miroslav pavlovic - matematika

Faculty of Economics, Finance and Administration

Miroslav Pavlovic

Matematikamaterijal za studente

Beograd, 2004.

SADRZAJ 3

Sadrzaj

1 Uvod 6

2 Skupovi i brojevi 7

2.1 Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Kardinalni broj skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Skupovi brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Skup R2 i koordinate tacaka u ravni . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Logaritmi 21

3.1 Stepen sa celim eksponentom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Stepen sa racionalnim eksponentom . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Kamatni racun 28

4.1 Procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Prosti kamatni racun. Aritmeticki niz . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Slozeni kamatni racun. Geometrijski niz . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Bernulijeva nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5 Geometrijski red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6 Mesecno ukamacivanje, itd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.7 Neprekidno ukamacivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.8 Krediti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Funkcije 51

5.1 Pojam funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Tipovi realnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Linearna i kvadratna funkcija 61

4 SADRZAJ

6.1 Prava linija i linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Sistem jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Linearna nejednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Jednacina treceg stepena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7 Diferenciranje 73

7.1 Marginalna funkcija i izvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 Tangenta i nagib krive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.3 Izvod kao trenutna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.4 Izvodi elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Tablica izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.5 Izvod slozene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.6 Logaritamski izvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.7 Izvodi viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.8 Diferencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.9 Ekstremne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.10 Implicitno zadate funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.11 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8 Integralni racun 101

8.1 Primitivna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.2 Racunanje integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Tablica integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.3 Odredjeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9 Sistemi linearnih jednacina 116

9.1 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.2 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.4 Input–Output analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

SADRZAJ 5

9.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10 Funkcije vise promenljivih 132

6 1 UVOD

1 Uvod

ab

b

a

(a)

c

ab

b

a

(b)

7

2 Skupovi i brojevi

2.1 Skupovi

Skup je neuredjena kolekcija objekata, koji ze zovu elementi ili clanovi skupa.Ako skup ima konacan broj elemenata, onda mozemo sastaviti njihov spisak,npr.

(1) A = {2, 3, −1, 7}.

Redosled nije vazan, dakle,

{2, 3, −1, 7} = {−1, 3, 2, 7}.

S druge strane, niz je takav spisak u kome je redosled vazan; npr.

(2, 3, −1, 7) 6= (−1, 3, 2, 7).

Skup B je jednak skupu A ako ima iste elemente kao A. Na primer,

{2, 2, 3, −1, 7} = {2, 3, −1, 7}.

Napisite skup svih elemenata niza

(a) (1, −1, 1, −1, 1,−1), (b) (1, 1, 1, 1).

Kad zelimo da kazemo da je neki objekat x element skupa A, tj. dapripada A, pisemo x ∈ A. Ako x nije element od A, onda pisemo x /∈ A. Unasem slucaju: −1 ∈ A, 0 /∈ A.

Skup se moze opisati recima, npr.

B je skup svih celih brojeva koji su manji od 7 a veci od −4,

sto se moze zapisati i ovako:

(2) B = {x : − 4 < x < 7 i x je ceo},

8 2 SKUPOVI I BROJEVI

ili, ako sa Z oznacimo skup svih celih brojeva,

B = {x : − 4 < x < 7, x ∈ Z} = {x ∈ Z : − 4 < x < 7}.

Uopste, ako je P (x) neko smislena osobina koja se odnosi na cele brojeve,onda oni celi brojevi koji imaju tu osobinu cine skup, a taj skup mi zapisu-jemo ovako:

{x ∈ Z : P (x)}.

Na primer,

B1 = {x ∈ Z : x2 ≤ 7}, B2 = {x ∈ Z : x2 < 7}.

Pokazite da je B1 = B2.

Moze se desiti da razmatramo neko svojstvo P za koje ce se ispostaviti daga nema nijedan ceo broj. U tom slucaju kazemo da je skup {x ∈ Z : P (x)}prazan i pisemo {x ∈ Z : P (x)} = ∅. Na primer,

{x ∈ Z : x2 < 0} = ∅.

Slika 1: Skupove je korisno predstavljati pomocu Venovih dijagrama

A B

S

DC

(a)

•1•2•3

•4

•5

•6•7

A B

C

(b)

Podskup

Ako svaki element nekog skupa D pripada skupu C, onda pisemo D ⊂ C;citamo: ,,D je podskup (skupa) C “. Na primer, {x ∈ Z : x2 < 9} ⊂ {x ∈Z : x2 ≤ 9}. Da li su ti skupovi jednaki?

Ako je C = D, onda je C ⊂ D i D ⊂ C, a tacno je i obrnuto: Ako jeC ⊂ D i D ⊂ C, onda je C = D.

2.1 Skupovi 9

Slika 2: A = {0, 1} ⊂ B = {0, 1, 2, 3, 4}

A

B

O12

34

S

Figure 2 The set A is contained completely within B

Now do this exercise

Given A = {0, 1} and B = {2, 3, 4} draw Venn diagrams showing(a) A and B (b) A′ (c) B′

Answer

3. The intersection and union of sets

Intersection

Given two sets, A and B, the intersection of A and B is a set which contains elements that arecommon both to A and B. We write A∩B to denote the intersection of A and B. Mathematicallywe write this as:

Key Point

A ∩B = {x : x ∈ A and x ∈ B}

This says that the intersection contains all the elements x such that x belongs to A and also xbelongs to B. Note that A ∩ B and B ∩ A are identical. The intersection of two sets can berepresented by a Venn diagram as shown in Figure 6.

A B

A ∩B

S

Figure 6 The overlapping area represents A ∩B

5 Engineering Mathematics: Open Learning Unit Level 14.1: Chap Title

Zadatak 1. Neka je A skup tri bicikla, a B skup svih njihovih tockova.(Podrazumeva se da bicikl ima dva tocka.) Da li je B ⊂ A ? Da li jeA ⊂ B ?

Presek, unija, razlika

Ako su dati skupovi C i D, onda je njihov presek, C ∩D, novi skup u kojiulaze objekti koji pripadaju i skupu C i skupu D (istovremeno).

Slika 3: Presek

A B

A ∩B

S

U uniju, C∪D, ulaze objekti koji pripadaju bar jednom od skupova C, D(pazite: mogu pripadati i jednom i drugom). Uverite se u sledece:

C ∩D ⊂ C ⊂ C ∪D.

Razlika skupova C i D jeste skup onih objekata koji pripadaju C ali nepripadaju D; oznacava se sa C \ D. Skup C, odnosno D, mozemo shvatiti


Slika 4: Unija

A B

A ∪B

S

A B

A ∪B

S

kao skup spijuna u sluzbi obavestajne sluzbe C, odnosno D. Tada se presekC ∩D sastoji od dvostrukih spijuna. I, skup C \D dobijamo tako sto iz Codstranimo dvostruke spijune. Dakle,

C \D = C \ (C ∩D) ⊂ C, (C \D) ∩D = ∅.

Zadatak 2. Napisite elemente skupova A∩B, A∪B, A \B, B \A, gde suA i B skupovi odredjeni formulama (1) i (2).

Disjunktni skupovi

Ako skupovi A i B nemaju zajednickih elemenata, tj. ako je A ∩ B = ∅,kazemo da A i B disjunktni. Na primer, ako je A skup svih parnih brojeva aB skup svih neparnih, onda su A i B disjunktni, jer ne postoji nijedan brojkoji bi bio i paran i neparan. Disjunktni su i skupovi A i B na slici 4,desno.Takodje su disjunktni su i skupovi A i B iz zadatka 1.

Komplement skupa

Skup koji objedinjuje sve objekte koji su od interesa u izvesnom kontekstuzove se univerzalni skup; oznacimo ga sa S.

Na primer, ako razmatramo deljivost prirodnih (tj. pozitivnih celih) bro-jeva, onda ce S biti skup svih prirodnih brojeva. Kad je univerzalni skupvec odabran, tada mozemo govoriti o komplementu. Komplement skupa Asadrzi one elemente univerzalnog skupa koji ne pripadaju skupu A; kom-plement oznacavamo sa A′, A ili Ac. Na primer, ako je A skup svih parnihbrojeva, onda je A′ jednak skupu svih neparnih.

2.2 Kardinalni broj skupa 11

Slika 5: Komplement skupa A oznacava se sa A′, A, Ac

AA A'

S

2.2 Kardinalni broj skupa

Skup ciji se elementi mogu zapisati u vidu konacnog,1, spiska nazivaju sekonacnim. Ako je A jedan takav skup, onda se sa |A| oznacava broj elemenataskupa A. Taj broj se zove kardinalni broj skupa A. Na primer, ako su A iB skupovi iz zadatka 1, onda je |A| = 3 i |B| = 6. Kardinalni broj praznogskupa jednak je nuli (po dogovoru).

• Ako je B ⊂ A, onda je |B| ≤ |A|; tacnije, ako je B ⊂ A, onda je|A \B| = |A| − |B|. Razmotrite primer:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4}.

• Ako su A i B disjunktni, onda je |A ∪ B| = |A| + |B|. Razmotriteprimer:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {12, 13, 14}.

• Ako su A i B proizvoljni, onda je |A ∪B| ≤ |A|+ |B|; tacnije

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

Razmotrite primer:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Kardinalni broj nekih skupova je toliko veliki da se ne isplati racunati gana prste.

1makar i zamisljenog


Primer 2.1. Listic fudbalske prognoze sa 12 parova moze se popuniti narazne nacine:

1 0 0 2 1 1 1 0 0 1 2 1, 0 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1, itd.

Popunjavajuci listic, mi pisemo niz2 od dvanaest elemenata; oznacimo skupsvih takvih nizova sa S. Broj nacina da se popuni listic jednak je broju |S|.Da bismo nasli taj broj, nije nam potrebna nikakva nauka — dovoljno jeraditi planski.

Za prvi fudbalski par imamo tri mogucnosti, 0, 1, 2 :

1

0

2

Sada tipujemo drugi par. Na svaku od prethodnih mogucnosti dolaze tri:

1 1 0 1 2 1

1 0 0 0 2 0

1 2 0 2 2 2

Zasad smo stigli do broja 3 × 3 = 9, a tipovali smo samo dva para.Nastavljajuci dalje, dolazimo do zakljucka da se prva tri para mogu tipovatina 3× 3× 3 = 27 nacina, prvih 7 na 37 a svih dvanaest — na 312 = 531 441nacina. Drugim recima, |S| = 531 441.

Primer 2.2. Kao drugi primer, razmotrimo pitanje: Koliko se sedmocifrenihbrojeva moze napisati pomocu cifara 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 tako da se cifre ne po-navljaju? Ili, sto je isto: Na koliko se nacina mogu rasporediti elementi skupa{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ?

Prvi korak: Razmatramo sta sve mozemo uzeti za prvi element. U nasemslucaju moze se uzeti bilo koja od navedenih cifara; ima ih 7 (sedam).

Drugi korak: Kad smo izabrali prvi element, pitamo se sta sve moze bitidrugi. Ovde drugi mora biti razlicit od prvog, i, nezavisno od izbora prvog,drugi se moze birati na 6 (sest) nacina. Prema tome, prva dva elementa semogu izabrati na 7× 6 nacina.

Treci korak: Kad su izabrana prva dva, treci se moze izabrati na 5 nacina.Dakle, prva tri se mogu birati na 7× 6× 5 nacina.

2Redosled je ovde bitan.

2.2 Kardinalni broj skupa 13

Sedmi korak: Kad je izabrano prvih sest, sedmi se moze birati na samojedan nacin.

Prema tome, trazeni broj je 7 · 6 · 5 · 4 · 6 · 2 · 1 = 5040.

Taj broj se pise i kao 7! (citaj ,,sedam faktorijel“). Uopste, ako je n ≥ 2pozitivan ceo broj, onda je

n! = n(n− 1) · · · 2 · 1.

Na primer,

2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.

Pored toga, po dogovoru, imamo

0! = 1, 1! = 1.

Kad smo nasli faktorijel nekog broja, tada faktorijel sledeceg mozemo nacipo formuli

(n + 1)! = n! · (n + 1).

Na primer,

8! = 7! · 8 = 5040 · 8 = 40 320, 9! = 8! · 9 = 362 880.

Zadatak 3. Popunjavate tiket sa 12 parova. Sigurni ste da ce u pet utakmica(npr. 1–5) pobediti domacin i da u cetiri utakmice nece pobediti gost (9–12).Koliko cete kombinacija uplatiti?

Zadatak 4. Koliko se sestocifrenih brojeva moze napisati pomocu cifara

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

(b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

ako ponavljanje cifara

1) jeste dopusteno,

2) nije dopusteno?

Primer 2.3. U igri na srecu zvanoj loto izvlaci se 7 brojeva iz skupa L ={x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 39}. Dobijaju oni koji pogode svih sedam brojeva. Postavljase pitanje koliki je broj mogucih ,,kombinacija“.

Rasudjujuci kao u primeru 2.2, naci cemo da se od elemenata skupa Lmoze sastaviti

(3) 39× 38× 37× 36× 35× 34× 33


sedmoclanih nizova sa razlicitim elementima:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (1, 2, 3, 4, 5, 7, 6), (1, 2, 3, 4, 6, 7, 5), itd.

Ovde smo poceli da pisemo nizove od brojeva 1, . . . , 7, a tih nizova, kakosmo videli, ima 7!. S obzirom da se od igraca ne trazi da pogode redosledizvucenih brojeva ispada da broj (3) treba podeliti sa 7!. Dakle, trazeni brojkombinacija jednak je

(4)39× 38× 37× 36× 35× 34× 33

7!= 15 380 937.

Prevod ovog tvrdjenja na jezik skupova glasi: Broj sedmoclanih pod-skupova skupa koji ima 39 elemenata jednak je

(5)39× 38× 37× 36× 35× 34× 33

7!.

2.3 Skupovi brojeva

Za neke vazne skupove upotrebljavamo specijalne simbole. Vec smo pomenulida se skup svih celih brojeva oznacava sa Z. Pored toga, imamo sledeceoznake:

N — skup svih prirodnih, tj. pozitivnih celih brojeva;

Q — skup svih racionalnih brojeva, tj. onih koji se mogu predstaviti uobliku p/q, pri cemu su p i q celi i q 6= 0. Drukcije:

Q ={ p

q: p ∈ Z, q ∈ Z \ {0}

}.

R — skup svih realnih brojeva;

C — skup svih kompleksnih brojeva, tj. onih koji se predstavljaju uobliku x+yi, gde su x, y realni brojevi a i je imaginarna jedinica. Imaginarnajedinica ima svojstvo i2 = −1, pa se ponekad pise i =

√−1.

Valja znati da je svaki ceo broj racionalan, svaki racionalan je realan, itd.,tj. imamo lanac relacija

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Realan broj se pojavljuje kao (konacan ili beskonacan) niz ciji je prviclan ceo broj a ostali su cifre 0, 1, 2, . . . , 9. Takav se niz zove i decimalna

2.3 Skupovi brojeva 15

reprezentacija. Brojevi sa konacnom decimalnom reprezentacijom, i samooni, imaju vise decimalnih reprezentacija. Na primer,

1 = 1.0 = 1.00 = 1.0 = 0.9 .

Crta iznad cifre oznacava da se doticna, i samo ona, nadalje ponavlja bezbrojputa. Dakle,

0.9 = 0.9999999999999999999999999999999999999999999 . . . = 1 ,

ali

0.9999999999999999999999999999999999999999999 < 1 .

Jos jedan primer: 3.469 = 3.47.

Svaki broj sa konacnom reprezentacijom jeste racionalan, ali racionalnihima jos, npr.

0.16 =1

6,

73

13= 5.615384.

Skup Q se poklapa sa skupom realnih brojeva koji imaju ,,periodicnu“ dec-imalnu reprezentaciju. Ostali realni brojevi nazivaju se iracionalnim; takvisu, na primer, e, π,

√2.

Realni brojevi se mogu predstaviti na pravoj — brojnoj osi. Svakoj tackina osi odgovara jedan broj, a svakom broju — jedna tacka.

1. Numbers, operations and common notations.A knowledge of the properties of numbers is fundamental to the study of engineering math-ematics. Students who possess this knowledge will be well-prepared for the study of algebra.Much of the terminology used throughout the rest of this block can be most easily illustratedby applying it to numbers. For this reason we strongly recommend that you work through thisBlock even if the material is familiar.

The number lineA useful way of picturing numbers is to use a number line. Figure 1 shows part of this line.Positive numbers are represented on the right-hand side of this line, negative numbers on theleft-hand side. Any whole or fractional number can be represented by a point on this line whichis also called the real number line, or simply the real line. Study Figure 1 and note that aminus sign is always used to indicate that a number is negative, whereas the use of a plus signis optional when describing positive numbers.

The line extends indefinitely both to the left and to the right. Mathematically we say that theline extends from minus infinity to plus infinity. The symbol for infinity is ∞.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

− 3

2 2.5 π

Figure 1. Numbers can be represented on a number line.

The symbol > means ‘greater than’; for example 6 > 4. Given any number, all numbers to theright of it on the number line are greater than the given number. The symbol < means ‘lessthan’; for example −3 < 19. We also use the symbols ≥ meaning ‘greater than or equal to’ and≤ meaning ‘less than or equal to’. For example, 7 ≤ 10 and 7 ≤ 7 are both true statements.

Sometimes we are interested in only a small section, or interval, of the real line. We write [1, 3]to denote all the real numbers between 1 and 3 inclusive, that is 1 and 3 are included in theinterval. Therefore the interval [1, 3] consists of all real numbers x, such that 1 ≤ x ≤ 3. Thesquare brackets, [, ] mean that the end-points are included in the interval and such an intervalis said to be closed. We write (1, 3) to represent all real numbers between 1 and 3, but notincluding the end-points. Thus (1, 3) means all real numbers x such that 1 < x < 3, and suchan interval is said to be open. An interval may be closed at one end and open at the other.For example, (1, 3] consists of all numbers x such that 1 < x ≤ 3. Intervals can be representedon a number line. A closed end-point is denoted by •; an open end-point is denoted by ◦. Theintervals (−6,−4), [−1, 2] and (3, 4] are illustrated in Figure 2.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7−6

Figure 2. The intervals (−6,−4), [−1, 2] and (3, 4] are depicted on the real line.

Engineering Mathematics: Open Learning Unit Level 01.1: Basic Algebra

2

Intervali

Medju raznim podskupovima skupa R najvazniji su intervali:

(a,∞) = {x ∈ R : x > a}, [a,∞) = {x ∈ R : x ≥ a},(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a},(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, [a, b ] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a, b ] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.


Tu su a i b bilo koji realni brojevi takvi da je a < b. Ako bi bilo a ≥ b, nekiod navedenih skupova bili bi prazni — koji?

1. Numbers, operations and common notations.A knowledge of the properties of numbers is fundamental to the study of engineering math-ematics. Students who possess this knowledge will be well-prepared for the study of algebra.Much of the terminology used throughout the rest of this block can be most easily illustratedby applying it to numbers. For this reason we strongly recommend that you work through thisBlock even if the material is familiar.

The number lineA useful way of picturing numbers is to use a number line. Figure 1 shows part of this line.Positive numbers are represented on the right-hand side of this line, negative numbers on theleft-hand side. Any whole or fractional number can be represented by a point on this line whichis also called the real number line, or simply the real line. Study Figure 1 and note that aminus sign is always used to indicate that a number is negative, whereas the use of a plus signis optional when describing positive numbers.

The line extends indefinitely both to the left and to the right. Mathematically we say that theline extends from minus infinity to plus infinity. The symbol for infinity is ∞.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

− 3

2 2.5 π

Figure 1. Numbers can be represented on a number line.

The symbol > means ‘greater than’; for example 6 > 4. Given any number, all numbers to theright of it on the number line are greater than the given number. The symbol < means ‘lessthan’; for example −3 < 19. We also use the symbols ≥ meaning ‘greater than or equal to’ and≤ meaning ‘less than or equal to’. For example, 7 ≤ 10 and 7 ≤ 7 are both true statements.

Sometimes we are interested in only a small section, or interval, of the real line. We write [1, 3]to denote all the real numbers between 1 and 3 inclusive, that is 1 and 3 are included in theinterval. Therefore the interval [1, 3] consists of all real numbers x, such that 1 ≤ x ≤ 3. Thesquare brackets, [, ] mean that the end-points are included in the interval and such an intervalis said to be closed. We write (1, 3) to represent all real numbers between 1 and 3, but notincluding the end-points. Thus (1, 3) means all real numbers x such that 1 < x < 3, and suchan interval is said to be open. An interval may be closed at one end and open at the other.For example, (1, 3] consists of all numbers x such that 1 < x ≤ 3. Intervals can be representedon a number line. A closed end-point is denoted by •; an open end-point is denoted by ◦. Theintervals (−6,−4), [−1, 2] and (3, 4] are illustrated in Figure 2.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7−6

Figure 2. The intervals (−6,−4), [−1, 2] and (3, 4] are depicted on the real line.

Engineering Mathematics: Open Learning Unit Level 01.1: Basic Algebra

2

Na brojnoj osi, interval se predstavlja kao duz, ako su mu krajevi konacni.Intervalu sa jednom beskonacnom granicom odgovara poluprava.

Zadatak 5. Odredite sledece skupove:

A1 = [0, 1] \ (0, 1), A2 = (0, 1] \ (0, 1), A3 = [0, 1) ∩ (0, 1],

A4 = [0, 1] ∪ (1, 3), A5 = (0, 1] ∩ [1, 3), A6 = [0, 1) ∩ [1, 3],

A7 = [0, 1) ∪ (1, 3).

Zadatak 6. Odredite komplement sledecih skupova (smatrajuci skup R uni-verzalnim):

A1 = [0,∞), A2 = (−∞,−1), A3 = (−∞,−1) ∪ [0,∞),

A4 = [0, 1] ∪ (2, 3), A5 = {0}, A6 = {0, 1}.

Zadatak 7. Presek proizvoljnog broja skupova definise se kao skup u kojiulaze oni objekti koji pripadaju svakom od datih skupova. Uniju skupovacine objekti koji pripadaju makar jednom od datih. Moze biti zadato bezbrojskupova, npr.

A1 = [0, 1), A2 = [0, 1/2), A3 = [0, 1/3), . . . , A777 = [0, 1/777), . . .

Sta je presek svih tih skupova?

Zadatak 8. Najmanji element (minimum) nekog skupa S ⊂ R je takav brojkoji pripada S a manji je od svih ostalih elemenata iz S. U kojem od sledecihskupova postoji najmanji element: (0, 1), [0, 1), (−∞, 1], [3,∞) ?

Zadatak 9. Recite da li je sledece tvrdjenje tacno, i objasnite zasto je tako.

(a) 4/5 ∈ N ; (d)√

4 ∈ Q ;

(b) | − 4| ∈ N ; (e)√−4 ∈ Q ;

(c) −3.5 ∈ Z ; (f)√

2 ∈ Q .

2.4 Skup R2 i koordinate tacaka u ravni 17

Apsolutna vrednost

Svaki broj x ∈ R ima svoju apsolutnu vrednost, |x|, koja se definise ovako:

(6) |x| =

{x ako je x ≥ 0,

−x ako je x < 0.

Jednakost |x| = −x, za x < 0, kod nekih studenata stvara zabunu, kojapotice otuda sto misle da je −x negativno, a sto nije tacno; na primer, akoje x = −2, onda je −x = 2.

Formulu (6) mozemo shvatiti kao nacin oslobadjanja od apsolutne vred-nosti, odnosno kao nacin da apsolutnu vrednost zamenimo zagradama. Po-gledajmo, npr., izraz

A = 3x− |2x + 1|.

1) Ako je 2x + 1 ≥ 0, onda je |2x + 1| = (2x + 1), dakle

A = 3x− (2x + 1) = x− 1.

2) Ako je 2x + 1 < 0, onda je |2x + 1| = −(2x + 1), dakle

A = 3x + (2x + 1) = 5x + 1.

Tako mozemo resiti jednacinu A = 0; ona se raspada na dve jednacine saogranicenjima za x :

1) x− 1 = 0, pod uslovom 2x + 1 ≥ 0;

2) 5x + 1 = 0, pod uslovom 2x + 1 < 0.

