

وجود 2/1در صورتيكه به تمام روابط بدست آمده براي توان دقت شود، متوجه مي شويم كه ضريب

مقدار حاصلضرب ماكزيم هر يك 2/1با زيرا مقدار متوسط حاصلضرب دو رابطه سينوسي برابر. دارد

از روابط در كسينوس اختالف زاويه بين آنها، مي توان مقدار ولتاژ را بصورت متوسط جذر ولتاژ كه

يك شكل موج بصورت مختلط مي باشد، اما RMSتعريف دقيق. مي باشد را نشان داد RMSهمان

. براي توان تلف شده مي باشد DCاژ براي يك مقاومت به مقداري مي رسد كه معادل جريان ولت

تعريف كرد و براي شكل موجهاي سينوسي RMSبراي هر شكل موج پريوديك مي توان يك مقدار

براي توان تلف شده در يك مقاومت بر حسب مقادير حداكثر ولتاژ . اين تعريف شكل ساده تري دارد

:و جريان برابر است با

:خواهد بودولتاژ عبارت RMSبنابر اين مقدار

:كه در آن صورت

بعنوان مثال براي .بيان مي شوند RMSبر حسب ACدر اكثر حاالت مقدار ولتاژ منابع در مدار هاي

ولت است و مقدار حداكثر منبع 120برابر با RMS، مقدار ولتاژ ACولتا 120يك مدار با منبع ولتاژ

معموال شكل موج در روابط سينوسي بصورت زير . ولتاژ برابر است با

.نشان داده مي شود

.ولتاژ است RMSهمان مقدار VRMSكه در آن

17

مثال 2- 7

مقدار توان لحظه اي ورودي مدار را مي خواهيم اندازه . را در نظر بگيريد) 14(مدار ساده شكل

اهم مي 100هر يك Xو Rاست و RMSولت 120كنيم منبع ولتاژ داراي فرض مي. گيري كنيم

.باشند

مدار مثال) 14(شكل

:در اين حالت داريم

:و ادميتانس مدار برابر مي شود با

توان مدار مثال) 15(شكل

:در اين حالت، اندازه مختلط جريان برابر است با

:و توان مختلط برابر مي شود با

18

در اين حالت P=144W و Q=144VAR: دار توان حقيقي و راكتيو به ترتيب برابر است بامق

و توان لحظه اي را مي توان زاويه ضريب قدرت مدار برابر است با

.بصورت زير نشان داد

.نشان داده شده است) 15(شكل موج توان لحظه اي در شكل

قانون جمع توانها .8

متوسط زماني را با هم جمع كرد،مي توان توان هاي مختلط را نيز با هم مي توان توان كه همانگونه

در . براي اين منظور فرض كنيد كه يك شبكه با عناصر و شاخه هاي مختلف وجود دارد. جمع كرد

:اين حالت مجموع توان لحظه اي شبكه برابر است با

در اين حالت . نوشته شده است رابطه فوق براي تمام جريانها و ولتاژ هاي دو سر تمام شاخه ها

ولتاژها برابر هستند با ولتاژ دو سر ها شاخه براي هر جفت گره و جريانها برابر با جريان شاخه بين

به عبارت ديگر ولتاژها، ولتاژ گره ها نسبت به زمين و جريانها همان جريان گره ها . دو گره مي باشند

مي باشد

.ع توانهاي شاخه هاي شبكهتوان ورودي شبكه برابر است با مجمو

)67(

.رابطه اي كه براي توان لحظه اي درست باشد، مي توان از آن براي توان مختلط نيز استفاده كرد

)68(

.در صورتيكه شبكه از مقاومت، سلف و خازن تشكيل شده باشد، در آنصورت خواهيم داشت

)69(

:براي هر يك از المانها خواهيم داشت

مقاومت •

اندوكتانس •

19

خازن •

:برابر مي شود با) 69(در اين حالت رابطه

)70(

:هر يك از عبارات برابر خواهد بود

:خواهيم داشت RLCبنابر اين براي هر مدار

)71(

توان جذب شده توسط امپدانسي .9

انتقال، ممكن است امپدانس خط Zدر اين امپدانس. را در نظر بگيريد) 16(براي شروع شكل

ترانسفورماتور و يا يك موتور باشد و موضوع مورد بحث ما، توان جذب شده توسط امپدانس مي

.باشد

مثال محاسبه توان) 16(شكل

.، توسط رابطه زير بدست مي آيد)16(جريان در مدار شكل

)72(

:در اين حالت توان ورودي از سمت چپ مدار برابر است با

20

)73(

.ولتاژ منابع را بصورت روابط زير نشان داد مي توان مقدار

)74(

)75(

در اين حالت توان مختلط نسبت به دو سر ترمينال . كه در آن، زاويه نسبي فاز بين منبع ولتاژ مي باشد

