mini - ficha de trabalho - limites - proposta de resolução

7/24/2019 Mini - Ficha de Trabalho - Limites - Proposta de Resolução

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Matemática A – 12.º Ano

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M INI-FICHA DE TRABALHO – LIMITES – PROPOSTA DE R ESOLUÇÃO

M ATEMÁTICA A – 12.º A NO

“ Em relação à Matemática não houve, até hoje, quem lastimasse o tempo empregue no seu estudo.”

Benjamim Franklin

1. Seja nu uma sucessão arbitrária de elementos pertencentes ao domínio de g tal que nu . Tem-se:

4 4 4 44

2 2 lim2 2 lim 2

ln lim ln ln lim ln lim lnlim lim

2 lim 2 lim lim 2 22n nn n n

n n n n

n u uu u u

u u u u g u

e e e ee

2

ln

2 0 2 2e

Logo, pela definição de limite segundo Heine, lim n x

g u

.

2.

2.1. Tem-se que 3

lim lim lim5

n

n

nn

un

31

n

n

3

3 5 2

5

3 31 lim 1

lim5 5 5

1 1 lim 1

nn n

n n n

en ne e

e

n n n

.

Assim, pela definição de limite segundo Heine:

2 2 2

2

0lim lim lim 1 ln 1 ln 1 2 1n

x e e x e f u f x x e

2.2.

▪ nw é uma progressão geométrica. Se r for a razão da progressão, então:

3 3 3 3 355 2

2

24327 27 3

9

ww r w r r r r r

w

Logo, 2 2

2 9 3 9n n

nw w r 2

3

3

n

3n . Assim,7 7

3n

nn

wv

n n e portanto:

7 7

1 1 1 1lim lim 0

3 3lim

n n

nv

n n

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Pela definição de limite segundo Heine, tem-se:

2

0 0 0

1 1 2 2lim lim lim lim 1

3 3 3

2

2

x

x x xn

e f f x f x

v x

▪ Por outro lado, 0 0

lim lim 1 ln 1 ln 0 1 x x

f x x

Como 0 0

lim lim x x

f x f x

, não existe 0

lim x

f x

.

2.3. Tem-se:

41 1

3 2 1 1lim lim

1 x x

f x

x

ln 3 2 1 x

0

0

4 2 2 21 1

ln 3 2 ln 3 2lim lim

1 1 1 1 1 1 x x

x x

x x x x x x

2 21 1 1

ln 3 2 ln 3 21 1lim lim lim

1 11 1 1 1 x x x

x x

x x x x x x

21 ) 0

ln 3 1 2ln 3 2 1 1lim lim

1 41 1 1 1 x i y

y x

x y

0

ln 3 11 3 3lim 1

43

43 4 y

y

y

i) Mudança de variável: Se 1 x então 1 0 x Seja 1 1 y x x y , 0 y .

3. Tem-se que:

22 2 2

1 2 4 1 3 3lim lim 2 lim lim lim lim

2 2 2 2

n n n n

n

nn n n n n

xn n n n

31

n

n

2

21

n

n

2 2

23

23 2 2

2

3 31 lim 1

lim

2 21 lim 1

n n

n n

en ne e

e

n n

Se 0 x então 2 0 x (limite notável)

Se 0 y então 3 0 y (limite notável)























Assim, pela definição de limite segundo Heine, 2 2 2

1 1 1lim lim lim

ln 2lnn

x e x e f x f x

x e .

Resposta: C

4. Tem-se que n , 1 13 3n n n nu u u u . Portanto a sucessão nu é uma progressão geométrica de

razão 3 . Logo, 1 1 3 1 3 1 1 3 3 3 4nu u n n n n . Assim,

2 2

3 4 3lim lim lim

2 2

nu n n

n n n n

2

n

3 3lim 0

n

Pela definição de limite segundo Heine conclui-se que 20

lim lim2

n

x

u g g x

n n

e portanto

0lim

x g x

.

Dos gráficos apresentados o único cuja função tende para quando x tende para zero, por valores inferiores a zero,

é o gráfico da opção D.

Resposta: D

5.

5.1.

0

5 3 2 5 3 20

3 2 24 ) 4 4

416 16 16 16lim lim lim

4 4i x x x

x x x x x x x

x x x x

4 3

2

4 4

4

x x x

x x

4 3

2

4 4 4 4 4 65

4 2

i) Utilizando a regra de Ruffini podemos decompor o polinómio 5 3 216 16 x x x :

1 0 16 1 0 16

4 4 16 0 4 16

1 4 0 1 4 0

Logo, 5 3 2 4 316 16 4 4 4 x x x x x x x

5.2.

22 2 2 2

2

2 2

1 1 1lim 1 lim lim

1 1 x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

2

lim x

x

2

1 x x 2

22

22 2

1 1lim lim1 111

11 x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x














)

2

1lim lim

1 11

xi x

x x

x x x x

11

x

x

2

11

1 1 1 11 1 1 1

x x

1 0 1 1

2 21 0 0 1

i) 20

0

x se x x x

x se x

. Como x pode assumir-se que x é negativo, logo 2 x x x .

5.3.