Resavajuci prvu, dobijamo x = 1; proveravamo uslov: 2x+1 = 2·1+1 > 0— jeste zadovoljen. Dakle jednacina 1) ima resenje x = 1.

Jednacina 2) nema resenja jer iz 5x+1 = 0 dobijamo x = −1/5, ali uslov2x + 1 = 2 · (−1/5) + 1 < 0 nije ispunjen.

Zakljucak: jednacina A = 0 ima jedno resenje: x = 1.

2.4 Skup R2 i koordinate tacaka u ravni

Skup svih uredjenih parova (tj. dvoclanih nizova) realnih brojeva oznacavamosa R2. Znaci,

R2 = { (x, y) : x ∈ R, y ∈ R}.


Tri elementa skupa R2 : (0, 0), (−1, 4), (1.3, π).

Ako u ravni odaberemo dve ose, kao na slici 6 ili 7, onda svaki elementskupa R2 mozemo predstaviti tackom u ravni. Na primer, par (1, 2) pred-stavljen je na slikama 6 i 7 tackom A. Obratno, svakoj tacki M u ravniodgovara jedan par (x, y) ∈ R2. Brojevi x, y zovu se koordinate tacke M, stozapisujemo ovako: M(x, y), ili M = (x, y). Dakle, A = (1, 2). 3

Nacrtajte tacke B(−1, 2), C(−3, 2), D(−1,−2), E(2, 2), F (1,−2).

Slika 6: Koordinatni sistem u ,,prinudnoj“ projekciji

q

p

A

–2

–1

0

1

2

3 y

–3 –2 –1 1 2 3

xK

(a) Kvadrat K se vidi kao kvadrat. Pogledajte sliku 7

IVIII

II I

–2

–1

0

1

2

–2 –1 1 2

III

IVIII

(b) Kvadranti

Kad umemo da crtamo tacke, umecemo da crtamo jednacine. Grafikjednacine sastavlja se od onih tacaka cije koordinate zadovoljavaju tu jedna-cinu. Na primer, prava q je grafik jednacine y = 2.

S druge strane, ako je data neka linija u ravni, onda mozemo pokusati danapisemo njenu jednacinu. Na primer, x-osa ima jednacinu y = 0 — svakatacka M(x, y) na x-osi ima svojstvo y = 0, i nijedna druga.

Kako glasi jednacina prave p ? y-ose? i prave koja prolazi kroz tacku Ai koordinatni pocetak? 4

3Vidi i sliku 8.4Ako ste zaboravili jednacinu prave, idite na stranu 61.

2.4 Skup R2 i koordinate tacaka u ravni 19

Slika 7: ,,Slobodna“ projekcija. Osenceni ,,pravougaonik“ na ovoj slici ikvadrat na slici 6 predstavljaju isti objekat, kao sto razne mapeGrenlanda predstavljaju jedno isto ostrvo. Tacka M(x, y) iz K imakarakteristicno svojstvo: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Drugim recima,K = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

q

K

A

–2

–1

0

1

3

y

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2 2.5x

Slika 8: Napisite koordinate oznacenih tacaka.

F

E D

C

B

A

–2

–1

0

1

2

3

y

–2 –1 1 2x


Slika 9: Prava y = x i kruznica x2 + y2 = 1 u dve projekcije

y

A

y=x

–3

–2

2

3

–3 –2 2 3x

(a) Ovde se prava y = x vidi kaosimetrala prvog i treceg kvadranta

Ay=x

–10

–5

2

5

10

–3 –2 1 2 3

(b) Prava y = x u slobodnoj projekciji

–1

1

y

–1 1x

(c) Ovde se kruznica vidi kao kruznica.–1

1

y

–1 1x

(d) Ovde se kruznica vidi kao elipsa

21

3 Logaritmi

3.1 Stepen sa celim eksponentom

Podsetimo se da je, po dogovoru,

a1 = a, a2 = a · a, a3 = a · a · a, itd.

gde je a bilo koji broj. U izrazu an, broj n se zove eksponent a broj a jeosnova (stepena). Vaze sledeca pravila:

(7)

aman = am+n,am

an= am−n,

(ab)n = anbn,(a

b

)n

=an

bn,

(am)n = am·n .

Uverite se u njihovu ispravnost za neke konkretne vrednosti eksponenata;recimo, m = 3, n = 2. U svakom od tih pet pravila eksponent je pozitivanceo broj (a imenilac je, ako ga ima, razlicit od nule). Definise se i stepen sacelim negativnim brojem, npr.

a−1 =1

a, a−2 =

1

a2(a 6= 0),

a0 = 1, (a 6= 0).

Izraz 00 nije definisan, tj. ne pridaje mu se nikakvo znacenje.

Ispostavlja se da pravila (7) ostaju ispravna — uverite se u to uzimajucinekoliko konkretnih vrednosti eksponenata. Razmotrite formulu

(a

b

)−1

=b

a= reciprocna vrednost od

a

b.

22 3 LOGARITMI

3.2 Stepen sa racionalnim eksponentom

Kvadratni koren broja a je takav broj koji, kad se stepenuje sa 2, daje a.Tako je jedan kvadratni koren od 9 jednak 3, jer je 32 = 9. I broj −3 jekvadratni koren od 9. Medjutim, simbol

√oznacava pozitivni koren. Na

primer,√9 = 3 ,

a resenja jednacine x2 = 7 mozemo zapisati kao x = ±√

7. Negativni brojevinemaju (realan) kvadratni koren; zasto?

Slicno se definise kubni koren, samo sto ovoga puta svaki realan broj imajedan jedini koren. Npr.

3√

8 = 2, 3√−8 = −2 .

Ako je n ma koji pozitivan ceo broj, onda je n-ti koren od a takav broj b daje bn = a. Svojstva zavise od toga da li je n (= izlozilac korena) paran ilineparan. Npr.

4√

16 = 2, ali 4√−16 nije definisan kao realan broj;

jednacina x4 = 16 ima dva resenja: x = ± 4√

16 ;

5√

32 = 2, 5√−32 = −2 .

Buduci da je (√

a)2 = a1, ima smisla pisati

√a = a1/2 (a ≥ 0) i, opstije, n

√a = a1/n.

Ako je r bilo koji racionalan broj, onda cemo ga napisati u vidu ,,neskra-tivog“ razlomka r = m/n, n > 0, i pisati

(8) ar = am/n = n√

am =(

n√

a)m

za a > 0 .

Ovde se moze uzeti a < 0 ako je n neparan broj. Sta mozete reci o izrazu 0r ?

Sve formule sa spiska (7) ostaju ispravne ako dopustimo da su eksponentirazlomljeni a brojevi a, b pozitivni. Ako je a < 0, formula (8) moze bitiproblematicna. Npr.

(A2)1/2 =√

A2 = |A| za svako A, ali (√

A )2 = A samo za A ≥ 0.

3.3 Logaritmi 23

S druge strane

(A3)1/3 = 3√

A3 =(

3√

A)3

= A za svako A.

Naredni korak je uvodjenje stepena sa iracionalnim eksponentom nadpozitivnom osnovom, sto necemo razmatrati. Napomenimo da pravila (7)opstaju.

3.3 Logaritmi

Za pozitivne brojeve a i b (a 6= 1), logaritam od b za osnovu a je onaj brojkojim treba stepenovati osnovu a da bi se dobilo b. Drugim recima, loga(b)je broj koji zadovoljava uslov

aloga(b) = b.

Ili, ako je jasnije, da biste nasli loga(b), treba da resite jednacinu

ax = b po nepoznatoj x.

S obzirom da je ax > 0 za svako realno x, to je

izraz loga B definisan pod uslovom B > 0.

Na primer, log3 9 = 2 jer je x = 2 resenje jednacine 3x = 9. Jos primera:

log2(8) = log10 1 =

log3

(1

3

)= log10 1 000 =

log4(2) = log10 0.01 =

A dokazati neku jednakost tipa loga B = C, isto je sto i dokazati aC = B.Na taj nacin mozemo izvesti pravila racunanja sa logaritmima direktno izpravila racunanja sa eksponentima:

loga 1 = 0

loga(ab) = b

loga(b) + loga(c) = loga(b · c)

loga(b)− loga(c) = loga

(b

c

)

24 3 LOGARITMI

loga(1/b) = − loga(b)

loga(bβ) = β · loga(b)

Iz ovog poslednjeg pravila sledi pravilo za logaritmovanje korena:

loga

(n√

b)

=1

nloga(b).

Ta pravila vaze pod uslovom da je b > 0 i c > 0. Izvedimo, recimo, pravilo

loga(bc) = loga b + loga c.

Stavimo loga b = x, loga c = y, tako da treba da pokazemo da je loga(bc) =x + y. Prema recenom, to je isto sto i ax+y = bc, a ovo je tacno jer jeax+y = ax · ay i ax = b, ay = c.

Logaritmi za osnovu 10 poznati su kao dekadni logaritmi, i obicno se pisubez indeksa, log(b). Broj 10b se ponekad zove antilogaritam od b.

Najcesce se upotrebljavaju prirodni logaritmi, tj. logaritmi za osnovu e,gde je e eksponencijalna konstanta, e = 2.71828 . . . Umesto loge pise se ln .Prema prethodno recenom, vaze formule

(9) ln(ex) = x, eln x = x,

prva — za svaki realan broj x, a druga — za x > 0. Posebno,

(10) ln e = 1, ln 1 = 0.

Izracunajte

ln√

e , ln

√e√

e .

Zadatak 10. Za koje su vrednosti promenljive x definisani sledeci izrazi:ln(x), ln(3x− 2), ln

√1− x, ln(x2 − x + 1), ln(1− x2), ln(−x).

Jednacine

Jednacina

ln x = c

ima resenje za bilo koje c i ono glasi

x = ec.

3.3 Logaritmi 25

S druge strane, jednacina

ex = b

ima resenje samo za b > 0 (zasto ?) i, u tom slucaju, ono glasi

x = ln b.

Jedanacina se sme logaritmovati ako su obe strane pozitivne; naime,

ako je A = B i A > 0, B > 0, onda je ln A = ln B.

S druge strane, logaritam se sme skratiti, tj.

ako je ln A = ln B i A > 0, B > 0, onda je A = B.

Prema tome, jednacine A = B i ln A = ln B imaju ista resenja 5 ako suispunjeni uslovi A > 0, B > 0.

Zadatak 11. Resite jednacine:

(a) 2 ln x− 3 = 0,

(b) ln2 x− 3 ln x + 2 = 0(

ln2 x = (ln x)2),

(c) 2ex + 3 = 0, 2ex − 3 = 0,

(d) e2x − ex − 2 = 0, e3x − e2x − 2ex = 0,

(e) ln1− x

x= 1,

(f) ln(x− 1)− ln(−x) = 1.

Pre nego sto pristupimo resavanju jednacine, ili nekog drugog zadatka,trebalo bi, ako je moguce, da razjasnimo uslove pod kojima taj zadatak imasmisla. Na primer, da bi jednacina (f) imala smisla, trebalo bi da budex− 1 > 0 i −x > 0 (istovremeno), tj. x < 0 i x > 1, sto je nemoguce. Dakle,(f) nema resenja. Ako bismo napisali

ln(x− 1)− ln(−x) = lnx− 1

−x= 1,

5tj. one su ekvivalentne

26 3 LOGARITMI

dosli bismo do pogresnog zakljucka

x− 1

−x= e, tj. x =

2e + 1

e + 1.

Da bismo resili jednacine (b) i (d), treba da znamo kvadratnu jednacinu(vidi str. 69). U slucaju (b) stavljamo ln x = t (x > 0) pa jednacinu pisemokao t2 − 3t + 2 = 0. Ova ima dva resenja t1 = 1, t2 = 2. Vracamo se na x idobijamo dve jednacine:

ln x = t1, ln x = t2;

resenja su x1 = et1 = e, x2 = et2 = e2.

U slucaju (d) moramo biti pazljiviji. Stavicemo ex = t i, od prve jednacine,dobiti jednacinu t2 − t − 2 = 0, ali je tu t > 0. Zato od dva resenja t1 = 2 it2 = −1 uzimamo samo pozitivno. Dakle, vracajuci se na x, dobijamo ex = 2,tj. x = ln 2.

Nejednacine

Stepen ex je pozitivan za svako x, tj.

(11) ex > 0 za svako x.

S druge strane,

(12) ln x > 0 za x > 1; ln x < 0 za 0 < x < 1.

Ova poslednja cinjenica vazi i kad se ln x zameni sa loga x, gde je a > 1, npr.a = 2. Proverite to na konkretnim primerima (recimo x =

√2, 2, 4, 1/2, 1/8).

Kolika je vrednost ln x kad je x: (a) vrlo mali pozitivan broj; (b) vrloveliki broj; (c) broj blizak jedinici ?

Resenje nejednacine

(13) ln x > c, gde je c realan broj,

jeste x > ec. Ali u slucaju nejednacine

(14) ln x < c,

resenje nije x < ec, vec 0 < x < ec.

Pre logaritmovanja nejednacine ili jednacine razmislite. Na primer, be-smlisleno je logaritmovati nejednacinu ex > −1, jer log(−1) nije definisan.

3.3 Logaritmi 27

Zadatak 12. U zadatku 11 zamenite znak = znakom >, <, ≤, ≥, pa resiteodgovarajuce nejednacine.

Zadatak 13. Resite sledece jednacine i odgovarajuce nejednacine:

(a) ln x2 = ln(x + 2) (b) 2 ln x = ln(x + 2) (c) x =√

x + 2 .

(Ne zaboravite da prvo odredite oblast definisanosti.)

28 4 KAMATNI RACUN

4 Kamatni racun

4.1 Procenti

Jedan procenat neke velicine jednak je stotom delu te velicine — jednojstotinki. Dakle, znak ,,% “ se moze shvatiti kao skracenica za ,,podeli sa100“. Na primer,

15% od 150 = 15%× 150 = 0.15× 150 = 22.5

Ako hocemo da broj 15 izrazimo kao procenat broja 40, tada delimo 15 sa40 :

15

40= 0, 375 = 37.5%;

dakle, 15 cini 37, 5 procenata od 40.

Izrazite 40 kao procenat od 15.

U navedenim primerima izjednacili smo i% sa i/100. Na primer, tacna jerecenica:

(15) Broj 110 je za 10% veci od broja 100.

Kako biste shvatili sledece recenice?

Broj 100 povecati za jednu desetinu.

Broj 100 povecati za 1/10.

Vratimo se na (15). Uopste, broj koji je za 10% veci od S jednak je

S +10

100S = S +

1

10S = 1.1× S.

Jos opstije, broj koji je za i% veci od broja S jednak je

S + pS = S(1 + p), gde je p =i

100.

A broj za i% manji od broja S jednak je

S − pS = S(1− p), gde je p =i

100.

4.1 Procenti 29

Zadatak 14. Ako je 15% nekog broja jednako 30, koji je to broj? A kojibroj je za 500% manji od 500 ?

Zadatak 15. Posle snizenja od 21% cena neke robe iznosi 5456 dinara. Izra-cunati snizenje. Posle tri meseca cena je vracena na prvobitni nivo; izracunatiprocenat povecanja.

Zadatak 16. Jedan kurs matematike u Londonu pohadja 117 studenata. Nazavrsnom ispitu 15 je dobilo ocenu A, njih 45 ocenu B a 31 ocenu C (ostalisu pali). Koliko procenata je palo? Koliko studenata profesor sme da oboriako mu je naredjeno da prolaznost mora biti najmanje 85% ?

Zadatak 17. Roba je kostala 5200 dinara pa je tri puta uzastopno poskupelapo stopama 10%, 12% i 7% i dvaput pojeftinila po 17% i 5%. Da li je bitanredosled tih poteza? Izracunati konacnu cenu i procenat ukupne promene.

Indeksni brojevi

Iz golih podataka o vrednosti neke ekonomske velicine tokom odredjenogperioda cesto se ne moze lako videti brzina promene te velicine. Zato sepribegava tzv. indeksnim brojevima (indeksima). U tabeli 1 vidimo podatkeo prosecnoj plati u Srbiji u pet odabranih meseci.6 Na primer, broj (in-

Tabela 1: Indeksi plata

Nominalne plate Realne plateDinara Indeks Dinara Indeks

t0 =Decembar 1994 N0 =282.0 I0 =100.0 282.0 100.0t1 =Januar 1995 N1 =263.9 I1 =93.6 230.1 81.6t2 =April 1995 N2 =291.7 I2 =103.4 226.0 80.3t3 =Juli 1995 N3 =332.3 I3 =117.8 224.3 79.5t4 =Oktobar 1995 N4 =395.0 I4 =140.1 203.9 72.3

deks) I3 pokazuje procentualnu vrednost velicine N3 u odnosu na pocetnu (neprethodnu) vrednost N0; ta pocetna vrednost, koju smo odabrali da bismo snjom uporedjivali ostale, zove se i bazna vrednost. Dakle,

I3 = 100× N3

N0

= 100× 332.3

282= 117.8,

6Preuzeto iz knjige: Nebojsa Savic, Ekonomija tranzicije u trzisnu privredu, Beograd2001, str. 24.

30 4 KAMATNI RACUN

sto znaci da je nominalna plata u periodu od t0 to t3 porasla za 17.8 posto.

Obratimo paznju da je pocetni (bazni) indeks jednak 100.

Zadatak 18. Tabelu 2 je ostavio jedan otpusteni sluzbenik jedne drzavnefirme u Srbiji. Vas zadatak je da reprodukujete podatke — uradite ga.

Tabela 2:

Prosecna plataDinara Indeks

Oktobar 2000 100.0Novembar 2000 2082 105.0Decembar 2000 1960Januar 2001 110.5Februar 2001 140.0

4.2 Prosti kamatni racun. Aritmeticki niz

Zamislite da ste stavili na stednju svotu k0 (od, npr. milion dinara) pokamatnoj stopi od p = 6% = 0.06 godisnje, po principu prostog kamatnogracuna, tj. pod uslovom da vam se na kraju svake godine dodaje 6% prvo-bitne svote; dakle, pripisuje vam se pk0 dinara. Posle prvog ukamacivanja navasem racunu bice svota od

k1 = k0 + k0p = k0(1 + p) = 1 060 000 (dinara);

posle drugog:

k2 = k1 + k0p = k0(1 + 2p) = 1 120 000

posle sedmog:

k7 =

Ovde se pojavljuje jedan uredjen spisak brojeva, naime:

k0, k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7

Takav spisak se zove konacan niz . Kaze se ,,uredjen“ jer se svakome clanuzna mesto, tj. zna se koji je prvi, koji drugi, treci, itd.

4.2 Prosti kamatni racun. Aritmeticki niz 31

Navedeno racunanje mozete produziti: posle t godina imacete

kt = kt−1 + k0p = k0(1 + tp).

Ovde nam se pojavio jedan (potencijalno) beskonacan spisak brojeva:

k0, k1, . . . , k7, . . . , k155, . . . , kt, . . .

Takav spisak se zove beskonacan niz . Ovaj niz nije, medjutim, bilo kakav;on ima svojstvo da je razlika susednih clanova konstantna. Da budemo pre-cizniji, vazi jednakost

kt − kt−1 = d za t ≥ 1,

gde je d = k0p = . Takav niz se zove aritmeticki niz ili aritmetickaprogresija; razlog za taj naziv je u tome sto je svaki clan, pocev od dru-gog, jednak aritmetickoj sredini susednih clanova. A aritmetickom sredinombrojeva a i b naziva se broj

c =a + b

2.

Dakle,

kt =kt−1 + kt+1

2(t ≥ 1).

Aritmeticka sredina n brojeva a1, a2, . . . , an jednaka je

1

n(a1 + a2 + · · ·+ an).

Ako su ti brojevi pozitivni, onda se definise i geometrijska sredina:

n√

a1a2 · · · an.

Geometrijska sredina je manja od aritmeticke, osim u slucaju da su svi brojevimedjusobno jednaki.

Niz prirodnih brojeva

To je niz

1, 2, 3, . . . , 10, . . . , 157, . . . , 106, . . .

tj. niz pozitivnih celih brojeva. Podsetimo se formule za zbir prvih n prirod-nih brojeva:

(16) 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n =n(n + 1)

2.

32 4 KAMATNI RACUN

Zbir clanova aritmetickog niza

Jedna fabrika proizvodi kompjutere. Prve sedmice u februaru 2004. proizvelaje 1000 kompjutera, a zatim je svake sedmice proizvodnja povecavana za 80kompjutera. Koliko je kompjutera proizvedeno za 52 sedmice?

Oznacimo sa ak broj proizvedenih kompjutera u nedelji k, k = 1, 2 . . . , 52.Niz ak je aritmeticki jer je razlika susednih elemenata uvek ista:

d = ak+1 − ak = 80.

Svaki element se moze izraziti pomocu prvog, a1, i razlike d :

ak = a1 + (k − 1)d .

Dakle, poslednje nedelje je proizvedeno kompjutera

a52 = 1000 + 51 · 80 = 5080.

Da bismo sabrali ta 52 broja, mozemo poci od toga da je

a1 + a52 = a2 + a51 = a3 + a50 = · · · = a26 + a27.

Zbog toga ne sabiramo redom, nego ,,(prvi + poslednji) + (drugi + pret-poslednji)+. . . “. U tom zbiru ima 26 jednakih clanova: svaki je jednak1000 + 5080 = 6080. Prema tome zbir je jednak 26× 6080 = 158 080.

Mogli smo rezonovati i na sledeci nacin. S obzirom da je niz aritmeticki,prosecna sedmicna proizvodnja je (a1 +a52)/2, a onda je ukupna proizvodnjaza 52 sedmice

52× a1 + a52

2.

Uopste, ako sa S oznacimo zbir clanova aritmetickog niza, onda vaziformula

S = (broj clanova)× prvi + poslednji

2.

Drukcije,

(17) a1 + a2 + . . . an = na1 + an

2= n

(a1 +

(n− 1)d

2

).

Obratite paznju da se u slucaju niza prirodnih brojeva ova formula pok-lapa sa (16).

Zadatak 19. U fabrici se smanjuje proizvodnja jednog proizvoda za desetjedinica dnevno sve dok ne bude jednaka nuli. Koliko je jedinica proizvedenoako je prvog dana proizvodnja iznosila 270?

4.3 Slozeni kamatni racun. Geometrijski niz 33

Znak∑

Znak∑

se koristi da bi se zbir zapisao u skracenom i preciznom obliku. Naprimer,

a1 + a2 + a3 + a4 =4∑

k=1

ak.

Ili, u obrnutom poretku,

5∑k=2

1

k=

1

2+

1

3+

1

4+

1

5.

Sada formulu (17) mozemo zapisati kao

(18)

n∑k=0

ak = na1 + an

2

= n(a1 +

(n− 1)d

2

)(ak je aritmeticki niz).

Zadatak 20. Oslobodite se znaka∑

i izracunajte:

(a)7∑

k=1

(−1)k ;

(b)11∑

k=−2

(10− 3k) .

4.3 Slozeni kamatni racun. Geometrijski niz

Stavili ste na stednju K0 = 1 000 000 dinara po godisnjoj kamatnoj stopi odp = 6% = 0.06, uz slozeno godisnje ukamacivanje. To znaci da cete posleprvog pripisivanja kamate imati

K1 = K0 + K0p = K0(1 + p) = 1 060 000

(kao i slucaju prostog ukamacivanja), ali da ce se pri sledecem pripisivanjukamatna stopa primeniti na iznos K1. Dakle,

K2 = K1 + K1p = K0(1 + p)2 = 1 123 600.

34 4 KAMATNI RACUN

Sledeci put kamatnu stopu primenjujemo na K2; dakle,

K3 = K2 + K2p = K0(1 + p)3 =

Posle t godina iznos ce biti jednak

(19) Kt = K0(1 + p)t.

Ta formula daje vezu izmedju cetiri velicine, od kojih je jedna — vre-menski interval t — celobrojna. Znajuci tri velicine, mozemo naci cetvrtu.Na primer, ako zelimo da znamo koliko treba uloziti, po stopi p = 0.06, dabismo posle deset godina imali milion dinara, tada je t = 10, Kt = 106, anepoznato je K0. Transfomisemo prethodnu formulu i dobijemo

(20) K0 =Kt

(1 + p)t.

U nasem primeru to daje

K0 =106

(1.06)10= 558394.7768.