:برابر است با

)76(

اين رابطه را در صفحه مختلط مي توان بصورت يك دايره نشان داد

:و شعاع آن برابر است با

نشان داده شده است ) 17(در صورتيكه امپدانس مورد نظر را بصورت يك سلف ساده كه در شكل

در نظر بگيريم كه در واقع ساده ترين شكل يك خط انتقال است كه فقط راكتانس سري آن در نظر

سلف مدار انتقال ناشي از عبور جريان در خطوط و توليد ميدانهاي مغناطيسي مي . گرفته شده است

شناخته مي شوند، البته هباشد كه حاالت نشان داده شده در واقع بعنوان مدار معادل خطوط كوتا

. اطالعات كاملتري در بخش هاي بعدي ارائه مي شود

:امپدانس اين خط انتقال برابر است با

1sمي توان نوشت RMSاز نقطه نظر روابط بر حسب V2V 2rو = V2V كه در آنصورت =

:توان حقيقي و راكتيو برابر است با

21

ساده ترين مدل خط انتقال) 17(شكل

در صورتيكه ولتاژ ها را بصورت زير در نظر بگيريم

:نشان دهيم، و در آنصورت با كمي سعي خواهيم داشت و زاويه نسبي بين آنها را با

نمودار دايره اي مربوط به ) 18(شكل. بصورت نمودار هاي دايره اي نشان داد اين روابط را مي توان

حالتي را نشان مي دهد كه ولتاژ دو سر مدار برابر است و امپدانس مدار تنها راكتانس خالص مي

.باشد

دياگرام دايره براي ولتاژ هاي مساوي) 18(شكل

ف شود، در آنصورت خواهيم داشتدر صورتيكه توان راكتيو تنها توسط امپدانس خط معر

Qs-Qr=Ql بنابراين

22

.بدست آورد) 19(و ولتاژ دو سر امپدانس خط را مي توان توسط شكل

قانون كسينوسها) 19(شكل

:برابر مي شود با Qlبنابر اين مقدار

خط جبران شده .10

مدل خط انتقال) 20(شكل

اين شكل . نشان داده شده باشد) 20(قال در شكل شايد يكي از پر كاربرد ترين مدل هاي خط انت

نشان مي دهد كه خط انتقال عالوه بر راكتانس سري داراي خازنهاي موازي مي باشد و به عبارت

اين مدل را مي توان بصورت يك دو قطبي . ديگر خطوط انتقال بصورت جبران شده مدل مي شوند

:خواهيم داشت Xc=j/cwو Xl=jwlبا استفاده از روابط . ادميتانسي نشان داد

:ادر اين حالت، مقدار توان حقيقي و راكتيو براي ورودي وخروجي برابر است ب

23

دياگرام دايره اي با ولتاژ هاي مساوي براي حالت جبران شده) 21(شكل

مدار با اين تفاوت كه براي. مي باشد) 18( شبيه دياگرام دايره اي شكل) 21(شكل دياگرام دايره اي

.ان راكتيو كمتر جابجا شده استوه به نقطه اي با ترجبرانشده، مركز داي

يكي از خصوصيات مهم خطوط انتقال زماني رخ مي دهد كه انتهاي آن بصورت مدار باز در نظر

در اين حالت. گرفته مي شود

ي بزرگ شود و با توجه به مقادير سلف و خازن و فركانس، مقدار ولتاژ انتهاي خط ممكن است خيل

.توليد مشكالتي را نمايد كه اين موضوع را در بخش بعدي براي خطوط بلند بررسي مي كنيم

خطوط انتقال .11

اندكتانس خطوط بصورت اندكتانس واحد طول بيان . خطوط انتقال معموال بزرگ و پيوسته مي باشند

لند را مي توان توسط خطوط انتقال ب. مي شود و خاصيت خازني خط بصورت توزيع شده مي باشد

يكسري سلف و خازن موازي براي هر قسمت كوچك خط انتقال كه بصورت سري بهم متصل شده

اين مدل خط انتتقال كه بنام مدل فشرده ناميده مي شود در اكثر مطالعات سيستمهاي . اند نشان داد

يك نمونه 1970ال در س.( قدرت و مخصوصا شبه ساز هاي خط انتقال مورد استفاده قرار مي گيرند

بعد از بخش بعدي، مدل ارائه شده را بعنوان مدل خط انتقال ). ساخته شده است MITاز آن در

24

خت كه در ان از عناصر فشرده به نمايش سلف و خازن و مقاومت خطوط تا چند كوتاه خواهيد شنا

.ده مايل استفاده مي شود

معادالت تلگراف 1- 11

مي توان ولتاژ جريان مدار وابسته به زمان و مكان را ) 22(ه در شكلبا دقت در مدل نشان داده شد

