mit zahlen spielen fachwissenschaftliches seminar prof. dr. r. hochmuth referentinnen: nina fiethen,...

Mit Zahlen spielenMit Zahlen spielen

Fachwissenschaftliches SeminarFachwissenschaftliches SeminarProf. Dr. R. HochmuthProf. Dr. R. Hochmuth

Referentinnen: Nina Fiethen, Referentinnen: Nina Fiethen, Christiane Grundkötter Christiane Grundkötter

und und Tanja Przyklenk Tanja Przyklenk

Universität Kassel WiSe 2005/ 2006

Gliederung

Regeln und Muster - Spielereien

mit Ziffern Stellenwertsysteme

Ursprung, Idee, Umwandlung und

Rechnen

Spielereien für den Alltag

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern

Erläuterung des Themas:

Innermathematische Entdeckungenmathematische Muster erkennen und mit Zahlen spielen

Eigenaktive Durchdringung vertrauter Kenntnisse über Zahlen


ANNA- Zahlen

Finde den Fehler:

9449 7272 6116

-4994 -2727 -1661

4455 4545 4455Wie wäre die Aufgabe richtig?Was fällt auf?


Definition von ANNA- Zahlen:

Es sind vierstellige Zahlen„Zu je zwei verschiedenen Ziffern lassen sich genau zwei ANNA- Zahlen bilden“

Aufgabe:

Versuche durch das Berechnen von weiteren Differenzen von ANNA - Zahlen noch zwei andere Ergebnisse herauszufinden!

Dividiere jedes Ergebnis durch 891!


Erläuterung an Hand der Stellenwerttafel, mit dem Beispiel 3443:

T H Z E

●●● ●●●● ●●●● ●●●

+1000 - 100

+ 1 - 10

______

900

______

- 9

900- 9______

891


Weitere Zahlenmuster:

NANA- Zahlen 5454 - 4545

909

AABB- Zahlen 3322 - 2233

1089


Muster bei der Addition

Löse folgende Aufgaben:

45678 56789 123456 345678

+41976 +41976 +530865+530865

87654 98765 654321 876543

Welches Muster kannst du entdecken?


„Warum funktioniert das?“


Regeln zur MultiplikationBeispiel, 5·8:

1.Regel

50

Setze hinter die kleinere Ziffer eine 0, Ziehe die größere Zahl von 10 ab und multipliziere den

Rest mit der kleineren Zahl, das Ergebnis wird nun vom Zehnfachen der kleineren Zahl abgezogen.

(10-8)(5· )50 - =40


Algebraische Formeln

Zur 1. Regel:

a·b = a·10 - (a · (10 - b) )

= a∙10 – (a∙10 – a ∙ b)

= a∙10 - a∙10 + a∙b

= a∙b


2. Regel853

Addiere die beiden Ziffern schriftlich und notiere nur die Einerziffer vom Ergebnis,

Multipliziere die jeweiligen Reste, die beim Subtrahieren der Ziffern mit 10 herauskommen und schreibe wie folgt das Ergebnis neben die vorhergehende Rechnung. Sollte bei der Multiplikation eine Zahl mit zwei Ziffern herauskommen, so addiere die erste Ziffer zu der bereits aufgeschriebenen.

8.25.540

= 10·a+10b-100+(100 - 10a -10b +a∙b)


= 10·a+10b-100+100 - 10a -10b +a∙b

Algebraische Formeln

Zur 2. Regel:

a·b = 10·(a+b-10)+(10-a) ·(10-b)

= a·b

Muster bei der MultiplikationMuster bei der Multiplikation

77∙13 77∙26 77∙52 77 1540 3850 231 462 154 1001 2002 4004

Dadurch, dass man einen der beiden ursprünglichen Faktoren verdoppelt, verdreifacht, …wird auch das Ergebnis verdoppelt, verdreifacht.

77∙38 2310 616 2926

77739

77∙39 2370 693 3003

Andere Muster

111∙111 = 12321

1111∙1111 = 1234321

11111∙11111 = 123454321

111111∙111111 = 12345654321

Hier kann man das Ergebnis von vorne nach hinten und andersrum lesen.