Dakle, treba da ulozimo 558 395 dinara.

Jednacinu (19) mozemo resiti po p,

(21) p = t√Kt/K0 − 1.

Zadatak 21. Koja ce kamatna stopa udvostruciti ulozenu svotu posle: (a)jedne godine, (b) dve godine, (c) deset godina? Da li odgovor zavisi odulozene svote?

Zadatak 22. Marko je ulozio izvesnu svotu uz godisnju kamatnu stopu 8%.Posle 27 meseci raspitao se za stanje na racunu i receno mu je da tamo ima12 143 dinara. Koliko je Marko ulozio?

Resenje. Pretpostavimo da se stanje na racunu izmedju dva ukamacivanjane menja. 7 Prema tome, stanje posle 27 meseci jednako je stanju posle dru-gog ukamacivanja, tj. K = K0(1.08)2, gde je K = 12 143. Odavde slediK0 = 12 143/(1.08)2 = 10410.67.

7Da li ce se do sledeceg ukamacivanja stanje menjati, i kako, zavisi od dogovora sabankom, u sta necemo ulaziti.


Zadatak 23. Ulozili ste neke pare po stopi p = 9%. Posle kojeg ce ukamacivanjaiznos na vasem racunu premasiti (a) 150 procenata ulozene svote? (b)dvostruku vrednost ulozene svote? (c) stostruku vrednost ulozene svote?

Resenje. (a) Oznacimo ulozeni iznos sa K0. Iznos posle ukamacivanjabroj n jednak je

Kn = (1.09)nK0.

Mi treba da nadjemo prvi broj n takav da je Kn > 1.5K0. Mozemo racunatiredom:

K2 = (1.09)2K0 = 1.1881K0,

K3 = (1.09)3K0 = 1.2950K0,

K4 = (1.09)4K0 = 1.4119K0,

K5 = (1.09)5K0 = 1.5386K0.

Odavde nalazimo n = 5.

A mozemo posegnuti za logaritmima. Prvo cemo potraziti n tako da budeKn = 1.5K0, tj. (1.09)n = 1.5. Logaritmovanjem dobijamo

n ln(1.09) = ln(1.5), tj. n =ln(1.5)

ln(1.09)= 4.7050.

Buduci da n treba da bude ceo, penjemo se do prvog celog broja; dakle,n = 5.

(b) Radeci pomocu logaritama, dobicemo

n =ln 2

ln(1.09)= 8.043231727.

Posle ispravke dobijamo n = 9. S druge strane, imamo

(1.09)8 = 1.992562642.

Neko ce mozda zaokruziti ovaj poslednji broj na 2.00 i reci da osmo ukamacivanjeudvostrucuje pocetni iznos, ali, s matematickog gledista, to nije tacno.

Zadatak 24. Prvog oktobra 2003. godine odobreno je Elektrodistribuciji(EDB) da cenu struje za godinu dana poveca za 72%. Rukovodstvo EDB jeodlucilo da cenu podize svakog meseca po istoj mesecnoj stopi. (a) Kolikije ta stopa? (b) Koliki je procenat poskupljenja posle dva meseca u odnosuna pocetak? (c) Ako bi struja poskupljivala svakog meseca za 6%, koliko biposkupela za godinu dana? (d) U kom ce mesecu struja biti skuplja za viseod 42% u odnosu na pocetak?

36 4 KAMATNI RACUN

Zadatak 25. Pre nesto vise od cetiri godine Stevan je ulozio $1000 i danasima na racunu $1300. Kolika je kamatna stopa? Sutra ce podici $500 da bikupio televizor a ostatak ce ostaviti na stednji. Kada ce na njegovom racunuponovo biti vise od $1000 ?

Geometrijski niz

Niz

K1, K2, . . . , Kt, . . . , tj.

K0 × 1.06, K0 × (1.06)2, K0 × (1.06)3, . . . , K0 × (1.06)t, . . .

ima tu osobinu da svaki clan (pocev od drugog) podeljen sa svojim prethod-nikom daje uvek isti broj — to je 1+p. Opstije, ako su q i a bilo koji brojevi,onda mozemo formirati (konacan ili beskonacan) niz

aq1, aq2, . . . , aqn, . . .

Takav niz se zove geometrijski niz ili geometrijska progresija. Broj q se zovekvocijent niza. U gornjem primeru kvocijent je veci od 1, i zato su clanoviniza sve veci i veci, tj. niz raste. Uopste, ako je a > 0 i q > 1, ondageometrijski niz neograniceno raste, sto znaci da ce, ,,ako mu date dovoljnovremena“, prevazici svaki broj koji vi mozete zamisliti. Tacnije receno, akoje M > 0 bilo koji broj, onda se moze naci n tako da bude

aqn > M.

Taj fakt zapisujemo ovako:

limn→∞

qn = ∞ (ovde je q > 1).

(Citaj: limes od qn, kad n tezi beskonacno, jednak je beskonacno.)

Upotrebite kalkulator da nadjete bar jedno n tako da bude (1.1)n > 109.

S druge strane, ako je a > 0 i 0 < q < 1, onda niz opada i clanovi sepriblizavaju nuli, tj. za svako ε > 0 moze se naci n tako da bude

aqn < ε.

Taj fakt zapisujemo ovako:

limn→∞

qn = 0 (ovde je 0 < q < 1).

Nadjite bar jedno n tako da bude

(0.9)n < 10−9.


Zadatak 26. Cetiri velicine, A, B, C, D, imaju istu pocetnu vrednost papocnu da svake sekunde menjaju vrednost na sledeci nacin:

A — poveca se za 1%;

B — smanji za 1%;

C — poveca za 1% pa smanji za 1%, i tako stalno;

D — smanji za 1 procenat pocetne vrednosti.

Sta ce biti s njima za 100 sekundi? A za godinu dana?

Poredjenje geometrijskog i aritmetickog niza

Cak se i na televiziji moze cuti da geometrijska progresija (ako raste) rastebrze od aritmeticke. To se moze protumaciti ovako: Iako se moze desiti daaritmeticki niz na pocetku bude mnogo veci, geometrijski niz ce ga kad-tadznatno prevazici.

Osmotrimo nizove brojeva

Gn = (1.1)n i An = 106n (n = 1, 2, 3, . . . ).

Prvi je geometrijski a drugi aritmeticki. Oba rastu neograniceno, tj.

limn→∞

Gn = ∞, limn→∞

An = ∞.

Da bismo uporedili njihove velicine, racunamo kolicnik rn = An/Gn

(nekoliko vrednosti imate na tablici).

n 101 102 200 201 202 300 301 302An/Gn 6662.85 6117.11 1.05 0.96 0.88 0.00011 0.00010 0.00009

Preciznije ispitivanje pokazuje da rn raste od prvog do desetog clana.Jedanaesti je jednak desetom, a dalje rn opada. Ipak, sve do 200. clanazakljucno, vazi nejednakost rn > 1, tj. An > Gn. Iz tablice se moze naslutiti,a tako i jeste, da su vrednosti rn male ako je n veliko, tj.

limn→∞

An

Gn

= 0,

ili, sto je isto,

limn→∞

Gn

An

= ∞.

Ove dve jednakosti vaze u slucaju kad su Gn i An bilo kakvi nizovi,geometrijski i aritmeticki.

38 4 KAMATNI RACUN

4.4 Bernulijeva nejednakost

Trebalo bi da bude jasno da slozeno ukamacivanje obezbedjuje vise novcanego prosto, pod uslovom da su kamatne stope jednake i da su pare orocenena dve ili vise godina. Dakle, vazi nejednakost Kt > kt za t ≥ 2, tj., akostavimo K0 = k0 = 1, i zamenimo p sa x,

(22) (1 + x)t > 1 + tx, t > 1.

Ova vazna nejednakost zove se Bernulijeva nejednakost. Ona vazi ne samoza x > 0 vec i za −1 < x < 0. Da bismo to ilustrovali, razmotrimo ovakvusituaciju:

Imate S = 106 dinara, i razmisljate da ih trosite na jedan od dva nacina:

(a) Svake godine trosite p = 0.02 = 2% od S.

(b) Svake godine trosite 2% od sume koju ste imali prethodne godine;krace receno, trosite S po godisnjoj stopi p = 2%.

U slucaju (a), posle 3 godina imacete (?) dinara; posle tgodina imacete sumu

P = (1− tp)S,

sto znaci da posle 50 godina necete imati nista. U slucaju (b), posle 3 godineimacete (?) dinara; posle t godina vasa ce suma biti jednaka

Q = (1− p)tS,

sto znaci da cete i posle 50 godina imati bar nesto (koliko?) .

Ako ste sigurni da je Q > P za t ≥ 2, onda vam je jasno da nejed-nakost (22) vazi za x > −1, x 6= 0.

Ako je x ≥ −1 i t ≥ 1, tada je

(1 + x)t ≥ 1 + tx;

za koje vrednosti promenljivih x i t imamo jednakost?

4.5 Geometrijski red

Zamislite da ste stavili K0 = 1000 funti u stedionicu koja daje 10% kamategodisnje. Posle jedne godine imate S1 = K0(1+p). Dodajete novih 1000 funtipa sada imate K0 + S1. Dakle, posle druge godine iznos na vasem racunu je

S2 = (K0 + S1)(1 + p) = K0(1 + p) + K0(1 + p)2.

4.5 Geometrijski red 39

Opet dodajete svojih K0 funti pa cete posle trece godine imati iznos

S3 = K0(1 + p) + K0(1 + p)2 + K0(1 + p)3.

Ako nastavite da svake godine dodajete K0, onda je iznos posle t godinajednak

St = K0(1 + p) + K0(1 + p)2 + · · ·+ K0(1 + p)t.

Ovaj izraz se zove geometrijski red.

Opstije, ako su a i q bilo kakvi brojevi a n prirodan broj, onda mozemoformirati (geometrijski) red

S = aq + aq2 + · · ·+ aqn.

On predstavlja zbir clanova geometrijskog niza

aq, aq2, . . . , aqn.

Vazi formula

S = aq + aq2 + · · ·+ aqn = aq1− qn

1− qza q 6= 1.

(Sta je sa slucajem q = 1 ?) Formulu treba pamtiti ovako:

S = prvi clan× 1− (kvocijent na broj clanova)

1− kvocijent,

ili, sto je isto,

S = prvi clan× (kvocijent na broj clanova)− 1

kvocijent− 1.

Inace tu formulu mozemo zapisati pomocu znaka∑

(vidi stranu 33):

n∑k=1

aqk = aq1− qn

1− q.

Primer 4.1. Izracunajmo S10 u primeru sa funtama:

prvi clan = 1000× 1.1 = 1100

kvocijent = 1.1

broj clanova = 10Dakle,

S10 = 1100× (1.1)10 − 1

1.1− 1= 17 531.1670611

40 4 KAMATNI RACUN

Primer 4.2. Sada razmotrimo nesto drukciju situaciju. Imate kod kuce£8000 a u sledecih deset godina, jednom godisnje, pocev od iduce godine uovo doba, morate za nesto davati £1000. To je, naravno, ukupno £10 000.Ako novac stavite u onu stedionicu koja daje 10% kamate, da li ce vam £8000biti dovoljno?

Jedan nacin da razresite problem jeste da odete u stedionicu i pitate.Mozda ce vam manje vremena oduzeti sledeci nacin. Uzmimo 10 koverata(pravih ili imaginarnih). U prvi stavimo A1 funti, cija ce vrednost posle god-inu dana lezanja u stedionici biti £1000. U drugi stavimo A2, cija ce vrednostkroz dve godine biti £1000. I tako dalje, do desetog koverta. S obzirom daje A1 × 1.1 = 1000, A2 × (1.1)2 = 1000, itd, to je

A1 =1000

1.1, A2 =

1000

(1.1)2, . . . , A10 =

1000

(1.1)10.

Dakle, u deset koverata ima ukupno

S =1000

1.1+

1000

(1.1)2+ · · ·+ 1000

(1.1)10.

I ovde imamo geometrijski red, ovog puta sa kvocijentom q = 1/(1.1) < 1.Dakle,

S =1000

1.1× 1− q10

1− q= 6 144.57.

Zadatak 27. Nadjite sume sledecih redova:

(a)1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+

1

128

(b) 1− 1

2+

1

22− 1

23+ · · ·+ (−1)M 1

2M

(c) 3− 6 + 12− 24 + · · ·+ 3(−2)M

Ovde slovo M oznacava neki, ne zna se koji, pozitivan ceo broj. 8

Zadatak 28. Zapisite zbirove iz zadatka 27 pomocu znaka∑

(vidi stranu 33).

8Ako ste ziveli u Starom Rimu, mozete uzeti M = 1000. Ako ste, pak, Stari Grk, ondaje za vas M = 10 000.

4.6 Mesecno ukamacivanje, itd. 41

4.6 Mesecno ukamacivanje, itd.

U odeljku 4.3 razmatrali smo situaciju u kojoj se kamata obracunava godisnje.U mnogim slucajevima to se cini cesce, npr. mesecno. To znaci sledece: Akoste ulozili K0= milion dinara, uz godisnju stopu p = 0.06 = 6%, onda vam sesvakog meseca svota povecava po stopi p/12 = 0.005 u odnosu na prethodnimesec. Dakle, posle jednog meseca imacete

K0

(1 +

p

12

)= dinara,

posle 2 meseca: ,

posle 6 meseci: ,

a posle 12 meseci iznos je jednak

M12 = K0

(1 +

p

12

)12

;

dakle, M12 = 1 061 677.81 . . . , sto znaci da je ulozena svota porasla za viseod 6.1%. Umesto na dvanaest, godinu mozemo podeliti na m delova, gde jem = 2 , 3 , 4, ili bilo koji drugi prirodan broj. Na primer, ako je m = 365, tj.ako se kamata obracunava dnevno, tada je iznos na racunu posle 365 danajednak

M365 = K0

(1 +

p

365

)365

= 1 061 831.31 . . . ,

sto je nesto vise od M12. U slucaju proizvoljnog m imamo formulu

(23) Mm = K0

(1 +

p

m

)m

,

kojom je odredjen niz brojeva

M1, M2, M3, . . . ,M12, . . . ,Mm, . . .

Moze se dokazati ono sto bi se moglo ocekivati na osnovu prethodnog — dataj niz raste, tj. da je

M1 < M2 < M3 < · · · < M12 < · · · < Mm < . . . ,

pod uslovom da je p > −1, p 6= 0.

42 4 KAMATNI RACUN

Zadatak 29. Dokazite da je(1 +

x

2

)2

<(1 +

x

3

)3

za x > −2, x 6= 0.

Mozete koristiti formulu

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.

Zadatak 30. Dokazite da je(1 +

x

3

)3

<(1 +

x

4

)4

za x > −3, x 6= 0.

Moze da pomogne formula

(A + B)4 = A4 + 4A3B + 6A2B2 + 4AB3 + B4.

Pri stepenovanju zbira korisno je imati u vidu Paskalov trougao:

(A + B) 1 1

(A + B)2 1 2 1

(A + B)3 1 3 3 1

(A + B)4 1 4 6 4 1

(A + B)5 1 5 10 10 5 1

Formula

Formula (19) daje iznos na racunu posle t godina sa jednim ukamacivanjemgodisnje, a (23) — posle jedne godine sa m ukamacivanja godisnje. One semogu objediniti u jednu:

(24) K = K0

(1 +

p

m

)mt

.

Ovde je K0 ulozeni svota, tj. pocetna vrednost kapitala, p — godisnja ka-matna stopa, m — broj ukamacivanja (kapitalisanja) u toku jedne godine, K— krajnja vrednost kapitala, tj. vrednost kapitala posle t godina, pri cemut ne mora biti ceo broj. Broj

n = m · t

4.7 Neprekidno ukamacivanje 43

jednak je broju ukamacivanja u toku vremenskog intervala t, tj. brojuobracunskih perioda. Prema tome, formulu (24) mozemo napisati u obliku

(25) K = K0

(1 +

p

m

)n

.

Na primer, ako ste ulozili kapital K0 na 3.5 godine, uz polugodisnje ukama-civanje, onda je n = 7. Sta ce se desiti ako pozelite da pare podignete posle3 godine i 2 meseca, zavisi od drugih uslova.

Zadatak 31. Ulozili ste £1000 uz godisnju kamatnu stopu 10% i tromesecnoukamacivanje. Koliko cete imati posle: (a) 9 meseci, (b) 15 meseci? Kolikotreba da ulozite da biste imali £1000 posle 6 meseci?

4.7 Neprekidno ukamacivanje

Ljudski je zapitati se da li se skracivanjem intervala (izmedju dva) ukamaci-vanja (uz godisnju kamatnu stopu, recimo, p = 0.06) moze steci neogranicenakolicina novca za godinu dana. Drugim recima, sta se dogadja sa nizom

Mm = K0

(1 +

p

m

)m

, m = 1, 2, . . .

kad se m povecava preko svake mere. Mozemo probati sa m = 365 × 24 ×60× 60, tj. sa pripisivanjem kamate svake sekunde. Ispostavlja se, nazalost,da je niz Mm ogranicen — vazi nejednakost

Mm < K0ep,

gde je e osnova prirodnih logaritama, ili eksponencijalna konstanta,

e = 2.718281828459 . . .

Ako kapital K0 nije preterano veliki, onda razlika

K0

(1 +

p

m

)m

−K0ep, za m = 365× 24× 60× 60,

nije vredna pomena9, pa se vrednost kapitala na kraju godine moze racunatipo formuli

K = K0ep.

9osim za Pirocance

44 4 KAMATNI RACUN

Zamislite da ste ulozili 100 miliona dolara po godisnjoj stopi 10%. Tada cevam neprekidno ukamacivanje, prema mom proracunu, doneti oko 63 dolaravise nego pripisivanje kamate svakog sata.

Prethodna formula se moze uopstiti tako da se dobije vrednost kapitalau bilo kom buducem momentu t :

(26) K = K0ept.

Obracunavanje kamate po toj formuli zove se neprekidno ukamacivanje.

Zadatak 32. Ulozili ste £10 000 uz godisnju kamatnu stopu od 9%. Ko-liko cete imati posle 2 godine, ako se kamata obracunava: (a) godisnje; (b)tromesecno; (c) mesecno; (d) neprekidno. Uporedite dobijene rezultate.

Nominalna i efektivna stopa

Godisnja stopa koja se pominje kod mesecnog ili neprekidnog ukamacivanja,i drugde, naziva se nominalnom, i ona ne pokazuje stvarni procentualni rastza godinu dana. Na primer, ako smo ulozili kapital K0 po godisnjoj stopip, uz neprekidno ukamacivanje, onda ce njegova vrednost posle godinu danaporasti za K0e

p − K0 = (ep − 1)K0, sto znaci da je stvarna procentualnapromena jednaka

(ep − 1)K0

K0

= ep − 1.

Ta promena se zove i efektivna godisnja stopa. Slicno, ako je broj ukama-civanja tokom jedne godine jednak m, onda je odgovarajuca efektivna stopajednaka(

1 +p

m

)m

− 1.

Samo su u slucaju m = 1 efektivna i nominalna stopa jednake, inace jeefektivna veca. Stavise, iz odeljka 4.6 sledi da efektivna stopa raste kad mraste, a najveca je kod neprekidnog ukamacivanja, sve to uz pretpostavku daje nominalna stopa fiksirana.

S obzirom da je rad sa nominalnim stopama jednostavniji, obicno se pod,,godisnjom stopom“ podrazumeva ,,nominalna godisnja stopa“. Taj dogovorse postuje i u drugim situacijama kao, recimo, u sledecim.

Zadatak 33. Broj stanovnika drzave A je za 20% manji od broja stanovnikadrzave B. Ako manja populacija raste neprekidno po godisnjoj stopi 5%, aveca po stopi 2%, kada ce se izjednaciti?

4.8 Krediti 45

Uputstvo: Stanovnistvo raste, ako raste, neprekidno i po eksponencijal-nom zakonu. Na primer,

At = A0e0.05t,

gde je At broj stanovnika drzave A u buducem momentu t, koji se racunaod sadasnjeg momenta t = 0. Napisite odgovarajucu formulu za B i koristitepodatak A0 = 0.8B0.

Zadatak 34. Jedan automobil vredi £20 000 ali mu vrednost neprekidnoopada po godisnjoj stopi od 20%. (a) Koliko ce vredeti posle 5 godina? (b)Kada ce mu vrednost biti prepolovljena? (c) Kolika je efektivna godisnjastopa? (d) Kada ce vredeti jedan dolar? a jedan cent?

Uputstvo: Oznacimo sa Vt vrednost automobila u momentu t. S obziromda Vt opada, imacemo formulu sa znakom ,,minus“ u eksponentu:

Vt = V0e−0.2t (pri cemu je V0 = 20 000).

Odgovor na (c): priblizno 18.1%. Dakle, efektivna stopa je u ovom slucajumanja od nominalne, cemu je razlog to sto Vt opada.

4.8 Krediti

Zamislite da dugujete S = 100 000 dinara, koje ste pozajmili po godisnjojkamatnoj stopi p = 0.08. Dug treba da vratite za n = 10 godina u jed-nakim godisnjim ratama. Jasno je da je godisnja rata veca od 10 000 dinara;postavlja se pitanje kolika je?

Mozemo rezonovati bar na dva nacina.

Prvi nacin:

U sledecih deset godina treba da vracate po A dinara; A je nepoznato.Novac ste dobili danas. To sto vracate posle prve godine vredi danas manje;vredi tacno

A

1 + p=

A

1.08(dinara).

Posle dve godine vracate svotu A i ona sada vredi

A

(1 + p)2=

A

(1.08)2.

46 4 KAMATNI RACUN

Nastavljajuci dalje, zakljucujemo da poslednja, deseta rata danas vredi

A

(1 + p)10=

A

(1.08)10.

Dakle, pozajmili ste ukupno

A

1 + p+

A

(1 + p)2+ · · ·+ A

(1 + p)10.

S obzirom da ste pozajmili S dinara, ispada da je

(27) S =A

1 + p+

A

(1 + p)2+ · · ·+ A

(1 + p)10.

Ovde se opet pojavljuje geometrijski red sa kvocijentom 1/(1 + p). Dakle,

S =A

1 + p

1− 1

(1 + p)10

1− 1

1 + p

= A(1

p− 1

p(1 + p)10

).

Kad ovde stavimo p = 0.08, dobijamo

S = 6.710081399× A, tj.

A = S/6.710081399 = 100 000/6.710081399 = 14902.94887.

Konacno, godisnja rata iznosi blizu 14 903 dinara.

Drugi nacin:

Neposredno pre vracanja prve rate vas dug je narastao i jednak je S(1+p).Vracate svotu A i u drugu godinu ulazite sa dugom

S1 = S(1 + p)− A.

Po istom rezonovanju, u trecu godinu, posle otplate druge rate, ulazite sadugom

S2 = S1(1 + p)− A = S(1 + p)2 − A(1 + p)− A.

Posle otplate desete rate, vas dug iznosi

S10 = S(1 + p)10 − A(1 + p)9 − A(1 + p)8 − · · · − A(1 + p)− A.

4.8 Krediti 47

S obzirom da je S10 = 0, dobijamo jednakost

S(1 + p)10 = A(1 + p)9 − A(1 + p)8 − · · · − A(1 + p)− A,

tj., deleci sa (1 + p)10,

S =A

1 + p+

A

(1 + p)2+ · · ·+ A

(1 + p)10.

Prema tome, razmisljajuci na dva nacina, dolazimo do istog rezultata(vidi (27)).

Formula

Prethodna razmatranja pokazuju da vazi formula

(28) S = A

(1

1 + p+

1

(1 + p)2+ · · ·+ 1

(1 + p)n

),

tj.

(29)

S = A

(1

p− 1

p(1 + p)n

)

=A

p

(1− 1

(1 + p)n

).

pri cemu je S =kolicina pozajmljenog novca, n =broj rata, A =rata, p =ka-matna stopa na nivou datog ,,obracunskog perioda“. Ovo poslednje znaci,na primer, sledece: Ako se dug vraca u 10 mesecnih rata, onda p oznacavamesecnu kamatnu stopu.

Vrednost rate A zavisi od n; oznacicemo je sa A[n] kad hocemo da tuzavisnost istaknemo.