202

0

2 2 21 1 1

4 3 4 3 4 34 3lim lim lim

1 1 4 3 1 4 3 x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

2

21 1)

14 3lim lim

1 4 3 x xi

x x x

x x x

3

1

x

x

1 3

1 4 3 1 1 1 4 1 3 x x x

2 1

2 2 2

i) Tem-se que 24 3 0 1 3 x x x x . Logo,

24 3 1 3 x x x x

6. Tem-se que:

3 2 3

3

2 ln 2lim limn

n n n x

n

3n

3 2

2ln 2ln 2 1lim 2 2 0 limn n n

n n x x x

n n n

2 0 0 lim 2 limn n x x

Como 3n x e 3n x , n , vem lim 3n x e portanto 2 lim 1n x

Assim, pela definição de limite segundo Heine,

3 2

31

2 lnlim limn

x

n n f x f x

n

.

Resposta: A




















7.

7.1.

3

210 3 33 23 0 2 2

55 1 5 550 0 0 0 0

111 1 1 1 1

lim lim lim lim lim12 2 2 2 2 1 2

2 1

x

x x x x

x x x x x x x x x x

eee e e

ee e e e e e e

x

x

ee e

3

2

0

5

0

1lim

31

1 1 1 3 32

12 2 5 1 2 10 20l

3

3

55

im

2

2

x

x

x

x

e

x

ee e e e

x

7.2.

0

3 4 7 3

)

4 3 47 7lim 1,01 lim 1,01 lim 1,01 10,1 x y y

x y yi x y y

7 7 74 4 4

33

10,1 lim 10,1 lim 10,1 lim10,1 1,030310,1

y y y y y y

y y y

)

410,1 0 0

ii

i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .

ii) Se lim x

p x

a

x (limite notável), então lim 0

p

x x

x

a , com 1a e p e

31, 01 1, 0303 1

7.3.

2

34 0

3 4 4

3 3 3) 102

2

1 1 81 81lim 3 lim 3 lim 3 lim lim

y y y

y x

y y y y x i x

y y y y

i) Mudança de variável: Se 0 x então2

1

x Seja 2

2 0

1 1 1 1

x y x x x

x y y y , y ( 0 x pois 0 x ).

7.4. 3 3

3 3 3 2 3

2 2 2

1 1 1ln 1 ln ln 1

ln 1lim lim lim

x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

2 333 3

22 2

1 11 ln 1ln 1ln 3ln

lim lim lim1 x x x

x x x

x x x x x x x x

Se 0 x então 5 0 x e 3

02

x (limites notáveis)

limite notável


















ln 1 0 0 ln 1ln 1 1 03 lim lim 3 0 3 0 0 0 0 0

1 x x

x

x x

7.5.

0

23 02 2

1 1)1 1 1

1 32 3 1 1lim lim lim lim 3 lim 1 1 3

ln 7 6 ln 7 6 ln 7 6 ln 7 6i x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

0 0 0) )

5 5 55 lim 5 lim lim 1

ln 7 7 6 ln 7 1 7 7ln 7 1 6

7

7ii iii y y y

y y y

y y y

i) Utilizando a regra de Ruffini podemos decompor o polinómio 3 2 3 x x :

1 0 2 3

1 1 1 3

1 1 3 0

Logo, 3 22 3 1 1 3 x x x x

ii) Mudança de variável: Se 1 x então 1 0 x Seja 1 1 y x x y , 0 y .

iii) Se 0ln 1lim 1

x x x

(limite notável), então

0lim 1

ln 1 x x x

. Se 0 y então 7 0 y .

7.6.

2 8 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 323 3 3 3

ln 4 ln 4 ln 4 ln 4lim lim lim lim

3 3 3 3 3 3 3 1 x x x x x x x x

x x x x

e e e e e e e e e

0

2 22 2 2 2 2 20) 0

0

ln 1 ln 1lim

ln 3 41 1 1 1 1 1lim lim

1 13 1 3 3 32 2 1 6lim2

y

y y y y

y

i y

y

y

y y

y y

e ee e e e e e y

i) Mudança de variável: Se 3 x então 3 0 x Seja 3 3 y x x y , 0 y .

limite notável

Se 0 y então 2 0 y (limite notável)

limite notável


















7.7. 2

02 2 2 2

0

2 2 2 22 2 22 2

1ln 3 ln 3 ln 41 1 ln 4 1lim lim lim lim

2 2 2 2

4

4 x x x x

x x x x

x x x x x x x

x

x x

2

22 2)

2ln 4 1lim lim4i x x

x x x

22

x x

2

2 0)2

ln 4 1 ln 12 2 4lim lim4 2 1 31 x yii

x y x y x

4 41

3 3

i) Tem-se que 2 2 0 2 1 x x x x . Logo, 2 2 2 1 x x x x .

ii) Mudança de variável: Se 2 x então 2 4 0 x Seja 2 4 y x , 0 y .

7.8.

03

0

0 0 0

ln ln 3 ln 3 ln 3 1ln 3 ln 3 ln 3 ln 3lim lim lim

1 1 1

3 ln 3 x x x x x

x x x x x x

e x e x e x e

e e e

e e

0 0 0 0 0

3ln ln 1

ln 3 1 13 3lim lim lim lim ln 3 lim

1 1 1 1

x x x

x

x x x x x x x x x

x xe

e ee

e e e e

0

0

0 0 0

0

ln 13ln 1 lim

31 1

lim

13

ln 3 lim 1 ln 3 lim11 1 1

1 lim

3

x

x x

x x x x x x

x x x

x

x

x x

e ee

e e e

e x e x

0

11 1

3 ln3 lim1

x

x

e

1

x

x

e

e

01 1

ln 3 ln 33 1 3

e

Se 0 x então 03

x

e 0 x (limites notáveis)
















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