Spielereien mit Zahlen

„Immer 1089“Wir suchen uns eine dreistellige

Zahl, deren Ziffern nicht alle gleich

sind.Differenz der Umkehrzahl bildenDazu die Umkehrzahl des

Ergebnisses addierenNullen berücksichtigen


625 634 912

-526 -436 -219

099 198 693

+990 +891 +396

1089 1089 1089


Begründung:Im ersten Schritt kommen bei der Differenz nur Zahlen in Frage, bei denen die Zehnerziffer, sowie die Summe der Einer- und Hunderter Ziffer jeweils 9 betragen.(099,198,297,…,891)Im zweiten Schritt entsteht in der Zehnerspalte ein Übertrag, der zu dem Ergebnis 1089 führt.


912

-219 Zehnerziffer, sowie

693 Summe der Einer- und

+396 Hunderterziffer ergibt 9

1089Übertrag in der Zehnerspalte

1

Ursprung des Ziffernrechnens

Die griechische Mathematik (3.Jh.v.Chr.)

nutze kein Stellenwertsystem sondern ein alphabetisches

Ziffernsystem

Aus Müller, Steinbring, Wittmann: „Arithmetik als Prozess“ S. 24

Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben?

Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben?

´ ´

Ein Apostroph vor einem Buchstaben bedeutet: mal 1.000

Die Idee der Stellenwertsysteme

Die Anzahl dieser Objekte abzuzählen erweist sich als schwierig. Eine Strichliste ist hierbei sinnvoll.

///////////////////////////


Es ist übersichtlicher die Objekte zu bündeln. Z.B. in Fünfer-päckchen.

//// //// //// //// //// ///

= 28 Striche


Nun kann man je 5 Bündel zu einem großen Bündel mit 5∙5 = 52 = 25 zusammenfassen.//// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// ///

2∙52 +1∙5 +3 =58Dieses Bündeln ist die Idee des

Stellenwertsystems


„Die Anzahl g der Objekte pro Bündel heißt Basis. Unser Stellenwertsystem hat die Basis 10.“

1547 =1∙1000 +5∙100 +4∙10 +7

=1∙103 + 5∙102 + 4∙101 + 7∙100

T EZH

51 4 7


Im 5er-System ist die Basis 5. Der mögliche Rest bei der Division durch g ist 0, 1, 2, 3, 4.

58 = 2∙52+1∙51+3∙10= 213(5)

105152

2 1 3

53


Wichtig:Wichtig:Die jeweilige Basis wird in

Klammern als Index hinzugefügt

(außer im 10er-System)Ziffernweise lesen, sonst würde

das zu einer Verwechslung mit

dem 10er-System führen


AusmessenAusmessen

Wir wollen nun

das Gewicht

58 = 213(5) auf

dieser Waage

darstellen.


Beginnend mit dem größten GewichtNächst kleinereBis hin zum kleinsten

2∙25 + 1∙5 + 3∙1 = 58 = 213(5)

58 = 2∙52+1∙5+3 = 213(5)

Umwandeln in verschiedene Systeme

Was bedeutet 125?

125 = 12 · 10 + 5

12 = 1 · 10 + 2

1 = 0 · 10 + 1


Wie stelle ich die Zahl 350 im 6er System dar?

350 = 58 · 6 + 2

58 = 9 · 6 + 4

9 = 1 · 6 + 3

1 = 0 · 6 + 1

350(10) = 1342(6)

Stelle 205 im 7er System dar

205 = 29 · 7 + 2

29 = 4 · 7 + 1

4 = 0 · 7 + 4

205(10) = 412(7)

Umwandeln mit dem Horner-Schema

Was ist 21303(5) im 10er System?