Ukupna kolicina novca koja ce biti isplacena zajmodavcu jednaka je nA[n].Jasno je da je nA[n] > S, a iz formule (28) moze se zakljuciti da je nA[n] >(1 + p)S, ako je n ≥ 2.

Cena pozajmice, Cn = nA[n]− S, raste raste sa povecanjem broja n, tj.

Cn+1 > Cn,

sto bi trebalo da bude ocigledno. Da li je ocigledno da se A[n] smanjuje, tj.da je

A[n + 1] < A[n] ?

48 4 KAMATNI RACUN

(U oba slucaja smatramo da su kolicina pozajmljenog novca i kamatna stopanepromenjene.)

Zadatak 35. Pavle je pozajmio 4000 dolara od banke, uz uslov da vrati dugu cetiri jednake godisnje rate. Godisnja kamatna stopa je 12%. (a) Kolika jerata? (b) Kolika je cena pozajmice?

Zamenite ,,cetiri“ sa ,,pet“ pa odgovorite na (a) i (b). Uporedite dobijenerezultate.

Zadatak 36. Ulozili ste $1000 uz godisnju stopu 10% i godisnje ukamacivanje.Posle svakog pripisivanja kamate podizete $20.

(a) Koliko cete imati na kraju druge godine (posle pripisivanja kamate apre podizanja $20)?

(b) Koliko cete imati na kraju dvadesete godine?

Uputstvo:

Slucaj nejednakih rata

Dug se moze otplacivati i u nejednakim ratama. Zamislite da dugujete S =10 000 evra, koje ste pozajmili po godisnjoj kamatnoj stopi p = 0.08. Dugtreba vratiti za n godina, pocev od sledece, ali se rate mogu biti medjusobnorazlicite. Oznacimo rate sa a1, a2, . . . (prva, druga, itd.). Sadasnja vrednostrate ak jednaka je

ak

(1 + p)k.

Rasudjujuci kao ranije, dolazimo do formule

(30)

S =a1

1 + p+

a2

(1 + p)2+ · · ·+ an−1

(1 + p)n−1+

an

(1 + p)n

=n∑

k=1

ak

(1 + p)k.

Rata, recimo, moze rasti po nekoj stopi g > 0. Tada ce biti

a2 = (1 + g)a1, a2 = (1 + g)2a1, . . . an = (1 + g)n−1a1.

Zamenom u (30) dobicemo

S =n∑

k=1

a1(1 + g)k−1

(1 + p)k

=a1

p− g

(1−

(1 + g

1 + p

)n), g 6= p.

4.8 Krediti 49

Odatle mozemo naci a1 (ako su dati S, n, p, g) pa zatim a2, itd. Ako jeg = p, onda formula nema smisla, ali je tada jednostavno zakljuciti da je

a1 =(1 + p)S

n.

Razmotrimo nesto slozeniju situaciju. Zamislite da ste u stanju da ot-placujete samo 1 000 evra godisnje. Jasno je da cete placati vise od desetgodina ali ne mozete pogoditi koliko. Jedan od nacina je da probate, evokako:

Znamo da je a1 = a2 = . . . = an−1 = 1 000. Deo duga koji otplacujete sa10 jednakih rata jednak je

D10 =10∑

k=1

1 000

(1.08)k=

1 000

0.08

(1− 1

(1.08)10

)= 6710.081399,

sto je dosta manje od 10 000. Povecajmo broj rata:

D15 = 8559.478688, D20 = 9818.147407, D21 = 10016.80316.

Vidimo da sa 20 rata dug nije otplacen a sa 21 je premasen. Prema tome,broj rata je 21 ali je poslednja manja od 1 000. Tu poslednju mozemo nacipomocu formule (30), koja kaze da je (za S = 10 000, n = 21)

10 000 = D20 +a21

(1.08)21.

Odavde dobijamo

a21 = (10 000− 9818.147407)(1.08)21 = 915.4157138.

Uopste, ako je unapred dogovorena jedna ista vrednost svih rata semposlednje, onda njihov broj, racunajuci i poslednju, mozemo naci po formuli

(31) n =

⌈− ln(1− Sp

a)

ln(1 + p)

⌉.

Tu dxe oznacava najmanji medju celim brojevima koji su ≥ x, npr. d1.23e =2, d3e = 3. U nasem primeru je p = 0.08, S = 10 000, a = 1000, pa imamo

n =

⌈− ln(1− 800/1000)

ln(1.08)

⌉= d20.91237187e = 21.

50 4 KAMATNI RACUN

Kad smo nasli n, onda poslednju ratu racunamo po formuli

(32) an = (1 + p)n

(S −

n−1∑k=1

a

(1 + p)k

)

Formula (31) ima smisla samo kad je 1 − Sp/a > 0, tj. a > Sp, stoznaci da se rata ne moze zadavati proizvoljno. Naime, moze se dokazati da uslucaju a ≤ Sp dug nikad ne bi bio isplacen. U nasem primeru je Sp = 800.

Zadatak 37. Pozajmili ste 100 funti sa obavezom da vracate po 50 funtigodisnje pocev od sledece godine, uz kamatnu stopu %10. Ne pozivajuci sena formule, nadjite broj rata, poslednju ratu i cenu pozajmice.

Slika 10: Dve slike Jakova Bernulija, svajcarskog matematicara, koji jedaleke 1683. godine razmatrao problem neprekidnog ukamaci-vanja i tako otkrio niz (1 + 1/n)n

(a) (b)

51

5 Funkcije

5.1 Pojam funkcije

Neka su data dva (neprazna) skupa, A i B, i neka su na neki nacin elementiskupa A povezani sa elementima skupa B. Ako u toj vezi svakom elementuiz A odgovara po jedan (jedini) element iz B, tada kazemo da je zadatafunkcija iz A ka B. 10 Skup A se zove domen, ili delokrug, funkcije, a skup B— kodomen.

Samu funkciju mozemo zamisliti kao nesto (npr. masinu ili duha) stopovezuje A sa B na svoj nacin. Funkciju mozemo oznaciti jednim slovom,npr. f, ili, ako hocemo da istaknemo domen i kodomen, sa

f : A 7→ B.

Ako a ∈ A, onda sa f(a) oznacavamo element iz B koji je povezan sa a,i zovemo ga slika od a, ili vrednost funkcije u a. U tom kontekstu element ase zove original ili argument.

Skup svih mogucih slika zove se rang ili doseg od f, i ne mora biti jed-nak B.

Ponekad funkciju mozemo zadati pomocu tabele.

a f0(a)1 -12 23 74 4

a f1(a)1 -12 53 -14 3

a f2(a)2 54 33 -11 -1

a f3(a)1 -12 53 -14 34 4

Ovde vidimo cetiri tabele pomocu kojih su elementi skupa A = {1, 2, 3, 4}povezani sa elementima skupa B = Z. Cetvrta tabela ne zadaje funkciju jerelement 4 ∈ A ima dve slike.

10Ili ,,iz A u B “.

52 5 FUNKCIJE

Kad odredjujemo doseg, razmisljamo o vrednostima funkcije. Na primer,doseg funkcije f0 jednak je {−1, 2, 4, 7}. Sta je doseg funkcije f1?

Funkcije se najcesce zadaju pomocu jedne formule. Na primer, formula

f(x) = |x| za x ∈ Z,

zadaje funkciju f : Z 7→ Z. Sta je njen doseg?

Funkcija moze biti zadata pomocu vise formula, npr.

(33) f(x) =

−1 za x ∈ (−∞, 0),

x za x ∈ (0, 1],

1 za x ∈ (1,∞).

Domen te funkcije je R \ {0}. Imamo, npr., f(−3) = −1 jer −3 ∈ (−∞, 0).

Zadatak 38. Za funkciju f zadatu formulama (33) nadjite f(0), f(0.001),f(−0.001), f(1), f(1.1). Da li 0 ∈ Rang(f)?

Jednakost funkcija

Druga i treca tabela (od cetiri prethodne) ne izgledaju identicno, ali jef1(a) = f2(a) za svako a ∈ A, pa zato funkcije f1 i f2 smatramo jednakim.Uopste, funkcije f1 i f2 smatramo jednakim ako

(a) imaju isti domen,

(b) imaju isti kodomen,

(c) f1(x) = f2(x) za svako x iz domena.

Zahtev (b) za nas nema znacaja jer cemo razmatrati funkcije sa brojcanimvrednostima, pa ce nam kodomen uvek biti jednak R.

Primer: Razmotrimo funkcije iz R ka R :

f1(x) = x2, f2(x) = (x− 1)(x + 1) + 1.

Iako izrazi ne izgledaju identicno, funkcije su jednake, sto sledi iz ,,razlikekvadrata“, tj. iz jednakosti

(34) (x− a)(x + a) = x2 − a2 (x, a ∈ R).

5.2 Inverzna funkcija 53

Ovaj primer pokazuje jos i to da postupak kojim se dolazi od elementado njegove slike nije bitan. Naime, lako se racuna f2(999),

f2(999) = (999− 1)(999 + 1) + 1 = 998× 1000 + 1 = 998 001,

dok

f1(999) = 999× 999 = . . . itd. . . . = 998 001.

Ako je funkcija zadata jednim izrazom a ne kaze se sta je domen, onda sepodrazumeva da je domen maksimalan, tj. jednak oblasti definisanosti togizraza11. U raznim situacijama maksimalni domen ne samo da nije potrebanvec moze i da smeta. Recimo, maksimalni domen funkcije f(r) = πr2 jeinterval −∞ < r < +∞. Ali ako mislimo na povrsinu kruga radijusa r, ondaje prirodni domen (0,∞).

Primer: Razmotrimo funkcije

f1(x) = x5−6x4+7x3+6x2−7x+1, f2(x) = x+1, x ∈ A = {−1, 0, 1, 2, 4}.

Domen obe funkcije, kako stoji na desnoj strani, jeste skup A. S obzirom daje f1(x) = f2(x) za svako x ∈ A (proverite!) funkcije su jednake. Ako domenprosirimo bilo kojim brojem, npr. 3, dobicemo dve nove funkcije koje nisujednake.

5.2 Inverzna funkcija

Ako su dve velicine, y i x, npr. profit i nivo prodaje, povezani jednacinomy = f(x), gde je f neka funkcija, onda se mozemo zapitati koliko je x zazadato y; u slucaju profita to znaci da hocemo da znamo koji nivo prodajedovodi do zeljenog profita. Drugim recima, treba da nadjemo x iz jednaciney = f(x). Primer: ako je

y = f(x), gde je f(x) = 2x− 1 (x ∈ R),

onda je

x =1

2y +

1

2.

Ovde je, za svako y, resenje jedinstveno, i mi smo dobili novu funkciju

f−1(y) =1

2y +

1

2,

11tj. skupu svih vrednosti promenljive za koje izraz ima smisla

54 5 FUNKCIJE

koju zovemo inverzna funkcija (funkcije f).

Primer: Ako je

y = f(x), gde je f(x) = x2 (x ∈ R),

onda je pitanje smisleno jedino za y ∈ Rang(f) = [0,∞). Medjutim, ako jey > 0, onda jednacina x2 = y ima dva resenja, x =

√y, x = −√y. Buduci

da nemamo razloga da damo prednost jednom ili drugom12, u ovom slucajukazemo da funkcija f nije invertibilna, tj. da nema inverznu.

Razmotrimo opstu situaciju. Neka je f : A 7→ B nekakva funkcija. Akoza svako y ∈ Rang(f) postoji jedno jedino x ∈ A takvo da je f(x) = y,13

onda definisemo inverznu funkciju

f−1 : C 7→ A, C = Rang(f),

po pravilu

f−1(y) = x.

Dakle, domen inverzne funkcije jednak je rangu date funkcije; a rang in-verzne?

Zadatak 39. U slucaju da funkcija f : A 7→ R ima inverznu, naci je (topodrazumeva i nalazenje domena):

(a) f(x) = −4x + 1 (A = R); (e) f(x) = x2 (x ≥ 0);

(b) f(x) = x2 (x ≤ 0); (f) f(x) = 1/x (x ∈ R \ {0});(c) f(x) = x− x2 (A = [ 0, 1]); (g) f(x) = x3 (A = R);

(d) f(x) =x− 1

x + 1(A =?).

Zadatak 40. Funkcija f : R2 7→ R2 zadata je formulom

f(s, t) = (s− t, s + t).

Pokazite da je f invertibilna i nadjite inverznu.

12Izbor jednog od dva resenja mogao bi zavisiti od konkretnog problema.13tj. jednacina f(x) = y ima jedinstveno resenje

5.3 Grafici 55

5.3 Grafici

Ako su i domen i kodomen funkcije f sastoje od brojeva, onda se f zoverealna funkcija jedne realne promenljive. Grafik funkcije f je deo ravni R2

a cine ga tacke (x, f(x)), x ∈ A = domen(f). Na primer, grafik funkcije fzadate sledecom tablicom

x 1 2 3 4f(x) -1 2 7 4

cine cetiri tacke u ravni: (1,−1), (2, 2), (3,−7), (4, 4).

–7

2

–1

4

1 2 3 4

Domen moze biti svakakav, ali je u praksi najcesce interval ili unija inter-vala — dakle, sadrzi bezbroj tacaka. U tom slucaju grafik mozemo nacrtatiuzimanjem dovoljnog broja vrednosti promenljive x i racunanjem f(x). Naslici 11 pokazano je kako nastaje grafik funkcije f(x) = x2, |x| ≤ 2.

Na slici 12 vidite deo tabele koju je napravio MAPLE da bi grafickipredstavio funkciju f(x) = ex, −1 ≤ x ≤ 1.

Zadatak 41. Nacrtajte na istoj slici linije `1 : y = x, `2 : y = x2, `3 : y =x3.

Kada crtamo dve ili vise linija na istoj slici, duzni smo da istaknemopresecne tacke. Pored toga, treba da se vidi medjusobni polozaj linija. Naprimer, zbog nejednakosti x3 < x2 za x ∈ (0, 1), linija `3 se nalazi ispod `2

za 0 < x < 1.

Zadatak 42. Nacrtajte na istoj slici grafike funkcija f(x) = 1/x, g(x) =2− x.

Zadatak 43. Nacrtajte na istoj slici linije y = ex, y = 1 + x, y =(1 +

x

2

)2

.

56 5 FUNKCIJE

Slika 11: Crtanje grafika funkcije f(x) = x2

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2

(a)

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2

(b)

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2

(c)

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2

(d)

5.4 Tipovi realnih funkcija

Evo nekoliko primera realnih funkcija:

• Konstanta, f(x) = c, gde je c fiksiran realan broj, npr. c = −2, 7.78,π, log(13).

• Linearna, f(x) = kx+m, gde su k i m fiksirani realni brojevi. Grafikje prava linija.

• Kvadratna, f(x) = ax2 + bx + c, gde su a (6= 0), b, c fiksirani realnibrojevi (koeficijenti funkcije). Grafik je parabola.

5.4 Tipovi realnih funkcija 57

Slika 12: Tablica vrednosti funkcije ex

0.5

1

1.5

2

2.5

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x ex

-1. .3679-.9564 .3842-.9185 .3991-.8758 .4165-.8329 .4348-.7901 .4538-.7505 .4721-.7095 .4919-.6670 .5132.2932 1.3407.3337 1.3961.3769 1.4577

• Polinom, f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0, gde je n prirodanbroj i an, . . . , a0 fiksirani realni brojevi. Ako je an 6= 0, kaze se da jestepen polinoma jednak n.

• Eksponencijalna, f(x) = ax, gde je a 6= 1 pozitivna konstanta. Vidisliku 13(a).

Svi dosad navedeni izrazi definisani su za svako x ∈ R.

• Logaritamska, f(x) = loga x. Ova funkcija je inverzna u odnosu naeksponencijalnu (i obratno), i definisana je za x > 0. Vidi sliku 13(b).

• Kvadratni koren, f(x) =√

x = x1/2. Definisana je za x ≥ 0 a grafikje ,,polovina“ parabole (vidi sliku 14(b)).

• Kubni koren, f(x) = 3√

x = x1/3. Definisana je za svako x ∈ R.

• Stepena funkcija, f(x) = xα, gde je α realan broj (npr. α = 1/3).Domen ove funkcije zavisi od α, ali u svakom slucaju interval (0,∞) jesadrzan u domenu.

• Racionalna funkcija je kolicnik dva polinoma; definisana je tamo gdeje imenilac razlicit od nule. Najprostija racionalna funkcija (a da nijepolinom) je funkcija obrnute proporcionalnosti:

f(x) =A

x,

58 5 FUNKCIJE

Slika 13:

x

y

1x

2x3x(0.3)x

(0.5)x

(a) Eksponencijalne funkcije

–1

1

2.718

–1 1 2.718 x

y

y=ln x

y=ex

(b) Eksponencijalna i logaritamskafunkcija

Slika 14:

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–3 –2 –1 1 2 3x

(a) Hiperbola y = 1/x

1

2

3

1 2 4 9

(b) y =√

x

gde je A fiksiran realan broj (6= 0). Grafik je hiperbola (vidi sliku14(a)).

Zadatak 44. Odredite (maksimalni) domen sledecih funkcija:

f1(x) =x− 1

x + 1, f2(x) =

2x

x2 + 1, f3(x) =

x2 − 1

(2x− 1)(4x + 5)

f4(x) =√

x− 1, f5(x) = 3√

x3 − 3x, f6(x) = ln(x + 1).

Pokazite da f1, f4 i f6 imaju inverznu, i naci je.

• Trigonometrijske funkcije, sin x, cos x, tg x (= tan x), ctg x (= cot x).

5.4 Tipovi realnih funkcija 59

• Ciklometrijske (=inverzne trigonometrijske) funkcije, arcsin x, arccos x,arctan x.

Kombinovanjem navedenih funkcija formiraju se elementarne funkcije.Kombinovanje podrazumeva upotrebu, pored sabiranja, oduzimanja, mno-zenja i deljenja, i kompoziciju funkcija. Ako su f i g dve funkcije, onda sefunkcija zadata formulom

h(x) = g(f(x))

zove kompozicija funkcija f i g. Koristi se oznaka

h = g ◦ f.

Domen funkcije h je odredjen uslovom

x ∈ domen(f) i f(x) ∈ domen(g).

(Ako x /∈ domen(f), onda f(x) nema smisla, a ako f(x) /∈ domen(g), ondag(f(x)) nema smisla.)

Funkciju g ◦ f nalazimo tako sto u izrazu g(x) pisemo f(x) umesto x. Naprimer, ako je f(x) = x2, g(x) = x + 1, tada je

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = f(x) + 1 = x2 + 1, ali

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2.

Sve u svemu, mozemo reci, mada neprecizno, da je elementarna onafunkcija koja se zadaje jednim izrazom.

Funkcija f(x) = |x| je elementarna jer je f(x) =√

x2. Funkcija g, defini-sana na skupu R \ {0} kao

g(x) =

{1 za x > 0,

−1 za x < 0,

iako zadata pomocu dva izraza, jeste elementarna jer se moze predstaviti iovako:

S(x) =x

|x|, x ∈ R \ {0}.

S druge strane, funkcija sign, definisana na intervalu (−∞,∞) kao

sign(x) =

1 za x > 0,

−1 za x < 0,

0 za x = 0,

60 5 FUNKCIJE

nije elementarna. Razlog je u tome sto je elementarna funkcija neprekidnagde god je definisana; to znaci, pored ostalog, da je njen grafik nad bilo kojimintervalom sadrzanim u domenu neprekinuta linija.

Nacrtajte grafike funkcija sign(x) i S(x). U cemu je razlika?

Zadatak 45. Odredite domene sledecih funkcija:

(a) f(x) =√

1− x ; (e) f(x) = 3√

1− x ;

(b) f(x) =x− 1

x2 + 1; (f) f(x) =

x2 + 1

x− 1;

(c) f(x) =x− 1

x2 − 3x + 2; (g) f(x) = ln(x2 − 2x + 1) ;

(d) f(x) =

√x− 1

x + 1; (h) f(x) = ln

x− 1

x + 1.

Pri odredjivanju domena treba voditi racuna o tri vrste izraza:

razlomcima (imenilac 6= 0),

logaritmima (argument14 > 0), i

korenima sa parnim izloziocem (potkoreni izraz ≥ 0).

Ako takvih izraza nema, i ako nema trigonometrijskih i ciklometrijskihfunkcija, onda je doticna funkcija definisana za svako x. Primer: funkcija

f(x) = 3√

x6 − x2 − 1 ex3−4x

je definisana za svako x.

14U izrazu lnA, argument je jednak A.

61

6 Linearna i kvadratna funkcija

6.1 Prava linija i linearna funkcija

Linearna funkcija se moze predstaviti u obliku

f(x) = kx + n, gde su k i n realni brojevi.

Grafik linearne funkcije je prava linija. S druge strane, ako je data neka pravap, onda se njena jednacina moze napisati u obliku

(35) ax + by = c.

Ako je b = 0 i a 6= 0, onda jednacina postaje x = −c/a, a ova predstavlja,,vertikalnu“ pravu, tj. pravu paralelnu sa y-osom. Ako je b 6= 0, onda sejednacina (35) moze napisati u obliku

y = kx + n, gde je k = −c/a, n = c/b.

Broj n pokazuje mesto gde ta prava sece y-osu; to je tacka (0, n). Broj kpokazuje nagib prave i zove ga tako: nagib prave, ili nagib funkcije. Njegamozemo dobiti deleci promenu vrednosti promenljive y sa odgovarajucompromenom promenljive x. Ako su (x0, y0) i (x, y) bilo koje dve tacke na pravoj,onda je nagib jednak kolicniku

(36) k =∆y

∆x=

y − y0

x− x0

.

(Vidi sliku 15.) Tu je ∆y = y2 − y1, ∆x = x2 − x1, gde su (x1, y1) i (x2, y2)bilo koje dve tacke na pravoj.

Prema tome, ako znamo nagib prave i jednu njenu tacku (x0, y0), ondamozemo napisati jednacinu prave:

(37) y − y0 = k(x− x0).

Napisimo jednacinu prave koja prolazi kroz tacke (1, 2) i (4, 3).

nagib: k =3− 2

4− 1=

1

3; tacka: (x0, y0) = (1, 2). Dakle: y−2 = 1

3(x−1).

62 6 LINEARNA I KVADRATNA FUNKCIJA

Slika 15:

0

y

�

�

x

.

x

y

.

.. x

y

0

A(x1, y1)

B(x2, y2)

Slika 16: Po nagibu se prepoznaje da li funkcija raste ili opada. Naime: akoje nagib linearne funkcije f(x) pozitivan, onda f(x) raste kad xraste; ako je nagib negativan, onda f(x) opada kad x raste; akoje nagib jednak nuli, onda je funkcija konstantna.

k > 0

x

y

k < 0

x

y

k = 0

x

y

Zadatak 46. Na slici 17 prikazana je veza izmedju Celzijusovih (C) i Faren-hajtovih (F) stepeni. Pokazite da je F = 1.8 C + 32. Izrazite svoju telesnutemperaturu u Farenhajtovim stepenima. Kako se osecate ako vam je tem-peratura 100◦F ?

Zadatak 47. Pretpostavimo da fabrika pravi neki proizvod i da je vezaizmedju profita, P (x), i kolicine proizvodnje, x, linearna. Jedne godine fab-rika je napravila 40 jedinica i izgubila £4000. Druge godine proizvodnja jepovecana na 80 jedinica, sto je donelo profit od £1000. Nadjite P (x).

Uputstvo: P (x) = kx + n; P (40) = −4000; P (80) = 1000. Dakle,

40k + n = −4000, 80k + n = 1000. Nadjite k i n.

Koliko jedinica treba najmanje da se proizvede da bi profit bio pozitivan?

6.1 Prava linija i linearna funkcija 63

Slika 17: Veza izmedju Farenhajtovih i Celzijusovih stepeni

fahrenheit

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

ppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppppppppppppp

ppppppppppppppppppppp

pppppppppp

5

9

32

Fahrenheit

Celsius

Zadatak 48. Za svaku od sledecih jednacina nacrtajte grafik i nadjite nagib.

(a) 3x + 4y = 12 ; (c) x− 2y = 4 ;

(b) 2x + y = 10 ; (d) 3y − 2x = 5 .

