MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

MATEMÁTICAS

PRIMER TRIMESTRE

GUÍA DE APRENDIZAJE PARA 8 GRADO

TEMARIO:

NÚMEROS REALES

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

NOMBRES DE LOS PROFESORES

ISABEL FERNÁNDEZ

VILMA PRADO

RAQUEL ATENCIO

MARICELA MUÑOZ

MEDARDO NAVARRO

HARMODIO ARCHIBOLD

AGOSTO 2020.

INDICE DE CONTENIDO

TEMA N° I

NÚMEROS REALES 3

Conjunto de los Números Reales (Ɍ) 3

Actividad N°1 4

Representación gráfica de los Números Reales 5

Relación de orden en los Números Reales 6

Actividad N° 2 8

Suma y resta con Números Reales 10

Actividad N°3 12

Multiplicación con Números Reales 13

Actividad N° 4 14

División con Números Reales 15

Prueba Formativa N° 1 16

TEMA N°2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS 17

Enunciados verbales de expresiones algebraicas 19

Término algebraico y sus elementos 20

Actividad N° 5 21

Clasificación de los términos 22

Actividad N°6 24

Definición de monomio y polinomio 25

Actividad N° 7 26

Grado de una expresión algebraica 27

Actividad N° 8 27

Prueba formativa N°2 28

Valor numérico de una expresión algebraica 30

Actividad N°9 31

TEMA N° 3

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES EN UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 32

Reducción de términos semejantes en una expresión algebraica 33

Reducción de términos semejantes de igual signo en una expresión algebraica 35

Reducción de términos semejantes con distintos signos en una expresión algebraica36

Actividad N° 12 37

Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases 37

Actividad N° 13 38

TEMA N° 4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON POLINOMIOS 39

Polinomios completos, incompletos y ordenados 40

Actividad N° 14 41

Suma y restas con polinomios 42

Actividad N° 15 44

Prueba formativa #3 45

Bibliografía 48

➢ Formar las bases del pensamiento lógico matemático para resolver situaciones y

problemas en los diferentes campos del saber humano.

➢ Aplicar los códigos y sistemas de numeración con sus propiedades los cuales

permiten analizar, interpretar, comprender y valorizar situaciones y problemas de

la vida cotidiana.

➢ Resolver operaciones con expresiones numéricas atendiendo a sus algoritmos.

➢ Aprender a aprender: Muestra capacidad permanente para obtener y aplicar

nuevos conocimientos y adquirir destrezas.

➢ Matemáticas: Resuelve operaciones fundamentales en el campo los Números

Reales y del álgebra, mediante la aplicación de los conceptos matemáticos, en la

solución de situaciones de su entorno.

➢ Autonomía e iniciativa personal: Manifiesta actitud perseverante hasta lograr las

metas que se ha propuesto.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

TEMA 1. NÚMEROS REALES

CONTENIDO

1. El conjunto de los Números Reales.

2. Representación gráfica de los Números Reales.

3. Relación de orden en los Números Reales.

4. Operaciones con los Números Reales.

3

• Concepto

El Conjunto de los Números Reales, denotado por ℝ, está formado por los números

racionales y los números irracionales. Encierra todos los sistemas numéricos que

hemos estudiado hasta la actualidad, desde los números naturales hasta los

irracionales. Veamos:

Conjuntos Numéricos y algunos ejemplos.

Símbolo Sistema NUmérico

Descripción Ejemplos

N

Naturales

Números para contar que son también llamados enteros positivos.

1, 2, 3, …

Z

Enteros

Conjunto formado por los naturales, el cero y los números negativos.

… -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,…

Q Racionales Números que se pueden representar como 𝑎

𝑏, con a, b enteros b≠0

5

4, -4, 1.5, 3.67,

0.12121212…

I Irracionales

Números que no pueden representarse

como 𝑎

𝑏 tienen infinitas cifras decimales

no periódicas

√2, 𝜋 , 1.123456…,

√5, √7 + 1 , e

ℝ Reales

Conjunto de todos los números racionales e irracionales. Está formado por todos los conjuntos numéricos.

-3, √2, 0.333…,0,- 1

2,

5.79, 𝜋, 8.

Conjunto de Números Reales

4

Vamos a poner en práctica tus conocimientos sobre conjuntos numéricos. ¡ADELANTE!

Complete la siguiente tabla colocando un gancho a todos los conjuntos numéricos que

pertenece el número dado.

Conjuntos

Números Naturales

( N ) Enteros

( Z ) Racionales

( Q ) Irracionales

( I ) Reales

( R )

5

-7

0.23

3

4

√2

𝜋

2

4. 6

√18

2

-0.3333333…

258

ACTIVIDAD 1

5

Números Racionales (ℚ)

-1 − 2

0

3

1

2 1

5 2

3

Recordando

RECORDEMOS

Para representar una fracción propia, debemos tener en

cuenta que el denominador indica las partes iguales en

que se ha dividido la unidad entre 0 y 1, si el número es

positivo y entre 0 y -1 si es negativo, y el numerador da

las partes que se toman de dicho número. Si la fracción

es impropia entonces hay que convertirla en fracción

mixta (número mixto) para

hacer su representación.