.بصورت روابط زير نشان داد

مدل فشرده خط انتقال) 22(شكل

اين معادالت بعنوان معادالت تلگراف شناخته مي شوند و نشان مي دهند كه اندوكتانس برابر است با

بر حسب زمان و خازن خط برابر است با نسبت نسبت تغييرات ولتاژ به مكان به تغيرات جريان

.تغييرات جريان به مكان به تغييرات ولتاژ بر حسب زمان

. براي بدست آوردن رابطه يك شكل موج كافي است كه ولتاژ يا جريان را از روابط فوق حذف كنيم

، بدست مي بعنوان مثال مشتق گيري از رابطه دوم و قرار دادن رابطه سوم در رابطه حاصل از مشتق

.آوريم

.پاسخ معادله ديفرانسيلي حاصل بصورت رابطه زير در حالت كلي مي باشد

:كه در آن سرعت موج برابر است با

25

بنابراين متوجه مي شويم كه ولتاژ خط از دو مولفه در جهت حركت مثبت و ديگري در جهت

.حركت منفي تشكيل شده است

:مي باشد كه برابر است با همين نتيجه نيز براي جريان صادق

جالب در اين است كه حاصلضرب اندكتانس در سرعت موج از نوع امپدانس مطابق رابطه زير نكته

.مي باشد

اين رابطه بعنوان امپدانس مشخصه خط ناميده مي شود و معموال خطوط كابلي با اين امپدانس

اهم بعنوان 72تا 50كسيال مقدار بين بعنوان مثال براي يك كابل كوا. مشخصه معرفي مي گردند

.امپدانس مشخصه ذكر مي شود و براي خطوط انتقالي مقادير بزرگتري بدست مي آيد

ولتاژ ضربه در خطوط انتقال 2- 11

چپ مدار به يك منبع جريان پالسي سمت. را در نظر بگيريد) 23(وضعيت نشان داده شده در شكل

حالتي است كه صاعقه به خطوط انتقال برخورد مي كنند كه در اين حالت تقريبا شبيه. متصل است

مدل مي 1µsكيلو آمپر و پهناي پالس 100تا 20آن صاعقه با يك منبع جريان پالسي به اندازه

).در واقع صاعقه يك پالس موجي نيست اما اين موضوع در اين مبحث اهميت ندارد.(شود

اشد، در آنصورت يك موج سيار دو خط در جهت مثبت درصورتيكه پالس به اندازه كافي كوچك ب

در هنگام . همان جريان بوجود آمده از صاعقه مي باشد +iايجاد مي شود كه +v+=z0lبصورت

:رسيدن پالس به انتهاي خط و يا امپدانس خواهيم داشت

:شكل موج منفي يا برگشتي نيز برابر است با. نيز برقرار است v=Riكه در آن

براي . حاليكه انتهاي خط باز باشد، ولتاژ انتهاي خط برابر با دو برابر پالس ابتداي خط مي باشددر

حالت اتصال كوتاه اين مقدار برابر با صفر خواهد بود و جريان دو برابر مقدار جريان ابتداي خط، اما

26

داده نشان) 23(اين حالت در شكل. بصورت منفي مي باشد و در جهت حركت معكوس مي باشد

.شده است

انتقال شكل موج در خطوط انتقال) 23(شكل

نوسي ماندگاريحالت س 3- 11

منبع ) 24(در اين وضعيت مطابق شكل . در اين قسمت، وضعيت سينوسي ماندگار را در نظر بگيريد

.ولتاژ سينوسي در يك طرف خط و بار اهمي دو طرف ديگر خط انتقال در نظر گرفته شده است

.لتاژ و جريان در چنين خطوطي بصورت روابط زير مي باشدشكل موج و

مدل ساده خط انتقال) 24(شكل

:كه سرعت موج برابر است با

:از ابتداي خط خواهيم داشت x=lدر فاصله

27

:با فاكتور گيري خواهيم داشت

:و به همين ترتيب براي ولتاژ ابتداي خط مي توان نوشت

:ي توان رابطه ولتاژ انتهاي خط را بدست آوردبا مقداري عمليات م

:با تعيين مقدار نسبت دو ولتاژ به رابطه زير دست مي يابيم

اين رابطه نشان مي دهد كه اگر انتهاي خط با يك مقاومت به اندازه امپدانس مشخصه خط بارگذاري

اژ افزايش يابد، ولتاژ انتهاي اگر مقدار ولت. شود در آنصورت ولتاژ ابتدا و انتهاي خط برابر مي شود

.خط كمتر و اگر مقدار آن كاهش يابد، ولتاژ انتهاي آن بيشتر از ولتاژ ابتداي خط مي شود