Grafik se moze nacrtati nalazenjem preseka sa osama. Stavimo x = 0i dobijemo presek sa y-osom; y = 0 — sa x osom. Tako ne ide u slucajujednacine y = −2x, jer grafik prolazi kroz koordinatni pocetak. U tomslucaju uzmemo neko x 6= 0, npr. x = 1, pa dobijemo jos jednu tacku:(1,−2).

Zadatak 49. Potrosili ste 1000 dinara na kupovinu jabuka i grozdja. Jabukekostaju 75 dinara, po kilogramu, a grozdje 60 dinara. Izrazite tu informacijusimbolicki i graficki.


Marginalna funkcija

Ako je data zavisnost neke ekonomske velicine (npr. troska, prihoda, prof-ita) od kolicine proizvedenih jedinica, onda se odgovarajucom marginalnomfunkcijom naziva promena te velicine pri povecanju proizvodnje za jednujedinicu. Tacnije, ako je ta zavisnost izrazena funkcijom C(x), onda je mar-ginalna funkcija data ovako:

MC(x) = C(x + 1)− C(x).

• Ako je funkcija C(x) linearna, onda je marginalna funkcija jednakanagibu. (Zasto?)

• Izracunajte marginalni profit u slucaju zadatka 47.

Prelomna tacka

Oznacimo sa R(x) (=revenue) prihod od prodaje x jedinica nekog proizvodaa sa C(x) (=cost) troskove proizvodnje. Tada je profit P odredjen formulomP (x) = R(x)− C(x). Tacka x za koju je P (x) = 0 zove se prelomna tacka.

Zadatak 50. Jedna firma je povecala dnevnu proizvodnju sa 20 na 25 je-dinica i nasla da su troskovi proizvodnje porasli za £800 dnevno. Nadjitemarginalnu funkciju troskova. Izrazite troskove kao funkciju kolicine proizve-denih jedinica ako je prvobitni trosak (za onih 20) bio £5000. Ako je prodajnacena £200 po jedinici, koliko firma treba da proizvede da bi imala pozitivanprofit?

6.2 Sistem jednacina

Na slici 18 prikazane su prave p i q,

p : 3x + y = 6, q : x + 0.9y = 1.

Prave p i q imaju jednu zajednicku tacku M(x, y). (Na slici 18 upisite slovap, q, M gde treba.) S obzirom da M pripada i jednoj i drugoj pravoj,njene koordinate zadovoljavaju i jednu i drugu jednacinu, tj. imamo sistemjednacina:

(38) 3x + y = 6, x + 0.9y = 1.

Ovaj sistem mozemo resiti na vise nacina:

6.2 Sistem jednacina 65

Prvi nacin: Resicemo obe jednacine po istoj nepoznatoj, npr. y :

(39) y = 6− 3x, y = (1− x)/0.9.

Zatim cemo izjednaciti desnu stranu prve jednacine sistema (39) sa desnomstranom druge:

6− 3x = (1− x)/0.9.

Odavde cemo naci x (prvo pomnozimo sa 0.9, itd): x = 44/17. Na kraju,nalazimo y iz jedne od jednacine sistema (39): y = 6− 3x = −30/17. Prematome, tacka M ima koordinate (44/17,−30/17).

Drugi nacin (metoda zamene): Resicemo prvu jednacinu sistema (38) poy; y = 6 − 3x. Zatim cemo u drugoj jednacini umesto y staviti 6 − 3x (tj.zameniti y sa 6− 3x):

x + 0.9(6− 3x) = 1.

Odavde nalazimo x = 44/17, pa y = 6− 3x = 6− 3× 44/17 = −30/17.

Treci nacin: Pomnozicemo drugu jednacinu sistema (38) sa 3 :

(40) 3x + y = 6, 3x + 2.7y = 3.

Zatim cemo oduzeti prvu jednacinu od druge (,,druga minus prva“): 1.7y =−3. Dakle, y = −3/1.7 = −30/17. Sada ovo y stavimo u prvu jednacinusistema (40): 3x− 30/17 = 6. Na kraju, x = 44/17.

Cetvrti nacin: Umesto da mnozimo sa 3 pa da oduzimamo, pomnozicemodrugu jednacinu sistema (38) sa −3 :

3x + y = 6, −3x− 2.7y = −3.

Zatim cemo sabrati ove dve jednacine i tako eliminisati nepoznatu x.

Zadatak 51. Nacrtajte pravu koja prolazi kroz tacke (−2,−3) i (5, 4). Nad-jite jednacinu te prave. Nadjite njen presek sa pravom x + 2y = 0.

Ravnotezna tacka

Nivo potraznje nekog proizvoda zavisi od cene tog proizvoda, a kako po-traznja opada sa rastom cene, funkcija potraznje ima negativan nagib. Sdruge strane, nagib funkcije ponude je pozitivan. Tacka u kojoj su te dvefunkcije jednake zove se ravnotezna tacka. To je tacka u kojoj se trzistestabilizuje.


Slika 18: Presek pravih

–2

3

6

y

–2 3 6x

Zadatak 52. Date su jednacine 2q + 5p = 500 i 3q = 25 + 7p. Jedna dajevezu cene p i potraznje, qD, a druga — cene i ponude, qS. Nadjite qD i qS, iravnoteznu tacku. (S =supply , D =demand.) Odredite domene funkcija qS

i qD, vodeci racuna o smislu. Sve to predstavite graficki.

6.3 Linearna nejednacina

Znamo da linearnoj jednacini sa dve nepoznate odgovara prava. A sve tackecije koordinate zadovoljavaju linearnu nejednacinu cine poluravan. Pogledaj-mo, npr., nejednacinu (vidi sliku 19(a)):

2x + 3y ≤ 12.

Prava

p : 2x + 3y = 12

deli ravan na dve poluravni — samo jedna od njih je ,,nasa“. Da bismo videlikoja je nasa, uzmemo jednu tacku T (x0, y0) van prave p, nazovimo je ogled-nom tackom, i proverimo da li zadovoljava nasu ili suprotnu nejednakost.

U ovom slucaju mozemo uzeti tacku T (0, 0). Nasa nejednakost je zado-voljena i, dakle, nasa poluravan je ona koja sadrzi koordinatni pocetak.

Razmotrimo sada sistem linearnih nejednacina:

2x + 6y ≤ 12, 6x + 2y ≤ 12, x + y ≥ 1.(41)

6.4 Kvadratna funkcija 67

Slika 19: Poluravni

–1

0

1

2

3

4

5

2 4 6

(a) Poluravan 2x + 3y ≤ 12–1

0

1

2

3

4

5

2 4 6

(b) Poluravan 2x + 3y ≥ 12

Resenje sistema je svaki par (x, y) koji zadovoljava sve tri nejednacine. Dakle,skup resenja je presek tri odgovarajuce poluravni (vidi sliku 20).

Zadatak 53. Pored svake prave na slici 20 napisite odgovarajucu jednacinu(imajuci u vidu nejednakosti (41)). Nadjite koordinate presecnih tacaka.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Slika 20: Presek tri poluravni

–2

3

6

–2 3 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija se zadaje formulom

f(x) = ax2 + bx + c,


gde su a, b, c realni brojevi, a 6= 0. Grafik kvadratne funkcije je parabola. Dabismo nacrtali tu parabolu, svodimo trinom ax2 + bx + c na kanonski oblik.Na konkretnom primeru, to izgleda ovako: Prvo,

f(x) = −x2 + 2x + 7 = −(x2 − 2x) + 7 .

Drugo, dopunimo zagradu da bismo dobili potpuni kvadrat, ne zaboravljajucida oduzmemo ono sto smo dodali,

f(x) = −(x2 − 2x + 1− 1) + 7 = −(x2 − 2x + 1) + 1 + 7.

Konacno,

f(x) = −(x− 1)2 + 8.

(Proverite, za svaki slucaj.) Odavde mozemo procitati glavne informacije ofunkciji:

• f(1) = 8, sto je najveca vrednost funkcije; to znaci da je f(x) ≤ 8 zasvako x ∈ R.

• f ima dve nule (tj. grafik sece x-osu u dve tacke), koje se dobijajuresavanjem jednacine (x− 1)2 = 8; dakle

x− 1 = ±√

8, tj. x = 1± 2√

2.

• funkcija je konkavna, tj. grafik je ispupcen nagore.

Zadatak 54. Nacrtajte grafik funkcija

f1(x) = 2x2 − 4x− 8, f2(x) = −x2 + x + 7.

Zadatak 55. Jedna firma ima monopol na izdavanje stanova u jednom graduna Srednjem zapadu SAD. Funkcija potraznje je

D(p) = 100− 2p.

(a) Nacrtajte grafik funkcije prihoda R(p) = pD(p).

(b) Ako firma raspolaze sa S stanova, koliko ce ih izdati, i po kojoj ceni,da bi ostvarila maksimalni prihod? Razmotrite slucajeve S = 60 i S = 40.

6.4 Kvadratna funkcija 69

Slika 21: f(x) = −(x− 1)2 + 8

f(x)

x

8

–2 1 3 4

Kvadratna jednacina

Jednacina

(42) ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0)

naziva se kvadratnom. Ona se moze resiti svodjenjem na kanonski oblik.Prethodno smo imali primer

−x2 + 2x + 7 = 0.

Svodjenjem na kanonski oblik dobili smo

−(x− 1)2 + 8 = 0, tj. (x− 1)2 = 8,

odakle dobijamo dva resenja: x1 = 2−√

8, x2 = 2 +√

8.


U opstem slucaju, svodjenje na kanonski oblik ide ovako:

ax2 + bx + c = a

(x2 +

b

ax

)+ c

= a

((x +

b

2a

)2

− b2

4a2

)+ c

= a(x +

b

2a

)2

− b2

4a+ c

= a(x +

b

2a

)2

− ∆

4a

= a

((x +

b

2a

)2

− ∆

4a2

).

gde je sa ∆ oznacena diskriminanta,

∆ = b2 − 4ac.

Prema tome, ako je ∆ < 0, onda je −∆/4a2 > 0 i, dakle(x +

b

2a

)2

− ∆

4a2> 0 za svako x,

iz cega sledi:

• Ako je ∆ < 0, onda jednacina ax2 + bx + c = 0 nema (realnih) resenja.

• A ako je ∆ ≥ 0, onda su resenja u formuli

x =−b±

√∆

2a,

ili, kako se najcesce pise,

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a.

6.5 Jednacina treceg stepena

Jednacina oblika

a3x3 + a2x

2 + a1x + a0 = 0,

6.5 Jednacina treceg stepena 71

Slika 22: Ovako izgleda grafik funkcije f(x) = ax2 + bx+ c u slucaju a > 0

��

��

��

gde su a3, . . . , a0 (a3 6= 0) realni brojevi (koeficijenti), moze imati tri, dva ilijedno realno resenje, ali se ne moze desiti da nema nijedno. Iako obrazac zaresavanje postoji, prakticno je neupotrebljiv.

Ako nam je poznato jedno resenje, x = x0, jednacinu mozemo svesti nakvadratnu. Naime, tada jednacinu mozemo napisati u obliku

(x− x0)(ax2 + bx + c) = 0 (mora biti a = a3)

pa nam preostaje da resimo jednacinu

ax2 + bx + c = 0.

Primer 6.1. Resimo jednacinu

x3 + x2 − 7x + 2 = 0

znajuci da je jedno resenje x = 2.

Jednacinu pisemo u obliku

(x− 2)(x2 + bx + c) = 0.


Nepoznate koeficijente b, c odredjujemo iz identiteta

x3 + x2 − 7x + 2 = (x− 2)(x2 + bx + c), tj.

x3 + x2 − 7x + 2 = x3 + (b− 2)x2 + (c− 2b)x− 2c.

Sada izjednacavamo odgovarajuce koeficijente:

1 = 1, 1 = b− 2, −7 = c− 2b, 2 = −2c.

Iz druge i trece jednacine dobijamo b = 3, c = −1 (treba proveriti da je timezadovoljena i treca). Prema tome, data jednacina je ekvivalentna sledecoj:

(x− 2)(x2 + 3x− 1) = 0.

Jedno resenje je x = 2, a ostala se dobijaju iz jednacine x2 + 3x− 1 = 0.

Zadatak 56. Odredite broj d tako da jedno od resenja jednacine

2x3 − 5x2 + 11x + d = 0

bude x = 1/2, pa onda naci ostala resenja.

73

7 Diferenciranje

7.1 Marginalna funkcija i izvod

Ako su dve velicine, y i x, povezane linearnom funkcijom,

y = f(x) = kx + n,

onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. vazi formula

(43)∆y

∆x= k = const,

gde je ∆x bilo koja promena velicine x, a ∆y odgovarajuca promena y. Akoje

∆x = h 6= 0,

onda je

∆y = f(x + h)− f(x)

i, dakle,

(44)f(x + h)− f(x)

h= k za svako x i svako h 6= 0.

Broj k, koji smo nazvali nagibom prave y = kx + n, meri brzinu promenevelicine y u odnosu na x. U opstem slucaju, kolicnik ∆y/∆x zavisi i od x iod h; npr.

ako je y = x2, onda je∆y

∆x=

(x + h)2 − x2

h= 2x + h.

Ako hocemo da merimo brzinu promene funkcije f, mozemo fiksirati h, —stopu promene promenljive x, — i razmatrati kolicnik

(45) Mhf(x) =f(x + h)− f(x)

h.

74 7 DIFERENCIRANJE

U ekonomskoj teoriji se funkcija Mhf naziva marginalnom funkcijom. Naprimer, ako f(x) oznacava trosak proizvodnje x jedinica, onda se uzima h = 1i odgovarajuca marginalna funkcija oznacava se sa Mf,

Mf(x) = f(x + 1)− f(x).

Dakle Mf(x), marginalna funkcija troskova, predstavlja povecanje troskovapri povecanju proizvodnje za jednu jedinicu. U nekim slucajevima, npr. kodproizvodnje vode, mogli bismo uzeti male vrednosti h, pa bismo imali

(46) Mhf(x) =f(x + h)− f(x)

h,

po jednu marginalnu funkciju za svako h. Tako definisana marginalna funkcija,pored toga sto zavisi od h, moze biti suvise komplikovana. Na primer, ako je

f(x) =√

200 + x ,

tada je

(47)

Mhf(x) =

√200 + x + h−

√200 + x

h

=1√

200 + x + h +√

200 + x(Proverite mnozenjem!)

Umesto tog izraza koristi se sledeci, prostiji:

(48) Mf(x) =1

2√

200 + x.

Fukciju (48) dobili smo od funkcije (47) uzimajuci ,,male“ vrednosti, tj. sta-vljajuci h = 0. Rec ,,malo“ nema apsolutno znacenje; npr. ako f(x) pred-stavlja funkciju troskova i ako je kolicina proizvoda, x, velika15, onda je h = 1malo.

Izvod funkcije

Neka je f realna funkcija definisana u nekom intervalu (a, b). Desava se da svemarginalne funkcije Mhf (vidi (46)) izgledaju kao jedna, za male vrednostih, — pozitivne i negativne. Ta jedna se zove izvodna funkcija (ili izvod)

15Mada ni rec ,,velika“ nema apsolutno znacenje.

7.1 Marginalna funkcija i izvod 75

funkcije f i oznacava se sa f ′. Na primer, ako je f(x) =√

200 + x, onda je,kako videsmo,

f ′(x) =1

2√

200 + x.

Najprostija situacija javlja se kod linearne funkcije f(x) = kx + n. Tadasu sve marginalne funkcije medjusobno jednake, konstantne, i jednake nagibuk (vidi (44)); dakle, f ′(x) = k. Posebno,

izvod konstante jednak je nuli.

Drugi primer: Neka je f(x) = x2. Tada je

Mhf(x) =(x + h)2 − x2

h=

2xh + h2

h(h 6= 0) .

Ovde ne mozemo staviti h = 0, ali mozemo skratiti,

Mhf(x) = 2x + h,

pa staviti h = 0. Dakle, f ′(x) = 2x.

Tako ne mozemo postupiti u slucaju funkcije f(x) = ex. Tada je

f(x + h)− f(x)

h=

ex+h − ex

h= ex eh − 1

h.

Potrebno je malo vise truda da bi se dokazalo (16) da je f ′(x) = ex.

Jos jedan primer: Ako je

f(x) =1

x,

onda je

Mhf(x) =

1

x + h− 1

xh

=

− h

(x + h)x

h= − 1

(x + h)x.

16dokaz izostavljamo

76 7 DIFERENCIRANJE

Stavljajuci h = 0, dobijamo

f ′(x) = − 1

x2.

Funkcija ne moze imati dva izvoda u jednoj tacki, a moze se desiti da ga unekoj nema. Ponekad se razlog nalazi u tome sto smo duzni da razmotrimoMhf i za negativne h, ne samo za h > 0. Na primer, funkcija f(x) = |x|nema izvod u tacki x = 0; to je zato sto je

Mhf(0) =f(0 + h)− f(0)

h=|h|h

=

{1 za h > 0,

−1 za h < 0.

Dakle, vrednosti u nuli marginalnih funkcija Mhf sa negativnim h ,,daleko“su od vrednosti Mhf sa pozitivnim h.

Sve u svemu, izvod je koristan bar zato sto

• daje pribliznu vrednost marginalne funkcije;

• jednostavniji je od marginalne funkcije.

Domen izvodne funkcije moze biti uzi od domena funkcije. Na primer, akoje f(x) = |x|, onda je domen(f) = (−∞,∞) a domen(f ′) = (−∞, 0)∪(0,∞).

Zadatak 57. Nadjite vrednosti marginalne funkcije Mhf(x) ako je f(x) = x2

i (a) x = 50, h = 1; (b) x = 1, h = 0.01; (c) x = 1, h = −0.01.

Zadatak 58. Odredite izvod funkcije f ciji je grafik prikazan na slici 23,znajuci da je izvod linearne funkcije jednak nagibu.

Zadatak 59. Nadjite izvod funkcije f razmatrajuci marginalnu funkcijuMhf za male vrednosti h :

(a) f(x) =1

x2; (b) f(x) =

√2 + x; (c) f(x) =

2x− 1

1− x.

Resenje (c). Kriticno mesto je kako napisati f(x + h); ovde imamo

f(x + h) =2(x + h)− 1

1− (x + h)

(Zamenili smo x sa (x + h)

=2x + 2h− 1

1− x− hi oslobodili se zagrada.

)

7.2 Tangenta i nagib krive 77

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Slika 23: Izlomljena linija

–2

–1

1

–1 1 2 3 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dakle,

Mhf(x) =

2x + 2h− 1

1− x− h− 2x− 1

1− xh

=

(2x + 2h− 1)(1− x)− (2x− 1)(1− x− h)

(1− x− h)(1− x)

h(Uprostili smo

=

h

(1− x− h)(1− x)

hbrojilac.)

Sada ovaj razlomak mozemo kratiti sa h 6= 0,

Mhf(x) =1

(1− x− h)(1− x),

a sada ima smisla uzeti h = 0; dakle,

f ′(x) =1

(1− x)2.

7.2 Tangenta i nagib krive

Nagib krive y = f(x) u tacki A(x, f(x)) jednak je, po definiciji, nagibu,,tangente“ u tacki A, ako tangenta postoji. Nagib tangente jednak je tan θ

78 7 DIFERENCIRANJE

(vidi sliku 24). Da bismo ga odredili, mozemo odrediti nagib secice AB, gdeje B(x + h, f(x + h) ) bilo koja tacka na krivoj, B 6= A. Nagib secice jednakje

kAB =f(x + h)− f(x)

h= Mhf(x).

Ako je h malo, onda je B blizu A i necemo moci da razlikujemo secicu odtangente, pa ni nihove nagibe (na slici 25 prikazane su tri secice). A u stvari,s obzirom da je marginalna funkcija Mhf(x) priblizno jednaka f ′(x),

nagib tangente u tacki (x, f(x)) jednak je f ′(x).

Drzeci se toga, sa grafika funkcije mozemo procitati gde je njen izvodjednak nuli, gde je pozitivan ili negativan. Pored toga, mozemo videti gdeizvod ne postoji. Naime:

• Izvod je jednak nuli tamo gde grafik ima horizontalnu tangentu.

• Izvod je pozitivan tamo gde je nagib tangente pozitivan.

• Izvod je negativan tamo gde je nagib tangente negativan.

• Izvod ne postoji u tacki u kojoj funkcija nema tangentu ili ima ver-tikalnu tangentu.

Na primer, funkcija sa slike 23 nema izvod u tackama x = 1, x = 3.

Slika 24:

(x, f(x))

(x+h, f (x+h))

h

x

y y=f(x)

A

B

x

y y=f(x)

A

θ

7.3 Izvod kao trenutna brzina 79

Slika 25: Tri secice

x

y

x

y

A

B

A

B

x

y

Aθ1 θ2 θ

Zadatak 60. Na slici 26 oznaceno je 5 tacaka na krivoj y = f(x). Odrediteznak izvoda u svakoj od njih. U kojoj od tacaka je izvod najveci? u kojoj jenajveci po apsolutnoj vrednosti?

Zadatak 61. Skicirajte grafik krive y = f ′(x), gde je f(x) funkcija prikazanana slici 26.

Slika 26:

A

B

C

DE

x

y

7.3 Izvod kao trenutna brzina

Zamislite da ste 3 sata vozili automobil od mesta A do mesta B. U svakommomentu t ∈ [0, 3] bili ste na nekom rastojanju od mesta A; oznacimo torastojanje sa r(t). Uz prepostavku da nije bilo vracanja unazad, ni sudaranja,

80 7 DIFERENCIRANJE

Slika 27:

t

r(t)

0

50

100

150

200

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

grafik fukcije r(t) mogao bi izgledati kao na slici 27. U svakom trenutku tbrzinomer pokazuje trenutnu brzinu v(t), koja je priblizno jednaka srednjojbrzini u vremenskom intervalu izmedju t i t + h za sve male h; dakle,

v(t) ≈ r(t + h)− r(t)

h

(=

predjeni put

potroseno vreme

).

Kako je, s druge strane,

r(t + h)− r(t)

h≈ r′(t),

to je trenutna brzina jednaka izvodu rastojanja od pocetne tacke,

v(t) = r′(t)

Reci da je r′(t0) = 0 isto je kao reci da ste se u momentu t0 zaustavili.

Sta ste radili ako je r′(t0) < 0 ?

7.4 Izvodi elementarnih funkcija

Na strani 82 imate tablicu izvoda osnovnih elementarnih funkcija. Da bismoje verifikovali, morali bismo imati preciznu definiciju svake funkcije i preciznudefiniciju izvoda, na cemu se ovoga puta necemo zadrzavati.

7.4 Izvodi elementarnih funkcija 81

Izvode nekih funkcija mozemo procitati iz tablice; na primer,(3√

x)′

= (x1/3)′ = (1/3)x1/3−1 = (1/3)x−2/3.

Jos jedan primer:( 1

x2

)′=(

x−2)′

= −2x−3 =−2

x3.

• Nadjite izvod funkcije f(x) =√

x√

x.

• Nadjite izvod funkcije f(x) = ln 3.

Operaciju nalazenja izvoda zovemo diferenciranje.

Komplikovanije funkcije diferenciramo sluzeci se tablicom i pravilima kojaslede.

Izvod zbir i razlike

Vaze formule

(f + g)′ = f ′ + g′ (izvod zbira = zbiru izvoda),(49)

(f − g)′ = f ′ − g′ (izvod razlike = razlici izvoda).

Na primer,

(x2 + ex − ln x)′ = (x2)′ + (ex)′ − (ln x)′ = 2x + ex − 1

x.

Objasnjenje. Navedena pravila trebalo bi preciznije formulisati; naprimer:

Ako su funkcije f i g diferencijabilne u intervalu (a, b), onda je i funkcijaf + g diferencijabilna u (a, b) i vazi jednakost (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).

Za funkciju kazemo da je diferencijabilna u (a, b) ako ima (konacan) izvodu svakoj tacki iz (a, b).

Da bismo videli poreklo pravila (49), treba da razmotrimo marginalnufunkciju MhF, gde je F = f + g :

MhF (x) =f(x + h) + g(x + h)− f(x)− g(x)

h

=f(x + h)− f(x)

h+

g(x + h)− g(x)

h

≈ f ′(x) + g′(x).