• Recta numérica Hemos visto la representación de los diferentes subconjuntos del conjunto de los

Números Reales como puntos en la recta numérica:

Números Naturales (ℕ)

Números Enteros ( ℤ )

Representación gráfica de los Números Reales

0 1 2 3 4 5 6

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

6

Números Reales ( ℝ )

Recordemos los símbolos que se utilizan en la relación de orden:

Los Números Reales son magnitudes ordenadas. Un número 𝑎 es mayor que un

número 𝑏 si en la recta numérica 𝑎 está a la derecha de 𝑏. Lo cual se puede escribir

de la siguiente manera:

𝑎 > 𝑏 (𝑎 es mayor que 𝑏), o lo que es igual 𝑏 < 𝑎 (𝑏 es menor que 𝑎).

Los símbolos de desigualdad < y > tienen una interpretación geométrica muy clara

sobre la recta numérica. Es decir:

Si 𝑎 < 𝑏, entonces 𝑎 está a la izquierda 𝑏.

Si 𝑐 > 𝑏, entonces 𝑐 está a la derecha de 𝑏.

Relación de orden en los Números Reales

<

-2.5 1

−

9

-3 -2 -1 2 √2

0 1 2 4 3

Recordando

>

= Igual a

Mayor que

Menor que

7

Veamos algunos ejemplos:

2 > -1, porque 2 está a la derecha del -1 siguiendo el orden de la recta numérica.

1 < 4 se lee: 1 es menor que 4 (1 se encuentra a la izquierda de 4).

4

5 > −

1

2 Porque las fracciones positivas son mayores que las negativas.

3

5 >

2

5 Porque 3 > 2

5

7 >

5

11 Porque 7 < 11

− 2

3 > −

5

4

Amplificando cada fracción

2 −2 ∙ 4 −8 − = =

3 3 ∙ 4 12

5 −5 ∙ 3 −15 − = =

3 4 ∙ 3 12

• Cuando dos fracciones tienen el mismo

denominador, es mayor la que tiene mayor

numerador.

• Cuando dos fracciones tienen el mismo

numerador, es mayor la que tenga menor

denominador.

• Dos fracciones que no tengan iguales los

numeradores ni los denominadores, se

reducen a común denominador y será mayor

la que tenga mayor numerador.

RECUERDE

8

. . .

En base a los conocimientos adquiridos desarrolla la siguiente actividad.

¡Usted puede! ¡Ánimo!

1. Verdadero o Falso. Coloca una V en el enunciado verdadero y una

F en el falso.

Punto A > Punto B

Punto C < 1

Los puntos A y B son menores que 0,

5 > Punto C

Punto B > - 2

0 > Punto A

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

ACTIVIDAD 2

9

2. Ubique los siguientes Números Reales en la misma recta numérica

4 , 1

2 , -5 , 1,5 , -3 , 0 , √9 ,

(−14)

7

3. Compare los siguientes pares de Números Reales utilizando los

signos mayores (>), menor (<), igual (=).

a) 8 ________ 3

b) 12 ________ -4

c) -9 _________ -5

d) -4 _________ 0

e) √2_________ √2

f) 3

5 _________ -

3

6

g) 4.5 _________ 1.5

h) √3 _________ - √3

i) - 6,8 _________ 3.4

J) 1

2 _________

5

10

TAREA FINALIZADA

¡MUY BIEN!

10

• Operaciones de los Números Reales En cursos anteriores hemos visto operaciones entre números naturales, enteros y

racionales, así mismo también sabemos que el conjunto de los Números Reales (ℝ),

es la unión de los conjuntos de racionales (ℚ) e irracionales (𝕀).

La adición de Números Reales es una operación que se efectúa entre dos números,

pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan

dos Números Reales, se pueden sumar entre sí. Estos sumandos pueden ser enteros,

racionales, o irracionales.

Ejemplos:

• 3,25 + 1,04 + 2,5 + 0,034 = 6,824

• 15,87 + (−2) = 13,87

Como están en notación decimal lo podemos escribir en columna, haciendo coincidir

las comas, tal como se muestra a continuación:

3,25 15,87

1,04 - 2,00

+ 2,5 13,87

0,034

6,824

Cuando realizamos adiciones o sustracciones de fracciones heterogéneas (aquellas

que tienen distintos denominadores), se reducen las fracciones a común

denominador, calculando el m.c.m., que se divide entre el denominador y el

resultado se multiplica por el numerador de cada fracción.

2

6+

1

2+

3

3 =

2

6+

3

6+

6

6 =

11

6 = 1

5

6

Adición y sustracción de Números Reales

2 - 3 - 6

1 - 3 - 3

1 - 1 - 1

2

3

m.c.m.=6

11

Ejemplos:

• Halle la suma de:

2

5 ∙

6

7

2

5 +

6

7 =

14

35 +

30

35

= 14+30

35

= 44

35 = 1

9

35

• Halle la diferencia de: 𝟕𝟔, 𝟓 − 𝟓𝟐, 𝟖𝟏

Ejemplo:

Un ciclista ha recorrido 12,5 𝑘𝑚 el primer día; el segundo, 1,5 𝑘𝑚 más que el primero,

y el tercero, 2,3 𝑘𝑚 menos que el segundo.

¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo y el tercer día?

Solución:

Segundo día: ⟶ 12,5 Tercer día ⟶ 14,0

+ 1,5 - 2,3

14,0 km 11,7km El ciclista recorrió el segundo día 14 km y el tercero 11,7 km

• Se calcula el mínimo común múltiplo de 5 y 7, que es 35.

• Convertimos a común denominador dividiendo el m.c.m entre los denominadores

• el resultado se multiplica por el numerador. Convirtiéndolas así en fracciones homogéneas

• se suman tomando en cuenta los signos, como fracciones homogéneas.