2 1 3 0 3

21303(5) = 1453(10)

·5 2 11 58 2901453

10 55 290 1450

Horner-Schema

2 1 3 0 321303(5) = 1453(10)

·5

2 11 58 290 1453

10 55 290 1450

denn:

(2·5+1) ·5+3)· 5+0)·

5+3((

=((2·5² +1·5+3)·5+0)·5+3

=(2·5³+1·5²+3·5+0)·5+3

=2·54+1·5³+3·5²+0·5+3 =2·54+1·5³+3·5²+0·5+3 = 1453(10)


Was ist 21443(5) im 10er System?

21443(5) = 1498(10)

2 · 54 + 1 · 53 + 4 · 52 + 4 · 51 + 3 · 50

= 2·625 + 1·125 + 4·25 + 4·5 + 3·1

= 1250 + 125 + 100 + 20 + 3

= 1498

Rechnen im 5er System

Zur Erinnerung:

5(10) schreibt man als 10(5)


322

+ 43

420 1 1

Zur Kontrolle:

322(5) = 3·5² + 2·5 + 2·1 = 87(10)

43(5) = 4·5 + 3·1 = 23(10)

420(5) = 4·5² + 2·5 = 110(10).


Das 1x1 wird wieder anspruchsvoll

• 11 22 33 44 1010

11 1 2 10

22 2 13

33

44 22

1010 10 100

Zur Erinnerung:





• 11 22 33 44 1010

11 1 2 33 44 10

22 2 44 1111 13 2020

33 33 1111 1414 2222 3030

44 44 1313 22 3131 4040

1010 10 2020 3030 4040 100

Warum piepsen Ladenkassen?

4 9 0 2 0 3 0 1 4 5 6 3 7

HerstellerProdukt- nummer

Herkunfts-land

Prüfziffer

Die Prüfziffer wird so gewählt,

dass die Prüfsumme

ein Vielfaches von 10 ergibt.

4 9 0 2 0 3 0 1 4 5 6 3 7

4 0 0 0 4 6 719 2 3 1 5 3 3

796154309060274

=90

4•1 + 9•3 + 0•1 + 2•3 + 0•1 + 3•3 + 0•1 + 1•3 + 4•1 + 5•3 + 6•1 + 3•3 + 7•1

Berechnen der Prüfsumme:

Welche Ziffer passt?

EAN: 40017_6015520

Prüfsumme: 47(4+0+0+3+7+x·3+6+1+15+5+6)

Fehlende Ziffer wird mit 3 multipliziert.

1

Prüfsumme :50

Welche Ziffer ist falsch?

EAN: 5097748693624

Prüfsumme: 114(5+0+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+4)

0

Prüfsumme: 110(5+0+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+00·1)

oder

Prüfsumme: 120(5+22·3+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+0)

2

Werden alle Fehler von der Kasse erkannt?

Wird eine Ziffer falsch gelesen, so verändert sich die Prüfsumme um eine Zahl (1-9) oder um das Dreifache einer Zahl (1-9). Die Prüfsumme ergibt dann nicht mehr ein Vielfaches von 10.

=> Fehler wird erkannt=> Fehler wird erkannt

Das Vertauschen von zwei Ziffern mit gleichen Multiplikatoren

wird nicht erkanntnicht erkannt.

Fehler die sich zu Vielfachen von 10 ergänzen, werden von der Ladenkasse nicht erkanntnicht erkannt.

Nicht jeder Fehler wird von der Kasse erkannt

Aus Müller, Steinbring, Wittmann: „ „Arithmetik als Prozess“ “ S. 195

Spielereien im Alltag

Spielereien im Alltag

Erklärung:

Bleistift = 1 (1) Fahrrad = 6 (2,3) Dia = 11 (1,2,4)

Briefkasten = 2 (2) Bücher = 7 (1,2,3) Zeitung = 12 (3.4)

Hammer = 3 (1, 2) Sanduhr = 8 (4) Auge = 13 (1,3,4)

Satellit = 4 (4) Maus = 9 (1,4) Peperoni = 14 (2,3,4)

Stern = 5 (1,3) Bild =10 (2,4) Herz = 15 (1,2,3,4)

= 8= 4= 2= 1

Karten Karten Karten

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