82 7 DIFERENCIRANJE

Tabela 3: Tablica izvoda

f(x) f ′(x)

C 0 C=const.

x 1

x2 2x

xn nxn−1 n = const. ∈ R

1

x− 1

x2

√x

1

2√

x

ex ex

ekx kekx k=const.

ln x1

x

ln(x + b)1

x + bb=const.

Ovo je mala, prakticna tablica. Da bi se racunao izvod proizvoljne elemen-tarne funkcije, trebalo bi imati u vidu i sledece formule:

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = − sin x,

(tan x)′ =1

cos2 x, (cot x)′ = − 1

sin2 x,

(arcsin x)′ =1√

1− x2, (arctan x)′ =

1

1 + x2.

7.4 Izvodi elementarnih funkcija 83

Dakle, funkcija f ′ + g′ je ona kojoj je MhF priblizno jednaka, i zato je F ′ =f ′ + g′.

Linearnost

Ako je k konstanta, onda vazi formula

(kf)′ = kf ′

To svojstvo zajedno sa (49) cini ono sto se zove linearnost operacije diferen-ciranja. Primer:( ln x

2

)′=(1

2ln x)′

=1

2(ln x)′ =

1

2x.

Izvod proizvoda

Pri diferenciranju proizvoda koristimo pravilo

(50) (fg)′ = f ′g + fg′

Primeri. Prvi: (x2 ln x)′ = (x2)′ ln x + x2(ln x)′ = 2x ln x + x .

Drugi:

(51)

( ln x√x

)′=(

x−1/2 ln x)′

=(

x−1/2)′

ln x + x−1/2 (ln x)′

= −1

2x−3/2 ln x + x−1/2 1

x

(= −1

2x−3/2 ln x + x−3/2

)= x−3/2

(− 1

2ln x + 1

).

Treci:( x

e2x

)′=(xe−2x

)′= 1 · e−2x + x(−2)e−2x

((e−2x)′ = (−2)e−2x,

= (1− 2x)e−2x. vidi tablicu.)

84 7 DIFERENCIRANJE

Objasnjenje. U slucaju pravila proizvoda razmatramo MhF, gde jeF = fg. Tada vazi ovo:

MhF (x) = f(x + h)Mhg(x) + g(x)Mhf(x)

≈ f(x)g′(x) + g(x)f ′(x).

Ako hocete da proverite, podjite od izraza f(x + h)Mhg(x) + g(x)Mhf(x).

Izvod kolicnika

U slucaju kolicnika radi formula

(52)(f

g

)′=

f ′g − fg′

g2

Primer:

( ln x

x

)′=

(ln x)′x− (ln x)(x)′

x2=

1

xx− (ln x)1

x2=

1− ln x

x2.

Zadatak 62. Pomocu pravila kolicnika nadjite izvod funkcija

f(x) =ln x√

x,

pa postupak uporedite sa (51).

Objasnjenje. Da bismo videli otkud potice pravilo kolicnika, stavimoϕ = f/g. Tada je f = gϕ, pa primena pravila proizvoda daje

f ′ = g′ϕ + ϕ′g = g′f

g+ ϕ′g.

Odatle sledi

ϕ′ =1

g

(f ′ − g′

f

g

)=

f ′g − g′f

g2.

7.5 Izvod slozene funkcije 85

7.5 Izvod slozene funkcije

Ako je funkcija f zadata kao kompozicija dve funkcije,

f(x) = g(u(x)),

onda izvod od f racunamo po formuli

(53) f ′(x) = g′(u(x)) u′(x),

(pod uslovom da su funkcije g i u diferencijabilne). Posebno, ako je g(x) = xn,tada je f(x) = (u(x))n, pa iz (53) sledi f ′(x) = n(u(x))n−1u′(x); krace,

(un)′ = nun−1(u)′

Ta se zove pravilo stepena, a sledece je pravilo eksponenta:

(eu)′ = eu(u)′

Primeri:

• (e2x)′ = e2x(2x)′ = 2e2x, (e−x)′ = −e−x,(

ex2 )′= ex2

,

•((x2 + 1)7

)′= 7(x2 + 1)6 (x2 + 1)′ = 14(x2 + 1)6 x,

•(√

x2 + 1)′

=1

2√

x2 + 1(x2 + 1)′ =

x√x2 + 1

.

7.6 Logaritamski izvod

Kao poseban slucaj pravila za izvod slozene funkcije imamo sledece:

Ako je f(x) = ln u(x), tada je f ′(x) =u′(x)

u(x).

Krace:

(54) (ln u)′ =1

uu′ =

u′

u

86 7 DIFERENCIRANJE

Na primer,(ln(2x + 1)

)′=

1

2x + 1(2x + 1)′ =

2

2x + 1.

Izraz (ln u)′ = u′/u zove se logaritamski izvod funkcije u. Ako je u > 0,onda on predstavlja trenutnu procentualnu (17) brzinu promene funkcije u.

Primer neprekidnog ukamacivanja. Kao sto znamo, pri primenimetode neprekidnog ukamacivanja kapital raste po formuli K(t) = K0e

pt,gde je K0 pocetni kapital a p nominalna godisnja stopa. Trenutna apsolutnabrzina rasta kapitala u momentu t jednaka je je K ′(t) = K0pe

pt, a trenutnaprocentualna brzina:

(ln K)′ = (ln K0 + pt)′ = p.

Drugim recima,

trenutna procentualna brzina jednaka je nominalnoj godisnjoj stopi.

Ako je u < 0, onda izraz ln u nije definisan, ali u′/u jeste, pa i tadalogaritamski izvod moze biti od koristi za diferenciranje.

Primer: Funkcija f(x) = xx (x > 0) nije ni stepena ni eksponencijalnajer se menjaju i osnova eksponent. Stavimo

y = xx;

logaritmujemo:

ln y = x ln x;

diferenciramo obe strane: (ln y)′ = (x ln x)′; dakle

y′

y= 1 + ln x.

Odavde sledi

y′ = (1 + ln x)y = (1 + ln x)xx.

Primer: y = 3√

x3 − 3x = (x3 − 3x)1/3. Prvo:

ln y =1

3ln(x3 − 3x).

17tj. relativnu

7.7 Izvodi viseg reda 87

Drugo:

y′

y=

1

3

(x3 − 3x)′

x3 − 3x=

x2 − 1

x3 − 3x.

Dakle,

y′ =x2 − 1

x3 − 3xy =

x2 − 1

x3 − 3x(x3 − 3x)1/3.

Uprostimo:

y′ =x2 − 1

(x3 − 3x)2/3.

(Naravno, izvod se mogao naci i po pravilu stepena.) Nadjite y′′.

7.7 Izvodi viseg reda

Diferenciranjem funkcije f dobijamo novu funkciju f ′. Izvod te nove funkcijezove se drugi izvod funkcije f i oznacava se sa f ′′. Na primer, ako je f(x) = x3,onda je f ′(x) = 3x2, pa je f ′′(x) = (3x2)′ = 6x. Na slican nacin odredjujemotreci izvod, tj. izvod treceg reda, f ′′′(x), itd. Izvod reda n oznacavamo saf (n). Zanimljiva je funkcija f(x) = ex :

(ex)′ = ex; dakle (ex)′′ = (ex)′ = ex; dakle (ex)′′′ = ex.

Znaci, izvod bilo kog reda funkcije ex jednak je samoj funkciji.

S druge strane, postepenim diferenciranjem polinoma stepena n zakljucicemoda je izvod reda n + 1 jednak nuli.

U opstem slucaju tesko je naci pravilo po kome se nizu izvodi nekefunkcije, mada mozemo naci izvod bilo kog zadatog reda (ako imamo do-voljno vremena).

7.8 Diferencijal

Pretpostavimo da su dve velicine, oznacimo ih sa y i x, povezane formulomy = f(x), gde je f : (a, b) 7→ R, diferencijabilna funkcija. U opstem slucaju,promena velicine x izaziva promenu velicine y. Oznacimo te promene sa ∆xi ∆y :

(55) ∆y = f(x + ∆x)− f(x).

88 7 DIFERENCIRANJE

Iz definicije izvoda sledi da je

(56)∆y

∆x≈ f ′(x), ∆y ≈ f ′(x) ∆x.

za ,,relativno male“ vrednosti ∆x. Izraz f ′(x)∆x se zove diferencijal funkcijef u tacki x i oznacava se sa df ili dy. Pise se i dx umesto ∆x, tako da je

(57) dy = f ′(x) dx,

i

(58)dy

dx= f ′(x).

Ove oznake su korisne. Na primer, lako je zapamtiti pravilo za izvodslozene funkcije:

dy

dx=

dy

du

du

dx.

Primer 7.1. Diferencijal moze posluziti za procenu stvarne promene. Raz-motrimo funkciju prihoda

R(x) = 100x− 1

2x2.

Povecanje prihoda pri povecanju proizvodnje sa 50 na 51 jednako je

∆R = R(51)−R(50) = 49.5.

Pomocu diferencijala necemo dobiti tacnu vrednost, ali cemo dobiti zadovol-javajucu procenu na mnogo prostiji nacin. Naime, imamo

dR

dx= 100− x.

U nasem slucaju je x = 50, dx = 1; dakle,

∆R ≈ dR = 50× 1 = 50.

7.9 Ekstremne vrednosti 89

7.9 Ekstremne vrednosti

Ako funkcija f na nekom skupu D ima bezbroj vrednosti, nije izvesno dali medju njima postoje najveca i najmanja. Na primer, funkcija f(x) = x2

na skupu D = (−∞,∞) ima najmanju vrednost, jednaku nuli, ali nemanajvecu. Zapravo sve vrednosti funkcije f cine skup [0,∞).

Najveca vrednost funkcije f na skupu D zove se apsolutni maksimum,ili globalni maksimum, ili samo maksimum, od f na D. Informaciju da jeapsolutni minimum od f na skupu D jednak M zapisujemo, recimo, na sledecinacin:

maxx∈D

f(x) = M (slicno za minimum).

A da bismo pokazali da je maxx∈D f(x) = M, dovoljno je da pokazemo dvestvari:

(a) M ≥ f(x) za svako x ∈ D;

(b) M = f(x) bar za jedno x ∈ D.

Primer: Funkcija f(x) = x2 ima apsolutni minimum na skupu [1, 2);tacnije

minx∈[0,1)

x2 = 1,

jer je f(x) ≥ 1 za svako x ∈ [0, 1) i 1 = f(1). Ali maksimum ne postoji. (Akoste pomislili da je 4 maksimum, pogresili ste — uslov (b) nije ispunjen.)

Primer: Funkcija moze imati samo jedan maksimum ali se on moze dosticiu dve (ili vise tacaka). Na primer, funkcija f(x) = x2 dostize maksimum udve tacke: x1 = 1, x2 = −1.

Zadatak 63. Nacrtajte grafik funkcije f(x) = x2−2x−1 pa odredite sledecebrojeve:

maxx∈[2,3]

f(x), minx∈[2,3]

f(x),

maxx∈[−1,2]

f(x), minx∈[−1,2]

f(x).

Lokalne ekstremne vrednosti

Kaze se da funkcija f ima u tacki c ∈ (a, b) lokalni maksimum ako je f(c) ≥f(x) za svako x iz nekog intervala (α, β) 3 c (vidi sliku 28(a)). Prema tome,

90 7 DIFERENCIRANJE

lokalni maksimum je absolutni maksimum na ,,kratkom“intervalu (vidi slike28(b)(c)). Lokalni minimum se definise na slican nacin.

Primer: Funkcija f(x) = x2(x− 1) ima lokalni maksimum u tacki x = 0jer je f(0) = 0 ≥ x2(x− 1) za ∈ (α, β) = (−1, 1). S druge strane, f nema ninajvecu ni najmanju vrednost na intervalu (−∞,∞).

Slika 28:

f(a)

f(b)a

bx0 x1

(a) apsolutni maksimum=f(a), apsolutni minimum=f(b),lokalni minimum u tacki x0, lokalni maksimum u tacki x1

f(a)

f(b)a

bx0 x1

(b)

f(a)

f(b)a

bx0 x1

(c)

Stacionarne tacke

Neka je data funkcija f : (a, b) 7→ R. Tacku c ∈ (a, b) nazivamo stacionarnom(tackom funkcije f) ako je

f ′(c) = 0 .

Dakle, stacionarne tacke nalazimo resavanjem jednacine

f ′(x) = 0.

Stacionarne tacke nalazimo na dijagramu tamo gde grafik funkcije ima hor-izontalnu tangentu. Na slici 29 vidite grafik jedne funkcije definisane naintervalu [−1.2, 1.7]. Obelezite tacke x1, x2, x3 na x-osi u kojima f imalokalni maksimum ili minimum; uverite se da su tangente u odgovarajucimtackama na grafiku horizontalne, sto znaci da je f ′(x1) = 0, itd.

Uopste, vazi sledeci stav:


Slika 29: f(x) = 10x4 − 15x3 − 10x2 + 15x

–5

5

10

–1 –0.5 0.5 1 1.5x

Stav 1. Ako funkcija f : (a, b) 7→ R ima lokalnu ekstremnu vrednost u tackic ∈ (a, b) i ako je f diferencijabilna u c, onda je c stacionarna tacka funk-cije f.

S druge strane, ako je c stacionarna tacka funkcije f, to jos ne znaci daf ima ekstremnu vrednost u c. Na primer, tacka x = 0 je stacionarna zafunkciju f(x) = x3, ali f uopste nema ekstremnih vrednosti (vidi sliku 30).

Slika 30: Dva dijagrama funkcije f(x) = x3

–3

–2

–1

0

1

2

3

–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5–1

1

–1 1

92 7 DIFERENCIRANJE

Ako f ima drugi izvod u stacionarnoj tacki c i ako je

f ′′(c) 6= 0

onda f ima ekstremnu vrednost u c :

Stav 2. Neka je c stacionarna tacka funkcije f, koja ima drugi izvod. Akoje

f ′′(c) > 0, onda f ima lokalni minimum u c ;

ako je

f ′′(c) < 0, onda f ima lokalni maksimum u c .

Globalne ekstremne vrednosti

Pretpostavimo da je funkcija f definisana i neprekidna u (zatvorenom) in-tervalu [a, b]. Tada f ima najvecu i najmanju vrednost. Da bismo ih nasli,postupamo na sledeci nacin:

(i) Nalazimo stacionarne tacke u (otvorenom) intervalu (a, b); neka su to,recimo, x1, x2, x3.

(ii) Nalazimo tacke u kojima f nije diferencijabilna; pretpostavimo da smonasli jednu: x = n1.

(iii) Racunamo vrednost funkcije u prethodno nadjenim tackama i na kra-jevima a i b. Dakle, imamo sledece brojeve:

f(x1), f(x2), f(x3), f(n1), f(a), f(b).

(iv) Medju prethodno nadjenim vrednostima nalazimo najvecu i najmanju.Zakljucujemo: najveca (odn. najmanja) vrednost funkcije jednaka jenajvecoj (odn. najmanjoj) vrednosti iz koraka (iii).

Koraka (ii) najcesce nema, ali treba biti oprezan.

Monotonost

Funkciju f, definisanu u intervalu (a, b) nazivamo (striktno) rastucom akose njena vrednost povecava pri povecanu vrednosti nezavisne promenljive;tacnije, f je rastuca ako

iz x2 > x1 sledi f(x2) > f(x1) . ↗


Slicno tome, f je opadajuca ako

iz x2 > x1 sledi f(x2) < f(x1) . ↘

Na primer, funkcija f(x) = 2x − 3 je rastuca na intervalu (−∞,∞) jer izpretpostavke x2 > x1 sledi 2x2 − 3 > 2x1 − 3. Funkcija f(x) = 1/x opada naintervalu (0,∞) jer iz x2 > x1 > 0 sledi 1/x2 < 1/x1.

Tackom zaokreta funkcije f nazivamo takvu tacku c koja ima svojstvo dau njoj ,,f menja smisao monotonosti“; to znaci da se moze naci δ > 0 takoda je ispunjen jedan od uslova:

(a) f(x) raste za x ∈ (c− δ, c] a opada za x ∈ [c, c + δ); ↗↘(b) f(x) opada za x ∈ (c− δ, c] a raste za x ∈ [c, c + δ). ↘↗

U tacki zaokreta f ima ekstremnu vrednost.

Monotonost i prvi izvod

Iz informacije da je (diferencijabilna) funkcija f rastuca u (a, b) mozemo za-kljuciti da je f ′(x) ≥ 0. Vaznije je to sto posedujuci informaciju o pozitivnostiizvoda, mozemo zakljuciti da funkcija raste:

Stav 3. Ako je f diferencijabilna u (a, b) i ako je f ′(x) > 0 za svako x ∈(a, b), tada je f rastuca. Drugim recima, ako je nagib krive y = f(x) svudapozitivan, onda funkcija f raste.

Dakle, da bismo videli gde funkcija raste, dovoljno je da resimo ne-jednacinu

f ′(x) > 0 ; ↗

slicno, nejednacina

f ′(x) < 0 ↘

pokazuje gde f opada. Medjutim, cesto je u praksi dovoljno naci stacionarnetacke, tj. resiti jednacinu f ′(x) = 0. Uzmimo, recimo, da funkcija ima dvestacionarne tacke, x1, x2, u intervalu (a, b). Tada imamo tri intervala:

(a, x1), (x1, x2), (x2, b).

Znamo unapred da je f monotona u svakom od njih ponaosob. Da bismovideli da li raste ili opada, dovoljno je da testiramo znak izvoda u tri izabranetacke: c1 ∈ (a, x1), c2 ∈ (x1, x2), c3 ∈ (x2, b).

94 7 DIFERENCIRANJE

Konveksne i konkavne funkcije

Pretpostavimo da je f neka funkcija definisana u intervalu (a, b). Kazemoda je f konveksna ako se svaka tetiva grafika nalazi iznad grafika (vidi sliku31, tetiva AB). Ako je f diferencijabilna, tada se njena konveksnost mozeokarakterisati jednim od svojstava:

(a) Svaka tangenta je ispod grafika.

(b) Nagib funkcije raste.

Pogledajte sliku 31 i uverite se da su nagibi tetive AB i tangenti AD iBE u sledecem odnosu:

kAD < kAB < kBE.

To pokazuje da iz pretpostavke da je f konveksna sledi da nagib raste; mozese dokazati da vazi i obrnuto, tj. da iz pretpostavke da nagib raste sledi daje f konveksna.

Slika 31:

D

CA

B

E

D

CA

B

E

0

Oznacimo sa N(x) nagib funkcije u tacki x. Znamo da je N(x) = f ′(x).Ako pretpostavimo da N ima prvi izvod, tj. da f ima drugi izvod, onda

7.10 Implicitno zadate funkcije 95

N(x) raste ako je N ′(x) > 0 za svako x ∈ (a, b). A kako je N ′(x) = f ′′(x),znaci da vazi sledeci stav:

Stav 4. Ako funkcija f ima drugi izvod u (a, b) i ako je

f ′′(x) > 0 ,

onda je f konveksna u (a, b). Obrnuto, ako je f konveksna i ima drugi izvodu intervalu (a, b), onda je f ′′(x) ≥ 0 u (a, b).

Prica o konkavnim funkcijama je slicna. Kazemo da je f konkavna akose svaka tetiva grafika nalazi ispod grafika.

Stav 5. Ako funkcija f ima drugi izvod u (a, b) i ako je

f ′′(x) < 0 ,

onda je f konkavna u (a, b). Obrnuto, ako je f konkavna i ima drugi izvod uintervalu (a, b), onda je f ′′(x) ≤ 0 u (a, b).

7.10 Implicitno zadate funkcije

Ima slucajeva kad su dve velicine, x i y, povezane formulom u kojoj nijednaod njih nije ,,subjekat“, tj. koja se nije napisana ni kao y = . . . ni kaox = . . . ; na primer,

y5 − y + ex − x− 1 = 0.(59)

Da bismo analizirali ovakvu vezu, moramo se prvo dogovoriti koje je od dvaslova ,,nezavisna promenljiva“. Neka to bude x. To znaci da x mozemo biratikako hocemo. A kad ga odaberemo, onda y zavisi od tog izbora; zato slovo yzovemo ,,zavisna promenljiva“. Ako u nasem primeru uzmemo x = 0, onda iz(59) dobijamo jednacinu y5− y = 0, koja ima tri resenja: y ∈ {−1, 0, 1}. Toznaci da ne postoji funkcijska (tj. jednoznacna) zavisnost y od x. U opstemslucaju (ne u ovom) moze se desiti da za izabrano x ne postoji nijedno y;primer:

y2 + x2 + 1 = 0.

Vratimo se na (59). Pretpostavimo da imamo diferencijabilnu funkcijuy = f(x) za koju znamo jedino da zadovoljava jednacinu (59). Iako y ne

96 7 DIFERENCIRANJE

mozemo stvarno izraziti u obliku y = f(x), izvod mozemo naci na sledecinacin:

Iz (59) sledi:

(y5 − y + ex − x− 1)′ = 0

Dakle,

(y5 − y + ex − x− 1)′ = 5y4y′ − y′ + ex − 1

= (5y4 − 1)y′ + ex − 1 = 0.

Odatle dobijamo:

(60) y′ =1− ex

5y4 − 1.

Prema ovome, izvod funkcije nekoj tacki mozemo naci samo ako znamovrednost funkcije u toj tacki. A ni tacka ni domen funkcije ne mogu se zadatinapamet zato sto su y i x vezani formulom (59). Na primer, ako smo odnekudsaznali da je domen neki interval koji sadrzi nulu, onda cemo staviti x = 0u (59); dobicemo, kako smo videli, tri resenja: y ∈ {−1, 0, 1}. Stavljajuci,redom, y = −1, 4y = 0, y = 1 u (60), dobicemo sva tri puta y′ = 0. Kakosu matematicari dokazali, iz toga sledi da postoje tri funkcije, y = a(x),y = b(x), y = c(x) koje su definisane u otvorenom intervalu I 3 0, kojezadovoljavaju jednacinu (59) za x ∈ I, i, pored toga,

a(0) = 0, b(0) = 1, c(0) = −1,

a′(0) = 0, b′(0) = 0, c′(0) = 0.

Grafike tih funkcija mozete videti na slici 32.

x3 + 4xy − 2y3 − 3 = 0,(61)

x4 + xy + y4 = 3.(62)

7.11 Zadaci

65. Nadjite i klasifikujte stacionarne tacke sledecih funkcija:

(a) f(x) = −3x2 + 6x− 20;

(b) g(x) = 13x3 − 2x2 + 3x− 15;

7.11 Zadaci 97

Slika 32: y5 − y + ex − x− 1 = 0

c(x)

b(x)

a(x)

–1

1

–2 2

(a)

–1

1

–2 2

(b)

Slika 33:

–2

–1

0

1

2

–1 0 1 2 3

(a) x3 + 4xy − 2y3 − 3 = 0

–1

1

–1 1

(b) x4 + xy + y4 = 3

64. Na slici jeprikazana funkcijaf(x) = 3

√x2,

x ∈ [−1, 3]. Uveritese da f nema sta-cionarnih tacaka.Nadjite lokalne ek-stremne vrednosti.Nadjite najvecu inajmanju vrednostfunkcije.

2

–1 1 2 3x

98 7 DIFERENCIRANJE

(c) h(x) = 2x3 + 3x2 + 12x− 6;

(d) f(x) =1

x+

1

x2.

66. Nadjite najvecu i najmanju vrednost (ako postoji) sledece funkcije naintervalu I:

(a) f(x) = −3x2 + 6x− 20, I = [0, 3];

(b) g(x) = 13x3 − 2x2 + 3x− 15, I = [0, 4];

(c) h(x) = 2x3 + 3x2 + 12x− 6, I = [0, 4];

(d) f(x) =1

x+

1

x2, I = (0, +∞).

67. Skicirajte grafike funkcija iz zadatka 66.

68. Odredite nagib sledece funkcije i jednacine tangenti u datim tackama:

(a) f(x) = x4 − 3x2 + 3, x = 0, x = 1;

(b) g(x) =1

x+ x, x =

1

2, x = 2;

(c) h(x) = x3 − 2x + 2, x = −1, x = 1.

69. Data je funkcija f(x) = xe−x/10. Odredite intervale monotonosti. Nadjitenajvecu i najmanju vrednost na intervalu

(a) [0,∞), (b) [9, 20].