12

1. Resuelva las siguientes sumas de fracciones

2. Resuelva las siguientes sumas de decimales

a. 92,3 + 0,35=

b. 90,35 − 0,372=

c. 5,82 + 36 + 72,28=

d. 0,357 + 47,2 − 5,28=

e.−3,28 + 5,3 − 2,75 − 4,2=

ACTIVIDAD 3

13

3. Problemas de aplicación

a) En el supermercado he comprado 2,4 g de naranjas; 1,56 g de

manzanas; 0,758 g de uvas; 545 g de fresas y 255 g de cerezas,

¿cuántos gramos pesa la compra?

b) Alejandra depositó $ 7 830 en el banco. Un año después retiró su

dinero del banco y le dieron $ 8 847,90 ¿cuánto ganó de intereses?

La multiplicación de Números Reales es una operación que se efectúa entre dos

números, pero también se pueden considerar más de dos factores. Siempre que se

tengan dos Números Reales, se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar

multiplicaciones hay que tener cuidado con los signos:

• Producto de dos números de igual signo siempre es positivo;

• Producto de dos números de distinto signo siempre es negativo.

Simplificamos todo lo que se pueda, luego multiplicamos todos lo numeradores

resultantes, así mismo todos los denominadores, por último, colocamos el signo

aplicando la ley de los signos para la multiplicación

Multiplicación de Números Reales

A. (7

12) (−

4

3) = −

7

9

B. (12

8) (−

6

24) = −

3

8

C. ( 1

4 ) (4) (

6

5 ) =

6

5 = 1

1

5

14

Desarrolle las siguientes operaciones. No omita pasos.

1. Halle el producto de:

2. Un caballo costó B/. 1 250 si se vende por los 2

5 del costo, ¿cuánto se pierde en la

venta?

3. ¿Por cuál número se multiplica 1

2 para que se transforme en

3

4?

ACTIVIDAD 4

TAREA FINALIZADA

¡MUY BIEN!

15

Caso 1: División de fracciones, la misma se convierte a multiplicación con el divisor

Invertido.

Ejemplo: el inverso de 4

3 sería

3

4 . El inverso de -4 es -

1

4 , y el inverso de

1

5 es

5

1

Caso 2: División con decimales. Existen varios métodos, el más sencillo es de igualar

cifras decimales tanto en el dividendo y el divisor para tengas las mismas cantidades

de cifras decimales agregando ceros donde sea necesario.

Ejemplos:

a) - 4

5 ÷

32

5 = -

4

5 x

5

32 =

1

8 b) 0,45 ÷ - 1,3 = -0,34

0,45 ÷ 1,30 = 45÷ 130 = -0,34 450 -390 600 -520 80

División de Números Reales

16

Desarrolle las siguientes operaciones. No omita pasos.

1. Resuelva los siguientes ejercicios:

ACTIVIDAD 5

17

Nombre: ____________________ Valor 30 puntos

8° _____ Puntos obtenidos: _____

Analiza y responde. Vale 2 ptos.

Si en un cajón hay gatos, y cada gato ve tres gatos ¿cuántos gatos hay?

Respuesta: ______________________

Lea cuidadosamente y responda.

Coloca V para las proposiciones verdaderas y una F para las proposiciones falsas.

Vale 10 puntos.

El conjunto de los Números Reales está formado por los números naturales, enteros,

racionales, e irracionales……………………………………………………………… __

Al ubicar -3 en la recta numérica, podemos decir que es mayor que -1………………… __

La expresión 3 es mayor que 2/5 ………………………………………………………… __

Al efectuar -12 + (-8) resulta - 4………………………………………………………… __

Al multiplicar dos números con signos iguales resulta positivo………………………. __

La expresión 28.7 + 6.342 = 34.399……………………………………………………. __

Al efectuar - 13

10 +

11

20obtenemos -

15

20 ………………………………………………….……………… __

El resultado de efectuar (- 3)(-2)(-1) es - 6………………………………………………. __

Al resolver (0.18) ÷ (0.3) es 0.6 ………………………………………………………… __

De la expresión (√2)(√3 ) obtenemos √5……………………………………………… __

Resuelva las siguientes operaciones con Números Reales, según cada caso. Valor 3

puntos para cada ítem.

1). 2

3 +

1

5 -

8

15 = 4) (

3

5 ) ( -

8

6) (

10

9) =

2). (- 4)(-1)(- 3) = 5) - 0,34 x 2,5 =-

3) 8.82

2.8

6). A Mario le entregaron B/.1345,79 dólares al retirar sus de ahorros. Si él había depositado

945,35 dólares. ¿Cuánto le dieron en concepto de interés?

PRUEBA FORMATIVA N° 1

18

TEMA 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONTENIDO

1. Definición de álgebra.

2. Enunciados verbales de expresiones algebraicas.

3. Partes y clasificación de términos.

4. Grado absoluto y relativo de una expresión algebraica.

19

Definición de Álgebra

Álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas. El término proviene del latín algebra que, a su vez, deriva de un vocablo árabe que significa “reducción” o “cotejo”

Aprender está de moda, porque nos

hace sabios. Al terminar la lección

deberás tener claras las siguientes

interrogantes:

Escribe, lee, identifica, clasifica y

reconoce un término algebraico

atendiendo a sus características,

valorando su utilidad en la

representación del lenguaje común.

Expresiones Algebraicas

20

Escritura de enunciados verbales en forma de expresiones algebraicas.

N° Enunciado verbal Expresión algebraica

1 Un número cualquiera X 2 La suma de dos cantidades 𝑥 + 𝑦 3 La diferencia de dos cantidades 𝑚 − 𝑛 4 El cuadrado de un número 𝑥2

5 El cubo de un número 𝑥3

6 La suma de los cuadrados de dos

cantidades

𝑎2 + 𝑏2

7 La suma de tres cantidades 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Lee y analice cada definición:

Diferencia entre Álgebra y Aritmética

ARITMÉTICA

Solo se utilizan números y se explican las

diferentes formas de utilizarlos (en las

operaciones aritméticas).

Ejemplos:

6 + 5

(7) (−3)

29

ÁLGEBRA

Se utilizan números, letras y signos.

Permite representar fórmulas o

ecuaciones que constituyen leyes o

principios matemáticos.

Ejemplos: El teorema de Pitágoras:

C2 = a2 + b2

Área del

trapecio: A =

(B+ b) h

2

Expresión algebraica: es toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes

y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, – , × , ÷ finitas

veces.

CONSTRUYO MI APRENDIZAJE

21

coeficiente exponente

signo –9 4

parte literal

Constante: son los Números Reales que aparecen en una expresión

algebraica. Si aparece acompañada de una letra recibe el nombre de

coeficiente.

Variable: son las letras que aparecen en una expresión algebraica. Las variables

pueden tomar cualquier valor que se les asigne. También se les denomina

parte literal.

Exponente: número o expresión algebraica colocada a la derecha y por arriba de

otra y que tiene la finalidad de indicar la cantidad de veces por la cual esta última

expresión o número deberá multiplicarse.

TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES

DATOS DE INTERÉS

Cada vez que no se indique el signo de un término algebraico se entiende que el mismo es positivo. Si un término algebraico no tiene coeficiente, el mismo equivale a 1 y si una variable no tiene exponente, éste equivale a 1. Al momento de expresar resultados los coeficientes y exponentes que tengan este valor (1) se omiten (no se colocan).

22

En las siguientes expresiones indica el signo, coeficiente, su parte literal y exponentes:

Expresión Signo Coeficiente Parte literal Exponentes

–12y4

7xy2

3ab

Escritura de enunciados verbales en forma de expresiones algebraicas

Enunciado verbal Expresión algebraica

1.La suma de dos cantidades elevada al cuadrado

2.La diferencia de dos cantidades elevada al cuadrado

3.La diferencia de los cuadrados de dos cantidades

4. La suma de los cubos de dos cantidades

5.La suma de tres cantidades es igual a 100

ACTIVIDAD N° 5

23

Término racional: Es aquel que no tiene radical. Ejemplos:

–16 n2 , – 1 x2 ; x2 + 2x + 1 2 x + 1

Término irracional: Es aquel que contiene radical. Ejemplos:

62x , √𝑥2

√𝑦

Términos semejantes: son aquellos que tienen la misma parte literal

(variable) con el mismo exponente.

Observación: los términos no semejantes, evidentemente pueden no tener la

misma parte literal o bien sus exponentes.

Ejemplos:

En cada uno de los siguientes grupos de términos, clasifíquelos en

semejantes o no semejantes:

1. 5n2n ; 3x2 ; −1 𝑋2

2 ; –16 nn2 ; –3x2; 2nn

2. 5nn ; –7nn ; 12x ; 13x2 ; 8 nn; 16xy

Términos semejantes Términos no semejantes

1. 3x2;

1

2 x

2; –3x2

2. 5nn ; –7nn ; 8 nn

1.

2.

5n2n

12x

; –16 nn2 ;

; 13x2 ; 16xy

2nn

CLASES DE TÉRMINOS

24

Términos homogéneos: Son aquellos que tienen el mismo valor absoluto en

grado. Ejemplo:

3a2bc3 ; 5x4zw

Observación: la suma de los exponentes en el primer término es: 2+1+3=6 y en

el segundo es 4+1+1=6. En ambos casos la suma da el mismo resultado, por ello

son homogéneos.

Términos heterogéneos: Son aquellos que no tienen el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

8𝑎5𝑏3𝑐 ; 8𝑥4𝑤

Observación: la suma de los exponentes en el primer término es: 5+3+1=9 y

en el segundo es 4+1=5. En cada término la suma da resultados distintos (no

tienen el mismo grado), por ello son heterogéneos.

EJERCICIO #1

I. Dadas las siguientes expresiones, clasifíquelas en racionales o irracionales:

a. 6ax

4 ___

b. √9𝑛2𝑝 __________________

c. 2x __________________

d. √6𝑥4𝑦 __________________

REFLEXIONA

ACTIVIDAD N°6

25

II. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en semejantes y no

semejantes:

1. 2ab ; 3ax ; 2xy ; –9xy2; –6ax ; 5ab2 ; –ax

2. 12xz; 3nn; 2x2 ; 2nn2 ; 10nn; 6x

Términos semejantes Términos no semejantes

III. En cada par de términos presentados, indique si son homogéneos o

heterogéneos:

1. 3n5np3 ; 5x5y2w

2. 2abc2 ; 9abcd

3. –7y3z3 ; x6y2w2 ______________________________________

26

MONOMIOS

Expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos

7abc 6pqr 3x

mn 4y

POLINOMIOS

Expresión algebraica que consta de dos o más términos.