70. Za svaku od funkcija iz zadatka 65 odredite intervale monotonosti, pana osnovu toga nadjite lokalne ekstreme.

71. Data je funkcija y = 3√

x. Nadjite dy za x = 8, dx = 1. Na osnovu togaprocenite y = 3

√9; uporedite dobijeni rezultat sa onim koji daje kalkulator.

72. Data je funkcija f(x) =ln x

x, 1 ≤ x < ∞.

(a) Nadjite najvecu i najmanju vrednost funkcije.

(b) Dokazite da je ln x ≤ x/e za x > 1.

(c) Nadjite tacku u kojoj f ima najveci nagib.

(d) Nadjite prevojne tacke.

(e) Skicirajte grafik na intervalu [1, 5].

(f) Napisite jednacinu secice kroz tacke (1, f(1)) i (e, f(e)).

(g) Dokazite nejednakost

ln x

x≥ x− 1

e(e− 1), 0 < x < e.

7.11 Zadaci 99

73. Data je funkcija

f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 25, x ∈ [0, 4].

(a) Nadjite i klasifikujte stacionarne tacke.

(b) Nadjite najvecu i najmanju vrednost.

(c) Odredite intervale konveksnosti.

(d) Skicirajte grafik.

(e) Odredite rang funkcije.

(f) Postoji li inverzna funkcija?

74. Data je funkcija

f(x) =

{12x2 + x, x ≥ 1,

x + λ, x < 1.

(a) Nacrtajte grafik za λ = 0, 1, 2.

(b) Koliko treba da bude λ da bi grafik bio jedna neprekinuta linija?

(c) Pretpostavimo da je λ resenje za (b). Razmotrite marginalne funkcijeMhf(1) za h > 0 i h < 0.

(d) Postoji li f ′(1) ?

(e) Za koje λ funkcija raste na intervalu −∞ < x < ∞ ?

(f) Za koje λ je funkcija konveksna na intervalu −∞ < x < ∞ ?

(g) Izracunajte f ′(x).

75. Zamenite x + λ sa 2x + λ u zadatku 74, pa radite isto.

76. Tacke na slici 31 imaju sledece koordinate: A(0.3, 0.54), B(0.9, 1.06),E(0.65, ).

(a) Nadjite f ′(0.3), f ′(0.9).

(b) Nadjite ∆y i dy ako je x = 0.3 i ∆x = 0.6.

77. Jedna firma ima monopol na trzistu, tako da moze odluciti po kojoj cenice prodavati svoju robu. Ako jedinicu proizvoda prodaje po ceni p, ondaje potraznja q jednaka 300− 2p, dok su troskovi proizvodnje dati formulomC = 30 + 30q − (1/10)q2. Prihod je R = q · p (broj prodatih proizvoda putacena jednog).

100 7 DIFERENCIRANJE

(a) Odredite funkciju profita te firme.

(b) Izracunajte vrednost q koja daje najveci profit.

(c) Koja ce cena biti ako je kapacitet firme ogranicen na 120 jedinica?

78. Nivo potraznje za jednim proizvodom povezan je sa cenom pomocu for-mule p2q = 6000.

(a) Nadjite izvoddq

dp.

(b) Na osnovu (a), procenite koliki ce efekat na prodaju imati podizanjecene sa 10 na 10.5 funti.

79. Podignut je jedan web-site. Broj poseta dat je formulom S = 3t2 −0.008t3, gde je t broj dana posle podizanja.

(a) Koliki je najveci broj poseta u jednom danu?

(b) Kog dana je najveci porast poseta?

80. Broj stanovnika drzave A je za 10% manji od broja stanovnika drzaveB. Ako manja populacija raste neprekidno po godisnjoj stopi 3%, a veca postopi 1%, kada ce se izjednaciti? Sve to prikazite graficki.

81. Jedan automobil vredi £20 000 ali mu vrednost neprekidno i eksponen-cijalno opada po (nominalnoj) godisnjoj stopi od 20%. Drugi auto vredi£30 000 ali mu vrednost opada ravnomerno, brzinom 20% godisnje. Pred-staviti graficki vrednosti atomobila u toku pet godina.

82. Jedan proizvod ima funkciju potraznje

q =p2

125− 8

p

5+ 100.

Za koje vrednosti p ova funkcija ima ekonomskog smisla?

101

8 Integralni racun

8.1 Primitivna funkcija

Pretpostavimo da je zadata funkcija f : (a, b) 7→ R. Primitivnom funkcijomfunkcije f nazivamo takvu diferencijabilnu funkciju Φ: (a, b) 7→ R ciji jeizvod jednak f. Prema tome, recenica

Φ je primitivna funkcija funkcije f na intervalu (a, b)

znaci sledece:

Φ′(x) = f(x) za svako x ∈ (a, b).

Na primer, funkcija Φ1(x) = x2/2 je primitivna za funkciju f(x) = x jerje Φ′

1(x) = x za svako x ∈ R. I funkcija Φ2(x) = x2/2 + 25 je primitivnaza istu funkciju. Uopste, ako je Φ1 jedna primitivna funkcija funkcije f naintervalu (a, b), onda je Φ1 + C, gde je C bilo koji broj (konstanta), opetprimitivna; to je zato sto je izvod konstante jednak nuli. Vazno je da su tosve primitivne, sto zapisujemo ovako:∫

x dx =x2

2+ C.

Uopste, ako imamo jednu primitivnu, Φ, funkcije f na intervalu (a, b), ondapisemo

(63)

∫f(x) dx = Φ(x) + C, x ∈ (a, b).

Izraz∫

f(x) dx zovemo neodredjeni integral od f ; citamo: ,,integral od ef odiks de iks“.

Operacija nalazenja integrala zove se integriranje ili integracija. Onaje s jedne strane inverzna a sa druge ,,delimicno“ inverzna prema diferenci-ranju. Ono prvo znaci: ako nadjemo integral pa od njega izvod, dobicemofunkciju, a drugo: ako nadjemo izvod pa od njega integral, dobicemo polaznu

102 8 INTEGRALNI RACUN

funkciju plus neku konstantu. Sve to mozemo zapisati u dve formule:(∫f(x) dx

)′= f(x),∫

g′(x) dx = g(x) + C.

Primer 8.1. Zadatak iz diferenciranja moze se pretvoriti u zadatak iz inte-gracije. Podjemo od funkcije, recimo,

g(x) = x2ex+ 1x ,

pa nadjemo izvod:

g′(x) = (x2 + 2x− 1)ex+ 1x .

Sada sakrijemo g(x) pa postavimo zadatak:

Izracunajte∫(x2 + 2x− 1)ex+ 1

x dx.

Primer 8.2. Nasuprot prethodnom, retko koji zadatak iz integracije mozemopretvoriti u zadatak iz diferenciranja. Ko ne zna trigonometriju, nikad neceizracunati∫

1

x2 + 1dx (= arctan x + C).

−Ei(1,−x)

8.2 Racunanje integrala

Na strani 104 imate tablicu sa nekoliko primera. Pomocu nje mozemo izra-cunati nekoliko integrala:∫

3√

x dx =

∫x1/3 dx =

x1/3 + 1

1/3 + 1+ C = (n = 1/3),∫ √

ex dx =

∫e(1/2)x dx = (k = 1/2),∫

2x dx =

∫ex ln 2 dx = (k = ln 2),

itd. Dodatna pravila omogucavaju nam da razmatramo slozenije primere.

8.2 Racunanje integrala 103

Linearnost

Vaze sledece formule:∫ (f1(x) + f2(x)

)dx =

∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx,∫ (

f1(x)− f2(x))

dx =

∫f1(x) dx−

∫f2(x) dx,∫

kf(x) dx = k

∫f(x) dx,

gde je k konstanta, npr. k = −2, 1/3, itd.

Primeri:∫2

xdx = 2

∫1

xdx = 2 ln |x|+ C,

∫x2

2dx =

∫1

2x2 dx =

1

2

∫x2 dx = ,∫

(3√

x− 2e−x) dx = 3

∫ √x dx− 2

∫e−x dx = .

Smena promenljivih

Razmotrimo integral

I =

∫1

2x− 3dx.

Umesto da pogadjamo primitivnu funkciju, mozemo postupiti na sledecinacin. Stavimo (tj. uvedemo smenu)

2x− 3 = t. Zatim diferenciramo:

d(2x− 3) = dt, tj.

2 dx = dt, tj.

dx =1

2dt.

Sada idemo da izbacimo slovo x; dakle,

I =

∫1

t

1

2dt =

1

2

∫1

tdt =

1

2ln |t|+ C.


Tabela 4: Tablica integrala

f(x)

∫f(x) dx

k kx + C

xx2

2+ C

xn xn+1

n + 1+ C (n 6= −1)

1

xln |x|+ C

1

x + aln |x + a|+ C a=const.

ex ex + C

ekx 1

kekx + C k=const.6= 0

1√x

2√

x

Ako citate zdesna ulevo, videcete da je ova tablica skoro identicna tabliciizvoda (str. 82); izmenjene su samo oznake. Mogli bismo je prosiriti; recimo:∫

1

x2 + a2dx =

1

aarctan

x

a,

∫1√

x2 + kdx = ln

∣∣ k +√

x2 + k∣∣∫

1√b2 − x2

dx = arcsinx

b, itd.


Na kraju, vratimo x :

I =1

2ln |2x− 3|+ C.

Provera:

dI

dx=

1

2

1

2x− 3(2x− 3)′ =

1

2x− 3.

Jos jedan primer:

I =

∫x√

x2 + 1dx .

Smena:

x2 + 1 = t; d(x2 + 1) = dt; 2x dx = dt; x dx = (1/2) dt.

Izbacivanje starog slova:

I =

∫x dx√x2 + 1

=

∫(1/2) dt√

t=√

t + C.

Vracanje starog slova:

I =√

x2 + 1 + C.

U nekim slucajevima racunanje tece nesto drukcije. Na primer, kod inte-grala

I =

∫x√

2x + 4 dx,

uvodimo smenu

√2x + 4 = t.

Zatim, umesto d(√

2x + 4) = dt, prvo izrazimo x kao funkciju od t :

x =1

2t2 − 2.

Dalje,

dx = d( ) = t dt;


I =

∫ (1

2t2 − 2

)t · t dt, itd.

Navedeni nacin prelaska sa jednog integrala na drugi zasnovan je nasledecem pravilu:

Ako je∫f(t) dt = Φ(t) + C,

onda je∫f(S(x))S ′(x) dx = Φ(S(x)) + C.

Drugim recima, ovaj poslednji integral dobijamo iz prethodnog smenom t =S(x); ne zaboravimo da je dt = S ′(x) dx.

Parcijalna integracija

Prethodni primeri pokazuju da je korisno pisati diferencijal dx pod znakomneodredjenog integrala. To se vidi i u formuli parcijalne integracije:∫

u dv = uv −∫

v du

Ovde su u i v dve diferencijabilne funkcije, a du, dv su njihovi diferencijali

du = u′(x) dx, dv = v′(x) dx.

Tacno znacenje formule je ovakvo: Ako je Φ primitivna za funkciju vu′, ondaje uv − Φ primitivna za uv′. To je tako jer je

(uv − Φ)′ = (uv)′ − Φ′ = (uv)′ − vu′ = u′v + uv′ − vu′ = uv′.

Primer 8.3.

I =

∫xe2x dx.

Stavljamo

u = x, dv = e2x dx


da bismo imali

I =

∫u dv.

Racunamo du i v :

du = dx, v =

∫dv =

∫e2x dx =

1

2e2x

(ne pisemo 12e2x + C jer nam je dovoljna jedna primitivna). Dakle,

I = uv −∫

v du =1

2e2xx−

∫1

2e2x dx =

1

2xe2x − 1

4ex + C.

Primer 8.4.

I =

∫x ln x dx.

Ovoga puta stavljamo u = ln x (da bismo eliminisali logaritam) i dv = x dx.Kako je du = (1/x)dx i v = x2/2, imamo

I =x2

2ln x−

∫x2

2

1

xdx =

x2

2ln x−

∫x

2dx =

x2

2ln x− x2

4+ C.

Zadaci

Zadatak 83. Proverite sledece formule:

(a)

∫1√

x2 + 1dx = ln(x +

√x2 + 1) + C;

(b)

∫1

1− x2dx =

1

2ln∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣+ C.

Zadatak 84. Odredite funkciju g ako je poznato da je g definisana na inter-valu (0,∞), da je g′(x) = 1/x za x > 0 i da je g(1) = −23.

Zadatak 85. Odredite funkciju g ako je poznato da je g definisana na skupuR \ {0}, da je g′(x) = 1/x za x 6= 0, i g(1) = 1, g(−1) = 2. Nacrtajte grafikfunkcije g.

Zadatak 86. Odredite onu primitivnu Φ funkcije f(x) = |x|, x ∈ R, kojazadovoljava uslov Φ(0) = 0. Nacrtajte grafike funkcija f i Φ.


Zadatak 87. Izracunajte integrale sledecih funkcija:

(a) x3 (b) x−2 (c)√

x (d)√

x√

x

(e)1

x2(f)

1

x0.2(g) e−2x (h) ex/2

(i) 3√

ex (j)1

e2x(k) 112 (m) ln 4

Zadatak 88. Izracunajte:

(a)

∫ (− 2x2 +

3√x

)dx (b)

∫(x ln 3 + 6) dx

(c)

∫x2 − 2x√

xdx (d)

∫ex + 2e−x

e2xdx

(e)

∫(x2 − 2x)(

√x− 2) dx (f)

∫x2 + 3x + 2

x + 2dx


(a)

∫xe−2x dx (b)

∫x3 ln x dx

(c)

∫(x2 − 2x)ex dx (d)

∫(ex + 2e−x)2 x dx

(e)

∫−2x√

exdx (f)

∫x2 ln2 x dx

Zadatak 90. Izracunajte pomocu date smene:

(a)

∫x

2x− 1dx, 2x− 1 = t

(b)

∫x(4x− 3)7 dx, 4x− 3 = t

(c)

∫x√

2x− 3dx, 2x− 3 = t

(d)

∫x√

2x− 3dx,

√2x− 3 = t

(e)

∫e√

x

√x

dx,√

x = t


(f)

∫x(x2 + 2)4 dx, x2 + 2 = t

Zadatak 91. George je racunao integral

I =

∫(x + 1)2 dx

na dva nacina.

(I)

I =

∫(x2 + 2x + 1) dx =

x3

3+ x2 + x + C.

(II) Uvodeci smenu x + 1 = t, dobio je

I =

∫t2 dt =

t3

3+ C =

(x + 1)3

3+ C.

— Odavde sledi — rece on (u) sebi — da je

(x + 1)3

3≡ x3

3+ x2 + x.

Kad pomnozim sa 3, dobijem

(x + 1)3 ≡ x3 + 3x2 + 3x.

Ali ovo ne moze biti tacno jer kad stavim x = 0, dobijam 1 = 0.

Nadjite gresku u rasudjivanju.


(a)

∫ln(ln x)

xdx (b)

∫e2x√ex + 1

dx

(c)

∫x2 − x + 4

(x− 1)2dx (d)

∫1

3√

x +√

xdx

Zadatak 93. (a) Izracunajte ∫x2

x2 + 2dx

znajuci formulu∫1

x2 + kdx =

1√k

arctanx√k, gde je k =const.> 0.

(b) Izracunajte ∫ln(x2 + 2) dx.


8.3 Odredjeni integral

Ima neodredjenih integrala koji se ,,ne mogu izracunati“, sto znaci da sene mogu izraziti pomocu elementarnih funkcija. Jedan od mnogobrojnihprimera je∫

e−x2

dx.

To ne znaci da primitivna funkcija ne postoji. Naime:

Stav 6 (Njutn, Lajbnic). Ako je funkcija f definisana i neprekidna na in-tervalu (a, b), onda primitivna funkcija na intervalu (a, b) postoji.

Matematicka konstrukcija primitivne funkcije je veoma slozena, ali semoze ilustrovati slikom.

Ako je f neprekidna i pozitivna u intervalu [a, b], onda mozemo definisatifunkciju P : (a, b) 7→ R na sledeci nacin:

P (x)=povrsina krivog (osencenog) trapeza prikazanog na slici 34(a).

Ispostavlja se da je P ′(x) = f(x) za svako x ∈ (a, b), sto znaci da jefunkcija P (x) primitivna za f(x).

Slika 34:

P(x)

bx x+ha

P(x+h)-P(x)

T

(a) P (x) =primitivna funkcija of f

A

(b) Trapez T sa upisanimpravougaonikom Π

8.3 Odredjeni integral 111

A da bismo se uverili da je P ′(x) = f(x), razmotrimo marginalnu funkciju

MhP (x) =P (x + h)− P (x)

h.

Razlika P (x+h)−P (x) predstavlja povrsinu ,,uskog“ trapeza T (slika 34(a))i priblizno je jednaka povrsini (crnog) pravougaonika Π na slici 34(b). Apovrsina od Π jednaka je f(x)h (18);

P (x + h)− P (x) ≈ f(x)h.

Ako ovu relaciju podelimo sa h, (19) dobicemo

P (x + h)− P (x)

h≈ f(x),

sto znaci da je P ′(x) = f(x).

To je bila samo ideja dokaza Njutn–Lajbnicovog stava.

Odredjeni integral

Umesto P (x) pise se∫ x

a

f(t) dt.

Ako je Φ(x) neka druga primitivna, onda je, kako smo videli,

Φ(x) = P (x) + C =

∫ x

a

f(t) dt + C.

Uzimajuci ovde x = a, vidimo da je Φ(a) = 0 + C, tj. C = −Φ(a). Prematome, vazi formula (Njutn/Lajbnicova)∫ x

a

f(t) dt = Φ(x)− Φ(a).

Cesto se ta formula pise u obliku∫ b

a

f(x) dx =

∫f(x) dx

∣∣∣ ba.

18jer je osnovica jednaka h a visina f(x)19Trebalo bi dokazati da je u nasem slucaju deljenje sa (malim) h zaista ispravno.


Izraz∫ b

af(x) dx zove se odredjeni integral funkcije f na intervalu [a, b], ili

u granicama od a do b (a=donja granica, b=gornja granica).

Tako je, na primer,∫ 1

0

x2 dx =

∫x2 dx

∣∣∣ 10

=x3

3

∣∣∣ 10

=13

3− 03

3

=1

3.

Slika 35: Arhimed i njegov trougao

0

1

1

(a) Arhimedov trougao (b) Arhimed

Time smo pokazali da je povrsina krivolinijskog trougla ogranicenog pa-rabolom y = x2 i pravim linijama x = 1, y = 0 (osencena oblast na slici35) jednaka 1/3, sto je bilo poznato i Arhimedu. Uporedite taj rezultat sapovrsinom obicnog trougla sa temenima (0, 0), (1, 0) i (1, 1).

Primer 8.5. Odredjeni integral ne predstavlja uvek povrsinu. Na slici 36vidite grafik funkcije f(x) = −x2 + 1. Ta funkcija je negativna na intervalu[1, 2], i zato je odgovarajuci integral negativan broj; tacnije∫ 2

1

f(x) dx =

∫ 2

1

(−x2 + 1) dx = −x3

6+ x

∣∣∣∣21

= −1

6.


A povrsina osencene oblasti je

P = −∫ 2

1

f(x) dx =1

6.

Slika 36:

Solution

To find the shaded area we could calculate the area under the graph of y = sin x for x between0 and 1

4π, and subtract this from the area under the graph of y = cos x between the same limits.

Alternatively the two processes can be combined into one and we can write

shaded area =

∫ π/4

0

(cos x− sin x)dx

= [sin x + cos x]π/40

=(sin 1

4π + cos 1

4π)− (sin 0 + cos 0)

If you are aware of the standard triangles you will know that

sin1

4π = cos

1

4π =

1√2

in which case the value of integral is 2√2− 1 = 0.414. Alternatively you can use your calculator

to obtain this result directly.

More exercises for you to try

In each question the required area lies entirely above the horizontal axis, although youshould verify this fact for yourself independently.1. Find the area under the curve y = 7x2 and above the x axis between x = 2 and x = 5.2. Find the area bounded by the curve y = x3 and the x-axis between x = 0 and x = 2.3. Find the area bounded by the curve y = 3t2 and the t-axis between t = −3 and t = 3.4. Find the area under y = x−2 between x = 1 and x = 10.

Answer

3. The Area Bounded by a Curve, Parts of Which Lie Below thex-axisThe figure below shows a graph of y = −x2 + 1.

y =−x2+1

x

y

-2 -1 1 2 3

area

5 Engineering Mathematics: Open Learning Unit Level 114.3: Integration

Uopste, ako je f(x) < 0 u intervalu (a, b), 20, onda je∫ b

a

f(x) dx < 0,

a povrsina odgovarajuceg krivolinijskog trapeza racuna se po formuli

P = −∫ b

a

f(x) dx.

Primer 8.6. Situacija moze biti slozenija, kao na slici 37. Tu je∫ 4

0

f(x) dx = −32

3,

a povrsina osencene oblasti je

P = P1 + P2 =

∫ 1

0

f(x) dx−∫ 4

1

f(x) dx =71

6.

20pri cemu je a < b


Slika 37:

y = x3 − 5x2 + 4x

2

1

P

P

–6

–4

–2

2

1 2 3 4

Primer 8.7. Kad racunamo povrsinu oblasti ,,uglavljene“ izmedju dve ver-tikalne prave, x = a i x = b (a < b) (vidi sliku 38), koristimo formulu

P =

∫ b

a

(f(x)− g(x)

)dx,

pri cemu je ,,kriva y = f(x) gornja, a kriva y = g(x) donja“.

Slika 38:

y=x^2–5x+3

y=x

–4

–2

0

2

4

6

1 2 3 4 5


Na slici 38 imamo: a = 1, b = 4, f(x) = x, g(x) = x2 − 5x + 3. Dakle,

P =

∫ 4

1

(x− x2 + 5x− 3) dx = 15.

Zadatak 94. Izracunajte povrsinu oblasti koju ogranicavaju linije y = x2 −5x + 3, y = x i y = 3.

Slika 39:

(a) (b)

116 9 SISTEMI LINEARNIH JEDNACINA

9 Sistemi linearnih jednacina

Sistem linearnih jednacina je niz linearnih jednacina sa konacnim brojemnepoznatih. Primer:

(S)

x + y + z = 3

2x − y + z = 26x + 4z = 10.

Nepoznate x, y, z mogu se shvatiti kao prazna mesta koja, ako je moguce,treba popuniti brojevima tako da se dobiju tri istinite relacije. Svaka takvatrojka brojeva zove se resenje sistema. Na primer, trojka (x, y, z) = (1, 1, 1)je jedno resenje, ali ih ima jos, na primer, (0, 1/2, 5/2).

Ako neki sistem ima vise od jednog resenja, kaze se da je neodredjen. Akoima tacno jedno, kaze se da je odredjen, a ako nema resenja, onda se kaze daje nemoguc ili nesaglasan. Prema tome, sistem (S) je neodredjen. Ispostavljase da

svaki neodredjen sistem ima bezbroj resenja.

Broj nepoznatih moze biti i manji ili veci od broja jednacina. U nacelu,povecanje broja jednacina smanjuje sanse da sistem ima resenje. To ne znacida sistem kod koga je broj jednacina veci od broja nepoznatih ne moze imatiresenja; na primer, sistem

(S1)

x + y + z = 3

2x − y + z = 26x + 4z = 10x − 2y = −1

ima ista resenja kao (S).

S druge strane,

ako je broj jednacina manji od broja nepoznatih, onda sistem ne moze bitiodredjen, tj. ili uopste nema resenja ili ih ima bezbroj.

Da biste prihvatili taj fakt, razmotrite jednu jednacinu sa dve nepoznate:

ax + by = c.

117

Gausov postupak

Prikazacemo Gausov postupak na primeru sistemax + y + z = 3

2x − y + z = 23x + 2y + 4z = 10.

Odaberimo jednu jednacinu, npr. prvu, i u njoj jednu nepoznatu, npr. x.Obrazujmo novi sistem:

x + y + z = 3−3y − z = −4−y + z = 1.