Algunos tipos de polinomios son: a) Binomio: polinomio que consta de dos términos. 15 +x ; 4x – 16x2

b) Trinomio: polinomio que consta de tres términos.

x2 + 2xy + y2 ; 3x2 – 6x – 1 ; 16 – 14xy – 2NY

c) Cuatrinomio: polinomio que consta de cuatro términos.

x + y + z + w ; a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Observación: en el segundo término, el numerador 15 + x indica que la

expresión es un binomio. La separación entre un término y otro se distingue

por los signos positivo o negativo (+, -).

CONSTRUYO MI APRENDIZAJE

27

RECUERDA Una expresión algebraica se clasifica en monomio (un solo término)

y polinomio (dos o más más términos) separados por signos más o

menos.

Clasifica las siguientes expresiones como monomios, binomios, trinomios o cuatrinomios según sea el caso.

a) x2 – 2xy + y2

b) 2t3 – 1

c) 10x – 25xy – 5y

d) a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

e) 12a2bc3

f) 16a + 14b

g) 1 + x + y 2 y

h) 14xyz4

ACTIVIDAD N°7

28

MONOMIOS

Grado relativo: es el exponente que afecta

cada letra.

3a2b5 es de grado 2 respecto al letra a y de

grado 5 respecto a la letra b.

Grado absoluto: es la suma de

los exponentes de las letras.

7xy3z2 es de grado 6 pues la suma de los

exponentes 1+3+2 =6

POLINOMIOS

Grado relativo: es el mayor exponente de los

términos.

4a3b2 + 5a5b El grado relativo respecto a la

letra a es 5

4a3b2 + 5a5b El grado relativo respecto a la

letra b es 2

Grado absoluto: es la mayor suma de los

exponentes de las variables de los términos

del polinomio.

4a3b2 + 5a5b en este caso en el primer tér-

mino la suma es 3+2=5 y en el segundo 5+1=6.

Por lo tanto, el grado absoluto es 6.

Determine el grado relativo y absoluto en las siguientes expresiones según se indique:

a) 11x8y2 Grado relativo respecto a la

variable x Grado

relativo respecto a la variable y

Grado absoluto:

b) –12a3b6 Grado relativo respecto a la variable a

Grado relativo

respecto a la

GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

ACTIVIDAD N°8

29

variable b Grado

absoluto:_____

____

c) 4x5y2 + 6x5y – xy4 Grado relativo respecto a la variable x

Grado absoluto:

d) a3b4 + 5a8b2 – abc5 Grado relativo respecto a la variable a

Grado absoluto:

I. En las siguientes expresiones indica el signo, coeficiente, su parte literal y exponentes: (8 pts.)

Expresión Signo Coeficiente Parte literal Exponentes

–31y4z

7b2c6

II. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en semejantes y no semejantes:

(4 pts.)

1. –8ac ; –13ab ; –19a2b ; 8bc ; –

16ac ; 15ab2 ; –ac 2. x2y4 ; 10x2y4 ; 15nn ; 2y2 ; nn2 ; –2x2y4 ; 6y

Términos semejantes Términos no semejantes

RAZONA Y REFLEXIONA

El conocimiento de las terminologías en el álgebra es importante para desarrollar habilidades y destrezas en la resolución de problemas ¿Sabes por qué?

30

III. Dada las siguientes expresiones, clasifíquelas en racionales o

irracionales: (4 pts.) a

a . √𝑎2 + 𝑏2 ____________

b. √4𝑥 _______________

c. 365a5x ____________

d. 5 xy2z3 ______________

IV. Clasifique las siguientes expresiones en monomios, binomio, trinomio o cuatrinomio, según sea el caso: (7 pts.)

a. 4m – 5n + 3p ________________________

b. x2 – 1 + y – 2y2 _______________________

c. 3- 5x ____________________

d. 17a – 45 b - 8 _____________________

e. 21mn6 ______________________

f. y3 + 3xy2 + yx2 + x3 __________________________

g. 15x2 +ab -5cx+9y-4x __________________________

V. Determine el grado relativo y absoluto en las siguientes expresiones según

se indique:(7 pts.)

a. 11x8y2 Grado relativo respecto a la variable x

Grado relativo respecto a la variable y

Grado absoluto:

b. –12a3b6 Grado relativo respecto a la variable a ___

Grado relativo respecto a la variable b _______

Grado absoluto: _________

c. 4x5y2 + 6x5y – xy4 Grado relativo respecto a la variable x ____

Grado absoluto:

d. a3b4 + 5a8b2 – abc5 Grado relativo respecto a la variable ___________

Grado absoluto:

31

Valor numérico de Expresiones Simples

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las

letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.

Ejemplos

1) Hallar el valor numérico de 5ab para a=1 , b=2

Sustituimos la a por su valor 1 y la b por 2 y tendremos 5ab= 5(1)(2) = 10

2) Hallar el valor numérico de a2 b3 c4 para a=2 , b=3 , c = ½

a2 b3 c4 = (2)2 (3)3 (1/2)4 =( 4 ) ( 27 ) ( 1

16 )=

27

4

Hallar el valor numérico para las expresiones siguientes para

a = 1 ; b= 2 ; c=3 ; m = ½ ; n = 1/3 ; p = ¼

1) 3ab – 5a 2 =

2) 5a2 + b3 - c =

3) b2m + n =

4) 12m2n3p =

5) 4𝑎

3𝑏𝑐 =

32

TEMA 3. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES EN UNA EXPRESIÓN

ALGEBRAICA

CONTENIDO

1. Expresiones algebraicas.

2. Términos semejantes.

3. Monomios.

4. Polinomios.

33

❖ Reconoce términos semejantes

❖ Reduce términos semejantes

❖ Simplifica expresiones algebraicas utilizando la reducción de términos semejantes.

OBSERVA LOS SIGUIENTES EJEMPLOS

3 manzanas + 2 manzanas = 5manzanas b b b = 3b a

a2 + 2 a2 = 3 a2

TEMA: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES EN UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

INDICADORES DE LOGRO

a a

a a

a a

a a

a a

a a

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

34

3 x y _ 2 x y = b + a + b = a + 2b Qué puedes analizar de cada uno de los ejemplos dados. Escribe tus comentarios: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Recuerda que: Ejemplo

TÉRMINOS SEMEJANTES TÉRMINOS NO SEMEJANTES 7x; 5x ; - 4x 7x ; 5y; 6

8m5 n ; - 3m5 n ; m5 n 8m5 n ; - 3m5 ; m4 n3

5rs3 t4 ; 2rs3 t4 ; - 10 rs3 t4 - rs3 t4 5rs3 t4 ; 2rs t4 ; - 10 rs3 t - s t

X y

X y

X y

X y

X y

X y

Términos semejantes son aquellos que tienen los mismos factores literales, cada uno con la misma

base y exponente.

xy

35

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

La reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:

a) REDUCCIÓN DE DOS O MÁS TÉRMINOS SEMEJANTES DEL MISMO SIGNO

Regla 1. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que

tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplos:

3a + 2a = 5 a

-5b – 7b = -12b

– a2 – 9a 2 = - 10 a2

1

2 𝑎𝑏 +

2

3𝑎𝑏 =

7

6𝑎𝑏

– 1

3 𝑥𝑦 –

2

3𝑥𝑦 = – 𝑥𝑦

Realiza los siguientes ejercicios:

De acuerdo con lo estudiado resuelve esta actividad.

1. 8a + 9a =

2. – b – 5 b =

3. a x + 3ax + 8ax =

4. −𝒙 − 𝟐 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝟔 𝒙

5. x2 y – 8x2 y – 9x2 y – 20x2 y =

6. 1

5 𝑎𝑏 +

2

5𝑎𝑏 =

7. – 5

6 𝑥𝑦 –

7

6 𝑥𝑦 =

Dos términos semejantes de signos contrarios se anulan.

– 8ab + 8ab = 0

1

4 𝑥𝑦2 –

1

4𝑥𝑦2 = 0

ACTIVIDAD 10

36

b) REDUCCIÓN DE DOS TÉRMINOS SEMEJANTES DE DISTINTO SIGNO

Regla 2. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo de mayor

y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplos:

2a – 3a = -a

18x – 11x = 7x

-8ax + 13ax = 5ax

1

2 𝑎𝑏3 –

2

3𝑎 𝑏3 = (

3 − 4

6)𝑎𝑏3 = –

1

6𝑎𝑏3

4

5 𝑚5𝑛3 –

2

3 𝑚5𝑛3 = (

12 − 10

15 )𝑚5𝑛3 =

2

15𝑚5𝑛3

Realiza los siguientes ejercicios:

De acuerdo con lo estudiado resuelve esta actividad.

1. 7a – 6a =

2. 15ab – 9ab =

3. -14xy + 32xy =

4. 1

7 𝑎𝑏3 –

2

14𝑎 𝑏3 =

5. –4

5 𝑚5𝑛6 +

2

3 𝑚5𝑛6 =

6. 5

6 𝑥𝑦 –

2

9 𝑥𝑦 =

7. 1

2 𝑥𝑦𝑧 –

2

3𝑥𝑦𝑧=

c) REDUCCIÓN DE MÁS DE DOS TÉRMINOS SEMEJANTES DE SIGNOS DISTINTOS.

Regla 3. Se reducen a un solo término los positivos, se reducen a un solo término todos

los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.

Ejemplos:

Ahora te toca a ti

ACTIVIDAD 11

37

5a – 8a + a – 6a + 21a =

Reduciendo los positivos tenemos: 5a +a + 21a = 27 a

Reduciendo los negativos tenemos: – 8 a – 6 a = – 14 a

Luego aplicando la regla anterior: 27a – 14 a = 13 a

– 2

5 𝑏𝑥2 +

1

5 𝑏𝑥2 +

3

4 𝑏𝑥2 – 4 𝑏𝑥2 + 𝑏𝑥2 =

Reduciendo los positivos tenemos: +1

5 𝑏𝑥2 +

3

4 𝑏𝑥2 + 𝑏𝑥2 =

39

20 𝑏𝑥2

Reduciendo los negativos tenemos: – 2

5 𝑏𝑥2 – 4 𝑏𝑥2 = –

22

5 𝑏𝑥2

Luego aplicando la regla anterior: 39

20 𝑏𝑥2 –

22

5 𝑏𝑥2 = –

49

20 𝑏𝑥2

Realiza los siguientes ejercicios:

De acuerdo con lo estudiado resuelve esta actividad.

1. 9a -3a + 65a =

2. 12mn – 23mn + 5mn =

3. 11ab – 15ab + 26ab

4. 2

3 𝒚 +

4

3 𝒚 +

1

6 𝒚 − 𝒚=

5. 5

8 𝑎2𝒃 +

3

4 𝑎2𝒃 −

1

2 𝑎2𝒃 =

6. 7ab + 21ab – ab + 80ab =

7. 105 a3 – 464 a3 + 58 a3 + 301 a3 =

d) REDUCCIÓN DE UN POLINOMIO QUE CONTENGA TÉRMINOS SEMEJANTES DE

DIVERSAS CLASES.