Prvu jednacinu smo prepisali; drugu smo dobili mnozeci prvu sa −2 i do-dajuci je drugoj jednacini, itd. Tako je ,,nestalo“ nepoznate x u poslednjedve jednacine. Zatim na te dve jednacine primenimo isti postupak sa cil-jem da eliminisemo, recimo y; pomnozimo drugu sa −1/3 i dodamo trecoj, idobijemo sistem:

x + y + z = 3−3y − z = −4

(4/3)z = 7/3.

Dobili smo lako resiv sistem. Polazimo od poslednje jednacine: z = 7/4. Saovim z idemo u drugu jednacinu: y = 3/4. Sada iz prve nalazimo x = 1/2.Dakle, poslednji sistem ima jedinstveno resenje

(x, y, z) = (1/2, 3/4, 7/4).

Iz toga sledi da i polazni sistem ima to isto, jedinstveno, resenje.

Uopste, moze se dokazati da Gausov postupak pretvara sistem u ekvi-valentan. A kazemo da su sistemi ekvivalentni ako imaju jednake skupoveresenja.

Pitanje: Da li vise volite da ono resenje zapisete u oblikuxyz

=

1/23/47/4

?

Primena Gausovog postupka na sistem (S1) dovodi do sistema

(S2)

x + y + z = 3

−3y − z = −40 · z = 00 · z = 0.


Poslednja jednacina je zadovoljena za svako z, tj. mozemo staviti z = α, gdeje α bilo koji broj. Tada je zadovoljena i treca jednacina. Zatim uzmemoz = α u drugoj i dobijemo

y =4− α

3.

Zatim idemo u prvu:

x = 3− y − z = 3− 4− α

3− α =

5− 2α

3.

Prema tome, sva resenja su data formulom

(x, y, z) = (5− 2α

3,4− α

3, α), α ∈ R.

9.1 Matrice

Matrica je pravougaona tabela, npr.

T =

11 16 24 360 4 33 214 0 10 8

.

Ovu tabelu je napravio covek koji drzi tri prodavnice kompjutera. U prvojprodavnici, oznacimo je sa P1, on drzi 11 pentijuma I, 16 pentijuma II, 24pentijuma III, i 36 pentijuma IV. U drugom horizontalnom redu mozemovideti broj pentijuma u prodavnici P2, itd. Komjuteri se prodaju po cenama99, 176, 299 i 517 evra. Cene mozemo zapisati pomocu matrice

C =

99176299517

.

Horizontalni redovi matrice zovu se vrste a vertikalni — kolone. MatricaT je matrica tipa 3× 4, sto znaci da ima 3 vrste i 4 kolone. Mozemo reci daje sirina matrice T jednaka 4 a visina jednaka 3. Brojevi koji se nalaze u tojmatrici, a ima ih 3 · 4 = 12, zovu se elementi matrice.

Matrica C ima samo jednu kolonu — takve matrice se zovu vektori.

Jednakost matrica

Matrice A i B smatramo jednakim ako su istog tipa i ako su im ,,odgovarajuci“elementi jednaki.

9.1 Matrice 119

Sabiranje i oduzimanje

Mozemo sabirati (oduzimati) samo matrice istog tipa; to cinimo tako stosaberemo (oduzmemo) odgovarajuce elemente. Na primer, 3 −1

2 7−5 0

+

−7 612 −4−3 9

=

3− 7 −1 + 62 + 12 7− 4−5− 3 0 + 9

= ;

Nula-matrica je ona ciji su elementi jednaki nuli. Ona ima istu ulogu kojuima broj nula kod sabiranja brojeva; dakle, ako je O nula-matrica, onda je

A + O = O + A = A.

Mnozenje matrice brojem

Matrica se mnozi brojem tako sto se svaki element pomnozi tim brojem. Naprimer,

2×

3 −12 7−5 0

=

3 −12 7−5 0

× 2 =

6 −24 14−10 0

.

Operacija mnozenja brojem ima ,,uobicajena“ svojstva, npr.

2(3A) = 6A, 3(A + B) = 3A + 3B, itd.

Mnozenje matrice matricom

Vratimo se na one tri prodavnice kompjutera. Izracunajmo vrednost robe uprodavnici P1 :

v1 = 11× 99 + 16× 176 + 24× 299 + 36× 517 = 29693;

u prodavnici P2 :

v2 = 21428;

u prodavnici P3 :

v3 = 7522.


Ove tri vrednosti se mogu staviti u matricu

V =

v1

v2

v3

,

a sav racun se sada moze predstaviti na sledeci nacin:

V = TC =

11 6 4 360 4 33 214 0 10 8

99

176

299

517

=

29693214287522

.

Na ovom primeru vidimo kako se mnoze proizvoljna matrica i jednakolona. Glavno je kako se mnoze jedna vrsta i jedna kolona:

[a1 a2 a3 a4

] b1

b2

b3

b4

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4.

Dodavanje jos jedne vrste 21 prvom faktoru proizvodi jos vrstu u rezultatu:

[a1 a2 a3 a4

c1 c2 c3 c4

]b1

b2

b3

b4

=

[a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4

c1b1 + c2b2 + c3b3 + c4b4

].

Dodavanje jos jedne kolone drugom faktoru proizvodi jos kolonu u rezultatu:

[a1 a2 a3 a4

c1 c2 c3 c4

]b1 d1

b2 d2

b3 d3

b4 d4

=

[a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 a1d1 + a2d2 + a3d3 + a4d4

c1b1 + c2b2 + c3b3 + c4b4 c1d1 + c2d2 + c3d3 + c4d4

].

Prema svemu, nema smisla razmatrati proizvod AB ako nije zadovoljensledeci uslov:

sirina matrice A = visina matrice B.

Na primer, proizvod AB je definisan ako je A matrica tipa 3 × 4 a Bmatrica tipa 4× 13; rezultat je matrica tipa 3× 13.

21tj. otvaranje jos jedne prodavnice

9.1 Matrice 121

Nekomutativnost mnozenja

Nije isto AB i BA.

(a) Moze se desiti da je AB definisano a BA nije; npr. ako je A matricatipa 3× 4 a B matrica tipa 4× 13.

(b) Moze se desiti da su i AB i BA definisane, ali su razlicitog tipa; npr.ako je A tipa 2× 3 a B tipa 3× 2, onda je AB tipa 2× 2 a BA tipa 3× 3.

(c) Konacno, ako su A i B kvadratne matrice istog tipa, onda su matriceAB i BA istog tog tipa, ali je najcesce opet

AB 6= BA

Na primer,[1 −13 4

] [0 −11 2

]=

[-1 -34 5

],

[0 −11 2

] [1 −13 4

]=

[-3 -4∗ ∗

].

Asocijativnost

Isto je A(BC) i (AB)C. To znaci da su matrice A(BC) i (AB)C ili obedefinisane ili obe nedefinisane, a ako su definisane, onda je

A(BC) = (AB)C

Distributivnost

Vaze dva zakona distributivnosti:

A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC

Zato mozemo ,,mnoziti svaki sa svakim“, samo moramo voditi racuna oporetku faktora. Na primer,

(A + B)(A−B) = AA− AB + BA−BB = A2 − AB + BA−B2,

(A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2.


Jedinicna matrica

Jedininom se zove kvadratna matrica koja na ,,glavnoj dijagonali“ ima je-dinice a na svim ostalim mestima nule. Jedinicnu matricu oznacavamo sa I,a ako hocemo da istaknemo kojeg je tipa, dodajemo indeks; na primer,

I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Medju matricama, jedinicna matrica ima (najmanje) isti znacaj kao brojjedan medju brojevima, tj. vaze formule

AI = A, IA = A,

kad god proizvod ima smisla.

9.2 Inverzna matrica

Pretpostavimo da je A kvadratna matrica. Ako postoji takva matrica B daje AB = I i BA = I, onda se B zove inverzna matrica (matrice A) i oznacavase sa A−1. Dakle,

AA−1 = A−1A = I

Matrica ne moze imati dve inverzne. Ima matrica koje nemaju inverznu— one se zovu singularne matrice. Koje imaju inverznu zovu se regularne.Najprostija singularna je nula-matrica, ali ima i drugih; npr. matrica

A =

[0 012 77

]je singularna jer je[

0 012 77

] [x yu v

]=

[0 ∗∗ ∗

]6=[1 00 1

].

U slucaju matrica tipa 2× 2 postoji jednostavan kriterijum regularnosti;naime:

Matrica

A =

[a bc d

]

9.2 Inverzna matrica 123

je regularna ako, i samo ako, je ispunjen uslov

(64) ad− bc 6= 0.

Ako je taj uslov ispunjen, onda je

(65) A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

].

Matricne jednacine

Pri resavanju matricnih jednacina mora se voditi racuna o nekomutativnostimnozenja. Pretpostavimo da imamo jednacinu

(66) AX = B,

gde je A regularna kvadratna matrica. Da bismo je resili, mnozimo je sa levestrane matricom A−1 :

A−1AX = A−1B, dakle,

X = A−1B , jer je A−1AX = IX = X.

S druge strane, jednacinu

(67) XA = B,

mnozimo sa A−1 sa desne strane i dobijamo

X = BA−1 .

Razmotrimo malo slozeniji primer:

(68) AX = 2X + B.

Kao i kod obicnih jednacina, stavljamo poznate na jednu a nepoznate nadrugu stranu:

(69) AX − 2X = B.

Sada primenjuemo distributivni zakon, ali ne u obliku

(A− 2)X = B (ne valja jer zbir matrice i broja nema smisla)


vec

(A− 2I)X = B . Provera: (A− 2I)X = AX − 2IX = AX − 2X

(Obratite paznju da X stoji desno od zagrade.) Kad stavimo A − 2I = C,dobijemo CX = B, sto je jednacina tipa (66).

U slucaju jednacine

(70) XA = 2X + B

imamo

X(A− 2I) = B .

9.3 Determinante

Kvadratnoj matrici odgovara jedan broj koji se zove determinanta, u oznacidet A. Definicija determinante u opstem slucaju je komplikovana. Podjimood najprostijeg slucaja — matrice tipa 2× 2. Neka je

A =

[a bc d

].

Tada se det A definise ovako:

det A = ad− bc.

Umesto det A pise se i∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ . Dakle,

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc.

Posebno, determinanta jedinicne matrice jednaka je jedinici,

det I = 1 .

Stav 7. Matrica je regularna ako i samo ako je njena determinanta razlicitaod nule.

9.3 Determinante 125

Determinante treceg reda

Sledeca formula predstavlja jedan od nacina da se definise determinantatreceg reda:

(71)

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣Determinante na desnoj strani zovu se minori. Prva determinanta, oznacimoje sa M11, je minor elementa a11, i dobija se tako sto se ,,obrisu“ vrsta i kolonakoje sadrze taj element; dakle

M11 =

∣∣∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ .Slicno se definise minor bilo kojeg elementa (bolje reci, mesta) matrice;

M12 =

∣∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ , itd.

Vazni su i kofaktori. Kofaktor, Kij, elementa aij jednak je (−1)i+jMij,tj.

kofaktor = +minor ili −minor

pri cemu uzimamo + ili − rukovodeci se sledecom tablicom:

+ – +– + –+ – +

Sada formulu (71) mozemo zapisati ovako

(72) det A = a11K11 + a12K12 + a13K13.

Umesto elemenata prve vrste, ovde se mogu uzeti elementi bilo koje vrsteili kolone, sa odgovarajucim kofaktorima. Na primer, determinantu

D =

∣∣∣∣∣∣1 −2 4−3 0 02 3 6

∣∣∣∣∣∣najlakse je racunati ,,razvijanjem“ po drugoj vrsti:

D = −(−3)

∣∣∣∣−2 43 6

∣∣∣∣+ 0

∣∣∣∣∗ ∗∗ ∗

∣∣∣∣− 0

∣∣∣∣∗ ∗∗ ∗

∣∣∣∣ = −72.


Determinante viseg reda

Sad kad smo definisali determinante treceg reda pomocu determinanti drugogreda, mozemo definisati determinante cetvrtog reda pomocu onih treceg reda.To cinimo imitirajuci formulu (72):

det A = a11K11 + a12K12 + a13K13 + a14K14.

Prema tome, determinanta cetvrtog reda svodi se na cetiri determinantetreceg reda. I ovoga puta mozemo razvijati po bilo kojoj vrsti ili koloni; naprimer,∣∣∣∣∣∣∣∣

2 2004 −1 43 0 6 −5−4 0 7 −25 0 9 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2004

∣∣∣∣∣∣3 6 −5−4 7 −25 9 11

∣∣∣∣∣∣+ 0 + 0 + 0.

Ovde smo razvijali po drugoj koloni jer ona ima tri nule. Da bismo uproizvoljnoj determinanti stvorili nule, mozemo upotrebiti sledeci stav.

Stav 8. Vrednost determinante se ne menja ako se jedna vrsta (kolona)izmeni tako sto joj se doda neka druga vrsta (kolona) prethodno pomnozenabilo kojim brojem.

U slucaju determinante drugog reda dokaz tog stava je prost. Naime, akoimamo matricu

A =

[a bc d

],

pa drugoj vrsti dodamo prvu pomnozenu brojem λ, onda dobijamo matricu

B =

[a b

c + λa d + λb

].

Dakle,

det B = a(d + λb)− b(c + λa) = ad− bc = det A.

Na konkretnom primeru, primena stava 8 daje sledece:

D :=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 1 −12 3 −1 3−2 3 4 53 0 1 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 1 −10 7 −3 50 −1 1 30 6 −2 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣7 −3 5−1 1 36 −2 −4

∣∣∣∣∣∣ .

9.3 Determinante 127

Ovde smo prvu vrstu mnozili sa −2, pa sa 2, pa sa −3, i dodavali je drugoj,pa trecoj, pa cetvrtoj. Sta se desilo sa kojom vrstom, mozemo zapisati ovako:

V1 7→ V1

V2 7→ V2 + (−2)V1

V3 7→ V3 + 2V1

V4 7→ V4 + (−3)V1

Tako smo dosli do determinante treceg reda, na koju opet mozemo pri-meniti stav 8. U stvari, mozemo ga primenjivati sve dok ne dobijemo ,,tro-ugaonu“ tablicu, a onda mozemo primeniti sledeci stav:

Stav 9. Determinanta trougaone matrice jednaka je proizvodu elemenata kojistoje na glavnoj dijagonali.

Ponekad je korisno promeniti redosled vrsta.

Stav 10. Ako dve vrste zamene mesta, onda determinanta menja znak.

Na primer,

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 1 −10 7 −3 50 −1 1 30 6 −2 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 1 −10 −1 1 30 7 −3 50 6 −2 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Nastavimo racunanje determinante D. Ako ovu poslednju tablicu trans-

formisemo po shemi

V1 7→ V1, V2 7→ V2, V3 7→ V3 + 7V2, V4 7→ V4 + 6V2,

dobicemo

D = −

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 1 −10 −1 1 30 0 4 260 0 4 14

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Dalje, V4 7→ V4 + (−1)V3,

D = −

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 1 −10 −1 1 30 0 4 260 0 0 −12

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1 · (−1) · 4 · (−12).


Determinanta transponovane matrice

Ako je data matrica A, onda sa AT oznacavamo matricu koju dobijamo takosto vrste matrice A pisemo kao kolone. Matricu AT zovemo transponovanom(matricom matrice A). Na primer,

[2, 3]T =

[23

],

[2 3−1 7

]T

=

[2 −13 7

].

Ako transponujemo AT , vraticemo se na A, tj. (AT )T = A. Moze sedokazati da je

det(AT ) = det A.

(Uverite se u to u slucaju matrice tipa 2× 2.)

Determinanta i inverzna matrica

Pomenuli smo da je uslov ad− bc 6= 0 karakteristika regularnosti matrice[a bc d

].

Sad kad smo definisali determinante, mozemo reci ovako:

Stav 11. Matrica je regularna ako, i samo ako, je njena determinanta ra-zlicita od nule.

Dokazuje se da taj stav vazi za matrice bilo kog formata. Postoji i formulaza inverznu matricu:

A−1 =1

det Aadj A.

Ovde adj A oznacava adjungovanu matricu; ona se formira tako sto se svakielement matrice zameni svojim kofaktorom, pa se tako dobijena matricatransponuje.

Determinante i linearni sistemi

Determinante se pojavljuju pri resavanju linearnih sistema. Uzmimo, naprimer, sistem jednacina

(73)ax + by = P

cx + dy = Q .

9.4 Input–Output analiza 129

Ako prvu jednacinu pomnozimo sa d a drugu sa b pa dobijene jednacineoduzmemo, dobicemo

(ad− bc)x = Pd−Qb, dakle,

x =Pd−Qb

ad− bc,

pod uslovom da je ad− bc 6= 0. I drugu nepoznatu nalazimo na slican nacin.Resenje mozemo zapisati kao

x =

∣∣∣∣P bQ d

∣∣∣∣∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ , y =

∣∣∣∣a Pc Q

∣∣∣∣∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ .Razmotrimo sistem od tri jednacine sa tri nepoznate x, y, z. Oznacimo

sa D determinantu sistema, tj. determinantu sastavljenu od koeficijenata uznepoznate. Oznacimo sa Dx determinantu koja se dobija tako sto se kolonakoeficijenata koji stoje uz x zameni kolonom slobodnih clanova; itd. Tadavazi sledeci stav.

Stav 12 (Kramerovo pravilo). Sistem ima jedinstveno resenje ako, i samoako, je D 6= 0. A ako je D 6= 0, onda je resenje dato formulama

x =Dx

D, y =

Dy

D, D =

Dz

D.

Ako je D = 0, onda sistem moze biti nemoguc ili neodredjen. Ako jeD = 0 i jedna od determinanti Dx, Dy, Dz razlicita od nule, onda je sistemnemoguc. Ali ako su sve cetiri jednake nuli, onda ne smemo tvrditi da jesistem neodredjen; on moze i tada biti nemoguc.

9.4 Input–Output analiza

Sistemi linearnih jednacina se koriste za analiziranje dva ili vise medjusobnozavisnih procesa. Na primer, elektrani treba ugalj da bi proizvela struju, alirudniku treba struja da bi proizveo ugalj. Pretpostavimo da rudniku treba$0.25 struje da bi proizveo $1 uglja, a da elektrani treba $0.60 uglja i $0.05struje da bi proizvela $1 struje.

rudniku elektraniuglja 0 0.60struje 0.25 0.05


Ovu tabelu zemo napisati u obliku matrice potrosnje (,,consumption ma-trix“):

C =

[0 0.60

0.25 0.05

].

Ulaganje potrebno za proizvodnju p1 dolara uglja i p2 dolara struje moze sedobiti mnozenjem matrice C vektorom p = [p1, p2]

T . Na primer, za proizvod-nju $1 000 uglja i $1 500 struje, potrebno je sledece ulaganje:[

0 0.600.25 0.05

]·[1 0001 500

]=

[900325

].

Pretpostavimo sada da postoji spoljna potraznja za d1 dolara uglja id2 dolara struje. Vrednost ukupne proizvodnje bice razlozena na vrednostspoljne potraznje i ulaganje koje je potrebno radi zadovoljenja te potraznje.Drugim recima, ako je d = [d1, d2]

T , onda imamo matricnu jednacinu

p = d + C · p.

Drugi primer. Jedno gazdinstvo je podeljeno na tri sektora: poljoprivredni,industrijski i usluzni. Svaka jedinica poljoprivredne proizvodnje zahteva 0.2jedinice industrijske robe, 0.3 jedinice poljoprivrednih prizvoda, 0.1 jedinicuusluge. Svaka jedinica industrijske proizvodnje zahteva 0.5 jedinica indus-trijske robe, 0.4 poljoprivrednih prizvoda i 0.2 jedinice usluge. Za svaku je-dinicu usluga treba 0.1 jedinica industrijske robe, 0.1 jedinica poljoprivredneproizvodnje i 0.3 jedinice usluge.

9.5 Zadaci

95. Odredite broj a tako da sledece matrice budu singularne:

A =

[2 a−3 4

], B =

4 2 53 6 11 a 3

.

Odredite A−1 i B−1 za a = 8.

96. (a) Resite jednacine AX = B − 2X i XA−B = 2X ako je

A =

[1 −13 4

], B =

[4 6−3 9

].

9.5 Zadaci 131

(b) Nadjite AB i BA pa vidite da li je AB = BA.

(c) Da li je (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ?

(d) Da li je A2 −B2 = (A−B)(A + B) ?

(e) Koja je od ovih jednakosti tacna:

(AB)−1 = A−1B−1; (AB)−1 = B−1A−1;

(AB)T = AT BT ; (AB)T = BT AT ?

97. Resite sistem jednacina

4x + 2y + 5z = 213x + 6y + z = 31x + 8y + 3z = 37

(a) Gausovom metodom eliminacije;

(b) svodjenjem prosirene matrice sistema na trougaoni oblik;

(c) resavanjem odgovarajuce matricne jednacine.

98. Pokazite da sistem

x + y + z = 32x − y + z = 23x + 2z = 4

nema resenja. Stavite 5 umesto 4 (na kraju trece jednacine) pa pokazite danovi sistem ima bezbroj resenja.

99. Resite sistem

2x + 7y = 255x + 12y = 241

primenom Kramerovog pravila.

100. Resite sisteme na razne nacine:

(a)

9x3 = 87

5x1 + 8x2 + 2x3 = 267x2 − 4x3 = 8

(b)

3x1 + 6x2 − 5x3 = 124x1 − 7x2 + 2x3 = 1−x1 + 8x2 − 9x3 = 6

(c)

x1 − 2x3 = 6

2x2 − x3 = 8−x1 + x2 − 3x3 = −5

132 10 FUNKCIJE VISE PROMENLJIVIH

10 Funkcije vise promenljivih

Proizvodni proces moze zavisiti od raznih faktora, npr. rada (L) i kapi-tala (K). Zavisnost kolicine proizvodnje (Q) od L and K moze se izrazitikao

Q = f(K, L),

gde je f funkcija ,,dveju realnih promenljivih“, sto znaci da svakom paru(L, K) iz nekog skupa D ⊂ R2 odgovara jedan broj Q. Uopste, funkcijomdveju promenljivih nazivamo takvu funkciju ciji je domen nekakav skup ure-djenih parova.

U ekonomskoj teoriji se cesto pojavljuje Cobb–Douglasova proizvodnafunkcija

(74) Q = f(L, K) = ALαK1−α,

gde su A > 0 i α ∈ (0, 1) neke konstante (ne zavise od K i L), koje odredjujuekonomisti.

Za matematicara je domen Cobb–Douglasove funkcije jednak skupu

{ (L, K) : L ≥ 0, K ≥ 0 }.

Pored toga, on ce umesto L i K radije upotrebiti druga slova, npr. x i y, izdva razloga: prvo, njegov posao nije da izucava znacenje velicina vec samovezu medju njima, i, drugo, ista formula se pojavljuje u raznim situacijama.

Da bismo graficki predstavili funkciju dveju promenljivih, npr. f(x, y) =√xy, trebalo bi da uvedemo trecu koordinatu (vidi sliku 40). Ekonomisti,

medjutim, vise vole da funkciju dveju promenljivih analiziraju pomocu izok-vanti. A izokvantom se naziva linija (u ravni) na kojoj je funkcija konstantna;njena jednacina glasi

f(x, y) = C, C = const.

Ako zelimo izokvantu koja prolazi kroz datu tacku (x0, y0) iz domena funkcije,uzecemo C = f(x0, y0).

133

Slika 40: ,,Krov“ z = xy (x, y ∈ [1, 10]) gledan sa dva mesta. Treca koor-dinata (z) oznacava visinu krova u tacki (x, y)

y

x

z

x

z y

Na primer, u slucaju Cobb–Douglasove funkcije f(x, y) =√

xy imamojednacinu√

xy = C, tj. xy = C2,

koja ima smisla za svako C ≥ 0. Ako je C > 0, onda je to jednacina hiperboleIzokvanta kroz tacku (1.5, 2) ima jednacinu xy = 9, jer je C = f(1.5, 2) = 3.

134 10 FUNKCIJE VISE PROMENLJIVIH

Slika 41: Izokvante

y

x

10

10

(a) Izokvante funkcije f(x, y) =√

xy(f(x, y) = 1, 2, 3, 5)

y

x

10

10

(b) Izokvante funkcije f(x, y) = 2x + 3y.

miroslav pavlovic - matematika

Documents