Ejemplo

Reducir el polinomio 5a - 6b+ 8c + 9a – 20c – b + 6b – c

ACTIVIDAD 12

38

Se reducen por separados los de cada clase:

5a + 9a = 14a

–6b – b + 6b= –b

8c – 20c – c= – 13

Luego tendremos: 14a – b – 13

Reducir el polinomio:

8 𝑎3 𝑏2 + 4 𝑎4 𝑏3 + 6 𝑎3 𝑏2– 𝑎3 𝑏2 – 9 𝑎4 𝑏3 – 15 – 5 a𝑏5 + 8 – 6 a𝑏5

Se reducen por separados los de cada clase:

4 𝑎4 𝑏3 – 9 𝑎4 𝑏3 = – 5 𝑎4 𝑏3

8 𝑎3 𝑏2 + 6 𝑎3 𝑏2– 𝑎3 𝑏2 = 13𝑎3 𝑏2

– 5 a𝑏5 – 6 a𝑏5 = – 11 a𝑏5

– 15 + 8 = – 7

Luego tendremos: – 5 𝑎4 𝑏3 + 13𝑎3 𝑏2 – 11 a𝑏5 – 7

Realiza los siguientes ejercicios:

De acuerdo con lo estudiado resuelve esta actividad.

1. 7a – 9b + 6ª – 4b=

2. 5x- 11y – 9 + 20 x – 1 – y=

3. – 81x + 19 y – 30 z + 6 y + 80 x + x – 25 y=

4. 2 𝑎3 𝑏2 + 𝑎4 𝑏3 - 7 𝑎3 𝑏2– 5 𝑎3 𝑏2 – 3 𝑎4 𝑏3 – 1 – 10 a𝑏5 + 10 a𝑏5

5. 5

8 𝑎2𝒃 +

3

4 a𝒃 −

1

2 𝑎2𝒃 -

1

8 a𝒃 – 2ab - 𝑎2𝒃 =

6. –4

5 𝑚5𝑛6 − 2𝑚𝑛2 +

2

3 𝑚5𝑛6 –

3

5 𝑚𝑛2 +

2

10 𝑚5𝑛6 =

7. 5a – 3 b + 8c – 10 b – 20 c + 9a + 12ab – 2 + 3b - 4ab =

LO ESTÁS LOGRANDO.

¡SIGUE ADELANTE!

ACTIVIDAD 13

39

TEMA 4. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

CONTENIDO

1. Polinomios completos e incompletos y ordenados.

2. Adición de polinomios.

3. Sustracción de polinomios.

40

POLINOMIO COMPLETO

Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta

el menor.

Polinomio incompleto, es aquel que le falta algún término.

Ejemplo:

5x3 + 2x2 – 4x + 7 Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el

menor (7).

2x + 3 ……………………. Es polinomio completo.

2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………. Es polinomio completo.

x4 – 2x3 + 5x2 – 4x-5 ……………………. Es polinomio completo.

POLINOMIO ORDENADO

Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.

Ejemplo:

x2 + 2x3 – x4 (Polinomio ordenado en forma ascendente)

x7 – 4x5 + 3x3 (Polinomio ordenado en forma descendente)

x17 – x20 + x23 (Polinomio ordenado en forma ascendente)

14x – 2 (Polinomio ordenado en forma descendente)

Si el polinomio presenta dos o más variables se ordena (ascendente o descendente)

atendiendo al orden alfabético.

POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO.

Ejemplo:

5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 Es completo por que presenta todos los exponentes de “x”

POLINOMIOS COMPLETOS, INCOMPLETOS Y

ORDENADOS

41

y además están ordenados en forma descendente.

Ahora marca con un gancho los polinomios que cumplen con estar ordenado en forma

ascendente o descendentes y estar completo o incompleto.

Polinomio Ordenado Completo Incompleto

Ascendente Descendente

4x2 + 5 x– 3

x7 – x5 + 6

7¨+ 5x – 3x2

x11 – x10 + 1

1 + 2x + x2 – x3

4x5 – x4 + 5

-2 – X2 – x4

ACTIVIDAD 14

42

1. POLINOMIO

Es una suma limitada de monomios no semejantes.

En esta suma se puede incluir alguna constante.

Ejemplos:

5x + x2 4xy – 5xz + 4 – 3x2

3xw + x 4x2y + yz4 – 3

2w2 + 5 3x2y3 – 8xy3

-3y5 + 2x – 1 -5 – 10x2 – x

2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Para sumar o restar polinomios debemos recordar que:

Recuerda Un monomio es una expresión que une parte

variable y parte constante mediante la

multiplicación.

Y ¿Qué es un polinomio?

43

Ejemplos:

(3x + 2) + (2x + 5) = 3x + 2 + 2x + 5 = 5x + 7

polinomio polinomio términos semejantes

(8x + 4) - (5x + 2) = 8x + 4 - 5x - 2 = 3x + 2

términos semejantes

(2x + 3) - (5x - 1) = 2x + 3 - 5x + 1 = -3x + 4

( -5xy + 3) - (5xy – 1 – x2) = -5xy + 3 - 5xy + 1 + x2 = x2 - 10 xy + 4

Resuelve las siguientes operaciones con polinomios

1. (4x + 5) + (3x + 2) =

2. (3w - 7) – (w - 1) =

3. (x2 + 5x) – (x2 – 4x) =

4. (3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) =

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN

Cuando un signo (+) precede a un signo de

colección la expresión interior no cambia

de signo. Cuando un signo (-) precede a un

signo de colección la expresión interior

cambia de signo.

ACTIVIDAD 15

44

5. ( 5x2 + x -7 ) + ( 8x2 – 2x – 10 ) =

6. ( 8x2y + 3xy2 – 5) + ( 4 – 9x2 y + 5xy2 ) =

7. ( 3 a2 b2 + 2 a3 b +2 ab3 ) – ( 7a b3 + 2 a3 b + a2 b2 ) =

8. ( 1

2 y2 + 4y ) + (

2

5 y2 – 7y ) =

9. ( 5a - 3

4 b ) – ( 6a +

5

4 b ) =

10. ( 3,1 a – 2,3 b -5 c) + ( 4 c – 1,7 b + 7,9 a ) =

45

“LOS ENCANTOS DE ESTA CIENCIA SUBLIME, LAS MATEMÁTICAS, SÓLO SE REVELAN AQUELLOS QUE TIENEN QUE PROFUNDIZAR EN ELLAS”.

CARL GAUSS

Nombre: ___________________ Nivel: ______ Fecha: _________Valor: 40 puntos.

I PARTE. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Reduzca los siguientes términos semejantes. Valor 10 puntos.

1. 15ab + 7ab

Respuestas:

a) 8ab c) -22ab

b) 22ab d) -8ab

2. – 4m2 n – 9m2 n – m2 n

Respuestas:

a) – 13 m2 n c) 14 m2 n

b) 13 m2 n d) – 14 m2 n

3. 1

3 𝑎𝑏c +

4

3 𝑎𝑏c –

2

3 𝑎𝑏c =

Respuestas:

a) abc c) 5

3 abc

b) 7

3 abc d) -

1

3 abc

4. – 13 𝑥𝑦 – 20𝑥𝑦 + 35𝑥𝑦

RAZONA Y REFLEXIONA

AQUÍ NADIE SE RINDE. ¡SÍ PUEDES!

46

Respuestas:

a) – 68 𝑥𝑦 c) – 28xy

b) 68 𝑥𝑦 d) 8xy

5. – 5

8 𝑎2𝒃 +

3

4 𝑎2𝒃 −

1

2 𝑎2𝒃

Respuestas:

a) – 3

8 𝑎2𝒃 c) –

9

8 𝑎2𝒃

c) – 15

8 𝑎2𝒃 d)

3

8 𝑎2𝒃

II PARTE. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLIOMIOS. Resuelve los siguientes

problemas, indica la respuesta correcta. Valor 25 puntos.

1. Si: A = 3x2 + x – 7

B = 8x2 – 5x – 10

C = 5x2 + 3x - 1

Hallar: A + B – C

Respuesta:

a) 6x2 – 7x - 16 d) 6x2 – 7x

b) 6x2 – 7x – 15 e) 6x2 + 7x - 16

c) 6x2 – 7x + 16

2. Si: A = w3 – 8w + 4

B = 2w2 – 4w

47

Hallar: A – 2B

Respuesta:

a) w3 + 4w2 - 4 d) w3 – 4w2 – 2

b) w3 – 4w2 + 4 e) w3 + 4w2 + 4

c) w3 – 4w2 – 4

3. Si: A = -8x2y + 3xy – 3y3

B = 4y3 – 7x2y + 2xy

Hallar: 2A – 3B

Respuesta:

a) 5x2y + 18y3 d) 5x2y – 18y3

b) 5x2y – 18y2 e) 5xy – 18y3

c) 5xy2 – 18y

c) Resuelve la siguiente operación. Valor 5 puntos.

48

Material extraído de Guía Didáctico el Mundo Maravilloso, proporcionado por MEDUCA

Álgebra. Aurelio Baldor. España. Distribuidora de texto americano. 1985. Páginas 19-21 Y 40 -57. https://www.youtube.com/watch?v=RLFRKSy1b3s (Elementos de un término algebraico) https://www.youtube.com/watch?v=_NS3U2nwk0g (Clasificación de expresiones algebraicas) https://www.youtube.com/watch?v=zaSytZ6A3gU( Partes de una expresión algebraica

https://www.youtube.com/watch?v=FDZ18L6kooQ (Reducción de Términos Semejantes)

https://www.youtube.com/watch?v=pUfQ1kCuRjY ( Valor Numérico de expresiones algebraicas

Giménez, J., Abdounur, O. J., Badillo, E., Balbás, S., Corbalán, F., Dos Santos, J. M., ... & Spinadel, V. W. (2009). La proporción, arte y matemáticas. Barcelona: Graó. Disponible en: https:ƒƒwww.researchgate.netƒprofileƒJoaquin_Gimenezƒpublicationƒ268402342_La_ proporcion_arte_y_matematicasƒlinksƒ5615057208ae983c1b41c569ƒLa−proporcion− arte−y−matematicas.pdf

https:ƒƒwww.superprof.esƒapuntesƒescolarƒmatematicasƒaritmeticaƒrealesƒnu meros−irracionales.html#tema_los−numeros−irracionales

Valero−García, M., & de Cerio, L. M. D. (2005, September). Autoevaluación y co−evaluación: estrategias para facilitar la evaluación continuada. In Actas del Simposio Nacional de Docencia en Informática (SINDI), Granada (pp. 25−32).

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BIBLIOGRAFÍA